1. matematiČka osnovica teorije linearnog · pdf filedodatak 6 1.2. matematička logika...
TRANSCRIPT
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
1
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
Iz široke matematičke osnovice teorije linearnog programiranja za njezino bolje
razumijevanje izdvojit će se :
1. Osnovni matematički pojmovi
2. Matematička logika
3. Algebarske strukture
4. Vektorski prostori
1.1. Osnovni matematički pojmovi
1.1.1. Pristup definiciji osnovnih matematičkih pojmova
Osnovni matematički pojmovi se definiraju po pravilima definiranja bilo kakvih
pojmova1 a koja utvrđuje posebna grana znanosti logika.2
Definicija nekog pojma se u logici određuje (definira) na sljedeći način:3
"Sud kojim se nedvosmisleno određuje sadržaj4 jednog pojma naziva se definicija."
Elementi (dijelovi) definicije su:
1. definiendum kao pojam čiji se sadržaj definicijom određuje,
2. definiens kao pojam pomoću kojeg se u nekoj definiciji određuje definiendum,
Tako u definiciji "Brucoš je student prve godine" definiendum je brucoš, a definiens je
student prve godine.
3. genus proximum (najbliži rod) je dio definiensa i predstavlja najbliži viši pojam5 koji
obuhvaća definiens, tj. prvi "viši" pojam,
1 Pojam je misao o biti onoga o čemu mislimo, tj. misao o bitnim karakteristikama onoga što
mislimo. (tako npr. je pojam brucoša misao o biti ili o bitnim karakteristikama brucoša)
(G.Petrović, Logika, Školska knjiga, Zagreb, 1989, str.23). 2 Logika je filozofska disciplina o oblicima valjane misli i o metodama spoznaje (G.Petrović,
op.cit., str.15) 3 G.Petrović, op.cit., str.137. 4 Sadržaj je skup bitnih oznaka pojma. (G.Petrović, op.cit.,str.24.) Broj oznaka nekog pojma
zavisi od toga koliko smo daleko otišli u analizi nekog pojma, jer je svaka oznaka pojam čiji
sadržaj možemo utvrđivati. 5 Niži pojmovi koji podpadaju pod jedan viši pojam čine njegov opseg.
(G.Petrović,op.cit.,str.24.) Opseg se utvrđuje postupkom kojeg nazivamo divizija ili dioba. Pojam
čiji se opseg diobom utvrđuje naziva se osnova divizije ili totum divizionis, načelo (kriterij) po
kojem se dioba vrši naziva se osnova diobe ili fundamentum divisionis, a pojmovi koji se diobom
DODATAK
2
4. differentia specifica (vrsna razlika) je ono po čemu se jedan pojam razlikuje od drugih
pojmova koji potpadaju pod isti najbliži rodni pojam.
U definiciji "Brucoš je student prve godine" genus je student, a differentia specifica prve
godine.
Na kraju se može reći da je glavni zahtjev za valjanu definiciju da se ona formulira
pomoću najbližeg roda i vrsne razlike.
1.1.2. Deduktivnost matematike, aksiomi i poučci
Danas je čest slučaj, dok u prošlosti rjeđe, da se cjelokupno znanje u nekoj matematskoj
grani ustroji i razvija u strogo deduktivnom smislu, koji pretpostavlja uvođenje pojma
aksioma.
Naime svaka se matematička grana6 ( ne matematika kao cjelina) može izgraditi prema
uzoru što su nam ga ostavili stari Grci, i to prvenstveno kroz djelo Euklida (r. 365
god.p.n.e.) "Elementi", gdje je na takav način ustrojeno cjelokupno tadašnje poznavanje
matematike, a što je značilo u prvom redu geometrije. Iz tih se razloga, geometrija koja je
ustrojena u tom djelu, a odnosi na "očigledne" gemetrijske odnose realnog svijeta, naziva
i Euklidova geometrija.
Svaki takav način izgradnje novih područja ljudske misli (matematike posebice), odnosno
povezivanja već poznatih dijelova, nazivamo deduktivna metoda7 u užem smislu, i ona je
od posebne važnosti za razvoj kako matematike tako i drugih znanstvenih područja.
Razumije se da i indukcija 8 ima veliko značenje u izgradnji matematike jer nam pomaže
da dođemo do osnovnih pojmova i aksioma kao i dijela poučaka i izvedenih pojmova.
Svako matematičko područje koje je struktuirano poput Euklidove geometrije naziva se
aksiomatski sustav, koji se sastoji od:9
dobivaju nazivaju se članovi diobe ili membra divisionis. Složeni sistem u kojem je čitavo jedno
područje ljudskog znanja sređeno pomoću divizija (različitih razina) naziva se klasifikacija.
(G.Petrović, op.cit., str.143-145). Treba istaći da svaki pojam koji je u okviru neke divizije
dobiven kao član diobe, može u nekom drugom postupku divizije postati ishodište nove divizije. (
Studenti trebaju dati primjer za diviziju pojma brucoš !!) 6 Posebice u okviru pristupa matematici koji se naziva formalizam. 7 Svaka se izgradnja nekog područja znanosti pri čemu se ne pozivamo na zor ili zapažanje naziva
deduktivna. Dedukcija je naime metoda kojom se iz općih načela (koje smo prihvatili) izvode
pojedinačni zaključci, specijalni slučajevi, nužne posljedice. 8 Polaženje od pojedinačnog k općem. 9 M. Radić, op.cit., str. 3.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
3
1. skupa osnovnih (primitivnih) pojmova (koje ne definiramo),10
2. skupa aksioma (nedokazane početne tvrdnje ili pretpostavke), zakona logike,
3. skupa poučaka koji slijede iz aksioma i skupa definicija novih (izvedenih,
neprimitivnih) pojmova na temelju zakona logike
Tvrdnje (sudovi) koji se prihvaćaju kao istiniti (bez dokaza), a služe kao polazna točka
za primjenu deduktivne metode, nazivaju se osnovne tvrdnje ili aksiomi.
Tvrdnje (sudovi) koji su pomoću (deduktivnih) pravila logike izvedeni iz aksioma
nazivaju se poučci.11
Npr. tvrdnju da "Iza svakog prirodnog broja dolazi prirodni broj." uzimamo kao aksiom,
dok tvrdnju da "Prostih brojeva ima beskonačno mnogo." izvodimo iz tog i/ili drugih
aksioma i poučaka, i time je ta tvrdnja poučak.12
Najosjetljivije pitanje je izbor osnovnih pojmova i aksioma. Tako npr. zahvaljujući
analizi naizgled neadekvatnog 13 uvrštavanja jedne tvrdnje kao 5. postulata u Euklidovim
"Elementima", došlo se do spoznaje o mogućnosti razvoja "novih matematika", u prvom
redu tzv. neeuklidskih geometrija, kao i raznih "novih" algebri.
Svaki aksimatski sustav mora imati neka svojstva, tj. ispunjavati neke uvjete i to:14
1. konzistentnost,
2. potpunost,
3. nezavisnost.
Prvi zahtjev je bezuvjetan, drugi vrlo strog, a treći nešto blaži.
"Za aksimatski sustav kažemo da je konzistentan (neproturiječan), onda i samo onda ako
ne postoji kontradikcija, niti između aksioma, niti između poučaka. Dakle ne smiju
postojati dvije tvrdnje koje međusobno proturiječe (ono što jedna tvrdi, druga poriče).
