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POLITECNICO DI MILANO

FACOLTA DI INGEGNERIA DEI SISTEMICorso di Laurea Specialistica in Ingegneria Matematica

Sulla teoria delle traiettorie quantistiche:

caso diffusivo e con salti

Relatore: Prof. Alberto Barchielli

Elena Di Bernardino Matr. 712323

ANNO ACCADEMICO 2007-2008

1

.

ad Antonio,perche in silenzio

glielo avevo promesso.

2

Indice

1 Introduzione 51.1 La tematica della tesi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Percorso del lavoro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2 Misurazioni continuate nel tempo: la master equation sto-castica lineare 92.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.2 Notazioni e assunzioni sui coefficienti . . . . . . . . . . . . 102.3 L’EDS lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.4 Probabilita fisiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5 Gli stati a posteriori e l’EDS non lineare . . . . . . . . . . 25

3 Strumenti e operatore caratteristico 293.1 Strumenti e stati a posteriori . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Operatore caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3 Dall’operatore caratteristico agli strumenti . . . . . . . . . 34

4 Teoremi di esistenza e unicita della soluzione 364.1 Problemi strutturali dell’EDS non lineare . . . . . . . . . . 364.2 Estensione dell’EDS e concetto di soluzione . . . . . . . . . 37

4.2.1 Come ottenere un’EDS equivalente con coefficientia crescita sub-lineare . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

4.2.2 Definizione di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3 Trasformazione ad un’equazione con rumori assegnati a priori 40

4.3.1 Misura casuale di conteggio semplice e di Poisson . 404.3.2 Processo di conteggio costruito con la misura ca-

suale di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.4 Interpretazione dell’equazione con salti e componente dif-

fusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.5 Esistenza e unicita per la parte senza salti . . . . . . . . . 454.6 Esistenza e unicita per l’equazione completa . . . . . . . . 484.7 Un approccio alternativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3

INDICE

5 La master equation stocastica 585.1 Passaggio dall’EDS non lineare alla lineare . . . . . . . . . 585.2 Strumenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.3 Operatore caratteristico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

A Notazioni e nozioni fondamentali 67A.1 Alcune notazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

A.1.1 Operatore traccia, commutatore e anticommutatore 67A.1.2 Norme e disuguaglianze . . . . . . . . . . . . . . . 68A.1.3 Notazioni di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69A.1.4 Operatori statistici e loro proprieta . . . . . . . . . 69

A.2 Spazi di probabilita e variabili aleatorie . . . . . . . . . . . 69A.3 Filtrazioni e processi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

A.3.1 Processo stocastico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70A.3.2 Filtrazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71A.3.3 Processi adattati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

A.4 Equazioni differenziali stocastiche di tipo diffusivo . . . . . 72A.4.1 Tipi di soluzioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73A.4.2 Condizioni sufficienti per l’esistenza e l’unicita

della soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

B Processi di conteggio 75B.1 Processi di conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75B.2 Processi di conteggio regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.2.1 Intensita prevedibili e processi marcati di punto re-golari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

B.2.2 Densita di probabilita esclusive e processi marcatidi punto regolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

B.3 Tempi di conteggio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79B.4 Processi di Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80B.5 Calcolo stocastico con processi di conteggio . . . . . . . . . 82

B.5.1 Integrale in dN(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82B.5.2 Formula di Ito per processi di conteggio . . . . . . 83

C EDS funzionali 87C.1 Caso con Wiener e Poisson . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87C.2 Caso con soli Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

4

Capitolo 1

Introduzione

1.1 La tematica della tesi

In questo lavoro di tesi vogliamo presentare l’approccio alla teoria deisistemi quantistici aperti basato sulle equazioni differenziali stocasticheclassiche, con particolare attenzione per le misurazioni continuate.

Si parla di una misurazione continuata quando una o piu osservabili diun sistema quantistico sono seguite con continuita nel tempo. Si prendequindi il sistema quantistico e lo si tiene sotto osservazione nel tempo. Lemisurazioni continuate sui sistemi quantistici sono una pratica sperimen-tale comune; tipici casi sono le varie forme di rivelazione di fotoni, come ilconteggio dei fotoni che arrivano ad un rivelatore, oppure le osservazionidette di tipo eterodino o omodino. Ad esempio, nel caso di rivelazione di-retta (conteggio di fotoni) uno o piu contatori agiscono continuativamentesul sistema quantistico e registrano il tempo di arrivo dei fotoni o di altritipi di particelle. Nel corso di questo lavoro supporremo di avere rivelatoridi tipo eterodino/omodino e piu contatori. I conteggi differiscono tra loroper la loro localizzazione o per il tipo di particelle che contano e alle qualisono sensibili.

Le presentazioni tradizionali di meccanica quantistica prendono in con-siderazione solo le misurazioni istantanee ma, usando la nozione di stru-mento, possiamo introdurre in maniera consistente anche le misurazionicontinuate nel tempo. Oltre ad introdurre le probabilita per i possibilirisultati di tali osservazioni e naturale porsi anche la seguente domanda:se durante una misurazione, una certa traiettoria di un’osservabile vienemisurata, quale sara lo stato del sistema quantistico condizionatamentea questa informazione? Ci stiamo interrogando, quindi, circa lo stato aposteriori del sistema.

Le affermazioni di una teoria quantistica circa un’osservabile sono dinatura probabilistica; cosı e naturale che una teoria quantistica di misu-razioni continuate possa dar luogo a processi stocastici. L’analisi di unsistema sottoposto a misurazioni continuate necessita di un formalismo

5

Capitolo 1. Introduzione

non elementare. Sono infatti essenziali molti ingredienti come la teoriadella misura quantistica, la teoria dei sistemi aperti, la teoria degli opera-tori, la probabilita quantistica, i processi stocastici classici e quantisticiecc. I primi lavori che trattano, in modo matematicamente consistente,i problemi delle misurazioni continuate quantistiche sono della fine deglianni ′60. Il principale campo di applicazione e stata l’ottica quantistica enell’ambito della letteratura fisica, e in particolare dell’ottica, questa teoria(nella formulazione basata sulle EDS) prende il nome di Theory of Quan-tum Trajectories o Teoria delle Traiettorie Quantistiche. Una traiettoriaquantistica risultera essere una soluzione di un’equazione differenziale sto-castica di un sistema quantistico sottoposto a misurazioni continuate neltempo, equazione chiamata master equation stocastica.

Come gia detto ci interesseremo, nel corso di questo lavoro, di discuteree dare una formalizzazione al problema delle misurazioni continuate neltempo di un sistema quantistico quando il risultato della misurazione none una singola variabile aleatoria bensı un processo stocastico.

Abbiamo scelto di muoverci, nel corso di tutto il lavoro, in uno spazio diHilbert finito dimensionale. In questo modo si eviteranno complicazionidi tipo analitico. Una restrizione di questo tipo conserva comunque lastruttura essenziale della teoria e basta per le applicazioni piu semplici.Non sara intento del presente lavoro interessarsi delle equazioni lineari pervettori normalizzati e nello spazio di Hilbert. Ci concentreremo, piuttosto,sullo studio di una coppia di equazioni stocastiche

· una lineare per stati a posteriori non normalizzati (operatori positivi);

· una non lineare per stati a posteriori normalizzati (operatori statistici).

Tali EDS classiche, lineari e non lineari, sono collegate tra loro da unamodificazione, che consiste essenzialmente in una normalizzazione e in uncambio di misura di probabilita. I tipi di rumori in gioco sono

· processi di Wiener Wj nel caso lineare e Wj nel caso non lineare (dove

Wj e Wj sono collegati tra loro da una trasformazione di Girsanov);

· processi di Poisson Nk nel caso lineare e processi di conteggio nel casonon lineare (dove i processi di Poisson e quelli di conteggio sono glistessi processi sotto due diverse leggi di probabilita).

Da un punto di vista matematico si affronteranno le complicazioni chenascono dall’aver introdotto nel modello questi due tipi di rumori. In par-ticolare si affronteranno i problemi legati al significato matematico dell’e-quazione non lineare per stati a posteriori, o master equation stocastica.

1.2 Percorso del lavoro

Il Capitolo 2 di questo lavoro e dedicato alla master equation stocasticalineare e alla formulazione di teoremi di esistenza ed unicita. Si costru-

6


isce inoltre una nuova misura di probabilita e si ottiene sotto la nuovaprobabilita l’equazione non lineare per operatori statistici. Nel Capitolo 3sono presentate le importanti nozioni di strumento e operatore statistico, ericavata l’espressione dell’operatore caratteristico e viene mostrato comeda questo sia possibile ottenere gli “stumenti finito dimensionali”. NelCapitolo 4 viene considerata l’EDS non lineare come punto di partenzae non come frutto delle trasformazioni e dei cambiamenti di probabilitadall’EDS lineare. In particolare l’equazione non lineare esaminata e quellaproposta nei lavori di Clement Pellegrini [14, 15]. Viene dato senso al con-cetto di soluzione, facendo uso della misura di Poisson, e sono introdottie dimostrati risultati di esistenza e unicita della soluzione. Tali risultatisono presenti in questo lavoro in forma nuova ed adattata al nostro caso.Infine nel Capitolo 5 si prende come punto di partenza l’equazione nonlineare di Clement Pellegrini e con un cambio di probabilita inverso sivuole tornare all’EDS lineare gia studiata nel Capitolo 2; ci si interessa,inoltre, di ricostruire tutta la teoria in particolare le probabilita fisichee gli “strumenti finito dimensionali”. Le Appendici forniscono strumentiper la comprensione del lavoro. In particolare l’Appendice A da le nozioniprincipali circa norme, processi, spazi di probabilita e teoremi classici diesistenza e unicita di soluzione per EDS. L’Appendice B presenta inveceuna panoramica sui processi di conteggio, processi marcati di punto, lanozione di regolarita e alcuni strumenti di calcolo stocastico per equazionicon componente diffusiva e con salti. L’Appendice C, infine, introduce,commenta e riadatta al nostro caso un Teorema su EDS funzionali, presoda [16], che tornera spesso utile nel corso di questo lavoro.

Parti nuove e sviluppi rispetto alla teoria preesistente

Il passaggio dalla master equation stocastica lineare alla non lineare, lacostruzione delle probabilita fisiche e degli strumenti, sempre a partiredall’equazione lineare, sono argomenti ben sviluppati nella letteratura. E’ben sviluppato anche il problema della costruzione di tutta la teoria apartire dall’equazione non lineare nel caso “puramente diffusivo”.

Le cose si complicano se sono presenti anche salti (conteggi). Nell’e-quazione stocastica non lineare appaiono dei processi di conteggio la cuiintensita dipende dalla soluzione dell’equazione: abbiamo un’equazionecon rumore la cui legge dipende dalla soluzione. Clement Pellegrini haaffrontato il problema di dar senso a tali equazioni e di costruire tali pro-cessi conteggio a partire da misure di Poisson (si veda in merito [14, 15]).Non si e occupato pero di ricostruire tutta la teoria.

I contributi di questa tesi sono:

· Aver dato una forma piu trattabile all’estensione dell’equazione dastati a matrici generiche in modo da rendere piu facili i teoremi di

7


esistenza e unicita delle soluzioni (Capitolo 4, si veda in merito laSezione 4.2.1 e l’equazione modificata (4.9)).

· Aver mostrato che dall’equazione non lineare si puo tornare all’e-quazione lineare con opportune trasformazioni (Capitolo 5, si veda inmerito la Sezione 5.1).

· Aver mostrato che anche a partire dal’equazione non lineare si puo ri-costruire tutta la teoria in particolare le probabilita fisiche e gli “stru-menti finito dimensionali” (Capitolo 5, si veda in merito la Sezione5.3).

8

Capitolo 2

Misurazioni continuate neltempo: la master equationstocastica lineare

2.1 Introduzione

In questo capitolo costruiremo la teoria delle misurazioni continuate neltempo a partire dalla master equation lineare. Considereremo contempo-raneamente sia contributi di tipo diffusivo sia contributi con salti, cosache pone peculiari problemi di tipo matematico.

Ricordiamo che entrambi i contributi corrispondono a schemi di os-servazioni fisicamente realizzabili, precisamente i termini di tipo diffusivocorrispondono, in ottica quantistica, ad “osservazioni eterodine” o “omodi-ne” e i termini di tipo con salti ad “osservazioni dirette” (conteggi di fotoniche arrivano ad un rivelatore ossia ad un contatore di fotoni).

Per semplicita analitica supporremo che lo spazio di Hilbert comples-so H del sistema quantistico sia finito dimensionale, di dimensione n.Scegliendo un sistema ortonormale completo eini=1, identifichiamo H conCn, quindi in tutto il seguente lavoro

H ≡ Cn. (2.1)

Possiamo allora pensare gli operatori ρ su H come delle matrici complessen× n. Indicheremo con

Mn := matrici complesse quadrate di dimensione n . (2.2)

Comunque, anche nel caso finito dimensionale in cui H ≡ Cn, si hannosituazioni fisicamente significative e problemi matematici interessanti, checercheremo di esporre, almeno in parte, in seguito.

Introduciamo inoltre l’insieme S(H) degli operatori statistici

S(H) = ρ ∈ Mn tali che ρ ≥ 0, Trρ = 1. (2.3)

9

Capitolo 2. La master equation stocastica lineare

S(H) e quindi l’insieme degli operatori su H autoaggiunti, positivi e atraccia unitaria. L’insieme appena introdotto e importante perche unostato di un sistema quantistico e rappresentato da un operatore statisticoρ ∈ S(H). Indicheremo, nel corso di questo lavoro, con

Idn l’operatore identita su Mn. (2.4)

Introduciamo la definizione di mappa lineare completamente positiva, peroperatori lineari su Mn.

Definizione 2.1. Una mappa lineare U da Mn in Mn e completamentepositiva se per ogni intero m e per ogni scelta di vettori φi, ψi in H ≡ Cn,i = 1, . . . ,m, si ha

m∑i,j=1

〈φi | U [|ψi 〉〈ψj|]φj〉 ≥ 0 , (2.5)

dove 〈φi | e |φj〉 sono definiti nella sezione A.1.3.

2.2 Notazioni e assunzioni sui coefficienti

Cominciamo con l’introdurre i vari operatori su H e Mn che ci servirannoin seguito nella trattazione.

Assunzione 2.2. Siano H(t), Ll(t), Rj(t), Vrk (t), operatori lineari su H

(matrici n × n). L’operatore H(t) e autoaggiunto, H(t) = H(t)∗. Lefunzioni

t 7→ H(t), t 7→ Rj(t), t 7→ V rk (t), t 7→ Ll(t) (2.6)

sono continue da sinistra e con limiti finiti da destra; gli indici k, l, r, jpossono prendere un numero finito di valori. Assumeremo di qui in seguitoper tutto il lavoro che l’indice l prenda valori da 1 a mL, l’indice j da 1a mR, l’indice k da 1 a mJ . Infine l’indice r prendera un numero finitodi valori, eventualmente dipendente da k; indichiamo con mV ≥ mJ lacardinalita dell’insieme dei valori possibili per la coppia (k, r).

Definiamo ora delle utili notazioni per operatori lineari su Mn: ∀τ ∈Mn

Jk(t)[τ ] :=∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗ , Jk(t) := Jk(t)∗[1] =∑r

V rk (t)∗V r

k (t) ,

(2.7)

J(t) :=

mJ∑k=1

Jk(t), (2.8)

L(t) := L0(t) + L1(t) + L2(t), (2.9)

10


L0(t)[τ ] := −i[H(t), τ ] +

mL∑l=1

(Ll(t)τLl(t)

∗ − 1

2Ll(t)∗Ll(t), τ

), (2.10)

L1(t)[τ ] :=

mR∑j=1

(Rj(t)τRj(t)

∗ − 1

2Rj(t)

∗Rj(t), τ), (2.11)

L2(t)[τ ] :=

mJ∑k=1

(Jk(t)[τ ]− 1

2Jk(t), τ

), (2.12)

Rj(t)[τ ] := Rj(t)τ + τRj(t)∗. (2.13)

Con [ , ] denotiamo il commutatore e con , l’anticommutatore (vedi(A.2) e (A.3)). L’operatore L(t) sara il generatore della dinamica delsistema quantistico aperto in considerazione e prende il nome di operatoredi Liouville o Liouvilliano; H(t) ha il ruolo di Hamiltoniana mentre il restodescrive fenomeni dissipativi.

Osservazione 2.3. Dato che H e finito dimensionale, per l’Assunzione dicontinuita 2.2 si ha che le funzioni: t 7→ H(t), t 7→ Rj(t), t 7→ Ll(t) et 7→ V r

k (t) sono misurabili e che ∀ T ∈ (0,+∞) valgono

supt∈(0,T )

‖H(t)‖ < +∞ , supt∈(0,T )

∥∥∥∥mR∑j=1

Rj(t)∗Rj(t)

∥∥∥∥< +∞. (2.14)

supt∈(0,T )

∥∥∥∥ mJ∑k=1

Jk(t)

∥∥∥∥< +∞ , supt∈(0,T )

∥∥∥∥mL∑l=1

Ll(t)∗Ll(t)

∥∥∥∥< +∞. (2.15)

2.3 L’EDS lineare

Assunzione 2.4. Introduciamo una base stocastica (Ω,F, (Ft),Q), confiltrazione (Ft) che soddisfi le ipotesi usuali, si veda in merito (A.3.2).In questo spazio sono definiti mJ processi di Poisson Nk(t), di intensitaλk > 0, e mR processi di Wiener standard (continui) Wj(t). Tutti i pro-cessi in gioco sono assunti indipendenti da tutti gli altri e con incrementiindipendenti dal passato. Introduciamo poi la filtrazione a doppio indicegenerata dagli incrementi dei processi in gioco e dagli insiemi di probabilitanulla

F rt = σ

Wj(u)−Wj(r), Nk(v)−Nk(r), u, v ∈ [r, t], 0 ≤ r < t,

j = 1, . . . ,mR, k = 1, . . . ,mJ

∨N, (2.16)

con N := A ∈ F : Q(A) = 0.

Si noti che F 0t ⊂ F t e che F s

t e indipendente da F s.Nell’Appendice B sono riportate alcune nozioni fondamentali, alcune

delle proprieta principali dei processi di Poisson e la definizione di integrale

11


rispetto a tali processi. Indicheremo con N(t) il processo somma (o groundprocess) dei processiNk(t), per k = 1, . . . ,mJ . Tale processo avra intensita

λ :=

mJ∑k=1

λk. (2.17)

Indichiamo inoltre con Tn l’nesimo tempo di salto del processo sommaN(t)e con T kn l’nesimo tempo di salto del processo Nk(t). Per la definizioneformale dei tempi di salto si veda la Sezione B.3.

Con tutti questi ingredienti, possiamo introdurre l’equazione linearedella teoria delle misurazioni continuate nel tempo:

dσt = L(t)[σt− ]dt+

mR∑j=1

Rj(t)[σt− ]dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) . (2.18)

Questa e la “master equation” stocastica lineare con condizione inizialenon casuale σ0 ∈ S(H) (si veda in merito (A.14)). La (2.18) e perdefinizione equivalente all’equazione integrale

σt = σ0 +

∫ t

0

L(s)[σs− ]ds+

mR∑j=1

∫ t

0

Rj(s)[σs− ]dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

(Jk(s)[σs− ]

λk− σs−

)dNk(s), (2.19)

dove

L(t) = L0(t) + L1(t) + λ Idn −1

2J(t), ·. (2.20)

La notazione σt− significa che, nel caso ci sia un salto al tempo t, il valoreappena prima del salto σt− e assunto come valore del processo σ. Ciosignifica che, la soluzione puo essere presa continua da destra e con limitefinito a sinistra (cadlag) e σt− e proprio quel limite da sinistra.

Teoremi di esistenza e unicita per l’EDS lineare

Il primo passo nella costruzione della teoria e dare i teoremi di esistenza eunicita della soluzione dell’EDS lineare (2.18) e descrivere alcune proprietadella soluzione. Per dimostrare tali teoremi e tecnicamente utile trattarea parte il contributo dei salti.

Nel caso della sola parte con drift e Wiener della (2.18), cioe senza ilcontributo dei salti, otteniamo l’equazione lineare per un processo ξ

dξt = L(t)[ ξt ] dt+

mR∑j=1

Rj(t)[ξt] dWj(t). (2.21)

12


Ci servira anche la soluzione fondamentale A(t, s) dell’EDS lineare (2.21)che sara un processo a valori negli operatori su Mn

A(t, s) = Idn +

∫ t

s

L(r)A(r, s) dr+

mR∑j=1

∫ t

s

Rj(r)A(r, s) dWj(r); (2.22)

si noti che abbiamo scritto quest’equazione per un tempo iniziale arbitrarios, con 0 ≤ s ≤ t.

Grazie alle proprieta sui coefficienti richieste nell’Assunzione 2.2 si hail Lemma seguente.

Lemma 2.5. Sotto le Assunzioni 2.2 e 2.4 l’equazione lineare (2.21)ammette soluzioni forti e vale l’unicita per traiettorie e in legge.

La dimostrazione di questo Lemma segue, riadattandola, quella delTeorema 3.3 in [4].

Dimostrazione. Le affermazioni del Lemma seguono dal Teorema A.8 unavolta verificate l’ipotesi di globale lipschitzianita dei coefficienti A.1 equella di crescita lineare A.3.

Verifichiamo allora le ipotesi A.1 e A.3 per t ∈ [0, T ]. Ricordiamo leproprieta delle norme di matrici riportate in Appendice A, Sezione A.1.2,e in particolare le equazioni (A.11), (A.12) e (A.13) che saranno utili qui

di seguito. Identifichiamo ora gli operatori Rj che compaiono in L(t) conD1, . . . , DmR e gli operatori Ll con DmR+1, . . . , DmR+mL . Quest’assunzioneci permette, usando gli operatori Dj(t) per j = 1, . . . ,mR + mL, unascrittura compatta delle disuguaglianze che seguono.

Ricordando l’Osservazione 2.3 possiamo definire

lT := max

(supt∈[0,T ]

‖H(t)‖ , supt∈[0,T ]

∥∥∥∥mR+mL∑j=1

Dj(t)∗Dj(t)

∥∥∥∥, supt∈[0,T ]

∥∥J(t)∥∥);

(2.23)allora si ha lT < +∞ e inoltre vale

‖Dj(t)‖2 = ‖Dj(t)∗Dj(t)‖ ≤ lT . (2.24)

Quindi possiamo scrivere per L(t)[τ ] la seguente stima

‖L(t)[τ ]‖2 ≤ 2‖H(t)τ‖2+

mR+mL∑j=1

∥∥∥∥Dj(t)τDj(t)∗∥∥∥∥

2

+

∥∥∥∥mR+mL∑j=1

Dj(t)∗Dj(t)τ

∥∥∥∥2

+∥∥J(t)τ

∥∥2

+ λ‖τ‖2 ≤ 2‖H(t)‖‖τ‖2 +

mR+mL∑j=1

∥∥∥∥Dj(t)∗Dj(t)

∥∥∥∥‖τ‖2

+

∥∥∥∥mR+mL∑j=1

Dj(t)∗Dj(t)

∥∥∥∥‖τ‖2 +∥∥J(t)

∥∥‖τ‖2 + λ‖τ‖2

≤

[(4 +mR +mL) lT ] + λ‖τ‖2. (2.25)

13


Dalla linearita di L(t)[ξt] si ha che la stima (2.25) implica sia la crescitasub-lineare che la globale lipschitzianita.

Restano da studiare i termini relativi alla componente diffusiva delWiener con il coefficiente Rj(t)[τ ] = Rj(t)τ + τRj(t)

∗. Dalla (2.24) ericordando la riscrittura degli Rj come D1, . . . , DmR si ha

mR∑j=1

∥∥Rj(t)[τ ]∥∥2

2≤ 2

mR∑j=1

(∥∥Dj(t)τ∥∥2

2+∥∥τDj(t)

∗∥∥2

2

)≤ 4

mR∑j=1

∥∥Dj(t)∥∥2‖τ‖2

2 ≤ 4 mR lT‖τ‖22. (2.26)

E’ cosı provata, con la stima (2.26), sia la crescita sub-lineare che la globalelipschitzianita dei coefficienti della parte del Wiener dell’equazione (2.21).Abbiamo cosı verificato di rientrare nelle ipotesi presentate nella sezioneA.4.2, ossia nelle ipotesi del Teorema A.8.

