131

131

كان ص 1س) =h اذا س= ) ، (1، المستوى فينقطتين (2ص، 2بفإن

النقطتين فإن بين ب h البعد اآلتية ، بالعالقة يعطى

h( = س 2 (1ص – 2ص + )2 (1س – 2ب

=نقطتين بين البعد

....................................................................................................النقطتين بين البعد -1 )ب ، )h )4 ،1أوجـد ،

3 )

طول 5 = = = البعد = وحدة

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

م =) النقطتين بين البعد ن( = )1-، 8أوجـد ، 3 ،2 )

ن = طول = = م وحدة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أكملالنقطة( )1) بين طول( = ............... 5، -0،( )3، 6البعد وحدة

131

131

النقطة( )-2) بين وحدة( =.............. 4، 3البعد األصل ونقطة

طول

النقطتين( )-3) بين طول ( =........... 12، 0،( )0، 5البعد وحدة

النقطة( )4) بين طول( = .............. 0، 6و( )0، 15البعد وحدة

(5( مركزها( التي الدائرة قطر نصف بالنقطة ( 4، 7طول وتمر

طول( = .... 1، 3) وحدة

النقطة( )6) بين طول ( =.............. 1، 2،( ) -5، 3البعد وحدة

س ) النقطة ص 1بعد األصل( =1، نقطة عن

المثلث أن النقط رؤوسه الذيأثبت h=)1 , -2( ب جـ( = )2 , 4)- = ، متساويثلث م (6 , 1،

الساقين

hب = = =

جـ = = = ب

h = 8 = = جـ

أن جـ = h حيث ب جـ hالمثلث :.ب ب

الساقين متساوي

كان ، h= )7 اذا جـ( 6، 7ب = ) ، )0 ، -(=1 ،6)المثلث أن الزاوية hأثبت قائم جـ وأوجـدب

ه مساحتبروؤسه المارة الدائرة مساحة وأوجـد

131

131

h= طول 6 = = ب وحدة

= جـ طول 8 = = ب وحدة

hطول 10 = = = جـ وحدة

(h) جـ = ) (2جـ 2ب (h + )2ب

.:h ب في الزاوية قائم مثلث جـ بالمثلث = جـ × مساحة جـh × ب

مربعة 24 = 6 × 8 × = وحدةالوتر منتصف المثلث برؤوس المارة الدائرة مركز

الوتر = = نصف طول الدائرة قطر نصف طول 5طول وحدةالدائرة = مربعة π × 25 = 25 π = 2نق πمساحة وحدة

كان فيه h إذا مثلث جـ ، h = )-3ب 4((= ب جـ( 4، 3، ، (=3, 2 )

المثلث أن الزاوية hأثبت قائم جـ وأوجدبمساحته

h = 6 = = ب

جـ = 2= = ب

h= جـ = = =

( h) (2ب(h، )40 = 2جـ جـ + ) 40 =4 + 36 = 2ب ( h) (2ب(h) = 2جـ جـ + ) 2ب

ب hالمثلث في الزاوية قائم جـ ب

h

بجـ 8

6

131

131

المثلث = جـ × = h × مساحة ب وحدة 6=2 × 6 × ب

مربعة

المثلث نوع جـ hبين حيث ب لزواياه بالنسبة h=)3 ،10((= ب جـ( = )5، 8، ،5 ،2)

h ب = = =

جـ = = = ب

h = جـ = =

ان المثلث حيث أضالع أطول هو (h) (2(ب h)، 68 = 2جـ جـ + ) 68 = 18 + 50 = 2ب

( h) (2ب(h) = 2جـ جـ + ) قائم hالمثلث :. 2ب جـ بب في الزاوية

المثلث نوع جـ hبين حيث ب لزواياه بالنسبة h=)1 ،-1((= ب جـ( = )-1، 2، ،3- ،2 )

h ب = = =

جـ = = = ب

h = جـ = =

ان المثلث بحيث أضالع أطول هو جـ(ب) 22 = 17 + 5 = 2جـ(h + )2(ب h، )34 = 2جـ

(ب ) 2جـ(h + )2ب(h) < 2جـ

جـ hالمثلث :. في منفرج ب hالزاوية

131

131

المثلث( 1) نوع جـ hبين حيث ب ألضالعه بالنسبة h=)-2 ،4((= ب جـ( = )1، -3، ،4 ،5)