Konzistentnost aksimatskog sustava obično se utvrđuje tako da se navodi neki konkretan
model 15 čiji su elementi i relacije specijalne interpretacije nedefiniranih pojmova
10 Sardžaj osnovnih pojmova je implicite sadržan u aksimatskom sustavu u definiranim pojmovima
i poučcima. 11 Naravno da se poučci izvode i iz drugih već izvedenih poučaka. 12 M. Radić, Algebra I dio, Školska knjiga, Zagreb, 1970., str.2. 13 Na temelju kriterija očiglednosti. 14 G. Petrović, op.cit., str.176. 15 Dvije teorije koje imaju jednaku strukturu ili formu nazivamo izomorfnim (iste strukture). Dvije
ili više izomorfnih teorija možemo prikazati istim aksiomatsim sustavom. Jednu konkretnu teoriju
možemo nazvati modelom ako je promatramo u odnosu na aksiomatski sustav koji ju prikazuje.
DODATAK
4
apstraktnog sustava čiju konzistentnost želimo dokazati. Naime, "ako sustav aksioma nije
konzistentan, možemo dokazati bilo koji sud koji nam padne na pamet."16
Za aksiomatski sustav kažemo da je potpun, ako svaku trvrdnju, koja uključuje
nedefinirane objekte i relacije dotičnog aksimatskog sustava, možemo provjeriti (utvrditi)
je li ona istinita ili lažna (koristeći se pritom aksiomima tog sustava). Može se utvrditi da
je neki sustav aksioma potpun, onda i samo onda, ako su svi modeli toga sustava
međusobno izomorfni.
Za aksiome sustava kažemo da su nezavisni ako nijedan od njih nije logička posljedica
ostalih, tj. ako se nijedan od njih ne može izvesti kao poučak iz ostalih aksioma toga
sustava. Da bismo utvrdili jesu li aksiomi nekog sustava nezavisni, treba navesti toliko
modela, koliko je aksioma."17
Aksimatski sustav čiji su aksiomi međusobno zavisni može biti i konzistentan i potpun.
Treba istaći da je GODEL (Austrijanac) (1906.-1978.), 1931. objavio djelo u kojem
dokazuje:
1. svaki neproturiječni formalni sustav sadrži istinitu tvrdnju koja se u njemu samome
ne može dokazati (sustav je nepotpun),
2. neki sustav ako jest neproturiječan nužno je takav da se ta neproturiječnost unutar
istog sustava ne može dokazati,
3. slijedi da "Nema takvog sustava koji bi bio i neproturiječan i potpun".
Aksimatizirajući jednu teoriju, uvijek osiromašujemo njen konkretan smisao.
Aksiomatski ju prikazujući, prisiljeni smo da sadržaj njenih osnovnih pojmova svedemo
na samo nekoliko oznaka koje fiksiramo aksiomima. Na taj način "konkretni" sadržaj
teorije u velikoj se mjeri smanjuje, ali bitni odnosi među njezinim osnovnim pojmovima
postaju pregledniji i jasniji.
Aksiomatizacijom prelazimo od jedne konkretne teorije aksiomatskom (općem,
apstraktnom) sustavu. Isto tako kad već imamo aksiomatski suatav, možemo od njega
prijeći u obrnutom pravcu-različitim konkretnim teorijama. Ovaj postupak obrnut od
aksiomatizacije nazivamo tumačenjem ili interpretacijom.
Posebice treba istaći, da se poučci unutar neke matematičke grane mogu formulirati i
dokazivati i bez uvođenja pojma aksioma, a matematički pojmovi uvoditi i bez pojma
osnovnih pojmova, tj. matematika se može razvijati i bez aksiomatskog pristupa. To je
uostalom bio pretežiti način razvoja u prošlosti, a danas se tako matematika razvija unutar
niza pravaca koji su suprostavljeni tzv. formalizmu koji aksimatski pristup uzima kao
jedini valjan.
Kako isti aksiomatski sustav može prikazivati više izomorfnih teorija, proizlazi da isti askiomatski
sustav može imati više modela. 16 G. Petrović, op.cit., str.177. 17 M. Radić, op.cit., str.5-6.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
5
1.1.3. Poučci i njihovo dokazivanje
Poučci su matematske tvrdnje (sudovi, propozicije) koji najčešće imaju formu implikacije
ili ekvivalencije.
U formulaciji poučaka razlikujemo dva dijela: pretpostavku ili hipotezu i tvrdnju ili tezu.
Npr. u poučku "Ako je neki broj paran, i njegov kvadrat je paran"18 "Ako je neki broj
paran" je hipoteza, a "njegov je kvadrat paran"19 je teza.
Zakoni su poučci koji imaju veće značenje.
Leme su pomoćni poučci (koriste se kod dokaza složenijih poučaka).
Korolari su (neposredne) posljedice nekog poučaka.
Istinitost poučaka utvrđujemo dokazom.20
Dokazi se mogu klasificirati (razvrstati, izvršiti diobu) na više načina ovisnu o kriteriju
klasifikacije (tj. ovisno o osnovi diobe). Tako razlikujemo dvije grupe dokaza:
Izravni i neizravni dokaz, i
Regresivni i progresivni dokaz.
Kod izravnog dokaza polazi se od pretpostavke (hipoteze), aksioma i dokazanih poučaka
te uz pomoć logičkih pravila, izvodi istinitost teze.
Kod neizravnog dokaza zadatak je da se utvrdi kako bi protivno od onoga što se tvrdi u
tezi, dovelo do protuslovlja, bilo s pretpostavkom ili aksiomima i već dokazanim
poučcima, pa stoga ne može biti.
Ako u poučku, ono što treba dokazati uzmemo kao istinito i iz toga izvodimo nove
zaključke, sve dok ne dođemo do tvrdnje koja očigledno vrijedi, onda kažemo da smo u
dokazu koristili regresivno zaključivanje.
Ako u dokazu poučka pođemo od neke istinite tvrdnje i odatle izvodimo zaključke sve
dok ne dođemo do onoga što se tvrdi, kažemo da smo se u dokazu koristili progresivnim
zaključivanjem.21
Iza dokaza poučka često se piše Q.E.D.. To je kratica latinske izreke quod erat
demonstrandum (tj. što je trebalo dokazati).
18 Vrijedi i obrat tog poučaka. 19 Tj. kvadrat parnog broja je također paran. 20 Način dokazivanja je u načelu intuitivan, a isti se poučak može dokazivati (unutar jednog
aksimatksog sustava ili unutar jedne neaksimatizirane matematičke grane) na više načina. U već
spomenutom matematičkom pravcu formalizmu, imamo strogo utvrđeni postupak dokazivanja. 21 Ponekad se u matematici jednako primjenjuje i jedan i drugi postupak..
DODATAK
6
1.2. Matematička logika
Osnovni pojam u matematičkoj logici je (elementaran) sud ili propozicija.
Ukoliko razvijamo matematsku logiku kao aksimatski sustav, tada se pojam suda uzima
kao osnovni (nedefinirani) pojam. U suprotnom se sud može definirati na više načina,
kao npr.:
1. u strogo logičkom smislu "Sud je spoj pojmova kojim se nešto tvrdi ili poriče.",
2. u nešto blažoj formi "Sud ili propozicija je svaka smislena rečenica (tvrdnja) u kojoj
se nešto tvrdi, ako je ono što se tvrdi ili istinito ili neistinito (lažno), ali ne i oboje, tj.
istovremeno i istinito i neistinito.22
Tako imamo sljedeće primjere za istinite sudove:
-Brucoši su studenti prve godine.
-Zagreb je glavni grad Hrvatske.
Za neistinite sudove imamo:
-Broj 2 132 je prost broj.
-Studenti upisuju fakultete isključivo zato da bi stekli odgovarajuće znanje.
Sljedeći primjer je za tvrdnju (rečenicu) koja nije smislena pa zato nije sud:
-Romboidni vrapci letjeli su plosnatim nebom.
