Biological and Biological and Physical SciencesPhysical Sciences

Math ConceptsMath Conceptsریاضیریاضی

ObjectiveObjective

اهدافاهداف Understand basic math and statistic concepts Understand basic math and statistic concepts

اساسی و ابتدایی مفاهیم اساسی دانستن و ابتدایی مفاهیم دانستناحصایه و احصایه ریاضی و ریاضی

OverviewOverview

کلی کلی مرور مرور Mean, Median and ModeMean, Median and Mode Proportions, Ratios and RateProportions, Ratios and Rate SummationSummation PercentilesPercentiles GraphsGraphs

, روش یا طریقه و متوسط اوسط , حد روش یا طریقه و متوسط اوسط حدگیری اندازه و گیری تناسب اندازه و تناسب

جمع جمع فیصدیفیصدی

ها ها گراف گراف

Mean (Average)Mean (Average)

اوسط اوسط حد حدA A mean is the sum of all observed values divided by the count of the total mean is the sum of all observed values divided by the count of the total number of observations.number of observations.What is the mean of 3, 5, 8, 10?What is the mean of 3, 5, 8, 10?

(3+5+8+10)/4 = 6.5.(3+5+8+10)/4 = 6.5.

و ارقام تمام مجموعه از عبارت اوسط و حد ارقام تمام مجموعه از عبارت اوسط حدمیباشد ارقام ان تعداد به ان نمودن میباشد تقسیم ارقام ان تعداد به ان نمودن تقسیم

ارقام اوسط ارقام حد اوسط است؟ 1010و و 88, , 55, , 33حد است؟ چند چند((3+5+8+103+5+8+10/)/)44 = = 6.56.5..

MedianMedian

متوسطمتوسط The median of a set of numbers can be found by arranging all the numbers from lowest value to highest value and picking the The median of a set of numbers can be found by arranging all the numbers from lowest value to highest value and picking the middle one.middle one.What is the median of 3, 2, 4, 5, 7?What is the median of 3, 2, 4, 5, 7?

Arrange in ascending order first: 2, 3, 4, 5, 7. The middle number is 4.Arrange in ascending order first: 2, 3, 4, 5, 7. The middle number is 4.What is the median of 2, 1, 1, 3? What is the median of 2, 1, 1, 3?

Arrange in ascending order first: 1, 1, 2, 3. Since there are four numbers, the middle number is between the second and Arrange in ascending order first: 1, 1, 2, 3. Since there are four numbers, the middle number is between the second and third number, or 1.5.third number, or 1.5.

بین در که است7 عدد از عبارت اعداد از ست7 یک بین متوسط در که است7 عدد از عبارت اعداد از ست7 یک متوسط . دارد قرار عدد7 کوچکترین و . بزرگترین دارد قرار عدد7 کوچکترین و بزرگترین

اعداد متوسط اعداد عدد متوسط است؟ 77و و 55, , 44, , 22, , 33عدد است؟ چند چندتنظیم عدد بزرگترین طرف7 به کوچکترین از را اعداد تنظیم ابتدا عدد بزرگترین طرف7 به کوچکترین از را اعداد ابتدا

که مینما7یم انتخاب قرار ان بین در که عدد بعدا و که نموده مینما7یم انتخاب قرار ان بین در که عدد بعدا و نموده : است متوسط عدد از : عبارت است متوسط عدد از این 77و و 55, , 44, , 33, , 22عبارت بین در این که بین در که

عدد7 عدد7 اعداد دارد 44اعداد قرار عدد کوچکترین و بزرگترین بین دارد در قرار عدد کوچکترین و بزرگترین بین در . است متوسط عدد از عبا7رت . و است متوسط عدد از عبا7رت و

اعداد متوسط اعداد عدد متوسط است؟ 33و و 11, , 11, , 22عدد است؟ چند چند : مینمایم تنظیم ص7عودی ترتیب به اعداد : ابتدا مینمایم تنظیم ص7عودی ترتیب به اعداد از . از . 33و و 22, , 11, , 11ابتدا

جاییکه جاییکه ان ان

ModeModeThe mode is the number that occurs most often in a set of data.The mode is the number that occurs most often in a set of data.What is the mode of 1, 1, 2, 3?What is the mode of 1, 1, 2, 3?

