1.1 neodredeni integral¯ -...

1.1 Neodredeni integral

1.1.1 Površinski problem

Uvod u površinski problem

Iako vecina razmišlja o integralu iskljucivo kao o obratu izvoda, osnove integralnogracuna sežu mnogo dalje u prošlost od modernih vremena. Jedan od velikih problemaviše matematike je:

Definicija 1.1. Ako je data realna funkcija f koja je neprekidna i nenegativna na inter-valu [a, b], nadjite površinu koja se nalazi izmedu grafa funkcije f i intervala [a, b] nax-osi.



Površinske formule za osnovne geometrijske figure, kao što su pravougaonici, po-ligoni i krugovi idu nazad do najranijih matematickih zapisa. Prvi pravi napredak odnajprimitivnih pokušaja je napravio starogrcki matematicar Arhimed (‘Aρχιµηδης),koji je razvio genijalnu, ali napornu tehniku, koja se zove tehnika iscrpljenja, kakobi našao površine regija koje su ogranicene parabolama, spiralama i raznim drugimkrivim.

Do 17-og stoljeca mnogi su matematicari otkrili nacine kako izracunati ove povr-šine koristeci limese. Medutim, svim ovim metodama je nedostajala generalnost.

1


Veliki napredak su napravili nezavisno jedan od drugoga Newton i Leibnitz, kojisu otkrili da se površine mogu dobiti obrcuci proces diferencijacije. Newtonov rad DeAnalysi per Aequationes Numero Terminorum Infinitas izdat 1711 se smatra pocetkomviše matematike.

Sir Isaac Newton FRS

Gottfried Wilhelm Leibniz

Pocetak moderne matematike

2

Posmatrajmo funkciju y = cos2 x. Onda znamo da je izvod ove funkcije y′ =−2 cosx sinx = sin 2x.

No šta ako moramo raditi unatrag, odnosno da nam je data funkcija y′ = −2 sin 2xi iz nje trebamo pronaci originalnu funkciju?

Ocito, u ovom slucaju je y = cos2 x, ali smo to vec unaprijed znali. U opcemslucaju, to nije tako jednostavno i zahtjeva poseban pristup.

Neodredeni integral

Definicija 1.2. Funkciju F definisanu na intervalu I , nazivamo primitivom ili primi-tivnom funkcijom ili prim funkcijom ili anti-izvodom ili integralom funkcije f(x), akoje na tom intervalu f(x) izvod funkcije F (x), tj. ako vrijedi relacija

F ′(x) = f(x), ∀x ∈ I. (1)

Definicija 1.2 se može formulisati tako da umjesto termina “izvod” koristimo ter-min “diferencijal” i tada vrijedi

d F ′(x) = F ′(x)dx = f(x)dx, ∀x ∈ I. (2)

Primitiv

Primjer. Funkcija 13x

3 je primitiv funkcije f(x) = x2 na intervalu (−∞,∞), zato štoje za svako x ∈ (−∞,∞)

F ′(x) =d

dx

[1

3x3]

= x2 = f(x).

3

Primjetite da ovo nije jedini primitiv funkcije f na ovom intervalu. Ako dodamobilo koju konstantu C na 1

3x3, onda je funkcija F (x) = 1

3x3 + C takoder primitiv

funkcije f(x) = x2, jer je ∀x ∈ (−∞,∞)

F ′(x) = (1

3x3 + C)′ =

1

3(x3)′ + C ′ = x2.

Primitiv

Teorem 1.1. Neka je F (x), na intervalu I , primitiv funkcije f(x). Tada je i funkcijaF (x) + C, gdje je C proizvoljna konstanta, takoder primitiv funkcije f(x).

Teorem 1.2. Neka su F (x) i Φ(x) razliciti primitivi funkcije f(x) na intervalu I . Tadaje

Φ(x) = F (x) + C, C ∈ R. (3)

Primitiv

Dokaz. Na osnovu pretpostavke teoreme je

F ′(x) = f(x), Φ′(x) = f(x),

odakle slijedi da je

Φ′(x)− F ′(x) = [Φ(x)− F [x]]′ = 0,

odnosno, vrijediΦ(x)− F (x) = C ⇒ Φ(x) = F (x) + C.

