теорія ймовірності
TRANSCRIPT
Теорія ймовірностей
Ми - практики і ми
пропонуємо вам розглянути
приклади розв'язування задач
Таблиця факторіалів1!=12!=1*2=23!=1*2*3=64!=1*2*3*=245!=1*2*3*4*5=1206!=1*2*3*4*5*6=7207!=1*2*3*4*5*6*7=50408!=1*2*3*4*5*6*7*8=403209!=1*2*3*4*5*6*7*8*9=36288010!=1*2*3*4*5*6*7*8*9*10=3628800
1)
Формула:
m-число сприятливих події фіналів, n-число всіх рівноможливих результатів.
P(A)- ймовірність випадкової події
Приклади
У фірмі таксі в даний момент вільно 20 машин: 10 чорних, 2 жовтих і 8 зелених. За викликом виїхала одна з машин. Знайдіть ймовірність того, що виїхало зелене таксі.
Розв'язання:
Подія A полягає в тому, що виїхало зелене таксі. Для зеленого таксі число сприятливих фіналів дорівнює 8. Загальне число машин одно 20, значить P (A) = 8/20 = 0.4
• При дворазовому киданні грального кубика в сумі випало 6 очок. Знайдіть ймовірність того, що в перший раз випало менше 3 очок.
Розв'язання:При дворазовому киданні можливі наступні випадання:1-й кидок - 2-й кидок1 - 52 - 43 - 34 - 25 - 1Нехай подія A полягає в тому, що в перший раз випало менше 3 очок.Число сприятливих фіналів для події A дорівнює 2, загальне число фіналів дорівнює 5отжеP (A) = 2/5 = 0.4
Приклади Знайти ймовірність того, що при киданні двох монет випаде два
герба. Розв'язання :Нехай, подія А – випало два герба, то простір елементівподій:А1 – Г,Г А2 – Г,ЦА3 – Ц,ГА4 – Ц,Ц Події А сприяє лише подія А1, то, m=1, n=4,тоді Р(А) = ¼. Розв'язання:• У скринці а – білих, b – чорних кульок. Із неї навмання взяли 1
кульку. Знайти й-сть того, що кулька – біла.П.А – взяли білу кульку, m - a n – a+bP(A) = m/nP (A) = a/а+b
Перестановка чисел
Формула перестановки: Pn= 1·2·3 …(n−1)·n= n!
Pn - будь-яка упорядкована множина, яка складається з n елементів, називається перестановкою з n елементів.
n-число всіх рівноможливих результатів
Приклади Всі рівноможливі комбінації овочів:
P3 = 3!
P3= 3 x 2
P3 = 6
• Записати усі можливі перестановки фігур:
, , , , ,
P3 = 3!
P3= 3 x 2
P3 = 6
Приклади Скількома способами можна скласти список із 9 прізвищ? Розв’язування.
Скількома способами можна розкласти вісім різних листів у вісім різних конвертів, якщо в кожний кладеться лише один лист ? Розв’язування. Р8 = 8! = 1·2·3·4·5·6·7·8=40320
Конверти можна розкласти 40320 способами. Із цифр 0, 1, 2, 3, 4 скласти всі можливі п’ятизначні числа так, що
в кожному числі цифри не повторюються. Скільки одержали чисел ?
Розв’язування. Р5 = 5! = 1·2·3·4·5=120 , а так як перша цифра в числі не
може бути 0, то
Р5 –Р4 =120-24=96 чисел можна скласти з даних цифр
362880
!9
9
9
РР
А- подія;m- число подій, які сприяють події Аn-загальна кількість подій простору елементарних подій
Формула
Приклад:У класі 20 чол. Скількома способами можна вибрати 2 чол. для конкурсу.
Рішення: n = 20m = 2. Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:
380!18
20*19*18
)!220(
!20
20
2
A
n
mA
Приклад:У фінальній частині чемпіонату з футболу беруть участь 16 команд. Скількома способами можна розподілити золоті, срібні та бронзові нагороди?Рішення:
n = 16m = 3Використовуючи формулу отримаємо число вибірок:
336016*15*14!13
!16
)!1316(
!16
16
3
A
Скільки існує всього 7-цифрових телефонних номерів в кожному з яких жодна цифра не повторюється?