Lemma 2.6. Sotto le Assunzioni 2.2 e 2.4 la soluzione ξt dell’equazionelineare (2.21), con condizione iniziale ξ0 ≥ 0, e non negativa. L’equazione

(2.22) ammette soluzione A, che e unica per traiettorie, completamente

positiva e continua in t. La mappa stocastica A(t, s) e anche Fst -misurabilee indipendente da Fs. Inoltre si ha quasi certamente

∀ 0 ≤ s ≤ r ≤ t, A(t, r) A(r, s) = A(t, s), ξt = A(t, s)[ξs]. (2.27)

Dimostrazione. La prova dell’esistenza e dell’unicita della soluzione Adell’equazione (2.22) si basa sulle stime seguenti

n∑k, l=1

‖L(t) A(t, s) [ |k〉〈l| ] ‖22

≤((4 +mR +mL)lT + λ

)2n∑

k, l=1

‖A(t, s) [ |k〉〈l| ] ‖22, (2.28)

n∑k, l=1

mR∑j=1

‖Rj(t) A(t, s) [ |k〉〈l| ] ‖22 ≤ 4mR lT

n∑k, l=1

‖A(t, s) [ |k〉〈l| ] ‖22,

(2.29)dove |k〉 = ek e il sistema ortonormale completo su H, considerato nellaSezione 2.1. Con le stime (2.28) e (2.29) sono verificate sia la crescita sub-lineare che la globale lipschitzianita dei coefficienti dell’equazione (2.22).Abbiamo cosı verificato di rientrare nelle ipotesi del Teorema A.8.

La continuita in t di σt e A(t, s) deriva dall’aver scelto una base stoca-stica in ipotesi usuali; la continuita discendera allora dalla definizione di

soluzioni forti (si veda in merito la Definizione A.5). Il fatto che A(t, s) sia

14


Fst−misurabile deriva dall’esistenza di soluzioni forti e uniche per traiet-

torie dell’equazione (2.22). Il fatto, invece, che A(t, s) sia indipendente daFs discende dall’indipendenza degli incrementi dei processi di Wiener ingioco.

Per dimostrare la completa positivita di A(t, s) bisogna passare at-traverso la rappresentazione dell’equazione lineare in esame sullo spaziodi Hilbert. Questo tipo di costruzione e d’interesse di per se, ma non escopo di questo lavoro presentare la formulazione delle misurazioni conti-nuate sugli spazi di Hilbert. Ci limiteremo ad introdurre pochi ingredientie proprieta utili per raggiungere il nostro obiettivo, ossia dimostrare la

completa positivita della mappa A(t, s).Consideriamo la seguente equazione lineare per un processo ψt a valori

in H

dψt = K(t)ψt dt+

mR+mL∑j=1

Dj(t)ψt dWj(t), (2.30)

dove

K(t) = − iH(t) − 1

2

∑j

Rj(t)∗Rj(t) −

1

2

∑l

Ll(t)∗Ll(t)−

1

2J(t) +

λ

2;

(2.31)abbiamo aggiunto altri mL processi di Wiener tutti con incrementi in-dipendenti dal passato e indipendenti dagli altri mR Wiener preesistenti.Di questa equazione ci interessa il propagatore (o matrice fondamentale)definito dall’equazione

dAst = K(t)Ast dt+∑mR+mL

j=1 Dj(t)Ast dWj(t),

Ass = 1, 0 ≤ s ≤ t.(2.32)

L’equazione (2.32) ammette soluzioni forti continue che sono uniche pertraiettorie e in legge. La prova di quest’affermazione si fonda sulla veri-fica delle condizioni di crescita sub-lineare e di globale lipschitzianita deicoefficienti dell’equazione (2.32) e quindi sull’utilizzo del Teorema A.8.

Allora possiamo verificare che

ξt = EQ[A0tρA

0∗t |Foss], (2.33)

dove Foss e la σ-algebra generata dai Wiener osservati, Wj, per j =1, · · · ,mR mentre la media EQ[·] e fatta rispetto agli mL Wiener nonosservati.

A tale scopo introduciamo

ζt := A0tρA

0∗t (2.34)

15


e calcoliamo, usando la scrittura (2.32)

dζt = (dA0t ) ρA

0∗t + A0

t ρ (dA0∗t ) + (dA0

t ) ρ (dA0∗t )

=

(K(t)A0

t dt+

mR+mL∑j=1

Dj(t)A0t dWj(t)

)ρA0∗

t

+ A0t ρ

(A0∗t K∗(t) dt+

mR+mL∑j=1

A0∗t Dj(t)

∗ dWj(t)

)

+

(K(t)A0

t dt+

mR+mL∑j=1

Dj(t)A0t dWj(t)

)ρ

(A0∗t K∗(t) dt

+

mR+mL∑j=1

A0∗t Dj(t)

∗ dWj(t)

)= K(t) ζt dt+

mR+mL∑j=1

Dj(t) ζt dWj(t)

+ ζtK(t)∗ dt+

mR+mL∑j=1

ζtDj(t)∗ dWj(t) +

mR+mL∑j=1

Dj(t) ζtDj(t)∗dt.

(2.35)

Allora

ζt = ζ0 +

∫ t

0

((K(s) +K(s)∗) ζs +

mR+mL∑j=1

Dj(s) ζsDj(s)∗)ds

+

mR+mL∑j=1

∫ t

0

(Dj(t) ζt + ζtDj(t)

∗)dWj(t). (2.36)

Calcoliamo ora

EQ[ ζt |Foss] = ζ0 +

∫ t

0

((K(s) +K(s)∗) ζs +

mR+mL∑j=1

Dj(s) ζsDj(s)∗)ds

+

mR∑j=1

∫ t

0

(Dj(s) ζs + ζsDj(s)

∗)dWj(s)

+

mR+mL∑j=mR+1

EQ

[ ∫ t

0

(Dj(s) ζs + ζsDj(s)

∗)dWj(s)

∣∣∣∣Foss

]. (2.37)

Analizziamo l’ultimo termine della somma (2.37). I Wj sono indipendentida Foss e da Fs e quindi sono indipendenti da Fs ∨ Foss, mentre i coef-ficienti Dj(s) sono Fs-misurabili. Posso quindi spezzare il valore attesocome prodotto di valori attesi e ricordando la proprieta della media nulladel Wiener si ha che questo termine e nullo.

16


Grazie alle scritture (2.31) e (2.20), rispettivamente di K(t) e di L(t), e

semplice verificare che (K(t)+K(t)∗) τ+∑mR+mL

j=1 Dj(t) τ Dj(t)∗ = L(t)[τ ].

Ne segue che e verificata l’uguaglianza (2.33).Dalla (2.33), preso un tempo s, 0 ≤ s < t e per ogni condizione iniziale,

si ha quasi certamente, per l’unicita della soluzione A

A(t, s)[ · ] = EQ[Ast · As∗t |Foss]. (2.38)

Il valore atteso condizionale, pero, e una mappa completamente posi-tiva e lo stesso vale per mappe del tipo ρ 7→ AρA∗. Ne segue quindi la

completa positivita di A(t, s). Essendo A(t, 0) completamente positivo,se inizialmente abbiamo σ0 = ρ ≥ 0 allora σt ≥ 0, ∀ t.

La completa positivita e solitamente assai complessa da verificare ameno di non essere in grado di arrivare ad una scrittura che si presenti

CP a vista. Per esempio, nel nostro caso, si ha la mappa A(t, s)[·] =EQ[Ast ·As∗t |Foss]. Dalla Definizione 2.1 di completa positiviva si ha che perogni intero m e per ogni scelta di vettori φi, ψi in H ≡ Cn, i = 1, . . . ,m,vale

m∑i,j=1

〈φi |EQ[Ast |ψi 〉〈ψj|As ∗t ]φj〉 =m∑

i,j=1

EQ[∣∣〈φi |Ast ψj〉 ∣∣2] ≥ 0, (2.39)

che ci da appunto la completa positivita. E’ la rappresentazione (2.38) adessere cruciale per la dimostrazione della completa positivita mentre sem-bra difficile ottenere la completa positivita direttamente dalla strutturadell’equazione (2.22).

Grazie ai risultati dimostrati in precedenza e possibile affermare chepartendo da una condizione iniziale ξ0 positiva, allora non solo ξt ≥ 0ma anche

∫Ω

Trξt(ω)Q(dω) ≥ 0. E’ inoltre possibile verificare cheQ [ Trξt = 0 ] = 0 o anche analogamente Q [ Trξt > 0 ] = 1.

Estendiamo il risultato appena ottenuto all’equazione lineare completa(2.19) qui riportata

σt = σ0 +

∫ t

0

L(s)[σs− ]ds+∑j

∫ t

0

Rj(s)[σs− ]dWj(s)

+∑k

∫ t

0

(Jk(s)[σs− ]

λk− σs−

)dNk(s). (2.40)

Per dare l’esistenza e l’unicita per traiettorie della soluzione dell’equazione(2.40) utilizzeremo, adattandolo al nostro caso, il Teorema 7, pag. 197da [16], presentato e commentato nell’Appendice C. Possiamo quindirienunciare il Teorema C.1 nel nostro caso come segue

17


Teorema 2.7. Sotto le Assunzioni 2.2 e 2.4 l’EDS (2.40), per ogni con-dizione iniziale σ0 = ρ ∈ Mn, ammette una soluzione σt ∈ Mn cadlagche non esplode in tempo finito e tale soluzione e unica per traiettorie.

Prendiamo dall’EDS lineare con componente diffusiva e salti (2.40) perstati σt non normalizzati e consideriamo ora la soluzione fondamentaleA(t, s) di tale equazione, cioe la mappa lineare che soddisfa

A(t, s) = Idn +

∫ t

s

L(r) A(r, s) dr +

mR∑j=1

∫ t

s

Rj(r) A(r, s) dWj(r)

+

mJ∑k=1

∫ t

s

(Jk(r)λk− Idn

) A(r, s) dNk(r). (2.41)

Proposizione 2.8. L’equazione (2.41) ammette soluzione A, che e unicaper traiettorie, e completamente positiva e continua in t. A(t, s) e Fst -misurabile e indipendente da Fs. Inoltre si ha quasi certamente

∀ 0 ≤ s ≤ r ≤ t A(t, r) A(r, s) = A(t, s), σt = A(t, s)[σs]. (2.42)

Dimostrazione. La continuita in t diA(t, s) deriva dall’aver scelto una basestocastica in ipotesi usuali; la continuita discendera allora dalla definizionedi soluzioni forti (si veda in merito la Definizione A.5). Il fatto che A(t, s)sia Fst -misurabile deriva dall’esistenza di soluzioni forti e uniche per traiet-torie dell’equazione (2.41). Il fatto, invece, che A(t, s) sia indipendente daFs discende dall’indipendenza degli incrementi dei processi di Wiener e diPoisson in gioco.

Interessiamoci ora di dimostrare l’esistenza e l’unicita per traiettoriedella soluzione A. Nel Teorema 2.7 e stata verificata l’esistenza e l’uni-cita per traiettorie della soluzione σt. Supponiamo ora che esistano duesoluzioni della (2.41) che chiamiamo A1 e A2. Prendiamo una condizioneiniziale σ0 = ρ ∈ Mn, allora si ha σ′t = A1(t, 0)[σ0] e σ′′t = A2(t, 0)[σ0].Dall’unicita della soluzione dell’EDS (2.40) si ha che σ′t = σ′′t e quindi,dalla linearita dell’EDS (2.41) si ha A1 ≡ A2.

Per ottenere la completa positivita di A(t, s) una via percorribile equella di passare alla teoria sugli spazi di Hilbert come fatto nella di-mostrazione del Lemma 2.6. Una via alternativa e quella che si fonda sulla

scrittura di A(t, s) attraverso A(t, s) e quindi sulla completa positivita di

A(t, s).

Cominciamo con l’osservare che se si ha un map A(t, s;ω) comple-

tamente positivo allora anche i map A(T (ω), s; ω) e A(t, T (ω); ω) sonocompletamente positivi, dove T (ω) e un tempo d’arresto. Consideriamo latraiettoria ω dove si hanno i salti k1 in t1, k2 in t2 ecc. sara possibile scri-vere la soluzione σt dell’EDS (2.40), con condizione iniziale σ0 = ρ ∈ Mn,

18


come segue

σt(ω) =1

λk1 · · · , λknA(t, tn;ω) Jkn(tn) · · · Jk1(t1) A(t1, 0;ω)[ρ].

(2.43)

Dato che la (2.43) vale per ogni ρ e che tutti gli operatori che interven-

gono sono CP, questa equazione mostra la completa positivita di A(t, 0).

Analogamente si mostra che A(t, s) e CP.

La formula (2.43) del teorema precedente fornisce un’interessante scrit-

tura per A(t, s). Consideriamo le coppie di variabili aleatorie (Tn;Kn) dovei Tn sono i tempi di salto mentre Kn e una variabile aleatoria che prendeun insieme finito di valori e che ci indica l’indice del processo di conteggioche salta al tempo Tn. La (2.43) puo essere scritta come

σt(ω) =1∏n

j=1 λKj(ω)

A(t, Tn(ω);ω) JKn(ω)(Tn(ω))

A(Tn(ω), Tn−1(ω);ω) · · · JK1(ω)(T1(ω))A(T1(ω), 0;ω)[ρ]. (2.44)

Se introduciamo la variabile aleatoria

qt(ω) = maxj : Tj(ω) ≤ t

e poniamo T0 = 0 possiamo scrivere la mappa lineare A(t, 0) come

A(t, 0) = A(t, Tq)

←−qt∏j=1

1

λKjJKj(Tj) A(Tj, Tj−1), (2.45)

dove←−∏

indica il prodotto cronologicamente ordinato per tempi crescentida destra verso sinistra, che e solo una scrittura compatta per l’ordinamen-to che appare nella (2.44). Per scrivere A(t, s), 0 ≤ s < t, introduciamoanche la variabile aleatoria

gs(ω) = minj : Tj(ω) > s;

allora si ha

A(t, s) = A(t, Tq)

←−qt∏

j=gs

1

λKjJKj(Tj) A(Tj, Tj−1). (2.46)

Per risultati analoghi al Teorema 2.7 rimandiamo anche al testo diIkeda e Watanabe [9], teorema 9.1, pag. 231.

19


Teorema 2.9. Sia (Ω,F, (Ft),Q) una base stocastica si consideri l’equa-zione

dX(t) = b(X(t)) dt+∑j

σj(X(t))dWj(t)+∑k

fk(X(t)) (dNk(t)− λkdt) ,

(2.47)

dove i Wj(t) sono processi di Wiener standard (continui) e gli Nk(t) sonoprocessi di Poisson con intensita λk.

Se b(x), σ(x) e f(x) soddisfano

‖b(x)‖2 + ‖σ(x)‖2 + ‖f(x)‖2 ≤ k(1 + |x|2), (2.48)

‖b(x)− b(y)‖2 + ‖σ(x)− σ(y)‖2 + ‖f(x)− f(y)‖2 ≤ k |x− y|2, (2.49)

allora esiste un processo soluzione X(t) dell’equazione (2.47), (Ft)-adattato,cadlag (continuo a destra e con limite finito a sinistra) e tale soluzione eunica per traiettorie e in legge.

Per la dimostrazione del teorema appena enunciato si veda [9].Si noti come la condizione (2.49) e la condizione di Lipschitz globale sui

coefficienti dell’equazione (2.47), mentre la (2.48) e la condizione di cresci-ta sub-lineare. In completa analogia a quanto accade con le equazioni a so-la componente diffusiva queste condizioni garantiscono l’esistenza e l’unic-ita della soluzione della (2.47); si veda in merito la sezione dell’AppendiceA.4.2.

Osserviamo che a differenza del Teorema 2.7 che abbiamo dimostratoprecedentemente, il Teorema 2.9 di esistenza e unicita della soluzione siriferisce al caso in cui i coefficienti b(x), σ(x) e f(x) non dipendono daltempo.

2.4 Probabilita fisiche

Usiamo σt per costruire una nuova misura di probabilita la cui densitadi probabilita sara data da pt := Trσt e la misura di probabilita saradefinita da pt(ω)Q(dω). Fissiamo una condizione iniziale σ0 = ρ ∈ S(H).

Il ruolo di pt e quello di densita della probabilita fisica. Inoltre defi-niamo lo stato aleatorio a posteriori al tempo t come

ρt :=

σtpt

= σtTrσt se pt > 0

ρ ∈ S(H) se pt = 0(2.50)

dove ρ e uno stato arbitrario preventivamente fissato. Questo e lo statoche e attribuito al sistema quantistico al tempo t, noto il risultato del-la misurazione fino a t. Dall’equazione (2.18), prendendone la traccia ericordando che

TrL(t)[σt−] = 0, (2.51)

20


abbiamo che pt soddisfa la seguente equazione di Doleans

dpt = pt−

mR∑j=1

mj(t) dWj(t)+

mJ∑k=1

(Ik(t)

λk− 1

)(dNk(t)−λk dt

), (2.52)

dove

mj(t) = Tr

(Rj(t) +Rj(t)∗) ρt−

, Ik(t) = Tr

Jk(t)ρt−

. (2.53)

La soluzione dell’equazione (2.52) con condizione iniziale p0 = 1 e

pt = exp

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(Ik(s)

λk

)dNk(s) +

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

]. (2.54)

Se si differenzia infatti l’equazione (2.54) si ottiene proprio la (2.52).Ricordiamo che T kn e l’n-esimo tempo di salto del processo di Poisson

Nk(t), allora la (2.54) diventa

pt = exp

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

+

mJ∑k=1

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

mJ∏k=1

maxr: Tkr ≤t∏n=1

(Ik(T

kn )

λk

). (2.55)

Per il calcolo differenziale con processi di Poisson Nk(t) rimandiamo allaSezione B.5.

Notiamo che la scrittura (2.54) di pt ha senso euristico a causa delpossibile annullamento di Ik(t), mentre la (2.55) e una scrittura rigorosadi pt. La (2.55) si ottiene grazie al fatto che e possibile scrivere la (2.54)come segue

pt = exp

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

×mJ∏k=1

exp

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds+∞∑n=1

ln

(Ik(T

kn )

λk

)1(0,T ](T

kn )

= exp

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]mJ∏k=1

exp

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

max r: Tkr ≤t∏n=1

(Ik(T

kn )

λk

) . (2.56)

21


Si noti che e possibile scrivere la produttoria dell’equazione (2.56) in modoalternativo come segue


(Ik(T

kn )

λk

)=

∏0≤ s≤ t

(Ik(s)

λk

)∆Nk(s)

(2.57)

dove la produttoria e solo apparentemente su indice continuo; in realtasi ha un effettivo incremento solo quando ∆Nk(s) = 1 e cioe nei tempidi salto dei processi di Poisson. Inoltre nella formula (2.57) si attua laconvenzione 00 = 1. E’ quindi il termine in (2.57) che puo far annullarept(ω); si annullera sulla traiettoria ω se per qualche k e qualche n, conT kn (ω) ≤ t, si ha Ik(T

kn (ω);ω) = 0.

Osservazione 2.10. Svolgiamo una discussione sui casi di annullamento diIk(T

kn (ω);ω). Dalla (2.53) segue che, sulla traiettoria ω

pt−(ω) Ik(t;ω) = TrJk(t)σt−(ω)

= Tr

Jk(t)[σt−(ω)]

. (2.58)

· Se σt−(ω) = 0 ⇒ pt−(ω) = 0 e Ik(t;ω) assume un valore arbitrarioma pT (ω) = 0 per ogni T ≥ t, proprio per la scrittura stessa di pt.

· Se invece σt−(ω) > 0 e TrJk(t)[σt−(ω)]

= ‖Jk(t)[σt−(ω)]‖1 = 0

(l’uguaglianza tra traccia e norma 1 discende dalla positivita) allorapt−(ω) = 0 e Ik(t;ω) = 0.

Abbiamo quindi notato come pt possa risultare nullo nel caso di Ik(t;ω) =0, per qualche k ∈ 1, 2, . . . ,mJ. E’ in tal senso importante quindi lascrittura formale (2.55) dell’equazione (2.52) per pt. Grazie infatti a talescrittura e possibile osservare che nel caso si abbia Ik(T

kn ) = 0 si ottiene

semplicemente un contributo nullo. Bisogna comunque tener conto chein tal caso non sarebbe possibile invertire pt. E’ utile considerare quindil’insieme

ET := ω ∈ Ω : pT (ω) > 0. (2.59)

Su ET si ha pt(ω) > 0, ∀ t ≤ T , e quindi su tale insieme sara semprepossibile l’inversione di pt. Lavoreremo in seguito su ET ; il complementaredi ET , che e l’insieme di tutte quelle traiettorie per cui pT e nullo, hamisura nulla rispetto alla misura di probabilita PT . Quindi l’insieme deglistati normalizzati ρt puo essere mal definito su un insieme di misura Qnon nulla, ma di misura PT nulla.

Segue una proprieta importante dell’equazione (2.18).

Proposizione 2.11. Data l’equazione (2.18) allora Trσt = pt e unaQ-martingala a media uno. Inoltre pt puo essere scritto in modo formale

22


come segue

pt = exp

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

+

mJ∑k=1

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

mJ∏k=1


(Ik(T

kn )

λk

). (2.60)

Dimostrazione. Definiamo

Zt :=

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2 ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(Ik(s)

λk

)dNk(s) +

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

], (2.61)

Xt :=

mR∑j=1

∫ t

0

mj(s) dWj(s) +

mJ∑k=1

∫ t

0

(Ik(s)

λk− 1

)(dNk(s)− λk ds

).

(2.62)Poiche Xt e una Q-martingala locale allora anche pt = E(Xt) = expZtlo e (si veda in merito il Teorema 2, pag. 124, in [12]), dove E(Xt) e l’e-sponenziale stocastico di Xt. Abbiamo dunque che pt e una Q-martingalalocale positiva; allora pt e una super martingala e si ha che

EQ[ pt ] ≤ EQ[ p0 ] = 1. (2.63)

Il Lemma 7 in [11] ci dice che per stabilire l’uguaglianza in (2.63), cioeperche pt sia una martingala, deve essere verificata la cosı detta condizionedi Kabanov, Liptser e Shiryayev

ess supω∈Ω

∫ t

0

mR∑j=1

mj(s)2 +

mJ∑k=1

√Ik(s)

λk− 1

2

λk

ds

= ess supω∈Ω

∫ t

0

[mR∑j=1

mj(s)2 +

mJ∑k=1

(√Ik(s)−

√λk

)2]

ds < +∞. (2.64)

Grazie alla limitatezza dei coefficienti (2.53) dell’integrale in [0, t] si ha lalimitatezza dell’estremo superiore essenziale in (2.64), ne segue che pt euna Q-martingala. Riportiamo per completezza di seguito la definizionedi estremo superiore essenziale.

Definizione 2.12. Sia Ω ⊆ Rn un insieme misurabile. Per ogni funzionef : Ω 7→ R misurabile non negativa poniamo

ess supx∈Ω

f(x) := infα ≥ 0; |f−1(α,+∞)| = 0

∈ [0,+∞]. (2.65)

23


Vogliamo infine mostrare la scrittura (2.60) di pt. Se riscriviamo Xt

separando la parte continua da quella con salti e possibile dimostrare chel’esponenziale stocastico pt = E(Xt) e della forma (2.60) grazie al Teorema1, pag. 122, in [12].

La Proposizione 2.11 implica che

Pt(dω) := pt(ω)Q(dω)∣∣Ft, (2.66)

con Ft introdotto nell’Assunzione 2.4, e una famiglia consistente di probabi-lita, quindi se 0 ≤ t < T ,

PT (F ) = Pt(F ), ∀F ∈ Ft.

Queste sono prese come le probabilita fisiche.

Osservazione 2.13. Dal teorema di Girsanov e dalle sue generalizzazioniin situazioni con salti abbiamo che, sotto le misure di probabilita fisiche(2.66), i processi

Wj(t) = Wj(t)−∫ t

0

mj(s) ds (2.67)

sono dei Wiener standard e indipendenti tra loro e i processi Nk(t) sonoprocessi di conteggio regolari (si veda in merito la Definizione B.4) con in-tensita stocastica Ik(t). Inoltre per il processo somma, (o ground process),dei conteggi Nk(t)

N(t) :=

mJ∑k=1

Nk(t), (2.68)

vale che

limt ↓ s

1

t− sPT [N(t)−N(s) ≥ 2] = 0. (2.69)

Non e possibile avere cioe piu di un salto del ground process in un intervallo

infinitesimo dt. La natura di questi nuovi processi Wj(t) e Nk(t) e le loroproprieta discendono dai teoremi che generalizzano il teorema di Girsanov-Meyer, si veda in merito [16], Teorema 20, pag 109.

