Глава 5 ТЕОРИЯ ОПЦИОНОВ И ИХ...

Глава 5

ТЕОРИЯ ОПЦИОНОВ И ИХ ОЦЕНКА

В глане 4 было показано, как с помощью дисконтированных денежныхпотоков оцениваются акции н облигации. В данной главе будет рассмотренаоценка опционов, являющихся производными ценными бумагами Важностьэтого аспекта деятельности финансовых менеджерон определяется тремя причинами Во первых, два типа ценных бумаг, выпускаемых корпорациями ифирмами, — варранты и конвертируемые ценные бумаги, обладают характеристиками опционов, а их оценка, следовательно, базируется на оснонных положениях теории опционов Во вторых, инвестиции как в долговые финансовые

Теория опционов и их оценка 133

инструменты, так и в акции фирмы также могут рассматриваться в контекстетеории опционов, что в свою очередь может дать более глубокое представление овлиянии управленческих решений на стоимость акций и облигаций корпорацийВ-третьих, некоторые проекты, осуществляемые фирмами, предполагают «стратегическую оценку», которая не может быть обоснована и исчислена в рамкахтрадиционного анализа дисконтированных денежных потоков. Более достоверная оценка может быть получена с помощью аппарата теории опционов

Основы теории опционов

Опцион — это контракт, дающий владельцу, или держателю опциона, правокупить или продать определенный актив по некоторой, заранее оговореннойцене в течение определенного промежутка времени Опционы могут быть выписаны фактически на любой актив, однако наибольшее распространение ониполучили в связи с операциями с недвижимостью и ценными бумагами Самаяважная характеристика опциона заключается в том, что держатель опциона необязан совершать предусмотренных в контракте действий, т е опцион даетего собственнику право, но не обязанность купить или продать актив. Такимобразом, если в случае исполнения опциона могут возникнуть отрицательныепоследствия, владелец опциона предпочтет отказаться от его исполнения.

Опционы существуют уже в течение многих лет, однако до недавнего времени их использование не было широко распространено. Раньше условия опционных контрактов должны были согласовываться по каждой сделке непосредственно покупателем и продавцом Это осложняло поиск контрагентов, поэтомув 1973 г была создана первая опционная биржа — «Chicago Board Option Exchange» (СВОЕ)

Поскольку на бирже используются стандартизованные контракты, а самисделки совершаются централизованно с помощью клиринговой палаты, ликвидность опционных операций повышается, а трансакционные затраты на их совершение снижаются. В США в настоящее время торговля опционами осуществляется на пяти биржах: СВОЕ, «American Stock Exchange» (AMEX), «Pacific StockExchange», «Philadelphia Exchange», «New York Stock Exchange» (NYSE)

Предметом опционной сделки могут быть 1) обыкновенные акции, например акции компаний IBM или «Ford»; 2) значения фондовых индексов, такихкак S&P 500 и NYSE Index. Кроме того, широкое распространение получилифьючерсные опционы (options on futures), представляющие собой право покупкиили продажи определенного фьючерсного контракта на один из следующих активов: 1) долговые инструменты, такие как казначейские облигации и векселя,2) товары, такие как пшеница и золото, 3) иностранная валюта, например немецкие марки или английские фунты стерлингов.1

Основные понятия

Становление и развитие опционной торговли на практике сопровождалосьразработкой единой терминологии, широко используемой всеми участникамиопционных рынков Охарактеризуем наиболее распространенные термины в

1 Фьючерсные контракты будут описаны в главе 25 при обсуждении проблемы хеджирования финансовых рисков

134 Глава 5

приложении к обыкновенным акциям, рассматриваемым в качестве базовогоактива опционного контракта

1 Колл опцион (call option) — право купить заданное число акций по определенной цене в течение оговоренного срока Например, 90-дневный колл опционна акции IBM по 100 дол дает держателю опциона право купить акции IBM за100 дол в любой момент в течение следующих 90 дней.

2 Пут опцион (put option) — право продать заданное число акций по определенной цене в течение оговоренного срока

3. Цена опциона (option price) — сумма, уплачиваемая покупателем опционапродавцу, т е. лицу, выписавшему опцион. Цена пут опциона на акции «Ford»составляла 53/в, или 5.375 дол., на 21 ноября 1991 г , тогда как цена колл опциона на акции IBM составляла 45/в, или 4 625 дол Отметим, что обращающиесяопционные контракты на акции на биржах продаются лотами по 100 акций,так что минимум, который может быть уплачен за колл опцион на акции IBM,составляет 100 акций по цене 4.625 дол. — 462.50 дол.

4 Цена исполнения (exercise, striking price) — цена акции, по которой держатель опциона может купить или продать 100 акций, ибо именно на них выписан его контракт Так, цена исполнения колл опциона на акции IBM была100 дол., тогда как цена исполнения пут опциона на акции «Ford» была 30 дол.Обычно акции, обращающиеся на опционных биржах, имеют как пут, так иколл опционы с несколькими различными ценами исполнения

5 Дата истечения опциона (expiration date) — последний день, в кото-рый опцион может быть исполнен При обращении опционов на биржах задату истечения опциона принимается месяц, в котором истекает контракт, ска-жем, январь или февраль В этот месяц все котируемые опционы истекают позавершении третьей пятницы, что легко позволяет покупателям и продавцамвычислять точную дату истечения опциона.2

6 Европейские и американские опционы. Европейские опционы могут бытьисполнены только в момент истечения опциона. Другими словами, они даютдержателям опциона право купить (или продать) обыкновенную акцию по опре-деленной цене точно в оговоренный момент времени. Американские опционымогут быть исполнены в любое время — в момент истечения или в любой моментдо этой даты

7. Непокрытый (naked) и покрытый (covered) опционы. Продавцу коллопциона может потребоваться обеспечение опциона — сами акции, являющиесядля опциона базисным активом, — для того чтобы покупатель колл опциона могисполнить свое право купить эти акции. Если продавец продает колл опционна акции, которыми он не владеет, говорят, что продавец продает непокрытыйколл опцион. Если же продавец реально владеет лежащими в основе опционаакциями, то он продает покрытый колл опцион

8 Опцион «в деньгах» (in-the-money) и опцион «без денег» (out-of themoney). Текущая цена акции, лежащей в основе опциона, может быть выше,равна или ниже цены исполнения опциона на эту акцию Если цена базиснойакции выше цены исполнения колл опциона, говорят, что опцион находится «в

2 В некоторые пятницы года опционные контракты на акции, фьючерсные контрактына индексы, опционы на фьючерсные индексы исполняются немедленно. Последний часторговли в такие пятницы называется — дословно — тройной колдовской час (triple-witching hour), поскольку в это время цены и объемы реализации могут существенноколебаться


Таблица 5 1

Котировка опционов иа СВОЕ 3 декабря 1991 г (в дол )

Цена акцийна момент

закрытия NYSE

IBM01 V401 V401V4

«Sears»35V2

«Centocor»

50V2

Ценаисполнения

90100110

40

40

Последняя цена колл опциона

в декабре

3

V4г

Vie

101/2

в январе

41/21

V4

5/16

11

в апреле

63/423/4

iVs

7/8

14

Последняя цена пут опциона

в декабре

17/1683/4

г

41/2

1/16

в январе

29/1601/8183/ 8

4^/8

7/8

в апреле

43/4ЮЗ/4

19

51/4

25/8

Примечание г — операции с этим опционом 3 декабря не осуществлялись

деньгах» В сущности, опцион имеет срочную стоимость для своего держателя,которая может быть реализована исполнением опциона и покупкой акции поцене исполнения опциона с последующей перепродажей ее по более высокой рыночной цене Если цена базисной акции ииже цены исполнения колл опциона,говорят, что опцион находится «без денег» Те же самые термины применяются к пут опционам, но определения изменяются в противоположную сторону5 ноября 1991 г акции IBM продавались около 91 дол за акцию, поэтому их90 дневный колл опцион по цене исполнения 100 дол. был «без денег».

Примеры опционов на акции

Табл. 5 1 содержит выдержку из «Wall Street Journal» — таблицу котировок обращающихся опционов. Эта выдержка, содержащая сведения об опционахна акции IBM, «Sears» и «Centocor», показывает сделки, которые состоялись впредыдущий день 3 декабря 1991 г колл опционы на акции «Sears» с исполнением в январе и ценой исполнения 40 дол продавались на СВОЕ за 5Дб»или 0.3125 дол Таким образом, за 0.3125 дол 100 = 31 25 дол. можно былокупить опционы, которые дали бы право приобрести 100 акций «Sears» по цене40 дол за акцию в любой момент до пятницы, 17 января 1992 г., включаяэтот день. Если цена останется ниже 40 дол в течение этого периода, то потеря составит 31.25 дол., но если она возрастет до 50 дол., то на вложенные31.25 дол можно получить 100 дол (50 — 40) = 1000 дол Это переводится вгодовую процентную ставку дохода. Между прочим, если цена акции действительно поднимется, можно не исполнять контракт на покупку акции Можнона самом деле продать опционы, и в этом случае они будут иметь цену по крайней мере 1000 дол против 31 25 дол , которые могли бы быть уплачены припокупке опциона

Анализ табл 5 1 показывает, что по крайней мере три фактора воздействуютиа цену опциона

1. Для данной цены исполнения чем выше цена акции, лежащей в основеопциона, тем выше цена колл опциона и ниже цена пут опциона Таким образом,

