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1. El enigma de los números imaginarios

La ecuación cúbica

Al final de su libro de 1494, Summa de Arithmetica, Geometria, Proportio-ni et Proportionalita [Compendio de aritmética, geometría, proporciones y pro-porcionalidad], que resumía todo el conocimiento de la época sobre aritmética, álgebra (incluidas las ecuaciones cuadráticas) y trigonome-tría, el fraile franciscano Luca Pacioli (ca. 1445-1514) hizo una atrevida afirmación. Aseguró que la solución de la ecuación cúbica era “tan im-posible en el estado actual de la ciencia como la cuadratura del círcu-lo”. Este último problema había estado dando vueltas en las matemáti-cas desde la época del matemático griego Hipócrates (ca. 440 a. C.). La cuadratura del círculo —la construcción utilizando solamente regla y compás de un cuadrado de área igual a la de un círculo dado— había demostrado ser muy difícil, y cuando Pacioli escribió su libro, el pro-blema de la cuadratura permanecía sin solución. Claramente él lo uti-lizó como una medida de la dificultad de resolver la cúbica, si bien en realidad el problema de la cuadratura es una medida de las peores difi-cultades, ya que en 1882 se demostró que realmente es imposible resol-verlo.

Empero, la afirmación de Pacioli estaba equivocada, porque menos de diez años después el matemático Scipione del Ferro (1465-1526), de la Universidad de Bolonia, descubrió cómo resolver la llamada cúbica reducida, un caso de la cúbica general en el que no está presente el tér-mino de segundo grado. Como su solución de la cúbica reducida es un paso clave para el primer avance en la comprensión de �, vale la pena esforzarse en entender qué hizo Del Ferro.

La cúbica general contiene todas las potencias de la incógnita, esto es,

x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0,

donde sin pérdida de generalidad tomamos el coeficiente del término de tercer grado como si fuera igual a 1. Si este coeficiente no fuera 1, entonces podríamos dividir toda la ecuación por ese coeficiente, lo cual se puede hacer siempre que no sea cero —en cuyo caso la ecua-ción no sería en realidad una cúbica.

La cúbica resuelta por Del Ferro, por otra parte, tenía la forma ge-neral

x3 + px = q,

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34 esto no es real. la historia de i

donde p y q son no negativos. Igual que Diofanto, los matemáticos del siglo xvi, incluyendo a Del Ferro, evitaban los coeficientes negativos en sus ecuaciones.1 Resolver esta ecuación parece un paso insuficiente para resolver la cúbica general pero, con el descubrimiento de un in-genioso truco, la solución de Del Ferro es general. Con lo que Del Ferro se topó de alguna manera es que la solución de la cúbica redu-cida puede escribirse como la suma de dos términos, esto es, podemos expresar la incógnita x como x = u + v. Sustituyendo esto en la cúbica reducida, desarrollando y agrupando términos resulta que

u3 + v3 + (3uv + p)(u + v) = q.

Esta única ecuación, que se ve bastante complicada, puede reescri-birse como dos afirmaciones individualmente menos complicadas:

3uv + p = 0,

que implica

u3 + v3 = q.

¿Cómo supo todo esto Del Ferro? El matemático polaco-america-no Mark Kac (1914-1984) respondió esta pregunta con su famosa dis-tinción entre el genio común y el genio mágico: “Un genio común es alguien tan bueno como podríamos serlo usted o yo si tan sólo fuéra-mos muchas veces mejores. No hay misterio sobre cómo funciona su mente. Una vez que entendemos qué hizo, nos sentimos seguros de que nosotros también podríamos haberlo hecho. Es diferente con los magos… el trabajo de su mente permanece incomprensible a todos nuestros intentos y propósitos. Aun después de que entendemos lo que ha hecho, el proceso por el cual lo realizaron continúa completamente a oscuras.” La idea de Del Ferro fue propia de un mago.

Resolviendo la primer ecuación para v en términos de p y u, y sus-tituyendo la solución en la segunda ecuación, obtenemos

u6 − qu3 −

p3

27 = 0.

De entrada esta ecuación de grado 6 puede parecer un gran paso atrás, pero de hecho no lo es. La ecuación es, sí, de sexto grado, pero también es una cuadrática en u3. Entonces, usando la fórmula para resolver cua-dráticas, bien conocida desde los tiempos de los babilonios, tenemos

u3 =q2 ±

q2

4 +p3

27 ,

o, utilizando sólo la raíz positiva,2

u

q q p= 2 4 27 .

2 33 + +

1. Esto no quiere decir que los

matemáticos no supieran calcular, digamos, 7 – 5. La

distinción está entre la utilización

del signo menos para denotar una

resta (que sí la comprendían) y para denotar un número menor

que cero o nada ( lo que resultaba misterioso). Así,

5 – 7 debería ser un problema, ya que

la respuesta –2 no tuvo ningún

sentido en la mente de un matemático

sino hasta comienzos del

siglo xvi. Menos dos era llamado a veces el defecto de

dos, y tal vez las implicaciones

peyorativas de este término revelan

qué tan incómodos hacían sentir los

números negativos a los matemáticos.

2. Si te preguntas por qué estoy

ignorando la raíz negativa, eso es bueno. Deberías

preguntártelo. La raíz negativa es perfectamente

válida pero, si la utilizas a partir de

este punto en el análisis, encontrarás

exactamente la misma respuesta

que obtendrás con la raíz positiva.

Inténtalo y verás.


el enigma de los números imaginarios 35

Ahora, como v3 = q – u3,

vq q p

= 2 4 27 .2 3

3 − +

Así, una solución de la cúbica reducida x3 + px = q es la siguiente ex-presión, que acaso produzca un poco de temor:

+ −xq q p q q p

= 2 4 27 2 4 27 .2 3

32 3

3+ + +

Alternativamente, y como −13 = −1, en el segundo término de esta expresión se puede sacar un factor –1 de la raíz para producir la fór-mula equivalente

− −xq q p q q p

= 2 4 27 2 4 27 .2 3

32 3

3+ + + +

Se pueden encontrar ambas fórmulas en distintos libros que analizan las cúbicas, pero no hay ninguna razón para preferir una a la otra.

Como Del Ferro asumió que p y q eran positivos, es inmediatamen-te obvio que estas dos expresiones para x (equivalentes) siempre darán un resultado real. De hecho, si bien hay tres soluciones o raíces de cual-quier cúbica (véase el apéndice a), no es difícil demostrar que siempre hay exactamente una raíz real positi-va y por lo tanto dos raíces comple-jas de la cúbica de Del Ferro (véase el recuadro 1).

Ahora, antes de continuar con la cúbica, déjame decir algo acerca de los números complejos. Un número complejo no es exclusivamente real ni tampoco exclusivamente imagi-nario, sino una mezcla de ambos. Esto es, si a y b son ambos reales, entonces a + b � es un complejo. La forma utilizada por los matemá-ticos y por casi todo el mundo es a + ib (Leonhard Euler, el gran ma-temático suizo del siglo xviii, de quien diremos mucho más en el capítulo 6, introdujo el símbolo i para � en 1777). Esto los inge-nieros eléctricos lo escriben como a + jb; la razón por la cual optan ge-

Recuadro 1. La única solución real y positiva de laecuación cúbica de Del Ferro

Para ver que hay exactamente una solución real y positiva de la cúbica reducida x3 + px = q, donde p y q son ambos no negativos, considera la función

f (x) = x3 + px – q.

