คณิตศาสตร์ ม....
TRANSCRIPT
หนงสอเรยน รายวชาพนฐาน
คณตศาสตร ม.๒ เลม ๑ชนมธยมศกษาปท ๒กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร
ตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช ๒๕๕๑
ผเรยบเรยงนางกนกวล อษณกรกลนางสาวนวลนอย เจรญผลนางสาวปาจรย วชชวลคดร. สเทพ บญซอน
ผตรวจนางจนดา อยเปนสขนายรณชย มาเจรญทรพย นางสาวสายสณ สทธจกษ
บรรณาธการศ. ดร. ณรงค ปนนม
พมพครงท ๑สงวนลขสทธตามพระราชบญญตISBN : 978-616-203-592-0
รหสสนคา ๒๒๑๖๐๐๙
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 ÍѵÃÒʋǹ ÊѴʋǹ áÅÐÃŒÍÂÅÐ 1 - 46
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧÍѵÃÒʋǹ 2
2. ÍѵÃÒʋǹ·Õè෋ҡѹáÅÐÊѴʋǹ 7
3. ÍѵÃÒʋǹáÅÐÃŒÍÂÅÐ 25
4. ¡ÒÃᡌ⨷Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ 28
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2 ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇáÅо×é¹·Õè 47 - 90
1. ¡ÒÃÇÑ´¤ÇÒÁÂÒÇ 48
2. ¾×é¹·Õè 60
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 3 ¡ÒäҴ¤Ð๡ÒÃÇÑ´ 91 - 104
1. ¡ÒäҴ¤Ðà¹àÇÅÒ 92
2. ¡ÒäҴ¤Ðà¹ÃÐÂзҧáÅТ¹Ò´ 94
3. ¡ÒäҴ¤Ð๹éíÒ˹ѡ 100
4. ¡ÒäҴ¤Ð๡ÒÃÇÑ´ã¹Ê¶Ò¹¡Òó�µ‹Ò§æ 102
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 105 - 132
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 106
2. ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ 115
สารºÑÞ
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧÍѵÃÒʋǹ 2. ÍѵÃÒʋǹ·Õè෋ҡѹáÅÐÊѴʋǹ 3. ÍѵÃÒʋǹáÅÐÃŒÍÂÅÐ 4. ¡ÒÃᡌ⨷Â�»˜ÞËÒÃŒÍÂÅÐ
¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.2 àÅ‹Á 1
1. ¤ÇÒÁËÁÒ¢ͧ¢ŒÍÁÙÅáÅСÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ 2. ¡ÒùíÒàʹ͢ŒÍÁÙÅ´ŒÇÂá¼¹ÀÙÁÔÃٻǧ¡ÅÁ
คณตศาสตรมบทบาทส�าคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ท�าให
มนษยมความคดอยางมเหตผลเปนระบบระเบยบ มแบบแผน สามารถวเคราะห
แกปญหาในสถานการณตาง ๆ ไดอยางเหมาะสม รวมทงมความคดรเรมสรางสรรค
คณตศาสตรเปนวชาทวาดวยหลกการและเหตผล ซงมนษยคดคน
และสรปมาจากกฎเกณฑธรรมชาต และสงทพบเหนในชวตประจ�าวน ดงนน
ผเรยนคณตศาสตรไดดควรจะเปนผทชางสงเกต ชางคด และยอมรบขอตกลง
หรอหลกการหรอนยามเบองตนกอน แลวอาศยหลกความจรงและเหตผลตาง ๆ
ในการชวยคดค�านวณ คดสรางสรรค และคดแกปญหาตอไดอยางมประสทธภาพ
นกเรยนจงควรจะเขาใจกฎเกณฑตาง ๆ ทางคณตศาสตร ในแตละเรอง และ
สามารถน�าหลกการทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรไปใชในชวตประจ�าวน
ตลอดจนสามารถแกปญหาในสถานการณตาง ๆ ได ส�าหรบหนงสอเรยนรายวชา
พนฐานคณตศาสตร กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ชนมธยมศกษาปท 2 น
คณะผเรยบเรยงไดจดแบงออกเปน 2 เลม ดงน
คณตศาสตร ม.2 เลม 1 หนวยการเรยนรท 1 - 6
คณตศาสตร ม.2 เลม 2 หนวยการเรยนรท 1 - 5
ทงนคณะผเรยบเรยงไดเรยบเรยงเนอหาสาระใหสอดคลองกบตวชวดและ
สาระการเรยนรแกนกลางกลมสาระการเรยนรคณตศาสตร ตามหลกสตรแกนกลาง
การศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 โดยจดสาระการเรยนรเปนหนวยการเรยนร
ทควรศกษาตามล�าดบกอนหลงอยางเหมาะสม รวมทงมแบบตรวจสอบความเขาใจ
ทหลากหลาย มกจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร กจกรรมเสรม
ทกษะเชงเทคโนโลย เพอพฒนาผเรยนใหเตมตามศกยภาพ รวมทงเมอเรยนจบ
ในแตละหนวยการเรยนรแลว ยงมแบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนร เพอทบทวน
ความรดวย
คณะผเรยบเรยงหวงเปนอยางยงวา หนงสอเรยนเลมนคงจะเปนประโยชน
ในการจดการเรยนการสอนใหผเรยนไดสมฤทธผลการเรยนรตรงตามทหลกสตร
แกนกลางการศกษาขนพนฐานไดก�าหนดไว คณะผเรยบเรยง
คณะผเรยบเรยง
ค�าน�า
หนวยการเรยนรท
ตวชวด
1 ในชวตจรงเราไดนาความรเกยวกบเรอง
อตราสวน สดสวน และรอยละมาชวยแกปญหา
ตางๆ เชน งานสถาปตยกรรม ตองมการออกแบบ
และเขยนแผนผง เพอจาลองลกษณะรปรางของ
สงกอสรางนน นอกจากนการคดดอกเบย ภาษ
สวนลดจากการซอและการขายสนคาอปโภค
บรโภคตางๆ จาเปนตองอาศยความรในเรองของ
อตราสวน สดสวน และรอยละทงสน
■ ใชความรเกยวกบอตราสวน สดสวน และรอยละ
ในการแกโจทยปญหา (ค 1.1 ม.2/4)■ ใชวธการทหลากหลายแกปญหา (ค 6.1 ม.1-3/1)■ ใชความร ทกษะ และกระบวนการทางคณตศาสตร
และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ
ไดอยางเหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/2)■ ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยาง
เหมาะสม (ค 6.1 ม.1-3/3)■ ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร
การสอความหมายและการนาเสนอไดอยางถกตอง
และชดเจน (ค 6.1 ม.1-3/4)■ เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และนาความร
หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยง
กบศาสตรอนๆ (ค 6.1 ม.1-3/5)■ มความคดรเรมสรางสรรค (ค 6.1 ม.1-3/6)
สาระการเรยนรแกนกลาง
■ อตราสวน สดสวน รอยละ และการนาไปใช
อตราสวน สดสวนและรอยละ˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 5 ¡ÒÃá»Å§·Ò§àâҤ³Ôµ 133 - 188
1. ¡ÒÃá»Å§ 134
2. ¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 137
3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ 173
áÅСÒÃËÁع 4. ¡ÒùíÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ 178
áÅСÒÃËÁعä»ãªŒ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 6 ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒà 189 - 219
1. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»àâҤ³Ôµã´æ 190
ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 197
3. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊͧÃÙ» 201
·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�Ẻµ‹Ò§æ
ºÃóҹءÃÁ 220
1. ¡ÒÃá»Å§ 2. ¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 3. ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁع 4. ¡ÒùíÒÊÁºÑµÔ¢Í§¡ÒÃàÅ×è͹¢¹Ò¹ ¡ÒÃÊзŒÍ¹ áÅСÒÃËÁعä»ãªŒ
1. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»àâҤ³Ôµã´æ ʋǹ¢Í§àÊŒ¹µÃ§ áÅÐÁØÁ 2. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁ 3. ¤ÇÒÁ෋ҡѹ·Ø¡»ÃСÒâͧÃÙ»ÊÒÁàËÅÕèÂÁÊͧÃÙ» ·ÕèÁÕ¤ÇÒÁÊÑÁ¾Ñ¹¸�Ẻµ‹Ò§æ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 3 àÊŒ¹¢¹Ò¹
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 1 ¤ÇÒÁÃÙŒàº×éͧµŒ¹
à¡ÕèÂǡѺ¨íҹǹ¨ÃÔ§
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 4 ¡ÒûÃÐÂØ¡µ�¢Í§ÊÁ¡Òà àªÔ§àÊŒ¹µÑÇá»Ãà´ÕÂÇ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 2 ·Äɮպ· ¾Õ·Òâ¡ÃÑÊ
˹‹Ç¡ÒÃàÃÕ¹ÃÙŒ·Õè 5 âÍ¡Òʢͧ à˵ءÒó�
¤³ÔµÈÒʵÃ� Á.2 àÅ‹Á 2
3
จากรปท2 จะเหนวามจ�านวนปากกา4ดามและจ�านวนสมด5เลม
กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนสมดเปนเลมเปน4ตอ5
หรอ อตราสวนของจ�านวนสมดเปนเลมตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน5ตอ4
เขยนแทน อตราสวน4ตอ5ดวย4:5หรอ45
อตราสวน5ตอ4ดวย5:4หรอ54
มมความคด