المثلث( 2) نوع جـ hبين حيث ب لزواياه بالنسبة h=)3 ،3((= ب جـ( = )1، -4، ،1 ،1)

المثلث (3) أن جـ hأثبت حيثبh =)5 ، -5(-(= ب جـ( = )7، 1، ب( 15، 15، في الزاوية قائم

مساحته وأوجد

المثلث ( (4) أن جـ hأثبت حيثبh =)1 ، 4(-(= ب جـ( = )2، -1، وأوجد( 3، -2، الزاوية قائممساحته

النقط أن h= )3أثبت ، ب = )-)1- جـ( =)6، 4، ،2- ،2 )

م =)- مركزها دائرة علي وأوجد( 2، 1تقعمحيطها

h = 5 = = = م

م = 5 = = = ب

م = 5 = = = جـ

h .: = = م جـ م ب واحدة hم دائرة علي تقع جـ ، ب ،

م مركزها

طول 5نق = وحدةالدائرة:. = π × 5 = 10π × 2نق = π 2محيط

طول وحدة

131

131

-( = م النقطة أن تمر( 6، 4أثبت التي الدائرة مركز هيبالنقط h= )-6 ، ب = ))2 جـ( = )-8، 0، طول( 4، 8، وأوجدقطرها نصف

النقط أن h=) 4أثبت ، ب =) )3 ،1 ،1-( = جـ ( ،5- ،3 )

واحدة استقامة علي تقع

h = ب = =

جـ = 2 = = = = ب

h = 3 = = = = جـ

.:h = جـh + جـ ب استقامة D h ب علي تقع جـ ، ب ، واحدة

واحدة استقامة علي النقط أن إثبات يمكنكاآلتي الميل باستخدام

جـ = = = بhميل ب ميل ،=

=

h واحدة استقامة علي تقع جـ ، ب ،

المستقيم = الخط ميل

البعد باستخدامالنقط هل يأتي فيما ال hبين أم واحدة استقامة علي جـ ، ب ،

الميل باستخدام ذلك حقق ثم

131

131

(1)h = )1 , 2( ب جـ( 6، 3= ) ، ، = -(2- , 4 )(2)h =)1 ، 4(( =16، 3( ، جـ = )-2 ، -3 ، ب)(3)h= )-1 ، -4((= 2 ، -0( ، جـ =)0 ، 1 ، ب)

النقطتين ) بين البعد كان ، hإذا يساوي( ،3 2،( )-7قيمة 5 hأوجد

=5

الطرفين بتربيع 5 = بتربيع

الطرفين (h+2)2 + )7-3(2 =25 )h+2(2 + )7-3(2 =25

h2 + 4h +4 + 16 =25 )h+2(2 + 16 =25

h2 + 4h +20 =25 )h+2(2 = 9

h2 + 4h - 5 = 0 )h+2( = 3 أو (h+2) -= 3 بإجراء التحليل (h + 5()h -1= )0 h = 3 -2 = 1 أوh = -3 – 2

= -5

h =-5 أوh =1

( ، س النقطة بعد كان النقطة( )5اذا (1، 6عن 2يساوي

س قيمة احسب

الطرفين 2= بتربيع

20 =2(1 - 5 + )2(6 –س) 20 =16 +36س +12 -2س

0 = 20 -52س +12 -2س 0 =32س +12 -2س

131

131

-4س) - س =4س = D 0( = 8س( ) 8أوالطرفين ) ( تربيع إجراء بعد آخر حل

4 =2(6 –س :. ) D 20 =16 + 2(6 –س) 2 = -6 –س 2 = 6 –س 4 = 6 + 2س = -8 = 6 + 2س =

النقطتين ) بين البعد كان ، hإذا 7( )،3h - 1 ، -5)

