คณิตศาสตร์ 2013

สวนท 1 (O NET) ........ โดย อ.ไพโรจน โองตว ......................................หนา 2-52

สวนท 2 (PAT 1) ......... โดย อ.ภาคภม อรามวารกล (พแทป)...............หนา 53-109

สวนท 3 (PAT 1) ......... โดย อ.ศภฤกษ สกลชยพรเลศ (คร sup’k) .....หนา 110-208

คณตศาสตร (2) ______________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013

เซต เซตทควรรจก 1. เซตจากด (Finite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกจากด 2. เซตอนนต (Infinite Set) หมายถง เซตทมจานวนสมาชกไมจากด เปนเซตซงไมใชเซตจากด 3. เซตวาง (Empty Set) หมายถง เซตทไมมสมาชก เขยนแทนดวยสญลกษณ φ หรอ { } 4. สมบตของสบเซต ถา A เปนเซตจากดใดๆ ทมสมาชก n ตว 1. จานวนสบเซตทงหมดของเซต A = 2n ตว 2. จานวนสบเซตแททงหมดของเซต A = 2n – 1 ตว 5. สมบตของเพาเวอรเซต ให A เปนเซตใดๆ เพาเวอรเซตของ A เขยนแทนดวย P(A) 1. P(A) ≠ φ สาหรบทกๆ เซต A 2. A ∈ P(A) 3. nP(A) = 2n 4. ถา A ⊂ B แลว P(A) ⊂ P(B) 5. P(A)I P(B) = P(AI B) 6. P(A)U P(B) ⊂ P(AU B) ขอสงเกต * A ⊂ (AU B) และ B ⊂ (AU B) ** (AI B) ⊂ A และ (AI B) ⊂ B

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013_______________________________________ คณตศาสตร (3)

สมบตของเซต ยเนยน อนเตอรเซคชน

1. Idempotent Laws AU A = A AU φ = A AU U = U

AI A = A AI φ = φ AI U = A

2. สมบตการเปลยนกลม (AU B)U C = AU BU C (AI B)I C = AI BI C 3. สมบตการสลบท AU B = BU A AI B = BI A 4. สมบตการแจกแจง AU (BI C) = (AU B)I (AU C) AI (BU C) = (AI B)U (AI C) 5. เอกลกษณของเซต AU φ = A AI U = A 6. Complement Laws AU A′ = U AI A′ = φ 7. De Morgan’s Laws (AU B)′ = φ (AI B)′ = U

สมบตอนๆ 8. A - B = AI B′ 9. (AU B)′ = A′I B′ (AI B)′ = A′U B′ 6. การหาจานวนสมาชกของเซต 1. ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B = φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) 2. ถา A และ B เปนเซตจากด และ AI B ≠ φ แลว n(AU B) = n(A) + n(B) – n(AI B) 3. n(AU BU C) = n(A) + n(B) + n(C) – n(AI B) – n(AI C) – n(BI C) + n(AI BI C) 4. n(A′) = n(U) – n(A)

ตวอยางขอสอบ 1. ให A เปนเซตจากด และ B เปนเซตอนนต ขอความใดตอไปนเปนเทจ 1) มเซตจากดทเปนสบเซตของ A 2) มเซตจากดทเปนสบเซตของ B 3) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ A 4) มเซตอนนตทเปนสบเซตของ B 2. ให A = {1, 2, 3, ...} และ B = {{1, 2}, {3, 4, 5}, 6, 7, 8, ...} ขอใดเปนเทจ 1) A - B มสมาชก 5 ตว 2) จานวนสมาชกของเพาเวอรเซตของ B - A เทากบ 4 3) จานวนสมาชกของ (A - B)U (B - A) เปนจานวนค 4) AI B คอ เซตของจานวนนบทมคามากกวา 5


3. ถา A – B = {2, 4, 6}, B – A = {0, 1, 3} และ AU B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} แลว AI B เปนสบเซตของเซตในขอใดตอไปน

1) {0, 1, 4, 5, 6, 7} 2) {1, 2, 4, 5, 6, 8} 3) {0, 1, 3, 5, 7, 8} 4) {0, 2, 4, 5, 6, 8} 4. กาหนดให A, B และ C เปนเซตใดๆ ซง A ⊂ B พจารณาขอความตอไปน ก. (C – A) ⊂ (C – B) ข. AcI C ⊂ AcI B ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 5. กาหนดให A และ B เปนเซต ซง n(AU B) = 88 และ n[(A – B)U (B – A)] = 76 ถา n(A) = 45 แลว

n(B) เทากบขอใดตอไปน 1) 45 2) 48 3) 53 4) 55 6. นกเรยนกลมหนงจานวน 46 คน แตละคนมเสอสเหลองหรอเสอสฟาอยางนอยสละหนงตว ถานกเรยน 39

คนมเสอสเหลอง และ 19 คนมเสอสฟา แลวนกเรยนกลมนทมเสอสเหลองและเสอสฟามจานวนเทากบขอใด 1) 9 คน 2) 10 คน 3) 11 คน 4) 12 คน 7. ในการสารวจความชอบในการดมชาเขยวและกาแฟของกลมตวอยาง 32 คน พบวา ผชอบดมชาเขยวม 18 คน ผชอบดมกาแฟม 16 คน ผไมชอบดมชาเขยวและไมชอบดมกาแฟม 8 คน จานวนคนทชอบดมชาเขยวอยางเดยวเทากบขอใดตอไปน 1) 6 คน 2) 8 คน 3) 10 คน 4) 12 คน 8. นกเรยนกลมหนงจานวน 50 คน ม 32 คน ไมชอบเลนกฬาและไมชอบฟงเพลง ถาม 6 คน ชอบฟงเพลงแต

ไมชอบเลนกฬา และม 1 คน ชอบเลนกฬาแตไมชอบฟงเพลง แลวนกเรยนในกลมนทชอบเลนกฬาและชอบฟงเพลงมจานวนเทากบขอใดตอไปน

1) 11 คน 2) 12 คน 3) 17 คน 4) 18 คน 9. ถากาหนดจานวนสมาชกของเซตตางๆ ตามตารางตอไปน

เซต AU B AU C BU C AU BU C AI BI C จานวนสมาชก 25 27 26 30 7

จานวนสมาชกของ (AI B)U C เทากบขอใดตอไปน 1) 23 2) 24 3) 25 4) 26


10. ให A และ B เปนเซตซง n(A) = 5, n(B) = 4 และ n(AI B) = 2 ถา C = (A – B)U (B – A) แลว n(P(C)) เทากบเทาใด

11. ในการสารวจงานอดเรกของนกเรยน 200 คนปรากฏวา ชอบอานหนงสอม 120 คน ชอบดภาพยนตรม 110 คน ชอบเลนกฬาม 130 คน ชอบอานหนงสอและดภาพยนตรม 60 คน ชอบอานหนงสอและเลนกฬาม 70 คน ชอบดภาพยนตรและเลนกฬาม 50 คน นกเรยนทชอบเลนกฬาเพยงอยางเดยวมกคน 12. ในการสอบถามพอบานจานวน 300 คน พบวา มคนทดมชา 100 คน มคนทดมกาแฟ 150 คน มคนทไมดมทงนาชาและกาแฟ 100 คน พอบานทดมทงชาและกาแฟมจานวนเทาใด 13. ในการสอบของนกเรยนชนประถมศกษากลมหนง พบวา มผสอบผานวชาตางๆ ดงน คณตศาสตร 36 คน สงคมศกษา 50 คน ภาษาไทย 44 คน คณตศาสตรและสงคมศกษา 15 คน ภาษาไทยและสงคมศกษา 12 คน คณตศาสตรและภาษาไทย 7 คน ทงสามวชา 5 คน จานวนผทสอบผานอยางนอยหนงวชามกคน


การใหเหตผล การใหเหตผลทางคณตศาสตรโดยทวไปสามารถแบงออกได 2 ลกษณะ คอ 1. การใหเหตผลแบบอปนย เปนการใหเหตผลโดยอาศยขอสงเกต หรอผลการทดลองจากหลายๆ ตวอยาง มาสรปเปนขอตกลง หรอขอคาดเดาทวไป หรอคาพยากรณ 2. การใหเหตผลแบบนรนย เปนการใหเหตผลโดยนาขอความทกาหนดให ซงตองยอมรบวาเปนจรงทงหมด มาเปนขออางและสนบสนนเพอสรปเปนขอความจรงใหม การตรวจสอบความสมเหตสมผลโดยใชแผนภาพเวนน–ออยเลอร รปแบบท 1 “a เปนสมาชกของ A” รปแบบท 2 “a ไมเปนสมาชกของ A”

Aa

Aa

เขยนวงกลม A โดยให a อยภายใน A เขยนวงกลม A โดยไมให a อยภายใน A รปแบบท 3 “A ทกตวเปน B” รปแบบท 4 “A บางตวเปน B”

BA

BA

เขยนวงกลม A และ B ซอนกน โดย A อยภายใน B เขยนวงกลม A และ B ตดกน สวนทแรเงาแสดงวา “A ทกตวเปน B” สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวเปน B” รปแบบท 5 “A บางตวไมเปน B” รปแบบท 6 “ไมม A ตวใดเปน B”

BA

BA

เขยนวงกลม A และ B ตดกน เขยนวงกลม A และ B แยกกน สวนทแรเงาแสดงวา “A บางตวไมเปน B” เพอแสดงวา “ไมม A ตวใดเปน B”


ตวอยางขอสอบ 1. เหต (1) ไมมคนขยนคนใดเปนคนตกงาน (2) มคนตกงานทเปนคนใชเงนเกง (3) มคนขยนทไมเปนคนใชเงนเกง ผล ในขอใดตอไปนเปนการสรปผลจาก เหต ขางตนทเปนไปอยางสมเหตสมผล 1. มคนขยนทเปนคนใชเงนเกง 2. มคนใชเงนเกงทเปนคนตกงาน 3. มคนใชเงนเกงทเปนคนขยน 4. มคนตกงานทเปนคนขยน 2. จงพจารณาขอความตอไปน (1) นกกฬาทกคนมสขภาพด (2) คนทมสขภาพดบางคนเปนคนด (3) ภราดรเปนนกกฬา และเปนคนด แผนภาพในขอใดตอไปนมความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขอขางตน เมอจดแทนภราดร

1) 2)

3) 4)

3. จากแบบรปทกาหนดให

1 2 47

2 4 814

3 6 1221

... a b c77

โดยการใหเหตผลแบบอปนย 2a – b + c มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 22 3) 33 4) 44 4. พจารณาผลตางระหวางพจนของลาดบ 2, 5, 10, 17, 26, ... โดยการใหเหตผลแบบอปนย พจนท 10 ของ

ลาดบคอขอใดตอไปน 1) 145 2) 121 3) 101 4) 84


5. จงพจารณาขอความตอไปน 1. คนตกอลฟเกงทกคนเปนคนสายตาด 2. คนทตกอลฟไกลกวา 300 หลา บางคน เปนคนสายตาด 3. ธงชยตกอลฟเกงแตตไมไดไกลกวา 300 หลา แผนภาพในขอใดตอไปน มความเปนไปไดทจะสอดคลองกบขอความทงสามขางตน เมอจดแทนธงชย

1) 2)

3) 4)

6. พจารณาการใหเหตผลตอไปน เหต 1. A 2. เหดเปนพชมดอก ผล เหดเปนพชชนสง ขอสรปขางตนสมเหตสมผล ถา A แทนขอความใด 1) พชชนสงทกชนดมดอก 2) พชชนสงบางชนดมดอก 3) พชมดอกทกชนดเปนพชชนสง 4) พชมดอกบางชนดเปนพชชนสง 7. พจารณาการอางเหตตอไปน ก. เหต 1. ถาฝนไมตกแลวเดชาไปโรงเรยน 2. ฝนตก ผล เดชาไมไปโรงเรยน ข. เหต 1. รตนาขยนเรยน หรอ รตนาสอบชงทนรฐบาลได 2. รตนาไมขยนเรยน ผล รตนาสอบชงทนรฐบาลได ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. สมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 2) ก. สมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล 3) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. สมเหตสมผล 4) ก. ไมสมเหตสมผล และ ข. ไมสมเหตสมผล


ระบบจานวนจรง

แผนผงของระบบจานวน

จานวนจรง

จานวนตรรกยะ จานวนอตรรกยะ

จานวนเตม เศษสวนทไมใชจานวนเตม

ศนยจานวนเตมลบ จานวนเตมบวก จานวนจรง : Real Number (ใชสญลกษณ R แทนเซตของจานวนจรง) คอ เซตทเกดจากการยเนยนกนของเซตของจานวนตรรกยะกบเซตของจานวนอตรรกยะ เขยนบนเสนจานวนไดแบงออก ดงน 1. จานวนอตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q′ แทนเซตของจานวนอตรรกยะ) คอ จานวนทไมสามารถเขยนในรปเศษสวนของจานวนเตมได ซงกคอทศนยมไมซาทงหลาย เชน π, e, ทศนยมไมรจบทไมซา 2. จานวนตรรกยะ (ใชสญลกษณ Q แทนเซตของจานวนตรรกยะ) คอ จานวนทเขยนเปนเศษสวนของ จานวนเตมได ซงกคอ ทศนยมซาทงหลายดงนน Q = {x | x = b

a เมอ a, b ∈ I และ b ≠ 0} จานวนเตม แบงออกเปน 3 ชนด คอ 1. จานวนเตมบวก เขยน I+ หรอ I+ แทนเซตของจานวนเตมบวก หมายถง {1, 2, 3, ...} จานวนเตมบวกเรยกชออกอยางวา จานวนนบหรอจานวนธรรมชาต ซงเขยนแทนเซตของจานวนธรรมชาตไดดวย N 2. จานวนเตมศนย เซตทม 0 เปนสมาชกเพยงตวเดยว นนคอ {0} 3. จานวนเตมลบ เขยน I- หรอ I- แทนเซตของจานวนเตมลบ หมายถง {..., -3, -2, -1} เซตของจานวนเตมเขยนแทนดวย I ดงนน I = I+U I-U {0}

คณตศาสตร (10) _____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013

การบวกและการคณในระบบจานวนจรง ระบบจานวนจรงประกอบดวยเซตของจานวนจรง R กบการบวกและการคณ ซงมสมบตดงน ถา a, b และ c เปนจานวนจรง

สมบต การบวก การคณ ปด 1. a + b ∈ R 6. ab ∈ R การสลบท 2. a + b = b + a 7. ab = ba การเปลยนกลม 3. (a + b) + c = a + (b + c) 8. (ab)c = a(bc) การมเอกลกษณ 4. มจานวนจรง 0

ซง 0 + a = a = a + 09. มจานวนจรง 1, 1 ≠ 0 ซง 1a = a

การมอนเวอรส 5. สาหรบ a จะมจานวนจรง -a โดยท (-a) + a = 0 = a + (-a) อาน -a วา อนเวอรสการบวกของ a

10. สาหรบ a ทไมเปน 0 จะม จานวนจรง a-1 โดยท (a-1)

(a-1)a = 1 อาน a-1 วา อนเวอรสการคณของ a

การแจกแจง 11. a(b + c) = ab + ac การแกสมการกาลงสอง การแกสมการ หรอการหาคาตอบของสมการกาลงสองตวแปรเดยว หมายถง การหาคาตอบของสมการทเขยนอยในรป ax2 + bx + c = 0 เมอ a, b, c เปนคาคงตว และ a ≠ 0 ทาไดโดยอาศยความรเกยวกบจานวนจรงและการแยกตวประกอบของพหนาม ดงน แยกตวประกอบของพหนาม • พหนามในรปกาลงสองสมบรณ จะแยกตวประกอบ ดงน (A + B)2 = A2 + 2AB + B2 (A – B)2 = A2 – 2AB + B2 • พหนามในรปผลตางกาลงสอง จะแยกตวประกอบดงน A2 – B2 = (A – B)(A + B) • พหนามในรปผลบวกกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 + B3 = (A + B)(A2 – AB + B2) • พหนามในรปผลตางกาลงสาม จะแยกตวประกอบดงน A3 – B3 = (A – B)(A2 + AB + B2)

การหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 โดยใชสตร x = 2a 4ac b b 2 -- ±

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013______________________________________ คณตศาสตร (11)

สมบตของกรณฑทสอง 1. x = x1/2 เมอ x ≥ 0

2. 2x = |x| 3. ถา x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว yx = yx ⋅

4. ถา x ≥ 0 และ y > 0 แลว yx = yx

การไมเทากน ความหมายและสญลกษณแทนการไมเทากน ในการเปรยบเทยบจานวนสองจานวน นอกจากการเปรยบเทยบวาเทากนและไมเทากนแลว ยงมการเปรยบเทยบวา มากกวาหรอนอยกวาไดโดยเขยนอยในรปประโยคสญลกษณ การเขยนสญลกษณแทนชวง ถา a, b ∈ R และ a < b 1. ชวงเปด a, b เขยนแทนดวย (a, b) และ (a, b) = {x|a < x < b} 2. ชวงปด a, b เขยนแทนดวย [a, b] และ [a, b] = {x|a ≤ x ≤ b} 3. ชวงครงปดครงเปด a, b เขยนแทนดวย [a, b) และ [a, b) = {x|a ≤ x < b} หรอ (a, b] และ (a, b] = {x|a < x ≤ b} 4. ชวงอนนต 4.1 (a, ∞) = {x|a < x < ∞} = {x|x > a} 4.2 [a, ∞) = {x|a ≤ x < ∞} = {x|x ≤ a} 4.3 (-∞, a) = {x|-∞ < x < a} = {x|x < a} 4.4 (-∞, a] = {x|-∞ < x ≤ a} = {x|x ≤ a} 4.5 (-∞,∞) = เซตของจานวนจรง = R การเขยนชวงบนเสนจานวนจรง (a, b) = [a, b] = [a, b) = (a, b] = (a, ∞) = [a, ∞) = (-∞, a) = (-∞, a] = (-∞, ∞) =

aa

aa

0

aaaa

b

b

b

b

สมบตของการไมเทากน กาหนด x, a, b เปนจานวนจรง และ a 0 จะได x < a หรอ x > b 2. ถา (x – a)(x – b) < 0 จะได a < x 0 จะได x < a หรอ x > b

6. ถา bx

a x -- < 0 จะได a < x b

8. ถา bx

a x -- ≤ 0 จะได a ≤ x 0 |a| = 0 ถา a = 0 -a ถา a < 0 สมบตการเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง 1. |x| = |y| กตอเมอ x = y หรอ x = -y 2. |x| = |-x| 3. |xy| = |x||y|

4. yx = |y||x| , y ≠ 0

5. |x – y| = |y – x| 6. |x2| = |x|2 = x2 7. |x + y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≥ 0 8. |x - y| = |x| + |y| กตอเมอ xy ≤ 0

9. 2x = |x|

สมบตการไมเทากนของคาสมบรณ เมอ x และ y เปนจานวนจรง และ a เปนจานวนจรงบวก 1. |x| < a ความหมายตรงกบ -a < x < a 2. |x| ≤ a ความหมายตรงกบ -a ≤ x ≤ a 3. |x| > a ความหมายตรงกบ x < -a หรอ x > a 4. |x| ≥ a ความหมายตรงกบ x ≤ -a หรอ x ≥ a 5. x2 < y2 กตอเมอ |x| < |y| 6. |x + y| ≤ |x| + |y| 7. |x| - |y| ≤ |x - y| 8. |y| - |x| ≤ |x - y| 9. -|x| ≤ x ≤ |x|

ตวอยางขอสอบ 1. พจารณาขอความตอไปน ก. มจานวนตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ข. มจานวนอตรรกยะทนอยทสดทมากกวา 0 ขอสรปใดตอไปนกลาวถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 2. พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนอตรรกยะ ข. จานวนทเปนทศนยมไมรจบบางจานวนเปนจานวนตรรกยะ ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 3. กาหนดให s, t, u และ v เปนจานวนจรง ซง s < t และ u < v พจารณาขอความตอไปน ก. s - u < t - v ข. s - v < t - u ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 4. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา a และ b เปนจานวนจรงซง |a| < |b| แลว a3 < b3 ข. ถา a, b และ c เปนจานวนจรงซง ac = bc แลว a = b ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด


5. กาหนดให a, b และ c เปนจานวนจรงซง |a|b3c > 0 พจารณาขอความตอไปน ก. ac > 0 ข. bc > 0 ขอใดถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 6. กาหนดใหคาประมาณทถกตองถงทศนยมตาแหนงท 3 ของ 3 และ 5 คอ 1.732 และ 2.236 ตามลาดบ

พจารณาขอความตอไปน ก. 2.235 + 1.731 ≤ 5 + 3 ≤ 2.237 + 1.733 ข. 2.235 – 1.731 ≤ 5 – 3 ≤ 2.237 – 1.733 ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 7. พจารณาขอความตอไปน ก. สมบตการมอนเวอรสการบวกของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท b + a = 0 = a + b ข. สมบตการมอนเวอรสการคณของจานวนจรงกลาววา สาหรบจานวนจรง a จะมจานวนจรง b ท ba = 1 = ab ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 8. ให a และ b เปนจานวนตรรกยะทแตกตางกน และให c และ d เปนจานวนอตรรกยะทแตกตางกน

พจารณาขอความตอไปน ก. a – b เปนจานวนตรรกยะ ข. c – d เปนจานวนอตรรกยะ ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก ข. ถก 2) ก. ถก ข. ผด 3) ก. ผด ข. ถก 4) ก. ผด ข. ผด 9. คาของ ( 3 - 1)-2 เปนจรงตามขอใดตอไปน 1) เปนจานวนอตรรกยะทนอยกวา 1.8 2) เปนจานวนอตรรกยะทมากกวา 1.8 3) เปนจานวนตรรกยะทนอยกวา 1.8 4) เปนจานวนตรรกยะทมากกวา 1.8 10. (|4 3 - 5 2 | - |3 5 - 5 2 | + |4 3 - 3 5 |)2 เทากบขอใด 1) 0 2) 180 3) 192 4) 200 11. ( 2 + 8 + 18 + 32 )2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60 2) 60 2 3) 100 2 4) 200


12. 35

2732- + 3/2

6

(64)2 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 2413 2) - 6

5 3) 32 4) 24

19

13. 2

152

65

- มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 10

3 2) 107 3) 5 - 2 4) 6 - 2

14. ( 18 + 2 3 125- - 3 4 4 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –1000 2) 1000 3) 2 5 - 5 2 4) 5 2 - 2 5

15. คาของ 22)(- +

+

3222 81/2

เทากบขอใดตอไปน

1) -1 2) 1 3) 3 4) 5

16. 2

1 21 - - |2 - 2 | มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 23 - 2

2 2) 22 - 2

3 3) 25 - 2

23 4) 223 - 2

5 17. (1 - 2 )2(2 + 8 )2(1 + 2 )3(2 - 8 )3 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –32 2) -24 3) -32 - 16 2 4) -24 - 16 2 18. ถา x ≤ 5 แลวขอใดตอไปนถก 1) x2 ≤ 25 2) |x| ≤ 25 3) x|x| ≤ 25 4) (x - |x|)2 ≤ 25 19. ผลเฉลยของสมการ 2|5 - x| = 1 อยในชวงใด 1) (-10 , -5) 2) (-6 , -4) 3) (-4 , 5) 4) (-3 , 6) 20. ถา 4

3 เปนผลเฉลยหนงของสมการ 4x2 + bx - 6 = 0 เมอ b เปนจานวนจรงแลว อกผลเฉลยหนงของสมการนมคาตรงกบขอใด

1) –2 2) - 21 3) 2

1 4) 2 21. พจารณาสมการ |x - 7| = 6 ขอสรปใดตอไปนเปนเทจ 1) คาตอบหนงของสมการมคาระหวาง 10 และ 15 2) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการมคาเทากบ 14 3) สมการนมคาตอบมากกวา 2 คาตอบ 4) ในบรรดาคาตอบทงหมดของสมการ คาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 3


22. ถาสมการ (x2 + 1)(2x2 – 6x + c) = 0 มรากทเปนจานวนจรงเพยง 1 ราก คาของ c จะอยในชวงใดตอไปน

1) (0, 3) 2) (3, 6) 3) (6, 9) 4) (9, 12) 23. สมการในขอใดตอไปน มคาตอบทเปนจานวนจรงมากกวา 2 คาตอบ 1) (x – 2)2 + 1 = 0 2) (x2 + 2)(x2 – 1) = 0 3) (x – 1)2(x2 + 2) = 0 4) (x – 1)2(x + 2)2 = 0

24. จานวนสมาชกของเซต {x | x = 2

|a|1 a

+ -

2a1 |a|

- เมอ a เปนจานวนจรงซงไมเทากบ 0} เทากบ

ขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) มากกวาหรอเทากบ 4 25. ผลบวกของคาตอบทกคาตอบของสมการ x3 - 2x = |x| เทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 3 3) 3 - 1 4) 3 + 1 26. กาหนดให I เปนเซตของจานวนเตม และ

≤∈= 32 |1 x |

1 |1 x |I x A --- แลวจานวนสมาชกของเซต A

เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 27. ถา x = - 2

1 เปนรากของสมการ ax2 + 3x - 1 = 0 แลวรากอกรากหนงของสมการนมคาเทากบขอใดตอไปน

1) –5 2) - 51 3) 5

1 4) 5 28. เซตของจานวนจรง m ซงทาใหสมการ x2 - mx + 4 มรากเปนจานวนจรง เปนสบเซตของเซตใดตอไปน 1) (-5, 5) 2) (-∞, -4)U [3, ∞) 3) (-∞, 0)U [5, ∞) 4) (-∞, -3)U [4, ∞) 29. เซตคาตอบของอสมการ -1 ≤ 2 + 21

x- ≤ 1 คอเซตในขอใดตอไปน

1) [ 2 - 1, 1] 2) [ 2 - 1, 2] 3) [3 - 2 2 , 1] 4) [3 - 2 2 , 2] 30. กาหนดให ABC เปนสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน AB

ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลวจะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 31. ตองการลอมรวรอบทดนรปสเหลยมผนผาซงมพนท 65 ตารางวา โดยดานยาวของทดนยาวกวาสองเทาของ

ดานกวางอย 3 วา จะตองใชรวทมความยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 30 วา 2) 36 วา 3) 42 วา 4) 48 วา

32. รปสามเหลยมมมฉากรปหนง มพนท 600 ตารางเซนตเมตร ถาดานประกอบมมฉากดานหนงยาวเปน 75% ของดานประกอบมมฉากอกดานหนงแลว เสนรอบรปสามเหลยมมมฉากรปนยาวกเซนตเมตร

1) 120 2) 40 3) 60 2 4) 20 2 33. ขบวนพาเหรดรปสเหลยมผนผาขบวนหนง ประกอบดวยผเดนเปนแถว แถวละเทาๆ กน (มากกวา 1 แถว

และแถวละมากกวา 1 คน) โดยเฉพาะผอยรมดานนอกทงสดานของขบวนนน ทสวมชดสแดง ซงมทงหมด 50 คน ถา x คอจานวนแถวของขบวนพาเหรด และ N คอจานวนคนทอยในขบวนพาเหรดแลว ขอใดถกตอง

1) 31x - x2 = N 2) 29x - x2 = N 3) 27x - x2 = N 4) 25x - x2 = N 34. รปสเหลยมผนผาสองรป มขนาดเทากน โดยมเสนทแยงมมยาวเปนสองเทาของดานกวาง ถานารป

สเหลยมผนผาทงสองมาวางตอกนดงรป จด A และจด B อยหางกนเปนระยะกเทาของดานกวาง

A

C

B

1) 1.5 2) 3 3) 2 4) 2 2 35. ถา x = 3 2

3 2-+ และ y = 3 2

3 2+

- แลว x2 – 4xy + y2 เทากบเทาใด

36. ถา 4

278

= 1/x

8116

และ y = 3x แลว y เทากบเทาใด

37. ถา a, b, c และ d เปนจานวนจรงซง (x – 1)2(ax + b) = cx2 + dx + 4 ทกจานวนจรง x แลว a + b + c + d

เทากบเทาใด 38. ถา (p – 2)2 = 25 และ (q + 1)2 = 81 แลว คามากทสดทเปนไปไดของ p – 2q เทากบเทาใด 39. ถาชวงเปด (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ |x - 1| + |6 - 3x| < 17 และ x > 2 แลว a + b

เทากบเทาใด

เลขยกกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนเตม บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงใดๆ และ n เปนจานวนเตมบวก แลว an = a × a × a × ... × a

(เมอ a มจานวน n ตว) เรยก an วา เลขยกกาลง ม a เปนฐาน และ n เปนเลขชกาลง เลขยกกาลงทมเลขชกาลงเปนจานวนตรรกยะ บทนยาม ถา a เปนจานวนจรงบวกใดๆ และ n เปนจานวนตรรกยะทมากกวา 1 n a = a1/n สมบตของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงใดๆ m และ n เปนจานวนเตมบวก 1. xm ⋅ xn = xm+n 2. (x ⋅ y)n = xn ⋅ yn 3. (xm)n = xmn

4. nm

xx = xm-n 5.

nyx

= n

n

yx 6. nx

1 = x-n ขอสงเกต : x0 = 1 สมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm = xn กตอเมอ m = n 2. xm = ym กตอเมอ m = 0 โดยท x, y ≠ 0 อสมการของเลขยกกาลง ถา x และ y เปนจานวนจรงบวกใดๆ m และ n เปนจานวนตรรกยะ 1. xm < xn และ x > 1 จะไดวา m < n 2. xm < xn และ 0 < x < 1 จะไดวา m > n

ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงใดๆ แลวขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา a < b แลวจะได a2 < b2 2) ถา a 0 แลว a-x > 0 4) ถา a > 0 แลว ax > a

3. ขอใดมคาตางจากขออน 1) (-1)0 2) (-1)0.2 3) (-1)0.4 4) (-1)0.8 4. ขอใดตอไปนผด 1) 10 0.9 + < 0.9 + 10 2) ( 0.9 )( 4 0.9 ) < 0.9 3) ( 0.9 )( 3 1.1 ) < ( 1.1 )( 3 0.9 ) 4) 300 125 < 200 100 5. อสมการในขอใดตอไปนเปนจรง 1) 21000 < 3600 < 10300 2) 3600 < 21000 < 10300 3) 3600 < 10300 < 21000 4) 10300 < 21000 < 3600 6. ขอใดตอไปนผด 1) (24)30 < 220 ⋅ 330 ⋅ 440 2) (24)30 < 230 ⋅ 320 ⋅ 440 3) 220 ⋅ 330 ⋅ 440 < (24)30 4) 230 ⋅ 340 ⋅ 420 < (24)30 7. คาของ x ทสอดคลองกบสมการ )x2(2 = 4

(4x)

42

1) 2 2) 3 3) 4 4) 5

8. 42/3

1448 ⋅ 6

(18)1/2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 23 3) 2 4) 3

9. ถา

3x83 3

+ = 8116 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) - 94 2) - 9

2 3) - 91 4) 9

1 10. ถา 8x - 8(x+1) + 8(x+2) = 228 แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 32 3) 3

4 4) 35

11. เซตคาตอบของอสมการ 4(2x2-4x-5) ≤ 32

1 คอเซตในขอใดตอไปน

1)

25 ,2

5- 2)

1 ,2

5- 3)

1 ,2

1- 4)

25 ,2

1-

12. ถา 4

1258

= 1/x

62516

แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 43 2) 3

2 3) 23 4) 3

4 13. ถา 4a = 2 และ 16-b = 4

1 แลว a + b เทากบเทาใด


ความสมพนธและฟงกชน คอนดบ (a, b) โดยท a คอ สมาชกตวหนา และ b คอ สมาชกตวหลง ผลคณคารทเซยน “ถา A และ B เปนเซตใดๆ ผลคณคารทเซยนของ A และ B เขยนแทนดวย A × B” นยาม A × B = {(x, y) | x ∈ A และ y ∈ B} สมบตของผลคณคารทเชยน ให A, B และ C เปนเซตใดๆ 1. ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว n(A × B) = n(B × A) = mn 2. A × B = B × A กตอเมอ A = B หรอ A = φ หรอ B = φ แลวจะไดวา 3. A × (BU C) = (A × B)U (A × C) 4. A × (BI C) = (A × B)I (A × C) 5. A × (B - C) = (A × B) - (A × C) ความสมพนธ นยาม ให A และ B เปนเซต r เปนความสมพนธจาก A ไป B กตอเมอ r เปนสบเซตของ A × B โดเมนของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหนาของทกคอนดบ (Dr) นนคอ Dr = {x | (x, y) ∈ r} เรนจของความสมพนธ คอ เซตของสมาชกตวหลงของทกคอนดบ (Rr) นนคอ Rr = {y | (x, y) ∈ r}

ถา n(A) = m และ n(B) = n แลว จานวนความสมพนธทงหมดจาก A ไป B เทากบ 2mn การหาโดเมนและเรนจในกรณท r ⊂ R × R 1. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = ax + b โดยท a ≠ 0 จะได โดเมนและเรนจเปนจานวนจรง 2. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = cbx

a+

โดยท a, b ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ 0}

3. ถาเงอนไขของความสมพนธอยในรป y = dcx

bax ++ โดยท a, c ≠ 0

จะได โดเมน = {x|x ≠ - dc } เรนจ = {y|y ≠ c

a } 4. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ 0}


5. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = |ax + b| + c โดยท a ≠ 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ c} 6. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = ax2 + b ; a ≠ 0 และ a > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b} 7. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bax + จะได โดเมน = {x|x ≥ - a

b }; a ≠ 0 เรนจ = {y|y ≥ 0} 8. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = bx2 + ; b > 0 จะได โดเมน = R เรนจ = {y|y ≥ b } 9. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 ax - จะได โดเมน = {x|x ≤ -a หรอ x ≥ a} เรนจ = {y|y ≥ 0} 10. ถาเงอนไขความสมพนธอยในรป y = 22 xa - จะได โดเมน = {x|-a ≤ x ≤ a} เรนจ = {y|0 ≤ y ≤ a} ฟงกชน นยาม ความสมพนธ r จะเปนฟงกชน กตอเมอ ถา (x, y) ∈ r และ (x, z) ∈ r แลว y = z การพจารณาฟงกชน 1. ความสมพนธแบบแจกแจงสมาชก : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม สงเกตสมาชกตวหนาของคอนดบทเปนสมาชกแตละตว ถาสมาชกไมซากน 2. ความสมพนธเปนกราฟของความสมพนธ : ใหพจารณาวาเปนฟงกชนหรอไม โดยลากเสนตรงขนานแกน y ใหตดกราฟ ถาเสนตรงทลากตดกราฟเพยง 1 จด ความสมพนธนนเปนฟงกชน ถาเสนตรงทลากตดกราฟมากกวา 1 จด ความสมพนธนนไมเปนฟงกชน 3. ความสมพนธเปนแบบบอกเงอนไข : พจารณาจากตวแปร y ของสมการในเงอนไขดงน 3.1 ถา yn เมอ n เปนจานวนค จะไมเปนฟงกชน 3.2 ถา y เปนคาสมบรณ จะไมเปนฟงกชน 3.3 ถาไมมตวแปร y จะไมเปนฟงกชน 3.4 ถาเปนอสมการ จะไมเปนฟงกชน การหาคาของฟงกชน : การหาคาของฟงกชน ทาไดโดยการแทนคา ตวแปรในฟงกชนนนดวยคาทตองการ

ฟงกชนประเภทตางๆ ฟงกชนเชงเสน นยาม ฟงกชนเชงเสน คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง และ a ≠ 0 ฟงกชนคงตว คอ ฟงกชน f(x) = ax + b เมอ a = 0 และ b เปนจานวนจรง จะไดฟงกชนทอยในรป f(x) = b ฟงกชนกาลงสอง นยาม ฟงกชนกาลงสอง (Quadratic function) คอ ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 ลกษณะของกราฟของฟงกชนขนอยกบคาของ a, b และ c เมอคาของ a เปนบวกหรอลบ จะทาใหไดกราฟเปนเสนโคงหงายหรอควา เรยกวา กราฟพาราโบลา ดงรป

เมอ a > 0 เมอ a < 0 พจารณา ฟงกชนทอยในรป f(x) = ax2 + bx + c เมอ a, b, c เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0 สามารถจดฟงกชนในรป f(x) = a(x – h)2 + h เมอ h และ k เปนจานวนจรงใดๆ และ a ≠ 0

1. จดวกกลบ (h , k) =

4ab 4ac ,2a

b 2 --

2. คาสงสดหรอคาตาสด คอ k 3. สมการแกนสมมาตร คอ x = h 4. โดเมน คอ R และเรนจ คอ [h, ∞) กรณ a > 0 หรอ (-∞, h] กรณ a < 0 ฟงกชนเอกซโพเนนเชยล คอ ฟงกชนทอยในรปของ y = ax เมอ a > 0 และ a ≠ 1

y = ax a > 0 และ a ≠ 1

(0, 1)

(0, 1)

- a > 1 เปนฟงกชนเพมหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมใน y จะมคาเพมขน - Dr = R - Rr = R+

- 0 < a < 1 เปนฟงกชนลดหรอกลาวไดวา เมอ x มคาเพมขน y จะมคาลดลง - Dr = R - Rr = R+

ฟงกชนคาสมบรณ คอ เปนฟงกชนทอยในรป y = |x – a| + c เมอ a และ c เปนจานวนจรง กราฟจะมลกษณะเปนรปตวว (V) ฟงกชนขนบนได คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนสบเซตของ R และมคาฟงกชนเปนชวงมากกวา 2 ชวง

