บทท 8 สมการเชงอนพนธยอย

สมการเชงอนพนธยอยกเปนตวแบบทางคณตศาสตรอยางหนงทสามารถน ามาประยกตในการแกปญหาทางวทยาศาสตรไดเปนอยางด ดงนนในบทนจะกลาวถงสมการเชงอนพนธของฟงกชนสองตวแปรทมความสมพนธในรปของอนพนธยอยโดยเฉพาะสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง เนอหาจะประกอบดวยรปแบบของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง วธการหาผลเฉลย และปญหาทางวทยาศาสตรทน าสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองไปใชแก ปญหา นนคอ สมการคลนใน 1 มต สมการความรอนในหนงมตและสมการลาปลาซใน 2 มต

8.1 ความหมายของสมการเชงอนพนธยอย ส าหรบฟงกชนตงแต 2 ตวแปรเปนตนไป สามารถหาอนพนธยอยของฟงกชนได เชน

ฟงกชนu f (x,y,z) จะมอนพนธยอยเปน 2 2 2

2 2 2

u u u u u u, , , , ,

x y z x y z

เปนตน ดงนน

สมการเชงอนพนธยอย(partial differential equations)กจะเปนสมการทประกอบดวยอนพนธยอยอนดบตาง ๆ สมการยอยทปรากฏอยในวชาวทยาศาสตรมกจะเปนปญหาทเกยวกบการสน(vibrations)การกระจาย อณหภม (temperature distributions) และศกย (potentials) เปนตน และสมการเชงอนพนธยอยทพบจะเปนสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองอยางงายนนคอจะมรปแบบของสมการคอ xx xy yy x yAu Bu Cu Du Eu Fu G (พรชย สาตรวาหา , 2545) โดยท u f (x,y) , A , B , C , D , E , F และ G เปนฟงกชนของตวแปรx และ y ถา G 0 จะเรยกสมการเชงอนพนธดงกลาววาเปนสมการแบบเอกพนธ แต ถา G 0 จะเปนสมการแบบไมเอกพนธ ตวอยางของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองทส าคญมดงน คอ

1) 2 2

2

2 2

u uc

t x

เรยกวาสมการคลนใน 1 มต ( one-dimensional wave equation)

2) 2

2

2

u uc

t x

เรยกวาสมการความรอนใน 1 มต ( one-dimensional heat equation)

3) 2 2

2 2

u u0

x y

เรยกวาสมการลาปลาซใน 2มต (two-dimensional Laplace equation)

428

4) 2 2 2

2

2 2 2

u u uc

t x y

เรยกวาสมการคลนใน 2 มต ( two-dimensional wave

equation)

5) 2 2 2

2 2 2

u u u0

x y z

เรยกวาสมการลาปลาซใน 3 มต (three-dimensional Laplace

equation) โดยท c เปนคาคงท t เปนเวลา x , y และ z เปนตวแปรอสระในระบบพกดคารทเซยน และมตกจะเปนจ านวนของตวแปรอสระ จะเหนวาสมการเชงอนพนธยอยทง 5 สมการขางตนเปนสมการแบบเอกพนธทงหมด นอกจากสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองทกลาวมาแลว ยงมสมการเชงอนพนธ ยอยทอยในรปอน ๆ อก เชน xxu 0 , xu u 0 หรอ xyu xy เปนตน

8.2 ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยส าหรบบางบรเวณ R กจะเปนฟงกชนทท าใหอนพนธ

ยอยทงหมดทปรากฏในสมการหาคาไดในบรเวณ R และทกอนพนธยอยจะสอดคลองกบสมการ เชงอนพนธดงกลาว ผลเฉลยของสมการเชงอนพนธบางสมการอาจจะเปนฟงกชนทสอดคลองกบบรเวณทใหญมากกได เชน ฟงกชนทอยในรป 2 2u x y , xu e sin y หรอ

2 2u ln(x y ) เปนตน สมบตทส าคญของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสนทไดกลาวไวแลวจากบทกอน ๆ กคอ ถา 1u และ 2u เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยแบบเอกพนธบนบรเวณ R แลว จะได 1 1 2 2u c u c u จะเปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยดงกลาวดวย โดยท 1c และ

2c เปนคาคงท ซงสมบตดงกลาวนจะน ามาใชในการอธบายผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย เชงเสนอนดบสองเปนอยางมาก ตวอยางท 8.1 จงแสดงวา x xe , e และ x xAe Be โดยท A และ B คอคาคงท เปนผลเฉลยของ

สมการเชงอนพนธยอย 2

2

uu 0

x

วธท า ก าหนดให xu(x, y) e ดงนน xue

x

และ

2x

2

ue

x

จะไดวา 2

x x

2

uu e e 0

x

429

แสดงวา xu(x, y) e เปนผลเฉลยของสมการ 2

2

uu 0

x

ถา xu(x, y) e ดงนน xue

x

และ

2x

2

ue

x

จะไดวา 2

x x

2

uu e e 0

x

แสดงวา xu(x, y) e เปนผลเฉลยของสมการ 2

2

uu 0

x

และถา x xu(x, y) Ae Be ดงนน x xuAe Be

x

และ

2x x

2

uAe Be

x

จะไดวา 2

x x x x

2

uu (Ae Be ) (Ae Be ) 0

x

แสดงวา x xu(x, y) Ae Be เปนผลเฉลยของสมการ 2

2

uu 0

x

#

จากตวอยางท 8.1 จะเหนวาสมการเชงอนพนธยอย 2

2

uu 0

x

เปนสมการเชง

อนพนธยอยเชงเสนอนดบสองแบบเอกพนธซงมผลเฉลยอยในรป x xu(x, y) Ae Be ส าหรบ A , B ทเปนคาคงทใด ๆ แตส าหรบ A , B ทเปนฟงกชนของ y กจะเปนผลเฉลยของ สมการดงกลาวเชนเดยวกน นนคอจะไดวา

x xu(x, y) A(y)e B(y)e เปนผลเฉลยของสมการ 2

2

uu 0

x

ดวย

ตวอยางท 8.2 จงแสดงวา yu(x, y) f (x)e g(y) เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย xy xu u 0 วธท า เนองจาก yu(x, y) f (x)e g(y) ดงนน y

xu f (x)e และ y yxyu f (x) e f (x) e

นนคอ y yxy xu u f (x) e f (x) e 0 เปนจรง

แสดงวา yu(x, y) f (x)e g(y) เปนผลเฉลยของสมการ xy xu u 0 #

ตวอยางท 8.3 ถา 1u(x, t) sin9t sin x

4 เปนผลเฉลยของสมการคลนใน 1 มต

2 2

2

2 2

u uc

t x

จงหาคาของ c

วธท า เนองจาก 1u(x, t) sin9t sin x

4

430

ดงนน u 19cos9t sin x

t 4

และ

2

2

u 181sin9t sin x

4t

และ u 1 1sin9t cos x

x 4 4

และ

2

2

u 1 1sin9t sin x

16 4x

แทนคาในสมการเชงอนพนธจะได 21 1 181sin9t sin x c sin9t sin x

4 16 4

นนคอ 2c 81 16 ดงนน c 36 # ตวอยางท 8.4 ถา 4tu(x, t) e cos3x เปนผลเฉลยของสมการความรอนใน 1 มต

