1. sayılar- - pegem.net · kenan osmanoğlu - kerem köker ales tüm adaylar İçin konu...
TRANSCRIPT
Tüm Adaylar İçin
VİDEO DESTEKLİ
ALESKONU ANLATIMLIKenan Osmanoğlu
Kerem Köker
UYGULAMASINI İNDİRÜCRETSİZ VİDEO DERSLERİ
HEMEN İZLELütfen detaylı bilgi için
ön sözü okuyunuz.
2020
Kenan Osmanoğlu - Kerem Köker
ALES Tüm Adaylar İçin Konu Anlatımlı
ISBN-978-605-241-719-5
Kitapta yer alan bölümlerin tüm sorumluluğu yazarlarına aittir.
© Pegem AkademiBu kitabın basım, yayın ve satış hakları
Pegem Akademi Yay. Eğt. Dan. Hizm. Tic. AŞ’ye aittir.Anılan kuruluşun izni alınmadan kitabın tümü ya da bölümleri,kapak tasarımı, mekanik, elektronik, fotokopi, manyetik, kayıtya da başka yöntemlerle çoğaltılamaz, basılamaz, dağıtılamaz.
Bu kitap T.C. Kültür ve Turizm Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.Okuyucularımızın bandrolü olmayan kitaplar hakkında
yayınevimize bilgi vermesini ve bandrolsüz yayınlarısatın almamasını diliyoruz.
“Bu kitapta yer alan geçmiş yıllarda ÖSYM’nin yapmış olduğu sınavlardaki ÇIKMIŞ SORULAR’ ın her hakkı ÖSYM’ye aittir. Hangi amaçla olursa olsun, tamamının veya bir kısmının kopya edilmesi, fotoğraflarının çekilmesi, herhangi bir yolla çoğaltılması ya da kullanılması, yayımlanması ÖSYM’nin yazılı izni olmadan yapılamaz. Pegem Akademi Yayıncılık telif ücreti ödeyerek bu izni almıştır.”
34. Baskı: 2019, Ankara
Yayın - Proje: Ümit DilaverDizgi-Grafik Tasarım:Gülnur Öcalan
Kapak Tasarımı: Gürsel Avcı
Baskı: Vadi Grup Basım A.Ş.İvedik Organize Sanayi 28. Cadde 2284 Sokak No:105
Yenimahalle/ANKARA(0312 394 55 91)
Yayıncı Sertifika No: 36306Matbaa Sertifika No: 26687
İletişim
Karanfil 2 Sokak No: 45 Kızılay/ANKARAYayınevi: 0312 430 67 50 - 430 67 51Dağıtım: 0312 434 54 24 - 434 54 08
Hazırlık Kursları: 0312 419 05 60İnternet: www.pegem.net
E-ileti: [email protected] Hattı: 0538 594 92 40
rli Adaylar,
ak
29
04 03 4
- - - - - -2
- -
- - - -
0,35 0,35 0,3 -
0,2 - 0,4 0,4
0,4 0,2 0,4 -
,
2
-
-
-
Adaylar, kend
da
…
– –
SUNU
Değerli Adaylar,Dünyadaki bilimsel gelişmeleri yakından izleyecek, bu gelişmelere katkıda bulunacak ve ülkemizi bilimsel platformlarda daha da yukarılara taşıyacak siz bilim insanı adaylarının eğitim sürecine katkıda bulunabilmekten PEGEM AKADEMİ ailesi olarak gurur duyuyoruz.Akademik yayın alanında 30 yıllık lider bir kurum olan PEGEM AKADEMİ, Akademik Lisansüstü Eğitimi Giriş Sınavı’nın (ALES) ilk yıllarından bu yana yurt çapındaki en önemli başvuru kaynağıdır. Bu güven ve birikimle yürütülen çalışmalardan biri olan ALES Tüm Adaylar İçin Konu Anlatımlı kitabımız, YÖK tarafından 11.06.2018 tarihinde açıklanan yılda üç kez yapılacağı doğrultusunda en son güncellemeler ile sınav sistemine uygun olarak hazırlanmıştır. Yeni sistemde; adaylara Sözel Yetenek bölümünde 50 ve Sayısal Yetenek bölümünde de 50 sorudan oluşan toplamda 100 soruluk sınav uygulanacak-tır. Yeni sınav sisteminde sınav süresi 150 dakika olarak belirlenmiştir. Kitap, bu testleri etkili bir şekilde çözebilmeniz amacıyla, sınavın uygulanmaya başladığı ilk yıllardan günümüze kadarki süreçte konuyla ilgili tüm gelişmeleri yakından takip eden ve bu sınava yönelik çalışmalar yapan uzman eğitimcilerce hazır-lanmıştır.Bu kitabın hazırlık sürecindeki emekleri için PEGEM AKADEMİ’nin başta Yayın-Proje ve Dizgi ekibi olmak üzere tüm çalışan-larına teşekkürü borç biliriz.Bu kitap, uzun bir birikimin ve yoğun bir emeğin ürünüdür. Kitapla ilgili görüş ve önerileriniz bu ürünün niteliğini daha da arttı-racaktır. Değerli görüş ve önerileriniz lütfen bizimle [email protected] aracılığıyla paylaşınız.
Tüm adaylara başarı dileklerimizle…Kerem Köker - Kenan Osmanoğlu
Uygulama İndirme
Aktivasyon
QR Kod Okutma
Uygulamanızı
Üye girişi yaptıktan sonraaçılan pencerede sağ altta bulunan aktivasyon menüsünden kitabınızın aktivasyon işlemini yapabilirsiniz.
QR kodları uygulamamızda bulunan kamera simgesini kullanarak kolaylıkla okutabilirsiniz. Set kapağında bulunan QR kodu okutarak setin içeriğindeki kitaplara, kitap kapağında bulunan QR kodu okutarak kitap içeriğindeki ünitelere, ünite başlarında bulunan QR kodları okutarak ünite ile ilgili videolara ulaşabilirsiniz.
mağazalarından “Pegem Kampüs”yazarak indirebilirsiniz.
ÜyelikÜyelik ekranını eksiksiz
doldurduktan sonra uygulamayı kullanmaya başlayabilirsiniz.
AktifKitaplar
Aktivasyonunu yapmış olduğunuz kitap veya kitaplarınızı
Aktif Kitaplar sekmesinden görüntüleyebilir ve videolarınızı
izlemeye başlayabilirsiniz.
