Teoria generalizzata La teoria generalizzata delle macchine elettriche è stata sviluppata al fine di trattare unitariamente tutte le macchine elettriche in corrente alternata. Una macchina elettrica rotante è costituita da due sottosistemi interagenti: un sottosistema elettrico, descrivibile in termini di equazioni di tensione, e un sottosistema meccanico, descrivibile in termini di equazioni di coppia. Le equazioni di tensione vengono scritte considerando la macchina come costituita da un insieme di avvolgimenti, mutuamente accoppiati, disposti sullo statore e sul rotore, e la cui posizione reciproca varia nel tempo in funzione della posizione del rotore. Assumendo ipotesi semplificative, quali trascurare le armoniche superiori alla fondamentale della f.m.m. al traferro, trascurare le perdite nel ferro dei materiali magnetici e ritenere lineari le caratteristiche di magnetizzazione, si perviene ad un modello matematico di valido per qualsiasi macchina e per qualsiasi condizione di funzionamento. Il regime sinusoidale, argomento fondamentale della teoria classica, è visto semplicemente come una particolarizzazione del funzionamento in regime comunque variabile.

Teoria generalizzata Fondamento della teoria generalizzata è la trasformazione della macchina reale in una macchina fittizia tramite una legge di trasformazione invertibile. Le trasformazioni possibili sono molteplici, ciascuna delle quali dettata da particolari esigenze: tutte comunque tendono in via di principio a semplificare le equazioni della macchina reale, eliminando l'accoppiamento mutuo fra le fasi e la dipendenza delle induttanze dalla posizione del rotore. L'invertibilità è necessaria per riottenere le grandezze reali a partire da quelle trasformate. Da un punto di vista matematico ciò corrisponde ad un semplice cambiamento del sistema di riferimento rispetto al quale sono definite le variabili. Da un punto di vista fisico si trasforma la macchina reale, costituita da tre avvolgimenti i cui assi magnetici abc sono reciprocamente disposti nello spazio a 1200 gradi elettrici, in una macchina fittizia pure costituita da tre avvolgimenti i cui assi magnetici qd0 sono invece disposti a 900 elettrici. Gli assi q e d, denominati rispettivamente asse in quadratura e asse diretto, sono complanari agli assi abc e

ruotanti in senso antiorario a velocità ω attorno all'asse 0.

Se le variabili elettriche trasformate sono simmetriche (terne di grandezze sinusoidali con stessa ampiezza e sfasate di 120°) e se i tre avvolgimenti di fase hanno le stesse caratteristiche, le componenti lungo l’asse 0 sono nulle.

Teoria generalizzata Notazione vettoriale Le componenti di una grandezza trifase possono essere viste come la proiezioni di un vettore rotante

con pulsazione ω su tre assi di riferimento a, b e c sfasati di 120° e fissi nello spazio.

La terna fa, fb, fc può rappresentare indifferentemente tensioni, correnti, flussi o forze magnetomotrici.

Teoria generalizzata

Un vettore rotante su un piano può essere anche individuato dalle proiezioni rispetto ad un sistema di riferimento fisso nello spazio composto da due assi d e q ortogonali.

Teoria generalizzata Infine, un vettore rotante su un piano può essere individuato dalle proiezioni rispetto ad un sistema di

riferimento composto da due assi d’ e q’ ortogonali e rotanti con velocità angolare ω’.

In questo caso le proiezioni sui due assi sono grandezze sinusoidali con pulsazione ω−ω’, pertanto se

ω=ω’ le proiezioni sugli assi d’ e q’ sono grandezze costanti.

Teoria generalizzata Matrici di trasformazione Se si conosce lo sfasamento tra due sistemi di riferimento, è possibile calcolare mediante un’opportuna matrice di trasformazione le componenti sugli assi di un sistema, da quelle rispetto all’ altro sistema. Trasformazione da sistema trifase a,b,c a sistema bifase d,q.

abcqd fKf = dove: [ ]dqTqd fff = [ ]cba

Tabc ffff =

e

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

32 sin

32 sinsin

32 cos

32 coscos

32K

πγπγγ

πγπγγ

Essendo γ lo sfasamento tra i due sistemi di riferimento (angolo tra asse a ed asse q).