2

2

2

u uc

t x

จงหาคาของ c

วธท า เนองจาก 4tu(x, t) e cos3x

ดงนน 4tu4e cos3x

t

และ 4tu3e sin3x

x

และ

24t

2

u9e cos3x

x

แทนคาในสมการเชงอนพนธจะได 4t 2 4t4e cos3x c 9e cos3x

นนคอ 2 4c

9 ดงนน 2

c3

#

ตวอยางท 8.5 จงแสดงวา xu(x, y) e sin y เปนผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต

2 2

2 2

u u0

x y

วธท า เนองจาก xu(x, y) e sin y

ดงนน xue sin y

x

และ

2x

2

ue sin y

x

และ xue cos y

y

และ

2x

2

ue sin y

y

นนคอ 2 2

x x

2 2

u ue sin y e sin y 0

x y

เปนจรง

แสดงวา xu(x, y) e sin y เปนผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต 2 2

2 2

u u0

x y

#

8.3 การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย เนองจากสมการเชงอนพนธยอยทกลาวถงสวนใหญคอสมการเชงอนพนธยอยเชงเสน

อนดบสอง ดงนนเนอหาทจะกลาวถงตอไปนจงเปนการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอย

431

เชงเสนอนดบสองทมสมประสทธเปนคาคงทและเปนสมการแบบเอกพนธ ซงสามารถหาผลเฉลยไดหลายแบบ แตในทนจะแสดงวธการหาผลเฉลยแบบแยกตวแปร แตกอนทจะทราบวธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองแบบแยกตวแปร จะพจารณาการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยทอยในรปสมการเชงอนพนธสามญกอนดงน คอ (บรอนสน , 2542) ตวอยางท 8.6 จงหาผลเฉลยของสมการ yu u 0

วธท า จากสมการ yu u 0 หรอ uu

y

นนคอ u

yu

จะไดวา 1lnu y c (x) หรอ yu c(x)e ดงนนผลเฉลยของสมการ yu u 0 คอ yu(x, y) c(x)e # ตวอยางท 8.7 จงหาผลเฉลยของสมการ xy xu u 0 วธท า สมมตให xu p จะไดวา xy yu p แทนคาในสมการเชงอนพนธ จะได

yp p 0 หรอ pp

y

นนคอ p

yp

และจะไดวา 1lnp y c (x)

จะได yp c(x)e ดงนน yxu c(x)e

อนทเกรตทงสองขาง จะได y yu c(x)e dx e c(x)dx นนคอ yu f (x)e g(y) โดยท f (x) c(x)dx # จากสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง ซงมรปทวไป คอ xx xy yy x yAu Bu Cu Du Eu Fu 0 โดยทA , B, C , D , E และ F เปน จ านวนจรงหรอเปนสมการทมสมประสทธเปนคาคงท สามารถแบงไดเปน 3 ชนด คอ

1) สมการเชงไฮเพอรโบลา (hyperbolic) ถา 2B 4AC 0 2) สมการเชงพาราโบลา (parabolic) ถา 2B 4AC 0 3) สมการเชงวงร (elliptic) ถา 2B 4AC 0

ตวอยางท 8.8 จงพจารณาสมการคลนใน 1 มต 2 2

2

2 2

u uc

t x

วาเปนสมการเชงไฮเพอรโบลา

เชงพาราโบลา หรอเชงวงร

วธท า จดสมการใหอยในรปทวไป 2 2

2

2 2

u uc 0

t x

จะไดวา 2A 1, C c และ

432

B D E F 0 ดงนนจะไดวา

2 2 2 2B 4AC 0 4(1)( c ) 4c 0

นนคอสมการสมการคลนใน 1 มต 2 2

2

2 2

u uc

t x

วาเปนสมการเชงไฮเพอรโบลา #

และพจารณาในท านองเดยวกนจะไดวา สมการความรอนใน 1 มต 2

2

2

u uc

t x

เปน

สมการเชงพาราโบลา และสมการลาปลาซใน 2 มต 2 2

2 2

u u0

x y

เปนสมการเชงวงร

วธการหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองแบบแยกตวแปรหรออาจจะ

เรยกอกอยางหนงวาวธผลคณ มวธการดงน คอ ถาก าหนดให u(x,y) เปนผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง

จะสามารถเขยน u(x,y) F(x) G(y) เมอ F เปนฟงกชนของตวแปร x เพยงอยางเดยว และ G เปนฟงกชนของตวแปร y เพยงอยางเดยว เชน xu(x, y) e sin y จากตวอยางท 8.2 เปนผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต ซง xF(x) e และ G(y) sin y เปนตน จากการท u(x,y) F(x) G(y) ซงอยในรปของผลคณของ 2 ฟงกชน ขนตอไปคอหาสมการเชงอนพนธยอยใหเปนสมการเชงอนพนธสามญ 2 สมการ ดงตวอยางตอไปน

ตวอยางท 8.9 จงหาผลเฉลยของสมการ 2 2

2 2

u u0

x y

……………(1)

วธท า สมมตให u(x,y) F(x) G(y)

ดงนน uF (x) G(y)

x

และ

2

2

uF (x) G(y)

x

และ uF(x) G (y)

y

และ

2

2

uF(x) G (y)

y

แทนคาในสมการ (1) จะได F (x) G(y) F(x) G (y) 0 ………….(2) น า F(x) G(y) หารสมการ (2) ทงสองขาง จะได

F (x) G (y)0

F(x) G(y)

………….(3)

จะเหนวา F (x)

F(x)

