А. К. ЗВОНКИН

Р И С У Н К И

ИЗДАТЕЛЬСТВОМОСКОВСКОГО ЦЕНТРАНЕПРЕРЫВНОГОМАТЕМАТИЧЕСКОГООБРАЗОВАНИЯ

ИЗДАТЕЛЬСТВОМОСКОВСКОГОИНСТИТУТАОТКРЫТОГООБРАЗОВАНИЯ

МОСКВА — 2 0 0 6

УДК 372.3/.4:51(072) � Книги издательства МЦНМО можно при-обрести в магазине <Математическаякнига>

� 119002,Москва, Бол. Власьевскийпер., 11(проезд до ст. метро <Смоленская> или<Кропоткинская>)

� (495)- � biblio@mccme.ru241-72-85 http://biblio.mccme.ru/

ББК 74.102З42

Звонкин А. К.З42 Малыши и математика. Домашний кружок для до-

школьников / Рис. М. Ю. Панова. — М.: МЦНМО,МИОО, 2006. — 240 с.: ил.

ISBN 5-94057-224-3.Автор этой книги — профессиональный математик — рассказывает

о своём опыте занятий математикой с дошкольниками. Жанр книгисмешанный: дневниковые записи перемежаются рассуждениями о мате-матике или о психологии, наблюдения за детьми и за их реакцией на про-исходящее служат источником для новых задач, а те в свою очередьпозволяют углубить и развить как бы намеченные пунктиром идеи.

Книга будет интересна родителям дошкольников (а также их бабуш-кам и дедушкам), воспитателям детских садов, учителям начальныхклассов, и вообще всем тем, кого интересует процесс развития детскогоинтеллекта.

УДК 372.3/.4:51(072)ББК 74.102

Александр Калманович Звонкин.Малыши и математика.Домашний кружок для дошкольников.

Руководитель издательского проекта В. О. Бугаенко.Редактор Н. Б. Бугаенко.Художественный редактор П. М. Юрьев.

Издательство Московского центра непрерывного математического образования.119002, Москва, Бол. Власьевский пер., 11.

Издательство Московского института открытого образования.125167, Москва, Авиационный пер., 6.

Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП <Типография ,,Наука“>.119099, Москва, Шубинский пер., 6.

ISBN 5-94057-224-3 © А. К. Звонкин, 2006.© МЦНМО, 2006.© МИОО, 2006.

Оглавление

Несколько предварительных замечаний 5

Родительский дневник . . . . . . . . 5Зачем вестикружок?Зачемнужендневник? 6Нужно ли редактировать дневники? . . 8Размышления неофита о дошкольнойматематике . . . . . . . . . . . . 9

Когда она начинается? (9). Считаемпо-японски (9). Детсадовская геоме-трия (10).

Мнения . . . . . . . . . . . . . . 11Краткая история наших занятий . . . 12Благодарности . . . . . . . . . . . 15Два предупреждения . . . . . . . . 16

ГЛАВА 1.Первое занятие и мысли вокруг . . . 17

Как это происходило . . . . . . . . 17Феномены Пиаже: реальность или обманызрения? . . . . . . . . . . . . . 25

О пользе чтения книг по психологии . 30Как относиться к теориям . . . . . . 33

ГЛАВА 2.Кружок с мальчиками — первый год 35

Занятие 21. Лист Мёбиуса . . . . . . 35Занятие 22. Что больше, целое или часть? 36Занятие 23. Ханойская башня . . . . 39Занятие 24. Немножко топологии . . . 42Занятие 25. Мальчик в лифте . . . . 43Занятие 26. Пересекающиеся классы . 45Занятие 27. Четырёхугольники на мозаике 46Занятие 28. Начинаем теорию вероятно-стей . . . . . . . . . . . . . . . 48

Занятие 29. Полный провал . . . . . 49Занятие 30. Переливание воды . . . . 51Занятие 31. Снова теория вероятностей 54Занятие 32. Дипломы . . . . . . . . 55Несколько дополнительных задач . . . 56Как рисовать куб? . . . . . . . . . 59

ГЛАВА 3.Дети и C25: история одной задачи . . 61

Комбинаторная задача . . . . . . . . 61Эквивалентные задачи . . . . . . . . 63Обозначить... . . . . . . . . . . . . 65Доказательства . . . . . . . . . . . 67Физика и логика . . . . . . . . . . 69

ГЛАВА 4.Кружок с мальчиками — второй год 72

Занятие 33. Подобие . . . . . . . . 72Занятие 34. Без событий . . . . . . . 74Занятие 35. Почти что подсчёт вероятно-стей . . . . . . . . . . . . . . . 75

Занятие 36. Игра с тремя костями . . 76Занятие 37. Сколько прямоугольников? 78Занятие 38. Всё валится из рук . . . 80Занятие 39. После спада — подъём . . 81Небольшой экскурс в прошлое . . . . 82Язык программирования Малыш . . . 85Занятие 40. Появляются блоки Дьенеша 89Занятие 41. То же: блоки Дьенеша и робот 91Занятие 42. Снежинки . . . . . . . 92Занятие 43. О некоторых свойствах сло-жения . . . . . . . . . . . . . . 93

Занятие 44. Магический квадрат . . . 97Занятие 45. Обобщённые цепочки . . 98Занятие 46. Изоморфизм задач . . . . 99Занятие 47. Конец истории про C2

5 . . 100Занятие 48. Истинные и ложные утверж-дения . . . . . . . . . . . . . . 102

Немного программирования — с однимДимой . . . . . . . . . . . . . . 103

Занятие 49. Повод поразмыслить о знаках 105Занятие 50. Двойной юбилей . . . . . 108Занятие 51. Какая дорожка длиннее? . 108Занятие 52. Разгадка шифра . . . . . 110Занятие 53. Генеалогическое древо . . 111Занятие 54. Конец учебного года . . . 113

ГЛАВА 5.Простое и сложное: об обозначениях,процессе абстрагирования, математикеи языке . . . . . . . . . . . . . . 115

Значки для слов . . . . . . . . . . 115<Упрощённые> обозначения . . . . . 116В одном человеке сосуществуют разныеинтеллекты . . . . . . . . . . . . 118

Учить математике так же, как мы учимдетей говорить . . . . . . . . . . 122

ГЛАВА 6.Кружок с мальчиками — третий год 124

Занятие 55. Логические задачи . . . . 124Занятие 56. Директор строительства . . 126Занятие 57. Кто бутее, Гобр или Ступ? 127Занятие 58. План комнаты . . . . . . 130Долгая пауза . . . . . . . . . . . . 132Занятие 59. Что видит другой . . . . 136Занятие 60. Рефлексия . . . . . . . 138Занятие 61. Как сложитьневидимые числа? 140Занятие 62. Какая комната больше? . . 142Занятие 63. Разум против случайности 144Занятие 64. Снова сражаемся с шансами 146Занятие 65. Гомеоморфизм . . . . . . 148Занятие 66. Топология . . . . . . . 150Занятие 67. Четыре краски . . . . . 151О том, о сём: шутки, разговоры, задачи 152

Болтаем (153). Снова оматематике (155).

Оглавление — 4 — Оглавление

ГЛАВА 7.Кружок с мальчиками — последниеполгода . . . . . . . . . . . . . . 160Занятие 68. Подвохи календаря . . . 160Занятие 69. Много устных задач . . . 162Занятие 70. Снова о программах . . . 163Занятие 71. Школьные задачи... ну, почти 166Занятие 72. Подпрограммы . . . . . 168Занятие 73. Нечётные числа и квадраты 170Занятие 74. Геометрия чисел . . . . . 172Занятие 75. Об индейцах майя . . . . 173Занятие 76. Всё когда-нибудь кончается 175

ГЛАВА 8.В школе и дома . . . . . . . . . . 177Беседы о математике и грустные рассуж-дения о школе . . . . . . . . . . 177

О первоклассниках . . . . . . . . . 190

ГЛАВА 9.Кружок с девочками — первый год 194Введение . . . . . . . . . . . . . 194

Ответы на часто задаваемые вопросы(194). Характеры (195). Женя рисует(длинное отступление) (195). Возвра-щаясь к математике (199).