Sudovi se obilježavaju na dva moguća načina:
1. malim slovima i to: p,q,r,...
2. velikim slovima i to: A,B,C,...
Polazeći od nekog suda može se formirati novi sud koji zovemo negacija tog suda, ako
ono što sud tvrdi, njegova negacija poriče, i obrnuto.
Negacija nekog suda p se notira (bilježi) s p i čita se : nije p ili non p ili ne p.
Za negaciju se može sastaviti Tablica istinitosti:
p p
T
T
gdje je:
22 Ovdje bi se mogao navesti i dopunske kriterije koje je razvila skolastička logika u Indiji,
posebice u okviru budizma i đainizma, kao što je da sud može biti ni istinit ni neistini. Sličan
pristup imaju novovjekovni matematičari-logičari smjera intuicionizam kod kojih općenito ne
vrijedi zakon isključenja trećeg.. Kod njih ne vrijedi niti da je negacija negacije=afirmacija.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
7
T= istinito, istina, "te" (od engleskog "Thrue")
neistinito, laž, "ne te"
Ako je sud istinit, njegova je negacija neistinita (lažna), i obratno, ako je sud neistinit,
njegova je negacija istinita.
Slijedi da treba prihvatiti načelo isključenja trećeg kao temeljnog načela matematičke
logike, ali i logike uopće, koji se može formulirati i kao aksiom i to:
"Sud je ili istinit ili neistinit, ali ne i oboje (istinit i neistinit)."
Na osnovi elementarnih sudova i njihovih negacija mogu se stvarati novi složeni sudovi.
Najvažniji složeni sudovi su sljedeći:
1. Konjunkcija
Ako su A i B sudovi, tada složeni sud ostvaren povezivanjem sudova A i B veznikom i,
tj. sud
A i B, nazivamo konjunkcijom sudova A i B. Umjesto A i B, obično se pšiše: A & B ili
A B (čitajte: A et B, ili A i B).
Sud A i B je istinit onda i samo onda ako je istinit i sud A, i sud B. Tablica istinitosti toga
suda glasi:
A B A & B
T T T
T
T
Primjer za konjunkciju: Danas idem u kino i nakon toga u šetnju.
2. Disjunkcija
a) Inkluzivna disjunkcija
Ako su A i B sudovi, tada (složeni) sud A ili B (pri čemu dopuštamo mogućnost da bude
i A i B) nazivamo disjunkcijom (inkluzivnom disjunkcijom). Simbol za (inkluzivnu)
DODATAK
8
disjunkcijom je (čitajte: vel). (Vel je latinska riječ koja ima značenje inkluzivnog ili).
Prema tome, sud
A B
znači A ili B (ili oboje).
Sud A B je istinit onda i samo onda ako je istinit barem jedan od sudova A i B.
Tablica istinitosti toga suda glasi:
A B A B
T T T
T T
T T
Npr. Danas nakon predavanja idem u kino ili u šetnju.
b) Ekskluzivna disjunkcija
Sud A B (ali ne i oboje, i A i B) nazivamo eksluzivnom disjunkcijom (alternativom).
Znak za eksluzivnu disjunkcijom je . Sud A B je, dakle, istinit onda i samo onda
ako je istinit samo jedan od sudova A i B (ali ne i oba). Tablica istinitosti glasi:
A B A B
T T
T T
T T
Npr. Danas nakon predavanja idem ili u šetnju ili u kino. (Samo jedno od toga može biti
istinito)
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
9
3. Implikacija
Ako su A i B sudovi, tada složeni sud
Ako je A, onda je B
nazivamo implikacija. Taj sud kraće pišemo:
A B
a čitamo: A implicira B, ili A povlači B, Iz A slijedi B, A je dovoljan uvjet za B, B je
nužan uvjet za A. Simbol (čitajte: implicira, ili povlači)
Sud A B lažan je samo ako je A istinit sud, a B lažni sud. Tablica istinitosti glasi:
A B A B
T T T
T
T T
T
Primjer za implikaciju: Ako imam najviše dva nepoložena ispita, onda upisujem višu
godinu.
Kako u načelu, tako i u ovom konkretnom primjeru, naizgled nije "normalno" da iz
lažnog A, slijedi istinit B. No, sud A B ne tvrdi, niti da B mora biti (egzistirati), niti
da B ne smije biti, ako nije A. Uz to svaki je sud ili istinit, ili neistinit pa tako i takva
implikacija, i želimo li operirati sa sudovima, moramo prihvatitit takve implikacije ili
istinitim, ili lažnim. Pokazalo se svrsishodnim da budu istinite.23
4. Ekvivalencija
Ako su A i B sudovi, tada složeni sud
( ) & ( )A B B A
tj. sud
23 No, ostaje činjenica da u svakidašnjem životu implikaciju doživljavamo kao oblik misli
(stava) da A predstavlja nužan i dovoljan uvjet (prepostavku) za B.
DODATAK
10
Ako je A, onda je B i ako je B, onda je A
nazivamo ekvivalencijom i kraće ga pišemo ovako
A B
(čitajte: A je ekvivalentan B). Simbol ( čita se ekvivalentno) znak je ekvivalencije.
Ekvivalencija se može čitati i na dva načina:
1. A je onda i samo onda ako je B.
2. A je nužan i dovoljan uvjet za B.24
Tablica istinitosti ekvivalencije glasi:
A B A B
T T T
T
T
T
Primjer za ekvivalenciju: Upisujem višu godinu studija ako i samo ako (akko) imam
najviše dva nepoložena ispita.
5. Tautologija
To je složen sud koji je uvijek istinit, neovisno o istinitosti njegovih sastavnih sudova
(dijelova, komponenata).
Primjeri za tautologiju:
1. BABA
BABA
)&(
&)(
24 Ekvivalencija je zapravo ona forma implikacije koja se primjenjuje u svakidašnjem životu, a
koja se shvaća kao relacija tipa uzrok-posljedica gdje jedna posljedica ima samo jedan uzrok.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
11
2. U logici osnovu valjanih shema zaključaka čine tautološki složeni sudovi. Činjenicu
da u valjanom zaključku premise impliciraju konkluziju izražamo sljedećim sudom:
( ) )p q p q
Tablica istinitosti tog suda glasi:
p q p q ( )p q p ( ) )p q p q
1.3. Algebarske strukture
Elementi nekog skupa mogu imati razne značajke od kojih neke ovise od operacija25 koje
se nad njima izvode, a neke ne.
Osobine koje elementi nekog skupa S imaju u odnosu na neke operacije
121 ,...,, nfff su u širem smislu obuhvaćene pojmom algebarske strukture. Naime, takav
skup i uočene operacije mogu se izdvojiti u zasebnu cjelinu koju nazivamo algebarska
struktura. Ovu strukturu shvaćamo kao uređenu n torku 121 ,...,,, nfffS .
Ukoliko se osobine elemenata posmatraju i u odnosu na neke relacije, tada se ovakvi
sustavi nazivaju operacijsko-relacijske strukture (matematičke strukture).
U ovom izlaganju iznijet će se samo neke algebarske strukture, i to samo njihova osnovna
svojstva. Izdvojit će se one algebarske strukture koje su potrebite za preciznije definiranje
25 Relacije između dva objekta se nazivaju binarne relacije. Relacije koje ispunjavaju uvjet da
svaki element nekog skupa A bude u relaciji s točno jednim elementom nekog skupa B nazivaju
se preslikavanja (funkcije). Nadalje svako preslikavanje uređenih n torki formiranih od
elemenata nekog skupa A u elemente tog istog skupa određuje operaciju na skupu A . Ukoliko
imamo uređeni par tada takvu operaciju nazivamo binarna operacija.