เปนเทอมทอยในรปของตวแปร x เพยงอยางเดยว และ G (y)

G(y)

เปน

เทอมทอยในรปของตวแปร y เพยงอยางเดยว ดงนนจะไดวา F (x)

F(x)

และ

433

G (y)

G(y)

โดยท จะตองเปนคาคงท นนคอ

F (x) F(x) ………… (4) G (y) G(y) ………… (5) ซงเปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสอง และจะพจารณาผลเฉลยในแตละกรณของ กรณท 1 ถา 0 จากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (4) ดงน จากสมการ F (x) F(x) หรอ y y 0 ซงเทยบกบสมการ y py qy 0 จะได p 0 และ q ดงนนสมการชวยจะเปน 2m 0 นนคอ m , จะไดผลเฉลยทวไปของสมการ (4) คอ x x

1 2F(x) A e A e , 1A และ 2A เปนคาคงท และท านองเดยวกนจากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (5) สมการชวยจะเปน 2m 0 นนคอ m i , i จะไดผลเฉลยทวไปของสมการ (5) คอ 3 4G(y) A cos y A sin y , 3A และ

4A เปนคาคงท กรณท 2 ถา 0 จากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (4) และ (5) จะไดผลเฉลยทวไปในรป 5 6F(x) A x A และ 7 8G(y) A y A ตามล าดบ โดยท 5 6 7A , A , A และ 8A เปนคาคงท กรณท 3 ถา 0 จากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (4) และ (5) จะไดผลเฉลยทวไปในรป 9 10F(x) A cos x A sin x และ

y y11 12G(y) A e A e ตามล าดบ โดยท 9 10 11A , A , A และ 12A เปนคาคงท

ดงนนสามารถสรปไดวา ผลเฉลยทวไปของสมการ 2 2

2 2

u u0

x y

โดยท

u(x,y) 0 คอ

x x

1 2 3 4

5 6 7 8

y y9 10 11 12

(A e A e )(A cos y A sin y) , 0

u(x,y) (A x A )(A y A ) , 0

, 0(A cos x A sin x)(A e A e )

และส าหรบสมการเชงอนพนธทก าหนดเงอนไขคาขอบและเงอนไขคาเรมตนสามารถหาผลเฉลยเจาะจง ไดดงตวอยางตอไปนคอ

434

ตวอยางท 8.10 ก าหนดให 2 2

2 2

u u0

x y

, u(0,y) 0 , u(L,y) 0 และ u(x,0) 0

จงหาผลเฉลยเจาะจง วธท า จากการแกสกมารเชงอนพนธในตวอยางท 8.9 จะไดวา 1) ถา 0 จะได 1 2 3 4u(0, y) (A A )(A cos y A sin y) 0 นนคอ 1 2A A 0 และ L L

1 2 3 4u(L,y) (A e A e )(A cos y A sin y) 0 นนคอ L L

1 2A e A e 0 จากการแกระบบสมการ แทนคา 2 1A A จะได L L

1 1A e A e 0 L L

1A (e e ) 0 นนคอจะได 1A 0 และ 2A 0 ท าให u(x,y) 0 ซงไมใชค าตอบ 2) ถา 0 จะได 6 7 8u(0,y) A (A y A ) 0 จะได 6A 0 และ 5 6 7 8u(L,y) (A y A )(A y A ) 0 นนคอ 5 6A y A 0 ท าให 5A 0 ดงนน จะได u(x,y) 0 ซงไมใชค าตอบ 3) ถา 0 จะได 9u(0,y) A 0 และ y y

9 10 11 12u(L,y) (A cos L A sin L)(A e A e ) 0 หรอ y y

10 11 12(A sin L)(A e A e ) 0 เนองจาก u(x,0) 0 กตอเมอ sin L 0 นนคอ

L n , n 1, 2 , 3 , ... หรอ n

L

ดงนน 9 10 11 12u(x,0) (A cos x A sin x)(A A ) 0 จะไดวา 11 12A A 0 หรอ 12 11A A ดงนนจะไดผลเฉลยหนงของสมการเชงอนพนธทสอดคลองกบเงอนไขคาขอบและคา

เรมตน คอ n n

y yL L

10 11 11

nu(x, y) A sin x(A e A e ) , n 1, 2 , 3 , ...

L

n n

y yL L

10 11

nA A sin x(e e )

L

เนองจากสามารถเขยน n n

y yL Le e

ใหอยในรป nsinh y

L

ดงนน

n n

n nu (x,y) A sin x sinh y

L L

และจากสมบตของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน จะไดวา สมการผลเฉลยเปน

n

n 1

u(x, y) u (x, y)

n n

n 1

n nA sin x sinh y , A

L L

เปนคาคงท

435

8.4 อนกรมฟเรยร

การหาผลเฉลยของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง อาจจะไดสมการอยในรป

ของอนกรมฟเรยร (Fourier series) ซงมบทนยามดงน คอ (วมลรตน งามอรามวรางกร, 2546)

บทนยาม 8.1 ก าหนดให f (x) , L x L เปนฟงกชนจรง อนกรมฟเรยรของ f คอ

0 n n

n 1

n nA A cos x B sin x

L L

โดยท

L

0

L

1A f (x)dx

2L

L

n

L

1 nA f (x)cos xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

และ

L

n

L

1 nB f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

บทนยาม 8.2 ก าหนดให f (x) , L x L เปนฟงกชนค ( even function) ถา f (x) f ( x) , L x L และเปน ฟงกชนค ( odd function) ถา

f ( x) f (x) , L x L ตวอยางท 8.11 ก าหนดให f (x) x , L x L จงหา อนกรมฟเรยรของ f

วธท า เนองจาก f (x) x จะไดวา f ( x) x f (x) จงท าให f เปนฟงกชนค จากบทนยามของอนกรมฟเรยรของ f จะไดวา

LL L 2

0

L L L

1 1 1 xA f (x)dx xdx 0

2L 2L 2L 2

L

n

L

1 nA xcos xdx 0

L L

เนองจาก f เปนฟงกชนค

และ L L

n

L 0

1 n 2 nB xsin xdx xsin xdx

L L L L

ใชวธการอนทเกรตแบบแยกสวนให u x จะได du dx

และ ndv sin xdx

L

จะได L n

v cos xn L

436

ดงนน L L

n

0 0

2 Lx n L nB cos x cos xdx

L n L n L

L2

0

2 L L L ncosn sin x

L n n n L

22 L L L L

cosn sinn sin0L n n n n

22 L n

cosL n L

2Lcosn

n

n 1 2L( 1)

n

ดงนนอนกรมฟเรยรของ f (x) x , L x L คอ n 1

n 1

2L ( 1) nsin x

n L

หรออาจจะเขยนในรปของการแจกแจงเปน 2L 1 2 1 3sin x sin x sin x ...

