РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК › lbrt › g2 › english › ssk ›...

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК

Сибирское отделение

Институт математики им. С. Л. Соболева

УДК 51:33ББК 65.23

К19Серия основана в 1932 г.

О т в е т с т в е н н ы е р е д а к т о р ыС. С. Кутателадзе, И. В. Романовский

Канторович Л. В. Математико-экономические работы / Л. В. Канторович. —Новосибирск: Наука, 2011. — 760 с. — (Избранные труды).

ISBN 978–5–02–019076–4.

Академик Леонид Витальевич Канторович (1912–1986) — выдающийся математик и эконо-мист, лауреат Сталинской (1949), Ленинской (1965) премий и Нобелевской премии по экономике(1975).

Издание содержит пионерские работы Л. В. Канторовича по математическому программи-рованию и математической экономике, выполненные им в 1938–1960 гг. Бо́льшая часть этих работдавно стала библиографической редкостью, а некоторые были опубликованы спустя много летпосле написания или вовсе не были опубликованы по идеологическим соображениям. Докумен-тированная публикация этих работ с указанием времени их написания подтверждает приоритетроссийской науки в области оптимизационного подхода в исследовании экономики.

Книга ориентирована на широкий круг читателей, интересующихся математическими мето-дами в экономических исследованиях.

Kantorovich L. V. Mathematical-Economic Articles / L. V. Kantorovich. —Novosibirsk: Nauka, 2011. — 760 p. — (Selected Works).

Academician Leonid Vital′evich Kantorovich (1912–1986) was a prominent mathematician andeconomist who was awarded with a Stalin Prize (1949), a Lenin Prize (1965), and a Nobel prize ineconomics (1975).

The book contains Kantorovich’s pioneering articles in mathematical programming and mathema-tical economics which were completed from 1938 to the 1960s. Most of these articles are bibliographicrarities, while some of them were published after the lapse of many years from the date of their writingor were never published at all by some ideological reasons. Documented publication of the articles withthe genuine time data corroborates the priority of the Russian science in the area of the approach toeconomic studies which bases on optimization.

The book is intended for the wide readership of those interested in the mathematical methods ofeconomic studies.

Утверждено к печати Ученым советомИнститута математики им. С. Л. Соболева СО РАН

Р∫∫� И Издание осуществлено при финансовой поддержке Российского фондафундаментальных исследований по проекту № 11–01–07049–д.

Издание РФФИ не подлежит продаже

ISBN 978–5–02–019076–4 c© Л. В. Канторович, 2011c© Институт математики

им. С. Л. Соболева СО РАН, 2011c© Российская академия наук и издательство «Наука»,

серия «Избранные труды» (разработка, оформление),1932 (год основания), 2011

c© Редакционно-издательское оформление.Сибирская издательская фирма «Наука»и Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2011

О томе математико-экономическихработ Л. В. Канторовича

Академик Леонид Витальевич Канторович (1912–1986) — выдающийся мате-матик и экономист, лауреат Сталинской (1949), Ленинской (1965) премий и Нобе-левской премии по экономике (1975).

В 1926 г. поступил в Ленинградский университет. С 1930 — аспирант и действи-тельный член Научно-исследовательского института математики и механики ЛГУ(по 1940 г.), с 1932 — доцент, а с 1934 по 1960 г. (с перерывом в 1941–1944 гг.) —профессор ЛГУ. Основные научные достижения Л. В. Канторовича связаны имен-но с периодом его работы в Ленинградском университете. Он является основателемленинградских научных школ в области функционального анализа, вычислитель-ной математики и математической экономики и инициатором (впервые в СССР)подготовки в университете специалистов по вычислительной математике (с 1948 г.)и экономической кибернетике (с 1958 г.).

В настоящий том включены 17 пионерских работ Л. В. Канторовича по мате-матическому программированию и математической экономике, выполненных им в1938–1960 гг. Некоторые из этих работ были опубликованы своевременно, однакобо́льшая их часть — с опозданием на 10–15 лет (или вовсе не были опубликованыпо идеологическим причинам). Эти издания давно стали библиографической ред-костью, что само по себе оправдывает их переиздание. Однако документированнаяпубликация этих работ с указанием времени их написания необходима еще и дляподтверждения приоритета российской науки в области оптимизационного подходав исследовании экономики и уяснения роли и места Л. В. Канторовича в развитиимировой науки.

Следует также заметить, что в двухтомник избранных математических работЛ. В. Канторовича1), вышедший в 1996 г., ни одна из предлагаемых к изданию работне вошла, хотя именно благодаря этим работам его имя столь широко известно.

Перечислим эти работы.

1. Математические методы организации и планирования производ-ства.

Работа вышла в издательстве ЛГУ в 1939 г. тиражом 1000 экз. и представляетрасширенную стенограмму доклада, сделанного Л. В. Канторовичем в мае 1939 г.Эта работа содержит изложение нового математического аппарата, впоследствииполучившего название «линейного программирования». Работа переиздавалась сдовольно значительными, но несущественными изменениями в 1959 г. в сборнике

1)Selected Works. Part 1: Descriptive Theory of Sets and Functions. Functional Analysis inSemi-Ordered Spaces / Ed. by S. S. Kutateladze. — London: Gordon and Breach, 1996. — 374 p.Selected Works. Part 2: Applied Functional Analysis. Approximation Methods and Computers / Ed.by S. S. Kutateladze and J. V. Romanovsky. — Amsterdam: Gordon and Breach, 1996. — 394 p.

4 О томе математико-экономических работ Л. В. Канторовича

«Применение математики в экономических исследованиях». Она была переведенана китайский (1959), польский (1960), итальянский (1961) и др. языки. Публикацияанглийского перевода этой работы в 1960 г. в Management Science вызвала сенсациюв США, а Л. В. Канторовичу был присужден почетный диплом Американскогообщества Исследования Операций, как автору лучшей работы 1960 г. в областиисследования операций.