قيمة 13يساوي hأوجد

=13

الطرفين 13= بتربيع

(-2h+1)2 + )7 + 5(2 =169

4h2 - 4h +1 + 144 =169

4h2 - 4h +145 -169 =0

4h2 - 4h -24 = 0 علي 4بالقسمة h2 – h – 6 = 0

D )h-3( )h +2( =0بإجراء التحليل h= 3أو

h =-2

كان 5( ، جـ =)2 ، 3( ، ب = )3 =)س ، hإذا ،1)

ب = ب جـ أوجد سhوكان

hب = ب جـ

الطرفين = بتربيع

2(1 - 2 + )2(5 – 3 = )2(2 - 3 + )2(3 –س)

1 +4 = 1 + 9س + 6 - 2س

131

131

0 = 5 – 10س +6 - 2س

التحليل 0 = 5س + 6 - 2س بإجراءس =5س =D 0( =1س( ) -5 –س) 1أو

( ، س النقطة كانت متساويين( 1إذا بعدين عليالنقطتين من

h = )4 ، ب = ))2 س( 3، 3، قيمة احسب

الطرفين = بتربيع

2(3 – 1 + )2(3 –س = ) 2(2 – 1 + )2(4 –س)

4 + 9س + 6 – 2س = 1 + 16س + 8 - 2س

13س + 6 – 2س = 17س + 8 - 2س

17 – 13س = 6س + 8-

2س :. = 4س = - 2- ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

بين ( 1) البعد كان ، نقطتين )الاذا يساوى( 4، 1( )4كوحدات 5

ك قيمة 6الجواب أوجـد 4أو -

كان( 2) وكان 5ب = hإذا طولية ، =) hوحدة ب( = )4س ،3 ،1)الجواب س 7أوجد

1أو -

م( = )3) كان ( = )3اذا ن ، ص ن( = 2، 1، م 2وكانالجواب ص قيمة أو 6أوجد

-2

131

131

(4( النقطة( كانت ( 3إذا من متساويين بعدين علي تقع ص ، (0، 3، ( )-5، 2النقطتين )

الجواب = - ص 1أوجد

h فيه رباعي شكل د جـ ، h )2ب 4(-( ب جـ( )-0، 3، ،7 ،5)

د ) - الشكل( 9، 2، أن مربع hأثبت د جـ ب

h = ب = =

جـ = = = ب

د = = = جـ

hد = = =

h = = = د جـ جـ ب متساوية ) (د = hب األضالع جميعمربع او معين إما يكون الشكل

مربع يكون متساوية كانت إذااألقطار أطوال نوجدمعين يكون متساوية غير كانت إذا

h= جـ = =

د = = = ب

h .: = مربع الشكل يكون د ب جـ

النقط أن ، h )-2أثبت 5(( ب جـ( )-3، 3، د( 2، 4،- (9 ،4 )

أضالع متوازي روؤس

h = ب = =

جـ = = = ب

131

131

د = = = جـ

h = د = =

h = = جـ ب ، د جـ متقابلين )) hب ضلعين كل دمتساويين((

اضالع متوازي أو مستطيل يكون الشكل

مستطيل يكون متساوية كانت إذااألقطار أطوال نوجدمتوازي يكون متساوية غير كانت إذا

أضالع

h = جـ = =

د = = = ب

أن د ≠جـ hنستنتج متوازي D hب د جـ بأضالع

h فيه رباعي شكل د جـ ب h)3 ، 3(( ب جـ( )-1، -1، د( )-3، -3، ،1 ،1 )