Aktivasyon Kodu ile aktif ettiğiniz video dersler 31 Mayıs 2020 tarihine kadar geçerlidir.
iv
1. BÖLÜM SAYILAR ....................................................................... 3
............................................................... 4 lar ................................................................ 5 ................................................................... 8
................................................ 9 .............................................. 11
.............................................................. 13 ....................................................................... 18
................................................ 18 Basamak Analizi ........................................................... 19 Çözümleme ................................................................... 24 Faktöriyel ...................................................................... 26 Sayma Sistemleri ......................................................... 29
.............................................................. 36 Çözümlü Test – 1 .......................................................... 41 Çözümlü Test – 2 .......................................................... 46 Çözümlü Test – 3 .......................................................... 51 Çözümlü Test – 4 .......................................................... 56 Çözümlü Test – 5 .......................................................... 62 Çözümlü Test – 6 .......................................................... 67 Çözümlü Test – 7 .......................................................... 72 Çözümlü Test – 8 .......................................................... 77 Çözümlü Test – 9 .......................................................... 81
2. BÖLÜM BÖLME – ....................... 86 Bölme ............................................................................ 87
.................................................. 91 2 ile Bölünebilme ................................................... 91 3 ile Bölünebilme ................................................... 91 4 ile Bölünebilme ................................................... 92 5 ile Bölünebilme ................................................... 93 7 ile Bölünebilme ................................................... 94 8 ile Bölünebilme ................................................... 94 9 ile Bölünebilme ................................................... 94 10 ile Bölünebilme ................................................. 96 11 ile Bölünebilme ................................................. 96
.............................................................. 98 Çözümlü Test - 1 .......................................................... 99 Çözümlü Test - 2 .......................................................... 104
3. BÖLÜM ASAL ÇARPANLARA AYIRMA EBOB – EKOK ........... 109
.............................................. 110 ........................................... 111
....................... 113 En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ............................. 114 En Küçük Ortak Kat (EKOK) ................................. 117
............................................................. 122 Çözümlü Test - 1 .......................................................... 124 Çözümlü Test - 2 .......................................................... 129
4. BÖLÜM ......................... 134
Birinci Dereceden Bir Bilinmeyenli Denklemler ......... 135 .......... 138
Denklem Sistemi .......................................................... 138 Yok Etme Metodu .................................................. 138 Yerine Koyma Metodu ........................................... 139
Özel Denklemler ........................................................... 140 ............................................................. 143
Çözümlü Test ............................................................... 147
5. BÖLÜM RASYONEL SAYILAR .................................................. 152 Kesir ve Kesir Türleri ................................................... 153
Kesir ....................................................................... 153 Basit Kesir ............................................................. 153
........................................................... 153 ..................................................... 154
Sabit Kesir ............................................................. 155 Denk Kesir ............................................................. 155
Rasyonel Say .................................... 156 ...................................................... 156 ....................................................... 157 ........................................................ 157
.......................................................... 157 Kuvvet Alma........................................................... 157
........................................................ 158 ........................................................... 161
...................................... 162 .............................................. 164
...................................... 165 ............. 167
............................................................. 168 Çözümlü Test - 1 .......................................................... 171 Çözümlü Test - 2 .......................................................... 176
İÇİNDEKİLER
6. BÖLÜM ÜSLÜ SAYILAR ............................................................ 181
Özellikleri ................................................................ 182 ............................................ 185
Toplama – ................................................ 185 Çarpma ................................................................... 186 Bölme ..................................................................... 188
.............................................................. 191 Çözümlü Test ............................................................... 193
7. BÖLÜM KÖKLÜ SAYILAR .......................................................... 198
............................................ 199 .......................................... 203
Toplama- ................................................... 203 Çarpma ................................................................... 204 Bölme ..................................................................... 205
............ 207 ............................ 208
....................................................... 210 r .................................................... 211
A 2 B i ............... 213 ............................................ 215
................................ 216 .............................................................. 217
Çözümlü Test ............................................................... 219
8. BÖLÜM ÇARPANLARA AYIRMA ............................................... 224
Ortak Parantez Yöntemi ......................................... 225 .......................................... 225
ax2 ............ 226 .................................................................... 228
.......................................................... 228 ................................................... 230
............................................ 233 .............................................................. 235
Çözümlü Test ............................................................... 238
9. BÖLÜM – ................................... 243 ................................................................... 244
Özellikleri ................................................................ 244 Reel (Gerçel) S ......................................... 247
........................................................... 247 ...................................................... 247
.............................................................. 248 ......... 248
................................. 249 ................................................................ 251
Özellikleri ................................................................ 253 .............................................................. 257
Çözümlü Test – 1 .......................................................... 261 Çözümlü Test – 2 .......................................................... 267
10. BÖLÜM ORAN – ORANTI ......................................................... 272
Oran ........................................................................ 273 ..................................................................... 273
............................................... 273 ................................................................ 275
.......................................................... 275 .......................................... 277
......................................................... 278 Ortalamalar .................................................................. 279
Aritmetik Ortalama ................................................ 279 Geometrik Ortalama .............................................. 280
............................................................. 282 Çözümlü Test - 1 .......................................................... 285 Çözümlü Test - 2 .......................................................... 290
11. BÖLÜM PROBLEMLER ............................................................. 295 Denklem Kurma Problemleri ....................................... 296 Ya Problemleri ........................................................... 302 Yüzde Problemleri ....................................................... 305 Faiz Problemleri ........................................................... 307 Kâr – Zarar Problemleri ............................................... 308
..................................................... 311 çi Problemleri ............................................................ 314
Havuz Problemleri ....................................................... 316 Hareket Problemleri ..................................................... 317
............................................................. 323 Çözümlü Test - 1 ......................................................... 339 Çözümlü Test - 2 ......................................................... 344 Çözümlü Test - 3 ......................................................... 350 Çözümlü Test - 4 .......................................................... 355 Çözümlü Test - 5 ......................................................... 361 Çözümlü Test - 6 ......................................................... 366 Çözümlü Test - 7 ......................................................... 373 Çözümlü Test - 8 ......................................................... 379 Çözümlü Test - 9 ......................................................... 386 Çözümlü Test - 10 ....................................................... 392
12. BÖLÜM KÜMELER ..................................................................... 398 Küme ............................................................................ 399