2. Экономический расчет наилучшего использования ресурсов.Книга вышла в 1959 г. тиражом 3000 экз., а в 1960 г. была допечатка тиража —

6000 экз. Более книга не переиздавалась, хотя сам Л. В. Канторович несколько разприступал к подготовке такого переиздания, но так его и не осуществил. Книгасразу же вызвала громадный интерес как в СССР, так и на Западе и стала осно-ванием для присуждения Ленинской и Нобелевской премий. Была переведена наанглийский, испанский, польский, румынский, сербский, словацкий, французскийи японский языки. Ее выход вызвал целый поток рецензий и аналитических статей,хвалебных на Западе и ругательных — обвинения в антимарксизме — в России. Темне менее она оказала огромное влияние на формирование взглядов многих моло-дых в то время экономистов, о чем неоднократно говорили академики Аганбегян,Анчишкин, Петраков, Шаталин и др., и тем самым и на развитие экономическойнауки в СССР и социалистических странах.

Основной текст книги написан Л. В. Канторовичем в 1942 г. При издании в1959 г. в текст внесены определенные изменения, связанные либо с необходимостьюего осовременить, либо по цензурным соображениям. При наборе мы выделили втексте издания 1959 г. то, что относится к 1942 г., а те куски, которые не вошлив издание, поместили в примечания. При этом была учтена проделанная самимЛ. В. Канторовичем работа по подготовке переиздания. Такой способ переизданиянам представляется в наибольшей степени учитывающим волю самого автора, ко-торый, в частности, писал: «Мне хотелось бы опубликовать работы по возможностив первоначальном виде, с небольшими изменениями и дополнениями, так как тотфакт, что они выдержали испытание временем, является также известным доводомв их пользу, но не знаю, удастся ли это». В цитируемом письме А. Н. Колмогорову,датированном апрелем 1957 г., речь идет о предполагавшемся в 1957 г. издании вЛГУ этой и других работ Л. В. Канторовича начала 40-х годов.

Существенным представляется и другое соображение. Фундаментальным фак-том экономической теории является следующее утверждение: для того чтобы эко-номика находилась в оптимальном по Парето состоянии, необходимо и достаточносуществования неотрицательных равновесных цен для этого состояния. Этот фактбыл установлен американскими экономистами в начале 50-х годов и считается од-ним из блестящих достижений. Доказательство этого факта оказалось возможнымименно благодаря появлению линейного программирования. Но это утверждение,хотя чуть иначе сформулированное, фактически содержится в тексте Л. В. Канто-ровича 1942 г.

3. Показатели работы предприятий нуждаются в пересмотре.Критическая записка, подготовленная Л. В. Канторовичем либо в конце 1942 г.,

либо в начале 1943 г. Хотя формально эта записка никак не связана с «Экономи-

О томе математико-экономических работ Л. В. Канторовича 5

ческим расчетом наилучшего использования ресурсов», содержательно она суще-ственно опирается на него и может рассматриваться как приложение к предыду-щей работе. При жизни автора работа не публиковалась, было два малотиражныхиздания в 1993 и 2002 гг.2).

4. Об исчислении общественно-необходимого времени в условиях со-циалистического производства.

Работа написана в 1943 г. с целью дать идеологически приемлемую трактовкуобъективно обусловленных оценок, введенных в «Экономическом расчете наилуч-шего использования ресурсов». Была направлена в журнал «Под знаменем марк-сизма», получила «кисло-сладкий» отзыв Л. Б. Альтера, датированный мартом1944 г. (второй рецензент отзыв давать побоялся). В мае 1945 г. статья была воз-вращена автору «в связи с закрытием журнала». С 1957 г. Л. В. Канторович втечение 3-х лет добивался ее напечатания в «Вопросах экономики», пока, наконец,ее в сильно урезанном виде и с другим названием удалось опубликовать3). Полно-стью эта работа никогда не печаталась.

5. Применение математических методов в вопросах анализа грузо-потоков.

Вышедшая в 1949 г. в сборнике «Проблемы повышения эффективности рабо-ты транспорта» тиражом 2,5 тыс. экз. совместная статья Л. В. Канторовича иМ. К. Гавурина «Применение математических методов в вопросах анализа грузо-потоков» никогда не переводилась и не переиздавалась. Была написана в 1940 г.и тогда же (в декабре 1940 г.) впервые направлена в печать в журнал «Железно-дорожный транспорт». 26 февраля 1941 г. докладывалась в Доме ученых. И самаработа, где впервые во всей полноте, включая детальное описание метода решения,рассмотрена наиболее показательная из задач линейного программирования, и де-сятилетняя история ее публикации представляют значительный интерес. В архивеЛ. В. Канторовича сохранилась длительная переписка с различными изданиями всвязи с публикацией этой работы.

Десятилетняя задержка с публикацией тем более обидна, что за то время, покастатья моталась по редакциям, ее содержание во многом было переоткрыто. Прав-да, американские работы еще не были доступны — исследования по линейномупрограммированию, начавшиеся с 1947 г., оформлялись, как правило, в виде внут-ренних отчетов Rand Corporation (Американские ВВС). Так что первой разверну-той публикацией стал появившийся только в 1951 г. сборник статей под редакциейТьялиннга Купманса “Activity analysis of production and allocation”. Установлениюприоритета Л. В. Канторовича отчасти способствовала короткая заметка в Докла-дах АН «О перемещении масс» 1942 г., в которой Леонид Витальевич, помимо бо-лее общего и математически важного содержания, сформулировал квинтэссенцию

2)Оптимизация: сб. тр. [Ин-та математики СО АН СССР]. — Новосибирск, 1991. — Вып. 50(67) [К 80-летию академика Л. В. Канторовича. Часть I]. — С. 16–44. Леонид Витальевич Кан-торович: человек и ученый: в 2 т. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, фил. «Гео», 2002. — Т. 1. —С. 375–396.

3)Oб исчислении производственных затрат // Вопр. экономики. — 1960. — № 1. — С. 122–134.


и этой работы — теорему о потенциалах и указание на метод решения. Кроме того,там была и ссылка на нее, как на находившуюся в то время в печати.