อตราสวน a ตอ b เขยนแทนดวย a : b หรอ ab อานวา a ตอ b
เรยกจ�านวน a ในอตราสวน a : b วา จ�านวนแรกหรอจ�านวนทหนง
เรยกจ�านวน b ในอตราสวน a : b วา จ�านวนหลงหรอจ�านวนทสอง
เปดโลกคณตศาสตร
เครองหมายคณ(×)น�ามาใชโดยวลเลยมออทเทรด(WilliamOughtred:ค.ศ.1574-1660)
ซงปรากฏหลกฐานในหนงสอClavisMathematicaeซงเขยนไวในปค.ศ.1628และตพมพเผยแพรใน
กรงลอนดอนเมอปค.ศ.1631
เครองหมายหาร(÷)น�ามาใชเปนครงแรกโดยโจฮานนราหน(JohannRahnหรอRhonius:
ค.ศ.1622-1676)ในปค.ศ.1659ซงพบหลกฐานในหนงสอTeutscheAlgebra
ทมา:http://members.aol.com
อตราสวนaตอbจะพจารณาในกรณทaและbเปนจ�านวนบวกเทานน
ต�าแหนงของจ�านวนในแตละอตราสวนนนถอวามความส�าคญ จากรปท 1 ซงแสดง
จ�านวนผหญงและจ�านวนผชาย จะเหนวา อตราสวน 2 : 3 ไมใชอตราสวนเดยวกบอตราสวน
3:2เนองจากอตราสวน2:3หมายถงอตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายแตอตราสวน
3:2หมายถงอตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญง
นนคออตราสวนa:bไมใชอตราสวนเดยวกบb:aเมอa ≠ b
2
พจารณารปภาพตอไปน
1. ความหมายของอตราสวน
พจารณาขอความตอไปน
1) การวดผลรายวชาคณตศาสตรจะมคะแนนเกบระหวางภาคเรยน70คะแนนและ
ปลายภาคเรยน30คะแนน
2) จากรายงานทางการแพทยพบวาการวงอยางสม�าเสมอในเวลา1ชวโมงรางกาย
จะใชพลงงาน900แคลอร
จะเหนวาขอความท1)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบจ�านวนของคะแนนระหวาง
ภาคเรยนและคะแนนปลายภาคเรยนและขอความท2)เปนขอความแสดงการเปรยบเทยบเวลา
กบปรมาณพลงงานทใชไป
จากขอความทงสองขางตนเปนตวอยางของ“อตราสวน”
มมความคด
เรยกความสมพนธทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณ ซงอาจมหนวยเดยวกน
หรอตางกนกได วา “อตราสวน”
จากรปท1 จะเหนวามผหญง2คนและมผชาย3คน
กลาวไดวา อตราสวนของจ�านวนผหญงตอจ�านวนผชายเปน2ตอ3
หรอ อตราสวนของจ�านวนผชายตอจ�านวนผหญงเปน3ตอ2
เขยนแทน อตราสวน2ตอ3ดวย2:3หรอ 23
อตราสวน3ตอ2ดวย3:2หรอ 32
รปท 1 รปท 2
5
นอกจากนมาตราสวนอาจแสดงการเปรยบเทยบในหนวยตางกนไดเชนเดยวกบ
อตราสวนเชน
มาตราสวนทใชเขยนแผนทประเทศไทยเปน1เซนตเมตร:5กโลเมตร
หมายความวาระยะทางในแผนท1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง5กโลเมตร
จงเขยนอตราสวนแทนปรมาณสองปรมาณทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน
1) แตมปากกาน�าเงน5ดามและมปากกาแดง5ดาม
2) รตนาจะเกบสะสมเงน5บาทจากจ�านวนเงนคาขนม30บาท
3) ชพจรของวนยเตน78ครงในเวลา1นาท
4) รถยนตใชน�ามน1ลตรแลนไดระยะทาง11กโลเมตร
1) อตราสวนของจ�านวนปากกาน�าเงนตอจ�านวนปากกาแดงเปน5 : 5
2) อตราสวนของจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนคาขนมเปน5 : 30
3) อตราสวนของการเตนของชพจรเปนครงตอเวลาเปนนาทเปน78 : 1
4) อตราสวนของปรมาณน�ามนเปนลตรตอระยะทางทแลนไดเปนกโลเมตร
เปน1 : 11
พจารณารปแปลนบานซงใชมาตราสวน1:400 หมายถง ความยาวในแผนผง1
เซนตเมตรแทนความยาวจรง400เซนตเมตร
ตวอยางท
1
วธทำ�
ตอบ
4
พจารณาขอความตอไปน
1) กระดาษรปสเหลยมผนผาแผนหนงมความกวาง 20 เซนตเมตร ความยาว 27
เซนตเมตร
2) การไปทศนศกษาตางจงหวดของโรงเรยนแหงหนงจดใหคร1คนดแลนกเรยน
20คน
3) การท�าน�าหมกชวภาพใชกากน�าตาล250ลกบาศกเซนตเมตรใชน�า8ลตร
4) ไสกรอก1ถงราคา55บาท
5) ตามนโยบายเรยนฟร15ปอยางมคณภาพของรฐบาลในแตละภาคเรยนไดก�าหนด
เงนคาอปกรณการเรยนแกนกเรยนระดบชนมธยมศกษาตอนตนคนละ210บาท
6) วนท18กมภาพนธ2553ประเทศไทยมอตราแลกเปลยนเงน31.20บาทตอ1
ดอลลารสหรฐ
จากขอความขางตนสามารถเขยนอตราสวนแสดงความสมพนธไดดงน
1) อตราสวนของความกวางตอความยาวเปน20:27
2) อตราสวนของจ�านวนครตอจ�านวนนกเรยนเปน1:20
3) อตราสวนของปรมาณกากน�าตาลเปนลกบาศกเซนตเมตรตอน�าเปนลตรเปน
250:8
4) อตราสวนของจ�านวนไสกรอกเปนถงตอราคาเปนบาทเปน1:55
5) อตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอเงนคาอปกรณการเรยนเปนบาทเปน1:210
6) อตราสวนของจ�านวนเงนเปนบาทตอจ�านวนเงนเปนดอลลารสหรฐเปน31.20:1
จากการเขยนอตราสวนขอ1) และ 2)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบ-
เทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกนจะไมเขยนหนวยก�ากบไว
จากการเขยนอตราสวนขอ3) - 6)จะเหนวาเปนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบ
ปรมาณสองปรมาณทมหนวยตางกนจะเขยนหนวยก�ากบไว
มมความคด
การเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสองปรมาณทมหนวยเดยวกน
เราไมนยมเขยนหนวยก�ากบไว แตการเขยนอตราสวนทแสดงการเปรยบเทยบปรมาณสอง
ปรมาณทมหนวยตางกน จะตองระบหนวยก�ากบไวเสมอ
7
2. อตราสวนทเทากนและสดสวน
รานสหกรณของโรงเรยนแหงหนงขายน�าราคาขวดละ5บาทจะไดวา
น�า1ขวด ราคา 1×5 = 5 บาท
น�า2ขวด ราคา 2×5 = 10 บาท
น�า3ขวด ราคา 3×5 = 15 บาท
ดงนนจ�านวนน�าเปนขวดและราคาเปนบาทจะมความสมพนธกนดงตารางตอไปน
จากตารางสามารถเขยนอตราสวนไดหลายอตราสวนเชน
1:5,2:10,3:15,4:20,5:25หรอ15, 2
10, 3
15, 4
20, 5
25
อตราสวนขางตนไดมาจากการซอน�าในราคาเดยวกนคอน�า1ขวดราคา5บาท
และกลาวไดวาอตราสวนเหลานนเปนอตราสวนทเทากน
2.1 การหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดให
จากการเขยนอตราสวนของจ�านวนน�าเปนขวดตอราคาเปนบาทขางตนจะพบวา1:5,
2:10,3:15,4:20,5:25เปนอตราสวนทเทากนซงเขยนไดดงน
1:5=2:10=3:15=4:20=5:25
หรอ15= 2
10= 3
15= 4
20= 5
25
จะเหนวาอตราสวนทเทากนขางตนมความเกยวของกนกบอตราสวน15ดงน
จ�านวนน�า (ขวด) 1 2 3 4 5
ราคา (บาท) 5 10 15 20 25
คณดวยจ�านวนเดยวกน หารดวยจ�านวนเดยวกน
15 = 1×2
5 × 2 = 210
15 = 1×3
5 × 3 = 315
15 = 1×4
5 × 4 = 420
15 = 1×5
5 × 5 = 525
210 = 2÷2
10 ÷ 2 = 15
315 = 3÷3
15 ÷ 3 = 15
420 = 4÷4
20 ÷ 4 = 15
525 = 5÷5
25 ÷ 5 = 15
6
สมพรซอเนอหม6ขดซอกง8ขดจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบน�าหนก
เนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอมา
สมพรซอเนอหม6ขด
สมพรซอกง8ขด
เขยนอตราสวนแสดงน�าหนกเนอหมและน�าหนกกงทสมพรซอไดเปน6 : 8ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.1
1. จากภาพทก�าหนดใหมสบปะรดและสมโออยางละ2ผลขนนและทเรยนอยางละ1ผลฝรง
5ผลมะมวง4ผลชมพ7ผลกลวย1หวและผลไมอนๆจงเขยนอตราสวนแสดงการ
เปรยบเทยบในแตละขอตอไปน
1) จ�านวนสบปะรดตอจ�านวนทเรยน
2) จ�านวนขนนตอจ�านวนสมโอ
3) จ�านวนกลวยเปนหวตอจ�านวนฝรงเปนผล
4) จ�านวนชมพตอจ�านวนมะมวง
2. จงเขยนอตราสวนแทนขอความตอไปน
1) ในเวลา2ชวโมงสภาสณขบรถยนตไดระยะทาง180กโลเมตร
2) คาจางแรงงานขนต�าวนละ300บาท
3) คนงาน8คนท�างานเสรจในเวลา3วน
4) รถไฟฟาBTSแลนดวยความเรว80กโลเมตรตอชวโมง
5) ระยะทางในแผนผง1เซนตเมตรแทนระยะทางจรง10เมตร
3. ธงชาตไทยผนหนงมความกวาง80เซนตเมตรความยาว1.4เมตรจงเขยนอตราสวนแสดง
การเปรยบเทยบความกวางตอความยาวของธงชาตไทยผนน
4. สนตาไดรบคาขนมวนละ35 บาท เธอจะเกบสะสมไว5 บาท จงเขยนอตราสวนแสดง
การเปรยบเทยบจ�านวนเงนสะสมตอจ�านวนเงนทไดรบของสนตา
5. นนทภทรรบจางท�างานนอกเวลาเรยนวนละ4ชวโมงจงเขยนอตราสวนแสดงการเปรยบเทยบ
เวลาท�างานนอกเวลาเรยนตอหนงวนของนนทภทร
1.
2.
3.
4.
5.