..................... 399 Kümelerin Gösterimi ............................................. 399 Küme ....................................................... 400 Kümelerde ............................................... 401 Alt Küme ................................................................ 404 Küme Problemleri .................................................. 406
Sorular ............................................................. 408 Çözümlü Test ............................................................... 410
vi
13. BÖLÜM – .................................. 415
............................................................................. 416 ........................................................ 419
................................................... 419 Modüler Aritmetik ......................................................... 422
.............................. 423 Modüler Aritmetikte Denklem Çözümü ................. 427
.............................................................. 428 Çözümlü Test – 1 .......................................................... 429 Çözümlü Test – 2 .......................................................... 433
14. BÖLÜM PERMÜTASYON – – OLASILIK ........ 438 S ............................................ 439
....................................................... 439 Çarpma Yolu ile Sayma ......................................... 439
........................................... 439 .............................................. 441 ............................................ 442
Dairesel Permütasyon ........................................... 443 Kombinasyon (Gruplama) ........................................... 444
.......................................................................... 449 .............................................. 449
....................................................... 450 ...................................................... 454
................................. 455 .............................................................. 456
Çözümlü Test – 1 .......................................................... 458 Çözümlü Test – 2 .......................................................... 463 Çözümlü Test – 3 .......................................................... 468
15. BÖLÜM ............................................... 473
Tablo ve Yorumlama .................................................... 474 Grafik ve Yorumlama ................................................... 478
Çizgi Grafik ............................................................. 478 .......................................................... 480
........................................................... 480 .............................................................. 483
Çözümlü Test – 1 .......................................................... 495 Çözümlü Test – 2 .......................................................... 498
16. BÖLÜM ........................... 501
................................................ 502 ................................................................... 506
............................................................... 506 Görsel Yetenek ............................................................. 510
.............................................................. 514 -1 ............................................................... 535
Test-2 ............................................................... 539 -3 ............................................................... 543 -4 ............................................................... 547
1. BÖLÜM
...................................................... 552 Geometrik Kavramlar................................................... 553
..................................................... 553 ............................................................................ 553
........................................................ 553 ...................... 553
.................................................. 553 tleri .................................................................. 554
.................................................................... 554 .................................................................... 554
................................................................ 554 ............................................................... 554
.................................................................. 554 ......................................................... 554
........................................................................ 554 ................................................................ 555
............................................................. 555 .................................................................... 556
................................................................ 556
........................................ 556
................................................ 558 ...................................................... 558
Üçgenler ....................................................................... 561 ............................................................ 561
........................................ 561 ................................... 561
...................... 562 Yükseklik ................................................................ 562
.................................................................. 562 Kenarortay ............................................................. 562
i ............................... 563 Dik Üçgen ..................................................................... 567
Pisagor Teoremi .................................................... 567 ..................................................... 568
..................... 569 ......................... 570
..................................... 572 ............................................... 573
............................................. 574 Üçgende Kenarortay Teoremleri ................................. 576
....................................................... 576 ........................................... 578
........................................................... 580 ............................................................. 582
Üçgende Alan ............................................................... 586 Üçgende Benzerlik ....................................................... 591
– – ............................ 591 Tales Teoremi ........................................................ 593
............................................ 593
Çapraz Tales Teoremi ............................................ 594 Kenar – – .................... 595 Kenar – Kenar – ............... 596
– ................................. 599 ........................................................... 599
- 1 ............................................................ 604 - 2 ............................................................ 606 - 3 ............................................................ 608 - 4 ............................................................ 610 - 5 ............................................................ 612 - 6 ............................................................ 614 - 7 ............................................................ 616 - 8 ............................................................ 618 - 9 ............................................................ 620 - 10 .......................................................... 622 - 11 .......................................................... 624 - 12 .......................................................... 626 - 13 .......................................................... 628
2. BÖLÜM ÇOKGENLER VE DÖRTGENLER ................................. 630 Çokgenler ..................................................................... 631
genler............................ 631 Düzgün Çokgen...................................................... 632
Dörtgenler ..................................................................... 637 Dörtgenin Özellikleri .............................................. 637 Dörtgenlerde Alan .................................................. 638
Paralelkenar.................................................................. 640 Paralelkenarda Alan ............................................... 641
.............................. 641 ........... 643
.......................................................... 644 Dikdörtgen ................................................................... 645 Kare ............................................................................... 647 Yamuk ........................................................................... 649
..................................................... 652 Dik Yamuk .............................................................. 654 Deltoid .................................................................... 654
- 1 ............................................................ 655 - 2 ............................................................ 657 - 3 ............................................................ 659 - 4 ............................................................ 661 - 5 ............................................................ 663
3. BÖLÜM ÇEMBER VE ...................................................... 665
............................................................... 666 .................................... 666
Çemb ................................. 667 .............................................................. 667
................................................................ 668 ........................................................ 669
....................................................................... 669 .................................................................... 669
.................................... 671 ............................................................ 671
Çemberde Uzunluk ....................................................... 672
.............. 672 Kuvvet Ekseni ........................................................ 674
....................................... 675 ....................... 677
Üçgen Çemberleri ........................................................ 677 ..................................... 677
.................................. 678 ler Dörtgeni ......................................................... 678
Dairede Alan................................................................. 679 ...................................... 679
.............................................. 679 .................................... 679
......................................... 679 ........................................... 680
Çemberde Benzerlik .............................................. 681 - 1 ........................................................... 683 - 2 ........................................................... 685 - 3 ........................................................... 687
4. BÖLÜM .................................................. 689
.................................... 690 Analitik Düzlem ...................................................... 690
