1 a-iv le potentiel Électrique scalaire a-iv.1 définition - propriétés la troisième notion de...
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A-IV Le Potentiel Électrique Scalaire
A-IV.1 Définition - Propriétés
La troisième notion de notre cours d’électrostatique, après celle de force de Coulomb et celle de champ électrique, est la notion de potentiel électrostatique scalaire.
Son introduction utilise la notion de travail d’une force.
Soit un point M d’un parcours où se trouve une charge soumise à un champ qui occasionne une force de Coulomb à laquelle un observateur oppose une force pour maintenir l’équilibre.
On appelle différence de potentiel le travail de la force entre A et B divisé par
AB
Mq
E
cF
oF
qAB
E
cF
oF
AB VV q
oF
q)BA;F(W
VV oAB
q)BA;F(W
VV oAB
)BA;F(W o
Remarques
Il faut que le déplacement de la charge entre A et B se fasse sans accélération. On dit que le déplacement est quasi-statique avec comme condition en chaque position
Le travail est donné par l’expression
0FF co
)BA;F(W o
B
A oo d.F)BA;F(W
L’unité de potentiel est le Volt
2
Potentiel électrique en un point M
Considérons l’expérience précédente qui conduit l’observateur du point A rejeté à très grande distance des sources du champ au point M.
Si le potentiel est pris égal à zéro alors le potentiel au point M devient
M
M’q
E
cF
oF A
E
AV
q)M;F(W
)M(V o
q)M;F(W
)M(V o
L’origine de ce potentiel est dans les charges électriques sources du champ .
Calculons explicitement ce potentiel pour le champ créé par une charge ponctuelle.
Pour un parcours rectiligne radial
Le potentiel créé par une charge ponctuelle à la distance r peut alors s’écrire
E
3o
or4
'r'qqF
r4
'r
'dr
4
'r
dl'.r
4
'qq)M;F(W
o
r
2o
M
3o
o
r4
q)M(V
o
r4
q)M(V
o q
M
r
0q
MqE
'OM'r
'q M’
A
M
OMr
oF
O
Le sens de est arbitraire
oF
3
Propriétés du potentiel créé par un charge ponctuelle
C’est un grandeur scalaire, algébrique.
Le signe du potentiel est celui de la charge q.
Il est en intensité inversement proportionnel à la distance de la charge qui le crée.
Il est directement proportionnel à la valeur de la charge.
Ne dépendant que du module r il est constant à distance constante de la charge.
Nous montrerons dans les compléments que le chemin suivi pour arriver au point M n’influe pas sur la valeur du potentiel en ce point.
Une autre manière d’exprimer ce résultat : la différence de potentiel entre deux points ne dépend pas du trajet suivi pour la calculer.
La définition même du potentiel à partir du travail, processus continu, implique que le potentiel est une fonction continue des positions dans l’espace.
r4
q)M(V
o
r4
q)M(V
o
qr Potentiel
constant sur une sphère centrée sur la charge
4
A-IV.2 Relation Champ - Potentiel
Reprenons les deux relations de définition du champ et du potentiel ,créés par une charge ponctuelle
De manière purement formelle nous avons
E notant la valeur algébrique du champ le signe lui étant conféré par celui de q.
Cette relation à une dimension
se généralise-t-elle à trois dimensions?
Pour le montrer il faut introduire un nouvel opérateur vectoriel s’appliquant à une fonction scalaire à trois variables d’espace f(x,y,z) et que l’on appelle
Noté simplement
Par définition en coordonnées cartésiennes
M
0q
MqE
MqV
3o
Mqr
rq
4
1E
rq
4
1V
oMq
Er
q
4
1drdV
2o
drdV
E
(f) gradient
f grad
kzf
jyf
ixf
f grad
La notation signifie une dérivation
partielle par rapport à la variable notée, ici x.