DODATAK
12
pojma vektorskog prostora, odnosno strukture koje imaju dvije ili tri operacije. O
svojstvima pojedinih opoeracija u zadanom skupu ovisi tip algebarske strukture.
Kada je riječ o strukturama sa samo dvije ili tri operacije, tada se često za njihovo
označavanje umjesto oznaka f koriste druge oznake. Tako imamo sljedeće oznake za
operacije: ,*, SS ,,, , itd. koje će se po potrebi također koristiti.
1.3.1. Algebarske strukture sa dvije operacije
1. Grupoid (monoid)
Neka je S neprazan skup i na njemu definirana binarna operacija S . Ukoliko za tu
operaciju vrijedi definicija zatvorenosti riječima u skupu S za svaki uređeni par
elemenata bia iz S , tada algebarsku strukturu SS , zovemo grupoid. Drukčije
rečeno, neki uređeni par SS , je grupoid (monoid) ukoliko vrijedi
)))()(,( zyxSzSyx S .
Primjer 1.
),(),( NN NiN su grupoidi, u kojima je N skup svih prirodnih brojeva, a NN i
operacije zbrajanja i množenja u skupu svih prirodnih brojeva N .
Primjer 2.
Struktura ),( NN nije grupiod jer npr. za 3,1 yx kao rezultat operacije N
(oduzimanje prirodnih brojeva) nad uređenim parom Nyx ),( imamo broj 2 koji
nije prirodan broj.
2. Polugrupa
Ako je operacija S grupoidna i asocijativna, tada kažemo da je grupoid SS ,
asocijativan i zovemo ga polugrupa. Odnosno, algebarska struktura SS , je polugrupa
ako za operaciju S vrijedi:
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
13
1. )))()(,( zyxSzSyx S (grupoidnost)
2. ))()((),,( zyxzyxSzyx SSSS (asocijativnost)
Primjer 1.
Grupoidi ),(),( NN NiN su polugrupe jer su u skupu N , operacije NN i
asocijativne.
Primjer 2.
Grupoid ),( ZZ nije asocijativan jer oduzimanje Z u skupu cijelih brojeva Z nije
asocijativno što znači da taj grupoid nije polugrupa.
Grupa
Polugrupa SS , s neutralnim elementom zove se grupa ako za svaki element skupa
S postoji u S inverzni element, odnosno SS , je grupa ako vrijedi:
1. )))()(,( zyxSzSyx S (grupoidnost)
2. ))()((),,( zyxzyxSzyx SSSS (asocijativnost)
3. )()()( xxeexSxSe SS (egzistencija neutralnog
elementa)
4. ))(()( 111 exxxxSxSx SS (egzistencija inverznog
elementa)
Ukoliko još vrijedi
)(),( xyyxSyx SS (komutativnost)
tada kažemo da je grupa SS , komutativna ili Abelova grupa.
Primjer 1.
Polugrupa ),( ZZ je grupa i to Abelova grupa.
Dokaz:
DODATAK
14
Suma bilo koja dva cijela broja je cijeli broj. Zbrajanje u skupu cijelih brojeva je
asocijativna operacija. Neutralni element 0e , a za svaki cijeli broj x imamo inverzni
element xx 1, jer 0)()( xxxx . Time je pokazano da je ),( ZZ
grupa.
Kako je zbrajanje cijelih brojeva komutativna operacija, slijedi da je ),( ZZ Abelova
grupa.
Primjer 2.
Uređeni parovi
):,(),,(),,(),:,(),,(),(),:,(),,(),,(),,( RRRZZZNNNN RRRZZZNNNN
nisu grupe, ali je zato ),0( RR grupa.
1.3.2. Algebarske strukture s dvije operacije
1. Prsten
Uređena trojka ),,( SSS je prsten ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. ),( SS je komutativna grupa
2. ),( SS je polugrupa
3. )()()(()()()((),,( zxyxzyxzyzxzyxSzyx SSSSSSSSSS
(desna i lijeva distributivnost S prema S ).
Primjer 1.
Uređena trojka ),,( ZZZ je prsten.
Dokaz:
1. već je pokazano da je ),( ZZ Abelova grupa.
2. dokazano je također da je ),( ZZ polugrupa.
3. za cijele brojeve vrijede lijevi i desni zakon distribucije Z prema Z :
zxyxzyx ZZZZZ )( i zyzxyx ZZZZZ )(
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
15
Primjer 2.
Uređena trojka ),,( ZZZ nije prsten, obzirom da ),( ZZ nije grupa jer nema
inverznog elementa.
Tijelo
Uređena trojka ),,( SSS je tijelo ako su zadovoljeni sljedeći uvjeti:
1. ),,( SSS je prsten
2. ),( SeS je grupa gdje je e neutralni element za operaciju S
Polje
Tijelo ),,( SSS u kojemu je i operacija S komutativna zove se polje, odnosno
komutativno tijelo je polje.
Polje se može definirati i na druge načine:
1. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:
a) ),,( SSS je tijelo
b) )(),( xyyxSyx SS
2. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:
a) ),,( SSS je komutativan prsten sa jedinicom
b) za svako ex postoji u S inverzni element za S .
3. Uređena trojka ),,( SSS je polje ako zadovoljava:
a) ),( SS je komutativna grupa,
b) ),( SeS je komutativna grupa,
c) vrijedi desna i lijeva distributivnost S prema S .
DODATAK
16
Primjer 1.
Uređena trojka ),,( RSR je polje.
Dokaz:
1. ),( RR je komutativna grupa.
2. ),0( RR je komutativna grupa,
3. operacija R (množenje realnih brojeva) je desno i lijevo distributivna prema
R (zbrajanje realnih brojeva).
Primjer 2.
Uređena trojka ),,( QQQ u kojoj je Q skup racionalnih brojeva također je polje.
4. Sustav kvaterniona
Uz niz drugih algebarskih struktura od zanimanja je pokazati jednu koja se naziva
Hamiltonov sustav kvaterniona.
Uređena trojka ),,( KKK koju čini skup 4RK i operacije zbrajanja i množenja
definirane kao:
),,,(),,,(),,,(
),,,(),,,(),,,(
22221111
2121212122221111
dcbadcbadcba
ddccbbaadcbadcba
K
KKKKK
u kojem je:
)4(
)3(
)2(
)1(
12211221
21121221
12211221
21212121
cbcbdadad
dbdbcacac
dcdcbabab
ddccbbaaa
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
17
Taj sustav ima važnu primjenu u fizici. Nadalje taj sustav sadrži podsustav koji je
izomorfan polju kompleksnih brojeva, a time i podsustav koji je izomorfan polju relanih
brojeva.
Ako je C podskup od K koji se sastoji od svih kvatreniona kojima je treća i četvrta
komponenta nula, tj.
RyxyxC ,0,0,, ,
vidimo da je
)0,0,,(),( yxyx
izomorfizam od ),,( CCC na ),,( CCC jer je
)0,0,,()0,0,,(),0,0,,(
)0,0,,()0,0,,()0,0,,(
122121212211
21212211
bababbaababa
bbaababa
CC
CCC
Nadalje je podsustav ),,( RRR Hamiltonovog sustava kvaterniona gdje je
RxxR )0,0,0,( , izomorfan polju realnih brojeva.
