Лекция №4Лекция №4

Математические модели Математические модели распределения времени распределения времени

безотказной работы.безотказной работы.

2.2 2.2 Экспоненциальное распределение.Экспоненциальное распределение. Если в выражении для вероятности безотказной Если в выражении для вероятности безотказной

работы (4.18) работы (4.18) положить постоянной вели чину интенсивности отказов положить постоянной вели чину интенсивности отказов

, что, как указывалось выше, , что, как указывалось выше, соответствует периоду нормальной эксплуатации, то соответствует периоду нормальной эксплуатации, то получа ем следующее выражение для :получа ем следующее выражение для :

(2.1)(2.1) а учитывая (1.17)а учитывая (1.17) имеемимеем (2.2)(2.2)

))((exp)(0

dttStPt

coustt )(

)(tPtettP )exp()(

)()()( ttPtf

tetf )(

Однопараметрическое распределение (2.2) в Однопараметрическое распределение (2.2) в теории вероятно стей получило название теории вероятно стей получило название показательного или экспоненциального, а показательного или экспоненциального, а выражение (2.1), которое нашло широкое выражение (2.1), которое нашло широкое использование в тео рии надёжности, часто использование в тео рии надёжности, часто называют экспоненциальным законом на называют экспоненциальным законом на дежности. Распределение (2.2), как мы видим, дежности. Распределение (2.2), как мы видим, следует из наибо лее общего выражения для следует из наибо лее общего выражения для вероятности безотказной работы в слу чае вероятности безотказной работы в слу чае , т. е. оно имеет в задачах надежности ясный , т. е. оно имеет в задачах надежности ясный смысл, описывая распределение времени смысл, описывая распределение времени безотказной работы при постоян ной опасности безотказной работы при постоян ной опасности отказа. Или, учитывая, что при из выра отказа. Или, учитывая, что при из выра жения жения

следуетследует

coust

coust)()(')( tPtPt

cousttP

dttdP

)(

/)(

Графики экспоненциального Графики экспоненциального распределения распределения

Графики распределения Графики распределения Вейбулла Вейбулла

Нормальное распределение Нормальное распределение (распределение Гаусса)(распределение Гаусса)

Нормальный закон распределения описывает Нормальный закон распределения описывает закономерность распределения случайных закономерность распределения случайных погрешностей, когда каждое отклонение от погрешностей, когда каждое отклонение от истинного значения измеряемой величины истинного значения измеряемой величины является результатом действия бесконечно является результатом действия бесконечно большого числа неконтролируемых факторов; большого числа неконтролируемых факторов; каждый из них вызывает небольшие отклонения, каждый из них вызывает небольшие отклонения, примерно одинаковые по величине и примерно одинаковые по величине и равновероятные по знаку. Распределение суммы равновероятные по знаку. Распределение суммы достаточно большого числа независимых (или достаточно большого числа независимых (или слабозависимых) случайных величин, слабозависимых) случайных величин, подчинённых каким угодно законам подчинённых каким угодно законам распределения, также приближённо описывается распределения, также приближённо описывается нормальным законом.нормальным законом.

Кривые плотности нормального распределения Кривые плотности нормального распределения

при одинаковых средних и разных дисперсияхпри одинаковых средних и разных дисперсиях

Вся площадь под гауссовой кривой Вся площадь под гауссовой кривой .. 1 BA

Графики нормального Графики нормального распределения распределения

Комбинированное (нормально – Комбинированное (нормально – экспоненциальное) распределениеэкспоненциальное) распределение

У большинства У большинства технических изделий, технических изделий, когда они вступают в когда они вступают в период износа, период износа, продолжают иметь место продолжают иметь место наряду с износовыми наряду с износовыми отказами и внезапные. отказами и внезапные. Считая эти два вида Считая эти два вида отказов независимыми, отказов независимыми, интен сивность отказов интен сивность отказов можно определить какможно определить как

где -где - интенсивность интенсивность внезапных, а - внезапных, а - износовых отказовизносовых отказов

нв

ВН

Вероятность безотказной работы изделия Вероятность безотказной работы изделия будет в свою оче редь вероятностью будет в свою оче редь вероятностью сложного события, заключающегося в том, сложного события, заключающегося в том, что не произойдет ни внезапных, ни что не произойдет ни внезапных, ни износовых отказов:износовых отказов:

Если в случае внезапных отказов Если в случае внезапных отказов распределение времени без отказной распределение времени без отказной работы описывается экспоненциальным работы описывается экспоненциальным законом, а в случае износовых — законом, а в случае износовых — нормальнымнормальным

нв РPtР )(

2/2/)(exp)exp()( 220

dtTtеtPt

в

выражение для интен сивности отказоввыражение для интен сивности отказов выражение для плотности распределения:выражение для плотности распределения: Такое распределение (комбинацию нормального и Такое распределение (комбинацию нормального и

экспоненци ального распределениэкспоненци ального распределенийй) иногда ) иногда вызывают нормально-экспоненциальнымвызывают нормально-экспоненциальным

2/)(exp/2/)(exp)( 20

220 dtTtTtt

t

в

2/2/)(exp)exp(2/)(exp)exp()( 220

220 TttdtTtttf в

t

вd

Вид графиков, Вид графиков, изображающих изображающих характеристики характеристики рассмотренной рассмотренной комбинации комбинации распределений, будет распределений, будет трансформироваться в трансформироваться в зависимости от того, зависимости от того, какие отказы какие отказы (износовые или (износовые или внезапные) будут внезапные) будут превалировать. В превалировать. В качестве примера на качестве примера на рисунке показана рисунке показана функция плотности функция плотности для двух сильно для двух сильно отличающихся отличающихся соотношений внезапных соотношений внезапных и износовых отказов.и износовых отказов.

)(tf

Вопросы к лекции№4:Вопросы к лекции№4:

1.Какие математические модели 1.Какие математические модели используются в теории надёжности?используются в теории надёжности?

2.Какая модель описывает внезапные 2.Какая модель описывает внезапные отказы?отказы?

3.Какая модель описывает постепенные 3.Какая модель описывает постепенные отказы?отказы?

4.Какие отказы описываются нормально-4.Какие отказы описываются нормально-экспоненциальным законом?экспоненциальным законом?

5.Как определяется коэффициент 5.Как определяется коэффициент вариации в нормальном законевариации в нормальном законе