1ra. olimpiada científica estudiantil plurinacional

1ra. Olimpiada Científica Estudiantil

Plurinacional Boliviana (OCEPB)

Segunda Etapa: Distritos Educativos

MATEMÁTICAS 3ro. de Secundaria (1ro. de Ciclo Medio)

Nombre(s)-Apellido(s):

Colegio-Distrito:

Recomendaciones: Escriba los datos anteriores usando letra imprenta, una letra en cada cuadrito y dejando un

cuadrito vacío como separación o espacio. Luego de resolver las preguntas de este examen debe seleccionar la

respuesta que sigue a dicha pregunta marcando el correspondiente inciso. Prohibido usar apuntes, libros y

calculadoras, copiar o hablar. Este examen dura 2 horas.

1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que no tienen ningún 4 como cifra?

(a) 130 (b) 132 (c) 134 (d) 138 (e) 135 (f) Ninguna

2. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con baldosas blancas y negras, colocando una baldosa negra en cada esquina de modo que cada baldosa negra esté rodeada por baldosas blancas. Si para embaldosar un piso cuadrado con este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas negras, ¿cuántas baldosas blancas se utilizaron?

(a) 21 (b) 22 (c) 23 (d) 24 (e) 25 (f) Ninguna

3. Se tienen cuatro triángulos rectángulos idénticos en el interior de un rectángulo, como muestra la figura. Calcule el área total de los cuatro triángulos. (a) 37 (b)47 (c) 36 (d) 46 (e) 35 (f) Ninguna

4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21: a₁ = 21

a₂ = 42 a₃ = 63 ⋮ Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer

término de la sucesión que tiene 3 cifras es 5a =105y la suma de sus cifras es 1+0+5=6)

(a) 10 (b) 11 (c) 9 (d) 8 (e) 12 (f) Ninguna

5. Alex dice que Pedro está mintiendo. Pedro dice que Marcos está mintiendo. Marcos dice que Pedro está

mintiendo. Tomas dice que Alex está mintiendo. ¿Cuántos niños están mintiendo?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 (f) Ninguna

6. El número 2011 2,011

201,1 20,11 es igual:

(a) 0.1 (b) 1 (c) 1.01 (d) 0.001 (e) 0.01 (f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 3ro. de Secundaria (1ro. de Ciclo Medio)

SOLUCIONES

(Responsables: Mgr. Alvaro Carrasco C. - Mgr. Carlos Gonzales C.)

1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que no tienen ningún 4 como cifra?

Solución: Vamos a construir tales números, empecemos por las cifras de la centenas para ellas tenemos las siguientes posibilidades {3,5,6}, para las decenas {0,1,2,3,5,6,7,8,9} osea 9 posibilidades y finalmente para las centenas también 9 posibilidades habiendo en total 3x9x9-1=242, (note que restamos 1 para eliminar a 300 ya que el enunciado dice los número entre 300 y 700)


Solución: Observemos que los lados de los pisos cuadrados deben ser números impares hagamos una lista:

Lado Número de baldosas negras Número de baldosas blancas

3 4 5

5 9 16

7 16 33

9 25 56

Luego se usaron 56 baldosas blancas

3. Se tienen cuatro triángulos rectángulos idénticos en el interior de un

rectángulo, como muestra la figura. Calcule el área total de los cuatro triángulos.

Solución:

Del gráfico es fácil ver que la altura de cada triángulo es h=14 y

también que h+b+h=30 donde b es la base de cada triángulo de

donde tenemos b=2 y así el área de los cuatro triángulos es

1

4 2 14 562

4. Construimos la sucesión de los múltiplos de 21: a₁ = 21 a₂ = 42

a₃ = 63 ⋮ Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer


Respuesta: (f)

Respuesta: (f)

Respuesta: (f)

Solución:

Haciendo cuentas se tiene que el primer término de la sucesión que tiene cuatro cifras es48a 21 48 1008

y la suma de sus cifras es 1+0+0+8=9



Solución: Formemos 2 columnas: de los que dicen la verdad y de los mentirosos. Alex, el primer niño, podría decir la verdad o no. No tenemos manera de saberlo ya que solo nos informan lo que estos niños dicen, hay dos casos: ¿Qué podemos deducir si Alex dice la verdad? Que también Marcos la dice, pero los otros no es decir:

Dicen la verdad Mienten

Alex Marcos

Pedro Tomás

¿Qué podemos deducir si Alex miente? Que también lo hace Marcos, pero no los demás:


Pedro Tomás

Alex Marcos

En cualquier caso el número de niños que mientes es dos.