ตวอยางขอสอบ 1. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(0, 1), (0, 2), (2, 1), (1, 3)} 2) {(0, 2), (1, 1), (2, 2), (3, 0)} 3) {(1, 1), (2, 0), (2, 3), (3, 1)} 4) {(1, 2), (0, 3), (1, 3), (2, 2)} 2. ความสมพนธในขอใดเปนฟงกชน 1) {(1, 2), (2, 3), (3, 2), (2, 4)} 2) {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 3)} 3) {(1, 3), (1, 2), (1, 1), (1, 4)} 4) {(1, 3), (2, 1), (3, 3), (4, 1)} 3. กาหนดให A = {a, b, c} และ B = {0, 1} ฟงกชนในขอใดตอไปน เปนฟงกชนจาก B ไป A 1) {(a, 1), (b, 0), (c, 1)} 2) {(0, b), (1, a), (1, c)} 3) {(b, 1), (c, 0)} 4) {(0, c), (1, b)} 4. กาหนดให A ={1, 2} และ B = {a, b} คอนดบในขอใดตอไปน เปนสมาชกของผลคณคารทเชยน A × B 1) (2, b) 2) (b, a) 3) (a, 1) 4) (1, 2) 5. ให A = {1, 99} ความสมพนธใน A ในขอใดไมเปนฟงกชน 1) เทากน 2) ไมเทากน 3) หารลงตว 4) หารไมลงตว 6. กาหนดให f(x) = -x2 + 4x – 10 ขอความใดตอไปนถกตอง 1) f มคาตาสดเทากบ 6 2) f ไมมคาสงสด

3) f มคาสงสดเทากบ 6 4) f

29 < -6

7. ถา P เปนจดวกกลบของพาราโบลา y = -x2 + 12x – 38 และ O เปนจดกาเนดแลวระยะทางระหวางจด

P และจด O เทากบขอใดตอไปน 1) 10 หนวย 2) 2 10 หนวย 3) 13 หนวย 4) 2 13 หนวย 8. ถา A = {1, 2, 3, 4} และ r = {(m, n) ∈ A × A | m ≤ n} แลวจานวนสมาชกในความสมพนธ r

เทากบขอใดตอไปน 1) 8 2) 10 3) 12 4) 16 9. กาหนดให r = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B และ b หารดวย a ลงตว} ถา A = {2, 3, 5} แลวความสมพนธ

r จะเปนฟงกชน เมอ B เทากบเซตใดตอไปน 1) {3, 4, 10} 2) {2, 3, 15} 3) {0, 3, 10} 4) {4, 5, 9}


10. ฟงกชน y = f(x) ในขอใดมกราฟดงรปตอไปน

X(0,1)

Y

X

y = f(x)

1) f(x) = 1 - |x| 2) f(x) = 1 + |x| 3) f(x) = |1 - x| 4) f(x) = |1 + x| 11. พาราโบลารปหนงมเสนสมมาตรขนานกบแกน Y และมจดสงสดอยทจด (a, b) ถาพาราโบลารปนตดแกน X

ทจด (-1, 0) และ (5, 0) แลว a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 0 2) 1 3) 2 4) 3 12. กราฟของฟงกชนในขอใดตอไปน ตดแกน X มากกวา 1 จด

1) y = 1 + x2 2) y = |x| - 2 3) y = |x - 1| 4) y = x

21

13. ถากราฟของ y = x2 – 2x – 8 ตดแกน X ทจด A, B และ ม C เปนจดวกกลบแลวรปสามเหลยม ABC ม

พนทเทากบขอใดตอไปน 1) 21 ตารางหนวย 2) 24 ตารางหนวย 3) 27 ตารางหนวย 4) 30 ตารางหนวย 14. ทก x ในชวงใดตอไปนทกราฟ y = -4x2 - 5x + 6 อยเหนอแกน X

1)

31 ,3

2 -- 2)

23 ,2

5 -- 3)

76 ,4

1 4)

23 ,2

1 15. ถาเสนตรง x = 3 เปนเสนสมมาตรของกราฟของฟงกชน f(x) = -x2 + (k + 5)x + (k2 – 10) เมอ k เปน

จานวนจรง แลว f มคาสงสดเทากบขอใดตอไปน 1) –4 2) 0 3) 6 4) 14 16. กาหนดให f(x) = x2 – 2x – 15 ขอใดตอไปนผด 1) f(x) ≥ -17 ทกจานวนจรง x 2) f(-3 - 2 - 3 ) > 0 3) f(1 + 3 + 5 ) = f(1 - 3 - 5 ) 4) f(-1 + 3 + 5 ) > f(-1 - 3 - 5 ) 17. จานวนในขอใดตอไปนเปนสมาชกของโดเมนของฟงกชน y =

23x xx

2 ++ +

1 x1 2x

2 --

1) –2 2) –1 3) 0 4) 1 18. คาของ a ททาใหกราฟของฟงกชน y = a(2x) ผานจด (3, 16) คอขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 5


19. เมอเขยนกราฟของ y = ax2 + bx + c โดยท a ≠ 0 เพอหาคาตอบของสมการ ax2 + bx + c = 0 กราฟในขอใดตอไปนแสดงวาสมการไมมคาตอบทเปนจานวนจรง

1)

-5 -5

5

5

X

Y

X 2)

-5 -5

5

5

X

Y

X

3)

-5 -5

5

5 Y Y

X 4)

-5 -5 5

5

Y Y

X

20. ถา f(x) = -x2 + x + 2 แลวขอสรปใดถกตอง 1) f(x) ≥ 0 เมอ -1 ≤ x ≤ 2 2) จดวกกลบของกราฟของฟงกชน f อยในจตภาคทสอง 3) ฟงกชน f มคาสงสดเทากบ 2 4) ฟงกชน f มคาตาสดเทากบ 2 21. ถา f(x) = x 3 - และ g(x) = -2 + |x - 4| แลว DfU Rg คอขอใด 1) (-∞, 3] 2) [-2, ∞) 3) [-2, 3] 4) (-∞, ∞) 22. ถา f(x) = 3 - 2 x4 - แลว ขอใดตอไปนถกตอง 1) Df = [-2, 2] และ Rf = [0, 3] 2) Df = [-2, 2] และ Rf = [1, 3] 3) Df = [0, 2] และ Rf = [0, 3] 4) Df = [0, 2] และ Rf = [1, 3] 23. ถา f(x – 2) = 2x – 1 แลว f(x2) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2x2 – 1 2) 2x2 + 1 3) 2x2 + 3 4) 2x2 + 9


24. กาหนดใหกราฟของฟงกชน f เปนดงน

คาของ 11f(-11) - 3f(-3)f(3) คอขอใด 1) 57 2) 68 3) 75 4) 86 25. ขอใดตอไปนเปนความสมพนธทมกราฟเปนบรเวณทแรเงา

1) {(x, y) ||y| ≥ x} 2) {(x, y) ||y| ≤ x} 3) {(x, y) | y ≥ |x|} 4) {(x, y) | y ≤ |x|} 26. พาราโบลาหนงเปนกราฟของฟงกชน f(x) = 2x2 – 4x – 6 พจารณาขอความตอไปน ก. พาราโบลารปนมแกนสมมาตรคอเสนตรง x = -1 ข. พาราโบลารปนมจดวกกลบอยในจตภาคทส ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด 27. ถา f = {(1, 0), (2, 1), (3, 5), (4, 3), (5, 2)} แลว f(2) + f(3) มคาเทาใด 28. กาหนดให n(A) แทนจานวนสมาชกของเซต A ถา r1 = {(-1, -2), (0, -1), (1, 2), (2, -3), (3, 4)} r2 = {(x, y) ||y + 1| = x} แลว n(r1I r2) เทากบเทาใด

-5 -10

5

Y

X

X1

y = x

y = -x

Y


อตราสวนตรโกณมต AB คอ ดานตรงขามมมฉาก (ฉาก) AC คอ ดานประชดมม A (ชด) BC คอ ดานตรงขามมม A (ขาม) เราจะเรยกอตราสวนตางๆ ดงน 1. AB

BC คอ ไซน (sine) ของมม A เขยนยอวา sin A 2. AB

AC คอ โคไซน (cosine) ของมม A เขยนยอวา cos A 3. AC

BC คอ แทนเจนต (tangent) ของมม A เขยนยอวา tan A 4. BC

AB คอ โคซแคนต (cosecant) ของมม A เขยนยอวา cosec A 5. AC

AB คอ ซแคนต (secant) ของมม A เขยนยอวา sec A 6. BC

AC คอ โคแทนเจนต (cotangent) ของมม A เขยนยอวา cot A

โดย 1. sin A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ มมมฉากดานตรงขาความยาวของ

= ฉากขาม

2. cos A = Aมมดานประชดความยาวของ

มมมฉากดานตรงขาความยาวของ = ฉาก

ชด 3. tan A = Aมมมดานตรงขาความยาวของ

Aมมดานประชดความยาวของ = ชด

ขาม 4. cosec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ฉาก 5. sec A = ความยาวของดานตรงขามมมฉาก

ความยาวของดานประชดมม A = ชด

ฉาก 6. cot A = ความยาวของดานประชดมม A

ความยาวของดานตรงขามมม A = ขาม

ชด

B

A C


คาของอตราสวนตรโกณมต

ขนาดของมม มม

π (0°) 6π (30°) 4

π (45°) 3π (60°) 2

π (90°)

sin θ 0 21 2

2 23 1

cos θ 1 23 2

2 21 0

tan θ 0 31 1 3 หาคาไมได

ความสมพนธระหวาง sin θ, cos θ, tan θ, cosec θ, sec θ และ cot θ 1. cosec θ = θ sin

1 2. sec θ = θcos1

3. tan θ = θθ

cossin 4. cot θ = θtan

1

5. sin2 θ + cos2 θ = 1 6. tan2 θ + 1 = sec2 θ 7. 1 + cot2 θ = cosec2 θ สตรการหาความสมพนธของอตราสวนตรโกณมตเพมเตม

sin(π - θ) = sin θ sin

θπ 2 - = cos θ

sin(π + θ) = -sin θ sin

+ θπ 2 = -cos θ

cos(π - θ) = cos θ cos

θπ 2 - = sin θ

cos (π + θ) = -cos θ cos

+ θπ 2 = -sin θ การประยกตของอตราสวนตรโกณมต เสนระดบสายตา คอ เสนตรงทขนานกบผวนาทะเลหรอขนานกบพนราบ มมเงย (Angle of Elevation) คอ มมทวดสงกวาระดบสายตาขนไป มมกม (Angle of Depression) คอ มมทวดตากวาระดบสายตาลงมา

A แนวระดบสายตา

แนวระดบสายตา

C

B

มมเงย

AC

B

มมกม


ตวอยางขอสอบ 1. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก มมม A เทากบ 30° และมพนทเทากบ 24 3

ตารางหนวย ความยาวของดาน AB เทากบขอใดตอไปน 1) 12 หนวย 2) 14 หนวย 3) 16 หนวย 4) 18 หนวย 2. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก มดาน BC ยาวเทากบ 10 3 หนวย และดาน

AB ยาวเทากบ 20 หนวย ถาลากเสนตรงจากจด C ไปตงฉากกบดาน AB ทจด D แลว จะไดวาดาน CD ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 5 2 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 10 2 หนวย 4) 10 3 หนวย 3. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมพนทเทากบ 15 ตารางหนวย และมมม C เปนมมฉาก ถา

sin B = 3 sin A แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 5 หนวย 2) 5 3 หนวย 3) 5 2 หนวย 4) 10 หนวย 4. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และดาน BC ยาว 6 นว ถา D เปนจดบน ดาน

AC โดยท CDBˆ = 70° และ DBAˆ = 10° แลวดาน AB ยาวเทากบขอใดตอไปน 1) 4 3 นว 2) 5 3 นว 3) 8 นว 4) 10 นว 5. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยม ซงมมม A เปนมมฉาก และมมม B = 30° ถา D และ E เปนจด

บนดาน AB และ BC ตามลาดบ ซงทาให DE ขนานกบ AC โดยท DE ยาว 5 หนวย และ EC ยาว 6 หนวย แลว AC ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 7.5 หนวย 2) 8 หนวย 3) 8.5 หนวย 4) 9 หนวย 6. วงกลมวงหนงมรศม 6 หนวย และ A, B, C เปนจดบนเสนรอบวงของวงกลม ถา AB เปนเสนผานศนยกลาง

ของวงกลม และ BACˆ = 60° แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน 1) 15 3 ตารางหนวย 2) 16 3 ตารางหนวย 3) 17 3 ตารางหนวย 4) 18 3 ตารางหนวย 7. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม C เปนมมฉาก และ cos B = 3

2 ถาดาน BC ยาว 1 หนวย แลวพนทของรปสามเหลยม ABC เทากบขอใดตอไปน

1) 55 ตารางหนวย 2) 4

5 ตารางหนวย 3) 35 ตารางหนวย 4) 2

5 ตารางหนวย 8. กาหนดให ABCD เปนรปสเหลยมผนผาซงมพนทเทากบ 12 ตารางหนวย และ tan DBAˆ = 3

1 ถา AE ตงฉากกบ BD ทจด E แลว AE ยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 310 หนวย 2) 5

2 10 หนวย 3) 210 หนวย 4) 5

3 10 หนวย

9. พจารณารปสามเหลยมตอไปน โดยท EFCˆ , BACˆ , BEAˆ และ BDEˆ ตางเปนมมฉาก ขอใดตอไปนผด

1) sin ( 1 ) = sin ( 5 ) 2) cos ( 3 ) = cos ( 5 ) 3) sin ( 2 ) = cos ( 4 ) 4) cos ( 2 ) = sin ( 3 ) 10. จากรป ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) sin 21° = cos 69° 2) sin 21° = cos 21° 3) cos 21° = tan 21° 4) tan 21° = cos 69° 11. ขอใดตอไปนถกตอง 1) sin 30° < sin 45° 2) cos 30° < cos 45° 3) tan 45° < cot 45° 4) tan 60° < cot 60° 12. กาหนดใหตาราง A ตาราง B และตาราง C เปนตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ดงน

ตาราง A ตาราง B ตาราง C θ sin θ θ cos θ θ tan θ

40° 0.643 40° 0.766 40° 0.839 41° 0.656 41° 0.755 41° 0.869 42° 0.669 42° 0.743 42° 0.900

ถารปสามเหลยม ABC มมม B เปนมมฉาก มม C มขนาด 41° และสวนสง BX ยาว 1 หนวย แลวความ

ยาวของสวนของเสนตรง AX เปนดงขอใดตอไปน

A X C

B

1) ปรากฏอยในตาราง A 2) ปรากฏอยในตาราง B 3) ปรากฏอยในตาราง C 4) ไมปรากฏอยในตาราง A, B และ C 13. มมมมหนงของรปสามเหลยมมมฉากมขนาดเทากบ 60 องศา ถาเสนรอบรปของรปสามเหลยมนยาว

3 - 3 ฟตแลว ดานทยาวเปนอนดบสองมความยาวเทากบขอใด 1) 2 - 3 ฟต 2) 2 + 3 ฟต 3) 2 3 - 3 ฟต 4) 2 3 + 3 ฟต


14. โดยการใชตารางหาอตราสวนตรโกณมตของมมขนาดตางๆ ทกาหนดใหตอไปน

θ sin θ cos θ 72° 0.951 0.309 73° 0.956 0.292 74° 0.961 0.276 75° 0.966 0.259

มมภายในทมขนาดเลกทสดของรปสามเหลยมทมดานทงสามยาว 7, 24 และ 25 หนวย มขนาดใกลเคยง

กบขอใดมากทสด 1) 15° 2) 16° 3) 17° 4) 18° 15. กลองวงจรปดซงถกตดตงอยสงจากพนถนน 2 เมตร สามารถจบภาพไดตาทสดทมมกม 45° และสงทสดท

มมกม 30° ระยะทางบนพนถนนในแนวกลองทกลองนสามารถจบภาพไดคอเทาใด (กาหนดให 3 ≈ 1.73) 1) 1.00 เมตร 2) 1.46 เมตร 3) 2.00 เมตร 4) 3.46 เมตร 16. กาหนดใหสามเหลยม ABC ม B = A + C ให D เปนจดกงกลางดาน AC ถา A = 20° แลว BDAˆ ม

ขนาดกองศา 1) 80 องศา 2) 100 องศา 3) 120 องศา 4) 140 องศา 17. กาหนดใหสามเหลยมมมฉาก ABC ม C = 90° ให D เปนจดบนดาน AB ซงทาให CD ตงฉากกบ AB ถา

AB ยาว 20 หนวย และ CD ยาว 8 หนวย แลว AD มความยาวมากทสดกหนวย 1) 10 2) 12 3) 14 4) 16 18. นาย ก. และนาย ข. ยนอยบนพนราบซงหางจากกาแพงเปนระยะ 10 เมตร และ 40 เมตร ตามลาดบ

ถานาย ก. มองหลอดไฟบนกาแพงดวยมมเงย α องศา ในขณะทนาย ข. มองหลอดไฟดวงเดยวกนดวย มมเงย 90 - α องศา ถาไมคดความสงของนาย ก. และนาย ข. แลวหลอดไฟอยสงจากพนราบกเมตร

1) 10 2) 10 2 3) 10 3 4) 20 19. กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก ถา cot A = 5

12 แลว 10cosec A + 12sec A มคาเทาใด

20. ถา ABC เปนรปสามเหลยมทมมม B เปนมมฉาก และ cos A = 53 แลว cos(B - A) มคาเทากบเทาใด

21. ถา 2cos2θ + cosθ = 1 โดยท 0 ≤ θ ≤ 90° แลว θ เปนมมกองศา 22. cosec30°

°°°°

cos59cos35sin35 sin31 tan55° มคาเทากบเทาใด

23. กาหนดใหสามเหลยม ABC ม AD เปนเสนความสงโดยท D อยบนดาน BC ถาดาน AB ยาว 5 หนวย

ดาน AD ยาว 3 หนวย และ DABˆ = DCAˆ แลวดาน BC ยาวกหนวย


ลาดบและอนกรม ลาดบ ลาดบ (Sequences) คอ ฟงกชนทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวกทเรยงจากนอยไปหามาก 1. ลาดบจากด คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก n ตวแรก {1, 2, 3, ..., n} 2. ลาดบอนนต คอ ลาดบทมโดเมนเปนเซตของจานวนเตมบวก {1, 2, 3, ...} การเขยนลาดบจะเขยนเฉพาะสมาชกทเปนเรนจเรยงกน เชน a1, a2, a3, ..., an เรยก an วาพจนท n หรอพจนทวไป ลาดบเลขคณต คอ ลาดบทมผลตาง ซงไดจากพจนท n + 1 ลบดวยพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “ผลตางรวม” (d) และ โดย an = a1 + (n – 1)d เมอ d = an+1 – an ลาดบเรขาคณต คอ ลาดบทมอตราสวนของพจนท n + 1 ตอพจนท n ไดคาคงตว เรยกคาคงตวนวา “อตราสวนรวม” (r) และ โดย an = a1rn-1

เมอ r = n1n

aa +

อนกรม อนกรม (Series) คอ ผลบวกของพจนทกพจนของลาดบ ให Sn แทนผลบวก n พจนแรกของอนกรม เชน S1 = a1 S2 = a1 + a2 S3 = a1 + a2 + a3 M = M Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเลขคณต 1. Sn = 2

n [2a1 + (n - 1)d]

2. Sn = 2n [a1 + an]

อนกรมเรขาคณต คอ อนกรมทไดจากการบวกกนของลาดบเรขาคณต

1. Sn = r 1)r (1a n

1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

1) (ra n1

-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

2. Sn = r 1

ra a n1-- เมอ r ≠ 1 และ r < 1 หรอ Sn = 1r

ar a 1n-- เมอ r ≠ 1 และ r > 1

สญลกษณแทนการบวก ถา x1, x2, x3, ..., xN เปนคาขอมลชดหนง

∑=

N

1i 1x คอ ผลรวมของคาทกตวของขอมล

1. ∑=

N

1ic = cN เมอ c เปนคาคงตว

2. ∑=

N

1i 1x = x1 + x2 + x3 + ... + xN = 2

)1N(N +

3. ∑=

N

1i21x = 2

1x + 22x + 2

3x + ... + 2Nx =

6)1N2)(1N(N ++

4. ∑=

N

1i31x = 3

1x + 32x + 3

3x + ... + 3Nx =

4)1N(N 22 +

5. ∑=

N

1i 1cx = cx1 + cx2 + cx3 + ... + cxN = ∑=

N

1i 1xc = c2

)1N(N +

6. ∑=

+N

1i 11 ) y (x = ∑=

N

1i 1x + ∑=

N

1i 1y

ตวอยางขอสอบ 1. ลาดบเรขาคณตขอใดตอไปนมอตราสวนรวมอยในชวง (0.3, 0.5) 1) 3, 4

5 , 4825 , ... 2) 2, 3

4 , 98 , ... 3) 4, 3, 4

9 , ... 4) 5, 4, 516 , ...

2. ถาผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมหนง คอ Sn = 3n2 + 2 แลวพจนท 10 ของอนกรมนมคาเทากบ

ขอใดตอไปน 1) 57 2) 82 3) 117 4) 302

3. ∑=

+50

1kk k1)( 1 )( - มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1300 2) 1350 3) 1400 4) 1450


4. ปาจเรมขายขนมครกในวนท 3 มกราคม ในวนแรกขายไดกาไร 100 บาท และวนตอๆ ไปจะขายไดกาไร เพมขนจากวนแรกกอนหนาวนละ 10 บาททกวน ขอใดตอไปนเปนวนทของเดอนมกราคมทปาจขายไดกาไร เฉพาะในวนนน 340 บาท

1) วนท 24 2) วนท 25 3) วนท 26 4) วนท 27 5. ถาผลบวกและผลคณของสามพจนแรกของลาดบเลขคณตทม d เปนผลตางรวมเทากบ 15 และ 80

ตามลาดบ แลว d2 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 4 3) 9 4) 16 6. ถา a เปนจานวนจรงลบ และ a20 + 2a – 3 = 0 แลว 1 + a + a2 + … + a19 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –2 2) –3 3) –4 4) –5 7. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a30 - a10 = 30 แลว ผลตางรวมของลาดบเลขคณตน ม

คาเทากบขอใดตอไปน 1) 1.25 2) 1.5 3) 1.75 4) 2.0 8. ลาดบในขอใดตอไปนเปนลาดบเรขาคณต 1) an = 2n ⋅ 32n 2) an = 2n + 4n 3) an = 3n2 4) an = (2n)n 9. พจนท 16 ของลาดบเรขาคณต 625

1 , 51251 , 125

1 , ... เทากบขอใดตอไปน

1) 25 5 2) 125 3) 125 5 4) 625 10. กาหนดให S = {101, 102, 103, ..., 999} ถา a เทากบผลบวกของจานวนคทงหมดใน S และ b เทากบ

ผลบวกของจานวนคทงหมดใน S แลว b – a มคาเทากบขอใดตอไปน 1) -550 2) -500 3) -450 4) 450 11. พจนท 31 ของลาดบเลขคณต - 20

1 , - 301 , - 60

1 , ... มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 125 2) 30

13 3) 209 4) 15

7 12. ผลบวกของอนกรมเรขาคณต 1 – 2 + 4 – 8 + ... + 256 เทากบขอใดตอไปน 1) -171 2) -85 3) 85 4) 171 13. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณตซง a2 + a3 + a4 + ... + a9 = 100 แลว S10 = a1 + a2 + a3 + ... + a10

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 120 2) 125 3) 130 4) 135 14. ลาดบเลขคณตในขอใดตอไปนมบางพจนเทากบ 40 1) an = 1 - 2n 2) an = 1 + 2n 3) an = 2 - 2n 4) an = 2 + 2n


15. กาหนดให a1, a2, a3 เปนลาดบเรขาคณต โดยท a1 = 2 และ a3 = 200 ถา a2 คอคาในขอใดขอหนง ตอไปน แลวขอดงกลาวคอขอใด

1) -20 2) -50 3) 60 4) 100 16. ขอใดตอไปนเปนอนกรมเรขาคณตทม 100 พจน 1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) + ... + 199 2) 1 + 3

1 + 51 + ... + 1) (2n

1- + ... + 199

1 3) 1 + 2 + 4 + ... + (2n-1) + ... + 2199 4) 5

1 + 1251 + 3125

1 + ... + 12n1

5 - + ... + 1991

5

17. คาของ 1 + 6 + 11 + 16 + ... + 101 เทากบขอใดตอไปน 1) 970 2) 1020 3) 1050 4) 1071 18. กาหนดให 2

3 , 1, 21 , ... เปนลาดบเลขคณต ผลบวกของพจนท 40 และพจนท 42 เทากบขอใด

1) –18 2) –19 3) –37 4) –38 19. ใน 40 พจนแรกของลาดบ an พจนแรกของลาดบ ab = 3 + (-1)n มกพจน ทมคาเทากบพจนท 40 1) 10 2) 20 3) 30 4) 40 20. กาหนดให a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ถา a2 = 8 และ a5 = -64 แลวผลบวกของ 10 พจนแรก

ของลาดบนเทากบขอใด 1) 2048 2) 1512 3) 1364 4) 1024 21. ลาดบเรขาคณตหนงมผลบวกและผลคณของ 3 พจนแรกเปน 13 และ 27 ตามลาดบ ถา r เปนอตราสวน

รวมของลาดบนแลว r + r1 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 310 2) 3

7 3) 34 4) 3

1 22. กาหนดให Sn เปนผลบวก n พจนแรกของลาดบเลขคณต a1 , a2 , a3 , … ถา Sn = 90 และ S10 = 5

แลว a11 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –39 2) –38 3) –37 4) –36 23. ในสวนปาแหงหนง เจาของปลกตนยคาลปตสเปนแถวดงน แถวแรก 12 ตน แถวทสอง 14 ตน แถวทสาม

16 ตน โดยปลกเพมเชนน ตามลาดบเลขคณต ถาเจาของปลกตนยคาลปตสไวทงหมด 15 แถว จะม ตนยคาลปตสในสวนปานทงหมดกตน

24. ลาดบเลขคณต -43, -34, -25, ... มพจนทมคานอยกวา 300 อยกพจน 25. ผลบวกของอนกรมเลขคณต 1 + (-2) + 4 + (-8) + ... + 256 เทากบเทาใด


ความนาจะเปน กฎการนบเบองตน 1. กฎการคณ ถาตองการทางาน k อยาง โดยทงานอยางแรกทาได n1 วธ และในแตละวธเลอกทางานอยางแรกนมวธทางานอยางทสองได n2 วธ และในแตละวธทเลอกทางานอยางแรกและทางานอยางทสองมวธทจะเลอกทางานอยางทสามได n3 วธ ฯลฯ 2. กฎการบวก ถาตองการทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง โดยทอยางแรกทาได n1 วธ อยางทสอง ทาได n2 แตกตางจากวธตางๆ ททางานอยางแรก อยางทสามทาได n3 วธ แตกตางจากวธตางๆ ททาในงานสองอยางแรก ฯลฯ ความนาจะเปน 1. ถาแซมเปลสเปซ S มสมาชก n(S) ตว ซงมโอกาสเกดขนเทาๆ กน และเปนเหตการณใน E ซงมสมาชก n(E) ตว 2. สมบตของความนาจะเปน 1. 0 ≤ P(E) ≤ 1 2. ถา A, B และ C เปนเหตการณใดๆ ใน S จะได • P(AU B) = P(A) + P(B) - P(AI B) • P(AU B) = P(A) + P(B) เมอ A และ B ไมเกดเหตการณรวมกน AI B = φ • P(AU BU C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(AI B) - P(AI C) - P(BI C)

+ P(AI BI C) 3. ถา E เปนเหตการณใน S และ E′ เปนเหตการณตรงขาม แลว

จานวนวธทงหมดทจะเลอกทางานทง k อยางเทากบ n1 + n2 + n3 + … + nk วธ

จานวนวธทจะเลอกทางานอยางใดอยางหนงใน k อยาง เทากบ k321 n … n n n ×××× วธ

ความนาจะเปนของ E เทากบ P(E) = )S(n)E(n

P(E) = 1 - P(E′)


ตวอยางขอสอบ 1. ขอสอบชดหนงมสองตอน ตอนทหนงม 5 ขอ ใหเลอกตอบวาจรงหรอเทจ ตอนทสองม 5 ขอ เปนขอสอบ

แบบ 4 ตวเลอก ถาตองตอบขอสอบชดนทกขอโดยไมเวนแลว จะมวธตอบขอสอบชดนไดตางๆ กนทงหมดเทากบขอใดตอไปน 1) 52 × 54 วธ 2) 25 × 54 วธ 3) 25 × 45 วธ 4) 52 × 45 วธ

2. ในการออกรางวลแตละงวดของกองสลาก ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว จะออกหมายเลขทมหลกหนวยเปนเลขค และหลกสบมากกวาหลกหนวยอย 1 เทากบขอใดตอไปน

1) 0.04 2) 0.05 3) 0.20 4) 0.25 3. ความนาจะเปนทรางวลเลขทาย 2 ตว ของสลากกนแบงรฐบาลจะออกเลขทงสองหลกเปนเลขเดยวกน

เทากบขอใดตอไปน 1) 10

1 2) 102 3) 9

1 4) 92

4. โยนลกเตา 3 ลก ความนาจะเปนทลกเตาจะขนแตมคอยางนอย 1 ลก เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 2) 85 3) 4

3 4) 87

5. จากการสารวจนกเรยนหองหนงจานวน 30 คน พบวา มนกเรยนไมชอบรบประทานปลา 12 คน และ

ชอบรบประทานปลาหรอกง 23 คน ถาสมนกเรยนมา 1 คน แลวความนาจะเปนทจะไดนกเรยนทชอบรบประทานกงเพยงอยางเดยวมคาเทากบขอใดตอไปน

1) 61 2) 5

1 3) 52 4) 5

3 6. กลอง 12 ใบ มหมายเลขกากบเปนเลข 1, 2, ..., 12 และกลองแตละใบบรรจลกบอล 4 ลก เปนลกบอลสดา

สแดง สขาว และสเขยว ถาสมหยบลกบอลจากกลองแตละใบ ใบละหนงลกแลว ความนาจะเปนทจะหยบได ลกบอลสแดงจากกลองหมายเลขค และไดลกบอลสดาจากกลองหมายเลขค เทากบขอใดตอไปน

1) 2

121

2)

1241

3)

1221

4)

4121

7. ครอบครวหนงมพนอง 6 คน เปนชาย 2 คน หญง 4 คน จานวนวธทจะจดใหคนทงหกยนเรยงกนเพอถายรป

โดยใหชายทงสองคนยนอยรมสองขางเสมอ เทากบขอใดตอไปน 1) 12 วธ 2) 24 วธ 3) 36 วธ 4) 48 วธ 8. กาหนดให A = {1, 2, 3}, B = {5, 6, ..., 14} และ r = {(m, n) | m ∈ A, n ∈ B} ถาสมหยบ คอนดบ

1 ค จากความสมพนธ r แลว ความนาจะเปนทจะไดคอนดบ (m , n) ซง 5 หาร n แลวเลอกเศษ 3 เทากบขอใดตอไปน

1) 151 2) 10

1 3) 51 4) 5

3


9. ชางไฟคนหนงสมหยบบนได 1 อน จากบนได 9 อน ซงมความยาว 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 และ 12 ฟต แลวนามาพาดกาแพงโดยใหปลายดานหนงหางจากกาแพง 3 ฟต ความนาจะเปนทบนไดจะทามมกบพนราบนอยกวา 60 องศา มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 91 2) 9

2 3) 93 4) 9

4 10. พจารณาขอความตอไปน ก. การทดลองสมเปนการทดลองททราบวาผลลพธอาจเปนอะไรไดบาง ข. แตละผลลพธของการทดลองสมมโอกาสเกดขนเทาๆ กน ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 11. โรงเรยนแหงหนงมรถโรงเรยน 3 คน นกเรยน 9 คน กาลงเดนไปขนรถโรงเรยนโดยสม ความนาจะเปนทไม

มนกเรยนคนใดขนรถคนแรกเทากบขอใดตอไปน

1) 9

31

2)

932

3)

991

4)

992

12. ในการคดเลอกคณะกรรมการหมบานซงประกอบดวยประธานฝายชาย 1 คน ประธานฝายหญง 1 คน

กรรมการฝายชาย 1 คน และกรรมการฝายหญง 1 คน จากผสมครชาย 4 คน และหญง 8 คน มวธการเลอกคณะกรรมการไดกวธ

1) 168 วธ 2) 324 วธ 3) 672 วธ 4) 1344 วธ 13. มาลตองการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C โดยตองเดนทางผานไปยงเมอง B กอนจากเมอง A ไปเมอง

B มาลสามารถเลอกเดนทางโดยรถยนต รถไฟ หรอเครองบนได แตจากเมอง B ไปเมอง C สามารถเดนทางไปทางเรอ รถยนตรถไฟ หรอเครองบน ขอใดตอไปนคอจานวนวธในการเดนทางจากเมอง A ไปยงเมอง C ทจะตองเดนทางโดยรถไฟเปนจานวน 1 ครง

1) 5 2) 6 3) 8 4) 9 14. โรงแรมแหงหนงมหองวางชนทหนง 15 หอง ชนทสอง 10 หอง ชนทสาม 25 หอง ถาครสมใจตองการเขา

พกในโรงแรมแหงนโดยวธสมแลว ความนาจะเปนทครสมใจจะไดเขาพกหองชนทสองของโรงแรมเทากบ ขอใดตอไปน

1) 101 2) 5

1 3) 103 4) 2

1 15. ในการหยบบตรสามใบ โดยหยบทละใบจากบตรสใบ ซงมหมายเลข 0, 1, 2 และ 3 กากบ ความนาจะเปนท

จะไดผลรวมของตวเลขบนบตรสองใบแรกนอยกวาตวเลข บนบตรใบทสามเทากบขอใด 1) 4

1 2) 43 3) 2

1 4) 32


16. ทาสเหรยญสามอนดงน เหรยญแรกดานหนงทาสขาว อกดานหนงทาสแดง เหรยญทสองดานหนงทาสแดง อกดานหนงทาสฟา เหรยญทสามดานหนงทาสฟา อกดานหนงทาสขาว โยนเหรยญทงสามขนพรอมกน ความนาจะเปนทเหรยญจะขนหนาตางสกนทงหมดเปนดงขอใด

1) 21 2) 4

1 3) 81 4) 16

1 17. กลองใบหนงบรรจสลากหมายเลข 1-10 หมายเลขละ 1 ใบ ถาสมหยบสลากจานวนสองใบ โดยหยบท

ละใบแบบไมใสคน ความนาจะเปนทจะหยบไดสลากหมายเลขตากวา 5 เพยงหนงใบเทานน เทากบขอใด 1) 9

2 2) 158 3) 35

2 4) 15611

18. ในการวดสวนสงนกเรยนแตละคนในชน พบวานกเรยนทสงทสดสง 177 เซนตเมตร และนกเรยนทเตยทสด

สง 145 เซนตเมตร พจารณาเซตของสวนสงตอไปน S = {H | เปนสวนสงในหนวยเซนตเมตรของนกเรยนในชน} T = {H | 145 ≤ H ≤ 177} เซตใดถอเปนปรภมตวอยาง (แซมเปลสเปซ) สาหรบการทดลองสมน 1) S และ T 2) S เทานน 3) T เทานน 4) ทง S และ T ไมเปนปรภมตวอยาง 19. ในการเลอกคณะกรรมการชดหนง ซงประกอบดวย ประธาน รองประธาน และเลขานการอยางละ 1 คน

จากหญง 6 คน และชาย 4 คน ความนาจะเปนทคณะกรรมการชดน จะมประธานและรองประธานเปนหญงเทากบเทาใด

1) 181 2) 12

1 3) 91 4) 3

1 20. กลองใบหนงมลกบอล 10 ลก เปนสแดง 1 ลก สนาเงน 2 ลก สขาว 2 ลก นอกนนเปนสอนๆ ความนาจะ

เปนทจะหยบลกบอล 3 ลกจากกลองใบนใหไดสแดง 1 ลก สนาเงน 1 ลก และไมไดสขาว เทากบขอใดตอไปน

1) 121 2) 10

1 3) 607 4) 15

2 21. สลากชดหนงม 10 ใบ มหมายเลข 1-10 กากบ ความนาจะเปนทจะหยบสลากพรอมกน 3 ใบ ใหมแตมรวม

เปน 10 และไมมสลากใบใดมหมายเลขสงกวา 5 มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 60

1 2) 401 3) 30

1 4) 201

22. ตนรภยมระบบลอกทเปนรหสประกอบดวยตวเลขโดด 0 ถง 9 จานวน 3 หลก จานวนรหสทงหมดทมบาง

หลกซากน คอขอใด 23. จานวนวธในการจดหญง 3 คน และชาย 3 คน นงเรยงกนเปนแถว โดยใหสามภรรยาคหนงนงตดกนเสมอ

มทงหมดกวธ 24. ในการเขยนตวเลข 3 ตว จากเลขโดด 1 ถง 7 โดยทเลขโดดในหลกทงสามไมซากนเลย จะมวธเขยนตวเลข

เหลานทแสดงจานวนคไดกวธ


25. มกลอง 2 ใบ แตละใบมลกบอลหมายเลข 1, 2, 3, 4, 5 อยอยางละลก ถาสมหยบลกบอลจากกลองทงสองใบน กลองละลกแลว ความนาจะเปนทจะไดลกบอลหมายเลขตางกนเทากบเทาใด

26. ถานาตวอกษรทงหมดจากคาวา AVATAR มาจดเรยงเปนคาตางๆ โดยไมจาเปนตองมความหมาย จะจดเปนคาทแตกตางกนไดกวธ

27. ตองการจดทนงใหผใหญ 3 คน กบเดก 4 คน เดนทางดวยรถยนต 7 ทนง โดยคนขบตองเปนผใหญ จะมวธการจดไดกวธ

28. จากการสารวจนกเรยนกลมหนงจานวน 100 คน ไดขอมลวามนกเรยนทสวมรองเทาขนาดตางๆ ดงน

เบอรรองเทา จานวนนกเรยน5 3 6 12 7 35 8 27 9 16 10 7 รวม 100 คน

ถาเลอกนกเรยน 1 คน จากนกเรยนกลมนอยางสม แลวความนาจะเปนทจะเลอกไดนกเรยนสวมรองเทา

เบอร 6 หรอเบอร 7 เทากบเทาใด 29. เสอ 50 ตว บรรจในกลองใบหนงมขนาดและสตางๆ เปนจานวนตามตารางตอไปน