Т. Купманс, получивший в 1957 г. от Л. В. Канторовича вместе с брошю-рой «Математические методы организации и планирования производства» и экзем-пляр этой работы, в предисловии к публикации перевода брошюры в ManagementScience4) так оценивал их значимость: «Обе статьи являются исключительнымидокументами в истории науки управления, линейного программирования и эконо-мической теории вообще. В статье 1949 г. обсуждаются однопродуктовая и много-продуктовая транспортные модели (в том числе с пустыми вагонами), модель ссетью ограниченной пропускной способности, а также приложение этих моделей кжелезнодорожной сети вокруг Москвы».

6. Подбор поставов, обеспечивающих максимальный выход пилопро-дукции в заданном ассортименте.

В своих воспоминаниях «Мой путь в науке», рассказав о трудностях, возник-ших с публикацией его работы по транспортной задаче, Л. В. Канторович далееговорит, что «примерно такая же судьба постигла» и статью о «рациональном рас-крое древесины на пиловочник наиболее высокой ценности. Она пролежала в ре-дакции журнала «Лесная промышленность» до 1949 г. и только тогда вышла всвет, — это был год, когда я, правда за другие работы, получил Государственнуюпремию».

Работа была выполнена, по крайней мере, уже к весне 1940 г. и направленав журнал «Механическая обработка древесины» (ее публикация предполагаласьв № 8 за 1940 г.), но затем по каким-то причинам была отвергнута. В начале1941 г. Л. В. Канторович направил ее в редакцию «Лесной промышленности»,она получила хвалебный отзыв и должна была выйти в майском номере журнала.Начавшаяся война надолго задержала ее выход.

Помимо новизны своего содержания работа интересна еще и тем, что показыва-ет, насколько глубоко Л. В. Канторович вникал в технические детали конкретныхобластей приложения. В его архиве сохранились материалы о реальных задачах,связанных с лесопилением, которыми он занимался в начале 40-х гг., а также пе-реписка по поводу публикации.

7. Об одном эффективном методе решения некоторых классов экс-тремальных проблем.

Короткая заметка в Докладах АН СССР (1940. — Т. 28, № 3. — С. 212–215).Первое изложение математической сути решения задач на краевой экстремум (ма-тематического программирования).

8. О перемещении масс.Заметка в Докладах АН СССР (1942. — Т. 37, № 7/8. — С. 227–229). Излагается

бесконечномерный аналог транспортной задачи.Коротко рассказав о трудной судьбе статьи о транспортной задаче, Л. В. Канто-

рович далее вспоминает: «К счастью, я сделал абстрактный вариант этой задачи —

4)Koopmans T. C. A Note about Kantorovich′s Paper, Mathematical Methods of Organizing andPlanning Production // Маnagment Science. — July 1960. — N 4.


заметку о перемещении масс в компактном метрическом пространстве, в которойбыл и критерий и метод потенциалов. В конце приводилось две задачи — задача ожелезнодорожных перевозках (со ссылкой на находящуюся в печати нашу статьюс М. К. Гавуриным) и задача о выравнивании площади аэродрома, которая такженосит прикладной характер. Эта работа, опубликованная в 1942 г. на русском ианглийском языках, по-видимому, была первой, из которой специалисты на Западеузнали о моих работах по линейному программированию, но это произошло тольков начале 50-х гг.».

Т. Купманс, в течение нескольких лет разыскивавший эту работу, прочтя ее,писал 12 ноября 1956 г.: «Дорогой профессор Канторович. Недавно мне предста-вился случай ознакомиться с экземпляром Вашей статьи «О перемещении масс» вДокладах Академии Наук СССР за 1942 г. Мне сразу стало ясно, что частью Выразвивали параллельно, но в большей части предвосхитили развитие транспортнойтеории в США, которое началось в период с 1941 г. и продолжается по настоящеевремя. Я прилагаю к письму краткий перечень наиболее важных статей, появив-шихся в американской литературе . . . В то же время я хотел бы отметить, что Вашакраткая статья в замечательно сжатой форме содержит математическое существотого, что содержится в этих работах».

Перевод этой работы был в 1958 г. опубликован в Management Science.Работа замечательна еще и тем, что в ней впервые введена так называемая

метрика Монжа — Канторовича, исследование которой было развито в более позд-них статьях (1957 и 1958 гг.), совместных с Г. Ш. Рубинштейном5). Эта метриканашла многочисленные приложения в теории вероятностей, эргодической теории,статистической физике и даже в космологии и широко используется в современнойматематике. Сюда же примыкает одностраничная заметка в «Успехах математи-ческих наук», в которой на основании теоремы 1942 г. в «два слова» решаетсяклассическая проблема Монжа о перемещении грунта6).

9. О методах анализа некоторых экстремальных планово-производ-ственных задач7).

Работа фактически выполнена в 1941 г. и ее основные результаты докладыва-лись на научной сессии ЛГУ 12 мая 1941 г. Содержит математическое исследованиетех моделей экономики, которые словесно описаны в «Экономическом расчете наи-лучшего использования ресурсов».

10. Рациональные методы раскроя металла.Наиболее ранняя из публикаций о прикладных задачах линейного программи-

рования, которыми занимался Л. В. Канторович8). Никогда не переиздавалась и,наверняка, недоступна современному читателю. В дальнейшем идеи этой работы

5)Об одном функциональном пространстве и некоторых экстремальных задачах // Докл.АН СССР. — 1957. — Т. 115, № 6. — С. 1058–1061; Об одном пространстве вполне аддитивныхфункций // Вестн. ЛГУ. — 1958. — № 7. Математика. Механика. Астрономия. Вып. 2. С. 52–59.

6)Об одной проблеме Монжа // Успехи мат. наук. — 1948. — Т. 3, вып. 2. — С. 225–226.7)Докл. АН СССР. — 1957. — Т. 115, № 3. — С. 441–444.8)«Производственно-технический бюллетень Наркомата боеприпасов СССР» (ДСП). — 1942. —

№ 7/8. — С. 21–29.


(и частично текст) были использованы в совместной с В. А. Залгаллером книге ораскрое 1951 г.

11. Об одном эффективном методе решения экстремальных задачдля квадратичных функционалов9).