Proces nalaženja primitiva nazivamo anti-izvodenjem ili, poznatije, integracijom.Funkciju F (x) + C nazivamo neodredeni integral funkcije f(x) i oznacavamo je sa∫

f(x)dx = F (x) + C,

gdje je C proizvoljna konstanta.

Produženo S koje se pojavljuje s lijeve strane definicije neodredenog integrala sezove znak integracije, što je notacija koju je izumio Leibnitz 1675 godine. Funkcijaf(x) se zove integrand ili podintegralni izraz. C se naziva konstanta integracije.

Pridjev “neodreden” se odnosi na cinjenicu da integracija ne daje jednu, odredenufunkciju, vec citav snop funkcija (zbog konstante integracije).

Primjer. Provjeriti da je∫

ln xx dx = ln2 x

2 + C. Kako je

d

dx

(ln2 x

2+ C

)= 2

lnx

2· 1

x=

lnx

x,

to je prema definicije neodredenog integrala funkcija ln2 x2 + C neodredeni integral

funkcije ln xx .

4

Neke osobine neodredenog integrala

Iz definicije neodredenog integrala direktno slijedi[∫f(x)dx

]′= [F (x) + C]′ = F ′(x) = f(x), (4)

d

∫f(x)dx = d[F (x) + C] = F ′(x)dx = f(x)dx, (5)∫dF (x) =

∫F ′(x)dx =

∫f(x)dx = F (x) + C, (6)∫

F ′(x)dx =

∫f(x)dx = F (x) + C. (7)

Jednostavnija pravila integracije

Pravilo 1. Neka je a ∈ R konstanta. Tada vrijedi∫af(x)dx = a

∫f(x)dx (8)

Pravilo 2. Ako postoje∫fi(x)dx, i = 1, 2, . . . , n, tada vrijedi∫

(f1 + f2 + . . .+ fn)(x)dx =

∫f1(x)dx+

∫f2(x)dx+ . . .

∫fn(x)dx. (9)

Jednostavnija pravila integracije

Pravilo 3. Neka je∫f(t)dt = F (t) + C. Tada je∫f(ax+ b)dx =

1

aF (ax+ b) + C. (10)

Dokaz. Kako jedF (t)

dt= F ′(t) = f(t),

d

dtF (ax+ b) = a · F ′(ax+ b) = a · f(ax+ b),

imamo da je

d

dt

[1

aF (ax+ b)

]=

1

aa · F ′(ax+ b) = F ′(ax+ b) = f(ax+ b).

5

1.1.2 Tablica osnovnih integrala

Tablica osnovnih integrala

Integracija je u osnovi cisto pogadanje - no obrazovano pogadanje! Mi u osnovipokušavamo da pogodimo šta je funkcija iz njenog izvoda. Veliki broj integrala mo-žemo riješiti koristeci se nekim, osnovnim integralima standardnih funkcija. Ovdjecemo navesti neke od njih.


1. ∫0 · dx = C;

∫dx = x+ C,

2. ∫xadx =

1

a+ 1xa+1 + C, a 6= 0,−1, a ∈ R,

3. ∫1

xdx = ln |x|+ C,


4. ∫1

1 + x2dx = arc tg x+ C;

∫−1

1 + x2dx = arc ctg x+ C,

5. ∫1√

1− x2dx = arcsinx+ C;

∫−1√

1− x2dx = arccosx+ C,

6. ∫axdx =

ax

ln a+ C,

∫exdx = ex + C,


7. ∫sinxdx = − cosx+ C;

∫cosxdx = sinx+ C,

8. ∫1

cos2 xdx = tg x+ C;

∫1

sin2 xdx = − ctg x+ C,

9. ∫1√

x2 ± a2dx ln

∣∣∣x+√x2 ± a2

∣∣∣+ C.

6


10. ∫secx tanxdx = secx+ C;

∫cscx ctg xdx = − cscx+ C,

Primjeri

Primjer. ∫(x3 + 2x− 5)dx.

Primjer. ∫ √xdx.

Primjer. ∫sin(mx)dx.

Primjeri

Primjer. ∫1

x+ 3dx.

Primjer. ∫2x+ 5

x2 + 5x+ 1dx.

Primjer. ∫tg2 xdx.

Primjeri

Primjer. ∫x · ex

2+1dx.