Занятие 1. Снова феномены Пиаже . 200Занятие 2. Принцы и принцессы . . 204Занятие 3. Сколько разниц? . . . . 206Занятие 4. Построение по чертежу . . 208Занятие 5. Перестановки . . . . . . 210Занятие 6. Порядок утренних дел . . 212Занятие 7. Игра побеждает науку . . 213Занятие 8. Между двумя зеркалами . 215Занятие 9. Во дворе . . . . . . . . 216Занятие 10. Расположение двухцветныхкубиков . . . . . . . . . . . . . 219

Занятие 11. Пятёрки . . . . . . . . 220

ГЛАВА 10.Кружок с девочками — второй год 221

Занятие 12. Что-то не так с теорией ве-роятностей . . . . . . . . . . . . 221

Занятие 13. Опять о пересекающихсяклассах . . . . . . . . . . . . . 222

Занятие 14. Ханойская башня . . . . 224Занятие 15. Башни равной высоты . . 225Занятие 16. Поворот на 90◦ . . . . . 226Занятие 17. Снежинки . . . . . . . 227Занятие 18. Грани, вершины и рёбра куба 227Занятие 19. Волк, коза и капуста . . . 230Занятие 20. Цепочка с одной разницей 233

Эпилог . . . . . . . . . . . . . . 238

Несколькопредваритель-ных замечанийРодительский дневник

Среди многочисленных окололите-ратурных жанров существует и такой:родительский дневник. Дети растут,с ними много всякого происходит,а родители всё это аккуратно заносятв тетрадочку. Потом, через много лет,эти тетрадочки оказываются просто-та-ки захватывающим чтением. Особеннодля самих родителей. Ещё бы — ведьэто про своих собственных детей, даещё в таком умилительном возрасте.И, опосредованно, о своей молодости.Часто ли вам, уважаемый читатель,

приходилось разглядывать фотографиималеньких детей — не своих, а чужих?Приходят гости, вытаскивают стопкуфотографий, и начинается... Вы ужена втором десятке с трудом подавляетезевоту, а они готовы длить это дейст-во до бесконечности. Всё, что касаетсяи х детей или внуков, кажется имнеотразимоинтересным; а вас преследу-ет только одна мысль: ну до чего жевсе младенцы похожи друг на друга!Вот и я сейчас, как говорится, <пред-

ставляя эту книгу на суд читателя>,испытываю весьма смешанные чувства.Я хотел бы, но никак не могу войтив положение стороннего и объективно-го наблюдателя. Алла Ярхо, моя жена,вообще говоря, является очень строгими придирчивым критиком. Но каждыйраз, беря в руки этот текст, она егов очередной раз перечитывает — и неможет оторваться. Вся столь привыч-

ная нам ирония куда-то отступает и вы-тесняется совсем другими эмоциями.Эта книжка — про наших детей.

У нас их двое— сынДима и дочьЖеня.Об их детских годах здесь и расска-зывается; ну, и, разумеется, об ихдрузьях тоже — ведь не жили же онив колбе. Хотя невозможно отрицать,что мы были гораздо более внима-тельными и наблюдательными, когдадело касалось именно наших детей,а не чужих.Перед автором возникает суровый

вопрос: что интересного найдёт длясебя в этой книге посторонний чита-тель? Почему она должна быть ин-тересна не только нашей семье, нои чужим людям?По идее ответ таков: эта книга —

не <просто дневник>, а дневник ма-тематического кружка. Когда Димеисполнилось 3 года и 10 месяцев,я собрал четверых ребят примернотого же возраста, что и он, или чутьпостарше, его приятелей по двору,и начал вести с ними математиче-ский кружок. Вот об этом довольнонеобычном опыте здесь и рассказано.Если угодно, эту книжку можно вос-принимать и как своего рода задач-ник по математике для дошкольни-ков. С той особенностью, что, кромесамих задач, здесь рассказывается ещёи о том, как дети на эти задачи реаги-ровали, что понимали, что нет, какиеу нас с ними возникали трудностии недоразумения.Пожалуй, если бы какой-нибудь

автор написал сборник задач по самойобыкновенной геометрии или алгебре,но при этом ещё превратил бы каждуюзадачу в живую историю о том, как они его ученики с этой задачей <сража-лись> — что ж, такая книга вполнемогла бы меня как читателя заинте-ресовать. С малышами же это всё не-сравненно интереснее. Весь процессразвития мышления, все движенияинтеллекта здесь гораздо виднее, го-раздо ярче. Начиная кружок, я не могпредвидеть, до чего это дело окажется

Зачем вести кружок? Зачем нужен дневник? — 6 — Несколько предварительных замечаний

увлекательным, попросту захватыва-ющим. В результате так вышло, чтов течение многих лет мой круг чтенияв большой степени складывался изкниг по педагогике и психологии —это сначала, а потом пошло дальше,вширь: лингвистика, психиатрия, по-ведение животных, генетика поведе-ния... Я открыл для себя новый мир,я стал богаче и надеюсь, что умнее,и всё это благодаря моим детям. Хотя,казалось бы, ещё Грибоедов заметил:<Но чтоб иметь детей, кому ума не-доставало?>.А дошкольная математика в её чи-

сто математическом аспекте, междупрочим, намного проще школьной —она доступна любому читателю, а неодним лишь специалистам. Это оченьсильно расширяет потенциальную ау-диторию книги.В общем, главное сделано: я сам се-

бя сумел убедить, что книжка эта инте-ресна не мне одному. Теперь я могус чистой совестью рекомендовать еёчитателю. (Признаюсь однако без лу-кавства, что многие друзья, читавшиепервую, ещё рукописную версию днев-ника, уже давно призывали меня из-дать его в видекниги.Множествоксеро-копий разошлось сначала по Москве,а потом и по всему миру. Этот интересне угасает уже в течение двадцати лет,и это для меня ещё один аргументв пользу данного предприятия.)

Зачем вести кружок?Зачем нужен дневник?

Кружок, как и любая другая формасистематических занятий, — это способсамодисциплины. В принципе, каза-лось бы, можно заниматься с детьмии без кружка. Задавать время от време-ни какие-то вопросы, задачи, что-тообсуждать. Но в реальной жизни такне получается, и весь проект оченьскоро превращается в утопию. Вчерабыло некогда, сегодня нет настроенияили устал... И вообще — почему непре-

менно сейчас, сию минуту? Успеется,время ещё есть. Как-нибудь на днях...И в итоге ничего не происходит.Еслиже вы знаете, что завтра в один-

надцать утра к вам приведут четверыхмалышей, и вам нужно будет их раз-влекать хотя бы полчаса, вот тогдаситуация в корне меняется. Хотите вытого или не хотите, но вам придётсясесть в укромный уголок и начатьчто-то придумывать. Не получаетсяпридумать самому — значит лезть в ка-кие-нибудь книжки за идеями. А ко-гда настойчиво над чем-то думаешь,рано или поздно в голову приходятсовсем новые идеи, которые вообщене появились бы, если бы не давле-ние обстоятельств.Или, допустим, вы породили новую

идею, но она может потребовать <ма-териальной подготовки>: нужно что-товырезать, нарисовать, склеить... Чтобыподвигнуть себя на такой <труд радисемьи>, нужно иметь более жёсткиеи более конкретные стимулы, чем про-сто залетевшая в голову мысль о воз-можной забавной задаче.Дети, между прочим, тоже больше

любят, когда их деятельность сопряже-на с неким ритуалом. Если взрослыеначнут ни с того ни с сего отвлекатьдетей от игры и приставать к нимс какими-то задачами, это вызоветскорее лёгкое раздражение и желаниепоскорей отделаться от этой неумест-ной навязчивости. И совсем другоедело — раз в неделю в определённоевремя собираться всем вместе, чтобызаниматься чем-то серьёзным.Таков вкратце ответ на первый во-

прос: зачем вести кружок?Что касается дневника, то никакого

дневника я поначалу не вёл, да и во-обще особо серьёзного значения своимзанятиям не придавал. Читатель уви-дит, что дневник начинается только с21-го занятия. Первые <20 недель> —это вовсе не пять месяцев, как можнобыло бы подумать, а все десять: заэто время были и летние каникулы,и разные другие пропуски. И вообще

Несколько предварительных замечаний — 7 — Зачем вести кружок? Зачем нужен дневник?

не надо думать, что если мы решилизаниматься регулярно раз в неделю,то так уж всегда прямо и следовалипринятому решению.А дальше произошло вот что. При-

мерно через полгода после началазанятий несколько моих друзей по-просили меня рассказать, чем и какмы занимаемся. Я радостно открылрот... — но вместо потока задач и идей,который должен был бы из меня из-литься, вдруг возникла неловкая пау-за. Оказалось, что я всё забыл! Ну, несовсем всё, конечно, но близко к то-му. Что я прекрасно помнил — такэто то общее чувство энтузиазма и на-полненности детской энергетикой, ко-торое постоянно сопровождало меняна наших занятиях. А вот его кон-кретное наполнение фактами где-тозаблудилось среди извилин. Что-топодобное рассказывают об инвалидах,потерявших ногу: чувство, что ногаздесь, сохранилось, а самой ноги нет.Такого подвоха от собственной па-

мяти я не ожидал; я был смущён и рас-строен. После этого разговора, записаввкратце то, что ещё хоть как-то удер-жалось в голове, я решил впредьвести нечто вроде конспекта. Пустьу меня будет хотя бы список задач,а на их основе вспомнится и осталь-ное. Интересно, что я уже тогда, в тотмомент подумал про <остальное>; ви-димо, я уже интуитивно чувствовалнедостаточность самой идеи <списказадач>.Очень скоро я совершил своё пер-

вое <теоретическое открытие> в обла-сти педагогики. Я обнаружил (понял,почувствовал?), что записывать самипо себе задачи дело не очень осмы-сленное. То, что по-настоящему инте-ресно, — это вовсе не условия задачи не их решения, а тот процесс, тотпуть, который ведёт от одного к дру-гому. Вы легко можете себе пред-ставить, что математические задачи,которые можно давать дошкольнику,сами по себе достаточно тривиальны(нетривиальным является только

процесс их придумывания). С другойстороны, путь от задачи к решениювполне может занять несколько лет.Да-да, несколько лет, не удивляйтесь:вы ещё увидите тому массу примеров.В течение всего этого времени интел-лект ребёнка вовсе не спит. Он бурлит,он кипит, он <носится, как угорелый>вокруг всего, что попадает в поле еговнимания, в том числе и вокруг моихзадач. Наш диалог на эту тему —это-то и есть самое интересное!Таким вот образом мало-помалу

мой <список задач> стал обрастатьвсё большим и большим количествомкомментариев, историй, анекдотов,стал включать порой темы не толькоматематические, там появились ка-кие-то общие рассуждения и <тео-рии>, и так постепенно образовалсяэтот дневник.А потом наступил следующий этап:

между кружком и дневником возни-кла обратная связь. Когда записы-ваешь то, что видел и о чём думал,сами собой возникают новые мысли,возможные повороты сюжета, рожда-ются новые задачи и темы занятий.Осмысление становится глубже. Даженаблюдательность — и та заостряется,что ли. Порой вспоминаешь что-топроизошедшее на кружке, на что в су-матохе не обратил внимания, а потомбы и вообще забыл, если бы вовремяне записал. Вот такой в конечномитоге получился симбиоз, когда ужеодно трудно себе представить без дру-гого.И, наконец, последний штрих. Про-

шло время, дети выросли — и про-чли мой дневник. Оказалось, что онимногое хорошо помнят, и их воспри-ятие событий далеко не всегда со-впадает с моим (а иногда и являетсяв точности ему противоположным).По моей просьбе они добавили к тек-сту свои комментарии. Так появилосьнекое дополнительное измерение, де-лающее весь проект более диалогич-ным; как выразился один знакомый,возникает стереоскопический эффект.