Основные результаты работы докладывались на семинаре отдела приближен-ных вычислений МИАН 21 октября 1943 г. В работе предлагается градиентныйметод — метод наискорейшего спуска — для нахождения минимума квадратичногофункционала, идея которого восходит еще к Коши. Тут же обсуждаются и спосо-бы реализации этого метода в широком круге различных математических задач, ккоторым он может быть применен. Как указывается в самой работе, «хотя изло-жение данного метода принято независимое, но он связан с общими концепциямиавтора, относящимися к трактовке экстремальных проблем». Аналогичный методбыл предложен в работе Р. Куранта 1943 г., но им не был указан ключевой егомомент — выбор длины шага в направлении градиента.

12. Функциональный анализ и прикладная математика.Обзорный доклад о цикле работ Л. В. Канторовича по применению функци-

онального анализа в вычислительной математике, сделанный на научной сессииЛГУ 4 ноября 1947 г. и опубликованный в «Вестнике ЛГУ»10). Этот цикл работбыл отмечен первой премией университета «за лучшую научную работу 1947 г.»(приказ от 25.02.48) и Сталинской премией 1949 г. В этом докладе значительноеместо уделено оптимизационным задачам.

13. Расчет рационального раскроя промышленных материалов.Перепечатаны наиболее интересные параграфы (в частности, все математиче-

ские приложения) из совместной с В. А. Залгаллером книги, вышедшей в 1951 г.11)и отражающей результаты конкретной работы, которую провели под руководствомЛ. В. Канторовича его сотрудники, прежде всего В. А. Залгаллер, на ряде ле-нинградских заводов по внедрению методики рационального раскроя. Эта работастала первым в мире масштабным применением линейного программирования в ре-альных производственных условиях, и, несмотря на высокую размерность многихиз возникавших задач, их удавалось решать, не располагая в то время вычисли-тельными машинами. В книге впервые методы решения соответствующих задачлинейного программирования были детально описаны, и хотя ее появление совпалопо времени с первыми американскими публикациями по линейному программиро-ванию, она является убедительной демонстрацией того, насколько работы, прово-димые Канторовичем, опережали в то время американские разработки. И она жеявляется убедительной демонстрацией того, что советская экономическая системабыла абсолютно невосприимчива к нововведениям.

Книга интересна еще и тем, что в ней, помимо линейного программирования,фактически используются идеи и динамического программирования и метода «вет-вей и границ».

9)Докл. АН СССР. — 1945. — Т. 48, № 7. — С. 483–487.10)Вестн. ЛГУ. — 1948. — № 6. — С. 3–18.11)Л.: Газ.-журн. и кн. изд-во, 1951. — 198 с.


14. О некоторых функциональных уравнениях, возникающих прианализе однопродуктовой экономической модели12).

Эта совместная с Л. И. Горьковым работа открывает довольно важную тему вматематико-экономических исследованиях Л. В. Канторовича, к которой он неод-нократно обращался в дальнейшем на протяжении почти всей жизни. Подобногоже рода модели почти в то же время стали объектом исследований и на Западе.

15. О некоторых новых подходах к вычислительным методам и об-работке наблюдений13).

Эта работа является одной из последних математических работ Л. В. Канторо-вича и содержит ряд оригинальных предложений, относящихся к вычислительнойматематике. Она представляет несколько дополненный текст докладов, прочитан-ных автором в мае 1962 г. в Ленинградском и Новосибирском университетах и вМосковском математическом обществе. Содержащиеся в ней идеи близки к разви-ваемым в других работах этого сборника.

16. Математические и вычислительные проблемы в планово-эконо-мических вопросах.

В 1957 г. после вынужденного долгого молчания о своих экономических рабо-тах Л. В. Канторович получает, наконец, возможность рассказать о них в разныхаудиториях. Среди текстов десятка таких выступлений, сохранившихся в его ар-хиве, и публикуемый доклад, сделанный 3.12.1957 г. на научной сессии ЛГУ. Еготекст, в отличие от многих остальных, был очень квалифицированно записан иотредактирован.

17. О некоторых математических проблемах экономики промышлен-ности, сельского хозяйства и транспорта. I.

Судя по воспоминаниям Л. В. Канторовича, публикуемая рукопись относится,скорее всего, к осени 1938 г.

В. Л. Канторович, C. C. Кутателадзе, И. В. Романовский

12)Докл. АН СССР. — 1959. — Т. 129, № 4. — С. 732–735.13)Сиб. мат. журн. — 1962. — Т. 3, № 5. — С. 701–709.

Канторович и математизация экономики

С. С. Кутателадзе

Слова «математико-экономические работы» в заголовке тома избранных со-чинений Леонида Витальевича Канторовича воспринимаются сейчас как вполнеобыденные. Между тем 200 лет назад появление сочинения с подобным названиембыло немыслимо в принципе.

1. Математика и экономика

Математика изучает формы мышления. Предмет экономики — обстоятельствачеловеческого поведения. Математика абстрактна и доказательна, а профессио-нальные решения математиков не задевают обычную жизнь людей. Экономикаконкретна и декларативна, а практические упражнения экономистов основательножизнь меняют. Цель математики — безупречные истины и методы их получения.Цель экономики — индивидуальное благополучие и пути его достижения. Матема-тика не вмешивается в личную жизнь человека. Экономика задевает его кошелеки кошелку. Список капитальных различий математики и экономики бесконечен.

Математическая экономика — новация двадцатого века. Именно тогда воз-никло понимание того, что экономические проблемы требуют совершенно новогоматематического аппарата.

Человек разумный всегда был, есть и будет человеком хозяйствующим. Прак-тическая экономика для каждого из нас и наших предков — это арена здравогосмысла. Здравый смысл представляет собой особую способность человека к мгно-венным оценочным суждениям. Понимание выше здравого смысла и проявляетсякак осознанная адаптивность поведения. Понимание не наследуется и, стало быть,не принадлежит к числу врожденных свойств. Уникальной особенностью человекаявляется способность пониманием делиться, превращая оценки в материальные иидеальные артефакты.