1.4. Vektorski prostori
1.4.1 Definicija vektorskog prostora
U literaturi ima više definicija pojma vektorskih prostora koje se razlikuju po stupnju
matematske strogosti. U ovom radu uzet će se sljedeća definicija:
Neka je FFF ,, polje, a VV , komutativna grupa i “o” algebarska operacija
definirana kao kartezijev produkt VuVF tako da za FaiVX vijedi
VXoa . Tada grupu V zovemo vektorskim prostorom nad poljem F ako za
VYXiFba ,, vrijedi:
DODATAK
18
)""ln(1.4
)()(.3
)""""(.2
)""""(.1
ooperacijuzaelementaogneutrapostojanjeXXo
XobaXoboa
desnaspremaovnostdistributuXxobXoaXoba
lijevaspremaovnostdistributiYoaXoaYXoa
F
F
FVF
VVV
Elemente vektorskog prostora V zovemo vektori, a elemente polja F skalari.
Primjeri za vektorski prostor:
1. Grupa ),( CC je vektorski prostor nad poljem realnih brojeva ako je operacija
“ o ” obično množenje kompleksnih brojeva realnim brojevima, tj.
),(),( ayaxyxoa .26
Tu tvrdnju treba provjeriti:27
1. svojstvo:
),(),(),(),( 2211
?
2211 yxoayxoayxyxoa CC
Dokaz:
26 Pritom je kompleksni broj yixz predstavljen uređenim parom realnih brojeva
Cyx ),( , gdje prva komponenta uređenog para predstavlja realni, a druga imaginarni dio
kompleksnog broja. 27 Tu tvrdnju ( i sve ostale analogne) provjeravamo tako da ispitamo vrijede li sva 4 svojstva za
vektorske prostore, i to na način je li lijeva strana svakog svojstva jednaka desnoj strani. Dokaz
provodimo tako da primjenom poznatih definicija i svojstava iz lijeve strane jednadžbe izvedemo
desnu stranu.
U ovom primjeru je usvojena notacija da operacija “+” označava obično zbrajanje realnih brojeva,
a operacija “.” obično množenje realnih brojeva. Ta se notacija koristi jer se smatra da je suvišan
indeks “R” u notaciji za operacije “ R ”, i “ R ” u polju R , tj. u polju realnih brojeva.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
19
.)..()""(),(),(
)(),(),(
)ln
(),(
)""()(),(
)(),(
),(),(
2211
2211
2121
2121
2121
2211
DEQooperacijedefinicijipoyxoayxoa
brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoyaxayaxa
brojevaihreaskupuu
zbrajanjupremamnozenjavnostidistributisvojstvupoyayaxaxa
ooperacijedefinicijipoyyaxxa
brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoyyxxoa
yxyxoa
C
C
C
2. svojstvo:
),(),(),()( 1111
?
11 yxobyxoayxoba C
Dokaz:
.)..()""(),(),(
)(),(),(
)ln
(),(
)""()(,)(
),()(
1111
2111
1111
11
11
DEQooperacijedefinicijipoyxobyxoa
brojevahkompleksnizbrajanjadefinicijipoybxbyaxa
brojevaihreaskupuu
zbrajanjupremamnozenjavnostidistributisvojstvupoybyaxbxa
ooperacijedefinicijipoybaxba
yxoba
C
C
3. svojstvo:
),(),()( 11
?
11 yxoboayxoba
Dokaz:
.)..()""(),(
)""(),(
)ln()(),(
)""()(,)(
),()(
11
11
11
11
11
DEQooperacijedefinicijipoyxoboa
ooperacijedefinicijipoybxboa
brojevaihreaskupuumnozenjanostiasocijativsvojstvupoybaxba
ooperacijedefinicijipoybaxba
yxoba
DODATAK
20
4. svojstvo:
),(),(1 11
?
11 yxyxoR
Dokaz:
.)..()""
ln1ln(),(
)""()1,1(
),(1
11
11
11
DEQmnozenjaoperacijunaodnosuu
brojevaihreaskupuuelementaogneutrasvojstvupoyx
ooperacijedefinicijipoyx
yxo
R
RR
R
2. primjer
Skup svih kvadratnih matrica je vektorski prostor nad poljem R ako je operacija “ M ”
zbrajanje matrica, a operacija “o” množenje matrica realnim brojem.
3. primjer
Skup svih matrica formata )( nxm je vektorski prostor nad poljem R , ako je operacija
M zbrajanje matrica istog formata, a operacija “o” množenje matrica realnim brojem.
4. primjer
Skup svih polinoma je vektorski prostor nad poljem R ako je “ P ” zbrajanje polinoma,
a operacija “o” množenje polinoma realnim brojem.
1.4.2. Definicija dimenzije vektorskog prostora
Neka je V vektroski prostor nad poljem F. Ako postoji neki skup vektora
VXXX n ,...,, 21 tako da se svaki vektor VY , može se na jednoznačan način
prikazati u obliku
)1(...2211 nn XaXaXaY
tj. ako postoji jedna i samo jedna n-torka Faaa n ),...,,( 21 , tako da vrijedi )1( tada
kažemo da je V n-dimenzionalni vektroski prostor nad F i bilježimo ga s nE , i
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
21
čitamo Euklidov n-dimenzionalni vektorski prostor.28 Vektore nXXX ,...,, 21 zovemo
bazom ili koordinatnim sustavom toga prostora.29
Primjeri:
1. Skup ),( CC je dvodimnezionalni prostor nad poljem R. Za bazu se mogu uzeti
kompleksni brojevi )1,0(),0,1(1 CC i .
Naime, svaki kompleksan broj možemo prikazati u obliku:
)1,0()0,1(),( yxyx
jer je
),()0,0(),0()0,()1,0()0,1( yxyxyxyx
2. Skup svih kvadratnih matrica drugog reda nad poljem R , s obzirom na obično
zbrajanje jest četverodimenzionalan vektroski prostor nad R .30
Za bazu možemo uzeti npr. matice:
10
00,
01
00,
00
10,
00
014321 EEEE .,
jer se svaka kvadratna matrica
dc
baA
nad R može jednoznačno prikazati u obliku
4321 dEcEbEaEA .
Za bazu možemo uzeti npr. i vektore:
28 Vidljivo je da eksponent n baze E , u oznaci
nE označava dimenziju vektorskog prostora. 29 Definiciju pojma baze vektorskog prostora vidjeti u 1.4.6. 30 Kolika je dimenzija vektorskog prostora što ga čini skup kvadratnih matrica n-tog reda?
DODATAK
22
11
11,
01
11,
00
11,
00
014321 DDDD .
3. Skup svih matrica formata nxm nad poljem R s obzirom na obično zbrajanje
matrica čini nm dimenzionalni vektorski prostor.
1.4.3. Pojam vektora
U okviru definicije vektorskog prostora rečeno je da su vektori elementi vektorskog
prostora V . Vektori se pišu velikom slovima, a njihov osnovni reprezentant se označava
s X . Pripadnost vektora X vektorskom prostoru V pišemo sa VX .
Uz činjenicu da svaki vektoski prostor ima svoju dimenziju, vezano je svojstvo vektora
X da je njegov zapis također vezan za dimenziju tog vektorskog prostora. Naime,
općenito vrijedi da je dimenzija vektorskog prostora vezana za uređene skupove brojeva
(općenito skalara) nixi ,...2,1 , koji se zovu komponente ili elementi ili koordinate
vektora X .
Polazeći od tog svojstva vektor X se piše na sljedeći način:
nx
x
x
X
2
1
ili kraće nixX i ,...2,1 .
Gdje broj n govori o broju komponenata ili koordinata ili elemenata vektora X .
Navedena notacija vektora X naziva se još i vektor-stupac, i predstavlja osnovni
primjer vektora, uz koji se vežu sve analize odnosno istraživanja značajki vektora,
odnsono vektorskih prostora.
