pmf niš - matematička logika
TRANSCRIPT
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 1/757
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 2/757
Logicka argumentacija
Logicka argumentacija
Logicka argumentacija
Pocinjemo sa nekoliko primera logicke argumentacije.
Primer 1:
1. Ako potraznja raste, onda kompanije se sire.
2. Ako kompanije se sire, onda kompanije zaposljavaju radnike.
3. Ako potraznja raste, onda kompanije zaposljavaju radnike.
U ovoj argumentaciji, 1 i 2 su premise, a 3 je zakljucak.
Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - I deo
Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - I deo
Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 3/757
Logicka argumentacija
Logicka argumentacija
Logicka argumentacija
O zakljuccima se moze raspravljati i eventualno tvrditi da su pogresni.
Medutim, ukoliko su premise prihvacene kao tacne, onda i mora biti
prihvacen zakljucak.
Zakljucak logicki sledi iz premisa, i dakle, argumentacija je ispravna.
Primer 2:
1. Program sadrzi ”bug” ili ulaz je pogresan.
2. Ulaz nije pogresan.
3. Program sadrzi ”bug”.
Matematicka logika – 3 – Iskazna logika - I deo
Matematicka logika – 3 – Iskazna logika - I deo
Matematicka logika – 3 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 4/757
Logicka argumentacijaLogicka argumentacijaLogicka argumentacija
Slozene izjave (izjavne recenice) sastoje se od nekoliko delova, od kojihsvaki za sebe takode predstavlja izjavu.
Primer 1: ”potraznja raste” i ”kompanije se sire” su proste izjave po-vezane veznikom ako . . . onda . . . (engleski if . . . then . . . ).
Primer 2: ”program sadrzi ”bug”” i ”ulaz je pogresan” su proste izjavepovezane veznikom ili (engleski or).
Matematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 5/757
Logicka argumentacijaLogicka argumentacijaLogicka argumentacija
Da bi jasnije video koja je argumentacija ispravna a koja nije, Aristotel je skratio proste izjave zamenivsi ih slovima p, q, r, . . .
Slovo p moze izraziti iskaz ”potraznja raste”.
Slovo q moze izraziti iskaz ”kompanije se sire”.
Slovo r moze izraziti iskaz ”kompanije zaposljavaju radnike”.
Tada dobijamo argumentaciju opsteg oblika
1. Ako p onda q.
2. Ako q onda r.
3. Ako p onda r.
Ovakva argumentacija naziva sehipoteticki silogizam.
Matematicka logika – 5 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 6/757
Logicka argumentacijaLogicka argumentacijaLogicka argumentacija
Argumentacija iz Primera 2 moze se zapisati u sledecem opstem obliku
1. p ili q.
2. Nije q.
3. p.
Ovakva argumentacija naziva se
disjunktivni silogizam.
Vazan vid argumentacije je i argumentacija oblika
1. Ako p onda q.
2. p.
3. q.
Ovakva argumentacija naziva se
modus ponens.
Matematicka logika – 6 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 7/757
IskaziIskaziIskazi
Iskaz se obicno definise kao izjava koja ima svojstvo da je ili istinita(tacna) ili neistinita (netacna) (samo jedno od toga).
Pri tome, iskazi se zadaju recenicama (izjavnim recenicama).
Na primer, recenicom
”3 je delitelj broja 18”
zadat je jedan iskaz.
Ovakva definicija je ipak neformalna i nedovoljno operativna.
Naime, za datu recenicu nije uvek lako odrediti da li je njome zadat
iskaz ili ne.
Matematicka logika – 7 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 8/757
IskaziIskaziIskazi
Na primer, recenicom”Izjava koju izgovaram je laz”
nije zadat iskaz, iako na prvi pogled izgleda suprotno.
Naime, na osnovu forme ove recenice bi se lako moglo zakljuciti da se
njome nesto tvrdi. Medutim, to nije tacno.
Ako je ta izjava zaista lazna, to znaci da smo rekli istinu, i obratno,ako je ta izjava istinita, to znaci da smo zaista rekli laz.
Prema tome, ta izjava ne moze imati svojstvo da je ili istinita ili neisti-nita, i to samo jedno od toga.
Zbog ovoga u iskaznoj logici pojam iskaza koristimo kao osnovni pojam,
pojam koji se ne definise.
Matematicka logika – 8 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 9/757
Iskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednostiIskazne promenljive, istinitosne vrednosti
U iskaznoj logici proste iskaze oznacavamo slovima
p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . .
Ova slova nazivamo iskazna slova ili iskazne promenljive.
Iskaznim slovima mogu se pridruziti istinitosne vrednosti
1 – ”tacno”
0 – ”netacno”
Ponegde se ”tacno” oznacava sa ⊤, a ”netacno” sa ⊥.
Medutim, mi cemo koristiti gornje oznake 1 i 0.
Matematicka logika – 9 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - I deo
L i ˇ ki i i
L i ˇ ki i i
L i ˇ ki i i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 10/757
Logicki vezniciLogicki vezniciLogicki veznici
Od prostih iskaza grade se slozeniji iskazi, upotrebom logickih veznika,koji se oznacavaju posebnim simbolima.
logicki veznik oznakanije ¬
i
∧ili ∨ako . . . onda . . . ⇒ako i samo ako
⇔Znacenje ovih veznika precizira se u nastavku.
Matematicka logika – 10 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - I deo
N ij
N ij
N ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 11/757
NegacijaNegacijaNegacija
Negacija iskaza p je iskaz ”nije p”.
Ovaj iskaz oznacava se sa ¬ p, sto se izgovara i ”ne p”.
Negacija tacnog iskaza je netacan iskaz i obratno, negacija netacnog je tacan iskaz.
Istinitosna vrednost negacije iskaza moze se prikazati i takozvanom
istinitosnom tablicom:
p ¬ p
1 0
0 1
Matematicka logika – 11 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 11 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 11 – Iskazna logika - I deo
K j k ij
K j k ij
K j k ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 12/757
KonjunkcijaKonjunkcijaKonjunkcija
Konjunkcija iskaza p i q je iskaz ” p i q”, u oznaci p ∧ q.
Iskaz p ∧ q je tacan samo u slucaju kada su i p i q tacni iskazi.
U ostalim slucajevima konjunkcija je netacan iskaz.
To se moze prikazati sledecom istinitosnom tablicom
p q p ∧ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Matematicka logika – 12 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - I deo
Disjunkcija
Disjunkcija
Disjunkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 13/757
DisjunkcijaDisjunkcijaDisjunkcija
Disjunkcija iskaza p i q je iskaz ” p ili q”, u oznaci p ∨ q.
Iskaz p ∨ q je tacan ako je bar jedan od iskaza p i q tacan, a netacan
je samo ako su oba iskaza p i q netacni.
To se moze prikazati na sledeci nacin:
p q p∨
q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Matematicka logika – 13 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - I deo
Iskljuciva disjunkcija
Iskljuciva disjunkcija
Iskljuciva disjunkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 14/757
Iskljuciva disjunkcijaIskljuciva disjunkcijaIskljuciva disjunkcija
U svakodnevnom zivotu veznik ”ili” cesto ima iskljucivi smisao – iskaz” p ili q” je tacan ako je tacan iskaz p ili q, i to samo jedan od njih.
Takva disjunkcija se naziva ekskluzivna disjunkcija ili iskljuciva dis- junkcija, i pise se ”ili p ili q”, u oznaci p XOR q ili p ⊕ q.
Iskljuciva disjunkcija zadata je sledecom istinitosnom tablicom
p q p ⊕ q
1 1 0
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Matematicka logika – 14 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - I deo
Primeri
Primeri
Primeri
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 15/757
PrimeriPrimeriPrimeri
Primer 3: Neka su iskazi p i q zadati sa
p : ”√
2 je racionalan broj”,
q : ”
√ 2 je broj koji je veci od nule”.
Iskaz ¬ p je zadat sa√
2 nije racionalan broj
i on je tacan (jer je p netacan iskaz).
Iskaz
¬q je zadat sa
√ 2 nije broj koji je veci od nule
i on je netacan.
Prema gornjim definicijama, p ∧ q je netacan, a p ∨ q tacan iskaz.
Matematicka logika – 15 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - I deo
Implikacija
Implikacija
Implikacija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 16/757
ImplikacijaImplikacijaImplikacija
Implikacija iskaza p i q je iskaz ako p onda q, u oznaci p ⇒ q.
Ovaj iskaz je neistinit jedino u slucaju kada je p tacan, a q netacan
iskaz. U svim ostalim slucajevima ovaj iskaz je tacan.
Istinitosne vrednosti implikacije zadate su sledecom tablicom:
p q p ⇒ q
1 1 1
1 0 00 1 1
0 0 1
Matematicka logika – 16 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - I deo
Implikacija
Implikacija
Implikacija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 17/757
ImplikacijaImplikacijaImplikacija
U implikaciji p ⇒ q
Iskaz p se naziva premisa, pretpostavka ili antecedent.
Iskaz q se naziva zakljucak ili konsekvent.
Izraz p
⇒q cita se jos i kao
iz p sledi q; q ako p;
p povlaci (implicira) q; p je dovoljno za q;
p samo ako q; q je potrebno za p.
Matematicka logika – 17 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - I deo
Primeri implikacije
Primeri implikacije
Primeri implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 18/757
Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacije
Primer 4: Neka su iskazi p i q zadati sa
p : ”Broj n je deljiv sa 21”
q : ”Broj n je deljiv sa 7”
Implikacija p ⇒ q je tacan iskaz, bilo koji prirodan broj n da smo
izabrali, cak i u slucaju da je, na primer, n = 5.
Prema definiciji implikacije, ako je iskaz p netacan, onda je iskaz p ⇒ q
tacan, nezavisno od tacnosti iskaza q.
Drugim recima, iz netacne pretpostavke moze da sledi bilo koji iskaz.
Matematicka logika – 18 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - I deo
Primeri implikacije
Primeri implikacije
Primeri implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 19/757
Primeri implikacijePrimeri implikacijePrimeri implikacije
Primer 5: Neka su iskazi p i q zadati sa p : ”Boca sadrzi kiselinu”
q : ”Boca nosi oznaku za opasnost”
Implikacija p ⇒ q odgovara slozenom iskazu
”Ako boca sadrzi kiselinu, onda boca nosi oznaku za opasnost”
Sta se desava ako boca ne sadrzi kiselinu, tj. iskaz p je netacan?
Moze se desiti da boca nosi oznaku za opasnost jer ne sadrzi kiselinu
vec jak otrov, i tada je q tacan iskaz.
Moze se desiti i da boca ne sadrzi oznaku jer sadrzi sok od narandze,
i tada je q netacan iskaz.
U oba slucaja, tacnost iskaza p ⇒ q nije dovedena u pitanje.
Matematicka logika – 19 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - I deo
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 20/757
Matematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacije
Ovakvo matematicko shvatanje implikacije odudara od upotrebe veznika”ako . . . onda . . . ” u svakodnevnom zivotu.
Naime, bilo je rasprava oko toga da li implikacija p ⇒
q uopste ima
smisla ako izmedu iskaza p i q nema neke sustinske veze.
Na primer, neka je
p : voda mrzne na 100◦C
q : Bombaj je glavni grad Argentine
Sa matematicke tacke gledista, p ⇒ q je istinit iskaz.
Medutim, neki bi smatrali da implikacija p ⇒ q uopste nema smisla,
jer izmedu iskaza p i q ne postoji nikakva veza.
Matematicka logika – 20 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - I deo
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 21/757
Matematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacije
Matematicka tacka gledista je pobedila iz dva razloga:
1. Zato sto matematicku logiku ne interesuje znacenje iskaza p i q,
vec samo njihova istinitost.
Preciznije, matematicku logiku interesuju samo uslovi pod kojima
istinitost iskaza p povlaci istinitost iskaza q.
Drugim recima, u matematickoj logici istinitost implikacije p ⇒ q
ne zavisi od znacenja iskaza p i q, vec samo od njihove istinitosti.
Matematicka logika – 21 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - I deo
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 22/757
Matematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacije
2. Drugi razlog sto je prihvacena ovakva implikacija je to sto se ovakvoglediste pokazalo veoma korisnim za primenu u nauci.
Naime, u nauci se cesto srecemo sa nekim hipotezama koje jenemoguce eksperimentalno proveriti, ali bi se mogle proveriti neke
posledice koje se mogu izvuci iz tih hipoteza.
Ovakvo glediste dozvoljava da iz tih hipoteza izvode posledice bez
obzira na to sto ne znamo da li su te hipoteze istinite ili ne.
Ovo se naziva hipoteticki karakter naucnih teorija.
Matematicka logika – 22 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - I deo
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
Matematicko shvatanje implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 23/757
Matematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacijeMatematicko shvatanje implikacije
U svakodnevnom zivotu veznik ”ako ...onda ... ” ima jos jednu pri-menu koja je drugacija od one u matematici.
Naime, veznik ”ako . . .onda . . . ” se cesto koristi da naznaci da ne
verujemo da premisa moze da bude istinita.
Na primer,
Ako polozis taj ispit, onda sam ja rimski papa.
znaci sumnju da ce student o kome se radi poloziti ispit, a ne implikaciju
dva iskaza.
Onome ko je dao ovu izjavu je jasno da on nije rimski papa – on ovom
izjavom zapravo kaze da je siguran da taj student nece poloziti ispit.
Matematicka logika – 23 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 23 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 23 – Iskazna logika - I deo
Ekvivalencija
Ekvivalencija
Ekvivalencija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 24/757
jjj
Ekvivalencija iskaza p i q je iskaz ” p ako i samo ako q”, u oznaci p ⇔ q.
Ekvivalencija je tacan iskaz ako su p i q ili oba tacna ili oba netacna.
U preostalim slucajevima ekvivalencija je netacan iskaz.Istinitosne vrednosti ekvivalencije su zadate sledecom tablicom:
p q p ⇔ q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Matematicka logika – 24 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - I deo
Ekvivalencija
Ekvivalencija
Ekvivalencija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 25/757
jjj
Ekvivalencija p ⇔ q po istinitosti odgovara iskazu
”ako p onda q i ako q onda p”,
odnosno iskazu( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p).
Ekvivalencija p ⇔ q se formulise i kao
” p je ekvivalentno sa q”.
Takode, s obzirom na uocenu vezu izmedu implikacije i ekvivalencije,iskaz p ⇔ q formulise se i na sledeci nacin:
” p je potrebno i dovoljno za q”.
Matematicka logika – 25 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - I deo
Primeri ekvivalencije
Primeri ekvivalencije
Primeri ekvivalencije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 26/757
jjj
a) Recenice
”Trouglovi T 1 i T 2 su podudarni”
”Trouglovi T 1 i T 2 imaju podudarne po dve stranice i njima
zahvacen ugao”
zadaju ekvivalentne iskaze.
Ta cinjenica se formulise i kao jedan od opstih stavova o podu-darnosti trouglova
”Dva trougla su podudarna ako i samo ako imaju podudarne po
dve stranice i njima zahvaceni ugao”
Matematicka logika – 26 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - I deo
Primeri ekvivalencije
Primeri ekvivalencije
Primeri ekvivalencije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 27/757
jjj
b) Ekvivalencijom se u matematici cesto definisu novi termini, polazeciod vec poznatih.
”Prirodan broj razlicit od jedinice je prost ako i samo ako je deljiv
samo sa sobom i sa jedinicom.”
Ovom recenicom definisan je prost broj poznatim pojmovima koji cine
sadrzaj drugog iskaza ekvivalencije.
Dakle, iako ova recenica ima formu iskaza, njome nije zadat iskaz, vec
definicija.
Ako je jasno da je u pitanju definicija, u odgovarajucoj recenici se cesto
izostavlja deo ”samo ako”, iako se podrazumeva da i taj pravac vazi.
Matematicka logika – 27 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - I deo
Razlikovanje ekvivalencije i implikacije
Razlikovanje ekvivalencije i implikacije
Razlikovanje ekvivalencije i implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 28/757
c) U obicnom jeziku nije uvek sasvim jasno da li je u recenici koriscenaimplikacija ili ekvivalencija.
Na primer,
”Nositi bundu ekvivalentno je ucestvovati u unistavanju retkih zivotinja”.
Ova recenica izgleda kao ekvivalencija, ali nije to.
Ako izokrenemo redosled recenica koje je cine, videcemo da nesto nije
u redu:
”Ucestvovati u unistavanju retkih zivotinja ekvivalentno je nositi bundu”.
Ova recenica zapravo treba da bude implikacija:
”Ako se nosi bunda onda se ucestvuje u unistavanju retkih zivotinja”.
Matematicka logika – 28 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - I deo
Višesmislenost i nepreciznost
Višesmislenost i nepreciznost
Višesmislenost i nepreciznost
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 29/757
Uloga logike je i da razjasni znacenje recenica.
Recenice u prirodnom jeziku mogu biti visesmislene i neprecizne.
Visesmislena recenica je ona koja ima vise znacenja.
Neprecizna ili nejasna recenica je ona koja ima samo jedno zna-
cenje, ali, kada se razmatra kao izjava, ne moze se napraviti jasna
razlika izmedu okolnosti pod kojima je ona tacna, a pod kojima nije.
Visesmislenost najcesce eliminisemo pitajuci autora recenice ili utvrdu-
juci smisao iz konteksta.
Nejasnost se najcesce javlja zbog koriscenja kvalitativnih opisa, a moze
se ukloniti njihovom zamenom kvantitativnim opisima.
Matematicka logika – 29 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - I deo
Višesmislene recenice
Višesmislene recenice
Višesmislene recenice
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 30/757
a) ”Petar i Marko iz Novog Sada nam dolaze u posetu”.
Ko je iz Novog Sada? Marko ili obojica?
To nije moguce utvrditi bez dodatnih informacija.
b) ”Ja znam mnogo lepsu devojku od Ane”.
Ovo moze imati dva znacenja:
”Ja znam mnogo lepsu devojku nego sto Ana zna”, i
”Ja znam mnogo lepsu devojku nego sto je Ana”.
Matematicka logika – 30 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - I deo
Neprecizne recenice
Neprecizne recenice
Neprecizne recenice
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 31/757
a) ”Dejan je visok”.
Ovde ne znamo tacno sta znaci ”visok”, pa ne mozemo utvrditi da li
je ovo tacno ili nije.
Preciznije bi bilo da se gornji kvalitativni opis zameni kvantitativnim:
”Dejan je visok preko 2 metra”.
b) ”Ovaj racunar je brz”.
Znacenje reci ”brz” je nejasno – brz u poredenju sa cim?Preciznija formulacija bi bila: ”Ovaj racunar izvodi 2 miliona instrukcija
u sekundi”.
Matematicka logika – 31 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - I deo
Napomene o logickim veznicima
Napomene o logickim veznicima
Napomene o logickim veznicima
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 32/757
Negacija je jedini unarni veznik, a svi ostali veznici su binarni.
Binarni veznici ∧, ∨ i ⇔ sy simetricni, pod cime podrazumevamo
da p∗
q ima istu istinitosnu vrednost kao i q∗
p, gde je ∗
bilo koji
od veznika ∧, ∨ i ⇔.
Veznik
⇒nije simetrican: p
⇒q i q
⇒ p imaju razlicite istinitosne
vrednosti.
Matematicka logika – 32 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - I deo
Iskazne formule
Iskazne formule
Iskazne formule
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 33/757
Cilj iskazne logike je da se upotrebom matematicke simbolike prevaziduproblemi koji mogu da nastanu
zbog nemogucnosti da na zadovoljavajuci nacin definisemo pojam
iskaza;
zbog nepreciznosti i visesmislenosti koje se mogu javiti ako se u
logici koristi prirodni jezik.
To znaci da slozeni iskazi, u kojima se javlja vise jednostavnijih iskaza
i vise veznika, treba da se formiraju prema jasno i precizno utvrdenimpravilima.
Matematicka logika – 33 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - I deo
Jezik iskazne logike
Jezik iskazne logike
Jezik iskazne logike
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 34/757
Pri utvrdivanju tih pravila najpre se odreduje jezik koji cine
simboli p, q, r, . . . , p1, q1, r1, . . . kojima se oznacavaju iskazi.
Kao sto smo rekli, oni se zovu iskazna slova;
simboli ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ kojima se oznacavaju logicki veznici.
Secamo se da se oni zovu znaci logickih operacija; znaci ( i ) (zagrade), koje nazivamo pomocni znaci.
Za znak ¬ kazemo da je unaran, a za ostale znake logickih operacijada su binarni znaci.
Matematicka logika – 34 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - I deo
Definicija iskazne formule
Definicija iskazne formule
Definicija iskazne formule
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 35/757
Uz pomoc iskaznih slova, veznika i pomocnih znaka mogu se obrazovatiizrazi, pod cime podrazumevamo konacne nizove tih simbola.
Neke od tih izraza, koje smatramo pravilno formiranim, nazivamo iskaz-
nim formulama.
Naime, iskazne formule definisu se induktivno, pomocu sledecih pravila:
1. Iskazna slova su iskazne formule.
2. Ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi
¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B).3. Iskazne formule su samo oni izrazi koji se mogu formirati pri-
menom pravila 1. i 2. konacan broj puta.
Matematicka logika – 35 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 35 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 35 – Iskazna logika - I deo
Definicija iskazne formule
Definicija iskazne formule
Definicija iskazne formule
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 36/757
Na primer, izrazi
p, ¬¬r, ( p ∧ q), (¬ p ⇒ q), (( p ∨ ¬q) ⇔ (r ∧ ¬ p))
su iskazne formule, dok sledeci izrazi nisu iskazne formule:
( p∧), (⇒ p ⇒).
Svaku podrec, odnosno podniz, iskazne formule koji je i sam iskazna
formula nazivamo njenom podformulom.
Na primer, ¬r i ( p ⇒ ¬q) su podformule iskazne formule(( p ∧ ¬r) ∨ ¬( p ⇒ ¬q)).
Matematicka logika – 36 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 36 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 36 – Iskazna logika - I deo
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 37/757
Prema definiciji, izraz oblika A ⇒ B, gde su A i B formule, nijeformula, jer nema spoljnih zagrada oko tog iskaza.
Medutim, mi uvodimo konvenciju o brisanju zagrada koja obezbeduje
da i takvi izrazi budu formule i olaksava nam rad sa formulama.
Konvenciju o brisanju zagrada cine sledeca pravila:
1. Izostavljaju se spoljne zagrade, kao na primer u izrazima
( p∧
q), (( p⇒
q)⇒
r)
i slicno.
Matematicka logika – 37 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 37 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 37 – Iskazna logika - I deo
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 38/757
2. Uklanjanje zagrada u odnosu na asocijativnost u desno: Ako suA1, A2, . . . , A
n iskazne formule, onda se umesto
(. . . ((A1
∧A2)
∧A3)
∧ · · · ∧An−1)
∧An
pise
A1 ∧ A2 ∧ A3 ∧ · · · ∧ An−1 ∧ A
n
i slicno za veznik ∨.
3. Uvodi se dogovor o redosledu veznika, prema kome su ∧ i ∨
ispred ⇒ i ⇔.Na osnovu toga se veznici ∧ i ∨ odnose na najmanju formulu
koja ih okruzuje, pa se, imajuci to u vidu, odreduju formule na
koje se odnose veznici ⇒ i ⇔.
Matematicka logika – 38 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 38 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 38 – Iskazna logika - I deo
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
Konvencija o brisanju zagrada
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 39/757
Na primer, umesto p ⇒ (q ∧ r) pisemo p ⇒ q ∧ r, a umesto
( p ∧ ¬q) ⇔ (¬ p ∨ r)
pisemo p ∧ ¬q ⇔ ¬ p ∨ r.
Kaze se jos i da veznici ⇒ i ⇔ ” jace razdvajaju” od veznika ∧ i ∨.
Napomenimo i to da se definicija podformule odnosi samo na iskaznu
formulu kod koje nisu uklonjene zagrade.
Na primer, p ⇒ q nije podformula formule p ⇒ q ∧ r.
Matematicka logika – 39 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 39 – Iskazna logika - I deoMatematicka logika – 39 – Iskazna logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 40/757
Iskazna algebra
Iskazna algebra
Iskazna algebra
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 41/757
Osnovno svojstvo iskaza, ma kako slozen bio, jeste da je on ili tacan,ili netacan.
Da bi se pravila za odredivanje istinitosti precizno formalizovala, uvodi
se sledeca matematicka struktura.
Iskazna algebra je dvoelementni skup {1, 0}, zajedno sa jednom unar-
nom operacijom ¬ i cetiri binarne operacije ∧, ∨, ⇒ i ⇔, koje sudefinisane sledecim tablicama:
¬1 0
0 1
∧ 1 01 1 0
0 0 0
∨ 1 01 1 1
0 1 0
⇒ 1 01 1 0
0 1 1
⇔ 1 01 1 0
0 0 1
Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - II deo
Iskazna algebra
Iskazna algebra
Iskazna algebra
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 42/757
Navedene operacije oznacavaju se isto kao odgovarajuci logicki veznici, jer su njima motivisane.
Medutim, to nisu isti pojmovi: znak ∧ u iskaznoj formuli p ∧ q je
zamena za veznik i, a oznaka ∧ u gornjoj tablici oznacava operaciju na
skupu {1, 0}.
Da ponovimo jose jednom, iskazna algebra je uredena sestorka
({1, 0}, ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔).
Njeni elementi 1 i 0 odgovaraju istinitosnim vrednostima iskaza, kakose definise u nastavku.
Matematicka logika – 3 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 3 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 3 – Iskazna logika - II deo
Potreban broj iskaznih slova
Potreban broj iskaznih slova
Potreban broj iskaznih slova
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 43/757
Primetimo da svaka iskazna formula moze sadrzati samo konacno mnogoiskaznih slova.
Sa druge strane, broj iskaznih slova koja se javljaju u svim formulama
ne moze se ograniciti nijednim prirodnim brojem, jer se uvek moze
napraviti nova formula sa vecim brojem iskaznih slova.
Dakle, za formiranje svih iskaznih formula nije dovoljan konacan skupiskaznih slova, ali je dovoljan prebrojiv skup iskaznih slova
p1, p2, p3, . . . , pn, . . .
Zato nadalje podrazumevamo da iskaznih slova ima prebrojivo mnogo
i da ova lista jeste lista svih iskaznih slova.
Matematicka logika – 4 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna vrednost formule
Istinitosna vrednost formule
Istinitosna vrednost formule
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 44/757
Neka je A iskazna formula.Njena istinitost pre svega zavisi od istinitosti iskaznih slova koja se u
njoj javljaju.
Zato odredivanje istinitosne vrednosti formule A mora poceti dodelji-
vanjem izvesnih istinitosnih vrednosti svim iskaznim slovima koja se u
njoj javljaju.
Potom se te istinitosne vrednosti sa slova prenose na celu formulu.
To se moze formalizovati na nacin prikazan u daljem tekstu.
Matematicka logika – 5 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - II deo
Valuacija
Valuacija
Valuacija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 45/757
Valuaciju definisemo kako proizvoljnu funkciju
v : { p1, p2, . . . , pn, . . . } → {1, 0}
iz skupa svih iskaznih slova u skup {1, 0}.
Vrednost v( pi) naziva se istinitosna vrednost iskaznog slova pi.
Drugim recima, valuacija je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svimiskaznim slovima, nezavisno od toga sto se u konkretnimm formulama
koje u datom trenutku razmatramo ne javljaju sva ta slova.
Matematicka logika – 6 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 46/757
Kada razmatranje ogranicimo na formulu AA, ili konacan skup formulaA1, A2, . . . , An, onda su nam bitne istinitosne vrednosti samo onih
slova koja se javljaju u formuli A, odnosno formulama A1, A2, . . . , An.
Zato se, za razliku od valuacije, interpretacija formule A, odnosno
formula A1, A2, . . . , An, definise se kao funkcija
v : { p1, p2, . . . , pk} → {1, 0}
iz skupa svih iskaznih slova koja se javljaju u formuli A, odnosno u
formulama A1, A2, . . . , An, u skup {1, 0}.
Drugim recima, to je dodeljivanje istinitosnih vrednosti svim iskaznim
slovima koja se javljaju u formuli A, odnosno u formulama A1, . . . , An.
Matematicka logika – 7 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - II deo
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 47/757
Neka jev : { p1, p2, . . . , pn, . . . } → {1, 0}
proizvoljna valuacija.
Kao sto smo rekli, valuacija pridruzuje istinitosne vrednosti iskaznim
slovima.
Funkcija v se sa skupa svih iskaznih slova moze prosiriti i na skup svihiskaznih formula.
To se cini induktivnom definicijom, po slozenosti formule, koja omogu-cuje da se istinitosna vrednost formule izvede iz istinitosnih vrednosti
slova koja se u njoj javljaju.
Matematicka logika – 8 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - II deo
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 48/757
Naime, vrednost formule A u valuaciji v definise se na sledeci nacin:
1. Ako formula A jeste iskazno slovo p, onda je
v(A)
def
= v( p).2. Ako je A = ¬B i poznata je vrednost v(B), onda je
v(A) def = ¬v(B).
3. Ako je A = B ∗ C , gde je ∗ jedan od logickih veznika ∧, ∨, ⇒
i ⇔, i poznate su vrednosti v(B) i v(C ), onda je
v(
A)
def
= v
(B
) ∗v
(C
).
Matematicka logika – 9 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - II deo
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 49/757
Dakle,
v(B ∧ C ) = v(B) ∧ v(C ), v(B ∨ C ) = v(B) ∨ v(C ),
v(B ⇒ C ) = v(B) ⇒ v(C ), v(B ⇔ C ) = v(B) ⇔ v(C ).
Primetimo da su vrednosti na desnoj strani jednakosti iz skupa {1, 0},
a znaci ¬, ∧, ∨, ⇒ i ⇔ na desnoj strani predstavljaju operacije u
iskaznoj algebri.
Istim tim znacima na levoj strani oznaceni su logicki veznici.
Matematicka logika – 10 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - II deo
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
Vrednost formule u valuaciji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 50/757
Uocimo jos jednom da vrednost formule zavisi od valuacije u kojoj seposmatra - u razlicitim valuacijama ona moze imati razlicite vrednosti.
Takode, istinitosna vrednost slozenih formula odreduje se tako sto se
najpre odrede istinitosne vrednosti jednostavnijih formula koje je grade,
polazeci od iskaznih slova.
Ako u nekoj valuaciji vrednost formule jednaka 1, onda kazemo da je
formula tacna u toj valuaciji.
Ako je vrednost foremule u toj valuaciji jednaka 0, kazemo da je formulanetacna u toj valuaciji.
Matematicka logika – 11 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 11 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 11 – Iskazna logika - II deo
Primer interpretacije
Primer interpretacije
Primer interpretacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 51/757
Posmatrajmo iskaznu formulu p ∧ (q ⇔ ¬r).Iskazna slova koja se u njoj javljaju su p, q i r. Dodelimo im redom
vrednosti 1, 0, 0. To je jedna intepretacija date formule. Tada je
v( p ∧ (q ⇔ ¬r)) = v( p) ∧ (v(q) ⇔ ¬v(r)) =
= 1 ∧ (0 ⇔ ¬0) =
= 1 ∧ (0 ⇔ 1) == 1 ∧ 0 = 0.
Dakle, u ovoj interpretaciji ova formula je netacna.Za neke druge vrednosti iskaznih slova p, q i r, tj. za neku drugu
interpretaciju, trebalo bi, razume se, ponovo odrediti vrednost formule,
i moze se desiti da tada formula bude i tacna.Matematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - II deo
Istinitosne tablice
Istinitosne tablice
Istinitosne tablice
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 52/757
Da bi se odredile vrednosti formule za sve interpretacije koriste setablice istinitosti ili istinitosne tablice.
Buduci da svakoj interpretaciji formule odgovara jedan raspored simbola
1 i 0 po slovima formule, u tablicu se unose svi ti rasporedi.
Za svaki raspored odreduju se vrednosti podformula i na kraju vrednost
same formule.Ako razlicitih iskaznih slova u formuli ima n, onda svaki raspored sim-
bola 1 i 0 po slovima jeste jedna uredena n-torka tih simbola.
Svih rasporeda, pa tako i svih interpretacija formule, ima dakle 2n.
Matematicka logika – 13 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - II deo
Istinitosne tablice
Istinitosne tablice
Istinitosne tablice
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 53/757
Vratimo se na formulu p ∧ (q ⇔ ¬r) iz ranijeg primera.Svih interpretacija te formule ima 23 = 8, i vrednost formule za svaku
od tih interpretacija odredena je sledecom istinitosnom tablicom:
p q r ¬r q ⇔ ¬r p ∧ (q ⇔ ¬r)
1 1 1 0 0 0
1 1 0 1 1 11 0 1 0 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 1 0 1 1 0
0 0 1 0 1 0
0 0 0 1 0 0
Matematicka logika – 14 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 54/757
Ako je A formula u kojoj ucestvuju iskazna slova p1, . . . , pn, tada toisticemo pisuci A( p1, . . . , pn) umesto A.
Ako je (α1, . . . , αn) ∈ {1, 0}n proizvoljna n-torka elemenata iz skupa
{1, 0}, tada stavljamo
A(α1, . . . , αn) def = v(A),
gde je v(A) vrednost formule A u interpretaciji (α1, . . . , αn) (odnosnov( pi) = αi, za svaki i, 1 i n).
Dakle, formula A odreduje funkciju f A : {1, 0}n → {1, 0}, definisanu
sa
f A(α1, . . . , αn) def = A(α1, . . . , αn).
koje nazivamo istinitosna funkcija formule A.Matematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 55/757
Obratan problem je da se za proizvoljnu funkciju
f : {1, 0}n → {1, 0}
odredi iskazna formula A( p1, . . . , pn), cija bi istinitosna funkcija bilafunkcija f , dakle f = f A.
Dokazacemo da takva formula postoji, odnosno da se svaka funkcija
f : {1, 0}n → {1, 0} (tj. n-arna operacija na skupu {1, 0}) moze na
poseban nacin izraziti pomocu operacija ∧, ∨ i ¬ iskazne algebre.
Matematicka logika – 16 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 56/757
Najpre uvodimo oznaku
xα =
x, α = 1
¬x, α = 0, tj. x1 = x i x0 = ¬x.
Primetimo da vazi sledece:
11
= 1, 01
= 0, 10
= 0, 00
= 1.
Prema tome, za svaki x ∈ {1, 0} vazi
xα = 1 ako i samo ako je x = α.
Matematicka logika – 17 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 57/757
Tvrdenje 1: Za proizvoljno preslikavanje f : {1, 0}n
→ {1, 0} vazi
(⋆) f (x1, . . . , xn) =
(α1,...,αn)∈{1,0}n
f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ xαn
n .
Pre nego sto predemo na dokaz, primetimo da se u ovoj jednakosti
javljaju iskljucivo operacije iskazne algebre (a ne iskazni veznici).
Na primer, za n = 2, gornja jednakost u razvijenom obliku postaje:
f (x1, x2) = (f (1, 1) ∧ x11 ∧ x1
2) ∨ (f (1, 0) ∧ x11 ∧ x0
2)∨
(f (0, 1) ∧ x01 ∧ x12) ∨ (f (0, 0) ∧ x01 ∧ x02), odnosno,
f (x1, x2) = (f (1, 1) ∧ x1 ∧ x2) ∨ (f (1, 0) ∧ x1 ∧ ¬x2)∨
(f (0, 1) ∧ ¬x1
∧ x2
) ∨ (f (0, 0) ∧ ¬x1
∧ ¬x2
).
Matematicka logika – 18 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 58/757
Dokaz: Za proizvoljne b1
, . . . , bn ∈ {1, 0} kao vrednosti promenljivih
x1, . . . , xn, tim redom, vrednost funkcije f je f (b1, . . . , bn) ∈ {1, 0},
a izraz na desnoj strani postaje
(α1,...αn)∈{1,0}n
f (α1, . . . , αn) ∧ bα11 ∧ · · · ∧ bαnn .
Uzimajuci u obzir da, kako smo ranije primetili, za x ∈ {1, 0} vazi
xα = 1 ako i samo ako je x = α,
kao i cinjenicu da je konjunkcija tacna ako i samo ako su svi njeni
clanovi tacni, zakljucujemo da je
bα11 ∧ · · · ∧ bαn
n = 1 ako i samo ako je αi = bi za sve i.
U svim ostalim slucajevima vrednost tog izraza je 0.Matematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - II deo
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
Istinitosna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 59/757
Na ovaj nacin dobijamo da gornja disjunkcija postaje0 ∨ · · · ∨ (f (b1, . . . , bn) ∧ 1) ∨ · · · ∨ 0 = f (b1, . . . , bn),
pa je tvrdenje dokazano.
Matematicka logika – 20 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - II deo
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 60/757
Uzmimo da funkcija f iz Tvrdenja 1. nije jednaka 0 za sve uredenen-torke iz {1, 0}n, tj. da je u njenoj tablici bar jedna vrednost 1.
Ako se tada sa desne strane jednakosti
f (x1, . . . , xn) =
(α1,...,αn)∈{1,0}n
f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ xαn
n .
izostave svi oni izrazi oblika f (α1, . . . , αn) ∧ xα11 ∧ · · · ∧ x
αn
n za koje jef (α1, . . . , αn) = 0, jednakost i dalje vazi, s obzirom da je u iskaznoj
algebri x ∨ 0 = x.
Ako se u preostalim clanovima disjunkcije izostave izrazi f (α1, . . . , αn)
(vrednost svakog od njih je 1) jednakost ponovo ostaje ocuvana, jer je
1 ∧ x = x.
Matematicka logika – 21 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - II deo
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 61/757
Tako se dobija izraz(♣)
f (α1,...αn)=1
xα11 ∧ · · · ∧ xαn
n .
Ako je f konstantno jednaka 0, onda poslednji izraz za nju ocito ne
postoji; u tom slucaju dodeljujemo joj x1 ∧ ¬x1.
Izraz iz (♣) je iskazna formula (to je i x1 ∧ ¬x1), pa je ovim dokazanosledece tvrdenje koje se odnosi na problem sa pocetka odeljka.
Oznacimo iskaznu formulu iz (♣) sa Af .
Matematicka logika – 22 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - II deo
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 62/757
Tvrdenje 2: Neka je f : {1, 0}
n
→ {1, 0} proizvoljna n-arna operacijana skupu {1, 0}.
(a) Ako f nije konstantno jednaka 0, onda se istinitosna vrednost
iskazne formule Af u svakoj interpretaciji poklapa sa odgovarajucom
vrednoscu operacije f .
(b) Ako je f konstantno jednaka 0, onda vrednosti iskazne formulex1 ∧ ¬x1 odgovaraju vrednostima preslikavanja f .
Iskazna formula Af koja se u obliku (♣) pridruzuje funkciji f zove sedisjunktivna normalna forma te funkcije, skraceno DNF.
Matematicka logika – 23 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 23 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 23 – Iskazna logika - II deo
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
Normalna forma funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 63/757
Disjuktivna normalna forma se moze i cisto sintakticki definisati uodnosu na slova p1, . . . , pn kao formula (K 1) ∨ · · · ∨ (K m), gde su
K i razlicite konjunkcije svih navedenih slova sa negacijom ili bez nje.
Ukoliko se ne zahteva da u svakoj konjunkciji ucestvuju uvek sva slova
koja se u formuli javljaju, formula se zove disjunktivna forma.
Formula( p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ r)
je jedna disjunktivna normalna forma u odnosu na promenljive
p, q i r, a
¬ p ∨ ( p ∧ ¬q ∧ ¬r) ∨ (¬ p ∧ ¬r)
je primer disjunktivne forme.Matematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - II deo
Primer normalne forme
Primer normalne forme
Primer normalne forme
{ }3 { }
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 64/757
Neka je f : {1, 0}3 → {1, 0}, gde je
p q r f ( p, q, r)
1 1 1 0
1 1 0 1 ∗1 0 1 1 ∗
1 0 0 0
0 1 1 00 1 0 1 ∗
0 0 1 0
0 0 0 0
Da bi odredili formulu koja odgovara
funkciji f , najpre izdvajamo one inter-pretacije slova p, q, r za koje funkcija
f ima vrednost 1 (one oznacene sa ∗).
Zatim se za svaku takvu trojku(α , β , γ ) ∈ {1, 0}3 obrazuje konjunk-
cija pα ∧ qβ ∧ rγ .
Konacno, disjunkcija tih izraza jeste iskazna formula
( p ∧ q ∧ ¬r) ∨ ( p ∧ ¬q ∧ r) ∨ (¬ p ∧ q ∧ ¬r).
Matematicka logika – 25 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - II deo
Normalna forma formule
Normalna forma formule
Normalna forma formule
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 65/757
Osim o disjunktivnoj normalnoj formi funkcije, mozemo govoriti i odisjunktivnoj normalnoj formi iskazne formule A.
To je zapravo disjunktivna normalna forma istinitosne funkcije f A.
Takode, mozemo govoriti i o konjuktivnoj normalnoj formi preslikavanja
i formule, skraceno KNF.
Do njih mozemo doci iz disjunktivne normalne forme koriscenjem De
Morganovih zakona, o kojima govorimo u narednom odeljku.
Matematicka logika – 26 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - II deo
Tautologije
Tautologije
Tautologije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 66/757
Iskazna formula je tautologija, ako je tacna u svakoj valuaciji, odnosnointerpretaciji.
U njenoj tablici istinitosti, sve vrednosti u poslednjoj koloni, koja odgo-
vara celoj formuli, su jednake 1.
Jednostavan primer tautologije je formula p ∨ ¬ p.
Ta formula zove se Zakon iskljucenja treceg i opisuje poznato pravilologickog misljenja koje primenjujemo u klasicnoj dvovalentnoj logici.
Sve tautologije su vise ili manje poznati logicki zakoni.
U nastavku je naveden spisak poznatijih tautologija – logickih zakona
– sa njihovim nazivima.
Matematicka logika – 27 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 67/757
Zakon iskljucenja treceg (Tertium non datur)
p ∨ ¬ p
Ovo znaci: ”Tacno je p ili ¬ p”, odnosno: ” p je tacno ili netacno”
Kao sto smo rekli, ovo je zakon na kome pociva klasicna dvovalentnalogika – logika sa samo dve moguce istinitosne vrednosti 1 i 0.
U novije vreme izucavaju se i neke logike sa vise mogucih istinitosnih
vrednosti – intuicionisticka logika (koja je trovalentna), polivalentne
logike, modalne logike itd.
Matematicka logika – 28 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 68/757
Zakon neprotivrecnosti
¬( p ∧ ¬ p)
Ovo znaci: ” p i ¬ p ne mogu biti istovremeno tacni”
Drugim recima: ” p ne moze biti istovremeno tacno i netacno”
Naravno, i ovo je jedan od osnovnih logickih zakona koji kaze da ne-
protivrecnosti nisu dozvoljene.
Matematicka logika – 29 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 69/757
Zakon odvajanja – Modus ponendo ponens, ili krace, samo Modusponens
p ∧ ( p ⇒ q) ⇒ q
Ovo znaci: ”Ako je tacno p, i ako iz p sledi q, onda je tacno i q”
Ovo je zakon na kome pociva osnovno pravilo deduktivnog zakljucivanja
u iskaznoj logici, i uopste u matematici.
Ovaj zakon kaze da iz pretpostavki da vaze stavovi p i p ⇒ q za-kljucujemo da vazi i q, sto radimo kadgod koristimo deduktivno za-
kljucivanje.
Matematicka logika – 30 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
M d t ll d t ll
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 70/757
Modus tollendo tollens
¬q ∧ ( p ⇒ q) ⇒ ¬ p
Ovo znaci: ”Ako iz p sledi q i ako nije tacno q, tada nije tacno ni p”
Na ovom zakonu temelji se metod opovrgivanja – ukoliko smo ustanovilida se iz neke pretpostavke (u ovom slucaju p) moze izvesti pogresan za-
kljucak (ovde je to q), onda zakljucujemo da je pretpostavka pogresna.
Ovaj metod je u sirokoj upotrebi u empirijsko-deduktivnim naukama.
Matematicka logika – 31 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
M d t ll d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 71/757
Modus tollendo ponens
¬ p ∧ ( p ∨ q) ⇒ q
Ovo znaci: ”Ako je tacno jedno od p i q, i nije tacno p, tada mora biti
tacno q”
Zakon pojednostavljivanja
p ∧ q ⇒ p
Ovo znaci: ”Ako je tacno ” p i q”, onda je tacno i p”Matematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon hipotetickog silogizma
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 72/757
Zakon hipotetickog silogizma
( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ r) ⇒ ( p ⇒ r)
Ovo znaci: ”Ako iz p sledi q i iz q sledi r, onda iz p sledi r”
Potsecamo da smo o ovom zakonu smo govorili na pocetku ove nastav-ne teme, kada smo hipoteticki silogizam prikazali kao jedan od primera
logicke argumentacije.
Matematicka logika – 33 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon svodenja na apsurd Reductio ad absurdum
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 73/757
Zakon svodenja na apsurd – Reductio ad absurdum
( p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬ p
Ovo znaci: ”Ako se iz p moze izvesti kontradikcija, onda p nije tacno”
Ovaj zakon veoma cesto koristimo u matematickim dokazima – ako,polazeci od neke pretpostavke, dodemo do kontradikcije, to znaci da
nam ta pretpostavka nije bila dobra, odnosno da vazi suprotno.
Matematicka logika – 34 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Istina iz proizvoljnog – Verum ex quolibet
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 74/757
Istina iz proizvoljnog – Verum ex quolibet
p ⇒ (q ⇒ p)
Ovo znaci: ”Ako je p tacno, onda p sledi iz bilo cega”
Matematicka logika – 35 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 35 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 35 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Iz laznog proizvoljno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 75/757
Iz laznog proizvoljno
¬ p ⇒ ( p ⇒ q)
Ovo znaci: ”Ako je p nije tacno, onda iz p sledi bilo sta”
Ili: ”Iz lazi moze da se zakljuci bilo sta”
Ovaj zakon pokazuje da, ako bi neka matematicka teorija bila pro-
tivrecna, tj. ako bi se u njoj mogla dokazati kontradikcija, onda ta
teorija ne bi bila besmislena samo zbog te cinjenice, vec i zbog toga
sto bi onda svako drugo tvrdenje u toj teoriji bilo teorema.
Matematicka logika – 36 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 36 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 36 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon zakljucivanja iz suprotnog – Ex contrario
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 76/757
Zakon zakljucivanja iz suprotnog Ex contrario
(¬ p ⇒ p) ⇒ p
I ovo je zakon koji cesto koristimo u matematickim dokazima – ako
pretpostavimo da neki iskaz p ne vazi, i iz toga zakljucimo da on ipakmora da vazi, onda iz svega toga zakljucujemo da je p tacan iskaz.
U sustini, ovo se svodi na Zakon svodjenja na apsurd jer iskazi ¬ p
i ¬ p ⇒ p zajedno daju kontradikciju (tj. iskaz ¬ p ∧ (¬ p ⇒ p) je
kontradikcija).
Matematicka logika – 37 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 37 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 37 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon dvostruke negacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 77/757
Zakon dvostruke negacije
p ⇔ ¬¬ p
Ovaj zakon koristimo za uproscavanje logickih izraza, eliminacijom vise-
struke upotrebe negacije.
Matematicka logika – 38 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 38 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 38 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon kontrapozicije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 78/757
Zakon kontrapozicije
( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)
Ovo je jos jedan od zakona koje cesto koristimo u dokazima.
Naime, cesto tvrdenje u formi implikacije p ⇒ q dokazujemo tako stodokazujemo ekvivalentnu formu te implikacije ¬q ⇒ ¬ p.
Matematicka logika – 39 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 39 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 39 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
De Morganovi zakoni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 79/757
De Morgano i akoni
¬( p ∧ q) ⇔ ¬ p ∨ ¬q
¬( p ∨ q) ⇔ ¬ p ∧ ¬q
De Morganovi zakoni nam kazu kako negacija ”prolazi” kroz konjunkciju
i disjunkciju.
Matematicka logika – 40 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 40 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 40 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Ako iskoristimo Zakon dvojne negacije i tranzitivnost ekvivalencije, iz
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 80/757
j g j j ,
De Morganovih zakona dolazimo do tautologija
p ∧ q ⇔ ¬(¬ p ∨ ¬q)
p ∨ q ⇔ ¬(¬ p ∧ ¬q)
One se koriste za eliminaciju veznika ∧ ili ∨, tj. za zamenu veznika ∧
veznicima ¬ i ∨, odnosno veznika ∨ veznicima ¬ i ∧.
Matematicka logika – 41 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 41 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 41 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakoni ekvivalencije za implikaciju, disjunkciju i konjunkciju
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 81/757
( p ⇒ q) ⇔ ¬ p ∨ q
p ∨ q ⇔ (( p ⇒ q) ⇒ q) p ∧ q ⇔ ¬( p ⇒ ¬q)
Prvi zakon se koristi za eliminaciju implikacije, njenom zamenom ne-
gacijom i disjunkcijom.
Drugi se koristi za eliminaciju disjunkcije, njenim izrazavanjem pomocuimplikacije.
Treci zakon sluzi za eliminaciju konjunkcije i njeno izrazavanje pomocu
negacije i implikacije.Matematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 42 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon negacije implikacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 82/757
g j p j
¬( p ⇒ q) ⇔ p ∧ ¬q
Jasno, ovo je drugacija forma Zakona ekvivalencije za implikaciju.
Zakon ekvivalencije
( p ⇔ q) ⇔ ( p ⇒ q) ∧ (q ⇒ p)
Ovaj zakon omogucuje da ekvivalenciju p ⇔ q tretiramo kao kon-
junkciju implikacija p ⇒ q i q ⇒ p.
Matematicka logika – 43 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 43 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 43 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakon unosenja i iznosenja
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 83/757
( p ∧ q ⇒ r) ⇔ ( p ⇒ (q ⇒ r))
Zakoni komutativnosti
p ∧ q ⇔ q ∧ p
p ∨ q ⇔ q ∨ p
Matematicka logika – 44 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 44 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 44 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakoni apsorpcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 84/757
p ∧ ( p ∨ q) ⇔ p
p ∨ ( p ∧ q) ⇔ p
Zakoni idempotentnosti
p ∧ p ⇔ p
p ∨ p ⇔ p
Matematicka logika – 45 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 45 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 45 – Iskazna logika - II deo
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Logicki zakoni
Zakoni asocijativnosti
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 85/757
p ∧ (q ∧ r) ⇔ ( p ∧ q) ∧ r
p ∨ (q ∨ r) ⇔ ( p ∨ q) ∨ r
Zakoni distributivnosti
p ∧ (q ∨ r) ⇔ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r)
p ∨ (q ∧ r) ⇔ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r)
Matematicka logika – 46 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 46 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 46 – Iskazna logika - II deo
Tautološke implikacije i ekvivalencije
Tautološke implikacije i ekvivalencije
Tautološke implikacije i ekvivalencije
Ako su A i B iskazne formule i A ⇒ B je tautologija, onda tu formulu
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 86/757
nazivamo tautoloska implikacija.
Tada kazemo da iskaz koji odgovara formuli A tautoloski implicira iskaz
dat formulom B.
Slicno, ako je A ⇔ B tautologija, onda se ta formula naziva tautoloska
ekvivalencija.Za iskaze koji odgovaraju formulama A i B se tada kaze da su tautoloski
ekvivalentni.
Medu napred navedenim logickim zakonima puno je primera tautoloskih
implikacija i ekvivalencija.
Matematicka logika – 47 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 47 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 47 – Iskazna logika - II deo
Još o tautologijama
Još o tautologijama
Još o tautologijama
Napomenimo da je u jezik pogodno uvesti i simbole 1 i 0, koje shvatamo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 87/757
kao konstantne simbole, ili redom kao zamene za formule p ∨ ¬ p i
p ∧ ¬ p.
U svakom slucaju, ti znaci interpretiraju se kao isto oznacene konstanteiskazne algebre.
Tada su tautologije i formule
p ∧ 1 ⇔ p, p ∨ 0 ⇔ p, ( p ⇒ 1) ⇔ 1
i slicno.
Matematicka logika – 48 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 48 – Iskazna logika - II deoMatematicka logika – 48 – Iskazna logika - II deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 88/757
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Tvrdenje 3: Ako su formule A i A ⇒ B tautologije, onda je tau-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 89/757
tologija i formula B.
Dokaz: Neka su A i A ⇒ B tautologije.Pretpostavimo da B nije tautologija. Tada postoji valuacija v takva da
je v(B) = 0, odakle, zbog cinjenice da je A tautologija, dobijamo da
je
v(A ⇒ B) = v(A) ⇒ v(B) = 1 ⇒ 0 = 0,
sto je u suprotnosti sa pretpostavkom da je A ⇒ B tautologija.Dakle, zakljucujemo da B mora biti tautologija.
Matematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 2 – Iskazna logika - III deo
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Tvrdenje 4: Ako je A( p1, p2, . . . , pn) tautologija a B je formula do-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 90/757
bijena iz A zamenom tih iskaznih slova redom formulama A1, A2,
. . . , An, onda je i B tautologija.
Dokaz: Neka je A tautologija i neka je v proizvoljna valuacija.
Za svaki i, 1 i n, neka je v(Ai) = αi. Prema definiciji formule B
imamo da je
v(B) = A(α1, α2, . . . , αn) = 1,
jer je A tautologija.
Prema tome, dokazali smo da je i B tautologija.
Matematicka logika – 3 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 3 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 3 – Iskazna logika - III deo
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Primer: Formula
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 91/757
¬A ⇒ (A ⇒ (B ∧ ¬B))
je tautologija jer se moze dobiti iz tautologije ¬ p ⇒ ( p ⇒ q) zamenom
promenljivih p i q formulama A i B ∧ ¬B, tim redom.
Matematicka logika – 4 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 4 – Iskazna logika - III deo
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Tvrdenje 5: Neka su A1, A i B formule takve da je A podformula neke
form le A1 i neka je B1 form la dobijena i A1 amenom podform le
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 92/757
formule A1, i neka je B1 formula dobijena iz A1 zamenom podformuleA formulom B. Tada je tautologija i formula
(A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1).
Dokaz: Neka je v proizvoljna valuacija.
Ako je v(A) = v(B), tada je v(A ⇔ B) = 0, pa je
v((A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1.
Ukoliko je v(A) = v(B), onda je i v(A1) = v(B1), jer se formule A1
i B1 razlikuju samo u podformulama A i B. Prema tome,v((A ⇔ B) ⇒ (A1 ⇔ B1)) = 1 ⇒ 1 = 1.