Культура — сокровищница понимания. Инвентаризация культуры — суть ми-ровоззрения. Здравый смысл субъективен и родствен духовному подъему веры,т. е. силе, превышающей возможности фактов и логики. Проверка суждений спомощью фактов и логики — критический процесс, освобождающий человека отошибок субъективизма. Наука — трудный путь объективизации понимания. Ре-лигиозное и научное мировоззрения отличаются по сути способом кодификацииартефактов понимания.

Становление науки как инструмента понимания — долгий и сложный процесс.Зарождение ординального счета фиксировано палеолитическими находками, отде-ленными десятками тысяч лет от явления разумного и хозяйствующего человека.Экономическая практика предваряет предысторию математики, сформировавшую-ся в науку доказательных вычислений в Древней Греции примерно 2500 лет томуназад.

Канторович и математизация экономики 11

Целенаправленное поведение людей в условиях ограниченных ресурсов сталообъектом науки совсем недавно. Датой рождения экономики как науки принятосчитать 9 марта 1776 г. — день публикации сочинения Адама Смита «Исследованиео природе и причинах богатства народов».

2. Проблема синтеза мышления

Идеи правят миром. Эту банальную констатацию когда-то с глубокой ирониейдополнил Джон Мейнард Кейнс. Свой капитальный труд «Общая теория занято-сти, процента и денег» он завершил крылатым афоризмом: «Практические люди,мнящие себя совершенно неподверженными никаким интеллектуальным влияниям,обычно являются рабами какого-нибудь замшелого экономиста».

Политические идеи направлены на власть, экономические — на свободу от вла-сти. Политическая экономия неразрывна не только с экономической практикой, нои с практической политикой. Политизированность экономических учений характе-ризует их особое положение в мировой науке. Изменчивость эпох, их технологи-ческих достижений и политических предпочтений отражается в широком распро-странении эмоционального подхода к экономическим теориям и ставит экономикув положение, немыслимое для остальных наук. Помимо благородных причин, дляэтого есть и одна довольно циничная: как бы ни меняли достижения точных наукжизнь человечества, они никогда не затрагивают обыденное сознание людей стольживо и остро, как суждения об их кошельках и свободах.

Наука — чувственно-сверхчувственный артефакт в том смысле, что ее содер-жание раскрывается только человеком и без человека, по меньшей мере, вполнепонято быть не может. Расположенная в самом центре культуры, наука напомина-ет «Вавилонскую башню» — наивный, но героический и великий проект народовЗемли. Стремление к свободе, внутренне присущее человеку, проявляется в неис-требимой жажде знания. «Мы должны знать, мы будем знать!» — этот уже вековойтезис Давида Гильберта лежит в кладовой здравого смысла.

Георг Кантор, создатель теории множеств, еще в 1883 г. заметил, что «сущ-ность математики заключена в ее свободе». Свобода математики отнюдь не сво-дится к отсутствию экзогенных ограничений на объекты и методы исследования.Свобода математики в немалой мере проявляется в предоставляемых ею новых ин-теллектуальных средствах овладения окружающим миром, которые раскрепоща-ют человека, раздвигая границы его независимости. Математизация экономики —неизбежный этап пути человечества в царство свободы.

Девятнадцатый век отмечен первыми попытками применения математическихметодов в экономике в работах Антуана Огюста Курно, Карла Маркса, УильямаСтенли Джевонса, Леона Вальраса и его преемника по Лозаннскому университетуВильфредо Парето.

В двадцатом веке к экономической проблематике обратились математики пер-вой величины — Джон фон Нейман и Леонид Канторович. Первый развил теориюигр как аппарат изучения экономического поведения, а второй разработал линей-ное программирование как аппарат принятия решений о наилучшем использованииограниченных ресурсов. Значение исследований фон Неймана и Канторовича да-леко выходит за рамки их выдающихся технических результатов. Их достижения

12 С. С. Кутателадзе

показали, что современная математика предоставляет самые широкие возможно-сти для экономического анализа практических проблем. Экономика приблизиласьк математике. Оставаясь гуманитарной, она стремительно математизируется, де-монстрируя высокую самокритичность и незаурядную способность к объективнымсуждениям.

Поворот в мышлении человечества, осуществленныйфон Нейманом и Канторо-вичем, не всегда достаточно осознается. Между точным и гуманитарным стилямимышления существуют принципиальные различия. Люди склонны к рассуждениямпо аналогии и методу неполной индукции, рождающим иллюзию общезначимостизнакомых приемов. Различия научных технологий не всегда выделены отчетливо,что в свою очередь способствует самоизоляции и вырождению громадных разделовнауки. Методологическую пропасть, зиявшую между экономистами и математика-ми, к 1920-м годам четко обозначил Альфред Маршалл, основатель кембриджскойшколы неоклассиков, «маршаллианцев». В своем капитальном трехтомнике он пи-сал:

«функция анализа и дедукции в экономической науке состоит не в создании несколькихдлинных цепей логических рассуждений, а в правильном создании многих коротких цепочеки отдельных соединительных звеньев»1).

«Ясно, что в экономической науке нет места для длинных цепей дедуктивных рассуж-дений, ни один экономист, даже Рикардо, не пытался их использовать. На первый взглядможет показаться, что частое использование математических формул в экономических ис-следованиях свидетельствует о противоположном. Но при более тщательном рассмотрениистанет очевидно, что такое впечатление обманчиво, за исключением случая, когда чистыйматематик использует экономические гипотезы ради развлекательных упражнений в мате-матике...»2).

В 1906 г., в одном из частных писем, Маршалл сформулировал свое скептическоеотношение к применению математики в экономике следующим образом:

«[У меня] в последние годы работы над этим предметом росло ощущение весьма малойвероятности того, что хорошая математическая теорема, имеющая дело с экономическимигипотезами, кажется хорошей экономикой. И я все больше и больше склонялся к следующимправилам:

(1) Используй математику как язык для стенографии, а не исследовательский меха-низм.

(2) Придерживайся математики, пока не закончил дело.

(3) Переведи на английский.

(4) Проиллюстрируй примерами, важными в реальной жизни.

(5) Сожги математику.

(6) Если не достиг успеха в (4), сожги (3). Особенно часто я пользовался именно послед-ним приемом.

1)Маршалл А. Принципы политической экономии. — М.: Прогресс, 1984. — Т. III. — С. 225.2)Маршалл А. Там же. — С. 212.


