ҚАЗАҚСТАН РЕСПУБЛИКАСЫБІЛІМ ЖӘНЕ ҒЫЛЫМ МИНИСТРЛІГІ

«Стереометрия бөлімінен берілген есептердің шығару тәсілдері»

Есенгельдина Г.А

Әдістемелік нұсқау

Бұл ұсынылып отырған көмекші құрал математика пәнінің мұғалімдеріне, жас мамандар мен, «Математика» мамандығының студенттеріне, 11 сынып оқушылары мен

абитуриенттерге, математика пәні бойынша білімін жетелдіруге талпынған жастарға арналады.

Ақтөбе қаласы2014 жыл.

«Стереометрия бөлімінен берілген есептердің шығару тәсілдері»

әдістемелік нұсқау.

Авторлары: Г.А. Есенгельдина – Ембі қалалық № 1 орта мектебінің математика пәнінің мұғалімі.

Пікір жазғандар:

Ұсынылып отырған «Стереометрия бөлімінен берілген есептердің шығару тәсілдері» әдістемелік нұсқауында геометрия сабақтарында стереометрия тарауынан берілген

бірқатар есептердің шығару жолдары мен жауаптары берілген.

Алғы сөз

Математикадан бұл ұсынылып отырған көмекші құрал 11 сынып оқушылары мен абитуриенттерге, математика пәнінің мұғалімдері мен жас мамандарға, математика пәні бойынша білімін жетілдіруге талпынған жастарға арналған . Бұл көмекші құралда стереометрия тарауынан берілген бірқатар есептердің шығару жолдары мен жауаптары берілген. Жоғары оқу орындарында оқуды жемісті жалғастыру үшін мектеп математикасының (геометрияның) теоремаларын дәлелдеп , формулаларын қорытып шығарумен қатар, оларды есеп шығаруда қолдана білгендері жөн деп есептейміз. Ұсынып отырған есептердің күрделілігі әр түрлі. Ол есептерді шығару-кеңістіктегі фигуралардың, көпжақты денелердің қасиеттерін білуді талап етеді. Әдістемелік нұсқаулық абитуриенттер мен жоғары сынып оқушыларының өз беттерінен ҰБТ-ға даярлануына да көп жәрдемін тигізеді.

СТЕРЕОМЕТРИЯ БӨЛІМІНЕН БЕРІЛГЕН ЕСЕПТЕРДІҢ ШЫҒАРУ ТӘСІЛДЕРІ

1. Үшбұрышты тік призманың табандарының қабырғалары 10см, 17см және 21см, призма биіктігі 18см. Призманың бүйір қыры және табанының кіші биіктігі арқылы жүргізілген қиманың ауданын табу керек.

В1 Бер: АВСА1В1С1 - тік призмаАВ=10см, ВС =17см,

АС = 21см АА1= 18см

А1

А1 Н1 С1 Т/к

Н С Шешуі:

ІІ – жағынан

Н1

В

2. Дұрыс алтыбұрышты призманың табан қабырғасы - а, ал бүйір жақтары квадраттар. Призманың диагональдары мен диагональдық қима аудандарын табу керек.

Бер: дұрыс призма AB = BC = CD = a

Т/ к: AC = ? AD = ? SAA1D1D = ? SAA1C1C

D1 Шешуі: AA1D1D тік төртбұрыш

AA1 = a, AD = 2a, AC =

D C1

A1 C

Призма диагональдары осы тіктөртбұрыштардың A B диагональдары болады. Олай болса Пифагор теоремасы бойынша

3. Дұрыс төртбұрышты призманың табанының сыбайлас екі қабырғасының ортасы арқылы үш бүйір қырын қиып өтетін және табанымен α бұрыш жасап көлбеу жазықтық жүргізілген. Табанының қабырғасы аға тең. Қиманың ауданын табу керек. Бер: Призма АВ=ВС=СД=АД=а Т/к: Sқима=?

Шешуі: ABCNM - бесбұрышы қимадағы бесбұрыштың ортогональдық проекциясы болып табылады. Сондықтан SKOPNM қимасының ауданы O P былай есептеледі: K B C N

А М Д

SABCNM = S1 - S2 = AD2 - MD * DN =

,

яғни

Жауабы:

4. Параллелепипедтің үш жағының беттері 1м2, 2м2 және 3м2. Параллелепипедтің толық беті неге тең?

