З МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ...

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

ВІННИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА КОЦЮБИНСЬКОГО

Факультет математики, фізики, комп’ютерних наук і технологій

Кафедра математики та інформатики

ЗАТВЕРДЖУЮ

Перший проректор

з науково-педагогічної роботи

_________________ доц. Гусєв С.О.

«____» ________________ 2019 року

ПРОГРАМА КОМПЛЕКСНОГО ЕКЗАМЕНУ

З МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ МАТЕМАТИКИ

ДЛЯ АТЕСТАЦІЇ ЗДОБУВАЧІВ

СТУПЕНЯ ВИЩОЇ ОСВІТИ «МАГІСТР»

галузі знань 01 Освіта/Педагогіка

спеціальності 014 Середня освіта (Інформатика)

освітньо-професійна програма Середня освіта. Інформатика, математика

Вінниця – 2019 рік

Програма комплексного екзамену з математики та методики навчання

математики для студентів спеціальності 014.09 Середня освіта (Інформатика),

освітньо-професійна програма «Середня освіта. Інформатика, математика»

ступеня вищої освіти магістра – с .

Розробники: Ковтонюк М. М., доктор педагогічних наук, професор, завідувач

кафедри математики та інформатики,

Тютюн Л.А., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри

математики та інформатики,

Михайленко Л.Ф., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри

алгебри і методики навчання математики,

Калашніков І.В., кандидат педагогічних наук, доцент кафедри

алгебри і методики навчання математики,

Панасенко О.Б., кандидат фізико-математичних наук, старший

викладач кафедри алгебри і методики навчання математики.

Програма розглянута і схвалена на засіданні кафедри математики та інформатики

факультету математики, фізики, комп’ютерних наук і технологій

протокол № 3 від «3» жовтня 2019 року

Завідувач кафедри _________________ М.М. Ковтонюк

« 3 » жовтня 2019 р.

Програма розглянута і схвалена на засіданні навчально-методичної комісії

факультету математики, фізики, комп’ютерних наук і технологій

протокол №3 від «23» жовтня 2019 року

Голова _____________________ О.В. Мозговий

«23» жовтня 2019 р.

ВСТУП

Програма комплексного екзамену з математики та методики навчання

математики укладена відповідно до освітньо-професійної програми підготовки

магістра галузі знань 01 Освіта/Педагогіка спеціальності 014.09 Середня освіта

(Інформатика), освітньо-професійної програми «Середня освіта. Інформатика,

математика» ступеня вищої освіти магістра.

Комплексний екзамен з математики та методики навчання математики

проводиться за навчальними дисциплінами професійної підготовки додаткової

предметної спеціалізації 014 Середня освіта (Математика).

Програма визначає перелік питань, обсяг, складові та технологію

оцінювання навчальних досягнень студентів на завершальному етапі навчання.

1. Мета та завдання комплексного екзамену з математики та

методики навчання математики.

1.1. Мета комплексного екзамену з математики та методики навчання

математики полягає у діагностиці рівня сформованості складових професійної

компетентності випускників, визначеної освітньо-професійною програмою і

необхідною для здійснення професійної діяльності, зокрема – викладання

математики у закладах загальної середньої освіти. Комплексний екзамен

проводиться як комплексна перевірка знань і вмінь випускників з навчальних

дисциплін, передбачених навчальним планом, виявлення рівня їх фахових

компетентностей, як майбутніх вчителів математики.

1.2. Завдання комплексного екзамену з математики та методики навчання

математики полягають у визначенні та оцінюванні рівня освітньо-професійної

підготовки випускників та їх готовності до професійної діяльності шляхом

діагностики сформованості інтегральної компетентності та її складових –

загальних та фахових компетентностей і містить основні питання з навчальних

дисциплін: практикуму розв’язування математичних задач, теорії і

практики математичних олімпіад, методики навчання математики. На

комплексному екзамені студент повинен продемонструвати вміння

формулювати означення і теореми, наводити при необхідності ілюстрації,

застосовувати теоретичні факти до розв’язування конкретних задач, володіти

основними компетенціями вчителя математики в основній школі.

Інтегральна компетентність – здатність розв’язувати складні задачі та

практичні проблеми у професійній діяльності у галузі середньої освіти

математики або у процесі навчання, що передбачає проведення досліджень та

здійснення інновацій і характеризується комплексністю та/або невизначеністю

умов і вимог.

Загальні компетентності (ЗК):

ЗК.1. Здатність учитися, здобувати нові знання, уміння.

ЗК.2. Знання та розуміння предметної області та професійної діяльності.

ЗК.3. Здатність використовувати в професійній діяльності базові знання з галузей

інформатики, математичних, природничих, соціально-гуманітарних та

економічних наук.

ЗК.5. Здатність застосовувати професійні знання й уміння на практиці.

ЗК.6. Здатність критично оцінювати й переосмислювати власний і чужий досвід,

аналізувати свою професійну й соціальну діяльність.

ЗК.10. Здатність спілкуватися державною мовою як усно, так і письмово.

1.3. Знати і вміти. Фахові компетентності спеціальності (ФК):

ФК.2. Інтегрована здатність у галузі математики та суміжних галузях, її цілісна

та ефективна реалізація на рівні, необхідному для професійної діяльності.

ФК.5. Інтегрована здатність у галузі методики навчання математики, її цілісна та

ефективна реалізація.

ФК.11. Здатність застосовувати теорії і практики олімпіад з програмування,

інформатики, інформаційних технологій, математики.

Комплексний екзамен проводиться в усній формі за білетами

затвердженими кафедрою математики та інформатики. Кожен білет містить два

теоретичних питання відповідно до різних груп навчальних дисциплін та одну

задачу на вибір студента.

Відповідаючи на теоретичне питання екзаменаційного білету, студент

повинен продемонструвати свідоме володіння математичними поняттями, про

які йде мова в даному питанні, та показати загальне розуміння відповідної

математичної теорії. Від студента не вимагається проведення детальних

математичних викладок з доведенням усіх тверджень, які стосуються питання

білету. Він повинен викласти основні положення теорії, яка стосується даного

питання (аксіоми, теореми, формули, методи, алгоритми тощо) в строгій

логічній послідовності та обґрунтувати основні з них.

За рішенням екзаменаційної комісії на екзамені під час підготовки до

відповіді студентам можна дозволити користуватись підручниками та

навчальними посібниками, вказаними в програмі.

1.4. Програмні результати навчання. Здобувач вищої освіти після

успішного завершення освітньо-професійної програми має продемонструвати

здобуті знання, уміння, здатності:

ПРН-З-2. Відтворювати знання з математики в обсязі, необхідному для

здійснення професійної діяльності, що передбачає розв’язування складних задач

та практичних проблем, проведення досліджень та здійснення інновацій і

характеризується комплексністю та/або невизначеністю умов.

ПРН-З-5. Відтворювати знання з методики навчання математики в обсязі,

необхідному для здійснення професійної діяльності, що передбачає

розв’язування складних задач та практичних проблем, проведення досліджень та

здійснення інновацій і характеризується комплексністю та/або невизначеністю

умов.

ПРН-У-1. Застосовувати планування, організацію, аналіз, керування освітнім

процесом в галузі інформатики та математики в закладах загальної середньої

освіти, проводити дослідження та здійснювати інновації.

ПРН-У-4. Використовувати фундаментальні розділи математики та

інформатики, демонструвати майстерність їх відтворення в аргументованій усній

та/або письмовій доповіді, в інформаційно-цифрових середовищах, у проведенні

досліджень, впровадженні інновацій.

ПРН-У-9. Застосовувати теорію і практику олімпіад з інформатики та

математики.

2. Програми навчальних дисциплін, які виносяться на комплексний

екзамен з математики та методики навчання математики.

Згідно з навчальними програмами з навчальних дисциплін: практикум

розв’язування математичних задач, теорія і практика математичних олімпіад,

методика навчання математики та освітньо професійною програмою «Середня

освіта. Інформатика, математика» галузі знань 01 Освіта/Педагогіка

спеціальності 014.09 Середня освіта (Інформатика) ступеня вищої освіти

магістра визначено зміст комлексного екзамену з математики та методики

навчання математики.

2.1. Програма навчальної дисципліни «Методика

навчання математики»

РОЗДІЛ 1. Методика навчання алгебри в профільній школі.

