Одна з основних теорем евклідової геометрії, що встановлює

співвідношення між сторонами прямокутного трикутника.

a

b

c

Народився: близько Народився: близько 569 р. до РХ на 569 р. до РХ на острові Самос в острові Самос в Іонічному морі Іонічному морі

(Ionii).(Ionii).Помер: близько 475 Помер: близько 475

р. до РХ.р. до РХ.

Піфагор Самоський(Pythagoras of Samos)

Формулювання теореми Піфагора

a2 + b2 = c2

В прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

a

b

c

Площа квадрату,

побудованогона гіпотенузі, дорівнює сумі площ квадратів ,

побудованих на катетах.

(Геометричне формулювання) “Піфагорові штани”

Доведення ЕвклідаПоловина площі квадрата,побудованого на гіпотенузі,дорівнює сумі половин площквадратів, побудованих на катетах.

Доведення Леонардо да ВінчіГоловні елементи доведення – симетрія і рух

1

1

2

2

8

87

65

6

4

4

3

А 75

С В

О

N

K

M

P

E

F

3

D

L

S

V

Доведення, що ґрунтується на використанні поняття рівновеликості фігур

а

а

а

а

b

b

b

b

c

c

c

c

c2

а

а

а

b

b b

b

a2

b2

а c

b

(a + b)2 = 4∙½ ab + c2;а2 + 2аb + b2 = 2аb + c2;c2 = a2 + b2.

Доведення, що ґрунтується на використанні поняття рівновеликості

фігур

Цей метод полягає в Цей метод полягає в тому, що до квадратів, тому, що до квадратів,

побудованих на побудованих на катетах, і до квадрату, катетах, і до квадрату,

побудованому на побудованому на гіпотенузі, приєднують гіпотенузі, приєднують

рівні фігури таким рівні фігури таким чином, щоб отримати чином, щоб отримати рівновеликі фігури. рівновеликі фігури.

FS

1

2

А

С В

N

M

D

L

V

Доведення методом побудови

Переставте великі та маленькічастини квадратів, розташованінад стрілкою.

7 68 5 1 4

32

““Дивись!”Дивись!” як це робили як це робили в творах давніх в творах давніх індуських математиків індуських математиків

Доведення методом розкладання

23 7 6

4158 …і все решта вийде само собою.

Ці доведення Ці доведення ґрунтуються на ґрунтуються на

розкладанні розкладанні квадратів квадратів

побудованих на побудованих на катетах, на фігури, з катетах, на фігури, з яких можна скласти яких можна скласти

квадрат, квадрат, побудований на побудований на

гіпотенузі.гіпотенузі.

F

S

1

2А

С В

N

M

D

L

V

2

1

5

5

3

3

4

4

О

Адитивні доведення

Рисунок ілюструє Рисунок ілюструє доведення великого доведення великого

індійського індійського математика Бхаскари математика Бхаскари

(визначного автора (визначного автора Лілаваті, XII ст.). Лілаваті, XII ст.).

Рисунок Рисунок супроводжувало лише супроводжувало лише одне слово: ДИВИСЬ! одне слово: ДИВИСЬ!

а

b

½аb

c

c

c

c½аb

½аb

½аb

(а - b)2

А В

С

Алгебраїчний метод доведення

Цю фігуру, яка Цю фігуру, яка зустрічається в зустрічається в доведеннях, що доведеннях, що

датуються не пізніше, датуються не пізніше, ніж 9 століття до н. д., ніж 9 століття до н. д.,

індуси називали індуси називали "стільцем нареченої" "стільцем нареченої" 4

1

2

5

3

“Стілець нареченої”

Кантор вважав, що рівністьКантор вважав, що рівність

3² + 4² = 5²3² + 4² = 5² була відома вже єгиптянамбула відома вже єгиптянамще близько 2300 р. до н. д., вще близько 2300 р. до н. д., вчаси царя Аменемхета.часи царя Аменемхета.За думкою Кантора За думкою Кантора

гарпедонапти, гарпедонапти, або "натягувачі мотузок", або "натягувачі мотузок", будували прямі кути за будували прямі кути за

допомогоюдопомогоюпрямокутних трикутників ізпрямокутних трикутників ізсторонами 3, 4 та 5.сторонами 3, 4 та 5.

а

bc

Побудова прямого кута

Формулювання теореми, оберненої до теореми Піфагора

Якщо квадрат однієї сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін, то трикутник прямокутний.

a2 + b2 = c2

На рисунку зображено На рисунку зображено куб, діагональ якого є куб, діагональ якого є одночасно гіпотенузою одночасно гіпотенузою

прямокутного прямокутного трикутника, катетами трикутника, катетами

трикутника є ребро трикутника є ребро куба і діагональ куба і діагональ

квадрата, що лежить в квадрата, що лежить в основі.основі.а

а

а

Застосування теореми

Доведення теореми Піфагора

З давнини математики знаходять все нові і нові доведення теореми Піфагора.

Таких доведень - більш менш чітких та наочних – відомо за півтори сотні, але бажання знайти нові збереглось до наших часів.

Самостійні “відкриття” доведень теореми Піфагора будуть корисними і сучасним школярам.

a2 + b2 = c2

a b c a b c3 4 5 16 63 655 12 13 33 56 658 15 17 48 55 737 24 25 36 77 85

20 21 29 13 84 8512 35 37 39 80 899 40 41 65 72 97

28 45 53 20 99 10111 60 61 60 91 109

Піфагорові трійки

a

b

c

Єгипетський трикутник

3 4 5

3

4

532 + 42 = 52

Висновок:

Геометрія володіє двома скарбами:один з них – це

теорема Піфагора.