تطبيقات التفاضل

< << << <

< << <

� ��

M< <íÖ]‚×Ö<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]< <QM< <N< <Ùæ…<íè†¿Þ< <QP< <O< <íŞ‰çj¹]<íÛéÏÖ]<íè†¿Þ< <QS< <P< <ì�†Ş¹]<Ù]æ‚Ö]< <RN< <Q< <íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]< <RS< <R< <íÏ×Ş¹]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]< <SO< <S< <ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<î×Â<l^ÏéfŞi< <SQ< <T< <]<¼ÏÞæ<†ÃÏjÖ]høÏÞ÷< <SS< <U< << << << <l^éßvß¹]<Ü‰…< <TM< <ML< <Ú^Â<àè…^³í UQ< << << << << << << <

MM< <Ø•^ËjÖ]<h^Šu<l^ÏéfŞi<h^e<î×Â<l^fè…‚i< << << << <UR< << << << <MN< <l^éßvß¹]<Ü‰…<î×Â<l^fè…‚i< <US< <

< <

< <

Ø•^ËjÖ]<h^Šu<l^ÏéfŞi<h^e<Äé•]çÚ< <

<<á]çßÂ<<<Œ…‚Ö]<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<V<<�è…^jÖ]<<<<<<<<K<<<<<<K<<<<<<<VMP<<ه<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<<

��

ع قيمة عظمىملدى الدالة فإنه يسمى يإذا كان أصغر حد علوي ♦ ص قيمة صغرىسمى ملدى الدالة فإنه ي ي وإذا كان أكرب حد سفلي

ةفإن الدالة يكون هلا قيمة عظمى وقيمة صغرى عند أطراف الفترة أو داخل الفتر مغلقةعلى فترة متصلةإذا كانت الدالة ♦

فليس من الضروري وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة مفتوحةعلى فترة متصلةإذا كانت الدالة ♦

فليس من الضروري وجود قيمة عظمى أو صغرى للدالة مغلقة على فترة غري متصلةة إذا كانت الدال♦

تزايدية فعالوكانت مغلقةعلى فترة متصلةإذا كانت الدالة ♦ فإن القيمة العظمى والقيمة الصغرى تقع عند تناقصية فعال أو طريف الفترة

زايديةوكانت ت مفتوحةعلى فترة لةمتصإذا كانت الدالة ♦ فإن الدالة ليس هلا قيمة عظمى تناقصية فعالأو فعال وال صغرى

<íÖ]‚Ö]<kÞ^Ò<]ƒc<í×’jÚ<ì�Ê<î×ÂíÏ×ÇÚ<Ì’Þ<[<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<Ä•æ<áçÓè<ÌéÓÊ<<ğøÃÊ<íé’Î^ßi<æ_<ğøÃÊ<íè‚è]î<kÞ^Òæ

<íÖ]‚Ö]<kÞ^Ò<]ƒc<Øn¹êí×’jÚ<�Æ<<ì�Ê<î×Â<íuçjËÚ

�� !

ص

ع ع

ص

ع

ص

ع

ص

ع

ص

ع ع

ص

ع

ص

ع

ص

íé’Î^ßi<øÃÊ íé’Î^ßi<øÃÊ øÃÊ<íè‚è]î è‚è]îøÃÊ<í

ع

ص

íÖ]‚×Ö<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]


��

"�#!}١{ : <<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<ë‚qæ_<l‚qæ<ác<<íÖ]‚×Ö ذس - ٧ جد Â×<ì�ËÖ]<îV< <

> ٥، ذ -أ>> ♦♦♦♦ << <

< <

♦♦♦♦ << ٦، ٣ < << <

< <

> أ ٥، ذ - >> ♦♦♦♦ << < < <

> أ ٦، ٣أ>> ♦♦♦♦ << < < <

"�#!}۲{ : <íÖ]‚×Ö<l‚qæ<ác<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<ë‚qæ_ ٥+ # س جد <ì�ËÖ]<î×Â أ ٣، ذ - أ < <

�� ! :

:تكون ب + اس = } س{د أي دالة من الدرجة األوىل • } امليل موجب{ ٠ا ى عندما تزايدية فعال � } امليل سالب{ ٠ا آ عندما تناقصية فعال �

:إذا كانت ويف احلالتني عند األطرافالقيم العظمى والصغرى ئ مغلقةالدالة معرفة على فترة �

قيم عظمى و ال صغرى ال توجد ئ مفتوحةالدالة معرفة على فترة � القيمتني إحدىتوجد ئ نصف مغلقةالدالة معرفة على فترة �

ب+ # اس= } س{د : املالحظة السابقة تنطبق على دالة الدرجة الثالثة اليت على الصورة •


��

<<íè†¿ßÖ<ê‰‚ß�]<îßÃ¹]<ER<I<<M<D

. . . . . . . . . . . . ئ . . . . . . . :القيمة العظمى •

. . . . . . . . . . . . ئ . . . . . . . :القيمة الصغرى •

. . . . . . . ئ . . . . . . . :القيمة العظمى •

:القيمة الصغرى •� . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . ئ

. . . . . . . . . . . . ئ . . . . . . . :القيمة الصغرى •

: مى القيمة العظ •� . . . . . . . . . . . . . .

� . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . ئ شروط النظرية متحققة ئ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ئ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ئ

%&�� : ë‚qæ_<Ö<l‚qæ<ác<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<íÖ]‚× ذس - ٥ جد# <<<ì�ËÖ]<î×Â ٣، ١

�'��( } ) − + { : ذ قيمة عظمى أو صغرى د تأخوكانت ا ، ب أمعرفة على فترة مغلقة د إذا كانت الدالة

صفر= } ج { د : فإن موجودة} ج { د وكانت ج ي ا ، ب أ عند

ب ا

ج ب ا

ج ا ب

�� ! :

فإن ج ، ب وتناقصية فعال يف الفترة جا ، أتزايدية فعال يف الفترة دإذا كانت الدالة • . . .تكون قيمة } ج{د ص= ع فإن ثابتةإذا كانت الدالة د دالة • . . .تكون قيمة } ا{ د فإن أ جا ، أمتصلة وتناقصية فعال يف الفترة دإذا كانت الدالة •


��

è†¿ßÖ<ê‰‚ß�]<îßÃ¹]Ùæ…<í

مبا أن شروط النظرية متحققة

[ب ا ، ] يج يوجد ئ ٠= } ج { د حبيث أن

٠= ج ميل املماس عند ئ سس ] ج املماس عند ئ

٢، ج ١ج النظرية متحققة عند النقطتني سس ] ١ج املماس عند ئ

سس ] ٢ج املماس عند ئ

"�#!}١{ : …^j}]ë<e^qý]ívév’Ö]<í :< <

هو ا ، ب أيف الفترة }س{داملنحىن الذي حيقق نظرية رول للدالة

سس

صص

سس

صص

سس

صص

سس

صص ~د ~ج ~ب ~ا

ا ا ا ب ب ب ب ا

سس ٢ج ب ١ج ا

صص

سس ب ج ا

صص

Ùæ…<íè†¿Þ

"�� '��(

]ا ، ب [ متصلة يف الفترة املغلقة ~١ :إذا كانت الدالة د

[ا ، ب ]قابلة لالشتقاق يف الفترة املفتوحة ~۲

}ب { د = } ا { د ~٣ حبيث أن [ا ، ب ] يج فإنه يوجد على األقل عدد حقيقي واحد

صفر= } ج { د


��

"� إن أمكن ٥، ١ -أ يف الفترة ٣ +س ٤ - @ س= } س}د اليت حتقق نظرية رول للدالة جقيمة يأوجد : ۲{{!#

"�#!}٣{ : <êò×Ú]<É]†ËÖ]V

. . .تساوي ٤، ١أ يف الفترة ؛ سس؛$ + س = } س{د اليت حتقق نظرية رول للدالة جقيمة

"�#!}٤{ : ê×è<^¹<ê××Â<V

ذ، ١ -أيف الفترة ‘١ -ذس ‘ = } س{د دالة للالميكن تطبيق نظرية رول ♦

ط، ٠أيف الفترة سجتا = } س{د دالة للالميكن تطبيق نظرية رول ♦

<Ý^Ûj

Ö]<géq

æ<gé¢

]<^jÖ]�

í×’

jÚ<

Ñ^Ïj

�øÖ<í

×e^Îæ

ششن

ي حس


��

"�#!}٥{ : <<<kÞ^Ò<]ƒc د}٠۲ -س -@ س‘ = } س‘

٤، ٣ -أ يف الفترة لدالةذه االيت حتقق نظرية رول هل جأوجد قيمة ♦

♦ <ê××Â : ٣، ٥ -أ يف الفترة لدالةذه اهلالميكن تطبيق نظرية رول

< <

%&�� :

١~ <<íÛéÎ<‚qæ_ج<<íÖ]‚×Ö<Ùæ…<íè†¿Þ<ÐÏ�<�Ö]<<V< <

١، ١ - أ يف الفترة ١ - س -@ س +# س =} س{د �

٤ ، ١ أ يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{د � >>>>>>>

۲~ <<ê××Â :

ط، ٢؛ط أيف الفترة سجا = } س{د الميكن تطبيق نظرية رول للدالة �

٥، ٣ -أ يف الفترة /س [#= } س{د الميكن تطبيق نظرية رول للدالة � < <

٤+ @ س س

Ù^ÛÂù]<�^’Ö<ÐéÊçjÖ]<ì�^ÃŠÖ]<àÚ


��

è†¿ßÖ<ê‰‚ß�]<îßÃ¹]íŞ‰çj¹]<íÛéÏÖ]<í

مبا أن شروط النظرية متحققة

[ا ، ب ] يج يوجد عدد ئ ين= } ج {د : حبيث

ميل الوتر الواصل= ج ميل املماس عند ئ }}ب{ب ،د{، }} ا{ا،د{بني النقطتني الواصل بنيالوتر ] ج املماس عند ئ

}}ب{ب ، د{، }} ا{ا، د{النقطتني

٢، ج ١ج النظرية متحققة عند النقطتني

الواصل بنيالوتر ] ١ج املماس عند ئ }}ب{ب ، د{، }} ا{ا، د{النقطتني الواصل بني الوتر ] ٢ج املماس عند }}ب{ب ، د{، }} ا{ا، د{النقطتني

ب ٣ج ٢ج ١ج ا

صص

سس

"�#!}١{ : <ívév’Ö]<íe^qý]<ë…^j}]V< <

يف الشكل ااور النقطة اليت حتقق نظرية القيمة :هي ا ، ب أ املتوسطة للتفاضل يف الفترة

١ج أحد طريف الفترة

٣ج ٢ج

سس ج ب ا

صص

سس ب ١ج ٢ج ا

صص

íŞ‰çj¹]<íÛéÏÖ]<íè†¿Þ

��

]ا ، ب [ لة يف الفترة املغلقة متص ~١ :إذا كانت الدالة د

[ا ، ب ]قابلة لالشتقاق يف الفترة املفتوحة ~۲

حبيث أن [ا ، ب ] يج فإنه يوجد على األقل عدد حقيقي واحد

ين =} ج {د


��

"� إن أمكن ٣، ٠أ يف الفترةذ - س - @ س= } س}د اليت حتقق نظرية القيمة املتوسطة للدالة جقيمة يأوجد : ۲{{!#

"�#!}٣{ : <É]†ËÖ]<êò×Ú]V

. . . تساوي ٧، ٤أ يف الفترة /٣/ - /س [ = } س{د للدالة القيمة املتوسطةاليت حتقق نظرية جقيمة

"�#!}٤{ : ê××Â<<V د للدالة القيمة املتوسطةالميكن تطبيق نظرية}ذ، ٠ أالفترة يف / ١ /-/س [% = } س