Exemple : si
xf
32 zyx)z,y,x(f
xy2xf
2x
yf
2z3
zf
kz3jxi2xyf grad 22
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Considérons la fonction
Il vient facilement avec
Soit la relation locale cherchée entre le champ et le potentiel électriques
1/2 222 zyx
1r1
)z,y,x(f
kzjyixr
33/2 222 r
r
zyx
kzjyixr1
gradf grad
V(M) grad)M(E
V(M) grad)M(E
A-IV.3 Différence de potentiel
La relation locale entre le champ et le potentiel électriques produit également une relation globale. Calculons ce que l’on appelle la circulation du vecteur champ électrique entre les points A et B d’une courbe quelconque, en utilisant la relation locale entre le champ et le potentiel
AB
M
E
AV
BV
E
B
A BAB
A
B
AVVdVd.Vgradd.E
BAB
AVVd.E
BA
B
AVVd.E
Il a été fait usage de la relation
On peut la déduire de
variation totale de la fonction V(x,y,z) lorsque les trois variables varient.
d.VgraddV
dVdzzV
dyyV
dxxV
d.Vgrad
kdzjdyidxd
Avec
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Remarques concernant les relations champ – potentiel
Le fait que localement
et globalement
implique que le champ soit orienté vers les potentiels décroissants.
Circulation du champ électrique sur une courbe fermée. Partant du point A et retour au point A il vient
La fonction potentiel étant définie continue elle reprend la même valeur après un tour complet. D’où la propriété importante du champ électrique:
la circulation du champ électrique sur une courbe fermée est nulle
BAB
AVVd.E
A B
E
BA VV
A B
E
BA VV
C
A
M
E
0VVd.E AAC
0d.EC
0d.EC
V(M) grad)M(E
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A-IV.3 Surfaces équipotentielles
Le potentiel est une fonction scalaire de points
Un domaine où V(x,y,z) = Ct doit permettre de trouver une
autre fonction qui explicite la coordonnée z en fonction de x et y.
Cette dernière fonction représente une surface, relation entre x , y et z sur laquelle V = Ct.
De telles surfaces sont dites équipotentielles.
Les domaines équipotentiels ne se limitent pas à des surfaces, ils peuvent s’étendre à des volumes (voir la leçon sur les conducteurs) à l’équilibre où tout le volume du conducteur est au même potentiel (volume isopotentiel).
)z,y,x(V
)y,x(Sz VVS
x
y
z
O
M
Surface équipotentielle
Direction des lignes de champ par rapport aux surfaces équipotentielles.
Soient deux points A et B quelconques, distincts, sur une surface équipotentielle .
La circulation du champ électrique entre A et B sur un parcours appartenant à la surface est nulleVS
0VVd.EB
A
VSAB
E
d
Suite
VS
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VSAB
E
d
Pour que cette expression soit nulle pour tout point A et B de la surface équipotentielle il faut que
Comme le vecteur infinitésimal appartient à la surface on déduit la propriété importante:
Les lignes de champ sont orthogonales aux surfaces équipotentielles.
dE d VS
VS
E
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Electrostatic Potential Map H2O
Positively charged region(blue)
Negatively charged region(red)
H2O(no net charge)
Oxygen(red)
Hydrogen(white)
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Electrostatic Potential Map H3O+
More positive(blue)
Less positive(green)
H3O+
(+1 charge)
Oxygen(red)
Hydrogen(white)
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Most negative charge
Most positive charge
H3O+ and waterHow do they interact?
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Electrostatic Potential MapH3O+ + 3 H2O
H3O+ surrounded by three water molecules –
still +1 charge
Green signifies reduced positive charge compared with
H3O+ alone.
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BENZENEBENZENE
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A-IV.4 Potentiel créé par plusieurs charges ponctuelles
Distribution discrète de charges
La définition même du potentiel dans ses relations à la force électrique permet d’appliquer le principe de superposition et de déduire le potentiel total par simple sommation, ici plus simple que pour le champ car nous avons affaire à une somme de scalaires et non plus de vecteurs.