Ovim smo dokazali da je (A ⇔ B) ⇒ (A1
⇔ B1
) tautologija.Matematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 5 – Iskazna logika - III deo
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Prethodno tvrdenje se moze formulisati i kao: Ako su formule A i B
l ˇki k i l d i A i B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 93/757
tautoloski ekvivalentne, onda su to i A1 i B1.
Da je formula A tautologija, zapisuje se krace sa |= A.
U dokazu da je neka formula tautologija, cesto se koristi sledece
Tvrdenje 6: Ako je |= A ⇔ B i |= A, onda je i |= B.
Dokaz: Jednostavan je i ostavlja se za vezbu.
Tvrdenje 7: |= A ∧ B ako i samo ako je istovremeno |= A i |= B.
Matematicka logika – 6 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 6 – Iskazna logika - III deo
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Svojstva tautologija
Tvrdenje 8:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 94/757
a) |= A ⇔ A;
b) ako je |= A
⇔ B
, onda je |= B
⇔ A
;
c) ako je |= A ⇔ B i |= B ⇔ C , onda je |= A ⇔ C .
Napomena. Izrazi koji se ovde i nadalje javljaju i sadrze znak |= nisu
formule u teoriji iskaza.
Oni pripadaju jeziku kojim govorimo o iskaznim formulama i sluze za
sazeto zapisivanje nekih tvrdenja o njima.
Matematicka logika – 7 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 7 – Iskazna logika - III deo
Kontradikcije. Zadovoljive formule
Kontradikcije. Zadovoljive formule
Kontradikcije. Zadovoljive formule
Iskazna formula je kontradikcija ako nije tacna ni u jednoj interpretaciji.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 95/757
Takva je na pr. formula p ∧ ¬ p.
Ocigledno, ako je A kontradikcija, onda je ¬A tautologija i obratno.
Za iskaznu formulu se kaze da je zadovoljiva ako postoji interpretacijau kojoj je tacna.
Zapravo, iskaz ”A je zadovoljiva formula” je negacija iskaza ”A je
kontradikcija”.
Matematicka logika – 8 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 8 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Na osnovu pravila logickog zakljucivanja se obicno iz poznatih iskaza -
premisa izvode zakljucci
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 96/757
premisa, izvode zakljucci.
U iskaznoj logici se taj pojam precizno definise, na sledeci nacin.
Neka su A1, A2, . . . , An i B iskazne formule.
Za formulu B kazemo da je semanticka posledica skupa formula
A1, A2, . . . , An
ukoliko vazi da kad god su u nekoj valuaciji tacne sve formule iz tog
skupa, onda je u toj valuaciji tacna i formula B.
To belezimo krace sa
A1, A2, . . . , An |= B,
ili sa A |= B kada je n = 1 i A1 = A.Matematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 9 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Formule A1, A2, . . . , An nazivamo hipotezama ili pretpostavkama, tj.
kazemo da je B semanticka posledica skupa hipoteza A A A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 97/757
kazemo da je B semanticka posledica skupa hipoteza A1, A2, . . . , An.
U tom nazivu treba istaci prefiks ”semanticka”.
On treba da oznaci da, kada se B izvodi kao zakljucak iz skupa hipoteza
A1, A2, . . . , An, vodimo racuna o istinitosti tih hipoteza.
Osim ovog pojma, postoji i pojam ”sintaksicke posledice” skupa hipotezaA1, A2, . . . , An.
U tom slucaju, pri izvodenju formule B kao zakljucka iz skupa hipoteza
A1, A2, . . . , An, nece nas zanimati istinitost tih hipoteza, vec cemo
voditi racuna jedino o tome da li smo prilikom izvodenja koristili dozvo-
ljena pravila izvodenja ili ne.
Matematicka logika – 10 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 10 – Iskazna logika - III deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 98/757
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Primetimo da su obe formule p ∨ q i p ⇒ r tacne ako i samo ako je
tacna njihova konjunkcija (p ∨ q) ∧ (p ⇒ r) pa vazi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 99/757
tacna njihova konjunkcija ( p ∨ q) ∧ ( p ⇒ r), pa vazi
p ∨ q, p ⇒ r |= q ∨ r
ako i samo ako vazi
( p ∨ q) ∧ ( p ⇒ r) |= q ∨ r.
To ce, u opstijem obliku, biti dokazano u jednom od narednih tvrdenja.
Matematicka logika – 12 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 12 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Tvrdenje 1.9 A |= B ako i samo ako je |= A ⇒ B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 100/757
Dokaz: Pretpostavimo da vazi A |= B.
Naka je data proizvoljna valuacija v. Ako je v(A ⇒ B) = 0, ondamora biti v(A) = 1 i v(B) = 0.
Medutim, to nije moguce, jer iz v(A) = 1 sledi v(B) = 1, s obzirom
da vazi A |= B.
Dakle, zakljucujemo da mora biti v(A ⇒ B) = 1, za proizvoljnu
valuaciju v, sto znaci da je |= A ⇒ B.
Matematicka logika – 13 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 13 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Obratno, neka je |= A ⇒ B i v je valuacija takva da je v(A) = 1.
Uk lik bi bil (B) d bi bil i (A B) ˇ i ˇi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 101/757
Ukoliko bi bilo v(B) = 0, tada bi bilo i v(A ⇒ B) = 0, sto protivreci
pretpostavci da je |= A ⇒ B.
Prema tome, zakljucujemo da je v(B) = 1, cime smo dokazali da je
A |= B.
Matematicka logika – 14 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 14 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Opstije od ovog tvrdenja je sledece tvrdenje koje se slicno dokazuje.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 102/757
Tvrdenje 10: Neka je n > 1. Tada je A1, . . . , An−1, An |= B ako i
samo ako A1, . . . , An−1 |= An ⇒ B.
Ovo tvrdenje predstavlja nesto sto veoma cesto koristimo u svako-
dnevnoj matematickoj praksi.Naime, kada iz nekih pretpostavki A1, . . . , An−1 izvodimo neki zaklju-
cak koji ima oblik implikacije, An ⇒ B, to cesto radimo tako sto pre-
misu An prikljucujemo hipotezama, i iz pretpostavki A1, . . . , An−1, An
dokazujemo B.
Matematicka logika – 15 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 15 – Iskazna logika - III deo
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Hipoteze i posledice
Tvrdenje 11: A1, . . . , An |= B ako i samo ako A1 ∧ · · · ∧ An |= B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 103/757
Dokaz: Kao sto smo vec napomenuli, sve formule A1, . . . , An su tacne
u nekoj valuaciji ako i samo ako je u toj valuaciji tacna formula
A1 ∧ · · · ∧ An.
Imajuci u vidu ovu napomenu i definiciju semanticke posledice, tvrdenjemozemo smatrati dokazanim.
Matematicka logika – 16 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 16 – Iskazna logika - III deo
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Za skup formula {A1, . . . , An} kazemo da je neprotivrecan ako postoji
neka valuacija u kojoj su sve te formule tacne.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 104/757
j j j
Sa druge strane, za ovaj skup formula kazemo da je protivrecan, ili da
je kontradiktoran, ako ni u jednoj valuaciji sve formule iz tog skupane mogu biti istovremeno tacne, odnosno ako je u svakoj valuaciji bar
jedna od njih netacna.
Umesto skup formula, kaze se i da su same formule protivrecne, odnosno
neprotivrecne.
Matematicka logika – 17 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 17 – Iskazna logika - III deo
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Tvrdenje 1.12 Ako je neka kontradikcija posledica formula A1, . . . , An,
onda su te formule protivrecne.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 105/757
p
Dokaz: Ako je B kontradikcija i A1, . . . , An |= B, onda prema Tvrde-
njima 1.9 i 1.10 imamo da vazi |= A1 ∧ · · · ∧ An ⇒ B.
Odavde zakljucujemo da konjunkcija A1 ∧ · · · ∧ An mora biti netacna
u svakoj interpretaciji, jer je takva i formula B, cime smo dobili dabar jedna od formula A1, . . . , An mora biti netacna, pa su te formule
protivrecne.
Naravno, vazi i obratno tvrdenje, s obzirom da se iz protivrecnog skupa
hipoteza moze izvesti bilo koja formula, pa time i kontradikcija.
Matematicka logika – 18 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 18 – Iskazna logika - III deo
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Zakon svodenja na protivrecnost, tj. tautologija
( ⇒ ∧ ) ⇒
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 106/757
( p ⇒ q ∧ ¬q) ⇒ ¬ p,
moze se prosiriti na izvodenje zakljucaka iz hipoteza.
Naime, ako se iskaz p zameni formulom A ∧ ¬B, i ako se kontradikcija
q ∧ ¬q oznaci sa C , a negacija konjunkcije se predstavi odgovarajucom
implikacijom, dobija se formula
((A ∧ ¬B) ⇒ C ) ⇒ (A ⇒ B).
Tumacenje ovog pravila daje naredno tvrdenje, na kome se zasnivapoznati metod indirektnog dokaza, o kome ce vise reci biti kasnije.
Matematicka logika – 19 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 19 – Iskazna logika - III deo
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Neprotivrecan skup formula
Tvrdenje 13: Ako se neka kontradikcija moze izvesti kao posledica
hipoteza A1, . . . , An, ¬B, onda je B posledica hipoteza A1, . . . , An.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 107/757
Dokaz: Neka je C neka kontradikcija i neka je
A1, . . . , An, ¬B |= C.
Prema Tvrdenju 1.11 imamo da vazi
A1, . . . , An |= ¬B ⇒ C.
Neka je sada v proizvoljna valuacija u kojoj su tacne sve formule
A1, . . . , An. Tada je v(¬B ⇒ C ), i kako je v(C ) = 0, jer je C
kontradikcija, to mora biti v(¬B) = 0, odnosno v(B) = 1.
Prema tome, dokazali smo da vazi A1, . . . , An |= B.
Matematicka logika – 20 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 20 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Zadatak 1. Neka je data sledeca argumentacija:
Ako je nanje stanje ma (pop t osecaja bola) onda bih na osno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 108/757
• Ako je znanje stanje uma (poput osecaja bola), onda bih na osnovu
samopromatranja uvek mogao da kazem sta znam.
• Ako bih na na osnovu samopromatranja uvek mogao da kazem sta
znam, onda nikad ne bih bio u zabludi da znam.
• Ja sam ponekad u zabludi da znam.
• Dakle, znanje nije stanje uma.
Prevesti ove recenice u iskazne formule i ustanoviti da li je argumen-tacija ispravna.
Matematicka logika – 21 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 21 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Resenje: Uvedimo sledece oznake:
p ”Z j j t j ”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 109/757
p – Znanje je stanje uma .
q – ”Na osnovu samopromatranja mogu da kazem sta znam”.
r – ”Ponekad sam u zabludi da znam”.
Tada se prva premisa P 1 moze predstaviti formulom p ⇒ q, druga
premisa P 2 formulom q ⇒ ¬r, treca premisa P 3 formulom r, a za-
kljucak C formulom ¬ p.
Dokaz ispravnosti ove argumentacije je zapravo dokaz da formula
P 1 ∧ P 2 ∧ P 3 ⇒ C.
jeste tautologija, sto dokazujemo koristeci njenu istinitosnu tablicu.
Matematicka logika – 22 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 22 – Iskazna logika - III deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 110/757
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Zadatak 2. Prevesti sledeca tvrdenja u iskazne formule i odrediti is-
pravnost argumentacije:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 111/757
Premisa 1: Ako su jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva bili
batler i sobarica, tada je batler ubica ili je sobarica ubica.Premisa 2: Jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva su bili batler
i sobarica.
Premisa 3: Ako je sobarica ubica, onda je sobarica imala motiv za
ubistvo.
Premisa 4: Sobarica nije imala motiv za ubistvo.
Zakljucak: Batler je ubica.
Matematicka logika – 24 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 24 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Resenje: Uvedimo sledece oznake za iskaze:
P : ”Jedine osobe prisutne u kuci u vreme ubistva su bili batler i sobarica”,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 112/757
B: ”Batler je ubica”,
S : ”Sobarica je ubica”,
M : ”Sobarica je imala motiv za ubistvo”.
Tada se gornja argumentacija moze izraziti na sledeci nacin:
Premisa 1: P ⇒ B ∨ S Premisa 2: P
Premisa 3: S ⇒ M
Premisa 4: ¬M
Zakljucak: B
Matematicka logika – 25 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 25 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Svodenjem na protivrecnost dokazacemo da je argumentacija ispravna.
Pretpostavimo da argumentacija nije ispravna, tj. da postoji valuacija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 113/757
p g j j p , j p j j
v u kojoj su sve premise tacne, a zakljucak nije tacan, tj.
v(P ⇒ B ∨ S ) = 1, v(P ) = 1, v(S ⇒ M ) = 1,
v(¬M ) = 1, v(B) = 0.
Odavde dobijamo da jev(P ) = 1, v(M ) = 0, v(B) = 0,
i iz v(S ⇒ M ) = 1 i v(M ) = 0 zakljucujemo da je
v(S ) = 0.
Matematicka logika – 26 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 26 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Ako sada iskoristimo sve te vrednosti, dobijamo
v(P ⇒ B ∨ S) = 1 ⇒ 0 ∨ 0 = 1 ⇒ 0 = 0,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 114/757
v(P ⇒ B ∨ S ) 1 ⇒ 0 ∨ 0 1 ⇒ 0 0,
sto je u suprotnosti sa pretpostavkom
v(P ⇒ B ∨ S ) = 1.
Dakle, zakljucujemo da nam je pretpostavka bila pogresna, tj. da je
argumentacija ispravna.
Matematicka logika – 27 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 27 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Zadatak 3. Cetiri prijatelja - Arthur, Betty, Charles i Dorothy - su
osumnjiceni za ubistvo. Pred istraznim sudijom oni su izjavili sledece:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 115/757
Arthur: Ako je Betty kriva, kriva je i Dorothy.
Betty: Arthur je kriv, a Dorothy nije kriva.Charles: Ja nisam kriv, ali su Arthur ili Dorothy krivi.
Dorothy: Ako Arthur nije kriv, tada je kriv Charles.
Za X ∈ {A , B , C , D} neka je sa X predstavljen iskaz ”X je nevin”.
(a) Da li su ove cetiri izjave neprotivrecne, odnosno da li je skup formula
dobijen prevodenjem u iskaznu logiku neprotivrecan?(b) Ako svako govori istinu, ko je kriv?
Opravdati odgovore.
Matematicka logika – 28 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 28 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Resenje: Gornje izjave prevodimo u formule na sledeci nacin:
Arthur: ¬B ⇒ ¬D;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 116/757
Betty: ¬A ∧ D;
Charles: C ∧ (¬A ∨ ¬D);Dorothy: A ⇒ ¬C .
Kada bi gornje formule imale manji broj iskaznih slova, onda bi se ne-
protivrecnost tog skupa formula mogla dokazati formiranjem zajednicke
tablice istinitosti za te formule, odakle bi se jasno videlo da li postoji
interpretacija u kojoj su sve cetiri formule tacne.
Medutim, ovde imamo 4 iskazna slova, pa bi ta tablica bila suvise velika.
Zbog toga koristimo drugaciju metodologiju.
Matematicka logika – 29 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 29 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Pretpostavimo da postoji interpretacija v tih formula u kojoj su sve
cetiri formule tacne, i odredimo vrednosti iskaznih slova A, B, C i D
j i iji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 117/757
u toj interpretaciji.
Iz v(¬A ∧ D) = 1 dobijamo da je v(A) = 0 i v(D) = 1.Dalje, iz v(C ∧ (¬A ∨ ¬D)) = 1 sledi da je v(C ) = 1.
Konacno, iz v
(¬B
⇒ ¬D
) = 1 i v
(¬D
) = 0 sledi da je v
(¬B
) = 0,tj. v(B) = 1.
Prema tome, dobili smo da je interpretacija v zadata sa
v =
A B C D
0 1 1 1
Matematicka logika – 30 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 30 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Ako se sada vratimo unazad, dobicemo da su sve cetiri formule tacne
u interpretaciji v, sto znaci da je gornji skup formula neprotivrecan, tj.
d i j i i ˇ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 118/757
da izjave nisu protivrecne.
Takode, ako su sve cetiri izjave tacne, onda iz napred pokazanog sledida se to moze desiti samo u slucaju gornje interpretacije v, sto znaci
da je Arthur kriv, a da su ostali nevini.
Matematicka logika – 31 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 31 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Zadatak 4. Postoji ostrvo na kome zive dve vrste stanovnika:
vitezovi, koji uvek govore istinu, i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 119/757
nitkovi, koji uvek lazu.
Svaki stanovnik ostrva pripada tacno jednoj od ovih grupa.
Neka su A i B dva stanovnika ostrva.
(a) Ako stanovnik A kaze: ”Ja sam nitkov ili je B vitez”, sta su ondastanovnici A i B?
(b) Ako stanovnik A kaze: ”Ili sam ja nitkov ili je B vitez”, sta su onda
stanovnici A i B?
Matematicka logika – 32 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 32 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Resenje: Oznacimo iskaz ”A je nitkov” sa p, a ”B je vitez” sa q.
Tada je iskaz ”A je nitkov ili je B vitez” predstavljen sa p ∨ q, a iskaz
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 120/757
”Ili je A nitkov, ili je B vitez” sa p ⊕ q.
(a) Ako je v( p) = 1, to znaci da je A nitkov, tj.
da laze, pa je v( p ∨ q) = 0, sto nije moguce.
Dakle, v( p) = 0, sto znaci da je A vitez, odnosnoda govori istinu, pa je v( p ∨ q) = 1, odakle sledi
da je v(q) = 1.
Dakle, A i B su vitezovi.
p q p ∨ q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Matematicka logika – 33 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 33 – Iskazna logika - III deo
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
Primeri logicke argumentacije
(b) Ako je v( p) = 1, to znaci da je A nitkov, tj.
da laze, pa je v( p ⊕ q) = 0, odakle sledi da jev(q) = 1.
p q p ⊕ q
1 1 0
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 121/757
Dakle, u ovom slucaju je A nitkov, a B vitez.
Neka je sada v( p) = 0. Tada je A vitez, odnos-
no da govori istinu, pa je v( p ⊕ q) = 1, odakle
ponovo sledi da je v(q) = 1.
Dakle, u ovom slucaju su i A i B su vitezovi.
1 0 1
0 1 10 0 0
Matematicka logika – 34 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - III deoMatematicka logika – 34 – Iskazna logika - III deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 122/757
Pojam skupa
Pojam skupa
Pojam skupa
U matematici se pojam skup ne definise eksplicitno.
On predstavlja osnovni pojam, poput pojma tacke ili prave u geometriji.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 123/757
Sustinsko svojstvo skupa je da se on sastoji od elemenata ili clanova.
Osnovni odnos izmedu elemenata i skupova je pripadanje.
Izraz ”a pripada A” se simbolickim matematickim jezikom pise
a ∈ A
Kaze se i da je a element skupa A, ili da je a sadrzan u A.
Izraz ”a ne pripada skupu A”, odnosno negacija formule a ∈ A, se
simbolicki oznacava sa a ∈ A.
Matematicka logika – 2 – SkupoviMatematicka logika – 2 – SkupoviMatematicka logika – 2 – Skupovi
Pojam skupa
Pojam skupa
Pojam skupa
Za simbolicko oznacavanje skupova najcesce koristimo slova latinskog
alfabeta.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 124/757
Pri tome, skupove obicno oznacavamo velikim slovima a njihove ele-
mente malim.Primeri skupova:
skup svih Beogradana
skup svih nacija
skup celih brojeva
skup svih reci
sve osobe koje imaju odredenu osobinu zajedno cine skup
svi tipovi u programskim jezicima (integer, real) cine skupove
Matematicka logika – 3 – SkupoviMatematicka logika – 3 – SkupoviMatematicka logika – 3 – Skupovi
Pojam skupa
Pojam skupa
Pojam skupa
Napomena: Cesto sami skupovi jesu elementi drugih skupova.
Primeri:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 125/757
Primeri:
prava, kao skup tacaka u ravni, pripada skupu svih pravih te ravni
nacija, kao skup individua, pripadnika te nacije, pripada skupu svih
nacija
Matematicka logika – 4 – SkupoviMatematicka logika – 4 – SkupoviMatematicka logika – 4 – Skupovi
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Navodenjem svih njegovih elemenata, izmedu viticastih zagrada
{ i }.
{3 6 7} K ˇ k l i 3 6 i 7
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 126/757
{3, 6, 7} Konacan skup, sa elementima 3, 6 i 7.
Ovakav nacin zadavanja skupova koristi se za konacne
skupove sa ne tako velikim brojem elemenata, koje je
tehnicki moguce sve navesti
{1, 2, . . . , n} Konacan skup sa vecim brojem elemenata koje tehnicki nije
moguce sve navesti, zbog cega stavljamo tri tacke ”. . .”koje znace ”i tako dalje, po istom obrascu”.
Odgovarajuci obrazac mora da bude ocigledan.
{2, 4, 6, 8, . . .} Skup svih parnih brojeva. Primetimo da je ovaj skup, zarazliku od prethodnog, beskonacan.
N = {1, 2, 3, . . .} Skup svih prirodnih brojeva.
Matematicka logika – 5 – SkupoviMatematicka logika – 5 – SkupoviMatematicka logika – 5 – Skupovi
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Zadavanjem svojstva koje svi njegovi elementi moraju da imaju.
Zajednicko svojstvo objedinjuje u skup sve objekte sa tim svojstvom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 127/757
Takvi skupovi se zapisuju u sledecem obliku
A = {x | x ima svojstvo P (x)} ili A = {x | P (x)},
gde je sa P (x) oznaceno svojstvo koje moze imati objekat x.
Na ovaj nacin je oznacen skup svih objekata x za koje vazi P (x),
odnosno skup svih objekata x koji imaju svojstvo P (x).
Na primer, skup parnih brojeva moze se zadati sa
{x | postoji y ∈ N tako da je x = 2y}.
Matematicka logika – 6 – SkupoviMatematicka logika – 6 – SkupoviMatematicka logika – 6 – Skupovi
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Zadavanje skupova
Rekurzivna (induktivna) definicija skupa.
Skup A se moze definisati rekurzivno ili induktivno na sledeci nacin:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 128/757
(i) zadaju se polazni elementi ili bazni elementi skupa A;
(ii) odreduje se nacin na koji se, pomocu odredenih operacija, iz prethod-
no definisanih elemenata mogu definisati drugi elementi skupa A;
(iii) kaze se da skupu A mogu pripadati oni i samo oni objekti koji semogu dobiti primenom pravila (i) i (ii) konacan broj puta.
Na ovaj nacin ce kasnije biti definisane iskazne i predikatske formule.
Rekurzivno se definisu i formule u jeziku FORTRAN.
Matematicka logika – 7 – SkupoviMatematicka logika – 7 – SkupoviMatematicka logika – 7 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Dva skupa A i B su jednaka, u oznaci A = B, ako imaju iste elemente,
tj.
A = B def ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 129/757
A B ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇔ x ∈ B).
Negacija gornje formule oznacava se sa A = B.
Skup A je podskup skupa B, u oznaci A ⊆ B, ako su svi elementi
skupa A sadrzani u B, tj.
A ⊆ B def ⇐⇒ (∀x)(x ∈ A ⇒ x ∈ B).
Odnos ⊆ zove se inkluzija.Ako je A ⊆ B i A = B, onda se kaze da je A pravi podskup skupa B,
u oznaci A ⊂ B.
Matematicka logika – 8 – SkupoviMatematicka logika – 8 – SkupoviMatematicka logika – 8 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Napomena: U prethodnim definicijama koristili smo sledece simbolicke
oznake:
⇔ znaci ”ako i samo ako” ili ”ekvivalentno” (ekvivalencija);
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 130/757
⇔ znaci ako i samo ako ili ekvivalentno (ekvivalencija);def
⇐⇒ znaci ”ekvivalentno po definiciji”;⇒ znaci ”ako. . . , onda. . . ” ili ”povlaci” (implikacija).
Vise reci o ovome bice u kasnijim poglavljima.
Primetimo da ”ekvivalentno” i ”ekvivalentno po definiciji” imaju druga-
cija znacenja:
P ⇔ Q znaci da je P tacno ako i samo ako je tacno Q, dok P def
⇐⇒ Q
znaci da P i Q imaju isto znacenje, tj. Q je samo drugaciji zapis za P .
Matematicka logika – 9 – SkupoviMatematicka logika – 9 – SkupoviMatematicka logika – 9 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Primeri jednakih skupova:
{x, x} = {x} {x, y} = {y, x}
{ } { } { } { }
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 131/757
{x , y , z} = {x , z , y} {x , y , z} = {z , x , x , y}
Ove jednakosti se dokazuju neposrednom primenom definicije jednakosti
skupova. Dokaz se ostavlja za vezbu.
Odavde mozemo izvuci dva pravila koja se ticu zadavanja skupova
navodenjem njegovih elemenata:
– Nije bitan redosled po kome se elementi navode (nabrajaju).
– Svaki element se navodi samo jednom.
Matematicka logika – 10 – SkupoviMatematicka logika – 10 – SkupoviMatematicka logika – 10 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Primeri inkluzije:
N ⊆ Z skup prirodnih brojeva N je podskup skupa
celih brojeva Z (i to pravi podskup);
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 132/757
celih brojeva Z (i to pravi podskup);
{a , b , c} ⊆ {b , d , a , c}
Matematicka logika – 11 – SkupoviMatematicka logika – 11 – SkupoviMatematicka logika – 11 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Zadatak 1. Da li su sledeca tvrdenja tacna:
(a) {a, {b, c}} = {{a, b}, c};
(b) {1 2 3} ⊆ {{1 2} 3 {1 2 3}}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 133/757
(b) {1, 2, 3} ⊆ {{1, 2}, 3, {1, 2, 3}}.
Resenje: (a) Ovo nije tacno, jer skupovi na levoj i desnoj strani nemaju
iste elemente. Naime, elementi skupa na levoj strani su a i {b, c}, a
elementi skupa na desnoj strani su {a, b} i c.
Prema tome, a je, na primer, element skupa na levoj strani, ali nije
element skupa na desnoj strani.
(b) Ni ovo nije tacno, jer elementi skupa na levoj strani su 1, 2 i 3, a
elementi skupa na desnoj strani su {1, 2}, 3 i {1, 2, 3}. Dakle, 1 i 2
nisu elementi skupa na desnoj strani.
Matematicka logika – 12 – SkupoviMatematicka logika – 12 – SkupoviMatematicka logika – 12 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Zadatak 2. Odrediti broj elemenata sledecih skupova:
(a) {{∅, {∅}}}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 134/757
(b) {1, 2, 3, {1, 2, 3}}
(c) {∅, {∅}, a , b , {a, b}, {a, b, {a, b}}}
(d) {∅, {∅}, {∅, {∅}}}
(e) {∅, {∅}, ∅}
Resenje:
(a) Skup {{∅, {∅}}} ima samo jedan element, skup {∅, {∅}}.
Matematicka logika – 13 – SkupoviMatematicka logika – 13 – SkupoviMatematicka logika – 13 – Skupovi
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
Jednakost skupova. Podskup
(b) Skup {1, 2, 3, {1, 2, 3}} ima 4 elementa:
(1) 1, (2) 2, (3) 3 i (4) {1, 2, 3}.
( ) Sk {∅ {∅} b { b} { b { b}}} i 6 l t
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 135/757
(c) Skup {∅, {∅}, a , b , {a, b}, {a, b, {a, b}}} ima 6 elemenata:
(1) ∅, (2) {∅}, (3) a, (4) b, (5) {a, b}, i (6) {a, b, {a, b}}.
(d) Skup {∅, {∅}, {∅, {∅}}} ima 3 elementa:
(1) ∅, (2) {∅}, i (3) {∅, {∅}}.
(e) Skup {∅, {∅}, ∅} ima 2 elementa:
(1) ∅ (dva puta zapisan), i (2) {∅}.
Matematicka logika – 14 – SkupoviMatematicka logika – 14 – SkupoviMatematicka logika – 14 – Skupovi
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Tvrdenje 1. Za proizvoljne skupove A, B, C vazi:
(i) A = A (refleksivnost)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 136/757
A = B ⇒ B = A (simetricnost)
A = B ∧ B = C ⇒ A = C (tranzitivnost)
(ii) A ⊆ A (refleksivnost)
A ⊆ B ∧ B ⊆ A ⇒ A = B (antisimetricnost)
A ⊆
B∧
B ⊆
C ⇒
A ⊆
C (tranzitivnost)
Dokaz: Ostavlja se za vezbu.
Matematicka logika – 15 – SkupoviMatematicka logika – 15 – SkupoviMatematicka logika – 15 – Skupovi
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Svojstva jednakosti i inkluzije skupova
Zbog refleksivnosti inkluzije, svaki skup je i svoj sopstveni podskup.
Antisimetricnost inkluzije je svojstvo koje se veoma mnogo koristi kada
s d k j j dn k st sk
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 137/757
se dokazuje jednakost skupova.
Naime, skupovnu jednakost A = B najcesce dokazujemo tako sto do-
kazujemo da je A ⊆ B i B ⊆ A.
Matematicka logika – 16 – SkupoviMatematicka logika – 16 – SkupoviMatematicka logika – 16 – Skupovi
Venovi dijagrami
Venovi dijagrami
Venovi dijagrami
Skupove graficki najcesce predstavljamo pomocu Venovih dijagrama.
Kod Venovih dijagrama skupovi su predstavljeni skupovima tacaka izves-
nih geometrijskih figura u ravni, kao sto su krugovi ili elipse, i oblasti
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 138/757
g j g , g p ,
u ravni koje nastaju presecanjem tih geometrijskih figura.Dva primera Venovih dijagrama data su na donjoj slici:
Matematicka logika – 17 – SkupoviMatematicka logika – 17 – SkupoviMatematicka logika – 17 – Skupovi
Razlika skupova
Razlika skupova
Razlika skupova
Razlika skupova A i B je skup A \ B koji se definise sa
A \ B def = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 139/757
tj. skup svih elemenata iz A koji ne pripadaju skupu B
Matematicka logika – 18 – SkupoviMatematicka logika – 18 – SkupoviMatematicka logika – 18 – Skupovi
Razlika skupova
Razlika skupova
Razlika skupova
Tvrdenje 2. Neka su X i Y proizvoljni skupovi. Tada je
X \ X = Y \ Y.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 140/757
Dokaz: Imamo da je
x ∈ X \ X ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ X ⇔ ⊥
x ∈ Y \ Y ⇔ x ∈ Y ∧ x ∈ Y ⇔ ⊥
odakle sledi da je x ∈ X \ X ⇔ x ∈ Y \ Y .
Prema ovom tvrdenju, razlika X \ X ne zavisi od skupa X .
Zato prazan skup, u oznaci ∅, definisemo kao skup X \ X , gde je X
proizvoljan skup.
Matematicka logika – 19 – SkupoviMatematicka logika – 19 – SkupoviMatematicka logika – 19 – Skupovi
Razlika skupova
Razlika skupova
Razlika skupova
Prema ovakvoj definiciji
x ∈ ∅ ⇔ x ∈ X ∧ x ∈ X.
K k j d t k i l ij k t dik ij t i d i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 141/757
Kako je desna strana ove ekvivalencije kontradikcija, to imamo da ni
za jedno x ne vazi x ∈ ∅.
Tako dolazimo do ekvivalentne definicije praznog skupa: prazan skup
je skup koji nema elemenata.Tvrdenje 3. Za svaki skup X vazi ∅ ⊆ X .
Dokaz: Implikacija
x ∈ ∅ ⇒ x ∈ X
vazi za svaki x jer je leva strana te implikacije uvek netacna.
Matematicka logika – 20 – SkupoviMatematicka logika – 20 – SkupoviMatematicka logika – 20 – Skupovi
Presek skupova
Presek skupova
Presek skupova
Presek skupova A i B, u oznaci A ∩ B, je skup koji sadrzi tacno one
elemente koji se nalaze istovremeno u oba skupa:
A ∩ B def = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 142/757
{ | }
Za skupove A i B ciji je presek prazan skup se kaze da su disjunktni.
presek skupova disjunktni skupovi
Matematicka logika – 21 – SkupoviMatematicka logika – 21 – SkupoviMatematicka logika – 21 – Skupovi
Unija skupova
Unija skupova
Unija skupova
Unija skupova A i B, u oznaci A ∪ B, je skup koji sadrzi sve elemente
koji se nalaze bar u jednom od njih:
A ∪ B def = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 143/757
{ | }
Matematicka logika – 22 – SkupoviMatematicka logika – 22 – SkupoviMatematicka logika – 22 – Skupovi
Komplement skupa
Komplement skupa
Komplement skupa
Ako je B ⊆ A, onda se razlika A \ B zove komplement skupa B u
odnosu na A i oznacava sa C A(B):
C A(B) def = A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 144/757
( ) \ { | }
Matematicka logika – 23 – SkupoviMatematicka logika – 23 – SkupoviMatematicka logika – 23 – Skupovi
Komplement skupa
Komplement skupa
Komplement skupa
Cesto se posmatraju iskljucivo podskupovi nekog unapred datog skupa
U , koji se zove univerzalni skup.
Tada a B ⊆ U C (B) se o naca a sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 145/757
Tada za B ⊆ U , C U (B) se oznacava sa
B i zove se samo komplement skupa B:
B def = {x | x ∈ B}
Matematicka logika – 24 – SkupoviMatematicka logika – 24 – SkupoviMatematicka logika – 24 – Skupovi
Primeri skupovnih operacija
Primeri skupovnih operacija
Primeri skupovnih operacija
a) Ako je
A = {x ∈ N | (∃k)(x = 2k)},
B = {x ∈ N | (∃m)(x = 3m)},
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 146/757
onda je
A ∩ B = {x ∈ N | (∃ p)(x = 6 p)};
A ∪ B = {x ∈ N
| (∃q)(x = 2q ∨ x = 3q)};A = {x ∈ N | (∃r)(x = 2r − 1)}.
b) Skupovi tacaka koje pripadaju dvema mimoilaznim pravama sudisjunktni.
Matematicka logika – 25 – SkupoviMatematicka logika – 25 – SkupoviMatematicka logika – 25 – Skupovi
Venovi dijagrami (nastavak)
Venovi dijagrami (nastavak)
Venovi dijagrami (nastavak)
Neka je dat univerzalni skup U i njegovi podskupovi A1, A2, . . . , An.
Predstavljanje tih skupova Venovim dijagramom je takvo graficko pred-
stavljanje gde je univerzalni skup U predstavljen pravougaonikom, a
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 147/757
skupovi A1, A2, . . . , An krugovima ili elipsama.
Pri tome mora biti ispunjen uslov da krugovi, odnosno elipse, dele
pravougaonik na 2n delova, od kojih je svaka povezana oblast.
Venov dijagram mora da obezbedi dovoljan broj oblasti za predstavlja-
nje svih mogucih preseka skupova A1, . . . , An i njihovih komplemenata.
Svi ti preseci mogu biti neprazni, i tada ih ima 2n
, sto znaci da jeneophodno u Venovom dijagramu obezbediti 2n povezanih oblasti.
Matematicka logika – 26 – SkupoviMatematicka logika – 26 – SkupoviMatematicka logika – 26 – Skupovi
Venov dijagram V 2
Venov dijagram V 2
Venov dijagram V 2
Venov dijagram za dva skupa, u oznaci V 2, prikazan je na sledecoj slici:
A BU
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 148/757
A B A B A B
A B
Jednostavnosti radi, ovde smo izostavljali znak ∩ za presek skupova.
Na primer, A B kraci zapis za A ∩ B.
Komplement se gleda u odnosu na univerzalni skup U .
Matematicka logika – 27 – SkupoviMatematicka logika – 27 – SkupoviMatematicka logika – 27 – Skupovi
Primer: nije Venov dijagram
Primer: nije Venov dijagram
Primer: nije Venov dijagram
Primer predstavljanja koje nije Venov dijagram, jer ne ispunjava napred
postavljeni uslov, dat je na sledecoj slici.
U B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 149/757
A
Ovo nije Venov dijagram jer skup A ∩ B nije predstavljen povezanom
oblascu.
Matematicka logika – 28 – SkupoviMatematicka logika – 28 – SkupoviMatematicka logika – 28 – Skupovi
Venov dijagram V 3
Venov dijagram V 3
Venov dijagram V 3
Venov dijagram za tri skupa, u oznaci V 3, je
C U A B C
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 150/757
A B C A B C
A B C
A B C
A B C A B C
A B C
A B
Matematicka logika – 29 – SkupoviMatematicka logika – 29 – SkupoviMatematicka logika – 29 – Skupovi
Venov dijagram V 4
Venov dijagram V 4
Venov dijagram V 4
Venov dijagram za cetiri skupa, u oznaci V 4, je prikazan na sledecoj slici:
U A D
B C 2 3
1 : A B C D 9 : A B C D
2 : A B C D 10 : A B C D
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 151/757
16
A D
1 45 6 7
8
9 10
11 12
13 14
15
2 : A B C D 10 : A B C D
3 : A B C D 11 : A B C D
4 : A B C D 12 : A B C D
5 : A B C D 13 : A B C D6 : A B C D 14 : A B C D
7 : A B C D 15 : A B C D
8 : A B C D 16 : A B C D
Matematicka logika – 30 – SkupoviMatematicka logika – 30 – SkupoviMatematicka logika – 30 – Skupovi
Venovi dijagrami za n skupova
Venovi dijagrami za n skupova
Venovi dijagrami za n skupova
Vec u slucaju cetiri skupa nije moguce nacrtati Venov dijagram sa
krugovima, cak i razlicitih poluprecnika, vec se to mora uraditi elipsama.
Iako su Venovi dijagrami uvedeni jos 1881. godine, tek je 1975. godine
d k d ki i d b j ˇ t ti V dij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 152/757
dokazano da se za svaki prirodan broj n moze nacrtati Venov dijagram
sa n elipsi koji obezbeduje svih 2n oblasti.
Medutim, crtanje Venovih dijagrama za pet i vise skupova je toliko
komplikovano da to necemo raditi.
Matematicka logika – 31 – SkupoviMatematicka logika – 31 – SkupoviMatematicka logika – 31 – Skupovi
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Zadatak 3. Dokazati da donja slika ne predstavlja Venov dijagram.
C D
34 7
U
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 153/757
A B
1 25
6
7
8
9 10
1112
1314
Oznacene oblasti izraziti kao preseke skupova A, B, C i D, odnosno
njihovih komplemenata, na nacin kako je to uradeno za V 4.
Matematicka logika – 32 – SkupoviMatematicka logika – 32 – SkupoviMatematicka logika – 32 – Skupovi
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Resenje: Vec na prvi pogled se vidi da nedostaju oblasti koje odgo-
varaju skupovima A C B D i B D A C , tj., A B C D i A B C D.
C DU
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 154/757
Drugim recima, u ovom slucaju je
A B C D = ∅ i A B C D = ∅.
A B
1 2
34
5
6
7
8
9 10
1112
1314
Matematicka logika – 33 – SkupoviMatematicka logika – 33 – SkupoviMatematicka logika – 33 – Skupovi
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Venovi dijagrami – zadatak
Sve ostale oblasti iz Venovog dijagrama V 4 su prisutne na ovom dija-
gramu i odgovaraju sledecim oblastima sa ovog dijagrama
1 : A B C D 8 : A B C D
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 155/757
A B
C D
1 2
34
5
6
7
89 10
1112
1314
U 2 : A B C D 9 : A B C D
3 : A B C D 10 : A B C D
4 : A B C D 11 : A B C D
5 : A B C D 12 : A B C D
6 : A B C D 13 : A B C D
7 : A B C D 14 : A B C D.
Matematicka logika – 34 – SkupoviMatematicka logika – 34 – SkupoviMatematicka logika – 34 – Skupovi
Svojstva skupovnih operacija
Svojstva skupovnih operacija
Svojstva skupovnih operacija
Tvrdenje 4. Neka je A skup i X, Y, Z ⊆ A. Tada vazi:
(a) Komutativnost X ∩ Y = Y ∩ X ,
X ∪ Y = Y ∪ X ;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 156/757
(b) Asocijativnost X ∩ (Y ∩ Z ) = (X ∩ Y ) ∩ Z ,
X ∪ (Y ∪ Z ) = (X ∪ Y ) ∪ Z ;
(c) Distributivnost X ∩ (Y ∪ Z ) = (X ∩ Y ) ∪ (X ∩ Z ),
X ∪ (Y ∩ Z ) = (X ∪ Y ) ∩ (X ∪ Z );
(d) Apsorptivnost X ∩ (X ∪ Y ) = X ,
X ∪ (X ∩ Y ) = X ;
Matematicka logika – 35 – SkupoviMatematicka logika – 35 – SkupoviMatematicka logika – 35 – Skupovi
Svojstva skupovnih operacija
Svojstva skupovnih operacija
Svojstva skupovnih operacija
(e) Idempotentnost X ∩ X = X ,
X ∪ X = X ;
(f) De Morganovi zakoni (X ∩ Y ) = X ∪ Y ,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 157/757
(f) De Morganovi zakoni
(X ∪ Y ) = X ∩ Y ;
(g) X ∩ X = ∅,
X ∪ X = A;
(h) X ∩ A = X ,
X ∪ A = A;
(i) X ∩ ∅ = ∅,
X ∪ ∅ = X .
Dokaz: Ostavlja se za vezbu.
Matematicka logika – 36 – SkupoviMatematicka logika – 36 – SkupoviMatematicka logika – 36 – Skupovi
Svojstva inkluzije
Svojstva inkluzije
Svojstva inkluzije
Sledece tvrdenje daje nam vezu izmedu inkluzije i operacija preseka i
unije skupova.
Tvrdenje 5. Neka su X i Y skupovi. Tada vazi:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 158/757
X ⊆ Y ⇔ X ∩ Y = X,
X ⊆ Y ⇔ X ∪ Y = Y.
Dokaz: Ostavlja se za vezbu.
Matematicka logika – 37 – SkupoviMatematicka logika – 37 – SkupoviMatematicka logika – 37 – Skupovi
Partitivni skup
Partitivni skup
Partitivni skup
Kolekcija svih podskupova proizvoljnog skupa A je skup koji nazivamo
partitivni skup skupa A i oznacavamo ga sa P (A):
P (A) def = {X | X ⊆ A}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 159/757
Tvrdenje 6.
(a) Prazan skup je element svakog partitivnog skupa.
(b) Skup A je element svog partitivnog skupa P (A).
Za razliku od samog praznog skupa, koji nema elemenata, njegov
partitivni skup je jednoclan (jednoelementan):
P (∅) = {∅}
Matematicka logika – 38 – SkupoviMatematicka logika – 38 – SkupoviMatematicka logika – 38 – Skupovi
Partitivni skup
Partitivni skup
Partitivni skup
Primer partitivnog skupa:
Za A = {a , b , c} je
P (A) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, {a , b , c}}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 160/757
Tvrdenje: Neka skup A ima n elemenata. Tada
(a) A ima n
k podskupova sa k elemenata (0 k n);
(b) P (A) ima 2n elemenata.
Zbog ovoga se cesto umesto oznake P (A) koristi oznaka 2A.
Matematicka logika – 39 – SkupoviMatematicka logika – 39 – SkupoviMatematicka logika – 39 – Skupovi
Partitivni skup
Partitivni skup
Partitivni skup
Setimo se da je
n
k binomni koeficijent, tj.
n
k
=
n(n − 1)(n − 2)(n − k + 1)
k(k − 1) · · · 2 · 1 .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 161/757
Posebne vrednosti binomnih koeficijenata su:n
0
def = 1,
n
1
= n,
n
n
= 1.
Matematicka logika – 40 – SkupoviMatematicka logika – 40 – SkupoviMatematicka logika – 40 – Skupovi
Partitivni skup
Partitivni skup
Partitivni skup
Zadatak: Odrediti sve podskupove skupa A = {α, 2, 5, w}.
Resenje: Svi podskupovi skupa A su
broj brojpodskup
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 162/757
elemenata podskup
podskupova0 ∅ 1
1 {α}, {2}, {5}, {w} 4
2 {α, 2}, {α, 5}, {α, w}, {2, 5}, {2, w}, {5, w} 63 {α, 2, 5}, {α, 2, w}, {α, 5, w}, {2, 5, w} 4
4 A 1
ukupno: 16
Matematicka logika – 41 – SkupoviMatematicka logika – 41 – SkupoviMatematicka logika – 41 – Skupovi
Ure deni par
Ure deni par
Ure deni par
Kao sto znamo, {x, y} oznacava skup koji sadrzi elemente x i y, pri
cemu je {x, y} isto sto i {y, x}, tj., nije nije bitan redosled po komenavodimo elemente x i y.
Zato se skup {x, y} ponekad naziva i neuredeni par elemenata x i y.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 163/757
p { , y} p p y
Medutim, cesto se namece potreba da istaknemo koji je element prvi
a koji drugi u paru.
Da bi smo to istakli, uvodimo oznaku (x, y) i kazemo da je (x, y)
uredeni par elemenata x i y.
Za x kazemo da je prva komponenta ili prva koordinata, a za y da je
druga komponenta ili druga koordinata uredenog para (x, y).
Matematicka logika – 42 – SkupoviMatematicka logika – 42 – SkupoviMatematicka logika – 42 – Skupovi
Primer ure denog para
Primer ure denog para
Primer ure denog para
Svaka tacka u ravni moze se predstaviti uredenim parom (a, b) realnih
brojeva, pri cemu za a kazemo da je njena x-koordinata, a za b da jenjena y-koordinata.
Kao sto vidimo na slici, uredeni par (1, 3) nije isto sto i uredeni par
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 164/757
p ( , ) j p
(3, 1).
x
y
(1,3)
(3,1)(a, b)
a
b
Matematicka logika – 43 – SkupoviMatematicka logika – 43 – SkupoviMatematicka logika – 43 – Skupovi
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Prethodna prica o uredenim parovima je bila potpuno neformalna.
Njena uloga je bila da objasni svrhu uvodenja pojma uredenog para ikako treba shvatiti taj pojam.
U nastavfkmu dajemo formalnu matematicku definiciju uredenog para.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 165/757
Uredeni par (x, y) elemenata x i y se formalno definise kao skup
(x, y) def = {{x}, {x, y}}.
Ovakva definicija moze izgledati vrlo neobicno i prilicno apstraktno.
Medutim, ona omogucava da se iz nje izvedu fundamentalna svojstva
uredenih parova.Jedno od takvih svojstava je i jednakost uredenih parova, koja je tema
nasih daljih razmatranja.
Matematicka logika – 44 – SkupoviMatematicka logika – 44 – SkupoviMatematicka logika – 44 – Skupovi
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Tvrdenje 7. Dokazati da su dva uredena para (a, b) i (c, d) jednaka
ako i samo ako je a = c i b = d.
Dokaz: Ako je a = c i b = d, tada je jasno da je {a} = {c} i{a, b} = {c, d}, pa je (a, b) = (c, d).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 166/757
Obratno, neka je (a, b) = (c, d), tj.
{{a}, {a, b}} = {{c}, {c, d}}.
Slucaj a = b: U ovom slucaju je (a, b) = {{a}, {a, b}} = {{a}}, pa
{{a}} = {{c}, {c, d}},
sto znaci da je {{a}} = {{c}} = {{c, d}},
odakle se lako dobija da je a = b = c = d.
Matematicka logika – 45 – SkupoviMatematicka logika – 45 – SkupoviMatematicka logika – 45 – Skupovi
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Formalna definicija ure denog para
Slucaj a = b: U ovom slucaju je {a} = {a, b}, zbog cega mora biti i
{c} = {c, d}, odnosno c = d. Iz
{c} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}}
dobija se {c} = {a}, tj. c = a, dok se iz
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 167/757
{c, d} ∈ {{c}, {c, d}} = {{a}, {a, b}} i {c, d} = {a}
dobija {c, d} = {a, b}, pa iz d = c = a i d ∈ {c, d} = {a, b}
zakljucujemo da mora biti d = b. Dakle, a = c i b = d.
Prema tome, dva uredena para su jednaka ako su im jednake odgova-rajuce koordinate.
Iz jednakosti uredenih parova mozemo zakljuciti i da vazi
(x, y) = (y, x) ⇔ x = y.
Matematicka logika – 46 – SkupoviMatematicka logika – 46 – SkupoviMatematicka logika – 46 – Skupovi
Ure dena n-torka
Ure dena n-torka
Ure dena n-torka
Uopstenjem pojma uredenog para sa n = 2 na bilo koji prirodan broj
n, dolazimo do pojma uredene n-torke.
Uredena n-torka (x1, x2, . . . , xn) elemenata x1, x2, . . . , xn definise se
induktivno, na sledeci nacin:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 168/757
(x1) def = x1
(x1, . . . , xn) def = ((x1, . . . , xn−1), xn).
Na primer, uredena trojka (a , b , c) je zapravo uredeni par ((a, b), c).
Za bilo koji k ∈ {1, . . . , n}, element xk se naziva k-ta koordinatauredene n-torke (x1, . . . , xn).
Matematicka logika – 47 – SkupoviMatematicka logika – 47 – SkupoviMatematicka logika – 47 – Skupovi
Jednakost ure denih n-torki
Jednakost ure denih n-torki
Jednakost ure denih n-torki
Kao i kod uredenih parova, za uredene n-torke vazi
Tvrdenje 8. Dve uredene n-torke (x1, . . . , xn) i (y1, . . . , yn) su jed-
nake ako i samo ako su im jednake odgovarajuce koordinate, tj.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 169/757
x1 = y1 ∧ x2 = y2 ∧ . . . ∧ xn = yn.
Dokaz: Ovo tvrdenje dokazuje se indukcijom po n.
Za n = 1 tvrdenje je trivijalno, a u slucaju n = 2 dokazano je u
prethodnom tvrdenju.
Pretpostavimo sada da tvrdenje vazi za neki prirodan broj n − 1 idokazimo da vazi i za n.
Matematicka logika – 48 – SkupoviMatematicka logika – 48 – SkupoviMatematicka logika – 48 – Skupovi
Jednakost ure denih n-torki
Jednakost ure denih n-torki
Jednakost ure denih n-torki
Zaista,
(x1, x2, . . . , xn) = (y1, y2, . . . , yn)
⇔ ((x1, . . . , xn−1), xn) = ((y1, . . . , yn−1), yn)
(definicija uredene n-torke)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 170/757
⇔ (x1, . . . , xn−1) = (y1, . . . , yn−1) ∧ xn = yn
(jednakost uredenih parova)
⇔ x1 = y1 ∧ . . . ∧ xn−1 = yn−1 ∧ xn = yn
(indukcijska hipoteza).
Ovim je tvrdenje dokazano za svaki prirodan broj n.
Matematicka logika – 49 – SkupoviMatematicka logika – 49 – SkupoviMatematicka logika – 49 – Skupovi
Dekartov proizvod dva skupa
Dekartov proizvod dva skupa
Dekartov proizvod dva skupa
Ako su A i B skupovi, onda se skup svih uredenih parova sa prvom ko-
ordinatom iz A, a drugom iz B naziva Dekartov, Kartezijev ili direktanproizvod skupova A i B, i oznacava se sa A × B:
A × B def = {(a, b) | a ∈ A ∧ b ∈ B}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 171/757
Matematicka logika – 50 – SkupoviMatematicka logika – 50 – SkupoviMatematicka logika – 50 – Skupovi
Dekartov proizvod dva skupa
Dekartov proizvod dva skupa
Dekartov proizvod dva skupa
Sam naziv ”Dekartov proizvod” potice od pojma ”Dekartov koordinatni
sistem” – predstavljanja tacaka u ravni uredenim parom realnih brojeva.
Ako je bilo koji od skupova A i B prazan, tada je po definiciji i njihov
Dekartov proizvod A × B prazan.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 172/757
Dekartov proizvod A × A skupa A sa samim sobom oznacava se sa A2
i naziva Dekartov kvadrat skupa A.
Primer: Ako je A = {0, 1} i B = {x , y , z}, onda je
A × B = {(0, x), (0, y), (0, z), (1, x), (1, y), (1, z)};
A2 = {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}.
Dekartov proizvod skupova sa m i n elemenata ima mn elemenata.
Matematicka logika – 51 – SkupoviMatematicka logika – 51 – SkupoviMatematicka logika – 51 – Skupovi
Dekartov proizvod n skupova
Dekartov proizvod n skupova
Dekartov proizvod n skupova
Dekartov proizvod n skupova A1, . . . , An, u oznaci
A1 × · · · × An ilin
i=1
Ai,
j k ih d ih ki k di i d j ih k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 173/757
je skup svih uredenih n-torki sa koordinatama iz odgovarajucih skupova:
A1 × · · · × An
def = {(a1, . . . , an) | a1 ∈ A1, . . . , an ∈ An}.
Ako je bilo koji od skupova A1, . . . , An prazan, onda je po definiciji
prazan i skup A1 × · · · × An.
Matematicka logika – 52 – SkupoviMatematicka logika – 52 – SkupoviMatematicka logika – 52 – Skupovi
Dekartov n-ti stepen
Dekartov n-ti stepen
Dekartov n-ti stepen
Ako je A1 = · · · = An = A, onda se odgovarajuci Dekartov proizvod
oznacava sa An
i zove Dekartov n-ti stepen skupa A.
Jasno, A1 = A.
Ak j A ∅ d j D k t t d i iti (d d fi i ti)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 174/757
Ako je A = ∅, onda je Dekartov stepen zgodno prosiriti (dodefinisati)i za n = 0, na sledeci nacin:
A0 def = {∅}
U ovoj definiciji je najbitnije da je A0 jednoelementan skup.
Jedini element ovog skupa mogli smo oznaciti i nekako drugacije, ali je
uzeta oznaka za prazan skup zbog svoje univerzalnosti.
Matematicka logika – 53 – SkupoviMatematicka logika – 53 – SkupoviMatematicka logika – 53 – Skupovi
Familija skupova
Familija skupova
Familija skupova
Neka je dat neprazan skup I , koji cemo nazivati indeksni skup, i neka
je svakom elementu i ∈ I pridruzen neki skup Ai.
Tada mozemo formirati novi skup
{Ai | i ∈ I}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 175/757
{Ai | i ∈ I }tako sto svaki element i u skupu I za-
menimo odgovarajucim skupom Ai.
Dakle, elementi tog novog skupa su
skupovi Ai.
Ovako definisan skup nazivamo familija skupova Ai, i ∈ I , indeksirana
skupom I , koju takode oznacavamo i sa {Ai}i∈I .