Нужно ли редактировать дневники? — 8 — Несколько предварительных замечаний

Нужно ли редактировать дневники?

Я считаю, что безусловно да, нужно.Старинные авторы говорили: <Эти

листы никогда тиснению преданы небудут>. То есть, мол, никогда не будутнапечатаны. Чаще всего лукавили: рас-считывали на то, что взволнованныеи благодарные потомки найдут их труд,придут в восторг от их искренностии откровенности (ведьписано-то толькодля себя!) — и опубликуют, и наступитвечная слава. Поймать такого авторабывает проще простого. Он постояннопоясняет сам себе то, что, казалось бы,и без того прекрасно знает. В такихремарках нуждается читатель, но ни-как не сам автор.Если же дневник и в самом деле пи-

шется для себя, а потом читается кем-тодругим, могут возникнуть чудовищныеискажения. Представьте себе, скажем,такуюситуацию.Естьчеловек, которогоя очень сильно уважаю; так сильно,что это граничит где-то даже с прекло-нением. Однако я всё же не слепой,и для меня не являются секретом не-которые его маленькие, а то и не такиеуж маленькие недостатки и смешныечерты характера. В дневнике <для себя>я могу вдоволь поиронизировать, по-издеваться над этим человеком; могудаже при случае излить своё раздра-жение. При этом мне вовсе не нужнонапоминать самому себе про моё к не-му истинное отношение. (<Но вы неподумайте, я его вообще-то оченьуважаю...> — Кто <вы>?) Если этоттекст потом попадёт к постороннемучитателю, картина окажется весьмадалёкой от реальности: о моём уваже-нии читатель ничего не узнает, оста-нутся одни насмешки, одна язвитель-ность.Или возьмём другой пример, более

кнамблизкий.Вотяпишуздесь одетях.Вроде бы так, да не совсем. На самомделе я пишу всего лишь об одномаспекте их жизни — об их взаимоот-ношениях с математикой. А ребёнок

к этому ну никак не сводится; по суще-ству я описываю в среднем полчаса издвух недель его жизни. У него естьи другие интересы, и другие проблемы,и другие таланты. Читая эту книгу,даже я сам склонен об этом забывать,а уж что говорить о читателе, которыйэтих детей никогда в глаза не видел!(Я ещё вернуськ этой темена стр. 195—199, но в отношении одной лишь Же-ни.) И это ещё не говоря о том, чтовсе эти дети уже давно выросли и имсейчас по 25—30 лет. Скоро уже ихсобственные дети будут читать о сво-их папах и мамах: <Когда папа былмаленький...> То, что когда-то ещёмогло хоть как-то претендовать на до-кументальность, с течением временивсё более и более приобретает чертыхудожественного вымысла; это будтонаписано о каких-то других людях.Немогу сказать, что этот мой дневник

был таким уж однозначно интимнымдокументом. Это скорее техническийдокумент. Я его и в самом деле писалдля себя, но никогда не имел в видудержать его в секрете и охотно пока-зывал всем, кто им интересовался. Нои этот технический характер тоже со-здаёт свои проблемы. Ну, не буду жея в самом деле сам себе объяснять, чтотакое ханойская башня или задача проволка, козу и капусту! И ещё — в ори-гинале имелись повторения, непонят-ные места, записи, нуждавшиеся в рас-шифровке... (Впрочем, некоторые по-вторения я оставил; особенно те, гдеиз одних и тех же посылок делаютсясовершенно разные выводы. Так оно<аутентичнее>.)Одним словом, есть масса сообра-

жений, иногда этических, иногда тех-нических, по которым мой материалнуждался в самом серьёзном редак-тировании. Вот почему я всегда укло-нялся от многочисленных предложе-ний опубликовать свой дневник <таккак есть>.Ну, а почему же я его тогда так

долго не редактировал? Зачем тянулстолько лет?

Несколько предварительных замечаний — 9 — Размышления неофита о дошкольной математике

Ну, чего тут объяснять? Жизнь естьжизнь. То одно, то другое (как гово-рил один персонаж Стругацких, объ-ясняя, почему он не стал писателем).И вообще, пора уже перестать ходить

вокруг да около и перейти к делу.

Размышления неофитао дошкольной математике

Когда она начинается? Такие сцен-ки каждый из вас наблюдал не раз.Мама прячется заштору, потом с улыб-кой выглядывает и говорит: <Ку-ку!>.Исновапрячется.Асовсем ещёкрошеч-ный малыш при каждом её появлениихлопает в ладоши и радостно визжит.Оба совершенно счастливы. Обоим,конечно же, и в голову не приходит,что они занимаются математикой.Я написал эту фразу не для того,

чтобы шокировать читателя или подце-пить его на удочку притянутого за ушипарадокса. Я это всерьёз. Если почи-тать труды психологов, можно узнать,что в возрасте до полутора лет основ-ная интеллектуальная задача, котораястоит перед ребёнком, заключаетсяв том, чтобы открыть закон постоянстваобъектов. То есть, что вещи не исче-зают, когда мы перестаём их видеть,а остаются существовать там же, гдебыли, — существовать без нас. Ока-зывается, такой важный объект, какмама, исчезнув за портьерой, всё жепродолжает быть где-то здесь, и вско-ре появляется из-за той же портьеры.Ребёнок растёт, и его осмысление

мира растёт вместе с ним. Вот микро-скопического размера девочка играетв захватывающую игру: она подбираетпо одному разбросанные на полу ку-бики и даёт их папе, каждый раз приэтом торжественно возглашая: <На!>.Папа берёт кубик — и она заливистохохочет. Она совсем недавно усвоиласлово <на> и использует его при каждойвозможности. Неожиданно её не совсемещё ловкие ручки захватывают сразудва кубика. Несколько мгновений она

размышляет о том, как поступить; по-том — эврика! — протягивает кубикипапе и восклицает: <На-на!>. Так и хо-чется тут перефразировать Пушкина:следовать за мыслями малого челове-ка есть наука самая занимательная.К двум годам очень многое уже

усвоено. Вот мальчик двух с неболь-шим лет будит утром отца:—Папа, папа, ты спишь?—Да нет, не сплю, — отвечает папа,

протирая глаза.—Я на кухне, чай пью.Сын крайне удивлён: это противо-

речит всем ранее выученным урокам.На всякий случай он всё же бежитна кухню проверить. Возвращаетсяон оттуда триумфатором:—Нет, ты не на кухне! Ты вот, вот

ты где!В следующий раз его тем же спосо-

бом провести не удастся. Хочется всёже отметить вот этот момент самосто-ятельного исследования, когда он навсякий случай сбегал на кухню по-смотреть. Мы все без всяких объясне-ний чувствуем, что это очень важноедетское качество, и что хорошо былобы подольше его сохранить.

