1

JJednosmernednosmernee struj strujee- Metode za rešavanje električnih kola –- Metode za rešavanje električnih kola –

Elektrotehnika sa elektronikom

2

1) Analiza električnih kola2) Metode za rešavanje električnih kola

Sadržaj predavanja

3

Analiza električnih kolaAnaliza električnih kola

Podrazumeva određivanje odziva (struje i/ili napona) u Podrazumeva određivanje odziva (struje i/ili napona) u kolu, koji su posledica delovanja nezavisnih strujnih i kolu, koji su posledica delovanja nezavisnih strujnih i naponskih generatora.naponskih generatora.

Postupak analize:Postupak analize: obeležiti struje u svim granama,obeležiti struje u svim granama, obeležiti napone neophodne za analizu,obeležiti napone neophodne za analizu, postaviti jednačine po prvom i drugom Kirhofovom postaviti jednačine po prvom i drugom Kirhofovom

zakonu,zakonu, napisati karakteristike elemenata u kolu,napisati karakteristike elemenata u kolu, rešiti sistem jednačina.rešiti sistem jednačina.

4

Za deo kola dat na slici poznate su sledeće vrednosti: Za deo kola dat na slici poznate su sledeće vrednosti: II11=50 mA, =50 mA, RR11=600 Ω, =600 Ω, RR33=150 Ω, =150 Ω, RR44=450 Ω, =450 Ω, RR55==RR66=100 Ω. =100 Ω.

IzraIzračunati:čunati:a) Ekvivalentnu otpornost između tačaka A i B.a) Ekvivalentnu otpornost između tačaka A i B.b) Vrednosti svih električnih struja u kolu.b) Vrednosti svih električnih struja u kolu.

65431AB RRRRRR a)a)

500ABR

b)b)

mA100

mA100

0

mA50

56

5

351

3

143

13

43311

II

I

III

I

IRR

RI

RRIRI

5

Ig

RE

I

+Ug

gII

ggIg IUP

OdreditiOdrediti snage na svim elementima u kolu. snage na svim elementima u kolu.

22gR IRIRP

gE IEIEP

gg IREU

ggIg IIREP

6

Metode za reMetode za rešavanje električnih kolašavanje električnih kola

Kirhofova pravilaKirhofova pravila Metoda konturnih strujaMetoda konturnih struja Metoda napona između čvorovaMetoda napona između čvorova MMetod superpozicijeetod superpozicije Tevenenova teroemaTevenenova teroema Nortonova teoremaNortonova teorema Metod reciprocitetaMetod reciprociteta Kompenzaciona teoremaKompenzaciona teorema

7

Izveden za kolo koje sadrži isključivo naponske generatore, a Izveden za kolo koje sadrži isključivo naponske generatore, a može da koristi i strujne generatore. Izveden iz Kirhofovih pravilamože da koristi i strujne generatore. Izveden iz Kirhofovih pravila..

1.1. Sistem jednačina Sistem jednačina zza rešavanje kola piše se na strogo formalizovan način a rešavanje kola piše se na strogo formalizovan način nezavisno od onezavisno od obblika kola i broja nezavisnih veličina.lika kola i broja nezavisnih veličina.

2.2. Daje manji broj jednačina od primene Kirhofovih zakona i jednak je broju Daje manji broj jednačina od primene Kirhofovih zakona i jednak je broju jednačina po drugom Kirhofovom zakonujednačina po drugom Kirhofovom zakonu

II·R11+ III·R12+...+ IIII·R13+...+ IN·R1N=(∑E)I

II·R21+ III·R22+...+ IIII·R23+...+ IN·R2N=(∑E)II

.

.

.II·RN1+ III·RN2+...+ IIII·RN3+...+ IN·RNN=(∑E)N

Metoda konturnih strujaMetoda konturnih struja

II

III

IN

8

II·R11+ III·R12+...+ IIII·R13+...+ IN·R1N=(∑E)I

II·R21+ III·R22+...+ IIII·R23+...+ IN·R2N=(∑E)II

.

.

.