Matematicka logika – 54 – SkupoviMatematicka logika – 54 – SkupoviMatematicka logika – 54 – Skupovi
Unija familije skupova
Unija familije skupova
Unija familije skupova
Unija familije skupova {Ai | i ∈ I } definise se na sledeci nacin:
i∈I
Ai =
{Ai | i ∈ I } def = {x | (∃i ∈ I ) x ∈ Ai}.
Kao sto se idi sa slike nij familije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 176/757
Kao sto se vidi sa slike, uniju familijeskupova mozemo shvatiti tako kao da
smo uklonili opne koje razdvajaju ele-
mente iz razlicitih skupova Ai i timesve te elemente objedinili u jedan skup.
Matematicka logika – 55 – SkupoviMatematicka logika – 55 – SkupoviMatematicka logika – 55 – Skupovi
Presek familije skupova
Presek familije skupova
Presek familije skupova
Presek familije skupova {Ai | i ∈ I } definise se sa:
i∈I
Ai =
{Ai | i ∈ I } def = {x | (∀i ∈ I ) x ∈ Ai}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 177/757
Na slici desno prikazan je presek familije
{Ai}i∈I , gde je I = {1, 2, 3, 4, 5}.
Matematicka logika – 56 – SkupoviMatematicka logika – 56 – SkupoviMatematicka logika – 56 – Skupovi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 178/757
Šta je to relacija?
Šta je to relacija?
Šta je to relacija?
U raznim oblastima se cesto javlja potreba da se izmedu izvesnih ob-
jekata uspostave izvesne veze, odnosi ili relacije.
Na primer, cesto se javlja potreba
da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 179/757
da se izvesni objekti uporede prema nekom zadatom kriterijumu,
da se poredaju u skladu sa nekim pravilom,
da se odrede izvesne slicnosti izmedu objekata, i da se oni grupisuu grupe medusobno slicnih objekata, itd.
U matematici se sve ovo moze uraditi koriscenjem matematickog pojma
relacije, koji definisemo i bavimo se njime u daljem tekstu.
Matematicka logika – 2 – Relacije - I deoMatematicka logika – 2 – Relacije - I deoMatematicka logika – 2 – Relacije - I deo
Binarne relacije
Binarne relacije
Binarne relacije
Binarnu relaciju na nepraznom skupu A definisemo kao bilo koji pod-
skup Dekartovog kvadrata A2
:
⊆ A2.
Ako je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 180/757
Ako je(x, y) ∈ ,
onda kazemo
x je u relaciji sa y.
ˇCesto umesto (x, y) ∈ pisemo x y .
Matematicka logika – 3 – Relacije - I deoMatematicka logika – 3 – Relacije - I deoMatematicka logika – 3 – Relacije - I deo
Primeri binarnih relacija
Primeri binarnih relacija
Primeri binarnih relacija
a) Skup = {(1, 2), (1, 3), (2, 3)} je jedna binarna relacija na skupu
{1, 2, 3}. Umesto (1, 2) ∈ , pise se 1 2.Kako je to relacija manje za brojeve, uobicajeno oznacavanje je
1 < 2.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 181/757
b) Na partitivnom skupu proizvoljnog skupa A, inkluzuja ⊆ je jedna
binarna relacija.
c) Skup {(x, x) | x ∈ A} odreduje relaciju jednakosti na nepraznom
skupu A; oznaka relacije je =, odnosno pise se a = a za svaki
element a ∈ A.
Matematicka logika – 4 – Relacije - I deoMatematicka logika – 4 – Relacije - I deoMatematicka logika – 4 – Relacije - I deo
Primeri binarnih relacija
Primeri binarnih relacija
Primeri binarnih relacija
d) Poznate binarne relacije na skupu prirodnih brojeva N, pored jed-
nakosti, jesu i <, , |, a njihove definicije su:
x < y ⇔ (∃z)(x + z = y) manje (strogo manje)
x y ⇔ (x = y ∨ x < y) manje ili jednako
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 182/757
x y ⇔ (x = y ∨ x < y) manje ili jednako
x | y ⇔ (∃z)(x · z = y) deli, je delitelj
Analogno prvim dvema definisu se i relacije
> vece (strogo vece) vece ili jednako
Matematicka logika – 5 – Relacije - I deoMatematicka logika – 5 – Relacije - I deoMatematicka logika – 5 – Relacije - I deo
n-arne relacije
n-arne relacije
n-arne relacije
Slicno pojmu binarne relacije, za bilo koji prirodan broj n uvodimo
pojam n-arne relacije na nepraznom skupu A koja se definise kaobilo koji podskup Dekartovog stepena An.
Broj n se naziva arnost ili duzina relacije .
R l ij ti 1 i l ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 183/757
Relacije arnosti 1 nazivamo unarne relacije.
Unarne relacije su zapravo “obicni” podskupovi skupa A.
Relacije arnosti 2 su upravo binarne relacije.Relacije arnosti 3 nazivamo ternarne relacije.
U matematici se najcesce radi sa binarnim relacijama.
Zato, jednostavnosti radi, umesto binarna relacija mi govorimo krace
samo relacija.
Matematicka logika – 6 – Relacije - I deoMatematicka logika – 6 – Relacije - I deoMatematicka logika – 6 – Relacije - I deo
Primeri n-arnih relacija
Primeri n-arnih relacija
Primeri n-arnih relacija
a) Ako je A skup tacaka na pravoj, onda se svojstvom
x je izmedu y i z
definise jedna ternarna relacija na A.
b) Sk
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 184/757
b) Skup
{(x , y , z) | x2 + y2 = z2}
je ternarna relacija na skupu R.
c) Skup Np parnih brojeva je unarna relacija na skupu N.
Matematicka logika – 7 – Relacije - I deoMatematicka logika – 7 – Relacije - I deoMatematicka logika – 7 – Relacije - I deo
Graficko predstavljanje relacija
Graficko predstavljanje relacija
Graficko predstavljanje relacija
Kao sto smo ranije rekli, Dekatrov kvadrat A2 skupa A se graficki
predstavlja kvadratom cija donja i leva ivica predstavljaju skup A.Binarne relacije na A se u tom slucaju predstavljaju kao skupovi tacaka
sa odgovarajucim koordinatama u tom kvadratu.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 185/757
U ovom primeru je (a, b) ∈ , sto pisemo a b , dok (c, d) /∈ .
Matematicka logika – 8 – Relacije - I deoMatematicka logika – 8 – Relacije - I deoMatematicka logika – 8 – Relacije - I deo
Graficko predstavljanje relacija
Graficko predstavljanje relacija
Graficko predstavljanje relacija
Ako je skup A konacan, onda kvadrat A2 predstavljamo mrezom hori-
zontalnih i vertikalnih duzi, ciji preseci predstavljaju tacke iz A2
.Relaciju ⊆ A2 predstavljamo tako sto parove tacaka iz u toj mrezi
oznacavamo malim kruzicima.
d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 186/757
a b c dab
c
Na primer, za A = {a,b,c,d}, gornja slika predstavlja relaciju
= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)}.
Matematicka logika – 9 – Relacije - I deoMatematicka logika – 9 – Relacije - I deoMatematicka logika – 9 – Relacije - I deo
Bulove matrice
Bulove matrice
Bulove matrice
Relacija na konacnom skupu A = {a1, a2, . . . , an} moze se pred-
staviti i Bulovom matricom
M =
α1,1 α1,2 . . . α1,n
α2,1 α2,2 . . . α2,n
. . . . . . . . . . . .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 187/757
. . . . . . . . . . . .
αn,1 αn,2 . . . αn,n
gde je
αi,j =
1 ako (ai, a j) ∈
0 ako (ai, a j) /∈
Matrica se naziva Bulovom jer se sastoji samo od Bulovih vrednosti –
nula (oznaka za netacno) i jedinica (oznaka za tacno).
Matematicka logika – 10 – Relacije - I deoMatematicka logika – 10 – Relacije - I deoMatematicka logika – 10 – Relacije - I deo
Primer Bulove matrice
Primer Bulove matrice
Primer Bulove matrice
Ranije razmatrana relacija
= {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b), (c, d), (d, a), (d, d)},
na skupu A = {a,b,c,d}, moze se predstaviti Bulovom matricom:0 1 1 0
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 188/757
M =
0 1 1 0
0 1 0 11 0 0 1
Primetimo da ova matrica veoma lici na kvadratnu mrezu (rotiranu za
−90◦), kojom je ranije bila predstavljena ista ova relacija.
Matematicka logika – 11 – Relacije - I deoMatematicka logika – 11 – Relacije - I deoMatematicka logika – 11 – Relacije - I deo
Relacije i grafovi
Relacije i grafovi
Relacije i grafovi
Jos jedan nacin grafickog predstavljanja relacija je uz pomoc grafova.
Orijentisani graf ili digraf je uredeni par (G, E ) za koji vazi:
– G je neprazan skup, koji nazivamo skupom cvorova, a njegove
elemente cvorovima grafa;2
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 189/757
g– E ⊆ G2 je neprazan skup koji nazivamo skupom grana, a njegove
elemente granama grafa.
Jasno, E je nista drugo do binarna relacija na skupu cvorova G.
Za granu e = (a, b) ∈ E kazemo da pocinje u cvoru a a zavrsava se u
cvoru b, sto graficki predstavljamo na sledeci nacin:a b
Matematicka logika – 12 – Relacije - I deoMatematicka logika – 12 – Relacije - I deoMatematicka logika – 12 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 190/757
{ } {( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 191/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 192/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 193/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 194/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 195/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Primer grafa
Primer grafa
Primer grafa
Jednostavnosti radi, kada je iz konteksta jasno da se radi o digrafu,
umesto ”digraf” kazemo i samo ”graf”.Neka je graf G = (G, E ) zadat sa:
G = {a,b,c}, E = {(a, b), (a, c), (b, b), (b, c), (c, b)}.
( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 196/757
Ovaj graf (relaciju) graficki predstavljamo na sledeci nacin:
a b
c
Matematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deoMatematicka logika – 13 – Relacije - I deo
Još jedan primer grafa
Još jedan primer grafa
Još jedan primer grafa
Neka je graf (G, E ) graficki prikazan sa
c
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 197/757
a b
Tada je G = {a,b,c} i
E = {(a, b), (a, c), (b, b), (c, a), (c, c)}.
Napomenimo da granu oblika (a, a) zovemo petlja.
Matematicka logika – 14 – Relacije - I deoMatematicka logika – 14 – Relacije - I deoMatematicka logika – 14 – Relacije - I deo
Malo o terminologiji
Malo o terminologiji
Malo o terminologiji
Naziv ”graf” potice upravo od grafickog nacina njihovog predstavljanja.
Naziv ”orijentisani graf” istice cinjenicu da kod svake grane razlikujemonjen pocetni i njen zavrski cvor.
U grafickom predstavljanju grafa, orijentacija je odredena strelicom.
”Digraf” je skracenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 198/757
Digraf je skracenica naziva orijentisanog grafa na engleskom jeziku
– ”directed graph”.
U matematici se takode izucavaju i neorijentisani grafovi.
Za razliku od orijentisanih grafova, kod kojih je grana uredeni par
cvorova, kod neorijentisanih grafova grana je neuredeni par cvorova.
Matematicka logika – 15 – Relacije - I deoMatematicka logika – 15 – Relacije - I deoMatematicka logika – 15 – Relacije - I deo
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Zadatak 1.1. Neka je A = {2, 4, 5, 8, 9, 10} i neka je relacija na A
definisana saa b
def ⇔ a deli b u skupu N.
(a) Predstaviti relaciju kao skup uredenih parova.
(b) Predstaviti relaciju grafom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 199/757
(b) Predstaviti relaciju grafom.
(c) Predstaviti relaciju Bulovom matricom.
Resenje: a) Imamo da je
= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)}.
Matematicka logika – 16 – Relacije - I deoMatematicka logika – 16 – Relacije - I deoMatematicka logika – 16 – Relacije - I deo
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
(b) Kako je
= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),
(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},
se moze predstaviti grafom na jedan od sledecih nacina:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 200/757
2
45
8
910
2
45
8
9 10
Matematicka logika – 17 – Relacije - I deoMatematicka logika – 17 – Relacije - I deoMatematicka logika – 17 – Relacije - I deo
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
(c) Kako je
= {(2, 2), (2, 4), (2, 8), (2, 10), (4, 4), (4, 8),
(5, 5), (5, 10), (8, 8), (9, 9), (10, 10)},
se moze predstaviti sledecom Bulovom matricom:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 201/757
1 1 0 1 0 1
0 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 0 0 0 1
Matematicka logika – 18 – Relacije - I deoMatematicka logika – 18 – Relacije - I deoMatematicka logika – 18 – Relacije - I deo
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Predstavljanje relacija - primeri
Kako se iz ovog predstavljanja ne vidi bas jasno koja vrsta, odnosno
kolona, odgovara odredenom elementu iz A, to relaciju mozemopredstaviti i tablicom
2 4 5 8 9 10
2 1 1 0 1 0 1
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 202/757
4 0 1 0 1 0 0
5 0 0 1 0 0 18 0 0 0 1 0 0
9 0 0 0 0 1 0
10 0 0 0 0 0 1
Matematicka logika – 19 – Relacije - I deoMatematicka logika – 19 – Relacije - I deoMatematicka logika – 19 – Relacije - I deo
Neke važne relacije
Neke važne relacije
Neke važne relacije
Prazna relacija definise se kao prazan podskup od A2.
Puna ili univerzalna relacija definise se kao ceo skup A2
.Relacija jednakosti na skupu A naziva se cesto i dijagonalna relacija ili
dijagonala i oznacava se sa ∆.
Dakle, ∆ = {(x, x) | x ∈ A}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 203/757
Matematicka logika – 20 – Relacije - I deoMatematicka logika – 20 – Relacije - I deoMatematicka logika – 20 – Relacije - I deo
Operacije sa relacijama
Operacije sa relacijama
Operacije sa relacijama
Kako relacije na skupu A predstavljaju podskupove od A2, to se poj-
movi presek relacija, unija relacija i komplement relacije definisu kao
preseci skupova:
∩ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ};
∪ θ = {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ ∨ (x, y) ∈ θ};
{( ) ∈ A2 | ( ) ∈ }
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 204/757
= {(x, y) ∈ A2 | (x, y) ∈ }.
Matematicka logika – 21 – Relacije - I deoMatematicka logika – 21 – Relacije - I deoMatematicka logika – 21 – Relacije - I deo
Jednakost i inkluzija relacija
Jednakost i inkluzija relacija
Jednakost i inkluzija relacija
Jednakost relacija takode definisemo kao jednakost skupova,
= θ def ⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇔ (x, y) ∈ θ ),
a inkluziju relacija kao inkluziju skupova:
⊆ θ def ⇔ (∀(x, y) ∈ A2) (x, y) ∈ ⇒ (x, y) ∈ θ ).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 205/757
Matematicka logika – 22 – Relacije - I deoMatematicka logika – 22 – Relacije - I deoMatematicka logika – 22 – Relacije - I deo
Inverzna relacija
Inverzna relacija
Inverzna relacija
Inverzna relacija relacije na skupu A, u oznaci −1, je relacija na
skupu A definisana sa:
−1 = {(y, x) ∈ A2 | (x, y) ∈ }.
Na slici se vidi da se inverzna relacija
−1
dobija rotacijom relacije oko dijagonale.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 206/757
Matematicka logika – 23 – Relacije - I deoMatematicka logika – 23 – Relacije - I deoMatematicka logika – 23 – Relacije - I deo
Primeri operacija sa relacijama
Primeri operacija sa relacijama
Primeri operacija sa relacijama
Razmatramo relacije na skupu prirodnih brojeva N.
a) Presek relacija i je relacija jednakosti, a njihova unija je punarelacija, tj. N2.
b) Komplement relacije < je relacija
, a inverzna relacija za < jerelacija >.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 207/757
c) Relacija jednakosti je sama sebi inverzna, a njen komplement je
relacija =.
d) Relacija deli, |, je podskup relacije .
Matematicka logika – 24 – Relacije - I deoMatematicka logika – 24 – Relacije - I deoMatematicka logika – 24 – Relacije - I deo
Kompozicija relacija
Kompozicija relacija
Kompozicija relacija
Kompozicija ili proizvod relacija i θ na skupu A je relacija ◦ θ na
A, definisana na sledeci nacin: ◦ θ = {(x, y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)((x, z) ∈ ∧ (z, y) ∈ θ)}
odnosno
◦ θ = {(x y) ∈ A2 | (∃z ∈ A)( x z ∧ z θ y )}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 208/757
◦ θ = {(x, y) ∈ A | (∃z ∈ A)( x z ∧ z θ y )}
Drugim recima, relacija θ se nastavlja (nadovezuje) na .To nadovezivanje moze se graficki prikazati na sledeci nacin
x z y
θ
Matematicka logika – 25 – Relacije - I deoMatematicka logika – 25 – Relacije - I deoMatematicka logika – 25 – Relacije - I deo
Primer kompozicije relacija
Primer kompozicije relacija
Primer kompozicije relacija
Neka je A = {a,b,c,d}, i
= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 209/757
Tada je
◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.
Matematicka logika – 26 – Relacije - I deoMatematicka logika – 26 – Relacije - I deoMatematicka logika – 26 – Relacije - I deo
Isti primer – drugi nacin
Isti primer – drugi nacin
Isti primer – drugi nacin
Neka je ponovo A = {a,b,c,d}, i
= {(a, b), (a, c), (a, d), (b, d)}, θ = {(b, a), (b, c), (d, c)}.
Ove relacije mozemo graficki predstaviti
tako da relaciji
odgovaraju plave strelice,a relaciji θ crvene.
c d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 210/757
Tada relacijama ◦ θ i θ ◦ odgovaraju
kombinacije strelica: ◦ θ: plava–crvena; θ ◦ : crvena–plava
a bDakle,
◦ θ = {(a, a), (a, c), (b, c)}, θ ◦ = {(b, b), (b, c), (b, d)}.
Matematicka logika – 27 – Relacije - I deoMatematicka logika – 27 – Relacije - I deoMatematicka logika – 27 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Tvrdenje 1: Za proizvoljne relacije , θ i σ na skupu A vazi:
◦ (θ ◦ σ) = ( ◦ θ) ◦ σ,
tj. kompozicija relacija je asocijativna operacija.
Dokaz:
Dokazacemo samo da vazi inkluzija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 211/757
Dokazacemo samo da vazi inkluzija
◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ,
jer se obratna inkluzija dokazuje na potpuno isti nacin.
Matematicka logika – 28 – Relacije - I deoMatematicka logika – 28 – Relacije - I deoMatematicka logika – 28 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 212/757
⇒
⇒⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A) ∧
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 213/757
⇒ (∃x ∈ A) ∧
⇒⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 214/757
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧
⇒⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧ (x b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 215/757
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
⇒⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a x) ∈ ∧ (x b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 216/757
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
⇒ (∃x ∈ A) (a, x) ∈ ∧⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
y
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 217/757
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
∧
⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 218/757
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧
⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ
σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 219/757
⇒ ( ∈ )( , ) ∈ ( , ) ∈
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ
σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 220/757
( ∈ )( , ) ∈ ( , ) ∈
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 221/757
( )( , ) ( , )
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ
∧ (y, b) ∈ σ
⇒
⇒
Matematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deoMatematicka logika – 29 – Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 222/757
( )( ) ( )
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ
∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A) ∧ (y, b) ∈ σ
⇒
Matematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ σ
◦ θ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 223/757
) ) )
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ
∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒
Matematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ σ
◦ θ
( ◦ θ) ◦ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 224/757
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ
∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ
Matematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deoMatematicka logika 29 Relacije - I deo
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
Asocijativnost kompozicije
a b
◦ (θ ◦ σ)
x
θ ◦ σ
yθ σ
◦ θ
( ◦ θ) ◦ σ
(a, b) ∈ ◦ (θ ◦ σ) ⇒
⇒ (∃x ∈ A)(a, x) ∈ ∧ (x, b) ∈ θ ◦ σ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 225/757
⇒ (∃x ∈ A)(∃y ∈ A)(a, x) ∈ ∧
(x, y) ∈ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(∃x ∈ A)
(a, x) ∈ ∧ (x, y) ∈ θ
∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (∃y ∈ A)(a, y) ∈ ◦ θ ∧ (y, b) ∈ σ
⇒ (a, b) ∈ ( ◦ θ) ◦ σ
Ovim smo dokazali da je ◦ (θ ◦ σ) ⊆ ( ◦ θ) ◦ σ.
Matematicka logika 29 Relacije I deoMatematicka logika 29 Relacije I deoMatematicka logika 29 Relacije I deo
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Tvrdenje 2: Postoji skup A i relacije i θ na A takve da je
◦ θ = θ ◦ .
tj. da kompozicija relacija ne mora biti komutativna operacija.
Dokaz: U primeru kompozicije relacija koji smo dali napred je
◦ θ = θ ◦ ,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 226/757
sto dokazuje nase tvrdenje.
Matematicka logika 30 Relacije I deoMatematicka logika 30 Relacije I deoMatematicka logika 30 Relacije I deo
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Tvrdenje 3: Za proizvoljnu relaciju na skupu A vazi
◦ ∆ = ∆ ◦ = .
Dokaz: Neka je (x, y) ∈ ◦ ∆. To znaci da postoji z ∈ A takav da je
(x, z) ∈ i (z, y) ∈ ∆, odnosno (x, z) ∈ i z = y, odakle dobijamoda je (x, y) ∈ . Prema tome, dokazali smo da je ◦ ∆ ⊆ .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 227/757
Sa druge strane, ako je (x, y) ∈ , tada imamo da je (x, y) ∈ i
(y, y) ∈ ∆, pa prema definiciji kompozicije relacija dobijamo da je
(x, y) ∈ ◦ ∆. Ovim smo dokazali da je ⊆ ◦ ∆, pa konacno
zakljucujemo da je ◦ ∆ = .Na isti nacin dokazujemo da je ∆ ◦ = .
Matematicka logika 31 Relacije I deoMatematicka logika 31 Relacije I deoMatematicka logika 31 Relacije I deo
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:
(a) ρ ◦ (θ ∪ σ) = (ρ ◦ θ) ∪ (ρ ◦ σ); (ρ ∪ θ) ◦ σ = (ρ ◦ σ) ∪ (θ ◦ σ);
(b) ρ ◦ (θ ∩ σ) ⊆ (ρ ◦ θ) ∩ (ρ ◦ σ); (ρ ∩ θ) ◦ σ ⊆ (ρ ◦ σ) ∩ (θ ◦ σ);
(c) (ρ ∪ θ)−1
= ρ−1
∪ θ−1
;
(d) (ρ ∩ θ)−1 = ρ−1 ∩ θ−1;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 228/757
(e) (ρ ◦ θ)−
1 = θ−
1 ◦ ρ−
1;
(f) (ρ−1)−1 = ρ;
(g) (ρ)−
1 = (ρ−1).
Dokaz: Ostavlja se za vezbu.
Matematicka logika 32 Relacije I deoMatematicka logika 32 Relacije I deoMatematicka logika 32 Relacije I deo
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Druga svojstva kompozicije
Tvrdenje 3: Za proizvoljne relacije ρ, θ i σ na skupu A vazi:
ρ ⊆ θ ⇒ σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, ρ ⊆ θ ⇒ ρ ◦ σ ⊆ θ ◦ σ.
Dokaz: Neka je ρ ⊆ θ.
Ako (x, y) ∈ σ ◦ ρ, tada postoji z ∈ A takav da je (x, z) ∈ σ i
(z, y) ∈ ρ. Kako je ρ ⊆ θ, to imamo da je (x, z) ∈ σ i (z, y) ∈ θ,
( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 229/757
sto znaci da je (x, y) ∈ σ ◦ θ.
Prema tome, dobili smo da je σ ◦ ρ ⊆ σ ◦ θ, cime je dokazana prva
implikacija.
Druga implikacija se dokazuje analogno.
Matematicka logika 33 Relacije I deoMatematicka logika 33 Relacije I deoMatematicka logika 33 Relacije I deo
Refleksivne relacije
Refleksivne relacije
Refleksivne relacije
Relacija na skupu A je refleksivna ako za svaki x ∈ A vazi
(x, x) ∈ .
Drugim recima, relacija je refleksivna ako i samo ako je
∆ ⊆
tj., ako sadrzi dijagonalu.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 230/757
tj , ako sadr i dijagonalu
Prema tome, dijagonala je refleksivna relacija.
Za relaciju na A, relacija ∪ ∆ je najmanja refleksivna relacija na A
koja sadrzi , i zovemo je refleksivno zatvorenje relacije .
Matematicka logika 34 Relacije I deoMatematicka logika 34 Relacije I deoMatematicka logika 34 Relacije I deo
Simetricne relacije
Simetricne relacije
Simetricne relacije
Relacija na A je simetricna ako za sve x, y ∈ A vazi
(x, y) ∈ ⇒ (y, x) ∈ .Drugim recima, je simetricna relacija ako je ⊆ −1, sto je ekviva-
lentno sa = −1.
Naziv ”simetricna” potice iz cinjenice da su to relacije simetricne u
odnosu na dijagonalu, sto je prikazano na sledecoj slici:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 231/757
Matematicka logika 35 Relacije I deoMatematicka logika 35 Relacije I deoMatematicka logika 35 Relacije I deo
Antisimetricne relacije
Antisimetricne relacije
Antisimetricne relacije
Relacija na A je antisimetricna ako za sve x, y ∈ A vazi
(x, y) ∈ ∧ (y, x) ∈ ⇒ x = y,
Ovaj uslov je ekvivalentan sa
∩ −1 ⊆ ∆.
Drugim recima antisimetricna relacija ne moze sadrzati nijedan par
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 232/757
Drugim recima, antisimetricna relacija ne moze sadrzati nijedan par
razlicitih tacaka u A2 simetrican u odnosu na dijagonalu.
Odatle i potice naziv ”antisimetricna” relacija.
Matematicka logika 36 Relacije I deoMatematicka logika 36 Relacije I deoMatematicka logika 36 Relacije I deo
Tranzitivne relacije
Tranzitivne relacije
Tranzitivne relacije
Relacija na A je tranzitivna ako za sve x, y, z ∈ A vazi
(x, y) ∈ ∧ (y, z) ∈ ⇒ (x, z) ∈ .
Ekvivalentna formulacija ovog uslova je ◦ ⊆ .
Tranzitivnost se graficki moze predstaviti na sledeci nacin – ako je x
u relaciji sa y, i y je u relaciji sa z, onda se trougao moze zatvoriti
l ij i d i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 233/757
relacijom izmedu x i z:
x y
z
Matematicka logika 37 Relacije I deoMatematicka logika 37 Relacije I deoMatematicka logika 37 Relacije I deo
Tranzitivno zatvorenje relacije
Tranzitivno zatvorenje relacije
Tranzitivno zatvorenje relacije
Neka je relacija na skupu A. Za n ∈ N0, n-ti stepen relacije , u
oznaci n, definisemo sa:
0 def = ∆ 1 def = n+1 def = n ◦
Takode, relacije + i ∗ definisemo na sledeci nacin:
+ def =
n∈N
n ∗ def =
n∈N0
n
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 234/757
a) + je najmanja tranzitivna relacija na A koja sadrzi , i zovemo je
tranzitivno zatvorenje relacije ;
b) ∗
je najmanja refleksivna i tranzitivna relacija na A koja sadrzi ,i zovemo je refleksivno-tranzitivno zatvorenje relacije .
Matematicka logika 38 Relacije I deoMatematicka logika 38 Relacije I deoMatematicka logika 38 Relacije I deo
Putevi u grafu
Putevi u grafu
Putevi u grafu
Neka je dat graf (G, E ), cvorovi a, b ∈ G i neka je
e1 = (a1, b1), e2 = (a2, b2), . . . , en = (an, bn) ∈ E
niz grana za koje vazi
– a = a1 (a je pocetni cvor);– bn = b (b je zavrsni cvor);
– bk = ak+1 (grana ek+1 se nadovezuje na granu ek), za svaki k,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 235/757
1 k n − 1.
Tada za ovaj niz grana kazemo da je put iz cvora a u cvor b, a broj n
grana u nizu nazivamo duzinom tog puta.
. . .a=a1
b1=a2 b2=a3 bn−1=an bn=b
e1 e2 en
Matematicka logika 39 Relacije I deoMatematicka logika 39 Relacije I deoMatematicka logika 39 Relacije I deo
Putevi u grafu
Putevi u grafu
Putevi u grafu
Tranzitivno zatvorenje relacije na skupu A moze se predstaviti pomocu
puteva u grafu (A, ), na sledeci nacin:
(a, b) ∈ + ako i samo ako postoji put iz a u b.
Takode, za n ∈ N vazi:
(a, b) ∈ n ako i samo ako postoji put duzine n iz a u b.
Na ovaj nacin bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 236/757
Na ovaj nacin bi smo mogli izraziti i tranzitivnost relacije:
Relacija na skupu A je tranzitivna ako i samo ako svaki put u grafu
(A, ) ima precicu duzine 1, tj., postoji grana koja spaja pocetnu i
krajnju tacku tog puta.
Matematicka logika 40 Relacije I deoMatematicka logika 40 Relacije I deoMatematicka logika 40 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
a) Relacije =, , i | na skupu N prirodnih brojeva su refleksivne.
Sve te relacije su i tranzitivne, = je simetricna a
,
i | su anti-simetricne.
Ako relaciju deljenja | posmatramo na skupu celih brojeva, tada
ona nije antisimetricna. Na primer, za svaki ceo broj n = 0 vazi:−n | n i n | −n, pri cemu je n = −n.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 237/757
b) Relacija = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)} je refleksivna na skupu {1, 2},ali nije na skupu {1, 2, 3}, jer ne sadrzi dijagonalu ovog poslednjeg.
Matematicka logika 41 Relacije I deoMatematicka logika 41 Relacije I deoMatematicka logika 41 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
c) Relacija = {(x, y) | |x − y| < 1} na skupu realnih brojeva R je
refleksivna i simetricna, ali nije tranzitivna.
d) Relacija paralelnosti za prave u ravni:
pq def
⇔ p i q se ne seku ili se poklapaju
je refleksivna, simetricna i tranzitivna.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 238/757
Relacija ortogonalnosti
p⊥q def
⇔ p i q se seku pod pravim uglom
je samo simetricna.
Matematicka logika 42 Relacije I deoMatematicka logika 42 Relacije I deoMatematicka logika 42 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
Zadatak 1.2. Neka je na skupu celih brojeva zadata sledeca relacija
x y ⇔ (∃u ∈ Z
) x = yu.Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:
(a) refleksivna
(b) simetricna
(c) anti-simetricna
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 239/757
(d) tranzitivnaResenje: Dokazacemo da ova relacija ima svojstva (a) i (d), a nema
ostala svojstva.
(a) Relacija je refleksivna jer za svaki x ∈ Z vazi da je x = x · 1, sto
znaci da je x x .
Matematicka logika 43 Relacije I deoMatematicka logika 43 Relacije I deoMatematicka logika 43 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
(b) Relacija nije simetricna jer je, na primer, 6 2, a nije 2 6.
Naime, postoji u ∈ Z tako da je 6 = 2 · u (u = 3), ali ne postoji v ∈ Z
tako da je 2 = 6 · v.
(c) Relacija nije anti-simetricna, jer su, na primer, 2 i −2 razliciti
elementi iz Z za koje vazi da je 2 −2 i −2 2. Naime, 2 = (−2)·(−1)i −2 = 2 · (−1).
(d) Relacija je tranzitivna jer ako su x y z ∈ Z elementi takvi da je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 240/757
(d) Relacija je tranzitivna jer ako su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je
x y i y z , odnosno postoje u, v ∈ Z tako da je x = yu i y = zv,
tada je
x = yu = (zv)u = z(vu),i kako je jasno da je vu ∈ Z, to dobijamo da je x z .
Matematicka logika 44 Relacije I deoMatematicka logika 44 Relacije I deoMatematicka logika 44 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
Zadatak 1.3. Neka je S = {1, 2, 3} i neka je relacija R na S zadata
sa
R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}.
Koja od sledecih svojstava ima ova relacija:
(a) refleksivna
(b) simetricna
(c) anti simetricna
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 241/757
(c) anti-simetricna
(d) tranzitivna
Resenje: Dokazacemo da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nema (c).
Matematicka logika 45 Relacije I deoMatematicka logika 45 Relacije I deoMatematicka logika 45 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
(a) Relacija
R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)}
je refleksivna jer sadrzi sve parove (1, 1), (2, 2) i (3, 3) sa dijagonale
Dekartovog kvadrata skupa S .
(b) Relacija R je i simetricna, jer van dijagonale sadrzi samo parove
(1, 2) i (2, 1), koji su medusobno simetricni.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 242/757
(c) Relacija R nije anti-simetricna, jer sadrzi parove (1, 2) i (2, 1), pri
cemu je 1 = 2.
Matematicka logika 46 Relacije I deoMatematicka logika 46 Relacije I deoMatematicka logika 46 Relacije I deo
Primeri
Primeri
Primeri
(d) Kako su za R = {(2, 1), (1, 2), (3, 3), (2, 2), (1, 1)} tacne sledeceimplikacije
(1, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R
(1, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R
(1, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (1, 1) ∈ R
(1, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (1, 2) ∈ R (2, 1) ∈ R ∧ (1, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R
(2, 1) ∈ R ∧ (1, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 243/757
(2, 2) ∈ R ∧ (2, 1) ∈ R ⇒ (2, 1) ∈ R (2, 2) ∈ R ∧ (2, 2) ∈ R ⇒ (2, 2) ∈ R
(3, 3) ∈ R ∧ (3, 3) ∈ R ⇒ (3, 3) ∈ R
to zakljucujemo da je R tranzitivna relacija.
M t ti ˇk l ik 47 R l ij I dM t ti ˇk l ik 47 R l ij I dM t ti ˇk l ik 47 R l ij I d
Primeri
Primeri
Primeri
Primetimo da je zadatak bilo moguce uraditi i na drugi nacin.
Naime, mozemo uociti da su svi elementi iz skupa {1, 2} medusobno
u relaciji R , dok je 3 u relaciji samo sa samim sobom.
Prema tome, kolekcija koja se sastoji od skupova {1, 2} i {3} je particija
skupa S , i dva elementa iz S su u relaciji R ako i samo ako su u istombloku te particije, odakle zakljucujemo da je R relacija ekvivalencije
koja odgovara toj particiji.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 244/757
Iz toga potom dalje sledi da R ima svojstva (a), (b) i (d), a nemasvojstvo (c).
M t ti ˇk l ik 48 R l ij I dM t ti ˇk l ik 48 R l ij I dM t ti ˇk l ik 48 R l ij I d
Relacije ekvivalencije
Relacije ekvivalencije
Relacije ekvivalencije
Relacija na skupu A je relacija ekvivalencije na A ako je
refleksivna simetricna
tranzitivna
Umesto ”relacija ekvivalencije” ponekad kazemo samo ”ekvivalencija”.
Glavni primer relacija ekvivalencije je jednakost, tj. dijagonalna relacija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 245/757
To je najmanja relacija ekvivalencije na A, u smislu da svaka relacijaekvivalencije na A mora da je sadrzi, dok nijedan pravi podskup od ∆
nema svojstvo refleksivnosti, pa nije relacija ekvivalencije na A.
I univerzalna relacija je relacija ekvivalencije.
M t ti ˇk l ik 49 R l ij I dM t ti ˇk l ik 49 R l ij I dM t ti ˇk l ik 49 R l ij I d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 246/757
Primeri relacija ekvivalencije
Primeri relacija ekvivalencije
Primeri relacija ekvivalencije
(2) Za proizvoljne x, y ∈ Z imamo da je
x ≡n y ⇔ n | x − y ⇔ n | −(x − y) ⇔ n | y − x ⇔ y ≡n x,i dakle, relacija ≡n je simetricna.
(3) Neka su x, y, z ∈ Z elementi takvi da je x ≡n y i y ≡n z, tj.
n | x − y i n | y − z. Tada
n | (x − y) + (y − z) = x − z,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 247/757
pa je x ≡n z, sto znaci da je ≡n tranzitivna relacija.
Prema tome, ≡n je relacija ekvivalencije.
Primer 1.2. Relacija paralelnosti za prave u ravni, paralelnost za ravniu prostoru, sve su to primeri relacija ekvivalencije.
M t ti ˇk l ik 51 R l ij I dM t ti ˇk l ik 51 R l ij I dM t ti ˇk l ik 51 R l ij I d
Klase ekvivalencije
Klase ekvivalencije
Klase ekvivalencije
Neka je relacija ekvivalencije na A i a ∈ A.
Klasa ekvivalencije elementa a u odnosu na relaciju ekvivalencije
definise se kao skup svih elemenata iz A koji su u relaciji sa a, tj.
[a]def = {x ∈ A | a x }.
Takode govorimo i -klasa elementa a, ili krace samo klasa elementa
a, u slucajevima kada je jasno o kojoj se relaciji ekvivalencije radi.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 248/757
M t ti ˇk l ik 52 R l ij I dM t ti ˇk l ik 52 R l ij I dM t ti ˇk l ik 52 R l ij I d
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
Tvrdenje 1.
1) Svaka klasa je neprazna - klasa elementa x sadrzi makar taj element.
Dokaz: Za svaki x ∈ A, zbog refleksivnosti imamo da je x x , pa
je x ∈ [x] .
2) Ukoliko su dva elementa x i y u relaciji , tada su njihove klase
jednake, tj. oni odreduju jednu istu klasu: [x] = [y] .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 249/757
Dokaz: Neka je a ∈ [x] , tj. a x . Prema pretpostavci, x y , pana osnovu tranzitivnosti dobijamo da je a y , tj. a ∈ [y] .
Odavde zakljucujemo da je [x] ⊆ [y] . Na isti nacin dokazujemo i
obratnu inkluziju, cime dobijamo da je [x] = [y] .
M t ti ˇk l ik 53 R l ij I dM t ti ˇk l ik 53 R l ij I dM t ti ˇk l ik 53 R l ij I d
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
3) Ukoliko x i y nisu u relaciji , tada su njihove klase disjunktne.
Dokaz: Pretpostavimo da postoji a ∈ [x] ∩ [y] . Tada je a x
i a y , pa na osnovu simetricnosti i tranzitivnosti dobijamo da je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 250/757
x y , sto je u suprotnosti sa polaznom pretpostavkom.
Odavde zakljucujemo da klase [x] i [y] moraju biti disjunktne.
Iz 2) i 3) sledi da ako dve klase [x] i [y] nisu disjunktne, tj. imajuneprazan presek, onda moraju da budu jednake.
M t ti ˇk l ik 54 R l ij I dM t ti ˇk l ik 54 R l ij I dM t ti ˇk l ik 54 R l ij I d
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
Osnovna svojstva klasa
4) Unija svih -klasa je jednaka celom skupu A.
Dokaz: Kako su sve -klase sadrzane u A, to je i njihova unijasadrzana u A.
Obratno, kako je svaki element x ∈ A sadrzan u nekoj -klasi, tj.
x ∈ [x] , to je jasno da je A sadrzan u uniji svih -klasa.Prema tome, dokazali smo da je A jednak uniji svih -klasa.
Kada neku -klasu zapisemo u obliku [x] , tada kazemo da je x pred-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 251/757
[ ]
stavniik te klase.
Kako je [x] = [y] , za svaki y ∈ [x] (prema 2) ), to ravnopravno sa x
i y moze predstavljati tu klasu, tj., klasu ekvivalencije moze oznacavati(predstavljati) svaki njen clan.
M t ti ˇk l ik 55 R l ij I dM t ti ˇk l ik 55 R l ij I dM t ti ˇk l ik 55 R l ij I d
Primeri klasa
Primeri klasa
Primeri klasa
a) Neka je relacija na skupu A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} zadata sa
1 2 3 4 5 61
2
3
4
5
6
ili matricom M =
1 1 0 1 0 01 1 0 1 0 0
0 0 1 0 0 1
1 1 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0
0 0 1 0 0 1
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 252/757
Tada je relacija ekvivalencije sa klasama
[1] = [2] = [4] = {1, 2, 4},
[3] = [6] = {3, 6},
[5] = {5}.
M t ti ˇk l ik 56 R l ij I dM t ti ˇk l ik 56 R l ij I dM t ti ˇk l ik 56 R l ij I d
Primeri klasa
Primeri klasa
Primeri klasa
b) Klase ekvivalencije za relaciju ≡3 na N0 su skupovi brojeva sa istim
ostatkom pri deljenju sa 3:
{1, 4, 7, . . . }; {2, 5, 8, . . . }; {0, 3, 6, 9, . . . }.
c) Dijagonala na proizvoljnom skupu A ima jednoclane klase: svakielement je samo sa sobom u relaciji pa je i sam u klasi.
d) Relacija paralelnosti razbija skup svih pravih u ravni na pravce: u
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 253/757
istoj klasi su sve medusobno paralelne prave.
M t ti ˇk l ik 57 R l ij I dM t ti ˇk l ik 57 R l ij I dM t ti ˇk l ik 57 R l ij I d
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
Kao sto smo videli, relacija ekvivalencije razbija skup na medusobno
disjunktne klase ekvivalencije.
Relacija ekvivalencije grupise, udruzuje u jednu klasu sve one elemente
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 254/757
koje objedinjuje zajednicko svojstvo - ono koje opisuje ta relacija.
Na primer, kod relacije ≡3, to je svojstvo da imaju isti ostatak pri
deljenju sa 3.
M iˇk l ik 58 R l ij I dM iˇk l ik 58 R l ij I dM iˇk l ik 58 R l ij I d
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
Zadatak 1.4. Neka je A = {1, 2, 3}.
Odrediti koje od sledecih relacija definisanih na A su relacije ekvivalencije, i za one
koje su relacije ekvivalencije odrediti njihove klase:
(a) R 1 = {(2, 2), (1, 1)}
(b) R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)}
(c) R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)}
(d) R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)}
( ) {( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 255/757
(e) R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}
Resenje: Dokazacemo da relacije (b) i (e) jesu relacije ekvivalencije, a ostale nisu.
(a) Relacija R 1 = {(2, 2), (1, 1)} ocito nije refleksivna, jer ne sadrzi par (3, 3), zbogcega nije ni relacija ekvivalencije.
M iˇk l ik 59 R l ij I dM iˇk l ik 59 R l ij I dM iˇk l ik 59 R l ij I d
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
Razbijanje skupa na klase
(b) Relacija R 2 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3)} je ocigledno relacija ekvivalencije cije su
klase jednoelementne: {1}, {2}, {3}.
(c) Relacija R 3 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 1), (1, 3)} je ocito reflek-sivna i simetricna, ali nije tranzitivna, pa nije relacija ekvivalencije.
Naime, imamo da je (2, 1) ∈ R 3 i (1, 3) ∈ R 3, ali (2, 3) /∈ R 3.
(d) Relacija R 4 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (3, 2), (2, 1)} nije relacija ekvivalen-
cije, jer nije simetricna. Zaista, (3, 2) ∈ R 4, ali (2, 3) /∈ R 4.
(e) U slucaju relacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 256/757
R 5 = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1), (2, 3), (3, 2), (1, 3), (3, 1)}
imamo da su svi elementi iz skupa A medusobno u toj relaciji, sto znaci da je to
univerzalna relacija na A, odnosno, R 5 je relacija ekvivalencije sa samo jednomklasom: {1, 2, 3}.
M iˇk l ik 60 R l ij I dM iˇk l ik 60 R l ij I dM iˇk l ik 60 R l ij I d
Particije
Particije
Particije
Dakle, relacija ekvivalencije odreduje jednu particiju (razbijanje) skupa
A na medusobno disjunktne skupove cija je unija ceo skup A.
To nas dovodi do sledece formalne definicije:
Familiju {Ai}i∈I podskupova skupa A zovemo particija ili razbijanje
skupa A ako za tu familiju vazi sledece: sledece uslove:1) Za svaki i ∈ I je Ai = ∅;
2) Za sve i, j ∈ I je ili Ai ∩ A j = ∅ ili Ai = A j;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 257/757
3)
{Ai | i ∈ I } = A.
Skupove Ai nazivamo blokovima particije Π.
M iˇk l ik 6 R l ij I dM i
ˇk l ik 6 R l ij I dM i
ˇk l ik 6 R l ij I d
Particije
Particije
Particije
Ako je relacija ekvivalencije na skupu A, tada prema Tvrdenju 2,
familija svih -klasa jeste jedna particija skupa A.
Tu particiju oznacavamo sa Π , tj.
Πdef = {[x] | x ∈ A}.
Obratno, ako je data particija Π = {Ai | i ∈ I } skupa A, tada mozemo
definisati relaciju Π
na A na sledeci nacin:
( ) d f (∃i I) A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 258/757
(x, y) ∈ Π
def ⇔ (∃i ∈ I ) x, y ∈ Ai,
tj. ako x i y pripadaju istom bloku particije Π.
Matematicka logika – 62 – Relacije - I deoMatematicka logika – 62 – Relacije - I deoMatematicka logika – 62 – Relacije - I deo
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Tvrdenje 2:
a) Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A, Π je particija od A.
b) Za svaku particiju Π skupa A, Π
je relacija ekvivalencije na A.
c) Stavise, vazi i sledece:
(Π ) = i Π(Π) = Π.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 259/757
Matematicka logika – 63 – Relacije - I deoMatematicka logika – 63 – Relacije - I deoMatematicka logika – 63 – Relacije - I deo
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Jednakosti iz Tvrdenja 3, pod c), mogu se pojasniti na sledeci nacin:
c1) Ako za relaciju ekvivalencije
formiramo odgovarajucu particiju Π ,
a potom za tu particiju formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije
(Π )
, onda dobijamo relaciju ekvivalencije od koje smo krenuli.
Π (Π ) =
c2) Ako za particiju Π formiramo odgovarajucu relaciju ekvivalencije
Π a otom a t elacij ek i alencije fo mi amo odgo a aj c a
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 260/757
Π, a potom za tu relaciju ekvivalencije formiramo odgovarajucu par-ticiju Π(Π), onda dobijamo particiju od koje smo krenuli.
Π Π Π(Π) = Π
Matematicka logika – 64 – Relacije - I deoMatematicka logika – 64 – Relacije - I deoMatematicka logika – 64 – Relacije - I deo
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Zadatak 1.5. Neka je A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.
Odrediti koje od sledecih kolekcija skupova predstavljaju particije skupa A. Za one
koje nisu particije navesti razlog zbog cega to nisu.
(a) {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}}
(b) {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}}
(c) {{1, 7}, {3, 4, 6}}
(d) {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}}
(e) {{1 2 3 4 5 6 7}}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 261/757
(e) {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}}
Resenje: Dokazacemo da kolekcije (b) i (e) jesu particije skupa A, dok ostale nisu.
Potseticemo se da kolekcija podskupova od A jeste particija tog skupa ako se sastojiod nepraznih skupova, koji su po parovima disjunktni i unija im je ceo skup A.
Matematicka logika – 65 – Relacije - I deoMatematicka logika – 65 – Relacije - I deoMatematicka logika – 65 – Relacije - I deo
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
Relacije ekvivalencije i particije
(a) Kolekcija {{1, 2}, ∅, {3, 4, 5}, {6, 7}} nije particija skupa A jer se ne sastoji od
nepraznih skupova.
(b) Kolekcija {{1, 4}, {2, 3, 7}, {5, 6}} je particija jer se sastoji od nepraznih, medu-sobno disjunktnih skupova cija je unija jednaka celom skupu A.
(c) Kolekcija {{1, 7}, {3, 4, 6}} se sastoji od nepraznih, disjunktnih podskupova od
A, ali unija tih podskupova nije ceo skup A (2 i 5 nisu u toj uniji), pa ni to nijeparticija skupa A.
(d) Kolekcija {{1, 5}, {3, 4, 5}, {2, 6, 7}} nije particija od A jer skupovi {1, 5} i
{3 4 5} iz te kolekcije nisu medusobno disjunktni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 262/757
{3, 4, 5} iz te kolekcije nisu medusobno disjunktni.(e) Kolekcija {{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}} je particija skupa A sa samo jednim blokom - celim
tim skupom A.
Matematicka logika – 66 – Relacije - I deoMatematicka logika – 66 – Relacije - I deoMatematicka logika – 66 – Relacije - I deo
Faktor skup
Faktor skup
Faktor skup
Particiju koja odgovara relaciji ekvivalencije na skupu A nazivamo
takode i faktor skupom skupa A u odnosu na .
Drugim recima, faktor skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije
je skup svih klasa ekvivalencije skupa A u odnosu na .
Taj faktor skup oznacavamo sa A/
.
Kao sto se vidi sa slike desno faktor
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 263/757
Kao sto se vidi sa slike desno, faktorskup se zapravo dobija tako sto se svaka
-klasa sazme u jedan element.
Matematicka logika – 67 – Relacije - I deoMatematicka logika – 67 – Relacije - I deoMatematicka logika – 67 – Relacije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 264/757
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacija na skupu A je relacija poretka na A ako je
refleksivna
antisimetricna
tranzitivna
Umesto ”relacija poretka” cesto kazemo i parcijalno uredenje ili samouredenje.
Za skup A se kaze da je A ureden relacijom , a par (A, ) se zove
parcijalno uredeni skup ili samo uredeni skup
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 265/757
parcijalno uredeni skup, ili samo uredeni skup.
Za oznacavanje uredenja na skupovima najcesce koristimo oznaku ,
koju koristimo i za standardna uredenja brojeva.
Matematicka logika – 2 – Relacije - II deoMatematicka logika – 2 – Relacije - II deoMatematicka logika – 2 – Relacije - II deo
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka su, uz relacije ekvivalencija, najrasireniji tip relacija u
matematici.
One sluze da pomocu njih ”uporedujemo” ili ”uredujemo” elementeskupa A, tj. da formiramo neki ”poredak” u skupu A, odakle poticu i
nazivi za te relacije.
Prefiks ”parcijalno” sluzi da se ukaze na to da u uredenom skupu
mogu da postoje i elementi koji se ne mogu medusobno uporediti, tj.,
medusobno su neuporedivi, kao sto cemo videti u primerima koji slede.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 266/757
Matematicka logika – 3 – Relacije - II deoMatematicka logika – 3 – Relacije - II deoMatematicka logika – 3 – Relacije - II deo
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
a) Osnovne relacije poretka na skupu prirodnih brojeva N su relacije
(manje ili jednako), | (deli).
Analogno definisana, relacija je relacija poretka i na drugim
skupovima brojeva:
Z (celi brojevi), Q (racionalni brojevi) i R (realni brojevi).
Dakle, (N,), (N, |), (Z,), (Q,) i (R,) su uredeni skupovi.
b) Iako je relacija poretka na skupu prirodnih brojeva, analogno defini-
sana relacija ”deli” na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 267/757
sana relacija deli na skupu celih brojeva nije relacija poretka, jernije antisimetricna.
Kao sto smo vec rekli, za svaki celi broj n = 0 je −n | n i n | −n,
i pri tome je −n = n.
Matematicka logika – 4 – Relacije - II deoMatematicka logika – 4 – Relacije - II deoMatematicka logika – 4 – Relacije - II deo
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
Relacije poretka – ure denja
c) Na partitivnom skupu P (A) proizvoljnog skupa A, inkluzija ⊆ je
relacija poretka.
Uredeni skup (P (A), ⊆) je primer uredenog skupa u kome imaneuporedivih elemenata.
Na primer, bilo koja dva disjunktna podskupa od A su medusobno
neuporedivi.
Naravno, lako je naci primer i skupova koji imaju neprazan presek,
a neuporedivi su, tj., nijedan od njih nije podskup onog drugog.
d) R l ij ( j ) ij d j i j d d k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 268/757
d) Relacija < (strogo manje) nije uredenje ni na jednom od skupova
N, Z, Q i R, jer nije refleksivna.
Matematicka logika – 5 – Relacije - II deoMatematicka logika – 5 – Relacije - II deoMatematicka logika – 5 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zadatak 1.1. Data je relacija = {(2, 2), (2, 3), (5, 3)} na skupu
A = {1, 2, 3, 4, 5}.
(a) Odrediti najmanju relaciju ekvivalencije na A koja sadrzi relaciju .
(b) Odrediti najmanju relaciju poretka na A koja sadrzi relaciju .
Resenje:
Relacija se moze zadati
sledecim grafom:
2
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 269/757
sledecim grafom:1
4
5
Matematicka logika – 6 – Relacije - II deoMatematicka logika – 6 – Relacije - II deoMatematicka logika – 6 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
(a) Prvi korak u konstrukciji najmanje relacije ekvivalencije koja sadrzi
je refleksivno zatvorenje: relacija se dopunjuje do refleksivne relacije
dodavanjem svih parova oblika (x, x), za svaki x ∈ A za koji taj parnije vec bio u toj relaciji.
1
2
3
1
2
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 270/757
4
5
Relacija
4
5
Refleksivno zatvorenje relacije
Matematicka logika – 7 – Relacije - II deoMatematicka logika – 7 – Relacije - II deoMatematicka logika – 7 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Sledeci korak je simetricno zatvorenje: relacija dobijena u prvom koraku
se dopunjuje do simetricne relacije tako sto se za svaki par (x, y) ∈
relaciji dodaje i obratni par (y, x), ukoliko nije vec bio u toj relaciji.
1
2
3
4
1
2
3
4
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 271/757
5
Refleksivno zatvorenje relacije
5
Refleksivno-simetricno zatvorenje
relacije
Matematicka logika – 8 – Relacije - II deoMatematicka logika – 8 – Relacije - II deoMatematicka logika – 8 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Konacno, trazena relacija ekvivalencije se dobija primenom tranzitivnog
zatvorenja: relacija dobijena u prethodnom koraku se dopunjuje do
tranzitivne relacije zatvaranjem svih trouglova u grafu te relacije, tj.,ukoliko su (x, y) i (y, z) u toj relaciji, onda dodajemo i par (x, y).
1
2
3
1
2
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 272/757
4
5
Refleksivno-simetricno zatvorenjerelacije
4
5
Najmanja relacija ekvivalencijekoja sadrzi
Matematicka logika – 9 – Relacije - II deoMatematicka logika – 9 – Relacije - II deoMatematicka logika – 9 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Dakle, najmanja relacija ekvivalencije koja sadrzi je
{(1, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 3), (3, 5),
(4, 4), (5, 2), (5, 3), (5, 5)},
tj., to je relacija ekvivalencije sa klasama
{2, 3, 5}, {1}, {4}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 273/757
Matematicka logika – 10 – Relacije - II deoMatematicka logika – 10 – Relacije - II deoMatematicka logika – 10 – Relacije - II deo
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
Zatvorenja relacija
(b) Relacija je antisimetricna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, x),
i tranzitivna, jer nema parova oblika (x, y) i (y, z), pa se najmanja
relacija poretka koja sadrzi dobija samo refleksivnim zatvorenjem.