ТЕМА 1. Методика навчання алгебри В 10 класі профільної школи.

Алгебра і початки аналізу як навчальний предмет. Організація профільного

навчання алгебри в старшій школі. Аналіз навчальних програм з математики.

Аналіз шкільних підручників з алгебри для профільної школи.

Методика вивчення теми «Функції» в класах різного профілю, методика

вивчення теми «Тригонометричні вирази» в класах різного профілю, методика

вивчення теми тригонометричні рівняння в класах різного профілю», «Методика

вивчення теми «Ірраціональні рівняння» в класах різного профілю.

ТЕМА 2. Методика навчання алгебри в 11 класі профільної школи.

Методика вивчення теми «Похідна та її застосування» в класах різного

профілю, методика вивчення теми «Інтеграл та його застосування» в класах

різного профілю, методика вивчення теми «Показникові та логарифмічні

рівняння» в класах різного профілю.

РОЗДІЛ 2. Методика навчання геометрії в профільній школі.

ТЕМА 1. Стереометрія як навчальний предмет.

Організація профільного навчання стереометрії в старшій школі. Аналіз

навчальних програм з математики. Аналіз шкільних підручників з геометрії для

профільної школи.

Перші уроки стереометрії. Методика розв’язування задач на перших уроках

стереометрії в 10 класі. Аналіз методичної літератури щодо підготовки і

проведення перших уроків стереометрії. Створення добірки задач з стереометрії

для розв’язування на перших уроках у 10 класі. Прийоми і засоби навчання на

перших уроках стереометрії в 10 класі.

ТЕМА 2. Методика вивчення взаємного розміщення прямих і площин в

просторі.

Методика вивчення теми «Паралельність прямих і площин у просторі» в

курсі геометрії профільної школи. Методика систематизації знань учнів про

взаємне розміщення прямих у просторі. Використання властивостей

паралельного проектування для побудови зображень. Методика зображень

просторових фігур. Методика формування знань учнів з теми "Паралельність у

просторі". Методика розв’язування задач з теми «Паралельність прямих і

площин у просторі».

ТЕМА 3. Методика вивчення теми «Перпендикулярність прямих і площин

у просторі» в курсі геометрії профільної школи.

Загальна характеристика теми. Кути у просторі. Відстані у просторі.

Методика формування знань з теми «Перпендикулярність у просторі». Методика

розв’язування задач з теми «Перпендикулярність прямих і площин у просторі».

Методика вивчення мимобіжних прямих у шкільному курсі стереометрії.

Загальна характеристика теми. Система вправ на вимірювання відстаней та кутів

між мимобіжними прямими. Типові помилки учнів при розв’язуванні задач та

шляхи їх уникнення.

ТЕМА 4. Методика навчання стереометрії в 11 класі

Методичні особливості вивчення курсу геометрії 11 класі. Характеристика

змісту теми «Многогранники». Методика розв’язування вправ з теми

«Многогранники». Загальні методичні рекомендації. Особливості побудови

малюнків до задач. Методика розв’язування типових задач з теми. Оформлення

розв'язання задач. Побудова перерізів многогранників площиною. Форми

організації роботи учнів при розв’язуванні стереометричних задач.

Тіла обертання. Методика їх вивчення в школі. Методика розв’язування

вправ з теми «Тіла обертання». Загальні методичні рекомендації. Роль малюнка

в процесі розв’язування стереометричної задач. Методика розв’язування

типових задач з теми.

ТЕМА 5. Методичні особливості вивчення комбінацій геометричних тіл.

Формування вмінь учнів розв’язувати задачі на комбінації стереометричних

фігур. Добірка системи задач з теми. Особливості побудови малюнків до задач.

Наочні засоби. Задачі на моделях. Оформлення розв'язання задач.

Методика вивчення геометричних побудов у просторі. Методика вивчення

геометричних перетворень у просторі. Методика вивчення координат і векторів

у просторі. Технологія розв’язування задач з теми «Координати, геометричні

перетворення та вектори у просторі». Характеристика добірки системи задач з

теми на ЗНО. Особливості побудови малюнків до задач.

Геометричні величини в стереометрії, методика їх вивчення, вимірювання і

обчислення. Засоби узагальнення і систематизації навчального матеріалу з

геометрії.

2.1.1. Рекомендована література.

Основна

Навчальні посібники з методики навчання математики

1. Бевз Г.П. Методика викладання математики. - К., 1990.

2. Збірник навчально-методичних задач з методики навчання

геометрії в школі / О. І. Матяш, А. Л. Воєвода, Л. Ф. Михайленко, Л. Й.

Наконечна. – Вінниця: ТОВ «Нілан-ЛТД», 2012.– 392 с.

3. Матяш О. І. Теоретико-методичні засади формування

методичної компетентності майбутнього вчителя математики до навчання

учнів геометрії: Монографія / О. І. Матяш. – Вінниця: ФОП Легкун В. М.,

2013. – 445 с.

4. Практикум з методики навчання математики. Основна школа:

навчальний посібник для організації практичних занять і самостійної

роботи студентів математичних спеціальностей педагогічних

університетів / О. І. Матяш та група авторів: За ред. В. О. Швеця – К.: Вид-

во НПУ імені М. П. Драгоманова, 2012. – 267с. (Гриф МОНУ).

5. Слєпкань З.І. Методика навчання математики: Підручник для

студентів мат. спеціальностей пед. навч. закладів. – К.: Зодіак-ЕКО, 2006.

6. Слєпкань З.І. Психолого-педагогічні та методичні основи

розвивального навчання математики. – Тернопіль: Підручники і

посібники. – 2004.

Державні документи

1. Навчальна програма для учнів 5–9 класів загальноосвітніх

навчальних закладів» (авт. Бурда М.І., Мальований Ю.І., Нелін Є.П.,

Номіровський Д.А., Паньков А.В., Тарасенкова Н.А., Чемерис М.В., Якір

М.С.) [Електронний ресурс]. – Режим доступу: (http://mon.gov.

ua/activity/education/zagalna-serednya/navchalni-programy.html).

2. Шкільні підручники рекомендовані Міністерством освіти і

науки України з математики для 5 і 6 класів, з алгебри для 7-9 класів

та з геометрії для 7-9 класів.

3. Державний стандарт базової і повної загальної середньої

освіти, затверджений постановою Кабінету Міністрів України від 23

листопада 2011 р. № 1392 [Електронний ресурс]. – Режим доступу:

http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/1392-2011-п.

4. Інструктивно-методичні рекомендації щодо вивчення базових

дисциплін [Електронний ресурс]. – Режим доступу:

Додаткова

1. Василенко О. О. Між алгеброю й гармонією: (навч.-метод. посіб.) / О.

О. Василенко. - Харків: Основа, 2009. – 112 с.

2. Власенко К. В. Актуалізація евристичних ситуацій на уроках геометрії

/ К. В. Власенко, О. І. Скафа. – Донецьк: Фірма ТЕАН, 2003. – 192 с.

3. Гап'юк Г.В. Вчимося розв'язувати задачі з математики. 6 клас / Г.

Гап'юк, С. Мартинюк, О. Чиж. – Тернопіль: Підручники і посібники, 2008. – 463

с.

4. Жидков С. І. Геометричні нерівності для довільного трикутника / С. І.

Жидков. - Харків: Основа, 2008. – 143, с.

5. Збірник інструктивно-методичних матеріалів для проведення

моніторингу якості загальної середньої освіти за результатами навчання учнів

у початковій та основній школі (2013) [Електронний ресурс]. – Режим доступу:

http://www.mon.gov. ua/ua/messages/19263-monitoring—2013.

6. Інструкція з ведення класного журналу учнів 5-11(12) класів

загальноосвітніх навчальних закладів наказ Міністерства освіти і науки України

від 03.06.2008 № 496 [Електронний ресурс]. Режим доступу: http://mon.gov.ua

7. Каменева Т. К. Золотой треугольник в задачах / Т. Каменева, А. Козлов,

А. Урмузов. – Москва: Чистые пруды, 2008. – 31 с.

8. Карпінська І.Й. Функції, їх властивості та графіки: (навч.-метод. посіб.)

/ І. Й. Карпінська. – Харків: Основа, 2009. – 123 с.