1, since it occurs most often.1, since it occurs most often.What is the mode of 1, 2, 3, 4?What is the mode of 1, 2, 3, 4?

There is no mode since all numbers occur with same frequencyThere is no mode since all numbers occur with same frequency..

زیادترین اعداد از ست یک در که است عدد از عبارت زیادترین مود اعداد از ست یک در که است عدد از عبارت مود. باشد داشته .تکرر باشد داشته تکرر

اعداد ست اعداد مود ست است؟ 33و و 22, , 1,11,1مود است؟ کدام کدام11. است زیاد دیگر اعداد به نظر ان تکرر نظر .زیرا است زیاد دیگر اعداد به نظر ان تکرر نظر زیرا

اعداد اعداد مود است؟ 44و و 33 , , 22, , 11مود است؟ چند چندتکرار مرتبه عین به اعداد تمام زیرا ندارد وجود تکرار مود مرتبه عین به اعداد تمام زیرا ندارد وجود مود

. ) است) یافته مرتبه یک . صرف ) است) یافته مرتبه یک صرف

QuestionsQuestions

سواالتسواالت In a class of six students, the students’ ages were: 19, 21, 22, 32, 30, 20. In a class of six students, the students’ ages were: 19, 21, 22, 32, 30, 20.

What is the mean age of the students? What is the mean age of the students? What is the median age of the students? What is the median age of the students? What is the mode of ages?What is the mode of ages?

ذیل قرار سنین که نفری شش صنف یک ذیل در قرار سنین که نفری شش صنف یک در. . 2020و و 3030, , 3232, , 2222, , 2121, , 1919است: است:

است؟ چند سن اوسط است؟ حد چند سن اوسط حداست؟ کدام متوسط است؟ سن کدام متوسط سن

است؟ کدام مود است؟ سن کدام مود سن

AnswersAnswers

جواباتجوابات Mean = (19+21+22+32+30+20)/6 = 24.Mean = (19+21+22+32+30+20)/6 = 24.Arrange in ascending order first: 19, 20, 21, 22, 30, 32. Median is between the third and Arrange in ascending order first: 19, 20, 21, 22, 30, 32. Median is between the third and fourth number, or 21.5. fourth number, or 21.5. Since no number occurs more frequently than others, there is no mode.Since no number occurs more frequently than others, there is no mode.

اوسطسن = اوسطسن = حد ..2424 = = 66(/(/2020++3030++3232++2222++2121++1919))حد : مینمایم تنظیم ذیل قرار ار اعداد صعودی ترتیب : به مینمایم تنظیم ذیل قرار ار اعداد صعودی ترتیب , , 1919به

چهارم. . . 3232, , 3030, , 2222, , 2121, , 2020 و سوم عدد بین متوسط چهارم. سن و سوم عدد بین متوسط سناز عبارت که دارد از قرار عبارت که دارد است است 21.521.5قرار

مود عدد ازینرو نشده تکرار مرتبه چندین عدد هیچ مود چون عدد ازینرو نشده تکرار مرتبه چندین عدد هیچ چون . ندارد . وجود ندارد وجود

RangeRange

محدودهمحدوده The range of a set of data is the difference between its largest and smallest values.The range of a set of data is the difference between its largest and smallest values.What is the range of 2, 3, 1, 0, 8? What is the range of 2, 3, 1, 0, 8?

Arrange in ascending order first: 0, 1, 2, 3, 8. Range is 8-0 = 8.Arrange in ascending order first: 0, 1, 2, 3, 8. Range is 8-0 = 8.