9
1. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการคณ
1) 2:7 2) 5:12 3) 9:7
4) 2:3 5) 4:9 6) 3:5
2. จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนดใหอกขอละ3อตราสวนโดยใชหลกการหาร
1) 24:48 2) 30:45 3) 72:24
4) 64:32 5) 24:56 6) 54:90
3. จงเขยนอตราสวนอก3อตราสวนจากขอความทก�าหนดใหในแตละขอตอไปน
1) สบราคากอนละ12บาทอตราสวนของจ�านวนสบเปนกอนตอจ�านวนเงนเปนบาท
2) การเขาคายพกแรมลกเสอ210คนใชเตนททงหมด30หลงอตราสวนของจ�านวนเตนท
เปนหลงตอจ�านวนลกเสอเปนคน
3) นกเรยน2คนจายคารถเมล14บาทอตราสวนของจ�านวนนกเรยนเปนคนตอจ�านวน
เงนเปนบาท
4) มะมวง3กองกองละ5ผลขายในราคากองละ10บาทอตราสวนของจ�านวนมะมวง
เปนกองตอจ�านวนเงนเปนบาท
2.2 การตรวจสอบการเทากนของอตราสวน
ถาตองการตรวจสอบวา59และ1527เปนอตราสวนทเทากนหรอไมเทากนเราสามารถ
ท�าไดหลายแบบโดยใชหลกการคณ หลกการหาร หรอใชการคณไขวเพอท�าใหจ�านวนหลงของ
แตละอตราสวนเทากนแลวจงเปรยบเทยบจ�านวนแรกดงตอไปน
แบบท 1 ใชหลกการคณ 59=
5×39×3
= 1527
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
แบบท 2 ใชหลกการหาร 1527=15÷3
27÷3= 5
9
ดงนน1527และ59เปนอตราสวนทเทากน
1.
2.
3.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ก
8
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน3:7มาอก3อตราสวน
อตราสวน3:7เขยนแทนดวย37
จะไดวา 37 = 3×2
7 × 2 = 614
นนคอ 3:7=6:14
37 = 3×3
7 × 3 = 921
นนคอ 3:7=9:21
37 = 3×4
7 × 4 = 1228
นนคอ 3:7=12:28
ดงนน อตราสวน6 : 14, 9 : 21 และ 12 : 28เปนอตราสวนทเทากบ
อตราสวน3:7
จงหาอตราสวนทเทากบอตราสวน18:24มาอก3อตราสวน
18:24 = 18÷2:24÷2 = 9:12
18:24 = 18÷3:24÷3 = 6:8
18:24 = 18×2:24×2 = 36:48
ดงนน อตราสวน9 : 12, 6 : 8 และ 36 : 48เปนอตราสวนทเทากบ
อตราสวน18:24
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ตอบ
นนคอเมอก�าหนดอตราสวนมาใหเราสามารถหาอตราสวนทเทากบอตราสวนทก�าหนด
ใหไดโดยใชหลกการตอไปน
1) หลกการคณเมอคณแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน
ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
2) หลกการหารเมอหารแตละจ�านวนในอตราสวนใดดวยจ�านวนเดยวกนโดยทจ�านวนนน
ไมเทากบศนยจะไดอตราสวนใหมทเทากบอตราสวนเดม
เราสามารถเขยนอตราสวนตางๆใหอยในรปเศษสวนได นะครบ
มมความคด
ถาก�าหนดอตราสวน a : b และ c เปนจ�านวนใดๆ
ทไมเทากบศนย แลวจะไดวา
ab
= a × cb × c
และ ab
= a ÷ cb ÷ c
11
2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3
8
จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12
นนคอ 1.5×8= 4×3
ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน
ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa
เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6
เขยนแทนดวย 50.3
= a6
จะไดวา 5×6 = 0.3×a
a = 5×60.3
a = 100
นนคอ 5:0.3 = 100:6
ดงนนaมคาเทากบ100
1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2
3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108
2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง
1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11
3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30
3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน
1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80
3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30
5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108
7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข
1.
2.
3.
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ตอบ
ใชหลกการคณไขว1.54
38
10
แบบท 3 ใชการคณไขวพจารณา5×279×27
และ15×927×9
เนองจาก 9×27=27×9
จงตรวจสอบวา5×27=15×9หรอไม
จะได 5×27=135และ15×9=135
นนคอ 5×27=15×9
ดงนน59และ1527เปนอตราสวนทเทากน
จะเหนวา5×27และ15×9ซงเปนจ�านวนแรกของทงสองอตราสวนเปนผลการ
คณไขวของ5กบ27และ15กบ9จากอตราสวน59และ1527
พจารณาอตราสวนabและcd
เรยกabวาเปนอตราสวนท1และcdวาเปนอตราสวนท2
จาก ab=a× d b× d
= adbd
cd=c ×bd ×b
= bcbd
พจารณา adbd
และ bcbd
ดงน
1)ถา adbd
= bcbd
แลวad=bc2)ถา adbd
≠ bcbd
แลวad≠ bc
ซงadและbcเปนผลคณของจ�านวนจากอตราสวนทงสอง
โดยaเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท1dเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท2
และbเปนจ�านวนท2ของอตราสวนท1 cเปนจ�านวนท1ของอตราสวนท2
ซงเราสามารถจดadและbcโดยใชหลกการคณไขวดงนab cd
จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 5:9และ25:44 2) 1.5:4และ3:8
1) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน 59และ 25
44
จะได 5×44 = 220 และ 9×25 = 225
นนคอ 5×44 ≠ 9×25
ดงนน 5:9และ25:44 เปนอตราสวนทไมเทากน
2) พจารณาผลคณไขวของอตราสวน1.54และ 3
8
จะได 1.5×8= 12 และ 4×3 = 12
นนคอ 1.5×8= 4×3
ดงนน 1.5:4 และ3:8 เปนอตราสวนทเทากน
ถา5:0.3และa:6เปนอตราสวนทเทากนแลวจงหาคาa
เนองจากอตราสวน5:0.3=a:6
เขยนแทนดวย 50.3
= a6
จะไดวา 5×6 = 0.3×a
a = 5×60.3
a = 100
นนคอ 5:0.3 = 100:6
ดงนนaมคาเทากบ100
1. จงตรวจสอบวาอตราสวนแตละขอตอไปนเทากนหรอไม
1) 7:8และ35:40 2) 12:4และ6:2
3) 3.5:1.5และ5:2 4) 8:9และ96:108
2. จงเตมเครองหมาย=หรอ≠ลงใน ทก�าหนดใหในแตละขอเพอใหประโยคเปนจรง
1) 8:4 12:6 2) 6:7 9:11
3) 1.5:2 3:4 4) 0.2:20 0.3:30
3. จงหาคาcในอตราสวนตอไปนทท�าใหอตราสวนทงสองเปนอตราสวนทเทากน
1) c:5 และ 18:30 2) 4:c และ 36:80
3) 12:6 และ 8:c 4) 7:12 และ c:30
5) 25:c และ 1:4 6) 7:c และ 63:108
7) 0.7:c และ 1:100 8) 0.4:600และ 2:c
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ข
ใชหลกการคณไขว59
2544
วธทำ�
ตวอยางท
1
มมความคด
ก�าหนดให ab
และ cd
เปนอตราสวนสองอตราสวน โดยท a, b, c และ d เปน
จ�านวนบวก
ถา a × d = c × b แลว ab
= cd
และถา a × d ≠ c × b แลว ab
≠ cd
13
จงเขยนอตราสวนของความยาวของดานตอไปน
1) ความกวางตอความยาว
ตอบ อตราสวนของความกวางตอความยาวเทากบ3 : 4
2) ความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม
ตอบ อตราสวนของความยาวตอความกวางตอความยาวเสนทแยงมม
เทากบ4 : 3 : 5
3) ความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป
ตอบ ความยาวเสนรอบรป เทากบ 2×(ความกวาง+ความยาว)
= 2×(3+4) เซนตเมตร
= 14 เซนตเมตร
ดงนน อตราสวนของความกวางตอความยาวตอความยาวเสนรอบรป
เทากบ3 : 4 : 14
ก�าหนดรปสเหลยมผนผาABCDโดยทABยาว4เซนตเมตรBCยาว3เซนตเมตร
และBDยาว5เซนตเมตร
ตวอยางท
1
D C
A B
5 ซม.
4 ซม.
3 ซม
.
ตอบ
12
2.3 อตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวน
พจารณาอตราสวนตอไปน
จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4:7
จากอตราสวนขางตนจะเหนวาจ�านวนปากกาเกยวของกบอตราสวนทงสอง
ถาตองการเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนยางลบตอจ�านวนปากกาตอจ�านวนดนสอ
จะตองท�าจ�านวนปากกาซงเปนตวรวมของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยทวไปจะท�าใหเทากบ
ค.ร.น.ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมของทงสองอตราสวนในทนคอค.ร.น.ของ4กบ5
โดยใชหลกการหาอตราสวนทเทากนดงน
จาก จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3:5
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน 4:7
ท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากน โดยหา ค.ร.น. ของ4 และ5
ไดเทากบ20
นนคอท�าจ�านวนปากกาของทงสองอตราสวนใหเทากบ20
จะได จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามเปน3×4:5×4=12:20
จ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทงเปน4×5:7×5=20:35
จ�านวนยางลบเปนกอนตอจ�านวนปากกาเปนดามตอจ�านวนดนสอเปนแทง
เปน12:20:35
มมความคด
เมอมอตราสวนสองอตราสวนใดๆ แสดงการเปรยบเทยบปรมาณของทมากกวาสอง
ชนดขนไป เราสามารถเขยนอตราสวนตอเนองของจ�านวนหลายๆ จ�านวนจากอตราสวน
ทงสอง ดงน
1) พจารณาจ�านวนทปรากฏในอตราสวนทละค เฉพาะในสวนทเปนตวรวม
2) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) เทากน ใหเขยนอตราสวนตอเนองไดเลย
3) ถาจ�านวนทเปนตวรวมในขอ 1) ไมเทากน ตองท�าใหตวรวมนนใหเทากนกอน
ซงโดยทวไปจะท�าใหเทากบ ค.ร.น. ของจ�านวนทเปนปรมาณของตวรวมทงสอง โดยใช
หลกการคณหรอหลกการหาร
15
1. ถาจ�านวนเงนรายไดเพอใชในการแขงขนกฬาสทนกเรยนสตางๆหาไดมดงน
จ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสเขยวเปน 7:8
จ�านวนเงนรายไดของสเขยวตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน7:8
จ�านวนเงนรายไดของสชมพตอจ�านวนเงนรายไดของสเหลองเปน3:4
จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนเงนรายไดของสฟาตอจ�านวนเงนรายไดของสชมพ
2. แดงด�าเขยวและขาวบ�าเพญประโยชนโดยการชวยกนเกบขวดน�าในสวนสาธารณะแหงหนง
ไดจ�านวนขวดน�าดงน
จ�านวนขวดน�าทแดงเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดเปน2:3
จ�านวนขวดน�าทด�าเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดเปน4:5
จ�านวนขวดน�าทเขยวเกบไดตอจ�านวนขวดน�าทขาวเกบไดเปน6:7
จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนขวดน�าทแดงด�าเขยวและขาวเกบได
3. สวนสตวแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนนกตอจ�านวนยราฟเปน11:2 อตราสวนของ
จ�านวนลงตอจ�านวนยราฟเปน31:3 และอตราสวนของจ�านวนยราฟตอจ�านวนเสอเปน
4:11จงเขยนอตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนนกตอจ�านวนสตวทงสชนด
4. ก�าหนดอตราสวนa:b=3:2,b:c=4:7และc:d=3:8จงเขยนอตราสวนของ
a:b:c:d
5. อตราสวนของอายของนอยตออายของนดเทากบ3:7 อตราสวนของอายของนดตออาย
ของหนอยเทากบ7:8จงเขยนอตราสวนของอายของนอยตออายของนดตออายของหนอย
2.4 สดสวน
พจารณาอตราสวน2:5และ6:15
จะเหนวา ผลการคณไขวของจ�านวนแรกกบจ�านวนหลงของ25และ 6
15คอ
2×15 = 30 และ 5×6 = 30
จะไดวา 25= 6
15
นนคอ 2:5 = 6:15
เรยกประโยคทแสดงการเทากนของอตราสวนสองอตราสวนวาสดสวน
1.
