hassan bensalah chap. ii : transformation en z
TRANSCRIPT
Chap. II : Transformation en Z
Hassan Bensalah
ELE 6705
Traitement numérique
des signaux
ELE6705 Poly MTL 2
Sujets abordés
• Définition
• Régions de convergence
• Transformation inverse
• Filtre numérique(Fonction de transfert)
• Propriétés
• Discrétisations des filtres analogiques
Transformée en Z• La transformée en Z est aux systèmes en temps discret
ce que la transformée de Laplace est aux systèmes en
temps continu :
– Analyse dans le domaine fréquentiel est souvent
plus simple que dans le domaine temporel :
convolution vs. opération algébrique.
– Représentation d’un système par sa fonction de
transfert ou même par ses pôles et ses zéros.
– Applicable à un plus grand ensemble des signaux et
plus facilement inversible que la transformée de
Fourier.
Poly MTL 3ELE6705
ELE6705 Poly MTL 4
𝑋𝑒 𝑠 = න
−∞
+∞
𝑥𝑒(𝑡)𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
𝑥𝑒 𝑡 : Signal Échantillonné est nul partout sauf
pour 𝑡 = 𝑛𝑇; 𝑛 = 0,1, … ,
𝑥𝑒 𝑡 =
𝑛=−∞
+∞
𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇)
𝑋𝑒 𝑠 = න
−∞
+∞
𝑛=−∞
+∞
𝑥(𝑛𝑇)𝛿(𝑡 − 𝑛𝑇) 𝑒−𝑠𝑡 𝑑𝑡
=
𝑛=−∞
+∞
𝑥 𝑛𝑇 𝑒−𝑠𝑛𝑇 , 𝑧 = 𝑒−𝑠𝑇
Définition de la transformée en Z• La transformée en Z d’une séquence x(n) est définie
comme la série X(z) :
• La transformée en Z unilatérale :
Poly MTL 5
( ) ( ( )) ( )
RC ( ) converge
n
n
n
k
X z x n x n z
z x n z
C
Z
0
( ) ( ) n
n
X z x n z
ELE6705
Existence de la transformée en Z• Existence de la transformée en Z implique la
convergence absolue de la série :
• Critère de Cauchy sur la convergence des séries de puissance :
• Convergence d’une transformée en Z :
Poly MTL 6
( ) n
n
x n z
1/
0
( ) si lim ( ) 1n
nn
u n u n
1 2
1
0
( ) ( ) ( ) ( )n n n
n n n
X X
X z x n z x n z x n z
ELE6705
Existence de la transformée en Z• Partie causale X2 :
X2 converge pour
Poly MTL 7
20
( ) ( ) n
n
X z x n z
1/1/ 1lim ( ) lim ( ) 1
nn n
n nx n z x n z
1/
lim ( )n
nR x n
z R
ELE6705
Existence de la transformée en Z• Partie anti-causale X1 :
X1 converge pour
• Région de convergence :
R z R
( )z
( )z
R
R
0
RC
Poly MTL 8
1
11
( ) ( ) ( )n n
n n
X z x n z x n z
1/1/lim ( ) lim ( ) 1
kk k
k kx k z x k z
11/
lim ( )n
nz R x n
ELE6705
Pôle et zéro• X(z) est une fonction rationnelle complexe :
• Pôle (point singulier de X(z)) :
• Zéro : ( )z
( )z
R
R
0
• Pôle et zéro à l’infini
– L’infini est un pole si n < m.
– L’infini est un zéro si n > m.Poly MTL 9
1 2
1 2
( )( ) ( )( )
( )( ) ( )m
n
z z z z z zX z K
z p z p z p
( ) , 1, 2, ,i
X p i n
( ) 0, 1, 2, ,i
X z i m
ELE6705
Poly MTL 10
Tracer pôles et zéros avec Matlab
num = [1 -1 0];
den = [1 -1 2 1];
z=roots(num);
p=roots(den);
zplane(z,p);
disp(z);
disp(p);
2
3 2( )
2 1
z zX z
z z z
ELE6705
Exemples de la transformée en Z• Impulsion de Dirac :
• Échelon unitaire :
• x(n) = an1(n) :
• x(n) = an : comme R– = R+ = |a|, la transformée en Z n’existe pas.