................................. 691 .................................................. 692
.................................. 694 ................................... 697
............................. 697 .................................. 699
.......................................... 700 ......................................................... 702
................ 702 emeti ......................................................... 704
Simetriler ................................................................ 707 ................................................. 707 ............................................... 710
................................................................... 712 ................................................................. 714
5. BÖLÜM KATI ............................................................ 716 Prizma .......................................................................... 717
.......................................... 718 Küp ......................................................................... 720 Silindir .................................................................... 720 Dönel Silindir ......................................................... 721
Piramit .......................................................................... 723 Düzgün Piramit ...................................................... 723 Kesik Piramit .......................................................... 724
Küre .............................................................................. 726 - 1 ....................................................... 727 - 2 ....................................................... 729
............................................................. 731
viii
TÜRKÇE 1. BÖLÜM
SÖZCÜKTE ANLAM ..................................................... 748 ......................................................... 748
Gerçek Anlam ...................................................... 749 Mecaz Anlam........................................................ 750 Terim Anlam ........................................................ 752 Soyut – Somut Anlam ......................................... 752 Nitel – Nicel Anlam .............................................. 753
...................... 753 ........................................ 754
.......................................... 754 ..................................... 755 ..................................... 756
................................ 756 Genel – ............................ 759
................................................................ 759 ............................................... 759 ) .............................................. 760
- ........................... 763 ............................................ 763
Dokundurma (Tariz) ............................................. 764 ............................................ 765
Dolaylama ............................................................ 765 ................................................ 766
Somutlama ........................................................... 766 Söz Öbekleri ................................................................. 767
Deyimler ............................................................... 767 Atasözleri ............................................................. 768
.............................................................. 771 ........................................................ 772
............................ 772 .............................................................. 774
Çözümlü Test ............................................................... 780
2. BÖLÜM CÜMLEDE ANLAM ....................................................... 785 Cümlenin Yorumu ........................................................ 786
Cümle Vurgusu .................................................... 786
Cümleler ............................................................... 787 .................................................... 788
Cümle Analizi ....................................................... 791 ...................... 792
.......................................................... 794 ........................................................... 796
Eksiltili Cümle ...................................................... 796 Cümle Tamamlama .............................................. 796
................................................ 800 .......................................................... 803
................................ 803 ........................ 805
.................. 807
Duruma Göre Cümleler ....................................... 811 .............................................................. 818
Çözümlü Test ............................................................... 827
3. BÖLÜM ANLATI ................................................... 833
.............................................. 833 ............................................. 833
............................................... 833 .............................................. 834
...................................... 834 Benzetme ............................................................. 834
........................................................... 835 ....................................................... 835
Örneklendirme..................................................... 835 .......................... 836 ........................... 836
Soru Sorma ......................................................... 836 ........................................................ 837
Özgünlük ............................................................. 837 ............................................. 837
................................................. 837 ................................................................. 837
Sürükleyicilik ....................................................... 837 Duruluk ................................................................ 837
.................................................................. 837 ............................................................... 837
ular ............................................................. 839 Çözümlü Test ............................................................... 845
4. BÖLÜM PARAGRAF .................................................................. 852
........................................... 852 ................ 852
.......................... 852 ......................................................... 853
Paragrafta Konu .................................................. 853 ................................................. 856
..................................... 857 P ........................ 860
........... 866 ....................................... 868
......................................................... 899 ........................................... 899
Yönelik Pratikler .................................................. 900 ............................................................. 924
Çözümlü Test ............................................................... 941
5. BÖLÜM SÖZEL MANTIK ............................................................ 948
.......................... 948 ..................... 948
......................... 948 ........ 949
Simgeler Kullanma .............................................. 949 ................................................. 950
............................................................... 955 Sözel Mant .......... 956
.................................................. 956 ............................................... 957
................................................ 957 Yer-Yön-Konum Bildiren Sorular ....................... 959
............................................. 961 .................................. 962
Karma Sorular ..................................................... 962 ............................................................. 964
Çözümlü Test ............................................................... 970
ALES SAYISAL YETENEK
İnsanlar sayılar gibidir. O insanın değeri ise o sayının içinde
bulunduğu sayı ile ölçülür.
Newton
Sayılar
Sayı Kümeleri
Tam Sayılar Pozitif ve Negatif Sayılar
Ardışık Sayılar Asal Sayı
Aralarında Asal Sayılar Basamak Analizi
Faktöriyel Sayma Sistemleri Çıkmış Sorular
Çözümlü Testler 1-9
Doğal Sayı
Çözümleme
4
ALE
S M
atem
atik
RAKAM: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 gibi tek haneli sembollere rakam denir.
SAYI: Rakamlar n tek ba lar na veya bir çokluk olu turacak ekilde bir araya gelmesiyle olu an ifadelere say denir.
ÖRNEK
7 bir rakam ayn zamanda bir say d r. 36 iki rakamdan olu an bir say d r. 712 üç rakamdan olu an bir say d r.
5391 dört rakamdan olu an negatif bir say d r.
SAYI KÜMELERİ
1) Sayma Say lar Kümesi
1, 2, 3,..... kümesine sayma say lar kümesi ve bu kümenin her bir eleman na bir sayma say s denir. Sayma say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir.
2) Do al Say lar Kümesi
0, 1, 2, 3,..... kümesine do al say lar kümesi ve bu kümenin her bir eleman na bir do al say denir. Do al say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir.
3) Tam say lar Kümesi
........, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,....... kümesine tam say lar kümesi ve bu kümenin her bir eleman na bir tam say denir. Tam say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir. Tam say lar kümesi üçe ayr l r.
a) Negatif Tam say lar Kümesi
S f rdan küçük (s f r n solunda olan) say lar n olu turdu u kümeye negatif tam say lar kümesi bu kümenin her bir eleman na negatif tam say denir. Negatif tam say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir.
..............., 3, 2, 1 dir.
Negatif tam say lar s f ra yakla t kça büyürler. Dolay s yla en büyük negatif tam say " 1" dir. b) Pozitif Tam say lar Kümesi
S f rdan büyük (s f r n sa nda olan) say lar n olu turdu u kümeye pozitif tam say lar kümesi bu kümenin her bir eleman na pozitif tam say denir. Pozitif tam say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir.
1, 2, 3,......... dir.
Pozitif tam say lar s f ra yakla t kça küçülürler. Dolay s yla en küçük pozitif tam say "1" dir. c) S f r bir tam say d r, fakat i aretsizdir. Yani pozitif ya
da negatif tam say de ildir.
4) Rasyonel Say lar Kümesi
a ve b birer tam say ve b 0 olsun. ab
eklinde
yaz labilen say lar n olu turdu u kümeye rasyonel say lar kümesi bu kümenin her bir eleman na bir rasyonel say denir. Rasyonel say lar kümesi “Q” sembolü ile gösterilir.
aQ : a, b Z ve b 0 dir.b
ÖRNEK
3 12, , 4, 25.....8 17
birer rasyonel say d r.
5) rrasyonel Say lar Kümesi
Rasyonel olmayan say lara yani iki tam say n n bölümü eklinde yaz lamayan say lar n kümesine irrasyonel
say lar kümesi bu kümenin her bir eleman na bir irrasyonel say denir.
rrasyonel say lar kümesi “ IQ ” sembolü ile gösterilir.
ÖRNEK
3 1310, 7, ,...
5 birer irrasyonel say d r.
6) Reel (Gerçel, Gerçek) Say lar Kümesi
Rasyonel say lar kümesi ile irrasyonel say lar kümesinin birle im kümesine reel say lar kümesi bu kümenin her bir eleman na bir reel say denir. Reel say lar kümesi " " sembolü ile gösterilir.
Q Q eklinde ifade edilir.
Örnek: a ve b birer rakam olmak üzere, 3a 4b ifadesinin alabilece i en büyük de er kaçt r?