El problema de Del Ferro es el de hallar las raíces de f (x) = 0. Ahora, si calculas la derivada de f (x) —de-notada por f ′(x)— y recuerdas que la derivada es la pendiente de la curva f (x), entonces obtendrás

f ′(x) = 3x2 + p,

que siempre es no negativa, pues x2 nunca es nega-tivo y hemos asumido que p es no negativo. Con lo cual f (x) siempre tiene una pendiente no negativa y por lo tanto nunca decrece cuando x crece. Como f (0) = –q, que nunca es positivo (porque asumimos que q no es negativo), entonces la gráfica de f (x) debe parecerse a la figura 2. En esta gráfica es claro que la curva cruza el eje x sólo una vez, con lo cual existe una solución real, y que el cruce es tal que la raíz nunca es negativa (es cero sólo si q = 0).



neralmente por j es que � ocu-rre con frecuencia en problemas que involucran corrientes eléctri-cas y la letra i tradicionalmente se ha reservado para esa cantidad. Sin embargo, contra lo que dice un po-pular mito, te puedo asegurar que la mayoría de los ingenieros eléc-tricos no se confunde cuando ve una ecuación que involucra números complejos escrita con i = � en lugar de j. Dicho lo cual, sin em-bargo, tengo que admitir que tam-bién yo utilicé j en vez de i para � en el capítulo 5, donde mues-tro un lindo rompecabezas eléctri-co del siglo xix.

Los números complejos obede-cen varias reglas obvias, tales como (a + ib)(c + id ) = ac + iad + ibc + i2bd = ac – bd + i(ad + bc). Pero tienes que tener cuidado. Por ejemplo, si a y b

solamente pueden ser números positivos, entonces ab a b= . Pero si permitimos que también sean números negativos, esta regla falla; por ejemplo, (−4)(−9) = 36 = 6 4 9≠ − −6 4 9≠ − − = (2i)(3i) = 6i2 = –6. Euler estu-vo desorientado respecto a este punto en su Algebra de 1770.

Un último comentario, y muy importante, sobre las diferencias en-tre los reales y los complejos. Los números complejos no tienen la propiedad del buen orden de los reales. Buen orden quiere decir que podemos escribir expresiones como x > 0 o bien x < 0. Aún más, si x y y son números reales, y si además x > 0 y también y > 0, entonces su producto satisface xy > 0. Sin embargo, si tratamos de imponer este comportamiento a los números complejos, nos metemos en proble-mas. Una forma sencilla de comprobarlo es por medio de un contrae-jemplo. Para esto, suponemos que podemos ordenar los números com-plejos. Entonces, en particular, tiene que ser cierta una de estas dos posibilidades: i > 0 o bien i < 0. Supongamos que i > 0. Entonces, –1 = i × i > 0, lo cual claramente es falso. Entonces debemos suponer que i < 0, pero si multiplicamos por –1 (lo que invierte el sentido de la desigualdad) tenemos que –i > 0. Entonces, –1 = (–i) × (–i) > 0, igual que antes, lo cual es completamente falso. La conclusión es que nues-tra suposición inicial de que podíamos ordenarlos nos lleva a una con-tradicción, y por lo tanto esa suposición debe ser falsa. Volvamos aho-ra a las cúbicas.

Una vez que tenemos la raíz real de la cúbica de Del Ferro, encon-trar las dos raíces complejas no es difícil. Supongamos que r1 es la raíz

-q

Ox

y

f x x px q( )= + −3

Figura 2. Gráfica de f (x) = x3 + px – q, con p y q ≥ 0.



real obtenida por la ecuación de Del Ferro. Entonces, podemos facto-rizar la cúbica:

(x – r1)(x – r2)(x – r3) = 0 = (x – r1)[x2 – x(r2 + r3) + r2r3].

Para hallar las dos raíces adicionales, r2 y r3, aplicamos simplemente la fórmula de la cuadrática a

x2 – x(r2 + r3) + r2r3 = 0.

Por ejemplo, consideremos el caso x3 + 6x = 20, donde tenemos p = 6 y q = 20. Sustituyendo estos valores en la segunda versión de la fórmula de Del Ferro, nos da

− ++ −x= 10 108 10 108.3 3

Ahora, si observas la cúbica original, tal vez tengas la suerte de darte cuenta de que x = 2 funciona (8 + 12 = 20). Entonces, ¿puede ser que esta cosa de aspecto tan complicado sea en realidad 2? Bueno, sí, así es. Utiliza una calculadora y verás que

x = 20.3923053 − 0.3923053 = 2.7320508 − 0.7320508 = 2.

Entonces, para encontrar las otras dos raíces de f (x) = 0 = x3 + 6x – 20, utilizamos el hecho de que un factor de f (x) es (x – 2) para hallar, tras algunas molestas divisiones, que

(x – 2)(x2 + 2x + 10) = x3 + 6x – 20.

Aplicando la fórmula de la cuadrática al factor de segundo grado, se obtienen las otras dos raíces complejas (soluciones de la cúbica original):

r2 = –1 + 3�

y

r3 = –1 – 3�.

Actitudes negativas hacia los números negativos

Pero todo esto es adelantarnos en la historia. En realidad, Del Ferro y sus seguidores no hicieron cosas como la factorización anterior para obtener las raíces complejas —obtener un único número real positivo como solución de la cúbica era todo lo que buscaban—. Y, por lo que a los matemáticos concernía respecto de la cúbica reducida de Del Fe-rro, sólo había una única raíz real positiva, y eso era suficiente. ¿Pero qué ocurría con una cúbica como x3 – 6x = 20, donde ahora tenemos p = – 6 < 0? Del Ferro nunca habría escrito tal cúbica, por supuesto, con un coeficiente negativo; en cambio escribiría x3 = 6x + 20 y lo consi-deraría un problema completamente nuevo. Esto es, comenzaría desde el principio para resolver



x3 = px + q,

donde otra vez p y q son no negativos. Sin embargo, esto es completa-mente innecesario, ya que, en realidad, en ninguna parte de la resolu-ción de x3 + px = q utilizó la positividad de p y q. Es decir, esta supo-sición inicial no tiene importancia, y se planteó explícitamente sólo por una injustificada aversión de los matemáticos de esa época hacia los números negativos.