Считаем по-японски. Пройдёт ещёнемного времени, и ребёнка начнутуже совершенно сознательно <обучатьматематике>. На практике это обычноозначает, что его будут учить считать.Спору нет, умение считать — вещьважная и полезная. Но нам, взро-слым, бывает очень трудно понять,что это умение означает в реальности.Давайте встанем на место ребёнка

и попробуем сами научиться арифме-тике... но только по-японски! Итак,вот вам первые десять чисел: ити, ни,сан, си, го, року, сити, хати, ку, дзю.Первое задание — выучить эту после-довательность наизусть. Вы увидите,что это не так-то просто. Когда это нако-нец удастся, можете приступать ко вто-рому заданию: попробуйте научитьсясчитать также и в обратном порядке,от дзю до ити. Если и это уже удаётся,давайте начнём вычислять. Сколько бу-дет к року прибавить сан? А от сити

Размышления неофита о дошкольной математике — 10 — Несколько предварительных замечаний

отнять го? А хати поделить на си?А теперь давайте решим задачу. Мамакупила на базаре ку яблок и дала пони яблок каждому из си детей; сколь-ко яблок у неё осталось? Очень трудное,но обязательное условие — не пере-водить на русский, даже в уме. Посленедолгого периода тренировок такойпереводможетвозникатьвмозгунепро-извольно, против нашей воли, а тои вообще незаметно для нас самих.Тот интеллектуальный подвиг, кото-

рый совершают дети в начальной шко-ле, я оценил позднее, оказавшись воФранции. Прожив здесь уже более де-сяти лет, я всё ещё испытываю проб-лемы с французскими числительными.Всё потому, что французы считаютне так, как мы, в интервале от 70 до 99.После шестидесяти девяти у них идётшестьдесят-десять (т. е. 70), шестьде-сят-одиннадцать (71), шестьдесят-две-надцать (72) и т. д.; наконец, в концедесятка — шестьдесят-девятнадцать(79); после этого вдруг возникает четы-ре-двадцать (80), четыре-двадцать-один(81), четыре-двадцать-два (82), . . .. . . , четыре-двадцать-девять (89), —и снова, как ранее, четыре-двадцать-десять (90), четыре-двадцать-одиннад-цать (91), четыре-двадцать-двенадцать(92), . . . , четыре-двадцать-девятнад-цать (99); после этого, наконец, сто.Когда мне очень быстро говорят теле-фонный номер, или называют годырождения и смерти какого-нибудь зна-менитого человека, ухватить со слуханужное число удаётся не всегда. Хо-рошо ещё, что мне не приходится всёэто складывать-вычитать.(Отсюда, кстати, и происходит этот

часто упоминаемый в педагогическойлитературе смешной ответ француз-ского младшеклассника: на вопрос<Сколько будет двадцать умножитьна четыре?> он ответил: <Будет четы-ре-двадцать, потому что умножениекоммутативно>.)Новот вынаконецнаучились беглому

счёту в пределах дзю. Сколько времениу вас на это ушло? Неделя? Месяц?

Теперь вы отдаёте себе отчёт в том, чтопроблема здесь не в одной только меха-нической памяти: если бы дело былотолько в ней, то вся работа заняла быполчаса. Но если не в памяти, то в чёмже?Можете ли вы вычленить из вашегоопыта содержательные, чисто матема-тические трудности, которые присут-ствуют в счёте, но остаются где-тоза кадром — невидимые, незаметные?Не так-то легко, не правда ли?И, может быть, это к лучшему. Иначе

энтузиасты раннего обучения тут жебросились бы изо всех сил объяснятьмалышу то, чего он пока ещё понятьне может, желая поскорее втащить егоза шиворот на следующую ступенькулестницы.А ведь он мог бы сам...Детсадовская геометрия. Вторая те-

ма, традиционно фигурирующая в до-школьной математике — это геометрия.Считается, что детям нужно сообщитьнекоторый (довольно скромный) наборсведений, касающихся геометрическихфигур: что такое треугольник, квадрат,круг, угол, прямая, отрезок, а такженаучить их простейшим приёмам из-мерения. Но давайте вдумаемся: еслиребёнок легко отличает вилку от ложки,почему же ему трудно отличить квад-рат от треугольника?Да ему и не труднововсе! В чём он действительно испы-тывает трудность, так это в уяснениилогических взаимоотношений междупонятиями, а также тех действий, ко-торые можно с фигурами совершать.

Рис. 1. Слева нарисован квадрат. А справа?Дети часто думают, что нет: повёрнутый ква-драт теряет статус квадрата и превращаетсяпросто в четырёхугольник.

Несколько предварительных замечаний — 11 — Мнения

Многиепервоклассники,например, счи-тают, что если нарисовать квадрат косо,то он перестанет быть квадратом и ста-нет просто четырёхугольником (рис. 1).А вопрос о том, чего вообще больше —квадратов или четырёхугольников, тре-бует уже вовсе недюжинной логики.Если взглянуть на дело с этой точки

зрения, то треугольники с квадратамитотчас же теряют право первородства:задачи про вилки и ложки ничуть неменее математичны, если в них есть надчем подумать. Скажем то же самоенесколько иначе. Школьная математи-ка занимается <числами и фигурами>,и это правильно. Но малышу об этихобъектах мы можем сообщить оченьмало содержательного. Из этого моглобы следовать, что никакого математи-ческого развития в раннем возрастевообще не происходит. Могло бы, ноне следует. Материала хоть отбавляй,нужно только правильно (и осторожно)подойти к делу.Итак, правильный подход: каков он?

Наэтот счёт скольколюдей, столькомне-ний. Приведу некоторые из них (в слег-ка утрированном виде, но только лишьдля того, чтобы яснее выразить мысль).

Мнения

1. <В современную эпоху неизмеримовырослитребованиякматематическойподготовке выпускников детского са-да>. — Ох, до чего же скулы сводитот этих <возросших требований>. Бе-жать, бежать от них подальше!2. <А вы знаете, что это, вообще-то,

очень опасно—чрезмерно загружатьмозгребёнка сложными вещами. Интегралытам, и прочее>. — Господи! Да кто жевам говорил об интегралах-то?3. <Вы представляете, у него малые

дети изучают теорию вероятностей!Взрослые люди, с высшимобразованием,ничего в этом понять не могут, а ма-лыши прекрасно разбираются. Я всегдаговорил, что возможностинашегомозгаещё не изведаны, и особенно — в ран-

нем детстве>. — Дорогой энтузиаст,вы ошибаетесь: никакую теорию веро-ятностей мы не изучаем, хотя и наблю-даемнекоторыевероятностныеявления.(Впрочем, тем же занимается и че-ловек, гадающий на автобусной оста-новке, какой автобус придёт первым.)Ни за какие границы самых обычныхвозможностей человеческого мозга мыне выходим, а неизведанные возмож-ности лучше оставим фантастам.4. <В раннем возрасте у детей обычно

бывает превосходная память и способ-ность к восприятию нового. К тому жев этом возрасте дети склонны во всёмслушаться взрослых. Поэтому в этотпериод нужно вложить им в голову какможно больше информации. Позже, ко-гда их взгляд на мир станет более кри-тичным и они уже не захотят зани-матьсятем, в чём не видят смысла, имнужно давать больше времени на раз-мышления, а также делать их учёбуболеемотивированной>.—Этуточкузре-нияявычиталводнойинтернетской ста-тье.Авторконцепции—профессор, спе-циалист понейрофизиологии.Посколь-ку я не называю его имени, я позволюсебе сказать без околичностей, что я обэтом думаю: этот б р е д с и в о й к о-б ы лы не заслуживает комментария.5. <Не понимаю, зачем забивать де-

тям голову такой ерундой! Пусть у ре-бёнка будет нормальное детство>. —Уважаемый оппонент, вы подняли неодин, а сразу два вопроса: насчётерунды и насчёт нормального детства.Что касается ерунды, то тут я споритьне буду; это, в конце концов, делоиндивидуального вкуса. Я занималсяс детьми тем, что люблю сам, и именноэтот аспект наших занятий кажетсямне очень важным.Когда появились мои статьи в жур-

нале, я неожиданно для себя самогооказался в совершенноне свойственноймнеролидавателя советов.Разныепапыи мамы писали мне письма. Наиболеечётко обрисовала ситуацию одна мама:<Я с детства терпеть не могла матема-тику. Но я знаю, что это очень важно

Краткая история наших занятий — 12 — Несколько предварительных замечаний

для умственного развития ребёнка.Посоветуйте мне, как мне заниматьсяматематикой с моим сыном>.К счастью,на этот раз я знал, что ответить. Я на-писал примерно следующее: ни в коемслучае не занимайтесь с сыном матема-тикой, если вы её не любите. Занимай-тесь только тем, что вам самой доставля-ет удовольствие; только в этом случаеваши занятия станут радостью для васобоих. Это может быть что угодно. На-пример, если вы любите печь пироги,пеките их вместе с сыном... Вот толькобоюсь, не обиделась ли на меня этамама, не сочла ли, что я считаю, будтоматематика — это не её ума дело.А вот насчёт <нормального дет-

ства> — тут я буду спорить. Представь-те себе такую сценку. Мы сидим наберегу реки и наблюдаем за одиночнойосой, котораяроет норку в плотномпри-брежном песке. Она закончит работу,потом принесёт туда достаточное коли-чество еды для своего потомства, на-пример, парализованных ею пауков,отложит в них своё яичко и закопает.Известный биолог, специалист по пове-дению животных Николас Тинбергенпоказал, что оса ориентируется наместности по окружающим предметам.Можно положить, скажем, детскийсандалик с одной стороны от гнезда,ракушку с другой, а когда оса улетит,передвинуть их на метр в сторону. Че-рез пару минут оса возвращается и —точно по предсказанию Тинбергена —садится не около гнезда, а в метре отнего, между сандаликом и ракушкой.Опыт вызывает большой энтузиазм нетолько у наших детей, но и у тех, ктослучайно оказался рядом с нами напляже. (Интересная деталь, междупро-чим: ни у кого из них не появилосьни малейшего побуждения эту осуприхлопнуть.) Вот я вас и спраши-ваю: входит ли это занятие в вашепредставление о нормальном детстве?Ведь именно за эти опыты Тинбергенв своё время получил Нобелевскуюпремию по биологии. Так что и на этутему тоже можно было бы в роман-

тическом захлёбе написать бог знаетчто — про вундеркиндов, ставящихнобелевские эксперименты.Если я чему-то и учил детей, так

это тому, чтобывоспринимать окружаю-щий мир с интересом. На всю жизньзапомнил я одну фразу, сказанную мнекак-томоимдругом, замечательнымма-тематиком и педагогомАндреем Леоно-вичем Тоомом.Привожу её здесь не каккомплиментсамомусебе, а какпрекрас-ную формулировку того идеала, к кото-ромуследует стремиться.Андрей сказал:

Ты их учишь не математике,а образу жизни.