Poly MTL 11
( ( )) 1,k z CZ
1/
10
1(1( )) , lim 1( ) 1.
1
nn
kn
n z z R nz
Z
1
10 0
1(1( ) ) , .
1
nn n n
n n
n a a z a z z aaz
Z
ELE6705
• Théorème intégral de Cauchy
Transformée en Z inverse
Poly MTL 12
• Transformée en Z inverse
1 11
( ) ( ) ( ( ))2
n
Cx n X z z dz X z
jZ
ELE6705
ර𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ൞
2𝜋𝑗, 𝑝𝑜𝑢𝑟 𝑛 = 0
; 𝑗 = −10, 𝑎𝑢𝑡𝑟𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡
ර𝑋 𝑧 𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ර
𝑙=−∞
+∞
𝑥(𝑙)𝑧−𝑙𝑧𝑛−1𝑑𝑧 = ර
𝑙=−∞
+∞
𝑥(𝑙) 𝑧 𝑛−𝑙 −1𝑑𝑧
Si: 𝑛 − 𝑙 = 0; 𝑛 = 𝑙
Poly MTL 13
Transformée en Z inverse
• Inverse à l’aide du théorème des résidus
pôles d’ordre 1 :
pôles d’ordre q :
1
1
aux poles de ( )
( ) residus de ( )n
n
X z z
x n X z z
1
1lim ( ) ( )n
z ar X z z z a
1
1
1
1lim ( ) ( )
( 1)!
qn
q qz a
dr X z z z a
q dz
ELE6705
• Exemple : Inverser
L’inverse de l’intégrale
• Exemple : Inverser
Poly MTL 14
( )( 1)( 2)
zX z
z z
1 2
( ) 1 2 , 02 1
n nn
z z
z zx n n
z z
1( )
( 1)( 2)X z
z z
0,1,2
1 1 1(0) residus de 1 0
( 1)( 2) 2 2z
xz z z
11
1,2
( ) residus de 1 2 , 0( 1)( 2)
nn
z
zx n n
z z
1( ) 1 2 1( 1)nx n n
ELE6705
L’inverse directe
• Écrire X(z) sous forme des séries de puissance
• Identifier la séquence x(n).
• Exemple : Inverser
Poly MTL 15
1 2
0 1 2( )X z x x z x z
2( )
( 2)( 1) 3 2
z zX z
z z z z
1 2 3 4
2
3 7 15
3 2
z z z z
z z z
13 2z z 13 2z 1 23 9 6z z 1 27 6z z 1 2 37 21 14z z z
2 315 14z z
( ) 2 1, 0nx n n
ELE6705
L’inverse par factorisation
• Écrire X(z) sous forme
• Pour les pôles simples
• Pour un pôles d’ordre q > 1
Poly MTL 16
( ) ( )/ ( ), ordre( ) ordre( )X z P z Q z P Q
1
( ), ( ) ( )/ ( )
( )
N
i
i ii i
iz p
P zz p P z Q z
Q z z p
1
( )
( ) ( )
1( ) ( )/ ( )
( )!
qj
jj n
q jj
j nq jnz p
P z
Q z z p
dz p P z Q z
q j dz
ELE6705
L’inverse par factorisation
• Exemple : Inverser
• Exemple : Inverser
Poly MTL 17
( )( 1)( 2)
zX z
z z
( ) ( ) 1 2 , 0.( 1)( 2) 1 2
nz z zX z x n n
z z z z
1
( )( 1)( 2)
X zz z
1 1 1( ) ?