��

%&�� :

١~ <íÛéÎ<‚qæ_ ج<<íŞ‰çj¹]<íÛéÏÖ]<íè†¿Þ<ÐÏ�<�Ö]<íÖ]‚×Ö<<V

٣، ٠ أ يف الفترة ٦ -س -@س -# س ٣؛! =} س{د �

ذ، ١أ يف الفترة ؛ سس؛@ + س ٣= } س{د � >>>>>>>

۲~ <<ê××Â :

٥، ١ -أ يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{د للدالة القيمة املتوسطةالميكن تطبيق نظرية �

٤؛# ، ٤؛! أ يف الفترة ذس أ= } س{د للدالة القيمة املتوسطةالميكن تطبيق نظرية �

�,�-( :

ك ي ح ] ا ، ب [س ي ششن ك= } س{د ئ [ا ، ب ]س ي ششن ٠= } س{ د ،

�� ! :

من نظرية القيمة املتوسطة حالة خاصةنظرية رول •• س{١ د { =٢ د}س { t ١د}س{٢د = } س { • س{١ د { =٢ د}س { s ١د}عدد ثابت= } س{٢د -} س : مثال

. . . . . . . . =} س{١دs ٤+ ذس -@ س= } س{١د ♣ . . . . . . . . =} س{٢دs ٧ -ذس -@ س= }س{٢د ♣

. . .= } س{٢د -} س{١د s } س{٢ د= } س{١ د : نالحظ أن

٩ }@ ١ -س {

]†Ó�<�]�ˆi<ð]†ÏËÖ]<‹Ö^q


��

ée<<V�Øé×ÃjÖ]<ÄÚ<ê×è<^Ú<`Ş}<Ý_<ív‘< أل١

ط ٢؛# ، ٢؛ط أحتقق نظرية رول يف الفترة ستا ق= } س{د •

٣؛ط ، ٠ أق نظرية القيمة املتوسطة وال حتقق نظرية رول يف الفترة حتق سظا = } س{د •

والذي يوازي ٤+ س٣ -@ س جد باستخدام نظرية القيمة املتوسطة أوجدي معادلة املماس ملنحىن الدالة أل۲ }١،۲{ ، }٠،٤{الوتر الواصل بني النقطتني

íŞ‰çj¹]<íÛéÏÖ]<íè†¿Þæ<Ùæ…<íè†¿Þ<î×Â<àè…^³


��

É]†ËÖ]<êò×Ú]V> أل٣

. . .= ا ئ ذ ، ا أحتقق نظرية رول يف الفترة ٣ - @ ذس= } س{د •

٣تساوي ك ، ٠ أ الفترة يف@ ذس - # س= } س{د اليت حتقق نظرية القيمة املتوسطة للدالة ج قيمة •

. . .= ك ئ

%&�� :

١~ É]†ËÖ]<êò×Ú]<<V . . .= ب ئ ذ ، ١ أحتقق نظرية رول يف الفترة ذ + ب س + @ س =} س{د

۲~ <ívév’Ö]<íe^qý]<ë…^j}] : يف الفترة لقيمة املتوسطةاحتقق نظرية ‘ ٤ - @ س‘ = } س{د

١، ٤-أ ١ ، ١-أ ٣، ٣-أ ٣ ، ١-أ < <

íéÊ^ÃÖ]<Ñ‡…<à¹<îeç�


��

"�#! : íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<�]†�]<ê‰…�]<^�^¥<î×Â<<V

٥+ذس - @ س= } س{د ♦

}@ ٣ -س } { ذ -س { = } س{د ♦

١٦+ @ س٨ -$ س= } س{د ♦

�'��( :

:فإن [ا ، ب ] وقابلة لالشتقاق يف ]ا ، ب [ إذا كانت الدالة د متصلة يف

• ا ، ب [ تزايدية يفد ؤئ [ا ، ب ] ٠ مجس} س { د[

• ا ، ب [ تزايدية فعال يفد ئ [ا ، ب ] ٠ ى} س { د[

• ا ، ب [ تناقصية يفد ؤئ [ا ، ب ] ٠ محس} س { د[

• ا ، ب [ تناقصية فعال يفد ئ [ا ، ب ] ٠ آ} س { د[

íÚ^â

<í¿

uøÚ

<<

<<íÖ

]�<<�]

†�]<í

‰]…‚Ö

<<

<±

æù]<í

Ïj�¹]<

ì…^�

]<ov

fÞ

�†Ş¹]<Ù]æ‚Ö]ì


��

‘٥ - س٤ -@ س‘ = } س{د ♦

ة= } س{د ♦

%&�� : <^�^¥<î×Â<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<�]†�]<ê‰…�]<V

@ذس - س٦+ ٣ =} س{د • ٦ - س٧ =} س{د • ‘۲٠ - س٥‘ = } س{د • }س - ٤# { س= } س{د •

٠آ س محس ٣-عندما ذ -@ س ٣آ س محس ٠عندما ٥ -

٥آ س محس ٣عندما @ س - ١٠

Ñø}úÖ<ì‚ŠËÚ<ðçŠÖ]<ífv‘


��

"�#!}١{ : Ö]<�]†�]<ê‰…�]<<<<íÖ]‚ د}؛ ؛ ؛ ؛ ؛ + ١= } س <<<^�^¥<î×Â<V

"�#!}۲{ : <ê×è<^¹<ê××Â :

’ذ ة -س ي ح ششنتناقصية فعال ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د •

’ ٣_ ة -س ي ح ششنتناقصية فعال ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د •

�� ! :

نبحث إشارة البسط وإشارة املقام: دالة كسريةلبحث إشارة • عدد زوجين حيث ن} مقدار { ♣: دائما ملوجبةمن املقادير ا •

عدد زوجين ، +ا ، ب ي ح حيث ب + ناس ♣ عدد زوجين حيث :مقدار[ن ♣

١

}@٣ -س {

٣+ س ذ - س

س ٩ -@ س


��

"�#!}٣{ :