Краткая история наших занятий

По случайным обстоятельствам в ка-ких-то записях сохранилась дата наше-го самого первого занятия: 23 марта1980 года. Занятия с мальчиками, хотьи не очень регулярно,продолжалисьче-тыре года. За это время подрослаЖеня,и начался второй кружок— с ней и с еёподружками. Он продолжался два года.Было ещё несколько разрозненныхпопыток вести кружки с другими деть-ми, но все они быстро заканчивались;ведь надо всё же учитывать, что всёэто делалось помимо основной работы(которую я предпочёл бы называтьслужбой). Несколько раз я даже высту-пал в странной роли проезжего мэтра,дающего мастер-класс.Однако в некоторый момент я ре-

шился пойти в школу! Сначала это былкружок в первом классе, где училсяДима; потом было ещё несколько затейподобного рода, и даже — совершенноотчаянный шаг, как головой в омут —в рамках одного педагогического экс-перимента я целый месяц проработалрядовым учителем первого класса в од-ной измосковскихшкол.До этого я былуверенным в себе интеллектуалом,всегда готовым критиковать школуи учителей и давать им мудрые советы.Этот жестокий, но чрезвычайно по-

Несколько предварительных замечаний — 13 — Краткая история наших занятий

лезный эксперимент над самим собойзаставил меня многое изменить в сво-их воззрениях.Тут я, однако, хронологически за-

бежал вперёд.Важным этапом истории явилось то,

что друг нашей семьи, известный пси-холингвист Ревекка Марковна Фрум-кина, чейдомашнийсеминаряснекото-рого времени стал посещать, прочитавдневник, привела меня в редакциюжурнала <Знание—Сила>, где вскорепоявились две мои статьи о кружке(№ 8 за 1985 год и № 2 за 1986 год).Была потом и третья, но она как-то<не прозвучала>. А эти две неожиданностали весьма популярными. Замеча-тельный детский поэт и педагог ВадимАлександрович Левин даже сказал мнекак-то, что мои статьи — это, мол,классика педагогической литературы.Дальнейшая их судьба такова: черезнекоторое время они были переведе-ны на английский язык в журналеThe Journal of Mathematical Behavior;потом появились в Интернете, кажется,на четырёх разных сайтах; потом былиперепечатаны в газете <Дошкольное об-разование> (май и июль 2000 года), наэтот раз с комментариямиВ. А. Левина;потом вошли в его же книгу <Урокидля родителей> (М.: Фолио, 2001);наконец, совсем недавно, в 2005 году,издательский дом <Первое сентября>выпустил брошюру под названием<Домашняяшколадля дошкольников>,содержащую тот же текст, но, к сожа-лению, без фамилии Левина. (То жесамое печальное явление имеет местои в некоторых интернетских публи-кациях. Таким образом, в частности,некоторые комплименты — чтобы несказать дифирамбы — Левина в мойадрес оказываются приписанными мнесамому. С этим трудно что-нибудь по-делать: например, о выходе брошюрыв <Первом сентября> ни меня, ниЛевина даже не известили.)А между тем начиналась перестрой-

ка. Наш близкий друг Степан Пачиковорганизовал в Москве детский ком-

пьютерный клуб; компьютеры купили подарил клубу Гарри Каспаров. В товремя (1986 год) это было едва ли неединственное место в Союзе, гдешколь-ники могли заниматься на компью-терах. Естественно, что мне поручилитам занятия с самыми маленькими.Далее были летние компьютерные ла-геря в Переславле-Залесском и зим-ний лагерь в Звенигороде. Был ещёодин компьютерный клуб <Зодиак>.Всего уже и не перечислишь. Я былнарасхват и везде естественным обра-зом воспринимался как специалист помалышам. Меня втянуло в орбиту такназываемого <Временного научногоколлективаШкола-1>, который долженбыл готовить реформу всей школьнойсистемы; формальным его руководи-телем был академик Велихов, факти-ческим лидером — Алексей Семёнов.Из деятельности того времени хочу от-дельно отметить написанный намиучебник <Алгоритмика> для 5—7 клас-сов (авторы А. К. Звонкин, А. Г. Ку-лаков, С. К. Ландо, А. Л. Семёнов,А. Х. Шень; после нескольких проме-жуточных ротапринтных версий книж-ка была издана в издательстве <Дрофа>в 1996 году; впоследствии несколькораз переиздавалась). Кое-какие темы,впервые появившиеся на кружке, былив слегка усложнённом виде использо-ваны в этом учебнике. Очень забавномне было потом узнать, что этот курсиспользовался также для обучениямладшекурсников в одном американ-ском университете.

∗ ∗ ∗

Здесь, однако, жизнь разворачиваетперед нами ещё один сюжет, связанныйс кружком лишь косвенно. В 1989 годуя сменил место работы. До этого в те-чение 13 лет я проработал во <Все-союзном научно-исследовательскоми проектно-конструкторском институтекомплексной автоматизации нефтянойи газовой промышленности>.Знающимлюдям не обязательно раскрывать

Краткая история наших занятий — 14 — Несколько предварительных замечаний

смысл этого <недавнего ретро>: третье-разрядныйприкладной институт, с вах-тёрами и поездками в колхоз; сердеч-ные и доброжелательные отношенияс товарищами по работе — соседямипо судьбе; при этом невыносимо скуч-ная и бессмысленная работа (сейчасте же самые люди делают нечто вполнеосмысленное и полезное, но уже нев этом институте). Службу свою я нена-видел, но никаких шансов найти дру-гую не было. И вот я вдруг оказалсяв <Научном совете по комплекснойпроблеме ,,Кибернетика“ Академии на-ук СССР>, в команде, занимающейсяподготовкой и внедрением курсов ин-форматики в школьное образование,а также, под предлогом информатики,всевозможными иными педагогиче-скими новациями. Получилось у нас,наверное, <как всегда>, но в тот периодвсе мы были полны энтузиазма и увле-чены своей работой, порой до полногоистощения физических сил. Если по-смотреть на это дело не с точки зрениябольшой истории, а с точки зрениямоей собственной биографии, то со-вершенно очевидно одно: не было быкружка — не было бы и моей новойработы.Помимо этого я, как и прежде, про-

должал заниматься математикой. Какбы это объяснить попонятнее? Быланаучная работа в области педагогики,но была и научная работа в областисамой математики. Но и в этой дея-тельности я так же резко и карди-нально сменил специализацию. Толк-нуло меня к этому среди всего прочегои то, что в уже упоминавшемся детскомкомпьютерном лагере в Переславле-Залесском я нашёл двух коллег, ув-лечённых той же, новой для всех нас,темой: Сергея Ландо и Георгия Ша-бата. Мы начали работать вместе —и продолжаем до сих пор: наша со-вместная с С. Ландо монография вы-шла в издательстве Springer-Verlagсовсем недавно, в 2004 году.В 1990 году я впервые поехал во

Францию.Думаю, что впрежнеминсти-

туте меня бы туда просто не отпустили;но в Совете по кибернетике обстановкабыла совсем иная. В тот период я ещёочень плохо знал специалистов в моейновой области математики. Эта поездкапомогла мне сориентироваться: оказа-лось, что самые близкие мне по инте-ресам люди работают в Бордо. Я тудасъездил; потом ещё раз; потом меняпригласили на год; и в конце концовполучилось так, что я там и остался.Вот так всё странно обернулось: тотфакт, что я сегодня профессор уни-верситета в Бордо, в очень большойстепени связан с тем, что когда-томного лет назад я стал вести матема-тический кружок для малышей.(Раз уж я ударился в мемуаристику,

позволю себе рассказать тут ещё однуисторию. Мне для этого придётся не-множко похвастаться, но без этогои истории не выйдет. Я, значит, былприглашённым профессором в городеБордо, сроком на год. И вот мне пору-чили прочесть четыре лекции о <теориисложности> на курсах повышения ква-лификации учителей. Проблема былав том, что аудиторию составляли учи-теля математики, физики, биологии,истории и литературы! Что можно сде-лать в такой смешанной компании?В предыдущие годы слушатели ре-гулярно жаловались, мол, зачем имвставили в программу эту дурацкуютему? Никто этот курс брать не хотел.Как тут быть?.. Эврика! Я сообразил,что можно использовать несколько сю-жетовизупоминавшегосявышеучебни-каалгоритмики.Онидостаточнопросты,чтобы быть понятными всем, но приэтом даже и для учителей математикибудут новыми; при желании их можнотакже развивать и усложнять. Успехбыл сногсшибательный. Мне передали,что слушатели <очарованы> и толькоспрашивают, почему всего четыре лек-ции. Договорились, что я прочту ещёдве. Было очень лестно, но это толькополдела. Вторые полдела состоят в том,что этот эпизод оказал несомненноевлияние на выбор комиссии, которая

Несколько предварительных замечаний — 15 — Благодарности

решала, кого из пары десятков канди-датов принять на постоянную долж-ность профессора.)