136 Глава 5

колл опцион на акции «Sears» с ценой исполнения 40 дол и с поставкой в апрелепродается за 0.875 дол., в то время как колл опцион на акции «Centocor» сценой исполнения 40 дол и с поставкой в апреле продается за 14 дол., потомучто текущая цена акции «Centocor» — 50.50 дол за акцию, а текущая ценаакции «Sears» — лишь 35.50 дол Взаимосвязь для цен на пут опционы прямопротивоположная — цены на пут опционы на акции «Sears» с поставкой в апрелевыше, чем для акций «Centocor»

2. Для данной цены акции чем выше цена исполнения, тем ниже цена коллопциона и выше цена пут опциона Таким образом, цена всех колл опционовакций IBM, независимо от месяца исполнения, падает, когда цена исполнениявозрастает, в то время как цена пут опционов на акции IBM возрастает с ростомцены исполнения

3 Чем дольше срок исполнения, тем большую стоимость имеет опцион. Таким образом, в табл 5.1 цены как колл опционов, так и пут опционов возрастаютс ростом периода действия опционного контракта Чем дольше срок опциона,тем больше шанс, что цена акции будет расти (или падать) и существенно превысит (будет ниже) цены исполнения

Графики выплат

Так как опционы являются производными ценными бумагами, доходы поним определяются сложнее, чем доходы по их базисным активам (например, пообыкновенным акциям) Один из способов мысленно представить себе прибылии убытки по опционным контрактам на момент истечения опциона состоит вконструировании графика выплат (payoff diagram) В этом разделе мы проиллюстрируем доходы, связанные с различными позициями по опционам

Колл опционы Держатель колл опциона исполнит опцион, если текущаяцена базисного актива превысит цену исполнения опциона Если этого не произойдет, держатель опциона не исполнит его. Однако прибыль от сделки будетполучена только в том случае, когда цена акции будет выше цены исполнения,сложенной с ценой колл опциона

На рис. 5 1 представлены графики выплат покупателя и продавца колл опциона на акции IBM; цена опциона 1 дол , цена исполнения 100 дол Сначаларассмотрим непрерывную линию, которая представляет собой прибыль (убыток)покупателя Если цена акции IBM в момент исполнения опциона составляет100 дол., то опцион на покупку акции за 100 дол. не приносит дохода В этомслучае говорят, что опцион находится при деньгах (at the money) Держательопциона не получает никакой прибыли, однако, поскольку держатель уплатил1 дол за опцион, он терпит убыток в размере 1 дол Если цена акции IBM вмомент исполнения составляет 110 дол., то держатель исполнит опцион — купит акцию за 100 дол. и продаст ее за 110 дол , в результате у него образуетсяприбыль 10 дол 3 В этом случае опцион находится «в деньгах» Заметим, од

3 В этих примерах мы абстрагируемся от трансакционных затрат, имеющих местопри покупке и продаже ценных бумаг. Добавление комиссионных от продаж сокращаетприбыль как покупателей, так и продавцов. Мы также игнорируем тот факт, что в случае исполнения опциона между его ценой и доходом появляется разница, обусловленнаяфактором времени. Оба эти элемента могли бы быть учтены в графике выплат, однако ихвлияние несущественно Наконец отметим, что держатель опциона на самом деле можети не покупать акции; в этом случае продавец опциона просто уплачивает покупателюопциона причитающиеся ему доходы


Рис 5 1 Графики выплат для колл опциона

нако, что чистый доход держателя опциона составляет лишь 9 дол., поскольку1 дол он первоначально уплатил при покупке опциона Если опцион в моментистечения находится в ситуации «без денег», скажем, с ценой акции 95 дол.,держатель не будет исполнять опцион и просто потеряет первоначально уплаченную за опцион цену — 1 дол

График выплат для держателя опциона начинается как прямая линия науровне цены опциона со знаком «минус» по оси ординат и затем устремляетсявверх под углом 45° к оси абсцисс при цене 100 дол., фиксирующей цену исполнения Бели цена акции равняется 101 дол , прибыль от исполнения опциона вточности покрывает цену покупки Любое дальнейшее возрастание цены акцийIBM будет просто увеличивать доходы держателя опциона. С другой стороны,так как держатель не обязан исполнять опцион, его убытки ограничиваются ценой покупки опциона в размере 1 дол независимо от того, насколько ниже ценыисполнения (100 дол.) упадет цена акции. Таким образом, колл опцион ограничивает снизу величину возможных потерь держателя опциона из-за сниженияцены акции, но не ограничивает сверху возможный доход.

График выплат для продавца опциона показан на рис. 5 1 прерывистой линией Заметим, что продавец колл опциона занимает позицию, которая является точно противоположной позиции покупателя Если цена акции IBM в момент истечения опциона составляет 95 дол., то опцион не дает дохода держателю и не будет им исполнен, поэтому продавец получит прибыль в размере1 дол., равную цене опциона Однако если цена акции в момент истеченияопциона составляет 105 дол , держатель исполнит опцион и продавец будет вы-нужден продать акции по цене 100 дол. за акцию.4 График выплат для про-

4 Если опцион является покрытым продавец будет вынужден уступить держателю за100 дол акцию, цена которой 105 дол уменьшив тем самым величину капитализиро

138 Глава 5

Ряс 5 2 Графики выплат для пут опциона

давца колл опциона представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс длявсех значений цен акции, не превышающих цены исполнения, и пересекающую ось ординат на уровне цены опциона; начиная с цены 100 дол прямаяустремляется вниз под углом 45° Таким образом, продавец колл опциона имеетограниченную величину дохода и неограниченную величину возможныхпотерь

Пут опционы. Покупатель пут опциона получит прибыль, если цена базисного актива будет ниже цены исполнения в момент истечения опциона, так какв этом случае он может продать акции продавцу опциона за большую цену, чемтекущая рыночная цена.

На рис 5.2 представлены графики выплат продавца и держателя путопциона на акции IBM, который стоит 9 дол и имеет цену исполнения100 дол. Сначала рассмотрим сплошную линию, которая отражает прибыль(убыток) держателя Если цена акции IBM в момент истечения опциона составит 88 дол , держатель пут опциона исполнит контракт, купит акции нарынке за 88 дол и продаст их продавцу опциона за 100 дол., получив прибыль 12 дол В этой ситуации пут опцион находится «в деньгах» Заметим, однако, что чистый доход держателя опциона составит лишь 3 дол , потому что держатель уплатил 9 дол первоначально при покупке опционаЕсли пут опцион в момент истечения срока находится в позиции «без денег», скажем, цена акций составляет 105 дол , держатель не будет исполнять

ванного дохода. Если же продавец продал вепокрытый опцион, он должен будет купитьакцию за 105 дол. и затем продать ее за 100 дол., понеся тем самым реальные денежныепотери Вновь заметим, что обращения акций на деле может и ве быть, так как продавеци держатель опциона могут просто согласовать между собой разницу, выплачиваемуюпродавцом держателю


опцион, он просто потеряет первоначально уплаченные за покупку опциона9 дол.

График выплат для держателя пут опциона начинается как снижающаясянаклонная линия с углом наклона 45° Как только цена акции достигает ценыисполнения, график доходов переходит в линию, параллельную оси абсцисс ипересекающую ось ординат в точке, численно равной цене опциона Таким обра-зом, как и колл опцион, пут опцион обеспечивает держателю ограниченныйвозможный убыток (в размере цены опциона), но практически неограничен-ный возможный доход (цена исполнения без стоимости пут опциона и текущейцены)

График выплат для продавца пут опциона показан на рис. 5 2 прерыви-стой линией. Снова продавец пут опциона занимает позицию, которая являетсяточно противоположной позиции покупателя. Бели цена акции IBM в моментистечения срока опциона составляет 105 дол., опцион не приносит дохода и небудет исполнен, поэтому продавец будет иметь прибыль, равную цене опциона —9 дол Однако, если цена акции в момент истечения срока опциона составляет88 дол , держатель исполнит опцион и продавец должен будет купить акции поцене 100 дол за акцию График выплат для продавца параллелен оси абсциссна уровне цены опциона для всех значений цены акции выше цены исполнения, но снижается под углом 45° для всех значений цены акции ниже ценыисполнения Как и в ситуации, с которой сталкивается продавец колл опциона,продавец пут опциона имеет ограниченный размер прибыли (цена опциона), ноочень высокую величину возможных убытков

В заключение сравним графики на рис. 5.1 и 5 2 На каждом рисунке держатель и продавец графически являются зеркальными изображениями, потомучто продавец и держатель опциона находятся на противоположных сторонах одной и той же сделки: покупка и продажа опционов — это игра с нулевой суммойТакже отметим, что графики доходов основываются (с минимальным округлением) на 100-долларовых опционах на акции IBM, представленные в табл. 5.1Так как цена акции IBM была в этот момент около 91 дол , пут опцион был «приденьгах», тогда как колл опцион был «без денег» Таким образом, цена пут опциона приблизительно равнялась цене колл опциона, увеличенной в 9 раз. Какмы уже упоминали выше, текущая цена акции оказывает значительное воздействие на цены опционов н, следовательно, на специфические характеристикиопционных графиков, хотя их основная форма остается неизменной независимоот предполагаемых первоначальных условий

Комбинации Комбинируя различные опционные контракты на одни ите же акции или комбинируя опционы и длинные или короткие контрактына базисные акции, инвесторы могут конструировать позиции с широким диапазоном показателей риска (доходности) Используется множество комбинаторных позиций (combination positions), и их названия, такие как стрэддлы,стрипы и стрэпы, хорошо известны инвесторам — участникам рынка опциоиов

Для иллюстрации комбинации предположим, инвестор ожидает, что ценаакций IBM будет более неустойчивой в будущем, чем она была в прошлом Инвестор не знает, как будет изменяться цена акции — вверх или вниз, но онубежден, что цена определенно и значительно изменится в том или ином направлении Это мнение может быть преобразовано в инвестиционную позицию,обозначаемую как длинный стрэддл (long straddle) Чтобы сконструировать

140 Глава 5

длинный стрэддл, инвестор покупает равное число колл и пут опционов на однии те же акции с одной и той же ценой исполнения Вспомним из табл 5 1,что на 100-долларовые акции IBM со сроком истечения в январе колл опционпродавался приблизительно за 1 дол., а пут опцион — за 9 дол. Следовательно,для инвестора стоимость стрэддла составила бы 10 дол

Сплошная линия на рис. 5.3 — график выплат для этого длинного стрэддлаЕсли цена акции IBM в момент истечения опциона составит 100 дол., то и колл ипут опционы завершаются «при деньгах» Ни тот, ни другой опцион не принесутдохода, а потому не будут исполнены, и инвестор будет иметь убытки в размере10 дол. Продавец стрэддла соответственно получит доход в размере 10 дол.