II·RN1+ III·RN2+...+ IIII·RN3+...+ IN·RNN=(∑E)N

Metoda konturnih strujaMetoda konturnih struja

II

III

IN

Elementi na glavnoj dijagonali nazivaju se sopstvenim otpornostima odgovarajućih kontura i predstavljaju zbir otpornosti ovih otpornika u toj konturi

Elementi van glavne dijagonale Rij su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu i nazivaju se međusobne otpornosti

Otpornosti mogu biti pozitivne ukoliko su smerovi konturnih struja u zajedničkim granama isti (Rij>0)

Otpornosti mogu biti negativne ukoliko se smerovi konturnih struja u zajedničkim granama ne poklapaju (Rij<0)

9

II·R11+ III·R12+...+ IIII·R13+...+ IN·R1N=(∑E)I

II·R21+ III·R22+...+ IIII·R23+...+ IN·R2N=(∑E)II

.

.

.

II·RN1+ III·RN2+...+ IIII·RN3+...+ IN·RNN=(∑E)N

Metoda konturnih strujaMetoda konturnih struja

II

III

IN

Ako dve konture nemaju zajedničku granu ili ukoliko je otpornost u zajedničkoj grani jednaka nuli tada je Rij=0

Suma Ei predstavljaju algebarski zbir EMS računat u odnosu na smer konturne struje

10

R1

R2

R3

E1

E2

E3 Za kolo prikazano na Za kolo prikazano na slici poznate su sledeslici poznate su sledeće će vrednosti elemenata:vrednosti elemenata:

EE1 1 = 6 V = 6 V

EE22 = 4 V = 4 V

EE3 3 = 5 V= 5 V

RR11 = 200 = 200 ΩΩ

RR2 2 = 400 = 400 ΩΩ

RR3 3 = 100 = 100 ΩΩ

Odrediti intenzitete struja u svim granama kola.Odrediti intenzitete struja u svim granama kola.

Metoda konturnih strujaMetoda konturnih struja

11

2. Prebrojati grane i čvorove kola i izabrati

nezavisnih kontura

1.1. ObeleObeležiti struje u žiti struje u kolukolu

Struje se Struje se obeležavaju u svim obeležavaju u svim granama kola.granama kola.

Smer struje kroz Smer struje kroz granu je proizvoljangranu je proizvoljan

1čgk nnn

2k n2č n3g n

Da bi konture bile nezavisne sDa bi konture bile nezavisne svaka vaka od od kontura kontura treba da treba da sadrsadrži po jednu granu koja samo njoj pripada (smer kontura ži po jednu granu koja samo njoj pripada (smer kontura je proizvoljan)je proizvoljan)

II11

II22 II33

II IIII

R1

R2

R3

E1

E2

E3

12

13

R1

R2

R3

E1

E2

E3

II IIIIII11

II22 II33

3.3. Napisati sistem Napisati sistem jednačina po metodi jednačina po metodi

konturnih struja:konturnih struja:

4. Odrediti koeficijente 4. Odrediti koeficijente RRkk kk i i

RRkjkj i slobodne članove i slobodne članove EEkk u u

prethodnim jednačinama:prethodnim jednačinama:

IIII22I21

III12I11

EIRIR

EIRIR

Koeficijent Koeficijent RRkkkk predstavlja sumu otpornosti u konturi k, a predstavlja sumu otpornosti u konturi k, a RRkjkj sumu sumu

otpornosti zajedničkih za konture k i j. Predznak koeficijenta otpornosti zajedničkih za konture k i j. Predznak koeficijenta RRkk kk je uvek je uvek

pozitivan, dok predznak pozitivan, dok predznak RRkjkj zavisi od smerova kontura kroz posmatrane zavisi od smerova kontura kroz posmatrane

elemente i pozitivan je ako su konture istog, a negativan ukoliko su elemente i pozitivan je ako su konture istog, a negativan ukoliko su konture suprotnog smerakonture suprotnog smera