Esta desconfianza respecto de los números negativos parece extra-ñísima a los matemáticos e ingenieros actuales gracias a que ya están acostumbrados a utilizarlos y han olvidado la confusión que les provo-caron en sus primeros años escolares. De hecho, aún hoy encontramos adultos inteligentes pero sin formación técnica que siguen experimen-tando estas confusiones, como lo ilustra la siguiente copla frecuente-mente atribuida al poeta W. H. Auden:

Minus times minus is plus.The reason for this we need not discuss.†

El gran matemático inglés John Wallis (1616-1703), por ejemplo, a quien conocerás con más detalle en el siguiente capítulo como el in-dividuo que hizo el primer intento racional de asignarle un significado físico a �, hizo también varias afirmaciones increíbles respecto de los números negativos. En su libro Arithmetica Infinitorum [Aritmética de lo infinito] de 1665, un libro que el joven Isaac Newton leyó con avidez, Wallis presentó el siguiente argumento: como a/0, con a > 0, es +∞ (infinito positivo), y como a/b, con b < 0, es un número negativo, en-tonces este número negativo tiene que ser mayor que +∞, porque el denominador del segundo caso es menor que el denominador del pri-mero (es decir, b < 0). Esto llevó a Wallis a la sorprendente conclusión de que un número negativo es simultáneamente menor que 0 pero mayor que +∞, por lo que ¿quién puede culparlo de querer alejarse de los números negativos? Y, por supuesto, no era el único. Es más, el mis-mo gran Euler consideró la preocupación de Auden lo suficientemen-te meritoria como para incluir una dudosa “explicación” de por qué “menos por menos es más” en su famoso libro de texto Algebra [Álge-bra] (1770).

Hoy somos más intrépidos. Simplemente decimos: bueno, p es ne-gativo, ¿y qué?, tras lo cual lo reemplazamos directamente en la fórmu-la original de Del Ferro. Esto es, al reemplazar el valor negativo de p con –p (donde p es no negativo), tenemos

− −xq q p q q p

= 2 4 27 2 4 27 .2 3

32 3

3+ + + +

como la solución de x3 = px + q, donde p y q son ambos no negativos. En particular, la fórmula nos dice que la solución de x3 = 6x + 20 es

† Menos por menos es más./

La razón de esto no debemos

discutirla.



2 10 90 9+ − − +x= 1 2 =3.43770733 3 ,

que en realidad es una solución de la cúbica, como puede verificarse fácilmente con una calculadora de mano.

Un desafío apresurado

La historia de la cúbica sigue a partir de aquí un camino retorcido. Como era usual en aquellos días, Del Ferro mantuvo su solución en secreto. Lo hizo porque, a diferencia de los matemáticos actuales, que construyen su carrera académica publicando sus resultados para obte-ner un puesto inicial como profesores y luego algún cargo definitivo, Del Ferro y sus colegas se parecían más a profesionistas independientes. Ganaban su sustento desafiando a otros en competencias públicas de resolución de problemas, y el ganador se llevaba todo: tal vez premios en metálico, cierta “gloria” y con suerte el apoyo de un acaudalado patrocinador. Las oportunidades de ganar un concurso de ésos estaban claramente relacionadas al conocimiento de cómo resolver problemas que otros no pudieran, por lo que mantener los resultados en secreto era el estilo de la época.

De hecho, Del Ferro casi se llevó a la tumba el secreto de cómo resolver ecuaciones cúbicas reducidas, pues lo compartió a lo sumo con un pequeño número de amigos cercanos. Cuando yacía moribun-do, se lo contó a uno más, su alumno Antonio Maria Fior. Si bien Fior no era un matemático especialmente bueno, tal conocimiento era un arma formidable, por lo que, en 1535, desafió al mucho más conocido e infinitamente más hábil matemático Niccolò Fontana (1500-1577). Fontana despertó la atención de Fior porque poco antes había anun-ciado que podía resolver cúbicas de la forma general x3 + px2 = q. Fior pensó que Fontana estaba alardeando y que no sabía cómo resolverlas, por lo que lo consideró como la víctima perfecta, lista para desplumar-la en un concurso público.

Fontana, quien es más conocido hoy como Tartaglia (“el tartamu-do”, debido a un impedimento para hablar causado por una terrible herida de espada en la mandíbula, que le infligió, cuando tenía doce años, un soldado invasor francés), sospechó que Fior había recibido el secreto de la cúbica reducida de Del Ferro. Temiendo ser desafiado con tales cúbicas, y sin saber cómo resolverlas, Tartaglia se empeñó terrible-mente en resolver la cúbica reducida; justo el día anterior al concurso, logró redescubrir la solución de Del Ferro para x3 + px = q. Éste es un interesante ejemplo de cómo, una vez que se sabe que un problema tiene solución, otros también logran encontrarla rápidamente —un fenómeno relacionado, creo yo, con la obtención de récords deporti-vos, como ocurrió cuando Roger Bannister logró correr la milla en menos de cuatro minutos: poco después parecía que todo buen corre-



dor en el mundo era capaz de hacerlo—. Como quiera que sea, el des-cubrimiento de Tartaglia, combinado con su habilidad para realmente resolver x3 + px2 = q (él no había estado alardeando), le permitió final-mente derrotar a Fior. Cada uno propuso al otro treinta problemas: mientas que Fior no pudo resolver ninguno de los de Tartaglia, Tarta-glia resolvió todos los de Fior.

El secreto se difunde

Todo esto es bastante extraño, pero la historia se pondrá aún mejor. Igual que Del Ferro, Tartaglia mantuvo su nuevo conocimiento para sí mismo, tanto por las razones que mencionamos antes como porque quería publicar las soluciones para ambos tipos de cúbicas en un libro que pensaba escribir algún día (nunca lo hizo). Cuando las noticias de su victoria sobre Fior se difundieron, pronto llegaron a oídos de Girola-mo Cardano (1501-1576). A diferencia de Fior, Cardano era un intelec-tual sobresaliente que, entre muchos otros talentos, incluía el ser un matemático extremadamente bueno.3 La curiosidad intelectual de Cardano se disparó al saber que Tartaglia conocía el secreto para la cú-bica reducida, y le rogó a Tartaglia que se lo revelara. Tras varias nega-tivas iniciales, Tartaglia finalmente cedió y le dijo a Cardano la regla, pero no su derivación, para calcular soluciones —y esto sólo después de obligarlo a jurar que lo mantendría en secreto.

Cardano no era un santo, pero tampoco un sinvergüenza. Casi con seguridad tuvo toda la intención de respetar su juramento de silencio, pero entonces comenzó a escuchar versiones según las cuales Tartaglia no había sido el primero en resolver la cúbica reducida. Y cuando fi-nalmente vio los trabajos de Del Ferro que habían sobrevivido, Carda-no no se sintió obligado a mantener su silencio. Cardano redescubrió la solución de Tartaglia por sí mismo y luego la publicó en su Ars mag-na (“El gran arte” del álgebra, en oposición al arte menor de la aritmé-tica) de 1545.4 En este libro les dio a Tartaglia y a Del Ferro el crédito específico que merecían, pero incluso así Tartaglia se sintió defrauda-do y lanzó en su contra una tormenta de reclamos, acusándolo de pla-gio y aun de cosas peores. No voy a continuar aquí con esta parte de la historia, porque no tiene ninguna relación con �, excepto para agregar que el temor de Tartaglia de perderse la fama efectivamente estaba justificado. Pese a que él y Del Ferro tenían prioridad como los verdaderos descubridores, en forma independiente, de la solución de la cúbica reducida, desde el Ars magna en adelante ésta se conoce como “fórmula de Cardano”.