Un approccio euristico per verificare l’Osservazione 2.13, e dimostrare

EPT [ dNk(t) |F0t ] = Ik(t) dt. (2.70)

24


Per provare la (2.70) introduciamo un’equazione utile. Dall’equazionelineare (2.18) si ha

σt+dt dNk(t) = (σt− + dσt) dNk(t)

=

(σt− + L(t)[σt− ]dt+

mR∑j=1


+

mJ∑k ′=1

(Jk ′(t)[σt− ]

λk ′− σt−

)(dNk ′(t)− λk ′dt)

)dNk(t)

=Jk(t)[σt− ]

λkdNk(t). (2.71)

Prendiamo ora una generica variabile aleatoria X adattata in (0, t] (cioeche dipende dai processi Nk(s) e Wj(s) solo per i tempi s ≤ t). Utilizze-remo, nella verifica dell’equazione (2.70) le seguenti proprieta

· le proprieta del valore atteso condizionato,

· il fatto che XdNk(t) sia adattato a (0, t+ dt],

· l’equazione EQ[TrσtX] = EPT [X] e l’equazione (2.71),

· l’indipendenza degli incrementi dei processi di Poisson,

· l’equazione della media dei Poisson (B.23),

· la definizione di Ik(t) data in (2.53) e di ρt data in (2.50),

· il fatto che la probabilita di avere un salto esattamente al tempo t sianulla.

Con questi strumenti possiamo scrivere

EPT [X EPT [dNk(t) |F0t ] ] = EPT [XdNk(t)] = EQ[X Trσt+dtdNk(t)]

= EQ[X Tr

Jk(t)[σt− ]

λk

dNk(t)] = EQ

[X TrJk(t)[σt−]

]dt

= EQ[X Trσt−TrJk(t)[ρt−]

]dt = EQ

[X Trσt−Ik(t)

]dt

= EPT[XIk(t)

]dt. (2.72)

E’ cosı giustificata l’equazione (2.70).

2.5 Gli stati a posteriori e l’EDS non lineare

Sotto la legge di probabilita fisica PT , data in (2.66), vogliamo scriverel’equazione non lineare per lo stato a posteriori ρt del sistema quantistico.

25


Partiamo dall’EDS lineare


mR∑j=1


+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) (2.73)

e ricordiamo la scrittura (2.67) per Wj(t) si ha

Wj(t) = Wj(t) +

∫ t

0

mj(s) ds. (2.74)

Possiamo allora esprimere il differenziale stocastico di σt in termini dei

processi di Wiener Wj(t)


mR∑j=1

Rj(t)[σt− ](

dWj(t) +mj(t) dt)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) . (2.75)

Come gia visto nell’Osservazione 2.10 lavoreremo in seguito nell’insiemeET , introdotto in (2.59), su cui pt(ω) > 0, ∀ t ≤ T. In questo insiemepossiamo invertire pt. Dalla formula (2.54) si ha immediatamente:

(pt)−1 = exp

−

mR∑j=1

[∫ t

0

mj(s) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

−mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(Ik(s)

λk

)dNk(s) +

∫ t

0

(λk − Ik(s)) ds

]

= exp

mR∑j=1

[∫ t

0

(−mj(s)) dWj(s)−1

2

∫ t

0

mj(s)2ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(λkIk(s)

)dNk(s) +

∫ t

0

(Ik(s)− λk) ds

]. (2.76)

Questa espressione e ben definita PT quasi certamente. Dalla formula diIto ho la scrittura esplicita per d (pt)

−1

d (pt)−1 = (pt−)−1

mR∑j=1

(−mj(t)) dWj(t)

+

mJ∑k=1

(λkIk(t)

− 1

)(dNk(t)− Ik(t))dt

(2.77)

26


e quindi attraverso la formula di Ito per il prodotto ottengo la scritturaper il differenziale dello stato a posteriori ρt in quanto dρt = d ((pt)

−1 σt)

d((pt)

−1 σt)

= (pt)−1dσt + d(pt)

−1σt− + d(pt)−1dσt

= (pt)−1

L(t)[σt− ]dt+

mR∑j=1

Rj(t)[σt− ](dWj(t) +mj(t) dt

)+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt)

+(pt−)−1

mR∑j=1

(−mj(t)) dWj(t)+

mJ∑k=1

(λkIk(t)

− 1

)(dNk(t)− Ik(t))dt

σt−

+

(pt−)−1

mR∑j=1

(−mj(t)) dWj(t)+

mJ∑k=1

(λkIk(t)

− 1

)(dNk(t)−Ik(t))dt

+

L(t)[σt− ]dt+

mR∑j=1

Rj(t)[σt− ](dWj(t) +mj(t) dt

)+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt)

. (2.78)

Sviluppando i prodotti della (2.78) e ricordando le tabelle di Ito (B.5.2)si ottiene

dρt = L(t)[ρt− ]dt+

mR∑j=1

(Rj(t)[ρt− ]−mj(t)ρt−

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt− ]

Ik(t)− ρt−

)(dNk(t)− Ik(t) dt

). (2.79)

Poiche la condizione iniziale per l’equazione lineare (2.18) e σ0 ∈ S(H),allora, grazie alla definizione di S(H) data in (A.14), si ha

p0 = Trσ0 = 1 e ρ = σ0 = η0.

E’ importante intendersi circa l’interpretazione dell’equazione (2.79).Questa e una formula ottenuta attraverso la normalizzazione di σt conTrσt. Ne segue che, per costruzione, se, sotto la probabilita Q, σt esoluzione dell’EDS lineare (2.18) allora ρt = σt

Trσt verifichera l’EDS non

lineare (2.79), sotto la probabilita fisica PT , data in (2.66).Quindi ρt verifica l’equazione (2.79) per costruzione. Inoltre la scrittura

(2.79) vale solo nel caso in cui ρt ∈ S(H), cioe solo per ρt stato perche sie ottenuta normalizzando σt e, grazie al Lemma 2.5, si ha la positivita delprocesso soluzione σt e della sua traccia. Quindi il processo soluzione ρtdell’equazione (2.79) e uno stato proprio per come l’abbiamo definito.

27


Nel caso invece si prenda la (2.79) come equazione di partenza bisogneradargli senso in altro modo; questo sara lo scopo del Capitolo 4. Ci mette-remo, in questo caso, nello spazio di probabilita (Ω,F, (Ft),P) dove l’equa-zione sara caratterizzata da processi di Wiener standard e indipendenti tra

loro Wj(t) e da processi di conteggio Nk(t), con intensita stocastica Ik(t).

28

Capitolo 3

Strumenti e operatorecaratteristico

Vogliamo ora mostrare che quanto fatto nel Capitolo 2 rientra all’internodella formulazione assiomatica della meccanica quantistica che si fondasulla nozione di strumento.

3.1 Strumenti e stati a posteriori

Se vogliamo lo stato di un sistema quantistico dopo la misurazione diun’osservabile X, allora la nozione di strumento entra in gioco in quanto ein grado di darci sia la distribuzione di probabilita di X che il cambiamen-to dello stato del sistema dovuto alla misurazione. Introduciamo quindil’importante nozione di strumento.

Definizione 3.1. Dato uno spazio misurabile (Ω,F), uno strumento Icon spazio dei valori (Ω,F) e un’applicazione da F alle mappe lineari daMn in Mn tale che:

1 ∀F ∈ F, I(F ) e completamente positivo (CP); questa e detta con-dizione di completa positivita.

2 TrI (Ω) [τ ] = Trτ, ∀ τ ∈Mn, detta condizione di normalizzazione.

3 Per ogni famiglia numerabile Fi di insiemi disgiunti di F si ha laseguente condizione di σ-additivita

I

(⋃i

Fi

)=∑i

I (Fi) . (3.1)

Gli strumenti rappresentano le procedure di misurazione; diamo loroun’interpretazione nel modo che segue. Interpretiamo Ω come l’insieme ditutti i possibili risultati delle misurazioni. La probabilita di ottenere un

29

Capitolo 3. Strumenti e operatore caratteristico

risultato ω ∈ B, con B ∈ F, quando prima della misurazione il sistema ein uno stato ρ, sara data da

P(B|ρ) := TrI(B)[ρ]. (3.2)

Dalla Definizione 3.1 di strumento notiamo come P(·|ρ) abbia tutte leproprieta di una probabilita. Interpretiamo poi

ρ(B) :=I(B)[ρ]

TrI(B)[ρ](3.3)

come lo stato del sistema, dato lo strumento I, dopo la misurazione,condizionatamente al risultato della misurazione ω ∈ B, con B ∈ F.Giustifichiamo questa interpretazione considerando due misurazioni insuccessione rappresentate dagli strumenti I1 e I2.

La probabilita congiunta di avere i risultati ω1 ∈ B1 e ω2 ∈ B2, quandoprima della misurazione il sistema e in uno stato ρ, e data da

P(B1, B2|ρ) := TrI2(B2) I1(B1)[ρ]. (3.4)

Se consideriamo la probabilita di avere il risultato ω2 ∈ B2, dato che ilprimo risultato e stato ω1 ∈ B1, quando prima della misurazione il sistemae in uno stato ρ, possiamo scrivere

P(B2|B1; ρ) ≡ P(B1, B2|ρ)

P(B1|ρ)= P(B2| ρ(B1)) ≡ TrI2(B2)[ρ(B1)], (3.5)

dove l’operatore statistico ρ(B1) rappresenta lo stato del sistema dopo laprima misurazione, condizionatamente al fatto di aver osservato il risultatoω1 ∈ B1.

Supponiamo ora di prendere l’insieme B infinitamente piccolo, pari cioeall’insieme dω, intorno al risultato ω ∈ Ω. In accordo con l’equazione (3.3)si ha

ρ(ω) =I(dω)[ρ]

TrI(dω)[ρ](3.6)

che rappresenta lo stato condizionatamente al risultato ω ∈ dω ottenu-to dalla misurazione. La quantita ρ(ω) e detta stato a posteriori. Unadefinizione formale di stato a posteriori puo essere data come segue

Definizione 3.2. Una famiglia di operatori statistici ρ(ω), ω ∈ Ω edetta essere una famiglia di stati a posteriori, per lo stato pre-misurazioneρ e lo strumento I con spazio dei valori (Ω,F), se la funzione ω 7→ ρ(ω) emisurabile e ∀F ∈ F ∫

F

ρ(ω)P(dω|ρ) = I(F )[ρ]. (3.7)

30


E’ possibile dimostrare (Ozawa) che per ogni strumento I e per ognistato pre-misurazione ρ esiste sempre una famiglia di stati a posterioriρ(ω) che e unica P-quasi certamente.

Usando la soluzione fondamentale A(t, r), t > r ≥ 0, presentata in(2.41) e la nozione di strumento introdotta nella Sezione 3.1 definiamo lamappa I rt (G), ∀G ∈ Frt , con la scrittura

I rt (G)[τ ] := EQ [1GA(t, r)[τ ]] , ∀ τ ∈Mn. (3.8)

Proposizione 3.3. L’equazione (3.8) definisce uno strumento I rt nellospazio dei valori (Ω,F r

t ).

Dimostrazione. Vogliamo verificare che I rt definito in (3.8) rientra nel-la Definizione 3.1 di strumento. La condizione di completa positivitaper I rt si fonda sulla completa positivita di A(t, r) come mostrato nellaProposizione 2.8.

La condizione di normalizzazione della Definizione 3.1 e equivalente allaproprieta di conservazione della traccia del EQ[A(t, r)]. Tale proprieta eottenuta grazie alla traccia nulla di L(t), alla media nulla dell’integralestocastico con Wiener e all’equazione EQ[ dNk(t) |F0

t ] = λkdt. La proprie-ta di σ-additivita deriva dalle proprieta della funzione indicatrice 1G edalla continuita del valore atteso.

Gli strumenti appena introdotti danno le probabilita fisiche e gli statia posteriori del capitolo precedente.

Osservazione 3.4. Si noti che si ha

I 0t (G)[ρ] = EQ[1G σt] = EPT [1G ρt]. (3.9)

Confrontando questo risultato con la (3.7) si vede che ρt e lo stato aposteriori per lo strumento I 0

t e lo stato pre-misurazione ρ.

3.2 Operatore caratteristico

Notazione 3.1. Indichiamo con S lo spazio delle funzioni (k, h) caglad(continue a sinistra e con limite finito a destra), reali vettoriali e deter-ministiche. La funzione k avra mR componenti mentre la funzione h neavra mJ .

Introduciamo le variabili aleatorie Xrt (k, h)

Xrt (k, h) :=

mR∑j=1

∫ t

r

kj(s)dWj(s) +

mJ∑k=1

∫ t

r

hk(s) dNk(s). (3.10)

Definizione 3.5. Prendiamo la coppia (k, h) ∈ S, definiamo l’operatorecaratteristico G(t, r; k, h) associato allo strumento I rt come segue: ∀ a, τ ∈Mn

TraG(t, r; k, h)[τ ] =

∫Ω

exp iXrt (k, h)(ω)Tra I rt (dω)[τ ]. (3.11)

31


Usando la rappresentazione degli strumenti data nella (3.8) si ha lascrittura

G(t, r; k, h)[τ ] = EQ[e iXr

t (k, h)A(t, r)[τ ]]. (3.12)

Ponendo ora r = 0, partendo cioe dal tempo iniziale zero e dalla condizioneiniziale σ0 = ρ ∈ S(H), dalla formula (3.12) si ha, per l’equazione lineare(2.18), l’operatore caratteristico

G(t, 0; k, h)[ρ] = EQ

[e iX0

t (k, h)A(t, 0)[ρ]]

= EQ

[exp

i

mR∑j=1

∫ t

0

kj(s)dWj(s) + i

mJ∑k=1

∫ t

0

hk(s) dNk(s)

σt

]. (3.13)

La seguente proposizione mostra come rappresentare l’operatore caratteri-stico tramite gli stati a posteriori.

Proposizione 3.6. Vale la seguente uguaglianza

EQ

[Tra e iX0

t (k, h)σt

]= EPT

[Tra e iX0

t (k, h)ρt

]. (3.14)

Dimostrazione. Utilizzando l’insieme ET , gia introdotto in (2.59), si ha

Tra G(t, 0; k, h)[ρ] = EQ

[Tra e iX0

t (k, h)A(t, 0)[ρ]]

=

EQ

[Tra e iX0

t (k, h)σt

]= EQ

[1Et Tr

a e iX0

t (k, h)σt

]= EQ

[1Et Tr

a e iX0

t (k, h)ρt

pt

]= EQ

[Tra e iX0

t (k, h)ρt

pt

]= EPT

[Tra e iX0

t (k, h)ρt

]. (3.15)

Proposizione 3.7. L’operatore caratteristico associato all’EDS lineare(2.18) soddisfa l’equazione

G(t, 0; k, h) = Idn +

∫ t

0

Λs(k(s), h(s)) G(s, 0; k, h)ds, (3.16)

con

Λt(k(t), h(t)) := L(t) +

mR∑j=1

(i kj(t)Rj(t)−

1

2kj(t)

2 Idn

)

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)Jk(t). (3.17)

32


Dimostrazione. Poniamo, per semplicita di notazione

zt := exp

i

mR∑j=1

∫ t

0

kj(s) dWj(s) + i

mJ∑k=1

∫ t

0

hk(s) dNk(s)

= e iX0

t (k, h),

(3.18)

xt := zt σt. (3.19)

Dalla (3.12) si ha

G(t, 0; k, h)[ρ] = EQ

[e iX0

t (k, h)A(t, 0)[ρ]]

= EQ [xt] . (3.20)

Vogliamo quindi ottenere la scrittura di dxt. A questo scopo calcoliamoil differenziale di zt, applicando la formula di Ito nel caso con salti, comemostrato con l’equazione (B.40). Quindi si ha

dzt = zt−

(i

mR∑j=1

kj(t)dWj(t)−1

2

mR∑j=1

kj(t)2dt+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)dNk(t)

).

(3.21)

Grazie alle tabelle (B.5.2) per il prodotto, si ottiene il differenziale di xt

dxt = dzt σt− + zt− dσt + dzt dσt =

zt−

(i

mR∑j=1

kj(t)dWj(t)−1

2

mR∑j=1

kj(t)2dt+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)dNk(t)

)σt−

+ zt−

(L(t)[σt− ]dt+

mR∑j=1


+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt)

)

+

mR∑j=1

i kj(t)Rj(t)[xt−]dt+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)(Jk(t)[xt−]

λk− xt−

)dNk(t).

33


Quindi

dxt = i

mR∑j=1

kj(t)xt−dWj(t)−1

2

mR∑j=1

kj(t)2xt−dt+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)xt−dNk(t)

+ L(t)[xt−]dt+

mR∑j=1

Rj(t)[xt−]dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[xt−]

λk− xt−

)(dNk(t)− λkdt) +

mR∑j=1

i kj(t)Rj(t)[xt−]dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)(Jk(t)[xt−]

λk− xt−

)dNk(t).

In conclusione, raccogliendo i fattori si arriva all’equazione

dxt =

L(t)[xt−] +

mR∑j=1

(i kj(t)Rj(t)[xt−]− 1

2kj(t)

2xt−

)dt

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[xt−]

λk− xt−

)(dNk(t)− λkdt)

+

mR∑j=1

ikj(t)xt− +Rj(t)[xt−] dWj(t)

+

mJ∑k=1

Jk(t)[xt−]

λk

(eihk(t) − 1

)dNk(t). (3.22)

Dall’Osservazione 2.3 circa la limitatezza dei coefficienti della (3.22),dal fatto che l’integrale stocastico del Wiener Wj(t) ha media nulla sottola probabilita Q, dalla media dei Poisson EQ[ dNk(t) |F0

t ] = λkdt e graziealla (3.20) si ottiene la scrittura dell’operatore caratteristico (3.16).

3.3 Dall’operatore caratteristico agli strumenti

L’equazione (3.11) definisce l’operatore caratteristico G(t, r; k, h) come una“trasformata di Fourier funzionale” dello strumento I rt . Tale definizionee utile se dall’operatore caratteristico e possibile riottenere gli strumenti,invertendo in qualche senso questa trasformata di Fourier. Tuttavia lospazio dei valori (Ω,Frt ) presenta un qualche grado di arbitrarieta e nonpossiamo avere una corrispondenza uno a uno banale. Questo e possibilese fissiamo in qualche modo “canonico” lo spazio delle possibili traiettorieper l’output. Qui non affrontiamo il problema cosı in generale, ma cilimitiamo alle probabilita finito dimensionali dell’output e agli strumenticollegati.

34


Fissiamo m elementi (kj, hj) in S e consideriamo le variabili aleatorieXrt (kj, hj), j = 1, 2, . . . ,m, e il vettore aleatorio

−→X r

t (k, h) = (Xrt (k1, h1), Xr

t (k2, h2), . . . , Xrt (km, hm)).

Per ogni A ∈ B(Rm) l’insieme ω ∈ Ω;−→X r

t (k, h)(ω) ∈ A e un eventodi F r

t . Allora

I rt(−→X r

t (k, h)(ω) ∈ A)

= EQ[1−→X rt (k,h)(ω)∈A

A(t, r)] =: I rt (A;−→k ,−→h )

(3.23)

definisce uno strumento con spazio dei valori (Rm, B(Rm)). Per ogni a, τ ∈Mn, a ≥ 0, τ ≥ 0, Tra I rt (· ;

−→k ,−→h )[τ ] e una misura finita su Rm e

per tali misure vale la corrispondenza uno a uno con le loro trasformatedi Fourier.

D’altra parte, per i teoremi di cambiamento di variabile d’integrazione,abbiamo∫

Rmei−→λ ·−→x I rt (dx ;

−→k ,−→h ) =

∫Ω

ei−→λ ·−→X rt (k,h)(ω) I rt (dω)

=

∫Ω

ei ·−→X rt (−→λ ·−→k ,−→λ ·−→h )(ω) I rt (dω) = G

(t, r;

m∑j=1

λjkj,m∑i=1

λihi

). (3.24)

Invertendo, dunque, la trasformata di Fourier da

TraG(t, r;−→λ ·−→k ,−→λ ·−→h)[τ ]

otteniamoTra I rt (· ;

−→k ,−→h)[τ ]

e facendo variare a e τ otteniamo lo “strumento finito dimensionale”I rt(· ;−→k ,−→h).

35

Capitolo 4

Teoremi di esistenza e unicitadella soluzione

Cio che ci accingiamo a fare in questo capitolo e considerare l’EDS nonlineare come punto di partenza delle nostre analisi e non come frutto delletrasformazioni e dei cambiamenti di probabilita dall’EDS lineare, presen-tati nella Sezione 2.4. Perche puo risultare importante poter prenderel’EDS non lineare come punto di partenza e formulare per quest’equazionerisultati di esistenza e unicita della soluzione? Tentiamo di dare alcunepossibili risposte a questo quesito. Innanzitutto molte proprieta deglistati a posteriori (in particolare proprieta asintotiche) seguono dall’EDSnon lineare, ammesso che possiamo affermare una qualche forma di unicitadella soluzione. In secondo luogo, in certe teorie, EDS non lineari comequelle ottenute nel Capitolo 2 sono postulate come punto di partenza. Pos-siamo inoltre motivare l’analisi che seguira ricordando che le simulazioninumeriche efficienti partono dall’equazione non lineare nella versione suspazi di Hilbert. L’idea e che i processi di Wiener e di conteggio devonopoter essere costruiti nel modo piu comodo ed efficiente possibile e noncome delle trasformazioni dei processi che appaiono nell’equazione lineare(2.18).

4.1 Problemi strutturali dell’EDS non lineare

Seguendo l’impostazione di [14, 15], partiamo dallo stato a posteriori ρt perun sistema quantistico sottoposto a misurazione continuata; ρt dovrebbe

36

Capitolo 4. Teoremi di esistenza e unicita della soluzione

essere determinato dall’equazione (2.79), che richiamiamo

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1

(TrJk(t)[ρt−]ρt− − Jk(t)[ρt−]

))dt

+

mR∑j=1

(Rj(t)[ρt−]− TrRj(t)[ρt−]ρt−

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt−]

TrJk(t)[ρt−]− ρt−

)dNk(t). (4.1)

Come gia visto ogni Nk(t) e un processo di conteggio con intensita stoca-stica

Ik(t) = TrJk(t)[ρt] =∑r

TrV rk (t)ρtV

rk (t)∗, (4.2)

e ogni Jk(t) e della forma (2.7). Inoltre il ground process N(t), processosomma degli Nk(t), e regolare secondo la Definizione B.4. Ricordiamo lenotazioni usate in precedenza

mj(t) = Tr

(Rj(t) +Rj(t)∗) ρt−

, (4.3)

e per tutte le matrici τ ∈Mn

Rj(t)[τ ] = Rj(t)τ + τRj(t)∗; (4.4)

quindi in particolare mj(t) = TrRj(t)[τ ].Notiamo come l’equazione (4.1) presenti diversi problemi in termini di

formulazione matematica.

a) Innanzitutto non sono applicabili i risultati classici di esistenza e unici-ta della soluzione in quanto i coefficienti non presentano crescita sub-lineare in ρt, quando ρt non e limitato ad essere uno stato ma e ungenerico elemento di Mn.

b) In secondo luogo e bene intendersi su come dare senso all’equazione(4.1). Infatti e un’equazione con processi di conteggio la cui in-tensita stocastica (4.2) dipende a sua volta dalla soluzione; comese il processo Nk(t) determinasse in qualche modo ρt e ne fosse asua volta influenzato attraverso Ik(t). Risulta quindi fondamentaledare una nozione di soluzione in questo caso e, ovviamente, dare unadefinizione dello spazio di probabilita in cui dar senso all’equazionein esame.

4.2 Estensione dell’EDS e concetto di soluzione

Osserviamo che l’equazione non lineare (4.1) e stata ottenuta, nelle Sezioni2.4 e 2.5, ed ha significato fisico, solo per ρt ∈ S(H), cioe per operatori in

37


Mn che sono stati. Quello che ora vogliamo fare e costruire un’equazioneche abbia senso per qualsiasi condizione iniziale ρ ∈ Mn e non solo per ρstato; vogliamo cioe estendere l’equazione (4.1) a tutte le matrici n × n.Inoltre ci interessera far in modo che l’equazione (4.1) abbia coefficienti acrescita sub-lineare.

4.2.1 Come ottenere un’EDS equivalente con coefficienti a cresci-ta sub-lineare

Attraverso delle modificazioni dell’equazione (4.1) faremo in modo che icoefficienti della stessa verifichino le Ipotesi A.1 e A.3 dei teoremi classicidi esistenza e unicita della soluzione per equazioni differenziali stocastiche(per esempio proponiamo il Teorema A.8). E’ importante notare che lemodificazioni che presenteremo in seguito risultano banali nel caso in cuiρt sia uno stato, infatti se ρt ∈ S(H) (si veda (A.14)) allora l’equazione(4.1) non viene modificata.