( 1)( 2) 1 2X z
z z z z
( ) 1 1 1 1
( 1)( 2) 2 1 2( 2)
X z
z z z z z z z
1( )
2 1 2( 2)
z zX z
z z
11 1( ) ( ) 1( ) 2 1( ) ( 1 2 )1( 1)
2 2
n nx n n n n n
ELE6705
Factorisation avec Matlab
• Exemple : Inverser
B = [1]; A = [1 -3 2];
[R,P,K] = residue(B,A);
B(s) R(1) R(2) R(n)
----- = --------- + --------- + ... + ---------- + K(s)
A(s) z - P(1) z - P(2) z - P(n)
R = [1 -1]; P = [2 1]; K = [];
Poly MTL 18
2
( ) 1 1
( 1)( 2) 3 2
X z
z z z z z
2
1 1 1( )
2 1 2 13 2
z zX z
z z z zz z
ELE6705
• Linéarité
Propriétés de la transformée en Z
La région de convergence est au moins l’intersection
des régions associées à X1(z) et X2(z).
Poly MTL 19
1 2( ) ( ) ( )x n x n x n
1 2
1 2
1 2
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
n
n
n n
n n
X z x n x n z
x n z x n z
X z X z
ELE6705
• Décalage et la transformée bilatérale
Propriétés de la transformée en Z
• Exemple : Inverser
Poly MTL 20
( ) ( )y n x n l
( )( ) ( ) ( )
( )
n l m
n m
l
Y z x n l z x m z
z X Z
( ) 1/( 1)( 2)Y z z z
( ) ( )( 1)( 2)
zX z zY z
z z
1 1 1
( ) (2 1)1( )
( ) ( ( )) ( 1) (2 1)1( 1)
n
n
x n n
y n z X z x n n
ZELE6705
• Operateur de retard unité
• Application aux équations aux différences
1z( )x n ( 1)x n
Poly MTL 21
1 2( ) ( ) ( 1) ( 2)y n u n by n b y n
1 2
1 2( ) ( ) ( ) ( )Y z U z b z Y z b z Y z
1 2
1 2
1( ) ( )
1Y z U z
b z b z
1
1 2
1 2
1( ) ( )
1y n U z
b z b z
Z
ELE6705
• Décalage et transformée unilatérale
Propriétés de la transformée en Z
• Exemple : Résoudre l’équation aux différence
Poly MTL 22
( ) ( )y n x n l
1
0 1
1 1
0
( ) ( 1) ( )
( 1) ( ) ( 1) ( )
n m
n m
m
m
Y z x n z z x m z
z x z x m z x z X Z
0
1
( ) ( ) ( 1), ( 1) , ( ) 1( )
( ) ( ) ( )
j ny n u n y n y K u n e n
Y z U z K z Y z
ELE6705
← réponse libre
← réponse forcée
Poly MTL 23
0
0
0 0 0
1
1 1 1
1 1 1
( )( )
11
1 1 1
1 1 1
j
j
j j j
U z KY z
zK
z z e z
K e
z e z e e z
0
0 0
1
( 1)1
( ) n
j nn
j j
y n K
e
e e
0n ELE6705
• Changement d’échelle :
Propriétés de la transformée en Z
• Remarque : moduler le signal par une séquence en
puissance changera les pôles et les zéros de X(z).Poly MTL 24
w az
1 1
1
1( ) ( ( )) ( )
2
1( / )( / ) ( / )
2
n
C
n
C
x n X z X z z dzj
X w a w a d w aj
Z
11( ) ( / )
2
n n
Ca x n X w a w dw
j
( ) ( / )na x n X z a
ELE6705
• Effet du changement d’échelle
a est une valeur réelle
( )z
( )z
0( )z
( )z
0
| | 1a | | 1a
a est une valeur complexe
( )z
( )z
0
1a
Poly MTL 25
ja a e
ELE6705
• Dérivation dans le domaine fréquentiel
Propriétés de la transformée en Z
• Exemple : Considérons la séquence
