лекция тригонометричні функції
TRANSCRIPT
![Page 1: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/1.jpg)
Презентація до уроку вчителя КЗО “СЗШ №54” м. Дніпропетровська
Карповської Інни Анатоліївни16.02.2012.
1
![Page 2: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/2.jpg)
ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇФУНКЦІЇ
2
22
3
y = sin x,
y = cos x,
їх графіки
та властивості
y1
-1
2
2
2
3 0 x
![Page 3: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/3.jpg)
Зміна будь-якої величини за законом синуса називається гармонійним коливанням. Приклади таких коливань: коливання маятника, коливання напруги в електричній мережі, зміна струму і напруги в коливальному контурі та ін.
Практичне застосування Практичне застосування тригонометричних функційтригонометричних функцій
Ще один приклад синусоїдальних коливань – звук (гармонійне коливання повітря), що відповідає коливанню y = A*sin ωt
3
![Page 4: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/4.jpg)
Функція – це…, за допомогою якого за…значенням незалежної
змінної з множини Х можна знайти …
значення залежної змінної з множини Y.
4
![Page 5: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/5.jpg)
Графіком числової функції називають геометричну…, яка
складається з усіх тих і тільки тих …
координатної площини, абсциси яких дорівнюють
значенням…, а ординати – відповідним значенням…
5
![Page 6: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/6.jpg)
Pα(x;y)
α
Означення тригонометричних Означення тригонометричних функційфункцій
cos α = x
абсцисаточки Pα
sin α = y
ординататочки Pα
X
Y
Тригонометричні функції числового аргументу: • sin (числа ) = sin (кута в радіан) y=sin• cos (числа ) = cos (кута в радіан) y=cos
P0(1;0)
6
![Page 7: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/7.jpg)
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
2
2
3
0;2
c
P2P1
P4P3 Побудова графіка функції y = sin
x
P5P6 P7
P8
7
![Page 8: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/8.jpg)
Графік функцГрафік функціїії y = sin xy = sin x
Графіком функції y = sin xє крива, яка називається
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
СИНУСОЇДАСИНУСОЇДА8
![Page 9: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/9.jpg)
Синус (від лат. Синус (від лат. sinussinus)) – – вигин, вигин, кривизна.кривизна.
9
![Page 10: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/10.jpg)
10
![Page 11: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/11.jpg)
2
2
3
2
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Область визначення D(sin x) = R
Множина значень E(sin x) = [-1; 1]
11
![Page 12: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/12.jpg)
2
y
-y
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
• sin (-х) = - sin х y = sin х – непарна функція
2
α-α
• періодична функція, головний період Т=
12
![Page 13: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/13.jpg)
2
2
3
0;2
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Нулі функції (у = 0)(абсциси точок перетину з віссю
Ох): х = n, nZ
13
![Page 14: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/14.jpg)
2
2
3
2;0
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
sin x > 0, якщо х (0 + 2n; +
2n), nZsin x < 0, якщо
x (+ 2n; 2 + 2n), nZ
Проміжки знакосталості
14
![Page 15: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/15.jpg)
2
2
0;2
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
а) функція зростає в кожному з проміжків:
x [-/2 + 2n; /2 + 2n], nZ
б) функція спадає в кожному з проміжків:
x [/2 + 2n; 3/2 + 2n], nZ
Проміжки монотонності:
2
3
15
![Page 16: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/16.jpg)
2
2
3
0;2
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Найбільше значення у = 1 при х = /2 + n, nZ,
Найменше значення у = -1 при х = -/2 + n, nZ,
16
![Page 17: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/17.jpg)
17
![Page 18: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/18.jpg)
2
22
3
y1
-1
2
2
2
3 0 x
y = sin x y = cos x
18
![Page 19: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/19.jpg)
2
22
3
-1
2
2
2
3 0 x
2
22
3
-1
2
2
2
3 0 x
y = sin x
y = cos x
19
![Page 20: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/20.jpg)
Графік функцГрафік функції ії y = cos xy = cos xy
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Графіком функції y = cos x
є крива, яка називаєтьсяКОКОСИНУСОЇДАСИНУСОЇДА
20
![Page 21: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/21.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = | sin x |
Для побудови графіка функції y = | sin x |необхідно додатну частину графіка функції y = sin x залишити незмінною, а від'ємну частину відобразити
симетрично відносно осі OX21
![Page 22: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/22.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin | x |
Для побудови графіка функції y = sin | x |необхідно побудувати графік функції y = sin x при x
≥ 0, а для x<0 побудувати графік, який буде симетричний
для вже побудованого графіка відносно осі OY22
![Page 23: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/23.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = 2 sin x
Графік функції y = k sin xможна дістати з графіка функції y = sin x за
допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k>1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX,
якщо 0 < k < 1 23
![Page 24: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/24.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = 1/2 sin x
Графік функції y = k sin xможна дістати з графіка функції y = sin x за