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 274/757
5
Relacija
5
Najmanja relacija poretkakoja sadrzi
Matematicka logika – 11 – Relacije - II deoMatematicka logika – 11 – Relacije - II deoMatematicka logika – 11 – Relacije - II deo
Dualno ure denje
Dualno ure denje
Dualno ure denje
Ako je uredenje na skupu A, onda je i inverzna relacija −1 takode
uredenje na A (proveriti za vezbu).
U tom slucaju −1 zovemo dualno uredenje ili dualni poredak za .
a) Dualno uredenje uredenja (manje ili jednako), na bilo kom od
skupova brojeva N, Z, Q ili R, je uredenje (vece ili jednako).
b) Dualno uredenje uredenja ⊆ na partitivnom skupu P (A) je uredenje
⊇ (nadskup).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 275/757
Matematicka logika – 12 – Relacije - II deoMatematicka logika – 12 – Relacije - II deoMatematicka logika – 12 – Relacije - II deo
Restrikcija ure denja
Restrikcija ure denja
Restrikcija ure denja
Neka je relacija na skupu A i B ⊆ A.
Definisimo relaciju |B na B sa:
|Bdef = {(x, y) ∈ B × B | (x, y) ∈ } = ∩ B × B.
Ovako definisanu relaciju |B nazivamo restrikcija relacije na B.
Neka je uredenje na skupu A, tada njegova restrikcija |B jeste
uredenje na skupu B.
Bez opasnosti od zabune, umesto |B mi cesto pisemo samo , tj.polazno uredenje i njegovu restrikciju oznacavamo istim simbolom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 276/757
polazno uredenje i njegovu restrikciju oznacavamo istim simbolom.
Na primer, uobicajeno uredenje prirodnih brojeva je restrikcija uobica-
jenog uredenja celih brojeva na skup prirodnih brojeva.
Matematicka logika – 13 – Relacije - II deoMatematicka logika – 13 – Relacije - II deoMatematicka logika – 13 – Relacije - II deo
Linearno (totalno) ure denje
Linearno (totalno) ure denje
Linearno (totalno) ure denje
Uredenje na skupu A je linearno ili totalno uredenje ako pored uslova
koji definisu uredenje ispunjava i uslov linearnosti:
za sve x, y ∈ A vazi
x y ∨ y x .
U tom slucaju, par (A, ) se naziva linearno ureden skup, totalnoureden skup ili lanac.
Drugim recima, uredeni skup je linearno ureden ako su svaka dva nje-
gova elementa uporediva.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 277/757
Kao sto smo vec videli, u opstem slucaju ne moraju svi elementi uredenog
skupa biti uporedivi.
Matematicka logika – 14 – Relacije - II deoMatematicka logika – 14 – Relacije - II deoMatematicka logika – 14 – Relacije - II deo
Primeri linearno ure denih skupova
Primeri linearno ure denih skupova
Primeri linearno ure denih skupova
a) Uredeni skupovi (N,), (Z,), (Q,) i (R,) su linearno uredeni.
b) Uredeni skupovi (N, |) i (P (A), ⊆) nisu linearno uredeni:
u (N, |), elementi 2 i 3 su neuporedivi,
u (P (A), ⊆), za a, b ∈ A takve da je a = b, {a} i {b} su
neuporedivi elementi izP
(A).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 278/757
Matematicka logika – 15 – Relacije - II deoMatematicka logika – 15 – Relacije - II deoMatematicka logika – 15 – Relacije - II deo
Predstavljanje ure denih skupova
Predstavljanje ure denih skupova
Predstavljanje ure denih skupova
Neki uredeni skupovi, pre svega oni konacni, mogu se predstavljati
Haseovim dijagramima:
Elementi skupa predstavljaju se kao tacke u ravni i to tako da se x yobelezava spojnicom od x ka y, pri cemu je x na crtezu nize od y.
Ne oznacava se x x , niti x z , ako postoje spojnice za x y i y z .
2
3
4
linearno uredeni skup
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 279/757
1
2 linearno uredeni skup
({1, 2, 3, 4},)
Matematicka logika – 16 – Relacije - II deoMatematicka logika – 16 – Relacije - II deoMatematicka logika – 16 – Relacije - II deo
Primeri Haseovih dijagrama
Primeri Haseovih dijagrama
Primeri Haseovih dijagrama
{a} {b}
{a , b , c} {a , b , d}
kolekcija od cetiri podskupa skupa
{a,b,c,d} uredena inkluzijom
skup {1, 2, 3, 4, 5, 6}ureden relacijom ”deli”
1
2
3
4
5
6
{ } {b}
{a, b}
partitivni skup dvoclanog skupa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 280/757
∅
{a} {b} partitivni skup dvoclanog skupa
ureden inkluzijom
Matematicka logika – 17 – Relacije - II deoMatematicka logika – 17 – Relacije - II deoMatematicka logika – 17 – Relacije - II deo
Minimalni i maksimalni elementi
Minimalni i maksimalni elementi
Minimalni i maksimalni elementi
Neka je (A,) uredeni skup.
Za element a ∈ A kazemo da je minimalan u A ako ne postoji x ∈ A
tako da je x = a i x a.
Drugim recima, a je minimalan ako u A ne postoji strogo manji element
od njega.
Analogno, za element a ∈ A kazemo da je maksimalan u A ako ne
postoji x ∈ A tako da je x = a i a x.
Dakle, a je maksimalan ako u A ne postoji strogo veci element odnjega.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 281/757
njega.
Matematicka logika – 18 – Relacije - II deoMatematicka logika – 18 – Relacije - II deoMatematicka logika – 18 – Relacije - II deo
Najmanji i najveci element
Najmanji i najveci element
Najmanji i najveci element
Za element a ∈ A kazemo da je najmanji u A ako je a x, za svaki
x ∈ A.
Drugim recima, a je najmanji element u A ako je manji od svakogdrugog elementa iz A.
Slicno, za element a ∈ A kazemo da je najveci u A ako je x a, za
svaki x ∈ A.
Prema tome, a je najveci element u A ako je veci od svakog drugog
elementa iz A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 282/757
Matematicka logika – 19 – Relacije - II deoMatematicka logika – 19 – Relacije - II deoMatematicka logika – 19 – Relacije - II deo
Odnos minimalnog i najmanjeg elementa
Odnos minimalnog i najmanjeg elementa
Odnos minimalnog i najmanjeg elementa
Ukoliko uredeni skup A ima najmanji element, tada je on jedinstven.
Pri tome taj element jeste i jedini minimalni element u A.
Uredeni skup moze imati vise minimalnih elemenata (i u tom slucaju
ne moze imati najmanji element).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 283/757
Minimalni elementi Najmanji element
Isto vazi i za maksimalne elemente i najveci element.
Matematicka logika – 20 – Relacije - II deoMatematicka logika – 20 – Relacije - II deoMatematicka logika – 20 – Relacije - II deo
Primeri
Primeri
Primeri
a) U uredenim skupovima (N,) i (N, |) broj 1 je najmanji element,
dakle i jedini minimalan, dok nema maksimalnih elemenata niti naj-
veceg.b) U (Z,) nema ni minimalnih ni maksimalnih elemenata, pa, prema
tome, ni najmanjeg ni najveceg.
c) U (P (A), ⊆) prazan skup ∅ je najmanji, a skup A je najveci element.
d) U uredenom skupu (P ′(A), ⊆) svih nepraznih podskupova skupa
A, svi jednoelementni podskupovi su minimalni.
Ukoliko A ima bar dva elementa, onda P ′(A) ima vise minimalnih
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 284/757
( )
elemenata, pa nema najmanji element.
Matematicka logika – 21 – Relacije - II deoMatematicka logika – 21 – Relacije - II deoMatematicka logika – 21 – Relacije - II deo
Primeri
Primeri
Primeri
Uredeni skup na slici ima dva minimalna i
dva maksimalna elementa, ali nema naj-
manji ni najveci element.
{a} {b}
{a , b , c} {a , b , d}
Uredeni skup ({1, 2, 3, 4, 5, 6}, |) ima tri
maksimalna elementa: 4, 5 i 6, i najmanjielement 1
2
3
4
5
6
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 285/757
element 1.
1
Matematicka logika – 22 – Relacije - II deoMatematicka logika – 22 – Relacije - II deoMatematicka logika – 22 – Relacije - II deo
Svojstvo konacnih ure denih skupova
Svojstvo konacnih ure denih skupova
Svojstvo konacnih ure denih skupova
Tvrdenje 3: U svakom konacnom uredenom skupu postoji bar jedan
minimalan i bar jedan maksimalan element.
Dokaz: Neka je (A,) konacan uredeni skup i a ∈ A.Ako je a minimalan element, dokaz je gotov; ako nije, postoji elementa1 = a, tako da je a1 a.
Ako je a1 minimalan, tvrdenje je dokazano, a ako nije, postoji elementa2 = a1, takav da je a2 a1. Jasno je da mora biti i a2 = a, jer bismo u suprotnom dobili a1 = a2 = a.
Na ovaj nacin dolazi se do minimalnog elementa, jer u protivnom skupA ne bi bio konacan – sadrzao bi lanac a, a1, a2, . . . medusobno ra-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 286/757
A ne bi bio konacan sadrzao bi lanac a, a1, a2, . . . medusobno razlicitih elemenata.
Dokaz da postoji maksimalan element je analogan.
Matematicka logika – 23 – Relacije - II deoMatematicka logika – 23 – Relacije - II deoMatematicka logika – 23 – Relacije - II deo
Dobro ure deni skupovi
Dobro ure deni skupovi
Dobro ure deni skupovi
Za uredeni skup (A,) kazemo da je dobro ureden ako je
linearno ureden, i
svaki njegov neprazan podskup ima najmanji elemenat.
a) Glavni primer dobro uredenih skupova je (N,).
b) Primer linearno uredenog skupa koji nije dobro ureden je skup svih
nenegativnih racionalnih brojeva Q+0 = {x ∈ Q | 0 x} ureden restrik-
cijom uobicajenog uredenja racionalnih brojeva na Q+0 .
Na primer, u ovom uredenom skupu podskup { 1
n| n ∈ N} nema najma-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 287/757
n
nji element.
Matematicka logika – 24 – Relacije - II deoMatematicka logika – 24 – Relacije - II deoMatematicka logika – 24 – Relacije - II deo
Donja i gornja granica skupa
Donja i gornja granica skupa
Donja i gornja granica skupa
Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A,).
Element a ∈ A nazivamo donja granica ili donje ogranicenje skupa B
ako jea x, za svaki element x ∈ B,
tj. ako je a manji od svih elemenata skupa B.
Analogno, element a ∈ A nazivamo gornja granica ili gornje ogranicenje
skupa B ako je
x a, za svaki element x ∈ B,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 288/757
tj. ako je a veci od svih elemenata skupa B.
Matematicka logika – 25 – Relacije - II deoMatematicka logika – 25 – Relacije - II deoMatematicka logika – 25 – Relacije - II deo
Donja i gornja granica skupa
Donja i gornja granica skupa
Donja i gornja granica skupa
Sa Bd oznacavacemo skup svih donjih, a sa Bg skup svih gornjih granica
skupa B, tj.
Bd = {a ∈ A | a x, za svaki x ∈ B},
Bg = {a ∈ A | x a, za svaki x ∈ B}.
Skupovi Bd i Bg mogu biti i prazni.
Na primer, kod uredenog skupa na slici,
za skup B = {a, b}, skup Bd
je prazan,dok je Bg = {c, d}.
c d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 289/757
a b
Matematicka logika – 26 – Relacije - II deoMatematicka logika – 26 – Relacije - II deoMatematicka logika – 26 – Relacije - II deo
Infimum i supremum skupa
Infimum i supremum skupa
Infimum i supremum skupa
Neka je B neprazan podskup uredenog skupa (A,).
Najveca donja granica skupa B, tj. najveci element skupa Bd, ukoliko
takav postoji, naziva se infimum skupa B.
Analogno, najmanja gornja granica skupa B, tj. najmanji element
skupa Bg, ukoliko takav postoji, naziva se supremum skupa B.
Ukoliko postoji infimum skupa B, onda je on jedinstven, zbog jedin-
stvenosti najveceg elementa skupa Bd.
Isto vazi i za supremum.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 290/757
Matematicka logika – 27 – Relacije - II deoMatematicka logika – 27 – Relacije - II deoMatematicka logika – 27 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
a) U uredenom skupu (N,), svaki konacan podskup ima supremum
– to je najveci element podskupa.
U (N,) infimum postoji za svaki podskup – to je najmanji elementu podskupu.
b) U uredenom skupu (N, |) infimum konacnog podskupa je najveci
zajednicki delilac, a supremum je najmanji zajednicki sadrzalac ele-
menata tog podskupa.
c) U partitivnom skupu nekog skupa, uredenom inkluzijom, infimumkolekcije podskupova je njihov presek, a supremum je njihova unija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 291/757
Matematicka logika – 28 – Relacije - II deoMatematicka logika – 28 – Relacije - II deoMatematicka logika – 28 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
d) U uredenom skupu na slici, skup B = {a, b} nema infimum, jer
uopste nema donjih granica.
Ovaj skup nema ni supremum, jer skup njegovih gornjih granicaBg = {c, d} nema najmanji element.
a b
c d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 292/757
Matematicka logika – 29 – Relacije - II deoMatematicka logika – 29 – Relacije - II deoMatematicka logika – 29 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Zadatak 1.2. Neka je dat parcijalno uredeni skup
a
b
c
d
ef
(a) Odrediti elemente neuporedive sa a:
(b) Odrediti minimalne elemente:
(c) Odrediti maksimalne elemente:(d) Odrediti najmanji element:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 293/757
(e) Odrediti najveci element:
(f) Infimum skupa {a,b,d}:(g) Supremum skupa {a,b,d}:
Matematicka logika – 30 – Relacije - II deoMatematicka logika – 30 – Relacije - II deoMatematicka logika – 30 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 294/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su:
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 295/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 296/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su:
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 297/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 298/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 299/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 300/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element:
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 301/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 302/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je:
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 303/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je: c
a
b
c
d
ef
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 304/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je: c
a
b
c
d
ef
(f) Infimum skupa {a,b,d}:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 305/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je: c
a
b
c
d
ef
(f) Infimum skupa {a,b,d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 306/757
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je: c
a
b
c
d
ef
(f) Infimum skupa {a,b,d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 307/757
(g) Supremum skupa {a,b,d} je:
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Primeri infimuma i supremuma
Resenje: Imamo sledece:
(a) Elementi neuporedivi sa a su: f , d, e
(b) Minimalni elementi su: a, f , e
(c) Maksimalni element je: c
(d) Najmanji element: ne postoji
(e) Najveci element je: c
a
b
c
d
ef
(f) Infimum skupa {a,b,d}: ne postoji (jer taj skup nema nijednu donju granicu)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 308/757
(g) Supremum skupa {a,b,d} je: c (jer je to i jedina gornja granica tog skupa,
pa je i najmanja gornja granica, tj. supremum).
Matematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deoMatematicka logika – 31 – Relacije - II deo
Reci (stringovi)
Reci (stringovi)
Reci (stringovi)
Neka je A neprazan skup, koji nazivamo alfabetom, a njegove elemente
slovima.
Rec nad alfabetom A definisemo kao konacan niz
x1x2 · · · xn
elemenata iz A.Iz ovakve definicije je jasno da se jednakost reci definise kao jednakost
nizova, tj., dve reci
u = x1x2 · · · xn i v = y1y2 · · · ym
jednake ako i samo ako je m = n i xi = yi za svaki i ∈ {1 2 n}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 309/757
jednake ako i samo ako je m = n i xi = yi, za svaki i ∈ {1, 2, . . . , n}.
Matematicka logika – 32 – Relacije - II deoMatematicka logika – 32 – Relacije - II deoMatematicka logika – 32 – Relacije - II deo
Konkatenacija
Konkatenacija
Konkatenacija
Skup svih reci nad alfabetom A oznacavamo sa A+.
Na skupu A+ definisemo operaciju spajanja, dopisivanja ili konkate-
nacije reci na sledeci nacin:Proizvod reci x1x2 · · · xn i y1y2 · · · yn, gde su x1, . . . , xn, y1, . . . , ymslova iz A, je rec
x1x2 · · · xny1y2 · · · ym.
Lako se proverava da je ova operacija asocijativna.
Neka je ε
element takav da ε /
∈ A+
, koji nazivamo prazna rec.Tada pisemo A∗ = A+ ∪ {ε}, i dodefinisemo operaciju spajanja reci sa:
uε = u i εu = u, tj., spajanjem bilo koje reci sa praznom reci dobija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 310/757
uε u i εu u, tj., spajanjem bilo koje reci sa praznom reci dobija
se ista ta rec.
Matematicka logika – 33 – Relacije - II deoMatematicka logika – 33 – Relacije - II deoMatematicka logika – 33 – Relacije - II deo
Dužina reci
Dužina reci
Dužina reci
Neka je data rec u = x1x2 · · · xn, koju cine slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.
Broj n, tj. broj elemenata u nizu x1x2 · · · xn, oznacavamo sa |u|, i
nazivamo ga duzinom reci u. Za praznu rec kazemo da je duzine 0.Ako x jeste i-to slovo reci u, onda i zovemo pozicijom slova x u reci u.
Neka je A = {x, y}. Reci nad tim alfabetom su
x, y, xy, yx, xyx, xy2, yx2, yxy, xyx2, (xy)2, xy2x, xy3, . . . ,
Na primer, rec xyx2 je duzine 4.
Za prirodan broj k, slovo x i rec u, xk i uk su skraceni zapisi reci
xx · · · x i uu · · · u
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 311/757
xx · · · x
k puta
i uu · · · u
k puta
Matematicka logika – 34 – Relacije - II deoMatematicka logika – 34 – Relacije - II deoMatematicka logika – 34 – Relacije - II deo
Prefiks, sufiks, infiks
Prefiks, sufiks, infiks
Prefiks, sufiks, infiks
Za rec u ∈ A∗ kazemo da je
prefiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = uw, tj. ako
je v rec koja pocinje sa u;
sufiks reci v ako postoji rec w ∈ A∗ takva da je v = wu, tj. ako
je v rec koja se zavrsava sa u;
infiks reci v ako postoje reci p, q ∈ A∗ takve da je v = puq, tj.
ako je v rec koja sadrzi rec u.
Infiks reci v nazivamo jos i faktor reci v.
Jasno, prema ovim definicijama, prazna rec je prefiks, sufiks i faktor
bil k j ˇi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 312/757
bilo koje reci.
Matematicka logika – 35 – Relacije - II deoMatematicka logika – 35 – Relacije - II deoMatematicka logika – 35 – Relacije - II deo
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Zadatak 1.3. Definisimo na skupu A∗ sledece relacije:
u p v def
⇔ u je prefiks od v,
u s v def
⇔ u je sufiks od v,
u f v def
⇔ u je faktor od v.
Dokazati da su sve one relacije poretka na A∗.
Napomena 1.1. Za ova uredenja koristimo sledece nazive
p – prefiks uredenje;
s – sufiks uredenje;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 313/757
f – faktor uredenje.
Matematicka logika – 36 – Relacije - II deoMatematicka logika – 36 – Relacije - II deoMatematicka logika – 36 – Relacije - II deo
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Resenje: Dokazujemo samo tvrdenje za relaciju p. Ostalo se ostavlja
za samostalan rad.
(a) Refleksivnost sledi iz cinjenice da je u = uε, za svaku rec u ∈ A∗.
(b) Antisimetricnost: Neka je u p v i v p u.
To znaci da je v = up i u = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, pa je
u = vq = upq.
Na osnovu svojstva jednakosti reci, iz u = upq sledi da mora biti
pq = ε, sto dalje povlaci da je p = q = ε, odakle je u = v.(c) Tranzitivnost: Neka je u p v i v p w.
To znaci da je v up i w vq za neke reci p q ∈ A∗ odakle je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 314/757
To znaci da je v = up i w = vq, za neke reci p, q ∈ A∗, odakle je
w = vq = upq. Prema tome, u p w.
Matematicka logika – 37 – Relacije - II deoMatematicka logika – 37 – Relacije - II deoMatematicka logika – 37 – Relacije - II deo
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
U daljem radu, koristicemo i sledece oznake:
u <p v def
⇔ u p v i u = v,
u <s v def
⇔ u s v i u = v,
u <f v def
⇔ u f v i u = v.
i ako je u <p v (odnosno u <s v, u <f v), govoricemo da je u pravi
prefiks (odnosno pravi sufiks, pravi faktor) reci v.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 315/757
Matematicka logika – 38 – Relacije - II deoMatematicka logika – 38 – Relacije - II deoMatematicka logika – 38 – Relacije - II deo
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Prefiks (sufiks, faktor) ure denje
Zadatak 1.4. Dokazati da za proizvoljne reci u, v, w ∈ A∗ vazi
u p w ∧ v p w ⇒ u p v ∨ v p u .
Resenje: Napisimo rec w u obliku
w = x1x2 . . . xn,
za neki n ∈ N i slova x1, x2, . . . , xn ∈ A.
Tada u p w i v p w znaci da je
u = x1 . . . xi i v = x1 . . . x j,
za neke i, j ∈ {1, 2, . . . , n}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 316/757
Prema tome, ako je i j, onda imamo da je u p v, a ako je j i,onda je v p u.
Matematicka logika – 39 – Relacije - II deoMatematicka logika – 39 – Relacije - II deoMatematicka logika – 39 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem .
Tada se to uredenje moze prosiriti do linearnog uredenja l na A∗, koje
nazivamo leksikografsko uredenje, na sledeci nacin:
u l v def
⇔ u p v ili u = pxq, v = pyr, sa x < y u A,
gde su p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A
Drugim recima, u l v ako je u p v ili za prvo slovo x u u koje se
razlikuje od odgovarajuceg slova y u v vazi da je x < y u A.
Kada kazemo da je y odgovarajuce slovo za x, pod time podrazumevamo
da y u v ima istu poziciju kao x u u.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 317/757
Takode, p u gornjoj formuli je najduzi zajednicki prefiks reci u i v.
Matematicka logika – 40 – Relacije - II deoMatematicka logika – 40 – Relacije - II deoMatematicka logika – 40 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Zadatak 1.5. Dokazati da je l linearno uredenje na A∗.
Resenje:
(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u l u, jer je u p u.
(2) Antisimetricnost: Za reci u, v ∈ A∗ neka je u l v i v l u.
(2.1) Ako je u p v i v p u, tada je u = v, zbog antisimetricnostiprefiks uredenja.
(2.2) Neka je u p v i v = pxq, u = pyr, pri cemu je x < y, za neke
p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.
Kako je p najduzi zajednicki prefiks za u i v i u p v, to je p = u, sto
je u suprotnosti sa i ∈ A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 318/757
je u suprotnosti sa u = pyr i y ∈ A.
Dakle, zakljucujemo da slucaj (2.2) nije moguc.
Matematicka logika – 41 – Relacije - II deoMatematicka logika – 41 – Relacije - II deoMatematicka logika – 41 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
(2.3) Neka je v p u i u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke
p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.
Na isti nacin dokazujemo da ni ovaj slucaj nije moguc.(2.4) Neka je x1 < y1, gde je x1, y1 prvi par razlicitih slova na istoj
poziciji u u i v, i neka je y2 < x2, gde je y2, x2 prvi par razlicitih slova
na istoj poziciji u v i u.
Tada je x1 = x2 i y1 = y2, sto znaci da je x1 < y1 i y1 < x1, sto nije
moguce.
Prema tome, ni slucaj (2.4) nije moguc.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 319/757
Matematicka logika – 42 – Relacije - II deoMatematicka logika – 42 – Relacije - II deoMatematicka logika – 42 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
(3) Tranzitivnost: Neka su u , v , w ∈ A∗ reci takve da je u l v i
v l w.
(3.1) Neka je u p v i v p w. Tada je u p w, zbog tranzitivnostiprefiks uredenja, pa je u l w.
(3.2) Neka je u p v i v = pxq, w = pyr, pri cemu je x < y, za neke
p, q, r ∈ A∗ i x, y ∈ A.Kako u ovom slucaju vazi da je u p v i p p v, to dobijamo da je
u p v ili p p u.
Ako je u p p, tada, s obzirom da je p p w, imamo da je u p w, pa
je, dakle, u l w, sto je i trebalo dokazati.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 320/757
Matematicka logika – 43 – Relacije - II deoMatematicka logika – 43 – Relacije - II deoMatematicka logika – 43 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Neka je sada p p u. Kako je slucaj p = u obuhvacen prethodnim
slucajem u p p, to mozemo uzeti da je p <p u, tj. da je p pravi
prefiks od u.
U tom slucaju imamo da je u = pxq′, za neku rec q ∈ A∗, sto zajedno
sa w = pyr i x < y povlaci da vazi u l w.
(3.3) Neka je u = pxq, v = pyr, pri cemu je x < y, za neke p, q, r ∈A∗ i x, y ∈ A, i v p w.
Tada, na potpuno isti nacin kao u (3.2) dokazujemo da je u l w.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 321/757
Matematicka logika – 44 – Relacije - II deoMatematicka logika – 44 – Relacije - II deoMatematicka logika – 44 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
(3.4) Neka je u = p1x1q1, v = p1y1r1, pri cemu je x1 < y1, za neke
p1, q1, r1 ∈ A∗ i x1, y1 ∈ A, i neka je v = p2x2q2, w = p2y2r2, pri
cemu je x2 < y2, za neke p2, q2, r2 ∈ A∗ i x2, y2 ∈ A.
Kako je p1 p v i p2 p v, to imamo da je p1 p p2 ili p2 p p1.
Kako se oba slucaja razmatraju na slican nacin, to mozemo uzeti da
je, na primer, p1 p p2.Pretpostavimo najpre da je p1 = p2.
Tada je y1 = x2, i x1 < y1 = x2 < y2 povlaci da je x1 < y2, pa iz
u = p1x1q1, w = p1y2r2 i x1 < y2 zakljucujemo da je u l w.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 322/757
Matematicka logika – 45 – Relacije - II deoMatematicka logika – 45 – Relacije - II deoMatematicka logika – 45 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Neka je sada p1 <p p2.
Iz v = p1y1r1, v = p2x2q2 i p1 <p p2 zakljucujemo da je p2 = p1y1s,
za neku rec s ∈ A∗
, odakle sledi da je w = p1y1t, za neku rec t ∈ A∗
.Prema tome, imamo da je u = p1x1q1, w = p1y1t i x1 < y1, odakle
sledi da je u l w.
Ovim je dokazana tranzitivnost relacije l.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 323/757
Matematicka logika – 46 – Relacije - II deoMatematicka logika – 46 – Relacije - II deoMatematicka logika – 46 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
(4) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.
Ako u i v nemaju zajednicki prefiks, to znaci da im se razlikuju vec
prva slova. Neka je x prvo slovo od u i y je prvo slovo od v.Kako je, prema pretpostavci, alfabet A linearno ureden, to je x < y,
u kom slucaju je u <l v, ili je y < x, u kom slucaju je v <l u.
Dalje, uzmimo da u i v imaju zajednicki prefiks. U tom slucaju postojinajduzi zajednicki prefiks od u i v, koji cemo oznaciti sa p.
Sada imamo da je u = pxq i v = pyr, za neke q, r ∈ A∗ i slova
x, y ∈ A takva da je x = y, pa opet na osnovu linearnosti uredenja
na alfabetu A zakljucujemo da je x < y, u kom slucaju je u <l v, ili
je y < x u kom slucaju je v <l u
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 324/757
je y < x, u kom slucaju je v <l u.
Matematicka logika – 47 – Relacije - II deoMatematicka logika – 47 – Relacije - II deoMatematicka logika – 47 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Zadatak 1.6. Uporediti leksikografski sledece binarne reci:
u = 01000001, v = 00110111, w = 00111111 .
Resenje: Prva pozicija na kojoj se rec u razlikuje od v i w je pozicija 2.
Pri tome, na poziciji 2 rec u ima slovo 1, a reci v i w slovo 0, pa kako
je 0 < 1, to dobijamo da je v <l u i w <l u.Dalje, prva pozicija na kojoj se razlikuju od reci v i w je pozicija 5.
Na poziciji 5 rec v ima slovo 0, a rec w slovo 1, odakle je v <l w.
Napomena 1.2. Binarne reci iz prethodnog zadatka su ASCII kodovi
alfanumerickih simbola A, 7 i ?, tim redom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 325/757
Matematicka logika – 48 – Relacije - II deoMatematicka logika – 48 – Relacije - II deoMatematicka logika – 48 – Relacije - II deo
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Leksikografsko ure denje
Zadatak 1.7. Urediti leksikografski sve binarne reci duzine 4.
Resenje:
Sve binarne reci duzine 4 su leksikografski uredene na sledeci nacin:
0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 326/757
Matematicka logika – 49 – Relacije - II deoMatematicka logika – 49 – Relacije - II deoMatematicka logika – 49 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Neka je alfabet A linearno ureden nekim uredenjem .
Tada se uredenje a na A∗, koje nazivamo alfabetsko uredenje, definise
na sledeci nacin:u a v
def ⇔ |u| < |v| ili
|u| = |v| i u l v
Zadatak 1.8. Dokazati da je a linearno uredenje na A∗.
Resenje:
(1) Refleksivnost: Za proizvoljnu rec u ∈ A∗ je u a u, jer je |u| = |u|
i u l u.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 327/757
Matematicka logika – 50 – Relacije - II deoMatematicka logika – 50 – Relacije - II deoMatematicka logika – 50 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
(2) Antisimetricnost: Neka je u a v i v a u, za neke reci u, v ∈ A∗.
Ako je |u| = |v|, tada imamo da je u l v i v l u, odakle je u = v,
zbog antisimetricnosti leksikografskog uredenja.
Sa druge strane, slucaj |u| = |v| nije moguc, jer bi u suprotnom dobili
da je |u| < |v| i |v| < |u|.
Prema tome, zakljucujemo da je a antisimetricna relacija.
(3) Tranzitivnost: Neka je u a v i v a w, za neke reci u, v, w ∈ A∗.
(3.1) Ako je |u| < |v| i |v| < |w|, tada je |u| < |w|, pa je u a
w.
(3.2) Ako je |u| < |v|, |v| = |w| i v l w, tada je |u| < |w|, odakle
sledi da je u a w.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 328/757
(3.3) Ako je |u| = |v|, u l v, |v| < |w|, tada je opet |u| < |w|,odakle je u a w.
Matematicka logika – 51 – Relacije - II deoMatematicka logika – 51 – Relacije - II deoMatematicka logika – 51 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
(3.4) Neka je |u| = |v|, u l v, |v| = |w| i v l w.Tada dobijamo da je |u| = |w| i u l w, zbog tranzitivnosti leksiko-
grafskog uredenja, odakle sledi da je u a w.
Ovim smo dokazali tranzitivnost relacije a.
(3) Linearnost: Neka su date proizvoljne reci u, v ∈ A∗.
Ako je |u| = |v|, tada je |u| < |v|, u kom slucaju je u a v, ili je|v| < |u|, u kom slucaju je v a u.
Ako je |u| = |v|, tada iz linearnosti leksikografskog uredenja sledi da je
u l v ili v l u, sto zajedno sa |u| = |v| daje u a v ili v a u.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 329/757
Matematicka logika – 52 – Relacije - II deoMatematicka logika – 52 – Relacije - II deoMatematicka logika – 52 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Zadatak 1.9. Urediti leksikografski i alfabetski sve binarne reci duzine
manje ili jednake 3.
Resenje: Leksikografski poredak:
0 00 000 001 01 010 011
1 10 100 101 11 110 111
Alfabetski poredak:
0 1 00 01 10 11
000 001 010 011 100 101 110 111
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 330/757
Matematicka logika – 53 – Relacije - II deoMatematicka logika – 53 – Relacije - II deoMatematicka logika – 53 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Zadatak 1.10. Pocev od najmanjeg, pa do najveceg, leksikografski urediti sledece
binarne reci:
A = 01001011, B = 00101010, C = 01100100, D = 01101111, E = 01000101.
Resenje: Kako sve ove reci imaju isto prvo slovo, to razmatramo drugo slovo.
Jedino rec B ima drigo slovo 0, dok sve ostale imaju drugo slovo 1. Prema tome, B
je najmanji element u ovom skupu.Od preostalih reci, A i E imaju trece slovo 0, pa su manje od C i D, koje kao trece
slovo imaju 1. Ako dalje uporedimo A i E , videcemo da se prvo slovo po kome se
razlikuju na petoj poziciji, gde kod A stoji 1, a kod E stoji 0. Dakle, rec E je druga,
a A treca po velicini.
Konacno, prvo slovo po kome se razlikuju C i D je na petoj poziciji, gde kod C stoji
0, a kod D stoji 1. Prema tome, rec C je cetvrta a D peta po velicini.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 331/757
Dakle, resenje je BEACD.
Matematicka logika – 54 – Relacije - II deoMatematicka logika – 54 – Relacije - II deoMatematicka logika – 54 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Zadatak 1.11. Neka je uredenje na skupu binarnih nizova
X = {0, 1, 10, 01, 11, 101, 011, 1011}
zadato sledecim Haseovim dijagramom.
0 1
10 01 11
101 011
1011
Koje od sledecih uredenja ima kao svoju restrikciju na skupu X :
(a) prefiks uredenje
(b) leksikografsko uredenje
(c) faktor uredenje
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 332/757
(d) alfabetsko uredenje(e) sufiks uredenje
Matematicka logika – 55 – Relacije - II deoMatematicka logika – 55 – Relacije - II deoMatematicka logika – 55 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Resenje: Primetimo najpre da uredenje nije linearno, jer, na primer, elementi 0
i 1 nisu uporedivi. Kako znamo da leksikografsko i alfabetsko uredenje jesu linearna
uredenja, to zakljucujemo da nije jedno od njih.
0 1
10 01 11
101 011
1011
Ako bi bilo prefiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 0 10, a ako bi to bilo
sufiks uredenje, onda ne bi moglo da bude 1 01. Odavde zakljucijemo da ne
moze biti ni jedno od ta dva uredenja.
Dakle, ostaje samo mogucnost da jeste faktor uredenje. To zaista vazi, jer se sa
slike vidi da je bilo koja rec iz datog skupa manja od neke druge ako i samo ako je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 333/757
njen faktor.Dakle, je faktor uredenje.
Matematicka logika – 56 – Relacije - II deoMatematicka logika – 56 – Relacije - II deoMatematicka logika – 56 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Zadatak 1.12. U odnosu na koje uredenje su poredani sledeci nizovi:
11, 101, 011, 01, 0.
(a) prefiks uredenje
(b) leksikografsko uredenje
(c) faktor uredenje
(d) alfabetsko uredenje
(e) simetricno uredenje
Resenje: U zavisnosti od toga da li su ove reci date u rastucem poretku (od na-
jmanjeg ka najvecem) ili opadajucem poretku (od najveceg ka najmanjem), imamo
da je ili 011 101 ili 101 011.
Odatle zakljucujemo da se ne radi o prefiks uredenju, jer nijedna od te dve reci nije
prefiks one druge.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 334/757
Na isti nacin zakljucujemo i da se ne radi o faktor uredenju, jer nijedna od te dvereci nije faktor druge.
Matematicka logika – 57 – Relacije - II deoMatematicka logika – 57 – Relacije - II deoMatematicka logika – 57 – Relacije - II deo
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Alfabetsko ure denje
Simetricno uredenje ne postoji, pa i tu mogucnost iskljucujemo.
Prema tome, preostaju mogucnosti da je alfabetsko ili leksikografsko uredenje.
Kako se kod alfabetskog uredenja reci ureduju najpre po duzini, a potom se reci iste
duzine ureduju leksikografski, to zakljucujemo da nije ni alfabetsko uredenje, jer
dati poredak ne uvazava duzinu reci.
Preostaje, dakle, da jeste leksikografsko uredenje. Ako date nizove poredamo po
leksikografskom poretku, od najveceg ka najmanjem, videcemo da je to upravo datiporedak.
To znaci da je resenje (b) - leksikografsko uredenje.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 335/757
Matematicka logika – 58 – Relacije - II deoMatematicka logika – 58 – Relacije - II deoMatematicka logika – 58 – Relacije - II deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 336/757
Korespondencije
Korespondencije
Korespondencije
Neka su A i B proizvoljni neprazni skupovi.
Korespondencija iz skupa A u skup B definise se kao proizvoljan pod-
skup f Dekartovog proizvoda A × B.
Pojmovi
prva projekcija od f : pr1f
druga projekcija od f : pr2f
definisu se na sledeci nacin:A
BA × B
pr1f
pr2f f
x
y (x, y)
pr1f def
= {x ∈ A | (x, y) ∈ f za neki y ∈ B} def
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 337/757
pr2f = {y ∈ B | (x, y) ∈ f za neki x ∈ A}
Matematicka logika – 2 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - I deo
Korespondencije i relacije
Korespondencije i relacije
Korespondencije i relacije
Primetimo da je korespondencija nije nista drugo do relacija izmedu
elemenata iz razlicitih skupova.
Relacija na skupu A se moze tretirati kaokorespondencija iz skupa A u sebe samog.
Obratno, i korespondencija se moze tre-
tirati kao relacija na skupu (A ∪ B), pa
se mnogi pojmovi koje smo definisali za
relacije mogu preneti i na koresponden-
cije.A B
A
B
A × A B × A
A × B B × B
(A ∪ B)2
f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 338/757
Matematicka logika – 3 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 3 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 3 – Funkcije - I deo
Graficko predstavljanje korespondencija
Graficko predstavljanje korespondencija
Graficko predstavljanje korespondencija
Korespondencija je zapravo ono sto se u terminima teorije grafova
naziva bipartitan digraf .
Radi se o takvom grafu kod koga je skup cvorova podeljen u dve klaseA i B, pri cemu svaka grana pocinje u klasi A a zavrsava se u klasi B.
To je graficki prikazano na sledecoj slici:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 339/757
Matematicka logika – 4 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 4 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 4 – Funkcije - I deo
Primeri korespondencije
Primeri korespondencije
Primeri korespondencije
Primer 1.1. a) Neka je A = {a , b , c , d} i B = {−1, 0, 1}.
Korespondencija iz A u B je, na primer,
f = {(a, −1), (a, 1), (c, 0), (d, 1)}.
Ona je graficki prikazana na sledecoj slici:
a
b
c
d
−1
0
1
A B
Ovde je
pr1f = {a , c , d} pr2f = {−1, 0, 1}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 340/757
Matematicka logika – 5 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 5 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 5 – Funkcije - I deo
Primeri korespondencije
Primeri korespondencije
Primeri korespondencije
b) Neka je g ⊆ A × P (A), gde je A = {a , b , c , d} i
g = {(a, {a, b}), (b, {b , c , d}), (c, {c}), (d, {b , c , d})}.
Tada je g korespondencija koja svakom elementu pridruzuje neki
podskup koji ga sadrzi.
Lako je odrediti projekcije.
c) Svaka relacija ρ ⊆ A2 je korespondencija iz A u A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 341/757
Matematicka logika – 6 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 6 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 6 – Funkcije - I deo
Kompozicija korespondencija
Kompozicija korespondencija
Kompozicija korespondencija
Neka su A, B i C neprazni skupovi i neka su date korespondencije
f ⊆ A × B i g ⊆ B × C .
Kompozicija ili proizvod korespondencija f i g je korespondencijaf ◦ g ⊆ A × C definisana sa
f ◦ g = {(x, z) ∈ A × C | (∃y ∈ B)((x, y) ∈ f ∧ (y, z) ∈ g)}.
f g
f
x
y
z
A
B
C
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 342/757
f ◦ g
Matematicka logika – 7 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 7 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 7 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije
Primer kompozicije
Primer kompozicije
Primer 1.2. Neka je A = {a , b , c , d}, B = {1, 2, 3} i C = {u , v , w},
i neka su korespondencije f ⊆ A × B i g ⊆ B × C date sa
f = {(a, 1), (a, 3), (c, 2), (d, 3)}, g = {(3, u), (3, w), (1, v)}.
Tada je f ◦ g = {(a, u), (a, v), (a, w), (d, u), (d, w)}.
a
b
c
d
1
2
3
u
v
w
A
B
C
f g
313
3
3
a
b
c
d
u
v
w
AC
f ◦ g
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 343/757
Matematicka logika – 8 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 8 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 8 – Funkcije - I deo
Funkcije (preslikavanja)
Funkcije (preslikavanja)
Funkcije (preslikavanja)
Neka su A i B neprazni skupovi.
Za korespondenciju f ⊆ A × B kazemo da je preslikavanje ili funkcija
iz A u B ako uspunjava sledece uslove:(i) pr1f = A;
(ii) ako je (x, y1) ∈
f i (x, y2) ∈
f , onda mora biti y1 = y2.
Uslov (i) cesto formulisemo i sa: f je definisana na celom skupu A,
ili oblast definisanosti za f je celi skup A.
Uslov (ii) nazivamo uslov jednoznacnosti.
Oba uslova se mogu zajedno formulisati na sledeci nacin:
(⋆) s ki x ∈ A st ji t ˇn j d n y ∈ B t k d j (x y) ∈ f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 344/757
(⋆) za svaki x ∈ A postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .
Matematicka logika – 9 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 9 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 9 – Funkcije - I deo
Jednoznacnost
Jednoznacnost
Jednoznacnost
Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na
sledecoj slici:
xy1
y2
AB
Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke
skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 345/757
Matematicka logika – 10 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - I deo
Jednoznacnost
Jednoznacnost
Jednoznacnost
Dakle, jednoznacnost znaci da nije dozvoljena situacija prikazana na
sledecoj slici:
xy1
y2
AB
Dakle, da bi korespondencija bila jednoznacna, onda niti iz jedne tacke
skupa A ne smeju da polaze dve strelice ka elementima skupa B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 346/757
Matematicka logika – 10 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - I deo
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencija prikazana na sledecoj slici (iz Primera 1.1.(a) ) ne
zadovoljava nijedan od uslova (i) i (ii), pa nije funkcija.
a
b
c
d
−1
0
1
AB
Dakle, f nije definisana za b i ne zadovoljava uslov jednoznacnosti jer
je element a u korespondenciji sa dva razlicita elementa.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 347/757
Matematicka logika – 11 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 11 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 11 – Funkcije - I deo
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencije koje nisu funkcije
Korespondencija prikazana na sledecoj slici nije definisana na celom
skupu A (nije definisana za b), ali zadovoljava uslov jednoznacnosti:
a
b
c
d
−1
0
1
A
B
Prema tome, f nije funkcija iz A u B.
Medutim, kako zadovoljava uslov jednoznacnosti, f je funkcija iz skupa
{a c d} u skup B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 348/757
{a , c , d} u skup B.
Matematicka logika – 12 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 12 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 12 – Funkcije - I deo
Parcijalna funkcija (preslikavanje)
Parcijalna funkcija (preslikavanje)
Parcijalna funkcija (preslikavanje)
Korespondenciju f ⊆ A × B koja zadovoljava uslov jednoznacnosti
nazivamo parcijalno preslikavanje ili parcijalna funkcija iz A u B.
Primetimo da parcijalna funkcija f iz skupa A u skup B jeste funkcija
iz skupa pr1f u skup B.
Korespondencija iz prethodnog primera, prikazana na slici dole, je primer
parcijalne funkcije:
a
b
c
d
−1
0
1
AB
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 349/757
d
Matematicka logika – 13 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 13 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 13 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Korespondencija prikazana na sledecoj slici zadovoljava oba uslova (i)
i (ii) iz definicije funkcije, pa je funkcija iz A u B.
a
b
c
d
−1
0
1
A
B
Prema uslovu (⋆) , da bi f bila funkcija iz A u B, za svaki x ∈ Amora da postoji tacno jedan y ∈ B takav da je (x, y) ∈ f .
Medutim, to ne znaci da za svaki y
∈ B mora da postoji tacno jedan
x ∈ A takav da je (x y) ∈ f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 350/757
∈x ∈ A takav da je (x, y) ∈ f .
Matematicka logika – 14 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 14 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 14 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Na primer, za element −1 ne postoji nijedan element iz A sa takvim
svojstvom, dok za 1 i 0 postoje po dva elementa iz A sa takvim svoj-
stvom (a moguce je da ih bude i vise).
a
b
c
d
−1
0
1
AB
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 351/757
Matematicka logika – 15 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 15 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 15 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer 1.3. Neka je A = { p, r, s, t} i B = { p, q, r, s, t}. Koja od
sledecih korespondencija u A × B je funkcija?
(a) f 1 = {( p, r), (r, p), (s, t)}(b) f 2 = {( p, r), (r, p), ( p, t), (s, s), (t, t)}(c) f 3 =
{( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)
}(d) f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}
Resenje: (a) Kod f 1 se element t ne javlja kao prva koordinata u
paru, tj. pr1f 1 = { p, r, s} = A, pa f 1 nije funkcija.
Moze se uociti da je f 1 jednoznacna korespondencija, pa je parcijalna
funkcija, tj. funkcija iz skupa {p, r, s} u B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 352/757
funkcija, tj. funkcija iz skupa { p, r, s} u B.
Matematicka logika – 16 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - I deo
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
Primer funkcije (preslikavanja)
(b) Kod f 2 = {( p, r), (r, p), ( p, t), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A
pojavljuje kao prva koordinata u nekom paru, tj. pr1f 2 = A.
Medutim, p se pojavljuje dvaput kao prva koordinata, pa f 2 nije jedno-
znacna korespondencija. Prema tome, ni f 2 nije funkcija.
(c) Kod f 3 = {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} se svaki element iz A pojav-
ljuje tacno jednom kao prva koordinata, sto znaci da je pr1f 3 = A ida je f 3 jednoznacna korespondencija. Dakle, f 3 je funkcija.
(d) Kod f 4 = {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} se element p nijednom ne po-
javljuje kao prva koordinata u nekom paru, dok se element s pojavljujedvaput.
To znaci da f 4 ne zadovoljava nijedan od uslova iz definicije funkcije.
Dakle, ni f4 nije funkcija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 353/757
Dakle, ni f 4 nije funkcija.
Matematicka logika – 17 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 17 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 17 – Funkcije - I deo
Funkcije – oznacavanje
Funkcije – oznacavanje
Funkcije – oznacavanje
Neka je f funkcija iz skupa A u skup B.
Ako je (x, y) ∈ f , onda se to belezi sa f (x) = y.
Kazemo da se x slika u y, i x se
naziva original, a y njegova slika.
Skup A se zove domen ili oblast defi-
nisanosti funkcije f , dok se B naziva
kodomen.
AB
f (A)
Skup
f (A) def = {y ∈ B | y = f (x), za neki x ∈ A}
je podskup kodomena koji nazivamo skup slika ili slika skupa A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 354/757
j p p j p p
Matematicka logika – 18 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 18 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 18 – Funkcije - I deo
Funkcije – oznacavanje
Funkcije – oznacavanje
Funkcije – oznacavanje
U primeru na slici je
f (A) = {1, 0}.
a
b
c
d
−1
0
1
A B
Ako je f funkcija iz A u B, to belezimo sa f : A → B, a koristi se i
oznaka f : x → f (x) (za elemente).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 355/757
Matematicka logika – 19 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 19 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 19 – Funkcije - I deo
Zadavanje funkcija
Zadavanje funkcija
Zadavanje funkcija
Neka su A i B konacni skupovi, pri cemu je A = {a1, a2, . . . , an}, ineka je f funkcija iz A u B.
Tada se funkcija f moze predstaviti na sledeci nacin:
f =
a1 a2 . . . an
f (a1) f (a2) . . . f (an)
Najcesce uzimamo da je A = {1, 2, . . . , n}, i u tom slucaju umesto
f = 1 2 . . . n
f (1) f (2) . . . f (n)
ponekad pisemo samo
f =
f (1) f (2) . . . f (n)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 356/757
f
f ( ) f ( ) f ( )
Matematicka logika – 20 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 20 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 20 – Funkcije - I deo
Jednakost funkcija
Jednakost funkcija
Jednakost funkcija
Funkciju odreduju domen, kodomen i skup uredenih parova, pa se ona
moze smatrati uredenom trojkom (A , B , f ) gde je f korespondencija
iz A u B za koju vaze uslovi (i) i (ii) iz definicije funkcije.
To znaci da su dve funkcije jednake ako imaju
(1) iste domene,
(2) iste kodomene, i
(3) iste parove koji su u korespondenciji.
Drugim recima, funkcije f ⊆ A × B i g ⊆ C × D su jednake ako jeA = C , B = D i f = g.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 357/757
Matematicka logika – 21 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 21 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 21 – Funkcije - I deo
Još primera funkcija
Još primera funkcija
Još primera funkcija
Primer 1.4. a) Uredeni parovi realnih brojeva i njihovih kvadrata obra-
zuju preslikavanje f : R → R+∪{0} iz skupa svih realnih brojeva u skup
svih nenegativnih realnih brojeva, koje se zadaje formulom f (x) = x2
ili f : x → x2.
Tako je
f (−√ 2) = 2,
f (0) = 0,f (−2) = 4,
f (2) = 4, itd. x−2 −√
2 0 2
y
0
2
4
f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 358/757
Matematicka logika – 22 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 22 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 22 – Funkcije - I deo
Još primera funkcija
Još primera funkcija
Još primera funkcija
b) Neka je A = {−1, 1}. Ako se svakom racionalnom broju pridruzi
1, a iracionalnom −1, onda se dobija funkcija iz R u A.
c) Neka je A proizvoljan skup i B = {0, 1}. Ako je H ⊆ A, onda sekarakteristicna funkcija podskupa H , u oznaci χ
H , koja slika A u
B definise sa:
χH (x) def =
1 ako x ∈ H 0 ako x ∈ H.
Svakom podskupu H skupa A odgovara jedna karakteristicna funk-
cija i obratno.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 359/757
Matematicka logika – 23 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 23 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 23 – Funkcije - I deo
Restrikcija funkcije
Restrikcija funkcije
Restrikcija funkcije
Ako je f : A → B i X je neprazan podskup skupa A, onda definisemo
novo preslikavanje f |X : X → B na sledeci nacin: za svaki x ∈ X je
f |X(x)
def
= f (x).
Preslikavanje f |X
nazivamo restrikcijapreslikavanja f na X .
AB
f
f (A)
X f |X
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 360/757
Matematicka logika – 24 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 24 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 24 – Funkcije - I deo
Proširenje funkcije
Proširenje funkcije
Proširenje funkcije
Obratno, neka je f : A → B i neka je A ⊆ X .
Za preslikavanje F : X → B kazemo da je prosirenje ili ekstenzija
preslikavanja f na skup X ako za svaki x ∈
A vazi F (x) = f (x).
Drugim recima, F je prosirenje od f na X ako se vrednosti preslikavanja
F i f poklapaju na A.
Takode, F je prosirenje od f na X ako i samo ako je f restrikcija odF na A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 361/757
Matematicka logika – 25 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 25 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 25 – Funkcije - I deo
Kompozicija funkcija
Kompozicija funkcija
Kompozicija funkcija
Neka su dati skupovi A, B i C , i preslikavanja f : A → B i g : B → C .
Kako je skup B istovremeno domen preslikavanja g i kodomen presli-
kavanja f , to se preslikavanje g moze nadovezati na preslikavanje f .
Drugim recima, moze se definisa-
ti kompozicija ili proizvod presli-
kavanja f i g, u oznaci f ◦ g, kaopreslikavanje iz A u C , definisano
sa
f ◦ g(x) def = g(f (x)).
f g
f ◦ g
x
f (x)
g(f (x))
A
B
C
Primetimo da je kompozicija preslikavanja poseban slucaj kompozicije
korespondencija, a time i kompozicije relacija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 362/757
Matematicka logika – 26 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 26 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 26 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer 1.5. Neka je f : Z → N funkcija definisana sa f (x) = x2, a
g : N → Q je funkcija definisana sa g(x) = x
2.
Tada je f ◦
g : Z →
Q funkcija zadata sa
(f ◦ g)(x) = x2
2 .
Naime, prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je
(f ◦ g)(x) = g(f (x)) = g(x2) = x2
2 .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 363/757
Matematicka logika – 27 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 27 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 27 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer 1.6. Neka su date funkcije
f (x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.
Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).
(a) 9x3 + 4x2
(b) 27x2
+ 72x + 48
(c) 9x2 + 4
(d) 3x2
+ 3x + 4(e) nijednim od njih
Resenje:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 364/757
Matematicka logika – 28 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer 1.6. Neka su date funkcije
f (x) = 3x + 4, g(x) = 3x2.
Kojim od sledecih izraza je predstavljena funkcija (f ◦ g)(x).
(a) 9x3 + 4x2
(b) 27x2
+ 72x + 48
(c) 9x2 + 4
(d) 3x2
+ 3x + 4(e) nijednim od njih
Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 365/757
Matematicka logika – 28 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Prema definiciji kompozicije funkcija imamo da je
(f ◦ g)(x) = g(f (x))
= g(3x + 4)= 3 · (3x + 4)2
= 3
·(9x2 + 24x + 16)
= 27x2 + 72x + 48
Dakle, (f
◦g)(x) = 27x2 + 72x + 48, tj. tacno je (b).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 366/757
Matematicka logika – 29 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 29 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 29 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer 1.7. Odrediti kompoziciju funkcija f i g zadatih sa:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1 g = 1 2 3 4
4 3 1 2
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 367/757
Matematicka logika – 30 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 30 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 30 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦
g = 1 2 3 4
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 368/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦
g = 1 2 3 4
Biramo argument 1 u tabeli funkcije f ◦ g
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 369/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦
g = 1 2 3 4
Prelazimo na taj isti argument u tabeli funkcije f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 370/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦
g = 1 2 3 4
Nalazimo vrednost f (1) u tabeli funkcije f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 371/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f ◦
g = 1 2 3 4
Nalazimo vrednost f (1) medu argumentima
u tabeli funkcije g
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 372/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
Nalazimo vrednost g(f (1)) u tabeli funkcije g
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 373/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
3
Vrednost g(f (1)) zapisujemo na odgovarajuce mesto
u tabeli funkcije f ◦ g
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 374/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
3
Ponavljamo isti postupak za argument 2
u tabeli funkcije f ◦ g . . .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 375/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 376/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 377/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g = 1 2 3 4
3
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 378/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3
M i ˇ k l ik 3 F k ij I d
M i ˇ k l ik 3 F k ij I d
M i ˇ k l ik 3 F k ij I d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 379/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 380/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
M t ti ˇ k l ik 31 F k ij I d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 381/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 382/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 383/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
Matematicka logika 31 Funkcije I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 384/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1
Matematicka logika 31 Funkcije - I deo
Matematicka logika 31 Funkcije - I deo
Matematicka logika 31 Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 385/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 386/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 387/757
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 388/757
Matematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 389/757
Matematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 390/757
Matematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deoMatematicka logika 31 Funkcije I deo
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 391/757
g jg jg j
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2 4
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 392/757
g jg jg j
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Primer kompozicije funkcija
Resenje: Postupak odredivanja kompozicije f ◦g prikazan je sledecomanimacijom:
f = 1 2 3 4
2 3 4 1
g =
1 2 3 4
4 3 1 2
f
◦g =
1 2 3 4
3 1 2 4
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 31 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 393/757
g jg jg j
Komutativni dijagram
Komutativni dijagram
Komutativni dijagram
Ako jef : A → B, g : B → C i h : A → C,
onda se to predstavlja dijagramom kao na slici.