La parte in dt, cosı come la parte in dWj(t), non sembra presentareuna crescita sub-lineare. Inoltre, se ρt non e uno stato allora la quantita

TrJk(t)[ρt−]

potrebbe anche risultare complessa o negativa. Per superare queste diffi-colta possiamo moltiplicare e dividere per ‖ρt−‖1 qualunque termine doverisulti opportuno; infatti finche ρt− e uno stato tale quantita vale 1. Inoltreper la positivita di ρt− si ha

TrJk(t)[ρt−] ≡ ‖Jk(t)[ρt−]‖1.

Alla luce di queste osservazioni proponiamo allora la seguente equazione

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1

(‖Jk(t)[ρt−]‖1 ρt−

‖ρt−‖1

− Jk(t)[ρt−]

))dt

+

mR∑j=1

(Rj(t)[ρt−]−

TrRj(t)[ρt−]ρt−‖ρt−‖1

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(‖ρt−‖1 Jk(t)[ρt−]

‖Jk(t)[ρt−]‖1

− ρt−)

dNk(t). (4.5)

Si noti che se ρt e uno stato la (4.1) non e modificata.Chiediamo inoltre che il processo Nk(t) abbia intensita stocastica

Ik(t, ρt−) =

‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 , se ρt− 6= 0

0 , se ρt− = 0(4.6)

anziche TrJk(t)[ρt−].

38


Abbiamo cosı controllato la crescita del termine di drift e di quellodiffusivo ed inoltre con la (4.5) abbiamo anche in parte curato la singo-larita nello zero della parte dei salti dell’equazione. Inoltre cosı facendoe come se avessimo diminuito, in qualche senso, la singolarita dell’inten-sita stocastica infatti, mentre TrJk(t)[ρt−] potrebbe essere nulla anche

se Jk(t)[ρt−] non risulta nulla, nel caso di intensita ‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 questa e

nulla solo nel caso in cui si ha ‖Jk(t)[ρt−]‖1 nulla, ossia Jk(t)[ρt−] nul-la. Osserviamo inoltre che nell’equazione (4.5) abbiamo sostanzialmentelimitato l’intensita stocastica e ne abbiamo curato la singolarita nell’ori-gine. Queste modifiche saranno importanti nella sezione successiva per laformulazione di risultati di esistenza ed unicita di soluzione.

Infine introduciamo per semplicita di notazione le scritture

nj(t, τ) :=

TrRj(t)[τ ]‖τ‖1 τ 6= 0,

0 τ = 0,

nj(t, τ) := Rj(t)[τ ]− nj(t, τ)τ. (4.7)

Definiamo inoltre

L(t) = L0(t) + L1(t)− 1

2J(t), ·. (4.8)

Osserviamo che L(t) non e altro che L(t), definito in (2.20), in cui si poneλ = 0.

Utilizzando queste formule otteniamo

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1

Ik(t, ρt−) ρt−

)dt

+

mR∑j=1

nj(t, ρt−) dWj(t) +

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt−]

Ik(t, ρt−)− ρt−

)dNk(t). (4.9)

4.2.2 Definizione di soluzione

Incominciamo ad affrontare anche il secondo dei problemi introdotti nellaSezione 4.1. Poiche Nk(t) dipende dalla soluzione, come gia visto, e non hauna definizione intrinseca, allora uno spazio di probabilita (Ω,F, (Ft),P)deve essere definito in modo tale che l’equazione (4.9) abbia senso.

Un possibile approccio al problema e quello presentato in [14].

Definizione 4.1. Sia (Ω,F, (Ft),P) uno spazio di probabilita con fil-trazione in ipotesi usuali. Un processo ρt soluzione dell’equazione (4.9),con condizione iniziale una matrice ρ, e un processo cadlag (continuo a de-stra con limite a sinistra finito) tale che esistono mJ processi di conteggioNk(t), ognuno con compensatore prevedibile (o intensita stocastica)

t 7→∫ t

0

Ik(s, ρs−) ds

39


con N(t) processo regolare e tale che la coppia (ρt, N(t)) soddisfa la (4.9).Ricordiamo che N(t) e il vettore dei processi Nk(t) definito in (B.1).

Per la nozione di processo prevedibile si veda la Definizione B.2.

Osserviamo che se esiste un processo/soluzione ρt per l’equazione (4.9)con ρ ∈ S(H) e se ρt ∈ S(H) per ogni t, allora possiamo dire di avereun processo/soluzione della nostra EDS non lineare originale, infatti seρt e uno stato allora le modificazioni effettuate non hanno variato nullanell’EDS non lineare di partenza.

4.3 Trasformazione ad un’equazione con rumori as-segnati a priori

Un modo per costruire i processi Nk(t), che compaiono nella Definizione4.1 e che sono assunti essere processi di conteggio, consiste nell’usare lateoria della misura casuale di Poisson [14, 10].

Qui di seguito si seguira proprio questa strada.

4.3.1 Misura casuale di conteggio semplice e di Poisson

Definizione 4.2. Presa una base stocastica (Ω,F, (Ft),P) in ipotesi usua-li, si dice misura casuale di conteggio semplice su (R+×Rd, B(R+)⊗B(Rd))una famiglia di misure µ = (µ(ω, ·), con ω ∈ Ω) su tale spazio tale che

1. ∀A ∈ B(R+)⊗B(Rd)), ∀ ω ∈ Ω, la quantita µ(ω,A) prende valori inN ∪ +∞.

2. ∀A ∈ B(R+) ⊗ B(Rd), µ(·, A) e una varibaile aleatoria (eventual-mente estesa).

3. ∀A ∈ B(Rd), ∀ t > 0, µ(· , (0, t]⊗ A) e Ft-misurabile.

4. ∀ ω ∈ Ω, ∀ t > 0, µ(ω, t × Rd) ≤ 1.

5. ∀ ω ∈ Ω, µ(ω, 0 × Rd) = 0.

Tale misura si chiama misura casuale di Poisson se inoltre

1. la misura m definita da m(A) = E[µ(A)] su B(R+)⊗B(Rd) e σ-finitae non atomica.

2. Se t ∈ R+ e se Ai ∈ B((t,+∞))⊗B(Rd), per i = 1, . . . , l, sono a duea due disgiunti con m(Ai) < +∞, le variabili aleatorie µ(Ai) sonomutuamente indipendenti e sono indipendenti da Ft.

La misura m e detta intensita della misura casuale di Poisson µ.

Il Teorema 2.4 in [8] assicura che µ(A) ha distribuzione di Poisson.

40


Osservazione 4.3. In seguito, in questo lavoro, prenderemo sempre in con-siderazione delle misure µk intendendo con questa scrittura un numerofinito di misure casuali di Poisson µkmJk=1 su R+ × R, indipendenti traloro.

4.3.2 Processo di conteggio costruito con la misura casuale diPoisson

Introduciamo ora un teorema che ci consente di scrivere l’equazione (4.9)facendo uso della misura casuale di Poisson; il teorema infatti dimostrache la soluzione di (4.10), che fa uso della misura casuale di Poisson,fornisce una soluzione dell’equazione (4.9). L’idea e quella di costruireogni processo di conteggio Nk(t) facendo uso della teoria della misuracasuale di Poisson, secondo l’Osservazione 4.3.

Teorema 4.4. Sia (Ω,F, (Ft),P) una base stocastica in ipotesi usuali dove

sono definiti mR processi di Wiener Wj indipendenti (come nell’Assun-zione 2.4) e con mJ misure casuali di Poisson µk su R+×R, indipendenti

dai Wj e indipendenti tra loro, con intensita dt × dx. Se ρt e soluzionedell’equazione

ρt = ρ +

∫ t

0

(L(s)[ρs−]+

mJ∑k=1

Ik(s, ρs−)ρs−

)ds+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−)dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

∫R+

(Jk(s)[ρs−]

Ik(s, ρs−)− ρs−

)10≤x≤ Ik(s,ρs−) µk(ds, dx) (4.10)

allora i processi di conteggio Nk(t) della forma

Nk(t) =

∫ t

0

∫R+

10≤x≤ Ik(s,ρs−) µk(ds, dx), (4.11)

sono non esplosivi e regolari (come processo vettoriale) e la coppia (ρt, N(t))e un processo/soluzione dell’equazione (4.9), dove il processo N(t) =(N1(t), N2(t), · · · , NmJ (t)).

Una prima formulazione del teorema appena enunciato e dovuta a Ja-cod e Protter, in [10], successivamente e stato rielaborato da ClementPellegrini, in [14] e qui e presentato in una forma nuova e adattata allostudio della nostra equazione (4.9). La dimostrazione del teorema e divisain due parti. La prima consiste nel dimostrare che il processo somma N(t)dei processi della forma (4.11) e ben definito e non esplosivo. La secondaparte consiste nel dimostrare che N(t) e regolare e ha le intensita volute.A questo punto, proprio grazie alla scrittura (4.11) dei processi di con-teggio e banale dire che se si ha una soluzione dell’equazione (4.10) alloraquesta sara anche un processo/soluzione dell’equazione (4.9).

41


Dimostrazione. Prendiamo un generico processo cadlag Xt e definiamo,fissato k

NXk (t) =

∫ t

0

∫R+

10≤x≤ Ik(s,Xs−) µk(ds, dx). (4.12)

Dobbiamo verificare che NXk (t) e ben definito e non esplosivo. La pro-

prieta di non esplosivita di NXk (t) e associata al carattere di limitatezza

di Ik(t,Xt−), che poi dimostreremo essere la sua intensita stocastica. Di-mostriamo la limitatezza di Ik(t,Xt−). Se Ik(t,Xt−) = 0 non c’e nulla dadimostrare. Se invece Ik(t,Xt−) > 0 si ha

0 < Ik(t,Xt−) =‖Jk(t)[Xt−]‖1

‖Xt−‖1

=‖∑

r Vkr (t)Xt− V

kr (t)∗‖1

‖Xt−‖1

≤supa∈Mn: ‖a‖∞=1 |Tra

∑r V

kr (t)Xt− V

kr (t)∗|

‖Xt−‖1

=supa∈Mn: ‖a‖∞=1 |Tr

∑r V

kr (t)∗ a V k

r (t)Xt−|‖Xt−‖1

≤ ‖Xt−‖1

supa∈Mn: ‖a‖∞=1 ‖∑

r Vkr (t)∗ a V k

r (t)‖∞‖Xt−‖1

≤∥∥∑

r

V kr (t)∗V k

r (t)∥∥∞ = ‖Jk(t)‖∞, (4.13)

dove gli ultimi passaggi sono giustificati dal fatto che il sup e raggiunto ina = 1 per via della positivita.

Dall’Osservazione 2.3 si ha supt∈(0,T ) ‖∑

k Jk(t)‖ < +∞ e quindi fissatoun intervallo di tempo [0, T ] esiste una costante M tale che vale

0 ≤ Ik(t,Xt−) ≤M. (4.14)

Scriviamo NXk (t) dalla (4.12) come

NXk (t) =

∫s∈(0,t]

∫x∈[0, Ik(s,Xs−)]

µk(ds, dx); (4.15)

per la positivita se maggioriamo Ik(s, Xs−) con M otteniamo

0 ≤ NXk (t) ≤

∫s∈(0,t]

∫x∈[0,M ]

µk(ds, dx). (4.16)

Prendendo il valore atteso e ricordando che l’intensita di µk e, per ipotesi,dt× dx abbiamo

0 ≤ EP[NXk (t)

]= M t. (4.17)

Per la positivita della variabile aleatoria abbiamo che

P[NXk (t) = +∞] = 0. (4.18)

42


Quindi qualunque sia il processo X, NXk (t) non esplode in tempo finito;

quindi anche il processo somma degli NXk (t) varra la proprieta di non

esplosione.La seconda parte consiste nel dimostrare che il processo vettoriale N(t)

e regolare e ha le intensita volute.Vogliamo verificare che NX

k (t) ha proprio l’intensita Ik(t, Xt−). Con-sideriamo l’integrale (4.12) come limite di integrali su integrandi semplicie predicibili. Ricordando le proprieta di indipendenza della misura diPoisson abbiamo

EP[NXk (t)

]=

∫ t

0

∫ M

0

EP[10≤x≤ Ik(s,Xs−)

]EP [µk(ds, dx)]

=

∫ t

0

∫ M

0

EP[10≤x≤ Ik(s,Xs−)

]dsdx =

∫ t

0

dsEP

[∫ Ik(s,Xs−)

0

dx

]

=

∫ t

0

dsEP [Ik(s, Xs−)] . (4.19)

Con calcoli analoghi a quelli della (4.19) (utilizzando una variabile aleato-ria Fs-misurabile a moltiplicare 1) possiamo scrivere

EP[NXk (t)|Fs

]= NX

k (s) + EP[NXk (t)−NX

k (s)|Fs]

=

NXk (s) +

∫ t

s

drEP [Ik(r, Xr−)|Fs] . (4.20)

Abbiamo dunque verificato che l’integrale di Ik compensa Nk e che quin-di l’integrale della somma delle Ik compensa il ground process degli Nk.Resta da verificare la regolarita del processo N(t). Dalla Definizione B.6si ha che N(t) e regolare se e regolare il ground process. Bisogna verificarela condizione di regolarita (B.3) per il processo somma degli Nk. Si ha

0 ≤∑k

NXk (t+ ∆ t)−NX

k (t) ≤∑k

µk((t, t+ ∆ t)×M) ∼ Poiss(M∆ t).

(4.21)Allora

P[∑

k

NXk (t+ ∆ t)−NX

k (t) ≥ 2]≤ P

[∑k

µk((t, t+ ∆ t)×M) ≥ 2

]= 1− e−M ∆ t −M∆ te−M ∆ t. (4.22)

Facendo il limite per ∆ t→ 0 nella (4.22) (riconoscendo lo sviluppo di unafunzione esponenziale arrestato al primo ordine) si ha che la condizione diregolarita (B.3) per il ground e verificata.

Abbiamo verificato che il processo vettoriale N(t) e regolare e che hale intensita volute. E’ semplice quindi osservare che, per come si sono

43


costruiti i processi Nk(t), secondo la formula (4.11), un processo soluzionedell’equazione (4.10) e anche un processo/soluzione dell’equazione (4.9).

4.4 Interpretazione dell’equazione con salti e com-ponente diffusiva

Richiamiamo l’equazione (4.10), in forma differenziale, e cerchiamo dicomprendere come puo essere interpretata:

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


)dt +

mR∑j=1

nj(t, ρt−) dWj(t)

+

mJ∑k=1

∫x∈ [0,Ik(t,ρt−)]

(Jk(t)[ρt−]


)µk(dt, dx). (4.23)

La (4.23) e un’equazione che presenta un numero finito di processi di con-teggio Nk(t), con misure µk indipendenti tra loro, come nell’Osservazione

4.3 e una componente diffusiva rappresentata dai processi di Wiener Wj(t),standard ed indipendenti; va quindi discussa proprio in funzione dell’e-sistenza o meno dei salti. Infatti se supponiamo che T1 sia il primotempo di salto del processo somma N(t), allora nell’intervallo [0, T1) l’e-quazione (4.23) diventa semplicemente un’equazione stocastica diffusivadella forma:

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


)dt +

mR∑j=1

nj(t, ρt−) dWj(t) (4.24)

e in queste condizioni ρt− = ρt. Per equazioni di questa forma ci interesse-remo in seguito di fornire risultati di esistenza e unicita della soluzione.

Quando invece mi trovo in prossimita di un salto di tipo k, dNk(t)risulta essere non nullo, con Nk(t) della forma (4.11). Allora l’equazione(4.23) puo essere vista come l’equazione (4.24) tra i due tempi di salto piuuna prescrizione in prossimita del salto. Tale prescrizione dipende dallasoluzione ρ nell’istante t−. Questo ragionamento ci conduce all’unicitadella soluzione per l’equazione (4.23). Punto essenziale dell’idea appenaesposta e la verifica della non esplosivita, in tempo finito, dei terminiin gioco nell’equazione stessa; si veda in merito il Teorema 4.4, appenadimostrato.

Queste considerazioni si riveleranno essenziali per la comprensione deirisultati che introdurremo nelle Sezioni 4.5 e 4.6.

Nella Sezione 4.1 abbiamo manipolato l’equazione (4.1) fino a ricon-durci all’equazione (4.10). Quello che ci interessa fare ora e enunciare edimostrare risultati di esistenza e unicita della soluzione dell’equazione

44


(4.10). Per far cio sopprimiamo, in un primo momento, la componentedipendente dai processi di conteggio Nk(t) e ci concentriamo solo sull’equa-zione con drift e parte diffusiva.

La motivazione di un simile approccio al problema risiede proprio nel-l’interpretazione dell’equazione (4.23) appena svolta. Infatti se riusciamoa dimostrare l’esistenza e l’unicita della soluzione dell’equazione (4.24) ra-gionevolmente possiamo supporre che in seguito non sara difficile arrivaread un risultato analogo per l’equazione (4.23), completa anche di salti.

4.5 Esistenza e unicita per la parte senza salti

Proponiamoci di voler dimostrare allora un teorema di esistenza in sen-so forte e unicita per traiettorie e in legge della soluzione dell’equazione(4.24). Grazie alle modificazioni introdotte nella Sezione 4.2.1 siamo ingrado di ricondurre questa equazione a risultati classici di esistenza eunicita della soluzione che sono richiamati in Appendice A.4.2.

Teorema 4.5. Presi mJ processi di Wiener standard, indipendenti tra

loro, Wj(t), per t ≥ 0, l’equazione

dρt =

(L(t)[ρt] +

mJ∑k=1


)dt +

mR∑j=1

nj(t, ρt) dWj(t) (4.25)

ammette soluzione in senso forte; e tale soluzione e unica per traiettoriee in legge.

Dimostrazione. L’equazione (4.25) puo essere scritta in modo esteso, gra-zie alla formula (4.7) come segue:

dρt =

(L(t)[ρt] +

mJ∑k=1

‖Jk(t)[ρt−]‖1 ρt−‖ρt‖1

)dt

+

mR∑j=1

(Rj(t)[ρt]−

TrRj(t)[ρt]ρt‖ρt‖1

)dWj(t). (4.26)

Dall’Osservazione 2.3 si ha la condizione di misurabilita per i coefficien-ti della (4.26). Dobbiamo quindi dimostrare, per rientrare nelle ipotesidei teoremi classici di esistenza ed unicita, la lipschitzianita globale deicoefficienti e la loro crescita sub-lineare.

Poiche, come gia osservato, L(t) non e altro che L(t), definito in (2.20),in cui si pone λ = 0, allora la stima (2.25), dalla quale si otteneva la

sub-linearita e la globale lipschitzianita di L(t), vale, a meno di costanti

deterministiche, anche per L(t).

45


Per la parte ‖Jk(t)[τ ]‖1 τ‖τ‖1 , ricordando le disuguaglianze tra norme (A.8) e

(A.9), si ha:∥∥∥∥‖Jk(t)[τ ]‖1 τ

‖τ‖1

∥∥∥∥2

=‖Jk(t)[τ ]‖1 ‖τ‖2

‖τ‖1

=

∥∥∥∥∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗∥∥∥∥

1

‖τ‖2

‖τ‖1

= supa∈Mn: ‖a‖∞=1

|Tra∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗| ‖τ‖2

‖τ‖1

≤ ‖τ‖1 supa∈Mn: ‖a‖∞=1

|Tr∑r

V rk (t) a V r

k (t)∗| ‖τ‖2

‖τ‖1

≤ ‖τ‖1‖Jk(t)‖∞‖τ‖2

‖τ‖1

=∥∥Jk(t)∥∥‖τ‖2, (4.27)

dove gli ultimi passaggi sono giustificati dal fatto che il sup e raggiunto ina = 1. E’ sufficiente quindi richiamare l’Osservazione 2.3, grazie alla qualesi ha supt∈[0,T ] ‖

∑k Jk(t)‖∞ < +∞. , per riuscire a controllare la stima

(4.27) su tutti i tempi t ≤ T . E’ provata quindi la crescita sub-lineare del

termine ‖Jk(t)[τ ]‖1 τ‖τ‖1 ; resta da dimostrare la globale lipschitzianita.

Grazie alle disuguaglianze tra norme esposte nella sezione A.1.2 e chia-mando x := x

‖x‖1 e y := y‖y‖1 si ha∥∥∥∥‖Jk(t)[x]‖1 x

‖x‖1

− ‖Jk(t)[y]‖1 y

‖y‖1

∥∥∥∥2

=∥∥ ‖Jk(t)[x]‖1 x− ‖Jk(t)[y]‖1 y

∥∥2

≤ ‖Jk(t)[x]‖1‖x− y‖2 +∥∥‖Jk(t)[x]‖1 y − ‖Jk(t)[y]‖1 y

∥∥2

≤ ‖Jk(t)[x]‖1‖x− y‖2 +∥∥(‖Jk(t)[x]‖1 −

∥∥Jk(t)[y]‖1

)y − ‖Jk(t)[x]‖1 y

+‖Jk(t)[x]‖1 y∥∥

2≤ ‖Jk(t)[x]‖1‖x−y‖2 +

∣∣∥∥Jk(t)[x]‖1−∥∥Jk(t)[y]‖1

∣∣‖y‖2

‖y‖1

+∥∥‖Jk(t)[x]‖1 ‖y‖1 y − ‖Jk(t)[x]‖1 ‖x‖1 y

∥∥2

≤ ‖Jk(t)[x]‖1‖x− y‖2 + ‖Jk(t)[x− y]‖1 + ‖Jk(t)[x]‖1‖y‖2

∣∣‖x‖1 − ‖y‖1

∣∣≤ ‖Jk(t)[x]‖1‖x− y‖2 + ‖Jk(t)|‖x− y‖1 + ‖Jk(t)[x]‖1‖x− y‖1

≤ 3‖Jk(t)‖‖x− y‖1 ≤ 3 costn ‖x− y‖2. (4.28)

Restano da studiare i termini relativi alla componente diffusiva deiprocessi di Wiener; ∀ j si ha il coefficiente:

nj(t, τ) := Rj(t)[τ ]− TrRj(t)[τ ]‖τ‖1

τ, (4.29)

conRj(t)[τ ] = Rj(t)τ + τRj(t)

∗. (4.30)

46


Analogamente alle equazioni (2.23) e (2.24), nella dimostrazione del Lem-ma 2.5 possiamo porre

lT := max

(supt∈[0,T ]

‖H(t)‖ , supt∈[0,T ]

∥∥∥∥mR∑j=1

Rj(t)∗Rj(t)

∥∥∥∥), (4.31)

allora si ha, grazie all’Osservazione 2.3, lT < +∞ e

‖Rj(t)‖2 = ‖Rj(t)∗Rj(t)‖ ≤ lT . (4.32)

Ancora ricordando le disuguaglianze tra norme (A.8) e (A.9) si hanno leseguenti relazioni :

‖τ‖2 ≤ ‖τ‖1 ≤ n‖τ‖2, |Trτ | ≤ ‖1‖ ‖τ‖1 = ‖τ‖1,

|nj(t, τ)| ≤ 2 ‖Rj(t)‖, ∀ τ ∈Mn. (4.33)

La (4.33) puo essere facilmente dimostrata, ricordando la scrittura (A.7)

|nj(t, τ) | =∣∣∣∣TrRj(t)[τ ]

‖τ‖1

∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣Tr (Rj(t) +Rj(t)∗) τ

‖τ‖1

∣∣∣∣≤ ‖Rj(t) +Rj(t)

∗‖ ‖τ‖1

‖τ‖1

≤ 2‖Rj(t)‖. (4.34)

Dalla (4.32) si ha

mR∑j=1

∥∥Rj(t)[τ ]∥∥2

2≤ 2

mR∑j=1

(∥∥Rj(t)τ∥∥2

2+∥∥τRj(t)

∗∥∥2

2

)≤ 4

mR∑j=1

∥∥Rj(t)∥∥2‖τ‖2

2 ≤ 4mR lT‖τ‖22. (4.35)

Grazie a questi risultati e ricordando la nota disuguaglianza (a + b)2 ≤2a2 + 2b2 e possibile ottenere

mR∑j=1

∥∥nj(t, τ)∥∥2

2≤ 2

mR∑j=1

(∥∥Rj(t)[τ ]∥∥2

2+ 2

∥∥∥∥TrRj(t)[τ ]τ‖τ‖1

∥∥∥∥2

2

)

≤ 2

mR∑j=1

(∥∥Rj(t)[τ ]∥∥2

2+ 2|TrRj(t)[τ ]|2

‖τ‖21

|Trτ|2 ‖τ‖22

)

≤ 2

mR∑j=1

(∥∥Rj(t)[τ ]∥∥2

2+ 4

∥∥Rj(t)∥∥2‖τ‖2

2

)≤ 2( 4mR lT‖τ‖2

2) + 4 lT‖τ‖22 ≤ 16mR lT‖τ‖2

2. (4.36)

47


E’ cosı provata, con la stima (4.36) la crescita sub-lineare per i coefficientinj(t, τ) della parte del Wiener dell’equazione (4.25). Dobbiamo verificareche soddisfino la condizione di Lipschitz globale. Prese due matrici x 6= 0e y 6= 0 e ponendo x := x

‖x‖1 e y := y‖y‖1 allora si ha, ∀ j

‖n(t, x)− n(t, y)‖2 ≤ ‖Rj(t)[x− y]‖1+

‖TrRj(t)[x− y] x+ TrRj(t)[ y ] (‖y‖1 x− y)‖1

≤ 2 ‖Rj(t)‖ (2 ‖x− y‖1 + ‖(‖y‖1 − ‖x‖1) x+ x− y‖1)

≤ 2 ‖Rj(t)‖ ( 3 ‖x− y‖1 + | ‖y‖1 − ‖x‖1 | )≤ 8‖Rj(t)‖‖x− y‖1 ≤ 8

√lT n ‖x− y‖2. (4.37)

E’ quindi provata anche la globale lipschitzianita dei coefficienti del ter-mine diffusivo. Abbiamo cosı verificato di rientrare nelle ipotesi presentatein Sezione A.4.2, ossia nelle ipotesi del Teorema A.8.

