Números imaginarios

Alan Kevin Piarpussan Alfonso Carlo federici Algebra Profesor: Ricardo

NÚMEROS IMAGINARIOS

A pesar de que Descartes originalmente usaba el término “números imaginarios” para referirse a lo que hoy en día se conoce como números complejos, el uso común en la actualidad de los números imaginarios significa un número complejo cuya parte real es igual a cero. Para clarificar y evitar confusiones, tales números muchas veces son mejor llamados números imaginarios puros.

René Descartes acuñó esté termino durante sus estudios en el Siglo XVII, pero sus intenciones eran dar a ciertos números complejos un carácter despectivo, pero luego pasó a ser un eje fundamental(literalmente) en lo que posteriormente sería el plano cartesiano. Pues, en este plano los ejes cartesianos reales se encuentran en el eje X de forma horizontal y los imaginarios en el Y del eje vertical complejo

Definición de los números imaginarios

es un número cuya potenciación es negativa. Es decir que cuando se eleva al cuadrado o se multiplica por sí mismo, su resultado es negativo.

Si se eleva al cuadrado a cualquier otro número real su resultado siempre será positivo. Por ejemplo cinco al cuadrado o 5², es decir 5 × 5 da como resultado 25. En su defecto, -5² a pesar de ser un número negativo su resultado también será positivo debido a que -5 × -5 anula su negatividad y da como resultado 25.

historia

1572: Rafael Bombelli realiza cálculos utilizando números imaginarios.

1777:Leonhard Euler utiliza el símbolo “i” para representar la raíz cuadrada de -1.

1811: Jean-Robert Argand crea la representación gráfica del Plano complejo también conocida como plano de Argand

Interpretación Geométrica Geométricamente, los números imaginarios se

encuentran en el eje vertical del plano complejo, presentándolos como perpendiculares al eje real. Una manera de ver los números imaginarios es el considerar una recta numérica típica, que aumenta positivamente hacia la derecha y aumenta negativamente hacia la izquierda. Podemos entonces dibujar un eje de coordenadas vertical pasando por el 0 del eje horizontal, de modo que represente números imaginarios aumentando positivamente hacia arriba y negativamente hacia abajo.

 Este eje vertical es llamado el "eje imaginario" y es denotado como , , o simplemente . En esta representación, una multiplicación por –1 corresponde a una rotación de 180 grados sobre el origen. Una multiplicación por  corresponde a una rotación de 90 grados en la dirección "positiva" (en el sentido antihorario), y la ecuación  puede interpretarse diciendo que si aplicamos dos rotaciones de 90 grados sobre el origen, el resultado final es equivalente a una simple rotación de 180 grados. Nótese que una rotación de 90 grados en la dirección "negativa" (sentido horario) satisface también esta interpretación

Unidad y símbolo de los números imaginarios

Su símbolo común y frecuente es el del número imaginario i siendo la inicial de “imaginario” y casi siempre va acompañado de un número real para denotar sus distintas propiedades de números imaginarios y expresar de forma particular la suma de un número real y de un número imaginario.

Sin embargo en ciertos campos, en especial los relacionados con la electricidad, a esta unidad imaginaria se la representa de manera diferente para poder clasificarla y no confundirla con el símbolo de la corriente alterna que se denota usualmente con la letra i, por lo tanto en estos campos también se puede encontrar a los números imaginarios representados con la letra j, sin cambiar de ninguna manera sus propiedades o resultados.

Propiedades de los números imaginarios

Para la suma, encontramos que:La suma de los números imaginarios es cerrada, lo cual significa que si se suman dos números imaginarios, el resultado también será un número imaginario.

Tiene una propiedad conmutativa, el orden de los sumandos no altera la adición.

También una propiedad distributiva, donde la suma de dos números multiplicada por un tercer número es igual a la suma del producto de cada sumando multiplicado por el tercer número.

Durante la sustracción, por cada número imaginario, existe un número negativo cuya adición dará como resultado cero.

Ejemplos de números imaginarios

Ejemplos de las propiedades de la suma

Propiedad cerrada: 3i + 4i = 7i.Propiedad conmutativa: 2i + 4i = 4i + 2i.Propiedad distributiva: (6i + 4i) × 5i = (6i ×5i) + (4i × 5i).Número neutro: 8i + 0 = 8i.Elemento opuesto o inverso aditivo: 3i -3i = 0.

Ejemplos en el producto o multiplicación

Propiedad conmutativa: (6i) (3i) = (3i) (6i) o lo que es lo mismo 6i × 3i = 3i × 6i.Propiedad distributiva: 3i × (5i × 4i) = (3i × 5i) × 4i.Elemento opuesto o Inverso multiplicativo: 4i × 1/4i = 1.

Ejemplo de las propiedades de la potenciación

Unidad imaginaria: √-1 = i. Esta es la propiedad que define al número imaginario i.

Utilidad de los números imaginarios

El uso de los números imaginarios puede estar presente en muchos campos, pero principalmente lo podemos encontrar en el teorema fundamental de álgebra para encontrar la raíz cuadrada de números negativos.

Números imaginarios Un número imaginario se denota por bi,

donde b es un número real i es la unidad imaginaria

Números complejos en forma binómica

Al número a + bi le llamamos número complejo en forma binómica .

El número a se llama parte real del número complejo.

El número b se llama parte imaginaria del número complejo.

Si b = 0 el número complejo se reduce a un número real ya que a +

0i = a.

Unidad imaginaria

Unidad imaginaria La "unidad" imaginaria (el equivalente al

1 de los números reales) es √(-1) (la raíz cuadrada de menos uno).

En matemáticas se usa i (de imaginario) pero en electrónica se usa j (porque "i" ya es la corriente, y la letra siguiente después de la i es la j).

 haciendo la raíz cuadrada de los dos lados tendríamos un valor para la raíz cuadrada de -1:

 simplemente aceptando que exista i podemos resolver muchos problemas donde nos hace falta la raíz cuadrada de un número negativo.

Ejemplo: ¿cuál es la raíz cuadrada de -9? Respuesta: √(-9) = √(9 × -1) = √(9) × √(-1) = 3 × √(-

1) = 3i Mientras tengamos esa pequeña "i" ahí para

recordarnos que hay que multiplicar por √-1 no tendremos problemas con seguir calculando para llegar a la solución.

Ecuación cuadrática

Una ecuación cuadrática puede dar resultados con números imaginarios...

  ... pero quizás después de más cálculos el número "i" se cancela (o se convierte en real porque está al cuadrado), dando una respuesta que es real.

Propiedad interesante

La unidad imaginaria, i, tiene una propiedad interesante. "Da la vuelta" pasando por 4 valores diferentes cuando la multiplicas:

Bibliografía

http://www.disfrutalasmatematicas.com/numeros/numeros-imaginarios.html

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_imaginario