9. Клочко І.Я. Нестандартна математика. 4-6 класи: тест. завдання: посіб.

для підготов. до мат. турнірів / І. Я. Клочко. – Тернопіль: Навчальна книга –

Богдан, 2010. – 103 с.

10. Ковалева Г.И. Функциональный метод решения уравнений и

неравенств / Г. И. Ковалева, Е. В. Конкина. – Москва: Чистые пруды, 2008. – 32

с.

11. Компетентнісно орієнтована методика навчання математики в основній

школі: Метод. посібник / О.І.Глобін, М.І. Бурда, Д.В. Васильєва, В.В.

Волошена, О.П. Вашуленко, Н.Д. Мацько, Т.М. Хмара. — К.: Педагогічна

думка, 2015. – 245с.

12. Кушнір І.А. Геометрія трапеції в задачах: (навч.-метод. посіб.) / І. А.

Кушнір. – Харків: Основа, 2009. – 80 с.

http://zakon2.rada.gov.ua/laws/show/1392-2011-п

http://www.mon.gov/

http://mon.gov.ua/

13. Матяш О. І. Система задач на урок як засіб підвищення ефективності

навчання геометрії в школі / О. І. Матяш // Сучасні інформаційні технології та

інноваційні методики навчання у підготовці фахівців: методологія, теорія,

досвід, проблеми: зб.наук.праць. – Вип.26.– Київ-Вінниця, 2010. – С.39–44.

14. Матяш О. І. Удосконалення умов для дослідження знань та умінь учнів

з геометрії на заключному етапі вивчення теми / О. І. Матяш // Проблеми

математичної освіти (ПМО-2010): матеріали Міжнар. наук.-метод. конф. /

Черкаський нац. ун-т ім. Б. Хмельницького.– Черкаси, 2010. –С. 106–108.

15. Матяш О. І. Методичні вказівки до державного екзамену «Елементарна

математика і методика викладання математики в СЗШ ІІІ ст.» / О. І. Матяш,

Л. Ф. Михайленко. – Вінниця: ВДПУ, 2011. – 47 с.

16. Матяш О. І. Методичні вказівки щодо впровадження прикладної

спрямованості в процесі навчання планіметрії в основній школі / О. І. Матяш,

Н. В. Волощук-Тихоненко. – Вінниця: ВДПУ, 2010.– 54 с.

17. Матяш О. І. Методичні вказівки щодо систематизації та узагальнення

фактів і методів планіметрії при вивченні геометрії в старшій школі /

О. І. Матяш, К. І. Полянська. – Вінниця: ВДПУ, 2013. – 42 с.

18. Матяш О. І. Методичні вказівки щодо формування знань та умінь учнів

з теми «Чотирикутники» / О. І. Матяш, К. І. Полянська, В. П. Слободян. –

Вінниця: ВДПУ, 2012. – 72 с.

19. Матяш О. І. Підготовка майбутніх учителів математики до

використання інтерактивної дошки у навчанні математики / О. І. Матяш,

Д. О. Бабюк. – Вінниця: ВДПУ, 2012. – 88 с.

20. Матяш О. І. Рекомендації щодо навчання геометрії у методичній

спадщині відомих українських математиків-методистів / О. І. Матяш,

О. В. Швабська. – Вінниця: ВДПУ, 2012. – 135 с.

21. Матяш О. І. Розвиток просторової уяви учнів засобами комп’ютерних

технологій у профільній школі / О. І. Матяш, В. П. Слободян. – Вінниця: ВДПУ,

2013. – 44 с.

22. Матяш О. І. Чудові точки та лінії трикутника / О. І. Матяш,

М. В. Савченко. – Вінниця: ВДПУ, 2012. – 68 с.

23. Раков С. А. Математична освіта: компетентнісний підхід з

використанням ІКТ: монографія / С. А. Раков. – Х.: Факт, 2005. – 360 с.

24. Савченко Л. Математичний гурток. 5 клас / Л. Савченко. – Київ:

Шкільний світ, 2008. – 117 с.

25. Скафа О. І. Евристичне навчання математики: комп’ютерно-

орієнтовані уроки: навч.-метод. посібник (друге видання) / О. І. Скафа, О. В.

Тутова. – Донецьк: ДонНУ, 2013. – 399 с.

26. Сухарева Л.С. Нова змістова лінія в сучасному шкільному курсі

математики 5-6 класів / Л. С. Сухарева. – Харків: Основа, 2008. – 144 с.

27. Тополя Л. Дидактичні ігри на уроках алгебри і геометрії. 7-9 класи / Л.

Тополя, В. Швець. – Київ: Шкільний світ, 2009. – 126, с.

28. Харік О.Ю. Математика 5-7: матеріали для факульт. занять, спецкурсів,

гуртків / О. Ю. Харік. – Харків: Основа, 2008. – 143 с.

Шкільні підручники

Рівень стандарту:

1. Афанасьева О. М. Математика. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. /

О.М. Афанасьева, Я. С. Бродський, О. Л. Павлов, А. К. Сліпенко. –

Тернопіль: Навчальна книга – Богдан. - 2010.

2. Бурда М. І. Математика. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. / М. І.

Бурда, Т. В. Колесник, Ю. І. Мальований, Н. А. Тарасенкова. – К.: Зодіак-

ЕКО. – 2010.

3. Бевз Г. П. Математика. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. / Г.П. Бевз,

В.Г.Бевз. – К.: Генеза. – 2010.

4. Єршова А.П. Геометрія. 10 клас. Академічний рівень: Підруч. Для

загальноосвіт. Навч. Закл. / А.П. Єршова, В.В. Голобородько, О.Ф.

Крижановський, С.В. Єршов. – Х. : Видавництво «Ранок», 2010. – 240 с.

Академічний рівень:

1. Біляніна О.Я. Геометрія: 10 кл.: академ. Рівень : підруч. Для загальноосвіт.

Навч. Закл. /О.Я. Біляніна, Г.І. Білянін, В.О. Швець – 2-ге вид. – К. : Генеза,

2012. – 256 с.

2. Бурда М. І. Геометрія. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. / М.І.Бурда,

Н.А. Тарасенкова – К.: Видавничий дім «Освіта». – 2013.

3. Єршов А.П. Геометрія. 11 клас. Академічний рівень. Профільний рівень :

Підруч. для загальноосвіт. навч. закл. / А.П. Єршова, В.В. Голобородько,

О.Ф. Крижановський, С.В. Єршов. – Х.: Видавництво «Ранок», 2011. –

304 с.

Профільний рівень:

1. Бевз Г. П. Геометрія. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. / Г. П. Бевз,

В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова, В. М. Владіміров. – К.: Генеза, 2010. – 232 с.

2. Бевз Г. П. Геометрія: 11 кл. : підруч. для загальноосвіт. навч. закл. : академ.

рівень, профіл. рівень / Г. П. Бевз, В. Г. Бевз, Н. Г. Владімірова,

В. М. Владіміров. – 3-тє вид. – Київ: Генеза, 2014. – 336 с.

3. Бурда М.І. Геометрія: Підруч. Для 11 кл. загальноосвіт. Навч. закл. /

М.І. Бурда, н.А. Тарасенкова, І.М. Богатирьова, О. М. Коломієць,

З. О. Сердюк. – К.: Видавничий дім «Освітиа», 2013. – 304 с.

Поглиблений рівень:

1. Бевз Г. П. Геометрія. 10 клас. Підручник для учнів 10 класу. / Г. П. Бевз, В.

Г. Бевз, Н. Г. Владімірова, В. М. Владіміров. – К.: Генеза. – 2010.

Інформаційні ресурси

1. http://shkola.ostriv.in.ua/publication/code-49070AA8BB4D3/list-211469c1327

Електронний навчальний комплекс "Вивчення геометричного матеріалу"

2. http://uk.wikipedia.org/wiki/Головна_сторінка

3. https://sites.google.com/site/spilnotamatematiki/korisni-posilanna - сайт

Мережева спільнота вчителів математики м.Києва

4. www.book.osnova.com.ua - навчально-методична література

5. www.e-kniga.in.ua - електронні книги

6. www.mon.gov.ua – сайт МОН України

7. Віртуальний кабінет математики / Електронний ресурс - Режим доступу:

http://nico-mat.at.ua.

