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z-Transformation
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z-Transformation 2
Warum z-Transformation?Die z-Transformation führt Polynome und rationale Funktionenin die Analyse der linearen zeitdiskreten Systeme ein.
Die Faltung geht über in die Multiplikation von Polynomen.
Algebraischen Operationen wie Division, Multiplikation undFaktorisierung entsprechen dem Zerlegen bzw. Zusammen-setzen von LTI Systemen.
Im allgemeinen sind die z-Transformationen rationale Funktionen,d.h. sie bestehen aus einem Zähler- und einem Nennerpolynom.Die Wurzeln dieser Polynome sind wichtig, da die meistenEigenschaften digitaler Filter von der Lage dieser Wurzelnabhängen.
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z-Transformation 3
ˆ, , Bereichn z
Impulsantwort, Differenzengleichungen, "wirklicher" Signalbereiˆ Frequenzbereich (Frequency dom
ch
Frequenzantworten, Sp
Zeitbereich (Time dom
ektraldarstellungen
a
A
ain
nal
i
y
)
n)
se v
n
on Tönen
Operatoren, Pole und Nullstellen mathematische Analyse
un
Domain
d Synthese
z z
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z-Transformation 4
Eingangssignale
Impuls Komplexe Exponentialfunktion
• x[n] = zn
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z-Transformation 5
z-Transformation und FIR-Filter
0
0
[ ] [ ]
als Filtergleichung oder mit der Faltungssumme
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]
Wir verwenden das Signal [ ] { }, beliebige (kompfür lexe) Zahalle l
als Eingangssignal
[
n
]
M
kk
M
kk
n
y n b x n k
y n x n h n h n b n k
x n z z
y n
0
0 0
0 0 0
[ ]
... Systemfunktion( ) [ ]
Mk
kk
M
M M
Mk
Mn k n k n
k k kk
k
k
k
kk
kb x n k b z b z z z
H z
b z
b z h k z
ˆ
Zur Erinnerung:jz e
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z-Transformation 6
0 0
[ ] [ ] (
Die Systemfunkt
)
Für das Eingangssignal folgt[ ] [ ] ( )
wobei ( ) die Tr
ion ( ) ist die Transformationder Impulsantw
ansformierte vo
ort:
n [ ] is
M Mk
k kk k
n
n n
H z z
h n b n k H z b z
zy n h n z H z z
H z z h n
t.
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z-Transformation 7
0 1 2 1 20 1 2
2
2 2
[ ] ( )1,2,1 ( ) 1 2 1
2 1 2 1 =1+z
k
h n H zb H z b z b z b z z z
z zz z
Die Systemfunktion ist eine gebrochen rationale Funktion mitdem Zählerpolynom
und dem Nennerpolynom
2 2 1z z
2z
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z-Transformation 8
0 1 2
21 2 0 1 2
0 1 2 2
Aus der Impulsantwort
[ ] [ ] [ 1] [ 2]
wird durch z-Transformation die Systemfunktion
( )
h n b n b n b n
b z b z bH z b b z b zz
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z-Transformation 9
Darstellung von Signalen
0
Ein Signal endlicher Länge kann dargestellt werden
[ ] [ ] [ ]
die Transformation dieses Signales ist definiert
ist eine beliebige komplexe Z0
ahl, d.h. ist die unabhängige(
( ) [ ]
N
kx n x k n k
z
z
Nk
kz
X z x k z
1
0
1
komplexe) Variable der -Transformation.Man kann auch schreiben
( ) [ ]( )
was nicht anderes bedeutet, dass X( ) ein Polynom der Ordnung N der Variablen ist !