A) 65 B) 63 C) 60 D) 57 E) 54
Çözüm: fadede kullan lacak rakamlar n farkl olup olmad na dikkat edilmelidir. a ve b birbirinden farkl rakamlar denilmedi inde 3a 4b ifadesinde en büyük de eri elde etmek için a 9 ve b 9 seçilmelidir. Böylece 3a 4b 3 9 4 9 27 36 63 bulunur.
5
Sayılar
Örnek: a, b ve c birbirinden farkl rakamlar olmak üzere, 5a 6b 3c ifadesinin alabilece i en büyük de er kaçt r?
A) 115 B) 110 C) 105 D) 100 E) 95
Çözüm: Verilen ifadede rakamlar n farkl olmas istendi inden ve en büyük de er soruldu undan seçilebilecek en büyük üç rakam 7, 8 ve 9 kullan lmal d r. Büyük de er elde etmek için bu de erler bilinmeyenlerin katsay lar n n büyüklük s ras na göre verilmelidir. O halde a 8, b 9, c 7 seçilirse 5a 6b 3c 5 8 6 9 3 7
40 54 21115 bulunur.
Örnek: x, y, z birbirinden farkl rakamlar olmak üzere, 4x 2y 7z ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçt r?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Çözüm: Verilen ifadede rakamlar n farkl olmas istendi inden ve en küçük de er soruldu undan en küçük üç rakam 0,1 ve 2 kullan lmal d r. Küçük de er elde etmek için bu de erler katsay lar n n büyüklük s ras ile ters olacak ekilde seçilmelidir.
Yani x 1, y 2, z 0 seçilirse
4x 2y 7 z 4 1 2 2 7 0
4 4 08 bulunur.
Örnek: x, y ve z birbirinden farkl rakamlard r.
Buna göre, 4x 3y 8z ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçt r?
A) 72 B) 69 C) 68 D) 7 E) 10
Çözüm: Soruda rakamlar n farkl olmas istendi inden ve en küçük de er soruldu undan katsay s pozitif olan bilinmeyenlere küçük, katsay s negatif olan bilinmeyenlere büyük de er verilmelidir Yani, x 0,y 1 ve z 9 seçilmelidir.
4x 3y 8z 4 0 3 1 8 9 3 72 69 bulunur.
DOĞAL SAYILAR
0,1,2,3....... kümesine do al say lar kümesi denir. En küçük do al say “0” d r.
1,2,3....... kümesine pozitif do al say lar kümesi denir. En küçük pozitif do al say veya sayma say s “1” dir.
x,y ifadesi x ve y do al say , x,y ifadesi x ve y pozitif do al say veya sayma say s eklinde okunur.
Örnek: a, b, c, birbirinden farkl do al say lar olmak üzere, a 4b 2c ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçt r?
A) 0 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10
Çözüm: a 4b 2c ifadesinin alabilece i en küçük de er bulunurken, denklemde verilen bilinmeyenlere kat- say lar n n büyüklü ü ile ters olacak ekilde küçük do al say de erleri verilir. En büyük katsay “b” nin oldu u için b 0 , sonra en büyük katsay “c” nin oldu u için c 1 ve son olarak a 2 seçilir. Böylece; a 4b 2c 2 4 0 2 1 4 bulunur.
Örnek:
x,y,z olmak üzere, 3x 2y 4z ifadesinin alabilece i en küçük de er kaçt r?
A) 0 B) 7 C) 9 D) 13 E) 16
Çözüm: x, y, z pozitif tam say lar n n birbirinden farkl oldu u belirtilmedi inden ifadede ayn de er bütün bilinmeyenlere verilebilir. Burada kat say lar n n büyüklü ünün bir önemi yoktur.
Böylece x 1,y 1 ve z 1 seçilirse 3x 2y 4z 3 1 2 1 4 1 9 bulunur.
Örnek:
a ve b do al say lar a b 19 ise a n n alabilece i kaç de er vard r?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
NOT
6
ALE
S M
atem
atik
Çözüm: Toplamlar sabit oldu undan bilinmeyenlerin birisine de er verilip di er bilinmeyenin de eri bulunur.
Yani a b 19 a 0, b 19 a 1, b 18 a 2, b 17 a 19, b 0 bulunur.
Dolay s yla a n n alabilece i 20 de er vard r.
Örnek: x ve y sayma say s ,
x y 23 oldu una göre, y nin alabilece i kaç de er vard r?
A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24
Çözüm: Toplamlar sabit oldu undan bilinmeyenlerin birisine de er verilip di er bilinmeyenin de eri bulunur. Yani x y 23 x 1 , y 22 x 2, y 21 x 22, y 1 Dolay s yla y nin alabilece i 22 de er vard r.
Örnek: a ve b pozitif do al say lard r. a b 20 oldu una göre, a b çarp m n n alabilece i en büyük ve en küçük de erlerin toplam kaçt r?
A) 119 B)115 C) 109 D) 107 E) 100
Çözüm: Toplamlar sabit olan iki pozitif do al say n n çarp m n n en büyük ve en küçük de eri bulunurken birbirine yak n (duruma göre e it seçilebilir) de erler ile birbirinden uzak de erler seçilmelidir. a b 20 a 10, b 10 seçilirse a b 100 a 1, b 19 seçilirse a b 19 olur. Dolay s yla a b nin en büyük de eri 100, en küçük de eri 19 olur. Buradan a b nin alabilece i en büyük ve en küçük de erlerin toplam 100 19 119 bulunur.
Örnek: x ve y do al say
x y 27 oldu una göre, x y çarp m n n alabilece i en büyük ve en küçük de erlerin toplam kaçt r?
A) 208 B) 201 C) 198 D) 186 E) 182
Çözüm: Toplamlar sabit oldu undan x ve y nin birbirine yak n ve birbirinden uzak de erlerine bak lacak olursa,
x y 27 x 13 y 14 seçersek x y 182 x 0 y 27 seçersek x y 0 olur.
Dolay s yla x y nin alabilece i en büyük de er 182 ve en küçük de er 0 olur. Bu de erlerin toplam ise 182 0 182 bulunur.
Örnek: Toplamlar 18 olan farkl iki do al say n n çarp m n n alabilece i en büyük de er kaçt r?
A) 77 B) 78 C) 79 D) 80 E) 81
Çözüm: Toplamlar 18 olan iki say x ve y seçilirse x ile y birbirinden farkl do al say lar oldu undan x 10 ve y 8 seçilir. Böylece x y 80 olur.
Örnek: a ve b do al say
a b 64 ise a b toplam n n alabilece i en büyük ve en küçük de erlerin toplam kaçt r?