Однако, если сложится благоприятная ситуация и акции IBM вырастут вцене до 120 дол в момент истечения опциона, инвестор исполнит колл опциони получит прибыль 120 — 100 = 20 дол за акцию. Если принять во внимание стоимость опционов в размере 10 дол., то инвестор заработает 10 дол наакцию, занимая позицию стрэддл Если сложится неблагоприятная ситуацияи акции будут продаваться только по 80 дол в момент истечения опциона,то инвестор исполнит пут опцион, купит акции за 80 дол и перепродаст ихпродавцу опциона за 100 дол., получив 20 дол прибыли С учетом расходовна приобретение позиции стрэддл в размере 10 дол. суммарный доход инвестора составит 10 дол на акцию Таким образом, стрэддл приводит к убыткам,если цена акций IBM находится между 90 и 110 дол. в момент истечения опциона, но она принесет прибыль, если текущая цена окажется вне этих границ.

Ожидаемая прибыльность стрэддла зависит от неустойчивости цены акцийIBM Стрэддл будет приносить прибыль, если акции очень неустойчивы, но онбудет приносить убытки, если цена относительно стабильна График выплатпоказывает, какой должна быть неустойчивость, чтобы стрэддл давал прибыльОчевидно, что прибыль зависит от цен пут и колл опционов В равновеснойситуации цены колл и пут опционов устанавливаются таким образом, чтобымаржинальный инвестор удовлетворился характеристиками стрэддла риск—доходность. Таким образом, операцию стрэддл проводят лишь те инвесторы,которые считают, что акции IBM будут более неустойчивыми, чем ожиданиянеустойчивости, отраженные в ценах опционов

Инвесторы, которые ожидают, что цены акций IBM будут менее неустойчивыми, чем это отражено в ценах опционов, будут продавать стрэддлы, а этоозначает, что они будут занимать позицию по короткому стрэддлу, выписываяодновременно и колл и пут опционы. График выплат для коротких стрэддловна опционы на акции IBM с ценой исполнения 100 дол. и истечением срока вянваре показан прерывистой линией на рис. 5 3 Схема формирования дохода вточности противоположна описанной выше — продавец стрэддла получает прибыль, когда цены акций стабильны, но терпит убытки, когда имеет место существенное изменение цен

Предположим, что наблюдается общее усиление неустойчивости рынкаДлинная позиция на рис. 5.3 становится более желательной, поскольку ценыпут и колл опционов были установлены в предположении о незначительной колеблемости цен Следовательно, инвесторы будут покупать стрэддлы — какколл, так и пут опционы — и это действие приведет к росту цен на оба типаопционов до тех пор, пока рынок не придет в новое равновесное состояние Этотэффект на рис 5 3 отразится сдвигом графика держателя вниз, а графика про


Рис 5 3 Графики выплат для стрэддла

давца — вверх Таким образом, цена акций IBM должна будет двигаться ещедальше, чтобы длинный стрэддл показывал прибыль и короткий стрэддл показывал убытки

Пут—колл паритет В равновесной ситуации цены пут и колл опционовсвязаны друг с другом (так же как процентные ставки и цена базисных акций)Это отношение называется пут—колл паритетом (put—call parity). Можновывести отношение пут—колл паритета составлением торговой стратегии, которая включает в себя: 1) покупку базисных акций, 2) продажу колл опционаи 3) покупку пут опциона на акции по той же самой цене исполнения. Мыпредполагаем первоначально, что опционы европейские и, следовательно, могутбыть исполнены только в момент истечения опциона. Более того, мы предполагаем, что по акциям не будет выплачиваться дивиденд в течение всего периодаопциона

На рис 5 4 приводятся графики выплат при такой стратегии для гипотетических акций, при этом игнорируются трансакционные затраты, возникающиепри конструировании этой позиции (стоимость покупки акций и пут опционаза вычетом цены колл опциона), и предполагается, что цена исполнения равняется 20 дол. для обоих опционов. Как показано жирной линией на рис 5.4и как мы объясним ниже, стоимость позиции в целом равняется 20 дол , ценеисполнения, независимо от текущей цены в момент истечения опциона Такимобразом, стоимость позиции в целом является постоянной, или свободной отриска, суммой

Чтобы проиллюстрировать эту ситуацию, рассмотрим данные о ценах наакции, где Ps обозначает текущую цену акций в момент истечения опциона иРх — цену исполнения опциона:

142 Глава 5

Стоимость приобретенных акцийСтоимость приобретенного пут опционаСтоимость приобретенного колл опциона

Цена акции в момент истечения опционаниже цены исполнения выше цены исполнения

Так как стоимость позиции в момент истечения опциона является определенной (безрисковой) и равняется в условиях эффективного рынка цене исполнения, Рх, текущая стоимость (или себестоимость) позиции должна равнятьсяРх, дисконтированной по безрисковой ставке

(5 1)

где Р3 — цена акции в момент истечения опциона; Рр — цена пут опциона,Рс — цена колл опциона; к^р — безрисковая процентная ставка, t — время домомента истечения опциона

Уравнение (5.1) может быть преобразовано таким образом, чтобы выразитьстоимость колл опциона как функцию цены пут опциона с той же самой ценойисполнения и стоимость пут опциона как функцию цены колл опциона с той жесамой ценой исполнения

Рис 5 4 Графики выплат при пут—колл паритете1 — акции в портфеле; 2 — цена акции; 3 — исполнение пут оп

циона; 4 — исполнение колл опциона


(5 1а)

(5 16)

Так как в любой заданный момент Ps, Px, fcRF и t известны, цена колл опциона зависит от цены соответствующего пут опциона, и наоборот Если ценыпут и колл опционов не согласуются с отношениями пут—колл паритета, то арбитражеры могут конструировать безрисковый портфель из акций и опционов,имеющий доходность, превышающую безрисковую процентную ставку

Именно эти возможные действия вынуждают поддерживать пут—колл паритет Заметим, что пут—колл паритет приводит нас к стоимости одного типаопциона (колл или пут опциона), но только тогда, когда мы знаем стоимостьдругого опциона Дальше в этой главе мы рассмотрим модели, которые определяют стоимость опциона независимо от других опционов.

Внутренняя стоимость опциона и цена опциона

Рассмотрим рис. 5.5, на котором представлены некоторые данные по «SpaceTechnology, Inc.» (STI), компании, которая лишь недавно получила известностьи чьи акции значительно колеблются в течение ее короткого периода существования Графа 3 табличных данных показывает стоимость STI колл опционав момент его истечения при различных значениях цены акции, графа 4 даетфактические рыночные цены опциона; 5 я показывает премию в размере превышения фактической цены опциона над его стоимостью в момент истеченияопциона. Для всех значений цены акций ниже 20 дол. внутренняя стоимость(expiration value) опциона равняется нулю, выше 20 дол — каждый долларвозрастания в цене акции приносит увеличение на 1 дол внутренней стоимостиопциона Отметим, однако, что фактическая рыночная цена опциона превышаетего внутреннюю стоимость при любой цене базисного актива, однако с ростомцены базисного актива величина премии уменьшается Например, когда обыкновенные акции продавались по 20 дол за акцию и опцион имел нулевую внутреннюю стоимость, его цена и премия совпадали и равнялись 9 дол С ростомцены акций прямо пропорционально увеличивалась и внутренняя стоимостьопциона (доллар за доллар), однако рыночная цена опциона поднималась не такбыстро, поэтому величина премии снижалась Премия равнялась 9 дол., когдаакции продавались по 20 дол за акцию, но снизилась до 1 дол. в момент, когда цена акций поднялась до 73 дол. за акцию За пределами этого значенияпремия фактически исчезает

Почему существует эта модель? Почему опцион должен продаваться дороже, чем его внутренняя стоимость? Ответ на этот вопрос лежит в спекулятивной привлекательности опционов — они обеспечивают высокий уровень доходаДля иллюстрации предположим, что опцион на акции STI продавался по цене,в точности равной его внутренней стоимости Предположим, что вы решилиприобрести обыкновенные акции этой компании в момент, когда они продавались по 21 дол за акцию Если бы вы купили акцию и ее цена выросла до42 дол , вы могли бы получить прибыль в размере 100% на вложенный капитал Однако, если бы вы купили опцион по его внутренней стоимости, равной

144 Глава 5

Цена акции,дол

1

20.0021.0022.0035.0042.0050.0073.0098 00

Цена нсполнения дол

2

20.0020.0020.0020.0020 0020.0020.0020 00

Внутренняя стоимостьопциона, дол

1 - 2 = 3

0 001 002.00

15.0022 0030.0053.0078 00

Рыночная ценаопциона, дол.