2.
3.
4.
5.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ค
14
รานขายไขแหงหนงขายไขไกไขเปดและไขนกกระทาโดยทอตราสวนของจ�านวนไขเปด
ตอจ�านวนไขไกเปน3:5อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3
จงเขยนอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทาของรานน
เนองจากอตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3:5
อตราสวนของจ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2:3
ค.ร.น.ของ5และ3เทากบ15
จะไดวา จ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกเปน3×3:5×3=9:15
จ�านวนไขนกกระทาตอจ�านวนไขไกเปน2×5:3×5=10:15
ดงนน อตราสวนของจ�านวนไขเปดตอจ�านวนไขไกตอจ�านวนไขนกกระทา
เทากบ 9 : 15 : 10
ก�าหนดใหATMเปนรปสามเหลยมดานไมเทาโดยมอตราสวนของความยาวดานดงน
AT:TM=3:4และTM:AM=10:8
จงเขยนอตราสวนของความยาวดานตอไปน
1) AT:TM:AM
2) ความยาวดานTMตอความยาวของเสนรอบรป
1) เนองจาก AT:TM = 3:4
TM:AM = 10:8
ค.ร.น.ของ4และ10เทากบ20
จะไดวา AT:TM = 3×5:4×5=15:20
TM:AM = 10×2:8×2=20:16
ดงนนอตราสวนของความยาวดานAT:TM:AMเทากบ15 : 20 : 16
2) ความยาวของเสนรอบรปเทากบ15+20+16=51สวน
ดงนนอตราสวนของความยาวดานTMตอความยาวเสนรอบรปเทากบ
20 : 51
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
วธทำ�
ตวอยางท
2
17
จงหาคาของmในสดสวน3:5=m:2.5
จาก 3:5 = m:2.5
จะได 35 = m
2.5
ดงนน 3×2.5 = 5×m
m = 3×2.55
=1.5
ดงนนคาของmคอ1.5
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน
พจารณาโจทยปญหาตอไปน
ปาชายเลนแหงหนงมอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปน5:7ถาม
ตนล�าพ63ตนจะมตนโกงกางกตน
จากอตราสวนของจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพทโจทยก�าหนดคอ5:7เปนการ
เปรยบเทยบจ�านวนตนไมทงสองชนดแตมจ�านวนตนล�าพ63ตน
ดงนนหากเราตองการทราบวาในความเปนจรงนนมตนโกงกางอยทงหมดกตนโดย
อาศยสดสวนอาจท�าไดดงน
สมมตใหมตนโกงกางxตน
จะไดอตราสวนจ�านวนตนโกงกางตอจ�านวนตนล�าพเปนx:63
จากอตราสวนทก�าหนดใหสามารถน�ามาเขยนเปนสดสวนไดดงน
5:7 = x:63หรอ 57= x
63
เมอหาคาของxในสดสวน57= x
63กจะทราบวาปาชายเลนแหงนมตนโกงกางกตน
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
การเขยนสดสวนของอตราสวนตางชนดกนนนพงระวงไววาถาจ�านวนแรกของดานซาย
บอกถงปรมาณของส�งใดจ�านวนแรกของดานขวากตองบอกถงปรมาณของส�งของชนดเดยวกน
เชน 57= x
63 5 เปนจ�านวนแรกของดานซายแสดงถงจ�านวนของตนโกงกางและ
x เปนจ�านวนแรกของดานขวาแสดงถงจ�านวนของตนโกงกาง
เชนเดยวกน
16
ในกรณทมตวแปรซงแทนจ�านวนทไมทราบคาในสดสวน เราสามารถหาจ�านวนทแทน
ตวแปรดงกลาวในสดสวนไดดงตวอยางตอไปน
จงหาคาของmในสดสวน 67= 30
m
วธท 1 หาอตราสวนทเทากนโดยใชหลกการคณ
จาก 67 = 6×5
7×5 = 30
35
และ 30m
= 3035
จะไดวา m = 35
ดงนน คาของmคอ35
วธท 2 อาศยผลการคณไขวและการแกสมการ
จาก 67 = 30
m
จะได 6×m = 7×30
m = 7×306
m = 35
ดงนน คาของmคอ35
จงหาคาของyในสดสวน 3y= 2
2
45
จาก 3y = 2
2
45
จะได 2× y = 3×2
45
2× y = 3× 145
y = 3×142×5
=4.2
ดงนนคาของyคอ4.2
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
19
ลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกวเปนแนวรว โดยปลกตนเขมสลบกบตนแกว
เปนอตราสวน5:2 เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95 ตน จงหาวา
ลงค�าปลกตนแกวทงหมดกตน
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอลงค�าปลกตนแกวกตน
2) สงทโจทยก�าหนดคอลงค�าวางแผนเพอปลกตนเขมกบตนแกว
เปนแนวรวโดยปลกตนเขมสลบกบตนแกวเปนอตราสวน5:2
เมอลงค�าปลกเสรจแลวปรากฏวามตนเขม95ตน
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
เมอลงค�าปลกตนเขม95ตน
ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน
เขยนสดสวนไดดงน
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหลงค�าปลกตนแกวทงหมดaตน
จะได a95 = 2
5
a = 25 ×95=38
นนคอลงค�าปลกตนแกวทงหมด38ตน
วธทำ�
ตวอยางท
4
จ�านวนตนแกว
จ�านวนตนเขม
a 2
95=
5
18
การแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวน ในทนเสนอแนวการแกปญหาโดยใชแนวคดของ
โพลยาซงม4ขนตอนดงน
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหา โดยพจารณา
1) สงทโจทยถาม
2) สงทโจทยก�าหนด
ขนท 2 วางแผนแกปญหา
ในกรณของการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนอาจวางแผนโดยเขยนสดสวน
แสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของสงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกนดงน
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไวเพอหาคาตวแปร
โดยใชความรเรองสดสวนและการแกสมการ
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
เปดโลกคณตศาสตร
จอรจโพลยา(GeorgePolya:ค.ศ.1887-1985)เปนผทพฒนาวธการแกปญหาโดยเขยนไว
ในหนงสอ“Howtosolveit”วาการแกโจทยปญหาม4ขนตอนคอท�าความเขาใจปญหาวางแผน
การแกปญหาด�าเนนการตามแผนและการตรวจสอบค�าตอบซงสามารถน�ามาประยกตใชในการแกโจทย
ปญหาทางคณตศาสตรได
จ�านวนทหนง(สงเดยวกน)
จ�านวนทสอง(สงเดยวกน)
=
21
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา
พนททงหมดเทากบ3+3+3+1=10สวน
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน10:3
จะได a540
= 103
a = 10×5403
=1,800
นนคอลงค�ามทดนทงหมด1,800ตารางวา
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาลงค�ามพนททงหมด1,800 ตารางวา แบงพนทเพอใชในการ
ท�านาเปนจ�านวน540ตารางวา
อตราสวนของพนททงหมดตอพนทในการท�านาเปน1,800:540
หรอ10:3ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนน ลงค�าทมดนทงหมด1,800ตารางวา
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหาเกยวกบสดสวนซงแสดงในตวอยางท4และ5
เมอนกเรยนฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดแตละขนตอนได
ดงตวอยางตอไปน
ก�าหนดใหFBIเปนรปสามเหลยมมอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเทากบ
7:5:3ถารปสามเหลยมนมความยาวเสนรอบรป60เซนตเมตรแลวจงหาวาดาน
BIยาวกเซนตเมตร
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
6
53
I
BF7
จากโจทยรปสามเหลยมFBIมความยาวรอบรป60เซนตเมตร
ใหดานBIยาวaเซนตเมตร
อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปนa:60
จากอตราสวนของความยาวดานFB:BI:IFเปน7:5:3
20
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาลงค�าปลกตนเขม95ตนและปลกตนแกว38ตน
อตราสวนเปรยบเทยบจ�านวนตนเขมตอจ�านวนตนแกว
เปน95:38หรอ5:2ซงเปนไปตามทโจทยก�าหนด
ดงนน ลงค�าปลกตนแกวทงหมด 38 ตน
โครงการเกษตรทฤษฎใหมตามแนวพระราชด�ารของพระบาทสมเดจพระเจาอยหว
จะจดสรรทท�ากนใหเหมาะสมโดยแบงพนทในการท�านาตอพนทปลกพชสวนและพชไร
ตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอนและถนนเปน3:3:3:1ถาลงค�า
ใชพนทในการท�านา540ตารางวาจงหาวาลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอลงค�ามทดนทงหมดกตารางวา
2) สงทโจทยก�าหนดคออตราสวนของพนทในการท�านาตอพนทปลก
พชสวนและพชไรตอพนทสรางบอกกเกบน�าตอพนทสรางบานเรอน
และถนนเปน3:3:3:1
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
ถาพนทในการท�านาของลงค�าเปน540ตารางวา
ใหลงค�ามทดนทงหมดเทากบaตารางวา
เขยนสดสวนไดดงน
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
5
พนททงหมด
พนททใชในการท�านา
a 3+3+3+1
540=
3
23
ตอบ
พจารณาแผนผงทก�าหนดให
วธทำ�
ตวอยางท
8
ถาแผนผงนเขยนโดยใชมาตราสวน1:12,000จงหาวาเมอเดนทางจากบาน
ไปสถานต�ารวจตามแนวเสนประเปนระยะทางประมาณกกโลเมตร
มาตราสวน1:12,000เปนอตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรง
หมายความวา ถาระยะทางในแผนผงยาว1 เซนตเมตร ระยะทางจรงยาว