Я не имею ничего против математики, она полезна и необходима, однако очень плохо,что история экономической мысли больше не востребована и даже не предлагается во многихстуденческих и аспирантских программах. Это потеря3).

Маршалл последовательно противопоставлял экономическое и математическоемышление, призывая строить многочисленные короткие «гребешки» рассужденийв конкретном экономическом анализе. Ясно, что образ «гребешка» не имеет ничегообщего с представлением о перевернутой пирамиде — кумулятивной иерархии уни-версума фон Неймана, в котором обитает современная теория множеств. Красотаи сила математики со времен Древней Эллады до наших дней связаны с аксиома-тическим методом, предполагающим вывод новых фактов с помощью сколь угоднодлинных цепей формальных импликаций.

Бросающаяся в глаза разница в менталитете математиков и экономистов за-трудняет их взаимопонимание и сотрудничество. Невидимы, но вездесущи пере-городки мышления, изолирующие математическое сообщество от своего экономи-ческого визави. Этот статус-кво с глубокими историческими корнями всегда былвызовом для Канторовича, противоречащим его тезису о взаимопроникновении ма-тематики и экономики.

3. Мировая линия Канторовича

Канторович родился в Санкт-Петербурге в семье врача-венеролога 19 января1912 г. (6 января по старому стилю). Интересно, что во многих справочниках ука-зана другая дата. Сам Канторович всегда с улыбкой отмечал, что он себя помнитс 19.01.1912. Дарование мальчика проявилось очень рано. Уже в 1926 г. в воз-расте 14 лет он поступил в Ленинградский университет. Вскоре он стал заниматьсяв кружке, организованном для студентов Г. М. Фихтенгольцем, а затем и в семина-ре, посвященном дескриптивной теории функций. Ранние студенческие годы сфор-мировали первую когорту наиболее близких товарищей. В кружке Фихтенгольцазанимались также Д. К. Фаддеев, И. П. Натансон, С. Л. Соболев, С. Г. Михлини др., с которыми Леонид Витальевич был дружен всю жизнь. Старые друзья доконца жизни за глаза называли его «Лёнечка».

Закончив ЛГУ в 1930 г., Канторович начал педагогическую работу в ленин-градских вузах, сочетая ее с интенсивными научными исследованиями. Уже в 1932 г.он профессор Ленинградского института инженеров гражданского строительстваи доцент ЛГУ. В 1934 г. Канторович становится профессором своей alma mater.

Основные труды в области математики Канторович создал именно в свой «ле-нинградский» период. При этом в 1930-е годы он публикует больше статей почистой математике, а 1940-е годы для него — время работ по вычислительной ма-тематике, где он стал признанным лидером в стране.

При подготовке собрания сочинений Канторовича в его личном архиве былообнаружено письмо Н. Н. Лузина, датированное 29 апреля 1934 г. Один из первыхматематиков того времени и основатель знаменитой «Лузитании» писал4):

3)Brue S. L. The Evolution of Economic Thought. 5th Edition. — Fort Worth: Harcourt CollegePublishers, 1993. — P. 294.

4)Решетняк Ю. Г., Кутателадзе С. C. Письмо Н. Н. Лузина Л. В. Канторовичу // Вестн.РАН. — 2002. — Т. 72, № 8. — С. 740–742.


«Вы должны знать, каково мое отношение к Вам. Вас всего, как человека, я не знаюеще, но угадываю мягкий чарующий характер. Но то что я точно знаю — это размер Ва-ших духовных сил, которые, насколько я привык угадывать людей, представляют в наукенеограниченные возможности. Я не стану произносить соответствующего слова — за-чем? Талант — это слишком мало. Вы имеете право на большее...».

С конца 1930-х годов творчество Канторовича обретает новые черты — он совершаетсерьезный прорыв в экономической науке.

В 1939 г. выходит в свет его знаменитая брошюра «Математические методыорганизации и планирования производства», ознаменовавшая рождение линейно-го программирования. В 1940-е годы на поверхности научного информационногопотока экономические работы Канторовича практически не публикуются. Однаков его творчестве экономическая проблематика выходит на первый план.

Уже в военные годы он завершает работу над первым вариантом книги «Эко-номический расчет наилучшего использования ресурсов», принесшей ему в 1975 г.Нобелевскую премию. Эта работа опережала время, не соответствовала догматамгосподствующей политической экономии, и ее публикация оказалась возможнойтолько в 1959 г. Пионерские идеи Канторовича были легализованы и начали ис-пользоваться в экономической практике.

В 1948 г. Совет Министров СССР особо секретным постановлением № 1990-774сс/оп решил «в двухнедельный срок организовать в Ленинградском филиалеМатематического института АН СССР расчетную группу в количестве до 15 чел.,возложив руководство этой группой на проф. Канторовича». Так Канторовичвошел в число участников проекта по созданию отечественного ядерного оружия5).

В 1957 г. Канторовича приглашают на работу во вновь создаваемое Сибирскоеотделение Академии наук. Вскоре он был избран членом-корреспондентом Ака-демии наук СССР по Отделению экономики. Основные публикации Канторовичаэтого периода относятся к экономике, за исключением, прежде всего, всемирноизвестного курса «Функциональный анализ в нормированных пространствах», на-писанного совместно с Г. П. Акиловым.

Нельзя не отметить одну блестящую придумку Канторовича и его учеников —научные тарифы на такси. Люди старшего поколения помнят, как в 1960-е го-ды была введена плата за посадку и уменьшена такса за проезд, что немедленнопривело к повышению рентабельности перевозок и выгодности коротких поездокдля клиентов и водителей. Эта экономическая мера была разработана в результа-те математического моделирования, осуществленного Канторовичем и группой егомолодых учеников-математиков, и опубликована в самом престижном математиче-ском журнале страны — в «Успехах математических наук».

В 1964 г. Канторович избран действительным членом АН СССP по Отделениюматематики и в 1965 г. удостоен Ленинской премии.