6. El número 2011 2,011

201,1 20,11 es igual:

Solución:

2011 2,011 2011 2,011 1000

201,1 20,11 201,1 20,11 1000

2011 2011 2011 20111

201,1 10 20,11 100 2011 2011

Respuesta: (c)

Respuesta: (c)

Respuesta: (b)




MATEMÁTICAS 4to. de Secundaria (2do. Ciclo Medio)


Colegio-Distrito:





1. Pedro nació en 1968 y tiene un hijo adolecente llamado Carlitos. Pedro observa que el cuádruple del producto de

su edad y la de su hijo es igual al año en que nació, es decir, 1968. ¿En qué año Pedro hizo este razonamiento?

(a) 2010 (b) 2011 (c)2009 (d)2008 (e)2007 (f) Ninguna

2. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos. Por ejemplo el primer numero taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las decenas del segundo número tartamudo es (a) 4 (b) 5 (c) 0 (d) 2 (e) 3 (f) Ninguna

3. Un albañil cubre un patio cuadrado con azulejos cuadrados blancos y negros, usa los azulejos negros solo para

cubrir las diagonales del patio y usa los azulejos blancos para lo demás. El albañil conto en total 2024 azulejos

blancos. ¿Cuántos azulejos negros uso?

(a) 18 (b) 15 (c) 14 (d) 17 (e) 16 (f) Ninguna

4. La siguiente figura se compone de dos rectángulos. Las longitudes de dos lados están marcadas: 11 y 13. La figura se corta en tres partes y las partes se reorganizan en un triángulo. ¿Cuál es la longitud del lado x? (a) 47 (b) 35 (c) 37 (d) 45

(e) 36 (f) Ninguna

5. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura roja. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 64 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? (a) 25 (b) 45 (c) 24 (d) 46 (e) 20 (f) Ninguna

6. En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

(a) 7

24

(b) 7

2 24

(c) 7

2 22

(d) 7

2 22

(e) 7

24

(f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 4to. de Secundaria (2do. Ciclo Medio)

SOLUCIONES


1. Pedro nació en 1968 y tiene un hijo adolecente llamado Carlitos. Pedro observa que el cuádruple del producto de

su edad y la de su hijo es igual al año en que nació, es decir, 1968. ¿En qué año Pedro hizo este razonamiento?

Solución:

Sea h la edad del padre y sea k la edad del hijo, entonces s tiene 4hk=1968 de donde hk=492=3x4x41 de

donde deducimos k=12 y h=41 y así el año en el que se hiso este razonamiento es 1968+41=2009

2. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos. Por ejemplo el primer numero taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las decenas del segundo número tartamudo es Solución: Como el número formado por unos, tiene como divisor a 3, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3, de manera

que el segundo número formados por unos divisible por 3 es: 111111, y dividiendo tenemos 111111=3x37037 y así

37037 es el segundo número tartamudo y la cifra de las decenas es 3

3. Un albañil cubre un patio cuadrado con azulejos cuadrados blancos y negros, usa los azulejos negros solo para

cubrir las diagonales del patio y usa los azulejos blancos para lo demás. El albañil conto en total 2024 azulejos

blancos. ¿Cuántos azulejos negros uso?

