課題解説（その１）：2014年度版

（第2回）フーリエ変換の復習

フーリエ変換の復習

• 課題１負の周波数の持つ意味

• 課題２ フーリエ変換の定義

• 課題３電流波形に高周波成分を含む場合の電力値

• 課題４ フーリエ変換とラプラス変換の関係

• 課題５ フーリエ変換対

• 課題６余弦波のフーリエ変換

• 課題７振幅変調波の振幅特性

• 課題８ ガウス関数のフーリエ変換

• 課題９畳み込み計算に対する２つの解釈

• 課題１０ 距離関数の拡張

• 課題１１ 畳み込みと相関関数の関係

課題１

実関数ｆ（ｔ）のフーリエ変換F（ω）は-∞<ω<∞で定義され，信号f(t)が負の周波数を持つことになる．

教科書に書かれているフーリエ級数からフーリエ変換を導く過程を参考にして負の周波数の持つ意味を答えなさい．

→負の周波数がどこで出てくるか？

課題１

フーリエ級数展開

𝑓 𝑡 = 𝐴0 +

𝑛=1

∞

𝐴𝑛𝑐𝑜𝑠𝑛𝜔0𝑡 + 𝐵𝑛𝑠𝑖𝑛𝑛𝜔0𝑡 (𝜔0 =2𝜋

𝑇)

周波数がω0,2ω0,3ω0…のサイン波およびコサイン波の和でf(t)を表している【任意の関数は偶関数と奇関数の和で表せる】

まず複素指数関数型に変換 （𝑒𝑗𝜔0𝑡）

オイラーの公式を用いる𝑒𝑖𝜔 = cos𝜔 + 𝑖sin𝜔

課題1

1

000 sincos)(n

nn tnBtnAAtf

20 nn

n

n

tjn

n

jBACeC 　　

1

022

0000

n

tjntjn

n

tjntjn

nj

eeB

eeAA

1

000

22n

tjnnntjnnn ejBA

ejBA

A

負の周波数が現れている

複素フーリエ級数展開

【任意の関数は複素関数の和で表せるよ】

課題１

つまり…

• 「負の周波数」はフーリエ級数展開を複素フーリエ変換にした時に出てくる．• sinとcosで位相を表す代わりにReとImで位相を表現した

しかし複素成分が残るのはよくないので…

• フーリエ係数は複素成分を打ち消すように𝜔0の時と−𝜔0の時の係数をセットで決める• |Cn|=|C-n|

• ∠Cn=-∠C-n

マイナスの周波数は複素成分を打ち消すため便宜上用意されたものといえる

課題２

フーリエ変換は

𝐹 𝜔 = −∞

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

と定義されるが

𝐹′ 𝜔 = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

と定義してもよいのではないでしょうか？？

A．よいです

課題２どうしてこの形になったのか

もう一度複素フーリエ変換の式を見てみる（課題1参照）

これをもし

として計算をすすめたら

𝐹′ 𝜔 = −∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

となる

2

2

00 )(1

2

T

T

tjnnnn

n

tjn

n dtetfT

jBACeC

　　

1

000

22...

n

tjnnntjnnn ejBA

ejBA

A

2

2

00 )(1

2''...

T

T

tjnnnn

n

tjn

n dtetfT

jBACeC

　　

課題２（補足）

• 詳しくは教科書などを見ていただきたいのですが…

• フーリエ級数の式から算出されるのはフーリエ逆変換

• フーリエ係数の式からフーリエ変換が算出される

• フーリエ級数とフーリエ変換の関係• フーリエ級数…周期信号

• フーリエ変換…非周期信号

• フーリエ級数の周期を∞にすることによりフーリエ変換になる

• つまり周期を∞にすることによりω=2π/Tなのでωが０に近くなる• ω0,2ω0,3ω0…が連続になっているとみなせる⇒フーリエ変換

課題３電力会社が提供する交流電源は，関西では60Hzの定電圧源と考えることができる．この時，交流1周期の平均電力は

𝑝 𝑡 = 60 0

160𝑒 𝑡 𝑖 𝑡 𝑑𝑡

で計算される．

電気機器に流れる電流波形が以下のように高周波成分を多く含む場合，平均電力はどのようになるか答えなさい．

高周波ノイズによって平均電力が上がり法外な電気料金が請求されてしまうのではないか？？という問題

課題３

• 電流波形が高周波成分を多く含むとは

電圧

電流

(a)電圧の周波数特性

(b)電流の周波数特性

周波数

周波数

tjeAtV 0

0)(

tjtjtj

eBeBeBtI 000 3

2

2

10)(

先程の式に代入してみよう

高周波成分

課題３

代入してみると…

𝑝 𝑡 = 60 0

1/60

𝑉 𝑡 𝐼(𝑡)𝑑𝑡

= 60 0

1/60

𝐴0𝑒−𝑗𝜔0𝑡 𝐵0𝑒

𝑗𝜔0𝑡 +𝐵1 𝑒𝑗2𝜔0𝑡 + 𝐵2𝑒

𝑗3𝜔0𝑡 +⋯ 𝑑𝑡

高周波間の内積を見てみると…

1

𝑇 0

𝑇

𝑒𝑗(𝑛−𝑚)𝜔0𝑡𝑑𝑡 = 1 (𝑚 = 𝑛)0 (𝑚 ≠ 𝑛)