12,000เซนตเมตร
วดระยะทางในแผนผงจากบานถงสถานต�ารวจตามแนวเสนประยาวประมาณ
12.3เซนตเมตร
ใหระยะทางจรงจากบานถงสถานต�ารวจเทากบxเซนตเมตร
อตราสวนของระยะทางในแผนผงตอระยะทางจรงเปน12.3:x
เขยนสดสวนไดดงน
12.3x = 1
12,000
x = 12.3×12,000=147,600เซนตเมตร
เนองจาก 100 เซนตเมตร เทากบ 1 เมตร
จะได 147,600 เซนตเมตร เทากบ 147,600100
= 1,476เมตร
เนองจาก 1,000เมตร เทากบ1กโลเมตร
จะได 1,476เมตร เทากบ 1,4761,000
= 1.476กโลเมตร
ดงนนบานอยหางจากสถานต�ารวจประมาณ1.5กโลเมตร
(ตอบเปนทศนยม 1 ต�ำแหนง)
สถาน�ตำรวจโรงเรยน โรงพยาบาล
วด
บาน
22
จะไดผลบวกของสามสวนเทากบ7+5+3=15สวน
อตราสวนของความยาวดานBIตอความยาวรอบรปเปน5:15
เขยนสดสวนไดดงน
a60
= 515
a = 5×6015
=20
ดงนน ดานBIยาว20เซนตเมตร
น�าแตงโมมสวนผสมของเนอแตงโม น�าเชอม และน�าเปลาตมสก โดยมน�าหนกดงน
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน10:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1:10
อยากทราบวาถาใชน�าเชอม45กรมจะไดน�าแตงโมกกรม
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมเปน 10:3
อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน 1:10
ค.ร.น.ของ1และ3เทากบ3
จะได อตราสวนของน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน1×3:10×3=3:30
อตราสวนของเนอแตงโมตอน�าเชอมตอน�าเปลาตมสกเปน10:3:30
จากอตราสวนจะไดน�าแตงโมทงหมด10+3+30=43สวน
ถาใชน�าเชอม45กรมใหไดน�าแตงโมทงหมดaกรม
เขยนสดสวนไดดงน
a45
= 433
a = 43×453
=645
นนคอ จะไดน�าแตงโม 645 กรม
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
7
25
3. อตราสวนและรอยละ
3.1 อตราสวนและรอยละ
พจารณาขอความตอไปน
ประเภทเงนฝาก ดอกเบยรอยละ
ออมทรพย 0.75
ฝากประจ�า 3เดอน 1
ฝากประจ�า 6เดอน 1
ฝากประจ�า 12เดอน 1
ฝากประจ�า 24เดอน 1.15
อตราสวนของดอกเบยเงนฝากตอจ�านวนเงนฝากเปน1:100
พจารณาแผนปายตอไปน
ÊÓËÃѺÊÁÒªÔ¡ÃѺÊèǹŴ 15%
BOOK
จากตาราง เงนฝากประเภทฝาก
ประจ�า12 เดอน ไดรบดอกเบยรอยละ1
หมายความวาเมอฝากเงนจ�านวน100บาท
ครบ1ปจะไดรบดอกเบย1บาทเขยน
เปนอตราสวนไดดงน
จากแผนปายสวนลดราคาสนคาระบวา ส�าหรบ
สมาชกรบสวนลด15%หมายความวาเดมราคา100บาท
แตลดราคาให15บาทเขยนเปนอตราสวนไดดงนอตราสวน
ของจ�านวนเงนทลดตอราคาเดมเปน15:100
เรยกการเปรยบเทยบจ�านวนใดจ�านวนหนงกบ100วารอยละหรอเปอรเซนต
เชน 1 : 100 หรอ 1100
แทนดวย รอยละ 1หรอ 1%
15 : 100 หรอ 15100
แทนดวย รอยละ15หรอ 15%
เราสามารถเขยนรŒอยÅÐ a Ëร×อ a% ãนรÙ»อตราสวนä´Œเ»šน a : 100 Ëร×อ a100
การเขยนอตราสวนใดๆ ใหอยในรปรอยละ จะตองเขยนอตราสวนนนใหอยในรปทม
จ�านวนหลงของอตราสวนเปน100โดยใชหลกการคณหรอหลกการหารแลวจะไดจ�านวนแรกของ
อตราสวนเปนคาของรอยละทตองการเชน
7:20 = 35:100 กลาวไดวา 7 เปนรอยละ 35 ของ 20
4:25 = 16:100 กลาวไดวา 4 เปนรอยละ 16 ของ 25
8:200 = 4:100 กลาวไดวา 8 เปนรอยละ 4 ของ 200
10:500 = 2:100 กลาวไดวา10 เปนรอยละ 2 ของ 500
24
1. จงหาคาตวแปรในสดสวนของแตละขอตอไปน
1) 7x = 21
33 2) 6
7 = 30
m 3) 12
y = 278
4) a2.5
= 415
5) 4.8y = 6
8 6) 4.5
7 = n
28
2. เครองจกรเครองหนงผลตอปกรณคอมพวเตอรได190ชนในเวลา2ชวโมงถาเครองจกรน
ผลตอปกรณคอมพวเตอรได2,500ชนตองใชเวลากชวโมง
3. โรงเรยนแหงหนงเสยคาน�าประปาตอคาไฟฟาในเดอนมกราคม2553เปนอตราสวน2:7
ถาในเดอนนโรงเรยนเสยคาไฟฟาเปนเงน 350,000 บาท จงหาวาโรงเรยนแหงนเสยคา
น�าประปาเปนเงนกบาท
4. กลองใบหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวตอความกวางเปน1:3:2ถากลองใบน
กวาง10เซนตเมตรกลองใบนมความจกลกบาศกเซนตเมตร
5. ก�าหนดมาตราสวน1:2,000จงหาระยะทางจรงเปนเมตรถาระยะทางทวดในแผนผงเทากบ
9เซนตเมตร
6. อตราสวนอายของชตตออายของโชคเปน3:4และอตราสวนอายของโชคตออายของชย
เปน4:5ถาชยอาย35ปแลวชตอายกป
7. รปสามเหลยมIMFมอตราสวนของIM:MFเปน4:5และFI:IMเปน9:12ถาเสน
รอบรปของรปสามเหลยมนยาว60เซนตเมตรจงหาความยาวแตละดานของรปสามเหลยมน
8. อตราสวนจ�านวนเงนของก:ข เปน3:5และอตราสวนจ�านวนเงนของข:ค เปน
2:3ถากมเงน150บาทจงหาวากมเงนตางจากคกบาท
9. ก�าหนดABCDเปนรปสเหลยมทมอตราสวนความยาวของดานดงน
AB :BC=4:3,BC:CD=2:3และCD:DA=3:1
ถาดาน CD ยาว4.5 เซนตเมตร แลวความยาวเสนรอบรปของรปสเหลยมรปนเทากบ
กเซนตเมตร
10. กลองทรงสเหลยมมมฉากใบหนงมอตราสวนของความกวางตอความยาวเปน2 :3
อตราสวนของความยาวตอความสงเปน4:5ถากลองใบนยาว24 เซนตเมตรแลวจะม
ความจกลกบาศกเซนตเมตร
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.2 ง
27
2) 8:7 = 8×1007×100
= 800700
=
8007100
≈ 114.29100
≈ 114.29%หรอรอยละ114.29
ดงนน8:7เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 114.29
จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 5% 2) 12%
3) 512% 4) 5.75%
1) 5% = 5100
= 120
ดงนน5%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 1 20
2) 12% = 12100
หรอ 325
ดงนน12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 3 25
3) 5
12% = 11
2 % =
112100
หรอ 11200
ดงนน5
12%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 11
200
4) 5.75%= 5.75100
= 57510000
หรอ 23400
ดงนน5.75%เขยนในรปอตราสวนไดเปน 23 400
ตอบ
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
26
จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 9:20 2) 34
1) 9:20 = 9×5:20×5
= 45:100
= 45%หรอรอยละ45
ดงนน9:20เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 45
2) 34 = 3×25
4×25
= 75100
= 75%หรอรอยละ75
ดงนน 34เขยนใหอยในรปรอยละไดเปนรอยละ 75
จงเขยนอตราสวนตอไปนใหอยในรปรอยละ(ประมาณเปนทศนยมสองต�าแหนง)
1) 23
2) 8:7
1) 23 = 2×100
3×100
= 200300
=
2003100
≈ 66.67100
≈ 66.67%หรอรอยละ66.67
ดงนน 23เขยนในรปรอยละไดประมาณรอยละ 66.67
วธทำ�
ตวอยางท
1
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
29
โจทยปญหาเกยวกบก�าไรและขาดทน
จกซอสนคาชนดหนงราคา80 บาท แลวขายตอในราคา100 บาท จงหาวาจกขาย
สนคานไดก�าไรรอยละเทาไร
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอขายสนคานไดก�าไรรอยละเทาไร
2) สงทโจทยก�าหนดคอราคาทนของสนคาเปนเงน80บาทขาย
ไปราคา100บาท
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
ใหการขายสนคาไดก�าไรเปนรอยละa
วธทำ�
ตวอยางท
1
ก�าไร
ราคาทน
a100
=100-80
80
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
ใหขายสนคานไดก�าไรรอยละa
อตราสวนก�าไรตอราคาทนเปนa:100
ขายสนคานไดก�าไรเปนเงน100-80=20บาท
อตราสวนของก�าไรตอราคาทนเปน20:80
จะได a100
= 2080
a = 20×10080
a = 25
นนคอขายสนคาไดก�าไรรอยละ25
28
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.3
1. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 2 :5 2) 15:10 3) 1:500
4) 825
5) 18200
6) 5500
2. จงเขยนอตราสวนในแตละขอตอไปนใหอยในรปรอยละ
1) 5:3 2) 7:12 3) 3:11
4) 58 5) 5
9 6) 15
7
3. จงเขยนรอยละในแตละขอตอไปนใหอยในรปอตราสวน
1) 300% 2) 2
38% 3) 250%
4) 2
34% 5) 17% 6) 12.8%
7) 23% 8) 0.25% 9) 32.5%
4. การแกโจทยปญหารอยละ
ใหนกเรยนพจารณาโจทยปญหาตอไปน
บรษทขายเครองส�าอางแหงหนงด�าเนนการขายโดยวธขายตรง ถาบรษทขายสนคา
ชนดหนงใหกบพนกงานขายราคาชนละ80บาทและพนกงานขายขายตอใหลกคาราคาชนละ
100บาทถาพนกงานขายคนนบอกวาขายไดก�าไรรอยละ20นกเรยนคดวาค�าพดนถกหรอไม
อยางไร
พนกงานขายซอเครองส�าอางชนนราคา80บาท
และขายตอราคา100บาทจะไดก�าไร100-80=20บาท
แสดงวาขายไดก�าไร20บาทจากราคาทน80บาทจงไมใชก�าไรรอยละ20ค�าพด
ดงกลาวจงไมถกตอง
การค�านวณวาไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไรตองคดจากทน100บาทเสมอขอให
นกเรยนศกษาจากบทเรยนตอไปน
1.
