Математическая статистика: Доверительные...
DESCRIPTION
Доверительные интервалы, приближенные(асимптотические) доверительные интервалы, точные доверительные интервалы для параметров нормально распределенной ген.совокупности. Критерии однородности (продолжение)TRANSCRIPT
Лекция 5. Доверительные интервалы
Грауэр Л.В., Архипова О.А.
CS Center
Санкт-Петербург, 2014
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 1 / 31
Cодержание
Содержание
1 Доверительные интервалыОбщая схема построения доверительных интерваловАсимптотические доверительные интервалыТочные доверительные интервалы для нормальной генеральнойсовокупностиДоверительное оценивание по вариационному рядуДоверительный интервал для медианы
2 Критерии однородности: продолжениеКритерий однородности Колмогорова–СмирноваКритерий однородности хи-квадратКритерий Краскела-Уоллиса
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 2 / 31
Доверительные интервалы Общая схема построения доверительных интервалов
Общая схема построения доверительных интервалов
Пусть задана генеральная совокупность ξ с функцией распределенияFξ(x , θ). Имеется выборка X[n] = (X1, . . . ,Xn) из этой генеральнойсовокупности и неизвестный параметр распределения θ ∈ Θ ⊂ R.
Определение 1
Пусть для некоторого α ∈ (0, 1) существуют статистики S−(X[n], α) иS+(X[n], α) такие, что
P{S−(X[n], α) < θ < S+(X[n], α)
}= 1− α,
тогда интервал(S−(X[n], α),S+(X[n], α)
)называется доверительным
интервалом для параметра θ с уровнем доверия (1− α).
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 3 / 31
Доверительные интервалы Общая схема построения доверительных интервалов
Укажем общий метод построения доверительных интервалов, которыйбудет использован далее.Пусть известна статистика Y (S(X[n]), θ), содержащая оцениваемыйпараметр θ и его точечную оценку S(X[n]) со следующими свойствами:
1 Функция распределения FY (x) случайной величины Y известна ине зависит от θ.
2 Функция Y (S(X[n]), θ) непрерывна и строго монотонна по θ.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 4 / 31
Доверительные интервалы Общая схема построения доверительных интервалов
Зададим уровень значимости α.Обычно доверительный интервал строят так, чтобы дополнительныеинтервалы (− inf, S−(X[n], α)), (S+(X[n], α),+ inf) накрывали θравновероятно (с вероятностью α/2).
Находим квантили yα/2 и y1−α/2 распределения случайной величиныY порядка α/2 и 1− α/2 и далее получаем
P(yα/2 < Y (S(X[n]), θ) < y1−α/2) = F (y1−α/2)− F (yα/2) = 1− α.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 5 / 31
Доверительные интервалы Общая схема построения доверительных интервалов
Пусть для опреденности, функция Y (S(X[n]), θ) строго возрастает поθ. Тогда обратная функция Y−1(y) для Y (S(X[n]), θ) также будетстрого возрастающей. Тогда неравенство
yα/2 < Y (S(X[n]), θ) < y1−α/2 (1)
эквивалентно неравенству
Y−1(yα/2) < θ < Y−1(y1−α/2). (2)
Получаем доверительный интервал для θ
P(S−(X[n], α) < θ < S+(X[n], α)) = 1− α,
где S−(X[n], α) = Y−1(yα/2), S+(X[n], α) = Y−1(y1−α/2).Для случая строгого убывания Y (S(X[n]), θ) по θ знаки неравенства в(1), (2) будут противополжного смысла.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 6 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Асимптотические доверительные интервалы
Определение 2
Пусть для некоторого α ∈ (0, 1) существуют статистики S−(X[n], α) иS+(X[n], α) такие, что
limn−→∞
P{S−(X[n], α) < θ < S+(X[n], α)
}= 1− α,
тогда интервал(S−(X[n], α), S+(X[n], α)
)называется асимптотическим
(приближенным) доверительным интервалом.
Построение асимптотических доверительных интервалов основано наасимптотически нормальных оценках.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 7 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Предположим, что оценка θ̂ = θ̂(X[n]) является асимптотическинормальной, т. е.
√n(θ̂ − θ)
d−−−−→n−→∞
ς ∼ N(0, σ2),
где дисперсия σ2(θ) — коэффициент асимптотического рассеивания.Предположим, что функция σ2(θ) непрерывна на Θ и отлична от нулядля любого θ ∈ Θ.