A) 82 B) 81 C) 80 D) 79 E) 78
Çözüm: Çarp mlar sabit olan iki do al say n n toplam n n alabilece i en büyük ve en küçük de erler bulunurken say lar birbirine yak n veya birbirinden uzak seçilmelidir. Yani a b 64 a 8, b 8 seçilirse a b 16 a 1, b 64 seçilirse a b 65 olur.
Dolay s yla a b nin alabilece i en büyük de er 65, en küçük de er 16 olur. Bu de erlerin toplam ise 65 16 81 bulunur.
Örnek: Çarp mlar 48 olan iki do al say n n toplam n n alabilece i en büyük ve en küçük de erlerin toplam kaçt r?
A) 63 B) 62 C) 61 D) 60 E) 59
7
Sayılar
Çözüm: Çarp mlar 48 olan iki do al say x ve y olsun. x y 48 x 8, y 6 seçilirse x y 14
x 1, y 48 seçilirse x y 49
Dolay s yla x y nin alabilece i en büyük de er 49, en küçük de er 14 olur. Buradan bu de erlerin toplam 14 49 63 bulunur.
Örnek: x, y ve z birer do al say olmak üzere , x z 5y ise x y z toplam a a dakilerden hangisi olabilir?
A) 20 B) 22 C) 24 D) 27 E) 32
Çözüm: x y z toplam nda x z de eri yerine 5y yaz l rsa x y z
5yx z y 5y y 6y bulunur.
Dolay s yla toplam n n sonucu 6 n n katlar olmal d r. Seçenekler incelenirse cevap 6 n n kat 24 olur.
Örnek:
a,b,c N ve 3a 4b, 5b 6c olmak üzere , a b c toplam a a dakilerden hangisi olamaz?
A) 19 B) 27 C) 38 D) 57 E) 76
Çözüm: Verilen iki e itlikte ortak bilinmeyen “b” oldu undan “a” ve “c” nin de erleri “b” de i kenine ba l olarak yaz lacak olursa
3a 4b 4ba3
5b 6c 5bc6
olur.
Buradan a b c(6)(2)
4b b 5b3 1 6
8b 6b 5b6
19b6
Dolay s yla;
b 6 için a b c 19 b 12 için a b c 38 bulunur.
O halde a b c toplam 19 ve 19 un katlar eklinde bulunur. Yani a b c toplam 27 olamaz.
Örnek:
x ve y do al say 9x 6y
oldu una göre,
x in alabilece i de erler toplam kaçt r?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
Çözüm: 9x 6y
denkleminde paydada verilen bilinmeyene; pay
k sm ndaki say y bölecek ekilde de erler verilip di er de i kenin de erleri bulunur.
Burada y = 1 , 3 , 9 de erlerini alabilir.
9O halde x 6 y 9 için x 1 6 x 54
y 3 içinx 3 6 x 3y 1 içinx 9 6 x 3
x ve y do al say oldu undan x in alabilece i de erler x 5 ve x 3 tür.
Bu de erlerin toplam ise 5 3 8 bulunur.
Örnek:
a ve b do al say lar olmak üzere, 6b 10ab
ise b
nin alabilece i de erler toplam kaçt r?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
Çözüm: Verilen ifade a a daki gibi düzenlenecek olursa,
6b 10ab
6b 10b b
olur.
Buradan 10a 6b
dir.
a ve b do al say oldu undan b ,10 u bölen say lar olmal d r. O halde b nin alabilece i de erler toplam 1 2 5 10 18 bulunur.
Örnek: x ve y do al say d r.
5x 6y 125 e itli ini sa layan kaç tane (x,y) ikilisi vard r?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
Çözüm: 5x 6y 125 e itli inde x ve y de i kenlerinin ilk de erleri bulunur. Daha sonra x in de erleri bulunurken y nin katsay s kadar art r l r (veya azalt l r), y nin de erleri bulunurken x in katsay s kadar art r l r (veya azalt l r).
Yani 5x 6y 125 x 1 ve y 20 x 7 ve y 15 x 13 ve y 10 x 19 ve y 5 x 25 ve y 0 olur. Dolay s yla (1,20) , (7,15) , (13,10) , (19,5) , (25,0) olmak üzere 5 tane s ral ikili bulunur.
8
ALE
S M
atem
atik
TAM SAYILAR
........, 3, 2, 1, 0, 1, 2,....... kümesine tam say lar kümesi denir. Tam say lar kümesi negatif tam say lar kümesi pozitif tamsay lar kümesi ve 0 kümesinin elamanlar n n birle imidir.
1) Negatif Tam say lar:
........ 3, 2, 1 kümesine negatif tam say lar kümesi denir.
Negatif tam say lar kümesi s f ra yakla t kça büyür. En büyük negatif tam say “ 1” dir.
2) Pozitif Tam say lar:
1, 2, 3,....... kümesine pozitif tam say lar kümesi denir.
Pozitif tam say lar kümesi s f ra yakla t kça küçülür.
En küçük pozitif tam say “1” dir.
3) S f r (0) pozitif tam say veya negatif tam say de ildir.
Örnek: x, y ve z negatif tam say d r.
4x 3y 5z ifadesinin alabilece i en büyük de er kaçt r? A) 0 B 8 C) 10 D) 12 E) 22
Çözüm: x, y ve z birbirinden farkl olmad ndan alabilecekleri en büyük negatif tam say de eri 1 dir.
x 1, y 1 ve z 1 seçilirse 4x 3y 5z 4( 1) 3( 1) 5( 1) 12 bulunur.
Örnek: a, b ve c negatif tam say d r.
a b 9
b c 13
oldu una göre , a b c toplam en çok kaçt r?
A) 34 B) 30 C) 27
D) 27 E) 21
Çözüm: Verilen denklemler alt alta toplanarak ortak olan bilinmeyen ( yani b) yok edilecek olursa
a b 9
b c 13a c 22
a c 22 a c 22 olur. c 23 seçilirse a 1 ve b 10 olur. Buradan a b c 1 10 23 34 bulunur.
Örnek: x, y ve z pozitif tam say d r.
3x 2y z 19 ise x y z toplam en az kaçt r?
A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11
Çözüm: x y z nin en küçük de eri alabilmesi için katsay s büyük olan bilinmeyene alabilece i en büyük de er verilerek i lem yap l r. x 5 seçilirse 2y z 4
y 1seçilirse z 2 olur. x y z 5 1 2 8 bulunur.
(x 4, y 3 ve z 1seçilirse de e itlik korunur ve x y z 4 3 1 8 olur. x, y, z’ye verilebilecek di er de erlerde toplam de eri büyür.)