Бер: ABCDA1B1C1D1

S1=1м2, S2=2м2 , S3=3м2

Т/к: Sтол.б.а. -?

Шешуі:

Параллелепипедтің қарама - қарсы жақтары өзара тең

болғандықтан, олардың аудандары да тең, яғни берілген

параллелепипед ауданы 1м2-қа тең 2 жағы, 2м2- қа тең 2 жағы, 3м2- қа тең 2 жағы бар.

Олай болса,

S т.б = 2 (1+2+3) = 12см2

Жауабы: 12см2

5. Тік параллелипед табанының қабырғалары 3см және 5см, табанының бір диагоналі 4см. Параллелипедтің кіші диагоналі табан жазықтығымен 600 бұрыш жасайтын болса, параллелипедтің үлкен диагоналі неге тең?

Д1 С1 Бер: тік параллелепипед A1D1 = 3см, D1C1 = 5см, D1B1 = 4см А1 В1

60 Т / к: A1 C =?

В С

А Д

Шешуі:

Параллелипед табаны - параллелограмм A1B1 C1 D1

Олай болса, диагональдарының квадраттарының

қосындысы оның қабырғаларының квадраттарының

қосындысына тең, яғни

олай болса

см

>4.

∆BB1D1 : BB1= D1B1 tg600 =

∆СС1A1 :

Жауабы: 10см

6. Пирамиданың табаны - катеттері 6см және 8см тік бұрышты

үшбұрыш. Табанындағы барлық екі жақты бұрыштары бар.

Пирамида биіктігін тап.

S Бер: ABCS-пирамида

АС = 6см, ВС = 8см < SKO = < SMO = < SNO = 600

Т/к: SO= ?

A N B M 600

O K Шешуі:

С

АВС үшбұрышының қабырғаларына

перпендикуляр SK, SM, SN кесінділерін жүргіземіз. Үш перпендикуляр туралы теорема бойынша

OK ┴ ВС, ОМ┴ АС және ON ┴ AB, яғни

∆SKO, ∆SMO , ∆SNO - катеттері және сүйір

бұрыштары бойынша өзара тең болады.

Олай болса, ОМ= OK = ON және О-нүктесі табанындағы үшбұрышқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады. ∆АВС : АВС үшбұрышының ауданы екінші жағынан:

:

7. Пирамиданың табаны - қабырғалары 40см, 25см, 25см, тең бүйірлі үшбұрыш. Оның биіктігі 40см-ге тең қабырғаға қарсы жатқан төбесі арқылы өтеді және 8см-ге тең. Пирамиданың бүйір бетінің ауданын тап.

Бер: ABCS- пирамидаAB = AC = 25см,

BC = 40см, AS = 8 см

Т/к: Sбб =?

Шешуі:

AK ┴ BC жүргіземіз. Сонда үш перпендикуляр туралы

теорема бойынша SK ┴ BC болады. ∆ASC және ∆ASB тік

бұрышты үшбұрыштар.

Олай болса

∆ ACK :

∆ ASK :

Сонымен, Sбб =S1 + S2 + S3 = 100+100+340 = 540 см2

Жауабы: 540 см2.

8. Пирамиданың биіктігі 16м. Табанының ауданы 512м2. Егер қиманың ауданы 50м2 болса. Қима табанынан қандай қашықтықта

Бер: АВСS- пирамида S Н=16 см, Sтав=512 см2

B1 Sқима=50 см2

О1 А1 C1

B Т/к ОО1=? О

A C Шешуі:

∆АВС ~ ∆А1В1С1

Ұқсас фигуралар аудандарының қатынасы ұқсастық коэффициенттің квадратына тең.

Яғни, R2 = ; R = 5/16

Екінші жағынан R = ; яғни

Пирамида табанының қима жазықтығына дейінгі арақашықтығы

OO1 = SO - SO1 = 16 - 5 = 11 м

Жауабы: 11м.

9. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың төбесіндегі жазық бұрышы α - ға тең. Табанындағы екіжақты бұрышты тап.

S Бер: ABDCS- пирамида < DSC = α ,

Т/к: <SMО = ?

Шешуі: В C О - нүктесі квадратқа іштей сызылған шеңбердің центрі болып табылады.