2111 RRR 3122 RRR 21112 RRR

14

Slobodni članovi Slobodni članovi EEk k predstavljaju sumu elektromotornih sila predstavljaju sumu elektromotornih sila

obuhvaćenih konturom k. EMS čiji se smer poklapa sa smerom obuhvaćenih konturom k. EMS čiji se smer poklapa sa smerom obilaska konture se uzimaju sa pozitvnim, a EMS suprotnog obilaska konture se uzimaju sa pozitvnim, a EMS suprotnog smera sa negativnim predznakomsmera sa negativnim predznakom

21I EEE 13II EEE

R1

R2

R3

E1

E2

E3

II11

II22 II33

II IIII

V1300200

V10200600

III

III

II

II

mA20I I

mA10II I

mA10III1 III

mA20I2 II

mA10II3 II

15

Za kolo prikazano na slici poznate su sledeZa kolo prikazano na slici poznate su sledeće vrednosti će vrednosti elemenata:elemenata:

EE1 1 = 36 V = 36 V

EE22 = 10 V = 10 V

EE5 5 = 12 V = 12 V

IIg g = 10 = 10 mmAA

RR11 = 500 = 500 ΩΩ

RR2 2 = 750 = 750 ΩΩ

RR3 3 = 100 = 100 ΩΩ

RR4 4 = 300 = 300 ΩΩ

Metodom konturnih struja odrediti struje u svim granama kola, Metodom konturnih struja odrediti struje u svim granama kola, kao i snagu koja se razvija na strujnom generatoru.kao i snagu koja se razvija na strujnom generatoru.

R1 R2

R3

E1

E2

E5R4

Ig

A B

PriPrimmer - Metoda konturnih strujaer - Metoda konturnih struja

16

gIII

IIIII23II22I21

IIII13II12I11

II

EIRIRIR

EIRIRIR

25II32I3

1III4II3I431

EEIRRIR

EIRIRIRRR

Ukoliko u kolu postoji grana sa strujnim generatorom samo Ukoliko u kolu postoji grana sa strujnim generatorom samo jedna od kontura sme prolaziti kroz tu granu, a struja te konture jedna od kontura sme prolaziti kroz tu granu, a struja te konture je određena strujom strujnog generatoraje određena strujom strujnog generatora. . Sistem jednačina u Sistem jednačina u tom slučaju svodi se na ntom slučaju svodi se na njksjks jednačina: jednačina:

3)1( čgk nnn

2gk Ijks nnn

I1

I3

I2

I5I4

II IIII

IIIIII

R1 R2

R3

E1

E2

E5R4

Ig

A B

17

R1 R2

R3

E1

E2

E5R4

Ig

A BII11

II33

II22

II55II44

II IIII

IIIIII

mA40I I

mA6,30II I

mA10III I

mA40I1 II

mA6,30II2 II

mA4,9III3 III

mA50IIII4 III

mA6,40IIIII5 III

V34IIII5BAg RIIEUU

mW30ggg IUP

18

Transformacija realnog naponskog u strujni generator, i obrnuto

E

Ri

J=ERi

Ri

19

Transformacija realnog naponskog u strujni generator, i obrnuto

RiRi

J

E=J·Ri

20

Izveden iz Kirhofovih zakona. Ima dve prednosti:Izveden iz Kirhofovih zakona. Ima dve prednosti:

1.1. Jednačine se pišu na šematizovan načinJednačine se pišu na šematizovan način

2.2. Broj jednačina je jednak broju jednačina po prvoBroj jednačina je jednak broju jednačina po prvomm Kirhofovom zakonu Kirhofovom zakonu

U10·G11 –U20·G12+...+ Un0·G1n=(∑J)1

-U10·G21 +U20·G22-...- Un0·G2n=(∑J)2

.

.

.-U10·Gn1 -U20·Gn2-...+Un0·Gnn=(∑J)n

Metoda napona između čvorova

n

1

0

2

3

φ1 = U10

φ2 = U20

.