Cardano no era un ladrón intelectual (quienes plagian no recono-cen el trabajo ajeno) y de hecho mostró cómo extender la solución de la cúbica reducida a todas las cúbicas. Éste fue un logro mayor en sí mismo, y se debe por completo a Cardano. La idea es tan original

4. Una traducción al inglés del Ars

Magna, a cargo de T. Richard Witmer,

fue publicada en 1968 por The mit

Press, y la siguiente cita (p. 8) es la

primera de tres menciones de

Cardano a Tartaglia: “En

nuestros mismos días Scipione del

Ferro de Bologna resolvió el caso del cubo y la primera

potencia igual a una constante, un

logro muy elegante y

admirable. Como este arte supera

toda la sutileza y la perspicacia de un

talento mortal y es un don

3. Una informativa e interesante

biografía de la sensacional vida de Cardano es el viejo

pero aún recomendable

libro de Oystein Ore, Cardano, the Gambling Scholar. Vale la pena leer sobre cualquier

hombre que tenga un intelecto lo

suficientemente moderno como para resolver la

cúbica y todavía tan medieval como

para hacer el horóscopo de

Cristo, por lo cual fue llevado a

prisión en 1570, acusado de herejía.



como fue la primera ocurrencia de Del Ferro. Carda-no comenzó con la cúbica general:

x3 + a1x2 + a2x + a3 = 0

y luego utilizó el cambio de variables

x = y − 1

3a1.

Sustituyendo esto en la cúbica general, desarrollando y agrupando los términos, obtuvo

y a a y a a a a3

2 12

13

1 2 313 = 2

2713 .+ −

− + −

Esto es, obtuvo la cúbica reducida y3 + py = q, con

p = a2 − 1

3a12 ,

q a a a a= 227

13 .1

31 2 3− + −

La cúbica reducida obtenida así puede resolverse ahora con la fórmula de Cardano. Por ejemplo, si co-mienzas con x3 – 15x2 + 81x – 175 = 0 y haces después el cambio de variables x = y + 5, obtendrás

p = 81− 13(15)2 = 6,

q = − 2

27 (−15)3 + 13(81)(−15) − (−175)= 20,

con lo cual y3 + 6y = 20. Más arriba resolví esta ecuación, con lo que obtuve que y = 2. Así, x = 7 es la solución de la cúbica, como un rápido cálculo manual lo confirma.

Por lo tanto, parece que el problema de la ecuación cúbica final-mente ha sido liquidado, y todo está en orden. Pero no es así, y Carda-no lo sabía. Recordemos la solución de x3 = px + q:

− −xq q p q q p

= 2 4 27 2 4 27 .2 3

32 3

3+ + + +

¡Hay un dragón al acecho en esta versión de la fórmula de Cardano! Si q2/4 – p3/27 < 0, entonces la fórmula involucra la raíz cuadrada de un número negativo, y el mayor desafío no era el número imaginario en sí, sino algo bastante distinto. El hecho de que Cardano no tuviera miedo de los imaginarios está claro por el famoso problema que plan-teó en su Ars magna: el de dividir 10 en dos partes cuyo producto fuese 40. Llamó a este problema “manifiestamente imposible” porque con-duce directamente a la ecuación cuadrática x2 – 10x + 40 = 0, donde x y

verdaderamente celestial y una muy clara muestra de la capacidad de la mente humana, quienes se dediquen por sí mismos a esto creerán que no hay nada que no puedan entender. Emulándolo, mi amigo Niccolò Tartaglia de Brescia, no deseando ser superado, resolvió el mismo caso cuando se involucró en un concurso con su alumno [de Scipione], Antonio Maria Fior, y, movido por mis muchas súplicas, me lo dio.” Difícilmente éstas son las palabras de un hombre que se roba el trabajo de otro, y debería mencionar que hay evidencia de que antes de 1390, en Florencia, al menos dos matemáticos italianos cuyas identidades no se conocen se acercaron a la resolución de la cúbica. En realidad, puede que alguien se haya anticipado a Del Ferro y a Cardano, si bien no está claro que alguno de ellos conociera los trabajos anteriores. Véase Franci y Toti Rigatelli, “Towards a History of Algebra from Leonardo of Pisa to Luca Pacioli”.



10 – x eran las dos partes, ecuación que tiene las raíces complejas 5 + −15

5 + −15 y 5 − −15 —que Cardano llamó sofísticas porque no podía asig-narles una interpretación física—. La suma es evidentemente 10, por-que las partes imaginarias se cancelan, pero ¿qué ocurre con el produc-to? Cardano audazmente escribió “de todas maneras vamos a operar” y calculó formalmente

5 15 5 15 5 5 5 15 5 15 15 15+ −( ) − −( ) = − − + − − − −=

( )( ) ( ) ( )225 1540

+= .

Como dijo Cardano de este cálculo, “Dejando de lado la tortura

mental implicada” en hacer eso, es decir, en manipular −15 como si fuera cualquier otro número, todo lo demás funcionaba bien. Pese a todo, aunque no tenía miedo de manejar estos números, está claro, a par-tir de la lectura de sus siguientes palabras, que tenía algunas reticencias: “Así progresa con argucias la aritmética, cuyo fin, como ya se ha dicho, es tan refinado como inútil.” Pero lo que realmente lo dejó perplejo fue el caso en el que aparecían tales raíces cuadradas de números negativos en la fórmula para ecuaciones cúbicas que sólo tenían raíces reales.

Cómo pueden los números complejos representar soluciones reales

Para ver qué quiero decir con esto, consideremos el problema tratado por el ingeniero y arquitecto italiano Rafael Bombelli (1526-1572), un continuador de los trabajos de Cardano. Bombelli tenía fama entre sus contemporáneos de ser un hombre práctico que sabía cómo secar te-rrenos pantanosos, pero hoy es famoso por haber sido un experto en álgebra que explicó qué era lo que estaba sucediendo en realidad con la fórmula de Cardano. En su Algebra de 1572, presentó la cúbica x3 = 15x + 4 y, con apenas pensarlo un poco, verás que x = 4 es una so-lución. Entonces, dividiendo o factorizando el polinomio, puedes ver fácilmente que las otras soluciones son x = −2 ± 3. Esto es, las tres so-luciones de la cúbica son reales. Pero mira lo que nos da la fórmula de Cardano con p = 15 y q = 4. Como q2/4 = 4 y p3/27 = 125, entonces

+ −+ −x= 2 121 2 121= 2 121 2 121.

3 3 3 3+ − − − + − −

La fórmula de Cardano da una solución que es la suma de dos raíces cúbicas de dos números complejos conjugados (si este término te re-sulta extraño, deberías leer el apéndice a), y puedes pensar que si algo no es real entonces será tan “complejo” como eso, ¿verdad? Error. Car-dano tampoco se dio cuenta, y con evidente frustración llamó “irredu-cibles” a las cúbicas en las cuales aparecía un resultado tan extraño, y no



continuó con el asunto. Es instructivo, antes de seguir avanzando, ver por qué utilizó el término “irreducible”.

Cardano estaba completamente desorientado sobre cómo calcular la suma de las raíces cúbicas de dos complejos conjugados. Para obser-var el círculo vicioso que causaba esta confusión en el álgebra, consi-deremos la cúbica de Bombelli. Supongamos que, cualquiera que sea la raíz cúbica dada por la fórmula de Cardano, podemos al menos escri-birla con más generalidad como un número complejo. Por ejemplo, escribamos

+ −2 121= .3 + −u v

Deseamos encontrar u y v (con v > 0). Elevando al cubo ambos lados, nos da

2 + −121= u3 + 3u2 −v − 3uv − v −v .