مساحته وأوجد معين الشكل أن أثبت

h = = = ب

جـ = = = ب

= = = جـ د

hد = = =

األقطار أطوال نوجد متساوية األضالع

131

131

h = جـ = =

د = = = ب

متساويين غير معين Dالقطرين الشكل

المعين = القطرين مساحة طولي ضرب حاصل

مربعة 12 = × × = وحدة

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

اآلتية العبارات أكمل

النقطة )-(1) النقطة ( )-0، 1بعد ( = .............1، 3عن

النقطة )(2) اآلصل ( = ...........6، -8بعد نقطة عن

النقطة ) (3) بين البعد كان hإذا ، وحدة ( ،1 0،( )0 يساوي

فإن = ........hطول

النقطتين (4) بين ، h)6البعد 0(( ب ،0- ،8.......... = )

(5)h حيث مربع د جـ ، h)3ب 5( ( ب مساحة( 2، 4، فإن

المربع =.........

(6)h حيث معين د جـ ، h)3ب 5(- ( ب محيط( 2، 1، فإن

المعين =.........

131

131

........ ( عن محور السينات يساوي 3 ، -2بعد النقطة )(7)

يساوي( .............3- ، 2بعد النقطة )(8) الصادات محور عن

األقواس بين من الصحيحة االجابة اختر

تكون( :8، 0،( )0، 6،( )0، 0النقط( )1)

الزاوية ) منفرج الزاوية أو مثلث قائم حاد أو مثلث مثلثواحدة أو الزوايا استقامة (علي

قطرها( 2) نصف وطول األصل نقطة مركزها وحدة 2دائرة

للدائرة تنتمي اآلتية النقط أي

(1، )أو (1، )أو (1، 2) -أو (2، 1)

عن (4) تبعد التي النقطة متعامد احداثي مستوي فيمسافة األصل تكون 2نقطة أن يمكن طول وحدة

( 5، 3)- أو ( 2، 0)أو ( 1، 2)أو ( 2، 1)

اآلتية : - h أوجد الحاالت في ب

[1]h = )2 ، ب = ))1- ،5- ،5[ )2 ]h =)5 ، ب =))2 ،1- ،

1)

[3 ]h =)-2 ، ب = ))7 ،3- ،5[ ) 4 ]h = )-2 ، ب = ))5 ،3 ،

0 )

[5 ]h = )0 ، ب = )-)0 ،3- ،4[ ) 6 ]h = )-3 ،12(( = ب ،5 ، 6)

ال أم واحدة استقامة علي تقع اآلتية النقط هل

131

131

[1 ]h=)3 ، 2(-( = ب جـ( = )-4، 1، ،5 ،6)

[2 ]h = )7 ، ب =)-)5 جـ( =)2، 2، ،1 ،3)

[3 ]h= )-1 ، ب = ))4 جـ( =)-14، -3، ،5- ،6)

[4] h= )1 ، ب )8 جـ = ) ( 7، 6= ) ، ،11 ،1)

النقط أن = )-2 , -2ب =) ، )h = )5 , 2أثبت جـ( ،2,

1 )

مساحته رؤوسهي وأوجـد الزاوية قائم مثلث

المثلث نوع حيث hبين لزواياه بالنسبة جـ ب h =)-2 ، ب = ))3 جـ( =)2، -1، ،6 ،0)

التالية النقط أن أضالع متوازي رؤوسأثبت h = )-2 , 4(( = ب جـ( = )3 , -5، ( 8، 0د = ) ،( 1، 7،

طول واحسب مربع رؤوس اآلتية النقط أن أثبتومساحته قطره

h =)3 ، ب = ))3 جـ( =)3، 0، د( =)0، 0، ،3 ،0 )طول، الجواب مربعة 9وحدة وحدات

معين رؤوس اآلتية النقط أن أثبت h = )3 ، ب = ))3 جـ( =)-9، 5، د( =)-7، 1، ،3 ،1)

h فيه رباعي شكل د جـ ، h)5ب 3(( ب ،6- ،2( جـ ( ،1- ،

1( د( ،0 ،4)

مساحته وأوجد معين الشكل أن أثبت24الجواب

131

131

المثلث نوع حيث hبين لزواياه بالنسبة جـ ب h =)0 ، ب = ))5 جـ( =)-0، 3، ،3- ،2)