Teoria generalizzata La trasformazione inversa, da assi d,q ad assi a,b,c, è invece:

qd1

abc fKf −=

dove:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛+⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛+

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−=−

32

sin3

2cos

32

sin3

2cos

sin cos

K 1

πγ

πγ

πγ

πγ

γγ

Teoria generalizzata Trasformazione da sistema bifase d,q a sistema bifase d’,q’.

'd'qqd fKf = dove: [ ]dqTqd fff = [ ]'d'q

T'd'q fff =

e

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

γγ

γγ

cossin

sincos K

Essendo γ lo sfasamento tra i due sistemi di riferimento (angolo tra asse q ed asse q’).

La trasformazione inversa, da assi d’,q’ ad assi d,q è invece:

qd1

'd'q fKf −=

dove: ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ −=−

γγ

γγ

cossin

sincosK 1

Teoria generalizzata

Se la trasformazione è da un sistema di riferimento fisso ad un sistema di riferimento fisso, o tra due sistemi di riferimento rotanti alla stessa velocità, i coefficienti della matrice di trasformazione sono costanti.

Se la trasformazione è da un sistema di riferimento fisso ad un sistema di riferimento rotante, o viceversa, o ancora, tra sistemi di riferimento rotanti a diversa velocità, i coefficienti della matrice di trasformazione sono funzioni sinusoidali dello sfasamento tra i due sistemi. In tal caso, infatti, lo

sfasamento γ tra i due sistemi non è costante ed è dato da:

c,b,ad,q θθγ −=

Essendo θ q,d e θa,b,c le posizioni angolari assolute dei due sistemi di riferimento.

Teoria generalizzata Circuito resistivo

Trasformazioni da un sistema di riferimento a velocità ω ad un sistema a velocità ωx possono essere

applicate alle equazioni che reggono il funzionamento di qualunque circuito elettrico trifase. Per un circuito trifase puramente resistivo il legame tensioni-correnti è specificato dalla legge di Ohm:

abcabcabc iRv =

Dove:

[ ]cbaabc RRRdiagR =

è la matrice diagonale delle resistenze di fase. Si ottiene dopo facili passaggi:

qdqdqd iRv =

con 1

abcqd KRKR −=

Se Ra= Rb= Rc allora risulta: Ra= Rq= Rd.

Teoria generalizzata Circuito induttivo Per un circuito trifase puramente induttivo il legame tensioni-flussi è espresso dalla legge di Faraday:

abcabc pλ=v

ove p=d/dt è l'operatore derivata temporale e λabc è il vettore dei flussi concatenati con le tre fasi. Si ottiene:

( )qd1

qd p λ−= KKv

Eseguendo la derivata del prodotto si ricava:

( ) ( ) dqxqdqd1

qd1

qd pp p λωωλλλ −+=+= −− KKKKv

dove:

( )0qxdxT

x0dq λλλ −=

Il primo termine viene detto trasformatorico, il secondo rotazionale: quest'ultimo scompare solo se ω=ωx.

Teoria generalizzata Scritte per esteso le equazioni del circuito induttivo secondo gli assi d, q assumono la forma:

( )( ) qxdd

dxqq

pv

pv

λωωλ

λωωλ

−−=

−+=

Se il circuito è lineare, il legame flussi-correnti è esprimibile come:

abcabcabc iL=λ

ove abcL è una matrice di induttanze. Trasformando flussi e correnti si ricava:

( ) dqdqxqdqdqd iLipLv ωω −+=

ove 1

abcqd KLKL −=

Controllo vettoriale Motore asincrono Lo statore di una macchina asincrona trifase alloggia tre avvolgimenti di fase, altri tre avvolgimenti, chiusi in corto circuito sono invece presenti nel rotore. Poiché ogni avvolgimento è un circuito ohmico induttivo, il modello elettrico del motore rispetto al sistema di riferimento fisso a, b, c è costituito da sei equazioni differenziali di primo grado.