Igualando las partes reales e imaginarias de ambos lados, llegamos a

u3 – 3uv = 2,

3u2 −v − v −v = −121.

Elevando cada una de las ecuaciones al cuadrado, obtenemos otro par:

u6 – 6u4v + 9u2v2 = 4 y

–9u4v + 6u2v2 – v3 = –121,

y restando la segunda ecuación a la primera resulta que

u6 + 3u4v + 3u2v2 + v3 = 125.

Ambos lados son cubos perfectos, es decir, si tomamos raíces cúbicas nos da u2 + v = 5, o v = 5 – u2. Sustituyendo esto en la ecuación u3 – 3uv = 2 que planteamos arriba, resulta 4u3 = 15u + 2, otra ecuación cúbica en una sola variable. Y de hecho, dividiendo por 4 para dejarla en la forma u3 = pu + q, tenemos que p = 15/4 y q = 1/2 y, por lo tanto, utili-zando la fórmula de la página 40,

q2

4 −p3

27 = 116 − 3.375

(27)(64),

que claramente es un número negativo.Esto es, 4u3 = 15u + 2 es una cúbica irreducible y, cuando se la “re-

suelva” con la fórmula de Cardano, habrá que calcular la raíz cúbica de números complejos. Entonces estamos de regreso donde empezamos, enfrentados a la cuestión de cómo calcular tales cosas. El problema pa-rece estar encerrado en un círculo vicioso. No te asombres de que Cardano llamara a esta situación “irreducible”. Más adelante, en el ca-pítulo 3, verás cómo finalmente los matemáticos descubrieron el modo de calcular cualquier raíz de un número complejo.



La gran revelación que tuvo Bombelli consistió en ver que esta ex-traña expresión que daba la fórmula de Cardano para x era real, pero estaba expresada en una forma poco familiar (véase el recuadro 2 para entender geométricamente lo que ocurre con las cúbicas irreducibles). Esta revelación no vino con facilidad. Como escribió Bombelli en su Algebra, “Fue una idea alocada, según la opinión de muchos; y yo tam-bién opiné eso durante mucho tiempo. Todo el asunto parecía basarse más en sofismas que en la verdad. Pero busqué largo rato, hasta que fi-nalmente demostré que era así.” Aquí está cómo lo hizo, comenzando por la observación de que, si la fórmula de las soluciones de Cardano era real, entonces + −2 1213 y − −2 1213 debían ser complejos con-jugados,5 es decir, si a y b son dos números reales a determinar, donde

2 121= 1,3 + − + −a b

2 121= 1,3 − − − −a b

entonces tenemos x = 2a, que ciertamente es un número real. La pri-mera de estas dos afirmaciones dice que

2 + −121=(a + b −1)3 .

De la identidad (m + n)3 = m3 + n3 + 3mn(m + n), con m = a y n = b�, tenemos

(a + b�)3 = a3 – b3� + 3ab�(a + b�)

= a3 – b3� + 3a2b� – 3ab2

= a(a2 – 3b2) + b(3a2 – b2)�.

Si esta expresión compleja es igual al número complejo 2 + −121, en-tonces las partes reales e imaginarias por separado deben ser iguales, y por lo tanto llegamos al siguiente par de condiciones:

a(a2 – 3b2) = 2,

b(3a2 – b2) = 11.

Si asumimos que tanto a como b son enteros (no existe ninguna justi-ficación a priori para esto, pero siempre tenemos la libertad de probar algo y ver adónde nos conduce), entonces tal vez veas que a = 2 y b = 1 funciona para ambas condiciones. También hay otras maneras de obte-ner esta condición con más formalidad. Por ejemplo, nota que 2 y 11 son primos, pregúntate qué enteros son factores de un número primo y observa que, si a y b son enteros, entonces también lo son a2 – 3b2 y 3a2 – b2. Sin embargo, para nuestros propósitos aquí, es suficiente com-probar que

+ −2 121=2 1,3 + − − −2 121=2 1,3 − −

5. En nuestros días, un estudiante de

matemáticas, ciencias o

ingeniería podría encontrar obvia esta afirmación.

Esto es, dado cualquier número

complejo, su conjugado es el número donde

todas las apariciones de

� = i se cambian por –� = –i.



afirmaciones que son fácilmente verificables elevando al cubo ambos lados de la ecuación. Con estos resultados, Bombelli mostró que la misteriosa solución de Cardano es x = 4, y que ésta es correcta. Como se muestra en el recuadro 2, para el caso irreducible con las tres raíces reales existe una única raíz positiva; esto es, la raíz dada por la fórmula de Cardano (trata de probar esto y, si necesitas ayuda, lee la segunda mitad del apéndice a).

Cálculo de las raíces reales sin números imaginarios

Si bien la fórmula de Cardano funciona en todos los casos, incluido el caso irreducible, tal vez todavía estés preguntándote por qué no hay una fórmula que produzca directamente una respuesta real para la raíz real positiva en esa situación. Y, de hecho, la hay. Descubierta por el

Recuadro 2. El caso irreducible significa que hay tres raíces reales

Para estudiar la naturaleza de las raíces de x3 = px + q, donde p y q son ambas no negativas, consideremos la función

f (x) = x3 – px – q.

Calculando f ′(x) = 3x2 – p, vemos que la gráfica de f (x) tendrá tan-gentes con pendiente cero en x = ± p /3, es decir, los máximos o míni-mos locales de la cúbica reducida que puede llevarnos al caso irreducible se localizan simétricamente a ambos lados del eje vertical. Los valores de f (x) en estos extremos locales son, si los denotamos por M1 y M2,

M

p ppp

q pp

q xp

1 = 3 3 3 = 23 3 = 3 ,− − − − +, con

Mp p

pp

q pp

q xp

2 = 3 3 3 = 23 3 = 3.− + − − −, con

Fíjate en que siempre el mínimo local M1 < 0 (ya que p y q son no negativos), mientras que el máximo local M2 puede tener uno u otro signo, dependiendo de los valores de p y q. Ahora, si hemos de tener tres raíces reales, f (x) debe cruzar el eje real tres veces, y esto ocurre sólo si M2 > 0, como se muestra en la figura 3. Esto es, la condición para que todas las raíces sean reales es

23 3 0

427 > 4 27 0

3 22 3

pp

q p qq p− > − <, o , o sea .