SM ┴ DС – жүргізіп

О М О және М нүктелерімен А Д қосамыз. Үш перпендикуляр туралы теорема бойынша

ОМ ┴ DС, яғни

ОМ- квадратқа іштей сызылған шеңбердің радиусы.

Сонда OM =

∆DSC : < DSC = α. SM - әрі биссектриса, әрі медиана.

<CSM = және CM = ;

∆SMC:

< SMO - екі жақты бұрыштың сызықтық бұрышы болғандықтан,

∆SMO : cos <SMO =

Жауабы: .

10. Дұрыс төртбұрышты пирамиданың бүйір бетінің ауданы 14,76м2, толық бетінің ауданы 18м2. Пирамида биіктігін және табанының қабырғасын табу керек. Бер: пирамида. Sбб = 14.76м2 , Sт б = 18м2

SТ/к: SO =? AC = ?

В Д

Шешуі: O M Табан ауданы пирамиданың толық және бүйір А С беттерінің аудандарыны айырмасына тең.

S1 = S - S2 = 18 - 14,76 = 3,24 м2 бұдан

AC =

Дұрыс пирамидада S = , P-табан периметрі,

h - апофема, онда

h = SM =

∆SOM: SO =

Жауабы: 4 м, 1,8 м

11. Дұрыс үшбұрышты қиық пирамида табандары 4дм, 1дм. Бүйір қыры 2дм. Пирамида биіктігін тап.

Бер: пирамида AC =4дм, А1С1=1дм, АА1=2дм.

S Т/к: ОО1 = ?

А1 О1 В1 Шешуі: Қиық пирамиданы толық пирамидаға дейін С1 толтырамыз. О және О1 В нүктелері табанындағы сырттай шеңберлердің А центрі болып табылады. К О Сондықтан

С

AO = R1 =

A1O1 = R2 =

АА1О1О - тік бұрышты трапеция.

А1К ┴ КО

А1О1ОК - тіктөртбұрыш болғандықтан,

А1О1 = КО . Олай болса,

АК = AO - КО =

∆ АА1К: h = А1К =

Жауабы: 1 дм.

12. Цилиндрдің биіктігі 6см, табанының радиусы 5см. Цилиндрдің осінен 4см қашықтықта оған параллель орналасқан қиманың ауданын тап. Бер: цилиндр (О,R) H = 6см, ОА =5см, ОК= 4см. а С Т/к: SABCD =? В

Шешуі:

∆ AOD: AO = OD, OK ┴ AD. OK = 4см

д ∆AOK: о К AK= А AD =

ABCD - тік төртбұрыш.

Жауабы: 36см2.

13. Екі конустың биіктігі ортақ және төбелері осы биіктіктің қарама - қарсы шеттерінде орналасқан. Бір конустың жасаушысының ұзындығы l және биіктікпен арасындағы бұрыш α-ға тең. Екінші конустың жасаушысы мен биіктіктің арасындағы бұрыш β - ға тең. Екі конусқа ортақ бөліктің көлемін тап.

Бер: екі конус Д О1 DOO1 = α , AO1O = β

Т/к: VABO + VABO1 =?

А С В Шешуі:

∆DOO1:

О үшбұрыштарынан : бұдан

Сонымен

14. Тік үшбұрышты призманың табанының ауданы 4см2, бүйір жақтарының аудандары 9см2, 10см2, 17см2. Призманың көлемін тап.

Бер: тік призма А С Sтаб = 4см2, SAA1B1B = 9см2,

SBB1C1C = 10см2, SAA1C1C = 17см2

Т/к: Vпризма = ?В Шешуі:

А1 С1 Енді, AB = с, BC = a, AC = b деп белгілейміз.

Сонда

В1

15. Дұрыс төртбұрышты пирамида көлемі 430, биіктігі 10 және табан қабырғасы 8. Басқа табанының қабырғасын анықтау керек.

S Бер: қиық пирамидаSO = H, A1D1 = x V = 430, H = 10, AD = 8Т/к: A1D1=?

B1 C1 Шешуі: ∆A1SC1 ~ ∆ASC А1 Д1 Бұдан

В С

А D жүйесінен шешіп х=5 екенін табамыз. Жауабы: 5

16. Гипотенузасы , сүйір бұрышы 300 - қа тең тік бұрышты үшбұрыштың тік бұрышы

төбесінен жүргізілген гипотенузаға параллель ось арқылы айналғанда пайда болған денесінің көлемін табу керек.