} س{ دفادرسي اطراد الدالة ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{ دإذا كانت

"�#!}٤{ : <^�^¥<î×Â<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<�]†�]<ê‰…�]<V

/@/س /- ٩= [} س{د •

٤+ @ ذس- }@ذ + @ س{


��

/١٠/- /س/٣/- /@س= [} س{د •

ط ، ٠ أيف الفترة س جتا = } س{د •

%&�� : <^�^¥<î×Â<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<�]†�]<ê‰…�]<V

؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{د •

//س/٩/ /- ٣= [} س{د •

ط ٢؛# ، ٠ أيف الفترة س جا = } س{د •

١+ @ س ذ + @ س

ØÛÃÖ]<àŠu<»<†ÛÃÖ]<íÒ†e


��

.'��/ :

: فإن أا ، ب ي ٠س وكانت ا ، ب أإذا كانت الدالة د متصلة يف قيمة عظمى مطلقة} ٠س {د حبيث تكون ٠ ىه إذا وجد ا ، ب أيف قيمة عظمى حمليةتسمى } ٠س {د ~ا

. ة عظمى حمليةنقط } }٠س {، د ٠س { وتسمى ، ه+ ٠ه ، س - ٠س أيف قيمة صغرى مطلقة} ٠س {د حبيث تكون ٠ ىه إذا وجد ا ، ب أيف قيمة صغرى حمليةتسمى }٠س {د ~ب

.نقطة صغرى حملية } }٠س {، د ٠س { وتسمى ، ه+ ٠ه ، س - ٠س أيف

ه -٠س ب ه +٠س ٠س ا

صص

سس

مع

ع

ص

مص

:مالحظات تكون قيمة عظمى أو صغرى مطلقةقيمة عظمى أو صغرى كل ● . العكس غري صحيحولكن حملية ، لكن ميكن أن وحيدة تكون املطلقةالقيمة العظمى أو الصغرى ●

. حمليةقيمة عظمى أو صغرى أكثر منيكون للدالة القيمة الصغرى املطلقة مجس ملطلقةالقيمة العظمى ادائما ●

:أن تكون ليس من الضروريلكن القيمة الصغرى احمللية ى القيمة العظمة احمللية

)انظري الرسم ااور (

��0� �&�1� �2�� .'��/ :

نقطة تسمى } }٠س {، د ٠س { فإن أا ، ب ي ٠س وكانت ا ، ب أدالة د متصلة يف إذا كانت ال غري موجودة} ٠س {د أو ٠= } ٠س {د للدالة د إذا كانت حرجة

املشتقة غري موجودةأو جتعل ٠ =املشتقة النقط احلرجة للدالة د هي النقط اليت جتعل :أي أن

يف الرسم م ص آ مع

مص

مع سس

صص

íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]< <


��

}س{د نوجد املشتقة األوىل ● غري موجودةد ♣♣♣♣ أو ٠= } س{د ♣♣♣♣ وهي النقط اليت جتعل دنوجد النقط احلرجة للدالة ●

} ال الدالة ي بعد اجيادها تأكدي أا{ نعني نوع النقطة احلرجة ●

ني لتعيني نوعهاتوجد طريقت ... دنقطة حرجة للدالة }} ٠ س{ ، د ٠ س{ بفرض أنو

< <

:حيث تظهر احلاالت التالية } اإلحداثي السيين للنقطة احلرجة { ٠س حبث االطراد حول

:حاالت أخرى

< <

< <

:فإذا كانت }اإلحداثي السيين للنقطة احلرجة { ٠س اجياد قيمة املشتقة الثانية عند * مص نقطة }} ٠ س{، د ٠ س{ ئ ٠ ى} ٠ س{د

* مع نقطة }} ٠ س{، د ٠ س{ ئ ٠ آ} ٠ س{د

* نرجع للطريقة األوىل... مهس _ أو ٠ =} ٠ س{د

3�� 4��/ ��25 �� 0 6�

+ + ٠ س

مع وال م ص ليست

- - ٠ س

مع وال م ص ليست

<íéÞ^nÖ]<íÏè†ŞÖ]<Ùçu<íÚ^â<í¿uøÚ< <

٠= } س{د هذه الطريقة تستخدم فقط عند النقط احلرجة اليت جتعل

7�89/ : : :;�<� ��-=6� >��?@ A B( C��DE� �F��

مع + ٠ س

- صفر ٠ س

مص

صفر مع

- ٠ س

+ صفر ٠ س

مص

صفر

ثابتة

مع + - ٠ س

- + ٠ س

مص

±æù]<íÏè†ŞÖ]

]<íÏè†ŞÖíéÞ^nÖ]


��

"�#!}١{ : Ö]<Ù]æ‚×Ö<íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<¼ÏßÖ]<ë‚qæ_l‚qæ<ác<íéÖ^j<<V

١١+ س ٦ -@ س= } س{د •

^س -س ٦= } س{د •

٨+ س ١۲ - # س= } س{د •

�'��( :

أا ، ب ي ٠س تأخذ قيمة عظمى حملية أو صغرى حملية عند دإذا كانت الدالة ٠= } س{د فإن أا ، ب قابلة لالشتقاق يف دوكانت الدالة


��

"�#!}۲{ : <ê×è<^¹<ê××Â :

#س ٣؛! -@ س٣+ س٩ -١= } س {توجد نقط عظمى وال صغرى حملية للدالة د ال •

؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د نقطة عظمى حملية للدالة }} ٢؛! {د ، ٢؛! { •

%&�� : <<l‚qæ<ác<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<¼ÏßÖ]<ë‚qæ_V

}@ذ -س { - ٨= } س{د • @س١٨ -$ س= } س{د • ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{د •

ذ ٦ -س -@ س

١+ @ س س

ä×ÛÂ<»<†ã¿è<àÚö¹]<†Ó�


��

"�#! : <<l‚qæ<ác<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<¼ÏßÖ]<ë‚qæ_V