Pero ésta es precisamente la condición en la fórmula de Cardano que lleva a soluciones con números imaginarios. Así, el caso irreducible está asociado siempre con tres raíces reales de la cúbica f (x) = 0. Como lo muestra claramente la figura, estas tres raíces son tales que dos son ne-gativas y una es positiva. Trata de demostrar que la suma de las tres raíces debe ser cero.†

† Éste es un caso particular de la siguiente afirmación más general. Supongamos que se escribe la ecuación polinomial de grado n: xn + an – 1xn – 1 + an – 2xn – 2 + … + a1x + a0 = 0, de forma factorizada. Esto es, si denotamos las n raíces de la ecuación por r1, r2,…, rn, entonces podemos escribir el polinomio como (x – r1)(x – r2)…(x – rn) = 0. Multiplicando los factores entre sí, comenzando por la izquierda, puede mostrarse con facilidad que el coeficiente del término xn – 1 es la suma de las raíces con signo negativo, es decir, an – 1 = –(r1 + r2 + … + rn). En el caso de la cúbica reducida, o sea cuando no hay término con x2, tenemos a2 = 0 por definición, y la suma de las raíces de la ecuación cúbica reducida es igual a cero.



gran matemático francés François Viète (1540-1603),6 da todas las raíces de la cúbica irreducible en térmi-nos de las funciones trigonométricas coseno y arco-coseno (o coseno inverso). Este descubrimiento es aún más destacable cuando uno considera que Viète no era un matemático profesional, sino un abogado al servicio del estado, bajo los reinados de Enrique III y Enrique IV. Se dedicaba a las matemáticas cuan-do podía robarle tiempo a sus tareas “más importan-tes”, tales como descifrar las cartas encriptadas de la corte española que fueron interceptadas durante la guerra entre Francia y España. Si bien es muy inteli-gente, la solución de Viète (publicada en 1615, tras su muerte) parece no ser muy conocida, y por lo tanto aquí está lo que hizo.

Viète comenzó su análisis con la ecuación cúbica x3 = px + q, con p y q escritas como p = 3a2 y q = a2b. Esto es, comenzó con la cúbica

x a x a b a

pb

qp

3 2 2=3 , = 3 =3

.+ con y

Luego, utilizó la identidad trigonométrica

cos cos cos( ).3 34

14 3= +

M2

M1

O

−q

x

f x x px q( )= − −3

− p/3 + p/3

Figura 3. Gráfica de f (x) = x3 – px – q, con p y q ≥ 0.

6. Viète fue el primero en expresar π en términos de un producto infinito

en lugar de una suma, con su conocida fórmula (1593):

2

4 8 16 32=

cos cos cos cos

.

Luego, en el capítulo 3, voy a mostrarte cómo puede derivarse este

hermoso resultado, que es un caso especial de una fórmula

trigonométrica más general, a partir de una identidad trigonométrica

elemental que podemos encontrar fácilmente con cierto conocimiento

de geometría compleja. El estudio de Viète de los triángulos rectángulos se ha conectado, en tiempos modernos,

con el álgebra de números complejos, una conexión que él mismo nunca

hizo. Voy a ocuparme, en el capítulo 3, del desarrollo histórico conocido de esa álgebra, pero puedes encontrar lo

que se ha especulado al respecto en Glushkov, “An Interpretation of Viète’s

‘Calculus of Triangles’ as a Precursor of the Algebra of Complex Numbers”.



Si no recuerdas esta identidad, acéptala por ahora, que voy a demos-trarla en el capítulo 3 utilizando números complejos. El siguiente paso de Viète fue suponer que uno siempre puede hallar θ tal que x = 2acos θ. Voy a mostrarte, calculando el valor buscado de θ, que esta suposición es cierta. A partir de la suposición tenemos cos θ = x/2a y, si esto se sus-tituye en la anterior identidad trigonométrica, puede mostrarse rápida-mente que x3 = 3a2x + 2a3cos(3θ). Pero esto es justamente la cúbica que estamos tratando de resolver si escribimos 2a3cos(3θ) = a2b. Esto es,

=

−13 2

1cos .ba

Reemplazando este valor para θ en x = 2acos θ, llegamos inmediata-mente a la solución

x = 2a cos 13cos−1 b

2a

o, en términos de p y q,

x = 2p3 cos 1

3cos−1 3 3q

2 p p

.

Para que x sea real, el argumento de cos–1 no debe ser mayor que uno, es decir, 3 3q ≤ 2 p3/2. (Más adelante, en el capítulo 6, discutiré qué ocurre cuando la magnitud del argumento en la función inversa del coseno es mayor que 1.) Pero fácilmente se ve que esta condición es equivalente a q2/4 – p3/27 ≤ 0, que es precisamente la condición que define el caso irreducible. Observa que en la fórmula de Viète no apa-recen cantidades imaginarias, a diferencia de lo que ocurre en la fór-mula de Cardano.

¿Funciona la fórmula de Viète? Como prueba, recordemos la cúbica de Bombelli x3 = 15x + 4, con p = 15 y q = 4. La fórmula de Viète nos da

x = 2 5cos 1

3cos−1 12 3

30 15

.

Esta expresión de aspecto bastante aterrador puede evaluarse fácil-mente con una calculadora de mano, lo que nos dará x = 4, que es co-rrecto. Esta raíz se encuentra tomando cos ( / )−1 12 3 30 15 = 79.695°. Pero un rápido dibujo de la función coseno mostrará que los ángulos 280.305° y 439.695° son igualmente válidos. Evaluando x para estos dos ángulos obtendremos las otras dos raíces reales: –0.268 y –3.732, es decir, − ±2 3. Sin embargo, el propio Viète no les prestó atención a las raíces negativas. Y para otra comprobación rápida, consideremos el caso especial cuando q = 0. Entonces, x3 – px = 0, que por inspección tiene las tres raíces reales x = 0, x = ± p . Esto es, x p= es la única raíz positiva. La fórmula de Viète nos da, para q = 0,



x = 2p3 cos 1

3cos−1(0)

= 2p3 cos(30°),

ya que cos–1(0) = 90°. Pero (2 / 3)cos(30°) = 1 y por lo tanto la fórmu-la de Viète nos da x = p. Y como también cos–1(0) = 270° (y 450°), puedes verificar fácilmente que la fórmula nos da también las raíces x = 0 y x = – p . Técnicamente, ésta no es una cúbica irreducible, pero la fórmula de Viète aún funciona. Nótese que las raíces en estos dos casos específicos satisfacen la última afirmación hecha en el recuadro 2.

Viète conocía muy bien el nivel al que operaban sus dotes analíticas. Como él mismo escribió respecto de sus matemáticas, no eran “el oro de los alquimistas, pronto a evaporarse en el humo, sino el metal ver-dadero, excavado en las minas donde hay dragones vigilando”. Viète no era un hombre falsamente modesto. Si su solución hubiera sido hallada un siglo antes, ¿se habría preocupado Cardano por los números imagi-narios que aparecen en su fórmula? ¿Habría estado motivado Bombe-lli para hallar la “realidad”de las expresiones complejas que aparecían en la solución formal de la cúbica irreducible? Es interesante especular sobre qué tan diferente habría sido la historia de las matemáticas si al-gún genio se hubiese anticipado al descubrimiento de Viète. Pero no hubo tal genio, y Bombelli se llevó la gloria de haber descubierto el secreto final de la cúbica.

La comprensión de Bombelli de la naturaleza de la fórmula de Car-dano, en el caso irreducible, rompió el callejón sin salida mental respec-to a �. Con su trabajo quedó claro que manipular � utilizando las reglas ordinarias de la aritmética conducía a resultados perfectamente correctos. Mucho del misterio de �, de su aura casi mística, se aclaró con el análisis de Bombelli. Sin embargo, quedaba una última valla in-telectual por sortear, la de determinar el significado físico de � (y éste será el tema de los próximos dos capítulos), pero el trabajo de Bombe-lli había desbloqueado la que parecía ser una barrera infranqueable.