よって𝑝(𝑡) = 𝐴0𝐵0 計算してみよう！！

課題３

計算方法

1.𝑛 = 𝑚のとき1

𝑇 0𝑇𝑒𝑗(𝑛−𝑚)𝜔0𝑡𝑑𝑡 =

1

𝑇 0𝑇𝑑𝑡 =

1

𝑇𝑇 = 1

2.𝑛 ≠ 𝑚のとき(𝑛 −𝑚 = 𝑎として(𝑎は0でない整数))

1

𝑇 0𝑇𝑒𝑗(𝑛−𝑚)𝜔0𝑡𝑑𝑡 =

1

𝑇[

1

𝑗𝑎𝜔0𝑒𝑗𝑎𝜔0𝑡]0

𝑇

1

𝑗𝑎𝜔0𝑇𝑒𝑗𝑎𝜔0𝑇 − 1 =

1

𝑗𝑎𝜔0𝑇cos 𝑎𝜔0𝑇 + 𝑗 sin 𝑎𝜔0𝑇 − 1

ここでT =2𝜋

𝜔0であるので

=1

𝑗2𝜋𝑎cos 2𝜋𝑎 + 𝑗 sin 2𝜋𝑎 − 1 = 0

10

課題４

ラプラス変換とフーリエ変換の関係を述べなさい

フーリエ変換 ラプラス変換

f(t)にexp(-ct)とステップ関数を掛ける

−∞

∞

𝑓 𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑒−𝑐𝑡𝐻 𝑡 𝑑𝑡

= 0

∞

𝑓 𝑡 𝑒−(𝑗𝜔+𝑐)𝑡𝑑𝑡

この式でｓ=jω+cとおけばラプラス変換の式になる

𝐹 𝜔 = −∞

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 𝐹 𝑠 = 0

∞

𝑓(𝑡)𝑒−𝑠𝑡𝑑𝑡

課題４

何を意味しているのか…?

• フーリエ変換の存在条件を緩和している

−∞∞

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 < ∞

tが-∞か∞の時に発散すると

フーリエ変換が求まらないのでexp(-ct)を

掛けることによりより多くの関数を扱えるよ

うになる

(制御でよく見かけるexp(-ax)の形も

フーリエ変換は求まらない)

cte

0t

)(tf

0に収束

0t

発散

0t

ｔ＜０でf(t)＝０

課題４（補足）

• 利点はそれだけか…

例えば制御の問題で 𝑦 𝑡 + 3 𝑦 𝑡 + 2𝑦 𝑡 = 𝑥(𝑡)

のインパルス応答を求める場合𝑠2𝑌 𝑠 + 3𝑠𝑌 𝑠 + 2𝑌 𝑠 = 𝑋 𝑠

𝑌 𝑠 =1

𝑠2 + 3𝑠 + 2𝑋 𝑠 =

1

𝑠 + 2 𝑠 + 1𝑋(𝑠)

これを見ただけで元の波形が想像できる

（´-`）.｡oO(exp(-2t)とexp(-t)の線形結合になるからインパルス応答は時間とともに発散しないし，振動的な挙動もしないな…)

課題４（補足）

sの重ね合わせのイメージ𝑒−(𝑗𝜔+𝑐)𝑡 = 𝑒−𝑐𝑡𝑒−𝑗𝜔𝑡

ωを変化させていくと…

つまり…

t→∞にした時に発散する関数を足し合わせれば，t→∞にした時に発散する関数も有限の係数で表すことができる

課題５

𝑓(𝑡) ↔ 𝐹(𝜔)のとき𝐹 𝑡 ↔ 2𝜋𝑓(−𝜔)を証明しなさい

フーリエ逆変換の式

𝑓 𝑡 =1

2𝜋 −∞

∞

𝐹(𝜔)𝑒𝑖𝜔𝑡 𝑑𝜔

2𝜋𝑓 −𝑡 = −∞

∞

𝐹(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔

Fとfの記号を入れ替えると

2𝜋𝐹 −𝑡 = −∞

∞

𝑓(𝜔)𝑒−𝑖𝜔𝑡𝑑𝜔

課題５

フーリエ変換対の性質…信号とスペクトルを入れ替えても同様の関係が成立する(これが↔の意味)