Благодарности

Читатели у меня умные; они и самидогадываются, с чего я начну этот раз-дел. Я начну его с благодарности детям.Когда я был молодой, мои родители ча-сто приставали ко мне с нравоучения-ми: <Вот будут у тебя свои дети —тогда поймёшь>. Я злился: ну что япойму, что я пойму? Подумаешь, дети!Вон у всех вокруг есть дети — и чтос того? Не такая уж это большая ред-кость. Я тогда не мог представить себе,до какой степени меняется всё мировоз-зрение, всё мироощущение человека,когда у него появляются дети. Готов по-верить, что существуют люди с лучшимвоображением, чем у меня, и они спо-собныэтопонять даженеимея собствен-ных детей; наверное, для них соответ-ствующий переворот в сознании проте-каетменее бурно.Новмоей<персональ-ной вселенной>Большойвзрывпроизо-шёлименно таким образом—благодарядетям. Вот за это им и спасибо.Я глубоко благодарен в с е м де-

тям-участникам нашего кружка. Труд-но передать, сколь многому я у них на-учился. Но им я хочу сказать ещё однувещь. Я честно и изо всех сил старалсяделить своё внимание поровну междувсеми, но боюсь, что это не всегдаполучалось. Очень хочется надеяться,что никто не остался на меня в обиде.Ну, а если какие-то упрёки в мой ад-рес у них в душе сохранились, я могуим сказать только одно: <Вот будуту вас свои дети — тогда поймёте>.Я благодарен моей жене Алле Ярхо.

Во-первых, за то, что у нас появилисьдети — она в этом деле была активнойучастницей. Во-вторых, идея организо-ватькружокпринадлежитименноей.Во-обще, наш кружок был почти в той жестепени её, что и мой, это будет вполнеочевидно из дальнейшего. Я благода-

рен ей за моральную поддержку тогда,а также и за моральное давление во всепоследующие годы — чтобы я наконецвзялся и довёл этот дневник до конца.И, разумеется, в процессе его подготов-ки она была и корректором, и стили-стическим редактором, и советчиком,и просто заинтересованным читателем.Ревекка Марковна Фрумкина <вы-

вела меня в свет>: благодаря ей нашесугубо семейное предприятие получилоширокую известность. Рита Марковна(так зовут её друзья) является крёст-ной матерью множества интересныхпроектов. Перед вами один из них.Хочу добавить, что обсуждения с нейпозволили мне <причесать> многие измоих мыслей.Алексей Львович Семёнов был моим

формальным начальником в Совете покибернетике, но по существуон был дляменя ориентиром во многих вопросах,да и просто <старшимтоварищем> (хотьон и моложе меня). Его убеждённостьв том, что эта работа представляет болееширокий интерес, частично переда-лась и мне.Александр Ханевич Шень поначалу

был одним из заинтересованных чи-тателей моих рукописных тетрадок иуговаривал меня поскорее всё этоопубликовать. Со временем, однако,не выдержав темпов моей работы,он организовал группу школьникови студентов, которые подготовили накомпьютере первую версию книги.Особенно хочется отметить в этой связиогромную работу, которую проделалВладимир Луговкин. После этого мнеуже некуда было деваться — пришлосьвсерьёз заняться редактированием.И снова незаменимый Саша установилна мой французский компьютер руси-фицированную версию LATEX’а. БезСаши Шеня эта работа затянулась бы,наверное, ещё на годы.Список тех, кому я благодарен, не

только не окончен, но даже ещё посуществу и не начат. Но если я будупродолжать в том же стиле, то читательвсё равно пропустит эту часть, не читая.

Предупреждения — 16 — Несколько предварительных замечаний

Поэтому скажу коротко: я глубокопризнателен всем тем, с кем я когда-либо <долго ли, коротко ли> обсуж-дал эту работу, тем, кто своей заин-тересованностью укрепляли мой дух.Дорогие друзья: спасибо вам!

∗ ∗ ∗

В Москве, в Большом Власьевскомпереулке (недалеко от Арбата), распо-ложеноодно совершеннозамечательноеи уже успевшее прогреметь на весь миручреждение: <Московскийцентрнепре-рывногоматематического образования>(МЦНМО). Слово <непрерывный>здесь означает — рассчитанный на всевозрасты. В состав центра входит Не-зависимый Московский университети аспирантура при нём, но здесь жеорганизуются всевозможные математи-ческие олимпиады и другие внеклас-сные занятия дляшкольников старшихи средних классов. Чем не идея — рас-ширить спектр возрастов, охватив такжеи дошкольников?Ясчастливи горд тем,что моя книга выходит в издательствеМЦНМО. К тому же в таких местахнеизбежно встречаешь старых друзей.Один из них, Вадим Олегович Бугаен-ко, хоть это и не входит в его прямыеобязанности, организовал работу поподготовке этой книги к печати. Он су-мел собрать вокруг себя превосходнуюкоманду. Я благодарен всем, но в пер-вуюочередьМихаилуПанову, который,в частности, сделал заново все рисун-ки. (Специалисты оценят его виртуоз-ное умение творить художественныеиллюстрации с помощью программыMETAPOST, задуманной изначальнолишь как инструмент для созданияграфических изображений в научныхстатьях.)

С работой центра можно ознакомить-ся на сайте http://www.mccme.ru/Может быть, именно там вы эту кни-

гу и читаете. На этом же сайте можноузнать, где и как её можно купить.

Два предупреждения

Я должен сделать два важных за-явления.Первое: не все приведённые в этой

книге задачи придуманы мной. Я ис-пользовал самые разнообразные ис-точники — от статей по психологии досборников по популярной математикеили просто рассказов друзей. Иногдая сохранял условия, часто же менялих как мне вздумается, порой до пол-ной неузнаваемости, и иногда прямона ходу, на самом занятии. Многие измоих источников давно забыты; другиепотерялись в переездах, и я сейчас немогу назвать точную ссылку. Наверня-ка есть и задачи, про которые я ужеи сам давно забыл, что это не я являюсьих автором.Чтобы отдать этот долг чело-вечеству, я разрешаю всем желающимбезвозмездно пользоваться всем здесьизложенным и обязуюсь ни на когоне подавать в суд за плагиат. Я будутолько рад (и даже горд), если приду-манные мной сюжеты войдут в фондпедагогического фольклора.И второе предупреждение: представ-

ленные здесь рассказы не имеют сте-нографической точности. Они былизаписаны по памяти; к тому же невсегда возможно разобрать, что говорятнесколько детей одновременно. Я уве-рен, что многое пропустил мимо ушейи что по крайней мере кое-что понялпревратно. Впрочем, думаю, что всёэто и так очевидно.

1Первое занятиеи мысливокругКак это происходило

В приведённом здесь рассказе ис-пользованы материалы моей статьи<Малыши и математика, непохожаяна математику> (журнал <Знание—Сила>, № 8 за 1985 год).Участников нашего кружка четверо:

мой сын Дима и трое его друзей —Женя,Петя иАндрюша.Дима—самыймладший, ему 3 года и 10 месяцев;самый старший—Андрюша, ему скородолжно исполниться пять.Мы рассаживаемся вокруг журналь-

ного столика. Я, конечно, волнуюсь:как я тут с ними со всеми управлюсь?Для начала говорю детям, что мыбудем заниматься математикой, и дляподдержания авторитета добавляю, чтоматематика — это самая интереснаяв мире наука. Тут же получаю вопрос:—А что такое наука?Приходится объяснять:—Наука — это когда много думают.—А я думал, что фокусы будут, —

несколько разочарованно произноситАндрюша. Его дома предупредили,что дядя Саша будет с ними сегоднязаниматься, и будут фокусы.—Фокусы тоже будут, — говорю я

и, сворачивая вступление, перехожук делу.Вот первая задача. Я кладу на стол

8 пуговиц. Не дожидаясь моих указа-ний, мальчики вместе кидаются ихсчитать. Видимо, несмотря на юныйвозраст, некоторое представление о том,

что такое математика, у них уже есть:математика — это когда считают. Ко-гда шум утих, я могу сформулироватьсобственно задачу:—А теперь положите на стол

столько же монет.Теперь на столе оказывается ещё

8 монет. Мы кладём монеты и пу-говицы в два одинаковых ряда, другнапротив друга.—Чего больше, монет или пуго-

виц? — спрашиваю я.Дети смотрят на меня несколько

недоумённо; им не сразу удаётся сфор-мулировать ответ:—Никого не больше.— Значит, поровну, — говорю я. —

А теперь смотрите, что я сделаю.И я раздвигаю ряд монет так, чтобы

он стал длиннее.—А теперь чего больше?—Монет, монет больше! — хором

кричат ребята.Я предлагаю Пете сосчитать пугови-

цы. Хоть мы их уже считали четырераза, Петя ничуть не удивляется моемузаданию и подсчитывает количествопуговиц в пятый раз:—Восемь.Предлагаю Диме сосчитать монеты.