كانت ،) -hإذا ) 2س ب( وحدة5ب =hوكانت( 1، 7،س أوجد طولية

3أو 11الجواب ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــالتالية النقط أن واحسب رؤوسأثبت مستطيل

قطره طول h = )0 , 1(( = ب جـ( = )5 , 4، ( 4، 3-د = ) ،( 8، 1،

الجواب ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــالمرسوم الشكل في

ومنزل( 1) أحمد منزل مواقع تمثل التي النقط إحداثيات أوجدوالمدرسة السيارات وموقف سعيد

المدرسة )( 2) عن أحمد منزل عن( 3بعد سعيد منزل بعدالمدرسة

سعيد( 4) منزل أم أحمد منزل للمدرسة أقرب أيهما

1

2

3

4

66

7

4 5 6 721

ص

3س

h

بو

8

8 9 10 11 12

جـالمدرسة

موقف السيارا

ت

منزل أحمد

د منزل سعيد

131

131

الطريقان( 5) السبب ، هل ذكر مع متعامدان

كان ص 1س =)hإذا س( =)1، ب ص 2، ،2 )

جـ و منتصف كانت

جـ =) (، فإن

(، جـ = )

ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

، h =)4كانت إذا -3(-( = ب احداثى جـ أوجـد( 9، 2،منتصف

(3، 1جـ :. = )D ( ، جـ = ) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

ــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــ

أكمل كانت( 1) ، h =)2إذا 4(( = ب منتصف( 0، 6، ،= )...... فإن

).....

كانت( 2) ، h =)7إذا -5(-( = ب منتصف( 5، 3، = )......فإن

)..... ،

بج

مثال1

hص 1س) ،1)

ص 2س) ،2)

131

131

كانت( 3) ، h =)-3إذا 6( ( = ب منتصف( 6، -3، = )......فإن

)..... ،

كانت( 4) ، h =)7إذا -6(-( = ب منتصف( 0، 1، = )......فإن

)..... ،

كانت( 5) ، h =)3إذا 6(-( = ب منتصف( 4، 7، = )......فإن

)..... ،

جـ =) النقطة كانت منتصف( 1، -3إذا

، = ) hوكان ب( = )-2س ،5 ) ص ، س أوجد ص ،

( ،( = )3- ،1)

=3 - = 1 2 = -2ص + 6 = 5 –س

4 = -2 -2ص :. =-11 = 5 + 6س:. =

النقطة ) كانت ، hإذا القطعة( 1 منتصف احداثي هيطرفيها التي المستقيمة

والنقطة ) األصل ( 4نقطة قيمة أوجد ب ، hب ،

مثال2

مثال3

بج h (3- ،1) (، ، 5)-(2س

(h ،1) ب (4) ،(0 ،0)

131

131

( ،( = ) h ، 1)

=h = 1

2h = 4 = 2ب h = 2 h =2 =2 ، ب

جـ ) كانت ، h )5حيث منتصف( 4، -6إذا أوجد )3-ب النقطة إحداثي

) ( = ص ، س جـ نفرض

( ،( = ) 6- ،4)

=6 - = 4

8 = -3ص -12 =5س + 3 + 8ص = -5 -12س = (5، -7جـ :. = )5ص = -7س=

القطعة( 1) منتصف إحداثي هي األصل نقطة كانت إذا، h )5حيثالمستقيمة -2(

-( ب الجواب ب النقطة إحداثي (2، 5أوجد

جـ( = )2) النقطة كانت تنصيف( 1، -2إذا نقطة hحيث هي= )3 ، 5 ( الجواب ) ب إحداثي ( 7، -1أوجد

مثال4

(6- ،4) (5- ،3) (، سص( hج

ـب

131

131

كانت ، h)1إذا -6(( ب النقط( 2، 9، إحداثيات أوجدتقسم التيالطول في متساوية أجزاء أربعة إلي

التقسيم نقط هي هـ ، جـ ، د النقط نفرض

منتصف جـ أن (2، -5 = )جـ = D حيث

منتصف د أن -3= )د =D حيث ،4)