4

9.009.75

10 5021.0026.0032.0054.0078 50

Премия,дол.

4 - 1 = 5

9.008.758 506 004 002 001 000 50

Рис 5.5. Цена опциона и его внутренняя стоимость («Space Technology, Inc.»)1 — премия, 2 — рыночная цена опциона; 3 — внутренняя стоимость опциона

1 дол на момент продажи акций на рынке за 21 дол., ваша прибыль на вложен-ный капитал составила бы 22 дол — 1 дол = 21 дол. при инвестициях в 1 дол.,или фантастические 2100% В то же время ваш суммарный потенциал убытковс опционом составил бы лишь 1 дол по сравнению с потенциальными убыткамив 21 дол в случае непосредственной покупки акций Ясно, что подобная ситуация, характеризующаяся высокой потенциальной прибылью на вложенныйкапитал и ограниченными убытками, имеет определенную ценность, которая ивыражается в виде премии Отметим, однако, что покупка опциона являетсяболее рисковой, чем покупка акций STI, потому что существует более высокаявероятность потери денег на опционе' если цена акций STI останется равной


21 дол , вы не получите ни прибыли, ни убытка (если не брать в расчет трансакционные затраты), но вы можете потерять ваши первоначальные инвестициив опцион в размере 1 дол

Почему премия снижается, когда цена акции возрастает? Частично это объясняется тем, что эффект левериджа и размер защиты от убытков снижаютсяс ростом цены акции Например, если вы решили купить акции STI, когдаих цена была 73 дол. за акцию, внутренняя стоимость опциона была бы равна53 дол Если бы цена акции удвоилась до 146 дол., внутренняя стоимость опциона изменилась бы с 53 до 126 дол. В процентном отношении прибыль навложенный капитал по акциям достигла бы 100%, ио прибыль по опциону впроцентном отношении равнялась бы всего 138% (сравним с 2100% в рассмотренном ранее примере) Отметим также, что потенциальные убытки по опционунамного больше, когда опцион продается по высоким ценам Эти два фактора,уменьшающееся влияние левериджа и увеличивающаяся опасность убытков, помогают объяснить, почему премия уменьшается с ростом цены базисного актива

Цена опциона зависит не только от текущей цены акции и цены исполнения,но и от трех других факторов: 1) срока опциона, 2) изменчивости цены акции,3) величины безрисковой процентной ставки Ниже будет объяснен механизмвоздействия этих факторов на цену опциона, а сейчас отметим следующее.

1. Чем длиннее срок опциона, тем больше его стоимость и премия Если срокопциона истекает сегодня в 4 часа дня, невелик шанс, что цена акции изменится,поэтому опцион должен продаваться к закрытию по своей внутренней стоимостии его премия должна быть маленькой С другой стороны, если срок опционаистекает через год, цена акции может резко возрасти, что поднимает стоимостьопциона

2. Опцион на очень неустойчивые акции будет стоить больше, чем на стабильные. Если цена акции редко изменяется, то имеется слабый шанс получения большой прибыли Однако если цена акции весьма неустойчива, то опционможет стать очень дорогим В то же время убытки по опционам ограничены,поэтому сильные падения цены акции не будут давать соответствующего нега-тивного эффекта для держателей опционов Следовательно, чем больше неустойчивость акции, тем выше стоимость этих опционов

Имея в виду отмеченное в пунктах 1 и 2 и рассматривая ситуацию стабильной, можно объяснить поведение графиков на рис. 5.5: при прочих равныхусловиях чем длиннее срок опциона, тем в большей степени график его рыноч-ной цены отклоняется от графика внутренней стоимости опциона Аналогичночем больше неустойчивость цены базисной акции, тем выше линия рыночнойцены опциона. Ниже будет показано, как эти факторы, а также безрисковаяпроцентная ставка воздействуют на стоимость опционов

Вопросы для самопроверки

Дайте определение следующих понятий:1)опцион;2) колл опцион;3) пут опцион;4) цена опциона (премия),б) цена исполнения;6) дата истечения опциона,7) европейский опцион,8) американский опцион

146 Глава 5

9) непокрытый опцион,10) покрытый опцион;11) опцион «в деньгах»,12) опцион «без денег»;Какне факторы воздействуют на цену опциона?Что подразумевается под графиком выплат для опциона?Что такое пут—колл паритет и что он показывает?Почему рыночная цена колл опциона обычно выше его внутренней стоимости?

Введение в ценообразование опционов

Прежде чем приступить к обсуждению хорошо известной модели ценообразования опционов, полезно рассмотреть простой пример Предположим, чтопродаются одногодичные колл опционы на акции «Butler», фирмы на СреднемЗападе, которая работает по лицензии со скоропортящимися продуктами Каждый опцион имеет цену исполнения 35 дол., но акции «Butler» в настоящеевремя продаются по 40 дол за акцию Предположим далее, что, когда срокопциона через год истечет, акции «Butler» будут продаваться по одной из двухцен — 30 или 50 дол При этих условиях какова будет цена колл опциона наакции «Butler»? Ответ на этот вопрос может быть получен в несколько этапов

1 Исследование возможности поступления в момент истечения опциона. Вэтот момент цена акции будет равняться либо 30, либо 50 дол., и цена опционав момент истечения срока будет зависеть от цены на акции «Butler» Такимобразом, в момент истечения опциона мы имеем следующую ситуацию (в дол.)

Цена акцнн Стоимость опциона

Низкая 30 0Высокая 50 15Разброс цен 20 15

2 Уравнивание вариации поступлений Как показано в пункте 1, вариацияпоступлений равна 20 дол при инвестициях в акцию (поступление в размерелибо 30, либо 50 дол ) и 15 дол. при инвестициях в опцион (поступление в размере либо 0, либо 15 дол.) Размер вариации был бы одинаков н обоих случаях,если бы вы купили 0.75 акции компании «Butler» (или если бы вы купили 75 акций и 100 опционов) Тогда поступления выглядели бы следующим образом (вдол )

Цена акции Стоимость 0.75 акции Стоимость опциона

Низкая 30 22.50 0Высокая 50 37.50 15Разброс цен 20 15.00 15

3 Конструирование безрискового хеджа Можно сконструировать безрисковый портфель, купив 0 75 акций «Butler» и продав один колл опцион Продажаколл опциона не оказала бы влияния на окончательную стоимость портфеля,если бы цена акции снизилась, и уменьшила бы ее, если бы цена выросла Результирующий доход имеет следующий вид (в дол.):

НизкаяВысокаяРазброс цен

Цена акцнн305020

Стоимость опциона0

1515

НизкаяВысокаяРазброс цен

Цена акции305020

Стоимость 0.75 акции22.5037.5015.00

Стоимость опциона0

1515


НизкаяВысокая

Ценаакции

3050

Стоимость0 75 акции

22.5037.50

Эффект от продажиколл опциона

0- 1 5

Стоимостьпортфеля

22 5022 50

Если цена акции будет равна 30 дол. в момент истечения срока опциона,то инвестиции в акции стоили бы 22.50 дол. и колл опцион не был бы испол-нен, следовательно, он не оказал бы влияния на стоимость портфеля С другойстороны, если цена акции будет равна 50 дол в момент истечения опциона, торазмер инвестиций в акции составил бы 37 50 дол., но держатель колл опционаисполнил бы свой опцион Таким образом, требуется обеспечить одну акцию поцене исполнения 35 дол., которую необходимо купить за 50 дол (по рыночнойцене), и следовательно, будут иметь место убытки в размере 15 дол Итак, независимо от того, что случится с ценой акции, портфель стоил бы 22.50 дол —мы создали безрисковый портфель, купив акцию и продав колл опцион на этуакцию

4 Оценивание колл опциона В предыдущих рассуждениях не устанавливелось, какая цена должна быть уплачена при продаже колл опциона Однакомы показали, что наш безрисковый портфель должен стоить в действительности22 50 дол в момент истечения опциона через год Если безрисковая ставка рав-няется 8%, то дисконтированная стоимость портфеля составила бы 22.50 дол:1.08 = 20.83 дол. Так как текущая цена акции «Butler» равняется 40 дол.,создание безрискового портфеля потребовало бы инвестиций в акции в сумме0.75 40 дол. = 30 дол , за вычетом того, что мы получаем от продажи коллопциона Так как наши суммарные инвестиционные издержки на созданиебезрискового портфеля должны быть меньше или равны 20.83 дол , текущейстоимости портфеля, мы должны суметь продать колл опцион по крайней за30 дол. — 20 83 дол =9 17 дол , чтобы покрыть свои затраты Если предположить, что на опционном рынке существует конкуренция, то цена 9 17 долбыла бы равновесной ценой опциона

Ясно, что этот пример не является реалистическим, поскольку цены на акции «Butler» могут быть через год почти нулевыми Но этот пример иллюстрирует, что инвестор может в принципе создавать безрисковые портфели, покупаяакции и продавая колл опционы этих акций, и доходность таких портфелейравнялась бы безрисковой процентной ставке Если колл опционы обращаютсяне по той цене, которая отражает это условие, арбитражеры будут торговать акциями и опционами до тех пор, пока цены опциона не будут отражать условиеравновесия В следующем разделе мы обсудим модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза, которая базируется на только что описанной общей идеесоздания безрискового портфеля и в то же время более адекватно отражает особенности ценообразования «в реальном мире», поскольку в расчет принимаетсяизменение цен большого числа акций


Опишите как можно сконструировать беэрисковый портфель, используя акции иопционы

Как с помощью такого портфеля можно оценивать стоимость колл опциона?