Örnek: a, b ve c farkl pozitif tam say lard r.
5a 3b c 36 ise a b c toplam en çok kaçt r?
A) 26 B) 27 C) 28 D) 29 E) 30
Çözüm: a b c nin en büyük de eri alabilmesi için katsay büyük olan bilinmeyene alabilece i en küçük de er verilerek i lem yap l r. a 1seçilirse 3b c 31 b 2 seçilirse c 25 olur.
Buradan a b c 1 2 25 28 bulunur.
Örnek: x ve y tam say
x y 25 oldu una göre, x y toplam en az kaçt r?
A) 26 B) 10 C) 0 D) 10 E) 26
Çözüm: x ve y tam say oldu undan ifadenin en küçük de erini bulabilmek için x ve y negatif tam say lar seçilmelidir.
O halde x 1ve y 25 seçilirse x y 1 25 26 bulunur.
9
Sayılar
Örnek: x,y,z olmak üzere,
x y 15
y z 20
oldu una göre, x y z toplam en az kaçt r?
A) -12 B) -20 C) -24 D) -36 D) -39
Çözüm: x,y,z tam say oldu undan x y z toplam n n en az olabilmesi için ortak olan bilinmeyene, en büyük negatif tam say de eri verilmelidir. O halde y 1seçilirse x 15 ve z 20 olur. Buradan x y z 15 1 20 36 bulunur.
Örnek: x ve y tam say
15xy 1
oldu una göre y nin alabilece i de erler
toplam kaçt r?
A) 8 B) 2 C) 0 D) 4 E) 8
Çözüm: x in tam say olabilmesi için (y 1) in 15 i bölen bir tam say olmas gerekir.
O halde
y 1 15 y 14 y 1 15 y 16
y 1 5 y 4 y 1 5 y 6
y 1 3 y 2 y 1 3 y 4
y 1 1 y 0 y 1 1 y 2
Buradan y nin alabilece i tamsay de erleri toplam
14 4 2 0 ( 16) ( 6) ( 4) ( 2) 8 bulunur.
TEK VE ÇİFT TAM SAYILAR
Çift Tam Say
Birler basama 0, 2, 4, 6, 8 rakamlar ndan olu an tam say lara çift tam say denir.
“n” tam say olmak üzere çift tam say lar “2n” ile gösterilir. Çift tam say lar kümesi ......... 4, 2,0,2,4, .....,2n,...... eklinde gösterilir.
ÖRNEK
216, 48, -380, -54, 58792… birer çift tam say d r.
Tek Tam Say
Birler basama 1, 3, 5, 7, 9 rakamlar ndan olu an tam say lara tek tam say denir.
“n” tam say olmak üzere tek tam say lar ” 2n 1” ile gösterilir. Tek tam say lar kümesi ........., 5, 3, 1,1,3,5,.....,2n 1,...... eklinde gösterilir.
ÖRNEK
21, 483, 5475, -647, -1239 …birer tek tam say d r.
Tek ve Çift Tam Say lar Aras ndaki lemler
Ç Çift tam say , T Tek tam say olmak üzere
1) ki çift tam say n n toplam ve fark daima çift tam say d r.
Ç Ç Ç , Ç Ç Ç dir.
2) ki tek tam say n n toplam ve fark daima çift tam say d r.
T T Ç , T T Ç dir.
3) Bir çift tam say ile bir tek tam say n n toplam ve fark daima tek tam say d r.
T Ç T , T Ç T dir.
4) ki veya daha fazla tam say dan en az biri çift tam say ise çarp mlar daima çift tam say d r.
Ç Ç Ç
T Ç Ç dir.
5) ki veya daha fazla tek tam say n n çarp m daima tek tam say d r.
T T T dir.
6) Tek tam say lar n veya çift tam say lar n bölümü için kesin yarg larda bulunulamaz.
Tek veya çift olma, tam say lar için geçerlidir. Rasyonel say lara tek veya çift say denemez.
ÖRNEK
18 36
(Tek say )
24 64
(Çift say )
30 512 2
(Tek veya çift de ildir)
7) Çift tam say lar n bütün pozitif tam say kuvvetleri çift tam say d r.
n olmak üzere nÇ Ç dir.
10
ALE
S M
atem
atik
Çift say lar n kuvveti pozitif tam say olmal d r. Çift say lar n kuvveti s f r veya negatif olursa ifade çift say belirtmez.
ÖRNEK
6 bir çift tam say ise 336 çift tam say 8 bir çift tam say ise 1008 çift tam say (-10) bir çift tam say ise 73( 10) çift tam say
ÖRNEK
2 çift tam say olmak üzere 1010
122
bir rasyonel
say d r. Tek tam say veya çift tam say de ildir. 4 çift tam say olmak üzere o4 1 tek tam say d r.
8) Tek tam say lar n bütün do al say kuvvetleri tek tam say d r. n N olmak üzere nT T dir.
ÖRNEK
3 tek tam say ise 453 tek tam say 7 tek tam say ise 2067 tek tam say
ÖRNEK
5 tek tam say ise 4848
155
bir rasyonel say d r. Tek tam
say veya çift tam say denilemez.
Örnek:
A a dakilerden hangisi çift tam say d r?
A) 43 77
3 5 B) 88 44 83
4 6 9
C) 100 200
2 7 5 D) 8 43
12 17
E) 33888
8 3 2
Çözüm: Verilen üslü say larda tabandaki say lar n tek veya çift tam say oldu u biliniyor ise kuvvetlerine bak l r. Kuvvetleri pozitif tam say ise kuvvetler silinerek i lem yap labilir.
A) 43 773 .5 3 5 15 tek tam say
B) 88 44 834 6 9 4 6 9 19 tek tam say
C) 100 2002 7 5 2 7 5 9 tek tam say
D) 8 4312 17 ifadesinde kuvvet, negatif tam say oldu undan kesin bir yorum yap lamaz.
E) 888 338 3 2 8 3 2 26 çift tam say
Örnek: x tek tam say ise a a dakilerden hangisi veya hangileri tek tam say d r?
I. 5 3x x
II. 233x 4x 1
III. 26x 4x 1
IV. 77x 3
V. 16x 2
A) I ve II B) I ve IV C) II ve III
D) III ve V E) IV ve V
Çözüm: Say n n tek veya çift tam say oldu u belirtildi inde, bilinmeyen yerine tek veya çift tam say de eri verilebilir.
x 1seçilirse;
I. 5 3x x 1 1 2 çift tam say
II. 3 23x 4x 1 3 4 1 8 çift tam say
III. 26x 4x 1 6 4 1 1 tek tam say
IV. 77x 3 1 3 2 çift tam say
V. 16x 2 1 2 3 tek tam say
Dolay s yla III ve V tek tam say d r.