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

+==

+==

+==

+=

+=

+=

dtd

ir0v

dtd

ir0v

dtd

ir0v

dtd

irv

dtd

irv

dtd

irv

crcrrcr

brbrrbr

ararrar

cscsscs

bsbssbs

asassas

λ

λ

λ

λ

λ

λ

Controllo vettoriale Esprimendo i flussi in funzione dei coefficienti di auto e mutua induzione. Si ottiene

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++++=

+++++=

+++++=

crcscrbrcsbrarcsarcsccsbscsbsascsascs

crbscrbrbsbrarbsarcsbscsbsbbsasbsasbs

crascrbrasbrarasarcsascsbsasbsasaasas

iLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiL

λλλ

(Flussi di statore)

⎪⎩

⎪⎨

⎧

+++++=

+++++=

+++++=

cscrcsbscrbsascrascrccrbrcrbrarcrarcr

csbrcsbsbrbsasbrarcrbrcrbrbbrarbrarbr

csarcsbsarbsasarascrarcrbrarbraraarar

iLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiLiL

λλλ

(Flussi di rotore)

Le mutue induttanze tra avvolgimenti di statore ed avvolgimenti di statore sono costanti, mentre le

mutue tra avvolgimenti di statore e di rotore variano in funzione della posizione angolare del rotore ϑr.

Le sei equazioni differenziali del modello matematico del motore asincrono rispetto agli assi a, b e c sono quindi a parametri variabili.

Controllo vettoriale Il modello matematico del motore asincrono rispetto agli assi fissi a, b e c è quindi composto da sei equazioni differenziali non lineari del primo ordine, più l’equazione algebrica della coppia, più l’equazione differenziale meccanica della macchina. Inoltre, la funzione che lega la coppia al flusso ed alle componenti della corrente statorica sugli assi a, b e c è molto complicata e non è semplice determinare i valori che le correnti devono assumere per generare una data coppia. Il modello secondo gli assi a, b e c è troppo complesso ai fini del controllo della macchina. Tuttavia, modelli equivalenti più semplici possono essere ottenuti applicando opportune trasformazioni del sistema di riferimento. In particolare, scrivendo le equazioni del modello matematico di una macchina elettrica trifase rispetto ad un sistema bifase, fisso o rotante, piuttosto che rispetto al consueto sistema di riferimento trifase si riduce il numero di equazioni da sei a quattro senza perdere informazioni. Inoltre, poiché non c’è accoppiamento magnetico tra due avvolgimenti posti ortogonalmente fra di loro, le equazioni che si ottengono sono a parametri costanti, invece che a parametri variabili in funzione della posizione del rotore.

Controllo vettoriale Applicando la trasformazione, che da un punto di vista matematico la trasformazione corrisponde ad un semplice cambiamento del sistema di riferimento, si ottiene una macchina fittizia costituita da quattro avvolgimenti (due sullo statore e due sul rotore) i cui assi magnetici q,d sono fra di loro ortogonali. Gli

assi q e d, possono essere fissi nello spazio, o possono ruotare con velocità angolare arbitraria ω'.

Controllo vettoriale Se il sistema di riferimento d, q ruota con una velocità angolare arbitraria ω’, si ottengono le seguenti

equazioni: Equazioni elettriche

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−++==

−−+==

−+=

++=

drrqrqrrqr

qrrdrdrrdr

dsqsqssqs

qsdsdssds

)'(piRv0

)'(piRv0

'piRv

'piRv

φωωφ

φωωφ

φωφ

φωφ

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=+=

+=+=

qsqrrqr

dsdrrdr

qrqssqs

drdssds

MiiLMiiL

MiiLMiiL

φφ

φφ

Equazione meccanica

( )rer CCJppp −=ω

Equazione di coppia

( )dsqrqsdrr

e iiLMpp

23C φφ −=

Ove Lr, Ls ed M sono induttanze a valore costante.