L 2 L 3 L

#

ส าหรบฟงกชนคาบ สามารถเขยนในรปของอนกรมฟเรยรไดเชนกน ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 8.12 จงหาอนกรมฟเรยรของฟงกชนคาบทอยในรป

k , x 0f (x)

k , 0 x

และ f (x 2 ) f (x)

วธท า เนองจากอนกรมฟเรยรอยในรปของ 0 n n

n 1

n nA A cos x B sin x

L L

แทนคา L จะไดวา อนกรมอยในรป 0 n n

n 1

A A cosnx B sin nx

นนคอ 0

0

0

1 1A f (x)dx ( k)dx kdx

2 2

0

0

1 1kx kx k k 0

2 2

0

n

0

1 1A f (x)cosnxdx ( k)cosnxdx kcosnxdx

0

0

1 sin nx sin nxk k 0

n n

0

n

0

1 1B f (x)sin nxdx ( k)sin nxdx ksin nxdx

437

0

0

1 cosnx cosnxk k

n n

1 k k k kcosn cosn

n n n n

2k(1 cosn )

n

ดงนนอนกรมฟเรยรของฟงกชน f คอ n 1

2k (1 cosn )sin nx

n

หรอ

n

n 1

2k (1 ( 1) )sin nx

n

และสามารถเขยนในรปการแจกแจงเปน 2k 2 22sin x sin3x sin5x ...

3 5

หรอ

4k 1 1sin x sin3x sin5x ...

3 5

#

นอกจากการเขยนฟงกชนใหอยในรปของอนกรมฟเรยรแลว อาจจะเขยนใหอยในรปของอนกรมฟเรยรไซน (Fourier sine series)หรออนกรมฟเรยรโคไซน (Fourier cosine series) ซงม บทนยามดงน คอ บทนยาม 8.3 ก าหนดให f (x) , 0 x L เปนฟงกชนจรง อนกรมฟเรยรไซนของ f คอ

n

n 1

nf (x) B sin x , 0 x L

L

โดยท

L

n

0

2 nB f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

และ อนกรมฟเรยรโคไซนของ f คอ

0 n

n 1

nf (x) A A cos x , 0 x L

L

โดยท

L

0

0

1A f (x)dx

L

L

n

0

2 nA f (x)cos xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

ตวอยางท 8.13 ก าหนดให f (x) x , 0 x L จงหา

1) อนกรมฟเรยรไซนของ f

2) อนกรมฟเรยรโคไซนของ f

438

วธท า 1) เนองจากอนกรมฟเรยรไซนของ f คอ n

n 1

nf (x) B sin x , 0 x L

L

โดยท L

n

0

2 nB f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

นนคอ L

n

0

2 nB xsin xdx

L L

และจากตวอยางท 8.10 จะไดวา

n 1n

2LB ( 1) , n 1, 2 , 3 , ...

n

ดงนนอนกรมฟเรยรไซนของ f คอ

n 1

n 1

2L n 2L x 1 2 x 1 3 x( 1) sin x sin sin sin ...

n L L 2 L 3 L

#

2) เนองจากอนกรมฟเรยรโคไซนของ f คอ 0 n

n 1

nf (x) A A cos x , 0 x L

L

โดยท LL L 2

0

0 0 0

1 1 1 x LA f (x)dx xdx

L L L 2 2

และ L

n

0

2 nA xcos xdx

L L

ใชวธการอนทเกรตแบบแยกสวนจะไดวา

L L

n

0 0

2 xL n L nA sin x sin xdx

L n L n L

L

0

2 L L n0 cos x

L n n L

2 2

2 2 2 2

2 L Lcosn

L n n

2 2

2Lcosn 1

n

ดงนนอนกรมฟเรยรโคไซนของ f คอ 2 2

n 1

L 2L n(cosn 1) cos x

2 Ln

หรอ

2

L 2L x 2 3 x 2 5 x2cos cos cos ...

2 L 9 L 25 L

หรอ

2

L 4L x 1 3 x 1 5 xcos cos cos ...

2 L 9 L 25 L

#

เพอใหเขาใจวธการสรางตวแบบทางคณตศาสตรของปญหาทางวทยาศาสตรในรปแบบของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสอง จะกลาวถงเฉพาะปญหาทางวทยาศาสตรทเกยวกบเรองปญหาการสนของเสนลวด ปญหาการน าความรอนและปญหาการแจกแจงอณหภม ซงปญหาเหลาน

439

ไดแสดงใหเหนวา สมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองสามารถน ามาอธบายและหาค าตอบทมนษยตองการทราบไดเปนอยางด

8.5 สมการคลนใน 1 มต กบปญหาการสนของเสนลวด จากปญหาการสนของเสนลวด สามารถสรางตวแบบทางคณตศาสตรเพอน ามาใชในการ

แกปญหาดงกลาวได โดยการสรางสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบสองไดดงน คอ ก าหนดให L แทนความยาวของเสนลวดซงมความยดหยนได และวางในแนวราบเปนเสนตรงปลายทงสองขางถกตรงกบท ขณะเวลา t 0 และถาท าใหรปรางของเสนลวดเปลยนไปจากแนวเสนตรงเดมขณะเวลา t 0 เสนลวดจะเกดการเคลอนทมลกษณะเปนการสน สงทสนใจคอระยะทางในแนวดงของจดตาง ๆ บนเสนลวดขณะเวลา t 0 ใด ๆ ภาพท 8.1 ลกษณะของเสนลวดสน

ก าหนดให x แทนระยะทางในแนวราบหรอต าแหนงของจดบนเสนลวดในแนวราบขณะ เวลา t ใด ๆ u(x, t) แทนระยะทางในแนวดงของจด x

จะหาสมการการเคลอนทของจดบนเสนลวด จะตองอยภายใตเงอนไขหรอขอตกลงดงน 1) มวลของเสนลวดตอหนวยความยาวจะตองมคาคงท เรยกวาเสนลวดมความเปนเอกพนธ 2) เสนลวดมความยดหยนอยางสมบรณและไมมความตานทานตอการโคงงอของเสนลวด

