مفاهیم ریاضی گرافیک

مفاهیم ریاضی گرافیک

Computer Graphics I

SAFAEI

به نام خداوند هستی بخش یگانه جلسه چهارم

Iگرافیک کامپیوتری

ادامه مفاهیم ریاضی در گرافیک

جلسه چهارم


ان8دازه • ب8ه مب8دا ح8ول دوران همگن مختص8ات در

عبارت است از :θزاویه

ه8ای • عقرب8ه خالف جهت در دوران مثبت زاوی8ه

ساعت می باشد، بنابراین:

دوران حول مبداء مختصات

جلسه چهارم

cos (θ) sin (θ) 0

- sin (θ)

cos (θ) 0

0 0 1

جلسه چهارم Iگرافیک کامپیوتری

ماتریس دوران در جهت خالف عقرب8ه ه8ای س8اعت ب8ه ان8دازه •

(، 2و1(، )1و1 روی مرب8ع واح8د ب8ه مختص8ات ) درج8ه90زاوی8ه

( تعیین نمایید.1و2( و )2و2)

سوال


روي • تب8ديل خطي دو اعم8ال همگن مختص8ات در ب8ا متن8اظر ش8كل ه8اي ي8ك م8اتريس حاصلض8رب

تبديل آنهاست.

ان8دازه • ب8ه خ8واهیم ابت8دا می : را θمث8ال ش8کلی واح8د mح8ول مب8دا دوران دهیم و س8پس ب8ه ان8دازه

انتقال دهیم .xدر راستای محور

می توانیم از ماتریس تبدیل زیر استفاده کنیم :•

اعمال دو تبديل خطي روي يك شكل

جلسه چهارم

cos (θ) sin (θ) 0

- sin (θ)

cos (θ) 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

m 0 1

cos (θ) sin (θ) 0

- sin (θ)

cos (θ) 0

m 0 1

=


X’ =R (π/2)

X’’= s(1/2)x’

X’’’= T(5, 4)x”

یا

X’’’= Mx

M=T(5,4) S(1/2) R (π/2)

تبدیالت متوالی

جلسه چهارم

این امک8ان وج8ود دارد ک8ه نتیج8ه تب8دیالت مت8والی را بص8ورت •

اس8ت تب8دیالت هم8ه تلفی8ق ک8ه واح8د تب8دیل م8اتریس ی8ک

نمایش داد.


X’’= R(30) T (2, 3) X

ترتیب تبدیالت

جلسه چهارم

ضرب م8اتریس ه8ا خاص8یت جابج8ائی ندارن8د، ل8ذا ت8رتیب ه8ای •

متفاوت نتیجه متفاوت خواهند داشت.

X’’= T (2,3) R (30) X


دوران حول نقطه دلخواه

جلسه چهارم

ح8ول نقط8ه دلخ8واه θتب8دیل خطی دوران ب8ه ان8دازه زاوی8ه •(X0, Y0 : از سه تبدیل زیر تشکیل شده است )

( را به مبدا انتقال می دهیم.X0, Y0نقطه )•

را انجام می دهیم.θدوران به اندازه زاویه •

بازگرداندن نقطه•cos (θ) sin (θ) 0

- sin (θ) cos (θ) 0

0 0 1

1 0 0

0 1 0

-x0 -y0 1

cos (θ) sin (θ) 0

- sin (θ) cos (θ) 0

-x0 cos θ + y0 sin θ + x0 -x0 sin θ + y0 cos θ + y0 1

=1 0 0

0 1 0

x0 y0 1



جلسه چهارم

مختص8ات • ب8ا م8ربعی خ8واهیم می کنی8د ف8رض : تم8رین

را ب8ه ان8دازه D (1,2) و A(1,1) ، B(2,1) ، C(2,2)رئ8وس

دوران دهیم. B درجه حول نقطه 45

ابت�دا • ب�رای بدس�ت آوردن مختص�ات چهارض�لی حاص�ل حل تم�رین : درج�ه 45 را ب�ه مب�دا منتق�ل ک�رده و س�پس ب�ه ان�داره Bبای�د نقط�ه

ب�ازگردانیم، بن�ابراین م�اتریس Bدوران داده و مج�ددا مب�دا را ب�ه نقط�ه بصورت زیر خواهد بود.Bدوران نقطه



جلسه چهارم

ادامه حل تمرین •

با ضرب مختصات رئوس در ماتریس حاصل داریم:•

Bدر نتیج8ه مختص8ات چهارض8لعی دوران یافت8ه ح8ول مب8دا •برابر با ماتریس حاصل می باشد.



جلسه چهارم

ادامه حل تمرین •


انعکاس نسبت به یک خط دلخواه

جلسه چهارم

ه8ای • مح8وره ب8ه نس8بت و Xانعک8اس Y بدس8ت قبال را آوردیم.

ب8ه ص8ورت زی8ر ax+by+c=0انعک8اس نس8بت ب8ه خ8ط دلخ8واه •می باشد.

تبدیل خط مذکور به یکی از محورها•

انعکاس نسبت به آن محور•

تبدیل معکوس تبدل اول•

نقط8ه yمح8ل تق8اطع این خ8ط ب8ا مح8ور b≠0 فرض کنی8د •(0-,c/b.خواهد بود )

ابتدا نقطه فوق را به مبدا منتقل می کنیم .•

خط حاص8ل از مب8دا می گ8ذرد و ب8ا هم8ان ش8یب خ8ط اص8لی •(tan θ = -a/b)

•θ زاوبه بین خط و محور x.ها میباشد


انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه

جلسه چهارم

نگاش8ته Xبا دوران ب8ه ان8دازه خ8ط مربوط8ه ب8ه روی مح8ور •

می شود.

انجام می شود.Xحال تبدیل انعکاس نسبت به محور •

معک8وس دوران را انج8ام می دهیم ک8ه دوران ب8ه ان8دازه •

می باشد.

( می بریم.c/b,-0مبداء را به نقطه )•


انعکاس نسبت به یک خط دلخواه- ادامه

جلسه چهارم


3Dتبدیالت سه بعدی

جلسه چهارم


( 3 تبدیالت سه بعدیD)

مقیاس بدون تغییر

انتقال Y/Zانعکاس نسبت به صفحه

جلسه چهارم


( 3 دوران سه بعدیD)

X’ = x cos θ – y sin θ

Y’ = x sin θ + y cos θ

Z = Z’

Zدوران حول محور

جلسه چهارم



y’ = y cos θ – z sin θ

z’ = y sin θ + z cos θ

x = x’

Xدوران حول محور

جلسه چهارم



z’ = z cos θ – x sin θ

x’ = z sin θ + x cos θ

y = y’

Yدوران حول محور

جلسه چهارم


دوران در سه جهت مثبت

جلسه چهارم


( 3 تبدیالت سه بعدیD)

جلسه چهارم

Any Question

????


مفاهیم ریاضی گرافیک

Documents