Дима считает и говорит:— Тоже восемь.— Т о ж е восемь? — подчёркиваю

я голосом. — Значит, их поровну?—Нет, монет больше! — решитель-

но заявляют мальчики.По правде говоря, я заранее знал,

что ответ будет именно таким. Эта за-дача — только одна из бесчисленныхсерий задач, которые давал в своихэкспериментах детям-испытуемымвеликий швейцарский психолог ЖанПиаже (о <феноменах Пиаже> немногорассказывается в следующем разделе).В своих опытах он установил: малень-кие дети не понимают того, что намс вами кажется самоочевидным — еслинесколько предметов как-нибудь пере-ставить или переместить, то их количе-ство от этого не изменится. Итак, я зналзаранее, что скажут дети. Знал, но

Как это происходило — 18 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

почему-то не приготовил никакой ра-зумной реакции. А как поступили бывы, читатель?Что бы вы сказали детям?К сожалению, самый распростра-

нённый приём, которым пользуютсяв такой ситуации почти все взрослые,состоит в том, чтобы начать детям изовсех сил что-то втолковывать. <Ну какже так! — с наигранным удивлениемговорит взрослый.—Откуда же их мог-ло стать больше? Ведь мы же никакихновых монет не добавляли! Ведь мыих только раздвинули — и всё. Ведьраньше же их было поровну — вы жесами говорили! Значит, их никак немогло стать больше. К о н е ч н о ж е(выделяем голосом), монет и пуговицосталось поровну!>Старания напрасны — такая педа-

гогика никуда не ведёт. Точнее, ведётв тупик. Во-первых, не надейтесь, чтовашалогикав чём-нибудь убедит ребён-ка.Логические структурыонусвоит ещёпозже, чем закон сохранения количест-ва предметов.Пока этого не произойдёт,логические рассуждения не покажут-ся ему убедительными. Убедительнойявляется только интонация вашего го-лоса. А она покажет ребёнку лишь то,что он опять оказался не на высотеи что-то сделал не так. Дети сдаютсяне сразу, их здравый смысл не так-толегко сломить. Но если насесть какследует, можно добиться того, что ониперестанут опираться на собственныйум и наблюдательность, а будут пы-таться угадать, чего желает от них взро-слый. Взрослые вообще предъявляютдетям множество необъяснимых тре-бований: почему-то нельзя рисовать настене; почему-то надо идти ложитьсяспать, когда игра в самом разгаре;почему-то нельзя спрашивать: <А ко-гда этот дядя уйдёт?>. Вот и сейчаспроисходит что-то аналогичное: хотяя прекрасно вижу, что монет больше,чем пуговиц, но почему-то полагаетсяотвечать, что их поровну. Отношениек математике как к некоему ритуалу,в котором нужно произносить опре-делённые заклинания в определённом

порядке, зарождается в школе и пре-красно доживает до университета, гдеего можно встретить даже у студен-тов-математиков.Так что же всё-таки делать? Вообще

не задавать подобных вопросов, что ли,если уж нельзя прокомментироватьответ?Напротив, задавать вопросы как раз

нужно. Очень полезно также обменять-ся мнениями: <А ты, Женя, как дума-ешь?Аты,Петя?Апочему?Анасколькомонет стало больше?> Можно даженаравне с остальнымивысказатьи своюточку зрения, но очень осторожно и не-навязчиво, снабдив всяческимиоговор-ками типа <мне кажется> и <можетбыть>. Иными словами, весь свой ав-торитет взрослого нужно употребить нена то, чтобызакрепитьза этимавторите-том абсолютную власть единственноправильного суждения, а на то, чтобыубедить ребёнка в важности и ценно-сти его собственных поисков и усилий.Но ещё интереснее натолкнуть его напротиворечия в его собственной точкезрения.—А сколько монет надо забрать,

чтобы снова стало поровну?—Две монеты надо забрать.Забираем две монеты; считаем: пу-

говиц восемь, а монет шесть.—А теперь чего больше?—Теперь поровну.Очень хорошо.Я сновараздвигаюмо-

неты пошире и задаю тот же вопрос.Теперь уже оказывается, что шестьмонет — это больше, чем восемь пу-говиц.—А почему их стало больше?—Потому что вы их раздвинули.Мы опять отбираем две монеты; по-

том ещё раз. Наконец, картинка стано-вится такой, как показано на рис. 2.В этот момент вдруг завязывается

яростный спор. Одни мальчикипо-прежнему считают, что монет боль-ше, другие вдруг <увидели>, что боль-ше пуговиц. Пожалуй, самое времяпрерваться и перейти к другой задаче;пусть дальше думают сами.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 19 — Как это происходило

Я был среди тех, кто говорил, что монет всёравно больше. В первый раз я просто согла-сился со всеми остальными, а потом простоговорил не думая. Все предыдущие разы такбыло правильно (т. е. папа с этим соглашал-ся), поэтому у меня не было причины менятьмнение и в последний раз. — Дима.

Все эти мысли и идеи пришли комне далеко не сразу, так что в своёмрассказе я забежал вперёд — и в бу-дущие свои размышления, и в будущиезанятия. Эта задача ещё многократновозникала у нас в разных обличьях.Было у нас, например, две армии, ко-торые никак не могли победить другдруга, потому что у них было поровнусолдат. Тогда одна из них раздвинулась,солдат у неё стало больше, и она началапобеждать. Увидев это, вторая армияраздвинулась ещё шире и т. д. (Закон-чить историю можно в соответствиис собственной фантазией.) Ещё былБуратино, которого Лиса Алиса и КотБазилио пытались обмануть, раздви-гая пять золотых монет и утверждая,что их стало больше. Я научился неждать лёгких побед. Всё равно раньшечем через два—три года дети не усвоятзакон сохранения количества предме-тов, как бы вы их ни учили. Да самоеглавное, это вовсе и не нужно! Я уве-рен: от этих скороспелых знанийпользыровно столько же, сколько от прежде-временных родов. Всему своё время,и не следует опережать события, в томчисле и в области воспитания интелле-кта. (Признаю, что эта точка зрениявысказана здесь в несколько демаго-гической форме. Но аргументы в еёпользу — а их немало — будут обильнорассыпаны по дальнейшему тексту.)Однако, повторяю, все эти мысли былипотом. А тогда, на первом занятии,какое-то интуитивное озарение удер-

Рис. 2. В верхнем ряду лежат 8 пуговиц, в нижнем — 2 монеты. Чего больше, монет или пуговиц?

жало меня от <объяснений>, и я про-сто перешёл к следующей задаче.На столе шесть спичек. Складываю

из них различные фигурки и прошуребят по очереди сосчитать, сколькоздесь спичек. Каждый раз их оказы-вается шесть штук... Нет, я слишкомувлёкся схоластическими рассужде-ниями и стал писать как-то по-кан-целярски. Давайте вернёмся в живуюдетскую аудиторию, давайте увидим,как это происходит в жизни.Каждый новый результат подсчёта

встречаетсянастоящимвзрывомвостор-га и хохота. Вот уже Андрюша и Женякричат, что всегда получится шесть.Вот ужеДима довольно невежливо рвёту меня из рук спички, чтобы самомусложить какую-то вычурную фигурку,а Петя, напротив, очень вежливо спра-шивает, не могу ли я ему дать ещёспичек. Ещё чуть-чуть — и их весельеперерастёт в неуправляемое детскоебуйство. Надо их как-то удержать,и внимательно выслушать Андрюшус Женей (<Почему вы думаете, чтовсегда будет шесть?>), и к тому же неупускать новые повороты мысли: ведьтут как раз Дима сложил трёхмернуюфигурку — колодец (рис. 3). Я при-влекаю к ней всеобщее внимание. Наэтот раз даже Андрюша с Женей ужене так твёрдо уверены, что снова по-лучится шесть. Считать спички оченьтрудно — колодец всё время развали-вается. Мы его восстанавливаем, счи-таем снова, он опять разваливается...Наконец у Димы получается семь!Все в лёгком недоумении, но особенносильного удивления никто не проявля-ет: семь так семь, хоть и немного стран-новато. Ну что ж, я, наверное, повторя-юсь — ну так и повторюсь, не суть

Как это происходило — 20 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Рис. 3. <Колодец> из шести спичек.

важно: моя педагогическая задача со-стоит не в том, чтобы сообщать детямокончательно установленные истины,а в том, чтобы разбудить их любо-знательность. Самый замечательныйрезультат, на который я хотел бы рас-считывать, о котором, можно сказать,мечтаю — это чтобы кто-нибудь измальчиков через несколько дней (илимесяцев) вдруг по собственной ини-циативе сам сложил спички колодцеми пересчитал их — просто потому чтостало интересно, потому что захотелосьузнать, как же обстоят дела на самомделе. Ведь это было бы маленькое само-стоятельное исследование! Ну, а еслиэтого не случится, то, будем надеяться,произойдёт в другой раз, с другойзадачей. (В будущем я имел немалоподтверждений, что так оно и бывалонеоднократно.) Так или иначе, я огра-ничиваюсь лишь замечаниями типа<как интересно!> и <замечательно!> —в надежде, что эта ситуация покрепчезастрянет у них в памяти.

Рис. 4. Сколько на этом рисунке квадратов?Сколько прямоугольников? Сколько четырёх-угольников? Даже взрослые часто ошибаютсяв ответах на эти вопросы.