Solución:

Sea x el número de azulejos que se usaron en cada lado del patio entonces el número de azulejos negros en las

diagonales es x x y entonces el número de azulejos blancos es 2 ( )x x x y así tenemos: 2

2

2 2

2 2

2 2024

2 1 2024 1

( 1) 2025 45

( 1) 45 0

( 1 45)( 1 45) 0

x x

x x

x

x

x x

de donde tenemos x=46

4. La siguiente figura se compone de dos rectángulos. Las longitudes de dos lados están marcadas: 11 y 13. La figura se corta en tres partes y las partes se reorganizan en un triángulo. ¿Cuál es la longitud del lado x? Solución:

De donde se tiene que x=13+24=37

Respuesta: (c)

Respuesta: (e)

Respuesta: (f)

Respuesta: (c)

5. Un cubo de madera blanca se mete en una cubeta con pintura roja. Cuando la pintura se ha secado, el cubo se corta en 64 cubitos idénticos. ¿Cuántos cubitos tienen exactamente dos caras pintadas? Solución: Es claro que la arista del cubo es 4, de la figura se sigue que el número de cubitos con dos caras pintadas es 24.

6. En la figura se muestran dos cuadrados de lado 1. ¿Cuál es el área de la región sombreada?

Solución:

Es claro que A+B=1=B+C de donde A=C, ver figura

hallemos el área C, para ello sea x el lado del triangulo mayor en la figura siguiente, Entonces tenemos

2 2

2

1

2 1

1 2

22

x x

x

x

Así el área buscada es igual a:

22 21 1 32 1 1 2

2 2 2

2 3 1 71 2 2

2 2 2 4

x x x x

Respuesta: (c)

Respuesta: (a)




MATEMÁTICAS 5to. de Secundaria (3ro. Ciclo Medio)


Colegio-Distrito:





1. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos.

Por ejemplo el primer número taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las centenas del segundo número

tartamudo es:

(a) 8 (b) 4 (c) 5 (d) 1 (e) 0 (f) Ninguna

2. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados I y II miden 16 cm y 24 cm respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IV ?

(a)62 (b) 64 (c) 66 (d) 68 (e) 70 (f) Ninguna 3. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono

(a) 71 (b) 72 (c) 73 (d) 68 (e) 96 (f) Ninguna



(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 (f) Ninguna

5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el menor número que pensó Pancho? (a) 38 (b) 45 (c) 44 (d) 39 (e) 42 (f) Ninguna

6. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro? (a) 12 (b) 14 (c) 13 (d) 15 (e) 11 (f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 1ro. de Secundaria (7mo. Primaria)


Colegio-Distrito:





1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que tienen una y solo una de sus cifras igual a 4?

(a) 137 (b) 136 (c)135 (d)138 (e)139 (f) Ninguna

2. Usando todas las piezas de cartón que se muestran a la derecha se forma una figura. ¿Cuál de las cinco figuras de abajo es imposible de hacer?

(a) (b) (c) (d) (e)

3. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número?

(a) 5 (b) 4 (c) 6 (d) 3 (e) 8 (f) Ninguna

4. Mueva cuatro números del rectángulo izquierdo a los rectangulitos de la derecha de modo que la suma sea correcta. ¿Qué número queda del lado izquierdo?

(a) 17 (b) 30 (c) 49 (d) 96 (e) 167 (f) Ninguna

5. Fernando va escribiendo las letras de la palabra PLURINACIONAL, una letra cada día y en el orden en que aparecen. Comienza sábado escribiendo la letra P, el domingo la letra L, y así continua. ¿Cuántas semanas tarda en escribir 5 veces esta palabra? (a) 8 semanas y 3 días (b) 9 semanas y 2 días (c) 6 semanas exactas (d) 45 semanas y 1 día (e) 6 semanas y 6 días (f) Ninguna



(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 (f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 1ro. de Secundaria (7mo. Primaria)

SOLUCIONES


1. ¿Cuántos son los números naturales entre 300 y 700 que tienen una y solo una de sus cifras igual a 4?