Si osservi come la catena di disuguaglianze (4.37) coinvolge la dimen-sione n dello spazio Cn e non e quindi estendibile al caso infinito dimen-sionale.

4.6 Esistenza e unicita per l’equazione completa

Seguendo la stessa argomentazione presentata nella Sezione 4.4 possiamoaffermare che se siamo in grado di enunciare condizioni per l’esistenza el’unicita della soluzione dell’equazione (4.25) e dato che la parte con saltoci da un’unica prescrizione in corrispondenza del tempo di salto, alloraragionevolmente possiamo supporre che esistano opportune condizioni suicoefficienti che siano in grado di garantire per l’equazione (4.23) un’unicasoluzione, che non esploda in tempo finito.

Risultano, in tale senso importanti le modifiche di controllo sull’inten-sita del processo di conteggio introdotte precedentemente, infatti con lalimitazione dell’intensita stocastica si ha la garanzia che valga un’ipotesifondamentale nel teorema che introdurremo qui di seguito. L’idea di fondoe che l’aumento dell’intensita del processo andrebbe ad aumentare il nu-mero di salti, rischiando di rendere in questo modo esplosiva la soluzione.Riscriviamo la (4.23) in forma estesa:

dρt =

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1

‖Jk(t)[ρt−]‖1 ρt−‖ρt−‖1

)dt +

mR∑j=1

nj(t, ρt−) dWj(t)

+

mJ∑k=1

∫x∈

[0,‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1

](‖ρt−‖1 Jk(t)[ρt−]

‖Jk(t)[ρt−]‖1

− ρt−)µk(dt, dx). (4.38)

Alcune osservazioni sull’equazione appena scritta prima di introdurreil teorema di esistenza ed unicita della sua soluzione:

48


1 Per ogni ρt 6= 0 l’intensita stocastica modificata ‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 e ben defini-

ta, limitata e non corre il rischio di risultare complessa ne negativa;cosa che sarebbe stata possibile mantenendola nella forma originariadi partenza Ik(t) = TrJk(t)[ρt].

2 Il problema si presenta in zero, infatti a seconda di come ci avviciniamoall’origine si hanno valori diversi per l’intensita; non si ha quindicontinuita nell’origine.

3 L’integrando(‖ρt−‖1 Jk(t)[ρt−]‖Jk(t)[ρt−]‖1 − ρt−

)→ 0, per ρt → 0 e questo cura la

singolarita dell’intensita stocastica nell’origine.

4 Per ‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 → 0 la misura µk sara integrata su un insieme di misura

nulla non da contributi.

La seguente proposizione si interessa di verificare che supporre ρt unasoluzione positiva dell’equazione (4.38) sarebbe consistente poiche la trac-cia viene conservata per ogni tempo t.

Proposizione 4.6. Prendiamo l’equazione (4.38) e sia ρt una soluzionepositiva di questa equazione, allora la traccia di ρt e conservata.

Dimostrazione. La verifica discende dalla formula (A.15), dalle caratteri-stiche di cui godono gli stati, introdotte nella (A.14) e dalla proprietadi linearita della traccia (A.1). Studiando la traccia della parte diffusivadell’equazione (4.38) si ha:

Trnj(t, τ) = TrRj(t)[τ ] − TrRj(t)[τ ] Trτ‖τ‖1

. (4.39)

Questo termine risulta, in generale, non nullo a meno che τ non siapositivo; infatti per τ ≥ 0 si ha ‖τ‖1 = Trτ, grazie alla (A.15).

Per la parte con salti si ha:

Tr

Jk(t)[τ ] ‖τ‖1

‖Jk(t)[τ ]‖1

− τ

=TrJk(t)[τ ]

‖τ‖1

‖Jk(t)[τ ]‖1

− Trτ, (4.40)

e ancora grazie alla (A.15) si ha che, se τ e positivo, anche la componentedei salti ha traccia nulla.

Per quanto riguarda infine il coefficiente di drift si ha, grazie alla

linearita della traccia e alla scrittura di L(t)

Tr

L(t)[τ ] +

mJ∑k=1

‖Jk(t)[τ ]‖1 τ

‖τ‖1

= Tr L(t)[τ ] −mJ∑k=1

TrJk(t)[τ ]+

mJ∑k=1

(‖Jk(t)[τ ]‖1 Trτ

‖τ‖1

)(4.41)

49


che risulta nullo se τ e positivo. E’ quindi verificato che la soluzionepositiva ρt e tale per cui

Trρt = ρ (4.42)

con ρ ∈ S(H), condizione iniziale dell’equazione (4.38).

Osservazione 4.7. L’equazione (4.38) preserva la positivita, ossia partendoda una condizione iniziale positiva, ρ ≥ 0, si avra il processo ρt ≥ 0. Ilproblema e che non siamo ancora in grado, con la teoria sviluppata finora,di dimostrarlo. Rimandiamo questo risultato e la sua dimostrazione allaSezione 5.1, Proposizione 5.2.

Il risultato di esistenza e unicita che segue e stato formulato in primaistanza da Jacod e Protter [10] in un contesto diverso, in seguito impor-tato nel nostro contesto da Pellegrini [14] ed e qui riadattato alla nostraequazione (4.38) con salti e Wiener.

Teorema 4.8. Sia data la nostra equazione

ρt = ρ+

∫ t

0

(L(s)[ρs−]+

mJ∑k=1

Ik(s, ρs−)ρs−

)ds+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−) dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

∫x∈ [0, Ik(t,ρt−)]

(Jk(s)[ρs−]


)µk(ds, dx), (4.43)

con Wj Wiener indipendenti tra loro e misure µk indipendenti tra loro(come nell’Osservazione 4.3) e dai Wiener, per ogni ρ ∈ Mn esiste unasoluzione ρt ∈Mn cadlag che non esplode in tempo finito e tale soluzionee unica per traiettorie.

Dimostrazione. Possiamo riscrivere l’equazione (4.43) nella forma

ρt = ρ +

∫ t

0

(L(s)[ρs−]+

mJ∑k=1

Ik(s, ρs−) ρs−

)ds+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−)dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

∫R+

(Jk(s)[ρs−]


)10≤x≤Ik(s, ρs−)µk(ds, dx).

Ricordiamo che

Ik(t, ρt−) =

‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 , se ρt− 6= 0

0 , se ρt− = 0e I(t, ρt−) =

mJ∑k=1

Ik(t, ρt−)

(4.44)e ∀ ρ ∈Mn il processo di conteggio somma sara

Nρ(t) =

mJ∑k=1

Nk(t) =

mJ∑k=1

(∫ t

0

∫R+

10≤x≤Ik(s, ρs−) µk(ds, dx)

), (4.45)

50


dove le misure di Poisson µk sono prese come nell’Osservazione 4.3. Quidi seguito si definisce per ricorrenza una successione (ρ(n)t), per n ≥ 0, diprocessi di Mn e una successione strettamente crescente di tempi d’arresto(Tn), per n ≥ 0. Poniamo T (0) = 0 e ρ(0)t = 0 e partiamo da n = 1.Chiamiamo per semplicita di notazione:

f(ρ)t := L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


e definiamo ora il primo tempo di salto T1 e ρ(1)ρ(1)t = ρ +

∫ t0f(ρ(1)s)ds+

∑mRj=1

∫ t0nj(s, ρ(1)s)dWj(s)

T1 = inft tale che Nρ(1)t > 0.

(4.46)

Abbiamo cheNρ(1)T1

(ω) = µ(ω,G(ρ, T1, 0)) = 1, (4.47)

con G(ρ, t, s) =

(u, y) tali che t > u > s, 0 ≤ y ≤ ‖Jk(u)[ρu−]‖1‖ρu−‖1

.

La quantita µ(ω,G(ρ, t, s)) rappresenta il numero di punti sotto la curva

t 7→ ‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 . Se T1 <∞ abbiamo che

‖Jk(T1)[ρ(1)T1− ]‖1‖ρT1−‖1

> 0.

Dalla regolarita del processo somma N(t), (si veda in merito la SezioniB.2.1) e dall’indipendenza delle misure casuali di Poisson µk, espressa nel-l’Osservazione 4.3, si deduce l’impossibilita di avere due salti simultane-amente. Euristicamente questa proprieta puo essere rappresentata dallaformula (B.5.2).

Abbiamo definito, in (4.46), il primo tempo di salto, T1, per processosomma Nρ(t), guardando la traiettoria ω saremo in grado di dire quale eil processo del vettore N(t) che salta. Conseguenza di cio sara il verificarsidel salto di un solo Nk in T1 e quindi la prescrizione sara univocamentedeterminata e data da

ρT1+ − ρT1− =Jk(T1)[ρT1− ] ‖ρT1−‖1

‖Jk(T1)[ρT1− ]‖1

− ρT1−

⇒ ρT1 =

Jk(T1)[ρT1− ] ‖ρT1−‖1‖Jk(T1)[ρT1− ]‖1 , se ‖Jk(T1)[ρT1− ]‖1 6= 0

ρ , se ‖Jk(T1)[ρT1− ]‖1 = 0(4.48)

poiche ρT1+ = ρT1 (ρt e un processo cadlag) e poiche i termini in dt e

dWj sono trascurabili rispetto alla prescrizione. Come conseguenza siha che ρ(1)t, dall’equazione (4.46), e un processo cadlag. Osserviamoche nell’intervallo [0, T1) l’equazione (4.43) risulta essere semplicemente

51


l’equazione

ρt = ρ+

∫ t

0

(L(s)[ρs−]+

mJ∑k=1

I(s, ρs−)ρs−

)ds+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−)dWj(s),

(4.49)

di cui si hanno gia risultati di esistenza e unicita della soluzione (si vedain merito il Teorema 4.5, dimostrato precedentemente); mentre in cor-rispondenza del salto in T1 si ha un’unica prescrizione, data dalla formula(4.48).

Il passo successivo e costruire il secondo tempo di salto T2 e ρ2, (n = 2).Definiamo:

ρ(2)t = ρT1 +∫ tT1f(ρ(2)s) ds+

∑mRj=1

∫ tT1nj(s, ρ(2)s) dWj(s)

T2 = inft > T1 tale che Nρ(2)t > N

ρ(1)T1.

(4.50)

Se T2 <∞ abbiamo che l’intensita‖Jk(T2)[ρT2− ]‖1‖ρT2−‖1

> 0. La soluzione dell’e-

quazione (4.50) esiste ed e unica per traiettorie grazie al Teorema C.1 chee stato adattato, nella sezione C.2, proprio al caso dell’equazione (4.50).

In modo ricorsivo si arriva a definire:ρ(n+ 1)t = ρTn +

∫ tTnf(ρ(n+ 1)s)ds+

∑mRj=1

∫ tTnnj(s, ρ(n+ 1)s)dWj(s)

Tn+1 = inft > Tn tale che Nρ(n+1)t > N

ρ(n)Tn.

(4.51)con unica prescrizione in prossimita del tempo di salto Tn+1

ρTn+1 =

Jk(Tn+1)[ρTn+1− ]

∥∥ρTn+1−

∥∥1∥∥Jk(Tn+1)[ρTn+1− ]

∥∥1

, se ‖J (Tn+1)[ρTn+1− ]∥∥

16= 0

ρ , se ‖Jk(Tn+1)[ρTn+1− ]∥∥

1= 0.

(4.52)

Anche qui, come prima, la soluzione dell’equazione (4.51) esiste ed e unicaper traiettorie grazie al Teorema C.1, con condizione iniziale il processocadlag ρTn .

La successione crescente dei tempi di salto Tn soddisfa la proprietaTn+1 > Tn sull’insieme Tn <∞; chiamiamo

T := limn→∞

Tn. (4.53)

L’idea centrale della dimostrazione consiste nel prendere in esame ora leseguenti proprieta:

ρ(n)t = ρTn−1 +∫ tTn−1

f(ρ(n)s) ds+∑mR

j=1

∫ tTn−1

nj(s, ρ(n)s) dWj(s)

ρ(n)t = ρ(n− 1)t nell’intervallo [0, Tn−1).(4.54)

52


La dimostrazione delle proprieta (4.54) e fatta per induzione e si fonda sulfatto che una volta presa la prescrizione (4.52) l’equazione con salti diventasemplicemente un’equazione della forma (4.51), che, come gia visto, am-mette un’unica soluzione. Per n = 1 le proprieta (4.54) sono banalmenteverificate. Supponiamole vere anche per p ≤ n. Ora, poiche l’equazione(4.51) ammette un’unica soluzione, grazie alla successione (4.52) dei valoriiniziali che sono i processi cadlag per ogni n, confrontando (4.54) e (4.51),si ha che ρ(n+ 1) = ρ(n) sull’intervallo [0, Tn). Per successione si ha

‖ρ(n)Tn‖1Jk(Tn)[ρ(n)Tn ]

‖Jk(Tn)[ρ(n)Tn ]‖1

− ρ(n)Tn

=‖ρ(n+ 1)Tn‖1Jk(Tn)[ρ(n+ 1)Tn ]

‖Jk(Tn)[ρ(n+ 1)Tn ]‖1

− ρ(n+ 1)Tn (4.55)

sull’insieme Tn < ∞ e grazie alla (4.51) si ha che ρ(n + 1) soddisfa la(4.54) e quindi la (4.54) e verificata per tutti gli indici n ≥ 1. Siamo ingrado quindi di esprimere la soluzione ρt dell’equazione con salti (4.43).Per ogni t < T si ha

ρt = ρ(n)t sull’insieme [0, Tn) (4.56)

Dalla relazione (4.54) si deduce che: I(t, ρ(n)t−) = I(t, ρ(n− 1)t−) in[0, Tn−1) quindiNρ(n) = Nρ(n−1) sull’intervallo [0, Tn−1) e dunque generaliz-zando si ha Nρ(n) = Nρ(p) sull’intervallo [0, Tp) per p ≤ n.

Abbiamo gia definito T , in (4.53), prevedibile e strettamente positivo.Dalle equazioni (4.54) si definisce ρt su [0, T ) ponendo ρt = ρ(n)t su [0, Tn)e ρt e soluzione sull’intervallo [0, T ).

Mostreremo che T e un tempo di esplosione della soluzione e che inparticolare grazie alla forma limitata dell’intensita si ha T = ∞ quasicertamente.

Abbiamo gia verificato nella stima (4.13) che

0 ≤ I(t, ρt−) ≤mJ∑k=1

‖Jk(t)‖∞

allora si puo scrivere

0 ≤∫ t

0

I(s, ρs−) ds ≤∫ t

0

(mJ∑k=1

‖Jk(s)‖∞

)ds =: At (4.57)

con At processo crescente a valori finiti. Sia ora Sn = inft : At ≥ n.Allora si ha ASn− ≤ n, dunque

∫ Sn0I(s, ρs−) ds ≤ n ; vale quindi

E[NρTp∧Sn

]≤ E

[NρSn

]≤ n. (4.58)

53


Ricordando la scrittura (4.45) di Nρ(t) la (4.58) diventa

E[NρTp∧Sn

]= E

[mJ∑k=1

∫ Tp∧Sn

0

∫R+

10≤x≤Ik(s,ρs−)ds dx

]

= E

[mJ∑k=1

∫ Tp∧Sn

0

Ik(s, ρs−) ds

]≤ E

[ ∫ Sn

0

I(s, ρs−) ds

]≤ n. (4.59)

Inoltre NρTp∧Sn = p sull’insieme Tp < Sn. Dunque pP(Tp < Sn) ≤ n,

e quindi P(T < Sn) = 0 per ogni n. Grazie a questo risultato e poicheSn → ∞ allora si ha P(T < ∞) = 0. E’ cosı dimostrato che il tempo diesplosione del processo di conteggio somma Nρ(t) ha probabilita nulla diavvenire in tempo finito.

Resta da verificare l’unicita della soluzione dell’equazione (4.43) chediscende dall’unicita della soluzione dell’equazione (4.51) e dall’unicitadella prescrizione in prossimita dei tempi di salto Tn.

La dimostrazione del Teorema 4.8, appena presentato, da implicita-mente un modo per costruire la soluzione dell’equazione (4.43) e i tempidi salto Tn.

4.7 Un approccio alternativo

Un modo parzialmente alternativo di affrontare il problema e far vedereche la nostra equazione (4.38) rientra nella situazione studiata nel lavoro[10] di Jacod e Protter.

Notazione 4.1. Chiamiamo D lo spazio di tutti i processi reali cadlag(continui a destra e con limite finito a sinistra) adattati; e P lo spazio deiprocessi reali prevedibili.

Per la nozione di processo prevedibile si veda la Definizione B.2.

Definizione 4.9. Si dice che l’applicazione H da D in P e prevedibile seper tutti i processi X,X ′ ∈ D, preso T un tempo d’arresto, se XT− =(X ′)T−, allora si ha che H(X)T e H(X ′)T sono indistinguibili.

Con XT− intendiamo il processo X arrestato un istante prima di T eper la nozione di processi indistinguibili si veda la Definizione A.3.

In seguito verificheremo che i coefficienti della nostra equazione (4.38)rientrano nelle ipotesi del Teorema 27 del lavoro [10] di Jacod e Protterche riportiamo

54


Teorema 4.10. Presa l’equazione

Xt = X0 +

∫ t

0

F (X)s ds+∑j

∫ t

0

Cj(X)s dWj(s)

+

∫ t

0

∫R+

G(X)s 10≤x≤λ(X)s µ(ds, dx) (4.60)

se F, G, λ e Cj, per ogni j, sono applicazioni prevedibili da D in P , sel’equazione

Xt = X0 +

∫ t

0

F (X)s ds+∑j

∫ t

0

Cj(X)s dWj(s) (4.61)

ammette un’unica soluzione per ogni condizione iniziale X0 ∈ D e sevalgono

λ(X) ≥ 0 e

∫ t

0

λ(X)s ds ≤ At ∀X ∈ D, ∀ t ∈ R+ (4.62)

con At processo crescente a valori finiti, allora l’equazione (4.60) ammetteuno e un solo processo soluzione X ∈ D che non esplode in tempo finito.

Vogliamo verificare se la nostra equazione con salti (4.38) verifica leipotesi del Teorema 4.10. Cominciamo con l’osservare che, come gia discus-so e dimostrato nella Sezione 4.5, l’equazione con solo drift e componentediffusiva

dρt =

(L(t)[ρt] +

mJ∑k=1

Ik(t, ρt−) ρt

)dt+

mR∑j=1

nj(t, ρt) dWj(t)

ammette un’unica soluzione per traiettorie e in legge, come richiesto dalTeorema 4.10. In secondo luogo l’intensita presente nell’equazione (4.38)verifica le richieste (4.62). Possiamo infatti costruire un processo At cres-cente e a valori finiti, proprio grazie alla limitatezza dell’intensita ottenutacon le opportune modificazioni proposte nel corso di questo lavoro. Infattidalla stima (4.27) si ha

0 ≤mJ∑k=1

Ik(t, τ) =

mJ∑k=1

‖Jk(t)[τ ]‖1

‖τ‖1

≤mJ∑k=1

∥∥Jk(t)∥∥∞. (4.63)

E’ sufficiente quindi richiamare l’Osservazione 2.3, grazie alla quale si hasupt∈[0,T ] ‖

∑k Jk(t)‖∞ < +∞, per controllare la stima (4.27) su tutti i

tempi t ≤ T . Riusciamo cosı ad ottenere le seguenti stime che soddisfanola (4.62) del teorema precedente:

‖Jk(t)[ρt−]‖1

‖ρt−‖1

≥ 0 e

∫ t

0

mJ∑k=1

‖Jk(s)[ρs−]‖1

‖ρs−‖1

ds ≤ At , ∀ ρ ∈ D, ∀ t ∈ R+

55


prendendo il processo, ∀ t ∈ R+,

At = t

mJ∑k=1

∥∥Jk(t)∥∥∞ = t · cost.

Restano infine da verificare le richieste sui coefficienti dell’equazione (4.38).Qui di seguito facciamo uso della nozione di applicazione prevedibile datanella Definizione 4.9. Definiamo, in analogia al Teorema 4.10, le seguentiapplicazioni da D in P

F (ρ)s :=

(L(s)[ρs−] +

mJ∑k=1


), (4.64)

ricordando che l’insieme degli indici j e finito si ha, per ogni j,

Cj(ρ)s := nj(s, ρs−), (4.65)

G(ρ)s :=

mJ∑k=1

(Jk(s)[ρs−]


), (4.66)

ed infine, nel nostro caso,

λ(ρ)s :=

mJ∑k=1

Ik(s, ρs−) =

mJ∑k=1

‖Jk(s)[ρs−]‖1

‖ρs−‖1

. (4.67)

Supponiamo quindi di avere due processi ρ e ρ ′ ∈ D e prendiamo T untempo d’arresto. Se vale l’uguaglianza ρT− = (ρ ′)T− voglio dimostrareche F (ρ)T e F (ρ ′)T sono indistinguibili. Mi interessa allora verificare larelazione che segue:

F (ρ)T =

(L(T )[ρT−] +

mJ∑k=1

Ik(T, ρT−) ρT−

)=(

L(T )[ρ ′T−] +

mJ∑k=1

Ik(T, ρ′T−) ρ ′T−

)= F (ρ ′)T . (4.68)

Poiche ρT− = (ρ ′)T− e ricordando le assunzioni della sezione 2.2 sui coef-ficienti H(t), Ll(t), Rj(t), V

rk (t) e Jk(t), ossia che sono operatori lineari su

H (matrici n×n), continui da sinistra e con limiti finiti da destra, ne dis-cende che la catena di uguaglianze in (4.68) e verificata quasi certamente.Analogamente anche per le altre applicazioni si ha, per ogni j

Cj(ρ)T = nj(T, ρT−) = nj(T, ρ′T−),= Cj(ρ

′)T , (4.69)

G(ρ)T =

mJ∑k=1

(Jk(T )[ρT−]

Ik(T, ρT−)− ρT−

)=

mJ∑k=1

(Jk(T )[ρ ′T−]

Ik(T, ρ ′T−)− ρ ′T−

)= G(ρ ′)T , (4.70)

56


ed infine

λ(ρ)T =

mJ∑k=1

‖Jk(T )[ρT−]‖1

‖ρT−‖1

=

mJ∑k=1

‖Jk(T )[ρ ′T−]‖1

‖ρ ′T−‖1

= λ(ρ ′)T . (4.71)

Abbiamo quindi dimostrato che le applicazioni F , Cj, G e λ sono appli-cazioni prevedibili da D in P , secondo la Definizione 4.9.

Per la nostra equazione (4.38) risultano allora verificate tutte le ipotesidel Teorema 4.10.

57

Capitolo 5

La master equation stocastica

5.1 Passaggio dall’EDS non lineare alla lineare

Nel Capitolo 2 abbiamo ottenuto l’equazione non lineare per lo stato aposteriori ρt di un sistema quantistico partendo da uno spazio di proba-bilita teorico (Ω,F, (Ft),Q) assegnato e dall’EDS lineare


mR∑j=1

Rj(t)[σt− ] dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) . (5.1)

Con un opportuno cambio di misura di probabilita abbiamo costruito leprobabilita fisiche PT che dipendono dalla scelta dello stato iniziale ρ delsistema e che formano una famiglia consistente al variare di T .