148 Глава 5

Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза

Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза (Black—Scholes OptionPricing Model, ОРМ), которая оценивает колл опционы, была разработана в1973 г , когда уже начался период быстрого роста опционной торговли.5 Этамодель, уже зашитая в постоянную память некоторых финансовых микрокалькуляторов, широко используется торговцами опционами на практике Наш интерес, однако, заключается в том, чтобы показать, что теория опционов можетиспользоваться для оценки всех производных бумаг, включая варранты, конвертируемые ценные бумаги, и даже для оценки собственного капитала финансовозависимых фирм

Чтобы вывести свою модель ценообразования опционов, Блэк и Шоулз еделали следующие предположения

1 По базисному активу колл опциона дивиденды не выплачиваются в течение всего срока действия опциона

2 Нет трансакционных затрат, связанных с покупкой или продажей акцииили опциона

3 Краткосрочная безрисковая процентная ставка известна и является постоянной в течение всего срока действия опциона

4. Любой покупатель ценной бумаги может получать ссуды по краткосрочной безрисковой ставке для оплаты любой части ее цены

5. Короткая продажа разрешается без ограничений, и при этом продавецполучит немедленно всю наличную сумму за проданную без покрытия ценнуюбумагу по сегодняшней цене.6

6. Колл опцион может быть исполнен только в момент истечения опциона7. Торговля ценными бумагами ведется непрерывно, и цена акции движется

непрерывно и случайным образомВывод ОРМ основывается на концепции безрискового хеджа, рассмотренной

в предыдущем разделе. Покупая акции и одновременно продавая колл опционына эти акции, инвестор может конструировать безрисковую позицию, где прибыли по акциям будут точно компенсировать убытки по опционам, и наоборотБезрисковая хеджевая позиция должна приносить доход по ставке, равной безрисковой процентной ставке, в противном случае существовала бы возможностьизвлечения арбитражной прибыли и инвесторы, пытаясь получить преимущества от этой возможности, приводили бы цену опциона к равновесному уровню,который определяется ОРМ

5 Black F., Scholes M. The Pricing of Options and Corporate Liabilities // Journ PohtEcon 1973. May—June. P. 637-657

6Предположим, что инвестор (нлн спекулянт) не имеет сейчас акций IBM в собственности. Если инвестор ожидает рост цены этих акций и постепенно скупает акции IBM,говорят, что он занимает длинную позицию по акциям IBM. С другой стороны, если инвестор думает, что акции IBM, вероятнее всего, упадут в цене, то он занимает короткуюпозицию, или продает коротко (без покрытия) акции IBM Так как продавец без покрытия не владеет акциями IBM, ему придется занять акции у брокера и продать ихбез покрытия Если акции упадут в цене, продавец без покрытия позднее может купитьакции на открытом рынке и вернуть заемные акции брокеру. Прибыль продавца от короткой продажи, не считая уплаты комиссионного вознаграждения и налогов, составитразницу между ценой, полученной от короткой продажи, и ценой, уплаченной позднеепри покупке акций на рынке с целью вернуть заем


ОРМ состоит из следующих трех формул

(5 2)

(5 3)

(5 4)

Здесь V — текущая стоимость колл опциона в момент t до истечения срокаопциона; Р — текущая цена базисной акции; iV(d,) — вероятность того, чтоотклонение будет меньше d\ в условиях стандартного нормального распределе-ния (таким образом, N{d\) и N(d,2) ограничивают область значений для функ-ции стандартного нормального распределения), X — цена исполнения опциона,^RF — безрисковая процентная ставка; t — время до истечения срока опциона(период опциона), а2 — вариация доходности базисной акции

Мы не будем заниматься выводом ОРМ — он включает ряд довольно сложных понятий из курса математической статистики, которые выходят за рамкиизложения данного текста. Эта модель достаточно проста в использовании сучетом ранее сформулированных предпосылок Если фактическая цена опциона отличается от цены, найденной с помощью (5.2), будет существовать воз-можность извлечения арбитражной прибыли, которая в свою очередь приведетк постепенному сближению этих цен.7 Как отмечалось ранее, ОРМ широкоиспользуется торговцами, поэтому фактические цены опционов действительнодовольно хорошо приспосабливаются к ценам, получаемым из модели

В сущности, P[N(di)] может рассматриваться как дисконтированная ожидаемая конечная цена акции, тогда как второй член, X ехр(-kRpt)[N (d2)],может трактоваться как дисконтированная цена исполнения Однако, вместотого чтобы пытаться понять точный смысл приведенных формул, более целесо-образно поработать с некоторыми ценами и увидеть, как изменения различныхвходящих переменных будут воздействовать на стоимость колл опциона

Пример использования ОРМ

Текущая цена акции, Р, цена исполнения, X, время до истечения срокаопциона, t, могут быть получены, например, из «Wall Street Journal» В каче-стве безрисковой ставки, ^ R F , МОЖНО использовать доходность по казначейскимвекселям со сроком, равным сроку действия опциона. Вариация цены акции,а2, может быть оценена вычислением вариации относительного изменения ценакции в разрезе дней в течение последнего года* (Pt — Pt-i)/Pt

Предположим, что получена следующая информация Р — 20 дол , X —= 20 дол., t - 3 месяца, или 0 25 года, kRF = 12%, или 0 12, а2 =0 16

Имея эту информацию, мы можем найти стоимость опциона с помощьюОРМ Так как rfj и rf2 являются исходными переменными для (5 2), вначалерешим (5.3) и (5.4)

Отметим, что JV(di) = N(0.25) и N(d2) = N(0.05) ограничивают областьзначений для функции стандартного нормального распределения Из табл. I 5в конце книги находим, что величина d\ = 0 25 дает вероятность 0 0987 +

7Программная торговля, при которой акции покупаются и опционы продаются илинаоборот служит примером арбитража между акциями и опционами

150 Глава 5

Таблица 5 2

Вариант

БазовыйУвеличение Р на 5 долУвеличение X на 5 долУвеличение t до 6 месУвеличение A:RF до 16%Увеличение сг2 до 0 25

ФакторР, дол

20

25

20

20

20

20

X, дол

20

20

>2520

20

20

t, лет

0 250 250 250 500 250 25

12

12

1212

16

12

а2

0.160.160 160.160.160 25

V,

1

5

02

1

2

ДОЛ

.88

.81

39.81

.99

27

+ 0 5000 = 0 5987, поэтому N(dx) = 0 5987 Аналогично N(d2) = 0 5199 Далеевоспользуемся (5.2)

V = 20 дол.[#(<*1)] - 20 дол ехр(-0 12 0.25)[JV(d2)] =

= 20 дол [N{0 25)] - 20 дол 0 9704[iV(0 05)] =

= 20 дол 0 5987 - 19 41 дол 0 5199 =

= 11 97 дол - 10 09 дол = 1 88 дол

Таким образом, стоимость опциона при принятых условиях равняется 1 88 долПредположим, что фактическая цена опциона была бы 2 25 дол Арбитражерымогли бы одновременно продать опцион и купить базисную акцию и тем самымзаработать безрисковую прибыль Такая торговля приводила бы к тому, чтоцена опциона стремилась бы к 1 88 дол Обратное имело бы место, если быопцион продавался за цену, меньшую чем 1.88 дол Таким образом, инвесторыне склонны платить больше 1 88 дол за опцион, но и не могут покупать его заменьшую цену, поэтому 1 88 дол является равновесной стоимостью (equilibrium value) опциона

Чтобы понять, как каждый из пяти факторов ОРМ влияет на стоимость опциона, V, рассмотрим табл 5 2 Верхняя строка таблицы показывает исходныеданные и результирующую цену опциона — V = 1 88 дол Исходные данные —те же самые, которые ранее мы использовали для иллюстрации модели. В каждой последующей строке один фактор является возрастающим, тогда как величины других четырех остаются постоянными на их первоначальном уровнеРезультирующая стоимость колл опциона приводится в последней графе Рассмотрим влияние каждого из этих факторов

1. Текущая цена акции Когда текущая цена акции, Р, возрастает с 20 до25 дол., стоимость опциона возрастает с 1 88 до 5.81 дол Таким образом, стоймость опциона возрастает с ростом цены акции, но с меньшим темпом: 3.93 долпо сравнению с 5.00 дол Отметим тем не менее, что в процентном отношенииувеличение стоимости опциона составляет (5.81 дол 1.88 дол.) 1.88 дол. == 209%, что намного превышает прирост цены акции (25 дол - 20 дол )

20 дол. = 25%.2. Цена исполнения Когда цена исполнения, X, возрастает с 20 до 25 дол ,

стоимость опциона снижается Вновь заметим, что хотя абсолютное изменениестоимости опциона меньше, чем абсолютное изменение цены исполнения, но

Влияние факторов ОРМ иа стоимость колл опциона


темп изменения стоимости опциона ((0.39 дол —1 88 дол ) 1 88 дол = —79%)превышает темп изменения цены исполнения