Бер: пайда болған дене цилиндр тәріздес.

l AB = ; A = 300

А А1 Т/к: Vайналу дене = ? Шешуі: Vайналу дене = V цил - (V1 +V2 ) мұндағы, V1 - жоғары конус көлемі

C V2 - төменгі конус көлемі

B O B1

Жауабы: 27м3

17. Шар бетінің радиусы R. Егер оның ендігі 600 болса, белдігінің ұзындығы неге тең?Бер: шар.

С <BOK = 600

В Т/к: l = ? A Шешуі: <AOB : <ABO = <BOK = 600

(АВ және ОК параллель түзулерінің арасындағы ішкі 600 айқыш бұрыштар) . O Онда

18. Қиық конустың осьтік қимасының ауданы оның табан аудандарының айырмасына тең, табандарының радиустары R және r . Конус көлемін тап.

SБер: қиық конус.

OB = r, O1C = RТ/к: V = ?

Шешуі: A O B Есептің шарты бойынша ABCD трапециясының ауданы табан аудандарының айырмасына тең.

19. Шойын шардың массасы 10кг. Шар диаметрін табу керек. (Шойын тығыздығы 7,2г/см3)

Шешуі: p = 7,2 2г/см3 = 7200 кг / м3

20. Шар диаметріне перпендикуляр жазықтық оны 3см және 9 см етіп, екі бөлікке бөледі. Шар көлемі қандай бөліктерге бөлінеді?

Шешуі: Жоғары сегмент көлемін

О1 формуласымен табамыз. Мұндағы H = OO1 = 3см

А О В

Шардың төменгі бөлімінің көлемі шар көлемі O2 жоғарғы сегмент көлемінің айырмасына тең.

21. Екі шар бетінің қатынасы m : n . Көлемдерінің қатынасын тап.

Шешуі:

22. Катеттері а және в болатын тік бұрышты үшбұрышты гипотенузасы арқылы айналдырғанда пайда болатын айналу денесінің көлемін тап.

Бер: АВС тік бұрышты үшбұрышСS – гипотенуза, АS, AC - катеттері

Т / к V=?

S Шешуі: Айналу денесінің көлемі 2 конустың көлемінің қосындысынан тұрады.

V = VASB + VACB

A C B

23. Дұрыс тетраэдрдің қыры - а. Көлемін тап.

Бер: АВСО1 – Дұрыс тетраэдр АВ=ВС=АС=АО1= а

Т / к: V-?

Шешуі: Табаны тең қабырғалы үшбұрыш.

О1

Пирамида биіктігі табанындағы үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбердің центрі арқылы

С өтеді, яғни

А О

В Пифагор теоремасы бойынша

24. Тең бүйірлі трапецияның диагоналі бүйір қабырғасына перпендикуляр. Бүйір қабырғасының ұзындығы а – ға тең және үлкен табанымен бұрышын жасайды. Трапецияны үлкен табанынан айналдырғанда пайда болған дене бетінің ауданын табыңдар.

Д С Бер : АВСД трапеция, АД= ВС=а, ДВ АД , Т / к; SADCBHG =? А Е F B

G HШешуі: Трапецияны үлкен АВ табанынан айналдырсақ пайда болған дененің толық бетінің

ауданы CДGHцилиндрдің және екі бір-біріне тең ADG мен BCH конустардың бүйір беттерінен құралады.

Цилиндрдің биіктігі

ADG және BCH конустардың әрқайсысының бүйір беті

CDGH цилиндрдің бүйір беті

Сондықтан пайда болған дененің толық бетінің ауданы

25. Үшбұрышты дұрыс пирамида табанының бір қабырғасынан онымен қиылыспайтын бүйір қырына дейінгі қашықтықтың табан қабырғасынан 2 есе кіші. Бүйір жағы мен пирамиданың табанының арасындағы бұрышты тап.

S Бер: SABC пирамида АВ= ВС=АС=АS

Е В Т / к

А Д С

Шешуі:

белгілерін еңгіземіз.

Сонда

Пифагор теоремасы бойынша

Яғни, Е нүктесі S нүктесімен беттеседі және