!3
!10
10
7А
1098765410
7А
60480010
7А
ЗадачаУчневі треба скласти 4 екзамени за 8 днів. Скільки способів існує?
!21
!25
25
4A
25
4A 22*23*24*25=303
600
(Комбінація)
Сполучення
Сполученнями із m елементів по n називаються такі сполуки, які містять n елементів з безлічі m елементів і відрізняються один від одного принаймні одним елементом.
Позначають Сmn
m-загальна кількість елементів, n - кількість відбираються
елементів
Сmn =
!)!(
!
nnm
m
Основні властивості числа комбінації
mnn
mn
nn
n
n
CC
C
nC
C
1
11
0
nnn
nnnnn
mn
mn
mn
mn
nmn
CCCCC
CCC
Cm
nC
2...
1
1
1210
11
1
Приклад1: Мається стопка з 25 книг. Скількома
способами можна вибрати 3 книги. Розв’язання Загальна кількість елементів m = 25, n =
3. Порядок не важливий, вибірки
відрізняються тільки складом книг. Використовуючи формулу отримаємо число вибірок :
С325 =
23003*2
25*24*23
!3)!325(
!25
Приклад2: У класі 7 хлопчиків і 14 дівчаток. 1 вересня випадковим
чином визначають двох чергових на 2 вересня. Скількома способами можна вибрати чергових.
Розв’язання
У класі всього 21 чол. , вибрати двох можна. m=21, n=2. Використовуючи формулу отримаємо С2
21 =
)(210!2)!27(
!21способів
Приклад 3:
Скількома способами можна вибрати трьох журі з 20 осіб?
Розв’язання:!3)!320(
!20320
C
!3!17
!20320 C
3*2
20*19*18320 C
20*19*6320 C
)(1140320 способівC
Приклад 4: Дано три букви А, В, С. Скласти всі
можливі комбінації з цих букв. Розв’язання ABC,ACB,BAC,BCA,CAB,CBA ( 6 комбінацій )
Приклади задач при вступі до вишів
Приклад 1№ 1. У змаганнях зі штовхання ядра беруть участь 9
спортсменів з Данії, 3 спортсмена зі Швеції, 8 спортсменів з Норвегії та 5 - з Фінляндії. Порядок, в якому виступають спортсмени, визначається жеребом. Знайдіть ймовірність того, що спортсмен, який виступає останнім, виявиться з Фінляндії.
Розв’язання:Всього бере участь 9 +3 +8 +5 = 25 спортсменів. А так як фінів 5 осіб, то ймовірність того, що наостанньому місці буде спортсмен з Фінляндії : 5/25 = 1/5 = 0,2
Приклад 2
№2. У фірмі таксі в даний момент вільно 15 машин: 2 червоних, жовтих і зелених. За викликом виїхала одна з машин, що випадково опинилися найближче до замовниці. Знайдіть ймовірність того, що до неї приїде жовте таксі.
Розв’язання:Всього є машин, тобто до замовниці приїде
одна з п'ятнадцяти. Жовтих - дев'ять, і значить, ймовірність приїзду саме жовтої машини дорівнює 9/15, тобто 0,6.
Приклад 3№3. У випадковому експерименті кидають три гральні
кістки. Знайдіть ймовірність того, що в сумі випаде 14 очок. Результат округлите до сотих.
Розв’язання:Всього різних варіантів випадання очок буде 6 * 6 * 6 =
216 Підрахуємо кількість сприятливих результатів, тобто
варіантів, в яких сума трьох кубиків дорівнювала 14. 6;6;2 6;2;6 2;6;65;5;4 5;4;5 4;5;54;4;6 4;6;4 6;4;46;5;3 6;3;5 5;6;3 5;3;6 3;5;6 3;6;5Всього 15 сприятливих результатів Ймовірність дорівнює 15/216 = 0,06944 ... ≈ 0,07
Приклад 4 №4. Учня попросили назвати число від 1
до 100. Яка ймовірність того, що він назве число кратне п'яти?
Розв’язання:1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,…,100.Кожне п'яте число з даної множини
ділиться на 5. Значить, ймовірність дорівнює 1/5.
Бажаємо вам успіху
В роботі приймали участь: Кругленко Ірина Сеньк Анна Євтушенко Аліна Кручина Катерина