Ora possiamo invece considerare lo spazio di probabilita (Ω,F, (Ft),P)assegnato e l’EDS non lineare

ρt = ρ +

∫ t

0

(L(s)[ρs−] +

mJ∑k=1


)ds

+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−) dWj(s) +

mJ∑k=1

∫ t

0

(Jk(s)[ρs−]


)dNk(s), (5.2)

come punto di partenza e ricavare un’equazione lineare (2.40) tramitepassaggi inversi a quelli svolti nel Capitolo 2. Lo spazio di probabilita(Ω,F, (Ft),P) sara dato una volta per tutte e la probabilita P sara in-dipendente dall’intervallo di tempo [0, T ] in cui ci mettiamo e dallo stato

iniziale ρ del sistema. I processi Wj(t) dell’equazione (5.2) sono dei Wienerstandard e indipendenti tra loro. I processi Nk(t) sono processi di con-teggio regolari definiti dalla (4.11) a partire dalle misure di Poisson µk

58

Capitolo 5. La master equation stocastica

(Definizione 4.2). Ricordiamo che l’intensita stocastica di Nk e data da

Ik(t, ρt−) =

‖Jk(t)[ρt−]‖1‖ρt−‖1 , se ρt− 6= 0

0 , se ρt− = 0,(5.3)

che

nj(t, τ) :=

TrRj(t)[τ ]‖τ‖1 τ 6= 0,

0 τ = 0,

e che gli nj(t, τ) sono definiti da

nj(t, τ) := Rj(t)[τ ]− TrRj(t)[τ ]‖τ‖1

τ.

Prendiamo la soluzione dell’EDS non lineare (5.2), con condizione ini-ziale ρ ∈ Mn e definiamo, per analogia con le scritture (2.50) e (2.52),rispettivamente dei processi ρt e pt, date nel Capitolo 2

pt := exp

mR∑j=1

[∫ t

0

nj(s, ρs−) dWj(s) +1

2

∫ t

0

nj(s, ρs−)2ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(Ik(s, ρs−)

λk

)dNk(s) +

∫ t

0

(λk − Ik(s, ρs−)) ds

], (5.4)

σt := pt ρt. (5.5)

Nel caso in cui si abbia Ik(s, ρs−) = 0 la scrittura rigorosa di pt e similealla (2.60).

Le costanti λk, nella (5.4), sono arbitrarie e hanno come unico vin-colo quelle di essere positive. Notiamo come le λk non abbiano alcunsignificato di tipo fisico; non appaiono infatti nella probabilita fisica P nenell’equazione non lineare per lo stato a posteriori ρt del sistema quan-tistico. Quindi la scelta delle λk, per k = 1, 2, . . . ,mJ , non condizionafisicamente il sistema; possono quindi essere scelte arbitrariamente.

Differenziando pt in (5.4) si ottiene

dpt = pt−

mR∑j=1

nj(t, ρt−)(dWj(t) + nj(t, ρt−)dt

)+

mJ∑k=1

(Ik(t, ρt−)

λk− 1

)(dNk(t)− λk dt

). (5.6)

Proposizione 5.1. Il differenziale stocastico di σt e

dσt = L(t)[σt− ]dt+∑j

Rj(t)[σt−](dWj(t) + nj(t, ρt−) dt

)+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) . (5.7)

59


Se la condizione iniziale e autoaggiunta, ρ = ρ∗, il processo

(pt)−1 = exp

mR∑j=1

[∫ t

0

(−nj(s, ρs−)) dWj(s)−1

2

∫ t

0

nj(s, ρs−)2ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(λk

Ik(s, ρs−)

)dNk(s) +

∫ t

0

(Ik(s, ρs−)− λkds)]

(5.8)

e una P-martingala positiva a media uno.

Dimostrazione. Applicando la formula di Ito per il prodotto possiamoscrivere il differenziale del processo, σt, definito in (5.5), come

dσt = d(pt ρt) = pt− d(ρt) + d(pt) ρt− + d(pt) d(ρt) =

pt−

[(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


)dt +

∑j

nj(t, ρt−)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt−]

Ik(t, ρt−)−ρt−

)dNk(t)

]+pt−

mR∑j=1

nj(t, ρt−)(dWj(t)+nj(t, ρt−)dt

)+

mJ∑k=1

(Ik(t, ρt−)

λk− 1

)(dNk(t)− λk dt

)ρt−

+

[pt−

mR∑j=1

nj(t, ρt−)(dWj(t) + nj(t, ρt−)dt

)+

mJ∑k=1

(Ik(t, ρt−)

λk− 1

)(dNk(t)− λk dt

)][(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


)dt +

mR∑j=1

nj(t, ρt−)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt−]


)dNk(t)

].

60


Quindi si ha

dσt =

(L(t)[σt−] +

mJ∑k=1

Ik(t, ρt−)σt−

)dt

+

mR∑j=1

(Rj(t)[σt−]−

TrRj(t)[ρt−]σt−‖ρt−‖1

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt−]

Ik(t, ρt−)− σt−

)dNk(t)

+

mR∑j=1

(TrRj(t)[ρt−]σt−

‖ρt−‖1

dWj(t) + σt−nj(t, ρt−)2 dt

)

+

mJ∑k=1

(Ik(t, ρt−)σt−

λk− σt−

)dNk(t)− Ik(t, ρt−)σt− dt+ λk σt− dt

+

mR∑j=1

(Rj(t)[σt−]−

TrRj(t)[ρt−]σt−‖ρt−‖1

) (TrRj(t)[ρt−]‖ρt−‖1

)dt

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

Ik(t, ρt−)− σt−

)(Ik(t, ρt−)

λk− 1

)dNk(t).

Semplificando, raccogliendo i termini e ricordando la scrittura (4.8) di Lsegue l’EDS (5.7) a cui volevamo ricondurci.

Si verifica banalmente che ρ ∗t soddisfa la stessa EDS di ρt; se partiamoda una condizione iniziale autoaggiunta, ρ = ρ ∗, per l’unicita per traiet-torie della soluzione si ha che i due processi ρt e ρ ∗t sono indistinguibili.

Dalla scrittura (5.4) di pt e semplice scrivere il processo (pt)−1, come

in (5.8). Definiamo

Zt :=

mR∑j=1

[∫ t

0

(−nj(s, ρs−)) dWj(s)−1

2

∫ t

0

nj(s, ρs−)2ds

]

+

mJ∑k=1

[∫ t

0

ln

(λk

Ik(s, ρs−)

)dNk(s) +

∫ t

0

(Ik(s, ρs−)− λk) ds

], (5.9)

Xt :=

mR∑j=1

∫ t

0

(−nj(s, ρs−)) dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

(λk

Ik(s, ρs−)− 1

)(dNk(s)− Ik(s, ρs−) ds

). (5.10)

Assumiamo la condizione iniziale autoaggiunta in modo che Xt e Zt sianoreali.

61


Poiche Xt e una P-martingala locale allora anche (pt)−1 = E(Xt) =

expZt lo e (si veda in merito il Teorema 2 in [12]), dove E(Xt) e l’espo-nenziale stocastico di Xt. Abbiamo dunque che (pt)

−1 e una P-martingalalocale positiva; allora (pt)

−1 e una super martingala e si ha che

EP[ (pt)−1 ] ≤ EP[ (p0)−1 ] = 1. (5.11)

Il Lemma 7 in [11] ci dice che per stabilire l’uguaglianza in (5.11), cioeperche (pt)

−1 sia una martingala, deve essere verificata la cosiddetta con-dizione di Kabanov, Liptser e Shiryayev

ess supω∈Ω

∫ t

0

[mR∑j=1

(−nj(s, ρs−))2 +

mJ∑k=1

(√λk

Ik(s, ρs−)− 1

)2

Ik(s, ρs−)

]ds

= ess supω∈Ω

∫ t

0

[mR∑j=1

(−nj(s, ρs−))2+

mJ∑k=1

(√λk−

√Ik(s, ρs−)

)2]ds < +∞.

(5.12)

Grazie alla limitatezza dei coefficienti dell’integrale in [0, t] si ha la lim-itatezza dell’estremo superiore essenziale in (5.12), ne segue che (pt)

−1 euna P-martingala. Poiche Zt e reale segue che (pt)

−1 e positiva, la (5.11)diviene un’uguaglianza e (pt)

−1 ha media uno.

Proposizione 5.2. Presa una condizione iniziale positiva, ρ ≥ 0, allorail processo ρt e positivo e la traccia di ρt e conservata.

Dimostrazione. Mettiamoci nell’intervallo [0, T ]. Definiamo

Qt(dω) := (pt)−1P(dω) su F0

t . (5.13)

Dalla Proposizione 5.1 otteniamo che Q e una nuova misura di probabilita.Dal teorema di Girsanov e dalle sue generalizzazioni in situazioni con salti,abbiamo che, sotto la misura di probabilita Qt

• i processi Wj(t) := Wj(t) +∫ t

0nj(s, ρs−) ds sono dei Wiener standard

e indipendenti tra loro

• i processiNk(t) sono processi di conteggio con intensita deterministicae costante nel tempo λk. Gli Nk(t) sono quindi dei processi di Poissoncon intensita λk.

Questo risultato discende da teoremi che generalizzano il teorema di Gir-sanov - Meyer, si veda in merito [16], teorema 20, pag 109.

Dalla Proposizione 5.1 il processo σt soddisfa, sotto QT , l’EDS lineare


mR∑j=1

Rj(t)[σt−] dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[σt− ]

λk− σt−

)(dNk(t)− λkdt) . (5.14)

62


Dalla positivita della condizione iniziale e dalla Proposizione 2.8 si haσt ≥ 0. Essendo pt ≥ 0 per costruzione, si ottiene ρt ≥ 0. Abbiamogia verificato con la Proposizione 4.6 che la traccia dell’equazione (5.2) econservata quando la soluzione ρt e positiva.

Osservazione 5.3. Si noti che anche con l’EDS non lineare (5.2) sussisteil problema della verifica della positivita, proprio come era accaduto conl’EDS lineare (2.18) nel Capitolo 2. Non risulta, infatti, banale la verificadella positivita dell’EDS (5.2) a vista, come avevamo gia notato nell’Osser-vazione 4.7. Nella dimostrazione della Proposizione 5.2 abbiamo infattiutilizzato la scrittura di ρt come il prodotto di due fattori positivi.

5.2 Strumenti

Essendo arrivati ad un’equazione lineare dello stesso tipo di quelle in-trodotte all’inizio e quasi ovvio che possiamo ricostruire gli strumenti etutte le previsioni di tipo fisico che potevamo ottenere nella teoria chepartiva dalla master equation lineare.

Per semplicita prendiamo 0 come tempo iniziale e fissiamo l’interval-lo temporale [0, T ]. In modo analogo si potrebbe trattare il caso di unqualunque tempo iniziale.

Sia σρ(t) la soluzione della (5.14) sotto QT e condizione iniziale ρ ∈S(H). Costruiamo al solito modo gli strumenti relativi all’osservazionedell’output Wj e N . Otteniamo che ∀ G ∈ F0

t e ρ ∈ S(H) si ha

I0t (G)[ρ] = EQT [1G σρ(t)] = EP[(pt)

−1 1G σρ(t)]

= EP[1G (pt)−1 σρ(t)] = EP[1G ρt] (5.15)

La relazione (5.15) ci dice che EP[1G ρt] e lineare in ρ, che definisce unostrumento I0

t (·) e che i ρt sono proprio gli stati a posteriori di tale stru-mento. Analogamente a quanto fatto nella Sezione 3.3, possiamo definire

gli “strumenti finito dimensionali” I rt (· ;−→k ,−→h ).

5.3 Operatore caratteristico

Prendiamo ora i seguenti ingredienti:

· I processi Wj(t) := Wj(t) +∫ t

0nj(s, ρs−) ds e Nk(t), interpretati

come output;

· la condizione iniziale ρ ∈ S(H);

· la soluzione ρt della master equation stocastica (5.2), dove ρt e intesocome stato a posteriori;

· la probabilita P.

63


Prendiamo lo spazio S, introdotto nella notazione 3.1 e una coppia difunzioni (k, h) ∈ S. Introduciamo le variabili aleatorie

Xrt (k, h) :=

mR∑j=1

∫ t

r

kj(s)dWj(s) +

mJ∑k=1

∫ t

r

hk(s) dNk(s). (5.16)

Proviamo quindi a studiare

EP

[e iX0

t (k, h)ρt

]. (5.17)

Per semplicita di notazione introduciamo

zt := exp

i

mR∑j=1

∫ t

0

kj(s)dWj(s) + i

mJ∑k=1

∫ t

0

hk(s) dNk(s)

, (5.18)

xt := zt ρt. (5.19)

Vogliamo quindi ottenere la scrittura di dxt. A questo scopo utilizze-remo il differenziale di zt, ottenuto applicando la formula di Ito nel casocon salti, come mostrato con l’equazione (B.40). Quindi si ha

dxt = dzt ρt− + zt− dρt + dzt dρt =

zt−

(i

mR∑j=1

kj(t)(

dWj(t) + nj(t, ρt−)dt)− 1

2

mR∑j=1

kj(t)2dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)dNk(t)

)ρt− + zt− ·

(L(t)[ρt−] +

mJ∑k=1


)dt

+

mR∑j=1

nj(t, ρt−) dWj(t) +

mJ∑k=1

(Jk(t)[ρt−]


)dNk(t)

)

+

mR∑j=1

i kj(t)

(Rj(t)[xt−]− TrRj(t)[ρt−] xt−

‖ρt−‖1

)dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)(Jk(t)[xt−]

Ik(t, ρt−)− xt−

)dNk(t)

64


= i

mR∑j=1

kj(t)xt− dWj(t)+i

mR∑j=1

kj(t)xt−nj(t, ρt−) dt− 1

2

mR∑j=1

kj(t)2 xt−dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)xt−dNk(t) + L(t)[xt−]dt

+

mJ∑k=1

(Ik(t, ρt−)xt−) dt+

mR∑j=1

(Rj(t)[xt−]− TrRj(t)[ρt−] xt−

‖ρt−‖1

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

(Jk(t)[xt−]


)dNk(t) +

mR∑j=1

i kj(t) nj(t, xt−)dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)( Jk(t)[xt−]


)dNk(t).

Raccogliendo si ha

dxt =

L(t)[xt]+

mJ∑k=1

Ik(t, ρt−)xt−+

mR∑j=1

i kj(t)xt−nj(t, ρt−)− 1

2kj(t)

2xt−

+ i kj(t)(Rj(t)[xt−]− xt−nj(t, ρt−)

)dt

+

mJ∑j=1

ikj(t)xt− +

(Rj(t)[xt−]− xt−nj(t, ρt−)

)dWj(t)

+

mJ∑k=1

((eihk(t) − 1

)( Jk(t)[xt−]


)+

(Jk(t)[xt−]


)+(eihk(t) − 1

)xt−

)dNk(t). (5.20)

Dall’Osservazione 2.3 circa la limitatezza dei coefficienti della (5.20), dal

fatto che l’integrale stocastico del Wiener Wj(t) ha media nulla sotto la

probabilita P, dalla scrittura di L(t), dall’equazione EP [ dNk(t) |F0t ] =

Ik(t, ρt−) dt ottengo che l’espressione EP

[e iX0

t (k, h) ρt

]definisce un map

lineare in ρ che chiamiamo G. L’espressione di questo map lineare, daicalcoli che abbiamo svolto, coincide con quello della Sezione 3.2, equazioni(3.16) e (3.17), che richiamiamo

G(t, 0; k, h) = Idn +

∫ t

0

Λs(k(s), h(s)) G(s, 0; k, h)ds (5.21)

65


con

Λt(k(t), h(t)) := L(t) +

mJ∑j=1

(i kj(t)Rj(t)−

1

2kj(t)

2 Idn

)+

mJ∑k=1

Jk(t)(eihk(t) − 1

). (5.22)

Piu precisamente l’identita dei due map G discende dall’unicita dellasoluzione dell’equazione (5.21).

In altre parole, costruiti σt e QT , con T ≥ t, come fatto nella Sezione5.1, stiamo dicendo che, preso lo stato iniziale ρ, si ha

EP

[e iX0

t (k, h) ρt

]= EQT

[e iX0

t (k, h) σt

]= G(t, 0; k, h)[ρ]. (5.23)

Un altro modo per vedere che si puo partire sia dalla master equationstocastica lineare sia da quella non lineare e ottenere lo stesso modello fisi-co e di ragionare sugli operatori caratteristici. Nei due approcci si parte daspazi di probabilita diversi dove sono definiti processi di Wiener e di con-teggio diversi; con due regole diverse si costruiscono degli operatori carat-teristici che risultano essere uguali (perche soddisfano la stessa equazionedifferenziale). Dunque, almeno gli “strumenti finito dimensionali” dellaSezione 3.3 coincidono.

66

Appendice A

Notazioni e nozionifondamentali

A.1 Alcune notazioni

In questa tesi consideriamo solo sistemi quantistici finito dimensionali;dunque l’ambiente di base e uno spazio di Hilbert H finito dimensionale,di dimensione n. Scegliendo un sistema ortonormale completo eini=1, siidentifica H con Cn, cioe

H ≡ Cn.

Possiamo quindi pensare gli operatori A suH come delle matrici complessen×n. Denotiamo l’insieme delle matrici quadrate complesse di dimensionen con Mn.

A.1.1 Operatore traccia, commutatore e anticommutatore

Per un operatore A su H e definito l’operatore traccia come

TrA =∑i

Aii ;

e un operatore che corrisponde quindi al prendere gli elementi diagonalie sommarli tra loro. E’ indipendente dalla base scelta. Vale inoltre laseguente proprieta: per ogni a, b ∈ C,

TraA+ bB = aTrA+ bTrB, TrAB = TrBA. (A.1)

Dati due operatori A e B su H possiamo considerare il commutatoretra i due:

[A,B] := AB −BA (A.2)

e l’anti-commutatore:

A,B := AB +BA . (A.3)

67

Capitolo A. Notazioni e nozioni fondamentali

A.1.2 Norme e disuguaglianze

E’ possibile introdurre tre norme utili in Mn. La prima e la normaoperatoriale o norma infinito, definita da

‖A‖ ≡ ‖A‖∞ := supψ∈H:‖ψ‖=1

‖Aψ‖ . (A.4)

La seconda e la norma di Hilbert-Schmidt o norma due:

‖A‖2 :=√

TrA∗A =

√∑ij

|Aij|2 . (A.5)

La terza e la norma costruita con la traccia detta norma traccia o normauno:

‖A‖1 := Tr√

A∗A. (A.6)

E’ utile notare che

se B ≥ 0 ⇒ ‖B‖1 = TrB.

Inoltre si ha:

‖A∗‖ = ‖A‖ , ‖A∗‖2 = ‖A‖2 , ‖A∗‖1 = ‖A‖1 . (A.7)

Valgono le seguenti disuguaglianze:

‖A‖ ≡ ‖A‖∞ ≤ ‖A‖2 ≤ ‖A‖1 ≤ n ‖A‖∞ , (A.8)

|〈ϕ|Aψ〉| ≤ ‖A‖ ‖ψ‖ ‖ϕ‖ , |TrAB | ≤

‖A‖ ‖B‖1 ,

‖A‖2 ‖B‖2 .(A.9)

Ogni operatore A definisce un funzionale lineare su Mn sotto la cor-rispondenza A 7→ TrA·. Questa corrispondenza permette di identificare(Mn, ‖ · ‖∞) con lo spazio duale di (Mn, ‖ · ‖1). Abbiamo, allora

‖A‖∞ = supB∈Mn:‖B‖1=1

|TrAB| , ‖B‖1 = supA∈Mn:‖A‖∞=1

|TrAB| .

(A.10)Osserviamo inoltre che per ogni τ ∈ Mn vale:

‖τ ∗τ‖1 = ‖ττ ∗‖1 = ‖τ‖22, (A.11)

che segue dalla definizione delle due norme ((A.5) e (A.6)) e dalla positivitadi τ ∗τ e ττ ∗. Inoltre per ogni matrice A abbiamo:

‖Aτ‖22 = Trτ ∗A∗Aτ = TrA∗Aττ ∗ ≤ ‖A∗A‖ ‖ττ ∗‖1 = ‖A‖2‖τ‖2

2,(A.12)

‖AτA∗‖22 = TrAτ ∗A∗AτA∗ = TrA∗Aτ ∗A∗Aτ

≤ ‖A∗Aτ ∗‖2 ‖A∗Aτ‖2 ≤ ‖A∗A‖‖τ ∗‖2 ‖A∗A‖‖τ‖2 = ‖A∗A‖2‖τ‖22.

(A.13)

68


A.1.3 Notazioni di Dirac

Se ψ e un vettore H, il “ket” |ψ〉 denota il vettore ψ stesso pensato comevettore colonna e il “bra” 〈ψ| denota il vettore trasposto coniugato:

|ψ〉 =

ψ1

ψ2...ψn

, 〈ψ| =(ψ1 ψ2 . . . ψn

).

Inoltre |ψ〉〈ψ′| ha elementi ∀ i, j

(|ψ〉〈ψ′|)ij = ψi ψ′j .

Notiamo che, per ogni operatore A, TrA |ψ〉〈ϕ| = 〈ϕ|Aψ〉.

A.1.4 Operatori statistici e loro proprieta

Uno stato di un sistema quantistico e rappresentato da un operatore dettostatistico ρ ∈ S(H), dove

S(H) = ρ ∈ Mn tali che ρ ≥ 0, Trρ = 1. (A.14)

S(H) e quindi l’insieme degli operatori su H autoaggiunti, positivi e atraccia unitaria.

Dato che ρ ≥ 0 ⇒ Trρ = ‖ρ‖1, (A.15)

allora per gli operatori positivi norma uno e traccia si identificano e pergli stati valgono 1.

A.2 Spazi di probabilita e variabili aleatorie

Richiamiamo la terminologia e poche notazioni di teoria delle probabilita.

Spazi di probabilita

Un spazio di probabilita e una tripla (Ω,F,P), dove (Ω,F) e uno spaziomisurabile e P e una misura di probabilita su F. L’insieme Ω consiste intutti i possibili risultati ω di un esperimento aleatorio classico ed e dettospazio campionario. L’insieme F e detto spazio degli eventi ed e compostoda sottoinsiemi A di Ω, ogni A descrive un evento che accade ogni voltache l’esperimento produce un risultato ω ∈ A. Prima dell’esperimento,P(A) valuta la probabilita che l’evento A accada. Dopo l’esperimento, unsolo ω e stato prodotto, allora tutti gli eventi A con ω ∈ A sono accadutimentre tutti gli altri no.

Uno spazio misurabile e una coppia (E,E), dove E e un insieme nonvuoto E e una σ-algebra di sottoinsiemi di E. Una σ-algebra e una famigliadi sottoinsiemi di E per cui

69


(a) E ∈ E,

(b) A ∈ E⇒ E \ A ∈ E,

(c) Aj, j = 1, . . . ⊂ E⇒⋃∞j=1Aj ∈ E.

Misura di probabilita

Una misura di probabilita P on F, o su (Ω,F), e una misura non negativa,σ-additiva con massa 1, e quindi:

(a) P : F → [0, 1],

(b) P(Ω) = 1,

(c) Aj, j = 1, . . . ⊂ F con Ai ∩ Aj = ∅ per i 6= j ⇒ P(⋃∞

j=1Aj

)=∑∞

j=1 P (Aj).

Una proprieta p si dice valere quasi certamente o con probabilita uno inΩ se ∃A ∈ F tale che A ⊃ ω : p e falsa per ω e P(A) = 0. L’espressione“quasi certamente” in teoria delle probabilita corrisponde all’espressione“quasi ovunque” in teoria della misura.

Variabili aleatorie

Dato uno spazio di probabilita (Ω,F,P), una variabile aleatoria X convalori in uno spazio misurabile (E,E) e una funzione misurabile da Ωin E, e spesso si scrive X : (Ω,F) → (E,E). Una variabile aleatoriadescrive una quantita, osservata durante un esperimento aleatorio. Allafine dell’esperimento, se e stato osservato ω, allora sappiamo che X haassunto il valore x = X(ω), mentre in una valutazione a priori di X edata solo la sua distribuzione (o legge), cioe la probabilita PX su (E,E)definita da PX(A) := P[X ∈ A] ≡ P[ω ∈ Ω : X(ω) ∈ A]. Data unafunzione X : Ω → (E,E), la piu piccola σ-algebra in Ω che rende Xmisurabile e σ(X) = X−1(F )|F ∈ E; dove σ(X) e detta la σ-algebragenerata dalla variabile aleatoria X.

A.3 Filtrazioni e processi

A.3.1 Processo stocastico

Un processo stocastico e una famiglia X(t), t ∈ I di variabili aleato-rie definite in un qualche spazio di probabilita (Ω,F,P) e con valori inun qualche spazio misurabile. Noi ci limitiamo a I ⊂ R e a X cheprende valori in Cd. Come per una qualunque famiglia di variabili aleato-rie, σ

(X(t), t ∈ I

)denota la σ-algebra generata dal processo. Due o

piu processi sono detti indipendenti se le σ-algebre da loro generate sonoindipendenti.