ส ขนาด

แดง เขยว เหลอง นาเงน สม รวม

S 2 1 2 3 1 9 M 4 5 5 2 3 19 L 3 3 3 4 5 18 XL 1 1 0 1 1 4 รวม 10 10 10 10 10 50

ถาสมหยบเสอมา 1 ตว ความนาจะเปนทจะไดเสอสเขยวขนาด L หรอเสอสสมขนาด S เทากบเทาใด


สถต สถต หมายถง ตวเลขทแทนจานวนหรอขอเทจจรงของสงทเราศกษา สถต หมายถง ศาสตรทวาดวยระเบยบวธการทางสถต ซงประกอบดวย 1. การเกบรวบรวมขอมล 2. การนาเสนอขอมล 3. การวเคราะหขอมล 4. การสรปและตความหมายของขอมล ลกษณะของขอมล แยกเปน 2 ประเภท 1. ขอมลเชงปรมาณ 2. ขอมลเชงคณภาพ ขอมลเบองตนเกยวกบสถต 1. ความถ คอ ขอมลชดหนงทประกอบดวยคาคะแนนสามารถแบงออกไดเปน 1.1 ขอมลไมแจกแจงความถ (ขอมลดบ, ตารางทไมมชวงชน) 1.2 ขอมลแจกแจงความถ (ตารางทมชวงชน) 2. ความถสะสม คอ ผลรวมของความถนนกบความถของคาทนอยกวาทงหมดหรอสงกวาทงหมดอยางใดอยางหนง 3. ขดจากด คอ คากงกลางระหวางอนตรภาคชนทอยตดกน 3.1 ขดจากดบนของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนทสงสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนตาสดของอนตรภาคชนทมคะแนนสงกวาทอยตดกน 3.2 ขดจากดลางของอนตรภาคชนใด คอ คากงกลางระหวางคะแนนตาสดของอนตรภาคชนนนกบคะแนนสงสดของอนตรภาคชนทมคะแนนตากวาทอยตดกน 4. ความกวางของอนตรภาคชน คอ ผลตางระหวางขดจากดบนและขดจากดลางของชนนน

5. คากงกลางของอนตรภาคชนใด คอ ขดจากดบน + ขดจากดลาง2

6. พสย คอ xmax - xmin คากลางของขอมล 1. คาเฉลยเลขคณต ( x ) หาไดจาก x = N

xΣ

2. มธยฐาน (Me) คอ คากลางของขอมลซงเมอเรยงขอมลจากนอยไปมากหรอจากมากไปนอย แลวจานวนขอมลทนอยกวาคานนจะเทากบจานวนขอมลทมากกวาคานน 3. ฐานนยม (Mo) ขอมลทมความถสงสดในขอมลชดนน ขอมลชดใดถามขอมลซากนหรอมความถสงสดเพยงจานวนเดยวจานวนนนเปนคาฐานนยม


คากลางของขอมล กรณขอมลไมแจกแจงความถ กรณขอมลมการแจกแจงความถ

คาเฉลยเลขคณต ( x ) x = NxΣ x = N

x fΣ

มธยฐาน (Me) Me = ขอมลตาแหนงท 21N + Me = L +

MM

fF 2

N -I

ฐานนยม (Mo) Mo = ความถทมมากทสด Mo = L +

+ 211d d

d I

ควอไทล Qr = 41)r(N + Qr = L +

fF 2

rN -I

เดไซล Dr = 101)r(N + Dr = L +

fF 10

rN -I

เปอรไซล Pr = 1001)r(N + Pr = L +

fF 100

rN -I

หมายเหต : 1. คาเฉลยสะสม รวมx = N1 1x + N2 2x + N3 3x + ... + Nk kx 2. L คอ ขดจากดลางของอนตรภาคชนทมขดจากดลางอย 3. N คอ จานวนขอมลทงหมด 4. F คอ ผลรวมของความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาอนตรภาคชนทตองการ 5. f คอ ความถของอนตรภาคชนทตองการ 6. I คอ ความกวางของอนตรภาคชนนน 7. dn คอ ผลตางระหวางความถของอนตรภาคทมความถสงสดกบความถของอนตรภาคชนทมคาตากวาทอยตดกน 8. r คอ ตาแหนง ควอไทล เดไซล หรอเปอรเซนตไทล ทตองการ สวนเบยงเบนมาตรฐาน

S = N)x (x 2

i -Σ หรอ S = 22

i )x( N)(x -Σ


คาความแปรปรวน (S2) S2 = N

1 ∑ (x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ x2 - x 2 (สตรลด)

หรอ S2 = N1 ∑ f(x - x )2 (กรณขอมลไมไดแจกแจงความถ)

= N1 ∑ fx2 - x 2 (สตรลด)

คามาตรฐาน z = S

x x - (S = 2S คอ คาเบยงเบนมาตรฐาน)

ความสมพนธของ x , Med., Mod. 1. ขอมลเปนโคงปกต 2. ขอมลเบซาย 3. ขอมลเบขวา

แผนภาพกลอง (Box-and-Whisker Plot หรอ Box-Plot) แผนภาพกลองทาใหเราทราบถงลกษณะการกระจายของขอมล

คาตาสด คาสงสด

25%25%25%25%

1Q 2Q 3Q

จากแผนภาพพบวา ขอมลทอยระหวาง Q1 กบ Q2 มการกระจายมากทสด รองลงมาคอขอมลทอยระหวาง Q3 ถงคาสงสด ขอมลระหวางคาตาสดกบ Q1 และขอมลระหวาง Q2 กบ Q3 ตามลาดบ แผนภาพตน-ใบ เปนการจดขอมลเปนกลมเพอแจกแจงความถและวเคราะหขอมลเบองตนไปพรอมกน เรยกวาแผนภาพตน-ใบ (Stem-and-Leaf Plot หรอ Stem Plot) สวนประกอบของแผนภาพตน-ใบ 1. ตน เปนขอมลตงแตหลกสบขนไป 2. ใบ เปนขอมลในหลกหนวย


ตวอยางขอสอบ 1. ถาขอมลชดหนงประกอบดวย 10, 12, 15, 13 และ 10 แลวขอความใดเปนเทจ สาหรบขอมลชดน 1) มธยฐาน เทากบ 12 2) ฐานนยม นอยกวา 12 3) ฐานนยม นอยกวา คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยเลขคณต มากกวา 12 2. เมอพจารณาผลการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 39 คน พบวา เปอรเซนตไทลท 25 ของคะแนนสอบ

เทากบ 35 คะแนน และมนกเรยน 30 คน ไดคะแนนนอยกวาหรอเทากบ 80 คะแนน ถามนกเรยนทสอบได 35 คะแนนเพยงคนเดยวแลว จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวง 35-80 คะแนน เทากบขอใดตอไปน

1) 18 คน 2) 19 คน 3) 20 คน 4) 21 คน 3. จากตารางแสดงนาหนกของนกเรยนจานวน 50 คน เปนดงน

นาหนก (กโลกรม) จานวน (คน) 30-39 4 40-49 5 50-59 13 60-69 17 70-79 6 80-89 5

ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง 1) นกเรยนกลมนสวนใหญมนาหนก 60-69 กโลกรม 2) นกเรยนทมนาหนกตากวา 50 กโลกรม ม 9 คน 3) นกเรยนทมนาหนกในชวง 50-59 กโลกรม ม 26% 4) นกเรยนทมนาหนกมากกวา 80 กโลกรม ม 10% 4. ครอบครวหนงมบตร 4 คน บตร 2 คน มนาหนกเทากนและมนาหนกนอยกวาบตรอก 2 คน ถานาหนกของ

บตรทง 4 คน มคาฐานนยม มธยฐาน และพสยเทากบ 45, 47.5 และ 7 กโลกรม ตามลาดบ แลวคาเฉลยเลขคณตของนาหนกของบตรทง 4 คน มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 46 กโลกรม 2) 47 กโลกรม 3) 48 กโลกรม 4) 49 กโลกรม


5. ถานาหนก (คดเปนกโลกรม) ของนกเรยน 2 กลม กลมละ 6 คน เขยนเปนแผนภาพตน-ใบ ไดดงน นกเรยนกลมท 1 นกเรยนกลมท 2 8 6 4 3 4 9 8 6 6 4 2 2 4 5 0 ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 2 มากกวานาหนกเฉลยของนกเรยนกลมท 1 2) ฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวาฐานนยมของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 3) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 2 มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 4) มธยฐานของนาหนกของนกเรยนทงหมด มากกวามธยฐานของนาหนกของนกเรยนกลมท 1 6. แผนภาพกลองตอไปนแสดงคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง และนกเรยนชาย

คะแนนสอบ0 100

คะแนนสอบของนกเรยนชาย

คะแนนสอบของนกเรยนหญง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) คะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนชาย สงกวาคะแนนสอบเฉลยวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง 2) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนชายมการกระจายเบขวา 3) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญง มการกระจายมากกวาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของ

นกเรยนชาย 4) คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหญงมการกระจายเบขวา 7. ขอมลชดหนงประกอบดวย 19 จานวน ตอไปน 6 8 9 12 12 15 15 16 18 19 20 20 21 22 23 24 25 30 30 ควอไทลท 3 มคาตางจากเปอรเซนตไทลท 45 เทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 8. อายเฉลยของคนกลมหนงเทากบ 31 ป ถาอายเฉลยของผหญงในกลมนเทากบ 35 ป และอายเฉลยของ

ผชายในกลมนเทากบ 25 ป แลว อตราสวนระหวางจานวนผหญงตอจานวนผชายในกลมเทากบขอใดตอไปน 1) 2 : 3 2) 2 : 5 3) 3 : 2 4) 3 : 5 9. ความสมพนธระหวางกาไร (y) และราคาทน (x) ของสนคาในรานแหงหนงเปนไปตามสมการ y = 2x - 30

ถาราคาทนของสนคา 5 ชนด คอ 31, 34, 35, 36 และ 39 บาท แลวคาเฉลยเลขคณตของกาไรในการขายสนคาทง 5 ชนดน เทากบขอใดตอไปน

1) 25 บาท 2) 30 บาท 3) 35 บาท 4) 40 บาท


10. ตารางแจกแจงความถ แสดงจานวนนกเรยนในชวงอายตางๆ ของนกเรยนกลมหนงเปนดงน

ชวงอาย (ป) ความถ (คน) 1-5 4 6-10 9 11-15 2 16-20 5

อายเฉลยของนกเรยนกลมนเทากบขอใดตอไปน 1) 9 ป 2) 9.5 ป 3) 10 ป 4) 10.5 ป 11. กาหนดใหขอมลชดหนง คอ 10, 3, x, 6, 6 ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน มคาเทากบมธยฐาน แลว x

มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3 2) 4 3) 5 4) 6 12. เมอสองปกอน นกเรยนหองหนงม 30 คน แบงออกไดเปนสองกลม กลมทหนงม 10 คน ทกคนมอาย 10 ป

และกลมท 2 ม 20 คน มอายเฉลย 8.5 ป ถาความแปรปรวนของอายนกเรยนในกลมทสอง เทากบ 0 แลว ในปจจบน ความแปรปรวนของอายนกเรยนหองน เทากบขอใดตอไปน

1) 21 2) 3

2 3) 25 4) 3

8 13. นกเรยนกลมหนงจานวน 80 คน ซงม ลาเจยก ลาดวน และลาพ รวมอยดวย ปรากฏผลการสอบดงน ลาดวนไดคะแนนตรงกบควอไทลทสาม ลาพไดคะแนนตรงกบเปอรเซนตไทลท 50 ลาเจยกไดคะแนนเปนลาดบท 30 เมอเรยงคะแนนจากมากไปหานอย ขอใดตอไปนเปนการเรยงรายชอของผทไดคะแนนนอยไปหาผทไดคะแนนมาก 1) ลาพ ลาเจยก ลาดวน 2) ลาพ ลาดวน ลาเจยก 3) ลาเจยก ลาพ ลาดวน 4) ลาเจยก ลาดวน ลาพ 14. กาหนดใหตารางแจกแจงความถสะสมของคะแนนของนกเรยนหองหนง เปนดงน

ชวงคะแนน ความถสะสม 30-39 1 40-49 11 50-59 18 60-69 20

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง 1) นกเรยนทไดคะแนน 40-49 คะแนน มจานวน 22% 2) นกเรยนสวนใหญไดคะแนน 60-69 คะแนน 3) นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 53 คะแนน มจานวนนอยกวา นกเรยนทไดคะแนน 40–49 คะแนน 4) นกเรยนทไดคะแนนนอยกวา 47 คะแนน มจานวนมากกวา นกเรยนทไดคะแนนมากกวา 50 คะแนน


15. จากการทดสอบนกเรยนจานวน 100 คน ใน 2 รายวชา แตละรายวชามคะแนนเตม 150 คะแนน ถาผลการทดสอบทงสองรายวชาเขยนเปนแผนภาพกลองไดดงน

0 140

คะแนนสอบรายวชาท 1

คะแนนสอบรายวชาท 2

20 40 60 80 100 120 ขอสรปในขอใดตอไปนถก 1) คะแนนสอบทงสองรายวชามการแจกแจงแบบปกต 2) จานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน 80 คะแนน ในรายวชาท 1 มากกวาจานวนนกเรยนทไดคะแนนไมเกน

80 คะแนน ในรายวชาท 2 3) คะแนนสงสดทอยในกลม 25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 1 นอยกวาคะแนนสงสดทอยในกลม

25% ตาสด ของผลการสอบรายวชาท 2 4) จานวนนกเรยนทไดคะแนนระหวาง 60–80 คะแนน ในการสอบรายวชาท 2 นอยกวาจานวนนกเรยนท

ไดคะแนนในชวงเดยวกน ในการสอบรายวชาท 1 16. คะแนนของผเขาสอบ 15 คน เปนดงน 45, 54, 59, 60, 62, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 75, 76, 80, 81 ถาเกณฑในการสอบผาน คอ ตองไดคะแนนไมตากวาเปอรเซนตไทลท 60 แลว ขอใดตอไปนเปนคะแนน

ตาสดของผทสอบผาน 1) 68 2) 70 3) 72 4) 73

17. ขอมลชดหนง ถาเรยงจากนอยไปหามากแลว ไดเปนลาดบเลขคณตตอไปน 2, 5, 8, ..., 92 ควอไทลท 3 ของขอมลชดนมคาเทากบขอใดตอไปน 1) 68 2) 69 3) 71 4) 72 18. ในการแขงขนกฬามหาวทยาลยโลกครงท 24 ซงประเทศไทยเปนเจาภาพ มการสงรายชอนกกฬาจาก

ประเทศไทย 379 คน มอายเฉลย 22 ป ถามการถอนตวนกกฬาไทยออก 4 คน ซงมอาย 24, 25, 25 และ 27 ป และมการเพมนกกฬาไทยอก 5 คน ซงมอายเฉลย 17 ป แลวอายเฉลยของนกกฬาจากประเทศไทย จะเทากบขอใดตอไปน 1) 21.6 ป 2) 21.7 ป 3) 21.8 ป 4) 21.9 ป

19. กาหนดแผนภาพตน-ใบ ของขอมลชดหนง ดงน 0 3 7 5 1 6 4 3 2 0 2 1 2 3 0 1 สาหรบขอมลชดน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) มธยฐาน < ฐานนยม < คาเฉลยเลขคณต 2) มธยฐาน < คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต < ฐานนยม < มธยฐาน 4) คาเฉลยเลขคณต < มธยฐาน < ฐานนยม 20. คาเฉลยเลขคณตของนาหนกของพนกงานของบรษทหนง เทากบ 48.01 กโลกรม บรษทนมพนกงานชาย

43 คน พนกงานหญง 57 คน ถาคาเฉลยเลขคณตของนาหนกพนกงานหญงเทากบ 45 กโลกรม แลวนาหนกของพนกงานชายทงหมดรวมกนเทากบขอใด

1) 2236 กโลกรม 2) 2279 กโลกรม 3) 2322 กโลกรม 4) 2365 กโลกรม 21. ถาสมตวเลขหนงตวจากขอมลชดใดๆ ซงประกอบดวยตวเลข 101 ตวแลว ขอใดตอไปนถก 1) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคามธยฐาน < 2

1

2) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคานอยกวาคาเฉลยเลขคณต < 21

3) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคามธยฐาน > 21

4) ความนาจะเปนทตวเลขทสมไดมคามากกวาคาเฉลยเลขคณต > 21

22. ครสอนวทยาศาสตรมอบหมายใหนกเรยน 40 คน ทาโครงงานตามความสนใจ หลงจากตรวจรายงาน

โครงงานของทกคนแลว ผลสรปเปนดงน

ผลการประเมน จานวนโครงงานดเยยม ด

พอใช ตองแกไข

3 20 12 5

ขอมลทเกบรวบรวม เพอใหไดผลสรปขางตนเปนขอมลชนดใด 1) ขอมลปฐมภม เชงปรมาณ 2) ขอมลทตยภม เชงปรมาณ 3) ขอมลปฐมภม เชงคณภาพ 4) ขอมลทตยภม เชงคณภาพ 23. สาหรบขอมลเชงปรมาณใดๆ ทมคาสถตตอไปน คาสถตใดจะตรงกบคาของขอมลคาหนงเสมอ 1) พสย 2) คาเฉลยเลขคณต 3) มธยฐาน 4) ฐานนยม


24. ขอมลตอไปนแสดงนาหนกในหนวยกโลกรม ของนกเรยนกลมหนง 41, 88, 46, 42, 43, 49, 44, 45, 43, 95, 47, 48 คากลางในขอใดเปนคาทเหมาะสมทจะเปนตวแทนของขอมลชดน 1) มธยฐาน 2) ฐานนยม 3) คาเฉลยเลขคณต 4) คาเฉลยของคาสงสดและคาตาสด 25. แผนภาพตน-ใบ ของนาหนกในหนวยกรมของไขไก 10 ฟอง เปนดงน 5 7 8 6 7 8 9 7 0 4 4 7 8 1 ขอสรปใดเปนเทจ 1) ฐานนยมของนาหนกของไขไกมเพยงคาเดยว 2) คาเฉลยเลขคณตและมธยฐานของนาหนกของไขไกมคาเทากน 3) มไขไก 5 ฟองทมนาหนกนอยกวา 70 กรม 4) ไขไกทมนาหนกสงกวาฐานนยม มจานวนมากกวา ไขไกทมนาหนกเทากบฐานนยม 26. คะแนนสอบความรทวไปของนกเรยน 200 คน นาเสนอโดยใชแผนภาพกลองดงน

10 12 16 18 24 ขอใดเปนเทจ 1) จานวนนกเรยนททาได 12 ถง 16 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน 2) จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 18 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 3) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 12 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 18 ถง 24 คะแนน 4) จานวนนกเรยนททาได 10 ถง 16 คะแนน มเทากบ จานวนนกเรยนททาได 16 ถง 24 คะแนน 27. จากการตรวจสอบลาดบทของคะแนนสอบของนาย ก และนาย ข ในวชาคณตศาสตร ทมผเขาสอบ 400 คน

ปรากฏวานาย ก สอบไดคะแนนอยในตาแหนงควอไทลท 3 และนาย ข สอบไดคะแนนอยในตาแหนงเปอรเซนตไทลท 60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนระหวางคะแนนนาย ก และคะแนนนาย ข มประมาณ กคน

1) 15 คน 2) 30 คน 3) 45 คน 4) 60 คน


28. ขอมลชดหนง มบางสวนถกนาเสนอในตารางตอไปน

อนตรภาคชน ความถ ความถสะสม ความถสมพทธ2-6 7-11 12-16 17-21

6

11 14

0.2

0.3 ชวงคะแนนใดเปนชวงคะแนนทมความถสงสด 1) 2-6 2) 7-11 3) 12-16 4) 17-21 29. ในการใชสถตเพอการตดสนใจและวางแผน สาหรบเรองทจาเปนตองมการใชขอมลและสารสนเทศ ถาขาด

ขอมลและสารสนเทศดงกลาว ผตดสนใจควรทาขนตอนใดกอน 1) เกบรวบรวมขอมล 2) เลอกวธวเคราะหขอมล 3) เลอกวธเกบรวบรวมขอมล 4) กาหนดขอมลทจาเปนตองใช 30. จานวนผวางงานทวประเทศในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2551 มจานวนทงสน 4.29 แสนคน ตาราง

เปรยบเทยบอตราการวางงานในเดอนกนยายน ป พ.ศ. 2550 กบป พ.ศ. 2551 เปนดงน อตราการวางงานในเดอนกนยายน

(จานวนผวางงานตอจานวนผอยในกาลงแรงงานคณ 100) พนทสารวจ ป พ.ศ. 2550 ป พ.ศ. 2551

ภาคใต ภาคตะวนออกเฉยงเหนอ ภาคเหนอ ภาคกลาง (ยกเวนกรงเทพมหานคร) กรงเทพมหานคร ทวประเทศ

1.0 0.9 1.5 1.3 1.2 1.2

1.0 1.3 1.2 0.9 1.2 1.1

พจารณาขอความตอไปน ก. จานวนผวางงานในภาคใตในเดอนกนยายนของป พ.ศ. 2550 และของป พ.ศ. 2551 เทากน ข. จานวนผอยในกาลงแรงงานทวประเทศในเดอนกนยายนป พ.ศ. 2551 มประมาณ 39 ลานคน ขอใดถกตอง 1) ก. และ ข. 2) ก. เทานน 3) ข. เทานน 4) ก. และ ข. ผด 31. ขอมลชดหนงม 10 จานวน ประกอบดวยจานวนตอไปน 4, 8, 8, 9, 14, 15, 18, 18, 22, 25 ควอไทลทสามของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด


32. ในการสารวจนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนทมนกเรยน 30 คน เปนดงน นาหนก (กโลกรม) ความถสะสม (คน)

30-49 10 50-69 26 70-89 30

คาเฉลยของนาหนกตวของนกเรยนในชนเรยนนเทากบกกโลกรม 33. คะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนงแสดงดวยแผนภาพตน-ใบไดดงน 3 0 4 9 4 0 7 7 8 8 8 5 0 0 1 2 2 3 4 6 6 7 7 8 8 9 6 0 2 3 3 6 8 9 7 0 1 เปอรเซนตไทลท 50 ของคะแนนสอบนเทากบคะแนนเทาใด

เฉลย เซต 1. 3) 2. 3) 3. 3) 4. 4) 5. 4) 6. 4) 7. 3) 8. 1) 9. 1) 10. 32 11. 30 12. 50 13. 101 การใหเหตผล 1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 3) 6. 3) 7. 3) ระบบจานวนจรง 1. 4) 2. 1) 3. 3) 4. 2) 5. 3) 6. 1) 7. 2) 8. 2) 9. 2) 10. 1) 11. 4) 12. 1) 13. 1) 14. 1) 15. 3) 16. 4) 17. 1) 18. 3) 19. 4) 20. 1) 21. 3) 22. 2) 23. 4) 24. 2) 25. 3) 26. 4) 27. 3) 28. 4) 29. 3) 30. 2) 31. 2) 32. 1) 33. 3) 34. 4) 35. 94 36. 2 37. 2 38. 27 39. 8 เลขยกกาลง 1. 2) 2. 3) 3. 2) 4. 2) 5. 3) 6. 3) 7. 3) 8. 3) 9. 1) 10. 2) 11. 4) 12. 2) 13. 0.75


ความสมพนธและฟงกชน 1. 2) 2. 4) 3. 4) 4. 1) 5. 3) 6. 4) 7. 2) 8. 2) 9. 4) 10. 2) 11. 2) 12. 2) 13. 3) 14. 1) 15. 2) 16. 4) 17. 1) 18. 1) 19. 4) 20. 1) 21. 4) 22. 2) 23. 3) 24. 4) 25. 1) 26. 3) 27. 6 28. 2 อตราสวนตรโกณมต 1. 1) 2. 2) 3. 4) 4. 1) 5. 2) 6. 4) 7. 2) 8. 4) 9. 3) 10. 1) 11. 1) 12. 3) 13. 3) 14. 2) 15. 2) 16. 3) 17. 4) 18. 4) 19. 39 20. 0.8 21. 60 22. 2) 23. 625 ลาดบและอนกรม 1. 1) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 3) 6. 1) 7. 2) 8. 1) 9. 3) 10. 1) 11. 3) 12. 4) 13. 2) 14. 4) 15. 1) 16. 4) 17. 4) 18. 3) 19. 2) 20. 3) 21. 1) 22. 2) 23. 390 24. 39 25. 171 ความนาจะเปน 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 4) 5. 1) 6. 2) 7. 3) 8. 3) 9. 2) 10. 2) 11. 2) 12. 3) 13. 1) 14. 2) 15. 1) 16. 2) 17. 2) 18. 2) 19. 4) 20. 1) 21. 1) 22. 280 23. 240 24. 120 25. 0.8 26. 120 27. 2160 28. 0.47 29. 0.08 สถต 1. 4) 2. 4) 3. 4) 4. 3) 5. 1) 6. 1) 7. 2) 8. 3) 9. 4) 10. 3) 11. 3) 12. 1) 13. 1) 14. 3) 15. 3) 16. 3) 17. 3) 18. 4) 19. 4) 20. 1) 21. 1) 22. 3) 23. 4) 24. 1) 25. 4) 26. 2) 27. 4) 28. 1) 29. 4) 30. 2) 31. 19 32. 55.5 33. 55

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013______________________________________คณตศาสตร (53)

คณตศาสตร (54) ____________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013


แนวขอสอบ PAT 1 จานวนเชงซอน 1. กาหนดให z1, z2, z3 เปนรากของสมการ (z + 2)3 = 8 จงหาคาของ |z1| + |z2| + |z3| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 3 2) 2 3 3) 4 3 4) 12 2. กาหนดให z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ 3|z + 1| = |z + 9| แลวคาของ | z | มคา

เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


3. ให z1, z2, z3, ... เปนลาดบของจานวนเชงซอนโดยท z1 = 0, zn+1 = 2nz + i สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

เมอ i = 1- คาสมบรณของ z111 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 110 4. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอนใดๆ และ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2 ถา 5z1 + 2z2 = 5

และ 2z = 1 + 2i เมอ i2 = -1 แลว เทาของ |5 11z- | เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

5. ให z1 และ z2 เปนจานวนเชงซอน ถา 11z- = 5

3 - 54 i เมอ i2 = -1 และ 5z1 + 2z2 = 5 แลว 2z

เทากบขอใดตอไปน (เมอ 2z แทนสงยค (Conjugate) ของ z2) (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 3 - 2i 2) 3 + 2i 3) 1 - 2i 4) 1 + 2i

6. ถา n เปนจานวนเตมบวกทนอยทสดททาให n

22i 2

2

+ = 1 เมอ i2 = -1 แลว n มคาเทากบเทาใด

(PAT 1 ก.ค. 53) 7. พจารณาขอความตอไปน ก. ถา z เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z2 = i2

i2-+ + 2i1

4i3++ + i 3

15i 5-+ เมอ i = 1-

แลวคาสมบรณของ z เทากบ 37 ข. ถา x และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ yix

2i5++- = 4) 3)(i 2)(i 1)(i i(i

10++++

แลวคา x + y = 15 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 8. ถา (1 + bi)3 = -107 + ki เมอ b, k เปนจานวนจรง และ i = 1- แลว |k| เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 9. กาหนดให a, b และ z เปนจานวนเชงซอน โดยท |a| ≠ |b|, |a| ≠ 1 และ |b| ≠ 1 ถา |az + b| = | zb + a | แลว |z| เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 10. ถา x - 1 + i เปนตวประกอบของพหนาม P(x) = x3 + ax2 + 4x + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง

แลวคาของ a2 + b2 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 17 2) 13 3) 8 4) 5 11. กาหนดให z1 และ z2 เปนจานวนจรงเชงซอน โดยท |z1| = |z1 + z2| = 3 และ |z1 - z2| = 3 3

คาของ |zz zz||5z| |z11|212121

+

- เทากบเทาใด ( z แทนสงยค (Conjugate) ของ z) (PAT 1 ม.ค. 54)

12. กาหนดให z = 1

2i 12 i

---

จงหาคาของ |3z2 + z - 1 - 3i| (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)


13. ใช z1 และ z2 เปนเชงซอน โดยท |z1 - z2| = 1 และ |z1 + z2| = 2 คาของ |z1|2 + |z2|2 เปนเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

14. ให A เปนเซตของจานวนเชงซอน z ทงหมดทสอดคลองกบสมการ |z| - 2z = 1 - 2i

และ B =

+= ∈A z เมอ 2i 1

i)z (2 w |w| - ผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต B คอเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 15. กาหนดให z1, z2 เปนจานวนเชงซอนทสอดคลองกบสมการ z2 - z + 2 = 0

แลวคาของ (|z1|2 + |z2|2)

2121 zz

z z + (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 1 2) 2 3) 2 4) 2 2

เกงขอสอบ “จานวนเชงซอน” 1. ให z1, z2 เปนจานวนเชงซอน โดยท |z1| = |z1 + z2| = 4 และ |z1 - z2| = 2 5

จงหาคาของ |z3z z3z||zz| |z4|1221

221+

+ เฉลยวธคด Q |z1 + z2| = 4 → |z1|2 + z1 2z + z2 1z + |z2|2 = 16 ...(1) APoint 2 Q |z1 - z2| = 2 5 → |z1|2 - z1 2z - z2 1z + |z2|2 = 20 ...(2) APoint 3 (1) + (2) ; 2|z1|2 + 2|z2|2 = 36 ∴ |z1|2 + |z2|2 = 18 ...(3) แทนคา |z1| = 4 ใน (3) จะได |z2|2 = 18 - 42 ∴ |z2| = 2 แทนคา |z1|, |z2| ใน (1) จะได z1 2z + z2 1z = 16 - 42 - ( 2 )2 = -2 APoint 4 APoint 1

ดงนน |z3z z3z||zz| |z4|1221

221+

+ = |zz zz|3||z|| |z|41221

221

+

+ = |2|3|)2(| 4(4) 2

-+ = 6

18 = 3 Ans

APoint ทตองร : 1 z ⋅ z = |z|2 2 |z1 + z2|2 = |z1|2 + z1 2z + z2 1z + |z2|2 3 |z1 - z2|2 = |z1|2 - z1 2z - z2 1z + |z2|2 4 | z | = |z|


2. ให z เปนจานวนเชงซอน ทสอดคลองกบ z3 + 2z2 + 4z = 0 ถาอารกวเมนตของ z อยในชวง

ππ ,2

แลว |Re(z6) + Im(z6)| เทากบเทาใด (กาหนดให 2 = 1.4 และ 3 = 1.7) Q z3 + 2z2 + 4z = 0 z(z2 + 2z + 4) = 0 ∴ z = 0, -1 + 3 i, -1 - 3 i APoint 3 จดรปเชงขว จะได z = 0 z = 2 cis

π

32 Q θ ∈

ππ ,2 APoint 1

z = 2 cis

π

34

ดงนน z = 2 cis

π

32 ทสอดคลองกบเงอนไข

z6 = 26 cis

π⋅ 3

2 6 APoint 2

∴ z6 = 64 cis (4π) = 64 ∴ คาของ |Re(z6) + Im(z6)| = 64 Ans

APoint ทตองร : รปเชงขว z = rcis (θ) 1 อารกวเมนตของ z = θ 2 zn = rn cis (nθ)

3 ถา ax2 + bx + c = 0 แลว x = 2a 4ac b b 2 -- ±


แนวขอสอบ PAT 1 ความนาจะเปน 1. ในการจดทนงรอบโตะกลมของคน 8 คน ทมวกจและมตตารวมอยดวย จงหาความนาจะเปนททงสองคน

ไมไดนงตดกน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 4

3 2) 54 3) 7

5 4) 87

2. กาหนดให S = {10, 11, 12, 13, 14, 15, 16} สมหาสบเซตของ S ทมสมาชก 3 ตว ความนาจะเปนทจะไดสบเซต {x, y, z} ⊂ S โดยท x < y < z และ x, y, z เปนลาดบเลขคณตเทากบขอใดตอไปน

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 35

9 2) 3511 3) 210

6 4) 2109

3. กลองใบหนงบรรจเสอยด 13 ส สละ 4 ตว โดยท เสอยดในแตละสมขนาด S, M, L และ XL ตามลาดบ

สมหยบเสอจากกลองมา 3 ตว พรอมๆ กน ความนาจะเปนทจะไดเสอมสเหมอนกน 2 ตว เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 42572 2) 5525

72 3) 2213 4) 22100

3 4. กาหนดให S เปนแซมเปลสเปซ และ A, B เปนเหตการณใดๆ ใน S จงพจารณาขอความตอไปน ก. P(A) = P(AI B) + P(AI B′) ข. ถา P(A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(AU B′) = 0.7 แลว P(A - B) = 0.4 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ม.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 5. ให A เปนเซตของจานวนเฉพาะบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10 B เปนเซตของจานวนเตมบวกทมคานอยกวาหรอเทากบ 10 และ C เปนเซตของฟงกชน f : A → B ทงหมดทเปนฟงกชนหนงตอหนง และ ห.ร.ม. ของ a และ f(a) ไมเทากบ 1 สาหรบทกคา a ∈ A จานวนสมาชกในเซต C เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 6. กาหนดให A = {0, 1, 2, 3, 4} จานวนเตมบวกทมคานอยกวา 300 โดยสรางมาจากตวเลขในเซต A และ

ตวเลขแตละหลกไมซากนเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 7. คณะกรรมการชดหนงม 7 คน ประกอบดวยประธาน รองประธาน เลขานการ และกรรมการอก 4 คน

จานวนวธทจดกลมคน 7 คนนนงประชมรอบโตะกลม โดยใหประธานและรองประธานนงตดกนเสมอ แตเลขานการไมนงตดกบรองประธานเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)


8. ในการทอดลกเตา 2 ลกพรอมๆ กน ความนาจะเปนทผลบวกของหนาลกเตาทงสองเทากบ 7 หรอผลคณของหนาลกเตาทงสองเทากบ 12 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) 181 2) 6

1 3) 92 4) 9

4 9. มขอสอบปรนย 20 ขอ คะแนนเตม 50 คะแนน โดยกาหนดขอ 1-10 ขอละ 4 คะแนน และขอ 11-20

ขอละ 1 คะแนน ถาหากนกเรยนตอบขอใดถกตอง จะไดคะแนนเตมของขอนน แตถาตอบผดหรอไมตอบ จะไดคะแนน 0 คะแนน จะมกวธทนกเรยนคนหนง จะทาขอสอบชดนไดคะแนนรวม 45 คะแนน

(PAT 1 ก.ค. 53) 10. กาหนดให A = {1, 2, 3, ..., 9, 10} จงหาจานวนสบเซตของ A ทงหมดทประกอบดวยสมาชก 8 ตวท

แตกตางกน โดยทผลรวมของสมาชกทง 8 ตว เปนพหคณของ 5 (PAT 1 ก.ค. 53) 11. ในการสอบถามนกเรยน จานวน 100 คน ปรากฏวา ม 50 คน ชอบวชาคณตศาสตร , ม 40 คน ชอบวชา

ฟสกส, ม 33 คน ชอบวชาภาษาองกฤษ, ม 5 คน ชอบทงสามวชา, ม 10 คน ชอบวชาภาษาองกฤษอยางเดยว, ม 12 คน ชอบวชาฟสกสอยางเดยว และม 20 คน ชอบวชาคณตศาสตรและวชาฟสกส

พจารณาขอความตอไปน ก. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงไมชอบทงสามวชา เทากบ 0.15 ข. ความนาจะเปนทนกเรยนคนหนงชอบวชาคณตศาสตรอยางเดยว เทากบ 0.40 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 12. โยนเหรยญบาท (เทยงตรง) หนงเหรยญ จานวน 10 ครง ความนาจะเปนทไดหวอยางนอย 2 ครงตดกน

เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 512

193 2) 512314 3) 64

9 4) 6455

13. มถงยงชพ 5 ถง ตองการแจกใหครอบครวทถกนาทวม 4 ครอบครว ครอบครวละไมเกน 2 ถง ความนาจะเปน

ทครอบครวของสมชายซงเปนหนงในสครอบครวนนไมไดรบของแจกเลย เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 0.15 2) 0.2 3) 0.4 4) 0.6 14. ถา S เปนผลบวกของจานวนเตมบวกทงหมดทสรางมาจากเลขโดด 1, 2, 3 หรอ 4 โดยทตวเลขในแตละ

หลกไมซากน แลวเศษเหลอจากการหาร S ดวย 9 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 15. กาหนดให A และ B เปนเหตการณในปรภมตวอยาง ถา P(B - A) = 0.5, P(B) = 0.6 และ P(A′U B) = 0.7 แลว จงหา P(AU B′) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 0.1 2) 0.3 3) 0.4 4) 0.5 16. สมเลอกจานวนตงแต 3 ถง 17 มา 5 จานวน จงหาจานวนวธทจะไดจานวนซงมผลรวมของทง 5 จานวน

หารดวย 3 ลงตว (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 17. มบตรอกษร 9 ใบ ไดแก X, X, X, O, O, O, S, S, S เลอกมา 3 ใบ เพอสรางรหส 3 หลก จะสรางรหสท

แตกตางกนไดกวธ (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)


18. ให S เปนเซตของพหนาม P(x) = ax3 + bx2 + cx + d โดยท a, b, c, d เปนสมาชกในเซต {x ∈ I|x ≥ 0} ซงมสมบตสอดคลองกบ a + 2b + c + d = 4 จานวนสมาชกของเซต S เทากบเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 19. มลกบอลสแตกตางกน 5 ลก คอ สขาว, สแดง, สเขยว, สเหลอง และสดา สมเลอกลกบอลเหลานมาครงละ

3 ลก ความนาจะเปนทจะไดสแดงหรอสเหลองเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 20. จงหาจานวนวธทงหมดในการจดสาม ภรรยา 3 ค ซงมเจนภพและนพนภา รวมอยดวยใหยนเปนแถวตรง 2

แถว แถวละ 3 คน โดยทเจนภพและนพนภาไมไดยนตดกนในแถวเดยวกน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 21. ในการทอดลกเตา 2 ลก พรอมกน 1 ครง โอกาสทลกเตาลกหนงออกแตม x อกลกออกแตม y โดยท

x1 + y

1 = 21 คอเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 91 2) 6

1 3) 181 4) 12

1 22. จากการสอบถามนกเรยน 22 คน พบวาทกคนเปนคนชอบเลนกฬาอยางนอย 1 ชนด ม 10 คน ชอบเลน

เปตอง, ม 12 คน ชอบเตะตะกรอ, ม 12 คน ชอบตกอลฟ, ม 5 คน ชอบเลนเปตองและตะกรอ, ม 3 คน ชอบเลนเปตองและกอลฟ, ม 6 คน ชอบเตะตะกรอและตกอลฟ ถาตองการเลอกเดกนกเรยนทชอบกฬาชนดละ 1 คน โดยทเดกคนนนตองชอบกฬาเพยงชนดเดยวเทานน จะสามารถเลอกไดกวธ (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

23. สาหรบเหตการณ E ใดๆ ให P(E) แทนความนาจะเปนของเหตการณ E ถา P(A) = 0.34, P(AI B) = 0.15, P((AU B) - (AI B)) = 0.43 แลวคาของ P(B - A) คอเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


เกงขอสอบ “ความนาจะเปน”


แนวขอสอบ PAT 1 ลาดบและอนกรม

1. จงหาคาของ 2n1lim

n ∞→

+++++++++ 222222 n

1 1) (n

1 1 ... 31

21 1

21

11 1

-

(แนว PAT 1 ม.ค. 55) 2. กาหนดใหลาดบเลขคณตมผลบวก 5 พจนแรกเทากบ 105 และมผลบวก 5 พจนถดไป เทากบ 180 แลว

ผลบวก 31 พจนแรกของลาดบเลขคณตนมคาเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

3. ผลบวกของอนกรม 3 + 411 + 16

33 + ... + 1nnn

42 2 3

--+ + ... เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 320 2) 3

29 3) 331 4) 3

40 4. ถา {an} เปนลาดบของจานวนจรงท an = 2n

2n...642 ++++ สาหรบทกจานวนเตมบวก n

แลว nnalim

∞→ เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)


5. กาหนดให Sn = ∑=

+++

n

1k 1 kk 1) (kk1 สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ nn

Slim∞→

เทากบเทาใด

(PAT 1 ม.ค. 53) 6. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวน 2, 3, 4, 5, 6, ... ในตารางดงตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

แถวท 1 9 17 ...2 2 8 10 16 ...3 3 7 11 15 ...4 4 6 12 14 ...5 5 13 ...