Uz vektor-stupac je usko vezan pojam vektora-redka, koji se naziva i transponatom
vektora X , a njegov zapis glasi:
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
23
nxxxX ,...,, 21 ili kraće njxX j ,...,2,1
Jasno da vrijedi i obrnuto, tj. da je vektor X transponat vektora X . Također je vidljivo
da je ji xx .
Vektor X s n komponenata se tumači geometrijski kao točka u n dimenzionalnom
vektorskom prostoru nE . Iz takvog tumačenja slijedi i naziv da je X
n dimenzionalan vektor.
Primjer:
4
3A je dvodimenzionalni vektor koji geometrisjki odgovara točki A u realnoj
ravnini (geometrijskom tumačenju Euklidovog prostora 2E ) čija je apscisa 3, a ordinata
4.
1.4.4. Osnovna svojstva i operacije vektora
Zbrajanje vektora (oduzimanje)
Vektori jednake dimenzije se zbrajaju (oduzimaju) tako da se pripadajuće (homologne)
komponente zbroje (oduzmu).
Znači, zbrajaju se (oduzimaju) samo vektori istog vektorskog prostora nE .
Primjer:
8
6
2
)4()4(0
)3(2)5(
)1()3(2
?
4
3
1
,
4
2
3
,
0
5
2
CBAD
CBA
CBA
DODATAK
24
2. Množenje vektora skalarom (brojem)
Vektor se množi skalarom (brojem) tako da se svaka njegova komponenta pomnoži tim
skalarom (brojem).
14
8
0
7)2(
)4()2(
0)2(
7
4
0
)2(
?
)2(,
7
4
0
Aa
aA
Skalarni ili unutarnji produkt vektora (Množenje vektora vektorom )
Unutarnji produkt n dimenzionalnog vektora ii yYixX jednak je
n
i
iinn yxyxyxyxYX1
2211 ...
Skalarni produkt vektora YiX je zapravo suma produkata odgovarajućih komponenta
tih vektora, dakle broj, odnosno skalar.
Vrijedi jednakost:
XYYXYX
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
25
Primjer:
1150)3()3(2
1
0
3
,
5
3
2
BABA
Jednakost dvaju vektora
Dva su vektora jednaka ako i samo ako su im jednaki svi homologni elementi.
Duljina ili norma vektora
Po, definiciji je duljina ili norma vektora X dana izrazom:
XXX
Evidentno je da je duljina vektora X u prostoru nE
22
2
2
1 ... nxxxX
ustvari distanca između ishodišta koordinatnog sustava u n-dimenzionalnom prostoru s
koordinatama )0,...,0,0( i točke T s koordinatama ),...,,( 21 nxxx .
Iz toga proizlazi da je korisno vektore predočiti geometrijski kao orijentirane dužine.
Primjer 1.
Prikazati vektor
2
1A kao orijentiranu dužinu.
Primjer 2.
Geometrijski prikazati sumu sljedećih vektora:
a) 1,1,2,1 BA
DODATAK
26
b) 3,3,4,2 BA
Produkt vektora X i skalara 0 ima za rezultat vektor nxxxX ,...,, 21
istog smjera kao i vektor X sa duljinom
22
2
2
1 ... nxxxX .
Ako je 0 vektor X ima istu duljinu ali suprotnu orijentaciju od vektora X .
Nul-vektor
Do pojma nul-vektora možemo doći promatranjem skalarnog produkta vektora X sa
samim sobom, pri čemu su prisutna dva slučaja:
a)
n
i
i OXzaxXX1
2 0
b) OXzaXX 0
Posljednji slučaj označava nul-vektor, tj. vektor kojemu su sve komponente jednake nuli.
Primjer:
Nul-vektor u vektorskom prostoru 2E se piše
0
02O .
Jedinični vektor
Jedinični vektor je vektor kojemu je duljina 1X . Označava se s
),...,2,1(, niI i . Takvi vektori su npr. vektori kojima su sve komponente jednake
nuli osim i te komponente koja je jednaka jedan.
Jediničnih vektora kojima su sve komponente nula osim i te, a koje možemo označiti s
iI u n dimenzionalnom vektorskom prostoru nE ima točno n , i to:
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
27
01...000,...,00...010,00...100 21 nIII 31
Primjer:
U vektorskom prostoru 2E imamo sljedeće jedinične vektore iI :
1
0,
0
121 II
Vektor jedinica
Suma jedničnih vektora iI daje vektor:
11...111...21 nIIII
Jedinični vektor je kojemu su sve komponente jedinice. Zove se i suma-vektor zbog
svojstva da je skalarni produkt tog vektora i bilo kojeg vektora X iz vektorskog prostora nE , jednak sumi komponenata od X , tj.
nn xxxxxxXIIX ...,...,,11...111 2121
Ortogonalni vektori
Dva su vektora YiX ortogonalna ako je njihov skalarni produkt jednak nuli, tj. ako
je 0YX .
Od te se definicije polazi ako se želi naći vektor koji je ortogonalan zadanom vektoru.
Primjer:
Naći vektor koji je ortogonalan vektoru
5
1
3
B .
31 Jasno da svaki takav jedinični vektor u
nE ima n komponenata, od čega 1n nula.
DODATAK
28
053
5
1
3
,, 321321
xxxxxxBX
Rješenje su sve uređene trojke brojeva ),,( 321 xxx koje zadovoljavaju gornju jednadžbu.
Trojka )0,0,0( je trivijalno rješenje dok je uređena trojka )0,3,1( jedno od rješenja,
tj. članovi te uređene trojke su komponente vektora
0
3
1
A koji je ortoganalan na
zadani vektor B .
1.4.5. Linearna kombinacija, zavisnost i nezavisnost
a) Linearna kombinacija
Neki vektor Y je linearna kombinacija vektora mXXX ,...,, 21 iz prostora nE ako je
mm XcXcXcY ...2211 , gdje su mccc ,...,, 21 skalari.
Skalari mccc ,...,, 21 se zovu koeficijenti kombinacije.
Primjer 1.
Je li vektor
4
6
2
B linearna kombinacija vektora
2
3
1
A iz prostora3E .
Primjenom uvjeta za linearnu kombinaciju dolazimo do sljedećeg izraza:
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
29
AcB 1 , tj.
2
3
1
4
6
2
1c
Iz tog izraza slijedi jednadžba:
1
1
1
2
3
4
6
2
c
c
c
.
Iz svojstva jednakosti dva vektora proizlazi sustav jednadžbi:
1
1
1
24
36
2
c
c
c
Iz svih jednadžbi slijedi da je 21 c , tj. za zadani skup jednadžbi postoji jedinstveno
rješenje u skupu realnih brojeva. Time smo dokazali da je vektor B linearna
kombinacija vektora A , pri čemu je koeficijent te kombinacije skalar (broj) 21 c .
b) Linearna zavisnost
Skup vektora mXXX ,...,, 21 iz vektorskog prostora nE je linearno zavisan ako postoji
m skalara mccc ,...,, 21 koji svi nisu nula (netrivijalan slučaj) tako da je
0...2211 mm XcXcXc .
Može se reći i da su vektori mXXX ,...,, 21 linearno zavisni onda i samo onda ako je
neki od tih vektora linearna kombinacija preostalih vektora. Slijedi da je linearno zavisan
svaki skup vektora koji uključuje nul-vektor.
Naime, ako je npr. 0mc , tada slijedi relacija:
DODATAK
30
11
22
11 ...
m
m
m
mm
m Xc
cX
c
cX
c
cX
tj. da je vektor mX linearna kombinacija vektora 121 ,...,, mXXX .
Primjer 1:
Skup svih točaka na nekom pravcu koji prolazi kroz ishodište koordinatnog sustava u
ravnini predstavlja skup (vrhova) beskonačno mnogo vektora koji su međusobno zavisni
(taj skup sadrži nul-vektor, tj. ishodište).