допомогою розтягу його в k разів від осі OX, якщо k >1, і за допомогою стиснення в k разів до осі OX,
якщо 0 < k < 1 24
![Page 25: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/25.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
Побудувати графік функції y = sin 2x
Графік функції y = sin k xможна дістати з графіка функції y = sin x за
допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо
0 < k < 1
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
25
![Page 26: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/26.jpg)
Перетворення графіків функціїПеретворення графіків функції y = sin xy = sin x
Побудувати графік функції y = sin 1/2x
Графік функції y = sin k xможна дістати з графіка функції y = sin x за
допомогою стиснення його в k разів до осі OY, якщо k >1, і за допомогою розтягу в k разів від осі OY, якщо
0 < k < 1
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
26
![Page 27: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/27.jpg)
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції 2)sin( xy
0sin,sin xxy
27
![Page 28: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/28.jpg)
y
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
2
1
-2
2
22
32
22
3 0
x
xxy 2coscos Побудувати графік функції
28
![Page 29: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/29.jpg)
№2
№3
№4
А Б В Г Д Е ЄХ Х
А Б В Г Д1 Х2 Х3 Х4 Х
А Б В Г Д1 Х2 Х3 Х4 Х
29
![Page 30: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/30.jpg)
А Б В Г Д1 Х2 Х3 Х4 Х
30
![Page 31: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/31.jpg)
А Б В Г Д Е ЄХ Х
31
![Page 32: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/32.jpg)
А Б В Г Д1 Х2 Х3 Х4 Х
32
![Page 33: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/33.jpg)
Пар 4, п.27. Скласти таблицю “Властивості функції y = cos x”
№768 – рівень Б№774 – рівень В
Додаткове завдання - №775 (7) (+ 2 бали)
Творче завдання (за бажанням)
33
![Page 34: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/34.jpg)
34
![Page 35: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/35.jpg)
Практичне застосування Практичне застосування тригонометричних функційтригонометричних функцій
Синусоїда – хвилеподібна плоска крива, яка є графіком тригонометричної функції y = sinx в прямокутній системі координат. Якщо рулон паперу розрізати навскоси і розвернути його, то край паперу виявиться розрізаним по синусоїді. Цікаво, що проекція на площину гвинтової лінії свердла також буде синусоїдою.
35
![Page 36: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/36.jpg)
2
2
3
0;2α
2
A
B
O
CD
)2
sin(cos
OCOB
DOCAOB
36
![Page 37: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/37.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin (x + /6)
Для побудови графіка функції y = sin (x + а)необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OX на а одиниць вліво
37
![Page 38: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/38.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin (x - /6)
Для побудови графіка функції y = sin (x - а)необхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OX на а одиниць вправо
38
![Page 39: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/39.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin x + 1
Для побудови графіка функції y = sin x + анеобхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OY на а одиниць вгору
39
![Page 40: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/40.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin x - 1
Для побудови графіка функції y = sin x - анеобхідно графік функції y = sin x
здвинути вздовж осі OY на а одиниць вниз
40
![Page 41: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/41.jpg)
Перетворення графіків функціїПеретворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = - sin x
Для побудови графіка функції y = - sin xнеобхідно графік функції y = sin x
відобразити симетрично відносно осі OX
41
![Page 42: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/42.jpg)
Перетворення графіків функції Перетворення графіків функції y = sin xy = sin x
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = sin (-x)
Для побудови графіка функції y = sin (-x)необхідно графік функції y = sin x
відобразити симетрично відносно осі OY
42
![Page 43: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/43.jpg)
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
Побудувати графік функції y = 2 cos (2x – /2)
1) будуємо графік функції y = cos x2) будуємо графік функції y = cos 2x, стискаючи графік функції
y = cos x у 2 рази до вісі OY3) будуємо графік функції y = 2 cos 2x, розтягуючи графік функції
y = cos 2x у 2 рази від осі OX4) будуємо шуканий графік функції y = 2 cos 2 (x – /4), паралельно
переносячи графік функції y = 2 cos 2x вправо вздовж осі OX на відстань /4
Подамо вираз даної функції у вигляді y = 2 cos 2 (x – /4)
43
![Page 44: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/44.jpg)
Немає жодної області математики, яка коли - небудь не зможе бути застосована до явищ дійсного світу.
М. Лобачевський
44
![Page 45: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/45.jpg)
45
![Page 46: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/46.jpg)
Властивості функції
y=sin x, y=cos x.
D (y) E (y) Парність/непарність Періодичність Знаки функції
46
![Page 47: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/47.jpg)
2
22
3
1
-1
2
2
2
3 0 x
y = sin x
47
![Page 48: лекция тригонометричні функції](https://reader035.vdocuments.site/reader035/viewer/2022062320/55b1ef9bbb61eb9e138b46ea/html5/thumbnails/48.jpg)
y
1
-1
2
22
32
2
2
3 0 x
48