2.2. Програма навчальної дисципліни «Теорія і практика

розв’язування олімпіадних задач»

http://nico-mat.at.ua/

РОЗДІЛ 1. Теорія математичних олімпіад.

Тема 1. Традиції вітчизняних та зарубіжних математичних олімпіад.

Особливості проведення математичних олімпіад в Україні.

Особливості проведення математичних олімпіад інших країн.

Тема 2. Методичні рекомендації щодо складання текстів завдань

математичних олімпіад.

Цілі проведення математичної олімпіади.

Приклади вдалих і невдалих текстів математичних олімпіад різних

рівнів.

Критерії перевірки робіт математичної олімпіади.

Складання нових задач для олімпіад: поради і методичні

рекомендації.

Тема 3. Основні напрямки з підготовки учнів до математичної олімпіади.

Робота вчителя математики на уроці.

Організація позакласної роботи з підготовки до математичних

олімпіад.

Організація заочної роботи з підготовки до математичних олімпіад.

Особливості проведення математичних олімпіад в сільських школах

з малою наповнюваністю класів.

РОЗДІЛ 2. Методи розв’язування нестандартних математичних задач.

Тема 4. Доведення від супротивного і принцип Діріхле.

Принцип Діріхле.

Специфіка розв’язування задач на доведення.

Узагальнений принцип Діріхле.

Принцип Діріхле і подільність цілих чисел.

Принцип Діріхле в геометрії.

Тема 5. Пошук інваріанту як метод розв’язування задач.

Парність, остачі від ділення як інваріант.

Розфарбування як інструмент знаходження інваріанту.

Напівінваріант.

Тема 6. Методи розв’язування задач комбінаторного характеру.

Правила суми і добутку; розмущення, перестановки, сполуки.

Пошук бієкції як метод розв’язування комбінаторних задач.

Принцип включень-виключень.

Прийом «Кулі і перегородки».

Тема 7. Методи розв’язування ігрових і турнірних задач.

Методи розв’язування ігрових задач.

Задачі пов’язані із шаховими і футбольними турнірами.

Тема 8. Специфіка розв’язування задач на пошук стратегій.

Пошук виграшних позицій в математичних іграх.

Зворотній хід, аналіз з кінця.

Стратегії, які базуються на симетрії або доповненні.

Тема 9. Принцип крайнього.

Принцип крайнього в задачах алгебраїчного характеру.

Принцип крайнього в задачах геометричного характеру.

Тема 10. Задачі типу «оцінка плюс приклад».

Приклади розв’язування задач типу «оцінка плюс приклад» різного

рівня складності.

Тема 11. Методи розв’язування арифметичних задач і задач з теорії чисел.

Задачі на подільність.

Пошук останньої цифри числа.

Методи розв’язування діофантових рівнянь.

Тема 12. Евристичні прийоми доведення нерівностей.

Класичні і ключові нерівності.

Доведення нерівностей з використанням класичних нерівностей.

Реверсний метод доведення нерівностей.

Геометричні нерівності.

Тема 13. Базові відомості з теорії графів в задачах математичних олімпіад.

Основні поняття теорії графів.

Лема про рукостискання в задачах математичних олімпіад.

Цикли в графі. Поняття дерева.

Теорема Ейлера.


Основна

1. Генкин С.А. Ленинградские математические кружки / С. А. Генкин,

И. В. Итенберг, Д. В. Фомин. – Киров, 1994. – 272 с.

2. Канель-Белов А.Я. Как решают нестандартные задачи. / А.Я. Канель-

Белов, А.К. Ковальджи. – М. : МЦНМО, 2008. – 96 с.

3. Сарана О.А. Математичні олімпіади: просте і складне поруч. – К. : Вид-во

А.С.К., 2004 – 344 с.

4. Фарков А.В. Математические олимпиады в школе. 5–11 классы /

А. В. Фарков. – 8-е изд., испр. и доп. – М. : Айрис-пресс, 2009. – 256 с.

5. Ясінський В. А. Задачі математичних олімпіад і методи їх розв’язування / В. А.

Ясінський. – Тернопіль : Богдан, 2008. – 208 с.

6. Ясінський В. А. Секрети підготовки школярів до Всеукраїнських і

Міжнародних математичних олімпіад. Алгебра. / В. А. Ясінський,

О. Б. Панасенко. – Вінниця : ТОВ «Нілан-ЛТД», 2015. – 272 с.

Додаткова

7. Бабинская И.Л. Задачи математических олимпиад. / И.Л. Бабинская – М. :

Наука, 1975. – 461с.

8. Васильев Н.Б. Заочные математические олимпиады. / Н.Б. Васильев, В.Л.

Гутенмахер, Ж.М.Раббот, А.Л. Тоом. – М. : Наука, 1986. – 348с.

9. Горбачев Н.В. Сборник олимпиадных задач по математике /

Н.В. Горбачев – М. : МЦНМО, 2013. – 560 с.

10. Пойа Д. Как решать задачу / Д. Пойа. – М., 1959. – 208 с.


Міжнародних математичних олімпіад. Теорія чисел. / В. А. Ясінський, В.М.

Лейфура, І.М. Мітельман, О. Б. Панасенко, В.М.Радченко. – Вінниця : ТОВ

«Нілан-ЛТД», 2018. – 336 с.


Міжнародних математичних олімпіад. Геометрія. / В. А. Ясінський,

О. Б. Панасенко. – Вінниця : ТОВ «Нілан-ЛТД», 2014. – 224 с.

Інформаційні ресурси:

https://matholymp.org.ua

https://matholymp.kiev.ua

https://mmk.edu.vn.ua/olimpiadi-vseukrajinskogo-rivnya

https://mathedu.kharkiv.ua/

https://problems.ru

2.3. Програма навчальної дисципліни «Практикум розв’язування

математичних задач»

Розділ 1. Розв’язування задач вибраних тем шкільної планіметрії.

Тема 1. Ознаки рівності трикутників.

Тема 2. Сума кутів у трикутнику.

Тема 3. Ознаки подібності трикутників.

Тема 4. Теорема Менелая.

Тема 5. Теорема Чеви.

Тема 6. Пряма Ейлера.

Тема 7. Коло дев’яти точок.

Тема 8. Теорема Піфагора.

Тема 9. Теорема косинусів

Тема 10. Теорема синусів.

Тема 11. Чотирикутники

Тема 12. Многокутники

Тема 13. Правильні многокутники, та їх властивості.

Тема 14. Коло. Круг.

Тема 15. Вписані многокутники.

Тема 16. Описані многокутники.

Тема 17. Площа многокутника.

Тема 18. Декартові координати на площині (відстань між точками,

поділ відрізка у заданому відношенні, рівняння кола).

Тема 19. Рівняння прямої (загальне, з кутовим коефіцієнтом, задане

двома точками).

Тема 20. Рівняння еліпса. Рівняння гіперболи.

Тема 21. Метод координат.

Тема 22. Вектори. Векторний та координатно-векторний

методи розв’язування задач.

Розділ 2. Розв’язування задач вибраних тем шкільної стереометрії.

Тема 23. Кут між мимобіжними прямими.

Тема 24. Відстань від точки до прямої.

Тема 25. Відстань від точки до площини.

Тема 26. Відстань між мимобіжними прямими.

Тема 27. Кут між прямою і площиною.

Тема 28. Кут між площинами.

Тема 29. Двогранний кут.

Тема 30. Тригранний кут.



https://matholymp.kiev.ua/

https://mmk.edu.vn.ua/olimpiadi-vseukrajinskogo-rivnya


https://problems.ru/

Розділ 3. Рівняння та нерівності з параметрами в шкільному курсі

математики.

Тема 31. Раціональні рівняння з параметрами.

Тема 32. Ірраціональні рівняння з параметрами.

Тема 33. Показникові рівняння з параметрами.

Тема 34. Показникові нерівності з параметрами.

Тема 35. Логарифмічні рівняння з параметрами.

Тема 36. Логарифмічні нерівності з параметрами.

Тема 37. Тригонометричні рівняння з параметрами.

Тема 38. Тригонометричні нерівності з параметрами.

Тема 39. Системи рівнянь та нерівностей з параметрами.


Основна

1. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной математике:

Алгебра. Тригонометрия. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.