Un curioso redescubrimiento

Queda todavía por contar un último episodio curioso respecto de la fórmula de Cardano. Casi cien años después de que Bombelli explica-ra cómo funcionaba la fórmula de Cardano para todos los casos, inclui-do el caso irreducible con todas las raíces reales, el joven Gottfried Leibniz (1646-1716) de alguna manera se convenció de que el tema aún estaba abierto. Esto es todavía más destacable porque se sabe que Leibniz había estudiado el Algebra de Bombelli, no obstante lo cual consideró que todavía quedaba algo por agregar a la fórmula de Car-dano. Leibniz fue un genio, pero esto ocurrió cuando tenía 25 años de edad, momento en que, como lo dijo un historiador, “Leibniz tenía muy poca, si alguna, preparación en lo que entonces era la matemática



moderna. Sus conocimientos de primera mano eran mayoritariamente griegos.”7

En ese tiempo, Leibniz acababa de conocer al gran matemático y físico holandés Christiaan Huygens (1629-1695), con quien estableció una correspondencia que duraría por el resto de su vida. En una carta a Huygens escrita en algún momento entre 1673 y 1675,8 comenzó a rehacer lo que Bombelli había hecho mucho tiempo atrás. En esa car-ta, comunicó su famoso (aunque anticlimático) resultado

1 3 1 3 = 6,+ − + − −del cual Leibniz declaró más tarde: “No recuerdo haber detectado un hecho más singular y paradójico en todo el análisis; por lo que creo ser el primero que ha reducido raíces irracionales, imaginarias en forma, a valores reales…” Por supuesto, había sido Bombelli el primero, un siglo antes.

Cuando se presenta por primera vez el número imaginario � a los estudiantes de escuela secundaria, es frecuente leer algo como lo que sigue (de hecho, lo tomé de un libro de texto universitario9): “La ecuación real x2 + 1 = 0 fue lo que condujo en primer lugar a la inven-ción de i (y también de –i ). Ésta fue declarada la raíz y el caso quedó cerrado.” Bueno, por supuesto, esto es fácil de leer y de recordar pero, como ya sabes ahora, no es cierto. Cuando los primeros matemáticos encontraron x2 + 1 = 0 y otras cuadráticas similares, simplemente cerra-ron los ojos y las llamaron “imposibles”. Desde luego, no inventaron ninguna solución para estas ecuaciones. El hallazgo de � no se ori-ginó en las ecuaciones cuadráticas, sino más bien en las cúbicas, que claramente tenían soluciones reales pero para las cuales la fórmula de Cardano producía respuestas formales con componentes imaginarios. Las bases para ese hallazgo estuvieron en un entendimiento, mejor que todo lo anterior, de la idea del conjugado de un número complejo. Así, antes de continuar con Leibniz, déjame mostrarte un lindo uso de los complejos conjugados.

Considera el siguiente enunciado, que puede verificarse con un poco de aritmética sobre una hoja de papel cualquiera:

(22 + 32)(42 + 52) = 533 = 72 + 222 = 232 + 22.

Y también este otro, que es apenas un poquito más problemático de verificar:

(172 + 192)(132 + 152) = 256 100 = 642 + 5022 = 82 + 5062.

¿Qué está ocurriendo aquí?Éstos son dos ejemplos de un teorema general que dice que el pro-

ducto de dos sumas de dos cuadrados de enteros siempre puede expre-sarse, de dos formas diferentes, como la suma de dos cuadrados de enteros. Esto es, dados los enteros a, b, c y d, siempre podemos encon-trar dos pares de enteros positivos u y v tales que

7. Bell, The Development of Mathematics, p. 149.

8. McClenon, “A Contribution of Leibniz to the History of Complex Numbers”. Huygens estaba tan intrigado como Leibniz, como lo muestra su respuesta a éste: “Uno nunca habría creído que

1 3 1 3 = 6+ − + − −

1 3 1 3 = 6+ − + − −y tiene que haber algo oculto en esto que es incomprensible para nosotros.”

9. Strang, Introduction to Applied Mathematics, p. 330.



(a2 + b2)(c2 + d2) = u2 + v2.

Por lo tanto, dice este teorema, debe ser cierto que hay dos solucio-nes enteras de, por ejemplo,

(892 + 1012)(1112 + 1332) = 543 841 220 = u2 + v2.

¿Puedes ver quiénes son u y v? Probablemente no. Sin embargo, con números complejos, y con el concepto de complejo conjugado, es sen-cillo analizar este problema. Aquí está cómo hacerlo.

Factorizando el enunciado general del teorema a demostrar, tenemos

[(a + ib)(a – ib)][(c + id )(c – id )] = [(a + ib)(c + id )][(a – ib)(c – id )].

Como los números en los corchetes del lado derecho son conjugados, podemos escribir el lado derecho como (u + iv)(u – iv). Esto es,

u + iv = (a + ib)(c + id ) = (ac – bd ) + i(bc + ad )

y, por lo tanto,

u = |ac – bd| y v = bc + ad.

Pero ésta no es la única solución posible. También podemos escribir la expresión factorizada como

[(a + ib)(c – id )][(a – ib)(c + id )] = [u + iv][u – iv]

y así la segunda solución es

u + iv = (a + ib)(c – id ) = (ac + bd ) + i(bc – ad ),

o sea

u = ac + bd y v =|bc – ad|.

Este resultado demuestra el teorema construyendo explícitamente fórmulas para u y v, y en particular nos dice que

(892 + 1012)(1112 + 1332) = 3 5542 + 23 0482

= 6262 + 23 3122.

Este problema es bastante viejo (ya Diofanto lo co-nocía) y una discusión del mismo, una que no utiliza números complejos, puede encontrarse en Liber qua-dratorum [El libro de los cuadrados],10 de 1225, del ma-temático italiano medieval Leonardo Pisano (ca. 1170-1250), es decir Leonardo de Pisa, ciudad cono-cida hoy sobre todo por su famosa torre inclinada. Leibniz, sin duda, debe haber hallado el concepto de número complejo conjugado porque era justo lo que necesitaba para explicar su “hecho paradójico”.

Leibniz describió así su confusión: “No entiendo

10. Existe una linda traducción al inglés de este libro, realizada por E. L. Sigler: The Book of Squares (Academic

Press, 1987). Véase también McClenon, “Leonardo of Pisa and His Liber Quadratorum”. Leonardo es más conocido por su sobrenombre

Fibonacci, que es una contracción de Filiorum Bonacci (es decir, “de la familia

Bonacci”) o Filius Bonacci (es decir, “hijo de Bonacci”), frases que

aparecían en la portada de varios trabajos suyos. Es en honor de

Leonardo de Pisa, por lo tanto, que se bautizó la famosa sucesión de

Fibonacci, es decir, la sucesión 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13,…, en la cual cada número

después del segundo es la suma de los dos anteriores. Esto se escribe

usualmente como la fórmula de recurrencia un+2 = un + 1 + un con

u0 = u1 = 1. Esta sucesión aparece en el Liber abaci de Leonardo (1202) y es un

caso especial de la fórmula más general un + 2 = pun + 1 + qun con p y q

constantes arbitrarias. En el capítulo 4 voy a mostrarte cómo aparecen los

números complejos en esta recurrencia para ciertos valores de p y q.



cómo […] una cantidad puede ser real cuando se utilizan números ima-ginarios o imposibles para expresarla.” Encontraba esto tan asombroso que, tras su muerte, entre muchos trabajos no publicados, se encontra-ron muchas expresiones de ésas, como si continuamente hubiera estado calculándolas. Por ejemplo, al resolver las cúbicas x3 – 13x – 12 = 0 y x3 – 48x – 72 = 0, respectivamente, llegó al descubrimiento adicional de que

6

122527 6

122527 =4

3 3+ − + − −

y3 3− + − + − − −36 2800 36 2800 =6.