3) แรงตงในเสนลวดกอนทจะยดปลายทงสองใหตรงอยกบทจะตองมคามากพอทจะไม ตองคดแรงทเกดจากการกระท าของแรงโนมถวงทมตอเสนลวด 4) จะตองไมมแรงภายนอกมากระท าตอเสนลวด 5) เสนลวดจะตองเคลอนทในแนวดงเทานนและระยะทางของการเคลอนทเมอเปรยบเทยบ กบความยาวของเสนลวดถอวามคานอยมาก 6) คาสมบรณของความชนของเสนลวดทจดตาง ๆ บนเสนลวดมคานอยมาก จากเงอนไขขางตนทงหมด สามารถหาสมการเชงอนพนธไดจากการพจารณาแรงกระท า

บนเสนลวดบนชวงความยาวสวนเลก ๆ สวนหนงของเสนลวด สมมตใหเปนชวงระหวางจด P และ

Q เนองจากเสนลวดไมมความตานทางตอการโคงงอใด ๆ ดงนนแรงตงของเสนลวดจะอยในแนวเสนสมผสเสนลวดทจดทกจด

เสนลวดขณะเวลา t > 0

เสนลวดขณะเวลา t = 0

440

ให 1T และ 2T เปนแรงตงในเสนลวด ณ จด P และ Q ตามล าดบ ดงภาพ ภาพท 8.2 แสดงแรงตงในเสนลวด ณ จด P และ Q

เนองจากเสนลวดไมมการเคลอนทในแนวราบ สวนประกอบในแนวราบของแรงตงในเสนลวดมคาคงท นนคอ 1 2T cos T cos T สวนการเคลอนทในแนวดงเปนผลมาจากแรงตง 1T sin และ 2T sin ของ 1T และ 2T ตามล าดบ และจากกฎการเคลอนทของนวตน ขอ 2 จะไดวา 2 1T sin T sin ma โดยท m แทนมวลของเสนลวดในชวง PQ ทมความยาว x หนวย แทนมวลของเสนลวดทยาว 1 หนวย ดงนน m x

a แทนความเรงทเกดจากการเคลอนทของเสนลวดในแนวราบ ซงเทากบ 2

2

u

t

ดงนน 2

2 1 2

uT sin T sin x

t

น า T หารทงสองขาง , 2

2 1

2

T sin T sin x u

T T T t

แตเนองจาก 1 2T cos T cos T

ดงนน 2

2 1

22 1

T sin T sin x u

T cos T cos T t

หรอ 2

2

x utan tan

T t

และเนองจาก tan และ tan เปนความชนของเสนลวด ณ จด P และ Q ตามล าดบ

ดงนน x

utan

x

และ

x x

utan

x

นนคอ จะไดวา 2

2x x x

u u x u

x x T t

หรอ

2

2x x x

1 u u u

x x x T t

ถาให x 0 และ 2 Tc

จะไดวา

2

2 2x 0x x x

1 u u 1 ulim

x x x c t

2 2

2 2 2

u 1 u

x c t

T1cos

T1sin

T2cos

T2sin

x+xx

T2

PQ

441

หรอ 2 2

2

2 2

u uc

t x

ซงเปนสมการคลนใน 1 มต โดยท 2 T

c

ซงมคาเปนบวก

เนองจากจดปลายทงสองของเสนลวดถกยดอยกบท ดงนน ณ จดปลายทงสองจงไมมการเคลอนทท าใหเงอนไขขอบทงสอง คอ u(0, t) 0 และ u(L, t) 0 , t 0 และลกษณะการเคลอนทของเสนลวดนจะขนอยกบรปเดมของเสนลวดกอนทจะถกปลอย ใหเกดการเคลอนทและความเรวตนของจดตาง ๆ บนเสนลวด ซงคาทงสองจะขนอยกบ x โดยท t 0 จะไดเงอนไขเรมตน เปน

t 0

uu(x,0) f (x) , g(x) , 0 x L

t

ดงนน สามารถสรปไดวาผลเฉลยของปญหาการสนของเสนลวด น คอจะขนอยกบผลเฉลยของปญหาคาเรมตนและคาขอบ ดงนคอ

2 2

2

2 2

u uc , 0 x L , t 0

t x

u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0

t 0

uu(x,0) f (x) , g(x) , 0 x L

t

ส าหรบวธการหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนและคาขอบ สามารถหาไดดงน คอ สมมตใหผลเฉลยของปญหาดงกลาว คอ u(x, t) F(x) G(t)

จะไดวา uF(x) G (t)

t

และ

2

2

uF(x) G (t)

t

และ uF (x) G(t)

x

และ

2

2

uF (x) G(t)

x

แทนคาจะได 2F(x) G (t) c F (x) G(t) หรอ 2

F (x) 1 G (t)

F(x) G(t)c

เนองจาก F (x)

F(x)

เปนฟงกชนทอยในรปของตวแปร x อยางเดยว และ G (t)

G(t)

กเปน

ฟงกชนทอยในรปของตวแปร t เพยงอยางเดยว การทจะมคาเทากนได ทงสองฟงกชนจะตองเปน

คาคงท นนคอ F (x)k

F(x)

และ 2G (t)

kcG(t)

โดยท k เปนคาคงท

นนคอ F (x) kF(x) หรอ F (x) kF(x) 0 ……………(1) 2G (t) kc G(t) หรอ 2G (t) kc G(t) 0 ……………(2) พจารณาคาของ k ในแตละกรณดงน คอ กรณท 1 ถา k 0 ให 2k , 0 จากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (1) ซงอยในรป

2F (x) F(x) 0 จะไดผลเฉลยเปน

442

1 2F(x) A cos x A sin x …………(3) โดยท 1A และ 2A เปนคาคงท ในท านองเดยวกนจากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของสมการ (2) ซงอยในรป 2 2G (t) c G(t) 0 จะไดผลเฉลยเปน

3 4G(t) A cos ct A sin ct ……..…(4) โดยท 3A และ 4A เปนคาคงท จากเงอนไขขอบ u(0, t) F(0) G(t) 0 จะไดวา F(0) 0 และ u(L, t) F(L) G(t) 0 จะไดวา F(L) 0 ถาเลอก F(0) 0 นนคอ 1 2A cos x A sin x 0 จะได 1A 0 ดงนน

2F(x) A sin x และเลอก F(L) 0 จะได 2F(L) A sin L 0 นนคอ 2A 0 ดงนน F(x) 0 ท าใหไดวา u(x, t) F(x) G(t) 0 ซงหมายความวาลวดไมมการเคลอนท ซงไมถกตอง นนคอ 2A 0 ดงนน sin L 0 นนคอ L n , n 1, 2 , 3 , ...