Primjer. ∫dx

x lnxdx.

Primjer. ∫2dx

sin 2xdx.

7

Primjeri

Primjer.∫cosx

sin2 xdx =

∫1

sinx

cosx

sinxdx =

∫cscx ctg xdx = − cscx+ C

Primjer. ∫t2 − 2t4

t4dt =

∫ (1

t2− 2

)=

∫t−2dt+

∫(−2)dt

=t−1

−1− 2t+ C = −1

t− 2t+ C.

1.1.3 Integracija metodom smjene

Integracija smjenom

U dosadašnjim primjerima smo se samo koristili osnovnim pravilima i tablicamaintegrala. Takvi slucajevi su rijetki i u nekim slucajevima uvodenjem smjene nezavisnepromjenljive podintegralne funkcije možemo svesti integral na tablicni slucaj. Nekatrebamo izracunati ∫

f(x)dx. (11)

Umjesto nezavisne promjenljive x uvedimo novu promjenljivu t, i neka je

x = g(t), dx = g′(t)dt. (12)

Integracija smjenom

Tada integral (11) glasi ∫f [g(t)]g′(t)dt. (13)

Teorem 1.3. Neka su J1 i J2 otvoreni integrali u skupu R. Neka je f : J2 7→ R, ∀x ∈J2, neprekidna funkcija na J2 i neka funkcija g : J1 7→ J2 ima neprekidne izvode naJ1. Tada za svako t ∈ J1 i svako x = g(t) ∈ J2 vrijedi∫

f(x)dx =

∫f [g(t)]g′(t)dt. (14)

Integracija smjenom

Tacnost tvrdnje prati na osnovu definicije izvoda posredne funkcije i definicije neo-dredenog integrala.

8

Primjer. ∫sin3 x cosxdx.

Uvodimo smjenu sinx = t, cosxdx = dt. Tada posmatrani integral glasi∫sin3 x cosxdx =

∫t3dt =

1

4t4 + C =

1

4sin4 x+ C.

Integracija smjenom

Primjer. ∫xex

2

dx.

Primjer. ∫dx

1 + 4xdx.

Integracija smjenom

Primjer. ∫dx√1 + x

dx.

Primjer. ∫cosx

1 + sin2 xdx.

Primjer. ∫sin3 xdx.

1.1.4 Metoda parcijalne integracije

Parcijalna integracija

Neka su u = f(x) i v = g(x) funkcije promjenljive x i neka imaju izvode u′ =f ′(x) i v′ = g′(x). Tada je po pravilu diferenciranja proizvoda

d(u · v) = u dv + v du,

odakle slijediu dv = d(u · v)− v du

odnosno

v du = d(u · v)− u dv.Iz prethodnih jednakosti integracijom dobivamo

9

Parcijalna integracija

∫u dv = u v −

∫v du (15)

odnosno

∫v du = u v −

∫u dv. (16)

Gornje relacije daju pravila parcijalne integracije.

Primjeri

Primjer. Neka treba naci∫xe2xdx. Uzmimo da je

u = x, du = dx, dv = e2x ⇒ v =

∫e2xdx =

1

2e2x.

Tada je prema relaciji (15)∫xe2xdx =

x

2e2x − 1

2

∫e2xdx =

x

2e2x − 1

4e2x + C.

Primjeri

Primjer. ∫x2 lnx =

∣∣∣∣ u = lnx⇒ du = dxx

dv = x2dx⇒ v = 13x

3

∣∣∣∣=x3 lnx

3− 1

3

∫x3 · dx

x=x3 lnx

3− 1

3

∫x2 · dx

=x3 lnx

3− x9

9+ C.

Primjeri

Primjer. Izracunati ∫eax cos(bx)dx.

Oznacimo dati integral sa J i neka je

u = eax, dv = cos(bx)dx.

Tada je prema relaciji (15)

J =

∫eax cos(bx)dx =

∣∣∣∣ u = eax ⇒ du = aeaxdxdv = cos(bx)dx⇒ v = 1

b sin(bx)

∣∣∣∣10

Primjeri

=1

beax sin(bx)− a

b

∫eax sin(bx)dx.