‘٥+ س ٦ -@ س‘ - ٦= } س{د •

/س/ -ذ= [} س{د •

íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<Äe^i< <


��

/١٦// -/ @س= [} س{د •

:@:س :- :س:٤:+: ٥ [ = } س{د •

%&�� : <<l‚qæ<ác<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<íé×�]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<¼ÏßÖ]<ë‚qæ_V

‘٦ -ذس ‘ =} س{د • : ٤: +: :س:٤:- :@س [ = } س{د •

°Ïj¹]<Œ^fÖ<Ñ‚’Ö]


��

"�#!}١{ : †Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<ë‚qæ_<<l‚qæ<ác<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<ïV

أ ٥، ٠أ يف الفترة ١ +س ٤ -@ س= } س{د •

س ص

١-، ٣-أ يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{د •

س ص

أ ٥، ۲ يف الفترة ‘٤ -س ‘ = } س{د •

س ص

íÏ×Ş¹]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]

C�G@ ��25 �� 026� ��>HI

نوجد املشتقة األوىل للدالة • د اإلحداثي السيين للنقط احلرجة ونتأكد أا تنتمي فترةنوج • يف جدول نوجد اإلحداثي الصادي للنقط احلرجة وأطراف الفترة • مطلقة عظمىيف اجلدول تكون قيمة صقيمة لقيم أكرب •

مطلقة صغرىيف اجلدول تكون قيمة صقيمة لقيم أصغرو

#س - ١٦ سذ


��

"�#!}۲{ : <Øé×ÃjÖ]<ÄÚ<ê×è^Ú<`Ş}<Ý_<ív‘<�ée :

{ } ۲تساوي ، ط ٠ أ يف الفترة سجا ذ= } س{دالقيمة العظمى املطلقة للدالة •

س ص

{ } تساوي صفر ١، ١- أ لفترةيف ا؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د للدالة املطلقة الصغرىالقيمة •

س ص

{ } ٦تساوي ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د القيمة الصغرى احمللية للدالة •

%&�� : ]<ÜéÏÖ]<ë‚qæ_<<l‚qæ<ác<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<íÏ×Ş¹]<ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖV

٤، ٣- يف الفترة س ١۲ -# س =} س{د •

٦، ١- أ يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د •

-٨ ٤ -@ س

٩+ @ س س

س٤ ١+ @ س

ð^–ÏÖ^e<^•†Ö]<g×ÏÖ]<ð]æ�


��

وحاصل ضرما أكرب ما ميكن ١٨ي عددين صحيحني موجبني جمموعهما يساوي أوجد أل١

قطع من أركاا األربعة أربعة مربعات متساوية ، مث سم ، ٤٨مربعة الشكل طول ضلعها قطعة من الورق املقوى أل۲

جدي طول ضلع املربع املقطوع لكيأو ، ثنيت أضالعها لتكون صندوقا مفتوحا على شكل متوازي مستطيالت .نكون سعة الصندوق أكرب ما ميكت

ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<î×Â<l^ÏéfŞi


��

نة حىت تكون مساحتها أقل ما ميكنأوجدي أبعاد األسطوا، #سمط ١٦لى شكل اسطوانة دائرية سعتها علبة مغلقة ع أل٣

حبيث تكون مساحة سطحه أكرب ما ميكن نصف قطر دائرتهسم ، أوجدي ۲٠قطاع دائري حميطه أل٤

%&�� :

أمثال اآلخر أصغر ما ميكن ٤، أوجدي العددين حبيث يكون مربع األول مضافا إليه ۲٥عددان موجبان جمموعهما ~١ يث تكون مساحتها أكرب ما ميكن حبم ، أوجدي بعديها ٨٨أرض مستطيلة حماطة بسور طوله ~۲

ì†}û]æ<^éÞ‚Ö]<ð^Ï�<‚Š£]<ì†�


��

�� :

:فإن منحىن الدالة د يكون أا ، ب وقابلة لالشتقاق يف ا ، ب أإذا كانت الدالة د متصلة يف

نوجد املشتقة األوىل والثانية ●

● وهي النقط اليت جتعل نوجد النقط احلرجة لـ د ♣♣♣♣ أو ٠= } س{د♣♣♣♣ غري موجودةد

} ال الدالة ي بعد اجيادها تأكدي أا { دلـ ندرس التقعر حول النقط احلرجة ●

إذا تغري التقعر حوهلا تكون نقطة انقالب ♦♦♦♦

ا مل يتغري التقر حوهلا تكون النقطة ليست نقطة انقالبإذ ♦♦♦♦

:تظهر احلاالت التالية ٠ س بدراسة التقعر حول ... د لـنقطة حرجة }} ٠ س{، د ٠ س{ بفرض أنو

إذا كان املنحىن ا ، ب أمقعر ألسفل يف الفترةيقع حتت مماساته يف هذه

إذا كان املنحىن ا ، ب أمقعر ألعلى يف يقع فوق مماساته يف هذه الفترة

- + ٠ س

ئئ ئ + - ٠ س

ئئ ئ

+ + ٠ س

ئئ ئئ

- - ٠ س

ئ ئ

انقالبليست نقطة }}٠ س{، د ٠ س{ انقالبليست نقطة }}٠ س{، د ٠ س{ انقالبنقطة }}٠ س{، د ٠ س{ انقالبنقطة }}٠ س{، د ٠ س{

سس ب ا

صص

سس ا ب

صص

�'��( :

يف هذه الفترة ألعلىفإن املنحىن يكون مقعر أا ، ب يف ٠ ى} س{د إذا كانت ● يف هذه الفترة ألسفل يكون مقعر فإن املنحىن أا ، ب يف ٠ آ }س{د إذا كانت ●

3�( 4��/ ��25 J�K �(

]<í‰]