Poly MTL 26
( ) ( ) n
n
X z x n z
1( ) ( )( ) ( ) ( )n n
n n
dX z dX zn x n z z nx n z
dz dz
( )( )
dX znx n z
dz
1
1 1 2
11( )
1 (1 )
d zn n z
dz z z
1( )n n
ELE6705
• Convolution (ou produit de séquences)
Propriétés de la transformée en Z
Poly MTL 27ELE6705
𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑛 ∗ 𝑔(𝑛)
𝑌 𝑧 =
𝑛=−∞
+∞
(𝑥 𝑛 ∗ 𝑔(𝑛))𝑧−𝑛 =
𝑛=_∞
+∞
𝑙=−∞
+∞
𝑥 𝑙 𝑔(𝑛 − 𝑙) 𝑧−𝑛
𝑌 𝑧 =
𝑙=_∞
+∞
𝑥(𝑙)
𝑚=−∞
+∞
𝑔(𝑚)𝑧−𝑚 𝑧−𝑙
Si on pose: 𝑚 = 𝑛 − 𝑙
𝐺(𝑧)𝑌 𝑧 = 𝑋 𝑧 𝐺(𝑧)
• Valeur initiale d’une séquence causale
Propriétés de la transformée en Z
• Valeur finale : si x(n) ↔ X(z) et (1–z–1)X(z) n’a pas de
pôles sur ou à l’extérieur du cycle unitaire, alors la
valeur finale de la séquence x(n) est donnée par
• Exemple :
En effet :Poly MTL 28
0
( ) ( ) (0) lim ( )n
zn
X z x n z x X z
1
1lim ( ) lim(1 ) ( )n z
x n z X z
( ) /( 1)X z z z
1
1(0) lim 1, lim ( ) lim(1 ) 1
1 1z n z
z zx x n z
z z
/( 1) 1( )z z n ELE6705
• Définition : pour un système LTI :
Fonction de transfert
Fonction de transfert d’un filtre ou un système :
• Causalité : La réponse
impulsionelle d’un système
causal est convergée pour tout
|z| > R_ → tous ses pôles sont à
l’intérieur d’un cercle.
( )z
( )z
R
0
Poly MTL 29
( ) ( ) ( ) ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )m
y n u m h n m u n h n Y z U z H z
( )
( ) ( )( )
Y zH z h n
U z Z
ELE6705
• Stabilité : un système est de gamme dynamique bornée (entrée bornée / sortie bornée) si la réponse impulsionnelle est convergente
Fonction de transfert
Or :
Sur un cercle à rayon unité :
Pour qu’un système soit stable, le cercle de rayon unité doit appartenir au domaine de convergence de sa FdT.
Poly MTL 30
( )n
h n
( ) ( ) ( )n n
n n
H z h n z h n z
( ) ( ) ( )j j n
n n
H e h n e h n
ELE6705
ELE6705 Poly MTL 31
• Exemple: Stabilité des filtres récursifs.
Filtre à réponse impulsionnelle infinie (RII)(intégrateur)
𝑦 𝑛 = 2𝑦 𝑛 − 1 + 𝑢(𝑛)
• Soit le filtre définit par son algorithme
• Sa réponse impulsionnelle est la suivante:
𝑦 0 = 1𝑦 1 = 2𝑦 2 = 4
⋮
C’est une série qui diverge, donc non stable
Il doit alors exister une conditions sur les
coefficients, pour que le filtre soit stable
ELE4200 Poly MTL 32
• Le filtre numérique 𝐻(𝑧) est définit comme suit:
𝐻 𝑧 =1
1 − 2𝑧−1
• Pôle de 𝐻 𝑧 :
2 < 1
Fonction de transfert
• Système stable
( )z
( )z
R
R
0 1
• Système stable et causal
( )z
( )z
1
0
• Rappel : moduler le signal par une séquence en puissance changera les pôles les zéros de X(z). Ceci permet de stabiliser un système.