Лемма 1
Случайный вектор (√n(θ̂ − θ), θ̂)
d−−−→n→∞
(ζ, θ), где ζ подчиняется
нормальному распределению N(0, σ2(θ)).
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 8 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Рассмотрим функцию от двух переменных H(x1, x2) = x1/σ(x2), онанепрерывна на R×Θ. Случайный вектор (ζ, θ)T ∈ R×Θ,следовательно, можем воспользоваться теоремой непрерывности:
Теорема 1
Пусть для последовательности случайных векторов имеет местосходимость по распределению:ηn = (η
(1)n , . . . , η
(m)n )
d−−−−→n−→∞
η = (η(1), . . . , η(m)). Пусть задана функция
H : Rm −→ Rl непрерывная на Rm, тогда H(ηn)d−−−−→
n−→∞H(η).
H(√n(θ̂n − θ), θ̂n)
d−−−→n→∞
H(ζ, θ) =ζ
σ(θ)∼ N(0, 1).
Таким образом, имеет место сходимость:√n(θ̂ − θ)
σ(θ̂)
d−−−→n→∞
η ∼ N(0, 1).
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 9 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Тогда справедливо следующее соотношение:
P
{−z1−α
2<
√n(θ̂ − θ)
σ(θ̂)< z1−α
2
}−−−−→n−→∞
1− α =1√2π
z1−α2∫
−z1−α2
e−y2
2 dy ,
где z1−α2— квантиль стандартного нормального распределения уровня
1− α/2, то есть, F (z1−α2
) = 1− α/2, где F (x) — функциястандартного нормального распределения.Получаем асимптотический доверительный интервал с уровнемдоверия 1− α:
P
{θ̂ − z1−α
2
σ(θ̂)√n< θ < θ̂ + z1−α
2
σ(θ̂)√n
}≈ 1− α.
Ширина доверительного интервала характеризует точностьинтервальной оценки.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 10 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Пример 1Рассмотрим схему Бернулли, в которой n испытаний. Пусть m — числоуспехов. Выборка X[n] = (a1, . . . , an) состоит из последовательностинулей и единиц, тогда функция правдоподобия имеет вид:
L(X[n], p) = pmqn−m, p ∈ Θ = (0, 1),
где m — число единиц в выборке. Логарифмическая функцияправдоподобия имеет вид:
ln L = m ln p + (n −m) ln(1− p).
Найдем оценку максимального правдоподобия:
∂ ln L
∂p=
m
p− n −m
1− p=
m −mp − np + mp
p(1− p)= 0.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 11 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Следовательно, получаем оценку:
p̂ =m
n.
Убеждаемся, что p̂ максимизирует функцию правдоподобия:
∂2 ln L
∂p2= −m
p2− n −m
(1− p)2< 0.
Следовательно, p̂ = mn — точка максимума или оценка по методу
максимального правдоподобия.Нетрудно показать, что оценка p̂ асимптотически нормальна:
√n(mn− p)
=m − np√
n=
n∑i=1
ξi − np
√n
=
=
n∑i=1
(ξi − p)
√n
d−−−→n→∞
ζ ∼ N(0, pq),
где P{ξi = 1} = p, P{ξi = 0} = q = 1− p, σ2 = pq = p(1− p).Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 12 / 31
Доверительные интервалы Асимптотические доверительные интервалы
Воспользуемся доказанным утверждением:√n(θ̂ − θ)
σ(θ̂)
d−−−→n→∞
η ∼ N(0, 1).
Тогда имеет место сходимость:√n(mn − p)√mn (1− m
n )
d−−−→n→∞
η ∼ N(0, 1).
Следуя приведенным выше рассуждениям, получаем доверительныйинтервал с уровнем доверия 1− α для вероятности p:(
m
n− z1−α
2
√mn (1− m
n )√n
,m
n+ z1−α
2
√mn (1− m
n )√n
)
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 13 / 31
Доверительные интервалы Точные доверительные интервалы для нормальной...
Точные доверительные интервалы для нормальнойгенеральной совокупности
Теорема 2
Пусть задана выборка X[n] из генеральной совокупности ξ ∼ N(a, σ2).Справедливы следующие утверждения:
1 Статистика X̄−aσ
√n подчиняется стандартному нормальному
распределению.