…‚Ö

†ÃÏj

Ö<

Ö]<íÏj

�¹]<ì

…^�c<o

vfÞ

íéÞ^n

<<<h

øÏÞ÷

]<íŞÏ

ÞV<<

^�çu

<†ÃÏj

Ö]<�Çj

è<�Ö]<í

ŞÏßÖ]

<êâ

høÏÞý]<¼ÏÞæ<†ÃÏjÖ]


��

"�#!}١{ : <<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<†ÃÏi<ê‰…�]V

}#ذ + س { = } س{د •

} ٦ - س { س = } س{ د •

"�#!}۲{ : <íéÖ^jÖ]<l^Æ]†ËÖ]<êò×Ú] :

. . .هي ٥ - س٩+ @ س٦ -# س= } س {نقطة اإلنقالب ملنحىن الدالة د •

. . .مقعر ألسفل يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{د منحىن الدالة •

١+ س ١ - س


��

"�#!}٣{ :

} س{ دفادرسي تقعر منحىن الدالة ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ =} س{ دإذا كانت

"�#!}٤{ : <ê××ÂV د ال توجد نقط إنقالب للدالة} ٣//+ س [# } ٣+ س { = } س/

%&�� :

١~ ê‰…�]<<<íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚Ö]<†ÃÏiV

؛ ؛ ؛ ؛ = } س {د •••• }@ذ+ س } { ١ - س { = } س {د ••••

۲~ íéÖ^jÖ]<Ù]æ‚×Ö<høÏÞ÷]<¼ÏÞ<�éÂ<l‚qæ<ác<<V

‘٣٦ - @ س‘ =} س {د •••• ١+ س٧ -$ س= } س {د ••••

س٤ - }@ ١ -@ س{

س ٣ ذ - س

ØÛÃÖ]<àŠu`Ê<ÙçÏÖ]<kßŠu_<]ƒc


��

"�#!}١{ : ÜéÎ<ë‚qæ_<< ا ، ب<<<ØÃŸ<�Ö]}٣ ،١ { <<íÖ]‚×Ö<íé×¦<îÛ¿Â<íŞÏÞ ب س+ # اسجد@

"�#!}۲{ : <É]†ËÖ]<êò×Ú]V

<<<<íÖ]‚×Ö س -# ك سجد@ ‚ßÂ<høÏÞc<íŞÏÞ ك ئ ٣= س =. . .

%&�� : ÛéÎ<ë‚qæ_<í<<ا <Ÿ<�Ö]<<íÖ]‚×Ö<<ØÃ ا؛ سس؛ + سجد ‚ßÂ<íé¦<ï†Ç‘<íÛéÎ ذ-= س

L'�M-�� N�O P1 �� ! :

: قابلة لالشتقاق على جماهلا ، فإذا كان} س{د بفرض أن الدالة ١ص = } ١س {د ئ} ١، ص ١س { املنحىن مير بالنقطة •

أواملماس عندها أفقي أونقطة حرجة للدالة د أوصغرى حملية أونقطة عظمى حملية }١، ص ١س { • :فإن سس ] املماس عندها

♣ ١ص = } ١س {د ♣ ٠= } ١س {د

:فإن د نقطة حرجة لـ أونقطة انقالب } ١، ص ١ س{ إذا كانت •

♣ ١ص = } ١س {د ♣ ٠= } ١س {د

Q #! :

ئ} ٣ - ، ٥{ مير بالنقطة } س{د منحىن �

∗ ∗ ئ } س{د نقطة صغرى حملية للدالة } ٧، ٤{ �

ئ ٩ - = س ة انقالب عند نقط} س{د للدالة �


��

"�#!}١{ : <<<<íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ٤ = ص - } ١+ س @{Ø£]<l]çŞ}<Øé’Ëi<ÄÚ< <

. . .= اال � :دراسة التناظر �

قط التقاطع مع احملورينن �

��C � ! �F� ��25 :

إجياد اال } ١ فإذا كانت : دراسة التناظر } ذ

الصادياملنحىن متناظر حول احملور ئ زوجيةالدالة ئ } س -{د = } س{د ♣♣♣♣ األصل نقطةاملنحىن متناظر حول ئ فرديةالدالة ئ } س{د -= } س -{د ♣♣♣♣

:اجياد نقط التقاطع مع احملورين } ٣ سمث نوجد قيم ٠= ص نضع : سس مع احملور ♣♣♣♣ صمث نوجد قيم ٠= س نضع : ص صمع احملور ♣♣♣♣ إجياد النقط العظمى احمللية والصغرى احمللية ودراسة االطراد } ٤ قعرإجياد نقط االنقالب ودراسة الت } ٥ }للدوال الكسرية فقط {إجياد اخلطوط التقربية } ٦

l^éßvß¹]<Ü‰…

ملنحىن الدالةي } ص ، س - { ئ ملنحىن الدالة ي } ص ، س { :يف الدالة الزوجية ♦

ملنحىن الدالة ي } ص - ، س - { ئ ملنحىن الدالة ي } ص ، س {: يف الدالة الفردية ♦

íÖ]‚Ö

]<îßv

ßÚ<Ü‰

†Ö<ì‚

Â^ŠÚ

<¼Ïß

Ö<t^j©

<ğÞ^éu

_


��

احمللية والصغرى احمللية ودراسة االطراد النقط العظمى �

نقط االنقالب ودراسة التقعر �

íŞÏßÖ]< <^ãÂçÞ< <

"�#!}۲{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ص = } ذ + س } { ١ -س @{<<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV< <

نقط التقاطع مع احملورين �


��

ة ودراسة االطرادالنقط العظمى احمللية والصغرى احمللي �

نقط االنقالب �


%&�� : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ١+ س ٣ -# س= ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV

نقط التقاطع مع احملور الصادي � ةنقط العظمى احمللية والصغرى احملليال � نقط االنقالب �


��

"�#!}٣{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ٥+ س ٦ -@ س‘ = ص ‘í‰]…�<î×Â<ð^ße<<V< <