1M
2M
1q
2q
M
1r
2r
Mqq 21
V
1
1
oMq r
q
4
1V
1
2
2
oMq r
q
4
1V
2
2
2
1
1
oMqq r
q
r
q
4
1V
21
Pour une distribution discrète de N charges N1,i M,q ii
N
1i i
i
oMq r
q
4
1V
i
N
1i i
i
oMq r
q
4
1V
i
Pour deux charges
N1,i MMr ii
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A-IV.5 Compléments
a- Calcul du potentiel pour un trajet quelconque
Pour un parcours quelconque l’expression du travail est au départ la même
Il faut alors estimer l’expression générale
Soit en coordonnées cartésiennes
et
Il vient
Avec
Le travail peut alors s’écrire
M
3o
o'r
dl'.r
4
'qq)M;F(W
3'r
dl'.r
0q
MqE
'OM'r
'q
M’
A
M
OMr oF
O
k'zj'yi'x'r
k'dzj'dyi'dxd
)'u(d21 'dz'z 'dy'y 'dx'x d'.r
2222 r' 'z 'y 'x 'u
r4'qq
'u1
4'qq
'u2)'u(d
4'qq )M;F(W
o
2r
o
2r
2/3o
o
r4
q)M(V
o
r4
q)M(V
o
Soit pour le potentiel
L’expression est la même que celle trouvée pour le parcours linéaire radial. Ce qui montre en toute généralité que la différence de potentiel entre deux points ne dépend pas du chemin suivi. C’est la moindre des choses si on veut que le potentiel en un point ait un sens physique.
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Les calculs du potentiel électrique en un point M sont valables que le point M soit situé hors ou dans le domaine de la distribution de charges.
b- Potentiel créé par une distribution de charges
d
'rr
)'r(
4
1)r(V
o
Le potentiel de la charge totale du domaine 3D est donné au point M par
S
o
dS'rr
)'r(
4
1)r(V
C
o
d'rr
)'r(
4
1)r(V
r
O
S
C
r
r
S
'r
'r
'r
M
M
M
Le potentiel de la charge totale du domaine 2D est donné au point M par
Le potentiel de la charge totale du domaine 1D est donné au point M par
Au même titre que pour le champ électrique donnons les expressions du potentiel électrique scalaire produit par une distribution de charges dans les trois cas de dimensionnalités.
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c- Propriétés locales du potentiel électrique
Deux relations impliquant le champ électrique nous permettent de déduire une propriété locale du potentiel électrique.
Nous avons établi une relation locale entre le champ électrique et la densité de charges
De même qu’une relation directe entre le potentiel et le champ électrique
En combinant les deux relations
L’opérateur divergence du gradient n’est autre que le laplacien noté Δ.
On en déduit l’équation de Poisson reliant le potentiel et la densité locale de charges
En un point dépourvu de charge cette équation se réduit à l’équation de Laplace
V(M) grad)M(E
o
)M()M(Vgraddiv
o
)M()M(V
o
)M()M(V
0)M(V
La forme explicite du laplacien d’une fonction scalaire V(x,y,z) est dans la version cartésienne 2
2
2
2
2
2
z
V
y
V
x
V)z,y,x(V
o
)M()M(Ediv
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A-IV.6 Exercice à faire
N°1- Potentiel d’une sphère chargée en volume Soit une sphère de rayon R portant une charge
uniformément répartie dans tout son volume avec une densité ρ constante.
1- Calculer par une méthode directe le potentiel électrique en un point M à la distance r du centre O de la sphère avec OM = r.
2- Étudier et tracer V(r) pour r variant de 0 à
3- Retrouver l’expression du potentiel à partir de celle du champ électrique.
O
RM
?)M(V
N°2- Potentiel créé par un fil fini chargé
x
O
M
y
ab
cc
λ
Soit un fil rectiligne, fini, de longueur 2c, de centre O, portant une charge électrique uniformément répartie de λ coulombs par unité de longueur.