2 Если s̃2 = 1n−1
n∑i=1
(Xi − X̄ )2, тогда статистика X̄−as̃
√n подчиняется
распределению Стьюдента с n − 1 степенью свободы.3 Статистика (n−1)s̃2
σ2 подчиняется распределению хи-квадрат с n − 1степенью свободы.
4 Если s2 = 1n
n∑i=1
(Xi − a)2, тогда статистика ns2
σ2 подчиняется
распределению хи-квадрат с n степенями свободы.Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 14 / 31
Доверительные интервалы Точные доверительные интервалы для нормальной...
Точные доверительные интервалы для математического ожидания aнормальной генеральной совокупности можно построить последующим правилам:
Если σ2 известно, то доверительный интервал для a будет иметьвид:
P
{X̄ − σ√
nz1− ε
2< a < X̄ +
σ√nz1− ε
2
}= 1− ε,
где z1− ε2— квантиль стандартного нормального распределения.
Если σ2 неизвестно, тогда:
P
{X̄ − s̃√
nt1− ε
2< a < X̄ +
s̃√nt1− ε
2
}= 1− ε,
где t1− ε2— квантиль распределения Стьюдента с n − 1 степенью
свободы.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 15 / 31
Доверительные интервалы Точные доверительные интервалы для нормальной...
Точные доверительные интервалы для дисперсии σ2 нормальной генеральнойсовокупности можно построить по следующим правилам:
Если a неизвестно, то:
P
{(n − 1)s̃2
u1−ε/2< σ2 <
(n − 1)s̃2
uε/2
}= 1− ε,
где u1−ε/2 — квантиль распределения хи-квадрат с n − 1 степеньюсвободы уровня 1− ε/2, uε/2 — квантиль распределенияхи-квадрат с n − 1 степенью свободы уровня ε/2,Если a известно, тогда доверительный интервал
P
{ns2
v1−ε/2< σ2 <
ns2
vε/1
}= 1− ε,
где vε/2 — квантиль распределения хи-квадрат с n степенямисвободы уровня ε1, v1−ε/2 — квантиль распределения хи-квадрат сn степенями свободы уровня.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 16 / 31
Доверительные интервалы Доверительное оценивание по вариационному ряду
Доверительное оценивание по вариационному ряду
Пусть задана выборка X[n] = (x1, · · · , xn) некоторой случайнойвеличины ξ. Построим вариационный ряд выборки x (1) < · · · < x (n)
Вероятность попасть в любой из (n + 1) - го интервалов значенийслучайной ведичины ξ одинакова и равна 1
n+1 . Тогда вероятность того,что случайная величина ξ приняла значение из интервала (x (k), x (l)),где l > k будет равна:
P{x ∈ (x (k), x (l))
}=
l − k
n + 1.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 17 / 31
Доверительные интервалы Доверительное оценивание по вариационному ряду
Выясним, чему должен быть равен размер выборки n, чтобывероятность попасть в интервал (min
i(xi ),max
i(xi )) составила 95%?
Подставляя значение для доверительной вероятности в формулувыше, получим:
0.95 = P{x ∈ (x (1), x (n))
}=
n − 1
n + 1,
откуда n = 39.Таким образом, при достаточном для заданной доверительнойвероятности числе измерений случайной величины ξ по набору еепорядковых статистик может быть оценен диапазон принимаемых еюзначений.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 18 / 31
Доверительные интервалы Доверительный интервал для медианы
Доверительный интервал для медианы
Пусть задана выборка X[n] = (x1, · · · , xn) некоторой случайнойвеличины ξ. Пусть x̃ — медиана генеральной совокупности.
События xi < x̃ и xi > x̃ равновероятны и P(xi < x̃) = P(xi > x̃).Порядковые статистики x (k+1) и x (n−k) являются границамидоверительного интервала для медианы с некоторой доверительнойвероятностью:
x (k+1) < x̃ < x (n−k).
Событие x̃ ≤ x (k+1) эквивалентно событию µ ≤ k , где µ — числовыборочных элементов, меньших медианы.
P(x̃ ≤ x (k+1)
)= P(µ ≤ k) =
k∑i=0
C in
1
2n
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 19 / 31
Доверительные интервалы Доверительный интервал для медианы
По симметрии P(x̃ ≤ x (k+1)
)= P
(x̃ ≥ x (n−k)
)P(x (k+1) < x̃ < x (n−k)
)= 1− 2
k∑i=0
C in
1
2n.
