Графически способ за решаване на системи уравнения

Скъпи приятели!

Тази презентация ще Ви помогне да се научие да решавате системи уравнения с две променливи по

един от най – простите и нагледни способи – графическия.

Но този способ е свързан с построението на графиката на уравненията, влизащи в една или

друга система, затова за начало ще бъде полезно да си припомним, как изглеждат графиките на основните известни елементарни функции.

И така…

Напред

0

х

у

Вие, разбира се, помните, че графика на функция се нарича

множеството от всички точки в координатната равнина,

абсцисите на които са равни на значенията на аргумента, а

ординатите – на съответствуващите значения

на функцията.

у = f(х)

Напред

Вие вече познавате някои важни видове функции

0

х

у

Графиката на тази функция се

явява права

Линейна функция се задава с уравнение от вида

вхkу където k и в – са някакви числа

Напред

0

х

у

Графиката на тази функция се

нарича хипербола

Функция с обратна пропорционалност

хk

у , k 0

Напред

0

х

уДа разгледаме функцията

222 )()( rвуах където а, в и r – са някакви числа

Графиката на тази функция се

явява окръжност с радиус r и център в т. А (а;в)

А

а

в

r

Напред

0

х

у

Графиката на тази функция се

явява парабола

Квадратна функция

схвхау 2

където а,в,с – някакви числа и а 0

ав2

Напред

Графиките на уравнения с две променливи се наричат, както вие знаете, множество от точки в

координатната равнина, координатите на които обръщат уравнението във вярно

равенство.

Затова понякога уравненията могат да бъдат достатъчно сложни, а графиките на такива уравнения – много необичайни по форма.

Нека разгледаме няколко примера на такива уравнения, използвани във висшата математика.

Напред

0

у

Графиката на това уравнение ще бъде крива, наричана

строфоида

Да разгледаме, например, уравнението

)()( 22 хаххау

Напред

0

х

у

Графиката на това уравнение се

нарича леминискат на Бернули

А сега уравнението

)()( 22222 ухаух

Напред

0

х

у

Графиката на това уравнение се

нарича астроида

А на това уравнение

3

2

3

2

3

2

аух

Напред

0

х

у

Тази крива се нарича

кардиоида

Следващ пример:

)(4)2( 222222 ухаахух

Напред

А сега на работа – да се научим да решаваме системи уравнения с две променливи

графически!! !

Уравнение 1,

Уравнение 2; ??Напред

Нека трябва да решим системата уравнения:

х2 + у2 = 25,

у = -х2 + 2х + 5;Да построим в една координатна система графиките на уравнениятах2 + у2 = 25 и у = -х2 + 2х + 5

Координатите на произволна точка от окръжноста се явяват решение на уравнението х2 + у2 = 25, а координатите на произволна точка от параболата се явяват решение на уравнението у = -х2 + 2х + 5.Значи, координатите на всяка от точките на пресичане на окръжноста и параболата удоволетворяват както първото уравнение на системата, така и второто, т.е. явяват се решение на системата.Намираме по рисунката значението на координатите на точките на пресичане на графиката : А(-2,2;-4,5), В(0;5),С(2,2;4,5), D(4;-3). Тогава системата има 4 решения

х1 -2,2, у1 -4,5 х2 0, у2 5

х3 2,2, у3 4,5 х4 4, у4 -3Второто и четвъртото от тези решения са точни, а първото и третото – приближени. Напред

Нека направим изводи от разгледания пример.

Запомнете две неща !

1. Ако точки на пресичане на графиките няма, то системата няма решение;

2. Координатите на точките на пресичане се определят приблизително, затова и решенията могат да се получат приблизителни;

За да проверите точността на получените решения, е нужно да ги поставите в уравненията на системата!

За да решите система с две уравнения с две неизвестни, е необходимо :

Да построите в една координатна система графиките на уравненията, влизащи в системата ; Да определите координатите на всички точки на пресичане на графиките (ако има такива); Координатите на тези точки ще бъдат решения на системата.

Напред

0

х

у

11

Задача 1Решаваме системата :

;03

,3

ух

ху

Преобразуваме системата уравнения :

;3

,3

хух

у

ху

3

ху 3

Напред

Строим в една координатна система графиките на

уравненията от системата

А сега самостоятелно определете решението на

системата.

0

х

у

11

Задача 2Решаваме системата :

;02

,02

ух

ху

Преобразуваме системата уравнения :

;2

,2

ху

ху

2ху

2ху

Строим в една координатна система графиките на

уравненията от системата

А сега самостоятелно определете решението на

системата.

Напред

0

х

у

11

Задача 3

х-у=1

3х+2у=18

Напред

Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете

системата, определена от тези уравнения, и нейното

решение.

0

х

у

11 х

у2

ху 2

Напред

Задача 4

Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете

системата, определена от тези уравнения, и нейното

решение.

0х

у

11

Задача 5

Напред

922 ух

3 ху

Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете

системата, определена от тези уравнения, и нейното

решение.

0

х

у

11

Пред Вас са графиките на две уравнения. Запишете

системата, определена от тези уравнения, и нейното

решение.

Напред

22 ху

42 ху

Задача 6

0

у