จานวน 2400 อยในแถวทเทาใด 7. กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบ

เลขคณต แลวคา r เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 4

1 2) 31 3) 2

1 4) 2 8. กาหนดใหอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1k1)k( - B = ∑

=

20

3k2k C = ∑

=

100

1kk D = ∑

∞

=

1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922 9. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7 ,9, ... ในตารางดงตอไปน

แถวท 1 1แถวท 2 3 5แถวท 3 7 9 11แถวท 4 13 15 17 19แถวท 5 M M M M M M

M M M M M M M จากตารางจะเหนวา จานวน 15 อยตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวา จานวน 361 จะอย

ตาแหนงใดในแถวทเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 10. ให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา

a1 = 100 แลว n2

nanlim

∞→ มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)


11. กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรงทนยามโดย an = 2 n7 n

+β - สาหรบ

n = 1, 2, 3, ... ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว nn

alim∞→

มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 12. กาหนดให an =

2n1 1 1

++ + 2

n1 1 1

+ - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

คาของ 1a1 +

2a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

13. ให k เปนคาคงทและถา ∞→n

lim 545

2)(n2 3n n) k(n

+

+++ = 15 + 6 + 512 + ... + 15

1n52 -

+ ... แลว k

มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 14. พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวน 2, 5, 8, 11, 14, ... ในตารางดงตอไปน

หลกท 1 หลกท 2 หลกท 3 หลกท 4 หลกท 5 2 5 8

23 20 17 14 11 26 29 32

47 44 41 38 35 M M M M M

จานวน 2012 อยในหลกทเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53) 15. ให T(x) = sin x - cos2 x + sin3 x - cos4 x + sin5 x - cos6 x + ... แลวคาของ 3T

π3 เทากบ

ขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 4 3 - 1 2) 5 3 - 1 3) 6 3 - 1 4) 7 3 - 1

16. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

∞→nlim n

16 an เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53)

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16

17. กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน ก. a15 - a13 = 3 ข. ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 325 และ ค. ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119


18. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรงโดยท a1 = 2 และ an =

+

1n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1)

สาหรบ n = 2, 3, ... แลวคาของ ∞→n

limn21 a ... a a

n+++

เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 19. บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง เรยกพจน an วา พจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วา พจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนคและผลบวกของพจนคทงหมด เทากบ

36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรก เปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบเลขคณต {an} น มทงหมดกพจน (PAT 1 ต.ค. 53)

20. ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท b1 = -3 และ bn+1 = nn

b 1b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

b1000 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

21. คาของ ∑= ++ ++

9999

1n )1 n n)(1 n n(1 44

เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 22. กาหนดให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...

คาของ ∞→n

lim

++++n321 S

1 ... S1

S1

S1 เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

23. ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกน เทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนน เทากบ

57 แลว คามากทสดในบรรดา 3 จานวนน เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53) 24. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท an+1 = n2 - an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ a1 ททาให a101 = 5100 เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 50 2) 25 3) 1 4) 0 25. กาหนดให 4 พจนแรกของลาดบเลขคณต คอ 2a + 1, 2b - 1, 3b - a และ a + 3b เมอ a และ b เปน

จานวนจรง พจนท 1000 ของลาดบเลขคณตนเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) 3,997 2) 3,999 3) 4,001 4) 4,003 26. ให a, b, c เปนจานวนจรง โดยท 2a, 3b, 4c เปนลาดบเรขาคณต และ a

1 , b1 , c

1 เปนลาดบเลขคณต

คาของ ca + a

c เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 27. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 1 และ an + 1 ≤ an+1 และ an+5 ≤ an + 5

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... แลวคาของ ∞→n

lim n1

+∑

=

n

1kk k) 6 (a - เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)

28. กาหนดอนกรมเลขคณต a1 + a2 + a3 + ... + a51 ถา a1 + a2 + a3 + ... + a51 = 52 แลวจงหาคาของ

a2 + a4 + a6 + ... + a50 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 44 2) 46 3) 48 4) 50


29. จงหาจานวนจรง x > 0 ซง 1 + x 1

5+

+ 2x)(112+

+ 3x)(122+

+ ... = 10 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 30. กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 0 และ an = (-1)n

21 logn

31 log 1n- ...

n1 log2 ; n > 1

bn = ∑=

n

2k 2 1 k1 -

จงหาคา c ททาให ∞→n

lim (an + cbn) = 5 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 31. กาหนดให 1)n(n ... 3(4) 2(3) 1(2)

n ... 3 2 1 2222+++++

++++ = 9289 จงหาคา n (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

32. พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a, b ∈ I+ แลว ∑∞

= +1n nnn

b) (a b a - = ab

b a 22 -

ข. ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเลขคณต โดยท 2n21

na...aa +++ = 2

m21m

a ... aa +++ ; n ≠ m

แลว na

1 2n - = ma

1 2m -

ขอใดตอไปนถก (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 33. ลาดบเรขาคณตชดหนง มอตราสวนรวมเปนจานวนจรงบวก ถาผลบวกของสองพจนแรก เทากบ 3 และ

ผลบวกของสพจนแรก เทากบ 15 แลว ผลบวกของหกพจนแรก เทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 34. กาหนดให an = 2bn + 2-bn เมอ n = 1, 2, 3, ... และ bn = 2n เมอ n = 1, 2, 3, ...


lim1n321

na ... aaa

a-

มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 35. กาหนดให an = 2 sin

ππ 2 n - + cos nπ และ bn = 4 cos

ππ 3 2n -

แลวคาของ 11

ba +

2

22

ba

+

3

33

ba

+ ... มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 36. กาหนดให an = 1 + 2 + 3 + ... + n และ bn = a1 + a2 + a3 + ... + an

แลวคาของ ∞→n

lim

+++++n321 b2 n ... b

5 b4 b

3 มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


เกงขอสอบ “ลาดบและอนกรม”

แนวขอสอบ PAT 1 แคลคลส

1. กาหนดให f(x) = 1 x1 ax

2 +

- , g(x) = (2x - 1)f′(x) และ h(x) =

<≥

1 x เมอ g(x)1 x เมอ f(x) ถา h ตอเนองท x = 1

แลวคาของ 3h(2) + h(-2) (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) -1 2) 0 3) 1 4) 2 2. กาหนดให f(x) = x3 + ax + b + 2 โดยท a ≠ b และให L1 และ L2 เปนเสนสมผสโคงท x = a และ

x = b ตามลาดบ ถา L1 ขนานกบ L2 และ 0hlim→ f(1)h)f(1

4h-+

= 1 แลวคาของ ∫10f(x)dx เทากบ

เทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

3. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = 3x2/3, g(1) = 8 และ g′(1) = 3

2 คาของ (fog)′(1) เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 31 2) 3

2 3) 1 4) 34

4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และ f เปนฟงกชน ซงกาหนดโดย f(x) =

++

=

>

<

2 x , 1 ax x2 x , b a 2 x , 2 x

2 3x x

2

2

--

--

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนเซตของจานวนจรงแลว คาของ a2 + b2 เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 5. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชนโดยท f′(x) = 3 x + 5 สาหรบทก

จานวนจรง x และ f(1) = 5 แลวคา 4x

lim→ f(x)

2 )f(x2 - เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53) 6. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชนโดยท f″(x) = 6x + 4 สาหรบทกจานวน

จรง x และความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (2, 19) เทากบ 19 แลวคาของ f(1) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

7. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชน โดยท f(x) =

+

≥<≤<<

5 x , 5 5 x 1 , bax 1 x 1 , 1 x

|1 x|

3 ---

ถา f เปนฟงกชนตอเนองบนชวง (-1, ∞) แลวคาของ ab เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53) 1) 4

5 2) - 47 3) 15 4) -10

8. โรงงานผลตตกตาแหงหนง มตนทนในการผลตตกตา x ตว โรงงานจะตองเสยคาใชจาย x3 - 450x2 +

60200x + 10000 บาท ถาขายตกตาราคา ตวละ 200 บาท โรงงานจะตองผลตตกตากตวจงจะไดกาไรมากทสด (PAT 1 ก.ค. 53)

9. กาหนดให f(x) เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง ถาความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (1, 2) มคา

เทากบ 4 และ ∫21f(x)dx

- = 12 แลว f(-1) + f″(-1) มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

10. กาหนดให h(x) = f(x)g(x) โดยทความชนของเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด (x, y) เทากบ 2 - 2x และ

เสนโคง y = f(x) มคาสงสดสมพทธ เทากบ 5 ถา g เปนฟงกชนพหนาม ซงมสมบต g(2) = g′(2) = 5 แลว h′(2) มคาเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)


11. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให f : R → R เปนฟงกชนตอเนอง ท x = 1 และให g เปนฟงกชนท

กาหนดโดย g(x) =

+

+

≤

>

1 x เมอ 7 |x|f(x)

1 x เมอ 1 x

2 3 x -

- ถาฟงกชน g มความตอเนองท x = 1 แลวคาของ

(gof)(1) เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 2 - 3 2) 2 3) 2 - 7 4) 7 - 2 12. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรง และให f เปนฟงกชนพหนาม โดยท f(x) = x4 + 2x3 - x2 + ax + b

ถามฟงกชนพหนาม Q(x) โดยท f(x) = (Q(x))2 แลวคาของ ∫ 10 f(x)dx เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ต.ค. 53) 1) 30

71 2) 3031 3) 30

11 4) 301

13. ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของเซตของจานวนจรง โดยท f(2x + 1) = 4x2 + 14x

คาของ f(f′(f″(2553))) เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

14. คาของ -0x

lim→

223

x x x x ++ เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) - 21 2) 2

1 3) -1 4) 1 15. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามทม f″(x) = ax + b เมอ a และ b เปนจานวนจรง ถา f(0) = 2 และกราฟ

ของ f มจดตาสดสมพทธท (1, -5) แลว 2a + 3b เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) -12 2) 20 3) 42 4) 48 16. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ให g : R → R เปนฟงกชนกาหนดโดย g(x) = 3 2x

1+

เมอ

x ≠ - 23 ถา f : R → R เปนฟงกชนท (fog)(x) = x สาหรบทกจานวนจรง x แลว f″

21 เทากบขอใด

ตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54) 1) - 2

1 2) 21 3) -8 4) 8

17. กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนทหาอนพนธไดทก

x ∈ R โดยท g(x) = x2 - 2x + 5, (gof)(x) = x6 + 2x4 - 2x3 + x2 - 2x + 5 และ f(0) = 0 คาของ (f′og′)(1) + (g′of′)(0) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)

18. กาหนดใหเสนโคง y = f(x) สมผสกบเสนตรง 2x - y + 3 = 0 ทจด (0, 3) และ ∫ ′′20 (x)dxf = -3

ถา g(x) = 2 x + f(x) และ g′(2) = 0 แลว f(2) เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54)


19. กาหนดให f(x) =

++

=

≠

3 x เมอ a

3 x เมอ 13 x 10 2x

3 x --

โดยท a เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชน

ตอเนองทจด x = 3 แลว a เทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 54) 20. กาหนดให f(x) = x2 ถา L เปนเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสกราฟของ f(x) ทจด (a, f(a)) ; a > 0 และ L

มระยะตดแกน y เทากบ 25 หนวย แลวขอใดเปนพกดบนเสนตรง L (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) (-2, 2) 2) (0, 5) 3) (2, 2) 4) (3, 1) 21. กาหนดให A(0, 0), B(2, 0) และ C(1, 4) เปนจดยอดของรปสามเหลยม ABC ถากราฟ f(x) = ax2 + bx + c

ผานจด A, B โดยท AC และ BC เปนเสนสมผสกราฟของ f ทจด A และ B ตามลาดบ แลวพนททปดลอมดวยกราฟของ f กบเสนตรง AB มคาเทาใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) 31 2) 3

2 3) 1 4) 34

22. ฟงกชน f, g, h มสมบตวา (fog)(x) = 3x + 1, f

21 x - = x - 5, h(2x - 1) = 4g(x) + 7 จงหาคาของ

h′(1) (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 23. กาหนดให f″(x) = 0 ทกจานวนจรง x ถา f(0) = 12 และ f(1) = 52 แลว ∫

10 f(x)dx เทากบเทาใด

(แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 24. ให l เปนเสนตรงทผานจด (0, 5) และมความชนมากกวา -1 แตนอยกวา 0 ถาพนทของอาณาบรเวณท

ถกปดลอมดวย l กบแกน x จาก x = 0 ถง 4 มคาเทากบ 16 ตารางหนวย แลว จงหาพนทปดลอมดวยเสนตรง l กบแกน x จาก x = 0 ถง 2 (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

25. จงหาคาของ 0x

lim→ 33 1 x 1 x

x-++

(แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 26. กาหนดให f″(x) = 2x - 1 และ f′(2) = 3 สมการของเสนตรงทตงฉากกบเสนสมผสเสนโคง y = f(x) ทจด

(1, -1) คอขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) y = -2x + 1 2) y = x - 2 3) y = 2x - 3 4) y = 3x - 4 27. ให f, g, h เปนฟงกชนทมอนพนธทกอนดบ โดยท h(x) = x2 - 1, g(x) = h(f(x) + 1) และ f′(-1) = g′(-1) = 7

แลวคาของ f(-1) เทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) - 2

7 2) - 21 3) 2

1 4) 27

28. กาหนดให f(x) = x - 1 และ (gof)(x) = x3 - 6x2 + 8x - 3 แลวคาของ

20

dxg(x) f )(∫ เทากบเทาใด

(แนว PAT 1 ม.ค. 55)


29. จงหาคาของ 4x

limπ→ xsin 2 2x cos 1

x x)sec tan (12

23

--

+ (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

30. กาหนดให f(x) = x3 - 14x2 + kx - 64 ถารากของสมการ f(x) = 0 เปนจานวนจรง ทเรยงกนเปนลาดบ

เรขาคณต แลวคาของ f′(1) มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) -45 2) -31 3) 31 4) 45 31. กาหนดให f เปนฟงกชนพหนามกาลงสอง โดยท f(0) = -1 และ f(x + 1) = f(x) + x - 1 สาหรบทก

จานวนจรง x แลวคาของ ∫11f(x)dx- มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) - 35 2) - 2

3 3) 23 4) 3

5

32. จงหาคาของ +→1x

lim 1 1 2x |2 x x| 2

---+ (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

1) -3 2) 0 3) 3 4) หาคาไมได 33. กาหนดให f และ g เปนฟงกชนทสอดคลองกบคณสมบตตอไปน 1. (fg)(x) = 3x + 3 2. f และ g เปนฟงกชนทสามารถหาอนพนธไดทกอนดบ 3. f มคาสงสดสมพทธเทากบ 3 ท x = 1 4. g″(x) = 2 สาหรบทกจานวนจรง x แลวฟงกชน g มคาตาสดสมพทธเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 34. กาหนดให P(x) เปนฟงกชนพหนามซง P(x2 - 1) = 3x4 - 2x2 - 2 สาหรบทกจานวนจรง x และ

กาหนดให f(x) = ∫x0 P(t)dt

แลวคาของ 1x

lim-→

f(x)P(x) + มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 35. กาหนดให P(x) เปนฟงกชนพหนามซง P(0) = 1 ถา

0hlim→ P(1) 1) P(x 1)P(h1)hP(x

3h4xh--

-+++++

= 1

แลวคาของ P(6) มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


เกงขอสอบ “แคลคลส”


แนวขอสอบ PAT 1 สถต 1. ตารางแจกแจงความถ ของคะแนนสอบวชาคณตศาสตร ม.6 จานวน 50 คน เปนดงน

คะแนน จานวนนกเรยน10-14 5 15-19 11 20-24 9 25-29 15 30-35 10

ถา a คอคาเฉลยเลขคณต และ b คอ P90 คาของ |b - a| เทากบขอใด (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5.6 2) 15.6 3) 8.6 4) 18.6 2. ในการสอบครงหนงซงมคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเปน 66 คะแนน โดยทหองแรกม 35 คน และหอง

ทสอง 40 คน นาย ก. ซงเปนนกเรยนหองแรกสอบได 56 คะแนนคดเปนคามาตรฐานเทากบ 1.2 และหองแรกมสมประสทธการแปรผนเทากบ 0.1 นาย ข. เปนนกเรยนในหองทสองซงมคะแนนสอบคดเปน คามาตรฐานเทากบ -1 โดยทคะแนนหองทสองมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 9 คะแนน จงหาคะแนนสอบของนาย ข. (แนว PAT 1 ต.ค. 55)


3. นกเรยนหองหนงสอบวชาคณตศาสตรไดคะแนนเฉลยเลขคณต เทากบ 40 คะแนน ถานกเรยนชายสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 35 คะแนน และนกเรยนหญงสอบไดคะแนนเฉลยเลขคณต 50 คะแนน อตราสวนของนกเรยนชายตอนกเรยนหญงตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 53)

1) 3 : 2 2) 2 : 3 3) 2 : 1 4) 1 : 2 4. คาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงเทากบ 72 คะแนน ความแปรปรวน (ประชากร)

เทากบ 600 ถามนกเรยนมาเพมอก 1 คน ซงสอบได 60 คะแนน ทาใหคาเฉลยเปลยนไปเปน 70 คะแนน ความแปรปรวนของขอมลชดใหมเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

5. จากการสารวจนาหนกของนกเรยนกลมหนงจานวน 4 คน ม 2 คน นาหนกเทากนและหนกนอยกวาอก 2 คนทเหลอ ถาฐานนยม มธยฐาน และพสยของนาหนกของนกเรยน 4 คนนคอ 45, 46 และ 6 กโลกรม ตามลาดบ แลวความแปรปรวนของนาหนกของนกเรยน 4 คนนเทากบเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

6. ในการสอบคดเลอกเขาศกษาตอของโรงเรยนแหงหนง ถาสอบไดคะแนน 700 คะแนน แปลงคะแนนเปน คามาตรฐานได 4 แตถาสอบได 400 คะแนน แปลงเปนคามาตรฐานได -2 แลวสมประสทธการแปรผนเทากบรอยละเทาใด (PAT 1 ม.ค. 53)

7. ถาคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 30 คน มคะแนนเฉลยเลขคณตเทากบ 60 คะแนน และม สวนเบยงเบนมาตรฐาน เทากบ 10 ถาผลรวมของคามาตรฐานของคะแนนของนกเรยนกลมนเพยง 29 คน เทากบ 2.5 แลวนกเรยนอก 1 คนทเหลอสอบไดคะแนนเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) 35 2) 58 3) 60 4) 85 8. มนกเรยน 5 คน รวมกนบรจาคเงนไดเงนรวม 360 บาท ความแปรปรวน (ประชากร) เทากบ 660 ถาม

นกเรยนเพมอก 1 คน มารวมบรจาคเปนเงน 60 บาท ความแปรปรวนจะเพมขนหรอลดลงตรงกบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 53)

1) เพมขน 80 2) เพมขน 90 3) ลดลง 80 4) ลดลง 90 9. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยนหองหนง ถานกเรยนคนหนงในหองนสอบได 55 คะแนน คดเปน

คะแนนมาตรฐาน ไดเทากบ 0.5 และสมประสทธของการแปรผน (Coefficient of Variation) ของคะแนนนกเรยนหองน เทากบ 20% คะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเทากบเทาใด (PAT 1 ก.ค. 53)

10. สรางตารางแจกแจงความถของคะแนนการสอบของนกเรยนกลมหนง โดยใหความกวางของแตละอนตร-ภาคชนเปน 10 แลวปรากฏวามธยฐานของคะแนนการสอบเทากบ 57 คะแนนซงอยในชวง 50-59 ถามนกเรยนทสอบไดคะแนนตากวา 49.5 คะแนน อยจานวน 12 คน และมนกเรยนไดคะแนนตากวา 59.5 คะแนน อยจานวน 20 คน จงหาวานกเรยนกลมนมทงหมดกคน (PAT 1 ก.ค. 53)

11. นกเรยนกลมหนง จานวน 50 คน มสวนสงแสดงดงตารางตอไปน สวนสง (เซนตเมตร) จานวนนกเรยน (คน)

156-160 6 161-165 15 166-170 21 171-175 8


ให a เปนคาเฉลยเลขคณตของสวนสง และ b เปนสวนสง โดยทมจานวนนกเรยน 75% ของนกเรยนทงหมดทมสวนสงนอยกวา b ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) a = 166.1 และ b = 168.73 2) a = 166.1 และ b = 169.43 3) a = 166.7 และ b = 168.73 4) a = 166.7 และ b = 169.43 12. พจารณาขอความตอไปน ก. ในการสอบของนกเรยน 3 คน พบวาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบเทากบ 80 คะแนน คามธยฐาน

เทากบ 75 คะแนน และพสยเทากบ 25 คะแนน คะแนนสอบของนกเรยนทไดคะแนนทไดคะแนนตาสดเทากบ 70 คะแนน

ข. ขอมลชดทหนงม 5 จานวน คอ x1, x2, x3, x4, x5 และขอมลชดทสองม 4 จานวน คอ x1, x2, x3, x4 โดยทคาเฉลยเลขคณตของขอมลทงสองชดเทากน ถา a และ b เปนสวนเบยงเบนมาตรฐานของ

ขอมลชดทหนงและชดทสองตามลาดบ แลว ab = 2

5 ขอใดตอไปนถกตอง (PAT 1 ต.ค. 53) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 13. ในการสอบวชาคณตศาสตรของนกเรยน 2 หอง ซงทาคะแนนเฉลยได 60 คะแนน โดยหองแรกมนกเรยน

จานวน 40 คน และหองทสองมนกเรยนจานวน 30 คน ถาคะแนนสอบในหองแรกเปอรเซนไทลท 50 มคา 64 คะแนน และฐานนยมมคาเปน 66 คะแนน แลวคะแนนเฉลยของนกเรยนหองทสองมคาเทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

14. ขอมลชดหนงม 6 จานวน คอ 2, 3, 6, 11, a, b ถาคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดน เทากบ 8 และ คามธยฐาน เทากบ 7 แลว |a - b| เทากบเทาใด (PAT 1 ต.ค. 53)

15. ในการสอบวชาคณตศาสตรคะแนนเตม 60 คะแนน มนกเรยนเขาสอบ 30 คน นาย ก. เปนนกเรยนคนหนงทเขาสอบในครงน นาย ก. สอบได 53 คะแนน และมจานวนนกเรยนทมคะแนนสอบนอยกวา 53 คะแนน อย 27 คน ถามการจดกลมคะแนนสอบเปนชวงคะแนน โดยมอนตรภาคชนกวางเทาๆ กน คะแนนสอบของนาย ก. อยในชวงคะแนน 51-60 จานวนนกเรยนทสอบไดคะแนนในชวงคะแนน 51-60 น มทงหมดกคน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) 3 2) 4 3) 5 4) 9 16. กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z

z 1.14 1.24 1.34 1.44 พนท 0.373 0.392 0.410 0.425

ความสงของนกเรยน 2 กลม มการแจกแจงปกต ดงน กลม คาเฉลยเลขคณต สวนเบยงเบนมาตรฐาน

นกเรยนหญง 158 เซนตเมตร 4 เซนตเมตร นกเรยนชาย 169.06 เซนตเมตร 5 เซนตเมตร

ถานกเรยนหญงคนหนงมความสงตรงกบเปอรเซนไทลท 91 ของกลมนกเรยนหญงนแลว จานวนนกเรยนชายทมความสงนอยกวาความสงของนกเรยนหญงคนน คดเปนรอยละเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

1) 12.7 2) 11.4 3) 10.7 4) 9.4


17. บรษทผลตหลอดไฟตองการรบประกนคณภาพผลตภณฑของบรษท โดยจะเปลยนเปนหลอดใหม ถาหลอด

เดมชารด บรษทจะรบประกนไมเกน 4.1% ของจานวนทผลตหลอดไฟมอายใชงานเฉลย 2500 ชวโมง มสมประสทธของความแปรผนเทากบ 0.20 ถาคาดวาตามปกตคนจะใชหลอดไฟวนละ 5 ชวโมง บรษทนควรกาหนดเวลาประกนมากทสดกวน (PAT 1 ม.ค. 54)

กาหนดตารางแสดงพนทใตโคงปกตมาตรฐาน ทอยระหวาง 0 ถง z

z 1.34 1.44 1.54 1.74 1.84 พนท 0.410 0.425 0.438 0.459 0.467

1) 362 วน 2) 352 วน 3) 346 วน 4) 326 วน 18. ขอมลความสง (เซนตเมตร) และนาหนก (กโลกรม) ของนกเรยนหญง 4 คน ดงน

นกเรยนหญง คนท 1 คนท 2 คนท 3 คนท 4 ความสง (เซนตเมตร) 150 152 154 156 นาหนก (กโลกรม) 45 45 48 50

ถาสวนสงและนาหนกของนกเรยนมความสมพนธเชงฟงกชนเปนเสนตรง y = a + 0.9x เมอ x เปนสวนสง

และ y เปนนาหนก แลว นกเรยนทมสวนสง 155 เซนตเมตร จะมนาหนกกกโลกรม (PAT 1 ม.ค. 54)

19. กาหนด ∑=

=N

1 ii 1800, x N = 45, x เปนคาเฉลยเลขคณต และความแปรปรวนเทากบ 121 ถานาย ก.

และ นาย ข. เปนนกเรยนของหองน นาย ก. ได 38 คะแนน มคามาตรฐานมากกวาคามาตรฐานของนาย ข. อย 1 แลวนาย ข. ไดกคะแนน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

1) 27 2) 28 3) 29 4) 31 20. ขอมลชดหนงม 5 จานวน มฐานนยมเทากบมธยฐานเทากบ 25 คาเฉลยเลขคณตเทากบ 26 มควอไทล ท 1

เทากบ 20 และพสยเปน 20 จงหาความแปรปรวนของขอมลชดน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 21. คะแนนสอบของนกเรยน 1000 คน คะแนนเตม 100 คะแนนมการแจกแจงปกต โดยมคาเฉลยเลขคณต

และความแปรปรวนเปน 60 และ 64 คะแนนตามลาดบ จงหาจานวนนกเรยนทไดคะแนนมากกวา 52 แตนอยกวา 76 คะแนน กาหนดพนทใตโคงปกตมาตรฐานดงน (แนว PAT 1 ธ.ค. 54)

z 0.5 1.0 1.5 2.0A 0.191 0.341 0.433 0.477

22. ขอมลชดหนงมการแจกแจงปกต โดยทฐานนยมของขอมลชดน คอ 16 สวนเบยงเบนมาตรฐานเปน 9 และ

∑=

N

1 i2

i 6) (x - = 6740 เมอ N คอ จานวนขอมล จงหาคา N (แนว PAT 1 ธ.ค. 54) 23. ขนมปง 40 ชน มนาหนกเฉลย 25 กรม และมสวนเบยงเบนมาตรฐานเทากบ 5 กรม ถานาขนมปงอก 2 ชน

ซงหนก 30 กรม และ 20 กรม มารวมดวยแลว ความแปรปรวนจะเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 4 2) 5 3) 20 4) 25


24. ตารางตอไปนเปน คะแนนสอบปลายภาคของนกเรยนจานวน 100 คน

คะแนนไมเกน จานวน (คน)15 14 20 36 25 63 30 91 35 96 40 100

ถาคะแนนตาสดของนกเรยน คอ 11 คะแนน แลวคาเฉลยเลขคณตของขอมลชดนเทากบขอใดตอไปน (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) 15 2) 17.5 3) 21 4) 23 25. นกเรยน จานวน 20 คน แบงเปน 2 กลม กลมละ 10 คน ทาแบบทดสอบ ฉบบหนงมคะแนนเตม 20

คะแนน ไดคะแนนของนกเรยน แตละคนดงน

กลมท 1 8 7 6 5 7 6 9 10 3 6 กลมท 2 6 12 8 7 9 6 15 7 1 5

พจารณาขอความตอไปน ก. ขอมลกลมท 1 มความแตกตางกน นอยกวาขอมลกลมท 2 ข. สมประสทธของสวนเบยงเบนควอรไทลของกลมท 1 และกลมท 2 เทากบ 28

5 และ 149 ตามลาดบ

ขอใดตอไปนถกตอง (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 26. ขอมลชดหนงประกอบดวยจานวน 9, 1, 4, 1, 3, 1, x ให A เปนเซตของ x ทเปนไปไดทงหมด ซงทาให

คาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม ของขอมลชดน มคาแตกตางกนทงหมด และในบรรดาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน และฐานนยม เหลานนามาจดเรยงกนใหมจากนอยไปมากแลวเปนลาดบเลขคณต

จงหาผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต A (แนว PAT 1 ม.ค. 55) ขอมลตอไปน สาหรบตอบคาถามขอ 27 และขอ 28 ในการสอบวชาภาษาญปนของนกเรยนหองหนงจานวน 60 คน ม 34 คน ไดคะแนนในชวง 10 ถง 39 คะแนน ม 20 คน ไดคะแนนในชวง 40 ถง 49 คะแนน และม 6 คน ไดคะแนนในชวง 50 ถง 59 คะแนน 27. ถาแบงคะแนนเปน 3 ระดบ คอ เกรด A, เกรด B, เกรด C โดยท 5% ของนกเรยนทไดคะแนนสงสดได

เกรด A และ 25% ของนกเรยนไดเกรด B แลวคะแนนสงสดของเกรด C เทากบกคะแนน (แนว PAT 1 ม.ค. 55)

28. ถาคะแนนขางตนมการแจกแจงแบบปกต โดยทสมประสทธการแปรผนเปน 21 ถาคะแนนสงสดของเกรด B

เทากบ 55.5 คะแนน คะแนนมาตรฐานเปน 1 แลว คะแนนเฉลยของนกเรยนหองนเปนเทาใด (แนว PAT 1 ม.ค. 55) 29. จากขอมล

x 5 10 15 20 25 y 10 12 15 14 14

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาขอมลดงกลาวมความสมพนธเชงเสนตามสมการ y = ax + b แลว |a - b| = 9.8 ข. ถา x = 30 แลว y = 16 ขอใดถกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ผด แต ข. ถก 3) ก. ถก แต ข. ผด 4) ก. และ ข. ผด 30. กาหนดตารางแสดงพนทใตเสนโคงปกตมาตรฐานดงน

z 0.50 1.00 1.50 2.00 พนท 0.192 0.341 0.433 0.477

พจารณาขอความตอไปน ก. ถาคะแนนสอบของนกเรยนกลมหนงมการแจกแจงปกต แลวนกเรยนทไดคะแนนสอบมากกวามธยฐาน

อย 3 เทาของสวนเบยงเบนมาตรฐาน แลวคะแนนสอบของนกเรยนคนนนจะมคามาตรฐานคดเปน 1.5

ข. ถามนกเรยนทไดคะแนนสงกวา 66 คะแนนอย 15.9% และมฐานนยมคอ 60 คะแนน จะไดวา สมประสทธของการแปรผนคะแนนสอบครงน เทากบ 0.1

ขอใดตอไปนสรปไดถกตอง (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 31. ขอมลชดหนงม 3 จานวน เมอนามาบวกกนไดเทากบ 180 คามธยฐานเทากบ 60 และสมประสทธพสยของ

ขอมลชดนเทากบ 0.1 แลวความแปรปรวนของขอมลชดนมคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55) 32. กาหนดตารางแสดงคะแนนสอบ ของนกเรยนกลมหนงดงตาราง

คะแนนสอบ จานวนนกเรยน1-10 10 11-20 20 21-30 30 31-40 40

ถาคาเฉลยเลขคณตของคะแนนสอบวชาคณตศาสตรของขอมลดงกลาว เขยนไดในรปของ k + yx โดยท

k, x, y เปนจานวนเตมบวก และ ห.ร.ม. ของ x และ y เทากบ 1 และ x < y แลวคาของ k + x + y มคาเทากบเทาใด (แนว PAT 1 ต.ค. 55)

คณตศาสตร (100) ___________________________________ โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013

เกงขอสอบ “สถต”

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013_____________________________________คณตศาสตร (101)


,

แนวขอสอบ PAT 1 กาหนดการเชงเสน 1. กาหนดสมการจดประสงคคอ P = 2x + y มอสมการขอจากดเปน 5x - 2y ≤ 30 x + y ≥ 4 0 ≤ y ≤ x พจารณาขอความตอไปน ก. คาตาสดของ P คอ 6 ข. ถาจด (a, b) ทาให P มคาสงสด แลวจด (a, b) สอดคลองกบสมการ x - y = 0 ขอใดตอไปนถกตอง (แนว PAT1 ต.ค. 55) 1) ก. และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. และ ข. ผด 2. ถา C เปนปรมาณทมคาขนกบคาของตวแปร x และ y ดวยความสมพนธ C = 3x + 5y เมอ x, y เปนไป

ตามเงอนไข 3x + 4y ≥ 5, x + 3y ≥ 3, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลวคาตาสดของ C ตามเงอนไขขางตน มคาเทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 52)

1) 521 2) 5

29 3) 425 4) 4

27 3. ถา P = 5x + 4y เมอ x, y เปนไปตามเงอนไข x + 2y ≤ 40, 3x + 2y ≤ 60, x ≥ 0 และ y ≥ 0 แลว

คาสงสดของ P เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ก.ค. 52) 1) 90 2) 100 3) 110 4) 115 4. กาหนดให a และ b เปนจานวนจรงบวกซง a < b ถาคามากสดและคานอยสดของ P = 2x + y เมอ x, y

เปนไปตามเงอนไข a ≤ x + 2y ≤ b, x ≥ 0 และ y ≥ 0 มคาเทากบ 100 และ 10 ตามลาดบ แลว a + b มคาเทาใด (PAT 1 ต.ค. 52)

5. จงหาผลคณของคาสงสดและคาตาสดของฟงกชน f(x, y) = x + y + 2 ภายใตเงอนไขขอจากดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 54)

(1) x + 2y ≥ 8 (2) 5x + 2y ≥ 20 (3) x + 4y ≤ 22 (4) x ≥ 1 (5) 1 ≤ y ≤ 8 6. รานคาผลตสนคา A วนละ x ชน และสนคา B วนละ y ชน โดยท 400 ≤ 2x + y ≤ 600 1050 ≤ 2x + 3y ≥ 1500 ถาสนคา A ขายชนละ 100 บาท ในแตละวนขายสนคาทง 2 แบบ ไดเงนมากสด 12,000 บาท แลวขาย

สนคา B ชนละกบาท (PAT 1 ธ.ค. 54) 1) 5 2) 10 3) 15 4) 20 7. กาหนดสมการจดประสงคคอ P = 6x + 3y โดยมอสมการขอจากด ดงน x + 2y ≤ 6, 2x + y ≤ 8,

y - x ≤ 1, x ≥ 0 และ 2 ≤ y ≤ 3 คาของ P มคามากสด เทากบขอใดตอไปน (PAT 1 ม.ค. 52) 1) 12 2) 18 3) 20 4) 24


เกงขอสอบ “กาหนดการเชงเสน”


เฉลย จานวนเชงซอน 1. 3) 2. 3 3. 2) 4. 5 5. 4) 6. 8 7. 4) 8. 198 9. 1) 10. 2 ) 11. 2 12. 10 13. 2.5 14. 1 15. 2) ความนาจะเปน 1. 3) 2. 1) 3. 1) 4. 2) 5. 25 6. 44 7. 192 8. 3) 9. 352 10. 9 11. 4) 12. 4) 13. 1) 14. 4 15. 4) 16. 1001 17. 27 18. 22 19. 0.9 20. 528 21. 4) 22. 12 23. 0.24 ลาดบและอนกรม 1. 0.5 2. 1860 3. 4) 4. 1 5. 1 6. 2 7. 2) 8. 1) 9. 2) 10. 200 11. 2 12. 7 13. 25 14. 2 15. 3) 16. 1) 17. 2) 18. 0 19. 20 20. 2 21. 9 22. 2 23. 49 24. 1) 25. 3) 26. 2.5 27. 6 28. 4 29. 1 30. 4 31. 44 32. 1) 33. 63 34. 3.75 35. 1) 36. 6 แคลคลส 1. 4) 2. 1.75 3. 2) 4. 53 5. 6 6. 7 7. 4) 8. 200 9. 18 10. 10 11. 4) 12. 3) 13. 120 14. 1) 15. 3) 16. 4) 17. 1 18. 8 19. 8 20. 3) 21. 4) 22. 3 23. 32 24. 9 25. 1.5 26. 2) 27. 2) 28. 8 29. 3 30. 3) 31. 1) 32. 3) 33. 1.75 34. 0 35. 51


สถต 1. 3) 2. 71 3. 3) 4. 520 5. 6 6. 10 7. 1) 8. 4) 9. 50 10. 36 11. 2) 12. 1) 13. 56 14. 10 15. 2) 16. 1) 17. 4) 18. 48.80 19. 1) 20. 44 21. 818 22. 20 23. 4) 24. 4) 25. 2) 26. 18 27. 43.5 28. 37 29. 1) 30. 3) 31. 24 32. 28 กาหนดการเชงเสน 1. 1) 2. 2) 3. 3) 4. 70 5. 157.50 6. 2) 7. 2)


เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

PAT1 ม.ค.54

PAT1 ธ.ค.54

PAT1 ม.ค.55

PAT1 ต.ค.55

ระดบขอสอบ ยาก ยากมาก ยากมาก ยากเกอบมาก ยากมาก ยากมากโจทยปญหาเชาวน

แนวจานวนกบตวเลข 3 ขอ 3 ขอ – – – 1

โจทยปญหาเชาวน แนวโอเปอรเรชนใหมๆ

1 ขอ 2 ขอ – 2 1 –

โจทยปญหาเชาวน แนวลาดบ

VS ทานายตวเลข 2 ขอ – – – – –

โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร

– – – – – –

โจทยปญหาเชาวนอนๆ 1 ขอ – – – – – เอกซโปเนนเชยล 3 ขอ 2 ขอ 1.25 2 2 3

ลอการทม 2 ขอ 3 ขอ 2.5 0.5 2 1 ตรรกศาสตร 2 ขอ 2 ขอ 1.5 2 1 2

ระบบจานวนจรง 1 ขอ 1 ขอ 2 1 2 1 ทฤษฎจานวน – 1 ขอ 1 1 2 2

เรขาคณตวเคราะห 1 ขอ 1 ขอ 1.5 0.5 – – ภาคตดกรวย 1 ขอ 2 ขอ 1.5 2.5 2 3 ความสมพนธ – – 1 1 1 1

ฟงกชน 3 ขอ 2 ขอ 2 2.5 3 1

โครงการแบรนดซมเมอรแคมป 2013_____________________________________ คณตศาสตร (111)

เนอหา ในสวน ทครSup’kรบผดชอบ

PAT1 ก.ค.53

PAT1 ต.ค.53

PAT1 ม.ค.54

PAT1 ธ.ค.54

PAT1 ม.ค.55

PAT1 ต.ค.55

ระดบขอสอบ ยาก ยากมาก ยากมาก ยากเกอบมาก ยากมาก ยากมากเมทรกซ

และดเทอรมนนต 3 ขอ 2 ขอ 2 2 2 2

ตรโกณพนฐานในวงกลม – – 0.75 0.5 1 0.5 ตรโกณประยกต 1 ขอ 2 ขอ 2 3 1 2 อนเวอรสตรโกณ 1 ขอ 1 ขอ 1 1 1 2 กฎของ sin, กฎของ cos

1 ขอ 1 ขอ 1 1 1 1

ลาดบอนกรมพนฐาน 3 ขอ 4 ขอ 2 1 1 1.5 ลาดบเวยนบงเกดแปลกๆ 2 ขอ 3 ขอ 1 1 – 1 อนกรมประยกตแปลกๆ 1 ขอ 3 ขอ 1 1.5 2 2

โจทยเซอรไพส แนวโอลมปก

2 ขอ 1 ขอ 5 1 2 2

รวม 34 ขอ 36 ขอ 30 ขอ 27 ขอ 27 ขอ 29 ขอ

ขอสอบทงหมด 50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

50 ขอ/ 3 ชม.