2 20

1

t

)(tf矩形波

/5

0

)(F sinc関数

2 20

2

)(F矩形波

/5

0 t

)(tf sinc関数

課題６

• 𝑓 𝑡 = cos(𝜔𝑡 + 𝛼)のフーリエ変換を求めなさい

フーリエ変換の存在条件を満たしていないが…

−∞∞

𝑓 𝑡 𝑑𝑡 < ∞

本当は計算できないがデルタ関数を用いて強引に求めてみよう

𝑒𝑗𝜔0𝑡 ↔ 2𝜋𝛿 𝜔 − 𝜔0 1 ↔ 2𝜋𝛿(𝜔)

課題６

𝐹 𝜔 = −∞

∞

cos(𝜔0𝑡 + 𝛼)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

= 𝑒−𝑗

𝛼𝜔0

𝜔 −∞

∞

cos(𝜔0𝑡)𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

= 𝑒−𝑗

𝛼𝜔0

𝜔 −∞

∞ 𝑒𝑗𝜔0𝑡 + 𝑒−𝑗𝜔0𝑡

2𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

=𝑒−𝑗

𝛼𝜔0

𝜔

2 −∞

∞

𝑒𝑗𝜔0𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡 + −∞

∞

𝑒−𝑗𝜔0𝑡 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

=𝑒−𝑗

𝛼𝜔0

𝜔

22𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0) + 2𝜋𝛿(𝜔 + 𝜔0)

= 𝑒−𝑗

𝛼𝜔0

𝜔𝜋 𝛿(𝜔 − 𝜔0) + 𝛿(𝜔 + 𝜔0)

F(ω)

ω

ω0-ω0

課題7

𝑒𝑗𝜔0𝑡 ↔ 2𝜋𝛿(𝜔 − 𝜔0)

𝑥 𝑡 𝑦 𝑡 ↔1

2𝜋𝑋 ∗ 𝑌 𝜔

に基づいて，振幅変調波の振幅特性を求めなさい

変調波をg(t)，搬送波c(t)を振幅A，各周波数𝜔𝑐の正弦波形とおく．このとき振幅変調信号𝑆AM(𝑡)は以下のようになる

𝑆𝐴𝑀 𝑡 = 𝐴 cos𝜔𝑐𝑡[1 + 𝑚𝑔(𝑡)]

mは規準化前の変調信号の最大値と搬送波の最大値との比で変調波と呼ばれるパラメータで0 ≤ 𝑚 ≤ 1である．

課題7

𝐴 cos𝜔𝑐𝑡 ↔ 𝐴𝜋 𝛿 𝜔 + 𝜔𝑐 + 𝛿 𝜔 − 𝜔𝑐

1 +𝑚𝑔 𝑡 ↔ 2𝜋𝛿 𝜔 +𝑚𝐺 𝜔

それらを畳み込みすると

)}()({)(1*cos ccc AtmgtA

)()(2

cc GGmA

(a)変調信号の振幅特性

G(ω)

(a)被変調信号の振幅特性

AMS

mm mc mc mc mc

搬送波 搬送波

課題8

ガウス関数の無限積分は以下のようになる．

−∞

∞

𝑒−𝑥2𝑑𝑥 = 𝜋

以下の等式が成り立つことを証明しなさい．1

𝜎 2𝜋𝑒

𝑥2

2𝜎2 ↔ 𝑒𝜎2𝜔2

2

課題８

dxee xj

x

2

2

2

2

1

dxe

xjx2

22

2

2

2

1

dxee

jx

22

)( 22

2

22

2

1

dxee

jx2

222

22

2

1

22

12

22

eガウス関数はフーリエ変換してもガウス関数である

ｘに関係のない項を外へｅの指数部の整理

ｘに関係のない項を外へ

ｅの指数部を平方完成

2

22

e

ガウス関数の無限積分利用

課題９

畳み込み計算に対する2つの解釈の違いは，どのような考え方から来ているのだろうか？？

解釈１ 解釈２

g(t)をt0平行移動してf(t0)倍したものを全て重ね合わせる→工学的な考え方

g(t)をy軸で反転したものとf(t)

との類似度を計算→数学的な考え方

ℎ 𝑡 = 𝑓 𝑡 ∗ 𝑔 𝑡 = −∞

∞

𝑓 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏

課題９

• 解釈１の例• 離散で考えてみる

0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3

0 0 1 1 1 0 0 0

0だけ動かしたとき

f(t)

g(t)

f(0)

…0 0 3 3 3 0 0 0…

0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3

0 0 1 1 1 0 0 0

1だけ動かしたとき

f(t)

g(t)

f(1)

…0 0 3 3 3 0 0 0… + +……+

すべて足し合わせると となる…0 0 3 6 9 9 9 9…

× ×

課題９

• 解釈２の例• 相関関数と同様に考える

• 類似度を計算する相関関数は畳み込み時に反転させないような式を定義し直したともいえる

0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3

0 0 1 1 1 0 0 0

0だけ動かしたとき

f(t)

g(t)

h(0)