Solución: Tenemos los siguientes casos: Si la cifra de las unidades es 4 entonces la de las decenas tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} pero la de las centenas 3 posibilidades es decir {3,5,6} y hay entonces 9x3=27 Si la cifras de las decenas fuera 4 entonces la de las unidades tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} pero la de las centenas 3 posibilidades es decir {3,5,6} y hay entonces 9x3=27 Si la cifra de las centenas fura 4 entonces la de las decenas tiene 9 posibilidades {0,1,2,3,5,6,7,8,9} y lo mismo para la de las unidades y hay entonces 9x9=81 En total hay 27+27+81=135.

2. Usando todas las piezas de cartón que se muestran a la derecha se forma una figura. ¿Cuál de las cinco figuras de abajo es imposible de hacer?

Solución: La figura imposible de hacer es la última.

3. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número?

Solución: 2 3 4 5

2 3 8 5

10 3 5 5 3 5

5 3

1 2 3 4 5

1 2 3 2 5

1 2 3 5 1 2 3 (2 5)

1 2 3 100000

4. Mueva cuatro números del rectángulo izquierdo a los rectangulitos de la derecha de modo que la suma sea correcta. ¿Qué número queda del lado izquierdo?

Solución: Como 17+30+49=96 el número que queda es 167.

5. Fernando va escribiendo las letras de la palabra PLURINACIONAL, una letra cada día y en el orden en que aparecen. Comienza sábado escribiendo la letra P, el domingo la letra L, y así continua. ¿Cuántas semanas tarda en escribir 5 veces esta palabra? Solución: La palabra PURINACIONAL tiene 13 letras. Para escribir 5 veces se necesitan 5x13=65 días. Como cada semana tiene 7 días, con 9 semanas tenemos 63 días y faltarían 2 días adicionales para completar los 65 días.

Respuesta: (c)

Respuesta: (e)

Respuesta: (a)

Respuesta: (e)

Respuesta: (b)





Alex Marcos

Pedro Tomás



Pedro Tomás

Alex Marcos

En cualquier caso el número de niños que mienten es dos.

Respuesta: (c)




MATEMÁTICAS 2do. de Secundaria (8vo. de Primaria)


Colegio-Distrito:





1. En cada uno de los 8 puntos marcados en la figura debe escribirse uno de los números 1, 2, 3 ó 4, de tal manera que los extremos de cada segmento tengan números diferentes. Tres números ya han sido escritos. ¿Cuántas veces habría que usar el número 4? (a) 5 (b) 4 (c) 3 (d) 2 (e) 1 (f) Ninguna

2. El ratón Pérez va a la Tierra del Queso. Pero para llegar a esa tierra legendaria tiene que pasar a través de un sistema de túneles, como se muestra en la figura. No se le permite volver a una intersección en la que ya haya estado. En cada intersección se encuentra una semilla. ¿Cuántas semillas, como máximo, puede recoger el ratón Pérez? (a)15 (b) 13 (c) 9 (d) 8

(e) 14 (f) Ninguna

3. Las figuras muestran cómo embaldosar pisos cuadrados de lados 3 y 5 con baldosas blancas y negras, colocando una baldosa negra en cada esquina de modo que cada baldosa negra esté rodeada por baldosas blancas. Si para embaldosar un piso cuadrado con este mismo patrón se utilizaron 25 baldosas negras, ¿cuántas baldosas blancas se utilizaron? (a) 20 (b) 21 (c) 22 (d) 23 (e) 24 (f) Ninguna


a₂ = 42 a₃ = 63

⋮ Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer


(a) 11 (b) 10 (c) 9 (d) 8 (e) 12 (f) Ninguna

5. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ ×6¶ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número? (a) 6 (b) 5 (c) 7 (d) 8 (e) 4 (f) Ninguna

6. Si el Gato con botas descansa durante el día, bebe 60ml de leche. Si en cambio caza ratones, bebe un tercio más de leche. Durante las dos últimas semanas ha cazado ratones un día si y otro no. ¿Cuánta leche ha bebido en las últimas dos semanas? (a) 780 ml (b) 870ml (c) 980ml (d) 810ml (e)880ml (f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 2do. de Secundaria (8vo. de Primaria)