2. Мерзляк А. Г. Геометрія 7. Підручник для класів з поглибленим вивченням

математики / А. Г. Мерзляк, В. Б. Полонський, М. С. Якір. – Харків: Гімназія,

2015. – 192 с.



2015. – 272 с.



2014. – 284 с.



2018. – 244 с.



2018. – 244 с.

7. Мерзляк А. Г. Алгебра 8. Підручник для класів з поглибленим вивченням


2015. – 400 с.



2017. – 416 с.



2016. – 404 с.



2018. – 244 с.

11. Алгебра 11. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики.

(Частина 1) / А. Г.Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, В. Б. Якір.

– Харків: Гімназія, 2011. – 256 с.

12. Алгебра 11. Підручник для класів з поглибленим вивченням математики.

(Частина 2) / А. Г.Мерзляк, Д. А. Номіровський, В. Б. Полонський, В. Б. Якір.

– Харків: Гімназія, 2011. – 256 с.

13. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной

математики. Советская наука, 1957.

14. Новоселов С.И. Специальный курс элементарной алгебры. – М.: Высшая

школа, 1965. – 551 с.

15. Олейник С.Н., Потапов М.К., Паниченко П.И. Нестандартные методы

решения уравнений и неравенств. – М.: Изд. МГУ, 1991. – 144 с.

16. Практикум з розв’язування задач з математики / Михайлівський В.І., Тарасюк

В.Є., Чеканал Є.О. та ін. – 3-тє вид., перероб. і доп. – К.: Вища шк. Головне

вид-во, 1989. – 425 с.

17. Цыпкин А.Г., Пинский А.И. Справочное пособие по методам решения задач

по математике для средней школы. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит., 1983.

– 416 c.

18. Ясінський В.А. Геометричні задачі. – Львів: Каменяр, 2003. – 76 с.

19. Ясінський В.А. Задачі математичних олімпіад та методи їх розв’язуванння .

– Тернопіль: Навчальна книга – Богдан, 2005. – 208 с.

20. Ясінський В.А. Практикум з розв’язування задач математичних олімпіад. –

Харків: Основа, 2006. – 124 с.

Допоміжна

1. Алексєєв В.М. Математика. Довідковий повторювальний курс. – К.: Вища

шк., 1992. – 495 с.

2. Алексєєв В.М. Елементарна математика. Розв’язання задач. – К.: Вища

школа, 1983 р.

3. Вавилов В.В., Мельников И.И., Олейник С.Н., Паниченко П.И. Задачи по

математике. Алгебра. Справочное пособие. – М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат.

лит., 1987. – 432 с.

4. Вересова Е.Е. и др. Практикум по решению математических задач. – М.:

Просвещение, 1979. 240 с.

5. Вибрані питання елементарної математики. – К. Вища школа, 1982 р.

6. Коваленко В.Г., Гельфанд М.Б., Ушаков Р.П. Доведення нерівностей.–

К.:

Вища школа, 1979. 120 с.

7. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г. Практикум по элементарной

математике: Алгебра. Тригонометрия. – М.: Просвещение, 1991. – 352 с.

8. Моденов П.С. Сборник задач по специальному курсу элементарной

математики. Советская наука, 1957.

Інформаційні ресурси

1. http://zadachi.mccme.ru/2012/#&page1

2. http://www.twirpx.com/

3. http://www.wolframalpha.com

Критерії оцінювання відповідей

на комплексному екзамені з математики та методики навчання

математики

http://zadachi.mccme.ru/2012/#&page1

http://www.twirpx.com/

http://www.wolframalpha.com/

Результати складання комплексного екзамену оцінюються у формі

рейтингового балу, максимальне значення якого дорівнює 100 за розширеною

шкалою та в системі ECTS. Підсумковий рейтинговий бал є простою сумою

рейтингових балів за кожне теоретичне питання та практичне завдання білету.

Основним критерієм оцінювання є повнота відповіді на теоретичні питання та

виконання практичного завдання білету.

При розкритті теоретичного та практичного завдання білету студент може

отримати максимальну кількість балів – 25.

3.1. Критерії оцінювання відповідей на питання та задачі комплексного

екзамену з математики та методики навчання математики. Рівень професійної компетентності майбутнього вчителя математики

визначається при відповіді на перше питання екзаменаційного білету за чотирма

компонентами: математичною, методичною, комунікативною і творчою. Відповідно

виділено дванадцять складових, наявність кожної з яких оцінюється від 0 до 2 балів

таким чином:

відсутня – 0 балів;

певним чином наявна – 1 бал;

наявна в повній мірі – 2 бали.

Отже, найбільшу кількість балів, яку може набрати студент за відповідь на одне

питання – 25 балів.

Перелік складових компонент професійної компетентності майбутнього вчителя

математики, які перевіряються при відповіді випускника освітньо-кваліфікаційного

рівня магістр

І. Математична компонента:

Знання необхідних означень понять, глибина розуміння їх змісту та об’єму;

Знання основних математичних тверджень;

Уміння обґрунтовувати математичні твердження.

ІІ. Методична компонента:

Знання змісту програм з математики і вміння їх аналізувати;

Вміння характеризувати методичні особливості навчального матеріалу;

Вміння виділити найбільш ефективні прийоми і засоби досягнення навчальної

мети;

Вміння характеризувати зміст і методичні особливості шкільних підручників з

математики;

Знання типових помилок учнів і шляхів їх виправлення і попередження;

Розуміння специфіки диференційованого навчання математики.

ІІІ. Комунікативна компонента:

Вільне володіння змістом відповіді на питання білету (міра використання

конспекту відповіді);

Вміння володіти собою, голосом, інтонацією;

Вдале використання дошки.

IV. Творча компонента:

Наявність власних оригінальних думок, прикладів, що ілюструють відповідь;

Вміння вдало використати у процесі відповіді знання педагогічного досвіду

вчителів математики;

Вміння вдало використати у процесі відповіді власний педагогічний досвід.

Рівень професійної компетентності майбутнього вчителя математики оцінюється

при відповіді на друге питання екзаменаційного білету максимальним балом 25.

При оцінюванні практичного завдання з методики навчання математики:

розв’язати конкретну задачу та здійснити методичний аналіз розв’язання, враховується

наявність:

правильного розв’язання задачі;

повного розв’язання задачі;

раціонального розв’язання задачі;

різних способів міркувань при розв’язуванні задачі;

переліку можливих помилок учнів при розв’язуванні вправ вказаного типу;

правильних вимог до оформлення розв’язання задачі.

Наявність кожної з складових оцінюється від 0 до 5 балів таким чином:

відсутня – 0 балів;

певним чином наявна – 3 бали;

наявна в повній мірі – 5 балів.

Отже, найбільшу кількість балів, яку може набрати студент за відповідь на третє

питання – 25 балів.

3.2. Критерії оцінювання відповідей на питання з теорії і практики розв’язування

математичних задач.

В повному обсязі володіє навчальним матеріалом, вільно самостійно та

аргументовано його викладає під час усного виступу, глибоко та всебічно розкриває

зміст основних понять теорії і практики розв’язування математичних задач. Розв’язує

практичні завдання високого рівня складності. Студент виділяє суттєві ознаки

вивченого за допомогою операцій синтезу, аналізу, виявляє причинно-наслідкові

зв’язки, формулює висновки і узагальнення, вільно оперує фактами та поняттями

дисципліни (відмінно, 23-25 балів).

Володіє переважною більшістю навчального матеріалу. Здатен обґрунтовано

викладати зміст основних понять і фактів дисципліни під час усного виступу, в

основному розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань,

використовуючи при цьому обов’язкову літературу. При висвітленні окремих питань

не вистачає достатньої глибини та аргументації. Здатний розв’язувати практичні

завдання середнього і високого рівнів складності. Студент виділяє суттєві ознаки

вивченого за допомогою операцій синтезу, аналізу, у яких можуть бути окремі

несуттєві помилки, формулює висновки і узагальнення, вільно оперує фактами та

поняттями дисципліни (дуже добре, 20-22 бали).