Ako se za izracunavanje∫eax sin(bx)dx uzme

u = eax (du = aeaxdx), dv = sin(bx)dx

(v = −1

bcos(bx)

),

tada slijedi

J =1

beax sin(bx)− a

b

[−1

beax cos(bx) +

a

b

∫eax cos(bx)dx

],

Primjeri

J =1

beax sin(bx) +

a

b2eax cos(bx)− a2

b2J.

Rješavanjem prethodne jednacine po J dobijamo

J =b sin(bx) + a cos(bx)

a2 + b2· eax,

ili ∫eax cos(bx)dx =

b sin(bx) + a cos(bx)

a2 + b2· eax + C.

Primjeri

Primjer. ∫dx

(x2 + a2)n, n ∈ N.

Primjer. Izracunati

J =

∫ √x2 + a2dx.

1.1.5 Integracija racionalnih funkcija

Integracija racionalnih funkcija

Racionalna funkcija je funkcija oblika:

R(x) =Pn(x)

Qn(x)=

anxn + an−1x

n−1 + . . .+ a1x+ a0bmxm + bm−1xm−1 + . . .+ b1x+ b0

11

Ako je

1. n ≥ m tada je funkcija R(x) neprava racionalna funkcija;

2. n < m tada je funkcija R(x) prava racionalna funkcija.

U prvom slucaju, prvo polinome Pn(x) i Qm(x) podijelimo, tj.

R(x) =Pn(x)

Qn(x)= Λn−m(x) +

R1(x)

Qm(x).

Drugi dio desne strane ove jednakosti je onda prava racionalna funkcija.

Primjer.2x3 − x2 + x+ 5

x2 − 4x+ 1= 2x+ 7 +

27x− 2

x2 − 4x+ 1.

Izracunavanje integrala racionalne funkcije svodi se na izracunavanje prave raci-onalne funkcije.

No, prije toga moramo pravu racionalnu funkciju razložiti na prostije racionalnefunkcije, tzv. parcijalne razlomke, a zatim racunati integrale za svaki od tih parcijalnihrazlomaka.

Rastavljanje prave racionalne funkcije

Prostim racionalnim funkcijama zovemo racionalne funkcije oblika

A

(x− α)k(k ∈ N ) (17)

gdje su A ia realni brojevi, odnosno

Mx+N

(x2 + px+ q)k

(k ∈ N ; p2 − 4 q < 0

), (2.26∗)

gdje su M, N, p i q realni brojevi. Svaku pravu racionalnu funkciju možemo predstavitiu obliku (prema fundamentalnoj teoremi algebre):

Pn(x)

Qm(x)=

Pn(x)

(x− a1)k1 · · · (x− aM )kM (x2 + p1x+ q1)l1 · · · (x2 + pNx+ qN )lN, ki, li ∈ N,M+N = m

Pri tome je p2 − 4q < 0, tj. x2 + px + q se ne može dalje rastaviti na proste realnefaktore (nema nula u R). Tada racionalnu funkciju možemo izraziti kao:

Pn(x)

(x− a)k(x2 + px+ q)l=

A1

x− a+

A2

(x− a)2+ . . .+

Ak(x− a)k

+

+M1x+N1

x2 + px+ q+

M2x+N2

(x2 + px+ q)2+ . . .+

Mlx+Nl(x2 + px+ q)l.

12

A1, A2, . . . , An,M1,M2, . . . ,Ml, N1, N2, . . . , Nl su nepoznati koeficijenti koje trebaodrediti. Onda integral ∫

Pn(x)

Qn(x)

se u stvari pretvara u k + l integrala koje vec možemo riješiti standardnim putem!

Primjer. ∫3x2 − x+ 2

(x− 1)2(x2 + 1)

= 2

∫1

(x− 1)2dx+

1

2

∫1

x− 1dx+

1

2

∫1− x1 + x2

dx

= − 2

x− 1+

1

2ln(x− 1) +

1

2arctanx− 1

4ln(x2 + 1) + C.

Napomena: U opštem slucaju, integral oblika∫Mx+N

x2 + px+ qdx =

∫Mx+N

(x+ p/2)2 + a2

rješavamo pomocu smjene x+ p2 = at.

1.2 Odredeni inetgral

1.2.1 Odredeni integral

Odredjeni integral

Neka je funkcija nam je data funkcija f(x) i neka procesom izracunavanja neodre-denog integrala možemo naci njen primitiv F (x).