Örnek:
a, b, c birer tam say ve a b 4c 3 oldu una göre a a dakilerden hangisi kesinlikle do rudur?
A) a b tek tam say d r.
B) a b çift tam say d r. C) a c çift tam say d r.
D) b c tek tam say d r.
E) a b c çift tam say d r.
Çözüm: a b 4c 3 ifadesinde 4c daima bir çift tam say d r. O halde 4c 3 bir tek tam say olur. Böylece
a b 4c 3 a b tek tam say d r
a tek, b tek tam say d r
Seçenekler incelenirse a b T T Çift tam say bulunur.
UYARI
11
Sayılar
Örnek: a, b, c birer do al say olmak üzere,
a 8b 4c 1
oldu una göre, a a dakilerden hangisi
kesinlikle do rudur?
A) a çift tam say d r. B) b tek tam say d r. C) a tek, c çift tam say d r. D) b çift, c çift tam say d r. E) a çift ise b çift tam say d r.
Çözüm:
a 8b 4c 1
ifadesinde içler d lar çarp m yap l rsa
a 8b 4c 4 olur. Bu ifadede 8b ve 4c 4 daima bir çift tam say d r. Dolay s yla a çift tam say olmal d r.
POZİTİF VE NEGATİF SAYILAR
S f rdan küçük say lara negatif say lar denir.
x negatif say ise " x 0" eklinde gösterilir.
S f rdan büyük say lara pozitif say lar denir.
x pozitif say ise " x 0" eklinde gösterilir.
S f r pozitif veya negatif say de ildir.
Pozitif Ve Negatif Say larAras ndaki lemler
1) Pozitif say lar n toplam daima pozitiftir.
x 0
x y 0y 0
d r.
2) Negatif say lar n toplam daima negatiftir.
x 0
x y 0y 0
d r.
3) Z t i aretli say lar n toplam için kesin bir yarg da bulunulamaz. Sonuç, say sal de erce büyük olan n i aretini al r.
x 0x y 0 , x y 0 ,x y 0
y 0d r.
4) Ayn i aretli iki say n n çarp m veya bölümü daima pozitiftir.
x 0x y 0
y 0ve x 0
yd r.
x 0y 0
x y 0 ve x 0y
d r.
5) Z t i aretli iki say n n çarp m veya bölümü daima negatiftir.
x 0y 0
x y 0 ve x 0y
d r.
6) Pozitif say lar n bütün kuvvetleri pozitiftir.
n bir tam say x pozitif say olmak üzere nx daima pozitiftir.
ÖRNEK
3 0 oldu undan 523 0
2 0 oldu undan 88
12 02
d r.
7) Negatif say lar n;
a) Çift tam say kuvvetleri daima pozitiftir.
b) Tek tam say kuvvetleri daima negatiftir.
ÖRNEK
( 4) 0 oldu undan 2( 4) 16 0
( 3) 0 oldu undan 3( 3) 27 0 d r.
Negatif say lar n çift kuvvetleri al n rken kuvvetin parantezin içinde veya d nda olmas na göre sonuç de i ir.
ÖRNEK
( 2) 0 oldu undan 2( 2) 4 0
( 2) 0 oldu undan 2( 2 ) 4 0 olur.
Dolay s yla; 2 2( 2) ( 2 ) dir.
UYARI
12
ALE
S M
atem
atik
Örnek: a, b, c reel say lard r.
78a b 0
5 3b c 0
3a c 0
e itsizliklerine göre a, b, c nin i aretleri s ras yla a a dakilerden hangisidir?
A) , , B) , , C) , , D) , , E) , ,
Çözüm: Verilen ifadelerde çift kuvvetli say lar tamamen silinir. Geriye kalan say lardan tek kuvvete sahip olanlar n kuvvetleri yokmu gibi i lem yap l rsa
8a 7b 0 b 0
5b 3c 0 b c 0 ve b 0 oldu undan c 0 olur.
3a c 0 a c 0 ve c 0 oldu undan a 0 olur.
Dolay s yla a, b, c nin i aretleri s ras yla , , bulunur.
Örnek:
a 0 b ifadesine göre, a a dakilerden kaç tanesi kesinlikle pozitiftir? I. a b II. a b III. b a IV. 2 3a b V. 2a 3b
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Çözüm: a 0 b ifadesinde a ve b i aretlidir.
I. a b ( ) ( )
II. a b ( ) ( ) için kesin bir ey söylenemez.
III. b a ( ) ( ) ( ) ( )
IV. 2 3 2 3a b ( ) ( ) ( ) ( )
V. 2a 3b 2( ) 3( ) ( ) ( ) bulunur.
Buradan III. ve IV. öncüller kesinlikle pozitiftir. O halde verilen ifadelerden 2 tanesi kesinlikte pozitiftir.
Örnek:
x y 0 z ifadesine göre a a dakilerden hangisi daima pozitiftir?
A) x yz
B) x zy
C) y zx
D) z yx
E) y xz
Çözüm: x, y ve z için s ralama verildi inden bilinmeyenlerin yerine say sal de erler verilebilir. x y 0 z ise x 2 , y 1ve z 2 seçilebilir. Seçilen de erler seçeneklerde yerine yaz lacak olursa
A) x y 2 1z 2
32
(Negatif)
B) x z 2 2y 1
0 01
( aretsiz)
C) y z 1 2 1x 2 2
(Negatif)
D) z y 2 ( 1)x 2
2 1 32 2
(Negatif)
E) y x 1 ( 2)z 2
1 2 12 2
(Pozitif)
Dolay s yla A, C, D seçenekleri negatif, B seçene inin pozitifli i veya negatifli inden bahsedilemez. E seçene i daima pozitif bulunur.
Örnek: a pozitif b ve c negatif tam say d r.
Buna göre, a a dakilerden hangisi s f r olabilir?
A) a b c B) a b a c C) a b c D) a b c E) a c b
Çözüm: a pozitif b ve c negatif tam say oldu undan
a , b , c i aretli olmal d r.
lemin sonucunun s f r olabilmesi için ifade z t i aretli say lar n toplam eklinde yaz labilmelidir. Buna göre,
A) a b c ( ) ( ) ( )
B) a b a c a(b c) ( ) ( )
C) a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
D) a b c ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
E) a c b ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) oldu undan E seçene indeki ifade s f r olabilir.