1だけ動かしたとき

すべて合わせると となる…0 0 3 6 9 9 9 9…

6

0 0 0 0 0 3 3 3 3 3 3

0 0 1 1 1 0 0 0

f(t)

g(t)

h(1)

9

×

＋

×

＋

課題10

𝑋 = 𝑎𝑋0 + 𝑏のとき

𝑑∗ 𝑋, 𝑌 = 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖−𝑥)(𝑦𝑖−𝑦)

𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖−𝑥)

2 𝑖=1𝑛 (𝑦𝑖−𝑦)

2𝑥 =

1

𝑛 𝑖=1𝑛 𝑥𝑖 𝑦 =

1

𝑛 𝑖=1𝑛 𝑦𝑖

とすると𝑑∗ 𝑋0, 𝑌 、𝑑∗ 𝑋, 𝑌 はどんな関係になるか？

課題10

• 𝑋 = 𝑎𝑋0 + 𝑏 を代入すると…

• 𝑥 = 𝑎𝑥0 + 𝑏となるので

𝑑∗ 𝑋, 𝑌 = 𝑑 𝑎𝑋0 + 𝑏, 𝑌

= 𝑖=1𝑛 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 − 𝑎𝑥 − 𝑏 𝑦𝑖 − 𝑦

𝑖=1𝑛 𝑎𝑥𝑖 + 𝑏 − 𝑎𝑥 − 𝑏 2 𝑖=1

𝑛 𝑦𝑖 − 𝑦 2

=𝑎 𝑖=1

𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥)(𝑦𝑖 − 𝑦)

𝑎 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑥)2 𝑖=1

𝑛 (𝑦𝑖 − 𝑦)2= 𝑑∗(𝑋0, 𝑌)

よって𝑑∗ 𝑋, 𝑌 = 𝑑∗(𝑋0, 𝑌)である

課題10

• 講義資料より𝑑 𝑋, 𝑌 = 𝑖=1𝑛 (𝑥𝑖 − 𝑦𝑖 )2 は𝑑 𝑋, 𝑌 ≠

𝑑(𝑋0, 𝑌)であった

• 課題10の式は• それぞれのxを平均をとって正規化…bを消去

• xの和全体を正規化…aを消去

することにより𝑑∗ 𝑋, 𝑌 = 𝑑∗(𝑋0, 𝑌)にしているといえる

課題11

1.𝑤 𝑡 = −∞∞

𝑓 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏の時𝑊 𝜔 = 𝐹 𝜔 𝐺 𝜔 を証明しなさい

2.𝑦 𝑡 = −∞∞

𝑓 𝑠 𝑔 𝑠 − 𝑡 𝑑𝑠のとき𝑌 𝜔 = 𝐹 𝜔 𝐺(𝜔)∗

𝑧 𝑡 = −∞∞

𝑓 𝑠 𝑔 𝑠 + 𝑡 𝑑𝑠のとき𝑍 𝜔 = 𝐹(𝜔)∗𝐺(𝜔)

を証明しなさい．

3.𝑔(𝑡)が偶関数の場合，畳み込みと相関関数はどのようになるかを考え，両者の関係を議論しなさい．

課題11-1

• フーリエ変換の定義に即して

𝑊 𝜔 = −∞∞

[ −∞∞

𝑓 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏]𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡

= −∞∞

𝑓(𝜏)[ −∞∞

𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝑡𝑑𝑡] 𝑑𝜏

= −∞∞

𝑓(𝜏)[ −∞∞

𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑒−𝑗𝜔(𝑡−𝜏)𝑑𝑡]𝑒−𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏

𝑡′ = 𝑡 − 𝜏として

= −∞∞

𝑓 𝜏 𝑒−𝑗𝜔𝜏 𝑑𝜏・ −∞∞

𝑔 𝑡′ 𝑒−𝑗𝜔𝑡′𝑑𝑡′

= 𝐹 𝜔 𝐺(𝜔)

11-2も同様の計算なので省略

課題11-3

𝑔(𝑡)が偶関数ならば𝑔 𝑡 = 𝑔(−𝑡)であるので

−∞

∞

𝑓 𝜏 𝑔 𝑡 − 𝜏 𝑑𝜏 = −∞

∞

𝑓 𝜏 𝑔 𝜏 − 𝑡 𝑑𝜏

• よって𝑔(𝑡)が偶関数ならば相関関数と畳み込みは同じ演算結果を示す• 反転しても同じ関数であるので妥当(課題9参照)

• 𝑔(𝑡)が偶関数であるケースは実世界によく出てくる．

• 後々出てくる画像のフィルタリングは𝑔(𝑡)が偶関数であることが多い