U ovoj sekciji cemo se baviti pojmom tzv. odredenog integrala, ali ne teoretskim,vec samo primjenjenim putem. Dakle, necemo formalno definisati odredeni integral,vec samo pomocu njegove veze sa neodredenim integralom.

Odredeni integral funkcije f integrabilne na segmentu [a, b] oznacavamo sa∫ b

a

f(x)dx

Ispostavlja se da je ∫ b

a

f(x)dx = F (b)− F (a)!

Ova formula se po dogovoru zapisuje kao∫ b

a

f(x)dx = F (x)|ba.

13

Ova formula se naziva Newton-Leibnitzova formula! Vidimo da nam odredeni inte-gral vraca konkretnu vrijednost, pa stoga i njegovo ime! Osobinu da postoji odredeniintegral funkije na segmentu [a, b] cemo oznacavati sa f ∈ I[a, b].

Osobine odredenog integrala

Neka je f ∈ I[a,b]. Tada je, po definiciji,

a∫b

f(x)dx = −b∫a

f(x)dxiλ∫λ

f(x)dx =0, λ ∈ [a, b].

Lema 1.1. Ako je f ∈ I[a,b] i a ≤ α < β ≤ b, tada je f integrabilna na segmentu[α, β] .

Lema 1.2. Neka je a < c < b i neka je funkcija f integrabilna na [a, b]. Tada vrijedi

b∫a

f(x)dx =

c∫a

f(x)dx+

b∫c

f(x)dx. (18)

Teorem 1.4. Neka f, g ∈ I[a,b]. Tada su funkcije f + g, f − g, λ · g integrabilne nasegmentu [a, b], gdje je λ ∈ R ; pri tome vrijedi

(a)b∫a

(f(x)± g(x))dx =b∫a

f(x)dx±b∫a

g(x)dx,

(b)b∫a

(λf(x)) dx = λb∫a

f(x)dx.

Teorem 1.5. Neka su f, g ∈ I[a,b] takve da je f(x) ≤ g(x) za svako x ∈ [a, b] , tadavrijedi

b∫a

f(x)dx ≤b∫a

g(x)dx. (19)

Teorem 1.6. Ako je f integrabilna funkcija na segmentu [a, b], tada su integrabilne ifunkcije f+ i |f | ; osim toga, vrijedi nejednakost∣∣∣∣∣∣

b∫a

f(x)dx

∣∣∣∣∣∣ ≤b∫a

|f(x)| dx. (20)

Teorem 1.7. Ako je f ∈ C[a,b], tada je f ∈ I[a,b].

Primjer. Izracunati integral

√3∫

−1

dx1+x2 .

.

√3∫

−1

dx1+x2 = arctgx

∣∣∣−1√3 = arctg(

√3)− arctg(−1) = π

3 − (−π4 ) = 7π12 ./

14

Glavni metodi izracunavanja neodredenog integrala, metod smjene promjenljive imetod parcijalne integracije, mogu se primijeniti i kod izracunavanja odredenog inte-grala.

Teorem 1.8. Neka su funkcije u(x) i v(x) glatke na segmentu [a, b]. Tada vrijedijednakost

b∫a

u(x)dv(x) = u(x)v(x)∣∣ab − b∫

a

v(x)du(x). (21)

Primjer. Izracunati odredeni integral∫ e

1

x2 lnxdx.

Teorem 1.9. Neka je f : [A,B]→ R neprekidna, a funkcija

φ : [α0, β0]→ [A,B]

ima neprekidnu derivaciju φ′(t). Ako je

α, β ∈ [α0, β0] , a = φ(α), b = φ(β),

tada vrijedi jednakost

b∫a

f(x)dx =

β∫α

f (φ(t))φ′(t)dt. (22)

Primjer. Izracunati ∫ 1

0

√1− x2dx.

(=π

4

)Primjer. Ako se u izracunavanju integrala

2π∫0

dx4−3 cos x , uvede smjena t = tg x2 , tada se

polazni integral transformira u

2π∫0

dx4−3 cos x =

0∫0

11+t2 ·

2dt(4−3 1−t

2

1+t2

) = 0.