منتصف هـ أن (0، 7= )د =D حيث

-3د = )النقط جـ = )(4، هـ( = )2، -5، ،7 ،0)

كان حيث = = hإذا د جـ جـ ب ، h)1ب جـ ))3 ،5 ،1)د وإحداثي ب إحداثي أوجد

منتصف ب أن ( 2، 3 = )ب = Dجـ hحيث

) ص ) ، س د نفرض

مثال5

(1- ،6) (9 ،2)hج

ـب هد

ـ

مثال6

(1 ،3)(5 ،1)hج

ـدب

(1 ،3)(5 ،1)

h

جـ

دب

، س)(2، 3)ص(

(1- ،6) (9 ،2)hج

ـب هد

ـ

(5- ،2) (3- ،4)(7 ،0)

131

131

( ،( = ) 5 ،1)

=5 = 1

2 = 2ص +10 = 3س +1ص =7س =

(1، 7د =)

المستقيمة( 1) القطعة تقسم التي النقط إحداثيات أوجدمتساوية أجزاء أربع إلي

، h =) 1حيث ب =))4- ، 4،( )0، 3،( )2، -2الجواب( )4، 5،

2)

المستقيمة( 2) القطعة تقسم التي النقط إحداثيات ب hأوجدمتساوية أجزاء أربع إلي

، h =) 7حيث ب =))3- ،( )1، -4،( )2، -الجواب( )1، 1، ،0)

المقابل( 3) الشكل فيالمثلث في منتصف hمتوسط م ، جـ ب

، h)0حيث 8(( ب ،3 ،2-( جـ( ،3 ،6) )...... .... ( = ، د

)...... .....(= ، م

h فيه أضالع متوازي د جـ ب h =)3 ، ب =)-)1- جـ( =)-2، 5، إحداثي( 4، 2، أوجد

د النقطة

مثال7

جبـ د

م=

=

h

131

131

) ص = ) ، س د إحداثي نفرض

القطرين تقاطع نقطة م

(، ( = )، م = )

منتصف م أن وحيث

= =

3 =2ص +1 = 5س -د = )D 1ص =6س = النقطة (1، 6إحداثي

h فيه أضالع متوازي د جـ ب h =)3 ، ب =))2 ،4- جـ( =)5، إحداثي( 3، -0، أوجد

تقاطع نقطةد النقطة إحداثي أوجد ثم قطريه

) ص = ) ، س د إحداثي نفرض

تقاطع نقطة منتصف = إحداثي قطريه

= م =

أضالع متوازي الشكل أن حيث

منتصف= منتصف

مثال8

جبـ

د h\\

\\

(3 ،2)

(4- ،5)

(، سص(

(0- ،3)

جبـ

د h\\

\\

(3- ،1)

-(5 ،2)

(، سص(

-(2 ،4)

م

م

131

131

= =

1 =-5ص -3 =4س +

4 = 5+1ص =-1 = -4 -3س =

د =)- النقطة (4، 1إحداثي

(1) h د جـ فيه متوازيب ب = ))h =)3 ،10أضالع جـ ( 1، 8، ، (=9 ،8)

القطرين إحداثيأوجـد تقاطع د إحداثي ونقطة نقطة(17، 4،( )9، 6)الجواب

الشكل( 2) يكون بحث د النقطة إحداثي د hأوجد جـ بأضالع متوازي

كانت ، h =)7اذا ب =))4 جـ( =) -8، 3، ،3 ،0) -1الجواب ) ،4)

النقط أن =)) h = )6 ،0 أثبت ب جـ( 4-، 2، ، (=-4, 2) قائم روؤس د الزاوية مثلث إحداثي وأوجد ب في

مستطيل الشكل تجعل التي

مثال9

131

131

h= طول = = ب وحدة

جـ = طول = = ب وحدة

hطول = = = جـ حدة

(h) جـ ) (104 =2جـ ب ،2( + h) 104= 2ب

(h) جـ = ) (2جـ 2ب (h + )2ب

.:h ب في الزاوية قائم مثلث جـ ب

) ص = ) ، س د إحداثي نفرض

(1، 1( = )، م = )