و بزرگترین بین تفا7وت از عبا7رت رنج یا و محدوده بزرگترین بین تفا7وت از عبا7رت رنج یا محدوده. است اعداد از ست یک در رقم .کوچکترین است اعداد از ست یک در رقم کوچکترین

اعداد اعداد محدوده است؟ 88و و 00, , 11, , 33, , 22محدوده است؟ چند چندمینمایم تنظیم را اعداد صعودی ترتیب به مینمایم ابتدا تنظیم را اعداد صعودی ترتیب به , , 11, , 00: : ابتدا

22 , ,33 , ,88 از عبارت از محدوده عبارت . 88 = = 00 – – 88محدوده . است است

QuestionQuestion

سوالسوال What is the range of 43, 23, 35, 24?What is the range of 43, 23, 35, 24?

اعداد رنج یا اعداد محدوده رنج یا را را 2424, , 3535, , 2323, , 4343محدودهدریابید؟دریابید؟

AnswerAnswer

جوابجواب Arrange in ascending order first: 23, 24, 35, 43. Range is 43-23 = 20.Arrange in ascending order first: 23, 24, 35, 43. Range is 43-23 = 20.

تنظیم را اعداد صعودی ترتیب به تنظیم ابتدا را اعداد صعودی ترتیب به ابتدا4343, , 3535, , 2424, , 2323 نماید؟نماید؟

از عبارت از محدوده عبارت است است 2020 = = 2323--4343محدوده

ProportionProportion

نسبتنسبت A proportion is the count of observations with a given value or set of values A proportion is the count of observations with a given value or set of values divided by the count of the total number of observations.divided by the count of the total number of observations.Suppose you have a sample of five numbers: 3, 4, 6, 8, 10. What is the Suppose you have a sample of five numbers: 3, 4, 6, 8, 10. What is the proportion of numbers less than 7?proportion of numbers less than 7?

Since you have three numbers less than 7 out of five numbers, 3/5 = 0.6.Since you have three numbers less than 7 out of five numbers, 3/5 = 0.6.

به تقسیم نظر مورد اعداد تعداد از عبارت به نسبت تقسیم نظر مورد اعداد تعداد از عبارت نسبت . میباشد ست یک مجموعی اعدا . تعداد میباشد ست یک مجموعی اعدا تعداد

: دارید سمپل یک در عدد پنج که نماید : فرض7 دارید سمپل یک در عدد پنج که نماید , , 66, , 44, , 33فرض7از . 1010, , 88 کمتر که اعداد از . نسبت کمتر که اعداد است؟ 77نسبت چند است؟ است چند است

از کمتر که اعداد از چون کمتر که اعداد پس 77چون اند عدد سه پس اند اند عدد سه اند : میگردد دریافت ذیل قرار ان : نسبت میگردد دریافت ذیل قرار ان ..0.60.6 = = 3/53/5نسبت

QuestionQuestion

سوالسوال In a class of six students, the students’ ages were: 19, 21, 22, 32, 30, 20.In a class of six students, the students’ ages were: 19, 21, 22, 32, 30, 20.

What is the proportion of students who are younger than 23?What is the proportion of students who are younger than 23?

, انها سن دارد شششاگرد که صنف یک , در انها سن دارد شششاگرد که صنف یک در : است ذیل : قرار است ذیل ..2020, , 3030, , 3232, , 2222, , 2121, , 1919قرار

از کمتر شان سن که شاگردان از نسبت کمتر شان سن که شاگردان 2323نسبتاست؟ چند است؟ است چند است

AnswerAnswer

جوابجواب Proportion of the students younger than 23 Proportion of the students younger than 23 = 4/6 = 0.67. = 4/6 = 0.67.

0.670.67 = = 4/64/6 = = 2323جواب جواب

RatioRatio

تناسبتناسب A ratio is any division of one number by another; the numerator and denominator do A ratio is any division of one number by another; the numerator and denominator do not have to be mutually exclusive.not have to be mutually exclusive.In a basket, there are six apples and two oranges. What is the ratio of apples to In a basket, there are six apples and two oranges. What is the ratio of apples to oranges?oranges?

6/2 or 3. In this example, the apples have no relationship with the oranges.6/2 or 3. In this example, the apples have no relationship with the oranges.