Controllo vettoriale Controllo vettoriale ad orientamento di campo

Nell’ipotesi in cui la componente d’asse q del flusso di rotore sia nulla e la componente d’asse d del flusso di rotore sia costante si ha:

In queste condizioni l’ampiezza del flusso

rotorico φr risulta proporzionale alla ids.

Inoltre, la coppia risulta proporzionale a iqs. Quindi il flusso e la coppia possono essere

controllate indipendentemente agendo rispettivamente su ids e iqs.

Affinché la componente d’asse q del flusso rotorico sia sempre nulla, bisogna scegliere un sistema di riferimento d, q rotante con

velocità angolare ω (ω’=ω) e tale che il vettore

flusso rotorico sia diretto secondo la direzione dell’asse d. E’ questo il principio di

base del controllo ad orientamento di campo.

Controllo vettoriale Controllo vettoriale ad orientamento di campo indiretto

Per controllare un motore asincrono secondo il principio dell’orientamento di campo è necessario

stimare o misurare la posizione istantanea del vettore flusso di rotore α, per identificare le direzioni degli

assi d e q e determinare l’ampiezza delle rispettive componenti della corrente statorica.

La tecnica più comune è quella dell’orientamento di campo indiretto in cui la posizione α del vettore

flusso di rotore, e quindi dell’asse d, viene determinata dalla misura della posizione del rotore per mezzo del modello matematico del motore. Si ha infatti:

( ) ∫∫∫∫∫ +=+−==t

0r

t

0sl

t

0r

t

0r

t

0dt dt dt dt dt ωωωωωωα

La velocità del rotore ωr può essere misurata per mezzo di un opportuno sensore.

La velocità di scorrimento ωsl viene invece stimata dal modello matematico della macchina asincrona.

Controllo vettoriale Utilizzando un inverter VSI controllato in corrente o un inverter CSI è possibile trascurare la dinamica elettrica dei circuiti di statore, e quindi tralasciare le equazioni di statore.

Nelle ipotesi di campo orientato (φqr=0 , φdr costante), le equazioni di rotore diventano:

drslqrr

drr

iR0iR0

φω+==

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+=+=

+=+=

qsqrr

dsdrrdr

qrqssqs

drdssds

MiiL0MiiL

MiiLMiiL

φ

φφ

da cui:

ds

qs

rds

qs

r

r

ds

qsr

rdr

qrrsl i

iT1

ii

LR

Mi

iLM

Ri

R ==−

−=−=φ

ω

Essendo Tr= Lr/Rr la costante di tempo (elettrica) di rotore.

Controllo di corrente ad isteresi

Controllo di corrente a frequenza costante

Inverter CSI Trifase

Controllo vettoriale La tecnica del controllo vettoriale indiretto permette di ottenere dal motore asincrono le migliori prestazioni dinamiche possibili. Tali prestazioni sono molto superiori a quelle ottenibili col controllo a V/f costante e simili a quelle ottenibili con un motore in corrente continua. Tali prestazioni dipendono notevolmente dalla correttezza del valore della costante di tempo rotorica Tr=

Lr/Rr utilizzato nel calcolo della posizione del flusso rotorico. La costante di tempo rotorica varia con la temperatura del motore e deve essere stimata on-line per garantire prestazioni ottimali..

Controllo vettoriale Come nel caso della macchina in corrente continua, per velocità inferiori al valore nominale la componente d’asse d viene tenuta costante e la coppia viene regolata agendo sulla componente d’asse q. Si ottiene un funzionamento a coppia costante. Per velocità superiori al valore nominale si deve adottare un funzionamento a potenza costante, riducendo la componente di corrente d’asse d e l’ampiezza del flusso rotorico in ragione inversa alla variazione di velocità.