3 Период действия опциона Когда срок действия опциона возрастает сt = 3 месяца (или 0 25 года) до t = 6 месяцам (или 0 50 года), стоимость опциона возрастает с 1.88 до 2.81 дол. Этот результат возникает от того, чтостоимость опциона зависит от возможности возрастания цены базисной акции,и чем дольше срок действия опциона, тем выше вероятность резкого ростацены акции Таким образом, если остальные факторы остаются неизменными,6 месячный опцион будет стоить дороже, чем 3-месячный

4 Безрисковая процентная ставка. Следующий фактор — безрисковая процентная ставка, fcRF С увеличением процентной ставки с 12 до 16% стоимостьопциона возрастает незначительно, с 1.88 до 1.99 дол Формулы (5.2)—(5.4)предполагают, что главный эффект от возрастания A;RF заключается в усилениидисконтирования цены исполнения X ехр( —k^t), что в свою очередь увеличивает текущую стоимость опциона.8 Безрисковая ставка также играет роль вопределении величин функций нормального распределения N(di) и N(d2), ноэто влияние имеет второстепенное значение Действительно, цены опционов вцелом не очень чувствительны к изменениям процентных ставок, по крайнеймере в случае их нормального распределения

5 Вариация цены базисного актива С увеличением вариации с 0.16 доО 25 стоимость опциона возрастает с 1 88 до 2 27 дол. Таким образом, чем болеерисковой является базисная ценная бумага, тем большую стоимость будет иметьопцион. Этот результат логичен Во первых, если вы приобрели опцион, чтобыкупить акцию, которая продается по своей цене исполнения, и если а2 = 0, этоозначает, что существует нулевая вероятность того, что цена акции подниметсяи, следовательно, опцион не принесет дохода С другой стороны, если бы выкупили опцион на акции с высоким уровнем разброса цен, то ясно — существуетбольшая вероятность того, что акции возрастут в цене, т е опцион можетпринести большую прибыль Конечно, цена акции с высоким уровнем разбросацен может снизиться, однако в этом случае, поскольку вы являетесь держателемопциона, ваши убытки ограничены ценой, уплаченной за его покупку С другойстороны, возможный значительный доход от возрастания акции в цене болеепривлекателен, чем возможный ограниченный убыток от снижения цен, поэтомучем больше вариация, тем больше стоимость опциона Все это делает опцион нарисковые акции более дорогим по сравнению с устойчивыми акциями с малойвариацией доходов

На этом заканчивается обсуждение природы опционов и теории их ценообразования В следующем разделе будет показано, как можно использоватьтеорию ценообразования опционов с целью принятия решений по финансовомуменеджменту

8Возникает вполне резонный вопрос, почему первый член формулы (5.2) P[N(di)]не дисконтируется. На самом деле дисконтирование имеет место, поскольку текущаяцена акции, Р, уже представляет собой текущую стоимость ожидаемой цены акции кмоменту истечения опциона. Другими словами, Р есть дисконтированная стоимость, иставка дисконтирования, которая использовалась на рынке для определения сегодняшней цены акции, включает в себя безрисковую процентную ставку Таким образом, Vнз формулы (5.2) может трактоваться как дисконтированная оценка возникающей намомент истечения опциона разности между ценой акции и ценой исполнения с учетомвероятности того, что цена акции будет выше, чем цена исполнения

152 Глава 5


Какова цель ОРМ?Объясните, что такое безрисковый хедж и как концепция безрискового хеджа ис

пользуется в модели ОРМОбъясните, каким образом нижеперечисленные факторы воздействуют на цену колл

опциона. 1) цена акции, 2) цена исполнения, 3) период опциона, 4) безрисковая ставка,5) вариация цены акции

Ценообразование опционови корпоративная финансовая политика

Собственный капитал финансово зависимой фирмы может рассматриватьсякак колл опцион: когда фирма эмитирует долговые обязательства, это по смыслу эквивалентно тому, что акционеры продают активы фирмы кредиторам,которые платят за активы наличностью, и, с другой стороны, также дают акционерам подразумеваемый колл опцион с ценой исполнения, равной стоимостиосновного долга плюс процент Если деятельность компании успешна, акционеры будут «выкупать компанию обратно» исполнением своих колл опционов,которые означают погашение суммы долга и выплату процентов Если деятельность компании не является успешной, акционеры не погасят ссуду, что приведет к неисполнению их колл опциона и, следовательно, переходу компании вруки кредиторов

В качестве иллюстрации предположим, что корпорация «One Shot» как разсобирается осуществлять одногодичные инвестиции в фирму, производящую пуговицы для кандидатов в президенты Фирма требует инвестиций в размере10000 дол., из которых 7500 дол должны быть получены путем продажи долговых обязательств с процентной ставкой 10%, а другие 2500 дол должныбыть собраны в результате эмиссии обыкновенных акций Распределение доходов между держателями долговых обязательств и акционерами предполагаетсясделать в конце года По истечении года стоимость фирмы будет зависеть преждевсего от того, какие кандидаты успешно пройдут первичные выборы, а такжев некоторой степени от положения на рынке коллекционеров Пусть имеетсяследующее вероятностное распределение стоимости фирмы

Вероятность 0 7 0 2 0 1Стоимость, дол 20000 5000 0

Таким образом, ожидаемая стоимость фирмы в конце года есть0 7 20000 дол. + 0 2 5000 дол. + 0 1 0 дол = 15000 дол

Если прогнозы акционеров верны, то, сделав инвестицию в размере 2500 дол ,они по окончании года получат прибыль до налогообложения в размере 6750 дол(в Дол.)

Ожидаемая стоимость 15000Кредиторская задолженность . . . — 7500Проценты за кредит . . . — 750

Доход до налогообложения 6750


Графики выплат для акционеров и держателейоблигаций

Однако ожидаемая стоимость не является достижимой Стоимость фирмыбудет либо 0 дол., либо 5000 дол., либо 20000 дол Если стоимость окажетсяО дол либо 5000 дол , то акционеры не исполнят свой опцион, вместо этогоони прекратят платежи Держатели долговых обязательств тогда будут вправепродать фирму, и акционеры ничего не получат Однако, если стоимость фирмыдостигнет величины 20000 дол , акционеры исполнят свой опцион, уплатив держателям облигаций 8250 дол и оставив в своем распоряжении 11 750 дол (доналогообложения) Таким образом, владение акциями может рассматриватьсякак колл опцион В этом примере инвестиции в акции в размере 2500 дол. (те-кущая цена колл опциона) дают право акционерам выкупить активы фирмы удержателей долговых обязательств за 8250 дол. (цена исполнения)

Сплошная линия на рис. 5 6 описывает доходы акционеров Предполага-ется, что ожидаемая стоимость фирмы меняется непрерывно, не ограничива-ясь упомянутыми в примере тремя значениями Если стоимость фирмы будетменьше чем 8250 дол (цена исполнения колл опциона), акционеры потеряютсвои первоначальные инвестиции в 2500 дол При стоимости выше 8250 долакционеры исполнят свой опцион, расплатятся с держателями облигаций, оставив в своем распоряжении весь капитал сверх цены исполнения Таким образом,график акционера на рис 5 6 имеет ту же самую форму, что и график держателяколл опциона на рис. 5.1.

Аналогичным образом можно оценить позицию держателей облигацийЕсли стоимость фирмы становится меньше чем 8250 дол., ее активы будут полностью принадлежать держателям облигаций, поскольку акционеры не исполнятсвой опцион на фирму. Однако держатели облигаций не будут иметь прибылидо тех пор, пока стоимость фирмы не достигнет 7500 дол Каждый доллар,

Рис 5 6

154 Глава 5

превышающий эту величину, т е из интервала 7500-8250 дол., будет представлять собой прибыль держателей облигаций, а общая ее величина составит750 дол процентных платежей. Акционеры, исполнив свой опцион, получатв свое распоряжение стоимость, превышающую 8250 дол Прерывистая линияна рис 5.6 иллюстрирует доходы держателей облигаций Сравнивая график доходов держателей облигаций с графиком на рис 5 2, мы замечаем, что доходыдержателей долговых обязательств совпадают по форме с доходами продавцапут опциона. Однако для понимания логики процесса нагляднее рассуждать врамках идеологии колл опциона. В этом случае позиция держателей облигацийможет быть описана как 1) владение фирмой и 2) продажа колл опциона настоимость фирмы с ценой исполнения 8250 дол.

Во многих журнальных статьях теория опционов применялась к инвестициям в акции и облигации, и на многие вопросы теории корпоративных финансов уже имеются новые точки зрения 9 Далее мы рассмотрим два вопроса потеории корпоративных финансов, а также проанализируем в главе 24 возможность применения теории опционов для слияния компаний

Инвестиционные решения

Предположим, что фирма, привлекающая заемные средства, имеет крупныйпортфель казначейских векселей. Управляющие фирмы могли бы продать век-селя (которые являются безрисковыми) и использовать выручку для покупкирисковых активов, которые увеличили бы вариацию доходов фирмы, не воз-действуя при этом на систематический риск фирмы Так как капитал фирмыможно рассматривать как колл опцион, возрастающая вариация увеличила бырыночную стоимость без увеличения ее рыночного риска Риск банкротства возрос бы, но акционеры увеличили бы шансы получения больших прибылей приодновременном ограничении убытков суммой своих инвестиций

Необходимо отметить, что некоторое увеличение прибыли может быть получено акционерами за счет держателей долговых обязательств Для иллюстрациипредположим, что первоначальная стоимость активов фирмы была 4 млн дол ифирма имела на 2 млн дол. кредиторской задолженности со сроком погашениячерез два года (Процент, который будет выплачен в конце срока, включен вбалансовую стоимость долга, поэтому долг является дисконтированной величиной) Далее предположим, что вариация доходности активов фирмы, а2, равняется 0.01 и безрисковая ставка — 10%. Если мы будем рассматривать акциикак колл опцион на активы фирмы, то в формулах (5.2) и (5.3) будем иметьV — текущая стоимость колл опциона, или текущая рыночная оценка акционерного капитала; Р — текущая стоимость фирмы, или 4 млн дол , X — ценаисполнения, или балансовая стоимость долга в размере 2 млн дол.