عدد باالی عدد یک نمودن تقسیم از عبارت عدد تناسب باالی عدد یک نمودن تقسیم از عبارت تناسب. نیست, حتمی کسر مخرج و صورت بودن مشابه .دیگر نیست, حتمی کسر مخرج و صورت بودن مشابه دیگر . است نارنج عدد دو و سیب ششعدد خریطه یک . در است نارنج عدد دو و سیب ششعدد خریطه یک در

است؟ چند نارنج و سیب بین است؟ تناسب چند نارنج و سیب بین تناسب. 33یا7 یا7 6/26/2 رابطه هیچ نارنج با سیب مثال درین . است رابطه هیچ نارنج با سیب مثال درین استنداردندارد

Proportion (Another Way to Look At It)Proportion (Another Way to Look At It)

دیگر) طریق دیگر) نسبت طریق نسبت) ان (تعریف ان تعریف

A A proportion is a ratio in which those in the numerator are also in the denominator.proportion is a ratio in which those in the numerator are also in the denominator.In a basket, there are six green apples and two red apples. What proportion of the In a basket, there are six green apples and two red apples. What proportion of the apples are green?apples are green?

6/8 or 3/4 or 0.75. In this example, the numerator (six green apples) is 6/8 or 3/4 or 0.75. In this example, the numerator (six green apples) is included in the denominator (a total of eight apples).included in the denominator (a total of eight apples).

صورت ان در که است تناسب یک از عبارت صورت نسبت ان در که است تناسب یک از عبارت نسبت) ( اند جنس عین از است موجود مخرج در (همیشه ( اند جنس عین از است موجود مخرج در همیشه

سیب عدد دو و سبز سیب ششعدد خریطه یک سیب در عدد دو و سبز سیب ششعدد خریطه یک در. . است چند شان بین تناسب است .سرخ . است چند شان بین تناسب است سرخ

شش. ) 0.750.75یا یا 3/43/4یا یا 6/86/8 صورت مثال شش. ) درین صورت مثال درین ( ) مجموعا است شامل مخرج در سبز ( ) سیب مجموعا است شامل مخرج در سبز عدد عدد 88سیب

.) است (. سیب است سیب

RateRateA rate is a ratio in which those in the numerator are also in the denominator, and those in the A rate is a ratio in which those in the numerator are also in the denominator, and those in the denominator are "at risk" of being in the numerator.denominator are "at risk" of being in the numerator.In a basket, there are six green apples and two red apples. Furthermore, two of the six green In a basket, there are six green apples and two red apples. Furthermore, two of the six green apples are spoiled. What is the rate of spoiled apples in the basket?apples are spoiled. What is the rate of spoiled apples in the basket?

2/8 or 1/4 or 0.25. In this example, the numerator (two spoiled green apples) is included in 2/8 or 1/4 or 0.25. In this example, the numerator (two spoiled green apples) is included in the denominator (a total of eight apples). Furthermore, those in the denominator (all eight the denominator (a total of eight apples). Furthermore, those in the denominator (all eight apples) are at risk of being in the numerator (spoiled apples).apples) are at risk of being in the numerator (spoiled apples).

RateRate مخرج در ان صورت در که اشیای ان در که است تناسب از مخرج عبارت در ان صورت در که اشیای ان در که است تناسب از عبارت , موجود نیز صورت در ممکن اند مخرج در که اشیای و میباشد7 موجود , نیز موجود نیز صورت در ممکن اند مخرج در که اشیای و میباشد7 موجود نیز

باشندوباشندو . سیب عد7د دو است موجود سرخ سیب دو و سبز سیب شش سبد7 یک . در سیب عد7د دو است موجود سرخ سیب دو و سبز سیب شش سبد7 یک در

. پس اند شده گنده یا فاسد7 . سبز پس اند شده گنده یا فاسد7 است؟ raterateسبز چند7 شده گنده های است؟ سیب چند7 شده گنده های سیبسبز. ) 0.250.25یا یا 1/41/4یا یا 2/82/8 سیب دو کسر صورت سیب مثال سبز. ) درین سیب دو کسر صورت سیب مثال درین

, . ) ( ) سیب برعالوه است شامل نیز سیب هشت مخرج در شد7ه , گند7ه . ) ( ) سیب برعالوه است شامل نیز سیب هشت مخرج در شد7ه گند7ه ) ( ) نیز ) گندیده های سیب صورت در اند سیب هشت مخرج در که ( های ( ) نیز ) گندیده های سیب صورت در اند سیب هشت مخرج در که های

اند اند موجود موجود

QuestionsQuestions

سواالتسواالت In a basket, there are three bananas, two green apples, and five red apples. Two of In a basket, there are three bananas, two green apples, and five red apples. Two of the red apples are spoiled. the red apples are spoiled.