2.
3.
4.
31
ขนท 3 ด�าเนนการตามแผนทวางไว
วธท 1
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ขายเครองคดเลข80เครองไดเงน28,600บาท
จะไดวาขายเครองคดเลขเครองละ 28,60080
=357.50บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปนa:357.50
เมอขายไดก�าไร10%
หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเครองคดเลขเปน
100:110
จะได a357.50
= 100110
a = 100×357.50110
a = 325
นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท
วธท 2
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ราคาตนทนทงหมดของเครองคดเลข80เครองเทากบ80aบาท
อตราสวนราคาตนทนทงหมดตอราคาขายทงหมดเปน80a:28,600
เมอขายไดก�าไร10%หมายความวาราคาตนทน100บาทไดก�าไร
10บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
จะได 80a28,600
= 100110
a = 100×28,600110×80
a = 325
นนคอเครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ325บาท
30
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาการขายครงนไดก�าไร25%
จะไดก�าไรคดเปนเงน 25100
×80=20บาท
เงนจ�านวนนเทากบเงนก�าไรซงค�านวณจาก100-80=20บาท
ตามทโจทยก�าหนด
ดงนน จกขายสนคาไดก�าไรรอยละ 25
อมพรขายเครองคดเลข80เครองเปนเงน28,600บาทไดก�าไร10%จงหาวา
เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละกบาท
ขนท 1 ท�าความเขาใจโจทยปญหาโดยพจารณา
1) สงทโจทยถามคอราคาตนทนของเครองคดเลขแตละเครอง
2) สงทโจทยก�าหนด คอ ขายเครองคดเลข80 เครอง เปนเงน
28,600บาทไดก�าไร10%
ขนท 2 วางแผนแกปญหาโดยเขยนสดสวนแสดงอตราสวนโดยใหล�าดบของ
สงทเปรยบเทยบในแตละอตราสวนเปนล�าดบเดยวกน
การขายครงนไดก�าไร10%
ใหเครองคดเลขมราคาตนทนเครองละaบาท
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
2
ราคาตนทน(ตอเครอง)
ราคาขาย(ตอเครอง)
a28,60080
100110
=
วธท 1
ราคาตนทนทงหมด
ราคาขายทงหมด
100110
80a28,600
=
วธท 2
33
ตอบ
ตอบ
ใหขายวทยราคาเครองละyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน5,000:y
จะได 5,000y
= 100110
y = 5,000×110100
y = 5,500
ดงนนจะตองขายวทยราคาเครองละ5,500บาทจงจะไดก�าไร10%
โจทยปญหาเกยวกบการลดราคา
สภกษรซอวทยเครองหนงไดสวนลด15% ของราคาทปดไว ซงคดเปนเงนสวนลด
ทงหมด600บาทจงหาราคาทปดไว
ใหปดราคาวทยเปนเงน a บาท
ไดรบสวนลดทงหมด 600 บาท
อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปนa:600
ไดรบสวนลด15%ของราคาทปดไว
หมายความวา ปดราคาวทยไว100บาทจะไดรบสวนลด15บาท
อตราสวนของราคาทปดไวตอเงนสวนลดเปน100:15
จะได a600
= 10015
a = 100×60015
a = 4,000
นนคอปดราคาวทยไว4,000บาท
วธทำ�
ตวอยางท
4
32
ขนท 4 ตรวจสอบค�าตอบ
ถาราคาตนทนเครองละ325บาทและขายในราคาเครองละ357.50บาท
จะไดก�าไรเปนเงน357.50-325=32.50บาท
คดเปนก�าไรรอยละ32.50×100325
=10ตามทโจทยก�าหนด
ดงนน เครองคดเลขนตนทนราคาเครองละ 325บาท
จากล�าดบขนตอนการแกโจทยปญหารอยละซงแสดงในตวอยางท1และ2เมอนกเรยน
ฝกจนช�านาญแลว อาจแสดงวธท�าโดยไมตองแสดงรายละเอยดของแตละขนตอนได ดงตวอยาง
ตอไปน
ขายวทยเครองหนงราคา4,500บาทขาดทน10%ถาตองการขายใหไดก�าไร10%
จะตองขายวทยเครองนราคาเครองละกบาท
ใหวทยเครองนมราคาตนทนเครองละaบาท
ขายราคาเครองละ4,500บาท
อตราสวนราคาตนทนตอราคาขายวทยเปนa:4,500
แตขายขาดทน10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทขาดทน10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:90
จะได a4,500
= 10090
a = 100×4,50090
a = 5,000
นนคอ วทยเครองนมราคาตนทนเครองละ5,000บาท
ตองการใหไดก�าไร10%
หมายความวา ราคาตนทนเปน100บาทไดก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายวทยเปน100:110
ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
3
35
ตอบ
โจทยเกยวกบภาษมลคาเพม
รานคาแหงหนงก�าหนดราคาขายสนคาโดยคดจากราคาทตงไวบวกกบภาษมลคาเพม
7%ของราคาทตงไวถาราคาทตงไวของสนคาชนดหนงเปนเงน2,400บาทจะตอง
ก�าหนดราคาขายสนคานกบาท
ก�าหนดใหราคาขายสนคานเทากบaบาท
ตงราคาไว2,400บาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปนa:2,400
เนองจากคดภาษมลคาเพม7%ของราคาทตงไว
หมายความวาอตราสวนของภาษมลคาเพมตอราคาทตงไวเปน7:100
จะได อตราสวนของราคาขายตอราคาทตงไวเปน107:100
จะได a2,400
= 107100
a = 107×2,400100
a = 2,568
ดงนนรานคาแหงนจะตองก�าหนดราคาขายสนคาน2,568บาท
วธทำ�
ตวอยางท
6
คณตคดสนก
หางสรรพสนคาแหงหนงซอโทรศพทมอถอในราคาเครองละ3,000บาทและตดราคาขายเครองละ6,000บาทแต
เนองจากสภาพเศรษฐกจไมดจงลดราคาเหลอ4,800บาทและลดราคาอกครงเหลอ3,840บาทแตยงขายไมไดจงลด
ราคาอกครงจงหาวาการลดราคาครงนจะยงคงไดก�าไรหรอขาดทนหรอเทาทนถาการลดราคาครงนมจ�านวนเปอรเซนต
ทลดราคาเทากบจ�านวนเปอรเซนตของการลดราคาของสองครงทผานมา
34
รานคาแหงหนงปดราคาขายสนคาชนดหนงในราคา2,000บาทถาลดราคา5%จะท�าให
ไดก�าไร10%จงหาราคาทนของสนคาน
ใหขายสนคานราคาaบาท
อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปนa:2,000
ขายสนคานโดยลดราคา5%
อตราสวนของราคาขายตอราคาทปดไวของสนคานเปน95:100
จะได a2,000
= 95100
a = 95×2,000100
a = 1,900
นนคอ ขายสนคานราคา1,900บาท
ใหราคาตนทนของสนคานเทากบyบาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปนy:1,900
การขายครงนไดก�าไร10%
หมายความวาราคาตนทนเปน100บาทก�าไร10บาท
อตราสวนของราคาตนทนตอราคาขายเปน100:110
จะได y 1,900
= 100110
y = 100×1,900110
y ≈ 1,727.27
ดงนน ราคาตนทนของสนคานประมาณ1,727.27บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
5
37
เจฝากเงนทธนาคารแหงหนงเปนเงน50,000บาทธนาคารคดอตราดอกเบยใหรอยละ
1.75ตอปและตองเสยภาษดอกเบย15%ถาเจฝากครบ2ปแลวตองการถอนเงน
ทงหมดเขาจะไดรบเงนเทาไร
วางแผนแกปญหาโดยเขยนแผนผงแสดงแนวคดไดดงน
ให เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยaบาทและเสยภาษดอกเบยbบาท
เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยcบาทและเสยภาษดอกเบยdบาท
วธทำ�
ตวอยางท
8
เงนตนปท1
เงนตนปท2
ดอกเบยปท1
ดอกเบยปท2
ภาษดอกเบยปท1
ภาษดอกเบยปท2
ดอกเบยปท1หลงหกภาษ
ดอกเบยปท2หลงหกภาษ
เงนทไดรบทงหมดเมอครบ2ป
50,000บาท
50,000+743.75=50,743.75
888.02-133.20=754.82
50,743.75+754.82=51,498.57
=
=
=
=
875-131.25=743.75
a=875
c ≈888.02
b=131.25
d ≈133.20
a50,000
c50,743.75
b875
d888.02
1.75100
1.75100
15100
15100
36
รานคาแหงหนงซอสนคามาในราคา2,000บาทตองการขายใหไดก�าไร10%รานคา
จงก�าหนดราคาขายโดยคดภาษมลคาเพมอก7%ของราคาขายทไดก�าไร10%จะตอง
ก�าหนดราคาขายสนคานกบาทจงจะไดก�าไรตามทตองการ