Nk
k
z
X z x k z
zz
0 0
... Systemfunktion[ ]) ( M M
k kk
k kb z h k zH z
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z-Transformation 10
TransformierenDen Übergang von n z nennt man die z-Transformation von x[n].Um X [z] zu erhalten ist es lediglich erforderlich ein Polynom in z-1 , dessen Koeffizienten die Werte der Folge x[n] sind, zu bilden.z.B.:
n n < -1 -1 0 1 2 3 4 5 n > 5x[n] 0 0 2 4 6 4 2 0 0
1 2 3 4( ) 2 4 6 4 2X z z z z z
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z-Transformation 11
0 0
[ ] [ ] [ ] ( ) [ ]
[ ] ( )
N Nk
k k
n Domain z Domain
x x k kn n X
zXn
x kz
x
z
0
Beispiel:
[ ] [ ]
[ ]o
n
x n n n
X z z
0
[ ]
von [ ]
j
Nj k j k
kk
z e
z re x k r e
x k r
ω
ω ω− −
=
−
= →
= →∑
DFT
DFT
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z-Transformation 12
Die Transformation eines FIR-Filters ist einPolynom ten Grades und hat daher Nullstellen, die dasPolynom (bis auf eine multipl
Die Systemfunktion ( ) ist eine Funktion der komplexenVariablen .
zM M
H zz
ikative Konstante) vollständigdefinieren (Fundamentalsatz der Algebra).
1 11 2 1 1 3 2
2
1 13 2
Beispiel:[ ] 6 [ ] 5 [ 1] [ 2]
( ) 6 5 (3 )(2 ) 6
Nullstellen bei und
y n x n x n x nz z
H z z z z zz
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z-Transformation 13
Eigenschaften der z-Transformation
1 2 1 2
1
[ ] [ ] ( ) ( )
im Bereich entspricht einer Z
Linearität
Time-deitverzögerung
von 1 im Bereich (Zeitbereich)
elay
ax n bx n aX z bX z
z zn
n n < 0 0 1 2 3 4 5 n > 5 x[n] 0 3 1 4 1 5 9 0
1 2 3 4 5
1
0 1 2 3 4 5 6
( ) 3 4 5 9( ) ( )
= (0 ) 3 4 5 9
X z z z z z zY z z X z
z z z z z z z
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z-Transformation 14
z-Transformation als Operator
1 1 1
1
1
Unit-Delay Operator [ ] { [ ]} [ 1][ ] für alle [ ] { [ ]} { } [ ]
Der Ausdruck [ ] gilt nur für [ ] Es ist allerdings üblich, die Größe alternativ zu
!
n
n
n
n n
y n x n x nx n z ny n x n z z z z z x n
zz x n x n z
DD
D D
1
m Unit-Delay Operatorsymbol zu verwenden!
[ ] [ ] [ 1]{ }y n z x n x nD
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z-Transformation 15
UnitDelay
x[n] x[n-1]z -1
X(z) z-1X(z)
×
z-1
× × ×
+ + +
0b 1b 2b3b
[ ]x n [ 1]x n [ 2]x n [ 3]x n
[ ]y n
z-1 z-1
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z-Transformation 16
Faltung und z-Transformation
Domain Domain[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )
n zy n h n x n Y z H z X z
Kaskadieren von Systemen
LTI 1 LTI 21[ ] [ ]x n h n[ ]x n 1 2( [ ] [ ]) [ ]x n h n h n
1[ ]h n 2[ ]h n
1 2 1 2[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )h n h n h n H z H z H z
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z-Transformation 17
1 2 3
12 1
1 2 31 2
2 11
1
1 1 2
Beispiel:( ) 1 2 2
Eine Wurzel dieses Polynoms liegt bei , damit ergibt sich( ) ( )(1 ) ( ) ( )
( ) 1 2 2 1( ) 1
( ) 1 1
11
H z z z z
H z H z z H zH z z z zH z zH z z
H z z z z
zz
11( ) (1 )H z z 1 2
2 ( ) 1H z z z
Partitionierung
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z-Transformation 18
ˆ
ˆ
0 0
..
ˆ( ) (
ˆ
.