Выбрав уровень значимости α, определим наибольшее k (max k = m),такое что
k∑i=0
C in
1
2n≤ α/2
и получим приближенный доверительный интервал для медианы x̃
P(x (m+1) < x̃ < x (n−m)
)≥ 1− α.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 20 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Колмогорова–Смирнова
Критерий однородности Колмогорова–Смирнова
Пусть имеется две выборки X[n] = {X1, . . . ,Xn} и Y[m] = {Y1, . . . ,Ym}из генеральных совокупностей ξ и η соответственно.Объемы выборок могут быть различны, но, не нарушая общности,предположим, что m 6 n.Функции распределения этих генеральных совокупностей равны F (x) иG (x) соответственно. Наложим дополнительное ограничение: функциираспределения F (x) и G (x) непрерывны.
Критерий Колмогорова–Смирнова проверяет гипотезу о равенствефункций распределения двух генеральных совокупностей ξ и η, изкоторых извлечены выборки X[n] и Y[m] соответственно:H0 : F (x) = G (x) для всех x ∈ R,при альтернативной H1 : F (x) 6= G (x).
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 21 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Колмогорова–Смирнова
Критерий основан на использовании эмпирических функцийраспределения F ∗n (x) и G ∗m(x).
Теорема 3
ПустьDm,n = sup
x∈R
∣∣G ∗m(x ,Y[m])− F ∗n (x ,X[n])∣∣ .
Если истинная функция распределения F0(x) = F (x) = G (x)непрерывна, тогда
P0
{√mn
m + nDm,n 6 z
}−→ K (z) =
∞∑j=−∞
(−1)je−2j2z2(3)
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 22 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Колмогорова–Смирнова
Статистика Смирнова определяется следующей формулой:
Dm,n = sup|x |<∞
|G ∗m(x)− F ∗n (x)| (4)
На практике значение статистики Dm,n рекомендуется вычислять поформулам:
D+m,n = max
16r6m
[ rm− F ∗n (y(r))
]= max
16s6n
[G ∗m(x(s))− s − 1
n
], (5)
D−m,n = max16r6m
[F ∗n (y(r))− r − 1
m
]= max
16s6n
[ sn− G ∗m(x(s))
], (6)
Dm,n = max(D+m,n,D
−m,n), (7)
где X(s) и Y(r) — элементы вариацонных рядов X(1) 6 X(2) 6 . . . 6 X(n)
и Y(1) 6 Y(2) 6 . . . 6 Y(m), построенных по выборкам X1, . . . ,Xn иY1, . . . ,Ym.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 23 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Колмогорова–Смирнова
При справедливости нулевой гипотезы и неограниченном увеличенииобъемов выборок исправленная статистика√
mn
m + nDm,n (8)
асимптотически подчиняется распределению Колмогорова с функциейраспределения K (z) из правой части (3).Критическая область для гипотезы H0 при использовании статистики8 имеет вид: S = (k1−α,∞), где k1−α — квантиль уровня 1− αраспределения Колмогорова 3.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 24 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий однородности хи-квадрат
Критерий однородности хи-квадрат
С помощью критерия χ2 можно анализировать однородность любогоконечного числа выборок.Пусть имеется s независимых выборок, содержащих соотвественноn1, n2, . . . , ns элементов: ξ1 : X 1
[n1], . . . , ξs : X s[ns ]. Сформулируем
гипотезы:H0 — выборки взяты из одной и той же совокупностиFξ1 = . . . = Fξs = Fξ,H1 — выборки взяты из разных генеральных совокупностей.
Каждую выборку разобьем на k групп ∆i , i = 1, . . . , k .Пусть nij — число элементов j-ой выборки, попавших в множество ∆i ,i = 1, . . . , k , j = 1, . . . , s.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 25 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий однородности хи-квадрат
Пусть верятность попадания случайной величины ξ в множество ∆i
равна pi : pi = P(ξ ∈ ∆i ), i = 1, . . . , k .
Пусть nj =k∑
i=1
nij — общее число элементов j-ой выборки, j = 1, . . . , s.