ใหราคาทยงไมรวมภาษเปนxบาทและสนคามราคาทน2,000บาท
ตองการขายใหไดก�าไร10%ของราคาทน
จะได x 2,000
= 110100
x = 110×2,000100
x = 2,200
นนคอ ราคาทยงไมรวมภาษเทากบ2,200บาท
ใหราคาขายทรวมภาษแลวเปนyบาทเมอคดภาษมลคาเพมอก7%
จะได y 2,200
= 107100
y = 107×2,200100
y = 2,354
ดงนน ถาตองการก�าไร10%ตองก�าหนดราคาขายสนคาน
เทากบ2,354บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
7
เปดโลกคณตศาสตร
เมอฝากเงนไวกบธนาคารธนาคารจะใหดอกเบยโดยก�าหนดอตราดอกเบย เปนรอยละตอปแตอาจ
ก�าหนดวาระทครบก�าหนดเปน3,6,12เดอนหรอมากกวาการคดดอกเบยทถกตองจะตองคดปละ365วน
(ทงนไมวาปปฏทนทฝากนนจะม365หรอ366วนกตาม)ในกรณฝากเงนเปนเวลา3หรอ6 เดอนใหใช
จ�านวนวนใน3เดอนหรอ6เดอนมาค�านวณเชนการคดดอกเบยของเงนฝาก4,000บาทในระยะเวลา3เดอน
(91วน)อตราดอกเบยรอยละ0.75ตอปค�านวณดอกเบยไดดงน
ดอกเบยทไดรบเปนเงน ≈7.48บาท
ทมา:การค�านวณดอกเบยฝากประจ�า3เดอนโดยไมหกภาษดอกเบยของธนาคารไทยพาณชยณวนท23สงหาคม2553
4,000บาท×91วน×0.75365วน×100
39
จะไดวาปท2เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงนประมาณ133.20บาท
นนคอ เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงนประมาณ
888.02-133.20=754.82บาท
ดงนน เมอเจฝากเงนครบ2ปเจจะไดรบเงนทงหมดประมาณ
50,743.75+754.82=51,498.57บาท
การค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดา
ภาษเปนรายไดส�าคญอยางหนงของรฐทน�ามาใชในการพฒนาประเทศและใหบรการ
ตางๆแกประชาชนภาษทรฐเกบจากประชาชนมหลายประเภทเชนภาษมลคาเพมภาษสรรพสามต
ภาษศลกากรภาษเงนได เปนตนซงผมรายไดตามทกฎหมายก�าหนดจะตองเสยภาษเงนไดตาม
หนาทของพลเมองทดหลกการค�านวณภาษเงนไดบคคลธรรมดาในปหนงๆ(มกราคม-ธนวาคม
ของปเดยวกน)เปนดงน
1) ค�านวณเงนไดสวนทตองน�ามาประเมน เพอเสยภาษตามทกฎหมายก�าหนดทงน
เรยกเงนจ�านวนนวา“เงนไดพงประเมน”
2) หกคาใชจายจากเงนไดพงประเมนตามทกฎหมายก�าหนด
3) หกคาลดหยอนจากเงนไดพงประเมนทหกคาใชจายแลวเรยกเงนจ�านวนนวา
“เงนไดสทธ” ซงตองน�ามาค�านวณภาษทตองเสยใหแกรฐตามอตราทก�าหนดไวในกฎหมาย
พ.ศ.2557-2558ดงตอไปน
ตารางอตราภาษเงนไดบคคลธรรมดา
เงนไดสทธ (บาท)เงนไดสทธ
(จ�านวนสงสดของขน)
อตราภาษ
รอยละ
ภาษในแตละ
ขนเงนได
ภาษสะสมสงสด
ของขน
1-150,000 150,000 ยกเวน 0 0
150,001-300,000 150,000 5 7,500 7,500
300,001-500,000 200,000 10 20,000 27,500
500,001-750,000 250,000 15 37,500 65,000
750,001-1,000,000 250,000 20 50,000 115,000
1,000,001-2,000,000 1,000,000 25 250,000 365,000
2,000,001-4,000,000 2,000,000 30 600,000 965,000
4,000,001ขนไป 35
ตอบ
38
ด�าเนนการตามแผนทวางไวดงน
ใหเมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนaบาท
จะได a50,000
= 1.75100
a = 1.75×50,000100
a = 875
จะไดวา เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงน 875 บาท
ใหปท1เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงน b บาท
จะได b875
= 15100
b = 15×875100
b = 131.25
จะไดวาปท1เจตองเสยภาษดอกเบยเปนเงน131.25บาท
นนคอ เมอครบ1ปเจไดรบดอกเบยหลงหกภาษเปนเงน
875-131.25=743.75บาท
ใหเมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยเปนเงนcบาท
เงนตนปท2เทากบ50,000+743.75=50,743.75บาท
จะได c 50,743.75
= 1.75100
c = 1.75×50,743.75100
c ≈ 888.02
จะไดวา เมอครบ2ปเจไดรบดอกเบยทงหมดเปนเงนประมาณ
888.02บาท
ใหปท2เจตองเสยภาษดอกเบยดวยอตรา15%เปนเงนdบาท
จะได d 888.02
= 15100
d = 15×888.02100
d ≈ 133.20
41
1. หางสรรพสนคาแหงหนงประกาศลดราคาสนคาทกชนด15% ถาวนยไดรบสวนลดเมอซอ
พดลมคดเปนเงน450บาทจงหาวาหางสรรพสนคานตดราคาขายพดลมเครองนกบาท
2. ในพ.ศ.2550บรษทแหงหนงไดรบผลก�าไรนอยกวาพ.ศ.2551อย12%ถาในพ.ศ.2551
ไดรบผลก�าไร23,000,000บาทจงหาวาพ.ศ.2550บรษทแหงนไดรบผลก�าไรกบาท
3. ซอไขมารอยละ210บาทขายหมดไปฟองละ3บาทจะไดก�าไรกเปอรเซนต
4. แมคาซอสบปะรดมาจากไร280ผลราคาผลละ5บาทเสยคารถบรรทก400บาทปรากฏวา
กอนจะขายหมดมสบปะรดเสยคดเปน15%ของทงหมดสวนทขายไดขายผลละ10บาท
จงหาวาขายสบปะรดทดไปทงหมดไดก�าไรหรอขาดทนรอยละเทาไร
5. พอคาขายสนคาชนดหนงราคา3,800บาทปรากฏวาขาดทน5%ถาพอคาตองการก�าไร
10%เขาตองขายสนคานราคากบาท
6. พอคาปดราคาขายตเยนหลงหนงเปนเงน7,800บาทโดยคดก�าไร30%ถาพอคาลดราคาให
10%ของราคาทปดไวเขาจะยงคงไดก�าไรกเปอรเซนต
7. มน�าเกลอ10% โดยน�าหนก จ�านวน3,000 กรม จะตองเตมน�าอกกกรม จงจะท�าใหได
น�าเกลอ6%
8. พอคาปดราคาสนคาชนดหนงไวสงกวาตนทน20%แตถาลดราคาขายลง35บาทพอคาจะ
ไดก�าไรเพยง10%ราคาตนทนของสนคานกบาท
9. แมคาปดราคาสนคาชนดหนงสงกวาตนทน25%แตตอมาลดใหผซอ120บาทซงขาดทน
5%ถาตองการก�าไร10%จะตองขายสนคานกบาท
10. ตนทนโทรศพทมอถอราคาเครองละ6,000บาทจะตองปดราคาขายโทรศพทมอถอเครองน
ในราคาเครองละกบาทเมอลดใหผซอ20%แลวยงคงไดก�าไร30%
11. ในการปดราคาขายสนคาของรานคาแหงหนง ราคาทปดไวจะเปนราคาทไดจากราคาสนคา
ทตงไวรวมกบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวถาตงราคาไว450บาท
จะตองปดราคาขายสนคานนกบาท
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
แบบตรวจสอบความเขาใจท 1.4
40
ดนยมเงนไดสทธ324,500บาทถกหกภาษณทจาย10,000บาทจงหาวาเมอครบป
ทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดดนยจะตองช�าระภาษเพมหรอรบเงนภาษทช�าระ
ไวเกนคนเปนจ�านวนกบาท
เงนไดสทธ150,000บาทแรกไดรบการยกเวนภาษ
เงนไดสทธ150,000บาทถง300,000บาทเสยภาษ5%
แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ5%
เปนเงน300,000-150,000=150,000บาท
คดเปนเงนภาษ 5100
×150,000=7,500บาท
เงนไดสทธ300,000บาทถง324,500บาทเสยภาษ10%
แสดงวา เงนไดสทธทตองเสยภาษ10%
เปนเงน 324,500-300,000=24,500บาท
คดเปนเงนภาษ 10100
×24,500=2,450บาท
จะไดวา เงนภาษทตองช�าระมคาเทากบ7,500+2,450=9,950บาท
เนองจากดนยถกหกภาษณทจายเปนเงน10,000บาท
ดนยจะตองรบเงนภาษทช�าระภาษไวเกนคน
10,000-9,950=50บาท
ดงนน ดนยจะไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคน50บาท ตอบ
วธทำ�
ตวอยางท
9
43
เสรมทกษะเชงเทคโนโลย
สขภาพครอบครวของฉน
จากรายงานทางการแพทยพบวา ความอวนเปนสาเหตของโรคหลายชนด เชน
ขอกระดกเสอม ปวดเขา ระบบหายใจขดของ ไขมนในเลอดสง ความดนโลหตสง มะเรง
เปนตนดงนนถาเราทราบวาสมาชกของครอบครวเรามรางกายทอวนหรอน�าหนกมากเกน
ไป จะท�าใหมความเสยงสงตอการเปนโรคตางๆ จะไดหาทางปองกน ซงนกเรยนสามารถ
ตรวจสอบสขภาพเบองตนของตวเองและสมาชกในครอบครวดวยวธงายๆ โดยปฏบตตาม
ขนตอนตอไปน
1) หาดชนบงชเพอประเมนความอวนโดยใชอตราสวนดงน