What is the ratio of bananas to red apples?What is the ratio of bananas to red apples?What proportion of the apples are red?What proportion of the apples are red?What is the rate of spoiled apples in the basket?What is the rate of spoiled apples in the basket?

, , سیب پنج و سبز سیب دو کیله سه سبد یک , در , سیب پنج و سبز سیب دو کیله سه سبد یک در. . اند گندیده سرخ سیب دو است موجود .سر7خ . اند گندیده سرخ سیب دو است موجود سر7خ

است؟ چند سر7خ سیب و کیله است؟ تناسب چند سر7خ سیب و کیله تناسباست؟ چند سرخ سیب است؟ نسبت چند سرخ سیب نسبت

raterate است؟ چند سبد در گندیده های است؟ سیب چند سبد در گندیده های سیب

AnswersAnswers

جواباتجوابات Ratio of bananas to red apples = 3/5 or 0.6.Ratio of bananas to red apples = 3/5 or 0.6.Proportion of the red apples = 5/7 or 0.71.Proportion of the red apples = 5/7 or 0.71.Rate of spoiled apples = 2/7 or 0.29.Rate of spoiled apples = 2/7 or 0.29.

سرخ = سیب و کیله سرخ = تناسب سیب و کیله 0.60.6یا یا 3/53/5تناسبسرخ = سیب سرخ = نسبت سیب 0.710.71یا یا 5/75/7نسبت

RateRate = گندیده های گندیده = سیب های 0.290.29یا یا 2/72/7سیب

SummationSummation

جمعجمع Summation sign is used to denote addition of a set of numbers.Summation sign is used to denote addition of a set of numbers.Instead of writing 1+2+3+4, you can write:Instead of writing 1+2+3+4, you can write:

44 ∑ ∑ ii i=1i=1

اعداد ست یک جمع دادن نشان جهت جمع اعداد عالمه ست یک جمع دادن نشان جهت جمع عالمهمیشود میشود استفاده استفاده

نوشتن عوض نوشتن به عوض عالمه , 44++33++22++11به میتواند عالمه , شما میتواند شمابرید بکار را برید ذیل بکار را ذیل

44 ∑ ∑ii

i=1i=1

QuestionsQuestions

سواالتسواالت 44 • ∑ ∑ i =i =

i=2i=2

44 • ∑ ∑ nn2 2 == n=1n=1

AnswersAnswers

جواباتجوابات 44 • ∑ ∑ i =i = 2+3+4 = 9 2+3+4 = 9 i=2i=2

44 • ∑ ∑ nn2 2 = (1)= (1)22+(2)+(2)22+(3)+(3)22+(4)+(4)22 = 30 = 30 n=1n=1

PercentilesPercentiles

فیصدیفیصدی The xth percentile of a distribution is the value such that x percent of The xth percentile of a distribution is the value such that x percent of the observations fall at or below it. the observations fall at or below it. To find the position of the first and third quartiles (or 25To find the position of the first and third quartiles (or 25thth or 75 or 75thth percentiles), you use the formula:percentiles), you use the formula:

Position of first quartile = (n+1)/4, where n is the number of Position of first quartile = (n+1)/4, where n is the number of observations.observations.Position of third quartile = 3*(n+1)/4, where n is the number of Position of third quartile = 3*(n+1)/4, where n is the number of observations.observations.

PercentilesPercentiles

فیصدیفیصدی For 2, 6, 4, 10, find the position of the first and third quartiles. For 2, 6, 4, 10, find the position of the first and third quartiles.