نقط التقاطع مع احملور الصادي �

النقط العظمى احمللية والصغرى احمللية �

سة التقعرنقط االنقالب ودرا �


��


"�#!}٤{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] س ‘ = ص ‘ } ٤ -س {ì�ËÖ]<»<<<٥، ١ -أ <<<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV< <

نقط التقاطع مع احملور السيين �

ة واالطرادالنقط العظمى احمللية والصغرى احمللي �


��

بنقط االنقال �


%&�� :

íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ذ - س‘ س = ص ‘ <<<ì�ËÖ]<»٤، ٣ - أ <<<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV

نقط التقاطع مع احملور السيين � ةاحمللي النقط العظمى احمللية والصغرى � نقط االنقالب �

íòéŞ}<ØÒ<Œ_…<^éÞ‚Ö]<gu


��

"�#! : <<íéÖ^jÖ]<l^Æ]†ËÖ]<êò×Ú]V< <

. . .هي ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص اخلطوط التقربية ملنحىن الدالة •

. . .هي ؛ ؛ ؛ ؛ = ص اخلطوط التقربية ملنحىن الدالة •

. . .هي ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص ملنحىن الدالة اخلطوط التقربية •

��O��-�� R2S� C�G@ ��'�D

:اخلطوط الرأسية ● خط تقريب رأسي ا= س ئ ا= س عند غري معرفةإذا كانت الدالة

إذا كانت :اخلطوط األفقية ● ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص : اخلط األفقي ئ رجة املقام د =درجة البسط ∗∗∗∗

٠= ص : اخلط األفقي ئ درجة املقام آدرجة البسط ∗∗∗∗

اليوجد خط تقريب أفقي ئ درجة املقام ىدرجة البسط ∗∗∗∗

:اخلطوط املائلة ● فقط بدرجة واحدةدرجة املقام ىذا كانت درجة البسط إ

خارج قسمة البسط على املقام= ص : اخلط املائل هو ئ

معامل أكرب أس للبسط معامل أكرب أس للمقام

٥+ س ذ ٦ -س ٣

س ٧+ @س

س -@ س ٣+ س


��

"�#!}١{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛ = ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV< <

الصادي قط التقاطع مع احملورن �


االطراد �

التقعر �

اخلطوط التقربية �


íè†ŠÓÖ]<Ù]æ‚Ö]<Ü‰…

س ٣ ذ - س


��

"�#!}۲{ : <îßvßÚ<ê�…]íÖ]‚Ö] ؛ ؛ ؛ ؛= ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV< <

التناظر �

نقط التقاطع مع احملورين �

}ملاذا ؟ ؛ ؛ ؛ ؛= ص{ االطراد �

}ملاذا ؟ ؛ ؛ ؛ = ص{ التقعر �

اخلطوط التقربية �


١ -@ س س

١+ @ س @ س

ذ- # س


��

"�#!}٣{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛= ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV< <


االطراد �

ط االنقالب نق �

س ٥ ٩ -@ س


��

خطوط التقارب �


%&�� :

١~ íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛= ص <ð^ße<<í‰]…�<î×ÂV

يننقط التقاطع مع احملور � طراداال � التقعر � خطوط التقارب �

۲~ �…]íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV

ةالنقط العظمى احمللية والصغرى احمللي � ب والتقعرنقط االنقال � خطوط التقارب �

٣+ س ذ ذ+ س

٤+ @ س س

Ý‚ßè<äÞ^ŠÖ<Ô×µ<�<àÚ


��

"�#!}٤{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛= ص <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV

ة والصغرى احمللي النقط العظمى احمللية �

التقعر �


íŞÏßÖ]< <^ãÂçÞ< < اخلط املائل

س ص

ذ+ س + @ س ذ+ س


��

"�#!}٥{ :

>íéÖ^jÖ]<l^éŞÃ¹]<î×Â<ð^ßeV>>} س{د […�íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê ~ا <

خط تقريب ٠= ص ♦

مص} ٣ -ذ ، -{ ، مع } ٣ذ ، { ♦

♦ }٤{ ، } ٠، ٠ ،۲ { نقط انقالب} ذ-، ٤-{

íéÖ^jÖ]<l^éŞÃ¹]<î×Â<ð^ßeV>>} س{د […�íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê ~ب

’۲_ة -ح = اال ♦ مع } ٠، ٠{ ♦ خط تقريب ١= ص ♦

ذ ، ذ-أ -س ي ح ششن ٠ص ى ♦

"�#!}٦{ : íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛= ص <<<ì�ËÖ]<» - ∞ ،أ ٠<<<<<<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV


١٦ -# س ذس


��



%&�� :

١~ Ú<ê�…]íÖ]‚Ö]<îßvß س{د {<<íéÖ^jÖ]<l^éŞÃ¹]<î×Â<ð^ßeV

خط تقريبذ -= س ♦أ ∞ذ ، - أ= اال ♦ } ٠، ٥{ ، } ١، ٠{ املنحىن مير يف ♦ مع } ٤، ۲{ ♦ أ ۲، ٠ املنحىن مقعر ألعلى يف الفترة ♦

۲~ íÖ]‚Ö]<îßvßÚ<ê�…] ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص ì�ËÖ]<» أ ∞، ٠<<<< <<í‰]…�<î×Â<ð^ßeV

ب نقط االنقال � خطوط التقارب �

٨ - #س س

‚Š£]<í×Î<àÚ<‚Š¢]<ív‘


��

"�<� "�TU�� : ê×è<^¹<ê××Â<<V

متناظر حول احملور الصادي ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = ص منحىن الدالة •

٠= ذ ، ص _= س هي ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ + ١= ص اخلطوط التقربية ملنحىن الدالة •

٦= ص خط أفقي معادلته ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ + ٥= ص ملنحىن الدالة •