หมายเหต

ชอย 25 ขอ

ขอละ 5 คะแนน เตมคา 25 ขอ ขอละ

7 คะแนน

ชอย 25 ขอ

ขอละ 5 คะแนน

เตมคา 25 ขอ


ชอย 25 ขอ




ชอย 25 ขอ

ขอละ 5 คะแนน เตมคา 25 ขอ ขอละ

7 คะแนน

ชอย 25 ขอ




ชอย 25 ขอ





โจทยปญหาเชาวน แนว ลาดบ–ฟงกชน สองตวแปร NichTor–Pb1.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวกทกๆ n = 1, 2, 3, 4 และ m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมอ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 และ a(2, 3) = 18 จงหาคาของ a(1, 2) ตอบ .............................. วธทา NichTor–Pb1.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) กาหนด a(n, m) เปนจานวนเตมบวกทกๆ n = 1, 2, 3, 4 และ m = 1, 2, 3, ..., n และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) เมอ n = 2, 3, 4 และ m = 2, 3, ..., n ถา a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 และ a(4, 4) = 35 จงหาคาของ a(3, 1) ตอบ .............................. NichTor–Pb1.3 (ดกแนว PAT1’ม.ค.55) สาหรบจานวนเตม n, m ทไมตดลบ นยาม กาหนด a(n, m) ดงน (i) a(0, m) = m + 1 (ii) a(n + 1, 0) = a(n, 1) (iii) a(n + 1, m + 1) = a(n, a(n + 1, m)) จงหาคาของ a(3, 0) ตอบ ..............................

Sup’k Tips


NichTor–Pb1.2 ตอบ 2 เนองจาก a(1, 1) = 10 , a(2, 1) = 5 , a(4, 1) = 4 , a(4, 4) = 35 และ a(n, m) = a(n, m - 1) + a(n - 1, m - 1) ...(*) ขนท 1 จากสตร (*) แทน n = 2, m = 2 จะได a(2, 2) = a(2, 1) + a(1, 1) แทนคาจากโจทย a(2, 2) = 5 + 10 = 15 ...(๑) จากสตร (*) แทน n = 3, m = 2 จะได a(3, 2) = a(3, 1) + a(2, 1) แทนคาจากโจทย a(3, 2) = a(3, 1) + 5 ...(๒) จากสตร (*) แทน n = 3, m = 3 a(3, 3) = a(3, 2) + a(2, 2) แทนคาจาก (๑), (๒); a(3, 3) = [a(3, 1) + 5] + 15 a(3, 3) = a(3, 1) + 20 ...(๓) ขนท 2 ในทานองเดยวกน a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) ...(๔) a(4, 3) = a(4, 2) + a(3, 2) ...(๕) a(4, 2) = a(4, 1) + a(3, 1) ...(๖) ขนท 3 จาก (๔); a(4, 4) = a(4, 3) + a(3, 3) แทนคาจากโจทย (๕), (๓); 35 = [a(4, 2) + a(3, 2)] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย(๖), (๒); 35 = [[a(4, 1) + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] แทนคาจากโจทย; 35 = [[4 + a(3, 1)] + [a(3, 1) + 5]] + [a(3, 1) + 20] 35 = 4 + 5 + 20 + a(3, 1) + a(3, 1) + a(3, 1) 35 = 29 + 3 ⋅ a(3, 1) 35 - 29 = 3 ⋅ a(3, 1) 6 = 3 ⋅ a(3, 1) 3

6 = a(3, 1) ดงนน a(3, 1) = 2


โจทยปญหาเชาวน แนวเตมตวเลขในตารางเกาชอง BRAN-Pb2.50 (PAT1’ต.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวางทงหมด 9 ชอง ดงรป

7x

10 3

ใหเตมจานวนเตมบวก ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวกของจานวนในแตละแถว ในแตละหลก และในแตละแนวทแยงมม มคาเทากน

ถาเตมจานวนเตมบวก 3, 7, 10 ดงปรากฏในตาราง แลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด แนวคดเรวๆ ขนท 1 ขนท 2

7x

10 3

7x

10 3

ขนท 3 (แถม) ขนท 4 (แถม) ขนท 5 (แถม)

7

10 3

7

10 3

7

10 3

Sup’k Tips


a c 7x b d

10 3S - 13

a c 7x 6 d

10 3S - 13

9 2 74 6 85 10 3

BRAN-Pb2.50 แนวคดท 2 ตอบ 0004.00 สมมตวาผลบวกทเทากนในแตละทศทาง คอ s จะได ชองทางซายลางสด เทากบ S - 13 (ดงรป) พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายลางไปยงมมขวาบน) จะได (S - 13) + b + 7 = S b = 6 พจารณาในแนวทแยง (จากมมซายบนไปยงมมขวาลาง) จะได a + b + 3 = S a + 9 = S ...(1) พจารณาในแถวท 1 จะได a + c + 7 = S (a + 9) + c + 7 = S + 9 S + c + 7 = S + 9 [โดย (1)] c = 2 พจารณาหลกท 2 จะได S = c + 6 + 10 = 2 + 6 + 10 = 18 โดย (1) จะได a + 9 = 18 a = 9 ตารางทสมบรณ พจารณาหลกท 1 จะได a + x + (S - 13) = S 9 + x - 13 = 0 ดงนน x = 4 (ทาใหไดวา d = 8)


โจทยปญหาเชาวน แนวผลรวมตวเลขในตาราง SheLL2.46 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวกลงในชองสเหลยม โดยใหผลรวมของจานวนในชองสเหลยมสามชองทตดกน เทากบ 18

7 x 8 คาของ x เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.47 (PAT1’ก.ค.53) จากตารางทกาหนดให มชองวาง 16 ชอง ดงรป

1 5

x 13

แถว (ก)

แถว (ข)

หลก (ค) หลก (ง)

ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, ..., 16 ลงในชองสเหลยมชองละ 1 จานวน โดยใหผลบวก ของจานวนในแตละแถว (แถว (ก) และ แถว (ข)) และแตละหลก (หลก (ค) และ หลก (ง)) มคาเทาๆ กน ถาเตมจานวนเตมบวก 1, 5, 13 ดงปรากฏในตารางแลวจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ .............................. โจทยปญหาเชาวน แนวSudoku SheLL2.4 (PAT1’ก.ค.53) ใหเตมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4, 5 ลงในชองวางของตาราง 5 × 5 ตอไปน

5 41 3

5 32 3 1

x โดยทแตละแถวตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 และแตละหลกตองมจานวนเตมบวก 1, 2, 3, 4 และ 5 จงหาวาจานวน x ในตาราง เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยปญหาเชาวน แนวAlphabetic Problem BRAN-Pb1.24 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาการบวกของจานวนตอไปน A B C D E F G เมอ A, B, C, D, E, F, G แทนเลขโดดทแตกตางกน โดยท F = 0 และ {A, B, C, D, E, G} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} ถาจานวนสองหลก AB เปนจานวนเฉพาะ แลว A + B มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 7 4) 9 แนวคด SupK-Pb2.28.2 (ดกแนว PAT 1) SupK-Pb2.28.3 (ดกแนว PAT 1) ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน ให ตวอกษรภาษาองกฤษแตละตวทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน แทน เลขโดดทแตกตางกน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน จงหาตวเลขมาเตมตวอกษรองกฤษตอไปน S E N D F A T H E R M O R E M O T H E R M O N E Y P A R E N T เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขศนย เมอตวอกษร O ในขอน คอ เลขโดดใดๆ

+

+ +

โจทยปญหาเชาวน แนวทฤษฎจานวน BRAN-Pb2.43 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c, d, e, f เปนจานวนเตมบวก ถาผลบวกของสองจานวนทแตกตางกน ในเซต {a, b, c, d, e, f} มทงหมด 15 จานวน โดยท a < b < c < d < e < f คอ 37, 50, 67, 72, 80, 89, 95, 97, 102, 110, 112, 125, 132, 147 และ 155 แลวคาของ c + d เทากบเทาใด ตอบ .............................. แนวคด โจทยทฤษฎจานวน แนวทฤษฎการหารลงตว BRAN-Pb1.25 (PAT1’ต.ค.53) สาหรบ a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ นยาม a * b หมายถง a = kb สาหรบบางจานวนเตมบวก k ถา x, y และ z เปนจานวนเตมบวกแลว ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ถา x * y และ y * z แลว (x + y) * z 2) ถา x * y และ x * z แลว x * (yz) 3) ถา x * y และ x * z แลว x * (y + z) 4) ถา x * y แลว y * x

Sup’k Tips


โจทยปญหาเชาวน แนวตรรกศาสตร ผมไมไดพดโกหก VS นงตดกบคนโนน ตรงขามคนน TF-PAT119. (B-PAT1’ต.ค.51) ในการจดคน 5 คน ยนเขาแถวหนากระดาน พบวา - นาย ก ไมยนขางนาย ข - นาย ค ยนอยรม - นาย ง ยนอยขางนาย จ และไมยนอยกลางแถว ขอใดตอไปนเปนไปได 1) นาย ก ยนขางนาย ข 2) นาย จ ยนอยรมดานหนง 3) นาย ก ยนอยตรงกลาง 4) นาย จ ยนอยตรงกลาง TF-PAT120. (B-PAT1’ต.ค.51) จากโจทย ขอ เมอก ถานาย ข ยนอยรมดานหนงแลว ขอใดตอไปนผด 1) นาย ค ยนตดนาย ก 2) นาย ก ยนอยตรงกลาง 3) นาย จ ยนอยตรงกลาง 4) นาย ง ยนตดกบนาย ข TF-PAT123 (PAT1’ม.ค.52) ชาย 6 คน นาย ก, ข, ค, ง, จ และ ฉ ยนเขาแถวตอนตามลาดบ โดยมเงอนไขดงน นาย ฉ ไมยนตดกบนาย ข นาย ฉ ยนอยในลาดบกอนนาย ก นาย ก ยนตดนาย ง นาย จ ยนอยลาดบท 4 ถานาย ฉ ยนตดและอยหลงนาย ค แลว คนทมโอกาสอยในลาดบท 5 ไดแก ชายในขอใดตอไปน 1) นาย ข 2) นาย ค 3) นาย ง 4) นาย ฉ TF-PAT124. (PAT1’ม.ค.52) จากเงอนไขในโจทยขอทแลว ขอความใดตอไปนจรง 1) นาย ง ยนอยในลาดบท 2 2) นาย ค ยนอยในลาดบท 3 3) นาย ง ยนอยหลงนาย ข 4) นาย ข ยนอยหลงนาย จ

Sup’k หลก


โจทยปญหาเชาวน แนวระบบจานวนจรง BRAN-Pb1.5 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = b a + สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน ก. (a * b) * c = a * (b * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ข. a * (b + c) = (a * b) + (a * c) สาหรบ a, b, c ∈ N ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด แนวคดเรวๆ

วธจรง สาหรบ a, b ∈ N เรามวา a * b = ba +

(ก) ผด , (a * b) * c = ( ba + ) * c = c b a ++

a * (b * c) = a * cb + = c b a ++ ∴ (a * b) * c ≠ a * (b * c) (ข) ผด , a * (b + c) = cb a ++ , a * b = ba + , a * c = c a + เพราะวา c b a ++ ≠ ba + + ca + ∴ a * (b + c) ≠ (a * b) + (a * c) ดงนน ทง (ก) และ (ข) ผดทงค

Sup’k Tips

Sup’k ลด

BRAN-Pb1.20 (PAT1’ต.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ, สาหรบ a, b ∈ N

aΘb =

<

>= b a , b b a , a b a , a

และ a∆b =

<

>= b a , a b a , a b a , b

พจารณาขอความตอไปน, สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) aΘb = bΘa (ข) aΘ(bΘc) = (aΘb)Θc (ค) a∆(bΘc) = (a∆b)Θ(a∆c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 1 ขอ คอ ขอ (ก) 2) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ข) 3) ถก 2 ขอ คอ ขอ (ก) และ (ค) 4) ถกทง 3 ขอ คอ ขอ (ก), (ข) และ (ค) KAiOU-Pb 1.24 (PAT1’ม.ค.53) ให N แทนเซตของจานวนนบ กาหนดให a * b = ab สาหรบ a, b ∈ N พจารณาขอความตอไปน สาหรบ a, b, c ∈ N (ก) a * b = b * a (ข) (a * b) * c = a * (b * c) (ค) a * (b + c) = (a * b) + (a * c) (ง) (a + b) * c = (a * c) + (b * c) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถก 2 ขอ คอ (ข) และ (ค) 2) ถก 2 ขอ คอ (ค) และ (ง) 3) ถก 1 ขอ คอ (ค) 4) (ก) (ข) (ค) และ (ง) ผดทกขอ SheLL2.49 (PAT1’ก.ค.53) ให a และ b เปนจานวนเตมบวกใดๆ กาหนดให a ⊗ b เปนจานวนจรงทมสมบตตอไปน (ก) a ⊗ a = a + 4 (ข) a ⊗ b = b ⊗ a (ค) ba

b)(aa⊗

⊗ + = b b a +

คาของ (8 ⊗ 5) ⊗ 100 เทากบเทาใด ตอบ ..............................


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเลขยกกาลง ม.2

FPAT-Pb2 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา ab = 2 แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ มคาเทากบเทาใด

1) 4 2) 8 3) 64 4) 256 แนวคดเรวๆ ถา ab = 2

จะหา แลว 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+

วธจรง จะหา 2

2

b)(a

b)(a

22

-

+ = 2(a+b)2-(a-b)2 = 2(a2 + 2ab + b2) – (a2 – 2ab + b2)

= 2a2 + 2ab + b2 – a2 + 2ab – b2 = 24⋅ab = 24⋅2 = 28 = 256 ตอบ QET-G-Pb 26.1 ถา a = 1 - 2n และ x = 1 - 2-n โดยท a และ n เปนคาคงตว จงหา x 1) a 1

a 2-- 2) a 1

2 a-- 3) a1

a- 4) 1a

a-

QET-G-Pb 23.2 จงหารปอยางงายของ 3

432

baba

-

--

⋅ ÷

5

231

baba

⋅⋅

--

1) 5a1 2) 9a

1- 3) 7b

1 4) 12b1

QET-G-Pb 23.3 จงหา 1n3n

32

--+

× 1n2n

53

--- +

× 2nn1nn

24232 2

--

--

×× × 1n

2n

52

+

+-

1) 4 2) 864 3) 870 4) ไมมขอถก

สตร 2.2 (a ⋅ b)n = an ⋅ bn

n

ba

= n

n

ba

amn = a(mn)

สตร 2.3

สตร 2.1 am × an = am+n

nm

aa = am-n = mna

1- เมอ a ≠ 0

(am)n = am⋅n = (an)m

Sup’k Tips

โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวเปรยบเทยบความมากนอยเลขยกกาลง ม.2 KAiOU-Pb 1.22 (PAT1’ม.ค.53) ให A = 7(77), B = 777, C = 777 และ D = (777)7 ขอใดตอไปนถกตอง 1) B < A < C < D 2) B < C < A < D 3) C c1 > a

1 2) a1 > b

1 > c1 3) b

1 > a1 > c

1 4) a1 > c

1 > b1

**DiAMK-Pb 1.25 (ดกแนว PAT 1) ให a = (10100)10 , b = 10(1010) , c = 1000000! , d = (100!)10 ขอใดตอไปนถกตอง 1) a < c < d < b 2) a < d < c < b 3) a < d < b < c 4) a < b < c < d SheLL1.10 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาขอความตอไปน

ก. 23

2 < 34

3 ข. log2

83 < log3

21

ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด DiAMK-Pb 1.2 (ดกแนว PAT 1) จงพจารณาขอความตอไปน (ก) π log

12

+ π log15

> 2 (ข) π log12

+ 2 log1π

> 2

ขอสรปใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ถกตอง 2) ขอ (ก) ถกตอง และ ขอ (ข) ผด 3) ขอ (ก) ผด และ ขอ (ข) ถกตอง 4) ขอ (ก) และ ขอ (ข) ผด KAiOU-Pb 1.11 (PAT1’ม.ค.53) เซตคาตอบของอสมการ 72x + 72 < 23x+3 + 32x+2 เปนสบเซตของชวงใด 1) (log8 7, log9 8) 2) (log9 8, log8 9) 3) (log8 9, log7 8) 4) (log9 10, log8 9)

สตร I เมอ 1 < ฐาน เจอ 3.5x < 3.5y ∴

สตร II เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ 0.21x < 0.21y ∴

สตร III เมอ 1 < ฐาน เจอ log7.8 x < log7.8 y ∴

สตร IV เมอ 0 < ฐาน < 1 เจอ log0.42 x < log0.42 y ∴


การเลขยกกาลง กบ รด

พสจน ii) m n a = m1

n1)(a = m

1n1 a ⋅ = mn

1 a ⋅ = mn a

iii) n ma = nm

a = knkm

a ⋅⋅

= kn km a⋅ ⋅

พสจน i) n a n b = n1

a ⋅ n1

b = n1

b)(a ⋅ = n ba ⋅

ii) nn

ba =

1n1n

ab

= n1

ba

= n

ba

ตวอยางท 5.2.1 จงหารปอยางงายของ

i) aa = 21

aa ⋅ = 211 aa ⋅ = 2

11a + = 23

a = 21

23)(a = 2

123 a ⋅ = 4

3a

ii) aaa = 43

aa ⋅ = 431 aa ⋅ = 4

31a + = 47

a = 21

47)(a = 2

147 a ⋅ = 8

7a

iii) aaaa = 87

aa ⋅ = 871 aa ⋅ = 8

71a + = 815

a = 21

815

)(a = 21

815 a ⋅ = 16

15a

ตวอยางท 5.2.2 จงหารปอยางงายของ 3 54 6aa ⋅ ตอบ......................... แนวคด

3 54 6aa ⋅ = 3 514 (6a)a ⋅ = 3 5

1514 a6a ⋅⋅ = 3 5

1451

aa6 ⋅⋅ = 35145

1a6

+⋅

= 3 521

51

66 ⋅ = 31

521

51

)a(6 ⋅ = 31

51}{6 ⋅ 3

1521

][a = 31

51 6 ⋅

⋅ 31

521 a ⋅ = 15

16 ⋅ 15

21a = 15 16 ⋅ 15 21a

สตร 5.1

i) nm

a = ( n a )m = n ma

ii) m n a = mn a

iii) n ma = nk mka

สตร 5.2 i) n a n b = n ab

ii) nn

ba = n

ba


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง แบบ ฐานตดตวแปร BRAN-Pb2.29 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (3x2 - 11x + 7)(3x2+4x+1) = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ................. แนวคดเรวๆ แนวคดท 2 Sup’k-Pb2.29.1 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง และให C = {x ∈ R | (x – 3)x2 – 8x +15 = 1} จานวนสมาชกของเซต C เทากบเทาใด ตอบ ............................... Sup’k-Pb2.29.2 (ดกแนว PAT1) ให R แทนเซตของจานวนจรง

และให C =

+=

+

∈ xlog535 xlog

10 x|R x

จงหา n(C) ตอบ ..............................

FPAT-Pb14 (PAT1’ก.ค.52) ให x และ y เปนจานวนจรงท x, y > 0 ซงสอดคลองกบ xy = yx และ y = 5x จงหาวา คาของ x อยในชวงใด 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [3, 4) 4) [5, 6)

Sup’k ลด

โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลง

สตร 5.1 ax = ay → x = y เมอ a ≠ -1, 0, 1 สตร 5.2 ax = bx → x = 0 เมอ a, b ≠ -1, 0, 1

พสจน สตร 5.2 จาก ax = bx → xx

ba = 1 →

xba

= 1 → ∴ x = 0จบ

NichTor–Pb2.1 (ดกแนว PAT1’55) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270° ทสอดคลองกบ

3(2sinθ)θ

2cos278 = 2(3sinθ)

แลว sin 3θ เทากบขอใดตอไปน ตอบ .............................. วธทา NichTor–Pb2.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) ถา θ เปนมมซง 180° < θ < 270°

ทสอดคลองกบ 3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

แลว 3 tan2 θ - 2 sin 3 θ เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 3 3) 7 4) 11

Sup’k Tips

NichTor–Pb2.2 ตอบ 2) 3

3(2sinθ)θ

2cos94 = 2(3sinθ)

θ

ins32 θ

22cos32 = 3

2

θθ +

22cos sin32 = 3

2

θθ +

22cos sin32

=

132

จะได sin θ + 2 cos2 θ = 1 sin θ + 2(1 - sin2 θ) = 1 -2sin2 θ + sin θ + 1 = 0 2sin2 θ - sin θ - 1 = 0 (sin θ - 1)(2sin θ + 1) = 0 sin θ = 1, - 2

1

เพราะวา 180° < θ < 270° ฉะนน sin θ = - 21 ทาให θ = 210°

∴ 3tan2 θ - 2sin 3θ = 3tan2 210° - 2sin 630°

= 3tan267π - 2 ⋅ sin 2

7π

= 3tan2

+ ππ 6 - 2 ⋅ sin 2

7π

ยบมมดวยตรโกณในวงกลม = 3 tan2

π6 - 2 ⋅ sin 2

7π

= 32

31

- 2(-1)

= 1 + 2 = 3


FPAT-Pb1 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 6a+b = 36 และ 5a+2b = 125 แลวคาของ a มคาเทาใด 1) 1 2) 1.5 3) 2 4) 2.5 FPAT-Pb3 (PAT1’ม.ค.52) ถา 4x–y = 128 และ 32x+y = 81 แลวคาของ y เทากบขอใดตอไปน 1) -2 2) –1 3) 1 4) 2 SheLL1.11 (PAT1’ก.ค.53) ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ 32x+2 – 28(3x) + 3 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ log x + log(x – 1) = log(x + 3) แลวผลบวกของสมาชกทงหมดในเซต AU B เทากบขอใดตอไปน 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 AVATAR-Pb 5.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) กาหนด 22x2 + 2x2+2x+2 – 24x+5 = 0 จงหาวา x2 – 2x เทากบเทาใด ตอบ .............................. KMK-Pb 1.8 (PAT1’ต.ค.52) ถา x > 0 และ 8x + 8 = 4x + 2x+3 แลวคาของ x อยในชวงใดตอไปน 1) [0, 1) 2) [1, 2) 3) [2, 3) 4) [3, 4)

*KAiOU-Pb 1.12 (PAT1’ม.ค.53) ถาสมการ x

41

+

1x21 -

+ a = 0 มคาตอบเปนจานวนจรงบวก

แลวคาของ a ทเปนไปไดอยในชวงใดตอไปน 1) (-∞, -3) 2) (-3, 0) 3) (0, 1) 4) (1, 3) โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการเลขยกกาลงโอลมปก

*FPAT-Pb4 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดสมการ x

254

+

x259

= 1 จงพจารณาขอความตอไปน

ก. ถา a เปนคาตอบของสมการ แลว a > 1 ข. ถาสมการมคาตอบ แลวคาตอบจะมเพยงคาตอบเดยว ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


โจทยเอกซโปเนนเชยล แนวสมการตดรด BRAN-Pb2.27 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา A = {x ∈ R | 2x2 – 2x + 9 – 2 3x x2 +- = 15} แลวผลบวกของกาลงสองของสมาชกในเซต A เทากบเทาใด ตอบ .............................. KAiOU-Pb 2.2 (PAT1’ม.ค.53) ถา S = {x ∈ R | 13x + + 1x - = 17x + } เมอ R แทนเซตของจานวนจรง แลวผลบวกของสมาชกใน S เทากบเทาใด ตอบ .............................. SheLL2.27 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา S = {x ∈ R | 1x + + 1 3x - = 17x - } และ T = {y ∈ R | y = 3x + 1, x ∈ S} แลวผลบวกของสมาชกใน T เทากบเทาใด ตอบ ..............................

Sup’k Tips

Sup’k ระวง


สตรของ log

สตร 10.1! loga x + loga y = loga x ⋅ y สตร 10.2! logz x – loga y = loga y

x

สตร10.5! logan xm = n

m ⋅ loga x

สตร10.6! loga x1 = –loga x

สตร10.7! loga xn = loga1/n x

สตร10.8! logb a = blogalog

cc

สตร10.9! loga x = a log

1x

สตร10.10! b blog a log xx = a เอกซกาลง ลอก a นนยากอย

ฝากหวใจใหกนเอาไวกอน เปลยนสตรโดยสลบ x และ a

ทเราจะตองหางเหนไป

สตร10.12! log 2 = 1 – log 5 อาจจะมบางคราว เราพบใครใหม

สตร10.13! และ log 5 ก = 1 – log 2

เกดหวนไหว ไปตามประสาคนไกลกน

ตวอยาง 10.1 จา log 2 ≈ 0.30103 log 4 = log 22 = 2 ⋅ (log 2) ≈ 2 ⋅ (0.30103) = 0.60206 log 5 = 1 – log 2 ≈ 1 – 0.30103 = 0.69897 log 8 = log 23 = 3 ⋅ (log 2) ≈ 3 ⋅ (0.30103) = 0.90309

จา log 1 = 0 จา log 7 ≈ 0.84509 log 10 = log10 10 = 1

ตวอยาง 10.3 จา log 3 ≈ 0.4771 log 6 = log (2 × 3) = log 2 + log 3 ≈ 0.30103 + 0.4771 = 0.77813 log 9 = log 32 = 2 ⋅ (log 3) ≈ 2 ⋅ (0.4771) = 0.9542

ระวง10.1! log (x + y) ≠ log x + log y ระวง10.2! log (x – y) ≠ log x – log y ระวง10.3! (x ± y)n ≠ xn ± yn

สตร 10.3! loga a = 1 สตร 10.4! loga 1 = 0

loga x

ระวง10.4!

log10 x = log x logex = xnl

e ≈ 2.7182

ตวอยาง 10.5 จงหาคาของ log3 15 + log3 12 + log3 5 – log3 9 วธทา = log3

××

915 12 15 = log3 100 = log3 102 = 2 ⋅ (log3 10)

= 2 ⋅

3 log110

= 2 ⋅

3 log

1 ≈ 2 ⋅

0.4771

1

สตร10.11! blog ab = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเราลาบากอยหนใด เหมอนกนใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจกยงมคนดแล


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน BRAN-Pb2.35 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a, b, c และ d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 ถา (logb a)(logd c) = 1 แลวจงหาคาของ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1) ตอบ ....................... วธเรวๆ ถา (logb a)(logd c) = 1 จะหาคาของ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1) วธจรง BRAN-Pb2.35 ตอบ 1 เพราะวา (logb a)(logd c) = 1 blog

a log ⋅ dlog

clog = 1

จะได (logd a)(logb c) = 1 ฉะนน logb c = a log

1d

= loga d , logc d = c log1d

= logb a

logd a = c log1b

= logc b , loga b = a log1b

= logd c

∴ a(logb c–1)b(logc d–1)c(logd a–1)d(loga b–1) = abcdd c b a baloga dlogd clogc blog ⋅⋅⋅

= abcdd c b a c dlog bcloga blogd alog ⋅⋅⋅

= abcdcbad ⋅⋅⋅ = 1

สตร 10.8! logb a = blogalog

cc

สตร 10.9! loga x = a log1x

สตร 10.3! logm m = 1

สตร 10.11! blogb a = a ตอดวยสตร ฐาน log และ expo

เผอวาเราลาบากอยหนใด เหมอนกน ใหเอาหลง log มาตอบ

หวใจกยงมคนดแล


โจทยเพมเตมลอการทม แนวสตรพนฐาน SheLL1.14 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรงบวกทสอดคลองกบสมการ 35x ⋅ 9x2 = 27

และ y = 7)5)(log3)(log(log7)5)(log3)(log(log

864642 จงหาคาของ xy เทากบขอใด

1) – 81

2) 81

3) –27 4) 27 FPAT-Pb9 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c, d เปนจานวนจรงทมากกวา 1 โดยท loga d = 30, logb d = 50 และ logabc d = 15 จงหาวาคาของ logc d เทากบเทาใด 1) 75 2) 120 3) 150 4) 180 FPAT-Pb8 (B-PAT1’ต.ค.51) ให m และ n เปนจานวนเตมบวก ถา mlog505 + nlog50 2 = 1 แลว m + n เทากบขอใดตอไปน 1) 2 2) 3 3) 4 4) 6 KAiOU-Pb 1.10 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x และ y เปนจานวนจรงบวก และ y ≠ 1 ถา logy 2x = a และ 2y = b แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (log2 b)a

2) 2(log2 b)a

3) 2a (log2 b)

4) 2a(log2 b) FPAT-Pb7 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา 4(log a)2 + 9(log b)2 = 12(log a)(log b) แลวขอใดตอไปนถก 1) b2 = a 2) a2 = b 3) a3 = b2 4) a2 = b3


โจทยลอการทม แนวสตรพนฐาน VS ผลบวกราก, ผลคณราก BRAN-Pb1.10 (PAT1’ต.ค.53) ถา a, b และ c เปนรากของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 แลวจงหา

log27

++ c1 b1 a1 เมอ k เปนจานวนจรง

1) 91 2) 3

1 3) 32 4) 1

แนวคดเรว 1⋅x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 ผลบวกราก = a + b + c = .................... a ⋅ b + b ⋅ c + c ⋅ a = .................... ผลคณราก = a ⋅ b ⋅ c = .................... แนวคดท 2 ขนท 1 เนองจาก x = a, b, c เปนราก(เปนคาตอบ)ของสมการ x3 + kx2 – 18x + 2 = 0 จงไดวา x3 + kx2 – 18x + 2 = (x – a)(x – b)(x – c) x3 + kx2 – 18x + 2 = x3 – (a + b + c)x2 + (ab + bc + ca)x – abc เทยบสมประสทธ ฉะนน ab + bc + ca = –18 และ abc = –2 ขนท 2 จะหา log27

++ c1 b1 a1 = หา ค.ร.น. เพอรวมเศษสวน = log27

⋅⋅⋅ ++ ab

ab c1 acac b1 bc

bc a1

= log27

++

abcab ac bc = log27

218-- = log27 9

= log33 3

2 = 32

⋅ (log3 3) = 32

⋅ (1) = 32 ตอบ

เทคนคลนลา กบ คร Sup’k

ผลคณราก คอ..................... ผลบวกราก คอ......................... จบมอไวแลวไปดวยกน เหมอนวาไมมวนจะพรากไป

แลวไลเครองหมาย + , - , - , ... .............................. ทาอะไรไดดงฝนใฝ ถาเรารวมใจ

แตขอให................. co-ef หนาสด ตองเปน ....... จดหมายทฝนกนไว กคงไมเกนมอเรา


โจทยลอการทม แนวแกสมการ log BRAN-Pb1.11 (PAT1’ต.ค.53) เซตคาตอบของสมการ xlog2

3 – log27 x3 = 6 ตรงกบเซตคาตอบของสมการในขอใดตอไปน 1)

14

log13

log12

log 3 2 29244x 9x1

+- = 0

2) 2log2(x + 1) – log2(x2 – 14x + 41) = 1

3) )5 8x x(1 23 ++ - + )5 8x x(2 2

3 --- = 28 4) log3x 3 + log27 3x + 3

4 = 0

โจทยเพมเตมลอการทม แนวแกสมการ log FPAT-Pb11 (PAT1’ก.ค.52) เซตคาตอบของสมการ 2log (4 – x) = log2(9 – 4x) + 1

เปนสบเซตของชวงใด 1) [–9, –7) 2) [–7, –2) 3) [–2, 2) 4) [2, 7) KMK-Pb 2.10 (PAT1’ต.ค.52) รากทมคานอยทสดของสมการ 2log(x–2) ⋅ 2log(x–3) = 2log 2 มคาเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb12 (PAT1’ม.ค.52) ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ log3x = 1 + logx9 อยในชวงใด 1) [0, 4) 2) [4, 8) 3) [8, 12) 4) [12, 16)

สตร I เจอ logm ♥ = logm → ....................