Используя формулы (5.2)—(5.4), находим, что искомая рыночная стоимостьакций фирмы должна равняться 2 362 538 дол.

9См например: Galai D Masulis R. The Option Pricing Model and the Risk Factorof Stock//Journ. Financial Econ 1976 Jan.—March. P 53-82.


Если стоимость фирмы равняется 4 млн дол. и рыночная оценка акционерногокапитала, найденная с помощью ОРМ, составляет 2 362 538 дол., то предполага-емая рыночная оценка (или приведенная стоимость) балансовой стоимости долгав 2 млн дол должна быть 1637462 дол

Теперь предположим, что фирма использует некоторые из своих ликвидныхактивов на покупку рисковых активов, увеличивая отклонение значения доходности с 0 01 до 0.10 Таким образом, в новой ситуации <т2 = 0 10 и а — 0.3162.Вновь вычислим рыночные оценки акционерного и заемного капитала, предпо-лагая, что стоимость фирмы остается неизменной в размере 4 млн дол.:

N(di) = 0 9794,

d2 = 2 0418 - 0 4472 = 1 5946,

N(d2) = 0 9446,

V = 4 000 000 дол 0 9794-1637 462 дол 0 9446 = 2 370 813 дол

Предполагаемая рыночная оценка заемного капитала сейчас составляет4000 000 дол - 2 370813 дол = 1629187 дол Таким образом, в условияхпредпосылок ОРМ и САРМ, которые должны быть приняты во внимание, и допущения о неизменности оценки фирмы ее акционеры в результате описаннойоперации получат прибыль 2 370813 дол. — 2362 538 дол. = 8275 дол засчет средств держателей долговых обязательств Этот пример показывает, каквелико значение ограничительных соглашений, которые держатели долговыхобязательств могут использовать, чтобы защитить себя от возможных действийакционеров, способных сократить рыночную оценку заемного капитала

Решения о структуре капитала

Предположим, что фирма планирует удвоить свою долгосрочную кредитор-скую задолженность с тем, чтобы использовать полученные средства для выкупасобственных акций Активы фирмы при этом не изменятся Возрастание левериджа, характеризующего степень финансовой зависимости фирмы, приведетк увеличению вариации чистого дохода фирмы и соответственно к росту вариа-ции рыночной оценки собственного капитала При прочих равных условиях этоприведет к увеличению стоимости акций, поскольку акционеры имеют колл опцион на стоимость фирмы Численный анализ может быть выполнен по той жесхеме, что и в предыдущем примере Ясно, что дополнительный долг поставил

186 Глава 5

бы держателей долговых обязательств в более рисковую позицию В резуль-тате рыночная оценка долга упала бы и это снижение было бы равно прибылиакционеров

Вопросы для самопроверкиОпишите, в каком смысле акции финансово зависимых фирм могут рассматриваться

как колл опционыЧто говорит теория ценообразования опционов о том как изменения в активах могут

влиять на стоимость долговых обязательств и акций фирмы?Что говорит теория ценообразования опционов о том, как изменения в структуре

капитала могут влиять на рыночную оценку долговых обязательств и акций фирмы?

Заключительные замечания о теории опционов

Понятие опциона является важным элементом теории инвестиций, поэтомустудентам, изучающим эту область, необходимо иметь знания о том, как опционы используются и оцениваются на рынке Далее, теория опционов помогаетнам понимать природу сходных с опционами ценных бумаг, таких как варрантыи конвертируемые ценные бумаги Однако роль теории опционов в принятиирешений по финансовому менеджменту менее ясна. Как мы видели, можноиспользовать теорию опционов для понимания роли инвестиционных решенийв отношении стоимости долговых обязательств и акций фирмы Однако этивопросы на самом деле достаточно очевидны, и можно представить себе послед-ствия изменений в рисковых активах даже не прибегая к помощи ОРМ, а лишьосновываясь на общих рассуждениях. Опционный анализ в целом делается впредположении «о неизменности прочих условий», хотя очевидно, что другиепараметры редко сохраняются неизменными, когда фирмы делают существен-ные изменения в своих активах и/или структуре капитала Тем не менее неисключено, что подход ОРМ может в будущем привести к более точным количественным оценкам определенных эффектов, которые могли бы быть полезны вструктурировании контрактов и принятии других решений финансового характера В главе 8 будет показано, как ОРМ используется в некоторых компанияхдля оценки управленческих опционов, являющихся составной частью инвестиционной политики В любом случае теория ценообразования опционов можетсыграть огромную роль в принятии решений по финансовому менеджменту вбудущем, поэтому студенты, изучающие корпоративные финансы, должны бытьосведомлены о разработках в этой области

Резюме

В этой главе были рассмотрены природа опционов и основы теории ценообразования опционов Было показано, как эта теория может быть применимак оценке влияния различных управленческих решений на доходы акционеров икредиторов Перечень ключевых концепций приводится ниже

• Опционы — финансовые инструменты, которые: 1) чаще создаются биржами, а не фирмами, 2) покупаются и продаются преимущественно инвесторами, 3) представляют большее значение для инвесторов, нежели для финансовых менеджеров

• Знакомство с теорией опционов необходимо финансовым менеджерам для


понимания природы варрантов и конвертируемых ценных бумаг, являющихсяпо сути инструментами типа опционов (мы будем обсуждать это в главе 16)

• Концепция опционов полезна также в некоторых ситуациях, связанныхс планированием бюджета капиталовложений (мы будем обсуждать это вглаве 8).

• Колл опцион дает держателю право купить базисный актив по определенной цене (цене исполнения) в течение данного периода.

• Пут опцион дает держателю право продать базисный актив по определенной цене в течение данного периода.

• Цена опциона — сумма, уплачиваемая покупателем опциона продавцу• Дата истечения опциона — последний день, в который опцион может

быть исполнен• Европейские опционы могут быть исполнены только в день истечения оп

циона, тогда как американские — в любое время до наступления даты истеченияопциона, включая саму дату

• Если продавец колл опциона на акции владеет базисными активами, тоговорят, что он продает покрытый колл опцион Наоборот, если продавец невладеет базисными акциями, колл опцион считается непокрытым

• Если цена на базисные акции выше цены исполнения колл опциона, тоговорят, что опцион находится *в деньгах* Если цена акции ниже цены исполнения, то говорят, что опцион находится *без денег* Пут опционы имеютпротивоположные определения

• График выплат позволяет наглядно увидеть доходы по опциону в моментистечения опциона

• Пут—колл паритет демонстрирует, что цены колл и пут опционов наодни и те же акции с одной и той же ценой исполнения зависят друг от другаЕсли зависимость между ценами опционов на рынке значительно отличается отпаритетной, инвесторы могут получать дополнительные доходы конструированием позиций, представляющих собой комбинации пут и колл опционов Занятие таких позиций постепенно приведет к установлению пут—колл паритета

• В течение периода действия опциона рыночная цена колл опциона больше,чем его внутренняя стоимость, потому что всегда есть шанс, что к моментуистечения срока опциона цена на базисные акции поднимется выше ее текущегоуровня

• Модель ценообразования опционов Блэка—Шоулза (ОРМ) может быть использована для оценки стоимости колл опциона

• Стоимость колл опциона является функцией пяти переменных. 1) текущей цены акции, 2) цены исполнения, 3) периода опциона, 4) безрисковойставки, 5) вариации цены акции.

• Как собственный, так и заемный капитал фирмы могут рассматриватьсяв рамках теории опционов Имея это в виду, можно получить представление овлиянии изменений в активах и источниках средств на рыночную оценку долговых обязательств и акционерного капитала

Вопросы

5.1. Дайте определение следующих понятийа) опцион;б) колл опцион

186 Глава 5

в) пут опцион,г) цена исполнения,д) цена опциона;е) дата истечения опциона;ж) внутренняя стоимость;з)европейский опцион;и) американский опцион;к) покрытый колл опцион,л) опцион «в деньгах»;м) опцион «без денег»,н) график выплат;о) пут—колл паритет5.2. Почему опцион продается обычно по цене, превышающей его внутреннюю сто

нмость?5.3. Каким образом каждый из перечисленных ниже факторов влияет на цену колл

опциона?а) текущая цена базисного актива,б) цена исполнения;в) дата истечения опциона,г) безрисковая ставка;д) вариация цены базисного актива5.4. Почему инвесторы нередко составляют комбинации различных опционных кон

трактов?5.5. Что такое длинный стрэддл? Прн каких условиях инвестор будет конструировать

длинный стрэддл?5.6. На какую связь между колл и пут опционами указывает пут—колл паритет?5.7. Какие предпосылки заложены в основу модели Блэка—Шоулза?5.8. Поясните, почему обыкновенные акции финансово зависимой фирмы можно

трактовать как колл опцион?5 9. Используя теорию ценообразования опционов, поясните, что происходит с оцен

кой акционерного и долгосрочного заемного капитала в случае, когда фирма меняетструктуру активов, повышая долю относительно более рисковых активов

Задачи

5.1. График выплат и пут—колл паритет Имеются следующие данные о компании«Data Systems, Inc.»:

Текущая цена акций . 50 долЦена исполнения 45 долЦена пут опциона.... 1 дол.Безрисковая ставка . 6.0%

а Постройте график выплат для пут опциона6 Используя формулу пут—колл паритета, оцените одногодичный колл опцион этой

же компании с ценой исполнения 45 дол. (Предполагается, что в течение года фирма невыплачивает дивиденды по акциям и опционы европейские).