مستطيل الشكل أن حيث

منتصف= منتصف

(، ( =)1 ،1)

=1 ، = 1

2 = 4ص -2 =2س +

6 = 4 + 2ص =0 = 2 -2س =

D(= 6، 0د )المثلث أن النقط رؤوسه الذيأثبت h=)-3 , 0( ب جـ( = )4 , 3) = ، متساويثلث م (6- , 1،

المستقيمة hرأسه الساقين القطعة طول أوجد ثم

من علي hالمرسومة عمودية

h= طول = = ب وحدة

مثال10

جبـ

د h\\

\\

(6 ،0)

(2- ،4)

(، سص(

-(4 ،2)

م

131

131

جـ = طول = = ب وحدة

hطول = = = جـ حدة

h ب= h = جـ D الساقين متساوي المثلث

منتصف هي د أن نفرض

(1، -2 ) ( =،)د =

h = د = =

النقط كانت ، h)3إذا 2(( ب ،4- ،3-( جـ( ،1- ،2-( د( ،2

،3)

القطرين تقاطع نقطة إحداثي أوجد معين روؤس

المعين ومساحة

منتصف = القطرين تقاطع (0، 1 = ) (،) = نقطة

h = جـ = =

د = = = ب

القطرين = = ضرب حاصل نصف المعين × ×مساحة

مربعة 24= وحدةكانت ، h)-1إذا -1(( ب ،2 ،3( جـ( ،6 ،0( د( أربع( 4، -3،

في نقط

مثال11

مثال12

(6 , -1جـ = )(4 , 3ب) د

h )-3 , 0(

131

131

أن أثبت متعامد إحداثي ينصف ، مستوي

اآلخر منهما كال

الشكل نوع عين ثم

(، ) (=، ) = منتصف

(، ) (=،)= منتصف

كال ، D منتصف = منتصف ينصفاآلخر منهما

h = 5 = = = ب

جـ = 5 = = = ب

د = 5 = = = جـ

h= 5 = = =د

معين : أو مربع إما الشكل متساوية األضالعاألقطار أطوال نوجد

h = جـ = =

د = = = ب

متساوية مربع Dاألقطار الشكل

131

131

( 3 ،4)جـ = المقابل الشكل في ، ب hأوجد إحداثي نقطة ، ثم أوجد طول

( 0 ، = )سh نقطة نفرض ص( ،0= ) ب نقطة نفرض و

منتصف جـ النقطة أن حيث

( ،=) (4، 3)

=4 = 3

6ص = 8س =

(6 ، 0 نقطة ب = ))h =)8 ، 0نقطة

ب = h = 8و و طول طول 6وحدة وحدة

h فيه أضالع متوازي د جـ ، h)3ب 4(( ب ،2- ،1( جـ( ،

-4- ،3)

هـ خذ د إحداثي إحداثيات 2hهـ = hحيث Jأوجد أوجد د

هـ النقطة

منتصف= منتصف

hو

ب

=، 4)جـ

3)

=

س

ص1مثال

3

1مثال4

جبـ

د h\\

\\

(3 ،4)

(2- ،1)

(، سص(

-(4- ،3)

131

131

( ،( =) ،)

= =

1 = 1ص -1 =-2س +

( 2، 3د =) -D 2 =1 + 1ص =3 = -2 -1س =-

الحل من الثاني الجزء

h = 2هـh د D منتصف د نقطة

( ،) - ( = 3 ،2)

- =3 = 2

4 = 4+ ص6 = - 3+ س

4 - 4= ص9 = - 3 – 6= - س

=0

(0 ،9= ) - هـ نقطة احداثي

يأتي فيما النقط مكان أكمل 1 تمرينكانت( 1) ، h =)1إذا 0(-( = ب منتصف( 2، 7، ،= )...... .....(فإن