ดชนมวลกาย= น�าหนกเปนกโลกรมสวนสงเปนเมตร2
2) น�าคาดชนมวลกายทค�านวณไดในขอ1)เทยบกบตารางดานลาง
ตวอยางเชน ครวนดหนก52กโลกรมสง159เซนตเมตรหรอ1.59เมตร
ดชนมวลกาย= 52(1.59)2
= 522.5281
≈20.5688
จะไดวา ดชนมวลกายของครวนดประมาณ20.57
เมอเทยบดชนมวลกายในตารางครวนดมน�าหนกพอเหมาะความเสยงตอการ
เปนโรคอยในเกณฑปกตถงต�า
(มควำมสำมำรถในกำรสอสำร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ ทำงคณตศำสตรกบศำสตรอนๆ)
ดชน�มวลกาย สภาวะความอวน ความเสยงตอการเปนโรค
ต�ากวา18.5 น�าหนกนอยหรอผอม ปานกลาง-สง
18.5-24.9 น�าหนกพอเหมาะ ปกต-ต�า
25.0-29.9 น�าหนกมากเกนไป เพมขนจากปกต
30.0-34.9 อวน ปานกลาง
มากกวา35.0 อวนมาก รนแรง-รนแรงมาก
42
12. ถาตนทนของสนคาชนหนงเปนเงน250บาทตองการขายสนคานใหไดก�าไร20%จะตอง
ตงราคาสนคาไวกบาท และเมอจะปดราคาขายสนคา ซงไดจากราคาสนคาทตงไวรวมกบ
ภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคาทตงไวจะตองปดราคาขายไวกบาท
13. ผผลตสนคาปดราคาขายสนคาชนหนงเปนเงน1,926บาทซงราคาทปดนเปนราคาทรวม
กบภาษมลคาเพมทคดจาก7%ของราคาสนคานนเมอกงซอสนคานในราคาทปดไวเงน
จ�านวนนคดเปนราคาสนคานนกบาทและเปนภาษมลคาเพมกบาทถาตนทนการผลตสนคา
ชนนเปนเงน1,406.25บาทผผลตไดก�าไรกเปอรเซนต
14. อารมฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง96,000บาทเปนเวลา1ปอตราดอกเบยรอยละ1.75
ตอปและตองเสยภาษดอกเบยเงนฝากรอยละ15เมอฝากครบ1ปอารมจะไดรบดอกเบย
กบาท
15. กานดาฝากเงนไวกบธนาคารแหงหนง100,000บาทอตราดอกเบยรอยละ1.75ตอปเมอ
ฝากครบ1ปอตราดอกเบยลดลงเหลอรอยละ1.25ตอปถกหกภาษดอกเบยรอยละ15
เมอฝากครบ2ปกานดาจะมเงนในบญชกบาท
16. นายทองดท�างานในบรษทแหงหนง มเงนไดสทธ344,250 บาท เมอครบปทจะตองยน
แบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท
17. นายทองกอนเปนผจดการบรษทแหงหนงมเงนไดสทธ825,520บาทเมอครบปทจะตอง
ยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดเขาจะตองช�าระภาษเงนไดกบาท
18. นางทองมวนท�างานทธนาคารแหงหนงมเงนไดสทธ580,000บาทถกหกภาษณทจาย
3,000 บาท จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระ
ภาษเพมหรอไดรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
19. นายทองใบเปนขาราชการมเงนไดสทธ588,280บาทถกหกภาษณทจาย5,000บาท
จงหาวาเมอครบปทตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได เขาจะตองช�าระภาษเพมเตม
หรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
20. นางทองค�า มเงนไดสทธ1,000,000 บาท ทกสนเดอนเขาจะตองถกหกภาษ ณ ทจาย
เดอนละ2,000บาทเมอครบปเขาตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนไดจงหาวาเขาจะตอง
ช�าระภาษเพมเตมหรอรบเงนภาษทช�าระไวเกนคนกบาท
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
45
กจกรรมเสรมทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร
(มควำมสำมำรถในกำรใหเหตผล กำรสอควำมหมำยทำงคณตศำสตร กำรเชอมโยงควำมรตำงๆ
ทำงคณตศำสตร)
อตราสวนทอง
ประมาณ2,000 ป ทผานมา สถาปนกและศลปนไดคนพบรปสเหลยมผนผาทอง
ซงเมอค�านวณอตราสวนระหวางความยาวกบความกวางจะเปน1.618033:1(1.618033
เปนคาประมาณ) เชน บตรประจ�าตวประชาชน มความยาว8.6 เซนตเมตร ความกวาง
5.4เซนตเมตรมอตราสวนความยาวตอความกวางเปน1.592:1(1.592เปนคาประมาณ)
ซงเปนจ�านวนทใกลเคยงกบอตราสวนทอง ถาใชคาประมาณโดยการปดเศษเปนทศนยม
1ต�าแหนงจะได1.6:1
กจกรรม
ใหนกเรยนส�ารวจหรอสบคนขอมลเกยวกบสถาปตยกรรมทมชอเสยงในทองถน
ของนกเรยนเชนศาลากลางโบสถศาลหลกเมองเปนตนแลวค�านวณอตราสวนความยาว
ของฐานตอความสงวาใกลเคยงกบอตราสวนทองหรอไม
แบบฝกหดประจ�าหนวยการเรยนรท 1
1. สมหนก5ขดเงาะหนก2กโลกรมจงเขยนอตราสวนของน�าหนกของสมตอน�าหนกของเงาะ
2. พมเงนxบาทนองมเงนนอยกวาสองเทาของพอย8บาทจงเขยนอตราสวนจ�านวนเงนของ
พตอจ�านวนเงนของนอง
3. จงแสดงใหเหนวาอตราสวนทก�าหนดใหในแตละขอตอไปนเปนอตราสวนทเทากนหรอไม
1) 12:13และ6:7 2) 15:17และ45:51
3) 16:17และ8:3 4) 19:20และ58:60
1.
2.
3.
44
ใหนกเรยนน�าน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครวมาหาดชนมวลกาย
พรอมทงน�ามาเปรยบเทยบกบตารางเพอตรวจสอบดความเสยงตอการเปนโรคโดยปฏบต
ตามขนตอนตอไปน
1) เปดโปรแกรมMicrosolfExcel
2) ทเซลA1,B1,C1,D1,E1และF1พมพขอความชอ-สกลน�าหนก(กก.)
สวนสง(ม.)ดชนมวลกายความเสยงตอการเปนโรคและแนวทางปฏบตเพอ
ลดความเสยงตามล�าดบ
3) พมพชอ-สกลพรอมน�าหนกและสวนสงของสมาชกทกคนในครอบครว
4) ทเซลD2พมพสตรการหาดชนมวลกายโดยพมพ=B2/C2^2
5) ใหคดลอกสตรในขอ4) ไปยงเซลD3,D4,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
6) น�าคาดชนมวลกายของสมาชกแตละคนเทยบกบตารางแลวพมพความเสยงตอ
การเปนโรคของสมาชกแตละคนในเซลE2,E3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
7) น�าขอมลทงหมดใหสมาชกทกคนของครอบครวพจารณา ส�าหรบสมาชกทอย
ในเกณฑเสยงใหหาแนวทางการปฏบตเพอลดความเสยงและพมพแนวทางการปฏบตนน
ทเซลF2,F3,...(ตามจ�านวนสมาชกของครอบครว)
8) พมพ(PRINT)ขอมลทงหมดสงครผสอน
46
4. จงเขยนอตราสวนซงเทากบอตราสวน36:64มาอก5อตราสวน
5. ก�าหนดx:y=7:3และy:z=18:36จงเขยนอตราสวนของx:y:z
6. กตตตดเหลกเสนหนงออกเปน3เสนโดยทความยาวของเหลกเสนทหนงตอความยาวของ
เหลกเสนทสองตอความยาวของเหลกเสนทสามเปน 12 : 1 : 3
2 ถาเหลกเสนทสองยาว
4ฟตแลวเหลกเสนนกอนตดยาวกฟต
7. ถาp-58
= 74แลวจงหาคาของp+2
8. เจเลยงสตวไว3ชนดคอเปดไกและหมเปนอตราสวนดงนจ�านวนเปดตอจ�านวนไกเปน
7:8และจ�านวนหมตอจ�านวนไกเปน5:6ถาเขาเลยงสตวทงสามชนด4,745ตวจงหาวา
เจเลยงเปดมากกวาหมกตว
9. รปสเหลยมคางหมรปหนงมอตราสวนของความสงตอความยาวของดานคขนานสองดานเปน
2:3:5ถารปนมความสง10เซนตเมตรพนทของรปสเหลยมนเทากบกตารางเซนตเมตร
10. แทงไมทรงสเหลยมมมฉากอนหนง มอตราสวนของความยาวตอความกวางเปน 3 : 2
และอตราสวนของความกวางตอความสงเปน3:5ถาปรมาตรของแทงไมนเทากบ4,320
ลกบาศกเซนตเมตรจงหาความกวางความยาวและความสงของแทงไมน
11. วทยเครองหนงปดราคา8,500บาทถารานลดใหผซอเงนสด10%แลวยงไดก�าไร20%
รานนซอวทยมาราคากบาท
12. เจฝากเงนไวกบธนาคารเปนจ�านวน250,000บาทธนาคารคดดอกเบยในอตรารอยละ1.75
ตอปและหกภาษดอกเบยรอยละ15เมอครบ2ปเขาจะมเงนในบญชทงหมดกบาท
13. รานคาปดราคาขายสนคาชนดหนงเปนเงน5,564บาทซงราคานรวมกบภาษมลคาเพม7%
ของราคาสนคานนจงหาวา
1) ผซอจะตองจายเปนคาภาษมลคาเพมกบาท
2) ถาตนทนของสนคานเปนเงน4,000บาทรานคาจะไดก�าไรกเปอรเซนต
14. วนดมเงนไดสทธ900,000บาทจงหาวาเมอครบปทจะตองยนแบบแสดงรายการภาษเงนได
วนดจะตองช�าระภาษเปนเงนกบาท
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.