หรอ n

L

นนคอ n

n, n 1, 2 , 3 , ...

L

สมมตให 2A 1 จะไดผลเฉลยของสมการ (3) คอ

n

nF(x) F (x) sin x , n 1, 2 , 3 , ...

L

และจากสมการ (2) จะไดวา ส าหรบ 2

2n

nk

L

จะอยในรป

2 2nG (t) c G(t) 0 จะมผลเฉลยอยในรป

n n n n nG(t) G (t) A cos ct B sin ct n n

n c n cA cos t B sin t , n 1, 2 , 3 , ...

L L

โดยท nA และ nB เปนคาคงตวทไมเฉพาะเจาะจง

ดงนน n n n

n n c n cu (x, t) F(x) G(t) sin x A cos t B sin t , n 1, 2 , 3 , ...

L L L

เปนผลเฉลยของสมการ 2 2

2

2 2

u uc , 0 x L , t 0

t x

u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 กรณท 2 ถา k 0 จะไดสมการ F (x) 0 ซงมผลเฉลยเปน 5 6F(x) A A x และ G (t) 0 ซงมผลเฉลยเปน 7 8G(t) A A t และจากเงอนไขขอบ u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 จะไดวา

443

5 6A A 0 ดงนน F(x) 0 ท าใหไดวา u(x, t) F(x) G(t) 0 กรณท 3 ถา k 0 ให 2k , 0 จากสมการ (1) จะไดวา 2F (x) F(x) 0 ซงจะมผลเฉลยอยในรป x x

9 10F(x) A e A e และจากสมการ (2) 2 2G (t) c G(t) 0 จะมผลเฉลยอยในรป ct ct

11 12G(t) A e A e และจากเงอนไขขอบ u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 จะไดวา

9 10A A 0 ดงนน F(x) 0 ท าใหไดวา u(x, t) 0 จากการพจารณาคาของ k ทง 3 กรณ จะสรปไดวา

n n n

n n c n cu (x, t) sin x A cos t B sin t , n 1, 2 , 3 , ...

L L L

เปนผลเฉลย

ตามเงอนไขขอบ u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 ตอไปจะตองพจารณาผลเฉลยของสมการกบเงอนไขเรมตน

t 0

uu(x,0) f (x) , g(x) , 0 x L

t

ถาให t 0 จะได n n

nu (x,0) A sin x

L

และจากสมบตของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน จะไดวา

n n n

n 1 n 1

n n c n cu(x, t) u (x, t) sin x A cos t B sin t

L L L

……….. (5)

ถาให t 0 และ u(x,0) f (x) จะไดวา n

n 1

nu(x,0) A sin x

L

ซงเปนการกระจายเพยงครงชวงของ f (x) ในรปอนกรมฟเรยรไซนในชวง 0 x L โดยท

L

n

0

2 nA f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

และส าหรบการหา nB นน จะหาจากอนพนธยอยของสมการ (5) เทยบกบ t แลวให

t 0 แลวใชเงอนไข t 0

ug(x) , 0 x L

t

จะไดวา

n n

n 1

u n n c n c n c n csin x A sin t B cos t

t L L L L L

n

t 0 n 1

u n c ng(x) B sin x

t L L

ซงเปนการกระจายเพยงครงชวงของ g(x)

ในรปอนกรมฟเรยรไซนในชวง 0 x L โดยมสมประสทธเปน n

n cB

L

นนคอ

444

L

n

0

n c 2 nB g(x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L L

หรอ

L

n

0

2 nB g(x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

n c L

ดงนน ผลเฉลยของสมการสมการคลนใน 1 มตของปญหาการสนของเสนลวดทมเงอนไขขอบและเงอนไขเรมตนตามทกลาวมาแลว คอ

n n

n 1

n n c n cu(x, t) sin x A cos t B sin t

L L L

โดยท

L

n

0

2 nA f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

และ

L

n

0

2 nB g(x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

n c L

ตวอยางท 8.14 จงหาผลเฉลยของสมการคลนใน 1 มต ของปญหาคาเรมตนและคาขอบ ดงน

2 2

2 2

u u4 , 0 x 1 , t 0

t x

เงอนไขขอบ u(0, t) 0 , u(1, t) 0 , t 0

และเงอนไขเรมตน t 0

uu(x,0) 2 , 0 , 0 x 1

t

วธท า จากสมการคลนใน 1 มตทก าหนดให จะไดวา c 2 , L 1 , f (x) 2 , g(x) 0 และเนองจากสมการผลเฉลยอยในรป

n n

n 1

n n c n cu(x, t) sin x A cos t B sin t

L L L

โดยท

L 1

n

0 0

2 n 2A f (x)sin xdx 2sinn xdx

L L 1

1

0

2 42 cosn x (cosn 1)

n n

และ 1

n

0

2 nB (0)sin xdx 0

n (2) L

ดงนน n 1

4u(x, t) sin n x (cosn 1)

n

หรอ n

n 1

4u(x, t) (1 ( 1) )sin n x

n

เปนผลเฉลยของสมการคลนใน 1 มต #

445

8.6 สมการความรอนใน 1 มต กบปญหาการน าความรอน การน าความรอนเปนสมบตอยางหนงของสสาร สามารถสรางตวแบบทางคณตศาสตร

เพอหาสมการการไหลของความรอนในวตถหนง ๆ โดยการหาความสมพนธของอตราการเปลยนแปลงของการไหลของความรอนผานวตถในรปของสมการเชงอนพนธยอยเชงเสนอนดบ

สองทมสมการเปน 2

2

2

u uc

t x

ซงสามารถพจารณาปญหาดงกลาวไดดงน คอ

ก าหนดให L แทนความยาวของวสดน าความรอนชนดหนง A แทนพนทหนาตดของวสดน าความรอนซงมคาเทากนตลอดทงแทง ซงดาน หวและปลายของวสดหมฉนวนไวเพอใหความรอนไหลไปในทศทาง