A B
C
f
h g
Ako je pri tome h = f ◦
g, kaze se da dijagram komutira.
Matematicka logika – 32 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 32 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 32 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 394/757
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Kompozicija funkcija moze se tretirati kao poseban slucaj kompozicijekorespondencija, a ova se dalje moze posmatrati kao poseban slucaj
kompozicije relacija.
Kako je kompozicija relacija asocijativna operacija, to zakljucujemo dasu takve i kompozicije korespondencija i funkcija.
Medutim, dacemo i direktan dokaz za to.
Matematicka logika – 33 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 33 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 33 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 395/757
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Tvrdenje 1:
Neka je f : A → B, g : B → C i h : C → D. Tada je
f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
Dokaz: Domen obe funkcije, f ◦ (g ◦ h) i (f ◦ g) ◦ h, je skup A, a
kodomen je D.
Dalje, za proizvoljan x ∈ A je
f
◦(g
◦h)(x) = g
◦h(f (x)) = h(g(f (x))),
(f ◦ g) ◦ h(x) = h(f ◦ g(x)) = h(g(f (x))),
pa je jednakost dokazana.
Matematicka logika – 34 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 34 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 34 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 396/757
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija
Asocijativnost kompozicije funkcija moze se objasniti i sledecim dija-gramom:
A B
C D
f
g
h
g ◦ h
f ◦
g
(f ◦ g) ◦ h
=
f ◦ (g ◦ h)
Matematicka logika – 35 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 35 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 35 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 397/757
Identicka funkcija
Identicka funkcija
Identicka funkcija
Identicko preslikavanje ili identicka funkciju na skupu A je preslikavanjeI A : A → A definisano sa:
I A(x) def = x, za svaki x
∈ A.
Tvrdenje 2: Neka je f : A → B. Tada je
I A ◦ f = f ◦ I B = f .
Dokaz: Domen funkcije I A ◦ f je ocito A, a kodomen B.
Dalje je I A ◦ f (x) = f (I A(x)) = f (x), tj. I A ◦ f = f .Dokaz druge jednakosti je slican.
Matematicka logika – 36 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 36 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 36 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 398/757
Levo i desno oznacavanje
Levo i desno oznacavanje
Levo i desno oznacavanje
Funkcije se u praksi oznacavanju na dva nacina: postoji levo oznacavanjei desno oznacavanje.
Kod levog oznacavanja, znak funkcije se pise levo od argumenta, na
primer f (x), kako smo to i do sada cinili.
Ukoliko funkcije oznacimo grckim slovima ϕ, ψ itd, a argumente na
koje one deluju latinicnim slovima x, y, z, . . . , a, b, c, . . . , tada ne
moramo uvek pisati zagrade: umesto ϕ(x) mozemo pisati samo ϕx.
Kod desnog oznacavanja, znak preslikavanja se pise desno od argu-
menta, na primer xϕ.Takvo oznacavanje se ponegde zove jos i Poljska notacija, jer ju je uveo
Poljski matematicar - logicar Lukasijevic.
Matematicka logika – 37 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 37 – Funkcije - I deo
Matematicka logika – 37 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 399/757
Levo i desno oznacavanjeLevo i desno oznacavanjeLevo i desno oznacavanje
U slucaju levog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanjaϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa
(ϕ
◦ψ)x
def = ψ(ϕx).
U slucaju desnog oznacavanja preslikavanja, kompozicija preslikavanja
ϕ : A → B i ψ : B → C je preslikavanje ϕ ◦ ψ : A → C definisano sa
x(ϕ ◦ ψ) def = (xϕ)ψ.
Dakle, ovde nema ”izvrtanja” simbola ϕ i ψ.
Leva notacija kod nas preovladava samo iz navike, uglavnom u matema-tickoj analizi.
Prednost je, inace, na strani desne notacije, i ona se u algebri, na
primer, koristi vise nego leva notacija.
Matematicka logika – 38 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 38 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 38 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 400/757
Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi
x1
= x2
⇒ f (x1)
= f (x2),
sto je ekvivalentno sa
f (x1) = f (x2)
⇒ x1 = x2.
Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:
f x1
x2
y
A B
Matematicka logika – 39 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 401/757
Injektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcijeInjektivne ("1-1") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je injektivno, ”1–1” (to citamo”jedan-jedan”), ili da je injekcija, ako za sve x1, x2 ∈ A vazi
x1
= x2
⇒ f (x1)
= f (x2),
sto je ekvivalentno sa
f (x1) = f (x2)
⇒ x1 = x2.
Drugim recima, nije moguca situacija prikazana na sledecoj slici:
f x1
x2
y
A B
Matematicka logika – 39 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 402/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 403/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
S
S
S
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 404/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
za svaki y ∈ B
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Si j k i (" ") f k ij
Si j k i (" ") f k ij
Si j k i (" ") f k ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 405/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
y za svaki y ∈ B
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Si j kti (" ") f k ij
Si j kti (" ") f k ij
Si j kti (" ") f k ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 406/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Si j kti (" ") f k ij
Si j kti (" ") f k ij
Si j kti (" ") f k ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 407/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 408/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
tako da je f (x) = y
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 409/757
Sirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcijeSirjektivne ("na") funkcije
Za preslikavanje f : A → B kazemo da je sirjektivno, ”na” (tj. daslika A na B), ili da je sirjekcija ako vazi
za svaki y
∈ B postoji x
∈ A tako da je f (x) = y,
tj. ako je f (A) = B.
Ova definicija moze se vizualizovati na sledeci nacin:
A B
f x y za svaki y ∈ Bpostoji x ∈ A
tako da je f (x) = y
Matematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 410/757
Sirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcije
Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacijaprikazana na sledecoj slici:
A B
f (A)
f
Matematicka logika – 41 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - I deo
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
Sirjektivne ("na") funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 411/757
Sirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcijeSirjektivne ( na ) funkcije
Drugim recima, f je sirjektivna funkcija ako nije moguca situacijaprikazana na sledecoj slici:
A B
f (A)
f
Matematicka logika – 41 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 412/757
Primeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcija
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 413/757
Primeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcija
A Bf
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 414/757
Primeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcijaPrimeri 1-1 i na funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 415/757
Primeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 416/757
Primeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 417/757
Primeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 418/757
Primeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcijaPrimeri 1 1 i na funkcija
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
A Bf
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 419/757
jjj
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
A Bf
Primer ”na” funkcije
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 420/757
jjj
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
A Bf
Primer ”na” funkcije
A Bf
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 421/757
jjj
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
A Bf
Primer ”na” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”na”
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
Primeri "1-1" i "na" funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 422/757
jjj
A Bf
Primer ”1-1” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”1-1”
A Bf
Primer ”na” funkcije
A Bf
Primer funkcijekoja nije ”na”
Matematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - I deo
Bijektivne funkcije
Bijektivne funkcije
Bijektivne funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 423/757
Za preslikavanje koje je istovremeno i injektivno i bijektivno kazemo da je bijektivno ili da je bijekcija iz A u (na) B.
Identicka funkcija I A na proizvoljnom skupu A je bijekcija iz A u A.
Ako skup A ima bar dva elementa, onda sigurno ima i drugih bijekcija
iz A u A.
Bijekcija iz skupa A
u sebe samog naziva se permutacija tog skupa.A Bf
Primer permutacije
Matematicka logika – 43 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 43 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 43 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 424/757
Primer 4:
a) Funkcija f : R → R, definisana sa f (x) = 2x, je injektivna, jer iz
x1
= x2 sledi 2x1
= 2x2, ali nije sirjektivna, jer negativni brojevi,
kao ni nula, ne mogu biti stepeni sa pozitivnom osnovom.
Ako se kodomen R zameni sa R+, onda je ova funkcija takode i
sirjektivna, tj. bijekcija je.
b) Funkcija f : R→R+∪{0}, definisana sa f (x) = x2, je sirjektivna,
jer svaki nenegativan realan broj a jeste kvadrat realnog broja √
a.
Buduci da se u a preslikava i −√ a, ova funkcija nije injektivna.
Matematicka logika – 44 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 44 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 44 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 425/757
Primer 1.8. Neka je A = { p, r, s, t} i B = { p, q, r, s, t}. Koja odsledecih korespondencija u A × B je funkcija koja nije ni injektivna ni
sirjektivna?
(a) {( p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(b) {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)}
(c) {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)}(d) nijedna od njih
Resenje: Dokazacemo da je tacno (b).
Matematicka logika – 45 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 45 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 45 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 426/757
(a) Korespondencija {( p, r), (r, p), (s, s), (t, t)}, ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:
– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,
– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.
Ta funkcija nije sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javlja element q.
Medutim, funkcija je injektivna, jer se u drugoj vrsti nijedan elementne javlja dvaput.
Prema tome, ova korespondencija ne ispunjava trazene uslove.
Matematicka logika – 46 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 46 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 46 – Funkcije - I deo
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
Primeri – injekcije, sirjekcije, bijekcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 427/757
(b) Korespondencija {( p, s), (r, p), (s, s), (t, t)} ispunjava oba uslovaiz definicije funkcije:
– svaki element iz A se bar jednom pojavljuje kao prva koordinata,
– nijedan element iz A se ne javlja dvaput kao prva koordinata.
Ova funkcija nije injektivna, jer se s javlja dvaput kao druga koordinata.
Takode, ova funkcija nije ni sirjektivna, jer se u drugoj vrsti ne javljajuelementi q i r.
Dakle, ova funkcija ima trazena svojstva.
(c) Korespondencija {(s, r), (r, p), (s, s), (t, t)} nije funkcija, jer
– kao prva koordinata se ne javlja p, pa nije definisana na celom A,
– element s se javlja dvaput kao prva koordinata, pa nije jednoznacna.
Matematicka logika – 47 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 47 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 47 – Funkcije - I deo
Permutacije
Permutacije
Permutacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 428/757
Neka je funkcija f : A → B, gde je A = {1, 2, . . . , n}, zadata sa
f =
1 2 . . . n
f (1) f (2) . . . f (n)
Kod ovakvog predstavljanja se na jednostavan nacin moze uociti da li
je f injektivna ili sirjektivna funkcija.
Naime:
f je injektivna funkcija ako i samo ako su sve vrednosti u drugoj
vrsti ove matrice medusobno razlicite.
f je sirjektivna funkcija ako i samo ako se u drugoj vrsti gornje
matrice pojavljuju svi elementi iz kodomena B.
Matematicka logika – 48 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 48 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 48 – Funkcije - I deo
Permutacije
Permutacije
Permutacije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 429/757
Zadatak 1.1. Neka je A konacan skup i f : A → A. Dokazati da susledeci uslovi ekvivalentni:
(i) f je bijekcija; (ii) f je injekcija; (iii) f je sirjekcija.
Resenje: Dovoljno je dokazati ekvivalentnost uslova (ii) i (iii).Neka je A = {1, 2, . . . , n}. Posmatrajmo niz vrednosti
f (1), f (2), . . . , f (n)
Ako je f injekcija, tada su svi clanovi ovog niza medusobno razliciti,
pa kako niz ima n clanova, to su u njemu zastupljeni svi elementi iz A,
sto znaci da je f sirjekcija.Obratno, ako je f sirjekcija, onda su u gornjem nizu zastupljeni svi
elementi iz A, i kako niz ima isto onoliko clanova koliko i skup A, to
znaci da su svi njegovi clanovi razliciti, odakle sledi da je f injekcija.
Matematicka logika – 49 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 49 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 49 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 430/757
Tvrdenje 3: Neka je f : A → B i g : B → C .(a) Ako su f i g injekcije, onda je i f ◦ g injekcija.
(b) Ako su f i g sirjekcije, onda je i f ◦
g sirjekcija.
Dokaz: (a) Neka su f i g injekcije i x1, x2 ∈ A. Tada
f ◦
g(x1) = f ◦
g(x2) ⇒
g(f (x1)) = g(f (x2)) (definicija kompozicije)
⇒ f (x1) = f (x2) (injektivnost za g)
⇒ x1 = x2 (injektivnost za f ),
sto znaci da je i f ◦ g injekcija.
Matematicka logika – 50 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 50 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 50 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 431/757
(b) Neka su f i g sirjekcije i neka je z ∈ C .Tada, zbog sirjektivnosti za g, postoji y ∈ B tako da je z = g(y), a
zbog sirjektivnosti za f , postoji x ∈ A tako da je y = f (x).
Odatle je z = g(y) = g(f (x)), tj. z = f ◦ g(x), p a j e i f ◦ g
sirjekcija.
Posledica: Kompozicija bijekcija je takode bijekcija.
Matematicka logika – 51 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 51 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 51 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 432/757
Tvrdenje 4: Neka je f : A → B i g : B → C .(a) Ako je f ◦ g injekcija, onda je i f injekcija.
(b) Ako je f ◦
g sirjekcija, onda je i g sirjekcija.
Dokaz: (a) Neka je f ◦ g injekcija neka su x1, x2 ∈ A elementi takvi
da je f (x1) = f (x2).
Tada je g(f (x1)) = g(f (x2)), zbog jednoznacnosti za g, tj.
f ◦ g(x1) = f ◦ g(x2),
odakle je x1 = x2, zbog injektivnosti za f ◦ g.
Ovim smo dokazali injektivnost za f .
Matematicka logika – 52 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 52 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 52 – Funkcije - I deo
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
Svojstva injekcija i sirjekcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 433/757
(b) Neka je f ◦ g sirjekcija i z ∈ C .Tada postoji x ∈ A, tako da je f ◦ g(x) = z, odnosno g(f (x)) = z.
S obzirom da je f (x) = y
∈ B, to sledi da za z
∈ C postoji y
∈ B,
tako da bude z = g(y), pa je g sirjekcija.
Matematicka logika – 53 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 53 – Funkcije - I deoMatematicka logika – 53 – Funkcije - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 434/757
Inverzna korespondencija
Inverzna korespondencija
Inverzna korespondencija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 435/757
Neka je data korespondencija f ⊆ A × B.Tada korespondenciju f −1 ⊆ B × A definisanu sa
f −1 = {(b, a) ∈ B × A | (a, b) ∈ f }
nazivamo inverznom korespondencijom korespondencije f .
A Bf A Bf −1
Matematicka logika – 2 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 2 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 436/757
Ako funkciju f : A → B posmatramo kao korespondenciju iz A u B,onda mozemo govoriti o njenoj inverznoj korespondenciji f −1.
U opstem slucaju, to f −1 moze, ali ne mora, da bude funkcija.
Ako je f −1 funkcija, onda bi smo mogli reci da je to inverzna funkcijaza f .
Medutim, pojam inverzne funkcije definisacemo na drugaciji nacin, a
potom cemo dokazati da
funkcija f ima inverznu funkciju ako i samo ako inverzna korespon-
dencija f −1
jeste funkcija, u tom slucaju je bas to f −1 inverzna funkcija od f .
Matematicka logika – 3 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 3 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 3 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 437/757
Pre no sto definisemo pojam inverzne funkcije, dokazujemo sledece:Tvrdenje 5: Za svaku funkciju f : A → B postoji najvise jedna
funkcija g : B → A za koju vazi
f ◦ g = I A i g ◦ f = I B.
Dokaz: Pretpostavimo da su g1, g2 : B → A dve funkcije sa nave-
denim osobinama, tj. funkcije za koja vazi
f ◦ g1 = I A, g1 ◦ f = I B i f ◦ g2 = I A, g2 ◦ f = I B.
Tada, na osnovu Tvrdenja 2.14 i asocijativnosti kompozicije funkcija,
g1 = g1 ◦ I A = g1 ◦ (f ◦ g2) = (g1 ◦ f ) ◦ g2 = I B ◦ g2 = g2.
Matematicka logika – 4 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 4 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 4 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
Inverzna funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 438/757
Dakle, ako za funkciju f : A → B postoji funkcija g : B → A takvada vazi
f ◦ g = I A i g ◦ f = I B,
tada je takva funkcija g jedinstvena i nazivamo je inverznom funkcijomfunkcije f .
Jasno, za svaku funkciju ne mora da postoji inverzna funkcija.
Matematicka logika – 5 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 5 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 5 – Funkcije - II deo
Znacenje uslova f ◦ g = I A i g ◦ f = I B
Znacenje uslova f ◦ g = I A i g ◦ f = I B
Znacenje uslova f ◦ g = I A i g ◦ f = I B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 439/757
Razmotrimo znacenje uslova f ◦ g = I A
i g ◦ f = I B
.
On znaci da za svaki x ∈ A i svaki y ∈ B vazi
g(f (x)) = x i f (g(y)) = y,
sto je prikazano na sledecoj slici:
f
g
A B
x f (x) f
g
A B
g(y) y
Drugim recima, svaka od funkcija f i g ponistava onu drugu, tj., vraca
nas na stanje pre primene prve funkcije.
Matematicka logika – 6 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 6 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 6 – Funkcije - II deo
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 440/757
Prirodno se namece pitanje:U kakvoj su vezi pojmovi inverzne korespondencije i inverznog preslika-
vanja funkcije?
Odgovor na to pitanje daje sledece tvrdenje:
Tvrdenje 6: Neka je data funkcija f : A → B i neka je f −1 njena
inverzna korespondencija.
Tada f ima inverznu funkciju ako i samo ako je f −1 funkcija.
U tom slucaju je upravo f −1
inverzna funkcija za f .
Matematicka logika – 7 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 7 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 7 – Funkcije - II deo
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 441/757
Dokaz: Pretpostavimo da f ima inverzno preslikavanje g, tj. da jef ◦ g = I A i g ◦ f = I B.
(a1) f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije:
Neka je y ∈ B. Tada za x = g(y) imamo da je
f (x) = f (g(y)) = g ◦ f (y) = I B(y) = y,
pa je (x, y) ∈ f , tj. (y, x) ∈ f −1.
Dakle, pr1f −1 = B, pa f −1 zadovoljava uslov (i) definicije funkcije.
Matematicka logika – 8 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 8 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 8 – Funkcije - II deo
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 442/757
(a2) f
−1
zadovoljava uslov jednoznacnosti:Dokazimo sada da iz (y, x1) ∈ f −1 i (y, x2) ∈ f −1 sledi x1 = x2.
Zaista, odatle dobijamo da je (x1, y) ∈ f i (x2, y) ∈ f , tj.
f (x1) = y = f (x2),
odakle je
x1 = I A(x1) = f ◦ g(x1) = g(f (x1)) =
= g(f (x2)) = f ◦ g(x2) = I A(x2) = x2.
Prema tome, f −1 zadovoljava uslov jednoznacnosti.
Konacno, iz (a1) i (a2) sledi da je f −1 funkcija.
Matematicka logika – 9 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 9 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 9 – Funkcije - II deo
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
Inverzna korespondencija i funkcija
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 443/757
Obratno, neka je f
−1
funkcija. Dokazacemo da je f ◦ f
−1
= I A if −1 ◦ f = I B .
Zaista, neka je x ∈ A. Tada za y = f (x) ∈ B imamo da je (x, y) ∈ f ,
odakle je (y, x) ∈ f −1, tj. f −1(y) = x. Prema tome,
f ◦ f −1(x) = f −1(f (x)) = f −1(y) = x = I A(x),
cime smo dokazali da je f ◦ f −1
= I A.
Na potpuno isti nacin dokazujemo da je f −1 ◦ f = I B.
Dakle, f −1 je inverzna funkcija funkcije f .
U skladu sa prethodnim tvrdenjem, ako funkcija f : A → B ima
inverznu funkciju, onda je oznacavamo upravo sa f −1.
Matematicka logika – 10 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 10 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 444/757
Dakle, prema Tvrdenju 6., funkcija f ima inverznu funkciju ako i samoako njena inverzna korespondencija f −1 jeste funkcija, tj. zadovoljava
uslove (i) i (ii) iz definicije funkcije.
Uslovi pod kojima f −1
zadovoljava (i) i (ii) iz definicije funkcije dati susledecim tvrdenjem:
Tvrdenje 7: Neka je data funkcija f : A → B. Tada
a) Inverzna korespondencija f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funk-
cije ako i samo ako f jeste sirjekcija.
b) Inverzna korespondencija f −1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije
funkcije ako i samo ako f jeste injekcija.
Matematicka logika – 11 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 11 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 11 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 445/757
Dokaz:a) Korespondencija f −1 zadovoljava uslov (i) iz definicije funkcije, tj.
pr1f −1 = B, ako i samo ako za svaki y ∈ B postoji x ∈ B tako da je
(y, x) ∈ f −1
.
To je dalje ekvivalentno sa tim da je f sirjekcija, jer je (y, x) ∈ f −1
ekvivalentno sa (x, y) ∈ f , odnosno sa f (x) = y.
b) Korespondencija f −1 zadovoljava uslov (ii) iz definicije funkcije,
tj. (y, x1) ∈ f −1 i (y, x2) ∈ f −1 povlaci x1 = x2, ako i samo ako
f (x1) = y i f (x2) = y povlaci x1 = x2.
To je, jasno, ekvivalentno sa tim da je f injekcija.
Matematicka logika – 12 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 12 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 12 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
Inverzna funkcija i bijektivnost
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 446/757
Konacno, uslovi pod kojima funkcija ima inverznu funkciju dati susledecim tvrdenjem:
Tvrdenje 8: Funkcija f : A → B ima inverznu funkciju ako i samo
ako je f bijekcija.
Dokaz: Dokaz sledi neposredno iz prethodna dva tvrdenja.
Matematicka logika – 13 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 13 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 13 – Funkcije - II deo
Svojstva inverzne funkcije
Svojstva inverzne funkcije
Svojstva inverzne funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 447/757
Tvrdenje 9: Neka funkcija f : A → B ima inverznu funkciju f
−1
.Tada:
(a) f −1 je bijekcija;
(b) (f −1)−1 = f .
Dokaz: S obzirom na Tvrdenje 8., dovoljno je dokazati (b).
Tvrdenje (b) sledi neposredno iz Tvrdenja 5, koje kaze da, posto jef −1 inverzna funkcija za f , vazi
f ◦ f −1 = I A i f −1 ◦ f = I B.
Zbog simetricnosti ovog uslova sledi da je f inverzna funkcija za f −1.
Matematicka logika – 14 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 14 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 14 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 448/757
Primer 1.1. Neka je A = {1, 2, 3, 4} i neka je f : A → A funkcijazadata sa
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
(a) Dokazati da je f bijekcija (tj. permutacija skupa A);
(b) Odrediti inverznu funkciju f −1.
Resenje: (a) Kako su svi elementi u drugoj vrsti razliciti, to na osnovu
ranije dokazanog imamo da je f bijekcija, odnosno permutacija.
Matematicka logika – 15 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 15 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 15 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 449/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 450/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
Biramo argument 1 u tabeli funkcije f −1
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 451/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
Pronalazimo taj isti argument medu slikama u tabeli funkcije f
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 452/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
U tabeli funkcije f nalazimo element 3 koji se slika u f (1)
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 453/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3
Vrednost 3 = f −1(1) zapisujemo na odgovarajuce mesto u tabeli funkcije f −1
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 454/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3
Isti postupak ponavljamo za argument 2 tabeli funkcije f −1 . . .
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 455/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 456/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 457/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3 4
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
1
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 458/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f −1
= 1 2 3 4
3 4
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
1
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 459/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
P k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 460/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
P k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 461/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
P t k d di j i f k ij f 1 ik j l d ´
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 462/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f −1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
P t k d di j i f k ij f−1 ik j l d ´
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 463/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f−1 prikazan je sledecom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 464/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f−1 prikazan je sledecom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 465/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f 1 prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2 1
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Inverzna funkcija – primer
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f−1 prikazan je sledecom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 466/757
Postupak za odredivanje inverzne funkcije f prikazan je sledecom
animacijom:
f = 1 2 3 4
4 3 1 2
f
−1
= 1 2 3 4
3 4 2 1
Matematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 16 – Funkcije - II deo
Kombinovani zadatak
Kombinovani zadatak
Kombinovani zadatak
Primer 1 2 Neka su date funkcije
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 467/757
Primer 1.2. Neka su date funkcije
f =
1 2 3 4 5
4 3 1 5 2
, g =
1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
, h =
1 2 3 4 5
2 3 5 4 1
.
Odrediti funkciju F = g ◦ h−1 ◦ f .
Resenje: Primetimo najpre da je funkcija h bijekcija, jer se u drugoj
vrsti njenog matricnog predstavljanja pojavljuju svi elementi iz skupa{1, 2, 3, 4, 5}, pa h zaista ima inverznu funkciju h−1 koja je data sa:
h−1 =
1 2 3 4 55 1 2 4 3
.
Matematicka logika – 17 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 17 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 17 – Funkcije - II deo
Kombinovani zadatak
Kombinovani zadatak
Kombinovani zadatak
Dalje je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 468/757
Dalje je
g ◦ h−1 =
1 2 3 4 5
5 4 3 1 2
◦
1 2 3 4 5
5 1 2 4 3
=
1 2 3 4 5
3 4 2 5 1
,
F = (g ◦ h−1) ◦ f =
1 2 3 4 5
3 4 2 5 1
◦
1 2 3 4 5
4 3 1 5 2
=
1 2 3 4 51 5 3 2 4
.
Matematicka logika – 18 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 18 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 18 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgrom funkcije f : A → B (engl. kernel) nazivamo relaciju ker f
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 469/757
Jezgrom funkcije f : A → B (engl. kernel) nazivamo relaciju ker f
definisanu na skupu A na sledeci nacin:
(x1, x2) ∈ ker f def ⇔ f (x1) = f (x2).
Tvrdenje 10: Jezgro funkcije f : A → B je relacija ekvivalencije na A.
Dokaz: Ostavlja se za vezbu.
Na slici desno vidi se da jednu klasu rela-cije ker f cine svi oni elementi iz A koji
se slikaju i jedan isti element iz B.
f A B
Matematicka logika – 19 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 19 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 19 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Vazi i obratno tvrdenje:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 470/757
Vazi i obratno tvrdenje:
Tvrdenje 11: Za svaku relaciju ekvivalencije na skupu A postoji skup
B i funkcija f : A → B, tako da je jezgro funkcije f bas to relacija .
Dokaz: Neka je ρ relacija ekvivalencije na A i B = A/
odgovarajuci
faktor skup.Definisimo funkciju f : A → A/
tako da se svaki element iz A slika
u svoju -klasu, tj. f (x) = [x] , za svaki x ∈ A.
Kako svaki element x ∈ A jednoznacno odreduje klasu [x] , funkcijaf je dobro definisana.
Matematicka logika – 20 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 20 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 20 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Dalje, imamo da je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 471/757
(x1, x2) ∈ ker f ⇔ f (x1) = f (x2) (definicija jezgra funkcije)
⇔ [x1] = [x2] (definicija funkcije f )
⇔ (x1, x2) ∈ (svojstvo jednakosti klasa),
odakle je ker f = .
Funkcija f definisana kao u dokazu prethodne teoreme naziva se prirodnopreslikavanje relacije ekvivalencije i oznacava se sa ♮.
Jasno, ova funkcija je uvek sirjektivna.
Matematicka logika – 21 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 21 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 21 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Tvrdenje 12: Neka je f : A → B proizvoljna funkcija, = ker f je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 472/757
j j f p j j , f j
njeno jezgro i ϕ = ♮ : A → A/
je prirodno preslikavanje relacije
ekvivalencije .
Tada je saψ : [x]ρ → f (x) tj. ψ([x]ρ) = f (x)
definisana funkcija iz A/
u B za koju vazi:
(a) ψ je injektivna funkcija;
(b) f = ϕ ◦ ψ;
(c) ako je f sirjektivna funkcija, onda je ψ bijekcija.
Matematicka logika – 22 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 22 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 22 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Drugim recima, ovo tvrdenje kaze da postoji funkcija ψ : A/ → B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 473/757
g , j p j j ψ /
takva da sledeci dijagram komutira:
A A/
B
ϕ = ♮
f ψ
Pri tome je ψ i injektivna funkcija.
Osim toga, vazi i sledece:
(d) ψ je jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji dijagramkomutira.
Matematicka logika – 23 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 23 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 23 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Dokaz: Funkcija ψ je dobro definisana, jer za svaku klasu [x] postoji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 474/757
j ψ j j [ ] p j
tacno jedan elemenat iz B u koji se svi elementi te klase preslikavaju
funkcijom f – to je element f (x).
Dakle, definicija ove funkcije ne zavisi od izbora predstavnika klase.
(a) Za proizvoljne klase [x1] , [x2] ∈ A/
vazi
ψ([x1] ) = ψ([x2] ) ⇒ f (x1) = f (x2) (definicija funkcije ψ)⇒ (x1, x2) ∈ (definicija jezgra funkcije)
⇒ [x1] = [x2] (svojstvo jednakosti klasa),
odakle sledi da je funkcija ψ injektivna.
Matematicka logika – 24 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 24 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 24 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
(b) Neka je x ∈ A. Tada je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 475/757
( )
ϕ ◦ ψ(x) = ψ(ϕ(x)) = ψ([x] ) = f (x).
Dakle, ϕ ◦ ψ = f .
(c) Ako je f sirjekcija, onda je ψ i sirjekcija iz A/
na B, sto sledi
neposredno iz Tvrdenja 4 (b), pa je, dakle, ψ bijekcija.
(d) Dokazujemo da je ψ jedinstvena injektivna funkcija takva da gornji
dijagram komutira.
Pretpostavimo suprotno, da postoji i neka druga injektivna funkcijaχ : A/
→ B, takva da taj dijagram komutira, tj. da je ϕ ◦ χ = f .
Matematicka logika – 25 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 25 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 25 – Funkcije - II deo
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
Jezgro funkcije
U tom slucaju za proizvoljnu klasu [x] ∈ A/ vazi:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 476/757
χ([x] ) = χ(ϕ(x)) (jer je ϕ = ♮)
= ϕ ◦ χ(x) (definicija kompozicije funkcija)
= f (x) (pretpostavka da je ϕ ◦ χ = f )
= ϕ ◦ ψ(x) (jer je ϕ ◦ ψ = f )
= ψ(ϕ(x)) (definicija kompozicije funkcija)
= ψ([x] ) (jer je ϕ = ♮).
Kako ovo vazi za proizvoljnu klasu iz A/
, to sledi da je χ = ψ.
Matematicka logika – 26 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 26 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 26 – Funkcije - II deo
Operacije
Operacije
Operacije
Neka je A neprazan skup i n ∈ N0 je proizvoljan prirodan broj.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 477/757
Proizvoljnu funkciju f : An → A koja slika Dekartov n-ti stepen An
skupa A u sam skup A nazivamo n-arnom operacijom na skupu A.
Broj n zovemo arnost ili duzina operacije f .
Operacije duzine 2 nazivamo binarne operacije.
Operacije duzine 1 nazivamo unarne operacije.
Jasno, unarne operacije su obicne funkcije iz A u A.
Operacije duzine 0 nazivamo nularne operacije.
Matematicka logika – 27 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 27 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 27 – Funkcije - II deo
Nularne operacije
Nularne operacije
Nularne operacije
Nularne operacije su karakteristicne, pa cemo se nesto vise zadrzati na
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 478/757
njima da bi pojasnili njihovo dejstvo.
Naime, nularna operacija je preslikavanje f : A0 → A.
Kako se skup A0
sastoji iz samo jednog elementa ∅, to se tim preslika-vanjem zapravo fiksira jedan element – konstanta f (∅) ∈ A.
f ∅ f (∅)
A0
A
Zato umesto o nularnim operacijama na skupu A cesto radije govorimo
o izboru i fiksiranju izvesnih konstanti u tom skupu.
Matematicka logika – 28 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 28 – Funkcije - II deo
Binarne operacije
Binarne operacije
Binarne operacije
Binarne operacije su operacije koje se najvise koriste u matematici.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 479/757
Kako najcesce radimo upravo sa njima, to ih obicno nazivamo samo
operacije, ako je iz konteksta jasno da se radi o binarnim operacijama.
Ako je f binarna operacija na skupu A, proizvod ”f (a, b)” elemenataa i b iz A, tj. rezultat primene operacije f na te elemente, radije
oznacavamo sa ”a f b”.
Takode, za oznacavanje binarnih operacija najcesce koristimo simbole”·”, ”+”, ”∗”, ”◦” i slicno.
Rezultat primene te operacije na elemente a, b ∈ A oznacavamo sa
”a · b”, ”a + b”, ”a ∗ b” ili ”a ◦ b”.
Umesto ”a · b” obicno pisemo samo ”ab”, tj. izostavljamo tacku.
Matematicka logika – 29 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 29 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 29 – Funkcije - II deo
Primeri operacija
Primeri operacija
Primeri operacija
(a) Sabiranje i mnozenje prirodnih, celih, racionalnih, realnih i kom-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 480/757
pleksnih brojeva su binarne operacije na skupovima N, Z, Q, R i C
(ovo poslednje je oznaka za skup kompleksnih brojeva).
Sabiranje oznacavamo znakom ”+” a mnozenje znakom ”·”, pri
cemu, kao sto smo rekli, tacku obicno izostavljamo.
(b) Unija, presek, razlika i simetricna razlika skupova su binarne ope-
racije, dok je komplement unarna operacija na partitivnom skupuP (U ) skupa U .
Matematicka logika – 30 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 30 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 30 – Funkcije - II deo
Predstavljanje operacija
Predstavljanje operacija
Predstavljanje operacija
Ako je A = {a1, a2, . . . , an} konacan skup, onda operaciju · na tom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 481/757
skupu mozemo predstaviti takozvanom Kejlijevom tablicom, kod koje
vrste i kolone tabele su oznacene elementima iz skupa A;
u celiji tabele koja pripada vrsti elementa ai i koloni elementa a jubelezen je njihov proizvod ai · a j.
· a1 a2 · · · a j · · · an
a1 a1 · a1 a1 · a2 · · · a1 · a j · · · a1 · ana2 a2 · a1 a2 · a2 · · · a2 · a j · · · a2 · an
......
... . . .
... . . .
...
ai ai · a1 ai · a2 · · · ai · a j · · · ai · an...
......
. . . ...
. . . ...
an an · a1 an · a2 · · · an · a j · · · an · an
Matematicka logika – 31 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 31 – Funkcije - II deo
Predstavljanje operacija
Predstavljanje operacija
Predstavljanje operacija
Sto se tice unarnih operacija na skupu A = {a1, a2, . . . , an}, i njih
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 482/757
mozemo predstaviti tablicom.
Naime, ako je f : A → A unarna operacija, tada se ona predstavlja
tablicom sledeceg oblika:
f
a1 f (a1)
a2 f (a2)...
...
ai f (ai)
......
an f (an)
Matematicka logika – 32 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 32 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 32 – Funkcije - II deo
Primer – Bulove operacije
Primer – Bulove operacije
Primer – Bulove operacije
Na skupu B = {0, 1} definisimo unarnu operaciju ¬ i cetiri binarne
ij i ´ l d ´ih bli
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 483/757
operacije ∧, ∨, ⇒ i ⇔ pomocu sledecih tablica:
¬
1 0
0 1
∧ 1 0
1 1 0
0 0 0
∨ 1 0
1 1 1
0 1 0
⇒ 1 0
1 1 0
0 1 1
⇔ 1 0
1 1 0
0 0 1
Iz tablica se jasno vidi
da su 1 i 0 samo drugacije oznake logickih vrednosti ⊤ (tacno) i ⊥
(netacno), tim redom;
da su ¬ – negacija, ∧ – konjunkcija, ∨ – disjunkcija, ⇒ – implikacija,
i ⇔ – ekvivalencija, standardne logicke operacije.
Matematicka logika – 33 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 33 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 33 – Funkcije - II deo
Primer – Bulove operacije
Primer – Bulove operacije
Primer – Bulove operacije
Ove operacije nazivamo i Bulovim operacijama, u cast Dzordza Bula
(G B l ) b i k iˇ i 19 k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 484/757
(George Boole), britanskog matematicara iz 19. veka, tvorca matema-
ticke logike i savremene algebre.
Kao sto vec znamo, uredena sestorka (B,∧,∨,⇒,⇔,¬) naziva se
iskazna algebra.
Matematicka logika – 34 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 34 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 34 – Funkcije - II deo
Svojstva operacija
Svojstva operacija
Svojstva operacija
Navescemo samo neka osnovna svojstva koja mogu imati binarne i
ij
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 485/757
unarne operacije.
Neka je · binarna operacija na skupu A. Operacija · je
asocijativna ako za sve a, b, c ∈ A vazi
(a · b) · c = a · (b · c);
komutativna ako za sve a, b ∈ A vazi
a · b = b · a;
idempotentna ako za svaki a ∈ A vazi
a · a = a.
Matematicka logika – 35 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 35 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 35 – Funkcije - II deo
Svojstva operacija
Svojstva operacija
Svojstva operacija
Neka su · i + binarne operacija na skupu A. Operacija · je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 486/757
distributivna u odnosu na + ako za sve a, b, c ∈ A vazi:
a · (b + c) = (a + b) · (a + c) i (b + c) · a = (b + a) · (c + a).
Neka je ∗ : a → a∗ unarna operacija, a · je binarna operacija na skupu
A. Operacija ∗ je
involutivna u odnosu na · ako za proizvoljne a, b ∈ A vazi
(a · b)∗ = b∗ · a∗,
i za proizvoljan a ∈ A vazi
(a∗)∗ = a
Matematicka logika – 36 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 36 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 36 – Funkcije - II deo
Još primera operacija
Još primera operacija
Još primera operacija
(a) Operacije + sabiranja i · mnozenja prirodnih, celih, racionalnih,
l ih ili k l k ih b j k t ti i ij ti
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 487/757
realnih ili kompleksnih brojeva su komutativne i asocijativne.
Operacija mnozenja je distributivna u odnosu na sabiranje, ali ne
vazi obratno – sabiranje nije distributivno u odnosu na mnozenje,
jer je, na primer,
2 + (3 · 4) = 2 + 12 = 14, (2 + 3) · (2 + 4) = 5 · 6 = 30.
(b) Operacija kompozicije relacija je distributivna u odnosu na uniju, ali
nije u odnosu na presek (Videti Tvrdenje 3. iz dela o relacijama).
(c) Operacija preseka skupova je distributivna u odnosu na uniju, a vazii obratno, unija je distributivna u odnosu na presek.
Matematicka logika – 37 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 37 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 37 – Funkcije - II deo
Još primera operacija
Još primera operacija
Još primera operacija
(b) Operacija −1 : → −1 inverzije relacija je involutivna u odnosu
na kompoziciju relacija tj
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 488/757
na kompoziciju relacija, tj.
( ◦ θ)−1 = θ−1 ◦ −1, ( −1)−1 = ,
za proizvoljne relacije i θ na datom skupu A.
Isto to vazi i za inverziju i kompoziciju korespondencija i funkcija.
Pitanje: Da li je inverzija matrica involutivna i u odnosu na presek
i uniju relacija?
Matematicka logika – 38 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 38 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 38 – Funkcije - II deo
Nizovi
Nizovi
Nizovi
Neka je A proizvoljan neprazan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 489/757
Niz elemenata iz skupa A formalno matematicki definisemo kao funkciju
f : N → A iz skupa N prirodnih brojeva u A.
Niz se najcesce navodi samo skupom vrednosti.Naime, za svaki i ∈ N stavljamo da je f (i) = ai, i u tom slucaju niz
predstavljamo kao
a1, a2, . . . , an, . . . ili (ai)i∈N
Za ovakav niz kazemo i da je indeksiran skupom prirodnih brojeva N, jer
se pri oznacavanju elemenata niza kao indeksi koriste prirodni brojevi.
Matematicka logika – 39 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 39 – Funkcije - II deo
Obostrano beskonacni nizovi
Obostrano beskonacni nizovi
Obostrano beskonacni nizovi
Pored skupova indeksiranih skupom prirodnih brojeva, u matematici se
izucavaju i skupovi indeksirani skupom Z celih brojeva
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 490/757
izucavaju i skupovi indeksirani skupom Z celih brojeva.
To su takozvani obostrano beskonacni nizovi, koji se definisu kao funkcije
f : Z → A, i predstavljaju kao (ai)i∈Z ili
. . . , a−n, . . . , a−2, a−1, a0, a1, a2, . . . , an, . . .
gde je ai = f (i), za svaki i ∈ Z.
Razlog zbog cega se ovi nizovi nazivaju ”obostrano beskonacnim” je
ocigledan.
U tom pogledu, nizovi indeksirani prirodnim brojevima su ”beskonacnisamo sa jedne strane”.
Matematicka logika – 40 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 40 – Funkcije - II deo
Konacni nizovi
Konacni nizovi
Konacni nizovi
Dakle, nizove elemenata iz skupa A smo definisali kao funkcije iz skupa
prirodnih brojeva u skup A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 491/757
prirodnih brojeva u skup A.
Na isti nacin konacan niz elemenata iz A mozemo definisati kao funkciju
f : Nn → A, gde je n ∈ N i Nn = {1, 2, . . . , n} je skup prvih n
prirodnih brojeva.
Takve nizove oznacavamo sa
(ai)i∈Nn , (ai)ni=1, (a1, a2, . . . , an) ili a1, a2, . . . , an
Broj n je broj elemenata u nizu ili duzina niza.
Jasno, konacan niz duzine n nije nista drugo do uredena n-torka ele-menata iz A.
Matematicka logika – 41 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 41 – Funkcije - II deo
Konacni nizovi
Konacni nizovi
Konacni nizovi
Konacan niz duzine n u nekim prilikama zovemo i vektor duzine n.
U ki i k ˇ i d i l t i k A d
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 492/757
U nekim primenama, konacan niz duzine n elemenata iz skupa A pred-
stavljamo i bez pisanja zagrada i zapeta, na sledeci nacin:
x1x2 . . . xn
Konacne nizove koje predstavljamo na ovaj nacin zovemo recima ili
stringovima elemenata iz skupa A.
U tom slucaju, uobicajeno je da se skup A naziva alfabet, a njegovi
elementi slova.
Kada kazemo ”niz” mislimo na beskonacan niz, a kada radimo sakonacnim nizovima, onda uvek govorimo ”konacan niz”.
Matematicka logika – 42 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 42 – Funkcije - II deo
Jednakost nizova
Jednakost nizova
Jednakost nizova
Potsetimo se da su dve funkcije f : A → B i g : C → D jednake ako
i samo ako je A = C B = D i za svaki x ∈ A je f (x) = g(x)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 493/757
i samo ako je A = C , B = D, i za svaki x ∈ A je f (x) = g(x).
Buduci da su i nizovi definisani kao funkcije, to znaci da su dva niza
f : N → A i g : N → A jednaka ako i samo ako je
f (i) = g(i), za svaki i ∈ N,
odnosno, dva niza (ai)i∈N i (bi)i∈N elemenata iz skupa A su jednaka
ako i samo ako je
ai = bi , za svaki i ∈ N.
Slicno vazi i za nizove indeksirane skupom celih brojeva.
Matematicka logika – 43 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 43 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 43 – Funkcije - II deo
Jednakost nizova
Jednakost nizova
Jednakost nizova
Ako definiciju jednakosti funkcija primenimo na konacne nizove, onda
su dva konacna niza f : Nm → A i g : Nn → A (gde su m, n ∈ N)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 494/757
su dva konacna niza f : Nm → A i g : Nn → A (gde su m, n ∈ N) jednaka ako i samo ako je m = n i f (i) = g(i), za svaki i ∈ Nn.
Drugim recima, dva konacna niza a1, a2, . . . , am i b1, b2, . . . , bn su
jednaka ako i samo ako je
m = n i ai = bi, za svaki i ∈ Nn.
Drugim recima, jednakost konacnih nizova se svodi na jednakost urede-
nih n-torki.
Matematicka logika – 44 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 44 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 44 – Funkcije - II deo
Višedimenzionalni nizovi
Višedimenzionalni nizovi
Višedimenzionalni nizovi
Funkciju f : N × N → A, koja slika Dekartov kvadrat N × N skupa
prirodnih brojeva u dati skup A nazivamo dvodimenzionalnim nizom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 495/757
prirodnih brojeva u dati skup A nazivamo dvodimenzionalnim nizomelemenata iz skupa A.
Ako za proizvoljan par (i, j) ∈ N × N stavimo da je f (i, j) = ai,j ili
f (i, j) = aij, onda dvodimenzionalni niz predstavljamo kao (ai,j)i,j∈N,
ili kao dvodimenzionalnu pravougaonu semu
a1,1 a1,2 . . . a1,j . . .a2,1 a2,2 . . . a2,j . . .
... ...
. . . ...
. . .
ai,1 ai,2 . . . ai,j . . ....
... . . .
... . . .
Matematicka logika – 45 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 45 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 45 – Funkcije - II deo
Višedimenzionalni nizovi
Višedimenzionalni nizovi
Višedimenzionalni nizovi
Na isti nacin definisemo i obostrano beskonacni dvodimenzionalni niz,
tj. dvodimenzionalni niz indeksiran skupom celih brojeva.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 496/757
tj. dvodimenzionalni niz indeksiran skupom celih brojeva.
Takode, za proizvoljan prirodan broj n, n-dimenzionalni niz elemenata
iz skupa A mozemo definisati kao funkciju f : Nn → A, koja slika
Dekartov n-ti stepen skupa N prirodnih brojeva u skup A.
Matematicka logika – 46 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 46 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 46 – Funkcije - II deo
Matrice
Matrice
Matrice
Konacan dvodimenzionalni niz ili matricu elemenata iz skupa A definise-
mo kao funkciju f : Nm×Nn → A, gde su m i n neki prirodni brojevi.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 497/757
j f × , g p j
Za tu matricu kazemo da je formata m × n (citamo ”m puta n”), ili
da je m × n-matrica.
Ako za proizvoljan par (i, j) ∈ Nm × Nn stavimo da je f (i, j) = ai,j
ili f (i, j) = aij, onda matricu predstavljamo kao pravougaonu semu
a1,1 a1,2 . . . a1,n
a2,1 a2,2 . . . a2,n
..
.
...
. ..
...
am,1 am,2 . . . am,n
Matematicka logika – 47 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 47 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 47 – Funkcije - II deo
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
Familija skupova {Ai | i ∈ I } indeksirana skupom I , koju smo ranije
definisali, zapravo je funkcija koja svakom indeksu i ∈ I pridruzuje
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 498/757
, p j j j ∈ p j jedan skup Ai. Specijalno, za I = N, govorimo o nizu skupova
A1, A2, . . . , An, . . . .
Neka je {Ai | i ∈ I } familija skupova.
Dekartov proizvod ili direktan proizvod familije skupova {Ai | i ∈ I }, uoznaci
i∈I Ai, definise se kao skup svih preslikavanja f : I →
i∈I Ai
takvih da je f (i) ∈ Ai, za svaki i ∈ I , tj.
i∈I
Aidef
= {f | f : I →i∈I
Ai, f (i) ∈ Ai za svaki i ∈ I }.
Matematicka logika – 48 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 48 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 48 – Funkcije - II deo
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
U slucaju kada je I = Nn, dobijamo uobicajenu definiciju Dekartovog
proizvoda n skupova A1, A2, . . . , An.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 499/757
p p
Zbog analogije sa uredenim n-torkama i nizovima, element f ∈
i∈I Ai
cesto oznacavamo sa (ai)i∈I , gde je ai
def
= f (i), za svaki i ∈ I .Pri tome ai nazivamo i-tom koordinatom od f .
Funkciju πi : i∈I Ai → Ai definisanu sa
πi(f ) def = f (i),
odnosno sa
πi((ai)i∈I ) def = ai,
nazivamo i-ta projekcija ili i-ta projekciona funkcija.
Matematicka logika – 49 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 49 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 49 – Funkcije - II deo
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
Dekartov proizvod familije skupova
Da li svaka neprazna familija nepraznih skupova ima neprazan Dekartov
proizvod?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 500/757
p
Postojanje Dekartovog proizvoda proizvoljne familije skupova ekviva-
lentno je sa tzv. Aksiomom izbora, koja glasi:
Za proizvoljnu familiju nepraznih skupova {Ai | i ∈ I } postoji skup koji
se sastoji od po jednog elementa svakog skupa iz te familije.
Matematicka logika – 50 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 50 – Funkcije - II deoMatematicka logika – 50 – Funkcije - II deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 501/757
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Neke skupove mozemo intuitivno uporedivati po broju njihovih eleme-
nata i govoriti da jedan skup ima vise elemenata od nekog drugog.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 502/757
Na primer, ako uporedimo broj elemenata skupova
A = {1, 5, 7, 8, 11} i B = {a,x,m}
zakljucicemo da skup A ima vise elemenata od skupa B.
Medutim, posmatrajmo skup N prirodnih brojeva i skup Np parnih
prirodnih brojeva.
Postavlja se pitanje: Koji od tih skupova ima vise elemenata?
Odgovor je: Imaju ”jednak broj” elemenata!
Matematicka logika – 2 – KardinaliMatematicka logika – 2 – KardinaliMatematicka logika – 2 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Kako smo utvrdili da N i Np imaju ”jednak broj” elemenata?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 503/757
To smo utvrdili na taj nacin sto smo uocili da postoji bijekcija iz skupa
N na skup Np.
Jedna od takvih bijekcija je, na primer, funkcija f : N → Np definisana
sa f (x) = 2x.
Postojanje bijekcije iz N na Np znaci da svakom prirodnom broju odgo-vara tacno jedan paran broj, i obratno.
Prema tome, u nekom smislu, ti skupovi imaju jednak broj elemenata.
Matematicka logika – 3 – KardinaliMatematicka logika – 3 – KardinaliMatematicka logika – 3 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Zbog svega ovog, uvodi se sledeca definicija:
Skup A je ekvipotentan sa skupom B u oznaci A ∼ B ako postoji
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 504/757
Skup A je ekvipotentan sa skupom B, u oznaci A ∼ B, ako postoji
bijekcija f : A → B.
Kazemo jos i da je A ekvivalentan sa skupom B, ili da je A iste moci
sa skupom B.
Za proizvoljnu bijekciju f : A → B pisemo i f : A ∼ B i kazemo daf realizuje ekvipotentnost skupova A i B.
Matematicka logika – 4 – KardinaliMatematicka logika – 4 – KardinaliMatematicka logika – 4 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Primer 2.28
a) Skup A = {0 1 2} je ekvipotentan sa B = {∅ {∅} {∅ {∅}}}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 505/757
a) Skup A = {0, 1, 2} je ekvipotentan sa B = {∅, {∅}, {∅, {∅}}}.
Jedna bijekcija koja to potvrduje je
f (0) = ∅, f (1) = {∅}, f (2) = {∅, {∅}}.
b) Skup A = {0, 1} nije ekvipotentan sa skupom B = {−1, 0, 1}.
Nijedno preslikavanje iz A u B nije bijekcija.
c) Neka je A proizvoljan skup. Tada je A ∼ (A × {1}), s obzirom da
je preslikavanje f : x → (x, 1) bijekcija iz A u A × {1}.
Matematicka logika – 5 – KardinaliMatematicka logika – 5 – KardinaliMatematicka logika – 5 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
e) Kao sto smo vec rekli, skup prirodnih brojeva N je ekvipotentan sa
svojim podskupom, skupom parnih brojeva Np.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 506/757
d) Neka su dati intervali na realnoj pravoj A = [0, 1] i B = [5, 7].
Preslikavanje f : A → B, zadato formulom f (x) = 2x + 5 je
bijekcija iz A u B.
Dakle, A ∼ B.
Sta se ovde moze zakljuciti?
Intervali [0, 1] i [5, 7] sadrze ”podjednako mnogo” tacaka, iako nisu
jednake duzine.
Vazi i opstije tvrdenje, koje dokazujemo u daljem tekstu.
Matematicka logika – 6 – KardinaliMatematicka logika – 6 – KardinaliMatematicka logika – 6 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Primer 2.28-1 Svaka dva zatvorena intervala [a, b] i [c, d] skupa R
realnih brojeva su ekvipotentna.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 507/757
Dokaz: Bijekciju f : [a, b] → [c, d] definisemo kao linearnu funkciju
koja slika a u c i b u d.Do izraza za tu linearnu funkciju
dolazimo preko jednacine prave koja
prolazi kroz tacke (a, c) i (b, d):x − a
y − c=
b − a
d − c
odakle je
y = f (x) = d − c
b − ax +
bc − ad
b − a
x
y
a b
c
d f (x)
Matematicka logika – 7 – KardinaliMatematicka logika – 7 – KardinaliMatematicka logika – 7 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Iako se sa slike jasno vidi da je f bijekcija, to dokazujemo i formalno.
(a) Injektivnost: Neka je f (x1) = f (x2) za neke x1 x2 ∈ [a b]
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 508/757
(a) Injektivnost: Neka je f (x1) = f (x2), za neke x1, x2 ∈ [a, b].
Tada jednostavno dobijamo da je
d − c
b − a(x1 − x2) = 0,
i kako je d − c = 0, to je x1 − x2 = 0, odnosno x1 = x2.
(b) Sirjektivnost: Neka je y ∈ [c, d]. Tada je y = f (x), gde je
x = b − ad − c
y + ad − bcd − c
.
Matematicka logika – 8 – KardinaliMatematicka logika – 8 – KardinaliMatematicka logika – 8 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Primer 2.28-2 Svaka dva otvorena intervala (a, b) i (c, d) skupa R
realnih brojeva su ekvipotentna.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 509/757
Dokaz: Neka je f bijekcija iz zatvorenog intervala [a, b] na zatvoreni
interval [c, d] definisana kao u prethodnom primeru.
Kako f slika a u c i b u d, to restrikcija funkcije f na otvoreni interval
(a, b) jeste bijekcija iz (a, b) na (c, d).Prema tome, (a, b) ∼ (c, d).