В начале 1970-х годов Канторович переехал в Москву, где продолжил занятияэкономическим анализом. Канторович всегда мечтал о внедрении новых математи-ческих методов в хозяйственную практику своей Родины и служил этой мечте до

5)В оперативной переписке советской разведки — операция «Энормоз».


своей кончины 7 апреля 1986 г., невзирая на непонимание и откровенное противо-действие ретроградов от науки и политики, управлявших страной. Он похороненна Новодевичьем кладбище в Москве.

4. Научное наследие

Научное наследие Канторовича огромно. Его исследования в области функ-ционального анализа, вычислительной математики, теории экстремальных задач,дескриптивной теории функций оказали фундаментальное влияние на становлениеи развитие названных дисциплин. Он по праву входит в число основоположниковсовременной математической экономики.

Канторович — автор более трехсот научных работ, которые при подготовке ан-нотированной библиографии его сочинений он сам предложил распределить по сле-дующим девяти разделам: дескриптивная теория функций и теория множеств, кон-структивная теория функций, приближенные методы анализа, функциональныйанализ, функциональный анализ и прикладная математика, линейное программи-рование, вычислительная техника и программирование, оптимальное планированиеи оптимальные цены, экономические проблемы плановой экономики.

Столь впечатляющее многообразие направлений исследований объединяетсяне только личностью Канторовича, но и его методическими установками. Он все-гда подчеркивал внутреннее единство науки, взаимопроникновение идей и методов,необходимых для решения самых разнообразных теоретических и прикладных про-блем математики и экономики.

Характерной чертой творчества Канторовича была ориентация на наиболеетрудные проблемы и самые перспективные идеи математики и экономики своеговремени.

5. Линейное программирование

Главным открытием Канторовича в области математико-экономических ме-тодов стало линейное программирование, которое теперь изучают десятки тысячлюдей во всем мире. Под этим термином скрывается колоссальный раздел нау-ки, посвященный линейным оптимизационным моделям. Иначе говоря, линейноепрограммирование — это наука о теоретическом и численном анализе и решениизадач, в которых требуется найти оптимальное значение, т. е. максимум или ми-нимум некоторой системы показателей в процессе, поведение и состояние которогоописывается той или иной системой линейных неравенств.

Термин «линейное программирование» был предложен в 1951 г. американскимэкономистом Т. Купмансом. В 1975 г. Канторович и Купманс получили Нобелев-скую премию по экономическим наукам с формулировкой «за их вклад в теориюоптимального распределения ресурсов». Особой заслугой Купманса стала пропа-ганда методов линейного программирования и защита приоритета Канторовича воткрытии этих методов.


В США линейное программирование возникло в 1947 г. в работах ДжорджаДанцига. Поучительно привести его слова об истории линейного программирова-ния6):

«Русский7) математик Л. В. Канторович на протяжении ряда лет интересовался приме-нением математики к задачам планирования. В 1939 г. он опубликовал обстоятельную мо-нографию под названием „Математические методы организации и планирования производ-ства“... Канторовича следует признать первым, кто обнаружил, что широкий класс важней-ших производственных задач поддается четкой математической формулировке, которая, поего убеждению, дает возможность подходить к задачам с количественной стороны и решатьих численными методами...

Канторович описал метод решения, основанный на имеющемся первоначально допусти-мом решении... Хотя двойственные переменные и не назывались „ценами“, в целом идеяметода состоит в том, что выбранные значения этих „разрешающих множителей“ для недо-стающих ресурсов можно довести до уровня, когда становится целесообразной переброскаресурсов, являющихся избыточными...

Если бы первые работы Канторовича были бы в должной мере оценены в момент их пер-вой публикации, то, возможно, в настоящее время линейное программирование продвинулосьбы значительно дальше. Однако его первая работа в этой области оставалась неизвестнойкак в Советском Союзе, так и в других странах, а за это время линейное программированиестало настоящим искусством».

Следует подчеркнуть, что c оптимальным планом любой линейной программы ав-томатически связаны оптимальные цены или «объективно обусловленные оценки».Последнее громоздкое словосочетание Канторович выбрал из тактических сообра-жений для повышения «критикоустойчивости» термина.

Концепция оптимальных цен и взаимозависимость оптимальных цен и опти-мальных решений — такова краткая суть экономического открытия Канторовича8).

6. Универсальная эвристика

Целость мышления проявлялась во всем творчестве Канторовича. Идеи линей-ного программирования были тесно связаны с его методологическими установкамив области математики. В середине 1930-х годов центральное место в математи-ческих исследованиях Канторовича занимал функциональный анализ. Главнымсвоим математическим достижением в этой области Канторович считал выделениеспециального класса порядково полных упорядоченных векторных пространств, ко-торые в отечественной литературе именуют K-пространствами или пространствамиКанторовича9).

6)Данциг Дж. Б. Линейное программирование, его обобщения и применения: Пер. с англ. —М.: Прогресс, 1966. — С. 29.

7)В указанном выше переводе стоит слово «советский», а в английском оригинале «Russian».8)На необходимость указать на основополагающую роль Канторовича в выработке самой

концепции оптимальных цен обратил мое внимание А. Г. Аганбегян в отклике на препринт этойвводной статьи.

9)В рабочих тетрадях Канторович писал о «моих пространствах».


Уже в первой своей работе в новой области математики, датированной 1935 г.,Канторович писал: «В этой заметке я определяю новый тип пространств, которыея называю линейными полуупорядоченными пространствами. Введение этих про-странств позволяет изучать линейные операции одного общего класса (операции,значения которых принадлежат такому пространству) как линейные функциона-лы».

Так была впервые сформулирована важнейшая методологическая установка,которую теперь называют эвристическим принципом Канторовича. Следует под-черкнуть, что в определение линейного полуупорядоченного пространства Канто-ровичем была включена аксиома условной порядковой полноты, обозначенная I6.Роль K-пространств Канторович продемонстрировал на примере теоремы Хана —Банаха. Оказалось, что в этом центральном принципе функционального анализаможно реализовать принцип Канторовича, т. е. заменить вещественные числа эле-ментами произвольного K-пространства, а линейные функционалы — операторамисо значениями в таком пространстве.