كانت( 2) ، h =)1إذا 2(( = ب منتصف( 4، 3، ،= )...... .....( فإن

جبـ

h

\\

\\

(3 ،4)

(2- ،1)

( 2، 3د) -

-(4- ،3)

س، ) هـص( ××

131

131

القطعة( 3) منتصف إحداثي هي األصل نقطة كانت إذا

النقطتين طرفيها التي المستقيمة

- (، ( =....... =........3،( ) 1س ص ، س فإن ص ،القطعة ( 4) منتصف إحداثي هي األصل نقطة كانت إذا

، h )3 حيث المستقيمة ب =............)4- نقطة احداثي فإن

جـ( )5) كانت منتصف( 1، -3إذا )h(4حيث هي ) ب ، ص ،2- ،5)ص =........... فإن

الحاالت في ص ، س أوجد منتصف جـ كانت إذا 2 تمرين اآلتية

، h =) 1أوال : 5(( = ب ،3 ،7 ) الجواب( = ) ص س، جـ ،2 ،6

= )h-( = 3ثانيا : ) ب ، ص س،( = ) -11، 9، جـ ، -3الجواب( 3،

17

، = ) -hثالثا : = )6س ب( جـ( = ) -11، -9، ،3) ص ، 15الجواب -،

-8.5

، = ) hرابعا : = )3س ب( ،6 ( = ) جـ ، ص ، 2الجواب( 6، 4،9

كان 3 تمرين حيث = = hإذا د جـ جـ ب ، h)0ب جـ )-)5 ،2 ،1)الجواب ) - د وإحداثي ب إحداثي ،( ) -3، 1أوجد

3- ،1)

المثلث 4 تمرين أن جـ hأثبت ، h =)5حيثب -5(-(= ب ،1 ،7 )،تجعل( 15، 15جـ = ) التي د إحداثي وأوجد ب في الزاوية قائم

مستطيل hالشكل د جـ ب ( = د (3، 21الجواب

131

131

5 تمرين النقط أن ، h)5 أثبت 3(( ب جـ( )-2، -3، مثلث( 4، -2، روؤس

الشكل تجعل التي د إحداثي أوجد ثم ب في الزاوية منفرج

سطحه مساحة وأوجد معين

د =) المعين( = 1، 0الجواب سطح مساحة ،21

مربعة وحدة

كانت 6 تمرين ، h)-1إذا -1((= ب جـ( =)3، 2، ،6 ،0( د( ،3- ،4) ، أن أثبت متعامد احداثي مستوي في نقط أربعاآلخر منهما كال ينصف

محورJ ب ، السينات محور hJ كانت إذا 7 تمرينالصادات

أحداثي أوجد منتصف ( هي2 ،4)- جـ وكانت h، ب

الجوا ( 4 ،0) ب ،)h)- 8 ، 0 ب

8 تمرينالنقط كانت ، h)-1إذا 2(( ب جـ( )7، 3، ،4 ،5 ( س( د ص 1 –، ،–

2 )الجواب ص ، س أوجد أضالع متوازي 2، 1رؤوس

9 تمرينكانت تقع إذا نقط ثالث هـ ، د ، جـ مستقيمة قطعة

بحيث علي h = = = كانت فإذا ب هـ هـ د د جـ ، h= )-2جـ 1( (= ب ،6 ،5 )

هـ ، د ، جـ النقط إحداثيات أوجد

131

131

جـ ) د( )2، 0الجواب ،2 ،3 ( د( ،4 ، 4 )

( ،0 ،5ب)- ،)h)3 ، -2 النقط كانت إذا 10 تمرين أضالع متوازي ص( رؤوس ، د)س ( ،7- ،0) جـ

د نقطة إحداثي أوجد 8د) الجواب

، -9)

،)h)5 ، -2 حيث أضالع متوازي د جـ بh 11تمرين ( 1 ،3)- جـ ( ،2 ،3ب)

د نقطة إحداثي أوجد (3- ،1د) - الجواب