SOLUCIONES


1. En cada uno de los 8 puntos marcados en la figura debe escribirse uno de los números 1, 2, 3 ó 4, de tal manera que los extremos de cada segmento tengan números diferentes. Tres números ya han sido escritos. ¿Cuántas veces habría que usar el número 4? Solución: Es fácil ver que el número 4 y no otro número debe ocupar los lugares que se indican

El vértice en el falta anotar un número podría ir 1,2 ó 3 pero no 4. De manera que el 4 se puede usar 4 veces

2. El ratón Pérez va a la Tierra del Queso. Pero para llegar a esa tierra legendaria tiene que pasar a través de un sistema de túneles, como se muestra en la figura. No se le permite volver a una intersección en la que ya haya estado. En cada intersección se encuentra una semilla. ¿Cuántas semillas, como máximo, puede recoger el ratón Pérez?

Solución: Como el ratón Pérez no puede volver por las intersecciones en que ya ha estado, al pasar a un nivel inferior ya

no le es posible retornar. (Podría hacerlo si hubiera más túneles verticales.) En vista de que en el túnel del

nivel más bajo hay la mayor cantidad de semillas, el objetivo es recoger las más se pueden:

Entonces el ratón Pérez puede recoger como máximo 13 semillas


Respuesta: (b)

Respuesta: (b)

Solución: Observemos que los lados de los pisos cuadrados deben ser números impares hagamos una lista:

Lado Número de baldosas negras Número de baldosas blancas

3 4 5

5 9 16

7 16 33

9 25 56

Luego se usaron 56 baldosas blancas


a₂ = 42 a₃ = 63

⋮ Halle la suma de las cifras del primer término de la sucesión que tenga cuatro cifras. (Por ejemplo el primer


Solución:

Haciendo cuentas se tiene que el primer término de la sucesión que tiene cuatro cifras es 48a 21 48 1008

y la suma de sus cifras es 1+0+0+8=9

5. Multiplicando los números 1×2²×3³×4´×5µ ×6¶ se obtiene un número. ¿En cuántos ceros termina este número? Solución: Que termine en ceros significa que tiene un factor igual a 10, veamos cuantos 10 existen en el número dado:

2 3 4 5 6

2 3 8 5 6 6

16 9 5 11 9 5

11 9

1 2 3 4 5 6

1 2 3 2 5 2 3

1 2 3 5 1 2 3 (2 5)

1 2 3 100000

Y el número termina en 5 ceros

6. Si el Gato con botas descansa durante el día, bebe 60ml de leche. Si en cambio caza ratones, bebe un tercio más de leche. Durante las dos últimas semanas ha cazado ratones un día si y otro no. ¿Cuánta leche ha bebido en las últimas dos semanas? Solución: La cantidad de leche que el Gato toma es:

160 7 60 60 7 980

3

Respuesta: (c)

Respuesta: (f)

Respuesta: (b)

Respuesta: (c)




MATEMÁTICAS 5to. de Secundaria (3ro. Ciclo Medio)

SOLUCIONES


1. Un número se llama taratamudo si multiplicado por 3 da como resultado un número formado solo de unos.

Por ejemplo el primer número taratamudo es 37 pues 37×3=111. La cifra de las centenas del segundo número

tartamudo es:

Solución: Como el número formado por unos, tiene como divisor a 3, la suma de sus cifras debe ser múltiplo de 3, de manera que el segundo número formados por unos divisible por 3 es: 111111, y dividiendo tenemos 111111=3x37037 y así 37037 es el segundo número tartamudo y la cifra de sus centenas es 0 2. La figura que se muestra está formada por cuatro cuadrados. Los perímetros de los cuadrados I y II miden 16 cm y 24 cm respectivamente. ¿Cuál es el perímetro del cuadrado IV ?