Matematicka logika – 9 – KardinaliMatematicka logika – 9 – KardinaliMatematicka logika – 9 – Kardinali
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Ekvipotentnost skupova
Primetimo da za proizvoljne skupove A, B i C vazi:
1) A ∼ A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 510/757
)
Jasno, identicko preslikavanje I A je jedna od bijekcija iz A u A.
2) A ∼ B ⇒ B ∼ A.
Ako je f bijekcija iz A na B, onda je f −1 bijekcija iz B na A.
3) A ∼ B ∧ B ∼ C ⇒ A ∼ C .
Naime, ako je f bijekcija iz A na B i g je bijekcija iz B na C , onda
je f ◦ g bijekcija iz A na C .
Drugim recima, na bilo kom skupu skupova, ∼ je relacija ekvivalencije.
Matematicka logika – 10 – KardinaliMatematicka logika – 10 – KardinaliMatematicka logika – 10 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Potsetimo se da smo za proizvoljan prirodan broj n, sa Nn oznacavali
skup prvih n prirodnih brojeva, tj.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 511/757
Nn = {1, 2, . . . , n}.
Za skup A kazemo da je konacan ako je ili prazan, ili je ekvipoptentan
sa skupom Nn, za neki prirodan broj n.
Jasno, ”A je ekvipotentan sa Nn” znaci da ”A ima n elemenata”, a
proizvoljna bijekcija f : Nn ∼ A zapravo ”prebrojava” elemente iz A.
Pri tome obicno pisemo A = {a1, a2, . . . , an}, gde je ai = f (i), zasvaki i ∈ Nn.
Ako skup A nije konacan, onda kazemo da je beskonacan.
Matematicka logika – 11 – KardinaliMatematicka logika – 11 – KardinaliMatematicka logika – 11 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Tvrdenje 1.1. Skup A je beskonacan ako i samo ako je ekvipotentan
sa nekim svojim pravim podskupom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 512/757
Dokaz: Neka je A beskonacan skup, tj., A nije ekvipotentan ni sa
jednim od skupova Nn, n ∈ N.
Definisimo induktivno niz {an}n∈N elemenata iz A na sledeci nacin:
(i) Neka je a1 proizvoljan element iz A.
(ii) Ako su definisani razliciti elementi a1, a2, . . . , an iz A, tada se an+1
definise kao proizvoljan element skupa A \ {a1, a2, . . . , an}.
Takav element sigurno postoji, jer ako bi skup A \ {a1, a2, . . . , an} bio
prazan, tj. A = {a1, a2, . . . , an}, onda bi A bio ekvipotentan sa Nn.
Matematicka logika – 12 – KardinaliMatematicka logika – 12 – KardinaliMatematicka logika – 12 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Formirajmo sada skup A′ = {an | n ∈ N} i definisimo funkciju
f : A → A sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 513/757
f (x) = x ako je x ∈ A \ A′
an+1 ako je x = an ∈ A′
Tada je f bijekcija iz A na njegov pravi podskup A \ {a1}.
Obratno, neka je A ekvipotentan sa nekim svojim pravim podskupom.
Tada je jasno da A ne moze biti konacan, jer konacan skup ne moze
biti ekvipotentan, odnosno, ne moze imati isti broj elemenata sa svojim
pravim podskupom.
Matematicka logika – 13 – KardinaliMatematicka logika – 13 – KardinaliMatematicka logika – 13 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Primer 1. Skup N prirodnih brojeva je beskonacan.
Dokaz: Vec smo dokazali da je N ∼ Np, pri cemu je N N.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 514/757
p
Primer 2. Skup R
realnih brojeva je beskonacan.
Dokaz: Skup R realnih brojeva je ekvipotentan sa svakim svojim
otvorenim intervalom.
Naime, neka je (a, b) proizvoljan otvoreni interval skupa realnih brojeva.
Kako je funkcija f (x) = tg x (funkcija tangens) bijekcija iz intervala
(−π, π) na R, to je R ∼ (−π, π).
Sa druge strane, prema Primeru 2.28-2 imamo da je (−π, π) ∼ (a, b),
pa imamo da je R ∼ (a, b).
Matematicka logika – 14 – KardinaliMatematicka logika – 14 – KardinaliMatematicka logika – 14 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Tvrdenje 1.2. Vazi sledece:
a) Svaki nadskup beskonacnog skupa je beskonacan.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 515/757
b) Svaki podskup konacnog skupa je konacan.
c) Svaki skup ekvipotentan beskonacnom skupu je beskonacan.
d) Svaki skup ekvipotentan konacnom skupu je konacan.
Dokaz: a) Neka je A beskonacan skup i A ⊆ B.
Tada postoji pravi podskup C od A i bijekcija f : A → C .
Generalna ideja je da se f prosiri do bijekcije g : B → B.
Matematicka logika – 15 – KardinaliMatematicka logika – 15 – KardinaliMatematicka logika – 15 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Najjednostavniji nacin da se to uradi je da se uzme da je g(x) = x, za
svaki x ∈ B \ A, tj. da se g definise sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 516/757
g(x) =
f (x) ako je x ∈ A
x ako je x ∈ B \ A
Lako se proverava da je g bijekcija iz B na skup C ∪ (B \ A), koji jepravi podskup od B.
Time smo dokazali da je B beskonacan skup.
Matematicka logika – 16 – KardinaliMatematicka logika – 16 – KardinaliMatematicka logika – 16 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
b) Ako je A konacan skup i B ⊆ A, tada i B mora biti konacan.
Naime, ako bi B bio beskonacan, tada bi i A morao biti beskonacan,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 517/757
prema tvrdenju pod a).
Tvrdenja pod c) i d) se dokazuju jednostavno i ostavljaju se za vezbu.
Primer 3. Skup Z celih i skup Q racionalnih brojeva su beskonacni.
Dokaz: Prema prethodnom tvrdenju, kao nadskupovi beskonacnog
skupa N.
Matematicka logika – 17 – KardinaliMatematicka logika – 17 – KardinaliMatematicka logika – 17 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Tvrdenje 1.3. Dokazati da se dodavanjem jednog elementa konacnom
skupu ponovo dobija konacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 518/757
Dokaz: Neka je A konacan skup, tj., A je ekvipotentan sa Nn, za
neki n ∈ N, i neka je f : A → Nn proizvoljna bijekcija.
Ako je skup B dobijen dodavanjem skupu A nekog novog elementa b,
tada je sa
g(x) =
f (x) ako je x ∈ A
n + 1 ako je x = b
definisana bijekcija iz A na skup Nn+1.
Ovim je dokazano da je B konacan skup.
Matematicka logika – 18 – KardinaliMatematicka logika – 18 – KardinaliMatematicka logika – 18 – Kardinali
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Konacni i beskonacni skupovi
Tvrdenje 1.4. Dokazati da se oduzimanjem jednog elementa beskonac-
nom skupu ponovo dobija beskonacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 519/757
Dokaz: Ovo sledi neposredno iz prethodnog zadatka.
Naime, neka je A beskonacan skup i neka je B skup nastao iz A odu-
zimanjem jednog njegovog elementa a.
Tada mozemo da kazemo i da je A nastao dodavanjem elementa askupu B, pa ako bi B bio konacan, onda bi prema prethodnom zadatku
i A morao biti konacan.
Odavde zakljucujemo da B mora biti beskonacan skup.
Matematicka logika – 19 – KardinaliMatematicka logika – 19 – KardinaliMatematicka logika – 19 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Za skup A kazemo da je prebrojiv ako je ili konacan, ili je ekvipotentan
skupu N prirodnih brojeva.Skupove koji nisu prebrojivi zovemo neprebrojivim skupovima, a skupove
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 520/757
p j p j p j p , p
ekvipotentne skupu N prirodnih brojeva zovemo prebrojivo beskonacnim.
Ako je skup A prebrojivo beskonacan, tj. postoji bijekcija f : N → A,
onda obisno koristimo sledece oznake:
f (1) = a1, f (2) = a2, f (3) = a3, . . . , f (k) = ak
, . . .
pa skup A predstavljamo u obliku A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}.
Drugim recima, elemente iz A smo nabrojali i svrstali u jedan besko-
nacan niz, odakle i potice naziv “prebrojiv skup”.
Slicno, konacan skup se moze zapisati u obliku A = {a1, a2, . . . ak},
za neki prirodan broj k.
Matematicka logika – 20 – KardinaliMatematicka logika – 20 – KardinaliMatematicka logika – 20 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Tvrdenje 1.5. Svaki beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog sku-
pa je takode prebrojivo beskonacan.
Dokaz: Neka je B beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog skupa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 521/757
Dokaz: Neka je B beskonacan podskup prebrojivo beskonacnog skupa
A, gde A predstavljamo u obliku
A = {a1, a2, . . . , ak, . . .}.
Definisimo sada podskup skupa B (tj. podniz niza A) na sledeci nacin.
Neka je n1 najmanji prirodan broj takav da je an1 ∈ B. Ovim je
jednoznacno odreden element an1 ∈ B.
Potom uzimamo da je n2 najmanji prirodan broj takav da je
an2 ∈ B \ {an1},
cime smo odredili element an2 ∈ B.
Matematicka logika – 21 – KardinaliMatematicka logika – 21 – KardinaliMatematicka logika – 21 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Pretpostavimo sada da smo odredili skup {an1, an2, . . . , ank} eleme-
nata iz B.
T d j k B \ { } j j B b k ˇ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 522/757
Tada je skup B \ {an1, an2, . . . , ank} neprazan, jer je B beskonacan
skup, pa postoji najmanji prirodan broj nk+1 takav da je
ank+1 ∈ B \ {an1, an2, . . . , ank},
cime smo odredili jos jedan element ank+1 ∈ B.
Na ovaj nacin je odreden beskonacan podskup
C = {an1, an2, . . . , ank , . . .}
skupa B, ciji su svi elementi medusobno razliciti.
Matematicka logika – 22 – KardinaliMatematicka logika – 22 – KardinaliMatematicka logika – 22 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Definisimo sada preslikavanje f : N → C sa f (k) = ank .
Tada je f bijekcija iz N na C , tj. N ≃ C .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 523/757
Kako je, po pretpostavci, A ≃ N, to imamo da je A ≃ C , tj. A je
ekvipotentan sa podskupom C skupa B.
Sa druge strane, B je ekvipotentan sa podskupom B skupa A, pa
prema Sreder-Bernstajnovoj teoremi (koju cemo navesti nesto kasnije)
imamo da su i A i B ekvipotentni.
To na kraju povlaci da je B ekvipotentan sa N.
Tvrdenje 1.6. Svaki podskup prebrojivog skupa je prebrojiv.
Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrdenja.
Matematicka logika – 23 – KardinaliMatematicka logika – 23 – KardinaliMatematicka logika – 23 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Tvrdenje 1.7. Svaki beskonacan skup sadrzi prebrojivo beskonacan
podskup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 524/757
Dokaz: Neka je A proizvoljan beskonacan skup.
Formirajmo niz {ak}k∈N elemenata iz A na sledeci nacin.
Najpre uzimamo proizvoljno a1 ∈ A.
Ukoliko su vec odredeni elementi a1, a2, . . . , ak, za neko k ∈ N, tada
uzimamo da je ak+1 ∈ A \ {a1, a2, . . . , ak} proizvoljan element.
Takav element postoji jer je A = {a1, a2, . . . , ak}, zbog pretpostavkeda je A beskonacan skup.
Matematicka logika – 24 – KardinaliMatematicka logika – 24 – KardinaliMatematicka logika – 24 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Na ovaj nacin smo formirali beskonacan podskup
A′ = {a1, a2, . . . , ak, . . .}
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 525/757
skupa A.
Njegovi elementi su, prema svojoj definicji, medusobno razliciti, pa
funkcija f : N → A′ definisana sa f (k) = ak je bijekcija iz N na A′.
Prema tome, A′ je prebrojivo beskonacan podskup od A.
Matematicka logika – 25 – KardinaliMatematicka logika – 25 – KardinaliMatematicka logika – 25 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Tvrdenje 1.8. Unija prebrojivo beskonacnog skupa i konacnog skupa
je prebrojivo beskonacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 526/757
Dokaz: Neka je A prebrojivo beskonacan a B konacan skup.
Pretpostavimo najpre da su A i B disjunktni skupovi.
Predstavimo skupove A i B u obliku
A = {a1, a2, . . . , ak, . . .} i B = {b1, b2, . . . , bn},
za neki n ∈ N, i definisimo preslikavanje f : N → A ∪ B sa
f (k) =
bk ako je k n
ak−n ako je k n.
Matematicka logika – 26 – KardinaliMatematicka logika – 26 – KardinaliMatematicka logika – 26 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
To znaci da elemente iz skupa A ∪ B nabrajamo tako sto najpre nabra-
jamo sve elemente iz konacnog skupa B, a potom nastavljamo sa nabra- janjem elemenata iz A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 527/757
1 2 . . . n n + 1 n + 2 n + 3 . . .
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
b1 b2 . . . bn a1 a2 a3 . . .
Neposredno se proverava da je f bijekcija iz N na A ∪ B, sto znaci da je A ∪ B prebrojivo beskonacan skup.
Sa druge strane, ako A i B nisu disjunktni, stavimo da je C = B \ A.
Tada su A i C disjunktni, A ∪ B = A ∪ C i C je konacan, pa pre-
ma dokazanom u prethodnom slucaju, A ∪ B = A ∪ C je prebrojivo
beskonacan skup.
Matematicka logika – 27 – KardinaliMatematicka logika – 27 – KardinaliMatematicka logika – 27 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Tvrdenje 1.9. Unija dva prebrojivo beskonacna skupa je prebrojivo
beskonacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 528/757
Dokaz: Neka su A i B dva prebrojivo beskonacna skupa. Dokaza-
cemo da je A ∪ B takode prebrojivo beskonacan skup.
Razmotrimo najpre slucaj kada su A i B disjunktni skupovi.
Kako su A i B prebrojivo beskonacni, to postoje bijekcije f : N ∼ A ig : N ∼ B.
Definisimo funkciju h : N
→ A ∪ B na sledeci nacin
f (n) =
ak ako je n = 2k − 1, za neki k ∈ N
ak ako je n = 2k, za neki k ∈ N
Matematicka logika – 28 – KardinaliMatematicka logika – 28 – KardinaliMatematicka logika – 28 – Kardinali
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 529/757
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Sa druge strane, ukoliko A i B nisu disjunktni, tada stavljamo da je
C = B \ A, pa dobijamo da je A ∪ B = A ∪ C , pri cemu su A i C
disjunktni i C je ili konacan ili prebrojivo beskonacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 530/757
Ukoliko je C konacan, tada primenjujemo tvrdenje iz prethodnog za-datka, a ako je C prebrojivo beskonacan, tada primenjujemo prvi slucaj
u ovom zadatku.
U oba ova slucaja dobijamo da je A∪B prebrojivo beskonacan skup.
Matematicka logika – 30 – KardinaliMatematicka logika – 30 – KardinaliMatematicka logika – 30 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Tvrdenje 1.10. Unija konacno mnogo prebrojivo beskonacnih skupova
je prebrojivo beskonacan skup.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 531/757
Dokaz: Dokazuje se indukcijom po broju clanova unije, koristeci
prethodno tvrdenje.
Primer 4. Skup Z celih brojeva je prebrojivo beskonacan.
Dokaz: Sledi iz cinjenice da su skup svih pozitivnih celih brojeva Z+ i
skup svih negativnih celih brojeva Z−
prebrojivi, jer su ekvipotentni saN, i Z = Z+ ∪ Z− ∪ {0}.
Matematicka logika – 31 – KardinaliMatematicka logika – 31 – KardinaliMatematicka logika – 31 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Primer 5. Skup N × N je prebrojivo beskonacan.
Dokaz: Definisimo preslikavanje f : N × N → N sa
f (a b) = 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 532/757
f (a, b) = 2 · (2 · (b − 1) + 1).
Da bi dokazali njegovu injektivnost, uzmimo da je f (a, b) = f (c, d),za neke a, b, c, d ∈ N, odnosno
(1) 2a−1 · (2 · (b − 1) + 1) = 2c−1 · (2 · (d − 1) + 1).
Ako je a c i ako podelimo jednakost (1) sa 2c−1, dobijamo da je
2a−c · (2 · (b − 1) + 1) = 2 · (d − 1) + 1.
Sa desne strane je neparan broj, odakle sledi da mora biti a = c.
Slicno, i u slucaju c a dobijamo da je a = c.
Matematicka logika – 32 – KardinaliMatematicka logika – 32 – KardinaliMatematicka logika – 32 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Dalje, iz a = c, skracivanjem jednakosti (1) dobijamo
2 · (b − 1) + 1 = 2 · (d − 1) + 1,
sto povlaci b = d.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 533/757
sto povlaci b d.
Dakle, dobili smo da je (a, b) = (c, d), cime smo dokazali da f injekcija.Da bi dokazali da je f sirjektivno preslikavanje, razmotrimo proizvoljan
prirodan broj n. Neka je 2k najveci stepen broja 2 koji deli n (ako je
n neparan, tada je k = 0).
Tada se n moze zapisati u obliku n = 2k · m, gde je m neparan broj,
tj. m = 2 · r + 1, za neki r ∈ N0 = 0.
Prema tome, n = 2k · (2 · r + 1), pa je f (k + 1, r + 1) = n.
Time smo dokazali da je f sirjektivno preslikavanje.
Matematicka logika – 33 – KardinaliMatematicka logika – 33 – KardinaliMatematicka logika – 33 – Kardinali
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Prebrojivi skupovi
Primer 6. Skup Q racionalnih brojeva je prebrojivo beskonacan.
Dokaz: Najpre uocavamo da je Q+ ∼ N × N, gde je Q+ skup svih
pozitivnih racionalnih brojeva.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 534/757
pozitivnih racionalnih brojeva.
To je stoga sto se a ∈ Q+ moze na jedinstven nacin predstaviti uobliku razlomka a = p/q, gde su p, q ∈ N uzajamno prosti brojevi, tj.
u obliku neskrativog razlomka.
Dakle, prema prethodnom primeru, Q+ ∼ N.
Takode, Q+ ∼ Q−, gde je Q− skup negativnih racionalnih brojeva, pa
je Q−
∼ N.Konacno, Q = Q+∪Q−∪{0}, odakle sledi da je Q prebrojivo beskonacan.
Matematicka logika – 34 – KardinaliMatematicka logika – 34 – KardinaliMatematicka logika – 34 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Skupovi N, Z i Q su bili primeri prebrojivo beskonacnih skupova.
Sada dajemo primere i neprebrojivih skupova, i dokazacemo da je skup
R realnih brojeva upravo takav.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 535/757
To cinimo tako sto najpre dokazujemo da je neprebrojiv otvoreni interval(0, 1) skupa realnih brojeva.
Tvrdenje 1.11. Interval (0, 1) skupa realnih brojeva je neprebrojiv.
Dokaz: Najpre primecujemo da proizvoljan realan broj x ∈ (0, 1) ima
decimalni zapis oblika x = 0.x1x2x3 . . ., gde su xk ∈ {0, 1, 2, . . . , 9},
ali takav zapis ne mora biti jedinstven.
Na primer, 1/4 = 0.2500000 . . . i 1/4 = 0.249999 . . ..
Matematicka logika – 35 – KardinaliMatematicka logika – 35 – KardinaliMatematicka logika – 35 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Da bi se dobio jedinstven zapis, dogovoricemo se da se svaki broj koji
ima konacan broj k nenula decimala (racionalan broj), umesto u obliku
0.x1x2 . . . xk0000 . . .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 536/757
predstavi u obliku0.x1x2 . . . x′
k9999 . . .
gde je x′k
= xk − 1.
Drugim recima, zadnja nenula decimala se smanjuje za 1 a umesto nula
koje idu za njom se ubacuju devetke.
Brojevi zapisani na taj nacin imaju jedinstven zapis, sto znaci da ako je x = 0.x1x2x3 . . . i y = 0.y1y2y3 . . ., pri cemu je xk = yk, bar za
jedno k ∈ N, tada je x = y.
Matematicka logika – 36 – KardinaliMatematicka logika – 36 – KardinaliMatematicka logika – 36 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Pretpostavimo sada da je interval (0, 1) prebrojiv, tj. da se moze pred-
staviti u obliku niza {x1, x2, x3, . . . , xk, . . .}.
Svaki element iz ovog niza ima decimalni zapis napravljen u skladu sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 537/757
prethodno donetim dogovorom, pa imamo sledecu semu
x1= 0,a11a12a13. . . a1n. . .
x2= 0,a21a22a23. . . a2n. . .
x3= 0,a31a32a33. . . a3n. . ....
. . .xn= 0,an1an2an3. . .ann. . .
..
.
. ..
Uocimo niz brojeva na dijagonali: a11, a22, a33, . . . , ann, . . .
Matematicka logika – 37 – KardinaliMatematicka logika – 37 – KardinaliMatematicka logika – 37 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Formirajmo sada broj x sa decimalnim zapisom
x = 0, a1a2a3 . . . an . . . ,
gde je
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 538/757
gde je
ak =
5 ako je akk = 5
1 ako je akk = 5
Ovaj broj se ne nalazi u gornjoj semi, jer je an = ann, za svaki n ∈ N,pa je x = xn, za svaki n ∈ N.
Medutim, x ∈ (0, 1), pa smo dobili kontradikciju.
Na osnovu svega ovog zakljucujemo da je bila pogresna pretpostavka
da je (0, 1) prebrojiv, pa zakljucujemo da je (0, 1) neprebrojiv.
Matematicka logika – 38 – KardinaliMatematicka logika – 38 – KardinaliMatematicka logika – 38 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Metod koriscen u prethodnom dokazu poznat je pod nazivom Kantorov
dijagonalni postupak.
Kantor je, inace, i prvi dokazao prethodno tvrdenje, pa se ono naziva i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 539/757
Kantorova teorema.
Kako je, kao sto smo ranije dokazali, skup R realnih brojeva ekvipoten-
tan svakom svom otvorenom intervalu, to dobijamo sledece tvrdenja,
koje zapravo predstavlja glavni rezultat ovog poglavlja.
Tvrdenje 1.12. Skup R realnih brojeva je neprebrojiv.
Dokaz: Sledi iz prethodnog tvrdenja.
Matematicka logika – 39 – KardinaliMatematicka logika – 39 – KardinaliMatematicka logika – 39 – Kardinali
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Neprebrojivi skupovi
Primer 7. Skup I iracionalnih brojeva je neprebrojiv.
Dokaz: Skup R realnih brojeva se moze napisati u obliku R = Q ∪ I.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 540/757
Kako je Q prebrojivo beskonacan, to bi eventualna prebrojiva besko-
nacnost skupa I povukla za sobom i prebrojivu beskonacnost skupa R,
sto, kao sto smo dokazali, nije slucaj.
Prema tome, I ne moze biti prebrojivo beskonacan.
Matematicka logika – 40 – KardinaliMatematicka logika – 40 – KardinaliMatematicka logika – 40 – Kardinali
Kardinalni broj skupa
Kardinalni broj skupa
Kardinalni broj skupa
Neka je svakom skupu A pridruzen objekat, oznacen sa |A| (ili card A),
tako da su zadovoljeni sledeci uslovi:
(i) |A| = 0 ako i samo ako je A = ∅.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 541/757
(ii) Ako je A neprazan konacan skup i A ≃ Nk, za neko k ∈ N, tada je |A| = k.
(iii) Ako su A i B proizvoljni skupovi, tada je |A| = |B| ako i samo ako
je A ≃ B.
U tom slucaju |A| nazivamo kardinalnim brojem (”glavni broj”), kardi-
nalom ili kardinalnoscu skupa A.Kardinalne brojeve konacnih skupova nazivamo konacnim kardinalima,
a kardinalne brojeve beskonacnih skupova transfinitnim kardinalima.
Matematicka logika – 41 – KardinaliMatematicka logika – 41 – KardinaliMatematicka logika – 41 – Kardinali
Kardinalni broj skupa
Kardinalni broj skupa
Kardinalni broj skupa
Kardinalni broj konacnog skupa jednak je broju njegovih elemenata.
Odatle se vidi da je pojam kardinalnog broja skupa u stvari prosirenje
pojma broja elemenata skupa.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 542/757
Kardinalni broj skupa A zapravo jeste klasa svih skupova koji su ekvi-
valentni sa A.
Kardinalni broj skupa N prirodnih brojeva oznacava se sa ℵ0 (cita se
alef nula – to je prvo slovo hebrejske azbuke).
Ocito, ako je A proizvoljan prebrojiv skup, onda je |A| = ℵ0.
Kardinalni broj skupa realnih brojeva naziva se kontinuum i oznacavase sa c.
Za svaki skup koji je ekvivalentan sa R kaze se da ima moc kontinuuma.
Matematicka logika – 42 – KardinaliMatematicka logika – 42 – KardinaliMatematicka logika – 42 – Kardinali
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Neka su A i B skupovi.
Za kardinalni broj |A| skupa A kazemo da je manji ili jednak kardinal-
nom broju |B| skupa B, ako je skup A ekvipotentan nekom podskupu
d B tj k t ji i j k ij i A B
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 543/757
od B, tj. ako postoji injekcija iz A u B.
To simbolicki oznacavamo sa |A| |B|,
Ako je |A| |B| i |A| = |B|, tada pisemo |A| < |B|, i kazemo da je
kardinalni broj |A| strogo manji od kardinalnog broja |B|.
Ako je |A| |B|, tada takode pisemo i |B| |A|, i kazemo da je
kardinalni broj |B| veci ili jednak kardinalnom broju |A|.
Ako je |A| < |B|, tada pisemo i |B| > |A| i kazemo da je kardinalni
broj |B| strogo veci od kardinalnog broja |A|.
Matematicka logika – 43 – KardinaliMatematicka logika – 43 – KardinaliMatematicka logika – 43 – Kardinali
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Tvrdenje 1.13. Neka su A, B i C proizvoljni skupovi. Tada vazi:
(1) A A.
(2) A B ∧ B A ⇒ A ∼ B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 544/757
( )
(3) A B ∧ B C ⇒ A C .
Dokaz: (1) Sledi iz cinjenice da je A ∼ A.
(3) Sledi iz cinjenice da je kompozicija dve injekcije takode injekcija.
Dokaz tvrdenja (2) je prilicno komplikovan, pa ce biti izostavljen.
Tvrdenje (2) je poznato kao Sreder-Bernstajnova teorema.
Na primer, |N| < |R|.
Matematicka logika – 44 – KardinaliMatematicka logika – 44 – KardinaliMatematicka logika – 44 – Kardinali
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Tvrdenje 1.14. (Kantorova teorema) Za proizvoljan skup A je
|A| < |P (A)|.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 545/757
Dokaz: Ako je A = ∅, tada je |∅| = 0 < 1 = |P (∅)|.
Uzmimo dalje da je A = ∅.
Tada preslikavanje g : A → P (A) definisano sa g(a) = {a} je injekcijaiz A u P (A), pa je |A| |P (A)|.
Preostaje da se dokaze da je |A| = |P (A)|.
Pretpostavimo suprotno, da postoji bijekcija f : A → P (A).
Matematicka logika – 45 – KardinaliMatematicka logika – 45 – KardinaliMatematicka logika – 45 – Kardinali
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Ure ¯denje kardinalnih brojeva
Razmotrimo skup S = {a ∈ A | a /∈ f (a)}.
Kako je S ∈ P (A) i f je bijekcija, to postoji element e ∈ A takav da
je f (e) = S .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 546/757
Za takvo e imamo dve mogucnosti: e ∈ S i e /∈ S .
Ako je e ∈ S , onda e /∈ f (e) = S , a ako e /∈ S , onda je e ∈ f (e) = S ,
oba puta prema definiciji skupa S .
Dakle, dobili smo kontradikciju, pa zakljucujemo da ne postoji bijekcija
iz A na P (A), sto znaci da je |A| < |P (A)|.
Matematicka logika – 46 – KardinaliMatematicka logika – 46 – KardinaliMatematicka logika – 46 – Kardinali
Sabiranje kardinalnih brojeva
Sabiranje kardinalnih brojeva
Sabiranje kardinalnih brojeva
Neka je a = |A| i b = |B|.
Kako bi smo definisali zbir a + b?
Kakav je slucaj kod konacnih kardinala?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 547/757
Ako je m = |A| i n = |B|, sta je onda m + n?
Odgovor je: m + n = |A ∪ B|, ali samo ako su A i B disjunktni.
Prema tome, uzimamo da je a+b
def
= |A ∪ B|, gde su A i B disjunktniskupovi takvi da je a = |A| i b = |B|.
Ukoliko A i B nisu disjunktni, onda jedan od njih uvek mozemo zameniti
ekvipotentnim skupom koji je disjunktan sa drugim.
Na primer, mozemo zameniti B sa B × {1}, koji je disjunktan sa A.
Matematicka logika – 47 – KardinaliMatematicka logika – 47 – KardinaliMatematicka logika – 47 – Kardinali
Sabiranje kardinalnih brojeva
Sabiranje kardinalnih brojeva
Sabiranje kardinalnih brojeva
Da li je ova definicija dobra?
Ovo pitanje znaci: ako imamo drugi par A′, B′ disjunktnih skupova,
takav da je a = |A′| i b = |B′|, da li ce onda biti i |A∪B| = |A′∪B′|?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 548/757
Odgovor na ovo pitanje je pozitivan – definicija je dobra.
Zadatak: Dokazati da iz |A| = |A′| i |B| = |B′| sledi
|A ∪ B| = |A′ ∪ B′|.
Matematicka logika – 48 – KardinaliMatematicka logika – 48 – KardinaliMatematicka logika – 48 – Kardinali
Množenje kardinalnih brojeva
Množenje kardinalnih brojeva
Množenje kardinalnih brojeva
Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati proizvod a · b?
Kakvu sugestiju pruza slucaj konacnih kardinala?
Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 549/757
skupova A i B, ima kardinalnost m · n? Naravno, skup A × B!
Dakle, uvodimo definiciju ab def = |A × B|, gde su A i B skupovi takvi
da je a = |A| i b = |B|.
Ova definicija je dobra, jer vazi
|A| = |A′| ∧ |B| = |B′| ⇒ |A × B| = |A′ × B′|.
Zadatak: Dokazati ovu implikaciju.
Matematicka logika – 49 – KardinaliMatematicka logika – 49 – KardinaliMatematicka logika – 49 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Ako je a = |A| i b = |B|, kako definisati stepen ba?
Kakvu sugestiju ovde pruza slucaj konacnih kardinala?
Ako je m = |A| i n = |B|, koji skup, dobijen nekim operacijama iz
skupova A i B ima m elemenata?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 550/757
skupova A i B, ima nm elemenata?
Odgovor je: nm elemenata ima skup BA svih preslikavanja iz A u B!
Motivisano time, definisemo ba def = |BA|, gde su A i B skupovi takvi
da je a = |A| i b = |B|.
Ova definicija je dobra, jer vazi
|A| = |X | ∧ |B| = |Y | ⇒ |BA| = |Y X|.
Zadatak: Dokazati ovu implikaciju.
Matematicka logika – 50 – KardinaliMatematicka logika – 50 – KardinaliMatematicka logika – 50 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Tvrdenje 1.15. Za proizvoljan skup A je |P (A)| = {0, 1}|A|.
Dokaz: Neka je B = {0, 1}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 551/757
Proizvoljnom podskupu E skupa A pridruzujemo preslikavanje
χE : A → B
definisano na sledeci nacin:
χE(a) =
1 ako je a ∈ E
0 ako a /∈ E .
To preslikavanje se naziva karakteristicna funkcija skupa E .
Matematicka logika – 51 – KardinaliMatematicka logika – 51 – KardinaliMatematicka logika – 51 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Dokazacemo da preslikavanje
χ : E → χE
jeste bijekcija iz P (A) na BA.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 552/757
Neka je χE = χF , za neke E, F ∈ P (A).
Ako je a ∈ E , tada χE(a) = 1, odakle sledi da je χF (a) = 1, jer je
χE = χF , sto znaci da je a ∈ F .Prema tome, dokazali smo da je E ⊆ F .
Na potpuno isti nacin dobijamo da je F ⊆ E , cime smo dokazali da je
E = F .
Dakle, χ je injektivno preslikavanje.
Matematicka logika – 52 – KardinaliMatematicka logika – 52 – KardinaliMatematicka logika – 52 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Da bi smo dokazali da je χ sirjektivno preslikavanje, uocimo proizvoljan
element f ∈ BA, tj. neko preslikavanje f : A → B.
Neka je E = {a ∈ A | f (a) = 1}.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 553/757
Neposredno se proverava da je f = χE, cime smo dokazali da je χsirjektivno preslikavanje.
Sumirajuci ono sto smo do sada dokazali zakljucujemo da je χ bijekcijaiz P (A) na BA, tj. da je |P (A)| = |BA| = {0, 1}|A|.
Matematicka logika – 53 – KardinaliMatematicka logika – 53 – KardinaliMatematicka logika – 53 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Tvrdenje 1.16. 2ℵ0 = c.
Dokaz: Neka je f : R → P (Q) preslikavanje definisano sa
f (a) = {x ∈ | x < a} za proizvoljno a ∈
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 554/757
f (a) = {x ∈ Q
| x < a}, za proizvoljno a ∈ R
.
Ovo preslikavanje je injektivno.
Naime, ako su a, b ∈ R razliciti brojevi, recimo a < b, tada postoji
q ∈ Q takav da je a < q < b, jer je skup Q svuda gust podskup od R.
Prema tome,
f (a) = {x ∈ Q | x < a} ⊂ {x ∈ Q | x < b} = f (b),
pa f (a) = f (b). Dakle, f je doista injektivno preslikavanje.
Matematicka logika – 54 – KardinaliMatematicka logika – 54 – KardinaliMatematicka logika – 54 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Ovim smo dokazali da je
c |P (Q)| = 2|Q| = 2ℵ0,
jer je, kao sto smo ranije dokazali, Q ∼ N, tj. |Q| = ℵ0.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 555/757
Obratno, neka je
F : {0, 1}N → R
preslikavanje definisano na sledeci nacin: Za proizvoljno α ∈ {0, 1}N
,tj. za proizvoljno preslikavanje α : N → {0, 1}, neka je
F (α) = 0.α1α2 . . . αk . . . ,
gde je αk = α(k) i ovaj zapis je decimalni zapis realnog broja (ne
binarni, iako se javljaju samo dve cifre).
Matematicka logika – 55 – KardinaliMatematicka logika – 55 – KardinaliMatematicka logika – 55 – Kardinali
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Stepenovanje kardinalnih brojeva
Za razlicite α, β ∈ {0, 1}N imamo da su decimale koje odreduju brojeve
F (α) i F (β) razlicite, sto znaci da je F (α) = F (β).
Ovim smo dokazali da je F injekcija iz {0, 1}N u R, pa je
ℵ N
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 556/757
2ℵ0
= |{0, 1}N
| |R| = c.
Dakle, dokazali smo da je 2ℵ0 = c.
Matematicka logika – 56 – KardinaliMatematicka logika – 56 – KardinaliMatematicka logika – 56 – Kardinali
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 557/757
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Iskazna logika se bavi recenicama kao celinama, i ne zalazi u njihovu
unutrasnju strukturu, ne razlikuje njihove posebne elemente.
Zbog toga se pomocu iskaznih formula ne moze izraziti sve ono sto
inace izrazavamo u matematici.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 558/757
Na primer, iskaznom formulom se ne moze izraziti
”postoji element u skupu X koji nije u skupu Y ”.
Za simbolicko izrazavanje takvih recenica ocito nisu dovoljni samo
iskazna slova i iskazni veznici.
Pored toga, postoje primeri logicke argumentacije koji izgledaju savrseno
ispravni, ali se ne mogu izraziti koriscenjem iskazne logike.
Matematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - I deo
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Primer 1:
1. Svi macori imaju repove.
2. Tom je macor.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 559/757
Iz ovih dveju recenica trebalo bi da smo u stanju da zakljucimosledece:
3. Tom ima rep.
Da bi pokazali da je ova argumentacija ispravna, moramo biti u stanju
da identifikujemo individue, kao sto je Tom, zajedno sa njihovim svo-
jstvima i predikatima.
To je zadatak predikatske logike.
Matematicka logika – 3 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 3 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 3 – Predikatska logika - I deo
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Generalno, predikati se koriste da se opisu izvesna svojstva i odnosi
izmedu individua i objekata.
Primer 2: U ”Petar i Marko su braca”, izraz ”su braca” je predikat.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 560/757
Entiteti povezani na ovakav nacin, kao sto su ”Petar” i ”Marko”, nazi-
vaju se termi.
Naziv ”term” bi se mogao prevesti kao ”izraz”.Medutim, kako se pojam ”izraz” ovde koristi u opstijem i neformalnom
smislu, to se kod nas naziv ”term” odomacio bas u takvom obliku.
U predikatskoj logici termi igraju ulogu slicnu onoj koju u prirodnom
jeziku igraju imenice i zamenice, a predikati ulogu slicnu glagolima.
Matematicka logika – 4 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 4 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 4 – Predikatska logika - I deo
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Pored terma i predikata, u predikatskoj logici koriste se i kvantifikatori
ili kvantori.
Njihova uloga je da naznace koliko cesto je neko tvrdenje tacno.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 561/757
Univerzalni kvantifikator se koristi da naznaci da je tvrdenje uvek tacno.Sa druge strane, egzistencijalni kvantifikator se koristi da naznaci da je
tvrdenje ponekad tacno.
Primer 3: U ”Svi macori imaju repove”, recju ”svi” istice se da je
tvrdenje ”macori imaju repove” univerzalno tacno.
Matematicka logika – 5 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 5 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 5 – Predikatska logika - I deo
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Zadatak predikatske logike
Predikatska logika je uopstenje iskazne logike.
Zbog toga, pored terma, predikata i kvantifikatora, jezik predikatske
logike sadrzi i iskazne promenljive, konstante i veznike.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 562/757
Znacajnu ulogu igraju i funkcije, koje su kljucne kada se razmatraju jednacine.
Matematicka logika – 6 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 6 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 6 – Predikatska logika - I deo
Predikatska logika u Informatici
Predikatska logika u Informatici
Predikatska logika u Informatici
Predikatska logika predstavlja osnovu jezika logickog programiranja,
kakav je Prolog.
Predikatska logika se sve vise korisiti u specificiranju zahteva racu-
narskih aplikacija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 563/757
p j
U oblasti verifikacije korektnosti programa, predikatska logika omo-
gucava da se precizno utvrdi pod kakvim uslovima program daje
korektan izlaz.
Matematicka logika – 7 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 7 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 7 – Predikatska logika - I deo
Domen
Domen
Domen
Primer 4: Razmotrimo sledecu argumentaciju:
1. Marija je Petrova majka.
2. Marija je Markova majka.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 564/757
3. Svake dve muske osobe koje imaju istu majku su rodena braca.
4. Petar i Marko su rodena braca.
Medutim, istinitist tvrdenja ”Marija je Petrova majka” moze se proce-
niti samo unutar odredenog konteksta.
Postoji puno osoba koje se zovu Marija i Petar, i bez preciznijih informa-cija tvrdenje se odnosi na mnogo razlicitih ljudi, sto ga cini visesmislenim.
Matematicka logika – 8 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 8 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 8 – Predikatska logika - I deo
Domen
Domen
Domen
Da bi se sprecile takve visesmislenosti uvodi se sledeci pojam:
Domen ili univerzum razmatranja je kolekcija svih osoba, ideja,
simbola, struktura podataka, itd., na koje se odnosi logicka argu-
mentacija koju razmatramo.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 565/757
U ranijem primeru o Mariji, Petru i Marku, visesmislenost se moze
izbeci ako domen ogranicimo na osobe koje zive u odredenoj kuci,
stambenoj zgradi i slicno.
Mnoge argumentacije ukljucuju brojeve, i u takvim slucajevima moramo
precizirati da li je domen skup prirodnih, celih, racionalnih, realnih ilikompleksnih brojeva.
Matematicka logika – 9 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 9 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 9 – Predikatska logika - I deo
Domen
Domen
Domen
Istinitost tvrdenja moze zavisiti od domena koji smo izabrali.
Na primer, tvrdenje ”postoji najmanji broj” je tacno ako je domen skup
prirodnih brojeva, ali nije tacno ako je domen skup celih brojeva.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 566/757
Elemente domena nazivamo individue.
Individua moze biti osoba, broj, struktura podataka, ili bilo sta drugo
sto zahteva da se o njemu rasuduje.
Da bi se izbegao trivijalan slucaj, dogovoricemo se da svaki domen mora
da sadrzi bar jednu individuu. Umesto naziva ”individua” ponekad se koristi naziv objekat.
Matematicka logika – 10 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 10 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 10 – Predikatska logika - I deo
Domen
Domen
Domen
Da bi uputili na izvesnu konkretnu individuu ili objekat, koristimo
identifikatore koje nazivamo individualne konstante.
Ako se domen sastoji od osoba, individualne konstante mogu biti nji-
h i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 567/757
hova imena.
U slucaju prirodnih brojeva, individualne konstante su cifre koje pred-
stavljaju te brojeve.
Svaka individualna konstanta mora jednoznacno da identifikuje jednu
konkretnu individuu, i nijednu drugu.
Matematicka logika – 11 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 11 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 11 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
Generalno, predikatima se izrazavaju tvrdenja o individuama, kao u
– ”Petar i Marko su rodena braca”.
– ”Ana je Markova majka”.
”T j ˇ k”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 568/757
– ”Tom je macak”.
– ”Zbir brojeva 2 i 3 je 5”.
U ovim primerima individue smo oznacili plavom bojom.
U svakom od ovih tvrdenja postoji lista individua, koja je zadata listom
argumenata, zajedno sa frazama koje opisuju izvesna svojstva ili relacije
izmedu individua navedenih u listi argumenata.
Ta svojstva ili relacije nazivamo predikatima.
Matematicka logika – 12 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 12 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 12 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
U tvrdenju ”Petar i Marko su rodena braca” lista argumenata sa satoji
od ”Petar” i ”Marko”, tim redom, dok je predikat opisan frazom ”surodena braca”.
Slino, tvrdenje ”Tom je macak” ima listu argumen ata sa samo jednim
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 569/757
elementom ”Tom”, a predikat je opisan sa ”je macak”.
Elemente liste argumenata nazivamo argumentima.
Argumenti mogu biti ili promenljive, ili individualne konstante, ali posto
jos uvek nismo govorili o promenljivim, zadrzacemo nasu paznju samo
na slucajeve kada su svi argumenti individualne konstante.
Matematicka logika – 13 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 13 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 13 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
U predikatskoj logici, svaki predikat je zadat svojim imenom, za kojim
sledi lista argumenata, koja je ogradena malim zagradama.
Na primer, da bi izrazili tvrdenje ”Ana je Markova majka” mozemo
izabrati identifikator, recimo ”majka” da izrazi predikat ”je majka od”,
k ˇ ´ i i jk (A M k )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 570/757
tako sto cemo pisati majka(Ana, M arko).
Da bi pojednostavili pisanje, najcesce koristimo samo jedno slovo kao
ime predikata ili konstante.
Tako umesto majka(Ana, M arko) mozemo pisati M (a, m), gde je
M ime predikata ”je (cija) majka”, dok su a i m imena individualnih
konstanti ”Ana” i ”Marko”.
Matematicka logika – 14 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 14 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 14 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
Primetimo da je redosled argumenata izuzetno bitan.
Na primer, predikati majka(Ana, M arija) i majka(M arija, Ana)
imaju potpuno drugaciji smisao, dok za predikat majka(M arko, Ana)
mozemo cak reci i da je besmislen.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 571/757
Broj elemenata u listi argumenata nazivamo arnost ili duzina predikata.
Na primer, predikat majka(Ana, M arko) ima arnost 2.
Arnost predikata je fiksirana. Na primer, isti predikat ne moze imati
dva argumenta u jednom slucaju, a tri argumenta u drugom slucaju.
Predikati sa razlicitom arnoscu su razliciti.
Matematicka logika – 15 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 15 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 15 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
Ilustrujmo ovo sledecim primerom:
Suma brojeva 2 i 3 je 5.
Suma brojeva 2, 3 i 4 je 9.
Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike mozemo koristiti dva
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 572/757
Da bi ovo izrazili na jeziku predikatske logike, mozemo koristiti dva
imena predikata, na primer ”zbir2” i ”zbir3”, cime dobijamo predikate
zbir2(2, 3, 5) i zbir3(2, 3, 4, 9).
Druga mogucnost je da, jedn ostavnosti radi, za oba ova predikata
koristimo isto ime, na primer zbir, pri cemu implicitno podrazumevamo
da su zbir(2, 3, 5) i zbir(2, 3, 4, 9) razliciti predikati.
Matematicka logika – 16 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 16 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 16 – Predikatska logika - I deo
Predikati
Predikati
Predikati
Predikat arnosti n nazivamo n-mestni predikat.
Jednomestan predikat nazivamo svojstvo.
Drugim recima, arnost predikata se moze shvatiti kao broj mesta u
zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajuci argumenti
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 573/757
zapisu predikata na koja se stavljaju odgovarajuci argumenti.
Primer 5:
U ”Tom je macak” imamo da ”je macak” jeste jednomestan predikat,
tj. svojstvo.
U ”Ana je Markova majka” predikat ”je majka od” je dvomestan.
U ”Suma brojeva 2 i 3 je 6” predikat ”je suma brojeva” je tromestan.
Matematicka logika – 17 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 17 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 17 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Ime predikata, praceno listom argumenata u zagradama, nazivamo
atomicnom formulom.
Atomicne formule mogu se kombinovati pomocu logickih veznika, poput
iskaza odnosno iskaznih formula
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 574/757
iskaza, odnosno iskaznih formula.
Na primer, ako su cat(T om) i hastail(T om) dve atomicne formule,
kojima je izrazeno da je Tom macak, odnosno da ima rep, onda mozemo
formirati slozenu formulu
cat(T om) ⇒ hastail(T om)
koja izrazava tvrdenje da ako je Tom macak, onda on ima rep.
Matematicka logika – 18 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 18 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 18 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
U slucaju kada su svi argumenti predikata individualne konstante, sto
je jedini tip predikata koje smo do sada razmatrali, tada rezultujucaatomicna formula mora biti ili tacna ili netacna.
To je deo definicije predikata.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 575/757
Na primer, ako se domen sastoji od individua Dejan, Ana, Marko i
Petar, tada za svaki uredeni par individua treba da znamo da li je na
tom paru dvomestni predikat ”je majka od” tacan ili ne.
To moze biti uradeno u obliku tabele.
Metod koji svim mogucim kombinacijama individua predikata pridruzujeistinitosne vrednosti naziva se dodeljivanje.
Matematicka logika – 19 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 19 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 19 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Na primer, sledeca tabela je dodeljivanje za predikat ”je majka od”.
Dejan Ana Marko Petar
Dejan 0 0 0 0
A 0 0 1 1
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 576/757
Ana 0 0 1 1
Marko 0 0 0 0
Petar 0 0 0 0
Matematicka logika – 20 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 20 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 20 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Drugi primer dodeljivanja je sledeci.
Domen se sastoji od brojeva 1, 2, 3 i 4, a predikat ”veci” je tav can
ako je prvi argument veci od drugog argumenta.
Na primer, predikat veci(4, 3) je tacan, a predikat veci(3, 4) je netacan.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 577/757
Prema tome, dodeljivanje za predikat ”veci” je
1 2 3 41 0 0 0 0
2 1 0 0 0
3 1 1 0 0
4 1 1 1 0
Matematicka logika – 21 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 21 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 21 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
U slucaju konacnog domena, dodeljivanja za n-arne predikate mogu se
predstaviti n-dimenzionalnim nizovima.
Primetimo i da matematicke relacije <, , > i jesu predikati.
Ipak te predikate obiv cno pisemo u infiks notaciji pod cime po-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 578/757
Ipak, te predikate obiv cno pisemo u infiks notaciji, pod cime po
drazumevamo da su znaci kojima ih oznacavamo smesteni izmedu ar-
gumenata, a ne ispred argumenata.
Na primer, da bi smo izrazili da je 2 vece od 1, radije pisemo 2 > 1
nego > (2, 1).
Matematicka logika – 22 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 22 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 22 – Predikatska logika - I deo
Promenljive
Promenljive
Promenljive
Cesto se ne zeli da se kao argumenti atomicnih formula razmatraju kon-
kretne individue. U takvim prilikama, umesto individualnih konstantikoriste se promenljive.
Za oznacavanje promenljivih najcesce se koriste poslednja slova latinic-
nog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 579/757
nog alfabeta: x, y i z, sa ili bez donjih indeksa.
Primer 6:
cat(x) ⇒ hastail(x)
dog(y) ∧ brown(y)
grade(x) ⇒ (x = 0) ∧ (x 100)
Prva i treca formula sadrze promenljivu x, a druga promenljivu y.
Matematicka logika – 23 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 23 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 23 – Predikatska logika - I deo
Promenljive
Promenljive
Promenljive
Kao i u iskaznom racunu, formulama mozemo dati imena.
Na primer, mozemo definisati A sa
A = cat(x) ⇒ hastail(x)
Gledano sa aspekta sintakse promenljive je moguce koristiti na svim
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 580/757
Gledano sa aspekta sintakse, promenljive je moguce koristiti na svim
mestima na kojima je dozvoljeno koristiti individualne konstante.
Prema tome, pojam ”term” se koristi da predstavi ilikonstantu, ilipromenljivu.
Uopsteno govoreci, term je bilo sta sto se moze koristiti umesto indi-
vidua.
Matematicka logika – 24 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 24 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 24 – Predikatska logika - I deo
Promenljive
Promenljive
Promenljive
Cesto se javlja potreba da se sva pojavljivanja neke konkretne promenljive
u formuli zamene termom.Na primer, u izrazu cat(x) ⇒ hastail(x) moze se javiti potreba da
se sva pojavljivanja promenljive x zamene termom T om, sto daje
(T ) h il(T )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 581/757
cat(T om) ⇒ hastail(T om).
Neka je sa A oznacena formula, sa x promenljiva a sa t term. Tada saS xt
A oznacavamo formulu dobijenu zamenom svih pojavljivanja promen-
ljive x u formuli A termom t.
S xt
A se naziva instancijacija formule A, a za t se kaze da je instanca
promenljive x.
Matematicka logika – 25 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 25 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 25 – Predikatska logika - I deo
Promenljive
Promenljive
Promenljive
Primer 7: Neka su a, b i c individualne konstante, neka su P i Q
jednomestni predikati i neka su x
i y
promenljive. Tada: S x
a(P (a) ⇒ Q(x)) = P (a) ⇒ Q(a);
S ya
(P (y) ∨ Q(y)) = P (a) ∨ Q(a);
Sy(Q( )) Q( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 582/757
S ya
(Q(a)) = Q(a);
S ya
(P (x) ⇒ Q(x)) = P (x) ⇒ Q(x).
S Xt
je zapravo operacija koja se moze vrsiti nad predikatima.
Matematicka logika – 26 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 26 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 26 – Predikatska logika - I deo
Kvantifikatori
Kvantifikatori
Kvantifikatori
Razmotrimo sledeca tri tvrdenja:
Sve macke imaju repove.
Neki ljudi vole sirovo meso.
Svako mora jednom da se odmori.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 583/757
j
Sva ova tvrdenja ukazuju na to koliko cesto su neke stvari tacne.
U predikatskoj logici se za takve potrebe koriste kvantifikatori:
univerzalni kvantifikator
egzistencijalni kvantifikator
Matematicka logika – 27 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 27 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 27 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.
Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za sve moguce vrednostipromenljive x, onda pisemo
(∀x)A ili ∀x A,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 584/757
( )pri cemu kazemo sledece:
(∀x)A je univerzalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;
promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;
simbol ∀ citamo ”za svaki”, ”za svaku”, ”za svako” ili ”za sve”.
Matematicka logika – 28 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 28 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 28 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Kvantifikator i vezana promenljiva koja sledi treba da se tretiraju kao
celina, i ta celina deluje poput unarnog veznika.Tvrdenja koja sadrze reci ”svaki”, ”svako”, ”svi”, ”bilo koji”, ”ma koji”
i slicno, obicno ukazuju na univerzalnu kvantifikaciju.
Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”za svaki x”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 585/757
Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa za svaki x ,
sto se potom prevodi u ∀x.
Na primer, neka je T ranije razmatrani predikat ”imati rep”. Tada je
sa T (x) oznaceno tvrdenje ”x ima rep”.
Prema tome, tvrdenje ”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa(∀x)T (x).
Matematicka logika – 29 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 29 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 29 – Predikatska logika - I deo
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Univerzalni kvantifikator
Naravno, ovde se podrazumevalo da domen, gde promenljiva x uzima
svoje vrednosti, jeste kolekcija macaka.Medutim, ako domen nismo tako odredili, onda moramo da uvedemo
i predikat C : ”biti macka”, odnosno C (x): ”x je macka”, i onda se
”svaka macka ima rep” se moze izraziti sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 586/757
(∀x)(C (x) ⇒ T (x)).
U ovom slucaju formula A, tj. oblast dejstva kvantifikatora, je
A = C (x) ⇒ T (x).
Matematicka logika – 30 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 30 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 30 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikator
Egzistencijalni kvantifikator
Egzistencijalni kvantifikator
Neka A predstavlja formulu a x promenljivu.
Ako zelimo da ukazemo da je formula A tacna za bar jednu vrednostpromenljive x, onda pisemo
(∃x)A ili ∃x A,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 587/757
pri cemu kazemo sledece:
(∃x)A je egzistencijalni kvantifikator; formula A je oblast dejstva ovog kvantifikatora;
promenljiva x je vezana ovim kvantifikatorom;
simbol ∃ citamo ”postoji”, odnosno (∃x)A citamo ”postoji x tako
da vazi A” ili ”postoji x tako da A”.
Matematicka logika – 31 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 31 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 31 – Predikatska logika - I deo
Egzistencijalni kvantifikator
Egzistencijalni kvantifikator
Egzistencijalni kvantifikator
Tvrdenja koja sadrze reci ”neki”, ”za neki”, ”bar jedan” i slicno, obicno
ukazuju na egzistencijalnu kvantifikaciju.Takva tvrdenja se mogu preformulisati tako da pocnu sa ”postoji x
tako da”, sto se potom prevodi u ∃x.