Poly MTL 33
( ) ( / )na x n X z a
ELE6705
34
• Considérons un signal discrétisé :
Discrétisation des FdT en s
Sa transformée de Laplace est donnée par :
34Poly MTL
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
sn
n n
x t x t t nT
x nT t nT x n t nT
0 0
0
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
, ( ) ( )T s
st st
s st tn
st nsT
tn n
T s
s z e
X s x t e dt x n t nT e dt
x n t nT e dt x n e
z e X s X z
ELE6705
• Projection d’une bande (la bande primaire) :
( )z
( )z
0
1
( )s
( )s
0
2s
35
Projection du plan-s au plan-z
2s
11
2
34
5 6
2
3
5
4
6
4s
4s7
7
35Poly MTL
( ) (2 / )Ts T j T
sz e e e
/ 2 / 2s s
ELE6705
Poly MTL 36
Discrétisation avec bloqueur d’ordre zéro• Propriété de BOZ
• Réponse impulsionelle
BOZ
t
( )t
t
( )BOZx t
T
• Fonction de transfert de BOZ
( ) ( ), ( 1)n
x t x nT nT t n T
( ) 1( ) 1( )BOZ
h t t t T
1 1( )
T s T s
BOZ
e eH s
s s s
ELE6705
Poly MTL 3737
( )H sBOZ( )U z ( )Y s
( )H z
( )Y z
T
Transformée en Z équivalente avec BOZ
1( ) ,
sTsTe
BOZ s z es
1
1 1
( ) ( ) ( ) (1 ) ( )/
(1 ) ( ( )/ )
(1 ) ( ( )/ )
(1 ) ( ( )/ )
sT
sT
H z BOZ s H s e H s s
e H s s
z H s s
z H s s
Z Z
Z Z
Z
Z L
ELE6705
Poly MTL 38
• Exemple : TZ équivalente de
1 1 1 1( )
( 1) 1
(1 ), 0
s
t
Ky t K
s s s s
K e t
L L
( ) (1 )1( )snT
sy nT K e n
1
1 1
1 1 1
1 1
1 1( ) (1 )
1 1
1 ( )1
1 1
(1 )
s
s
s s
s
s
T
T
T T
T
T
Y z z Kz e z
z K z e zK
e z e z
K e
z e
( ) / ( 1)H s K s
ELE6705
• Réponse impulsionelle
t
( )t
BO’1
t
'1( )BOx t
T
12
1 2T
Discrétisation avec bloqueur d’ordre 1• Propriété de BO’1
( ) (( 1) )( ) ( ) ( ), ( 1)
n
x nT x n Tx t x nT t nT nT t n T
T
1 2( ) 1( ) 1( ) 21( ) ( )1( )
11( 2 ) ( 2 )1( 2 )
nx t t t t t T t T t T
T Tt T t T t T
T
Poly MTL 39ELE6705
Poly MTL 40
• Réponse fréquentielle
• Fonction de transfert de BO’12
2
'1 22
1 2 1( ) (1 2 )
1 1
T s T sT s T s
BO
T s
e eH s e e
s s s T sT s e
T s
2
22 2
'1 2
1
'1
1 1( )
sin( / )4( ) 1
/
2 2( ) tan
j T
BOZ
s
BO
ss
BO
s s
j T eH j
T j
H j T
H j
ELE6705
Poly MTL 41
Transformation bilinéaire (Tustin)
• Du plan-z au plan-s :
• Du plan-s au plan-z :
2
2
1 / 2
1 / 2
T s
T s
T s
sTez e
sTe
3 5
1ln
2 1 1 1 1 1
1 3 1 5 1
2 1
1
s zT
z z z
T z z z
z
T z
ELE6705
Poly MTL 42
Transformation bilinéaire
( )z
( )z
0
1
1
2
3
5
4
6
7
( )s
( )s
0
R
1
2
3
5
4
6
7
2 T
2 T
/ 2 / 2
/ 2 / 2
2 2
2 1 2 1 2
1 1
sin( / 2)tan( / 2)
cos( / 2)
j T j T j T
j T j T j Tj Tz e
T T
z e e es
T z T Te e e
Tj T j
T
ELE6705
Poly MTL 43
• Exemple : Transformée inverse
Hd = tf([1 -0.5], [1 1 0.3],0.1);
Hc1 = d2c(Hd, 'zoh');
Hc2 = d2c(Hd, 'tustin');
• Remarque : Transformation de Tustin n’est pas définie
à z = 1 et la transformation se comporte mal pour z
près de 1.