Володіє навчальним матеріалом, обґрунтовано його викладає під час усного

виступу, в основному розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань. Але

при висвітленні деяких питань не вистачає достатньої глибини та аргументації, студент

припускається окремих помилок. Студент здатен виділяти суттєві ознаки вивченого за

допомогою операцій синтезу, аналізу, (припускаючись при цьому окремих помилок),

формулювати висновки і узагальнення, вільно оперує більшістю фактів та понять

дисципліни (добре, 19 балів).

В цілому володіє навчальним матеріалом, викладає його основний зміст, але без

глибокого всебічного аналізу, обґрунтування та аргументації, допускаючи при цьому

окремі суттєві неточності та помилки. Студент має ускладнення під час виявлення

причинно-наслідкових зв’язків і формулювання висновків; розкриває зміст основних,

але не всіх понять дисципліни (задовільно, 15-18 балів).

В цілому володіє навчальним матеріалом, спроможний викласти його основний

зміст під час усного виступу, але без глибокого всебічного аналізу, обґрунтування та

аргументації, допускаючи при цьому суттєві неточності та помилки. Студент має

ускладнення під час виділення суттєвих ознак вивченого; під час виявлення причинно-

наслідкових зв’язків і формулювання висновків; розкриває зміст лише базових понять

і фактів дисципліни (прийнятно, 13-14 балів).

Не в повному обсязі володіє навчальним матеріалом. Фрагментарно, поверхово

(без аргументації та обґрунтування) викладає його під час усного виступу, недостатньо

розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань, допускаючи при цьому

суттєві помилки. Безсистемне відділення випадкових ознак вивченого; невміння

робити найпростіші операції аналізу і синтезу; робити узагальнення, висновки

(незадовільно, менше 12 балів).

3.3. Критерії оцінювання виконання практичного завдання з практикуму

розв’язування математичних задач.

В повному обсязі володіє навчальним матеріалом, вільно самостійно та

аргументовано його викладає під час усного виступу, глибоко та всебічно розкриває

зміст основних понять теорії і практики розв’язування математичних задач. Розв’язує

практичні завдання високого рівня складності. Студент виділяє суттєві ознаки

вивченого за допомогою операцій синтезу, аналізу, виявляє причинно-наслідкові

зв’язки, формулює висновки і узагальнення, вільно оперує фактами та поняттями

дисципліни (відмінно, 23-25 балів).

Володіє переважною більшістю навчального матеріалу. Здатен обґрунтовано

викладати зміст основних понять і фактів дисципліни під час усного виступу, в

основному розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань,

використовуючи при цьому обов’язкову літературу. При висвітленні окремих питань

не вистачає достатньої глибини та аргументації. Здатний розв’язувати практичні

завдання середнього і високого рівнів складності. Студент виділяє суттєві ознаки

вивченого за допомогою операцій синтезу, аналізу, у яких можуть бути окремі

несуттєві помилки, формулює висновки і узагальнення, вільно оперує фактами та

поняттями дисципліни (дуже добре, 20-22 бали).

Володіє навчальним матеріалом, обґрунтовано його викладає під час усного

виступу, в основному розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань. Але

при висвітленні деяких питань не вистачає достатньої глибини та аргументації, студент

припускається окремих помилок. Студент здатен виділяти суттєві ознаки вивченого

за допомогою операцій синтезу, аналізу, (припускаючись при цьому окремих

помилок), формулювати висновки і узагальнення, вільно оперує більшістю фактів та

понять дисципліни (добре, 19 балів).

В цілому володіє навчальним матеріалом, викладає його основний зміст, але без

глибокого всебічного аналізу, обґрунтування та аргументації, допускаючи при цьому

окремі суттєві неточності та помилки. Студент має ускладнення під час виявлення

причинно-наслідкових зв’язків і формулювання висновків; розкриває зміст основних,

але не всіх понять дисципліни (задовільно, 15-18 балів).

В цілому володіє навчальним матеріалом, спроможний викласти його основний

зміст під час усного виступу, але без глибокого всебічного аналізу, обґрунтування та

аргументації, допускаючи при цьому суттєві неточності та помилки. Студент має

ускладнення під час виділення суттєвих ознак вивченого; під час виявлення причинно-

наслідкових зв’язків і формулювання висновків; розкриває зміст лише базових понять

і фактів дисципліни (прийнятно, 13-14 балів).

Не в повному обсязі володіє навчальним матеріалом. Фрагментарно, поверхово

(без аргументації та обґрунтування) викладає його під час усного виступу, недостатньо

розкриває зміст теоретичних питань та практичних завдань, допускаючи при цьому

суттєві помилки. Безсистемне відділення випадкових ознак вивченого; невміння

робити найпростіші операції аналізу і синтезу; робити узагальнення, висновки

(незадовільно, менше 12 балів).

Критерії оцінювання відповіді студента Характеристики критеріїв оцінювання знань Оцінка

ЄКТС

Оцінка за

розширеною

шкалою

Мінімальний

бал для

отримання

позитивної

оцінки – 50,

максимальний

- 100

Студент володіє узагальненими знаннями з предмета,

аргументовано використовує їх у нестандартних ситуаціях;

вміє застосовувати вивчений матеріал для внесення власних

аргументованих суджень у практичній педагогічній діяльності.

А відмінно 90-100

Студент вільно володіє вивченим матеріалом, зокрема,

застосовує його на практиці; вміє аналізувати і

систематизувати наукову та методичну інформацію.

Використовує загальновідомі доводи у власній аргументації,

здатен до самостійного опрацювання навчального матеріалу;

виконує дослідницькі завдання, але потребує консультації

викладача.

В дуже добре 80-89

Студент може зіставити, узагальнити, систематизувати

інформацію під керівництвом викладача; знання є достатньо

повними; вільно застосовує вивчений матеріал у стандартних

педагогічних ситуаціях. Відповідь його повна, логічна,

обґрунтована, але з деякими неточностями. Здатен на реакцію

відповіді іншого студента, опрацювати матеріал самостійно,

вміє підготувати реферат і захистити його найважливіші

положення.

С добре 75-79

Студент володіє матеріалом на початковому рівні (значну

частину матеріалу засвоює на репродуктивному рівні). З

допомогою викладача здатен відтворювати логіку наукових

положень; має фрагментарні навички в роботі з підручником,

науковими джерелами; має стійкі навички роботи з

конспектом, може самостійно оволодіти більшою частиною

навчального матеріалу. Може аналізувати навчальний

матеріал, порівнювати і робити висновки; відповідь його

правильна, але недостатньо осмислена

D задовільно 60-74

Студент володіє навчальним матеріалом на рівні окремих

фрагментів; виявляє здатність елементарно викласти думку, з

допомогою викладача виконує елементарні завдання;

контролює свою відповідь з декількох простих речень; здатний

усно відтворити окремі частини теми; має фрагментарні

уявлення про роботу з науково-методичним джерелом, відсутні

сформовані уміння та навички

E достатньо 50-59

Незнання значної частини навчального матеріалу, суттєві

помилки у відповідях на питання, невміння застосувати

теоретичні положення при розв’язанні практичних задач. FХ незадовільно 35-49

Незнання значної частини навчального матеріалу, суттєві

помилки у відповідях на питання, невміння орієнтуватися

при розв’язанні практичних задач, незнання основних

фундаментальних положень.

F неприйнятно 1-34

4. Зразок комплексного кваліфікаційного завдання ВІННИЦЬКИЙ ДЕРЖАВНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

ІМЕНІ МИХАЙЛА КОЦЮБИНСЬКОГО

Ступінь вищої освіти: магістр

Спеціальність: 014 Середня освіта (Інформатика)

Освітня програма Середня освіта. Інформатика, математика.

Комплексний екзамен з математики та методики навчання математики

ЕКЗАМЕНАЦІЙНИЙ БІЛЕТ № 2

1. Методичні особливості перших уроків стереометрії в 10 класі.

2. Знайдіть відстань між мимобіжними діагоналями бічних граней прямої

трикутної призми усі ребра якої рівні і дорівнюють а. Здійснити методичний

аналіз розв’язування задачі в школі.

3. Особливості проведення математичних олімпіад інших країн.

4. Задача з практикуму розв’язування математичних задач (на вибір). На стороні

AC трикутника ABC позначено точку D так, що CD: AD = 1:2. Знайдіть відрізок

BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Затверджено за засіданні кафедри математики та інформатики

Протокол №3 від 3 жовтня 2019 року

Зав. кафедрою математики та інформатики __________ проф. Ковтонюк М.М.

