第七章 解三角形
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第七章 解三角形. 第 1 讲. 正弦定理和余弦定理. 先求出第三角,再利用正弦定理求出其余两边;. a b c sin A sin B sin C. =. =. = 2 R. 1 .正弦定理. ______________________( R 为△ ABC 的外接圆半径 ) . 2 .余弦定理. c 2 = a 2 + b 2 - 2 ab cos C. ___________________. 3 .已知三角形的内角分别是 A , B , C ,命题 A > B ⇔sin A >sin B. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
第七章 解三角形
第 1讲 正弦定理和余弦定理
考纲要求 考纲研读
1. 掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2 .能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题.
会解四种基本类型的斜三角形问题.(1) 已知两角和任一边,求其余两边和一角:可
(2) 已知两边及一边的对角,求其余两角和一边( 可能无解或一解或两解 ) :可先利用正弦定理求出另一边的对角,再求出其余边角;(3) 已知两边及其夹角,求第三边和其余两角( 有唯一解 ) :可先利用余弦定理求出第三边,再求出其余两角;(4) 已知三边,求三角:可利用余弦定理求出三内角 .
先求出第三角,再利用正弦定理求出其余两边;
1 .正弦定理
= = = 2Ra b c
sinA sinB sinC______________________(R 为△ ABC 的外接圆半径 ) .
2 .余弦定理___________________.c2 = a2 + b2 - 2abcosC
3 .已知三角形的内角分别是 A , B , C ,命题 A>B⇔sinA>sinB
的依据是 _____________________ .大边对大角和正弦定理4 .已知三角形的内角分别是 A , B , C ,命题 A>B⇔cosA<cosB
的依据是 ____________________________ .余弦函数在 [0 , π] 上是减函数
A .充分而不必要条件
B .必要而不充分条件
C .充分必要条件
D .既不充分也不必要条件
1.在△ ABC中,“ A=π6” 是“ sinA=
12” 的( ) A
解析:sinA=12⇔A=
π6或 A=
5π6,选 A.
90°
2.在△ ABC中,sinA=13,角 A的对边长度为 2,则外接圆半
径是( )
A.3 B.6 C. 2 D. 3
A
解析:由a
sinA=2r,213
=2r⇒ r=3.
的最大的角为 _____.
3 .△ ABC 中,三边 a , b , c 之比为 3 4 5∶ ∶ ,则这个三角形
解析:∵ cosC=a2+b2-c2
2ab =32+42-52
2× 3× 4=0,∴ C=90°.即最大
角为 90°(注:也可用勾股定理的逆定理).
4.△ ABC的外接圆半径为 1,角 A,B,C的对边分别为 a,
b,c.若 ab=4cosAcosB,则角 C=___.
解析:由正弦定理得a
sinA=b
sinB=2,故 a=2sinA,b=2sinB.
所以 4sinAsinB=4cosAcosB,整理得 cos(A+B)=0,从而 A+B=π2,
则 C=π2.
π2
5 .在△ ABC 中, sin2A = sin2B + sin2C - sinBsinC. 则 A 的大小
是 _____.π3
解析:由正弦定理得 a2=b2+c2-bc⇒ b2+c2-a2=bc⇒
b2+c2-a2
bc =1⇒ cosA=12⇒A=
π3.
考点 1 正弦定理、余弦定理的使用
例 1:在△ ABC中,角 A,B,C的对边分别为 a,b,c.已知
向量 m=
2cosA2,sin
A2 ,n=
cosA2,-2sin
A2 ,m·n=-1.
(1)求 cosA的值;
(2)若 a=2 3,b=2,求 c的值.
解析:(1)∵ m=
2cosA2,sin
A2 ,n=
cosA2,-2sin
A2 ,
m·n=-1,∴ 2cos2A2-2sin2A
2=-1.∴ cosA=-12.
(2)由(1)知 cosA=-12,且 0<A<π,∴ A=
2π3 .
∵ a=2 3,b=2,由正弦定理得a
sinA=b
sinB,
即2 3
sin2π3
=2
sinB,∴ sinB=12.
∵ 0<B<π,B<A,
∴ B=π6.∴ C=π-A-B=
π6.
∴ c=b=2.
(1) 已知三角形的两边和夹角求第三边时,通常使
用余弦定理,无论这个角是什么方式给出的,都要求出其余弦值.
(2) 当给出两边和其中一边所对的角,通常使用正弦定理.
(3) 当已知三角形的三边时,可以求出所有角的余弦值和正弦
值,还可以求出此三角形的面积.