Primjer 2.
Zadan je skup vektora
0
2
0
,
0
0
8
,
0
4
2
321 AAA .
Je li taj skup vektora nezavisan?
Iz relacije
0
0
0
0
2
0
0
0
8
0
4
2
321 ccc
slijedi sustav jednadžbi
024
082
31
21
cc
cc
koji ima beskonačno mnogo rješenja,.
Zaključak je da vektori 321 ,, AAA međusobno zavisni.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
31
c) Linearna nezavisnost
Ako relacija
0...2211 mm XcXcXc
vrijedi samo u slučaju 0...21 mccc (trivijalan slučaj kada su svi skalari
jednaki nuli) tada su vektori mXXX ,...,, 21 linearno nezavisni.
Primjer 1. Jesu li jedinični vektori iI u vektorskom prostoru 2E linearno zavisni ili
nezavisni?
1
0,
0
121 II
0
0
0
00
0
0
0
1
0
0
1
0
2
1
2
1
21
2211
c
c
c
c
cc
IcIc
Iz jednakosti dviju matrica slijedi da je 021 cc , tj. da su jedinični vektori 21, II
linearno nezavisni.32
Dalje vrijede sljedeće tvrdnje:
1. Ako je neki skup vektora linearno nezavisan, tada je također i svaki njegov podskup
linearno nezavisan (isto vrijedi i za zavisnost).
32 Taj zaključak vrijedi i općenito za jedinične vektore iz vektorskog prostora
nE .
DODATAK
32
2. Koliko može biti najviše linearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora iz
vektorskog prostora nE ?
Imamo najviše n linearno nezavisnih vektora u nekom skupu vektora nE . Taj
broj se zove DIMENZIJA vektorskog prostora.
Slijedi da je svaki skup od 1n vektora u vektorskom prostoru nE linearno
zavisan.
1.4.6. Baza vektorskog prostora
a) Pojam baze
Skup vektora mXXX ,...,, 21 je baza prostora svih n dimenzionalnih vektora, ako
se svaki vektor u tom prostoru može izraziti kao linearna kombinacija od
mXXX ,...,, 21 i ako su mXXX ,...,, 21 linearno nezavisni.
Obzirom da se može dokazati da je nm slijedi da je baza vektorskog prostora nE skup od točno n - linearno nezavisnih vektora, odnosno svaki skup od n - linearno
nezavisnih vektora iz vektorskog prostora nE je baza tog prostora.
Iz navedenog imamo da se svaki vektor nEY može izraziti kao linerana kombinacija
vektora iX iz baze nXXXB ,...,, 21 na jedan i samo jedan način.
U prostoru nE postoji toliko baza koliko ima u tom prostoru različitih skupova od
n linearno nezavisnih vektora.
Obzirom da je skup navedenih jediničnih vektora nI iz nekog vektorskog prostora
nE međusobno nezavisan, slijedi da taj skup čini jednu od baza tog vektorskog prostora,
i to kanonsku bazu.
Primjer 1. Vektori
5
2,
1
1BA čine jednu bazu prostora
2E . Izrazi vektor
2
1C u terminima te baze. (vektor C treba prikazati kao linearnu kombinaciju
vektora iz baze)
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
33
Rješenje:
2
1
5
2
1
121 cc
iz te relacije slijedi sustav jednadžbi
25
12
21
21
cc
cc
s rješenjem 1,3 21 cc .
b) Ortonormirana baza
Od posebnog je značaja baza vektorskog prostora nE sastavljena od n jediničnih vektora
nIII ,...,, 21 . Ta se baza zove ortonormirana baza.
Naziv proizlazi iz svojstva da su takvi vektori ortogonalni i svaki ima duljinu 1. Svaki
vektor nEY može se lako izaziti kao linearna kombinacija vektora ortonormirane baze
jer su koeficijenti kombinacije vektora kojeg prikazujemo u terminima te baze, jednaki
komponentama tog vektora.
Primjer za ortonormalnu bazu nekog vektorskog prostora nE je skup jediničnih vektora
iI tog prostora.
Primjer 1. Prikaži vektor
5
1A u terminima ortonormalne baze.
Rješenje:
Ortonormalnu bazu čine vektori
1
0,
0
121 II pa imamo
DODATAK
34
5
1
1
05
0
1)1(
5,1 21 cc
1.4.7. Vektorski potprostori
Neki skup vektora n dimenzionalnog prostora nE zove se potprostor od
nE ako je
svaka linearna kombinacija vektora toga skupa i sama vektor u tom skupu.
Primjer:
Svi vektori oblika aX za nEX i Ra predstavljaju potprostor od
nE .
Geometrijski je takav skup vektora skup točaka na pravcu koji prolazi kroz ishodište O i
točku s koordinatama iz vektora X . Kaže se da vektor X generira taj prostor, odnosno
da je baza tog potprostora od 2E .
Primjer 2:
Ako je OA neki vektor u nE , tada je skup vektora 0 AXEXXH n
potprostor od nE .
H se može geometrijski tumačiti kao hiperravnina u prostoru nE koja prolazi kroz
ishodište.
Naime, 0...2211 nnxaxaxaAX je jednadžba hiperravnine.
Za 2n imamo 02211 xaxa , a to je jednadžba pravca koji prolazi kroz ishodište,
a okomit je na pravac određen točkama 21,0,0 aai .
Na primjer ako je 2112 xxXA , tada je skalarni produkt
02 21 xxXA implicitni oblik jednadžbe pravca koji je ortogonalan (okomit) na
vektor A .
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
35
Za 3n imamo jednadžbu ravnine kroz ishodište okomito na pravac kroz
),,(0,0,0 321 aaai .
Šire je hiperravnina u prostoru nE skup svih rješenja jednadžbe bAX u kojoj je A
neki dati vektor u nE , a b je dati realan broj (skalar). Svaka hiperravnina
bAXEXXH n , , gdje je b neki realan broj koji može, ali ne mora, biti
jednak nuli, dijeli prostor nE u dva zatvorena poluprostora:
bAXEXXH
bAXEXXH
n
n
,
,
Poluprostor H je dio od
nE i sadrži sve vektore X za koje je bAX , dok
poluprostor H sadrži sve X sa bAX . Evidentno je da je samo ona hiperravnina
H koja prolazi kroz ishodište, tj. H sa 0b potprotor od nE .
1.4.8. Konveksna kombinacija, konveksni skup, konveksna ljuska i n-dimenzionalni
simplex
Definicija konveksnosti
Dat će se dvije definicije konveksnosti, odnosno konveksnih skupova, pri čemu je u prvoj
uključena i definicija konveksne kombinacije.:
1. Skup vektora je konveksan, ako iz CXX 21, proizlazi CXaXa 2211 , pri
čemu je 1,0, 2121 aaiaa . Linearna kombinacija 2111 XaXa i svaka
linearna kombinacija
n
ii Xa11
sa
n
i
ii aia1
10 zove se konveksna
kombinacija. Zato se kaže da je skup konveksan ako sadrži svaku konveksnu
kombinaciju svojih elemenata.
2. Skup I sastavljen od točaka iz n-dimenzionalnog prostora je konveksan ako za bilo
koje dvije točke X i Y iz I vrijedi da skupu I pripadaju i sve točke oblika
X Y ( )1 , ako je realan broj i ako je 0 1 , tj. ako skupu
DODATAK
36
I pripadaju sve konveksne kombinacije od X i Y . Po dogovoru je prazan skup
također konveksan.