Na primer, neka je V predikat ”voleti sirovo meso”. Tada je (∃x)P (x)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 588/757
Na primer, neka je V predikat voleti sirovo meso . Tada je (∃x)P (x)
oznaka za
”Postoje ljudi koji vole sirovo meso”
ili
”Neki ljudi vole sirovo meso”.
Matematicka logika – 32 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 32 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 32 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Kao sto smo vec rekli, ∀x i ∃x se mogu shvatiti kao unarni veznici.
Poput negacije, kvantifikatori su viseg prioriteta u odnosu na binar-
ne veznike, sto znaci da prvo primenjujemo kvantifikatore, pa tek
onda binarne veznike.
Na primer, neka P (x) znaci ”x je zivo” a Q(x) znaci ”x je nezivo”.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 589/757
Na primer, neka P (x) znaci x je zivo a Q(x) znaci x je nezivo .
Tada
(∀x)(P (x) ∨ Q(x))
ukazuje na to da je bio sta ili zivo ili nezivo.
Sa druge strane,
(∀x)P (x) ∨ Q(x)
znaci da je bilo sta zivo, ili da je x nezivo.
Matematicka logika – 33 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 33 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 33 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Promenljiva x u izrazu ∀x ili ∃x je samo nesto sto bi se na en-
gleskom jeziku moglo nazvati ”placeholder” (drzac, nosilac mesta).
To znaci da ako imamo formulu (∀x)A, odnosno (∃x)A, gde je A
oblast dejstva kvantifikatora, onda u ∀x, odnosno ∃x, i svuda u A,
promenljivu x mozemo zameniti bilo kojom drugom promenljivom
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 590/757
y koja se ne javlja u A, i pri tome se nista nece promeniti.
Naime, formule (∀x)P (x) i (∀y)P (y) imaju isto znacenje, one sulogicki ekvivalentne.
Matematicka logika – 34 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 34 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 34 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Drugim recima, promenljiva x je zajednicko ime za sve individue iz
datog domena, pa se znacenje predikatskih formula se nece promenitiako to ime, svuda gde se ono koristi, zamenimo nekim drugim, koje
se ne koristi za neke druge individue.
( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 591/757
Za formulu kazemo da je varijanta formule (∀x)A ako je oblika
(∀y)S xy
A, gde je y bilo koja promenljiva, a S xy
A je formula dobijena
iz A zamenom svih pojavljivanja promenljive x sa promenljivom y.
Na potpuno isti nacin se definise i varijanta formule (∃x)A
Matematicka logika – 35 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 35 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 35 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Kvantifikatori mogu biti ugnjezdavani (engleski nested).
To ilustrujemo sledecim primerom.
Recenicu ”Postoji neko ko poznaje svakog” prevesti na jezik predi-
katske logike. Koristiti oznaku K (x, y) za ”x poznaje y”.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 592/757
g ( ) j
Najbolje je da se ovo uradi postupno. Neformalno pisemo
(∃x)(x poznaje svakog).Izraz ”x poznaje svakog” je i dalje u govornom jeziku, i znaci da ”za
svako y vazi da x poznaje y”. Prema tome, ”x poznaje svakog”
se moze izraziti sa
(∀y)K (x, y).
Matematicka logika – 36 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 36 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 36 – Predikatska logika - I deo
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Napomene o kvantifikatorima
Dakle, ”postoji neko ko poznaje svakog” se moze izraziti sa
(∃x)(∀y)K (x, y).
Tvrdenje ”Niko nije savrsen” takode ukljucuje kvantifikator ”niko”
koji ukazuje na odsustvo individue koja ima odredeno svojstvo.U dik k j l i i ˇi j i d ik j P ˇ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 593/757
U predikatskoj logici cinjenica da niko nema svojstvo P se moze
izraziti direktno.
Naime, cinjenica da ”ne postoji x za koje vazi A” se moze izraziti
bilo sa ¬(∃x)A ili sa (∀x)¬A.
Ako sa P oznacimo svojstvo ”biti savrsen”, onda i ¬(∃x)P (x) i(∀x)¬P (x) ukazuju na to da niko nije savrsen.
Matematicka logika – 37 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 37 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 37 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Za pojavljivanje promenljive x u samom zapisu kvantifikatora ∀x ili
∃x, ili u oblasti dejstva jednog od tih kvantifikatora, kazemo da jevezano pojavljivanje, a za promenljivu x da je vezana.
Na primer, u izrazu (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) promenljiva x se javlja tri
puta, i sva tri pojavljivanja su vezana.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 594/757
Pojavljivanje promenljive koji nije vezano naziva se slobodno po-
javljivanje, a promenljiva se naziva slobodnom.
Kasnije cemo videti da ista promenljiva u jednoj formuli moze imati
i vezana i slobodna pojavljivanja.
U takvim slucajevima je neophodno jasno istaci poziciju na kojoj se
javlja promenljiva o kojoj govorimo.
Matematicka logika – 38 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 38 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 38 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Primer 8: Odrediti slobodne promenljive u
(∀z)(P (z) ∧ Q(x)) ∨ (∃y)Q(y).
Samo je promenljiva x slobodna, dok su sva pojavljivanja promenljivih
y i z vezana.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 595/757
Primetimo da se status promenljive moze promeniti kada se iz formule
izdvoji podformula.Na primer, u (∀x)P (x) promenljiva x se javlja dva puta, oba puta
kao vezana. Ova formula sadrzi P (x) kao podformulu, i u njoj je x
slobodna promenljiva.
Matematicka logika – 39 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 39 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 39 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Instancijacija, zamena promenljive termom, utice samo na slobodne
promenljive.
Preciznije, ako je A formula, onda S xt
A utice samo na slobodna
pojavljivanja promenljive x u A.
Na primer, S xy
(∀x)P (x) je (∀y)P (y), a to je sa aspekta logike,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 596/757
p ,y
( ) ( ) j ( y) (y), j p g ,
kako smo vec napomenuli, isto sto i (∀x)P (x).
Dakle, ovom zamenom nismo nista promenili.
Sa druge strane, S xy
(Q(x) ∧ (∀x)P (x)) daje Q(y) ∧ (∀x)P (x).
Matematicka logika – 40 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 40 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 40 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Prema tome, instancijacija se prema promenljivim odnosi razlicito,
zavisno od toga da li su slobodne ili vezane, cak i ako se istapromenljiva javlja dva puta u istom izrazu, jednom kao slobodna
a drugi put kao vezana.
Ocigledno, dve stvari su identicne samo ako uvek imaju identican
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 597/757
tretman. To povlaci da, ako se promenljiva javlja i kao slobodna
i kao vezana u istoj formuli, onda mi zapravo imamo dve razlicite
promenljive za koje se samo desilo da imaju isto ime.
Zbog toga se treba truditi da promenljive, koje su fakticki razlicite,
razlicito i oznacavamo.
Matematicka logika – 41 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 41 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 41 – Predikatska logika - I deo
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Vezane promenljive mozemo tretirati kao lokalne u okviru oblasti
dejstva kvantifikatora, upravo onako kako su parametri i lokalnodeklarisane promenljive u PASCAL-u lokalne u procedurama u ko-
jima su deklarisane.
Analogija sa PASCAL-om se moze dalje prosiriti i ako razmatramo
fi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 598/757
ime promenljive u kvantifikatoru kao deklaraciju.
Ova analogija takode sugerise da, ako nekoliko kvantifikatora koristiistu vezanu promenljivu za kvantifikaciju, tada su sve te promenljive
lokalne u okviru oblasti dejstva odgovarajuceg kvantifikatora, i prema
tome, razlicite su.
Matematicka logika – 42 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 42 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 42 – Predikatska logika - I deo
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Kada se formiraju varijante, preba paziti da se ne remete lokalne
definicije.
Da bi smo ilustrovali ovo, razmotrimo tvrdenje ”y ima majku”.
Ako sa M oznacimo predikat ”je majka od”, tada se to tvrdenjemoze izraziti sa (∃x)M (x, y).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 599/757
( ) ( )
Jasno je da u ovoj formuli promenljivu x ne smemo zameniti sa y,
jer u tom slucaju dobijamo (∃y)M (y, y), sto znaci da je y sebi
majka.
Sa druge strane, ilegalna je i instancijacija S yx((∃x)M (x, y)) jer iona daje (∃x)M (x, x).
Matematicka logika – 43 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 43 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 43 – Predikatska logika - I deo
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Napomene o promenljivim
Iz svega napred recenog zakljucujemo da za instancijacije (zamene
promenljivih termima) moraju da postoje neka ogranicenja.
Instancijacija koje dovodi do toga da promenljiva koja je imala slo-
bodno pojavljivanje postane vezana naziva se sukob promenljivih.
Jasno, svi sukobi promenljivih se moraju izbeci.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 600/757
Matematicka logika – 44 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 44 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 44 – Predikatska logika - I deo
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Ponekad se kvantifikovanje vrsi samo nad podskupom domena.
Na primer, uzmimo da je domen kolekcija svih zivotinja.
Kako izraziti recenice poput ”Svi psi su sisari” ili ”Neki psi su ridi”?
Razmotrimo prvo tvrdenje ”Svi psi su sisari”.Kako kvantifikator treba da se ogranici na pse, mozemo prefor-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 601/757
g p p
mulisati tvrdenje sa ”Ako je x pas, onda je x sisar”, sto dovodi do
formule(∀x)(P (x) ⇒ S (x)).
Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Sve individue sa
svojstvom P (x) imaju svojstvo S (x)”.
Matematicka logika – 45 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 45 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 45 – Predikatska logika - I deo
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Razmotrimo sada drugo tvrdenje ”Neki psi su ridi”.
To znaci da postoje neke zivotinje koje su psi i koje su ride.
Jasno, tvrdenje ”x je pas i x je rid” se prevesti u
P (x) ∧ R (x)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 602/757
pa se ”postoje neki ridi psi” moze prevesti u
(∃x)(P (x) ∧ R (x)).
Generalno, ta formula moze da se prevede sa ”Neke individue sa
svojstvom P (x) imaju takode i svojstvo R (x)”.
Matematicka logika – 46 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 46 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 46 – Predikatska logika - I deo
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Restrikcija kvantifikatora
Prema tome, kada univerzalni kvantifikator treba da primenimo
samo na individue sa datim svojstvom, onda koristimo implikacijuda bi ogranicili domen.
Ako na slican nacin zelimo da ogranicimo primenu egzistencijalnog
kvantifikatora, onda koristimo konjunkciju.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 603/757
Umesto (∀x)(P (x) ⇒ Q(x)) obicno pisemo
(∀x ∈ D) Q(x),
gde je D = {x | P (x)} skup svih individua sa svojstvom P (x), dok
umesto (∃x)(P (x) ∧ Q(x)) pisemo
(∃x ∈ D) Q(x).
Matematicka logika – 47 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 47 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 47 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Posle objasnjenja osnovnih koncepata predikatske logike, stigli smo i
do formalne definicije jezika predikatske logike.Jezik predikatske logike, u oznaci L p sastoji se od sledecih osnovnih
simbola:
znaci konstanti: a1, a2, a3, . . .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 604/757
U slucajevima kada radimo sa manjim brojem konstanti, umesto
ovih mozemo koristiti i znake a, b, c, . . .
znaci promenljivih: x1, x2, x3, . . .
Kada radimo sa ne velikim brojem promenljivih, mozemo koristiti i
znake x, y, z, . . .
Matematicka logika – 48 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 48 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 48 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Ponegde se koristi i konvencija da se vezane i slobodne promenljive
oznacavaju drugacije, na primer, za vezane promenljive koriste se znaci x, y, z, . . . , ili sa odgo-
varajucim indeksima,
za slobodne promenljive koriste se znaci u, v, w, . . . , ili saodgovarajucim indeksima.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 605/757
odgovarajucim indeksima.
funkcijski znaci: f 11
, f 12
, . . . , f 21
, . . . , f j
i
, . . .
Dozvoljeni su i neki drugi znaci, kao sto su f , g, h, . . .
Ovi znaci se koriste za oznacavanje funkcija proizvoljnih arnosti
(duzine), pomocu kojih gradimo slozenije terme.
Matematicka logika – 49 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 49 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 49 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
predikatski ili relacijski znaci: R 11
, R 12
, . . . , R 21
, . . . , R j
i , . . .
ili P , Q, R , . . .
Ovi znaci se koriste za oznacavanje relacija, odnosno predikata, ta-
kode proizvoljnih arnosti.
logicki veznici: ¬, ∧, ∨, ⇒, ⇔,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 606/757
kvantifikatori: ∀, ∃
pomocni znaci: zagrade ( i ), zapeta ,
Matematicka logika – 50 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 50 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 50 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Svaka posebna matematicka teorija ima svoj specifican jezik, svoj skup
polaznih simbola – oznaka konstanti, funkcijskih i relacijskih znaka.
Kada se zadaje takav specifican jezik, onda se za svaki funkcijski znak,
odnosno relacijski znak, mora jasno odrediti njegova arnost (duzina,
broj argumenata).
Kada se to ucini onda ce se znati da se funkcijskim znakom arnosti n
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 607/757
Kada se to ucini, onda ce se znati da se funkcijskim znakom arnosti n
oznacavaju samo operacije iste te arnosti, a relacijskim znakom arnostin samo relacije iste te arnosti.
U oznacavanju funkcijskih i relacijskih znaka sa f ji , odnosno R
ji , gornji
indeks oznacava arnost tog znaka, a donji sluzi za razlikovanje znakova
iste duzine, kada radimo sa vise takvih znakova.
Matematicka logika – 51 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 51 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 51 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Ipak, kod znakova konstanti, promenljivih, funkcijskih i relacijskih znaka
cesto i ne pisemo gornje ili donje indekse – gornji se izostavljaju ako je
jasno koja je arnost razmatranih simbola, a donji se izostavljaju ako na
neki drugi nacin mozemo da napravimo razliku izmedu tih simbola.
Logicki simboli i promenljive su svuda isti, uz napred vec izrecenunapomenu da promenljive mogu biti i slova bez indeksa (na primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 608/757
p p j g ( p
x , y , z), velika slova, slova grckog alfabeta itd.
U mnogim slucajevima razmatrani jezik ce sadrzati i binarni relacijski
znak =, koji interpretiramo upravo kao jednakost.
Matematicka logika – 52 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 52 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 52 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Primer 9: U strogom zasnivanju strukture prirodnih brojeva, sa
operacijama sabiranja i mnozenja i uobicajenom relacijom poretka, ima-
mo sledece:
Simbol konstante je samo broj 1,
Operacijski znaci su f 21 i f 22 , i oznacavaju se redom sa + (plus) i· (puta),
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 609/757
Relacijski znaci su R 21
i R 22
, a njihove uobicajene oznake su redom
= i .
Dakle, ovde uzimamo da je jedina konstanta 1, dok ostale prirodne
brojeve dobijamo na sledeci nacin:
2 def = 1 + 1, 3
def = 2 + 1, 4
def = 3 + 1, . . .
Matematicka logika – 53 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 53 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 53 – Predikatska logika - I deo
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
Jezik predikatske logike
U manje formalnom (ali cescem) izlaganju, konstantom se smatra oz-
naka svakog prirodnog broja.
Isto vazi i za druge strukture brojeva.
Tako je i u primerima koji slede.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 610/757
Matematicka logika – 54 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 54 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 54 – Predikatska logika - I deo
Termi
Termi
Termi
Definicija terma je induktivna:
(i) Promenljive i znaci konstanti su termi.
(ii) Ako je f nm
funkcijski znak (arnosti n), a t1, . . . , tn su termi, onda
je term i izraz
f nm
(t1, . . . , tn).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 611/757
(iii) Termi su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom
pravila (i) i (ii) konacan broj puta.
Prema tome, termi se grade samo od konstanti, promenljivih i funkcij-
skih znaka.
Matematicka logika – 55 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 55 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 55 – Predikatska logika - I deo
Termi
Termi
Termi
Primer 10: Primeri terma su:
f 11
(x1), f 31
(x1, x2, f 11
(x2)), f 22
(x1, f 21
(x2, a1)).
Na jeziku prirodnih brojeva uobicajeno je da se, na primer, term
f 22
(x1, f 21
(x2, a1))
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 612/757
belezi sa x(y + 1) i sl.
Matematicka logika – 56 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 56 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 56 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Kao sto je receno, od terma se do recenica (formula) dolazi tek kada
se termi povezu simbolima relacija.
Kada se termi povezu odgovarajucim relacijskim znakom, dobijaju se
najjednostavnije formule koje se nazivaju atomarne ili atomicne formule.
Naime, neka R ni
jeste n-arni relacijski znak i t1, . . . , tn su termi.
T d i blik
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 613/757
Tada se izraz oblika
R ni (t1, . . . , tn)
naziva atomicna formula.
Matematicka logika – 57 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 57 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 57 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Primer 11: Atomicne formule su, na primer
R 31
(f 11
(x2), x1, f 21
(x2, x3)), R 22
(a1, f 11
(x2)), R 11
(f 31
(x1, x1, x2)).
U jeziku teorije skupova jedna atomicna formula je
X ⊆ Y ∪ Z,
a u strukturi prirodnih brojeva je to na primer
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 614/757
a u strukturi prirodnih brojeva je to, na primer,
x y + z.
Prema dogovorima o oznacavanju, obe ove formule su u stvari uobicajeni
zapisi, u odgovarajucem jeziku, jedne iste formule
R 21
(x1, f 21
(x2, x3)).
Matematicka logika – 58 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 58 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 58 – Predikatska logika - I deo
Atomicne formule
Atomicne formule
Atomicne formule
Primer 12: U jeziku algebarskih struktura obicno postoji relacijski
znak duzine 2, koji se oznacava sa = i interpretira se kao jednakost.
Atomicna formula t1 = t2, gde su t1 i t2 termi naziva se identitet ili
algebarski zakon.
Identiteti su, na primer,
+ + i ( + ) +
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 615/757
x + y = y + x i x(y + z) = xy + xz
za brojeve, kao i
A ∪ (B ∩ A) = A
za skupove, i sl.
Matematicka logika – 59 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 59 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 59 – Predikatska logika - I deo
Predikatske formule
Predikatske formule
Predikatske formule
Definicija predikatske formule je takode induktivna:
(i) Svaka atomicna formula je predikatska formula.
(ii) Ako su F i G predikatske formule, a x je promenljiva, onda su i
sledeci izrazi predikatske formule:
¬F , (F ∧ G), (F ∨ G), (F ⇒ G), (F ⇔ G),
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 616/757
((∀x)F ), ((∃x)F ).
(iii) Prediktske formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati
konacnim brojem primena pravila (i) i (ii).
Jednostavnosti radi, nadalje cemo govoriti samo formule.
Matematicka logika – 60 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 60 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 60 – Predikatska logika - I deo
Predikatske formule
Predikatske formule
Predikatske formule
Primer 13: Primeri formula su:
((∃x1)((∀x2)R 2
2(x1, x2))),
(((∀x2)R 21
(x1, f 22
(x1, x2))) ⇒ ¬((∃x1)R 22
(f 22
(x1, x2), x2)))
Prva od ovih formula se u jeziku strukture prirodnih brojeva belezi sa
(∃x)(∀y)(x y).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 617/757
( )( )( )
Kao i kod iskaznih formula, podformula predikatske formule se definise
se svaki podniz (podrec) formule koji je i sam formula.
Matematicka logika – 61 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 61 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 61 – Predikatska logika - I deo
Oblast dejstva kvantifikatora
Oblast dejstva kvantifikatora
Oblast dejstva kvantifikatora
Oblast dejstva kvantifikatora (∀x), odnosno (∃x), koji se pojavljuje u
formuli, je sam kvantifikator zajedno sa najmanjom podformulom koja
neposredno sledi iza njega.
Primer 14:U formuli
(((∃x1)¬R 21
(x1, x2)) ⇒ R 11
(x2)),
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 618/757
oblast dejstva kvantifikatora (∃x1) je formula
((∃x1)¬R 21
(x1, x2)).
Matematicka logika – 62 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 62 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 62 – Predikatska logika - I deo
Oblast dejstva kvantifikatora
Oblast dejstva kvantifikatora
Oblast dejstva kvantifikatora
U formuli
¬(∃x)(x 1 ∧ (∀y)(y x))
oblast dejstva kvantifikatora (∃x) je formula
(∃x)(x 1 ∧ (∀y)(y x)),
a oblast dejstva kvantifikatora (∀y) je formula
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 619/757
(∀y)(y x).
Matematicka logika – 63 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 63 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 63 – Predikatska logika - I deo
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
Kao sto smo vec rekli, jednostavnosti radi, funkcijski znaci se cesto
oznacavaju bez indeksa, i to sa f , g, h, . . . , a relacijski malim slovima
grckog alfabeta.
U jezicima pojedinih matematickih teorija se, medutim, koriste vec
poznati funkcijski i relacijski znaci (+, ·, , = itd.) i ustaljena pravila ozagradama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 620/757
Pri zapisivanju predikatskih formula se prihvataju isti dogovori o izosta-
vljanju zagrada navedeni za iskazne formule, pri cemu su kvantifikatori
iza veznika ⇒ i ⇔, koji su iza veznika ∧ i ∨.
Matematicka logika – 64 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 64 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 64 – Predikatska logika - I deo
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
Primer 15: (a) Na osnovu dogovora o izostavljanju zagrada, umesto
(((∃x1)¬R 2
1(x1, x2)) ⇒ R 1
1(x2))
pise se
(∃x1)¬R 21
(x1, x2) ⇒ R 11
(x2).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 621/757
(b) U formuli
¬(∀x)(∃y)((α(x, y) ⇒ α(f (x, y), f (y, x))),
α je relacijski, a
f funkcijski znak, oba duzine 2.
Matematicka logika – 65 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 65 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 65 – Predikatska logika - I deo
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
Brisanje zagrada
(c) I u formuli
(∀x)(∃y)(x y ∧ y = x + 1),
i + su redom relacijski i funkcijski znak duzine 2.
Drugi relacijski znak duzine 2 je =, ali je umesto
¬(y = x + 1),
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 622/757
zabelezeno krace y = x + 1.
Ovo su uobicajene oznake u jezicima struktura brojeva.
Matematicka logika – 66 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 66 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 66 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Pojavljivanje promenljive x u nekoj formuli je vezano ako se x javlja u
oblasti dejstva nekog od kvantifikatora (∀x) odnosno (∃x).
Slobodno pojavljivanje promenljive u formuli je ono koje nije vezano.
Primer 16: (a) U formuli
(∀x)α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ (y))
prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana a trece je slobodno;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 623/757
prva dva pojavljivanja promenljive x su vezana, a trece je slobodno;
prva dva pojavljivanja promenljive y su vezana, a trece je slobodno.
(b) U formuli(∀x)(α(x) ⇒ ((∃y)β(x, y) ∨ γ (y)))
sva tri pojavljivanja promenljive x su vezana, prva dva za y su vezana
a trece je slobodno.
Matematicka logika – 67 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 67 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 67 – Predikatska logika - I deo
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
Vezane i slobodne promenljive
(c) U formuli
(∀x)(α(x) ⇒ (∃y)(β(x, y) ∨ γ (y)))
su sva pojavljivanja obeju promenljivih vezana.
Promenljiva x je slobodna ili vezana u formuli A ako u njoj ima redom
slobodno ili vezano pojavljivanje.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 624/757
Kao sto se vidi iz prethodnih primera, promenljiva moze biti i vezana islobodna u istoj formuli.
Matematicka logika – 68 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 68 – Predikatska logika - I deoMatematicka logika – 68 – Predikatska logika - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 625/757
Predikatske formule – rekapitulacija
Predikatske formule – rekapitulacija
Predikatske formule – rekapitulacija
Napravimo neformalnu rekapitulaciju osnovnih pojmova koje smo obra-
dili na prethodnom predavanju.
Izraz je proizvoljan niz simbola.
Naravno, vecina izraza nema nikakav smisao u predikatskoj logici,
ali postoje izrazi koji su sa aspekta predikatske logike veoma intere-
santni. To su
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 626/757
termi atomicne formule (atomi)
druge (pravilno formirane) formule
Matematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 2 – Predikatska logika - II deo
Predikatske formule – rekapitulacija
Predikatske formule – rekapitulacija
Predikatske formule – rekapitulacija
Termi u predikatskoj logici igraju ulogu slicnu onoj koju u obicnom
jeziku igraju imenice i zamenice.
To su izrazi koji mogu biti interpretirani kao imenovanje objekata.
Termi su izrazi koji se grade od znakova konstanti, znakova promen-
ljivih i odgovarajucih funkcijskih (operacijskih) znakova.
Atomicne formule su one formule koje se grade koristeci jedino
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 627/757
terme i predikatske, odnosno relacijske znakove.Dakle, atomicne formule ne sadrze niti logicke veznike niti kvan-
tifikatore.
Formule su oni izrazi koji se grade iz atominih formula koriscenjem
logickih veznika i kvantifikatora.
Matematicka logika – 3 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 3 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 3 – Predikatska logika - II deo
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Neka je data sledeca argumentacija
(1) Za svaki ceo broj x postoji ceo broj koji je veci od x.(2) 500 je ceo broj.
(3) Postoji ceo broj koji je veci od 500.Prevedimo to na jezik predikatske logike, uzimajuci za domen skup
realnih brojeva i koristeci predikate:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 628/757
realnih brojeva, i koristeci predikate:
Simbol Znacenje
N (x) x je ceo broj
G(y, x) y je veci od x
Matematicka logika – 4 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 4 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 4 – Predikatska logika - II deo
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Prevodenjem na jezik predikatske logike dobijamo sledece:
(1) (∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))(2) N (500)
(3) (∃y)(N (y) ∧ G(y, 500))
Da li su gornje formule pravilno formirane?
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 629/757
Naravno da jesu. Pokazacemo postupno kako su one izgradene.
Matematicka logika – 5 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 5 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 5 – Predikatska logika - II deo
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Predikatske formule – primeri
Razmotrimo nacin na koji se izgraduju formule
(∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x))) i N (500)
termi x, y
atomi N (x), N (y), G(y, x)
formule (N (y) ∧ G(y, x))
(∃y)(N (y) ∧ G(y, x))
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 630/757
(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))(∀x)(N (x) ⇒ (∃y)(N (y) ∧ G(y, x)))
term 500atom N (500)
Matematicka logika – 6 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 6 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 6 – Predikatska logika - II deo
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Primer 17: Neka je sa Q(x, y) oznacen predikat ”x + y = 0”.
Ako je domen skup realnih brojeva, koja je od formula
(∃y)(∀x)Q(x, y) i (∀x)(∃y)Q(x, y)
je tacna?
Resenje: Formulom (∃y)(∀x)Q(x, y) je predstavljen iskaz:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 631/757
”Postoji realan broj y tako da za svaki realan broj x vazi x + y = 0”.
Ako bi to bilo tacno, onda bi bilo x = −y, za svaki realan broj x, sto
ocigledno nije moguce. Dakle, ovo tvrdenje nije tacno.
Matematicka logika – 7 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 7 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 7 – Predikatska logika - II deo
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Formulom (∀x)(∃y)Q(x, y) je predstavljen iskaz:
”Za svaki realan broj x prostoji realan broj y tako da je x + y = 0”.
Ovo tvrdenje je tacno, jer za proizvoljan realan broj x mozemo uzeti
da je y = −x, i za tako izabrano y ocigledno vazi x + y = 0.
Ovaj primer pokazuje koliko je redosled pojavljivanja kvantifikatora u
formuli bitan jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 632/757
formuli bitan, jer zamena mesta kvantifikatora u formuli moze potpuno
izmeniti njen smisao.
Matematicka logika – 8 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 8 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 8 – Predikatska logika - II deo
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Kada vrsimo kvantifikovanje po dve i vise promenljive, moze biti korisno
razmisljati o njima kao o visestrukim petljama.
Na primer, da bi smo videli da li je (∀x)(∀y)P (x, y) tacno, mozemo
formirati petlju po svim vrednostima za x, i za svaki x mozemo formirati
petlju po svim vrednostima za y.
Ako ustanovimo da je P (x, y) tacno za sve vrednosti x i y, onda je
(∀x)(∀y)P (x y) tacno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 633/757
(∀x)(∀y)P (x, y) tacno.
U suprotnom, ako pogodimo takvu vrednost za x, za koju dalje pogodimo
vrednost za y takvu da je P (x, y) netacno, onda smo dokazali da je
(∀x)(∀y)P (x, y) netacno.
Matematicka logika 9 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 9 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 9 Predikatska logika - II deo
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Kombinovanje kvantifikatora
Pregled svih mogucih kombinacija kvantifikatora po dvema promenljivim
dat je sledecom tabelom:
Tvrdenje Kada je tacno? Kada je netacno?
1. (∀x)(∀y)P (x, y)
(∀y)(∀x)P (x, y)
P (x, y) je tacno za svaki
par x, y
Postoji par x, y za koji je
P (x, y) netacno
2. (∀x)(∃y)P (x, y) Za svaki x postoji y za koji
je P (x, y) tacno
Postoji x takvo da je
P (x, y) netacno za svaki y
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 634/757
3. (∃x)(∀y)P (x, y) Postoji x takvo da jeP (x, y) tacno za svaki y
Za svaki x postoji y za koji je P (x, y) netacno
4. (∃x)(∃y)P (x, y)
(∃y)(∃x)P (x, y)
Postoji par x, y za koji je
P (x, y) tacno
P (x, y) je netacno za svaki
par x, y
Matematicka logika 10 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 10 Predikatska logika - II deoMatematicka logika 10 Predikatska logika - II deo
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Cesto se javlja potreba da razmatramo negaciju kvantifikovanog izraza.
Na primer, razmotrimo tvrdenje
”Svaki student u grupi pohada kurs iz matematike”.
Ako je domen skup svih studenata iz date grupe, ovo tvrdenje se mozeprevesti sa (∀x)P (x), gde P (x) znaci ”x pohada kurs iz matematike”.
Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da svaki student u grupi pohada
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 635/757
g j g j j j g p p
kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa
”Postoji student u grupi koji ne pohada kurs iz matematike”
a to se moze izraziti sa (∃x)¬P (x)
Matematicka logika 11 Predikatska logika II deoMatematicka logika 11 Predikatska logika II deoMatematicka logika 11 Predikatska logika II deo
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Sa druge strane, razmotrimo tvrdenje
”Postoji student u grupi koji pohada kurs iz matematike”.
Ako je domen skup svih studenata iz te grupe, ovo se moze prevesti sa
(∃x)P (x), gde je P (x) tvrdenje ”x pohada kurs iz matematike”.
Negacija ovog tvrdenja je ”Nije tacno da postoji student u grupi koji
pohada kurs iz matematike”, sto je ekvivalentno sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 636/757
”Svaki student u grupi ne pohada kurs iz matematike”
a to se moze izraziti sa (∀x)¬P (x)
Matematicka logika 12 Predikatska logika II deoMatematicka logika 12 Predikatska logika II deoMatematicka logika 12 Predikatska logika II deo
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Negacija kvantifikatora
Zapazanja vezana za negaciju kvantifikatora mogu se prikazati sledecom
tabelom:
Negacija Ekvivalentan
izraz
Kada je negacija
tacna?
Kada je negacija
netacna?
1. ¬(∃x)P (x) (∀x)¬P (x) P (x) je netacno zasvaki x
Postoji x za koji jeP (x) tacno
2. ¬(∀x)P (x) (∃x)¬P (x) Postoji x za koji je
P (x) netacno
P (x) je tacno za
svaki x
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 637/757
P (x) netacno svaki x
Matematicka logika 13 Predikatska logika II deoMatematicka logika 13 Predikatska logika II deoMatematicka logika 13 Predikatska logika II deo
Semantika predikatske logike
Semantika predikatske logike
Semantika predikatske logike
Razmotrimo, na primer, predikatsku formulu
(∀x)(∃y)P (x, y).Sta mozemo reci o noj?
O ovoj formuli mozemo govoriti jedino sa aspekta sintakse.
Sve sto mozemo reci je da formula sadrzi dve promenljive, x i y, od
kojih su obe vezane kvantifikatorima (∀x) i (∃y), koji deluju na predikat
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 638/757
P (x, y), i nista vise.Sta je sa istinitoscu ove formule?
O tome nista ne mozemo reci, jer ne znamo ni njeno znacenje. Da bi
smo o tome govorili, neophodno je da se precizira znacenje – semantika
te predikatske formule.
Matematicka logika 14 Predikatska logika II deoMatematicka logika 14 Predikatska logika II deoMatematicka logika 14 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Setimo se da se svaka predikatska formula sastoji od sledecih elemenata
simbola konstanti, logickih veznika, simbola promenljivih, kvantifikatora,
funkcijskih simbola, pomocnih simbola.
relacijskih simbola,
Logicki veznici, kvantifikatori i pomocni simboli u svim formulama imaju
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 639/757
svoje uobicajeno znacenje.Da bi se preciziralo znacenje ostalih simbola u formuli, potrebno je da
se izvrsi interpretacija te formule, koja se neophodno vezuje za neku
relacijsko-operacijsku strukturu, osnosno algebarsku strukturu.
Matematicka logika 15 Predikatska logika II deoMatematicka logika 15 Predikatska logika II deoMatematicka logika 15 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
(1) Interpretacija formule pocinje preciziranjem nekog nepraznog skupa
D – domena interpretacije, u okviru koga se vrsi interpretacija.
(2) Drugi korak u interpretaciji je interpretacija simbola konstanti –
svakom simbolu konstanti pridruzuje se neka konkretna individualna
konstanta iz domena D, interpratacija tog simbola.(3) Da bi se interpretirali funkcijski simboli, neophodno je da za svaki
n-arni funkcijski simbol koji se javlja u formuli, na skupu D bude
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 640/757
definisana odgovarajuca n-arna operacija, kojom interpretiramo tajfunkcijski simbol.
(4) Slicno, za svaki n-arni relacijski znak koji se javlja u formuli, neop-
hodno je da na skupu D bude definisana odgovarajuca n-arna
relacija, kojom interpretiramo taj relacijski znak.
Matematicka logika 16 Predikatska logika II deoMatematicka logika 16 Predikatska logika II deoMatematicka logika 16 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Prema tome,
– funkcijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo funk-cijom (operacijom) iste te arnosti;
– relacijski simbol izvesne arnosti moze se interpretirati samo rela-
cijom iste te arnosti.
(5) Simboli promenljivih interpretiraju se kao promenljive koje mogu
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 641/757
uzeti proizvoljne vrednosti u skupu D.Kada se formula interpretira, onda ona postaje recenica kojom se nesto
tvrdi o elemetima domena interpretacije.
Matematicka logika 17 Predikatska logika II deoMatematicka logika 17 Predikatska logika II deoMatematicka logika 17 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Formalno, interpretacija formule ili skupa formula definise kao uredeni
par D = (D, φ), gde je D domen interpretacije, a φ je pridruzivanje
(preslikavanje) izvrseno na sledeci nacin:
(a) Uoce se svi simboli konstanti, funkcijski i relacijski simboli koji
ucestvuju u izgradnji tih formula;(b) svakom simbolu konstanti a pridruzi se neki fiksirani element φ(a)
iz D (interpretacija konstanti);
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 642/757
(c) svakom funkcijskom simbolu f duzine n pridruzi se neka konkretnan-arna operacija φ(f ) na D, tj. funkcija iz Dn u D (interpretacija
funkcijskih simbola);
(d) svakom relacijskom znaku R duzine n pridruzi se neka konkretna
n-arna relacija φ(R ) na D (interpretacija relacijskih simbola).
Matematicka logika 18 Predikatska logika II deoMatematicka logika 18 Predikatska logika II deoMatematicka logika 18 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Primer 18: Neka su date formule:
(1) P (f (x, y), b)(2) (∃y)Q(f (x, y), b)
(3) (∀x)(P (x, a) ⇒ (∃y)P (f (x, y), a))
i neka je domen interpretacije skup realnih brojeva R.
Konstante a i b interpretiracemo redom kao brojeve 0 i 1.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 643/757
Funkcijski simbol f duzine 2 in terpretiracemo kao operaciju mnozenja.
Relacijske simbole P i Q, oba duzine 2, interpretiracemo redom kao
relaciju manje, <, i relaciju jednakosti, =.
Matematicka logika 19 Predikatska logika II deoMatematicka logika 19 Predikatska logika II deoMatematicka logika 19 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Interpretaciju gornjih formula tako cini skup R i navedeno pridruzivanje,
tj. uredeni par D = (R, φ), gde je
φ =
a b f P Q
0 1 · < =
.
Gornje formule u ovoj interpretaciji postaju redom tvrdenja
(1) ”Proizvod brojeva x i y je manji je od 1” (tj. ”x · y < 1”);
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 644/757
(2) ”Postoji broj y tako da je x · y = 1” (tj. ”(∃y)x · y = 1”);
(3) ”Za svaki broj x manji od 0 postoji broj y takav da je x · y < 0”
(tj. ”(∀x)(x < 0 ⇒ (∃y)(x · y < 0))”).
Sta se moze reci o istinitosti ovih tvrdenja?
Matematicka logika 20 Predikatska logika II deoMatematicka logika 20 Predikatska logika II deoMatematicka logika 20 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Jedino za tvrdenje (3) mozemo odmah reci da je tacno: ako je x bilo
koji negativan broj, onda za bilo koji pozitivan broj y imamo da je i
proizvod x · y negativan.
O istinitosti tvrdenja (1) ne mozemo nista konkretno reci, jer ona zavisi
od toga kako smo izabrali par brojeva x i y.
Za neke vrednosti brojeva x i y, njihov ce proizvod biti manji od 1, dok
ce za neke vrednosti taj proizvod biti veci od 1.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 645/757
Takode, istinitost tvrdenja (2) zavisi od toga kako smo izabrali broj x –
ako je x = 0, onda tvrdenje nece biti tacno, dok ce za x = 0 tvrdenje
biti tacno.
Matematicka logika 21 Predikatska logika II deoMatematicka logika 21 Predikatska logika II deoMatematicka logika 21 Predikatska logika II deo
Interpretacija
Interpretacija
Interpretacija
Iz svega ovog zakljucujemo sledece:
Ako formula ne sadrzi slobodne promenljive, tj. ako su sve promen-ljive u njoj vezane, onda u proizvoljnoj interpretaciji ta formula pos-
taje recenica koja je ili tacna ili netacna.
Formule koje ne sadrze slobodne promenljive nazivaju se zatvorene
formule ili recenice.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 646/757
Ako formula sadrzi slobodne promenljive, onda istinitost njene inter-pretacije zavisi od vrednosti koje u toj interpretaciji uzimaju slobod-
ne promenljive u toj formuli.
Upravo to ce biti predmet daljih razmatranja.
Matematicka logika 22 Predikatska logika II deoMatematicka logika 22 Predikatska logika II deoMatematicka logika 22 Predikatska logika II deo
Valuacije
Valuacije
Valuacije
U definicijama koje slede uzimamo da je D = (D, φ) intepretacija
datog skupa predikatskih formula.
Niz
v = (c1, c2, c3, . . . )
elemenata iz D zove se valuacija domena D.
Kao i u iskaznoj logici, svrha valuacije je da pridruzi odredene vrednosti
i
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 647/757
promenljivama koje se javljaju u formuli, tako da promenljivoj xi
trebada bude pridruzena vrednost ci, gde je i ∈ N.
Prema tome, valuacija je zapravo preslikavanje koje skup svih promen-
ljivih {x1, x2, . . . , xn, . . . } slika u domen interpretacije D, tako da
proizvoljnoj promenljivoj xi dodeljuje vrednost v(xi) = ci ∈ D.
Matematicka logika 23 Predikatska logika II deoMatematicka logika 23 Predikatska logika II deoMatematicka logika 23 Predikatska logika II deo
Valuacije
Valuacije
Valuacije
Buduci da u konacnom skupu formula ucestvuje konacno mnogo promen-
ljivih x1, . . . , xn, valuacija moze biti i konacan niz, uredena n-torka
v = (c1, . . . , cn) elemenata iz D.
Medutim, uglavnom je jednostavnije dozvoliti da niz bude beskonacan,
jer posle nekog elementa u tom nizu, ostali elementi i nece uticati navrednost terma u toj valuaciji.
Ako se koriste promenljive x, y, z, . . . , onda je njihov redosled leksiko-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 648/757
grafski, pa im tim redom odgovaraju elementi valuacije.
Matematicka logika 24 Predikatska logika II deoMatematicka logika 24 Predikatska logika II deoMatematicka logika 24 Predikatska logika II deo
Vrednost terma u valuaciji
Vrednost terma u valuaciji
Vrednost terma u valuaciji
Vrednost terma t u valuaciji v, u oznaci v(t), definise se induktivno,
po slozenosti tog terma, i to na sledeci nacin:
(i) Ako je t promenljiva xi, onda je v(t) = ci.
(ii) Ako je t simbol konstante a, onda je v(t) = φ(a), tj. element koji
je u interpretaciji D dodeljen simbolu a (interpretacija tog znakakonstante).
(iii) Ako je t = f (t1, . . . , tn), gde je f operacijski znak duzine n, a
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 649/757
t1, . . . , tn su termi, onda je
v(t) = f D(v(t1), . . . , v(tn)),
gde je f D = φ(f ) operacija na skupu D kojom je interpretiran
funkcijski simbol f .
Matematicka logika 25 Predikatska logika II deoMatematicka logika 25 Predikatska logika II deoMatematicka logika 25 Predikatska logika II deo
Vrednost terma u valuaciji
Vrednost terma u valuaciji
Vrednost terma u valuaciji
Primer 19:
a) Neka je dat term f (a, g(x, y)) i interpretacija D = (R, φ), gde je
R skup realnih brojeva i
φ = a f g
5 + ·
.
Jasno, u ovoj interpretaciji ovaj term postaje ”5 + x · y”.
( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 650/757
Neka je data i valuacija v = (2, 3).
Vrednost gornjeg terma za ovu valuaciju iznosi 5 + 2 · 3, tj. 11.
b) Term x2
+3y3
−5 u uobicajenoj interpretaciji u skupu R, za valuaciju(1, 2) ima vrednost 12 + 3 · 23 − 5 = 20.
Matematicka logika 26 Predikatska logika II deoMatematicka logika 26 Predikatska logika II deoMatematicka logika 26 Predikatska logika II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule A u valuaciji v, u oznaci v(A),
se takode definise induktivno, po slozenosti formule:
(1) Neka je A = R (t1, . . . , tn) atomicna formula.
Tada je
v(A) =
1 ako je (v(t1), . . . , v(tn)) ∈ φ(R )
0 inace
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 651/757
(2) Neka je A = ¬B. Tada je
v(A) = ¬v(B).
Matematicka logika 27 Predikatska logika II deoMatematicka logika 27 Predikatska logika II deoMatematicka logika 27 Predikatska logika II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
(3) Neka je A = B ∗ C , gde ∗ oznacava bilo koji od logickih veznika
∧, ∨, ⇒ i ⇔. Tada je
v(A) = v(B) ∗ v(C ).
Drugim recima
v(B ∧ C ) = v(B) ∧ v(C ) v(B ∨ C ) = v(B) ∨ v(C )
v(B ⇒ C ) = v(B) ⇒ v(C ) v(B ⇔ C ) = v(B) ∨ v(C )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 652/757
Matematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deoMatematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deoMatematiˇcka logika 28 Predikatska logika II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
(4) Neka je A = (∀xi)B. Tada je
v(A) =
1 ako za svaki d ∈ D vazi vi
d(B) = 10 inace
gde je v
i
d valuacija dobijena iz valuacije v zamenom njene i-te koor-dinate sa d, dok sve ostale koordinate ostaju iste.
Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako svako dodelji-
j d ti i d D lji j i i ˇ t l
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 653/757
vanje vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostalepromenljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, daje
tacno tvrdenje.
Matematicka logika – 29 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 29 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 29 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Primer 20: Neka je sa A oznacena formula:
(∀x)(x y)
koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena
formula x y.
Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)ako je formula B tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N.
Jasno, B je tacna u valuaciji (k, n), za svaki k ∈ N jedino u slucaju da
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 654/757
je n = 1. To znaci da je formula A tacna u valuaciji (m, n) jedino u
slucaju kada je n = 1, a u ostalim valuacijama je netacna.
Kao sto vidimo, tacnost formule A u valuaciji (m, n) uopste ne zavisiod m, jer je promenljiva x vezana univerzalnim kvantifikatorom.
Matematicka logika – 30 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 30 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 30 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
(5) Neka je A = (∃xi)B. Tada je
v(A) =
1 postoji d ∈ D tako da je vi
d(B) = 10 inace
Neformalno govoreci, v(A) = 1 ako i samo ako postoji dodeljivanje
vrednosti iz domena D promenljivoj xi, pri cemu sve ostale promen-
lji e A dobijaj ednosti od edene al acijom koje daje tacno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 655/757
ljive u A dobijaju vrednosti odredene valuacijom v, koje daje tacnotvrdenje.
Matematicka logika – 31 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 31 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 31 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Primer 21: Neka je sa A oznacena formula:
(∃x)(x < y)
koju interpretiramo na skupu N prirodnih brojeva, i neka je sa B oznacena
formula x < y.
Prema prethodnoj definiciji, formula A je tacna u nekoj valuaciji (m, n)ako postoji k ∈ N tako da je formula B tacna u valuaciji (k, n).
Jasno, takvo k postoji ako je n 2, a ne postoji za n = 1. Dakle,
( )
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 656/757
formula A je tacna u valuaciji (m, n) ako je n 2, a netacna je ako
je n = 1.
I opet vidimo da tacnost formule A u valuaciji (m, n) ne zavisi od m, jer je promenljiva x sada vezana egzistencijalnim kvantifikatorom.
Matematicka logika – 32 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 32 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 32 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Ako je v(A) = 1, onda kazemo da je formula A tacna u valuaciji v, ili
da valuacija v zadovoljava formulu A.
Preciznije, govorimo da je formula A tacna u valuaciji v interpretacije
D , ili da valuacija v u interpretaciji D zadovoljava formulu A.
U tom slucaju pisemo
D |=v A.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 657/757
Matematicka logika – 33 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 33 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 33 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Primer 22: (a) Neka su date formule R (y, f (x, a)) i (∃y)R (x, y)
i interpretacija D = (N, φ), gde je N skup prirodnih brojeva, a
φ =
a f R
1 + >
.
U valuaciji (1, 3) je tacna prva formula, jer je tacno
”3 je vece od 1 + 1”,
ali nije tacna druga: prema (5) nije tacno da
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 658/757
ali nije tacna druga: prema (5), nije tacno da
”postoji prirodan broj b takav da je 1 > b”.
Sa druge strane, u valuaciji (2, 3) nije tacna prva, a tacna je drugaformula.
Matematicka logika – 34 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 34 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 34 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
(b) Posmatrajmo formulu (∀x)(x · y = y) u interpretaciji ciji je domen
skup Z celih brojeva, a operacijski i relacijski znaci imaju uobicajena
znacenja.
Prema (4), ta formula je tacna u svakoj valuaciji oblika (b, 0), gde je b
proizvoljan realan broj.
(c) Ako je domen interpretacije skup R, a osnovni simboli se interpre-
tiraju uobicajeno, onda formulu
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 659/757
(∀x)(x = 0 ⇒ (∃y)(x · y = 1))
zadovoljava svaka valuacija.
Matematicka logika – 35 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 35 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 35 – Predikatska logika - II deo
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Istinitosna vrednost predikatske formule
Neka je data predikatska formula A, interpretacija D i valuacija v u D .
Ako sve slobodne promenljive u formuli A zamenimo odgovarajucim
komponentama u valuaciji v, onda dobijamo iskaz (recenicu koja ima
svojstvo da je tacna ili netacna), i taj iskaz oznacavamo sa Av.
Ocigledno, formula A je tacna u valuaciji v ako i samo ako Av tacaniskaz.
Primer 23: U prethodnom primeru pod (a) ako je A = R(y f (x a))
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 660/757
Primer 23: U prethodnom primeru pod (a), ako je A = R (y, f (x, a))
i valuacija je v = (1, 3), onda je Av iskaz
”3 je vece od 1 + 1”.
Matematicka logika – 36 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 36 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 36 – Predikatska logika - II deo
Model formule
Model formule
Model formule
Za formulu A kazemo da je tacna u interpretaciji D ako je tacna u
svakoj valuaciji te interpretacije D.
Ako je formula A tacna u interpretaciji D , onda kazemo i da je D model
formule A, sto zapisujemo sa
D |= A.
Analogna definicija se uvodi i za skup formula A :
Ako je s aka form la i A tacna inter retaciji D onda je D model
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 661/757
Ako je svaka formula iz A tacna u interpretaciji D , onda je D model
skupa A , sto zapisujemo sa
D |= A .
Matematicka logika – 37 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 37 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 37 – Predikatska logika - II deo
Model formule
Model formule
Model formule
Primer 24: Formula (∃x)(x < y), uz uobicajeno tumacenje simbola,
je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <.
Dakle, ta struktura je dakle model ove formule.
Struktura (N, <) je takode jedna interpretacija ove formule, ali to nije
i njen model, jer formula nije tacna u svim valuacijama.
Odavde se vidi da ako je formula A tacna u interpretaciji D , tj. ako joj
je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 662/757
je D model, onda ta formula govori o nekim svojstvima strukture D .
Na primer, gornja formula kaze da u skupu Z (za razliku od N) od
svakog broja postoji manji.
To nije opste pravilo zakljucivanja, vec konkretno svojstvo modela.
Matematicka logika – 38 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 38 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 38 – Predikatska logika - II deo
Zatvorenje formule
Zatvorenje formule
Zatvorenje formule
Potsetimo se da se formula A naziva zatvorenom formulom ili recenicom,
ako A nema slobodnih promenljivih, tj. sve promenljive u A su vezane.
Ako je A zatvorena formula, onda u proizvoljnoj interpretaciji A jeste
tacna ili netacna, nezavisno od valuacije.
Primer 25: Uz uobicajeno tumacenje simbola, formula
(∀y)(∃x)(x < y),
je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno od
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 663/757
je tacna u strukturi (Z, <) celih brojeva sa relacijom <, nezavisno odvaluacije, a nije tacna u strukturi (N, <).
Primetimo da je i formula (∃x)(x < y) tacna u (Z, <), bez obzira na
to sto sadrzi slobodnu promenljivu y.
Matematicka logika – 39 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 39 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 39 – Predikatska logika - II deo
Zatvorenje formule
Zatvorenje formule
Zatvorenje formule
Prethodno zapazanje koje se tice formule (∃x)(x < y) sa slobodnom
promenljivom y moze se pretociti u opste svojstvo predikatskih formula.
Neka je A formula i x1, x2, . . . , xk su sve slobodne promenljive u A.
Tada je
(∀x1)(∀x2) . . . (∀xk)A
zatvorena formula koju nazivamo zatvorenjem formule A.
Za formulu A i njeno zatvorenje vazi sledece:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 664/757
Za formulu A i njeno zatvorenje vazi sledece:
Tvrdenje 1: Formula A je tacna u interpretaciji D ako i samo ako je
njeno zatvorenje tacno u interpretaciji D
.
Matematicka logika – 40 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 40 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 40 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
Kao sto smo vec ranije rekli, ako je formula A tacna u nekoj inter-
pretaciji D , onda ona opisuje izvesno svojstvo strukture D .
Medutim, ako je formula A tacna u svakoj interpretaciji, onda ona vise
ne opisuje svojstvo neke konkretne strukture, vec opste svojstvo svih
struktura, odnosno opste pravilo zakljucivanja.
Takve formule, koje su tacne u svim svojim interpretacijama, nazivaju
se opste-vazecim formulama ili valjanim formulama.
Ako je formula A valjana, to onda belezimo sa
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 665/757
j j ,
|= A.
Ako su A i B predikatske formule takve da je A ⇔ B valjana formula,
tada kazemo da su A i B logicki ekvivalentne formule.
Matematicka logika – 41 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 41 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 41 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule u predikatskoj logici predstavljaju ono sto u iskaznoj
logici predstavljaju tautologije.
Medujtim, postoje i izvesne razlike.
Kod iskaznih formula, problem dokazivanja da li je data iskazna formula
tautologija ili ne je odluciv.
To znaci da postoji algoritam pomocu koga se za proizvoljnu iskaznu
formulu A moze ustanoviti da li je A tautologija ili ne. Na primer, to
se moze uciniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 666/757
se moze uciniti formiranjem istinitosne tablice za formulu A.
Medutim, problem dokazivanja da li je proizvoljna predikatska formula
valjana ili ne nije odluciv – ne postoji algoritam pomocu koga se zadatu predikatsku formulu moze ustanoviti da li je ona valjana ili nije.
Matematicka logika – 42 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 42 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 42 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
Ipak, za neke formule se moze ustanoviti da li su valjane ili ne.
Takve su, na primer, formule koje nazivamo izvodima iz tautologija.
Za predikatsku formulu F kazemo da je izvod iz tautologije ako pos-
toji tautologija A takva da se formula F moze dobiti iz A zamenom
iskaznih slova nekim predikatsklim formulama, pri cemu se isto slovosvuda zamenjuje istom formulom.
Za izvode iz tautologija vazi sledece:
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 667/757
Tvrdenje 2: Izvod iz tautologije je valjana formula.
Matematicka logika – 43 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 43 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 43 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
U daljem tekstu dajemo spisak nekih najznacajnijih valjanih formula.
Necemo dokazivati da su one valjane, ali cemo to nadalje koristiti kao
da smo dokazali.
Takode, dacemo i neke komentare vezane za te valjane formule.
(a) (∀x)A ⇒ (∃x)A
Ako A vazi za svaki x, onda je jasno da postoji x takav da vazi A.
(b) (∀x)(∀y)A ⇔ (∀y)(∀x)A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 668/757
( ) ( )( y) ( y)( )
(c) (∃x)(∃y)A ⇔ (∃y)(∃x)A
Ove dve valjane formule nam zapravo kazu ono sto smo vec ranije konstatovali
– da dva istorodna kvantifikatora mogu slobodno zameniti mesta.
Matematicka logika – 44 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 44 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 44 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
(d) (∃x)(∀y)A ⇒ (∀y)(∃x)A
Ovde vidimo da prethodna konstatacija ne vazi za raznorodne kvantifikatore, tj.
da raznorodni kvantifikatori ne mogu zameniti mesta.
Ako postoji x tako da za svaki y vazi A, taj x je isti za sve y, pa je jasno da za
svaki y postoji x tako da vazi A.
Obratna implikacija ne vazi – ako za svaki y postoji x tako da vazi A, taj x ne
mora biti isti za sve y, pa ne mozemo reci da postoji x tako da za svaki y vazi A.
Da obratna implikacija nije valjana, dokazacemo u daljem tekstu.