สตร II เจอ log5 ♥ = 7 → ....................


log m ♥ Sup’k Tips


KMK-Pb 2.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให logy x + 4 logx y = 4 แลว logy x3 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยแนวใหมเซอรไพส แนว.................................... Sup’k-Pb2.28.1 จงหาคา x ซงสอดคลองกบสมการ (x2 – 36)4 = cos (x ⋅ π) – 1 ตอบ .......................... แนวคด Sup’k-Pb2.28.2 (ดกแนวPAT1) จงหาคา x ใหครบทกตว ซงสอดคลองกบสมการ 2 x - = 32 – x5 ตอบ........................... BRAN-Pb2.28 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง

ถา B =

=+++ π∈ 1 1 7 xcos3 10) 7x x(logR x 22

2 ---

แลวผลบวกของสมาชกในเซต B เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips1.1 Sup’k Tips1.2 สตรแถม1.3



BRAN-Pb2.28 ตอบ 0003.00

แนวคด จากสมการ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 1 7 xcos 2 -

+π = 1

ขนท 1 เงอนไข 0 ≤ ใตรด ∴ 0 ≤ cos

+π 7 x2 – 1 → ∴ 1 ≤ cos

+π 7 x2 → (๑)

ขนท 2 เงอนไขตรโกณ –1 ≤ cos θ ≤ 1 จะได ∴ -1 ≤ cos

+π 7 x2 ≤ 1 → (๒) ขนท 3 จาก (๑) และ (๒) ใชกฎการตอราคา จะไดวา cos

+π 7 x2 = 1 เทานน

แทนคาในโจทย log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 7 xcos 2 -

+π = 1

∴ log2(–x2 + 7x – 10) + 3 ⋅ 1 1 - = 1

log2(–x2 + 7x – 10) = 1 ปลด log ไปเสยบอกฝง (–x2 + 7x – 10) = 21 –x2 + 7x – 10 = 2 → ∴ x = 3, 4 ขนท 4 ตรวจคาตอบ

กรณท1 เมอ x = 3 แลว log2(–32 + 7 ⋅ 3 – 10) + 3 ⋅ 1 7 3cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 11 - = 1

1 + 3 ⋅ 0 = 1 จรง

กรณท 2 เมอ x = 4 แลว log2(–42 + 7 ⋅ 4 – 10) + 3 ⋅ 1 7 4cos 2 -

+π = 1

log2(2) + 3 ⋅ 1 )23cos( -π⋅ = 1 ไมจรง ดงนน x = 3 เทานน จงได B = {3} → ∴ ผลบวกของสมาชกใน B เทากบ 3 ตอบ


ทบทวนสตรตรรกศาสตร . นเสธ และ หรอ

P ∼P P Q P ∧ Q P Q P ∨ Q T ∼T ≡ F T T T ∧ T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F ∼F ≡ T T F T ∧ F ≡ F T F T ∨ F ≡ T

F T F ∧ T ≡ F F T F ∨ T ≡ T F F F ∧ F ≡ F F F F ∨ F ≡ F

ถา...แลว... ...กตอเมอ...

P Q P → Q P Q P ↔ Q T T T → T ≡ T T T T ↔ T ≡ T T F T → F ≡ F T F T ↔ F ≡ F F T F → T ≡ T F T F ↔ T ≡ F F F F → F ≡ T F F F ↔ F ≡ T

ประพจนทสมมลกน คอ ประพจนสองประพจนทมคาความจรงเหมอนกนทกกรณ กรณตอกรณ สมมลใชสญลกษณ คอ ≡ เชน (p ∧ q) → r ≡ (p → r) ∨ (q → r) พสจน p q r (p ∧ q) (p ∧ q) → r (p → r) (q → r) (p → r) ∨ (q → r) T T T (T ∧ T) ≡ T T → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T T F (T ∧ T) ≡ T T → F ≡ F F F F ∨ F ≡ F T F T (T ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T T F F (T ∧ F) ≡ F F → F ≡ T F T F ∨ T ≡ T F T T (F ∧ T) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F T F (F ∧ T) ≡ F F → F ≡ T T F T ∨ F ≡ T F F T (F ∧ F) ≡ F F → T ≡ T T T T ∨ T ≡ T F F F (F ∧ F) ≡ F F → F ≡ T T T T ∨ T ≡ T


โจทยตรรกศาสตร แนวพนฐาน VS สมมล VS สจนรนดร BRAN-Pb1.1 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A, B และ C เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C แนวคด ชอย ขอ 4) ประพจน (A → C) ∧ (B → C) ≡ สมมลกบประพจน (A ∧ B) → C วธเรวๆ วธจรง ผด เพราะ (A → C) ∧ (B → C) ≡ ≡ (∼A ∨ C) ∧ (∼B ∨ C) ≡ (∼A ∧ ∼B) ∨ C ≡ ∼(A ∨ B) ∨ C ≡ (A ∨ B) → C ≡ (A ∧ B) → C

สตร กฎการสลบท p ∧ q ≡ q ∧ p p ∨ q ≡ q ∨ p กฎการเปลยนกลม (p ∧ q) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r) กฎการคณกระจาย p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) กฎเดอรมอนแกน ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q กฎนเสธ ∼(∼p) ≡ p

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’k Tips (q ∧ r) → p ≡ (q → p) ∨ (r → p) (q ∨ r) → p ≡ (q → p) ∧ (r → p) p → (q ∧ r) ≡ (p → q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ≡ (p → q) ∨ (p → r)


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธทาเรวๆ วธจรง

A B C (B ∧ C) → [∼A → C] T T T (T ∧ T) → [∼T → T]

≡ (T) → [ F → T] ≡ (T) → [ T ] ≡ T

T T F (T ∧ F) → [∼T → F] ≡ (F) → [ F → F] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

T F T T F F F T T F T F F F T (F ∧ T) → [∼F → T]

≡ (F) → [ T → T] ≡ (F) → [ T ] ≡ T

F F F (F ∧ F) → [∼F → F] ≡ (F) → [ T → F] ≡ (F) → [ F ] ≡ T

หลก I ลาดบการทา แบบ ตรง ขนท 1 ทาในวงเลบกอน ขนท 2 ทา นเสธ ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา → ขนท 5 ทา ↔

หลก II ลาดบการทา แบบ ยอนกลบ ขนท 1 ทา ↔ ขนท 2 ทา → ขนท 3 ทา ∧, ∨ ขนท 4 ทา นเสธ ขนท 5 ทาในวงเลบ

A B A ↔ B T T T ↔ T ≡ T T F T ↔ F ≡ F F T F ↔ T ≡ F F F F ↔ F ≡ T


ชอย ขอ 1) ถา A ↔ B มคาความจรงเปนจรง แลว (B ∧ C) → (∼A → C) มคาความจรงเปนเทจ วธเหนอชน ชอย ขอ 2) ประพจน A → [(A ∧ B) ∨ (B ∨ C)] เปนสจนรนดร วธเหนอชน วธทาเรวๆ วธจรง หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

T FF

F F

F F FT

A C)](B B)[(A ∨∨∧

สตรนยม “หนา ช หลง”

Sup’kลด


การจบเทจ สาเรจ เพราะไมเกดขอขดแยงใดๆ ∴ ดงนน ประพจนนไมเปน สจนรนดร ชอย ขอ 3) ประพจน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร วธจรงแบบ I หลกการตรวจสอบสจนรนดร : ใชวธการจบเทจ (แตกกงยอนกลบ)

ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒)

เกดขอขดแยง

(๑)

T

F

T

T T T F

F

F (๒)

(๓)

(๔)(๔)

(๓)

(๕)(๗)(๗) (๗)F

(๒)

B)(A[ ∧ ]C B)(A [ ]C)(A

) T T ( ∧

) T T ( ∧

เพราะวาจากขนท (๗)F

≡ (T) F≡ F

(๖)

การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปนสจนรนดร วธจรงแบบ II ถก สมมตวา [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ไมเปนสจนรนดร ฉะนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] ≡ F ได สงผลให (A ∧ B) → C ≡ T ...(1) และ (A → B) → (A → C) ≡ F ...(2) โดย (2) จะได A → B ≡ T และ A → C ≡ F ฉะนน A ≡ T, B ≡ T, C ≡ F ทาให (A ∧ B) → C ≡ F ขดแยงกบ (1)

ดงนน [(A ∧ B) → C] → [(A → B) → (A → C)] เปนสจนรนดร


โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนวสมมล VS สจนรนดร SheLL1.1 (PAT1’ก.ค.53) ให p, q, r และ s เปนประพจน ถาประพจน (p ∨ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ และประพจน p ↔ r มคาความจรงเปนจรง ประพจนในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนจรง 1) (q → p) ∧ (q → r) 2) q → [p ∨ (q ∧ ∼r)] 3) (p → s) ↔ (r ↔ q) 4) (r ↔ s) ∧ [q → (p ∧ r)] Peach–Pb 2.44 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพจารณาขอความตอไปน ก. ถา p, q, r เปนประพจน ซง p ⇒ (q ∧ r) มคาความจรงเปนจรง แลวประพจน r ⇒ [(p ⇒ q) ∧ (p ⇒ r)] มคาความจรงเปนจรง ข. กาหนดให เอกภพสมพทธ คอ {x|x2 ≤ 2x + 3} แลว ประพจน ∃x [3x + 6 = 33 – x] มคาความจรงเปนจรง ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb 1.2 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน

ก. ถา q ∧ r มคาความจรงเปนจรง แลว p และ p ∨ [(q ∧ r) → p] มคาความจรงเหมอนกน

ข. ถา p มคาความจรงเปนเทจ แลว r และ (p → q) ∧ r มคาความจรงเหมอนกน ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


FPAT-Pb17 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให p, q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p → (p → (q ∨ r)) สมมลกบประพจน p → (q ∨ r) ข. ประพจน p ∧ (q → r) สมมลกบประพจน (q → p) ∨ ∼(p → ∼r) ขอใดตอไปนถก 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด FPAT-Pb18 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให P, Q, R, S เปนประพจน พจารณาขอความตอไปน (i) ประพจน (∼P ∨ Q) → (R ∧ ∼S) สมมลกบ (S ∨ ∼R) → (P ∧ ∼Q) (ii) ประพจน (P ∨ R) ∧ [(P ∧ R) → (Q ∨ R ∨ ∼S)] เปนสจนรนดร ขอใดตอไปนถกตอง 1) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ถก 2) ขอ (i) ถก และ ขอ (ii) ผด 3) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ถก 4) ขอ (i) ผด และ ขอ (ii) ผด Peach–Pb 2.43 (แนวPAT1’ต.ค.55) สาหรบ ประพจน p, q, r ใดๆ ขอใดตอไปนเปนสจนรนดร 1) (p ⇒ q) ⇒ (q ⇒ p) 2) (p ↔ q) ↔ (∼q ↔ p) 3) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼p) ⇒ (p ⇒ q) 4) ((p ∧ ∼q) ⇒ ∼q) ⇒ (p ⇒ q) KAiOU-Pb 1.1 (PAT1’ม.ค.53) ให p และ q เปนประพจนใดๆ ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) (p → q) ∨ p 2) (∼p ∧ q) → q 3) [(p → q) ∧ p] → q 4) (∼p → q) ↔ (∼p ∧ ∼q)


วจย กาหนดให U = {-5, -1, 10} P(x) แทน 21) (x + = x + 1, Q(x) แทน 1x + > 2, S(x) แทน 21) (x + = |x + 1| แนวคด (i) จงหาคาความจรงของ ∀x[P(x)] (ii) จงหาคาความจรงของ ∃x[P(x)] (iii) จงหาคาความจรงของ ∀x[Q(x)] (iv) จงหาคาความจรงของ ∃x[Q(x)] (v) จงหาคาความจรงของ ∀x[S(x)] (vi) จงหาคาความจรงของ ∃x[S(x)]

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x จะ T ได


โจทยตรรกศาสตร แนววลบงปรมาณตวแปรเดยว BRAN-Pb1.2 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ เซตของจานวนจรง

และ P(x) แทน 21) (x + = x + 1 Q(x) แทน 1x + > 2 ขอใดตอไปนมคาความจรงตรงขามกบประพจน ∃x[P(x)] → ∀x[Q(x)] 1) ∃x[∼P(x)] → ∀x[∼Q(x)] 2) ∃x[P(x)] → ∃x[Q(x)] 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เพราะวามกรณหนงซง แทน x = 8 ; P(8) ∧ Q(8) ≡ 21) (8 + = 8 + 1 ∧ 18 + > 2 ≡ T ∧ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∧ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 3) ∃x[P(x) ∧ Q(x)] → ∀x[P(x)] ≡ T → F ≡ F ทด พจารณาบางสวนของ ชอยขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T เพราะวามกรณหนงซง แทน x = 9 ; P(9) ∨ Q(9) ≡ 21) (9 + ≡ 9 + 1 ∨ 19 + > 2 ≡ T ∨ T ≡ T

∴ ∃x[P(x) ∨ Q(x)] เปน T

∴ สรป ชอย ขอ 4) ∃x[P(x) ∨ Q(x)] → ∀x[Q(x)] ≡ T → F ≡ F


SheLL1.2 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[x + y + 2 > 0] มคาความจรงเปนจรง 2) ∃x∃y[x + y > 1] มคาความจรงเปนเทจ 3) ∃x∀y[x + y = 1] มคาความจรงเปนเทจ 4) ∀x∃y[x + y ≥ 0] มคาความจรงเปนเทจ

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∀y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∀x∃y จะ T ได

Sup’k Tips ถาให U = {10, 20, 30} ∃x∀y จะ T ได

โจทยตรรกศาสตรเพมเตม แนววลบงปรมาณสองตวแปร KAiOU-Pb 1.2 (PAT1’ม.ค.53) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ถาเอกภพสมพทธ คอ {–1, 0, 1} คาความจรงของ ∀x∃y[x2 + x = y2 + y] เปนเทจ 2) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง คาความจรงของ ∃x[3x = log3 x] เปนจรง 3) ถาเอกภพสมพทธ เปนเซตของจานวนจรง นเสธของขอความ ∀x∃y[(x > 0 ∧ y ≤ 0) ∧ (xy < 0)] คอ ∃x∀y[(xy < 0) → (x ≤ 0 ∨ y > 0)] 4) ถาเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม นเสธของขอความ ∀x[(x > 0) → (x3 ≥ x2)] คอ ∃x[(x ≤ 0) ∧ (x3 < x)] FPAT-Pb21 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดเอกภพสมพทธ U = {n ∈ I+ | n ≤ 10} ขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∀y[xy ≤ x + y] 2) ∀x∀y[(x2 = y2) → (x = y)] 3) ∀x∃y[(x ≠ 1) → (x > y2)] 4) ∃x∃y[(x – y)2 ≥ y2 + 9xy] KMK-Pb 1.1 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {–2, –1, 1, 2} ประโยคในขอใดตอไปนมคาความจรงเปนเทจ 1) ∃x∃y[x ≤ 0 ∧ |x| = y + 1] 2) ∃x∀y[x ≤ y ∧ –(x + y) ≥ 0] 3) ∀x∃y[x + y = 0 ∨ x – y = 0] 4) ∀x∀y[|x| < |y| ∨ |x| > |y|] FPAT-Pb22 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ U = {{1, 2}, {1, 3}, {2, 3}} ขอใดตอไปนถกตอง 1) ∀x∀y[ xI y ≠ ∅ ] 2) ∀x∀y[ xU y = U ] 3) ∀x∃y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ] 4) ∃x∀y[ y ≠ x ∧ y ⊂ x ]


โจทยตรรกศาสตร แนวสมเหตสมผล FPAT-Pb23 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P, Q , R เปนประพจน พจารณาการอางเหตผลตอไปน เหต 1. P → (∼Q ∨ R) 2. Q ∨ R 3. ∼R ผล S S เปนประพจนในขอใด จงจะทาใหการอางเหตผลขางตน สมเหตสมผล 1) ∼P 2) ∼Q 3) P ∨ ∼Q 4) P ∨ R วธจรง ชอย ขอ 1) ;

(๗)

เกดขอขดแยงเพราะวา

(๑)FF(๒)

T (๓)T(๒)

T(๒)

F (๕) F(๔)T(๖)T(๒)

R)(Q R)Q~ (P )([ ∨∧∨ P][~]R)(~ ∧

)( F)T(~ T ∨

จากขนท (๗) (T → (∼T ∨ F)) ≡ (T → ( F ∨ F)) ≡ (T → (F)) ≡ F ซงไมตรงกบการแตกกงในขนท (๒) การเกดขอขดแยง หมายถง การจบเทจ ไมสาเรจ แสดงวา ประพจนในขอน เปนสจนรนดร

∴ โจทยขอน เปน ขอความทสมเหตสมผล ดวย ตอบ

ทฤษฎ สมมต ถามเหต : S1, S2, S3, ..., Sn ผล : P ขอความดงกลาวจะ สมเหตสมผล กตอเมอ [S1 ∧ S2 ∧ S3 ∧ ... ∧ Sn] → P เปน สจนรนดร หลก ...................................................................................................................................................................

Sup’k ลด


โจทยระบบจานวนจรง แนวทฤษฎบทเศษเหลอ FPAT-Pb32 (B-PAT1’ต.ค.51) ให c เปนคาคงตว และ P(x) = x3 – 3x2 + 2

c x + 5

ถา P(x) หารดวย x – 2 เหลอเศษเทากบ 7 แลว P

+ 2 3c เทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 33 3) 35 4) 37 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกสมการพหนาม FPAT-Pb34 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A = {x | x ∈ I และ x3 – x = 0} เซตในขอใดตอไปนเทากบ A 1) {x | x ∈ R และ x2 – x4 = 0} 2) {x | x ∈ R และ x3 + x = –2x} 3) {x | x ∈ I และ x2 – 1 = 0} 4) {x | x ∈ I และ x2 + 1 = –2x} FPAT-Pb35 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S = {x | |x|3 = 1} เซตในขอใดตอไปนเทากบเซต S 1) {x | x3 = 1} 2) {x | x2 = 1} 3) {x | x3 = –1} 4) {x | x4 = x} FPAT-Pb36 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x4 – 5 2 x2 + 8 = 0 ผลบวกของสมาชกทเปนจานวนจรงบวกของ A เทากบขอใดตอไปน 1) 18 2) 24 3) 4 242 4) 4 162 FPAT-Pb37 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให S เปนเซตคาตอบของสมการ 2x3 – 7x2 + 7x – 2 = 0 ผลบวกของสมาชกทงหมดของ S เทากบขอใดตอไปน 1) 2.1 2) 2.2 3) 3.3 4) 3.5 KMK-Pb 1.4 (PAT1’ต.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + x2 – 27x – 27 = 0 และ B เปนเซตคาตอบของสมการ x3 + (1 – 3 )x2 – (36 + 3 )x – 36 = 0 AI B เปนสบเซตของชวงในชวงในขอใดตอไปน 1) [–3 5 , –0.9] 2) [–1.1 , 0] 3) [0 , 3 5 ] 4) [1 , 5 3 ]

โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ FPAT-Pb39 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = {x ∈ R | (x2 – 1)(x2 – 3) ≤ 15} ม a เปนจานวนทมคานอยทสดใน S และม b เปนจานวนทมคามากทสดใน S แลว (b – a)2 มคาเทากบเทาใด 1) 24 2) 12 3) 6 4) 3 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง เทากบ 0

FPAT-Pb41 (B-PAT1’ต.ค.51) ให X =

≤+

+ 0 1)4)(2x (x 3) 2)(x (x x -

- และ Y = {x | x ∈ X และ x < 0}

ถา p เปนสมาชกทมคามากทสดของ X และ q เปนสมาชกทมคามากทสดของ Y แลว |pq| เทากบขอใดตอไปน 1) 6 2) 8 3) 10 4) 12

FPAT-Pb43 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 65x x36 13x x

224

++

+- ≥ 0

ถา a เปนสมาชกทมคานอยทสดในเซต AI (2, ∞) และ b เปนจานวนจรงลบทมคามากทสด โดยท b ∉ A แลว a2 – b2 มคาเทากบเทาใด 1) –5 2) –9 3) 5 4) 9 FPAT-Pb42 (PAT1’ก.ค.52) ให X คอ เซตคาตอบของอสมการ x2

1)1)(x (2x -

-+ ≥ 0

Y คอ เซตคาตอบของอสมการ 2x2 – 7x + 3 < 0 คาของ 6a – b มคาเทาใด เมอ XI Y = [a, b) 1) 4 2) 6 3) 8 4) 10 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการ ตดเศษสวน ดานใดดานหนง ไมเทากบ 0

KMK-Pb 1.5 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S =

+≥1x2 x

23x xx x 22

---

ชวงในขอใดตอไปนเปนสบเซตของ S 1) (–∞, –3) 2) (–1, 0.5) 3) (–0.5, 2) 4) (1, ∞)

Sup’k หลก

โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนคาคงท KAiOU-Pb 1.4 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให A =

≤∈ + 4 9 6x x R x 2 - เมอ R คอเซตของจานวนจรง

ขอใดตอไปนถกตอง 1) A′ = {x ∈ R|| 3 – x | > 4} 2) A′ ⊂ (–1, ∞) 3) A = {x ∈ R| x ≤ 7} 4) A ⊂ {x ∈ R|| 2x – 3 | < 7} BRAN-Pb1.3 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และ P(S) แทนเพาเวอรเซตของเซต S ให A = {x ∈ I|| x2 – 1 | < 8} และ B = {x ∈ I | 3x2 + x – 2 ≥ 0} ขอใดตอไปนถกตอง 1) จานวนสมาชกของ P(A – B) เทากบ 4 2) จานวนสมาชกของ P(I – (AU B)) เทากบ 2 3) P(A – B) = P(A) – P(AI B) 4) P(A – B) – P(AI B) = {{0}} โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบขางเดยว อกขางเปนตวแปร FPAT-Pb46 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {x | |x – 1| ≤ 3 – x} และ a เปนสมาชกคามากทสดของ A คาของ a อยในชวงใด 1) (0 , 0.5] 2) (0.5 , 1] 3) (1 , 1.5] 4) (1.5 , 2] โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบม แอบสองขาง FPAT-Pb45 (B-PAT1’ต.ค.51) ถาชวง (a, b) เปนเซตคาตอบของอสมการ 2|x + 3| > 3|x – 2| แลว b – a เทากบขอใดตอไปน 1) 11 2) 12 3) 13 4) 14 โจทยระบบจานวนจรง แนวแกอสมการคาสมบรณ แบบ ปลดแอบโดยนยาม SheLL1.4 (PAT1’ก.ค.53) ถา A =

>∈ + 1 3 |x| x 2 | x 1| R x -

-- แลว AI [0, 1) เทากบขอใด

1)

32 ,3

1 2)

1 ,31

3)

1 ,32 4)

23 ,3

2


เรขาคณตวเคราะห

สตร1.11! พนทรป n เหลยม ในกรณทรจดยอด n จด ของรป n เหลยมใดๆ : (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), ..., (xn, yn) เชน จงหาพนทของรป ABCD เมอ A(1, 3), B(2, 0), C(5, 7), D(-1, 5) แนวคด

D(-1, 5)

A(1, 3) B(2, 0)

C(5, 7)

หลกการใชสตร 1. เรมตนจากจดใด ตองลงทายดวยจดนน 2. วนในทศใดทศหนง 3. ...................................................................................... 4. ...................................................................................... 5. ...................................................................................... ขอควรระวง .............................................................................................................................................................


โจทยเรขาคณตวเคราะห แนวหาพนทรป n เหลยม BRAN-Pb1.9 (PAT1’ต.ค.53) ให ABCD เปนรปสเหลยมทมจดยอด เปน A(–2, 3), B(2, 8), C(4, 4) และ D(0, –3) พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบขอใดตอไปน 1) 16 ตารางหนวย 2) 32 ตารางหนวย 3) 10 13 ตารางหนวย 4) 26 10 ตารางหนวย วธคดเรวๆ วธจรง BRAN-Pb1.9 ตอบ 2) ขนท 1 จากรป พนท [PQRS] = PQ ⋅ QR = |–2 – 4|⋅|–3 – 8| = 66 พนท [ABP] = 2

1 ⋅ AP ⋅ BP = 2

1 |8 – 3||–2 – 2|

= 10 ตารางหนวย พนท [BCQ] = 2

1 ⋅ CQ ⋅ BQ = 2

1 |8 – 4||4 – 2|

= 4 ตารางหนวย พนท [CDR] = 2

1 ⋅ CR ⋅ DR = 2

1 |–3 – 4||4 – 0|

= 14 ตารางหนวย พนท [ADS] = 2

1 ⋅ AS ⋅ DS = 2

1 |–3 – 3||–2 – 0| = 6 ตารางหนวย ขนท 2 จะหา พนท [ABCD] = [PQRS] – [ABP] – [BCQ] – [CDR] – [ADS] ∴ พนท [ABCD] = 66 – 10 – 4 – 14 – 6 = 32 ตารางหนวย

Y

X

C(4, 4)

B(2, 8) Q(4, 8)P(-2, 8)

A(-2, 3)

S(-2, -3) D(0, -3) R(4, -3)


สตร1.1! สตรระยะระหวางจดสองจด

d = 21PP = 221

221 ) y (y ) x (x -- +

เชน จงหาระยะหางระหวางจด A(5, -4) , B(7, 8) วธทา AB = 22 )( 8 4)( 7) (5 --- +

= 22 12)( 2)( -- + = 1444 + = 148 สตร1.2! สตรจดกงกลางหางระหวางจดสองจด จดกงกลางระหวาง 21PP =

++

2 y y ,2

x x 2121 เชน จงหาจดกงกลางระหวางจด A(5, -4), B(7, 8) วธทา จดกงกลาง =

++

28 4)( ,2

7 5 -

= (6 , 2)

Y

X

P1(x1, y1)

P2(x2, y2)

Y

X

P1(x1, y1)P2(x2, y2)


สตร1.3! สตรหาจดปลาย เมอใหจดกงกลาง และจดปลายอกดานหนง เชน ใหจด (6, 2) เปนจดกงกลางระหวางจด A(5, -4), B จงหาจด B วธทา สมมตวา จด B(x, y) (6, 2) = จดกงกลาง =

++

2 y4 ,2

x 5 -

6 = 2x5 + , 2 = 2

y4 +-

7 = x , 8 = y ∴ B(x, y) = B(7, 8) NichTor-Pb3.1 (แนว PAT1’ธ.ค.54) กาหนดให A(1, 3) เปนจดกงกลางของ OP เมอ O(-1 , 2) จงหาพกดจด P ตอบ .............................. วธทา

A(5, -4) (6, 2)

B(x, y)

Sup’k Tips


C(9, 1)

B(1,-5)A(-3,-2)

D(x, y)

G

FPAT-Pb48 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABCD เปนสเหลยมดานขนานทอยในระนาบ XY ถา A = (–3, –2), B = (1, –5), C = (9, 1) แลว BD มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 91 2) 10 3) 97 4) 10 2 วธคดเรวๆ วธจรง & พสจนสตรลด ขนท 1 สมการ จดกงกลางของเสนทแยงมมAC = จด G = จดกงกลางของเสนทแยงมมBD

++

212][ ,2

93][ -- =

++

25][y ,2

1 x -

∴ 293][ +- = 2

1x + และ 212][ +- = 2

5][ y -+

∴ 5 = x และ 4 = y ∴ D(x, y) = D(5, 4) ขนท 2 จะหา BD = ระยะ BD = 22 y)( x)( ∆∆ + = 22 5])[ (4 1) (5 --- + = 97 ตอบ

ทฤษฎเรขาคณตเสนทแยงมมของสเหลยมดานขนาน จะตดกนและแบงครงซงกนและกน

Sup’k Tips C( 9, 1)

D

B(1, - 5)

A(-3,-2)


โจทยเพมเตมเรขาคณตวเคราะห . KAiOU-Pb 1.15 (PAT1’ม.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยมทม A(0, 0) และ B(2, 2) เปนจดยอด และ C(x, y) เปนจดยอดในจตภาค (quadrant) ท 2 ททาใหดาน AC ยาวเทากบดาน BC ถาพนทของสามเหลยม ABC มคาเทากบ 4 ตารางหนวย แลวจด C อยบนเสนตรงในขอใด 1) x – y + 4 = 0 2) 4x + 3y – 1 = 0 3) 2x – y – 3 = 0 4) x + y – 5 = 0 KAiOU-Pb 1.9 (PAT1’ม.ค.53) จด A(-3, 1), B(1, 5), C(8, 3) และ D(2, –3) เปนจดยอดของรปสเหลยม ABCD ขอใดตอไปนผด 1) ดาน AB ขนานกบดาน DC 2) ผลบวกความยาวของดาน AB กบ DC เทากบ 10 2 หนวย

3) ระยะตงฉากจากจด A ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 229 หนวย

4) ระยะตงฉากจากจด B ไปยงเสนตรงทผานจด C และ D มคาเทากบ 29 หนวย

FPAT-Pb49 (B-PAT1’ต.ค.51) ให A(–1, –1) และ B(1, c) เปนจดในระนาบ XY ถา L เปนเสนตรงซงผานจด A, B และมความชนเทากบ 3 แลวเสนตรงทมความชนเทากบ –2 และผานจด B จะมสมการดงขอใดตอไปน 1) y = –2x + 7 2) y = –2x + 5 3) y = –2x + 3 4) y = –2x + 1 SheLL1.9 (PAT1’ก.ค.53) รปสามเหลยม ABC มมม CBAˆ เปนมมฉาก และดานตรงขามมมฉากยาว 10 หนวย ถาพกดของจด A และจด B คอ (–4, 3) และ (–1, 2) ตามลาดบ แลวสมการเสนตรงในขอใดผานจด C 1) x + 8y – 27 = 0 2) 8x + y – 27 = 0 3) 4x – 5y + 3 = 0 4) –5x + 4y + 3 = 0


สตร 1.20! โปรเจกชนของจด P บนเสนตรง L สตร ระยะหางระหวางจด P(x1, y1) กบเสนตรง L คอ

d = 22

21B A

|C ByAx|+

++

ระวง 1.20! NichTor-Pb3.2 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาระยะทางทสนทสดจากจด P(3, 4) ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 ตอบ ................................. วธทา

Y

XO

L : Ax + By + C = 0P(x1, y1)


ภาคตดกรวย : วงกลม . สตร 2.1! วงกลม ระวง! กอนใชสตร สมประสทธ หนา x2, y2 ตองเทากบ …… สมการรปทวไป

x2 + y2 + Ax + By + C = 0 สมการมาตรฐาน

(x - h)2 + (y - k)2 = r2

จดศนยกลาง

รศม

NichTor-Pb3.3 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงหาจดศนยกลางและรศมของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ................................... วธทา

เทคนคลนลากบครSup’k รองเพลงกบพSup’k แลวจาไดเลย

วงกลมนนมสองสงสาคญ คอจดศนยกลาง กบ รศม ไง ศนยกลางอยท (h, k) =

2B ,2

A --

กอนเคยเชอในลขตฟาดน ปลอยชวตไปตามโชคชะตา แตฝนไมเคยถงฝง ผดหวงในใจเรอยมา เพราะไมมหวใจ รศมคอ รดผลบวกของ กาลงสองของ.................... แลว............................... จะดหรอเลวมนอยทคน จะมหรอจนมนอยทใจ ดนฟาไมเคยลขต .........ตวเลขใดๆ ............................................ ชวตจะเปนเชนไร อยาเลยอยาไปถามฟา

วธการตรวจสอบวา จดใดอยใน หรออยบน หรออยนอกวงกลม

x2 + y2 = 25 กบ P(1, 0) x2 + y2 = 25 กบ P(3, 4) x2 + y2 = 25 กบ P(7, 10) 12 + 02 < 25 32 + 42 = 25 72 + 102 > 25 ควรจดสมการใหอยรป (x – h)2 + (y – k)2 = r2 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว กรณท 1 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 < r2 แสดงวา จด P อยในวงกลม กรณท 2 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 = r2 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม กรณท 3 (x1 – h)2 + (y1 – k)2 > r2 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม หรอหากจดในรป x2 + y2 + Ax + By + C = 0 หลงแทนคา จด P(x1, y1) ทสนใจแลว กรณท 1 2

1x + 21y + Ax1 + By1 + C < 0 แสดงวา จด P อยในวงกลม

กรณท 2 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C = 0 แสดงวา จด P อยบนเสนรอบวงกลม

กรณท 3 21x + 2

1y + Ax1 + By1 + C > 0 แสดงวา จด P อยนอกวงกลม NichTor-Pb3.4 (แนว PAT1’ธ.ค.54) จงตรวจสอบวา จด A(1, 3) อยดานใน หรอดานนอก หรออยบนเสนรอบวงของ x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ตอบ ..............................


โจทยภาคตดกรวย แนววงกลม PTOR–Pb3.5 (แนวขอสอบจรง PAT1’ธ.ค.54) ถา P เปนจดบนวงกลม x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 ทอยใกลจด A(1, 3) มากทสด แลวระยะทางจาก P ไปยงเสนตรง 3y - 4x = 15 มคาเทาใด ตอบ .............................. วธลด ใหฟงครSup’k สอนในหอประชม Brand’s Summer Camp วธจรง ขนท 1 x2 + y2 + 2x - 4y - 15 = 0 จดรปกาลงสองสมบรณ (x2 + 2x + 1) + (y2 - 4y + 4) = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 20 (x + 1)2 + (y - 2)2 = 220 ∴ วงกลมมจดศนยกลางท O(-1, 2) รศม r = 20 = 2 5 หนวย ขนท 2 จด P(a, b) บนวงกลมทอยใกล A(1, 3) มากทจด คอ จด P ททาให O, A, P อยบนเสนตรงเดยวกน (ดรป)

สงเกตวา OA = 22 2) (3 1)( 1 )( --- + = 5 = 2r

ฉะนน A เปนจดกงกลางของ OP จะได 2

1 a - = 1 และ 22b + = 3

a = 3 และ b = 4 ฉะนน พกดของจด P คอ P(3, 4) ขนท 3 จะหา ระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x = 15 คอ ระยะหางจาก P กบเสนตรง 3y - 4x - 15 = 0 d =

22 4)(3|154(3)3(4)|

---

+ หนวย = 3 หนวย

Y

X

O(-1, 2)A(1, 3)

P(a, b)

Sup’k Tips


BRAN-Pb1.8 (PAT1’ต.ค.53) พจารณาขอความตอไปน ก. x2 + y2 + 6x – 4y = 23 เปนสมการวงกลมทสมผสกบเสนตรง ซงมสมการเปน 21x + 20y + 168 = 0 ข. y2 + 16x – 6y = 71 เปนสมการของพาราโบลาทมจดยอดท (–5, 3) และจดโฟกสท (–1, 3) ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb 1.9 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให A = {(x, y) | x2 + y2 = 1} และ B = {(x, y) | x2 + y2 – 10x – 10y + 49 = 0} ถา p ∈ A และ q ∈ B แลว ระยะทางมากทสดทเปนไปไดระหวางจด p และ q เทากบขอใดตอไปน 1) 5 2 หนวย 2) 2 + 5 2 หนวย 3) 2 5 หนวย 4) 5 + 2 5 หนวย BRAN-Pb2.34 (PAT1’ต.ค.53) จด A(1 , 0) และจด B(b , 0) เมอ b > 1 เปนจดปลายของเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง ถาเสนตรง L ผานจด (–1, 0) และสมผสกบวงกลมวงน มความชนเทากบ 3

4 แลว b เทากบเทาใด ตอบ........................... FPAT-Pb50 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงกลมรปหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 1) ถาเสนสมผสวงกลมทจด x = 1 เสนหนงมความชนเทากบ 3

1 แลวจดในขอใดตอไปนอยบนวงกลมทกาหนด

1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 0) 4) (3, 0) FPAT-Pb52 (PAT1’ก.ค.52) ใหเสนตรง l1 และ l2 สมผสกบวงกลม (x – 5)2 + y2 = 20 ทจด A และ B ตามลาดบ โดยทจดศนยกลางของวงกลมอยบนเสนตรงทผานจด A และ B ถาสมการของเสนตรง l1 คอ x – 2y + 5 = 0 แลวจดใดตอไปนอยบนเสนตรง l2 1) (0, 15) 2) (1, –8) 3) (8, –1) 4) (15, 0) KMK-Pb 2.7 (PAT1’ต.ค.52) ให a, b, c เปนจานวนจรง ถาวงกลม x2 + y2 + ax + by + c = 0 มศนยกลางท (2, 1) และมเสนตรง x – y + 2 = 0 เปนเสนสมผสวงกลม แลว |a + b + c| เทากบเทาใด ตอบ ...........................