La “realidad” de estas expresiones literalmente “complejas” hoy sería considerada trivialmente obvia por un buen estudiante de álgebra de la escuela secundaria. Tal ha sido el progreso matemático en la compren-sión de �. En realidad, utilizando el concepto de números conjuga-dos, hoy sabemos que la gráfica de cualquier función f (x) contiene, en sus propiedades geométricas, todas las raíces de la ecuación f (x) = 0, reales y complejas. Permíteme concluir este capítulo mostrándote cómo es eso, en particular, para cuadráticas y cúbicas.

Cómo hallar raíces complejas con una regla

Cuando se grafica un polinomio f (x) de grado n con coeficientes rea-les, la interpretación geométrica es que el dibujo cortará el eje real en cada raíz real de la ecuación f (x) = 0. Del cruce del eje x, de hecho, es de donde viene el cero del lado derecho. Si hay menos de n cruces, digamos m < n, entonces la interpretación es que hay m raíces reales dadas por cada cruce, y n – m raíces complejas. El valor de n – m es un número par ya que, como mostramos en el apéndice a, las raíces com-plejas aparecen siempre como pares conjugados. Esto no quiere decir, sin embargo, que no haya una evidencia “física” de las raíces complejas en la gráfica. La evidencia de las raíces reales, un cruce del eje x, es simple y directa, pero si estás dispuesto a hacer un poco más de esfuer-zo también podrás ver las raíces complejas en la gráfica.

Primero, considera la ecuación cuadrática f (x) = ax2 + bx + c = 0. Las dos raíces de esta ecuación son ambas reales o un par de complejos conjugados, dependiendo del signo algebraico de la cantidad b2 – 4ac. Si ésta no es negativa, entonces las raíces son reales y la gráfica cruza dos veces el eje x, o bien la gráfica es tangente al eje (si b2 – 4ac = 0, lo que da lugar a una raíz doble). Si b2 – 4ac es negativo, entonces las raíces son complejas y no hay cruces del eje x, que es lo que se muestra en la fi-gura 4. Supongamos que éste es el caso, y que las raíces son p ± iq. En-tonces, escribiendo f (x) en forma factorizada,



f (x) = a(x – p – iq)(x – p + iq) = a[(x – p)2 + q2],

es claro que f (x) ≥ aq2 si a > 0 y que f (x) ≤ aq2 si a < 0. Esto es, f (x) alcan-za su mínimo valor en x = p si a > 0 (como se muestra en la figura 4), o su máximo valor en x = p si a < 0. Podemos, por lo tanto, calcular p a partir de la gráfica de f (x) como la coordenada x del extremo local.

Para calcular el valor de q a partir de la gráfica, empieza por deter-minar la coordenada y del mínimo (asumiendo a > 0; el caso a < 0 re-quiere una adaptación trivial), es decir, determina aq2. Entonces, con x = p, muévete hacia arriba 2aq2 unidades y luego hacia la derecha hasta intersecar la gráfica. La coordenada en x de ese punto de intersección (llamémoslo x̂), cuando se pone como argumento de la función, da

f ( x̂) = 2aq2 = a[( x̂ – p)2 + q2] = a( x̂ – p)2 + aq2

o

aq2 = a( x̂ – p)2 o q = x̂ – p.

Así, q puede obtenerse directamente de la gráfica de f (x), como mues-tra la figura 4.

Pasando ahora a las cúbicas, observemos primero que tiene que ha-ber (a) tres raíces reales o (b) una raíz real y dos raíces complejas conju-gadas. Debes tener claro por qué las tres raíces no pueden ser complejas y por qué no puede haber dos raíces reales y una raíz compleja. Si no lo tienes claro, consulta el apéndice a. El caso (b) es el que nos interesa. Llamemos x = k a la raíz real y al par de raíces conjugadas x = p ± iq. En-tonces, podemos escribir f (x) en forma factorizada como

y = f (x) = (x – k)(x – p + iq)(x – p – iq)

o, desarrollando y agrupando tér-minos, como

f (x) = (x – k)(x2 – 2px + p2 + q2).

La gráfica de una cúbica con una única raíz real, o sea con un solo cruce del eje x, tendrá en general la apariencia de la figura 5. Cons-truye el triángulo AMT, donde A es el punto de intersección de y = f (x) con el eje x, T es el punto de tangencia a y = f (x) de una recta que pasa por A, y M es el pie de la perpendicular al eje x que pasa por T. Por supuesto, la raíz real es k = OA.

Ahora, consideremos la recta y = λ(x – k), que claramente pasa por A, ya que y = 0 cuando x = k.

2aq2

aq2

O p+qx

q

p

f x ax bx c b ac a( )= + + − < >2 2 4 0 0, y

Figura 4. Una ecuación cuadrática sin raíces reales.



Imagina que λ, la pendiente de esta recta, se ajusta hasta que apenas toca la gráfica, es decir, hasta que es tangente a y = f (x). Esto nos da entonces T, y como en ese punto la gráfica y la recta se intersecan te-nemos que y = f (x) y y = λ(x – k); denotemos con x̂ al valor de x que cumple esa igualdad:

( )=( )( 2 ).2 2 2ˆ ˆ ˆ ˆx k x k x px p q− − − + +

Como x̂ – k ≠ 0, podemos dividir ambos lados de la ecuación para ob-tener una cuadrática en x̂,

= 2 .2 2 2ˆ ˆx px p q− + +

De hecho, como T es un punto de tangencia, debe haber sólo un valor de x̂. Esto es,

ˆ ˆx px p q2 2 22 = 0− + + −

debe tener dos raíces iguales, o sea una doble. Ahora, en general,

x̂

p p p q=2 4 4( )

2 ,2 2 2± − + −

y, para tener raíces dobles, el radical debe ser cero. Esto es,

4p2 – 4( p2 + q2 – λ) = 0

o λ = q2. Esto es, la recta tangente AT tiene pendiente q2 = TM/AM. El valor de x̂ es entonces, a partir de su expresión general, x̂ = p = OM.

Así que, para hallar todas las raíces de la cúbica, necesitas dibujar y = f (x) y entonces:

1] obtén la raíz real calculando OA (= k);

2] coloca una regla usando a A como pivote y acomódala hasta que apenas toque la función gra-ficada (“localizando” así a T );

3] calcula TM y AM, y calcula luego

q = TM

AM;

4] calcula OM para obtener p; 5] las dos raíces imaginarias son

p + iq y p – iq.

T

O A Mx

y f x= ( )

Figura 5. Una ecuación cúbica con una sola raíz real.


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