ดานยาวเพยงดานเดยวเทานน และท าใหทก ๆ จดบนหนาตดของแตละ ดานจะมอณหภมเทากน

ภาพท 8.3 วสดน าความรอนทเปนเนอเดยวกนตลอดทงแทงยาวเทากบ L

ก าหนดให x แทนระยะทางหรอต าแหนงของจดบนวสดน าความรอนทวดจากปลายดาน หนงและใหปลายดานนนอยทต าแหนง x 0 และปลายอกดานหนง จะอยทต าแหนง x L

u(x, t) แทนอณหภมของจดทกจดบนหนาตดของวสดน าความรอนทต าแหนง x ขณะเวลา t จากการทดลองทางวทยาศาสตรทราบวาอตราการไหลของความรอนผานวสดน าความรอน

ทมพนทหนาตด A ทระยะ x มคาเปน ukA

x

เมอ k 0 เปนคาคงท ซงจะเรยกคา k วา

คาสภาพน าความรอน การแสดงเครองหมายลบจะบอกใหทราบวา การไหลของความรอนผานตวน าความรอนจากจดทมอณหภมสงไปสจดทมอณหภมต า จากภาพท 8.3 แสดงใหเหนวา ถาจะพจารณาการไหลของความรอนจากหนาตด 1S ทระยะ x ไปยงหนาตด 2S ทระยะ x x ซงจะไดวา

อตราการไหลของความรอนผานหนาตด 1S คอ x

ukA

x

และ

446

อตราการไหลของความรอนผานหนาตด 2S คอ x x

ukA

x

ดงนนอตราความรอนทหายไปหรอถกดดซบไวในวสดน าความรอนในชวงระยะ x ถง

x x คอ x x x x x x

u u u ukA kA kA

x x x x

และจากความจรงทางวทยาศาสตรทราบวาอตราการดดซบความรอนของวสดน าความรอน

ในชวงพนทหนาตด 1S และ 2S คอ *x

uA x

t

เมอ

แทนความรอนจ าเพาะของวสดน าความรอน แทนความหนาแนนของแทงวสดน าความรอน *x แทนจดทอยระหวาง x และ x x

จะไดวา *x x x x

u u uA x kA

t x x

x x x

*x

u u

x xu k

t x

ถาให x 0 นนคอจะไดวา

x x x

x 0

u u

x xu klim

t x

2

2

k u

x

สมมตให 2kc

ทเปนคาบวกเสมอ ซงเปนคาสภาพน าความรอนของวสด นนคอ

จะได

2

2

2

u uc

t x

เปนสมการความรอนใน 1 มต ภายใต

เงอนไขขอบคอ u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 และเงอนไขเรมตน u(x,0) f (x) , 0 x L การหาผลเฉลยของสมการความรอนใน 1 มต ภายใตเงอนไขขอบและเงอนไขเรมตนของปญหาการน าความรอน ท าไดดงน คอ สมมตใหผลเฉลยของปญหาการน าความรอน คอ u(x, t) F(x) G(t)

จะได uF(x) G (t)

t

และ 2

2

u uF (x) G(t) , F (x) G(t)

x x

447

แทนคาในสมการความรอนใน 1 มต 2F(x) G (t) c F (x) G(t)

2

F (x) G (t)k

F(x) c G(t)

, k เปนคาคงท

ดงนนจะไดวา F (x) kF(x) หรอ F (x) kF(x) 0 …………(1) 2G (t) kc G(t) หรอ 2G (t) kc G(t) 0 …………(2) เนองจาก k เปนคาคงท การพจารณาสมการเชงอนพนธของสมการ (1) และ (2) มดงน กรณท ถา k 0 ให 2k , 0 จากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสองของ สมการ (1) ซงจดใหอยในรป 2F (x) F(x) 0 จะไดผลเฉลยเปน 1 2A cos x A sin x 0 , 1A และ 2A เปนคาคงท และจากการแกสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบหนงของสมการ (2) จะไดผลเฉลยเปน

2 2c t3G(t) A e

จากเงอนไขขอบ u(0, t) 0 , u(L, t) 0 , t 0 จะไดวา 1A 0 และ

2A sin L 0 นนคอ L n หรอ n, n 1, 2 , 3 , ...

L

ท าใหไดวา

n

nF (x) sin x , n 1, 2 , 3 , ...

L

และจากการพจารณากรณท k 0 และ k 0 จะไดวา u(x,y) 0

จะไดผลเฉลยของสมการ 2

2

2

u uc

t x

ทสอดคลองกบเงอนไขขอบ คอ

2

n 2c tL

n

nu(x, t) sin x A e

L

และจากสมบตของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน จะไดวา

2

n 2c tL

n

n 1

nu(x, t) sin x A e

L

หรอ

2

n 2c tL

n

n 1

nu(x, t) A e sin x

L

และจากเงอนไขเรมตน ให t 0 จะได n

n 1

nu(x,0) f (x) A sin x

L

โดย

nA เปนสมประสทธทอยในรปของอนกรมฟเรยรไซนของ f (x) บนชวง 0 x L นนคอ

L

n

0

2 nA f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

L L

ซงเปนผลเฉลยของสมการความรอนใน 1 มต ทสอดคลองกบเงอนไขขอบและเงอนไขเรมตน

448

ตวอยางท 8.15 จงหาผลเฉลยของปญหาคาเรมตนและคาขอบทถกควบคมดวยสมการความรอนใน

1 มต ดงน 2

2

u u, 0 x 2 , t 0

t x

ภายใต

เงอนไขขอบคอ u(0, t) 0 , u(2, t) 0 , t 0 และเงอนไขเรมตน u(x,0) 4 , 0 x 2 วธท า จากสมการความรอนใน 1 มต จะไดวา c 1 , L 2 , f (x) u(x,0) 4 จะไดสมการทเปนผลเฉลยอยในรป

2 2

n n2c t tL 2

n n

n 1 n 1

n nu(x, t) A e sin x A e sin x

L 2

โดยท

22

n00

2 n 4 nA 4sin xdx cos x

n2 2 2

2

2

0

8 8cosn 1 1 cosn

n n

ดงนนจะไดผลเฉลยเปน

2n

t2

n 1

8 nu(x, t) 1 cosn e sin x , n 1, 2 , 3 , ...

n 2

หรอ

2

nt

n 1 2

n 1

8 nu(x, t) 1 ( 1) e sin x

n 2

#

8.7 สมการลาปลาซใน 2 มต กบปญหาการแจกแจงอณหภมในสถานะคงตว

จากปญหาสมการความรอนใน 1 มต ทมสมการเชงอนพนธอยในรป 2

2

2

u uc

t x

นน จากหลกการขางตนนสามารถน าไปประยกตเพอใชแกปญหาทตองการทราบอณหภมในสถานะคงตวในวสดน าความรอนทเปนแผนบาง โดยทผวหนาของวสดน าความรอนก าหนดใหมฉนวนหมทงสองหนาเพอปองกนไมใหความรอนไหลออก