Если гипотеза H0 верна, то относительная частотаnijnj
попадания
элементов j-ой выборки в множество ∆i будет близка к вероятности pi .Статистикой критерия является величина
k∑i=1
njpi
(nijnj− pi
)2
=k∑
i=1
(nij − njpi )2
njpi,
а для всех выборокs∑
j=1
k∑i=1
(nij − njpi )2
njpi. (9)
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 26 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий однородности хи-квадрат
Вероятности pi , i = 1, . . . , k , неизвестны. Их оценки находим методоммаксимума правдоподобия.
p̂i =νin, νi =
s∑j=1
nij , i = 1, . . . , k .
Подставляя полученные оценки в (9) вместо вероятностей pi получаем
χ2 = ns∑
j=1
k∑i=1
(nij − njνi/n)2
njνi= n
s∑j=1
k∑i=1
(n2ij)
2
njνi− 1
(10)
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 27 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий однородности хи-квадрат
Статистика (10) асимпотитически при n→∞ распределена по законуχ2 с числом степеней свободы r = (s − 1)(k − 1).Критическая область для гипотезы H0 при использовании статистики10 имеет вид: S = (χ2
1−α,∞), где χ21−α — квантиль уровня 1− α
распределения χ2.
В случае проверки гипотезы об однородности двух выборок (s = 2)статистика принимает вид
χ2 = n1n2
k∑i=1
1
νi
(ni1n1− ni2
n2
)2
=k∑
i=1
1
ni1 + ni2
(ni1
√n2
n1− ni2
√n1
n2
).
Число степеней свободы статистики χ2 равно r = k − 1.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 28 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Краскела-Уоллиса
Критерий Краскела-Уоллиса
Пусть имеются k независимых выборок X 1[n] = (X 1
1 , . . . ,X1n1
),X 1
[n] = (X 21 , . . . ,X
2n2
), . . . , X k[n] = (X k
1 , . . . ,Xknk
) из k > 2 генеральныхсовокупностей с непрерывными функциями распределения равнымисоответственно F1, F2, . . . , Fk .
Сформулируем гипотезы:H0 : F1(x) = F2(x) = . . . = Fk(x) для всех x ∈ R.H1 : F1(x) = F2(x − δ2) = . . . = Fk(x − δk) для всех x ∈ R
Упорядочим все N =∑k
i=1 ni элементов выборок по возрастанию иобозначим R j
i ранг j-го элемента i-й выборки в полученномвариационном ряду.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 29 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Краскела-Уоллиса
Статистика критерия Краскела-Уоллиса для проверки гипотезы оналичии сдвига в параметрах положения сравниваемых выборок имеетвид
H =k∑
i=1
(1− ni
N
) R̄i − N+12√
(N−ni )(N+1)12ni
12
=12
N(N + 1)
k∑i=1
R2i
ni− 3(N + 1),
где
Ri =
ni∑j=1
R ji ; R̄i =
Ri
ni.
При наличии одинаковых значений величин из разных выборокнеобходимо использовать модифицированную статистику
H∗ = H
1−
q∑j=1
Tj
N3 − N
−1
,
где Tj = t3j − tj , tj — размер j-й группы одинаковых элементов; q —
количество групп одинаковых элементов.Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 30 / 31
Критерии однородности: продолжение Критерий Краскела-Уоллиса
Гипотеза сдвига отклоняется на уровне значимости α, если H ≥ Hα,где Hα — критическое значение, при k ≤ 5 и ni ≤ 15 вычисляемое потаблицам.При ni ≥ 15 справедлива аппроксимация распределения статистики Hχ2(k − 1) -распределением с k − 1 степенями свободы, т.е.нулевая гипотеза отклоняется, если H ≥ χ2
k−1,α.
При больших значениях n можно воспользоваться аппроксимациейИмана-Давенпорта.В соответстви с ней нулевая гипотеза сдвига отклоняется сдостоверностью α, если J ≥ Jα, где
J =H
2
(1 +
N − k
N − 1− H
)Jα =
{(k − 1)Fα(k − 1;N − k) + χ2
α(k − 1)}, χ2
α(k − 1)— критическоезначение статистики хи-квадрат, Fα(k − 1;N − k) — критическоезначение статистики Фишера с k − 1 и N − k степенями свободы.
Грауэр Л.В., Архипова О.А. (CSC) Лекция 5. Доверительные интервалы Санкт-Петербург, 2014 31 / 31