Arrange in ascending order first: 2, 4, 6, 10. Arrange in ascending order first: 2, 4, 6, 10. Position of first quartile = (4+1)/4 = 1.25.Position of first quartile = (4+1)/4 = 1.25.Position of third quartile = 3*(4+1)/4 = 3.75.Position of third quartile = 3*(4+1)/4 = 3.75.

This means that the position of first quartile lies one-fourth of the way This means that the position of first quartile lies one-fourth of the way between the first and second observations and the position of third between the first and second observations and the position of third quartile lies three-fourths of the way between the third and fourth quartile lies three-fourths of the way between the third and fourth observations.observations.

PercentilesPercentiles

فیصدیفیصدی The value of first quartile then is one-fourth of the way between the first The value of first quartile then is one-fourth of the way between the first (2) and second (4) observations, or 2+ ¼ (4-2) = 2.5. The value of third (2) and second (4) observations, or 2+ ¼ (4-2) = 2.5. The value of third quartile similarly is three-fourths of the way between the third (6) and quartile similarly is three-fourths of the way between the third (6) and fourth (10) observations, or 6+ ¾ (10-6) = 9.fourth (10) observations, or 6+ ¾ (10-6) = 9.This also means that 25% of values fall below 2.5 (2) and 75% of values This also means that 25% of values fall below 2.5 (2) and 75% of values fall below 9 (2, 4, 6).fall below 9 (2, 4, 6).

QuestionsQuestions

سواالتسواالت For 1, 2, 3, 4, 5, 6, find the values of first For 1, 2, 3, 4, 5, 6, find the values of first and third quartiles. Explain in terms of and third quartiles. Explain in terms of percentiles.percentiles.

AnswersAnswers

جواباتجوابات • Since there are six observations, n = 6. Since there are six observations, n = 6.

Position of first quartile = (6+1)/4 = 1.75.Position of first quartile = (6+1)/4 = 1.75. Position of third quartile = 3*(6+1)/4 = 5.25.Position of third quartile = 3*(6+1)/4 = 5.25. The value of first quartile is three-fourths of the way The value of first quartile is three-fourths of the way

between the first (1) and second (2) observations, or 1+ between the first (1) and second (2) observations, or 1+ ¾ (2-1) = 1.75. The value of third quartile is one-fourth ¾ (2-1) = 1.75. The value of third quartile is one-fourth of the way between the fifth (5) and sixth (6) of the way between the fifth (5) and sixth (6) observations, or 5+ ¼ (6-5) = 5.25. This means 25% of observations, or 5+ ¼ (6-5) = 5.25. This means 25% of values fall below 1.75 and 75% of values fall below 5.25. values fall below 1.75 and 75% of values fall below 5.25.

GraphGraph

گرافگراف Graphs are used to visually summarize data. Independent variables are on the Graphs are used to visually summarize data. Independent variables are on the x-axis and dependent variables are on the y-axis.x-axis and dependent variables are on the y-axis.

ارقام بصری نمودن خالصه جهت ارقام گراف بصری نمودن خالصه جهت گراف . در مستقل ارقام میگیرد قرار استفاده . مورد در مستقل ارقام میگیرد قرار استفاده مورد

محور xxمحور محور در وابسته ارقام محور و در وابسته ارقام قرار قرار yyومیگیرندمیگیرند

Graph (continued)Graph (continued)

گراف گراف ادامه ادامهSuppose you measured someone’s age and corresponding heightSuppose you measured someone’s age and corresponding height::

را کسی مربوطه قد و سن که نمایید را فرض کسی مربوطه قد و سن که نمایید فرض : مینماید گیری : اندازه مینماید گیری Ageاندازه Height (cm)

2 405 508 75

10 9012 12515 16017 17520 18023 180

Line GraphLine Graphخطی خطی گراف گراف

y-axis

x-axis

Age 5 10 2515 20

50

100

150

200

Another Example of Bar GraphAnother Example of Bar Graph

گراف از دیگر گراف مثال از دیگر مثالستونیستونی

Questions??Questions??

سواالت؟؟سواالت؟؟