1-Trouver le potentiel électrique en un point M ce coordonnées (a,b) dans le repère (O;x,y) donné.
2-En déduire dans ce repère les composantes du champ électrique.
3-Déterminer les lignes équipotentielles dans le plan de la figure de même que les lignes de champ. Montrer leur perpendicularité.
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N°3- Potentiel créé une plaque carrée uniformément chargée
MxO
2c
2c
Soit une plaque carrée de côté 2c, de centre O, portant une charge électrique par unité de surface.
1-Calculer le potentiel électrique créé en un point M de l’axe à la distance x = OM.
2-Donner l’expression de ce potentiel en O.
3-Retrouver l’expression du champ électrique en M à partir de celle du potentiel.
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A-V L’Énergie Électrique
A-V.1 Généralités sur l’énergie potentielle d’un système physique
Une définition très générale de l’énergie potentielle d’un système physique peut être la suivante:
L’énergie potentielle d’un système physique est l’énergie qu’un observateur doit dépenser pour mener le système dans son état présent, à partir de constituants initialement à l’infini les uns des autres
L’origine de cette énergie peut être multiple compte tenu de la complexité éventuelle du système.
Nous intéresse ici l’énergie potentielle de charges électriques en présence de champ électrique.
Comme les charges électriques sont ponctuelles nous ne sommes pas concernés par l’énergie potentielle d’une charge ponctuelle dans son propre champ.
Par contre, pour un ensemble de charges de dimension finie, il sera nécessaire de considérer l’énergie potentielle propre du système de charges dans le champ global qu’elles créent.
Système constitué
Éléments issus d’endroits où ils sont très éloignés les uns des autres
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A-V.2 Énergie potentielle électrique d’une charge ponctuelle dans un champ électrique extérieur
Quand nous avons construit le potentiel électrique nous avons calculé le travail d’un observateur mis en jeu pour déplacer une charge q depuis une grande distance jusqu’à un point M dans le champ créé par une charge q’.
Avec l’expression du potentiel créé en M par la charge q’
Nous obtenons l’expression de l’énergie potentielle recherchée, celle d’un charge q placée au potentiel V.
Cette expression est valable pour toute source de champ localisée
0'q
q
M
O
)M(V
r4
'qq)M;F(W
oo
r4
'q)M(V
o
qVW V dans q qVW V dans q qM
Source de champ
V(M) créé par la source de champ
qVW
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A-V.3 Énergie potentielle électrique d’un couple de deux charges en interaction
L’énergie potentielle de la charge dans le champ de la charge est
expression dans laquelle
2q 1q
1q
21 qqV
2q
12 qqV
2112 rr
2122 qq2V dans qVqW
12o
1qq r4
qV
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L’énergie potentielle de la charge dans le champ de la charge est
expression dans laquelle
Dans le cas présent l’une des énergies n’existe pas sans l’autre. Elles représentent la même quantité physique qui est l’énergie d’interaction entre les deux particules chargées.
En prévision de la suite nous noterons cette énergie
2q1q
1211 qq1V dans qVqW
21o
2qq r4
qV
12
2211 V dans qV dans qWW
221121 V dans qV dans qq qWW
21
W
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A-V.4 Énergie potentielle électrique d’un système de charges en interaction
iqNq
1q
2q3q
jq
iV
Soit un système de N charges ponctuelles
Chaque charge, par exemple est soumise au potentiel dû aux N-1 autres charges
étant la distance entre la charge et la charge
Cette charge a une énergie potentielle égale à
L’énergie potentielle de l’ensemble des N charges en interaction est donnée par
Le facteur ½ se justifie facilement par récurrence et a déjà été vu pour deux charges (faire la démonstration).
N1,i qi
iq iV
ij ji
j
oi r
q
4
1V
jir iqjq
iii VqW iq
N
1iii
N
1ii Vq
21
W21
W