Екзаменатор __________ проф. Матяш О.І.

Екзаменатор __________ доц. Тютюн Л.А.

Екзаменатор __________ доц. Бак С.М.

5. Зразки відповідей на комплексні кваліфікаційні завдання Орієнтовна відповідь на комплексне кваліфікаційне завдання №1:

Вивчення першої теми стереометрії – є основа розвитку просторових

уявлень та уяви учнів. Однак постійно переконуємось, що вчителі початківці і

учні стикаються із низкою психологічних та методичних труднощів на перших

уроках стереометрії. Зокрема, недостатній розвиток в учнів просторових уявлень

та уяви, абстрактність навчального матеріалу, перевантаженість розділу

теоремами тощо.

Для учнів 10-11 класів актуально бачити практичне застосування теми, що

вивчається. Задачі прикладного змісту дають відповіді на питання учнів. Отже,

важливо, розглянути принаймні кілька таких задач, причому, при розв’язуванні

цих задач є можливість формувати в учнів вміння використовувати порівняння і

аналогії.

Важливе місце в добірці геометричних задач посідають задачі на побудову.

Оскільки, при розв’язуванні стереометричних задач на уявлювані побудови, не

використовують інструменти, а тільки вказують послідовність основних

побудов, спираючись на аксіоми та наслідки з них, доцільно пропонувати учням

розв’язувати такі задачі й при вивченні теми «Аксіоми стереометрії та їх

найпростіші наслідки». При розв’язуванні цих вправ від учнів вимагається

уміння застосовувати загальні евристики (аналізувати, порівнювати,

узагальнювати).

Загально відомим підходом формування в учнів просторового уявлення та

уяви при означенні нових понять, формулюванні аксіом і теорем є використання

моделей точок, прямих, площин, прикладів із оточуючого середовища та

наочних малюнків. Учням пропонують розглянути готові креслення, моделі,

виділити ознаки поняття.

З метою виявлення рівня сформованості поняття та усунення недоліків у

знаннях, використовуючи готові малюнки, можна запропонувати учням

математичні диктанти та тести з евристичними завданнями.

Доречно, також розглянути окремі методичні поради для вчителів

початківців щодо роботи із задачами на перших уроках стереометрії: слід чітко

визначити, які вправи розв’язувати письмово, які усно; вправи, які розв’язуються

письмово, повинні бути належно оформленими: виконаний малюнок, записано

скорочений запис умови; вправи на доведення, обґрунтування, пояснення

доцільно оформляти у вигляді таблиці, при розв’язуванні складних для

сприйняття учнями вправ, доцільно підготувати евристичну бесіду, яка

«підштовхне» учнів до вибору правильного способу, методу розв’язання.

Орієнтовна відповідь на комплексне кваліфікаційне завдання №2:

Процес методичної діяльності із відібраною математичною задачею має

розкривати комплекс її функцій, серед яких навчальні, розвивальні, діагностичні,

прогнозуючі, тощо. Вдало відібрана математична задача, по-перше, створює

оптимальні умови для формування нових математичних знань та умінь, по-друге,

дозволяє використати, а тим самим активізувати, закріпити, систематизувати,

розвинути попередні математичні знання учня або студента. По-третє,

розв’язування вдало відібраної математичної задачі, має слугувати розвитку

прийомів розумової діяльності (аналіз, синтез, аналогія, індукція, тощо), по-

четверте, має виступати мотиваційним чинником розвитку математичних знань

та умінь.

Високий рівень геометрично-методичної компетентності вчителя щодо

методики розв’язування цієї задачі у процесі формування математичної

компетентності учня або студента має створити:

умови для закріплення знань про відстань між мимобіжними прямими та

умінь знаходити її з використанням різних методів;

умови для повторення теми «Координати і

вектори в просторі»;

умови для засвоєння знань про різні методи

розв’язування задач стереометрії, серед яких

координатний, векторний і координатно-

векторний;

умови для використання міжпредметних

зв’язків алгебри і геометрії. Зокрема, в процесі

розв’язування задачі закріплюються знання і

уміння розв’язувати системи рівнянь.

Векторний метод

Виберемо вектори 𝐶𝐴 = 𝑎, 𝐶𝐵 = 𝑏, 𝐶𝐶1 = 𝑐

Нехай 𝑀𝑁 – спільний перпендикуляр

мимобіжних прямих СА1 і ВС1. Розглянемо вектор𝑀𝑁. Щоб знайти відстань між

мимобіжними прямими, достатньо знайти довжину вектора𝑀𝑁. Виразимо𝑀𝑁

через𝑎, 𝑏, 𝑐.

𝐶𝐴1 = 𝑎 + 𝑐, 𝐵𝐶1 = 𝑎 − 𝑏,

𝐶𝑀 = 𝑚 ∙ 𝐶𝐴1 = 𝑚𝑎 +𝑚𝑐,

𝐵𝑁 = 𝑛 ∙ 𝐵𝐶1 = 𝑛𝑎 − 𝑛𝑏,

𝑀𝑁 = 𝐶𝑁 − 𝐶𝑀 = −𝐶𝑀 + (𝐶𝐵 + 𝐵𝑁) = 𝑏 + 𝑛𝑐 − 𝑛𝑏 −𝑚𝑎 −𝑚𝑐 =

= −𝑚𝑎 + (1 − 𝑛)𝑏 + (𝑛 −𝑚)𝑐.

Отже, 𝑀𝑁 = −𝑚𝑎 + (1 − 𝑛)𝑏 + (𝑛 −𝑚)𝑐. Оскільки МN спільний перпендикуляр прямих СА1 і ВС1, то

{𝑀𝑁 ∙ 𝐶𝐴1 = 0,

𝑀𝑁 ∙ 𝐵𝐶1 = 0;→ {

(−𝑚𝑎 + (1 − 𝑛)𝑏 + (𝑛 −𝑚)𝑐)(𝑎 + 𝑐) = 0,

(−𝑚𝑎 + (1 − 𝑛)𝑏 + (𝑛 −𝑚)𝑐)(𝑎 − 𝑐) = 0.

Перетворюючи рівняння системи врахуємо, що 𝑎 ∙ 𝑐 = 0, 𝑏 ∙ 𝑐 = 0,

𝑎 ∙ 𝑏 = |𝑎| ∙ |𝑏|𝑐𝑜𝑠60° =1

2𝑎2, де а – довжина ребра призми,

(𝑎)2 = 𝑎2, (𝑏)2= 𝑎2, (𝑐)2 = 𝑎2.

Отже,

{−𝑚𝑎2 + (1 − 𝑛) ∙

1

2𝑎2 + (𝑛 −𝑚) ∙ 𝑎2 = 0, |: 𝑎2 ≠ 0

𝑚 ∙1

2𝑎2 − (1 − 𝑛) ∙ 𝑎2 + (𝑛 −𝑚) ∙ 𝑎2 = 0, |: 𝑎2 ≠ 0

→

{−𝑚 +

1

2−1

2𝑛 + 𝑛 −𝑚 = 0,

𝑚 ∙1

2− 1 + 𝑛 + 𝑛 −𝑚 = 0;

→ {

1

2𝑛 − 2𝑚 +

1

2= 0,

2𝑛 −1

2𝑚 − 1 = 0;

→ {−2𝑛 + 8𝑚 − 2 = 0,

2𝑛 −1

2𝑚 − 1 = 0.

15

2𝑚 − 3 = 0,

15

2𝑚 = 3,𝑚 =

2

5.

2𝑛 −1

2∙2

5− 1 = 0,2𝑛 −

1

5− 1 = 0,2𝑛 =

6

5, 𝑛 =

3

5

Отже, 𝑀𝑁 = −2

5𝑎 +

2

5𝑏 +

1

5𝑐,

|𝑀𝑁| = √(𝑀𝑁)2= √(−

2

5𝑎 +

2

5𝑏 +

1

5𝑐)

2

=

= √4

25𝑎2 +

4

25𝑎2 +

1

25𝑎2 −

8

25∙1

2𝑎2 −

4

25∙ 0 +

4

25∙= √

5

25𝑎2 =

=𝑎√5

5.