Эвристический принцип Канторовича нашел многочисленные подтверждениякак в его собственных исследованиях, так и в работах его учеников и последовате-лей. Этот принцип оказался путеводной идеей, приведшей к глубокой и изящнойтеории K-пространств, богатой разнообразными приложениями. Еще в серединепрошлого века предпринимались попытки формализации эвристического принци-па Канторовича. На этом пути появились так называемые теоремы о сохранениисоотношений, которые утверждают, что если некоторое высказывание, включаю-щее конечное число функциональных соотношений, доказано для вещественныхчисел, то аналогичный факт автоматически оказывается верным и для элемен-тов K-пространства. В то же время оставался совершенно неясным внутренниймеханизм, управляющий феноменом сохранения соотношений, границы его приме-нимости, а также общие причины многих аналогий и параллелей с классическимиматематическими дисциплинами.

Абстрактные идеи Канторовича в теории K-пространств связаны с линейнымпрограммированием и приближенными методами анализа. В последней своей ма-тематической работе, над которой Канторович работал уже смертельно больным,он отмечал10):

«При развитии теории функциональных пространств одна сторона реальной действи-тельности оказалась в ней на некоторое время упущенной. Для практических объектов,наряду с алгебраическими и другими соотношениями, большое значение имеет соотношениесравнения. Простое сравнение, имеющее место между всеми объектами, упорядочение, имеетобедненный характер, например, можно все виды упорядочить по их весу, но это мало чтодает. Гораздо более естественным является упорядочение, которое для тех случаев, когда этоестественно, оно определяется или фиксируется, а в других случаях оставляется неопреде-ленным (частичное упорядочение или полуупорядочение). Например, два набора продуктовнесомненно следует считать сравнимыми и первый бо́льшим второго, если в нем каждогопродукта больше, соответственно, чем во втором. Если же часть больше в одном, часть

10)Канторович Л. В. Функциональный анализ (основные идеи) // Сиб. мат. журн. — 1987. —Т. 28, № 1. — C. 1–8.


больше в другом, то можно сравнение не фиксировать. Так в свое время была построенатеория полуупорядоченных пространств и, прежде всего, теория K-пространств, определен-ных выше. Она получила разнообразные применения как в теоретических вопросах анализа,так и в построении некоторых прикладных методов, например теории мажорант в связис интенсивным изучением метода последовательных приближений. В то же время полно-стью ее возможности до сих пор еще не раскрыты. Недооценено также и значение этой ветвифункционального анализа для экономики. Между тем, в экономике соотношения сравне-ния и сопоставления играют исключительную роль и уже при возникновении K-пространствбыло ясно, что при анализе экономики они найдут свое место и дадут полезные плоды.

Теория K-пространств имеет и другое значение — их элементы могут использоватьсякак числа. В частности, при построении пространств типа Банаха в качестве нормы могутвместо чисел использоваться элементы такого пространства, конечномерного или бесконеч-номерного. Такая нормировка объектов является гораздо более точной. Скажем, функциянормируется не своим максимумом на всем интервале, а десятком чисел — максимумами еена частях этого интервала».

Современные исследования подтвердили, что идеи линейного программированияимманентны теории K-пространств. Можно доказать, что выполнение любого изпринятых вариантов формулировок принципа двойственности линейного програм-мирования в абстрактной математической структуре с неизбежностью приводитк тому, что исходный объект является K-пространством.

Эвристический принцип Канторовича связан с одной из самых ярких страницматематики прошлого века — со знаменитой проблемой континуума. Как известно,множество имеет мощность континуума, если оно находится во взаимно однознач-ном соответствии с отрезком числовой прямой. Гипотеза континуума состоит в том,что любое подмножество отрезка либо (не более чем) счетно, т. е. допускает пере-счет, либо имеет мощность континуума. Проблема континуума состоит в ответе навопрос о справедливости или ложности гипотезы континуума.

Гипотеза континуума была впервые высказана Кантором в 1878 г. Он былубежден в том, что эта гипотеза является теоремой и всю жизнь тщетно пытался еедоказать. В 1900 г. в Париже состоялся II Международный конгресс математиков.Гильберт выступил на открытии со своим знаменитым докладом «Математическиепроблемы», сформулировав 23 проблемы, решение которых девятнадцатое столе-тие завещало двадцатому. Первой в докладе Гильберта стоит проблема континуу-ма. Оставаясь нерешенной десятилетиями, она порождала глубокие исследованияв основаниях математики. В результате более чем полувековых усилий мы теперьзнаем, что гипотеза континуума не может быть ни доказана, ни опровергнута.

К пониманию независимости гипотезы континуума человечество пришло в дваэтапа: в 1939 г. Курт Гëдель проверил, что гипотеза континуума совместна с ак-сиомами теории множеств, а в 1963 г. Поль Коэн доказал, что им не противоречити отрицание гипотезы континуума. Оба результата установлены путем предъявле-ния подходящих моделей, т. е. построением универсума и интерпретации в нем тео-рии множеств. Подход Гёделя основан на подходящем «усечении» универсума фонНеймана. Гёдель показал, что выделенные им конструктивные множества образу-ют модель, в которой имеет место континуум-гипотеза. Следовательно, отрицаниегипотезы континуума недоказуемо. Подход Коэна в известном смысле противопо-


ложен технике Гёделя: он основан на контролируемом расширении универсума фонНеймана.

Метод форсинга Коэна был упрощен на языке нестандартных моделей в 1965 г.с использованием аппарата булевых алгебр и новой технологии математическогомоделирования. Прогресс возникшего на этой основе булевозначного анализа про-демонстрировал фундаментальное значение расширенных K-пространств. Каждоеиз таких пространств, как оказалось совершенно неожиданно, служит равноправ-ной моделью вещественной прямой и, значит, играет в математике ту же фундамен-тальную роль. Пространства Канторовича дали новые модели поля вещественныхчисел и обрели бессмертие.

Эвристика Канторовича постоянно получает блестящее подтверждение, дока-зывая целостность науки и неизбежность взаимопроникновения математики и эко-номики.

7. Зов будущего

Идеи Канторовича востребованы человечеством, что видно по уч

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК › lbrt › g2 › english › ssk ›...

Documents