(e) (∃x)¬A ⇔ ¬(∀x)A
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 669/757
( ) ( ) ( )
(f) (∀x)¬A ⇔ ¬(∃x)A
Ove dve formule su DeMorganovi zakoni za kvantifikatore, koji kazu da negacija
prolazi kroz kvantifikatore na slican nacin kao kroz konjunkciju i disjunkciju.
Matematicka logika – 45 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 45 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 45 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
(g) (∀x)(A ∧ B) ⇔ (∀x)A ∧ (∀x)B
Ova formula nam kaze da se univerzalni kvantifikator ”dobro slaze” sa konjunkci-
jom – on moze uci u konjunkciju i delovati na svaki clan konjunkcije ponaosob, iobratno.
(h) (∃x)(A ∧ B) ⇒ (∃x)A ∧ (∃x)B
Ovde se vidi da se egzistencijalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa konjunkcijom
– on moze uci u konjunkciju, ali se ne moze izvuci iz nje.
Naime, ako postoji x tako da vazi A i postoji x tako da vazi B, to x ne mora
da bude isto za A i B, pa ne mora da postoji x tako da vazi A ∧ B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 670/757
(i) (∃x)(A ∨ B) ⇔ (∃x)A ∨ (∃x)B
Ova formula kaze da se egzistencijalni kvantifikator ”dobro slaze” sa disjunkcijom,
na isti nacin na koji se univerzalni kvantifikator slaze sa konjunkcijom.
Matematicka logika – 46 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 46 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 46 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
(j) (∀x)A ∨ (∀x)B ⇒ (∀x)(A ∨ B)
Ova formula kaze da se univerzalni kvantifikator ”ne slaze dobro” sa disjunkcijom
– on se moze izvuci iz disjunkcije, ali ne moze uci u nju.
Jasno, ako za svaki x vazi A i za svaki x vazi B, onda za svaki x vazi A ∨ B.
Medutim, ako za svaki x vazi A ∨ B, tada za neke x moze da vazi A a za neke
druge B, ali A ne mora da vazi za svaki x, niti B mora da vazi za svaki x.
(k) (∀x)(A ⇒ B) ⇒ ((∀x)A ⇒ (∀x)B)
(l) (∃x)(A ⇒ B) ⇔ ((∀x)A ⇒ (∃x)B)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 671/757
(l) (∃x)(A ⇒ B) ⇔ ((∀x)A ⇒ (∃x)B)
(m) (∀x)(A ⇔ B) ⇒ ((∀x)A ⇔ (∀x)B) .
Matematicka logika – 47 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 47 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 47 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
Kao sto smo videli, tautologije oznacene sa (d), (h) i (j) sadrze imp-
likacije samo u jednom smeru.
Sada cemo dokazati da obratne implikacije ne vaze, tj. izokretanjem
smera implikacija u tim formulama se dobijaju formule koje nisu valjane.
Tvrdenje 3: Neka su A i B proizvoljne predikatske formule. Tada
sledece formule nisu valjane:
(d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 672/757
(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B);
(j’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B.
Matematicka logika – 48 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 48 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 48 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
Dokaz: (d’) (∀y)(∃x)A ⇒ (∃x)(∀y)A nije valjana formula:
Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x, y) se
interpretira kao ”x je vece od y”.
Tada (∀y)(∃x)A(x, y) znaci
”za svaki prirodan broj y postoji prirodan broj x veci od y”sto je ocigledno tacno.
Sa druge strane, (∃x)(∀y)A(x, y) znaci
”postoji prirodan broj x veci od svakog prirodnog broja y”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 673/757
p j p j g p g j y
sto, naravno, nije tacno.
Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, pa
formula nije valjana.
Matematicka logika – 49 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 49 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 49 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
(h’) (∃x)A ∧ (∃x)B ⇒ (∃x)(A ∧ B) nije valjana formula:
Neka je domen interpretacije skup N prirodnih brojeva i A(x) se inter-
pretira kao ”x je neparan broj”, a B(x) kao ”x je paran broj”.
Tada (∃x)A ∧ (∃x)B znaci
”postoji neparan broj i postoji paran broj”sto je ocigledno tacno.
Medutim, (∃x)(A ∧ B) znaci
”postoji prirodan broj x takav da je x paran i neparan”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 674/757
p j p j j p p
sto ocigledno nije ta v cno.
Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, pa
formula nije valjana.
Matematicka logika – 50 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 50 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 50 – Predikatska logika - II deo
Valjane formule
Valjane formule
Valjane formule
(i’) (∀x)(A ∨ B) ⇒ (∀x)A ∨ (∀x)B nije valjana formula:
Razmortimo ponovo istu interpretaciju kao u (h’).
Tada (∀x)(A ∨ B) znaci
”svaki prirodna broj je neparan ili paran”
sto je tacno.
Medutim, (∀x)A ∨ (∀x)B znaci
”svaki prirodan broj je neparan ili svaki prirodan broj je paran”
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 675/757
sto nije ta v cno.
Prema tome, gornja implikacija nije tacna u datoj interpretaciji, paformula nije valjana.
Matematicka logika – 51 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 51 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 51 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Neka su A1, A2, . . . , An i A predikatske formule.
Za A kazemo da je semanticka posledica formula A1, A2, . . . , An ako
za svaku interpretaciju D i svaku valuaciju v u D u kojoj su sve formule
A1, A2, . . . , An tacne, vazi da je tacna i formula A, tj.
D |=v A1, A2, . . . , An povlaci D |=v A.
Kao i u iskaznoj logici, i ovde formule A1, A2, . . . , An nazivamo hipo-
tezama, a formulu A njihovom posledicom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 676/757
Matematicka logika – 52 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 52 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 52 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Primer 26: Razmotrimo sledecu argumentaciju:
Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))
Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))
Zakljucak: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(x, x))
Dokazacemo da je argumentacija ispravna, tj. da je zakljucak seman-
ticka posledica premisa.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 677/757
Primetimo prethodno da se ovde zapravo tvrdi da ako je relacija L
simetricna i tranzitivna, tada ona zadovoljava i neku ”oslabljenu formurefleksivnosti”.
Matematicka logika – 53 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 53 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 53 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Dokaz: Ispravnost ove argumentacije dokazacemo na dva nacina: (1)
direktno i (2) svodenjem na protivrecnost.
(1) Neka je D = (D , φ) proizvoljna interpretacija gornjih formula u
kojoj su tacne obe premise. Neka je
v =
x y
a b
proizvoljna valuacija u D. Za formulu L(x, y) ⇒ L(x, x) dokazacemoda je tacna u toj valuaciji, tj. da vazi
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 678/757
da je tacna u toj valuaciji, tj. da vazi
(1) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).
Matematicka logika – 54 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 54 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 54 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Prema pretpostavci, formula L(x, y) ⇒ L(y, x) tacna u valuaciji v,
sto znaci da
(2) (a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L).
Takode, formula L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z) je tacna u valuaciji
w =
x y z
a b a
,
odakle dobijamo da
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 679/757
(3) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).
Sada iz (1.2) i (1.3) dobijamo (1.1), sto je i trebalo dokazati.
Matematicka logika – 55 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 55 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 55 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
(2) Pretpostavimo suprotno, da argumentacija nije ispravna.
To znaci da postoji interpretacija D = (D , φ) u kojoj su premise tacne
a zakljucak nije.
Ako zakljucak nije tacan, tacna je njegova negacija
(∃x)(∃y)(L(x, y) ∧ ¬L(x, x)),
sto znaci da postoje elementi a, b ∈ D takvi da vazi
(4) (a, b) ∈ φ(L) ∧ (a, a) /∈ φ(L).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 680/757
Matematicka logika – 56 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 56 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 56 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Medutim, iz tacnosti prve premise dobijamo da
(a, b) ∈ φ(L) ⇒ (b, a) ∈ φ(L),
dok iz tacnosti druge premise sledi da
(a, b) ∈ φ(L) ∧ (b, a) ∈ φ(L) ⇒ (a, a) ∈ φ(L).
Iz svega toga zakljucujemo da je (a, a) ∈ φ(L), sto je u suprotnosti sa
(1.4). Dakle, polazna pretpostavka da argumentacija nije ispravna nije
dobra.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 681/757
Matematicka logika – 57 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 57 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 57 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Primer 27: Razmotrimo sledecu argumentaciju:
Premisa 1: (∀x)(∀y)(L(x, y) ⇒ L(y, x))
Premisa 2: (∀x)(∀y)(∀z)(L(x, y) ∧ L(y, z) ⇒ L(x, z))
Premisa 3: (∃y)L(a, y)
Zakljucak: (∃x)¬L(x, x)
Dokazacemo da argumentacija nije ispravna, tj. da zakljucak nije
semanticka posledica premisa.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 682/757
Matematicka logika – 58 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 58 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 58 – Predikatska logika - II deo
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Semanticke posledice
Dokaz: Dokazujemo da argumentacija nije ispravna.
Uzmimo da je D skup svih nepraznih reci nad nekim alfabetom A, neka
je a fiksirana rec iz D i
L(x, y): ”x i y imaju zajednicki pravi prefiks”.
Tada su premise tacne, ali zakljucak nije.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 683/757
Matematicka logika – 59 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 59 – Predikatska logika - II deoMatematicka logika – 59 – Predikatska logika - II deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 684/757
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Priroda naucnog znanja je u velikoj meri odredena njegovom podelomna empirijsko i apriorno znanje, kao i podelom metoda rasudivanja nainduktivne i deduktivne metode.
Termin empirijsko znaci zasnovan na iskustvu, dok apriori znaci dostiznopre iskustva.
Ukratko, empirijsko znanje se moze definisati kao znanje koje zahtevaiskustveno opravdanje. Do takvog znanja dolazi se upotrebom iskljucivoinduktivnih metoda rasudivanja.
Sa druge strane, apriorno znanje mozemo definisati kao znanje koje nemora da se opravda iskustvom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 685/757
U dolasku do takvog znanja moraju se, makar u jednom koraku, koristiti
deduktivni metodi rasudivanja, mada se mogu, ali i ne moraju, koristitii induktivni metodi.
Matematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Induktivno zakljucivanje je takav oblik zakljucivanja kod koga se polaziod empirijskih (iskustvenih) cinjenica, a zakljucak, koji se izvodi iz tihcinjenica, prevazilazi granice onoga sto te cinjenice kazu.
Pretpostavimo da neko zna da su vrane crne.
Ako je do tog saznanja dosao tako sto je iz cinjenice da su sve vrane
koje je video bile crne, izveo zakljucak da su sve vrane crne, onda jeon koristio induktivno zakljucivanje.
Naime, ovde cinjenice kazu da su sve vrane koje je video bile crne, a
zakljucak, prema kome su sve vrane crne, je prevazisao granice onogasto te cinjenice kazu.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 686/757
Induktivno zakljucivanje lezi upravo u tom prelasku sa tvrdenja koje se
odnosi na sve posmatrane slucajeve na tvrdenje koje se odnosi na svemoguce slucajeve date vrste.
Matematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Deduktivno zakljucivanje je takav oblik zakljucivanja kod koga se nekistav, koji zovemo zakljucak, izvodi iz nekih drugih stavova koje zovemopremise ili pretpostavke.
Pri takvom zakljucivanju se ne bavimo pitanjem da li su premise i za-kljucak cinjenicno istiniti.
Jedino cime se tom prilikom bavimo je da utvrdujemo da li se premisei zakljucak nalaze u takvom odnosu da zakljucak mora nuzno da slediiz premisa.
Drugim recima, dedukcijom utvrdujemo da li se moze a priori znati daukoliko su premise istinite, da onda i zakljucak mora biti istinit.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 687/757
Pri tome, za izvlacenje zakljucaka nije bitno da li su premise istinite ili
nisu, zakljucci se mogu izvoditi i iz neistinitih premisa.
Matematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Razmotrimo, na primer, rasudivanje:
Svaki vrabac je ptica.
Zec nije ptica.Dakle, zec nije vrabac.
Deduktivna argumentacija u ovom primeru je ispravna na osnovu svoje
logicke forme.
To znaci da u svakoj argumentaciji oblika
Svaki A je B.
Nijedan C nije B.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 688/757
Dakle, nijedan C nije A.
mozemo a priori znati da ako su premise istinite, onda zakljucak moratakode biti istinit.
Matematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
U logici se pojam logicke forme shvata kao nesto sto je u vezi samo sarasporedom reci
”svaki”, ”nijedan”, ”je”,
i izvesnih drugih ”logickih” reci kao sto su
”neki”, ”ne”, ”i”, ”ili” i ”ako”.
Argumentacija koju smo razmotrili ispravna je na osnovu svoje logickeforme – na osnovu rasporeda ovih ”logickih reci” u njoj.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 689/757
Matematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija su suprotne, ali istovremeno i komplementarnemetode.
Suprotnost dedukcije i indukcije ogleda se u cinjenici da
deduktivno zakljucivanje vodi nuznim zakljuccima, dok
induktivno zakljucivanje vodi samo verovatnim zakljuccima.
Sa druge strane, njihova komplementarost se ogleda u njihovom odnosuprema pitanju cinjenicne istinitosti
dedukcija sluzi za iskljucivanje pogresnog rasudivanja ali ne utvrdujeˇi j iˇ i i i d k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 690/757
cinjenicnu istinitost, dok se
indukcija bavi upravo cinjenicnom istinitoscu.
Matematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
U svetlu ove razlike, metode nauke mogu se podeliti na
deduktivne metode, one koje nisu vezane za pitanje cinjenicne
istinitosti, i induktivne metode, koje su vezane za pitanje cinjenicne istinitosti.
U induktivne metode, koje nazivamo i empirijske metode, ubrajaju se indukcija u uzem smislu ili empirijska generalizacija,
gde ukljucujemo i indukciju prostim nabrajanjem,
eksperimentalni metod,
metod posmatranja,
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 691/757
p j ,
metod merenja,
metod analogije, i drugi.
Matematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
Dedukcija i indukcija
U deduktivne metode, koje nazivamo i teorijske metode, ubrajaju se
dedukcija u uzem smislu, t.j. metod dokazivanja,
analiza – metoda izdvajanja neceg sto je prisutno kaosastojak,
sinteza – metoda spajanja stvari koje su bile nepovezane
i razlicite,
metode obrazovanja naucnih pojmova –
apstrahovanje, idealizacija, uopstavanje (generalizacija),
konstrukcija, i druge
metode organizacije naucnih teorija – aksiomatska, kon-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 692/757
metode organizacije naucnih teorija aksiomatska, kon
struktivna i druge metode.
Matematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Deduktivno zakljucivanje je prvi uveo u upotrebu poznati grcki filosof i naucnik Tales, u 6. veku pre nove ere, dokazavsi nekoliko teorema opodudarnosti trouglova.
Za dalji razvoj i popularizaciju deduktivnog metoda veoma zasluzan jebio i Pitagora.
Thales of Miletus
624–547 BC
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 693/757
Pythagoras of Samos569–475 BC
Matematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Pojava deduktivnog metoda predstavlja jedan od kljucnih momenata urazvoju matematike.
Pre Talesa, matematika je bila induktivna nauka, i matematicko istra-zivanje sastojalo se u prikupljanju raznih empirijskih cinjenica o geo-metrijskim figurama i brojevima.
Sa Talesom, matematika postaje deduktivna nauka, i deduktivni metodpostaje “zastitni znak” matematike.
Kao proizvod sve sire i sire upotrebe deduktivnog metoda u matematici,
javila su se i brojna naucna pitanja koja su se ticala samog deduktivnogmetoda.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 694/757
Sva ta pitanja dovela su do nastanka jos jedne nove nauke – logike.
Matematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Otac logike je Aristotel.
Osnove logike postavljene su u njegovom
delu Organon.
Aristotle
384–322 BC
U Organonu su po prvi put sistematizovana logicka znanja i logikazasnovana kao nauka.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 695/757
“Organon” na grckom znaci “orude”, i logika je po Aristotelu trebala
da bude orude kojim treba da se sluze druge nauke.
Matematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Tvorac prve deduktivne, aksiomatske
teorije bio je Euklid.
Euclid of Alexandria
325–265 BC
Ta teorija, koju danas nazivamo Euklidska geometrija, stvorena je uEuklidovom delu Elementi.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 696/757
Euklidska geometrija predstavlja model po kome se i danas organizujumatematicke teorije.
Matematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Od antickog doba, pa sve do srednjeg veka, trajao je period velikestagnacije logike.
Bilo je i onih koji su smatrali da je logika zatvorena nauka i da se unjoj nista sustinski novo ne moze pronaci. Tako je mislio cak i cuveninemacki filosof, Emanuel Kant.
Medutim, bilo je i onih koji su smatrali da je stagnacija logike jedan odglavnih razloga stagnacije celokupne nauke u to doba i da je neophodnoponovo pokrenuti razvoj logike.
Neki, poput engleskog filozofa Frensisa Bekona, pokusali su da stvorenovu induktivnu logiku – logiku zasnovanu na induktivnom zakljucivanju,umesto deduktivnog koja bi funkcionisala na slican nacin kao deduk-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 697/757
umesto deduktivnog, koja bi funkcionisala na slican nacin kao deduk-tivna logika.
Medutim, u tome se nije uspelo.
Matematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Logiku je pokusao da ozivi i cuveni francuski
matematicar i filozof Rene Dekart.
Ideja mu je bila da stvori novu logiku, zasnova-
nu i dalje na deduktivnim principima, ali sa pot-
puno novim pravilima rasudivanja.
Rene Descartes1596–1650
Svoje ideje Dekart je publikovao u delima
∗ PRAVILA za usmeravanje duha∗ RASPRAVA O METODI pravilnog vodenja svoga uma i istrazivanja
i ti k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 698/757
istine u naukama
∗ ISTRAZIVANJE ISTINE prirodnim svetlom umaMedutim, ni njegove ideje nisu dale prakticne rezultate.
Matematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Najblizi resenju problema ozivljavanja logike bio
je nemacki matematicar i filosof Gotfrid Lajbnic.
On je smatrao da uzrok stagnacije logike lezi u
jeziku kojim se ona koristi.
Gottfried Wilhelm von Leibniz
1646–1716
Lajbnic je smatrao da prirodni jezik, kojim se logika do tada koristila,nije pogodan za dalji razvoj logike.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 699/757
j p g j j g
Smatrao je da logika treba da se koristi nekim specijalnim simbolickim jezikom, slicnim jeziku matematike.
Matematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Osim toga, prema Lajbnicu, logiku bi, po uzoru na aritmetiku, trebaloorganizovati u takav sistem, sa takvim pravilima, da ona funkcionisekao racun.
Ideje su bile izvrsne, ali Lajbnic nije uspeo da ih realizuje.
One nisu cak ni publikovane, i otkrivene su u arhivama Hanoverske
biblioteke tek 1905. godine.
A tada je problem vec bio resen, i to upravo na nacin koji je on pred-lagao.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 700/757
Matematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - I deo
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Istorija deduktivnog metoda
Logiku je iz stagnacije pokrenuo britanski mate-
maticar Dzordz Bul.
On je preveo je logiku na jezik matematike, ilipreciznije na jezik algebre, i time stvorio teoriju
koju danas zovemo matematicka logika.
George Boole
1815–1864
To je uradeno u delu ”Istrazivanje zakona misljenja, na kojima su zasno-vane matematicke teorije logike i verovatnoce”, objavljenom 1854. g.
T d l k l j i t i j i b liˇk l i k
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 701/757
To delo pokrenulo je veoma intenzivan razvoj simbolickog logickog
aparata, cemu su znacajan doprinos kasnije dali i mnogi drugi matemati-cari-logicari.
Matematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - I deo
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Sa ekspanzijom matematicke logike, u nju su usle i neke nezeljene stvarikoje nazivamo logicki paradoksi.
Medu najznacajnije od tih paradoksa spadaju:
Epimenidov paradoks (paradoks lazova):
Kricanin Epimenid kaze: Svi Kricani lazu.
Pitanje: Da li Epimenid govori istinu?
Druga verzija je:
Recenica koju upravo izgovaram je laz.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 702/757
j p g j
Kako god da odgovorimo na ovo pitanje, doci cemo do protivrecnosti.
Matematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - I deo
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Paradoks seoskog berberina:
Definisimo pojam seoskog berberina na sledeci nacin:
Seoski berberin je onaj stanovnik sela koji brije sve onekoji ne briju sebe same.
Postavlja se pitanje: Da li berberin brije sebe?
Kako god da odgovorimo i na ovo pitanje, dolazimo do protivrecnosti.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 703/757
Matematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - I deo
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Zasto se javljaju paradoksi?
Postoji vise razloga zbog cega su se javljali paradoksi:
⊲ zbog nepreciznosti koje postoje u prirodnom jeziku
⊲ zbog nepreciznih definicija, na primer zbog neprecizne definicijepojma iskaza (tvrdenja, stava)
⊲ zbog nedopustivog nacina definisanja pojmova
– David Hilbert (1862–1943, nemacki matematicar)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 704/757
Matematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - I deo
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Logicki paradoksi
Kako se resiti paradoksa?
To se moze uciniti:
⊲ koriscenjem simbolickog jezika, umesto prirodnog jezika
⊲ preciznijim definicijama i pravilima dokazivanja
⊲ formalizacijom jezika, definicija i pravila dokazivanja
Sve ovo spada medu glavne zadatke savremene matematicke logike ideduktivne metodologije.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 705/757
Matematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - I deo
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Organizacija svih matematickih teorija zasniva se na nekim zajednickimpolaznim principima.
Te principe postavio je jos 300. godina pre Hrista anticki matematicarEuklid, koji je u svom delu nazvanom Elementi izlozio geometriju kaoaksiomatsku teoriju.
Sa neznatnim izmenama ti principi i dalje vaze i koriste se.
Prilikom izgradnje bilo koje aksiomatske teorije najpre cinimo sledece:
∗ jedan broj pojmova teorije proglasavamo za osnovne ili primitivne
pojmove – pojmove koji se ne definisu;∗ jedan broj tvrdenja teorije proglasavamo za aksiome – tvrdenja koja
se ne dokazuju;
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 706/757
se ne dokazuju;
∗ navodimo pravila logickog zakljucivanja – pravila koja smemo dakoristimo pri dokazivanju raznih tvrdenja u toj teoriji.
Matematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - I deo
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Zasto se osnovni pojmovi ne definisu a aksiome ne dokazuju?
Razlog je vrlo jednostavan:
∗ Nije moguce sve definisati, pa se nesto mora ostaviti nedefinisano,i to su osnovni pojmovi.
∗ Nije moguce sve dokazati, pa se nesto mora ostaviti nedokazanim,i to su aksiome.
Na primer, svaki pokusaj da se sve dokaze doveo bi do pojave
∗ porocnog kruga, latinski circulus viciosus, gde bi u dokaz nekog tvr-denja neposredno ili posredno bilo ukljuceno i ono samo, ili
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 707/757
∗ beskonacnog regresa – beskonacne hijerarhije novih i novih tvrdenjaneophodnih za dokazivanje onih prethodnih.
Matematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - I deo
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Osnovni pojmovi se ne definisu, ali o njima obicno postoji jasna intu-itivna predstava.
Na primer, skup je osnovni pojam u teoriji skupova, tacka i prava suosnovni pojmovi u elementarnoj geometriji, itd.
Ukoliko je teorija aksiomatska, moglo bi se reci i da se osnovni pojmovine definisu eksplicitno, ali da su imlicitno definisani sistemom aksioma.
Ostali pojmovi se uvode definicijama.
Definicijama se znacenje tih pojmova objasnjava uz pomoc osnovnihpojmova i vec ranije definisanih pojmova.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 708/757
Matematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - I deo
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Matematicke teorije
Sa druge strane, teorija se razvija tvrdenjima, odnosno teoremama.
Teoreme se dokazuju na osnovu pravila zakljucivanja, i u dokazima se
koriste samo aksiome i vec ranije dokazane teoreme.
U dokazivanju se ne koristi iskustvo ili ubedenje ma koje vrste, veciskljucivo logicka pravila.
To znaci da je navedeni metod razvijanja teorije deduktivan:
Novi pojmovi i tvrdnje se izvode ili deduciraju iz vec usvojenih,a na osnovu logickih zakona.
Uvodenje i upotreba navedenih pojmova i postupaka u matematici se
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 709/757
j p p j p p
proucava u okviru matematicke logike.
Matematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Novi pojmovi se u matematici uvode recenicama koje se zovu definicije.
Pojam koji se definise zove se definiendum, a deo recenice kojim se on
definise zove se definiens.
Na primer, recenicom
”Prost broj je prirodan broj koji je deljiv samo sobom i jedinicom”
je definisan pojam prostog broja.
Dakle, u toj definiciji definiendum je ”prost broj” a definiens je
”prirodan broj koji je deljiv samo sobom i jedinicom”.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 710/757
Matematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Sta treba da ispuni jedna definicija da bi bila ispravna?
⊲ Prvo, definicija treba da bude otklonjiva.
To znaci da umesto svake recenice u kojoj se javlja pojam koji defi-
nisemo moze da se formulise druga recenica istog smisla, u kojoj se
taj pojam ne javlja.
Drugim recima, u bilo kojoj recenici u kojoj se definiendum javlja, on
se moze zameniti definiensom, a da se smisao recenice ne izmeni.
Dakle, novi pojmovi ne donose nista novo, ali se njima znacajno
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 711/757
pojednostavljuje rad i skracuju formulacije.
Matematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
⊲ Drugo, definicija ne sme da bude kreativna.
To znaci da definicija ne sme da omoguci dokaz tvrdenja koje se
bez nje ne bi moglo dokazati.
Takode, definicija u sebi ne sme da sadrzi nikakvo drugo tvrdenje
osim tvrdenja da definiendum i definiens imaju ekvivalentna znacenja.
Ukoliko definicija zahteva neko tvrdenje, to tvrdenje se mora izvuci
van definicije i dokazati pre nje.
Na primer, definicija pojma najveceg zajednickog delitelja dva brojazahteva da se prethodno dokaze tvrdenje:
Za proizvoljna dva prirodna broja m i n skup D(m n) svih prirodnih
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 712/757
Za proizvoljna dva prirodna broja m i n, skup D(m, n) svih prirodnih
brojeva koji dele m i n ima najveci element.
Matematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Kada se ovo tvrdenje dokaze, onda se najveci zajednicki delitelj
brojeva m i n definise kao najveci element skupa D(m, n).
Definicija koja bi u sebi sadrzala ovo tvrdenje ne bi bila ispravna.
⊲ Definicija ne sme da bude nepredikativna.
Nepredikativne su one definicije kod kojih se neki pojam definiseukazivanjem na njegove veze sa elementima nekog skupa kojem i
sam taj pojam moze da pripada.
Primer ovakve definicije je definicija seoskog berberina u odgova-
rajucem paradoksu.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 713/757
Zabrana nepredikativnih definicija zapravo znaci da definiendum nesme eksplicitno da bude sadrzan u definiensu.
Matematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
U matematici cesto srecemo definicije sledeceg oblika
”x se naziva tako i tako ako i samo ako vazi P (x)”, ili
”x je to i to ako i samo ako vazi P (x)”.
gde je P (x) neko svojstvo (unarni predikat).
Medutim, ako je x promenljiva koja vrednosti uzima u skupu komepripada i sam objekat koji ovako definisemo, onda se radi o nepredika-
tivnoj definiciju.
Takva je upravo definicija seoskog berberina u istoimenom paradoksu.
Dakle, u ovakvim definicijama moramo strogo voditi racuna o tome
´ k k j t t d fi iˇ
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 714/757
pomocu kakvog svojstva nesto definisemo.
Matematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
U daljem tekstu navodimo neke karakteristicne vrste definicija.
Direktne (eksplicitne) definicije:
Kod ovih definjicija pojam se definise eksplicitnim navodenjem svoj-
stava koja ga odreduju.
Primer 1: Direktne su sledece definicije:
∗ Romb je paralelogram sa jednakim stranicama
∗ Dve prave su mimoilazne ako ne pripadaju istoj ravni
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 715/757
Matematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Indirektne (implicitne) definicije:
Kod ovih definjicija pojam se ne definise eksplicitnim navodenjem svoj-
stava koja ga odreduju, vec kao bilo koji objekat koji ispunjava odredeneuslove.
Ovakva vrsta definicija najcesce se koristi u aksiomatski zasnovanim
teorijama, gde se odredeni pojam moze definisati kao bilo sta sto zado-voljava uslove zadate aksiomama.
Na primer, u aksiomatskoj teoriji brojeva, zasnovanoj pomocu Peanovog
sistema aksioma, prirodni broj se definise kao bilo sta sto zadovoljava
Peanove aksiome.
Sliˇ k i t k j t iji k k d fi i k bil t t
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 716/757
Slicno, u aksiomatskoj teoriji skupova, skup se definise kao bilo sta sto
zadovoljava aksiome te teorije.
Matematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Induktivne (rekurzivne) definicije:
Induktivne definicije predstavljaju poseban tip indirektnih definicija.
Induktivna definicija se sastoji iz tri dela:
(i) odreduju se neki polazni ili bazni elementi(ii) odreduje se nacin na koji se, pomocu odredenih operacija, iz baznih
elemenata mogu definisati drugi elementi
(iii) kaze se da pojmu koji se definise moze pripadati samo ono sto se
moze dobiti primenom pravila (i) i (ii) konacan broj puta
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 717/757
Matematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Primer 2: Sledece definicije su induktivne:
∗ Definicija formule u iskaznoj logici.
(i) Iskazna slova su formule (bazni elementi).
(ii) Ako su A i B formule, onda su formule i
¬A, (A ∧ B), (A ∨ B), (A ⇒ B), (A ⇔ B).
(iii) Formule su samo oni izrazi koji se mogu dobiti primenom
pravila (i) i (ii) konacan broj puta.
∗ Definicija terma i formule u predikatskoj logici.
∗ Definicija Bulovog izraza.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 718/757
∗ Definicija formule u FORTRAN-u.
Matematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Definicija pomocu zatvorenja:
To je poseban vid induktivne definicije gde se neki skup definise kao
najmanji skup koji sadrzi date bazne elemente i zatvoren je za dateoperacije.
Pri tome, ako f jeste n-arna operacija na skupu A i X je podskup odA, onda kazemo da je X zatvoren za operaciju f ako za proizvoljne
x1, x2, . . . , xn ∈ X vazi da je i f (x1, x2, . . . , xn) ∈ X .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 719/757
Matematicka logika – 36 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 36 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 36 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Cest oblik definicije je logicka ekvivalencija, tj. recenica oblika
A ako i samo ako B
gde su A i B recenice ili formule koje sadrze definiendum i definiens,
tim redom.
Tu recenicu krace simbolicki oznacavamo sa A def ⇔ B.
Oznakom def
⇔ naglasava se da se ekvivalencijom uvodi novi pojam.
Drugim recima, njome se naglasava da se radi o definiciji, a ne o ekviva-
lenciji dva iskaza.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 720/757
Matematicka logika – 37 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 37 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 37 – Tehnike dokazivanja - I deo
Definicije
Definicije
Definicije
Pojmovi se uvode i pomocu jednakosti, opet uz koriscenje posebnih
oznaka:
p
def
= q ili, sa istim znacenjem, p := q.
Ovde su p i q izrazi, redom definiendum i definiens.
Smisao ovakve definicije je: p je zamena za q.
Primer 3: Primeri definicija prema gornjim oznakama su
∗ p deli q ako i samo ako postoji r, tako da je p · r = q.
∗n def
= n!
.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 721/757
k
k!(n − k)!
Matematicka logika – 38 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 38 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 38 – Tehnike dokazivanja - I deo
Dokazi
Dokazi
Dokazi
Kada se odaberu polazni stavovi - aksiome neke matematicke teorije,
onda se iz njih izvode nova tvrdenja.
U terminoloskom smislu, teorema, tvrdenje i stav imaju isto znacenje,dok je lema pomocno tvrdenje tehnickog karaktera.
Tvrdenje koje neposredno sledi iz nekog drugog naziva se posledica.
Dokaz nekog tvrdenja moze se definisati kao konacan niz tvrdenja ciji
je svaki clan ili aksioma, ili tvrdenje koje je ranije dokazano, ili se dobija
iz prethodnih clanova niza uz pomoc nekog pravila zakljucivanja.
Zakljucivanje se zasniva na zakonima logickog misljenja i raznim logickim
i matematickim pravilima izvodenja.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 722/757
Formalizovani oblici tih pravila zakljucivanja jesu tautologije i valjaneformule.
Matematicka logika – 39 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 39 – Tehnike dokazivanja - I deoMatematicka logika – 39 – Tehnike dokazivanja - I deo
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 723/757
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
U daljem tekstu prikazacemo neke od osnovnih metoda dokazivanja.
Dokaz prostim nabrajanjem:
Ovo je najjednostavniji vid dokazivanja gde nabrajamo sve moguce slucajeve da bi
smo dokazali da nesto vazi.
Primer 4: Dokazati da je svaki paran broj izmedu 4 i 2
32
zbir dvaprosta broja.
Ovo bi se moglo dokazati prostim nabrajanjem, ali, kako se radi o ogromnom broju
slucajeva, to bi se moralo realizovati racunarom.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 724/757
Matematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 2 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Dokaz svodenjem na kontradikciju:
Ova vrsta dokaza se naziva i dokaz svodenjem na protivrecnost ili svodenjem na
apsurd.
To je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na tautologiji
( p ⇒ (q ∧ ¬q)) ⇒ ¬ p
koja kaze da ako iz pretpostavke p mozemo izvesti kontradikciju, onda ta pretpostavka
p nije tacna.
U praksi se cesto ovaj metod bazira i na tautologiji
(( p ∧ q) ⇒ (r ∧ ¬r)) ⇒ ( p ⇒ ¬q).
prema kojoj, ako se iz pretpostavke da vazi p i q dolazi do kontradikcije, onda za-
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 725/757
kljucujemo da ako vazi p, onda ne moze da vazi q.
Matematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 3 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Na primer, ovim metodom se moze dokazati tvrdenje, poznato jos starim Grcima, o
nesamerljivosti stranica kvadrata.
Primer 5: Dokazati da ne postoji razlomak ciji je kvadrat broj 2.
Drugim recima, ovo tvrdenje kaze da je√
2 iracionalan broj.
Tvrdenje ce biti dokazano na vezbama.
Jos jedan rezultat, poznat jos starim Grcima, je
Primer 6: Dokazati da ne postoji najveci prost broj.
I ovo ce biti dokazano na vezbama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 726/757
Matematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 4 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Dokaz kontrapozicijom:
I ova vrsta dokaza predstavlja je vid indirektnog dokaza, koji je baziran na Zakonu
kontrapozicije
( p ⇒ q) ⇔ (¬q ⇒ ¬ p)
Pretpostavimo da treba da dokazemo neko tvrdenje oblika implikacije
p ⇒ q.
Medutim, nekad je jednostavnije da umesto toga dokazemo implikaciju
¬q ⇒ ¬
p.
Prema Zakonu kontrapozicije, potpuno je svejedno koju od ove dve implikacije cemo
dokazati, jer su one ekvivalentne.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 727/757
Matematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 5 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Primer 6: Setimo se da se injektivna funkcija definise kao funkcija
f : A → B takva da za proizvoljne x, y ∈ A vazi
(1) x
= y
⇒ f (x)
= f (y).
Prema Zakonu kontrapozicije, (1) je ekvivalentno sa
(2) f (x) = f (y) ⇒ x = y,
sto je u mnogim slucajevima jedostavnije za dokazivanje od (1).
Primer 7: Dokazati da ako je a + b 0, obda je a 0 ili b 0.
Dokaz ce biti dat na vezbama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 728/757
Matematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 6 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Produzena implikacija:
Dokaz tvrdenja moze imati strukturu produzene implikacije
iz A1 sledi A2, iz A2 sledi A3, . . . , iz An−1 sledi An.
koja se koristi da bi se dokazalo A1 ⇒ An.
To se simbolicki belezi sa
A1 → A2 → · · · → An
Da bi se naglasilo kako je rec o kracem zapisu tekstualne recenice, a ne o iskaznoj
formuli, implikacija je ovde oznacena sa
→.
Produzena implikacija zapravo predstavlja kraci nacin da se oznaci primena tranzi-
tivnosti implikacije, koju predstavlja tautologija
(A1 A2) (A2 A3) (A−1 A ) (A1 A ).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 729/757
( 1
⇒2)
∧( 2
⇒3)
∧ · · · ∧(
n1
⇒ n) ⇒
( 1
⇒ n)
Matematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 7 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Primer 8: Dokazati da ako je ceo broj deljiv sa 2 i sa 5, onda je
deljiv i sa 10.
Resenje: Dokazuje se nizom implikacija
(2|x ∧ 5|x) → (x = 2m ∧ x = 5n)
→ (5x = 10m
∧4x = 20n)
→ (x = 10(m − 2n) → (10|x)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 730/757
Matematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 8 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Ciklicna implikacija:
Ima teorema gde dokazujemo ekvivalentnost iskaza A1, A2, . . . , An, tj. tacnost
formula Ai
⇔ A j , za sve razlicite i, j.
Ove ekvivalencije dokazuju se nizom
A1 → A2 → · · · → An → A1,
koji nazivamo ciklicna implikacija.
Postupak se zasniva na vec spomenutoj tranzitivnosti implikacije, kao i na tautologiji
(A
⇒ B)
∧(B
⇒ A)
⇔ (A
⇔ B).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 731/757
Matematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 9 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Primer 9: Dokazati da su za proizvoljan prirodan broj n sledeca
tvrdenja ekvivalentna:
(i) n je deljiv sa 30;
(ii) n je deljiv sa 6 i sa 5;
(iii) zbir cifara broja n deljiv je sa 3 i cifra jedinica mu je 0.
Ekvivalentnost ovih stavova moze se dokazati nizom
(i)→(ii)→(iii)→(i),
pri cemu se u svakoj od implikacija moze koristiti zakon kontrapozicije.
To ce biti uradeno na vezbama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 732/757
Matematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 10 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Produzena ekvivalencija:
Dokaz moze imati i strukturu produzene ekvivalencije
A1 ako i samo ako A2 ako i samo ako . . . ako i samo ako An,
koja se koristi da se dokaze tacnost ekvivalencije A1 ⇔ An.
To se simbolicki belezi sa
A1 ↔ A2 ↔ · · · ↔ An
Ispravnost takvog postupka sledi iz cinjenice da je gore samo krace zapisano tvrdenje
(A1 ⇔ A2) ∧ (A2 ⇔ A3) ∧ · · · ∧ (An−1 ⇔ An),
na osnovu zakona asocijativnosti za konjunkciju.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 733/757
Matematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 11 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Na to se onda uzastopno primenjuje tranzitivnost ekvivalencije, odnosno tautologija
((A ⇔ B) ∧ (B ⇔ C )) ⇔ (A ⇔ C )
i dobija se gornji niz.
Ovaj metod se cesto koristi, na primer, kod resavanja jednacina.
Naime, jednacina (formula) se zamenjuje ekvivalentnom sve do one u kojoj se resenje
neposredno nalazi.
Primer 10: Koristeci metod produzene ekvivalencije resiti jednacinu
2x + 37
= 3x,
Ovo ce biti uradeno na vezbama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 734/757
Matematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 12 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metod razlikovanja slucajeva:
Ovaj metod se koristi u slucajevima kada iz tacnosti iskaza
A ∨ B, A ⇒ C i B ⇒ C
treba dokazati tacnost iskaza C .
To pravilo je posledica tautologije
(A ∨ B) ∧ (A ⇒ C ) ∧ (B ⇒ C ) ⇒ C.
Uopstenje ovoga je metod razlikovanja vise slucajeva.
Kod njega se, za proizvoljan prirodan broj n, iz tacnosti iskaza
A1 ∨ A2 ∨ · · · ∨ An, A1 ⇒ C, . . . , An ⇒ C
i di ˇ i k C
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 735/757
izvodi tacnost iskaza C .
Matematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 13 – Tehnike dokazivanja - II deo
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Metodi dokazivanja
Primer 11: Dokazati da je proizvod tri uzastopna cela brojadeljiv sa 3.
Ovo se dokazuje tako sto se uoce proizvoljna tri uzastopna prirodna broja n, n + 1 i
n + 2, i onda se razlikuju tri slucaja
A1 : n ≡ 0 (mod 3), A2 : n ≡ 1 (mod 3), A3 : n ≡ 2 (mod 3).
Zadatak ce biti uraden na vezbama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 736/757
Matematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 14 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Iako se zove matematicka indukcija, ovaj metod nije induktivan, vec deduktivan, jer
je zasnovan na takozvanoj aksiomi matematicke indukcije ili principu matematicke
indukcije, koji glasi:
Neka je P (x) unarni predikat, pri cemu je x individualna promenljiva koja uzimavrednosti u skupu prirodnih brojeva.
(1) Ako je tacno P (1), i
(2) ako za svaki prirodan broj n, iz pretpostavke da je tacno P (n) sledi da je tacno
i P (n + 1),
onda iz svega toga sledi da je P (n) tacno za svaki n
∈ N.
To se moze izraziti i simbolicki sa
P (1) ∧ (∀x)(P (x) ⇒ P (x + 1))
⇒ (∀x)P (x)
.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 737/757
Matematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 15 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Dokaz matematickom indukcijom ima tri osnovna elementa
∗ Indukcijska baza,
∗ Indukcijska hipoteza,
∗ Indukcijski korak.
Razlikuju se i dva osnovna vida dokazivanja matematickom indukcijom:∗ Indukcija, tj. prosta indukcija,
∗ Jaka indukcija.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 738/757
Matematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 16 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Indukcijska baza:
Ovde se dokazuje da je tacno P (b), za bazicnu vrednost b.
Najcesce je b = 1, ali u nekim slucajevima se dokazuje i da tvrdenje vazi tek pocevod nekog broja b.
Indukcijska hipoteza:
U slucaju proste indukcije, pretpostavlja se da je P (n) tacno za neki prirodan broj n
veci od bazicne vrednosti b.
Kod jake indukcije, pretpostavlja se da je P (k) tacno za svaki k manji ili jednak
nekom prirodnom broju n, a veci od bazicne vrednosti b.
Indukcijski korak:
D k j d j t l ˇ j t ˇ i P ( + 1)
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 739/757
Dokazuje se da je u tom slucaju tacno i P (n + 1).
Matematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 17 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Ako su dokazani, ovi koraci garantuju da je P (n) tacno za svaki prirodan broj n veci
ili jednak bazicnoj vrednosti b.
Indukcija po slozenosti formule:
Ovo je poseban metod koji se koristi kod dokazivanja nekih tvrdenja koja se odnose
na formule u iskaznoj i predikatskoj logici, terme u predikatskoj logici, ili bilo sta
drugo sto se definise induktivno.To je zapravo jaka indukcija po broju veznika u koji se javljaju u formuli.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 740/757
Matematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 18 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Visestruka indukcija:
Ovaj vid indukcije se koristi kada treba da se dokaze tvrdenje zadato predikatom
oblika P (x1, x2, . . . , xn), gde su x1, x2, . . . , xn promenljive koje uzimaju vrednosti
u skupu prirodnih brojeva.
Na primer, P (x, y) se moze dokazati na sledeci nacin:
∗ Formira se unarni predikat Q(x) ≡ (∀y)P (x, y).
∗ Indukcijom se dokazuje da je Q(m) tacno za svaki m ∈ N.
Medutim, u tom dokazivanju nailazimo na sledece:
∗ Kada, u indukcijskoj bazi, dokazujemo Q(1), mi zapravo dokazujemo da je
P (1, n) tacno za svaki n ∈ N.
∗ To se naravno dokazuje indukcijom po n.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 741/757
∗
Matematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 19 – Tehnike dokazivanja - II deo
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Matematicka indukcija
Takode,
∗ Kada iz pretpostavke da je tacno Q(m) treba da dokazemo da je tacno i Q(m +
1), onda zapravo indukcijom po n dokazujemo da je P (m + 1, n) tacno za svaki
n ∈ N.
Drugim recima, ovakav dokaz mozemo shvatiti kao dvostruku petlju – jednu po m
(spoljasnju), a drugu po n (unutrasnju).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 742/757
Matematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 20 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Matematicke teorije se mogu razmatrati i potpuno formalno, sa aspekta sintakse, bez
obracanja paznje na semantiku (znacenje i istinitost).
Pri takvom pristupu, uvode se vrlo precizna pravila za formiranje izraza i formula, kao
i vrlo precizna pravila dokazivanja, i jedino o cemu se vodi racuna je to da li se tapravila dosledno postuju.
Dokaz teoreme je u ovom pristupu (konacan) niz formula koje se redaju po unapred
definisanim pravilima.U tom smislu cak bi i racunar mogao da bez problema dokazuje teoreme.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 743/757
Matematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 21 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalna teorija T se definise kao uredena cetvorka
T = (X,F ,A , P ),
pri cemu
∗ X je prebrojiv skup, koji nazivamo skup polaznih simbola ili alfabet teorije T ;
∗ F je podskup skupa svih reci nad alfabetom X , koji nazivamo skup formula
teorije T ;
∗ A je podskup skupa formula F , nazivamo ga skup aksioma teorije T ;
∗ P je konacan skup nekih relacija (razlicitih duzina) na skupu formula, koji nazi-
vamo skup pravila izvodenja teorije T .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 744/757
Matematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 22 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Ako je ρ pravilo izvodenja, tj. relacija na F duzine n, i
(F 1, . . . , F n−1, F ) ∈ ρ,
onda se kaze da je formula F direktna posledica formula F 1, . . . , F n−1 po praviluizvodenja ρ, i pise se
ρ : F 1, . . . , F n−1
F .
Za konacan niz formula F 1, . . . , F k kazemo da je izvodenje, dedukcija ili dokaz u
teoriji T , ako za svaku od tih formula F i vazi:
∗ F i je aksioma, ili
∗ F i je dobijena od nekih prethodnih formula u tom nizu prema nekom od pravila
izvodenja u teoriji T .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 745/757
Matematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 23 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formula F je teorema teorije T , ako postoje formule F 1, . . . , F k, takve da je
F 1, . . . , F k, F izvodenje u T .
Ovo izvodenje zove se dokaz teoreme F .
Da je formula F teorema, oznacava se krace sa ⊢ F .
Ako je potrebno naglasiti da se radi o teoremi u teoriji T , koristi se oznaka ⊢T F .
Za formalnu teoriju T kaze se da je odluciva ako postoji efektivan postupak (algo-ritam) kojim se moze proveriti da li je neka formula teorema, tj. da li za nju postoji
dokaz.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 746/757
Matematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 24 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Primer 12: Definisimo formalnu teoriju na sledeci nacin:
∗ Alfabet: X = {0, 1}.
∗ Skup formula: F je skup svih reci nad dvoelementnim alfabetom, tj. formula je
bilo koji konacan niz nula i jedinica.
∗ Aksiome: 0 i 1.
∗ Pravila izvodenja:
(A) F 1
F 10i (B)
F 0
F 01,
gde je F proizvoljna formula, a F 1, F 0, F 10, . . . su formule dobijene iz F dopisivanjem zdesna redom reci 1, 0, 10, . . . .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 747/757
Matematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 25 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Teorema ove teorije je, na primer, rec 010.
Odgovarajuci dokaz je niz formula (reci))
1. 0 (aksioma)
2. 01 (dobijena iz 1. prema pravilu (B))
3. 010 (dobijena iz 2. prema pravilu (A))
Uopste, lako se uocava da vazi sledece:
Tvrdenje: Rec nad alfabetom {0, 1} je teorema ove teorije ako i samo se u njoj slova
0 i 1 javljaju naizmenicno.
Ova teorema nam daje efektivan postupak za proveravanje da li je neka formula ove
teorije teorema te teorije ili nije.
Zbog toga je ova teorija odluciva.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 748/757
g g j j
Matematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 26 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Izvodenje iz hipoteza se sintaksicki definise na sledeci nacin.
Neka je H skup formula teorije T , cije elemente nazivamoi hipoteze.
Formula F te teorije je sintaksicka posledica hipoteza iz skupa H , ako postoji nizformula F 1, . . . , F n tako da je svaki clan F i tog niza vazi
∗ F i je aksioma, ili
∗ F i je hipoteza, tj. formula iz skupa H , ili
∗ F i je direktna posledica nekih prethodnih formula iz tog niza dobijena prema
nekom od pravila izvodenja.
U tom slucaju niz F 1, . . . , F n, F nazivamo izvodenje ili dokaz formule F iz hipoteza
iz skupa H .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 749/757
Matematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 27 – Tehnike dokazivanja - II deo
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Formalni dokaz
Da je F sintakticka posledica skupa hipoteza H oznacavamo sa
H ⊢ F .
Ukoliko je skup H konacan, tj. H = {F 1, . . . , F n}, onda se pise
F 1, . . . , F n ⊢ F .
Specijalno, za prazan skup hipoteza vazi
∅ ⊢ F ako i samo ako je F teorema,
sto se neposredno proverava.
Zato se oznaka praznog skupa hipoteza izostavlja i pise se ⊢ F .
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 750/757
Matematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 28 – Tehnike dokazivanja - II deo
Iskazni racun
Iskazni racun
Iskazni racun
Iskazna logika se moze izloziti kao formalna teorija. Ta formalna teorija oznacava sesa L i naziva se iskazni racun.
Jezik teorije L – alfabet i skup formula – smo vec ranije definisali. Ovde je taj jezik
neznatno modifikovan.
Alfabet teorije L sastavljen je od iskaznih slova: p, q, r . . . , odnosno p1, p2, p3, . . . ,
iskaznih veznika ⇒ i ¬, i zagrada ( i ).
Formule ove teorije se definisu induktivno, slicno ranijem:
(i) slova su iskazne formule;
(ii) ako su A i B iskazne formule, onda su iskazne formule i izrazi
¬A i (A ⇒ B);
(iii) iskazne formule su oni i samo oni izrazi koji se mogu formirati primenom pravila
(i) i (ii) konacan broj puta.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 751/757
Matematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 29 – Tehnike dokazivanja - II deo
Iskazni racun
Iskazni racun
Iskazni racun
Aksiome su:
A1: A ⇒ (B ⇒ A)
A2: (A
⇒ (B
⇒ C ))
⇒ ((A
⇒ B)
⇒ (A
⇒ C ))
A3: (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A),
gde su A, B i C proizvoljne iskazne formule.
Jedino pravilo izvodenja je modus ponens:
M P : (A, A ⇒ B, B), odnosno M P : A, A ⇒ B
B.
Prihvata se i dogovor o uklanjanju spoljnih zagrada u formulama.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 752/757
Matematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 30 – Tehnike dokazivanja - II deo
Iskazni racun
Iskazni racun
Iskazni racun
Moze se zapaziti da sve formule teorije L jesu iskazne formule i u smislu ranijedefinicije za iskaznu logiku.
Strogo posmatrano, obrat ne vazi jer logicki veznici ∧, ∨ i ⇔ nisu u ”osnovnom”
jeziku teorije L .
Medutim, ostali iskazni veznici mogu se uvesti na sledeci nacin:
(A ∧ B) je zamena za ¬(A ⇒ ¬B)
(A ∨ B) je zamena za ¬A ⇒ B
(A ⇔ B) je zamena za (A ⇒ B) ∧ (B ⇒ A).
Ocito je da uz ove oznake, formule teorije L u potpunosti odgovaraju iskaznim
formulama, kako su one uvedene u iskaznoj logici.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 753/757
Matematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 31 – Tehnike dokazivanja - II deo
Iskazni racun
Iskazni racun
Iskazni racun
Najvaznije svojstvo iskazne logike je ono koje nam daje sledece tvrdenje:
Tvrdenje: Iskazna formula je teorema iskaznog racuna L ako i samo ako je tau-
tologija, tj.
⊢ A ako i samo ako |= A.
Ovo svojstvo objedinjuje semanticki aspekt logike (interpretacija) sa njenim sin-
taksickim aspektom (formalni dokaz).
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 754/757
Matematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 32 – Tehnike dokazivanja - II deo
Predikatski racun
Predikatski racun
Predikatski racun
Formalizacijom predikatske logike dolazi se do predikatskog ili kvantifikatorskog racuna,u oznaci P .
Alfabet teorije P cine oni isti polazni simboli pomocu kojih se definisu predikatske
formule, osim sto se koriste samo dva logicka veznika: ¬ i ⇒, i samo jedan kvan-tifikator, (∀x).
Formule teorije P su sve predikatske formule u kojima figurisu logicki znaci ¬ i ⇒,
kao i kvantifikator (∀x).Moze se dati i formalna induktivna definicija tih formula, na isti nacin kao u predikatskoj
logici, ali bez veznika ∧, ∨ i ⇔ i kvantifikatora ∃.
Veznici ∧, ∨ i ⇔ definisu se kao u iskaznom racunu, a egzistencijalni kvantifikatorkao sto sledi:
(∃x) je zamena za ¬(∀x)¬
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 755/757
Matematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 33 – Tehnike dokazivanja - II deo
Predikatski racun
Predikatski racun
Predikatski racun
Tako je svaka formula teorije P jedna predikatska formula i obratno.
Aksiome racuna P su:
A1: A
⇒ (B
⇒ A)
A2: (A ⇒ (B ⇒ C )) ⇒ ((A ⇒ B) ⇒ (A ⇒ C ))
A3: (¬A ⇒ ¬B) ⇒ (B ⇒ A)
A4: (∀x)(A ⇒ B(x)) ⇒ (A ⇒ (∀x)B(x)), pod uslovom da x nijeslobodna promenljiva u formuli A.
A5: (∀x)A(x) ⇒ A(t), ako je term t nezavisan od promenjive x u
formuli A(x).
Primetimo da su prve tri aksiome iste kao u iskaznom racunu.
Sve navedene aksiome su valjane formule.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 756/757
Matematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 34 – Tehnike dokazivanja - II deo
Predikatski racun
Predikatski racun
Predikatski racun
Pravila izvodenja su:
modus ponens generalizacija
MP: A, A ⇒ B
BGEN:
A
(∀x)A
tj. iz A se izvodi (∀x)A
Kao i kod iskaznog racuna, i ovde vazi:
Tvrdenje: Predikatska formula je teorema predikatskog racunaP
ako i samo ako jevaljana formula.
7/25/2019 PMF Niš - Matematička Logika
http://slidepdf.com/reader/full/pmf-nis-matematicka-logika 757/757
Matematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - II deoMatematicka logika – 35 – Tehnike dokazivanja - II deo