70


Un processo stocastico si occupa di modellare matematicamente unaquantita osservata continuativamente nel tempo, durante un esperimentoaleatorio. Se X e un processo stocastico e ω ∈ Ω un evento elementare,la funzione t 7→ X(t, ω) e una traiettoria del processo X. Un processo Xe continuo se tutte le sue traiettorie sono funzioni continue, e continuo adestra se tutte le sue traiettorie sono funzioni continue a destra, eccetera.

A.3.2 Filtrazioni

Preso lo spazio di probabilita (Ω,F,P), una filtrazione e una famiglia(Ft)t≥ 0 di sotto-σ-algebre crescenti di F, cioe Fs ⊂ Ft ⊂ F per 0 ≤ s <t < +∞. Alle volte

(Ω,F, (Ft),P

)e detta base stocastica. Tipicamente

una filtrazione descrive l’accumulazione di informazioni nel tempo: ogniFt e la collezione di tutti gli eventi per i quali siamo in grado di dire sesono accaduti prima del tempo t oppure no.

Chiamiamo con N la classe di tutti gli insiemi di P nulla in F, cioe:

N := A ∈ F : P(A) = 0 .

• La filtrazione e detta continua a destra se Ft = Ft+ per tutti t ≥ 0,dove Ft+ e la σ-algebra degli eventi decidibile un istante dopo t, cioe:

Ft+ :=⋂s:s>t

Fs . (A.16)

• Si dice che la base stocastica (o la filtrazione (Ft)t≥ 0) soddisfa leipotesi usuali se la filtrazione e continua a destra e F0 contiene N.Ovviamente N ⊂ F0 implica N ⊂ Ft, ∀t ≥ 0.

Data una base stocastica(Ω,F, (Ft),P

)possiamo costruire una base sto-

castica(Ω,F, (Ft),P

), che soddisfa le ipotesi usuali, prendendo Ft :=

Ft+ ∨N.

A.3.3 Processi adattati

Definizione A.1. Un processo stocastico X e detto adattato ad una fil-trazione (Ft) se, per tutti i tempi t ≥ 0, la variabile aleatoria X(t) eFt-misurabile.

La nozione di processo adattato ha un’interpretazione fisica importante:cattura sostanzialmente l’idea di non-anticipazione del futuro.

Definizione A.2. Un processo stocastico X e detto cadlag se per ogni ωla funzione t→ Xt(ω) e una funzione continua a destra e con limite finitoa sinistra ed e detto caglad se per ogni ω la funzione t → Xt(ω) e unafunzione continua a sinistra e con limite finito a destra.

71


Definizione A.3. Due processi complessi d-dimensionali X e Y , definitiin due spazi di probabilita anche differenti (Ω,F,P) e (Ω′,F′,P′), si dice chehanno la stessa legge se hanno le stesse leggi finito-dimensionali, che e comedire che per ogni scelta di un intero m e dei tempi 0 ≤ t1 < t2 < · · · < tmi vettori aleatori (X(t1), . . . , X(tm)) e (Y (t1), . . . , Y (tm)) hanno la stessadistribuzione su Cmd.

Quando (Ω,F,P) = (Ω′,F′,P′), il processo Y si dice modificazione oversione di X se Y (t) e X(t) sono due variabili aleatorie equivalenti perogni t:

P[X(t) = Y (t)] = 1 , ∀t ≥ 0 .

I due processi si dicono indistinguibili se quasi tutte le loro traietto-rie coincidono, che e come dire che il complementare dell’insieme

ω ∈

Ω : X(t, ω) = Y (t, ω), ∀t ≥ 0

e contenuto in un insieme misurabile diprobabilita nulla.

Quando l’insieme ω ∈ Ω : X(t, ω) = Y (t, ω), ∀t ≥ 0 e misurabile, cosavera se valgono opportune ipotesi di regolarita per le traiettorie dei dueprocessi, possiamo dire che X e Y sono indistinguibili se

P[X(t) = Y (t), ∀t ≥ 0] = 1 .

Se X e Y sono indistinguibili, allora uno e anche la modificazione del-l’altro. Quando Y e una modificazione di X, allora i due processi hannola stessa legge.

A.4 Equazioni differenziali stocastiche di tipo diffu-sivo

Consideriamo l’EDS

dX(t) = b(X(t), t

)dt+

d∑j=1

σj(X(t), t

)dWj(t) , (A.17)

per il processo X con valori in Cd. Il termine in dt e detto drift e b eil coefficiente di drift, il termine in dW (t) e detto di diffusione e σ e ilcoefficiente di diffusione.

Una soluzione dell’equazione (A.17) con condizioni iniziali X(t0) = η eun processo che soddisfa (quasi certamente, ∀t ≥ t0)

X(t) = η +

∫ t

t0

b(X(s), s

)ds+

d∑j=1

∫ t

t0

σj(X(s), s

)dWj(s). (A.18)

Si noti che quando considero un’equazione del tipo (A.17) sto considerandouna versione continua di X(t).

72


A.4.1 Tipi di soluzioni

Possiamo ora distinguere tra differenti concetti di esistenza e unicita dellesoluzioni.

Definizione A.4. Una soluzione debole dell’EDS (A.17) con una con-dizione iniziale con legge µ e una base stocastica

(Ω,F, (Ft),P

)che sod-

disfa le usuali condizioni, con un processo di Wiener W , e una variabilealeatoria η ∼ µ a valori in Cd, Ft0-misurabile e un processo continuo eadattato X tale che per ogni t ≥ t0 l’equazione (A.17) e soddisfatta.

Definizione A.5. L’EDS (A.17) ammette soluzioni forti se, per ogniscelta di una base stocastica, che soddisfi le condizioni usuali, con unprocesso di Wiener W e per ogni x0 ∈ Cd, esiste un processo continuoadattato X tale che l’equazione (A.17) e verificata per η = x0.

Definizione A.6. La soluzione dell’EDS (A.17) e unica in legge se, presedue soluzioni

(Ω,F, (Ft),P

), W , η, X and

(Ω′,F′, (F′t), P

′), W ′, η′, X ′,con η ∼ η′, allora i processi X e X ′ hanno la stessa legge.

Definizione A.7. La soluzione dell’EDS (A.17) e unica per traiettorie se,prese due soluzioni

(Ω,F, (Ft), P

), W , η, X e

(Ω,F, (Ft), P

), W , η, X ′

allora i processi X e X ′ sono indistinguibili.

A.4.2 Condizioni sufficienti per l’esistenza e l’unicitadella soluzione

Ci sono varie ipotesi sufficienti che implicano l’esistenza e l’unicita dellasoluzione per la nostra EDS (A.17). Qui di seguito con la norma ‖ · ‖2

intendiamo la norma vettoriale della somma dei quadrati delle componenti.Notiamo che se b(x, ·) risulta essere una matrice quadrata, allora la norma‖ · ‖2 non e altro che la norma di Hilbert-Schmidt (A.5).

Ipotesi A.1 (Condizione di Lipschitz globale). Tale condizione risultaverificata se esiste una costante L(T ) > 0 tale che:

‖b(x, t)− b(y, t)‖2 +∑j

‖σj(x, t)− σj(y, t)‖2 ≤ L(T ) ‖x− y‖2 (A.19)

per tutti x, y ∈ Cd e t ∈ [t0, T ].

Ipotesi A.2 (Condizione di Lipschitz locale). Tale condizione risultaverificata se per ogni N > 0 esiste una costante L(N, T ) > 0 tale che

‖b(x, t)− b(y, t)‖2 +∑j

‖σj(x, t)− σj(y, t)‖2 ≤ L(N, T ) ‖x− y‖2 (A.20)

per tutti t ∈ [t0, T ] e per tutti x, y ∈ Cn con ‖x‖ ≤ N , ‖y‖ ≤ N .

73


Ipotesi A.3 (Condizione di crescita sub-lineare). Tale condizione risultaverificata se esiste una costante M(T ) > 0 tale che

‖b(x, t)‖+

(∑j

‖σj(x, t)‖2

)1/2

≤M(T ) (1 + ‖x‖) (A.21)

per tutti gli x ∈ Cd e t ∈ [t0, T ].

Osservazioni:

• La condizione di Lipschitz globale A.1 implica la condizione di Lips-chitz locale A.2.

• Per coefficienti indipendenti dal tempo, cioe b(x, t) = b(x) e σj(x, t) =σj(x), la condizione di Lipschitz globale A.1 implica la condizione dicrescita sub-lineare A.3.

Teorema A.8 ([1, Teorema 8.8 p. 165]). Sotto le ipotesi di misurabilitadei coefficienti, A.1 e A.3 l’EDS (A.17) ammette soluzioni forti [t0, T ]; el’unicita e verificata per traiettorie e in legge.

74

Appendice B

Processi di conteggio

I risultati che presenteremo in questa appendice trovano largo uso nelpresente lavoro di tesi. Ci interesseremo, qui di seguito, di illustrare iprocessi di conteggio e loro tipiche proprieta. Presenteremo, in particolare,i processi di Poisson come particolari processi di conteggio.

B.1 Processi di conteggio

Cominciamo con l’introdurre, in prima istanza, una possibile definizionedi un processo di conteggio, N(t), su R+ come un processo stocastico, avalori interi, e non decrescente nel tempo; N(t) conta quanti punti ci sonoin [0, t].

Indichiamo con dN(t) = N(t + dt) − N(t) l’incremento del processonell’intervallo di lunghezza infinitesima dt, dove t rappresenta il presentee t + dt il futuro; assumiamo che la probabilita di avere un conteggio intale intervallo sia proporzionale a dt,

P(dN(t) = 1) ∝ dt,

e che la probabilita di avere piu di un conteggio sia trascurabile

P(dN(t) ≥ 2) = o(dt).

Nel corso di questa tesi compaiono i processi di conteggio, Nk(t), per k ∈1, 2, . . . ,mJ. E’ possibile sviluppare un’ampia teoria circa tali processi.

Prendiamo il processo vettoriale

N(t) := (N1(t), N2(t), . . . , Nk(t), . . . , NmJ (t)) . (B.1)

Ogni processo Nk(t) e un processo di conteggio su R+ e il processo somma,detto ground process, e dato da

N(t) :=

mJ∑k=1

Nk(t). (B.2)

75

Capitolo B. Processi di conteggio

Definiamo, in generale, un processo marcato di punto come una collezioneindicizzata di processi di conteggio. L’insieme di tali indici e detto inisiemedelle marche e si indica con K. E’ possibile che K prenda valori in un in-sieme finito di elementi o anche in uno spazio piu generale, continuo o inuno spazio euclideo. Si veda in merito il Capitolo 7.3 in [8].

Nel caso di cui ci stiamo interessando il processo N(t) e un processomarcato di punto con marca discreta, infatti l’insieme delle marche e K =1, 2, . . . , k, . . . ,mJ, dove mJ e un intero finito che rappresenta il numerodei tipi di conteggi della nostra equazione.

Il processo N(t) e quindi un processo marcato di punto su [0,∞)×K.Nel corso del nostro lavoro abbiamo a che fare con particolari processi diconteggio detti regolari che introdurremo nella sezione B.2 seguente.

B.2 Processi di conteggio regolari

Vogliamo, in questa sezione, introdurre il concetto di processo marcato dipunto regolare e di processi di conteggio regolari.

B.2.1 Intensita prevedibili e processi marcati di punto regolari

Introduciamo di seguito la nozione di σ-algebra prevedibile e di processoprevedibile.

Definizione B.1. Definiamo la sotto-σ-algebra di B(R+) ⊗ F, generatadagli insiemi prodotto della forma (s, t ]×U , con U ∈ Fs e s e t che varia-no, con 0 ≤ s < t < +∞, come la σ-algebra prevedibile, che denotiamocon ΨF.

La terminologia e ben scelta perche riflette il fatto che si possa fareuna previsione per un tempo futuro t, data l’evoluzione del processo, rap-presentata dagli insiemi U ∈ Fs, fino al tempo presente s. Grazie alladefinizione di σ-algebra prevedibile possiamo ora introdurre la definizionedi processo prevedibile.

Definizione B.2. Un processo X reale e detto (Ft)-prevedibile se eΨFt−misurabile, cioe per ogni insieme A ∈ B(R) si ha

(t, ω) : X(t, ω) ∈ A ∈ ΨF.

Il lemma A3.3.I, presentato in [8], mette in relazione processi prevedibilie processi adattati.

Lemma B.3. Un processo (Ft)-prevedibile e un processo (Ft−)-adattato.

Interessiamoci, per il momento, di fornire la nozione di regolarita perun processo di conteggio unidimensionale.

76


Definizione B.4. Sia il processo di conteggio N(t), con t ≥ 0 (Ft)-adattato e tale che

lim∆ t↓0

P[N(t−∆ t)−N(t) ≥ 2]

∆ t= 0. (B.3)

Sia I(t) un processo non negativo e prevedibile tale che, definito

Λ(t) =

∫ t

0

I(s) ds, (B.4)

si ha che il processo

M(t) = N(t)− Λ(t) e una (Ft)-martingala; (B.5)

cioeE[M(t) |Fs ] = M(s) con 0 < s < t. (B.6)

Un processo N(t) con queste proprieta e detto regolare, il processo Λ(t)e detto compensatore e I(t) e detta intensita stocastica del processo diconteggio N(t).

Notiamo che chiedere I(t) prevedibile implica chiedere che I(t) sia Ft−-misurabile.

L’intensita stocastica I(t) e una grandezza che racchiude implicita-mente la legge del processo di conteggio. Grazie alla definizione B.4 siamoin grado di ricavare una scrittura euristica dell’intensita stocastica allaluce della quale I(t) puo essere interpretata come il rischio di avere unconteggio in t condizionatamente a tutta la storia passata nell’intervallo[0, t).

Vediamone la derivazione.Partendo dall’equazione (B.6) possiamo scrivere, per 0 < s < t:

E[M(t)|Fs ] = E[N(t)− Λ(t)|Fs ] =

E[N(t)−

∫ t

0

I(r) dr

∣∣∣∣Fs ]= N(s)−∫ s

0

I(r) dr. (B.7)

Allora si ha

E [N(t)−N(s)|Fs] = E[∫ t

s

I(r)dr

∣∣∣∣Fs] =

∫ t

s

E [I(r)|Fs] dr. (B.8)

Facendo tendere ora t→ t+ dt e s→ t si ottiene:

E [dN(t)|Ft−] =

∫ t+dt

t

E [I(r)|Ft−] dr ' I(t) dt (B.9)

Siamo cosı giunti alla formula euristica dell’intensita stocastica (data an-che da [8])

E [dN(t)|Ft−] = I(t) dt, (B.10)

dove Ft− e la σ-algebra degli eventi che accadono fino all’istante prima deltempo t.

77


Osservazione B.5. Abbiamo introdotto la nozione di processo di conteggioregolare attraverso l’intensita prevedibile. Possiamo ora chiederci: come epossibile estendere questo discorso al MPP N(t)? Bisogna prestare moltaattenzione in quanto non basta chiedere che ogni Nk(t), che compone N(t),sia regolare, secondo la definizione B.4, perche il processo marcato di puntoN(t) sia regolare. E’ necessario riuscire a dire qualcosa di piu sulle inte-razioni tra i vari processi Nk(t) e Nh(t), per k, h ∈ K, che compongonoN(t).

Prendiamo come definizione di processo di conteggio vettoriale N(t)regolare una delle condizioni equivalenti della Proposizione 7.3.I in [8].

Definizione B.6. Un processo di conteggio vettoriale N(t), su R+ × K,dove K = 1, 2, . . . , k, . . . ,mJ, e regolare se e regolare il ground processN(t).

Una tale definizione di regolarita per N(t) ci garantisce per prima cosala regolarita di ogni componente Nk(t) di N(t). In tal caso ogni Nk(t) hala sua intensita Ik(t) secondo la Definizione B.4; possiamo quindi scriverel’intensita del ground process N(t) come

I(t) :=

mJ∑k=1

Ik(t). (B.11)

B.2.2 Densita di probabilita esclusive e processi marcati dipunto regolari

Un’altra via possibile per introdurre la nozione di processi di conteggiovettoriali regolari e quella di utilizzare le cosı dette densita di Janossyo densita di probabilita esclusive, seguendo la trattazione teorica fattain [8]. Nella sezione 7.3 in [8] e mostrato come l’intensita, come nellaDefinizione B.4, e le densita di probabilita esclusive siano legate. Questidue approcci alla nozione di regolarita dei processi di conteggio risultanoquindi equivalenti.

Notazione B.1. Indichiamo con Ptt0(0) la probabilita di non avere nessunconteggio nell’intervallo di tempo (t0, t]. Ovviamente questa probabilitanon ha associata alcuna densita.

Introduciamo inoltre, anche se in modo intuitivo, le densita di Janossy.Denotiamo la quantita

p t, nt0 (k1, t1; k2, t2, . . . , kn, tn ) , (B.12)

con t0 < t1 < t2, . . . , tn ≤ t e con ki che puo assumere valori nell’insiemeK = 1, 2, . . . , k, . . . ,mJ, come la densita di probabilita, rispetto allamisura di Lebesgue, detta densita di Janossy. La quantita (B.12) e ladensita di probabilita di avere un conteggio di tipo k1 intorno al tempo

78


t1, un conteggio di tipo k2 intorno al tempo t2 e cosı via, e nessun al-tro conteggio nel resto dell’intervallo (t0, t] (questo e il senso del termineesclusive).

Per normalizzazione delle densita in (B.12) si intendera che vale

∞∑n=1

∑k1,··· , kn

∫ t

t0

dt1

∫ t

t1

dt2 · · ·∫ t

tn−1

dtn pt, nt0 ( k1, t1; k2, t2, . . . , kn, tn )

= 1− P tt0

(0). (B.13)

Osserviamo che l’ordine degli integrali nella (B.13) e importante in quan-to stiamo calcolando la probabilita di avere dei conteggi su un insiemeordinato (t0, t], in cui si ha t0 < t1 < t2 <, · · · , tm ≤ t. Su questo insiemevogliamo la probabilita che un conteggio di tipo k1 cada prima di un con-teggio di tipo k2 e cosı via. Sono quindi integrali in torre in cui l’ordinerisulta essenziale.

La Proposizione 7.3.I in [8] garantisce che se il ground e un processoregolare allora le densita di Janossy esistono. In realta si potrebbe di-mostrare anche l’affermazione inversa, cioe che l’esistenza delle densita diJanossy implica la regolarita del ground process.

L’esistenza delle densita di Janossy garantisce che per piccoli intervallila probabilita di un conteggio sia proporzionale alla lunghezza dell’inter-vallo e che la probabilita di 2 o piu conteggi sia trascurabile.

Una volta introdotta la nozione di processo marcato di punto regolareN(t) possiamo richiamare la Proposizione 7.3.IV in [8] che garantisce ladeterminazione univoca della legge dei processi Nk(t) che compongonoN(t).

Proposizione B.7. Sia N(t = (N1(t), N2(t), . . . , Nk(t), . . . , NmJ (t) ) unprocesso di punto marcato regolare allora la legge dell’intero processo N(t)e univocamente determinata dalle intensita stocastiche I1(t), · · · , ImJ (t).

B.3 Tempi di conteggio

Prendiamo il k-esimo processo di conteggio Nk(t) e chiamiamo

T k1 , Tk2 , · · · (B.14)

i tempi di conteggio di tale processo. Chiamiamo inoltre

T1, T2, · · · (B.15)

i tempi di conteggio del ground process definito in B.2. Definiti i tempi(B.14) il processo Nk, presa la traiettoria ω, e della forma

Nk(t, ω) =∞∑n=1

1Tkn≤t(ω) =∞∑n=1

1(0, t](Tkn (ω)). (B.16)

79


L’idea e quella di sommare tanti 1 quanti sono i tempi di salto del processoNk prima del tempo t. La (B.16) fornisce Nk in funzione dei tempi diconteggio T kn ; viceversa, dato il processo di conteggio si possono ottenerei tempi di salto

T kn (ω) = inft : Nk(t, ω) ≥ n (B.17)

La nozione di regolarita della Definizione B.4, implica, in termini dei tempidi conteggio

P[T kn = T k′

n′ ] = 0 se (k, n) 6= (k′, n′). (B.18)

B.4 Processi di Poisson

Un particolare tipo di processo di conteggio e il processo di Poisson.Sia (Xn)n≥1 una successione di variabili aleatorie reali i.i.d. con legge

esponenziale di parametro λ (con λ > 0) e si ponga

Tn := X1 +X2 + · · ·+Xn (B.19)

per ogni n ≥ 1. Allora Tn ha legge Γ(n;λ). Per ogni numero reale t ≥ 0definiamo la variabile aleatoria N(t) a valori interi

N(t) :=∑n≥1

1Tn≤t. (B.20)

Il processo di conteggio N(t), t ≥ 0 cosı ottenuto si chiama processodi Poisson. Le variabili aleatorie esponenziali reali i.i.d. Xn sono gliintertempi del processo mentre Tn e il tempo d’attesa dell’n-esimo salto.

Una definizione equivalente e:

1 N(0) = 0

2 N(t)−N(s) ∼ Poiss (λ(t− s)), con 0 ≤ s < t

3 N(t1) − N(t0), N(t2) − N(t1), · · · , N(tm) − N(tm−1) sono variabilialeatorie indipendenti per ogni scelta dell’intero m e dei tempi t0 <t1 < · · · < tm.

Il punto 2 equivale a dire che

P[N(t)−N(s) = r] = exp−λ(t− s)(λ (t− s)

)rr!

.La variabile aleatoria N(t) ha legge di Poisson di parametro λ t per

ogni t > 0 ed in particolare P[N(t) = +∞] = 0 per ogni t ≥ 0.Prendiamo un PoissonN(t) di intensita λ allora si ha cheN(t)−λt e una

martingala. Posto I(t) = λ si ha, dalla Definizione B.4, che il processodi Poisson N(t) e un processo regolare con intensita deterministica λ ecompensatore Λ(t) = λ t.

80


Osservazione B.8. Si puo dimostrare che un processo di conteggio regolarecon intensita deterministica e costante nel tempo λ > 0 e un processo diPoisson.

Introduciamo inoltre un vettore di processi di Poisson indipendenti traloro

Np(t) :=

(Np

1 (t), Np2 (t), . . . , Np

k (t), . . . , NpmJ

(t)). (B.21)

Poiche la somma di Poisson indipendenti e ancora un processo di Poissonallora anche il ground process

Np(t) =

mJ∑k=1

Npk (t) (B.22)

associato al processo vettoriale (B.21) e regolare, con intensita λ, datadalla somma delle intensita delle componenti di Np(t). Questo implica,dalla Proposizione B.6, che anche il processo vettoriale N

p(t) e regolare.

Prendendo il valore atteso rispetto alla misura di probabilita teorica Qsi ha, analogamente a quanto dimostrato in modo euristico con la scrittura(B.10),

EQ[dNk(t) |Ft− ] = λk dt. (B.23)

Densita di Janossy per un processo di Poisson

Nel caso di un processo di Poisson le densita di Janossy, introdotte in(B.12) sono facilmente scrivibili. Prendiamo il ground Np(t) introdottoin (B.22). La probabilita di non avere nessun conteggio nell’intervallo ditempo (t0, t], denotata con Ptt0(0) nella notazione B.1, sara data da

Ptt0(0) = P[Np(t)−Np(t0) = 0 ] = e−λ (t−t0). (B.24)

Le densita di Janossy, introdotte in (B.12), saranno euristicamente

p t, nt0 (k1, t1; k2, t2, . . . , kn, tn ) ' 1∏nj=1 ∆tj

P[Np(t)−Np(t0) = n,

Npk1

(t1 + ∆t1)−Npk1

(t1) = 1, · · · , Npkn

(tn + ∆tn)−Npkn

(tn) = 1 ]

= e−λ (t−t0)

n∏j=1

λkj (B.25)

Possiamo verificare la proprieta di normalizzazione delle densita in(B.25) poiche si ha∑

k1,··· , kn

p t, nt0 (k1, t1; k2, t2, . . . , kn, tn ) = e−λ (t−t0)λn, (B.26)

∫ t

t0

dt1

∫ t

t1

dt2 · · ·∫ t

tn−1

dtn(e−λ (t−t0)λn

)= e−λ (t−t0)

(λ (t− t0)

)nn!

. (B.27)

81


Ora sommando su tutti gli n si ottiene∞∑n=1

e−λ (t−t0)

(λ (t− t0)

)nn!

= 1− e−λ (t−t0) = 1− P tt0

(0).

B.5 Calcolo stocastico con processi di conteggio

Per i calcoli e la teoria che sono svolti in questo lavoro di tesi e necessarial’introduzione del calcolo stocastico con i processi di conteggio e in parti-colare della scrittura della formula di Ito nel caso in cui, come quello chestiamo trattando, i processi in gioco non siano solo i processi di Wienerma anche i conteggi.