Sa druge strane, f(x) = 14−3 cos x je pozitivna i neprekidna funkcija na [0, 2π], zato

njen integral mora biti pozitivan (v. teorem 10). Dakle, negdje je nastala greška.(Smjena t = tg x2 nije korektna, jer za x = π ∈ [0, 2π], nije ni definirana.)

1.2.2 Primjena odredenog integrala

Primjena odredenog integrala

15

Teorem 1.10. Neka je za y = f(x), x ∈ [a, b] prva derivacija f ′(x) neprekidna funk-cija na [a, b] i Γ = (x, f(x)) , x ∈ [a, b]. Tada se otvorena kriva y = f(x), x ∈ [a, b]može rektificirati i dužina krive Γ

L(f ; a, b), izražava formulom

L(f ; a, b) =

b∫a

√1 + (f ′(x))

2dx. (23)

Teorem 1.11. Neka su ϕ(t)iψ(t), α ≤ t ≤ β, funkcije cije su prve derivacije nepre-kidne funkcije na [α, β]. Tada se kriva Γ, odredena jednacinama x = ϕ(t), y =ψ(t), α ≤ t ≤ β može rektificirati. Još više, ako je ϕ(α) = ai ϕ(β) = b, tj.ϕ ([α, β]) = [a, b] ⊂ R+ ∪ {0}, njena dužina s(Γ) iznosi

s(Γ) =

β∫α

√ϕ′2(t) + ψ′2(t)dt.

Primjer. Naci obim jedinicnog kruga centriranog u nuli.

Površinski problem

Sada se konacno možemo vratiti i našem antickom problemu površine ispod krive!Naime površina ispod neke nenegativne krive (do x-ose) na intervalu [a, b] je jednakaodredenom integralu :

P =

∫ b

a

f(x)dx!

Ukoliko se kriva nalazi ispod x ose, onda je površina iznad te krive na intervalu [a, b]jednaka

P = −∫ b

a

f(x)dx.

Površinski problem

Primjer. Izracunati površinu lika omedenog krivim y = −x2 + 4x+ 5 i y = x− 5.

1.2.3 Nesvojstveni integral

Nesvojstveni integral

Nesvojstveni (ili nepravi) integral je granicna vrijednost odredenog integrala, kadase jedna granicna tacka (ili obje granicne tacke) intervala integracije približava/ju bilonekom odredenom realnom broju ili +∞ ili −∞.

16

Slika 1: Nesvjostveni integral u beskonacnosti

Prvi slucaj je kada je desni kraj intervala integracije jednak +∞ (slicno i kada jelijevi kraj intervala jednak −∞:∫ +∞

a

f(x)dx = limb→+∞

∫ b

a

f(x)dx = limb→+∞

[F (b)− F (a)]

∫ a

−∞f(x)dx = lim

b→−∞

∫ a

b

f(x)dx = limb→−∞

[F (a)− F (b)]

Druga mogucnost je kada funkcija ima prekid u tacki x = c. Tada posmatramo∫ b

a

f(x)dx =

∫ c

a

f(x)dx+

∫ b

c

f(x)dx.

No kako posmatrati te individualne integrale? U slucaju prvog integrala:∫ b

c

= limε→0

∫ b

c+ε

f(x)dx,

a u slucaju drugog ∫ c

a

= limε→0

∫ c−ε

a

f(x)dx

Primjer. ∫ 1

−1

dx

x2

18

Slika 2: Nesvjostveni integral sa prekidom

1.3 Primjena integrala u ekonomiji

Primjena integrala u ekonomiji

Sjetimo se granicnih funkcija (prihoda, troškova, dobiti, itd). One su bile definisanekao izvodi originalnih funkcija.

Koristeci se integralima, možemo naci ukupnu funkciju iz granicne funkcije!

ukupna funkcija =

∫granicna funkcija

Primjer. Zadana je funkcija granicnih troškova GT (Q) = Q(2 − Q)e−Q+10 i fiksniukupni troškovi su nula FT = 0. ODrediti funkciju prosjecnih troškova.

Primjer. Zadana je funkcija granicnih troškova GT (Q) = 8(Q − 2), fiksni troškovisu 10, dok je funkcija potražnje data kao funkcija cijene Q = −p+ 2. Izvesti funkcijuukupne dobiti.

19

1.1 neodredeni integral¯ -...

Documents