สมมตให u(x,y, t) แทนอณหภมของแผนวสดน าความรอน ณ ต าแหนง (x,y) ใด ๆ บนแผนวสดนนในขณะเวลา t ใด ๆ

เนองจากต าแหนงของจด (x,y) อยใน 2 มต และจากสมการความรอนใน 1 มตนน จะสามารถหาสมการความรอนใน 2 มตไดในลกษณะเดยวกน คอจะไดเปน

449

2 22

2 2

u u uc

t x y

และถาใหขอบทกดานของวสดน าความรอนมอณหภมคงตวขณะเวลา t ใด ๆ ดงนน

อณหภมของวสดน าความรอนในแผนดงกลาวอยในสถานะคงตว นนคอ u0

t

จงท าใหได

สมการเปน 2 2

2 2

u u0

x y

ซงเปนสมการลาปลาซใน 2 มต นนเอง

การหาผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต สามารถหาไดดงน คอ จากเงอนไขของสมการลาปลาซใน 2 มตขางตน เขยนกราฟเพอแสดงต าแหนงและสมการของตวแปรตาง ๆ ไดดงน

ภาพท 8.4 กราฟแสดงเงอนไขของสมการลาปลาซใน 2 มต

จากสมการเชงอนพนธ 2 2

2 2

u u0 , 0 x a , 0 y b

x y

ภายใต

เงอนไขขอบคอ u(0,y) 0 , u(a,y) 0 , 0 y b และ u(x,0) 0 , u(x,b) f (x) , 0 x a ใชวธการหาผลเฉลยดวยการแยกตวแปร สมมตให u(x,y) F(x) G(y) ดงนน

uF (x) G(y)

x

และ

2

2

uF (x) G(y)

x

และ uF(x) G (y)

y

และ

2

2

uF(x) G (y)

y

นนคอ จะไดวา 2 2

2 2

u uF (x) G(y) F(x) G (y) 0

x y

จะได

F (x) G(y) F(x) G (y) นนคอ F (x) G (y)k

F(x) G(y)

, k เปนคาคงท

ดงนนจะไดวา F (x) kF(x) หรอ F (x) kF(x) 0 ………….. (1)

และ G (y) kG(y) หรอ G (y) kG(y) 0 ………….. (2)

450

เนองจาก k เปนคาคงท การพจารณาสมการเชงอนพนธ สมการ (1) และ (2) ไดเปน กรณท ถา k 0 ให 2k , 0 จะไดสมการเชงอนพนธอยในรป 2F (x) F(x) 0 …………… (3) 2G (y) G(y) 0 …… …….. (4) ซงเปนสมการเชงอนพนธเชงเสนอนดบสอง ดงนน สมการ (3) จะมผลเฉลยเปน 1 2F(x) A cos x A sin x และสมการ (4) จะมผลเฉลยเปน y y

3 4G(y) A e A e หรอ 5G(y) A sinh y

และจากเงอนไขขอบ 3 เงอนไขแรก u(0,y) 0 , u(a,y) 0 และ u(x,0) 0 หรอ F(0) 0 , F(a) 0 และ G(0) 0 ดงนนจะไดวา 1F(0) A cos x 0 ท าให 1A 0 และ

2F(a) 0 A sin a 0 ท าให a n หรอ n

a

นนคอ nF(x) sin x , n 1, 2 , 3 , ...

a

และ 3 4G(0) A A 0 ท าให 3A 0 หรอ 5A 0 ดงนนผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต ทสอดคลองกบเงอนไขขอบ 3 เงอนไขแรกคอ

n

n nu(x,y) A sin x sinh y , n 1, 2 , 3 , ...

a a

จากการพจารณากรณท k 0 และ k 0 จะไดวา u(x,y) 0 และจากสมบตของผลเฉลยของสมการเชงอนพนธเชงเสน จะไดผลเฉลยอยในรป

n

n 1

n nu(x, y) A sin x sinh y

a a

………………..(5)

และจากเงอนไขขอบท 4 u(x,b) f (x) แทนคา y b จะได

n

n 1

n n bu(x,b) f (x) A sin x sinh

a a

หรอ

n

n 1

n b nf (x) A sinh sin x

a a

ซงเปนการกระจายครงชวงของ f (x) ในรปอนกรมฟเรยรไซนบนชวง 0 x a โดยมคา

สมประสทธเปน a

n

0

n b 2 nA sinh f (x)sin xdx , n 1, 2 , 3 , ...

a a a

451

หรอ a

n

0

2 nA f (x)sin xdx

n b aasinh

a

ดงนนจงสรปไดวาผลเฉลยของสมการลาปลาซใน 2 มต ภายใตเงอนไขขอบ คอ

n

n 1

n nu(x, y) A sin x sinh y

a a

โดยท

a

n

0

2 nA f (x)sin xdx

n b aasinh

a

ตวอยางท 8.16 จงหาผลเฉลยของปญหาขอบทก าหนดดวยเงอนไขของสมการลาปลาซใน 2 มต

ดงน 2 2

2 2

u u0 , 0 x 1 , 0 y 2

x y

ภายใต

เงอนไขขอบคอ u(0,y) 0 , u(1,y) 0 , 0 y 2 และ u(x,0) 0 , u(x,2) cosx , 0 x 1

วธท า จากสมการลาปลาซใน 2 มต ทก าหนดใหจะได a 1 , b 2 , f (x) u(x,2) cosx

สมการผลเฉลยจะอยในรป n

n 1

u(x, y) A sin n x sinh n y

โดยท

1

n

0

2A cosxsinn xdx

sinh2n

1

0

2sinn xcosxdx

sinh2n

1

0

2 1sin(x n x) sin(x n x) dx

sinh2n 2

1

0

2 1 1 1cos(1 n )x cos(1 n )x

sinh2n 2 1 n 1 n

2 1 (cos1cosn sin1sin n ) (cos1cosn sin1sin n )

sinh 2n 2 1 n 1 n

1 1

1 n 1 n

2 2 2 2

2 1 2n cos1cosn 2n

sinh 2n 2 1 n 1 n

2 2

2n 1 cos1cosn

sinh 2n n 1