โจทยภาคตดกรวย แนวพาราโบลา FPAT-Pb54 (PAT1’ก.ค.52) ระยะทางระหวางจดโฟกสของพาราโบลา y2 = –8x กบเสนตรง 2x + y = 6 มคาเทาใด 1) 2 5 หนวย 2) 3 5 หนวย 3) 4 5 หนวย 4) 5 5 หนวย FPAT-Pb55 (B-PAT1’ต.ค.51) ให P เปนจดตดของเสนตรง x – 2y = 0 และเสนไดเรกตรกซของพาราโบลา x2 = 8y ระยะระหวางจด P และเสนตรง 2x – y = 1 เทากบขอใดตอไปน 1) 5

6 หนวย 2) 57 หนวย 3) 7 หนวย 4) 5

7 หนวย FPAT-Pb56 (PAT1’ม.ค.52) ถาเสนตรงเสนหนงผานจดกาเนดและจดยอดของพาราโบลา y2 – 4y + 4x = 0 และเสนไดเรกตรกซทจด (a , b) แลว a + b มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 4 2) 5 3) 6 4) 7 KMK-Pb 2.8 (PAT1’ต.ค.52) พาราโบลามจดยอดท (–1, 0) และมจดกาเนดเปนจดโฟกส ถาเสนตรง y = x ตดพาราโบลาทจด P และจด Q แลว ระยะทางระหวางจด P กบจด Q เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยภาคตดกรวย แนววงร KMK-Pb 1.6 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให S = [–2, 2] และ r = {(x, y) ∈ S × S | x2 + 2y2 = 2} ชวงในขอใดตอไปนไมเปนสบเซตของ Dr – Rr 1) (–1.4, –1.3) 2) (–1.3, –1.2) 3) (1.2, 1.4) 4) (1.4, 1.5) FPAT-Pb57 (B-PAT1’ต.ค.51) วงรทมจดศนยกลางทจด (1, 2) แกนเอกขนานกบแกน X และยาว 6 หนวย แกนโทยาว 4 หนวย ผานจดในขอใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (2, 0) 3) (1, 4) 4) (4, 1) FPAT-Pb58 (PAT1’ก.ค.52) ให E เปนวงรทมจดโฟกสทงสองอยบนวงกลม C ทมสมการเปน x2 + y2 = 1 ถาวงร E สมผสกบวงกลม C ทจด (1, 0) แลวจดใดตอไปนอยบนวงร E 1)

21 ,2

1 2)

25 ,2

1 3)

1 ,31 4)

34 ,3

1 FPAT-Pb59 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให วงรรปหนงมโฟกสอยทจด (±3, 0) และผานจด

221 2, จดในขอใด

ตอไปนอยบนวงรทกาหนด

1) (–4, 0) 2)

225 0, 3) (6, 0) 4) (0, –3 2 )


โจทยภาคตดกรวย แนวไฮเพอรโบลา KMK-Pb 1.10 (PAT1’ต.ค.52) ให E เปนวงรทมโฟกสอยทจดยอดของไฮเพอรโบลา x2 – y2 = 1 ถา E ผานจด (0, 1) แลวจดในขอใดตอไปนอยบน E

1)

22 1, - 2) (1, 2 )

3)

21 1, - 4)

23 1,

FPAT-Pb62 (B-PAT1’ต.ค.51) ให F1, F2 เปนจดโฟกสของไฮเพอรโบลา 2(x – 1)2 – (y – 2)2 = 8 โดยท F2 อยในควอดรนตท 1 วงกลมทม F2 เปนจดศนยกลางและผานจด (2 3 , 3) คอ วงกลมทมสมการ ดงขอใดตอไปน 1) (x + (1 + 2 3 )2) = 4y – y2 + 2 2) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 + 2 3) (x + (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 4) (x – (1 + 2 3 ))2 = 4y – y2 – 2 FPAT-Pb63 (PAT1’ก.ค.52) กาหนด S = {(x, y) | x2 + y2 ≤ 17} P = {(x, y) | x2 – y2 = 1} Q = {(x, y) | y2 – x2 = 1} ถา a ∈ SI P และ b ∈ SIQ แลวระยะทางทนอยทสดระหวาง a และ b เทากบเทาใด 1) 3 2 – 4 2) 2 3 – 2 3) 3 2 – 2 4) 2 3 – 4 FPAT-Pb64 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = {a | เสนตรง y = ax ไมตดกราฟ y2 = 1 + x2} และ B = {b | เสนตรง y = x + b ตดกราฟ y2 = 1 – x2 สองจด} เซต {d | d = c2, c ∈ B - A}เทากบชวงใดตอไปน 1) (0, 1) 2) (0, 2) 3) (1, 2) 4) (0, 4) KAiOU-Pb 1.8 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดใหวงร 25x2 + 21y2 + 100x – 42y – 404 = 0 แลวไฮเพอรโบลาทมจดยอดอยทจดโฟกสทงสองของวงรและผานจด (–3, 1 + 8 ) มสมการตรงกบขอใดตอไปน 1) 5y2 – 4x2 – 10 8 y – 32x – 25 = 0 2) 3y2 – 2x2 – 6 8 y – 8x + 15 = 0 3) y2 – 4x2 – 2y – 16x – 19 = 0 4) y2 – 7x2 – 2y – 28x – 28 = 0 SheLL1.8 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดวงกลมรปหนงมจดปลายของเสนผานศนยกลางอยบนจดศนยกลาง และจดโฟกสดานหนงของไฮเพอรโบลา 9x2 – 16y2 – 90x + 64y + 17 = 0 แลววงกลมดงกลาวนมพนทเทากบขอใดตอไปน 1) 4

25π ตารางหนวย 2) 225π ตารางหนวย

3) 4π ตารางหนวย 4) 5π ตารางหนวย


โจทยความสมพนธ แนวอนเวอรสของความสมพนธ FPAT-Pb77 (B-PAT1’ต.ค.51) ให r = {(x, y) | 2y = 3x – 4} ถา a, b เปนคาคงตว และ r-1 = {(x, y) | y = ax + b} แลว 3a – b

4 มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 35 2) 4

3 3) 54 4) 3

4 FPAT-Pb78 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดความสมพนธ r = {(x, y) | x ∈ [-1, 1] และ y = x2} พจารณาขอความตอไปน ก. r-1 = {(x, y) | x ∈ [0, 1] และ y = ± |x| } ข. กราฟของ r ตดกบกราฟของ r-1 เพยง 2 จด เทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยกราฟ FPAT-Pb75 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = x2 – 1 เมอ x ∈ (-∞, -1]U [0, 1] และ g(x) = 2x เมอ x ∈ (-∞, 0] ขอใดตอไปนถกตอง 1) Rg ⊂ Df 2) Rf ⊂ Dg

3) f เปนฟงกชน 1-1 4) g ไมเปนฟงกชน 1-1 FPAT-Pb70 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A = [–2, –1]U [1, 2] และ r = {(x, y) ∈ A × A | x – y = –1} ถา a, b > 0 และ a ∈ Dr, b ∈ Rr แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) 2.5 2) 3 3) 3.5 4) 4 โจทยความสมพนธ แนวหาโดเมนและเรนจ โดยการจดรป หาเงอนไข FPAT-Pb71 (สอบตรงวศวะ’50) กาหนด r และ s เปนความสมพนธ r = {(x, y) ∈ R × R | x2 + xy = –1} s =

=×∈ | x 3| 12 yR R y)(x, --

จงหาวา Rs – Rr เปนสบเซตของขอใดตอไปน 1) (–4, –2) 2) (–1, 1) 3) (–2, 0) 4) (–1, 4)

FPAT-Pb72 (สอบตรงวศวะ’51) กาหนดให r =

=×∈2

x95

1 yR R y)(x,

--

s = {(x, y) ∈ R × R | 2xy2 – 3xy = 4x + 1} มจานวนเตมกจานวนทอยในเซต Rr – Ds 1) 0 2) 1 3) 2 4) 7

KAiOU-Pb 1.6 (PAT1’ม.ค.53) ให f และ g เปนฟงกชนจากเซตของจานวนจรงไปยงเซตของจานวนจรง โดยท f(x) =

4 x1 x

2 -- และ g(x) = f(x) – 1x - จงพจารณาขอความตอไปน

ก. Dg = (2, ∞) ข. คาของ x > 0 ททาให g(x) = 0 มเพยง 1 คาเทานน ขอใดตอไปนถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนธรรมดา FPAT-Pb65 (PAT1’ก.ค.52) ให g(x) = x2 + x + 1 และ r, s เปนคาคงตว ซง s ≠ 0 ถา g(r + s) = g(r – s) แลว r2 เปนสมาชกของชวงใดตอไปน 1) (0, 0.5) 2) (0.5, 1) 3) (1, 1.5) 4) (1.5, 2) โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนธรรมดา KAiOU-Pb 1.13 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให f

1x x- = x

1 เมอ x ≠ 0 และ x ≠ 1

ถา 0 < θ < 2π แลว f(sec2 θ) เทากบขอใดตอไปน

1) sin2 θ 2) cos2 θ 3) tan2 θ 4) cot2 θ โจทยฟงกชน แนวจดรปฟงกชนอนเวอรสธรรมดา

AVATAR-Pb 6.1 (แนวสอบตรงแพทย กสพท’53) จงหา f-1(x) เมอ f(x) = xxxx

101010 10

---

+

ตอบ...........................

โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตธรรมดา Peach–Pb 2.32 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f และ g เปนฟงกชนซง f(x + 5) = x3 – x2 + 2x และ g– 1(2x – 1) = x + 4 จงพจาณาขอความตอไปน เมอ I แทน เซตของจานวนเตม ก. (f – g)(0) < –169 ข. {x ∈ I|(gof)(x) + 5 = 0} เปนเซตวาง ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด KMK-Pb 2.3 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = x

1 และ g(x) = 2f(x) แลว จงหา gof(3) + fog–1(3) ตอบ........................... FPAT-Pb66 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = 2

x + 1 และ g(x) = x3, (f-1og)(3) มคาเทากบขอใด

1) 16 2) 20 3) 50 4) 52 FPAT-Pb66.1 ให f(x) = 6 x

3 x ++ และ (f-1og)(x) = 1x

6x-

- ถา g(a) = 2 แลว a อยในชวงใด

1) [–1, 1) 2) [1, 3) 3) [3, 5) 4) [5, 7) FPAT-Pb67 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดฟงกชน f(x) = x – 5 และ g(x) = x2 ถา a เปนจานวนจรงททาให fog(a) = gof(a) แลว (f ⋅ g)(a) มคาเทากบเทาใด 1) 18 2) –18 3) 25 4) –25

สตร


โจทยฟงกชน แนวคานวณฟงกชนคอมโพสตยากขนมาหนอย KAiOU-Pb 2.22 (PAT1’ม.ค.53)

นยาม f : R → R และ g : R → R เปนฟงกชนใดๆ (f ⊗ g)(x) = f(g(x)) – g(f(x)) สาหรบทกจานวนจรง x

ถา f(x) = x2 – 1 และ g(x) = 2x + 1 สาหรบทกจานวนจรง x แลว (f ⊗ g)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... KAiOU-Pb 1.5 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให y1 = f(x) = 1x

1x -+ เมอ x เปนจานวนจรงทไมเทากบ 1

y2 = f(y1) , y3 = f(y2), ... yn = f(yn–1) สาหรบ n = 2, 3, 4, ... คาของ y2553 + y2010 เทากบขอใดตอไปน

1) 1 x 1 x

+- 2) 1x

1 x2-+

3) 2x1 x2 + 4) 1x

x2x 1 2-

-+ SheLL2.28 (PAT1’ก.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f1, f2, f3, f4, g และ h เปนฟงกชนจาก R ไป R โดยท f1(x) = x + 1, f2(x) = x – 1, f3(x) = x2 + 4, f4(x) = x2 – 4 (f1og)(x) + (f2oh)(x) = 2 และ (f3og)(x) – (f4 ๐ h)(x) = 4x คาของ (g ๐ h)(1) เทากบเทาใด ตอบ........................... SheLL1.18 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให R แทนเซตของจานวนจรง ถา f : R → R เปนฟงกชน โดยท f(x) = ax + b เมอ a, b เปนจานวนจรง ถา f เปนฟงกชนลด และ f(f(f(f(x)))) = 16x + 45 แลวคาของ a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –11 2) –5 3) 11 4) 5 โจทยฟงกชน แนวนยามตรวจสอบความเปนฟงกชน BRAN-Pb1.4 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง, ความสมพนธขอใดตอไปนเปนฟงกชน

1) ความสมพนธ r1 = {(x, y) ∈ R × R | x = 2 y 4 - และ xy ≥ 0} 2) ความสมพนธ r2 = {(x, y) ∈ R × R | x2 + y2 = 4 และ xy > 0} 3) ความสมพนธ r3 = {(x, y) ∈ R × R | ||x| – |y|| = 1} 4) ความสมพนธ r4 = {(x, y) ∈ R × R | |x – y| = 1}

โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง FPAT-Pb76 (B-PAT1’ต.ค.51) ให f(x) = x2 + 2 เมอ x ∈ [-1, 0]U (1, 2)

และ g(x) =

∈

∈2 ,2

1 x , 2 4x 0] 1,[ x ,x

---

ขอใดตอไปนไมถกตอง 1) Df ⊆ Dg 2) Rf ⊆ Rg 3) f เปนฟงกชนหนงตอหนง 4) g เปนฟงกชนหนงตอหนง โจทยฟงกชน แนวฟงกชนแยกชวง VS อนเวอรส

FPAT-Pb79 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให f(x) = 3x – 1 และ g–1(x) =

<≥

0 x , x0 x , x

22

-

คาของ f-1(g(2) + g(–8)) เทากบขอใดตอไปน 1) 3

2 1 - 2) 32 1 + 3) 3

21-- 4) 3

2 1-+

โจทยฟงกชน แนวฟงกชนพชคณตฟงกชน VS อนเวอรส KMK-Pb 2.4 (PAT1’ต.ค.52) ถา f(x) = 3 x และ g(x) = x1

x+ แลว (f–1 + g–1)(2) เทากบเทาใด

ตอบ........................... โจทยฟงกชน แนวคอมโพสต VS อนเวอรส VS นยามฟงกชนแบบเซต BRAN-Pb2.42 (PAT1’ต.ค.53) ให R แทนเซตของจานวนจรง ให f = {(x, y) ∈ R × R | y = 3x – 5} g = {(x, y) ∈ R × R | y = 2x + 1} ถา a ∈ R และ (g-1of-1)(a) = 4 แลว (fog)(2a) เทากบเทาใด ตอบ...........................


เมทรกซ : อนเวอรสการคณของเมทรกซ (ตวผกผนของเมทรกซ)

นยาม 1.1!! AA-1 = A-1A = I เมทรกซ Bn×n เปน อนเวอรสการคณของเมทรกซ An×n กตอเมอ AB = I = BA เขยนแทนดวย B = A-1

สตร 1.2 !! ตวผกผนการคณของเมทรกซ A, อนเวอรสของเมทรกซ A, A-1 สาหรบมต n × n

A-1 = Adet 1

⋅ adj A

สตร 1.3 !! ถา A = [ก] → ∴ A-1 =

ก1 เมอ ก ≠ 0

สตร 1.4 !! ถา A =

d c ba → ∴ A-1 = Adet

1

a cb d

--

นยาม 1.6!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A = 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “เมทรกซเอกฐาน”, “Singular Matrix”, “ซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ไมได นยาม 1.7!! สาหรบเมทรกซ An×n ขนาดมตใดๆ ถา det A ≠ 0 แลว จะเรยก เมทรกซ A วา “ไมใชเมทรกซเอกฐาน” , “Non-singular Matrix” “นอนซงกลารเมทรกซ”

จะหา A-1 ได


Pb 3 ให A-1 =

2 1 1 1

- , B-1 =

0 11 2

- จงหา (A – 2B)-1 ตอบ ....................

แนวคด ขนท 1 จาก A-1 =

2 1 1 1

-

→ A = 11 21)(1

⋅⋅ --

1 11 2

--- → A = 3

1-

1 11 2

--- → A =

31 3

1 31 3

2

-

ขนท 2 จาก B-1 =

0 11 2

-

→ B = 1)(1 021

-- ⋅⋅

2 11 0

- → ∴ B = 11

2 11 0

- → ∴ B =

2 11 0

-

ขนท 3 จะหา (A – 2B) -1 =

1

2 11 0 2

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

422 0

31 3

1 31 3

2

-

---

=

1

311 3

7 35 3

2

-

---

=

35

37 3

1132

1-----

32 3

735 3

11

---

= 579

32 3

735 3

11

---

โจทยเมทรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 2 × 2 TF-PAT4 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให A และ B เปนเมทรกซทสอดคลองกบ 2A – B =

6 3

43

และ A + 2B =

2 42 1

-- จงหาวา (AB)-1 คอเมทรกซในขอใดตอไปน

1)

41 1 0 1

--

2)

1 041 1

- 3)

1 1 0 4

1 -

- 4)

41 01 1

--

โจทยเมทรกซ แนวแกสมการเมทรกซ SheLL2.30 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d เปนจานวนจรง

ถา 3

d 2 b5

ca

=

3 1 d6 5a

- +

+

2d 2 b 5 4

ca

แลว คาของ b + c เทากบเทาใด ตอบ...........................

KAiOU-Pb 2.7 (PAT1’ม.ค.53) ให x, y, z และ w สอดคลองกบสมการ

w 10 1

-

y 01x

- =

2 z1 2y -

w 10 1

-

คาของ 4w – 3z + 2y – x เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k ระวง!!


BRAN-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให A =

1 11 1

- และ B =

z yx y

ถา A-1BA =

40 0 2

- แลวคาของ xyz เทากบเทาใดตอไปน

1) –3 2) –1 3) 0 4) 1

KMK-Pb 1.11 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให X =

xyz

สอดคลองกบสมการ AX = C

เมอ A =

2 1 0 1 0 21 2 1

- , B =

0 4110 20 11

--

และ C =

3 22

-

ถา (2A + B)X =

abc

แลว a + b + c มคาเทาใดตอไปน

1) 3 2) 6 3) 9 4) 12 ทฤษฎของ det ดเทอรมนนต สตร 3.1 !! ดเทอรมนนตของเมทรกซของเมทรกซขนาด 2 × 2 A = [5] → ∴ det A = [5] = 5 B = [–7] → ∴ det B = 7][- = –7

สตร 3.2 !! ดเทอรมนนตของเมทรกซของเมทรกซขนาด 2 × 2 C =

2 45 9 → ∴ det C = 2 4

5 9 = 9 × 2 – 4 × 5 = 18 – 20 = –2

D =

7 5 4 2

-- → ∴ det D = 7 5 42 -- = (-2) × 7 – (–4) × 5 = –14 + 20 = 6

สตร 3.3 !! กาหนดให A =

ih g fe d

c ba จะได det A =

ih g fe d

c ba =

ih g fe d

c ba

∴ det A = a ⋅ e ⋅ i + b ⋅ f ⋅ g + c ⋅ d ⋅ h – g ⋅ e ⋅ c – h ⋅ f ⋅ a – i ⋅ d ⋅ b ระวง! สตรคณลงตอบเลย คณขนใสลบซอน ใชไดเฉพาะ 2 × 2, 3 × 3

Sup’k ระวง!!


โจทยเมทรกซ แนวนยาม det TF-PAT1 (B-PAT1’ต.ค.51) ให a และ b เปนจานวนจรง

ถา X =

1 2 32 a 13 b 2

และ Y =

2 a 32 b 31 2 3

โดยท X และ Y ไมมตวผกผน แลว a + b เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) –2 3) –3 4) –4 สตรของ ไมเนอร, โคแฟกเตอร นยาม 4.1 กาหนดใหเมทรกซ A = [ aij ]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 ไมเนอรของ aij คอ ดเทอรมนนตของเมทรกซทเกดจากการตดแถวท i และ หลกท j ออกไป เขยนแทน ไมเนอรของ aij ดวย M(aij), Mij (A) นยาม 4.2 กาหนดให A = [aij]n×n โดยท aij ∈ R และ n เปนจานวนเตมทมากกวา 2 โคแฟกเตอรของ aij คอ (-1)i+j ⋅ Mij(A) เขยนแทน โคแฟกเตอรของ aij ดวย C(aij) , Cij(A)

เชน A =

3 1 0 1 42 3 2

2 1 1 10 40 2

-- → ∴ M13(A) =

3 1 0 14 2 3 22 1 1 10 40 2

-- =

3 0 1 43 22 1 1

- = –5

→ ∴ C13(A) = (–1)1+3M13(A) = (–1)4M13(A) = (–1)4(-5) = –5 โจทยเมทรกซ แนวโคแฟกเตอร ไมเนอร

TF-PAT2 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให A =

y 1 22 x 21 2 1

- โดยท x และ y เปนจานวนจรง

ถา C11(A) = 13 และ C21(A) = 9 แลว det(A) มคาเทากบขอใดตอไปน 1) –33 2) –30 3) 30 4) 33


สตรของdet ดเทอรมนนต กาหนดให A, B และ C เปนเมทรกซจตรสมต n × n และ k เปนคาคงทใดๆ โจทยเมทรกซ แนวใชสตรของเมทรกซ VS สตรของ det DJton–Pb 15.1 (แนว PAT1’ต.ค.55) ให A , B , C เปนเมทรกซ ซง det B ≠ 0

ถา A =

782061005

และ det (B–1CBt) = –4

จงหาคาของ det (CtAC) ตอบ .............................. KAiOU-Pb 2.6 (PAT1’ม.ค.53) ให A และ B เปนเมทรกซทมขนาด 2 × 2

โดยท 2A – B =

6 5 4 4

-- และ A – 2B =

0 4 8 5

-- คาของ det (A4B–1) เทากบเทาใด

ตอบ...........................

KMK-Pb 1.12 (PAT1’ต.ค.52) ถา det

1

5 1 32 2 00 x 0

2

- = 1x

1- แลว x มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 3 4) 4

det (AB) = det A ⋅ det B det (cA) = cn ⋅ (det A) det I = 1, det 0 = 0

det (At) = det A det (A-1) = (det A)-1 det (An) = (det A)n

det (–A) = det A , n = ค det (–A) = – det A , n = ค det (A ± B) ≠ det A ± det B


โจทยเมทรกซ แนว det (adj A) AVATAR-Pb 14.1 (แนวขอสอบตรงเขาแพทย กสพท’53) กาหนด A เปนเมทรกซ 3 × 3 ทม det(A) = 2 จงหา det(adj(adj(A))) ตอบ........................... Peach–Pb 2.34 (แนวPAT1’ต.ค.55) กาหนดให A เปนเมทรกซทมมต 3 × 3 โดยท det(A) ≠ 0 จงพจารณาขอความตอไปนวา ถก หรอ ผด ก. det(A3) = det(adj A) ข. ถา A2 = 2A แลว det A = 2 ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก. ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด

MARARine–Pb 46.34.1 กาหนดให A =

12 1 23232 1

-- จงหา det(adj(adj A))

ตอบ …………………

Pb 34.2 ให A =

321121211

, B =

35 02 1 01 11

-

-

จงหาคาของ det (adj(adj(–5A-1B adj(B2)))) ตอบ ..............................

Sup’k Tips


โจทยเมทรกซ แนวใชสตรของเมทรกซบวกกน MARARine–Pb 27.2 (PAT1’ม.ค.54) กาหนดให x เปนจานวนเตม

และ A =

xx12x เปนเมทรกซ ทม det(A) = 3

ถา B เปนเมทรกซมมต 2 × 2 โดยท BA + BA-1 = 2I เมอ I เปนเมทรกซ เอกลกษณการคณมต 2 × 2 แลวคาของ det(B) อยในชวงใดตอไปน 1) [1, 2] 2) [-1, 0] 3) [0, 1] 4) [-2, -3] TF-PAT3 (PAT1’ก.ค.52) ให A เปนเมทรกซมต 2 × 2 โดยท det(A) = 4 และ I เปนเมทรกซเอกลกษณ ถา A – 3I เปนเมทรกซเอกฐาน แลว det(A + 3I) มคาเทากบเทาใด 1) 12 2) 16 3) 20 4) 26 BRAN-Pb2.36 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให X เปนเมทรกซทสอดคลองกบสมการ

3 42 1 - + 4X =

3 1 02 1 2

-

1 34 1 2 3

-

แลวคาของ det(2Xt⋅(X + Xt)) เทากบเทาใด ตอบ...........................

SheLL1.12 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให A =

1 01 0 , B =

0 01 1 และ C =

2 01 1

-

คาของ det(2At + BC2 + BtC) เทากบขอใดตอไปน 1) –1 2) 0 3) 2 4) 6

SheLL2.31 (PAT1’ก.ค.53) ให a, b, c, d, t เปนจานวนจรง ถา A =

d c ba โดยท det(A) = t ≠ 0

และ det(A + t2A-1) = 0 แลวคาของ det(A – t2A-1) เทากบเทาใด ตอบ...........................


เมทรกซผกผนของ A, adj(A) นยาม 2.1 เมทรกซผกพนของ A คอ adj A กาหนดให A = [aij]n×n จะได adj A = [Cij]t

A-Pb 3.32 ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

- จงหา A-1 ตอบ ........................

แนวคด ขนท 1 หา det A = –70 ≠ 0 ซงสามารถหาอนเวอรสได ขนท 2 ใชสตร A-1 = Adet

1 (adj A)

∴ A-1 = 701

-

t

8 32 1

0 3 41 0 8

42 2 12 1 1 1

41 1 2 42

2 1 8 3 1 1

0 3 1 20 8

--

----

--

--- = 70

1-

14 12320 510

1438

---

-- - = 70

1-

14 0 14125832108

--- - - -

โจทยเมทรกซ แนวหา อนเวอรส ของ 3×3 TF-PAT6 (B-PAT1’ต.ค.51) กาหนดให A = [aij]3×3

เปนเมทรกซ ทม A-1 =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

แลว จงหาคาของ a23 1) 0 2) 70

16

3) 7032 4) 70

12

TF-PAT7 (PAT1’ม.ค.52) ให At =

41 0 0 1 13 2 2

- -

จงหาสมาชกในแถวท 2 และหลกท 3 ของ A-1

1) – 32 2) –2 3) 3

2 4) 2

สตร 2.3 A ⋅ adj A = adj A ⋅ A = (det A)I

นยาม2.2 adj A = t

333231232221131211

C C CC C CC C C

–

Sup’k Tips


KMK-Pb 2.11 (PAT1’ต.ค.52) ให A =

1 2 1 0 8 3

42 1

-

-

สมาชกแถวท 3 หลกท 1 ของ A-1 เทากบเทาใด ตอบ........................... โจทยเมทรกซ แนวแกสมการหลายตวแปร TF-PAT8 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา a, b และ c เปนจานวนจรง ททาให a – b + 2c = 9 2a + b – c = 0 3a – 2b + c = 11 แลว a มคาเทากบเทาใด 1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 TF-PAT9 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให x, y, z สอดคลองกบระบบสมการ 2x – 2y – z = –5 , x – 3y + z = -6 , –x + y – z = 4 ขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 + z2 = 6 2) x + y + z = 2

3) xyz = 6 4) zxy = –2

TF-PAT10 (PAT1’ก.ค.52) กาหนดให a, b, c เปนจานวนจรงทสอดคลองกบระบบสมการ 2a – 2b – c = 1 , a – 3b + c = 7 , –a + b – c = –5 แลว คาของ a

1 + b2 + c

3 เทากบขอใดตอไปน

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9


ตรโกณประยกต อยางยาก สตร 8.1! สตรผลบวกหรอผลตางของมม

cos(A + B) = cos A ⋅ cos B – sin A ⋅ sin B cos(A – B) = cos A ⋅ cos B + sin A ⋅ sin B

sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B sin(A – B) = sin A ⋅ cos B – cos A ⋅ sin B

tan(A + B) = B tanA tan 1

B tanA tan ⋅

+- , tan(A – B) = BtanAtan1

BtanAtan⋅+

-

พสจน tan(A + B) = B) cos(AB) sin(A

++ = BsinAsinBcosAcos

BsinAcosBcosAsin-+ =

B cos AcosB sin A sin B cos A cos

B cos A cosB sin A cos BcosAsin

-+

= BcosAcos

B sin A sin B cos A cosB cos A cos

B cos A cosBsinAcos B cos A cos

B cos A sin

-+

= BcosAcos

B sin A sin BcosB cos

B cosBsin A cos

Asin

-+

= B tanA tan 1B tan A tan

-+

cot(A + B) = Acot Bcot

1Bcot Acot +⋅ - , cot(A – B) = Acot Bcot

1Bcot Acot -

+⋅

FPAT-Pb81 (PAT1’ก.ค.52) จงหาวา o

o

10sin30 sin – o

o

10cos30 cos มคาเทาใด

1) –4 2) –2 3) 2 4) 4 แนวคด

sin2A + cos2A = 1 1 + tan2A = sec2A 1 + cot2A = cosec2A


ลด

SheLL1.13 (PAT1’ก.ค.53) ถา sin 15° และ cos 15° เปนคาตอบของสมการ x2 + ax + b = 0 แลวคาของ a4 – b เทากบขอใดตอไปน 1) -1 2) 1 3) 2 4) 1 + 3 2 KMK-Pb 2.5 (PAT1’ต.ค.52) ถา 1 – cot 20° = o25cot 1

x-

แลว x มคาเทาใด

ตอบ...........................

*KAiOU-Pb 2.5 (PAT1’ม.ค.53) คาของ ooo

oo

36cos18tan36sin72 cos 36 cos

+

- เทากบเทาใด

ตอบ........................... วธเรวกวา

ลด

วธจรง ooo

oo

36 cos 18 tan36 sin72 cos 36 cos

+

- = o

o

oo

oo

36 cos 18cos18 sin36 sin

18 sin54 sin2

-

= oooo

ooo

18cos 36 cos 18sin 36 sin18 cos 18 sin 54 sin 2

+ =

)18cos(3618 cos 18 sin 54 sin 2

oo

ooo

-

= o

ooo

18cos18 cos 18 sin 54 sin 2 = 2 sin 54° sin 18° = 2 cos 36° cos 72°

= o

ooo

36sin72 cos 36 cos 36 sin 2 = o

oo

36sin72 cos 72 sin = o

oo

36sin272 cos 72 sin 2

= o

o

36 sin 2144 sin = 2

1 = 0.5


สตรมม 2A พสจน จาก สตร sin(A + B) = sin A ⋅ cos B + cos A ⋅ sin B แทนคา มม B = มม A จะไดเปน sin(A + A) = sin A ⋅ cos A + cos A ⋅ sin A ∴ sin(2A) = 2 ⋅ sin A ⋅ cos Aจบ

แนวบทกลบของมม 2A

สตรมม 3A และ บทกลบ

sin 3A = 3 ⋅ sinA – 4 ⋅ sin3A cos 3A = 4 ⋅ cos3A – 3 ⋅ cosA

tan 3B = B tan3 1

B tan B tan32

3

⋅⋅

--

cot 3A = 1 A cot3Acot 3 A cot

23

--

⋅⋅

cos 2A = cos2A – sin2A = 2 ⋅ cos2A – 1 = 1 – 2 ⋅ sin2A

= Atan1A tan 1

22

+

-

sin 2A = 2 sinA ⋅ cosA =

A tan 1A tan22

+

⋅ tan 2A =

A tan1A tan22

-⋅

cot 2A = Acot 21 A cot

2⋅

-

sin3A = 43AsinAsin3 -

cos3A = 43AcosAcos3 +

sin2A = 2

2Acos 1 - พสจน จาก cos 2A = 1 – 2 ⋅ sin2A ∴ 2 ⋅ sin2A = 1 – cos 2A sin2A = 2

2A cos 1 -

cos2A = 22Acos1 +

พสจน จาก cos 2A = 2 ⋅ cos2A – 1 ∴ cos 2A + 1 = 2 ⋅ cos2A

22Acos 1 + = cos2A

tan2A = 2A cos 1

2A cos 1+-

พสจน

Sup’k ลลลา sin มม 2A ฮม เสยงทบอกฉน ........................

ความรกของเธอ ฮม เสยงทบอกฉน วาเธอมใจ อกสตรนนคอ (2 ⋅ tanA) สวน ..............................

มอนนของเธอ ทแตะหนาผากฉน วนทฉนกาลงตาย


โจทยตรโกณประยกต แนวสตรมม สองเทา ***BRAN-Pb2.32 (PAT1’ต.ค.53) ให (sin 1°)(sin 3°)(sin 5°) ⋅ ... ⋅ (sin 89°) = n2

1

คาของ 4n เทากบเทาใด ตอบ......................... แนวคด FPAT-Pb83 (B-PAT1’ต.ค.51) ถา θ

θ+ tan 1 tan 1

- = θθθ+

2cossincosA1 แลว A มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 6

***SheLL2.29 (PAT1’ก.ค.53) คาของ ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n sin

n cos

o

o

– ∑

∑

=

=44

1n

44

1n

n cos

n sin

o

o

เทากบเทาใด ตอบ...........................

Sup’k Tips


โจทยตรโกณประยกต แนว (sin θ + cos θ) VS (sin θ ⋅ cos θ) BRAN-Pb2.33 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให a เปนจานวนจรง และสอดคลองกบสมการ

5(sin a + cos a) + 2 sin a cos a = 0.04 จงหาคาของ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a ตอบ.............. วธจรง ให x = sin a + cos a และ y = sin a cos a จากโจทยจะได 5x + 2y = 0.04 ...(1) เนองจาก x2 = (sin2 a + cos2 a) + 2 sin a cos a = 1 + 2y = 1 + sin 2a ฉะนน x2 = 1 + 2y ...(2) พจารณา x2 = 1 + sin 2a จะได 0 ≤ x2 ≤ 2 ฉะนน - 2 ≤ x ≤ 2 (1) + (2) , x2 + 5x = 1.04 x2 + 5x - 1.04 = 0 (x + 5.2)(x - 0.2) = 0 x = 0.2, -5.2 แต - 2 ≤ x ≤ 2 จงได x = 0.2 เทานน สงผลให y = 2

1 ((0.2) - 1) = -0.48

เพราะวา sin3 a + cos3 a = (sin a + cos a)(sin2 a - sin a cos a + cos2 a) = x(1 - y) ∴ 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 125x(1 - y) + 75y = 125(0.2)(1 - (-0.48)) + 75(-0.48) = 37 - 36 125(sin3 a + cos3 a) + 75 sin a cos a = 1 KAiOU-Pb 1.7 (PAT1’ม.ค.53) กาหนดให x เปนจานวนจรง ถา sin x + cos x = a และ sin x – cos x = b แลวคาของ sin 4x เทากบขอใดตอไปน 1) 2

1 (a3b – ab3) 2) 21 (ab3 – a3b)

3) ab3 – a3b 4) a3b – ab3 KMK-Pb 2.6 (PAT1’ต.ค.52) ถา (sin θ + cos θ)2 = 2

3 เมอ 0 ≤ θ ≤ 4π แลว arccos(tan 3θ) มคาเทาใด

ตอบ ............... FPAT-Pb82 (PAT1’ม.ค.52) ถา cos θ – sin θ = 3

5 แลวคาของ sin 2θ เทากบขอใดตอไปน

1) 134 2) 13

9 3) 94 4) 9

13

Sup’k ลด

Sup’k Tips


โจทยตรโกณประยกต แนว (sinθ + cosθ) VS (sinθ ⋅ cosθ) Peach–Pb 1.2 (แนวPAT1’ต.ค.55) สาหรบ จานวนจรง θ ใดๆ ให a และ b เปนคามากทสดของ cos4θ – sin4θ และ 3⋅sin θ + 4⋅cos θ ตามลาดบ จงหาคาของ a + b ตอบ .................

สตร 22.1! สตร ผลบวก ผลตาง → ผลคณ sin A + sin B = 2⋅sin

+

2B A ⋅cos

2B A - = 2⋅sin(half sum)⋅cos(half diff)

sin A – sin B = 2⋅cos

+

2B A ⋅sin

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅sin(half diff)

cos A + cos B = 2⋅cos

+

2B A ⋅cos

2B A - = 2⋅cos(half sum)⋅cos(half diff)

cos A – cos B = –2⋅sin

+

2B A ⋅sin

2B A - = –2⋅sin(half sum)⋅sin(half

diff)

สตร 23.1! สตร ผลคณ → ผลบวก ผลตาง

2⋅sin A⋅cos B = sin(A + B) + sin(A – B) = sin(sum) + sin(diff) ก 2⋅cos A⋅sin B = sin(A + B) – sin(A – B) = sin(sum) – sin(diff) ก 2⋅cos A⋅cos B = cos(A + B) + cos(A – B) = cos(sum) + cos(diff) –2⋅sin A⋅sin B = cos(A + B) – cos(A – B) = cos(sum) – cos(diff)

Peach–Pb 2.22 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงพจารณาความถก ผดของขอความตอไปน ก. cos 5

π + cos 53π + cos π = 2

1

ข. tan 167π + tan 8

3π = cosec 8π

ขอใดตอไปนสรปถกตอง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก แต ข. ผด 3) ก ผด แต ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด

Tips จากครSup’k


สตร 3.1 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ เมอ - 2

π < arctan x + arctan y < 2π

สตร 3.2 !! arctan x + arctan y = arctan xy1yx

-+ + π เมอ 2

π < arctan x + arctan y

สตร 3.3 !! arctan x + arctan y = xy 1yx

-+ – π เมอ arctan x + arctan y < - 2

π

โจทยตรโกณประยกต แนวอนเวอรสตรโกณ

BRAN-Pb2.31 (PAT1’ต.ค.53) จงหา

+

+

71 arctan 13

5 arcsinsin76 arctan 3

1arccot 51arccot tan -

ตอบ ...............................

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin (–x) = – arcsin x arccos (–x) = π – arccos x arctan (–x) = –arctan x arccot (–x) = π – arccot x arccosec (–x) = –arccosec x arcsec (–x) = π – arcsec x

สตร 35.2! ระวงเงอนไขของ x ดวย arcsin x

1 = arccosec x

arccos x1 = arcsec x

arctan x1 = arccot x

arccot x1 = arctan x

arccosec x1

= arcsin x

arcsec x1 = arccos x

สตร 2.1 !! arcsin(sin x) = x เมอ – 2

π ≤ x ≤ 2π

arccos(cos x) = x เมอ 0 ≤ x ≤ π arctan(tan x) = x เมอ – 2

π < x < 2π

arccot(cot x) = x เมอ 0 < x < π arccosec(cosec x) = x เมอ x ∈

π 0 ,2- U

π

2 0,

arcsec(sec x) = x เมอ x ∈

π

2 0, U

ππ ,2


Peach–Pb 1.26 (แนวPAT1’ต.ค.55) จงหาคาของ sec2

+⋅ 71 arctan 3

1 arctan 2

ตอบ ...............................

MEP–Pb 1.3 (แนวสามญ’ป55) cos

11)2 arctan (2secarcsin

2 มคาเทากบเทาใด

ตอบ ............................... โจทยตรโกณประยกต แนวสมการอนเวอรสตรโกณ Peach–Pb 2.39 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให arcsec x = 2 ⋅ arccos 5

2 - arcsin 171

แลวจงหาคาของ cot

+π xarcsec 2

1) - 913

2) 913

3) - 1613

4) 1613

Sup’k Tips I Sup’k Tips II


FPAT-Pb87 (B-PAT1’ต.ค.51) จานวนคาตอบทแตกตางกนของสมการ arcsin x = 2 arccos x มกคา 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 FPAT-Pb89 (PAT1’ก.ค.52) ถา arcsin(5x) + arcsin(x) = 2

π แลว tan(arcsin x) มคาเทาใด

1) 51

2) 51

3) 31

4) 31

FPAT-Pb88 (PAT1’ม.ค.52) ให –1 ≤ x ≤ 1 เปนจานวนจรง ซง arccos x – arcsin x = 2552

π

แลวคาของ sin

π2552 เทากบขอใดตอไปน

1) 2x 2) 1 – 2x2 3) 2x2 – 1 4) –2x SheLL1.6 (PAT1’ก.ค.53) ให x เปนจานวนจรง ถา arcsin x = 4

π

แลวคาของ sin

+π )arccos(x 152 อยในชวงใดตอไปน

1)

21 0, 2)

21 ,2

1

3)

23 ,

21 4)

1 ,23

KAiOU-Pb 2.4 (PAT1’ม.ค.53) ให α และ β เปนมมแหลมของรปสามเหลยมมมฉาก

โดยท tan α = ba ถา cos

+ 22 b aa arcsin + sin

+ 22 baa arccos = 1

แลว sin β มคาเทากบเทาใด ตอบ..................................


b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

b ซม.

a ซม.

c ซม.