【互动探究】
1 . (2011 年上海 ) 在相距 2 千米的 A , B 两点处测量目标 C ,
若∠ CAB = 75° ,∠ CBA = 60° ,求 A , C 两点之间的距离.
解:由条件知:C=180°-75°-60°=45°,
由正弦定理得ACsinB=
ABsinC,
即AC
sin60°=2
sin45°.
解得 AC= 6.
考点 2 判断三角形的形状
例 2 :在△ ABC 中,若 2cosBsinA = sin ,试判断 CABC 的形
状.
解析:∵ 2cosBsinA = sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB ,
∴sinAcosB - cosAsinB = 0.∴sin(A - B) = 0.
∵0°<A , B<180° ,∴ A = B 故 .ABC 是等腰三角形.
(2) 边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.
(1) 三角形的形状按边分类主要有:等腰三角形,等
边三角形等;按角分类主要有:直角三角形,锐角三角形,钝角
三角形等.
【互动探究】
2 .在△ ABC 中, sinA =sinB + sinC
cosB + cosC,试判断这个三角形的形状.
解:应用正弦定理、余弦定理,
可得 a=b+c
c2+a2-b2
2ca +a2+b2-c2
2ab
,
所以 b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).
所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).
所以 a2=b2-bc+c2+bc.
所以 a2=b2+c2.所以△ ABC是直角三角形.
考点 3 正弦定理、余弦定理在交汇处的应用
例 3:△ ABC的面积是 30,内角 A,B,C所对边长分别为 a,
b,c,cosA=1213.
(1)求AB��������������
·AC��������������;
(2)若 c-b=1,求 a的值.
解析:(1)由 cosA=1213,得 sinA= 1-
12
132=
513.
又12bcsinA=30,∴ bc=156.
∴ AB��������������
·AC��������������=bccosA=156×
1213=144.
(2)a2= b2+ c2- 2bccosA= (c- b)2+ 2bc(1- cosA)= 1+
2× 156×
1-1213 =25,∴ a=5.
在三角形中,向量的数量积给出了两边与夹角余弦的积,这个积与面积之间的关系是解题的关键.
【互动探究】
3 . (2011 年安徽 ) 已知△ ABC 的一个内角为 120° ,并且三边长
构成公差为 4 的等差数列,则△ ABC 的面积为 ______. 15 3
解析:设三角形的三边长分别为 a-4,a,a+4,最大角为 θ,
由余弦定理得(a+4)2=a2+(a-4)2-2a(a-4)cos120°,则 a=10.
所以三边长为 6,10,14.则△ ABC的面积为 S=12× 6× 10× sin120°=
15 3.
易错、易混、易漏
12 .对三角形中的角所受到哪些限制不清楚
例题:在△ ABC 中,设 BC = a , CA = b , AB = c , c = 1 , a = 2.
(1) 将 cosC 表示成 b 的函数,并求 b 的取值范围;
(2) 求 cosC 的取值范围.
正解:(1)由三角形任意的两边之和大于第三边得:
1+2>b,1+b>2,2+b>1,
解出 1<b<3.
又∵ cosC=a2+b2-c2
2ab =22+b2-12
2·2·b =b2+3
4b
=14
b+3b ,b的取值范围 1<b<3.
(2)设 f(b)=14
b+3b ,(1<b<3).
∵ 1<b<3,∴14
b+3b ≥
14·2 b·
3b=
32 .
当且仅当 b=3b时,即 b= 3时,等号成立.
由于 f(b)在区间(1, 3)上单调递减,在区间( 3,3)上单调递
增,而 f(1)=f(3)=1,
∴ cosC的取值范围是
3
2 ,1 .
【失误与防范】求函数的值域时,要先求出或知道函数的定
义域,这是解函数值域问题的通法 在△ ABC 中,自变量 b 受到三
重限制,要通过这三个不等式求出 b 的取值范围 .
1 .解三角形时,首先要保证边和角的统一,用正弦定理或余
弦定理通过边角互化达到统一.
2 .在三角形中,若“角+角=定角”,不定的角将受到双重
限制.
3 .三角形中任意一边的长,受到三重限制,当已知三边大小
的关系时,如: a>b>c ,则只要 b + c>a 即可.
意.
2 .三角函数是一种特殊的函数,经常会通过换元法转化为普
通的函数,但要注意其定义域.
1.遇到AB��������������
·AC��������������时,学生容易理解成| AB
��������������|·| AC��������������
|.这一点要特别注