2
0.5( ) , 0.1
0.3
zH z T s
z z
1 2
2
2 2
83.32 168.8( )
12.04 776.75 66.67 666.7
( )93.33 3067
c
c
sH s
s ss s
H ss s
ELE6705
Poly MTL 44
Distorsion fréquentielle et pré-distorsion
• Distorsion fréquentielle (frequency warping) : un système se comporte à ω comme son homologue en temps continu à ωa.
• Pré-distorsion (pre-warping) : compenser la distorsion par appliquer une transformation la fréquence en question (e.g. fréquence de coupure) :
• Remarque :
2 2tan( /2) tan( /2)
as j T T
T T
2tan( /2)
aT
T
0
2 2lim tan( /2)
2a T
TT
T T
ELE6705
Invariance de la réponse impulsionnelle• Reproduire la réponse impulsionnelle du système en
temps continu par un système en temps discret.
• Exemple : discrétiser
Poly MTL 45
( ) 1 / ( 1)H s s
ELE6705
Poly MTL 46
Discrétisation de FdT en s avec Matlab
• sysd = c2d(sysc, Ts, method)
• The string method selects the discretization method among the following:
'zoh' Zero-order hold on the inputs
'foh' Linear interpolation of inputs (triangle appx.)
'imp' Impulse-invariant discretization
'tustin' Bilinear (Tustin) approximation
'prewarp' Tustin approximation with frequency prewarping. The critical frequency Wc (in rad/sec) is specified as fourth input by
sysd = c2d(sysc,Ts, 'prewarp', Wc)
'matched' Matched pole-zero method (for SISO systems only).
ELE7605
Poly MTL 47
• Exemple : T = 0.1 s
H = tf([1 1], [1 4 5]);
Hd1 = c2d(H, 0.1, 'zoh');
Hd2 = c2d(H, 0.1, 'tustin');
Hd3 = c2d(H, 0.1, 'prewarp',1);
2
1( )
4 5
sH s
s s
1 2
2
2 2
2
3 2
0.08611 0.07791( )
1.629 0.67030.0433 0.004124 0.03918
( )1.629 0.6701
0.0433 0.00413 0.0392( )
1.629 0.6699
d
d
d
zH z
z zz z
H zz zz z
H zz z
ELE7605
Poly MTL 48
• Exemple : T = 0.1 s
H = tf([1 1], [1 4 5]);
Hd1 = c2d(H, 0.1, 'zoh');
Hd2 = c2d(H, 0.1, 'tustin');
2
1( )
4 5
sH s
s s
1 2
2
2 2
0.08611 0.07791( )
1.629 0.6703
0.0433 0.004124 0.03918( )
1.629 0.6703
d
d
zH z
z s
z zH z
z s
ELE7605
• Discrétisation des fonctions de transfert par pôles-zéros matching
– Calculer les pôles et les zéros
– Calculer les zéros à l’infinie (n-m > 0)
Poly MTL 49
0
0 0: ,p
Ts TsTs
p pz e s z e s z e
0
00
(retard d'une periode)
1 (sans retard)j
zs j
z e
– Ajuster le gain stationnaire (le plus utilisé et par
défaut) ou à une fréquence quelconque (une
spécification particulière).
ELE7605
Poly MTL 50
Exemple :
0 0
1
1
( 1)( )( ) ( )
( ) ( 1)( )
( ) lim ( ) lim( )
1( ) lim(1 ) ( ) 2
1
(1 )
2 (1 )
aT
c d bT
c cs s
aT
s d bTz
aT
d c bT
s a z z eG s K H z K
s s b z z e
s a ax sG s K s K
s s b b
ex z H z K
e
a eK K
b e
Exemple :
( ) ( )
1 (1 )(0) (1)
1 (1 )
aT
c d bT
aT bT
c d d cbT aT
s a z eG s K H z K
s b z ea e a e
G K H K K Kb e b e
ELE7605