A

BC

สตร 42.1! สตรของพนทสามเหลยม พนท ∆ABC = 2

1 a ⋅ b ⋅ sin C

พนท ∆ABC = 21 b ⋅ c ⋅ sin A

พนท ∆ABC = 21 a ⋅ c ⋅ sin B

สตร 42.21! กฎของ sin

สตร 42.3! กฎของ cos

กฎของ cosa2 = b2 + c2 – 2 ⋅ bc ⋅ cos A b2 = a2 + c2 – 2 ⋅ ac ⋅ cos B c2 = a2 + b2 – 2 ⋅ ab ⋅ cos C

กฎของ sin

Asinaˆ =

Bsinbˆ =

Csincˆ


A

B CD E

A

B CD E30°

45° 45°

120° 15°

โจทยตรโกณประยกต แนวกฎของ sin BRAN-Pb1.7 (PAT1’ต.ค.53) ให ABC เปนรปสามเหลยม ดงรป ถา CBAˆ = 30°, CABˆ = 135° และ AD และ AE แบง CABˆ ออกเปน 3 สวนเทาๆ กน แลว BC

EC มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 31 2) 3

3) 21 4) 2

แนวคด ใน ∆ABC จะได BCAˆ = 180° – 135° – 30° = 15° โดยกฎของไซน

ได AC30 sin o

= CB135 sin o

2(AC)

1 = (BC)21

BC = 2 (AC)

ใน ∆ACE จะได EACˆ = 3135o = 45°

และ CEAˆ = 180° – 45° – 15° = 120°

โดยกฎของไซนได AC120 sin o

= EC 45sin o

2(AC)

3 = (EC)21

EC = 3

(AC)2 EC = 3

BC → ∴ BCEC = 3

1


โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ sin FPAT-Pb91 (PAT1’ม.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมมม A เทากบ 60°, BC = 6 และ AC = 1 คาของ cos(2B) เทากบขอใดตอไปน

1) 41 2) 2

1 3) 23 4) 4

3

FPAT-Pb92 (B-PAT1’ต.ค.51) ให ABC เปนรปสามเหลยม และ D เปนจดบนดาน BC ททาให

DABˆ = DACˆ ถา CDBD = 2 แลวคาของ

CsinB sinˆˆ เทากบขอใดตอไปน

1) 21 2) 1 3) 2

3 4) 2 โจทยตรโกณประยกตเพมเตม แนวกฎของ cos Duem–Pb 2.8 (แนวPAT1’ธ.ค.54) กาหนดใหรปสามเหลยม ABC มดานตรงขามมม A, B, C ยาว a, b, c

ตามลาดบ และ (sin A - sin B + sin C)(sin A + sin B + sin C) = 3 sin A sin C

จงหาคาของ Bsec 3 B cosec 3 22 + ตอบ ................... Peach–Pb 2.8 (แนวPAT1’ต.ค.55) ใหสามเหลยมABC รปหนงมดานตรงขามมม A, B, C ยาว a, b, c หนวยตามลาดบ ถา c a

1+

+ c b1+

= c b a3++ แลว sin C มคาเทากบเทาใดตอไปน

1) 21 2) 2

2 3) 23 4) 1

SheLL1.7 (PAT1’ก.ค.53) ในรปสามเหลยม ABC ใดๆ ถา a, b และ c เปนความยาวดานตรงขามมม A, มม B และมม C ตามลาดบ แลว a

1 cos A + b1 cos B + c

1 cos c เทากบขอใดตอไปน

1) 2abcc b a 222 ++ 2) abc

c) b (a 2++ 3) 2abcc) b (a 2++ 4) abc

c b a 222 ++

KMK-Pb 1.7 (PAT1’ต.ค.52) กาหนดให ABC เปนรปสามเหลยมทมดาน AB ยาว 2 หนวย ถา BC3 + AC3 = 2(BC) + 2(AC) แลว cot C มคาเทากบขอใดตอไปน 1) 3

1 2) 21 3) 1 4) 3


ลาดบ และ อนกรม อนกรมเลขคณต คอ อนกรมทเกดจากลาดบเลขคณต กาหนดให Sn คอ ผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐาน VS หารลงตว, หารไมลงตว TF-PAT33 (PAT1’ก.ค.52) จานวนเตมตงแต 100 ถง 999 ทหารดวย 2 ลงตว แตหารดวย 3 ไมลงตว มทงหมดกจานวน 1) 260 2) 293 3) 300 4) 313 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตร an = Sn - Sn-1

*SheLL2.35 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให β เปนจานวนจรง และให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

นยามโดย an = 2 n7 n

+β - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

ถาผลบวก 9 พจนแรกมคามากกวาผลบวก 7 พจนแรกของลาดบ {an} เปนจานวนเทากบ a108 แลว

∞→nlim an มคาเทากบเทาใด ตอบ.............................

สตร ลาดบเลขคณต an = a1 + (n – 1) ⋅ d เมอ d คอ ผลตางรวมคงท

สตร ลาดบเรขาคณต an = a1 ⋅ rn – 1

เมอ d คอ ผลตางรวมคงท

Sn = 2n [2a1 + (n – 1)d] Sn = 2

n [a1 + an] = 2n

⋅ [a2 + an-1] = ...

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต n พจน

Sn = r) (1)r (1a n

1--

สตร 6.1!! อนกรมเรขาคณต อนนตพจน Sn = r1

a1- เมอ –1 < r < 1


โจทยปญหาเชาวนลาดบเลขคณต แนวตวเลขในตาราง SheLL1.25 (PAT1’ก.ค.53) พจารณาการจดเรยงลาดบของจานวนค 1, 3, 5, 7, 9, ... ในตารางตอไปน

แถวท 1 1 แถวท 2 3 5 แถวท 3 7 9 11 แถวท 4 13 15 17 19 แถวท 5 ... ... ... ... ... ...

... ... จากตารางจะเหนวา จานวน 15 อยในตาแหนงท 2 (จากซาย) ของแถวท 4 อยากทราบวา จานวน 361 จะอยทตาแหนงใดและในแถวทเทาใด 1) ตาแหนงท 9 (จากซาย) ของแถวท 18 2) ตาแหนงท 10 (จากซาย) ของแถวท 19 3) ตาแหนงท 11 (จากซาย) ของแถวท 20 4) ตาแหนงท 12 (จากซาย) ของแถวท 21 โจทยลาดบเลขคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม TF-PAT36 (PAT1’ก.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ทสอดคลองกบ

∞→nlim

naa 1n - = 5

และ a9 + a5 = 100 แลวคาของ a100 เทากบขอใดตอไปน 1) 495 2) 515 3) 530 4) ตวเลอก 1) ถง 3) ไมมตวเลอกใดถกตองเลย

KMK-Pb 2.15 (PAT1’ต.ค.52) ถา an เปนลาดบเลขคณต ซง ∞→n

lim

+ n

a a 2n

21n - = 4

แลว 2a a 917 - มคาเทาใด ตอบ.........................

BRAN-Pb2.38 (PAT1’ต.ค.53) บทนยาม ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค และ เรยกพจน an วาพจนค ถา n เปนจานวนค กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยทมจานวนพจนเปนจานวนคและผลบวกของพจนคทงหมด เทากบ 36 และผลบวกของพจนคทงหมดเทากบ 56 ถาพจนสดทายมากกวาพจนแรกเปนจานวนเทากบ 38 แลวลาดบ เลขคณต {an} น มทงหมดกพจน ตอบ.........................


โจทยลาดบเรขาคณต แนวพนฐาน Peach–Pb 1.4 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให f(x) = x3 – 26x2 + bx – 216 เมอ b เปนจานวนจรง ถา a1, a2, a3 เปนจานวนจรงทเรยงกนเปนลาดบเรขาคณต และเปนรากของสมการ f(x) = 0 แลวจงหาคาของ f′(1) ตอบ ....................... แนวคด SheLL1.17 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให x, y, z เปนลาดบเรขาคณต มอตราสวนรวมเทากบ r และ x ≠ y ถา x, 2y, 3z เปนลาดบเลขคณต แลวคา r เทากบขอใดตอไปน 1) 4

1 2) 31 3) 2

1 4) 2



โจทยลาดบเรขาคณต แนวเทคนคสมมตพจน BRAN-Pb2.49 (PAT1’ต.ค.53) ถาผลคณของลาดบเรขาคณต 3 จานวนทเรยงตดกน เทากบ 343 และผลบวกของทงสามจานวนนเทากบ 57 แลวคามากทสดในบรรดา 3 จานวนน เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเรขาคณต แนวใชสตรพนฐานแนวใหม *TF-PAT38(PAT1’ม.ค.52) ให an เปนลาดบทสอดคลองกบ

n2n

aa + = 2 สาหรบทกจานวนนบ n

ถา ∑=

=10

1nn 31 a แลว ∑

=

2552

1nna เทากบขอใดตอไปน

1) 21275 – 1 2) 21276 – 1 3) 22551 – 1 4) 22552 – 1 โจทยลาดบอนกรมเลขคณต แนวใชสตรหลากหลาย BRAN-Pb1.17 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบเลขคณต โดยมสมบต ดงน (ก) a15 – a13 = 3 (ข) ผลบวก m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 325 (ค) ผลบวก 4m พจนแรกของลาดบเลขคณตน เทากบ 4900 แลวพจน a2m เทากบขอใดตอไปน 1) 2

61 2) 2121 3) 2

125 4) 119 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน VS ลมต SheLL2.40 (PAT1’ก.ค.53) ให k เปนคาคงท

และถา ∞→n

lim 545

2)(n2 3n n) k(n

+

+++ = 15 + 6 + 512 + ... + 15

1n52 -

+ ...

แลว k มคาเทาใด ตอบ.......................

TF-PAT40 (PAT1’ม.ค.52) ถา ∞→n

lim1a2n1 bn

22

-+ = 1 แลวจงหาผลบวกของอนกรม ∑

∞

=

+1n

n

22 b aab

1) 3

1 2) 32 3) 1 4) หาคาไมได

*TF-PAT42 (B-PAT1’ต.ค.51) คาของ ∞→n

lim 1n1+

++++ n

n

21 2 ... 8

7 43 2

1 - เทากบเทาใด

1) 1 2) 2 3) 0 4) หาคาไมได


โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรม VS ตรโกณ Peach–Pb 1.19 (แนวPAT1’ต.ค.55)

ให an = sin

ππ⋅ 2 n - - cos n ⋅ π สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

และ bn = 6 ⋅ cos

ππ⋅ 3 2n - สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

แลวจงหาคาของ 11

ba +

2

22

ba

+

3

33

ba

+ ... +

n

nn

ba

+ ...

ตอบ .................................

BRAN-Pb1.6 (PAT1’ต.ค.53) ให T(x) = sin x – cos2 x + sin3 x – cos4 x + sin5 x – cos6 x + ... แลวคาของ 3T

π3 เทากบขอใดตอไปน

1) 4 3 – 1 2) 5 3 – 1 3) 6 3 – 1 4) 7 3 – 1 โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวอนกรมเรขา ผสม อนกรมเรขา

TF-PAT39 (B-PATต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

= ++

+

1n 2nn

1n 32

24 มคาเทาใด

1) 18

13 2) 1840 3) 27

33 4) 2756

KAiOU-Pb 1.17 (PAT1’ม.ค.53) จงหาผลบวกของอนกรม 3 + 411 + 16

33 + ... + 1nnn

42 2 3

--+ + ...

1) 3

20 2) 3

29 3) 331 4) 3

40

สตร


โจทยอนกรมเรขาคณตอนนต แนวใชสตรพนฐาน แบบ เซอรไพส

*TF-PAT45 (PAT1’ม.ค.52) ถา a1, a2, a3, ... เปนลาดบเรขาคณต ซง ∑∞

==

1nn 4 a แลวคามากทสดท

เปนไปไดของ a2 เทากบใดตอไปน

1) 4 2) 2 3) 1 4) หาคาไมไดเพราะ a2 มคามากไดอยางไมมขดจากด โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวแทนคาดแนวโนม BRAN-Pb2.39 (PAT1’ต.ค.53) ให {bn} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท

b1 = –3 และ bn+1 = nn

b 1 b1

-+ สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ b1000 เทากบเทาใด ตอบ.......................

โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวใชเทคนคผลตาง *BRAN-Pb2.30 (PAT1’ต.ค.53) ให I แทนเซตของจานวนเตม และให f : I → I เปนฟงกชน โดยท f(n + 1) = f(n) + 3n + 2 สาหรบ n ∈ I ถา f(–100) = 15000 แลว f(0) เทากบเทาใด ตอบ....................... โจทยลาดบเวยนบงเกด แนวอนกรมใหมๆ ไมเคยเหน **BRAN-Pb2.37 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 = 2 และ an =

+

1 n1 n

- (a1 + a2 + ... + an-1) สาหรบ n = 2, 3, ...


limn21 a ... a a

n+++ เทากบเทาใด ตอบ.......................

**SheLL2.34 (PAT1’ก.ค.53) ให {an} เปนลาดบของจานวนจรง โดยท a1 + a2 + a3 + ... + an = n2an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... ถา a1 = 100 แลว ∞→n

lim n2an มคาเทากบเทาใด ตอบ.......................


โจทยอนกรมสตร ∑ in สตรหลก 3 สตร

สตร3.1!! ∑=

n

1ii = 2

1) n(n + เชน 1 + 2 + 3 + ... + n = 21)n(n +

สตรหลก 3 สตร

สตร3.2!! ∑=

n

1i2i = 6

1) 1)(2n n(n ++ เชน 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 61) 1)(2n n(n ++

สตรหลก 3 สตร

สตร3.3!! ∑=

n

1i3i =

22

1) n(n

+ เชน 13 + 23 + 33 + ... + n3 =

22

1) n(n

+

*NichTor–Pb4.1 (ดกแนว PAT1’55) จงหาจานวนเตมบวก n ททาให

2)(n1) (nn ... 543 432 321n ... 5 4 3 2 1

333333++++++

++++++⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ =

142x39x136x1 25x 105xlim 235

5

x ---++

∞→

ตอบ.............................. วธลด NichTor–Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจานวนเตมบวก n ททาให

1) n(n... 43 32 21n ... 5 4 3 2 1

222222+++++++++++

⋅⋅⋅ = 238231

ตอบ..............................

Sup’k Tips


NichTor–Pb4.2 (แนวขอสอบ PAT1’ธ.ค.54) จงหาจานวนเตมบวก n ททาให

1) n(n... 43 32 21n ... 5 4 3 2 1

222222+++++++++++

⋅⋅⋅ = 238231

ตอบ.............................. NichTor–Pb4.2 ตอบ 49 วธลด ฟงท ครSup’k สอนในหอประชม ตว Brand’s Summer Camp วธจรง ขนท 1 เพราะวา 12 + 22 + 32 + ... + n2 = 6

1) 1)(2nn(n ++

และ 1 ⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 + ... + n(n + 1) = ∑=

+n

1i1) i(i

= ∑=

+n

1i2 i) (i

= ∑=

n

1i2i + ∑=

n

1ii

= 6

1) 1)(2nn(n ++

+ 21) n(n +

= 2

1)n(n +

++ 1 31 2n

= 3

2)1)(nn(n ++

ขนท 2

จากสมการ 1)n(n...43 32 21n ... 5 4 3 2 1

222222+++++++++++

⋅⋅⋅ = 238231

จะได 2)1)(n6n(n

1)1)(2n3n(n++++ = 238

231 2)(n2

1)(2n +

+⋅ = 238

231

238 ⋅ (2n + 1) = 231 ⋅ 2 ⋅ (n + 2) 476n + 238 = 462n + 924 14n = 686 ∴ n = 49


KAiOU-Pb 2.10 (PAT1’ม.ค.53) ถา {an} เปนลาดบของจานวนจรงท an = 2n2n ... 642 ++++

สาหรบทกจานวนเตมบวก n แลว ∞→n

lim an มคาเทาใด ตอบ.......................

Peach–Pb 2.27 (แนวPAT1’ต.ค.55) ให an = 2 + 4 + 6 + … + 2n สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

bn = a1 + a2 + a3 + … + an สาหรบ n = 1, 2, 3, ... จงหาคาของ ∞→n

lim

+++++n321 b1 n ... b

4 b3 b

2

ตอบ ......................... SheLL1.23 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดอนกรมตอไปน

A = ∑=

1000

1kk1)(- , B = ∑

=

20

3k2k , C = ∑

=

100

1kk , D = ∑

∞

=

1k

k212

คาของ A + B + C + D เทากบขอใดตอไปน 1) 7917 2) 7919 3) 7920 4) 7922

TF-PAT41 (PAT1’ก.ค.52) ถา L = ∞→n

lim

++++ 3k

n...2781n มคาเปนจานวนจรงบวก แลว จงหา L

1) 1 2) 2 3) 4 4) 8

KMK-Pb 2.16 (PAT1’ต.ค.52) ∞→n

lim

++++++++3

3

n...27813n ... 27n 12n 3n มคาเทาใด

ตอบ....................... โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวสวนกลบของผลคณเลขเรยงตดกน VS แนวใชเทคนคผลตาง

TF-PAT43 (B-PAT1’ต.ค.51) ผลบวกของอนกรม ∑∞

=3n 2 4n1-

มคาเทาใด

1) 41

2) 1225 3) 48

25 4) หาคาไมได

BRAN-Pb2.41 (PAT1’ต.ค.53) ให Sk = 13 + 23 + 33 + ... + k3 สาหรบ k = 1, 2, 3, ...


lim

++++

n321 S1 ...

S1

S1

S1 เทากบเทาใด ตอบ.......................


**TF-PAT44 (PAT1’ก.ค.52) ถา S = ∑∞

=2n 24 nn1-

แลว ∑∞

=2n 2n1 มคาเทากบเทาใด

1) 4

3 + S 2) 45 + S 3) 4

3 – S 4) 45 – S

โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวรด VS แนวใชเทคนคผลตาง

**KAiOU-Pb 2.11 (PAT1’ม.ค.53) ให Sn = ∑ +=

++

n

1k 1 kk 1) (kk1 เมอ n = 1, 2, 3, ...


lim Sn เทากบเทาใด ตอบ.......................

*BRAN-Pb2.40 (PAT1’ต.ค.53) คาของ ∑= ++++

9999

1n 44 )1nn)(1nn(1 เทากบเทาใด

ตอบ....................... โจทยอนกรมอนนตเทเลสโคปก แนวโจทยใหมๆ ไมเคยเหน VS แนวใชเทคนคผลตาง **SheLL2.39 (PAT1’ก.ค.53) กาหนดให an =

2n1 1 1

++ + 2

n1 1 1

+ -

สาหรบ n = 1, 2, 3, ... คาของ

1a1 +

2a1 +

3a1 + ... +

20a1 เทากบเทาใด ตอบ.......................

**BRAN-Pb1.16 (PAT1’ต.ค.53) กาหนดให {an} เปนลาดบของจานวนจรง

โดยท an = ∑=

+

n

1k

21) 1)(2k (2k

k- สาหรบ n = 1, 2, 3, ...

∞→nlim n

16 an เทากบขอใดตอไปน

1) 4 2) 316 3) 8 4) 16

ลาดบ และ อนกรม : แนว check นยาม convergent, divergent *KMK-Pb 1.14 (PAT1’ต.ค.52) พจารณาขอความตอไปน

ก. ถาลาดบ an ลเขา แลว อนกรม ∑∞

=1nna ลเขา

ข. ถาอนกรม ∑∞

=1nna ลเขา แลว อนกรม ∑

∞

=

+

1n nn

2a 1 ลเขา

ขอใดตอไปนเปนจรง 1) ก. ถก และ ข. ถก 2) ก. ถก และ ข. ผด 3) ก. ผด และ ข. ถก 4) ก. ผด และ ข. ผด


เกงขอสอบ โดย ครSup’k FORSU-Pb 1.1 ในตารางขางลางน ถาผลบวกของแตละแถว ผลบวกของแตละหลก และผลบวกของแนวทแยงมมทงสองเทากนหมด จงหาคาของ a + b + c + d + e + f

a b 6c d ef 7 2

ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.2 ถา x เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ log(x + 1) = 3 log 2 และ y เปนจานวนจรงทสอดคลองกบสมการ 2y = 8

1 แลว x + y มคาเทากบขอใดตอไปน

1) 1 2) 2 3) 4 4) 5 FORSU-Pb 1.3 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของสมการ 3x = 2x2 และ B = {2x|x ∈ A} แลวผลบวกของสมาชกทงหมดของเซต B มคาเทากบเทาใด ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.4 กาหนดให p, q, r และ s เปนประพจน ถา (p ∧ q) → (r ∨ s) มคาความจรงเปนเทจ แลวประพจนในขอใดตอไปนมความจรงเปนจรง 1) ~(p → s) 2) p ∧ r 3) ~(r → q) 4) q ↔ s FORSU-Pb 1.5 ใหเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนค จงพจารณาขอความตอไปน 1. ∀x∃y[x + 3y = 4] 2. ∀x∀y[2|x-y|เปนจานวนค] ขอใดตอไปนถก 1) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนจรง 2) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนเทจ 3) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนจรง 4) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนเทจ


FORSU-Pb 1.6 กาหนดให A เปนเซตคาตอบของอสมการ |x1|12x3--

- ≥ 0 ขอใดตอไปนถก

1) A′ I [2, 3) ≠ ∅ 2) A′ ⊂ (-∞, 0) 3) A I (1, 2) = ∅ 4) A ⊂ (1, ∞) FORSU-Pb 1.7 จงหาผลบวกของสมาชกใน A เมอ A = {a ∈ I+|a ≥ 3 และ a - 2 เปนตวประกอบของ 3a2 - 2a + 10} ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.8 ให C1, C2 และ C เปนวงกลมทมสมการ ดงน C1 : x2 + y2 - 2x + 2y - 7 = 0 C2 : x2 + y2 - 4x - 6y - 3 = 0 C : x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ถา C ผานจดตดของ C1 กบ C2 และผานจด (0, 0) จงหา D + E + F ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.9 ให C เปนวงกลมทมสมการเปน x2 + y2 = 4 และ l เปนเสนสมผสวงกลม C ทจดในจตภาค (Quadrant) ท 1 และ l ผานจด (5, 0) จงหาความชนของ l ตอบ ..............................

FORSU-Pb 1.10 ถา F1 และ F2 เปนโฟกสของไฮเพอรโบลา 520) (y 2- - 4

11) (x 2+ = 1 แลว สวนของเสนตรง F1F2 มความยาวเทากบขอใดตอไปน

1) 1 หนวย 2) 2 หนวย 3) 3 หนวย 4) 5 หนวย


FORSU-Pb 1.11 ให m เปนคาตอบของสมการ f(m) = 41 เมอ f(x) =

13x xx

2 ++

แลว จงหา 4 ⋅ f(m2) เทากบเทาไร ตอบ .............................. FORSU-Pb 1.12 ถา f = {(1, 3), (2, 4), (3, 1), (5, 2)} g = {(1, 2), (2, 3), (4, 1), (5, 4)} และ h = {(2, 4), (3, 1), (4, 2), (5, 1)} แลว (fog) + h เทากบขอใดตอไปน 1) {(2, 5), (4, 5)} 2) {(2, 5), (4, 4)} 3) {(2, 3), (4, 5)} 4) {(2, 11), (3, 2), (4, 3), (5, 7)} FORSU-Pb 1.13 ถา x และ y เปนจานวนจรงซง arcsin(x + y) + arccos(x - y) = π แลวขอใดตอไปนถก 1) x2 + y2 = 2

1 2) x2 + y2 = 1

3) x2 - y2 = 21 4) x2 - y2 = 1

FORSU-Pb 1.14 กาหนดให A เปนเมทรกซจตรสขนาด n × n และ a ≠ 0 เมอ 0 แทนเมทรกซศนย ถา A2 - 2A = 0 แลวจงพจารณาขอความตอไปน 1. A เปนเมทรกซไมเอกฐาน 2. det(A) เปนจานวนเตมค ขอใดตอไปนถก 1) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนจรง 2) ขอ 1. เปนจรง และ ขอ 2. เปนเทจ 3) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนจรง 4) ขอ 1. เปนเทจ และ ขอ 2. เปนเทจ FORSU-Pb 1.15 ให an+1 =

na1 1

1+

, n = 1, 2, 3, ..., 2009 และ a1 = 1

จงหา a1a2 + a2a3 + ... + a2009a2010 ตอบ ..............................

FORSU-Pb 1.16 ให a เปนจานวนเตมบวก กาหนดให f(1) = a และ f(1) + f(2) + ... + f(n) = n2f(n) เมอ n > 1 จงหา a ทนอยทสดททาให f(100) เปนจานวนเตม ตอบ .............................. *FORSU–Pb 2.17 ถา °°°

°°++

+sin80 sin40 sin20

sin20 4 tan20 = °° + cos20csin20 ba

แลว a + b - c มคาเทาใด

ตอบ .............................. *FORSU-Pb 2.18 กาหนดให C = arcsin

53 + arccot

35 - arctan

198

ถา A เปนเซตคาตอบของสมการ arccot

2x1 + arccot

3x1 = C

แลวผลคณของสมาชกใน A เทากบขอใดตอไปน 1) - 4

1 2) 41 3) - 6

1 4) 61

*NichTor–Pb2.18 ถา 1 + x 1

6+

+ 2x) (115+

+ 3x)(128+

+ ... = 427 แลว x มคาเทาใด

ตอบ .............................. Peachkun–Pb 3.19 สบเซต A ของ ในขอใดตอไปนททาใหประพจน ∀x ∈ A[x2(x4 - 3x2 + 1) < 3] มคาความจรงเปนจรง 1) (-3, -2) 2) (-2, -1) 3) (-1, 0) 4) (1, 2)


Peachkun–Pb 3.20 ถา A = {x ||3 - 2x| - |3x - 7| ≥ 0} และ A = [a, b] แลวจงหาคาของ a2 + 5b ตอบ ..............................

Peachkun–Pb 3.21 ถาจดโฟกสทงสองของวงร 22

ax + 7

y2 = 1 เปนจดเดยวกนกบจดโฟกสทงสองของ

ไฮเพอรโบลา 144x2

- 81y2

= 251 แลว a2 มคาตรงกบขอใดตอไปน

1) 9 2) 16 3) 25

344 4) 1432 Peachkun–Pb 3.22 ถา a และ b เปนคาตอบของสมการ 32x+1 + 2x+1 = 6x + 2 ⋅ (3x+1)

โดยท a ≠ b แลว ba

23 ⋅

มคาตรงกบขอใดตอไปน

1) 61 2) 3

1

3) 21 4) 2

Peachkun–Pb 3.23 ถา At =

+aa 1a 1a

-- เมอ a เปนจานวนจรง และ I =

1001

แลวจงหา 3 I) 7 det(A I) 5 det(A I) 3 det(A I) 2 det(A ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ ---- 1) 3 13a 48 - 2) 3 17a 3) 3 17 4) 3 48 5) 3 )7 )(a5 )(a3 )(a2 (a ----


*Peachkun–Pb 3.24 จงหาคาของ °10cos

12 +

°20sin12 +

°40sin12

ตอบ .............................. Peachkun–Pb 3.25 กาหนดใหขอมลชดหนงประกอบดวย a1, a2, a3, ..., a91 n เมอ n เปนจานวนเตมบวกค ถา an = 3 + 4n เมอ n เปนจานวนเตมบวกค มธยฐานของขอมลชดนมคาเทากบขอใดตอไปน 1) 63 2) 68 3) 71 4) 74 5) 76

Peachkun–Pb 3.26 กาหนดให an = ∑=

++n

1k2) 1)(k k(k

และ bn = ∑=

n

1k21) (2k - จงหาคาของ

n

2n

n an 3nblim +

∞→

ตอบ .............................. *Peachkun–Pb 3.27 นยาม ลาดบ (an) โดย a1 = 1 และสาหรบจานวนเตม n ≥ 1 ให an และ an+1 เปนจานวนจรงซงทาใหสมการในตวแปร x

2 arcsin(x + an+1) = 2π - arccos(x + an)

มคาตอบทเปนจานวนจรง จงหาคาของ ∑∞

= +1n 1nnaa1

ตอบ ..............................


เฉลยคาตอบ ชทตวแบรนดซมเมอรแคมป ในสวนของคร Sup’k SheLL2.46 ตอบ x = 3 SheLL2.47 ตอบ x = 9 SheLL2.4 ตอบ x = 3 BRAN–Pb1.25 ตอบ 1) TF–PAT119 ตอบ 4) TF–PAT120 ตอบ 2) TF–PAT123 ตอบ 3) TF–PAT124 ตอบ 3) BRAN–Pb1.20 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.24 ตอบ 4) SheLL2.49 ตอบ 208 QET-G–Pb 26.1 ตอบ 4) QET-G–Pb 23.2 ตอบ 1) QET-G–Pb 23.3 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.22 ตอบ 3) SheLL1.24 ตอบ 4) DiAMK–Pb 1.25 ตอบ 2) SheLL1.10 ตอบ 1) DiAMK–Pb 1.2 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.11 ตอบ 2) Sup’k–Pb2.29.1 ตอบ 2 ตว Sup’k–Pb2.29.2 ตอบ 2 ตว FPAT–Pb14 ตอบ 2) FPAT–Pb1 ตอบ 1) FPAT–Pb3 ตอบ 2) SheLL1.11 ตอบ 2) AVATAR–Pb 5.1 ตอบ 2) KMK–Pb 1.8 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.12 ตอบ 2) FPAT–Pb4 ตอบ 3) BRAN–Pb2.27 ตอบ 13 KAiOU–Pb 2.2 ตอบ 5 SheLL2.27 ตอบ 2 SheLL1.14 ตอบ 2) FPAT–Pb9 ตอบ 1) FPAT–Pb8 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.10 ตอบ 1) FPAT–Pb7 ตอบ 4) BRAN–Pb1.11 ตอบ 1) FPAT–Pb11 ตอบ 3) KMK–Pb 2.10 ตอบ 4 FPAT–Pb12 ตอบ 3) KMK–Pb 2.9 ตอบ 6 SheLL1.1 ตอบ 2) KMK–Pb 1.2 ตอบ 1) FPAT–Pb17 ตอบ 2) FPAT–Pb18 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.1 ตอบ 4) KAiOU–Pb 1.2 ตอบ 3) FPAT–Pb21 ตอบ 4) KMK–Pb 1.1 ตอบ 4) FPAT–Pb22 ตอบ 1) FPAT–Pb32 ตอบ 2) FPAT–Pb34 ตอบ 1) FPAT–Pb35 ตอบ 2) FPAT–Pb36 ตอบ 4) FPAT–Pb37 ตอบ 4) KMK–Pb 1.4 ตอบ 1) FPAT–Pb39 ตอบ 1) FPAT–Pb41 ตอบ 1) FPAT–Pb43 ตอบ 3) FPAT–Pb42 ตอบ 1) KMK–Pb 1.5 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.4 ตอบ 1) BRAN–Pb1.3 ตอบ 4) FPAT–Pb46 ตอบ 4) FPAT–Pb45 ตอบ 2) SheLL1.4 ตอบ 3) KAiOU–Pb 1.15 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.9 ตอบ 4) FPAT–Pb49 ตอบ 1) SheLL1.9 ตอบ 2) BRAN–Pb1.8 ตอบ 4) KMK–Pb 1.9 ตอบ 2) BRAN–Pb2.34 ตอบ 17 FPAT–Pb50 ตอบ 1) FPAT–Pb52 ตอบ 4) KMK–Pb 2.7 ตอบ 5.5 FPAT–Pb54 ตอบ 1) FPAT–Pb55 ตอบ 4) FPAT–Pb56 ตอบ 3) KMK–Pb 2.8 ตอบ 8 KMK–Pb 1.6 ตอบ 4) FPAT–Pb57 ตอบ 3) FPAT–Pb58 ตอบ 4) FPAT–Pb59 ตอบ 1) KMK–Pb 1.10 ตอบ 1) FPAT–Pb62 ตอบ 4) FPAT–Pb63 ตอบ 1) FPAT–Pb64 ตอบ 3) KAiOU–Pb 1.8 ตอบ 3) SheLL1.8 ตอบ 1) FPAT–Pb77 ตอบ 1) FPAT–Pb78 ตอบ 1) FPAT–Pb75 ตอบ 1) FPAT–Pb70 ตอบ 2) PAT–Pb71 ตอบ 3) FPAT–Pb72 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.6 ตอบ 4) FPAT–Pb65 ตอบ 1) KAiOU–Pb 1.13 ตอบ 1) AVATAR–Pb 6.1 ตอบ f-1(x) = 2

1 log x 1x 1

-+

KMK–Pb 2.3 ตอบ 7.5 FPAT–Pb66 ตอบ 4) FPAT–Pb66.1 ตอบ 3) FPAT–Pb67 ตอบ 2) KAiOU–Pb 2.22 ตอบ 7 KAiOU–Pb 1.5 ตอบ 2) SheLL2.28 ตอบ 1 SheLL1.18 ตอบ 1) BRAN–Pb1.4 ตอบ 2) FPAT–Pb76 ตอบ 4) FPAT–Pb79 ตอบ 1) KMK–Pb 2.4 ตอบ 6


BRAN–Pb2.42 ตอบ 262 TF–PAT4 ตอบ 4) SheLL2.30 ตอบ 4 KAiOU–Pb 2.7 ตอบ 6 BRAN–Pb1.12 ตอบ 1) KMK–Pb 1.11 ตอบ 3) TF–PAT1 ตอบ 2) TF–PAT2 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.6 ตอบ 32 KMK–Pb 1.12 ตอบ 4) AVATAR–Pb 14.1 ตอบ 16 TF–PAT3 ตอบ 4) BRAN–Pb2.36 ตอบ 396 SheLL1.12 ตอบ 3) SheLL2.31 ตอบ 4 TF–PAT6 ตอบ 4) TF–PAT7 ตอบ 3) KMK–Pb 2.11 ตอบ 0.2 TF–PAT8 ตอบ 3) TF–PAT9 ตอบ 1) TF–PAT10 ตอบ 1) SheLL1.13 ตอบ 3) KMK–Pb 2.5 ตอบ 2 KAiOU–Pb 2.5 ตอบ 0.5 FPAT–Pb83 ตอบ 2) SheLL2.29 ตอบ 2 KAiOU–Pb 1.7 ตอบ 3) KMK–Pb 2.6 ตอบ 0 FPAT–Pb82 ตอบ 3) BRAN–Pb2.31 ตอบ 1 FPAT–Pb87 ตอบ 1) FPAT–Pb89 ตอบ 1) FPAT–Pb88 ตอบ 2) SheLL1.6 ตอบ 4) KAiOU–Pb 2.4 ตอบ 0.5 FPAT–Pb91 ตอบ 4) FPAT–Pb92 ตอบ 1) SheLL1.7 ตอบ 1) KMK–Pb 1.7 ตอบ 1) TF–PAT33 ตอบ 3) SheLL2.35 ตอบ 2 SheLL1.25 ตอบ 2) TF–PAT36 ตอบ 2) KMK–Pb 2.15 ตอบ 2 4 2 ≈ 2.38 BRAN–Pb2.38 ตอบ 20 SheLL1.17 ตอบ 2) BRAN–Pb2.49 ตอบ 49 TF–PAT38 ตอบ 2) BRAN–Pb1.17 ตอบ 2) SheLL2.40 ตอบ 25 TF–PAT40 ตอบ 2) TF–PAT42 ตอบ 1) BRAN–Pb1.6 ตอบ 3) TF–PAT39 ตอบ 2) KAiOU–Pb 1.17 ตอบ 4) TF–PAT45 ตอบ 3) BRAN–Pb2.39 ตอบ 2 BRAN–Pb2.30 ตอบ 50 BRAN–Pb2.37 ตอบ 0 SheLL2.34 ตอบ 200 KAiOU–Pb 2.10 ตอบ 1 SheLL1.23 ตอบ 1) TF–PAT41 ตอบ 4) KMK–Pb 2.16 ตอบ 4 TF–PAT43 ตอบ 3) BRAN–Pb2.41 ตอบ 2 TF–PAT44 ตอบ 3) KAiOU–Pb 2.11 ตอบ 1 BRAN–Pb2.40 ตอบ 9 SheLL2.39 ตอบ 7 BRAN–Pb1.16 ตอบ 1) KMK–Pb 1.14 ตอบ 4) เฉลยเกงขอสอบ โดย ครSup’k FORSU–Pb 1.1 ตอบ 12 FORSU–Pb 1.2 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.3 ตอบ 4 FORSU–Pb 1.4 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.5 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.6 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.7 ตอบ 51 FORSU–Pb 1.8 ตอบ -17.5 FORSU–Pb 1.9 ตอบ - 21

2

FORSU–Pb 1.10 ตอบ 4) FORSU–Pb 1.11 ตอบ 2 FORSU–Pb 1.12 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.13 ตอบ 1) FORSU–Pb 1.14 ตอบ 3) FORSU–Pb 1.15 ตอบ 2010

2009 FORSU–Pb 1.16 ตอบ 5050 FORSU–Pb 2.17 ตอบ 1 FORSU–Pb 2.18 ตอบ 4) NichTor–Pb2.18 ตอบ 2 Peachkun–Pb 3.19 ตอบ 3) Peachkun–Pb 3.20 ตอบ 24 Peachkun–Pb 3.21 ตอบ 2) Peachkun–Pb 3.22 ตอบ 3) Peachkun–Pb 3.23 ตอบ 4) Peachkun–Pb 3.24 ตอบ 12 Peachkun–Pb 3.25 ตอบ 4) Peachkun–Pb 3.26 ตอบ 16 Peachkun–Pb 3.27 ตอบ 2

1

คณิตศาสตร์ 2013

Documents