B.5.1 Integrale in dN(t)

Vogliamo dar senso all’integrale∫ t

0

a(s) dN(t) (B.28)

dove a(·) una funzione caglad e N(t) e un processo di conteggio regolarecon tempi di salto T1, T2, . . . , Tn, . . .

Tale integrale puo essere inteso come fatto a traiettoria fissata nel sensodi Stieljes; in altri termini e definito da∫ t

0

a(s) dN(t) =∑

0<s≤t

a(s)∆N(s). (B.29)

Nella (B.29) c’e una sommatoria su un indice continuo, 0 < s ≤ t, cheva intesa nel seguente modo: ∆N(s) risultera non nullo, traiettoria pertraiettoria, solo lı dove avviene il salto e quindi la somma continua haun effettivo incremento positivo solo in prossimita dei salti; e quindi, inrealta, una sommatoria su indice discreto.

Alla luce di questa interpretazione della scrittura (B.29) si ha∫ t

0

a(s) dN(t) =∑

n: 0<Tn≤t

a(Tn) (B.30)

dove Tn e l’ n-esimo tempo di salto del processo di conteggio N(t).Possiamo estendere il discorso appena fatto anche nel caso di un MPP,

con marca discretaN(t) = N1(t), N2(t), . . . , Nk(t), . . . , NmJ (t). In questocaso si avra, per ogni k ∈ K∫ t

0

a(s) dNk(s) =∞∑n=1

a(T kn )1(0,t](Tkn ) (B.31)

dove a(·) e, come prima, una funzione caglad e dove T kn e il tempo di salton-esimo del processo di conteggio regolare Nk(t).

82


B.5.2 Formula di Ito per processi di conteggio

Alla luce dell’interpretazione dell’integrale in dNk(t) svolta nella sezioneB.5.1 supponiamo ora di avere il processo

X(t) = X(0) +

∫ t

0

c(s) ds+∑j

∫ t

0

b(s) dWj(s) +∑k

∫ t

0

a(s) dNk(s),

(B.32)con Wj(t) processi di Wiener, con Nk(t) processi di conteggio con tempi disalto T k1 , T

k2 , . . . , T

kn , . . ., con N(t) processo di conteggio vettoriale regolare,

e con l’integrale in dNk(t) che va interpretato come in (B.31); gli integrandisono processi caglad.

Tabelle di Ito per processi di conteggio

Per processi della forma (B.32) la formula di Ito per il prodotto sarariassunta dalle seguenti tabelle di Ito.

dNk(t) dNh(t) = δkhdNk(t), dNk(t) dt = 0, dNk(t) dWj(t) = 0

dWi(t) dWj(t) = δijdt dt dWj(t) = 0. (B.33)

Le regole per gli incrementi dei conteggi traducono il fatto che, euristica-mente

∀ k, dNk(t) =

1, se c’e un salto nell’intervallo (t, t+ dt]0, altrimenti,

(B.34)

e che sono impossibili due salti, anche di tipo diverso, in un intervalloinfinitesimo.

La tabella (B.5.2) non basta pero per i calcoli che vogliamo svolgere inquesta tesi. Abbiamo bisogno anche della scrittura della formula di Itoper funzioni di processi della forma (B.32). Tale formula occorrera, nelcorso del nostro lavoro, solo per lo sviluppo di prodotti e per calcolareil differenziale di un processo esponenziale unidimensionale. Alla lucedi cio ne diamo una formulazione per una funzione f che non dipendeesplicitamente dal tempo e per un processo X(t) unidimensionale.

Presa f una funzione C2 complessa, grazie al Teorema 32 in [16], possia-mo scrivere la seguente formula di Ito estesa al caso con conteggio

f(X(t))− f(X(0)) =

∫ t

0

f ′(X(s−))dX(s)c

+∑j

1

2

∫ t

0

f ′′(X(s−)) d[X,X]cs +∑

0<s≤t

f(X(s))− f(X(s−))

(B.35)

dove d[X,X]cs =∑

j b(t)2dWj(t)

2 =∑

j b(t)2dt e la variazione quadratica

cioe, euristicamente, il differenziale al quadrato della sola parte continua

83


di X, mentre dX(s)c = c(t)dt+∑

j b(t)dWj(t) e il differenziale della sola

parte continua di X. La componente∑

0<s≤tf(X(s))−f(X(s−))

rap-

presenta la sommatoria degli incrementi del processo X in corrispondenzadei salti dei processi di conteggio Nk(t) ai tempi T k1 , T

k2 , . . . , T

kn , . . .; e ap-

parentemente una sommatoria continua ma puo essere facilmente espressacome∑

0<s≤t

f(X(s))− f(X(s−))

=∑

0<s≤t

∑k

f(X(s−) + a(s))− f(X(s−))

∆Nk(t)

=∑k

∫ t

0

f(X(s−) + a(s))− f(X(s−))

dNk(t)

=∑k

∑n: 0<Tkn≤t

f(X(T kn−) + a(T kn ))− f(X(T kn−))

. (B.36)

Allora per il nostro processo (B.32) la (B.35) diventa

f(X(t))− f(X(0)) =

∫ t

0

f ′(X(s−)) c(s)ds+∑j

b(s)dWj(s)

+1

2

∫ t

0

f ′′(X(s−))∑j

b(t)2ds+∑

0<s≤t

f(X(s))− f(X(s−))

=

∫ t

0

f ′(X(s−))c(s)ds+∑j

b(s)dWj(s)+1

2

∫ t

0

f ′′(X(s−))∑j

b(t)2s

+∑k

∑n: 0<Tkn≤t

f(X(T kn−) + a(T kn ))− f(X(T kn−))

. (B.37)

Applicazione della formula di Ito ad un processo esponenziale unidimen-sionale

Ci interessa applicare ora la teoria sul calcolo stocastico con conteggiappena introdotta e la formula di Ito (B.37) al processo

Xt := i∑j

∫ t

0

kj(s)dWj(s) + i∑k

∫ t

0

hk(s) dNk(s). (B.38)

Il risultato che otterremo da questa applicazione della formula di Ito estato spesso usato nel corso di questo lavoro.

Prendiamo f(Xt) funzione esponenziale complessa della forma

f(Xt) := exp Xt = exp

i∑j

∫ t

0

kj(s)dWj(s) + i∑k

∫ t

0

hk(s) dNk(s)

.

(B.39)

84


In questo caso valgono

d[X,X]ct = (i)2 1

2

m∑j=1

kj(t)2dt, dX(t)c = i

m∑j=1

kj(t)dWj(t).

Si ottiene allora

df(Xt) = f(Xt)

i

mR∑j=1

kj(t)dWj(t) + (i)2 1

2

mR∑j=1

kj(t)2dt

+

mJ∑k=1

f(Xt) eihk(t) − f(Xt)

dNk(t)

= f(Xt−)

i

mR∑j=1

kj(t)dWj(t)−1

2

mR∑j=1

kj(t)2dt

mJ∑k=1

eihk(t) − 1

dNk(t).

(B.40)

In modo euristico e istruttivo tale formula puo essere ottenuta dalla tabelladi Ito usando sviluppi in serie. Abbiamo, infatti

df(Xt) = f(Xt+dt)− f(Xt−)

= f(Xt−)

(exp

i

m∑j=1

kj(t)dWj(t) + i

mJ∑k=1

hk(t) dNk(t)

− 1

)

= f(Xt−)

(∞∑n=1

1

n !

i

m∑j=1

kj(t)dWj(t) + i

mJ∑k=1

hk(t) dNk(t)

n)

= f(Xt−)

(i

m∑j=1

kj(t)dWj(t) + i

mJ∑k=1

hk(t) dNk(t)

+1

2

(−

m∑j=1

kj(t)2dt+ (i)2

mJ∑k=1

hk(t)2 dNk(t)

)+

1

3 !(i)3

mJ∑k=1

hk(t)3 dNk(t)

+ · · ·+ 1

n !(i)n

mJ∑k=1

hk(t)n dNk(t) + · · ·

).

Quindi raccogliendo i termini si ha

df(Xt) = f(Xt−)

i

m∑j=1

kj(t)dWj(t)−1

2

m∑j=1

kj(t)2dt

+

mJ∑k=1

∞∑n=1

1

n !(ihk(t))n dNk(t)

85


e in conclusione

df(Xt) = f(Xt−)

i

m∑j=1

kj(t)dWj(t)−1

2

m∑j=1

kj(t)2dt

+

mJ∑k=1

(eihk(t) − 1

)dNk(t)

, (B.41)

che e la formula che otteniamo applicando il Teorema 32 in [16], comemostrato nella (B.40).

86

Appendice C

EDS funzionali

Introduciamo il Teorema 7, pag. 197 da [16] che viene utilizzato nel corsodi questo lavoro sia nel Teorema 2.7 della sezione 2.3 che nel Teorema 4.8della sezione 4.6.

C.1 Caso con Wiener e Poisson

Analizziamo il caso con componente diffusiva e con salti (rappresentatidai processi di Poisson) che e utilizzato nella sezione 2.3.

Teorema C.1. Dato un vettore di semimartingale Z = (Z1, Z2, · · · , Zd)con Z0 = 0, dati i processi Bi ∈ D, per 1 ≤ i ≤ n, e date le mappeF ij , Lipschitz funzionali, per 1 ≤ i ≤ n e 1 ≤ j ≤ d allora il sistema di

equazioni

X it = Bi

t +d∑j=1

∫ t

0

F ij (X)s− dZj

s per 1 ≤ i ≤ n (C.1)

ammette una soluzione in Dn che e unica per traiettorie.

Diamo senso di seguito a tutte le nozioni che appaiono nel TeoremaC.1.

Notazione C.1. Chiamiamo D l’insieme dei processi cadlag adattati.Denotiamo, inoltre, con Dn lo spazio dei processi X = (X1, X2, · · · , Xn),dove ogni Xi ∈ D, per 1 ≤ i ≤ n.

La definizione del termine semimartingala e piu complessa e introdurlain modo rigoroso non rientra nello scopo di questo lavoro. Puo comunqueessere trovata nella Definizione a pag. 44 di [16]. L’idea di fondo e cheuna semimartingala e un processo cadlag, adattato e che ha la proprietadi essere un buon integratore.

Introduciamo di seguito due teoremi (Teorema 7, 8 pag. 47 di [16]) chesono condizioni sufficienti in grado di garantire che i processi che entrano

87

Capitolo C. EDS funzionali

in gioco nel caso di cui ci stiamo interessando siano effettivamente dellesemimartingale.

Teorema C.2. Ogni processo adattato con cammini cadlag a variazionefinita e una semimartingala.

Ne segue che t e una semimartingala.

Teorema C.3. Ogni martingala quadrato integrabile con cammini cadlage una semimartingala.

Ne segue che Wj e Nk (processi di Poisson con intensita λk) sonosemimartingale.

Ci interessa introdurre ora le nozioni fondamentali per verificare chel’EDS lineare con componente diffusiva e con salti (2.40) rientra nelleipotesi del Teorema C.1 e che quindi quest’ultimo ne dimostra l’esistenzae l’unicita per traiettorie della soluzione come enunciato nel Teorema 2.7della sezione 2.3.

Nel caso dell’EDS lineare (2.40) il vettore Z sara

Z = (t, W1, W2, · · · ,WmR , N1, N2, · · · , NmJ ) (C.2)

dove d := 1 + mR + mJ mentre l’indice i sara l’indice degli elementi dimatrice di σ ∈ Mn. I processi Bi ∈ D si riducono nel nostro casobanalmente alla condizione iniziale σ0 = ρ ∈ Mn . I coefficienti Fj sonoinvece le componenti del vettore

F =

(L, R1, R2, · · · , RmR ,(

J1

λ1

− Idn

),

(J2

λ2

− Idn

), · · · ,

(JmJλmJ

− Idn

))(C.3)

di cui prendo l’elemento di matrice i- esimo. Seguendo la scritture matri-ciale σ, questi maps Fj si applicano a σt come segue

• F1(σ)t− = L(t)[σt−],

• F2(σ)t− = R1(t)[σt−],

• F3(σ)t− = R2(t)[σt−],

· · ·

Sui i coefficienti F ij e richiesto che siano Lipschitz funzionali. Si veda

in merito la Definizione che segue

Definizione C.4. Un operatore da Dn a D e detto Lipschitz funzionale seper ogni X e Y , processi in Dn, sono soddisfatte le due seguenti condizioni

1. per ogni tempo d’arresto T , XT− = Y T− implica F (X)T− = F (Y )T−

88


2. esiste un processo crescente a valori finiti K = (Kt )t≥0 tale che

|F (X)t − F (Y )t| ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|, (C.4)

quasi certamente, per ogni t ≥ 0.

Osservazione C.5. Richiedere di lavorare nell’insieme D dei processi adat-tati e cadlag impone una buona regolarita sui coefficienti che fa le vecidella richiesta della sub-linearita tipica dei teoremi classici di esistenza edunicita della soluzione per EDS.

Nel nostro caso le due richieste sui coefficienti della Definizione C.4sono soddisfatte. Infatti se XT− = Y T−, ricordando le assunzioni dellasezione 2.2 sui coefficienti H(t), Ll(t), Rj(t), V

rk (t) e Jk(t), ossia che sono

operatori lineari su H (matrici n × n), continui da sinistra e con limitifiniti da destra, ne discende che Fj(X)T− = Fj(Y )T− quasi certamente,per ogni j ≤ d.

Componente per componente la (C.4) diventa

|Fj(X)t − Fj(Y )t| ≤ Kjt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|, (C.5)

prendendone i quadrati a destra e sinistra e sommando su tutte le j si ha

|F (X)t − F (Y )t| ≤

√√√√ d∑j=1

(Kjt )

2(

sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|)2

≤d∑j=1

Kjt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys| ≤ d k sups∈ [0, t]

|Xs − Ys| (C.6)

dove k := max1≤j≤dKjt . Verificare, quindi, la (C.4) della Definizione

C.4 globalmente per il vettore F oppure separatamente per ogni suacomponente e la stessa cosa. Posso allora considerare

| L(t)[Xt−]− L(t)[Yt−] | ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys| (C.7)

che discende dalla stima (2.25); mentre, per 1 ≤ j ≤ mR

|Rj(t)[Xt−]−Rj(t)[Yt−]| ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|, (C.8)

discende dalla stima (2.26). Infine per i coefficienti della parte dei processidi Poisson Nk(t) si ha, per 1 ≤ j ≤ mJ∣∣∣∣(Jj(t)[Xt−]

λj−Xt−

)−(Jj(t)[Yt−]

λj− Yt−

)∣∣∣∣ ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|,

(C.9)

89


che discende dalla stima

‖Jk(t)[τ ]‖2 =

∥∥∥∥∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗∥∥∥∥

2

≤∑r

∥∥V rk (t)τV r

k (t)∗∥∥

2

≤∑r

∥∥V rk (t)∗V r

k (t)∥∥‖τ‖2 =

∥∥Jk(t)∥∥‖τ‖2. (C.10)

Ci interessa controllare la stima (C.10) su tutti i tempi t ≤ T . A tal finecalcolo

‖Jk(t)[τ ]‖2 ≤ ‖Jk(t)[τ ]‖1 = ‖∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗‖1

= supa∈Mn: ‖a‖∞=1

|Tra∑r

V rk (t)τV r

k (t)∗|

≤ ‖τ‖1 supa∈Mn: ‖a‖∞=1

|Tr∑r

V rk (t) a V r

k (t)∗| ≤ ‖τ‖1‖Jk(t)‖∞. (C.11)

E’ sufficiente quindi richiamare l’Osservazione 2.3, grazie alla quale si hasupt∈[0,T ] ‖

∑k Jk(t)‖∞ < +∞, per ottenere che la (C.9) e verificata.

C.2 Caso con soli Wiener

Analizziamo ora il caso con sola componente diffusiva che e utilizzatonel corso di questo lavoro nel Teorema 4.8 della sezione 4.6. Ci interes-sa, all’interno della dimostrazione del Teorema 4.8, dare un risultato diesistenza e unicita per l’EDS

ρ(2)t = ρT1 +

∫ t

T1

f(ρ(2)s) ds+

mR∑j=1

∫ t

T1

nj(s, ρ(2)s) dWj(s) (C.12)

dove la condizione iniziale ρT1 e un processo cadlag.Vogliamo utilizzare il Teorema C.1, adattato proprio al caso dell’e-

quazione (C.12). Si rendera necessario, per fare cio, riscrivere l’equazione(C.12) in modo tale che gli estremi dell’integrale non siano tempi random.Abbiamo quindi la seguente scrittura equivalente alla (C.12)

ρ(2)t = ρ(1)T1∧t +

∫ t

0

1(T1,∞)(s)f(ρ(2)s) ds

+

mR∑j=1

∫ t

0

1(T1,∞)(s) nj(s, ρ(2)s) dWj(s) (C.13)

dove la scrittura ρ(1)T1∧t sta ad indicare un processo cadlag che assumeper ogni t ≥ T1 il valore che ρ(1) ha assunto in T1; cioe che per ogni t <T1, ρ(1)T1∧t e la soluzione dell’equazione nell’intervallo [0, T1), mentre per

90


t ≥ T1 resta costante al valore ρ(1)T1 . All’equazione (C.13), equivalentealla (C.12), possiamo ora applicare il Teorema 4.8, in quanto i tempi degliintegrali in gioco sono deterministici. Il processo B ∈ D gioca, ora, unruolo fondamentale; e infatti ρ(1)T1∧t in cui sono incluse le prescrizioni diρ in prossimita dei tempi di salto. In questo secondo caso il vettore Z sara

Z = (t, W1, W2, · · · ,WmR) (C.14)

dove d := 1 + mR mentre l’indice i sara l’indice degli elementi di matricedi σ ∈Mn. I coefficienti Fj sono le componenti del vettore

F =(1(T1,∞) f, 1(T1,∞) n1, 1(T1,∞) n2, · · · , 1(T1,∞) nmR ,

)(C.15)

Seguendo la scrittura matriciale ρ, questi maps Fj si applicano a ρ(2) comesegue

• F1(ρ(2)t) = 1(T1,∞)(t) f(ρ(2)t)

• F2(ρ(2)t) = 1(T1,∞)(t) n1(t, ρ(2)t),

• F3(ρ(2)t) = 1(T1,∞)(t) n2(t, ρ(2)t),

· · ·

Con

F1(ρ(2)t) = 1(T1,∞)(t)f(ρ(2)t)

= 1(T1,∞)(t)

(L(t)[ρ(2)t] +

mJ∑k=1

(TrJk(t)[ρ(2)t]ρ(2)t

‖ρ(2)t‖1

− Jk(t)[ρ(2)t]

))≤ f(ρ(2)t) (C.16)

F2(ρ(2)t) = 1(T1,∞)(t)n1(t, ρ(2)t)

= 1(T1,∞)(t)

(R1(t)[ρ(2)t]−

TrR1(t)[ρ(2)t]‖ρ(2)t‖1

ρ(2)t

)≤ n1(t, ρ(2)t)

(C.17)

Sui coefficienti F ij e richiesto, come gia visto che siano Lipschitz funzionali.

Quello che bisogna andare a verificare e che

|F1(Xt−)− F1(Yt−) | = | (1(T1,∞)(t))(f(Xt−)− f(Yt−)

)|

= 1(T1,∞)(t)| f(Xt−)− f(Yt−) | ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys|, (C.18)

|F2(Xt−)− F2(Yt−) | = |(1(T1,∞)(t))(n1(t,Xt−)− n1(t, Yt−)

)|

= 1(T1,∞)(t)| n1(t,Xt−)− n1(t, Yt−) | ≤ Kt sups∈ [0, t]

|Xs − Ys| (C.19)

91


e cosı via.Le disuguaglianze (C.18) e (C.19) per i coefficienti F i

j si verificano inmodo del tutto analogo a quanto svolto nella sezione C.1 facendo uso,essenzialmente, delle stime proposte nella dimostrazione del Teorema 4.5.

E’ quindi possibile applicare, sulla base delle considerazioni appenasvolte, il Teorema C.1 all’equazione (C.13).

Osservazione C.6. Potremmo chiederci se e possibile applicare diretta-mente il Teorema C.1 all’EDS non lineare

ρt = ρ+

∫ t

0

(L(s)[ρs−] +

mJ∑k=1

(TrJk(s)[ρs−]ρs−

‖ρs−‖1

− Jk(s)[ρs−]

))ds

+

mR∑j=1

∫ t

0

nj(s, ρs−) dWj(s)

+

mJ∑k=1

∫ t

0

∫R+

(‖ρs−‖1 Jk(s)[ρs−]

‖Jk(s)[ρs−]‖1

− ρs−)1

0≤x≤ ‖Jk(s)[ρs−]‖1‖ρs−‖1

µk(ds, dx).

(C.20)

esattamente come abbiamo fatto per la master equation stocastica linearenel Teorema 2.7 della sezione 2.3.

La risposta a questa domanda e no in quanto il coefficiente della partecon salti non risulta essere Lipschitz funzionale a causa della presenza deltermine

10≤x≤ ‖Jk(t)[ρt−]‖1

‖ρt−‖1

,che e una funzione indicatrice che dipende non dal tempo t, come ac-cade nei coefficienti del vettore F in (C.15), bensı dall’incognita stessadell’equazione ρt.

92

Bibliografia

[1] P. Baldi, Equazioni differenziali stocastiche e applicazioni, QuadernoUMI 28 (Pitagora, Bologna, 2000).

[2] A. Barchielli, Some stochastic differential equations in quantum op-tics and measurement theory: the case of counting processes, inL. Diosi, B. Lukacs (eds.), Stochastic Evolution of Quantum Statesin Open Systems and in Measurement Processes (World Scientific,Singapore, 1994) pp. 1–14.

[3] A. Barchielli, V. P. Belavkin, Measurements continuous in time anda posteriori states in quantum mechanics, J. Phys. A: Math. Gen.24 (1991) 1495–1514; arXiv:quant-ph/0512189.

[4] A. Barchielli, M. Gregoratti, Quantum Trajectories and Measure-ments in Continous Time - The diffusive case, To apperar in LectureNotes in Physics.

[5] A. Barchielli, A. S. Holevo, Constructing quantum measurement pro-cesses via classical stochastic calculus, Stoch. Proc. Appl. 58 (1995)293–317.

[6] A. Barchielli, G. Lupieri, Information gain in quantum continualmeasurements, in V. P. Belavkin and M. Guta, Quantum Stochasticand Information (World Scientific, Singapore, 2008) pp. 325–345;arXiv:quant-ph/0612010v1.

[7] A. Barchielli, A. M. Paganoni, F. Zucca, On stochastic differen-tial equations and semigroups of probability operators in quantumprobability, Stochastic Process. Appl. 73 (1998) 69–86.

[8] D.J. Daley, D. Vere-Jones An Introduction to the Theory of PointProcess, volume I: Elementary Theory and Methods, (Springer, NewYork, 2005).

[9] N. Ikeda, S. Watanabe Stochastic Differential Equations andDiffusion Processes, (North-Holland/Kodansha, Tokyo, 1981).

[10] J. Jacod, P. Protter, Quelques remarques sur un nouveau type d’e-quations differentielles stochastiques. In eminar on Probability, XVI,

93

Bibliografia

volume 920 of Lecture Notes in Math., pag 447-458. Springer, Berlin,1982.

[11] Yu.M. Kabanov, R.Sh. Liptser, A.N. Shiryayev, Absolute conti-nuity and singularity of locally absolutely continuous probabilitydistributions, I. Math. URSS Sbornik 35, (1979), pp. 631-680.

[12] R. Sh. Liptser, A. N. Shiryayev, Theory of Martingales (Kluwer,Dordrecht, 1989).

[13] C. Pellegrini, Existence, uniqueness and approximation of stochasticSchrodinger equation: the diffusive case (2007) arXiv:0709.1703v1[math.PR]. To apperar in Ann. Probab.

[14] C. Pellegrini, Existence, Uniqueness and Approximation of aStochastic Schrodinger Equation: the Poisson Case, (2007),arXiv:0709.3713v1 [math.PR].

[15] C. Pellegrini, Markov chains approximations of jump-diffusionquantum trajectories (2008) arXiv:0803.2593v1 [math.PR].

[16] P. Protter, Stochastic Integration and Differential Equations,Applications of Mathematics 21 (Springer, Berlin, 1990).

[17] P. Protter, Probability Essentials (Springer, Berlin, 2004).

94

Ringraziamenti

.

Questo lavoro di tesi non ci sarebbe senza la pazienza e la costanza delProf. Barchielli a cui va un grazie sentito.

Ringrazio inoltre, in ordine sparso, Dino, Enza, Irene, la mia famigliatutta, i miei nonni in particolar modo, i miei amici del sud e quelli del

nord, le mie coinquiline ed i miei ragazzi scout.Ognuno di loro sa il perche.

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