)M M
kk
k
j
j kk
k
H z b z H b
e
e
z
ω
ω
ω− −
= =
=
= ⇔ =
⇔
∑ ∑
z -Be
Einhei
reich
tskreis in der komp
ω-Berei
lexen
ch
Ebene
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z-Transformation 19
Pole und Nullstellen
3 3
3 3
1 2 3
1 1 1
3 2
3 3
z.B.: ( ) 1 2 2
(1 )(1 )(1 )
2 2 1 ( 1)( )( )
j j
j j
H z z z z
z e z e z
z z z z z e z ez z
ο
ο
ο
xxxxx
dreifach im Nullpunkt
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z-Transformation 20
Was bedeutet eine Nullstelle?
3
1 2 33 3 3 3
23
3
[ ] [ ] 2 [ 1] 2 [ 2] [ 3]
[ ]
[ ] 2 2
(1 2 2 )
1 1 3 1 3 1 0
n
n n n n
n
n
j
j j j j
j j j j
j
y n x n x n x n x n
x n e
y n e e e e
e e e e
e j j
3 31 2 3
Die komplexen Eingangsgrößen
( ) 1, (z ) , (z )werden unterdrückt!
n nj jn n nz e e
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z-Transformation 21
Nulling Filter (Sperrfilter)
0 0
0ˆ ˆ1 1
0 2 2
Nullstellen in der Ebene "entfernen" Signaleder Form [ ] .
ˆUm ein Kosinussignal cos( )zu entfernen müssen zwei Eingangsgrößen entfernt werden!Die Nullstellen liegen konjugie
n
j n j n
zx n z
n e e
rt komplex!
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z-Transformation 22
PN-Video
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z-Transformation 23
21 11
10
10 109
1 90
( ) (1 )
10-point running average 101 1( )1 ( 1)
j kL Lk L
kk
k
k
H z z e z
Lz zH z zz z z
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z-Transformation 24
3 21 2 3
3
2 2 1( ) 1 2 2 z z zH z z z zz
− − − − + −= − + − =
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
3
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
3 2 /3 /3
/30
2 2 1 ( 1)( ),
01
( )
j j
j
z z z z z e z ez e
π π
π
−− + −
= ±
= − − − =
B = [1 –2 2 -1]A = [1]zplane(B,A)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
1
2
3
4
5
6
Normalized Frequency ( ×π rad/sample)
Mag
nitu
de
Magnitude Response
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z-Transformation 25
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
0
1
2
3
4
5
6
Normalized Frequency ( ×π rad/sample)
Mag
nitu
de
Magnitude Response
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
Normalized Frequency ( ×π rad/sample)
Mag
nitu
de (
dB)
Magnitude Response (dB)
lin log
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z-Transformation 26
Inverse Filterung (1)
Kanal
Ausgangssignal bekannt
Kanal bekannt
Eingangssignal gesucht
[ ] [ ] [ ][ ] ?
y n h n x nx n
= ∗= Inverse Faltung
Deconvolution
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z-Transformation 27
Inverse Filterung (2)Lösung im Zeitbereich schwer/nicht möglich
Lösung im z-Bereich
1Kanal
2Korrektur
1 2 21
( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) 1 ( )(
) ((
)
)HY z X z H z X z
H z H z H
H z
z
z
H z
= =
= ⇒ =
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z-Transformation 28
Inverse Filterung (3)1 2
1
2 1 21
( ) (1 0.5 )1 1H (z) = =
H ( ) (1 0.5 )
H z z z
z z z
− −
− −
= − +
− +
Nullstellen in Nenner(außerhalb von Null) Polstellen
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
2
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
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z-Transformation 29
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.50
0.51
0
2
4
6
8
10
12
14
16
ImRe
H(z
)
11
1 0.9( )
zH z −−
=
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y Pa
rtPole/Zero Plot
0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Samples
Impulse Response
Am
plitu
de
PN-Diagramm
Impulsantwort
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z-Transformation 30
11
1 0.9( )
zH z −−
=
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Real Part
Imag
inar
y Pa
rt
0
π