.φn= Un0

21

Elementi na glavnoj dijagonali (sa znakom “+”) nazivaju se sopstvenim provodnostima odgovarajućih čvorova i predstavljaju zbir provodnosti svih grana vezanih za taj čvor

Elementi van glavne dijagonale su simetrični u odnosu na glavnu dijagonalu i nazivaju se međusobne provodnosti

(∑J) za svaki čvor predstavlja algebarski zbir struja svih strujnih generatora vezanih za taj čvor

0

n

1 2

3

U10·G11 –U20·G12+...+ Un0·G1n=(∑J)1

-U10·G21 +U20·G22-...- Un0·G2n=(∑J)2

.

.

.-U10·Gn1 -U20·Gn2-...+Un0·Gnn=(∑J)n

Metoda napona između čvorova

22

Metoda napona između čvorova

E1 E2

R2

R3R4

R5

Ig

R1

Odrediti struje svih grana kola primenom metode napona između čvorova. Poznate su vrednosti elementa u kolu:

EE1 1 = 10 V = 10 V

EE22 = 30 V = 30 V

IIg g = 80 m= 80 mA A

RR11 = 200 = 200 ΩΩ

RR2 2 = 2 k= 2 kΩΩ

RR3 3 = 1 k= 1 kΩΩ

RR4 4 = 2 k= 2 kΩΩ

RR5 5 = 2,5 k= 2,5 kΩΩ

23

1. 1. ObeleObeležiti struje u kolužiti struje u kolu

3. Broj jednačina:3. Broj jednačina:

2. Usvojiti referentni čvor 2. Usvojiti referentni čvor i obeležiti ostalei obeležiti ostale

4. Napisati sistem jednačina4. Napisati sistem jednačinaE1 E2

R2

R3R4

R5

Ig

R1

I1I2

I5

I4 I3

0

1 2

5. Odrediti koeficijente 5. Odrediti koeficijente GGkkkk ii G Gkjkj. Koeficijenti . Koeficijenti GGkkkk se računaju kao se računaju kao

suma provodnosti svih grana koje se sustiču u čvoru k, dok su suma provodnosti svih grana koje se sustiču u čvoru k, dok su

koeficijenti koeficijenti GGkj kj jednaki sumi provodnosti svih grana između jednaki sumi provodnosti svih grana između

čvorova k i j sa negativnim predznakom, pri čemu je: .čvorova k i j sa negativnim predznakom, pri čemu je: .kjjk GG

21 čnč nn

G11·U10 - G12·U20 = II

-G21·U10+ G12·U20 = III

24

mS9,5111

54111

RRRG

mS9,1111

53222

RRRG

mS4,01

52112

RGG

6. Slobodni članovi 6. Slobodni članovi IIk k nalaze se kao suma strujnih doprinosa grana nalaze se kao suma strujnih doprinosa grana

sa nezavisnim generatorima koje se sustiču u čvoru k. Struja sa nezavisnim generatorima koje se sustiču u čvoru k. Struja

nezavisnih strujnih generatora ulazi u sumu sa pozitivnim nezavisnih strujnih generatora ulazi u sumu sa pozitivnim

predznakom ukoliko je smer struje orijentisan ka čvoru k, a u predznakom ukoliko je smer struje orijentisan ka čvoru k, a u

suprotnom sa negativnim. Doprinos grana sa EMS nalazi se kao suprotnom sa negativnim. Doprinos grana sa EMS nalazi se kao

količnik sume EMS u grani i ukupne otpornosti grane, pri čemu ima količnik sume EMS u grani i ukupne otpornosti grane, pri čemu ima

pozitivan predznak ukoliko je tačka višeg potencijala EMS ka čvoru pozitivan predznak ukoliko je tačka višeg potencijala EMS ka čvoru

k, a u protivnom negativan.k, a u protivnom negativan.