Solución: De la figura se sigue que el perímetro del cuadrado IV es 4x16=64

3. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono Solución: Numeremos los ocho vértices del octágono empezando por cualquier de ellos: Si se escogen cuatro de estos números queda definido el cuadrilátero pedido (por ejemplo {1,4,6,7} obviamente sólo hay una manera de formar un cuadrilátero con

estos números) Para escoger estos cuatro números tendríamos que escoger el primero de entre 8 opciones {1,2,3,4,5,6,7,8}, el segundo entre 7 opciones que quedan, el tercero de entre 6 opciones y el cuarto de entre 5 opciones restantes. Es decir, hay 8x7x6x5 maneras de escoger estos cuatro números. Pero estamos contando demás, ya que por ejemplo {1,4,6,7} y {1,7,4,6} dan el mismo cuadrilátero. En realidad, todas las maneras de reordenar estos cuatro

números dan el mismo cuadrilátero y hay 4x3x2x1 maneras. Por lo tanto, si anulamos estas repeticiones, la

cantidad de cuadriláteros que se pueden dibujar es 8 7 6 5

704 3 2 1

Respuesta: (f)

Respuesta: (e)

4

6

10

6

10

Respuesta: (b)





Alex Marcos

Pedro Tomás



Pedro Tomás

Alex Marcos

En cualquier caso el número de niños que mienten es dos.

5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el menor número que pensó Pancho? Solución: Se tiene el sistema

82

96

90

x y

x z

y z

Sumando tenemos 2( ) 268x y z reemplazando la primera ecuación tenemos 2(82 ) 268z de donde

52, 38, 44z y x y el menor de los números es 38

6. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro? Solución:

Sea l, la longitud de la escalera, de los gráficos tenemos: 2 2 2( 10) 5l x y 2 2 2( 8) 9l x

Restando ambas ecuaciones tenemos 23l y reemplazando en alguna de las ecuaciones anteriores tenemos 12x

Respuesta: (a)

5 9

x x

10 8

l-10

l-8

Respuesta: (a)

Respuesta: (c)




MATEMÁTICAS 6to. de Secundaria (4to. Ciclo Medio)


Colegio-Distrito:





1. Una hoja cuadrada de papel ha sido dividida en 2011 x2011 cuadraditos, en los cuales se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de acuerdo al patrón que se muestra en la figura. La suma de los números escritos en las dos diagonales de este cuadrado es:

(a) 6032 (b) 6034 (c) 6035 (d) 6036 (e) 6038 (f) Ninguna 2. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro? (a) 18 (b) 16 (c) 14 (d) 12 (e) 10 (f) Ninguna

3. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 2 2( 1)( 1) 8x x x x ?

(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 (e) 4 (f) Ninguna 4. De un cuadrado de papel se construye un pentágono como sigue: se doblan las esquinas B y D de manera que queden sobre la diagonal AC y se vuelve a doblar la figura obtenida de manera que la esquina C coincida con la

esquina A. ¿Cuánto mide el ángulo que se marca en la figura como ?

(a) 112 (b) 114 (c) 112,5 (d) 114,5 (e) 100 (f) Ninguna

5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el mayor número que

pensó Pancho?

(a) 78 (b) 45 (c) 54 (d) 81 (e) 54 (f) Ninguna

6. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono

(a)78 (b) 70 (c) 54 (d) 81 (e)88 (f) Ninguna

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MATEMÁTICAS 6to. de Secundaria (4to. Ciclo Medio)

SOLUCIONES


1. Una hoja cuadrada de papel ha sido dividida en 2011 x2011 cuadraditos, en los cuales se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de acuerdo al patrón que se muestra en la figura. La suma de los números escritos en las dos diagonales de este cuadrado es: Solución: Como los números 12,3,4 se repiten en bloques de 4, entonces 2011=502x4+3 lo que dice hay 502 bloques y 3 números a continuación es decir 1,2,3 y así la tabla termina en 3 Es fácil observar que en un diagonal hay 2011 unos y la otra diagonal empieza con tres y los unos se intercalan luego hay 1006 tres y 1005 unos, así la suma de los números en ambas diagonales es 2011x1+1006x3+1005x1=6034 2. Contra un muro de altura desconocida se apoya una escalera. Si el pie de la escalera está a 5 metros del muro, el tramo de escalera que sobresale por encima del muro mide 10 metros; en cambio, si el pie de la escalera está a 9 metros del muro, sobresale un tramo de 8 metros de escalera. ¿Cuál es la altura del muro? Solución:

Sea l, la longitud de la escalera, de los gráficos tenemos: 2 2 2( 10) 5l x y 2 2 2( 8) 9l x

Restando ambas ecuaciones tenemos 23l y reemplazando

en alguna de las ecuaciones anteriores tenemos 12x

3. ¿Cuántas soluciones reales tiene la ecuación 2 2( 1)( 1) 8x x x x ?