Відповідь. 𝑀𝑁 =𝑎√5

5

Координатно-векторний метод

Нехай МN – спільний перпендикуляр мимобіжних прямих М (х1, у1, z1), N

(х2, у2, z2).

Відстань між мимобіжними прямими:

.)()()( 2

12

2

12

2

12 zzyyxxMN Отже, слід знайти координати точок М та N.

Вектори колінеарні: 𝐶𝑀i𝐶𝐴1, 𝐵𝑁i𝐵𝐶1, 𝐶𝑀 = 𝑘 ∙ 𝐶𝐴1, 𝐵𝑁 = 𝑚 ∙ 𝐵𝐶1

𝐶𝑀 ;2

3;;

2111

azy

ax

𝐶𝐴1 ;2

3;;

2

aa

a

𝐵𝑁= ;;; 222 zyax

𝐵𝐶1= .2

3;;

2

aa

a

{

𝑥1 −

𝑎

2= −

𝑎

2𝑘,

𝑦1 = 𝑘𝑎,

𝑧1 −𝑎√3

2= −𝑘 ∙

𝑎√3

2;

також {

𝑥2 − 𝑎 = −𝑚𝑎

2,

𝑦2 = 𝑚𝑎,

𝑧2 = 𝑚 ∙𝑎√3

2;

{

𝑥1 =

𝑎

2−𝑎

2𝑘,

𝑦1 = 𝑘𝑎,

𝑧1 =𝑎√3

2−𝑎√3

2𝑘;

також{

𝑥2 = 𝑎 −𝑚𝑎

2,

𝑦2 = 𝑚𝑎,

𝑧2 = 𝑚 ∙𝑎√3

2;

𝑀𝑁 = ).;;( 121212 zzyyxx

𝑀𝑁 = )2

3

2

3

2

3;;

222( k

aam

aakamm

ak

aa

{𝑀𝑁 ∙ 𝐶𝐴1 = 0,

𝑀𝑁 ∙ 𝐵𝐶1 = 0; →

;0)1(4

3)()1(

4

,0)1(4

3)()1(

42

22

22

2

kma

kmamka

kma

kmamka

;1,0)1(2

1

;0)1(4

1)()1(

4

1

,0)1(4

1)()1(

4

1

kmkm

kmkmmk

kmkmmk

.5

3;

5

21

2

5

02124

1

0)11(4

1)1()11(

4

1

mkk

kk

kkkkkk

Отже 𝑀(3

10𝑎;

2

5𝑎;

3√3𝑎

10) , 𝑁 (

7

10𝑎;

3

5𝑎;

3√3𝑎

10)

𝑀𝑁 = √(7

10𝑎 −

3

10𝑎)

2

+ (3

5𝑎 −

2

5𝑎)

2

+ (3√3𝑎

10−3√3𝑎

10)

2

= √4

25𝑎2 +

1

25𝑎2 + 0 =

𝑎√5

5

Відповідь. MN= 5

5a.

Координатний метод

𝐴(0; 0; 0), 𝐵(𝑎; 0; 0), 𝐶 (𝑎

2; 0;

𝑎√3

2)

𝐴1(0; 𝑎; 0), 𝐵1(𝑎; 𝑎; 0), 𝐶1 (𝑎

2; 0;

𝑎√3

2) , 𝐾(𝑎; 0; 𝑎√3)

Знайдемо рівняння площини (ВС1К):

𝐴(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 𝐶(𝑧 − 𝑧0) = 0

;2

,0

;02

33

2

,03

02

3

2

;03

,02

3

2

,0

;0)3()(

,02

3)(

2

,0)(

BA

C

aCBaaCA

a

aC

aCBaA

a

aCAaCzByAx

aCBa

aACzByAx

AaCzByAx

azCByaxA

azCayB

axA

CzByaxA

2𝐵(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) + 0 ∙ (𝑧 − 𝑧0) = 0

2𝐵(𝑥 − 𝑥0) + 𝐵(𝑦 − 𝑦0) = 0

2(𝑥 − 𝑥0) + (𝑦 − 𝑦0) = 0

2𝑥 + 𝑦 + (−2𝑥0 − 𝑦0) = 0

𝐵(𝑎; 0; 0) ∈ (𝐵𝐶1𝐾), отже

−2 ∙ 𝑎 − 0 = −2𝑎; 2𝑥 + 𝑦 − 2𝑎 = 0 – рівнянняплощини (ВС1К).

Знайдемо відстань від точки𝐴1(0; 𝑎; 0) до цієї площини:

.5

5

5012

20002

222222

000a

aaa

CBA

DCzByAxd

Отже, відстань між мимобіжними прямими СА1 і ВС1 дорівнює a5

5.

Відповідь. 5

5a.

Геометричний метод

Щоб знайти відстань між мимобіжними прямими, знайдемо відстань від

точки однієї з мимобіжних прямих, до паралельної їй площини, яка містить іншу

мимобіжну пряму.

Здійснивши добудову:𝐾 ∈ 𝐴𝐶, АС=СК,

отримаємо А1С1КС – паралелограм, тому 𝐴1𝐶 ∥ 𝐶1𝐾 тому𝐴1𝐶 ∥ (𝐶1𝐾𝐵), яка

містить пряму С1В. Отже, для знаходження відстані між мимобіжними прямими

СА1 і ВС1, достатньо знайти відстань від, наприклад, точки С до площини (ВС1К).

Розглянемо піраміду С1СВК, якщо ∆𝐶𝐵𝐾 її основа, то С1С – висота до основи

СВК (бо призма АВСА1В1С1 за умовою пряма). Якщо ∆𝐶1𝐵𝐾 її основа, висота з

вершини С на вказану основу і є шуканою відстанню від точки С до площини

(ВС1К). Отже, знайдемо висоту піраміди С1СВК до основи С1ВК:

𝑉пір. =1

3𝑆осн. ∙ Н;

𝑉пір. =1

3𝑆∆С1𝐵𝐾 ∙ Н;

𝐻 =3𝑉𝐶𝐶1𝐵𝐾

𝑆∆С1𝐵𝐾;

𝑉𝐶𝐶1𝐵𝐾 =1

3𝑆∆𝐶𝐵𝐾 ∙ 𝐶𝐶1 =

1

3∙1

2∙ 𝑎 ∙ 𝑎 ∙ sin 120° ∙ 𝑎 =

1

6𝑎3

√3

2=

√3

12𝑎3

𝑆∆С1𝐵𝐾 =1

2∙ 𝐵𝐾 ∙ 𝐶1𝑀 =

1

2𝑎√3 ∙ √(𝑎√2)

2− (

𝑎√3

2)

2

=√3

2𝑎 ∙𝑎√5

2=𝑎2√15

4

Отже,

3

2

33

12

15

4

3 4 5.

4 515

аН

а

а

а

Відповідь.𝑎√5

5.

Питання 3. Методи розв’язування задач комбінаторного характеру.

Орієнтовна відповідь на питання 3.

Питання 4. Практичне завдання з Практикуму розв’язування математичних

задач. На стороні AC трикутника ABC позначено точку D так, що CD : AD = 1 :

2.

Знайдіть відрізок BD, якщо AB = 14 см, BC = 13 см, AC = 15 см.

Орієнтовна відповідь на питання 4.

1. ∆𝐴𝐵𝐶: 𝐴𝐵2 = 𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 − 2𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶 ∙ cos∠𝐶,

𝑐𝑜𝑠∠𝐶 =𝐴𝐶2 + 𝐵𝐶2 − 𝐴𝐵2

2𝐴𝐶 ∙ 𝐵𝐶=152 + 132 − 142

2 ∙ 15 ∙ 13=33

65 .

2. 𝐶𝐷

𝐴𝐷=

1

2⇒ 𝐶𝐷 =

1

3𝐴𝐶 =

5(см). 3. ∆𝐵𝐶𝐷:

𝐵𝐷2 = 𝐵𝐶2 + 𝐶𝐷2 − 2𝐵𝐶 ∙ 𝐶𝐷 ∙ cos∠𝐶 = 132 + 52 − 2 ∙ 13 ∙ 5 ∙33

65= 128

𝐵𝐷 = √128 = 8√2(см).

Відповідь. 8√2(см).

З МАТЕМАТИКИ ТА МЕТОДИКИ НАВЧАННЯ...

Documents