J1=E1R1

0

1 2

R2

R3R4

R5

Ig

R1

J2=E2

R2

25

mA1301

1gI

R

EII mA65

2

2gII

R

EII

V2010 U V3020 U V5012 U

E1 E2

R2

R3R4

R5

Ig

R1

I1I2

I5

I4 I3

0

1 2

26

E1

R1

I1

+

U10

0

mA501

1101

R

EUI

E2

R2

+

I2

U20

0

2

mA302

2202

R

EUI

R3

+I3

U20

0

2

R4

+I4

U10

1

0

R5

+

I5

U12

1 2

mA303

203

R

UI mA10

4

104

R

UI mA20

5

125

R

UI

27

E1

E2

R5

R3

Ig

R4

R2

E3

Odrediti struje svih grana kola primenom metode napona između Odrediti struje svih grana kola primenom metode napona između čvorova. Poznate su sledeće vrednosti:čvorova. Poznate su sledeće vrednosti:

EE1 1 = 30 V = 30 V

EE22 = -22 V = -22 V

EE33 = 12 V = 12 V

IIgg = 23 mA = 23 mA

RR22 = 2 k = 2 kΩΩ

RR33 = 1 k = 1 kΩΩ

RR44 = 2,2 k = 2,2 kΩΩ

RR55 = 300 = 300 ΩΩ

Izvršiti transformaciju naponskog u strujni generator

28

31čnč nn

E1

E2

R5

R3

Ig

R4

R2

E3

0

1

2

3

Ukoliko u kolu postoji grana koja sadrži Ukoliko u kolu postoji grana koja sadrži samo nezavisnu EMS, nulti čvor se mora samo nezavisnu EMS, nulti čvor se mora postaviti na jedan od njenih krajevapostaviti na jedan od njenih krajeva.. Tada Tada je potencijal drugog kraja poznat i određen je potencijal drugog kraja poznat i određen vrednošću EMS, a broj jednačina koji je vrednošću EMS, a broj jednačina koji je neophodno rešiti se smanjuje za jednu neophodno rešiti se smanjuje za jednu jednačinu.jednačinu.

2Enčjnč nnn

Ako u kolu postoji više grana koje sadrže samo nezavisne EMS i ako Ako u kolu postoji više grana koje sadrže samo nezavisne EMS i ako svaka od njih ima barem jedan zajednički čvor sa drugim takvim svaka od njih ima barem jedan zajednički čvor sa drugim takvim granama, tada je moguće rešiti kolo metodom napona između čvorova. granama, tada je moguće rešiti kolo metodom napona između čvorova. Nulti čvor se mora postaviti na bilo koji od krajeva navedenih grana, a Nulti čvor se mora postaviti na bilo koji od krajeva navedenih grana, a potencijali preostalih krajeva tih grana su određeni vrednošću EMS u potencijali preostalih krajeva tih grana su određeni vrednošću EMS u granama i sistem jednačina se svodi na ngranama i sistem jednačina se svodi na n jnčjnč jednačina: jednačina:

U suprotnom, kolo nije moguće rešiti primenom ove metode.U suprotnom, kolo nije moguće rešiti primenom ove metode.

29

g2

230

4220

410

2

3

330

420

54310

3

110

1111

11111

V30

IR

EU

RRU

RU

R

R

EU

RU

RRRU

R

EU

E1

E2

R5

R3

Ig

R4

R2

E3

I1

I2

I4I3

I5

0

1

2

3

V1220 U V3430 U

30

E1

E2

R5

R3

Ig

R4

R2

E3

I1

I2

I4I3

I5

0

1

2

3 mA405

205

R

UI

mA132

230102

R

EUUI

mA303

320103

R

EUUI

mA104

30204

R

UUI

mA17321 III

31

R1

R2

R3

E1 E2

Odrediti struje svih grana kola primenom metode napona Odrediti struje svih grana kola primenom metode napona između čvorova. Poznate su sledeće vrednosti:između čvorova. Poznate su sledeće vrednosti:

E1 = 100 V

E2 = 80 V

R1 = 2 kΩ

R2 = 5 kΩ

R3 = 1 kΩ

32

R1

R2

R3

E1 E2

I1

I3

I2

1

0

mA401

1101

R

EUI

mA202

2102

R

EUI

mA203

103

R

UI

I1011 IUG

2

2

1

110

231

111

R

E

R

EU

RRR

11čnč nn

V2010 U