UNIVERSIDAD SAN MARTIN DE PORRESFACULTAD DE MEDICINA HUMANA

LIMITE DE UNA FUNCIONMATEMATICA APLICADA A LA

MEDICINA2015

IDEA DEL LIMITE DE UNA FUNCION

Ejemplo 1: Veamos el comportamiento de la función f poniendo en una tabla algunos de sus valores. Observamos que a medida que el valor de x crece, el valor f(x) disminuye y al parecer se acerca al valor 1. Con una calculadora, evaluemos f(x) para valores muy grandes de x, y notaremos que el valor será prácticamente 1.

x f(x)

1 2

2 1,5

3 1,33….

4 1,250

5 1,2

10 1,1

15 1,06….

20 1,05

30 1,033..

50 1, 02

LIMITE DE UNA FUNCION El limite de una función (f) cuando x tiende a x₀

es el numero real L, y se representa por : = L , si para cada ε > 0, existe un δ > 0, Si se cumple que x є Df se cumple: 0 <|x-x₀|< δ y se verifica: |f(x)- L|< ε

L + ε L

L – ε

x₀- δ x₀ x₀+δ

𝛿𝛿

𝜀𝜀

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Observaciones 1. El lımite f(x) puede o no existir. Si el lımite existe, esto es, L es finito se dice que f(x) converge a L, si no existe, se dice que f(x) diverge cuando x tiende a .

2. El hecho que f(x) = L , significa que f(x) puede tomar valores arbitrariamente cercanos a L siempre que x este suficientemente cerca de .3. Es conveniente tener en cuenta que se ha dicho que x esta cercano a , pero no es igual a , de hecho, no necesariamente pertenece al dominio de la función f. (Matematica en la Salud - Veronica Poblete Oviedo)

LIMITE DE UNA FUNCIÓN1) Calcular el limite de f(х)= 2x² - 3x +1,cuando x

tiende a 2. Solución

= 2(2)² -3(2)+1 = 8 – 6 + 1 = 3

LIMITE DE UNA FUNCIÓN TEOREMAS PRINCIPALES DE LIMITES: Sean “n” un numero positivo, “K” una constante,

y f y g funciones con limites en “c”. Entonces: a)

b) c)

d)

e)

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

f)

g)

h)

i) ;

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Ejercicios de Aplicación: 1. Hallar el

Solución

= 4 = 4 = 4 [-2]³

= 4. (-8)

= - 32

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

2. Hallar el Solución =

= = 3[3]³ - 5.3

= 81 – 15

= 66

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

3. Hallar el

Solución

= =

= =

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

4. Hallar el Solución

+4]= 12

LIMITES LATERALES

LIMITES LATERALESComo se hizo notar en la observación un lımite puede o no existir. En esta sección estudiaremos un importante criterio que nos permite concluir al respecto. Para introducir el tema, veamos el siguiente

Consideremos la función f(x) = , x 0. Nos preguntamos . ¿Existe Como |x| = x para x 0 y |x| = −x para x 0 , La siguiente figura muestra la grafica de f,

1

- 1

LIMITE LATERAL DERECHO

Sea f : A ⊂ R → R una función y ∈ R. Diremos que el lımite de f(x) cuando x tiende a por la derecha es L, si para todo ε > 0 existe δ > 0, tal que para x ∈ A con 0 < x− < δ se tiene que |f(x) − L| < ε. Notación: f(x) = L, se lee el lımite de f(x) cuando x tiende a por la derecha es L.

L

LIMITE LATERAL IZQUIERDO

Sea f : A R → R una función y R. Diremos que ⊂ ∈ el lımite de f(x) cuando x tiende a por la izquierda es M,

si para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que para x A con ∈ 0 < c − x < δ se tiene que :|f(x) −M| < ε.

Notacion: f(x) = M, se lee el lımite de f(x) cuando x

tiende a por la izquierda es M.

M

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Dados estos conceptos, podemos establecer el siguiente criterio de convergencia de lımites. Existe f(x) si y solo si existen f(x) = f(x)

L=M

LIMITES INFINITOS

Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo) cuando x tiende a , y escribimos:

si podemos incrementar (o disminuir) indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , pero sin que x llegue a ser igual a .

asíntota

LIMITES INFINITOS POR LA IZQUIERDA

Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo)

cuando x tiende a , y escribimos: si podemos incrementar (o disminuir)

indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , siendo x menor que .

LIMITES INFINITOS POR LA DERECHA

Definición: El límite de f(x) es infinito (positivo o negativo)

cuando x tiende a , y escribimos: si podemos incrementar (o disminuir)

indefinidamente los valores de f(x), aproximando x a , siendo x mayor que .

LIMITES INFINITOS

Hallar el:

a)

b)

3

LIMITES INFINITOS

Hallar los siguientes limites:

a)

b)

Solución

Evaluamos a Evaluamos b

3x f(x)

2 -2

1 -1

0 -0,66

-1 -0,5

-2 -0,25

x f (x)

4 2

5 1

6 0,66..

9 0,33..

10 0,285

LIMITE AL INFINITO POR LA IZQUIERDA

Definición: Sea f una función definida en un intervalo Entonces: Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, disminuyendo los valores de x indefinidamente.

L

a

LÍMITE AL INFINITO POR LA DERECHA:

Definición Sea f una función definida en un intervalo . Entonces: Indica que podemos acercar tanto como queramos los valores de f(x) a L, aumentando los valores de x indefinidamente.

L

a

LIMITE DE UNA FUNCIÓN

Hallar el

Solución: =

Hallar el: Solución:

= =

= 3

LIMITE AL INFINITO

Problema de aplicación:El desarrollo de cierta epidemia se caracteriza por tener un comportamiento dado por la función que representa la cantidad de personas que adquieren la enfermedad en un tiempo t medido en semanas.¿Cuantas personas están contagiadas al comienzo de la epidemia? ¿Que nos indica el valor ?

LIMITE INDETERMINADOS

FORMAS INDETERMINADAS

Forma: ; para levantar esta indeterminación

tendremos en cuenta lo siguiente:

a) Si: [f₍x₎]°< [g₍x₎]° = 0

b) Si: [f₍x₎]°= [g₍x₎]° =

c) Si: [f₍x₎]° > [g₍x₎]° = ∞

LIMITE INDETERMINADOS

Ejemplo: Calcular:Solución

[f₍x₎]°< [g₍x₎]°

= 0

LIMITE INDETERMINADOS

Forma: ; esta forma de indeterminación se levanta factorizando numerador y denominador para poder

cancelar los factores que generan la indeterminación.

Calcular:

Solución:

= 3

LIMITE INDETERMINADOS

Forma: (∞ - ∞) o ( 0 x∞); para levantar este tipo de indeterminación se procede a efectuar las operaciones indicadas lo cual nos lleva a las formas ya estudiadas y aplicamos las reglas

correspondientes en cada caso. Hallar el Solución

= ∞ - ∞

LIMITE INDETERMINADOS

LIMITE DE UNA FUNCIÓNEjercicios :Hallar los limites de los siguientes ejercicios:

1.

2.

3.

4.

5.

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Definición: Una función f es continua en a si:

Esta definición se describe más propiamente con estas tres condiciones:

1) Que f(a) esté definida.

2) Que exista

3) Que se cumpla

CONTINUIDAD DE UNA FUNCION

Es continua la función en 2:

2

2