Da bi se taj pojam pojasnio s nekoliko primjera, primjećujemo da su ( u jednom
dvodimenzionalnom prostoru) konveksni skupovi: trokuti, četverokuti čiji je zbroj
unutarnjih kutova manji od 1800, krug, elipsa itd. Isto vrijedi (u jednom
trodimenzionalnom prostoru) za kocku, sferu, itd.
Nisu konveksni prsten, šuplji stožac itd.
Svaka hiperravnina bAXEXXH n , je konveksan skup vektora ili točaka
u nE . Naime, ako su točke 21 XiX na hiperravnini H , tada je i njihova konveksna
kombinacija 0,)1( 21 XX točka na toj hiperravini.
Također je konveksan svaki skup vektora nEX za koje je bAX , odnosno
bAX , tj. svaki zatvoreni poluprostor.
Neka točka X u konveksnom skupu C zove se ekstremna točka, ako se X ne može
izraziti kao konveksna kombinacija nekih drugih dviju točaka )(, ZYZiY iz C .
Može se još reći da se sve točke konveksnog skupa, koje se ne mogu dobiti kao
konveksna kombinacija drugih točaka konveksnog skupa, nazivaju vrhovi ili ekstremne
točke konveksnog skupa. Ekstremna točka ne leži između dviju točaka konveksnog
skupa.
Slijede , po definiciji, da su vrhovi konveksnog skupa vrhovi konveksnih poligona iz
elementarne geometrije. No po definiciji, i sve točke kružnice su također vrhovi
geometrijskog lika kruga; isto vrijedi i za točke koje se nalaze na crti koja ograničava
elipsu ili drukčije postoje konveksni skupovi koji nemaju niti jednu ekstremnu točku.
Primjer 1.33
Ispitajte je li vektor
6
3C konveksna kombinacija vektora
8
5
4
1BiA .
Rješenje:
Treba odrediti postoji li 1,0 takav da je BAC )1( , ili geometrijski je li
točka C leži na spojnici točaka BiA .
33 Primjeri su iz Babić,Z.,op.cit., str.25 i 26.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
37
2/1648
2/1345
48
45
8
5)1(
4
1
6
3
tj. BAC 2/12/1
Primjer 2.
Dokažite da se vektor 102X može prikazati kao konveksna kombinacija vektora
.612,513,351 CBA
Rješenje:
Da bi X bio konveksna kombinacija vektora CBA ,, mora biti:
6
1
2
5
1
3
3
5
1
1
0
2
11,0,
321
321321
iCBAX i
1653
05
223
321
321
321
Taj sustav ima jedinstveno rješenje:
DODATAK
38
.3/12/16/1
.,3/1,2/1,6/1 321
CBAX
tj
Obzirom da je 1321 slijedi da je X konveksna kombinacija vektora
CBA ,, ili geometrijski nalazi se na ravnini određenoj točkama CBA ,, i to u onom
dijelu te ravnine koji pripada trokutu .ABC
Primjer 3.
Zadani su vektori
12
3,
2
10,
8
5CBA . Odredite vektor
2RX koji je
okomit na C i koji je konveksna kombinacija vektora .BiA
Rješenje:
210,105)1(2
)1(10
8
5
10,)1(
40123
21
2
1
2121
xxx
x
BAX
xxxxCX
Iz te tri jednadžbe dobivamo: 28,5/2 21 xix odnosno
2
8X .
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
39
Definicija konveksne ljuske
Konveksna ljuska skupa S je najmanji konveksan skup koji sadrži S . Obično se
označava sa S , a ponekad sa )()( SCiliSCo . Skup S se može konstruirati na
sljedeći način:
r
i
r
i
iiiii aaSXXaS1 1
0,1,
gdje je nr ,...,2,1 . Ako je S skup od n vektora iX , tada je S konveksni
poliedar. Npr., ako je S skup od tri nekolinearne točke, 2, ECiBA , tada je
konveksan ljuska trokut s vrhovima u tim točkama. Ako je pak S kružnica
12
2
2
1 xx , tada je konveksna ljuska od S čitav krug 12
2
2
1 xx , tj. skup svih
točaka unutar i na periferiji kruga.
Primjer za konveksnu ljusku:
Odredite konveksnu ljusku skupa CBA ,, ako su .3
3,
0
4,
2
1
CBA
Rješenje:
Konveksna ljuska skupa S je najmanji konveksni skup koji sadrži točke CBA ,, . To je
očito trokut s vrhovima u točkama CiBA, .
Trokut CBA ,, može se definirati pomoću tri nejednadžbe od kojih svaka predstavlja
jednu poluravninu u prostoru 2R . Prva nejednadžba predstavlja skup svih točaka koje se
nalaze na pravcu AC i ispod njega, analogno tome druga predstavlja skup svih točaka
na pravcu AB i iznad njega, a treća predstavlja skup svih točaka na pravcu BC i ispod
njega.
Svaki se pravac (a time i poluravnina koja je definirana tim pravcem) može dobiti
primjenom jednadžbe pravca kroz dvije točke:
DODATAK
40
)( 1
12
121 xx
xx
yyyy
pa tako imamo:
23)4(43
030)(
832)1(14
202)(
32)1(13
132)(
2112
2112
2112
xxxxBC
xxxxAB
xxxxAC
Rješenje tog skupa nejednadžbi, odnosno presjek te tri poluravnine je upravo trokut
ABC .
Definicija n-dimenzionalnog simpleksa
Konveksna ljuska svakog skupa od 1n točaka iz nE , koje ne leže na jednoj
hiperravnini u nE , zove se n-dimenzionalni simpleks. Simpleks je dakle specijalan
slučaj konveksnog poliedra u nE koji ima točno 1n vrhova.
Primjeri za n-dimenzionalni simpleks:
Točka se može uzeti kao primjer nul- dimenzionalnog simpleksa, a dužina kao primjer 1-
dimenzionalnog simpleksa.
Trokut je primjer za 2- dimenzionalni simpleks u što je uključena naravno i dio ravnine
koju omeđuje taj trokut U prostoru 3E , ako se npr. za vrhove uzmu koordinate
)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( trokut se analitički može opisati relacijama:
0,,
1
321
321
xxx
xxx
Trodimenzionalni simpleks je tetraedar.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
41
Iz ovih primjera je vidljivo da je n-dimenzionalni simpleks u prostoru sa n dimenzija
omeđen simleksima iz manjih dimenzija, tj. 1n dimenzionalnim simpleksima. Tako je
dužina omeđena točkama, trokut dužinama, a tetraedar trokutima.
Općenito, (m-1) dimenzionalni simpleks smješten u prostoru mE opisuje se relacijama:
m
i xx11
1 01
Konus je takav skup vektorskog prostora da iz Kx i 0 slijedi KX . Na
primjer sve točke u ravnini između dva pravca kroz ishodište tvore jedan konus. Naime,
iz definicije konusa slijedi da je nul-vektor ili ishodište u svakom konusu.
Konveksni konus je konus koji je konveksan. Može se reći da je neki skup vektora od nE konveksan konus ako se iz tog skupa ne izlazi kad se u njemu obavljaju operacije
adicije i multiplikacije s nenegativnim brojevima.
Na primjer skup točaka ),( 21 xx sa 00 21 xix , tj. prvi kvadrant je konveksan
konus.
Ako su A i B dva vektora, tada je skup svih njihovih konveksnih kombinacija također
jedan konveksan skup.
Može se pokazati da je: presjek dvaju konveksnih skupova, također konveksan skup; i
obrnuto, općenito ne vrijedi da je unija dvaju konveksnih skupova također konveksan
skup.
1. MATEMATIČKA OSNOVICA TEORIJE LINEARNOG PROGRAMIRANJA
67