Solución: 2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

(( ) 1)(( ) 1) 8

( ) 1 8

( ) 9 0

( ) 3 0

( 3)( 3) 0

3 0

3 0

x x x x

x x

x x

x x

x x x x

x x

x x

La primera ecuación no tiene soluciones reales y la segunda tiene por raíces 1,2

1 13

2x

1 2 3 44321

12 3 4 11

4 2 3 413 4 2 312 3 4 1

2

21 2 4 13

143

2

211 2 43

43 4

3 1 2 3 44321

12 3 4 11

4 2 3 413 4 2 312 3 4 1

2

21 2 4 13

143

2

211 2 43

43 4

3

1 2 3 44321

12 3 4 11

4 2 3 413 4 2 312 3 4 1

2

21 2 4 13

143

2

211 2 43

43 4

3 1 2 3 44321

12 3 4 11

4 2 3 413 4 2 312 3 4 1

2

21 2 4 13

143

2

211 2 43

43 4

3

4321

432

4

21

432

1 2 4 13 24 1 2 4 13 243

bloque 1 bloque 2 bloque 502

Respuesta: (b)

5 9

x x

10 8

l-10

l-8

Respuesta: (d)

Respuesta: (c)

4. De un cuadrado de papel se construye un pentágono como sigue: se doblan las esquinas B y D de manera que queden sobre la diagonal AC y se vuelve a doblar la figura obtenida de manera que la esquina C coincida con la

esquina A. ¿Cuánto mide el ángulo que se marca en la figura como ?

Solución:

45/2

67.567.5

De donde se sigue que 67.5 180 y así 112.5 5. Pancho pensó tres números. Si los suma de dos en dos obtiene 82, 96 y 90, ¿cuál es el mayor número que

pensó Pancho?

Solución: Se tiene el sistema

82

96

90

x y

x z

y z

Sumando tenemos 2( ) 268x y z reemplazando la primera ecuación tenemos 2(82 ) 268z de donde

52, 38, 44z y x y el mayor de los números es 52

6. En un octógono (polígono de 8 lados iguales) se dibujan todos los cuadriláteros (polígonos de 4 lados), posibles. ¿Cuántos hay?, por ejemplo en el hexágono de la derecha se ha dibujados tres cuadriláteros y hay muchos más. No olvides trabajar en un octógono Solución: Numeremos los ocho vértices del octágono empezando por cualquier de ellos: Si se escogen cuatro de estos números queda definido el cuadrilátero pedido (por ejemplo {1,4,6,7} obviamente sólo hay una manera de formar un cuadrilátero con

estos números) Para escoger estos cuatro números tendríamos que escoger el primero de entre 8 opciones {1,2,3,4,5,6,7,8}, el segundo entre 7 opciones que quedan, el tercero de entre 6 opciones y el cuarto de entre 5 opciones restantes. Es decir, hay 8x7x6x5 maneras de escoger estos cuatro números. Pero estamos contando demás, ya que por ejemplo {1,4,6,7} y {1,7,4,6} dan el mismo cuadrilátero. En realidad, todas las maneras de reordenar estos cuatro

números dan el mismo cuadrilátero y hay 4x3x2x1 maneras. Por lo tanto, si anulamos estas repeticiones, la

cantidad de cuadriláteros que se pueden dibujar es 8 7 6 5

704 3 2 1

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Respuesta: (c)

Respuesta: (f)

Respuesta: (b)

1ra. olimpiada científica estudiantil plurinacional

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