V�#�� "�TU�� : <Øé×ÃjÖ]<ÄÚ<ê×è^Ú<`Ş}<Ý_<ív‘<�éeV

{ } ؛ ؛ ؛ ؛ + ١+ س ۲= ص ىن الدالة ال يوجد خط مائل ملنح •

{ } متناظر حول نقطة األصل س جا -س = ص نحىن الدالة م •

{ } ذ+ س -= ص هو ؛ ؛ ؛ ؛ = ص اخلط املائل ملنحىن الدالة •

سجتا ٧ -@ س

íÚ^Â<àè…^³

@س+ س @س - ٤

٣ ذ - س

ذ - س ٣+ س

@س - س ١+ س

�ŠÂ<ØÒ<äé×Â<á^â<�ŠéÖ^e<ÄßÎ<àÚ

��

Øé×ÃjÖ]<ÄÚ<ê×è<^Ú<`Ş}<Ý_<ív‘<�ée< <

ض ط ٢؛#، ٢ط؛ هي ]ط ٢، ٠ [يف سجا =} س{داليت حتقق نظرية رول للدالة جقيم ١

ض ‘٣ - س ‘ + س۲ =} س{دليست عظمى حملية وال صغرى حملية للدالة } ٦، ٣{النقطة ۲

ض [ ∞، ٠ [تزايدية فعال يف الفترة /٧/ +/ @س= [} س{د ٣

ضض قيمة عظمى حملية} ٠س {د فإن ٠ ى } ٠س {د ، ٠= } ٠س {د إذا كانت ٤

ض ؛خلس ؛! - تساوي س س ه= } س{د القيمة الصغرى احمللية للدالة ٥

ض [، ط ٠ ]يف سجتا - = } س{دنقطة انقالب ملنحىن الدالة } ٠، ٢ط؛ { ٦

ضض ‘٣ - س ٢؛! ‘ - ۲= } س{دنقطة صغرى حملية للدالة } ۲، ٦ { ٧

ضض ٨

ضض ٩

ض [ ∞، ٣ ] ي م ئمقعر ألسفل على جماهلا ٧ + س ٩ -} م ٤ - ١۲{ = } س{دمنحىن الدالة ١٠

<l^Æ]†ËÖ]<êò×Ú]íéÖ^jÖ]< <

٣ . . . تساوي ذ = س نقطة صغرى حملية عند سس ؛!؛@+ س ا = } س{داليت جتعل للدالة ا قيمة ١

۲ ١۲+ م س + @ ن س -# س= ص نقطة انقالب ملنحىن الدالة } ١٤ -، ١{

. . . =م ، . . . =ن ئ ٣= ن ۲٤ -=م

ذ_ . . .تساوي ١ =س مماس أفقي عند س٨ - @س@ ج= ص اليت جتعل للمنحىن جقيم ٣

٨١ ٤

ï†Ç’Ö]æ<îÛ¿ÃÖ]<ÜéÏÖ]<î×Â<Øñ^ŠÚ< <

٤، ٤ حبيث يكون جمموعهما أقل ما ميكن، أوجدي العددين ١٦عددان موجبان حاصل ضرما ١

۲ ، أوجدي طول نصف قطر قاعدته لكي تكون مساحة #مط س٨وعاء اسطواين بدون غطاء سعته

أقل ما ميكن سطحه سمذ

٣ أوجدي الزمن الذي تكون عنده سرعة ، ن ١۲ + @ن ٩+ #ن۲ - =قة ف يتحرك جسيم حسب العال

اجلسيم أكرب ما ميكن ٢؛#

٥؛@ تساوي ] ۲، ١- [يف ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{دالقيمة العظمى املطلقة للدالة س ١+ @ س

[ ۲، ∞ - ]مقعر ألسفل يف الفترة ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{دمنحىن الدالة ١ س -ذ

. . . = ب فإن ٣ =س نقطة حرجة عند ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ ؛ = } س{دإذا كان للدالة /ب + [@ س

س

<î×Â<l^fè…‚iØ•^ËjÖ]<h^Šu<l^ÏéfŞi<h^e

��

<ÔÚ^Ú_<íÚç‰†¹]<Ù^Ó�ù^e<íÞ^Ãj‰÷^e<l^Æ]†ËÖ]<êò×Ú]< <

~د ~ج ~ب ~ا

ب {د{ د،} ب {ب ، د { . . .غري موجودة يف األشكال } ب{{ نقطة انقالب يف الشكل. . . د} يف الشكل ٠ =} ب . . .

. . . =اال •••• . . . اخلطوط التقربية هي •••••••• س عند ٠ =} س{د= . . . •••• يف الفترة ٠ ى} س{د. . . •••• يف ٠ آ} س{د. . . . . .املنحىن مقعر ألسفل يف ••••

= . . .اال •••• •••• يف الفترة ٠ آ} س{د. . . •••• سعند ٠ =} س{د= ... سو=... •••• س عند ٠ =} س{د= . . . . . .املنحىن مقعر ألعلى يف •••• . . .الدالة تزايدية فعال يف ••••

l^éŞÃ¹]<î×Â<ð^ße<l^éßvß¹]<ê�…]< <

} ٣ ، ذ - {، } ٠ ، ٥ {املنحىن مير يف •••• نقط انقالب } ٣ - ، ٣ {، }٠ ، ٠{، م ص } ٥ - ، ٤ { ••••

خط تقريب و الدالة زوجية ٦ =ص •••• نقطة انقالب } ٤ ، ۲ {، م ص } ۲ ، ٠{ ••••

نقطة انقالب } ذ ، ٣ - {خط تقريب و ذ = س و [ ذ، ∞ -]= اال •••• ٣ =} ٧ -{ دو ٥ - = س و ٠= س يقطع احملور السيين عند •••••••• [ ٣ -، ٥ - ]يف الفترة ٠ ى} س{د

خطان تقربيان ٣ +س - = ص ، ١= س •••• مع } ٠ ، ذ {، م ص } ٤ ، ٠{ ••••

ب ب ب ب

ذ- ذ

ه د ج ب ا

<î×Â<l^fè…‚il^éßvß¹]<Ü‰…

تطبيقات التفاضل

Documents