5.2. График выплат и пут—колл паритет. Имеются следующие данные о компании«Biotechmatics»

Текущая цена акций . . . 25 долЦена исполнения 30 долЦена колл опциона 6 долБезрисковая ставка .. 6.0%


а Постройте график выплат для колл опциона.б. Используя формулу пут—колл паритета, оцените одногодичный пут опцион этой

компании с ценой исполнения 30 дол. (Предполагается, что в течение года фирма невыплачивает дивиденды по акциям и опционы европейские)

5.3. Оценка в ситуации с двумя исходами Текущая цена акций «Radcliffe Enterprises» равна 60 дол По истечении года возможна одна из двух ситуаций: а) в случаеуспешной деятельности компании цена ее акций возрастет до 80 дол.; б) при неблаго-приятных условиях цена может упасть до 40 дол. Акции компании продаются иа рынкеопционов, причем цена одногодичного колл опциона с ценой исполнения 60 дол. равна10.23 дол. Чему равна одногодичная безрисковая ставка? (Указание- сконструируйтебезрисковый хедж покупкой доли акции и продажей колл опциона).

5.4. Оценка в ситуации с двумя исходами Рассмотрите пример безрискового портфеля с двумя исходами, приведенный в разделе «Введение в ценообразование опционов».В этом примере для конструирования безрискового портфеля была осуществлена покупкаакций и продажа колл опциона.

а Используя те же даииые, постройте безрисковый портфель путем покупки частиакции и пут опциона.

б Полагая, что одногодичная безрисковая ставка равна 6%, найдите цену опциона5.5. Модель Блэка—Шоулза. Опционы компании «Cotner Software» (CSC) активно

продаются на одной из региональных бирж Текущая цена акций компании равна10 дол., вариация доходности — 0.16. Текущая полугодовая безрисковая ставка равна12%.

а. Используя модель Блэка—Шоулза, рассчитайте цену полугодового опциона с ценой исполнения 10 дол.

б Как изменится цена опциона, если CSC реструктурирует свои активы, благодарячему вариация доходов снизится до 0.09?

(Пункты «в» и «г» делайте с помощью электронных таблиц)в. Предположим, что CSC вернулась к своей первоначальной структуре активов, т е

вариация доходности — 0.16 Если текущая цена акций компании повысится до 15 дол ,как это повлияет на цену опциона?

г Рассчитайте цену опциона в условиях пункта «а», полагая, что цена исполненияравна 15 дол

Мини ситуация

«General Synergistics» (GS) является лидером на рынке биоинженерных технологийПоскольку акции этой компании пользуются большим спросом среди инвесторов, пути колл опционы GS с недавних пор стали продаваться на Чикагской опционной биржеСтарший управленческий персонал GS проявляет живой интерес к этому событию, однаколишь немногие из них понимают природу опционов и механизм их действия.

Являясь финансовым директором GS, Рекс Монкриф планирует организовать семинар на тему «Теория опционов и их оценка». Он просит вас, как только что нанятогофирмой опытного финансового аналитика, провести этот семинар Р Монкриф сформулировал следующие вопросы, на которые вам и нужно попытаться дать ответ

1 Что такое опцион? Сформулируйте одну, но самую важную характеристику опциона

2 В теории опционов применяется специальная терминология Дайте определенияпонятий, приведенных в пункте 5.1 раздела «Вопросы».

3. Предположим, что на бирже продаются полугодовые пут и колл опционы GS сценой исполнения 25 дол., тогда как текущая цена акции 27 дол Цена колл опциона —4 дол., цена пут опциона — 2 дол.

а Какое минимальное число акций включается в опционный контракт?б. Является ли колл опцион опционом «в деньгах»?в Что такое график выплат? Начертите его для пут и колл опционов компании GSг Что такое комбинация опционов? С помощью пут и колл опционов постройте

160 Глава 5

пример длинного стрэддла При каких экономических условиях инвесторы конструируютдлинные стрэддлы?

4 В дальнейшем используйте следующие обозначенияPs — цена акции в момент истечения опциона; РР — цена пут опциона, Рх — цена

исполнения; Рс — цена колл опциона; кцр — безрисковая ставка; t — время до истеченияопциона.

а Постройте таблицу, характеризующую доходы от торговой стратегии, подразумевающей (цена исполнения во всех случаях одинакова): покупку базисного актива,продажу колл опциона; покупку пут опциона При построении таблицы рассмотритедве ситуации, когда цена акции в момент истечения опциона меньше (больше) цены исполнения. Какова величина дохода в каждом случае? (Расходами по конструированиюпозиции пренебречь).

б Используя имеющуюся информацию, постройте отношение пут—колл паритета.в Почему поддерживается пут—колл паритет? Что говорит это отношение о ценах

на пут и колл опционы при условии, что цена исполнения в них одинакова?5. Рассмотрим колл опцион GS с ценой исполнения 25 дол Ниже приведены ста

тистические данные о ценах на этот опцион при различных ценах базисного актива (вДол.):

Цена акцииЦена опциона

253 00

307 50

3512 00

4016 50

4521 00

5025 50

а Составьте таблицу, показывающую: цену акции; цену исполнения; внутреннююстоимость; цену опциона; премию как превышение цены опциона над внутренней стоймостью

б. Что происходит с премией, если цена акции повышается? Поясните.6. В 1973 г. Ф. Блэк и М Шоулз создали свою модель оценки опционов (ОРМ)а Какие предпосылки заложены в модель?6 Распишите три формулы, входящие в модель.в Рассчитайте цену опциона по следующим данным

Цена акции 27 долЦена исполнения 25 дол.Период истечения опциона .. 6 месяцевБезрисковая ставка 6 0%Вариация доходности акции 0 11

7 Какое влияние оказывают на цену опциона следующие параметрыа) текущая цена акции,б) цена исполнения;в) дата истечения опциона,г) безрисковая ставка;д) вариация доходности базисного актива.8.а. Поясните, почему собственный капитал финансово зависимой компании можно

трактовать как колл опционб. Предположим, что GS существенно повысила общий риск своих активов путем

изменения их структуры, не повлияв тем самым на рыночный риск акций Какой эффектбудет иметь эта акция в отношении акционеров и держателей долговых обязательств всоответствии с теорией ценообразования опционов?

в Предположим, что компания удвоила величину долгосрочной кредиторской задолженности В соответствии с теорией ценообразования опционов — какой эффект будетиметь эта акция в отношении акционеров и держателей долговых обязательств?


ДОПОЛНИТЕЛЬНАЯ ЛИТЕРАТУРА

Некоторые аспекты теории опционов изложены в литературе по проблемам инвестиций (см. главу 2). Кроме того, можно использовать следующие работы

Сох J С , Rubinstein M Options Markets. Englewood Cliffs, N J. : Prentice-Hall, 1985Hull J. Options, Futures, and Other Derivative Securities Englewood Cliffs, N J

Prentice-Hall, 1989.Strong R. A. Speculative Markets Options, Futures, and Hard Assets Chicago Deardorn,

1989

В оригинальной статье Блэка и Шоулза рассмотрена адекватность прогнозных характеристик ОРМ фактическим рыночным ценам Дополнительные работы по проверкеэтой модели:

Galai D Tests of Market Efficiency of the Chicago Board Options Exchange // Journ Business 1977. Apr. P. 167-197.

Gultekin N В., Rogalski R. J., Tinic S M. Option Pricing Model Estimates Some EmpiricalResults // Financial Management. 1982. Spring. P. 58-69.

MacBeth J D., Merville L. J. An Empirical Examination of the Black—Scholes Call OptionPricing Model//Journ Finance. 1979 Dec P 1173-1186

Ниже приведен ряд примечательных статей по теории опционов.

Black F. Fact and Fantasy in the Use of Options and Corporate Liabilities // FinancialAnalysts Journ. 1975. July—Aug. P. 36-41, 61-72.

Figlewski S. Options Arbitrage in Imperfect Markets // Journ Finance 1990 Dec P 1289-1311.

Frankfurter G M., Leung W. K. Further Analysis of the Put—Call Parity Implied Risk FreeInterest Rate // Journ. Financial Research. 1991. Fail. P. 217-232

Geske R., Roll R On Valuing American Call Options with the Black—Scholes European Formula // Journ. Finance. 1984. June. P. 443-455.

Longstaff F. A Pricing Options with Extendible Maturities Analysis and Applications //Ibid. 1990. July. P. 935-957

Vijh A. M. Liquidity of the СВОЕ Equity Options // Ibid. 1990 July. P 1157-1179Whaley R. E. Valuation of American Call Options on Dividend Paying Stocks Empirical

Tests // Journ. Financial Econ. 1982. March P 29-58

Глава 5 ТЕОРИЯ ОПЦИОНОВ И ИХ...

Documents