Детскаяпамять—это совершеннопо-разительная вещь.Не могу удержаться,чтобы не вставить здесь одну историюиз более позднего времени.Одно из занятий: перед нами на

столе три фигурки из картона (рис. 4).Мы детально и обстоятельно обсуж-даем их свойства. Прежде всего, увсех фигурок — по четыре угла. Зна-чит, каждую из них мы можем назватьчетырёхугольником. Итого: у нас тричетырёхугольника. При этом два из нихотличаются тем, что у них все углыпрямые. За это их называют прямо-угольниками. Один из двух прямо-угольников особый: у него все стороныодинакового размера. Его называютквадратом. У квадрата как бы три име-ни: его можно назвать и квадратом,и прямоугольником, и четырёхуголь-ником — и всё будет правильно. Мояинформация встречается не без сопро-тивления. Дети упорно стремятся мы-слить в понятиях непересекающихсяклассов. А характер их объясненийвнушает подозрение в том, что они ещёне о сознали по-настоящему великийзакон <целое больше своей части>. Де-сять минут назад они спорили о том, яв-ляются липапыи дедушкимужчинами,а мужчины — людьми. А сейчас ониникак не соглашаются называть квад-рат прямоугольником:ужилиодно, илидругое. Я провожу настоящую агит-кампанию за равноправие квадратасреди всех прямоугольников. Посте-пенно моя пропаганда начинает дей-ствовать. Мы ещё раз подводим итог:— Сколько у нас квадратов?—Один.—А прямоугольников?—Два.—А четырёхугольников?—Три.Казалось бы, всё хорошо. И я за-

даю последний вопрос — я его ужеупоминал во введении:—А чего вообще на свете больше —

квадратов или четырёхугольников?—Квадратов! — дружно и без тени

сомнения отвечают дети.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 21 — Как это происходило

—Потому что их легче вырезать, —объясняет Дима.—Потому что их много в домах, на

крыше, на трубе, — объясняет Женя.Такова завязка этой истории. А раз-

вязка произошла через полтора года,без всякойподготовкии дажебез всяко-го внешнего повода. Летом на прогулкев лесу Дима неожиданно сказал мне:—Папа, помнишь, ты давал нам

задачу про квадраты и четырёхуголь-ники — чего больше. Так мне кажется,мы тогда тебе неправильно ответили.На самом деле больше четырёхуголь-ников.И дальше довольно толково объяс-

нил, почему. С тех пор я и исповедуюпринцип: вопросы важнее ответов....Психологи проводили и продолжа-

ют проводить множество эксперимен-тов, пытаясь научить детей некоторымпервоначальным математическим за-кономерностям. Например, делают так.Сначала группу ребят проверяют, по-нимают ли они такую простую вещь:если кусок пластилина помять, раска-тать и вообще придать ему другую фор-му, то количество пластилина от этогоне изменится. Тех, кто этого не понима-ет, делят на две части. Одну оставляют<свободной> — это так называемаяконтрольная группа. А другую начина-ют обучать закону сохранения количе-ства вещества: показывают, объясняют,взвешивают, сравнивают. Недели черездве опять проверяют участников обеихгрупп, смотрят, кто чему научился.Чаще всего в результате оказывается,что прогресс в обеих группах весьманезначительныйипри этом совершенноодинаковый. Обычно психологи недо-

Рис. 5. Спичек и пуговиц поровну.

умевают: почему же дети, которых такстарательно обучали, так ничему и ненаучились. Я, читая отчёты об этихэкспериментах, заинтересовался проти-воположным явлением: почему дети,которых ничему не учили (контрольнаягруппа), тоже чуть-чуть продвину-лись вперёд. Моя гипотеза после не-скольких лет занятий с малышамитакова: это происходит потому, чтоим тоже задавали вопросы.Однако вернёмся на наше занятие.

Следующая задача — ещё одна вари-ация всё на ту же тему закона сохране-ния количества предметов. Те самыешесть спичек, которые ещё осталисьна столе после предыдущей задачи,раскладываются в рядок. Я прошук каждой спичке приложить пугови-цу (рис. 5).Стандартный вопрос:—Чего больше — спичек или пу-

говиц?—Поровну.— Значит, пуговиц столько же,

сколько спичек, — резюмирую я.Забираю все пуговицы в кулак и про-

шу сказать, сколько у меня в кулакеспрятано пуговиц. Характерно, что ни-ктонеделаетнималейшейпопыткипод-считать спички.Даи зачем, собственно?Ведь спрашивают про пуговицы— зна-чит, и считать нужно пуговицы. Димакак человек со мной на самой корот-кой ноге пытается разжать мой кулак,другие удивлённо спрашивают:—Как же мы можем их сосчитать?Я смеюсь:— Сосчитать, конечно, нельзя —

пуговицы спрятаны. Но попробуйтекак-нибудь угадать.

Как это происходило — 22 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Тогда на меня обрушивается настоя-щий шквал отгадок, чаще всего ни начём не основанных. Каждый кричитчто-то своё; при этом один лишь Женякричит правильный ответ. Я пытаюсьего выслушать, спросить, почему, но онретируется. Жене вообще часто мешаетробость. Пока все кричат хором, пере-бивая друг друга, он, пожалуй, чащедругих кричит правильный ответ. Ностоит всех утихомирить и обратитьсялично к нему, как он смущается и ухо-дит в себя. С Андрюшей — другаяпроблема. Он мальчик очень целе-устремлённый, и на наших занятияхему явно не хватает мотивации. Когдая в следующий раз предложил ту жезадачу в другой аранжировке — ужебыли не пуговицы со спичками, а сол-даты с ружьями, потом они ушли,а ружья остались, и теперь разведчикунужно узнать, сколько было солдат —вот тогда он первымдогадался, что мож-но сосчитать ружья. И ещё он любитигры, в которых кто-то должен выйтипобедителем. Но у меня не всегдахватает фантазии представить задачув подходящей форме. Тем более что дляостальных детей этот аспект безразли-чен. ЗатоДима вообщене любит решатьчужие задачи, а любит придумыватьсвои. С трудом я подобрал к нему клю-чик—стал говоритьпримернотак: <При-думай задачу, в которой было бы...> —и дальше излагаю своё условие. К то-му же его решения часто отличаютсякакой-то странной вычурностью (осо-бенно это будет видно в следующей

Рис. 6. Вместо того, чтобы искать, какойпредмет здесь лишний, нужно по очереди са-мим <назначать> лишнего и потом объяснять,почему он лишний.

задаче); его довольно трудно ввестив колею здравого смысла. И с Петей,конечно, свои сложности... Как же мнепоспеть-то—одномуна всех?Божемой,у меня всего четыреученика, а я не могуобеспечить им индивидуальный под-ход!Чтожеможет сделать учитель, уко-торого сорок человек в классе? Учителячасто любят сравнивать с дирижёром.Я сам себе кажусь похожим скорее нажонглёра, у которого вот-вот всё рассы-пется по арене. Так и сейчас: пока япытаюсь беседовать с Женей — что дапочему — Дима уже вытащил карточ-ки для следующего задания (<четвёр-тый — лишний>) и спрашивает:—Папа, а это что, следующаязадача?Остальные двое уже рвут у него

карточки из рук и безжалостно мнутих при этом, не щадя вечернего ро-дительского труда. Женя уже тожекосится в их сторону и слушает менявполуха. Я разжимаю кулак, мы бег-ло проверяем, сколько пуговиц, и пе-реходим к следующей задаче.Правила игры <четвёртый — лиш-

ний> общеизвестны. Детям дают че-тырекарточки, на которыхизображены,например, заяц, ёжик, белка и чемодан.Нужно сказать, какой из этих рисун-ков лишний. Забавно наблюдать, какдети почти всегда дают правильныйответ, хотя далеко не всегда могут егообъяснить.—Лишний — чемодан.—Почему?—Потому что он не заяц, не ёжик

и не белка.

Рис. 7. Здесь изображены два множества по трипредмета в каждом: одно состоит из трёх красныхпредметов,другое—из трёх квадратов.Красныйквадрат является для них <общим>; математикиговорят— <лежит в пересечении>этихмножеств.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 23 — Как это происходило

—Ах, вот как! А по-моему, лиш-ний заяц. Потому что он не ёжик, небелка и не чемодан!Мальчики смотрят на меня в недо-

умении и заявляют настойчиво:—Нет, лишний чемодан!Я пытаюсь узнать, нельзя ли все три

нелишних предмета — зайца, ёжикаи белку—назвать одним общим словом.Наконец, Петя, который по словарно-му запасу опережает остальных, пер-вый находит нужное слово — <жи-вотные>. И в дальнейшем он частовыручал нас в подобных ситуациях.(Акак-торазменяпригласилипрове-

сти занятие в группе незнакомых де-тей, тоже лет четырёх—пяти. Я выло-жил на стол свои любимые карточкис зайцем, ёжиком, белкой и чемоданоми спросил, кто здесь лишний. Детисмотрели на меня с выражением пол-ной затравленности и ужаса во взоре.Наконец один из них набрался храбро-сти и выдавил: <Поровну...> Ага, поняля, с ними уже до меня как следует<позанимались>.)Между прочим, я даю также и задачи

с неоднозначным ответом. Например:воробей, пчела, улитка и самолёт.Можно лишним считать самолёт (не-живой), а можно улитку (не летает).На рис. 6 показан пример, когда каж-дый из предметов может быть объявленлишним, так что суть задачи меняется.В таких задачах я сам по очереди наз-начал лишних, а мальчики должныбыли давать объяснения. Так я пыталсявнушитьим этуважнуюдляматематикиидею, что нужны не только и даже нестолько правильные ответы, сколькоправильные объяснения; или, на болеенаучном языке, не только правильныеутверждения, но и их доказательства.Схема <четвёртый — лишний> и её

разновидности очень удобны для того,чтобыучить детейугадывать закономер-ности (эта грань математического мыш-ления полностью игнорируется школь-нойпедагогикой).Иногда удобнее братьвосемь картинок, которые должны раз-делиться по выделенным признакам

на две равные группы; именно такойсхемой пользовался М. М. Бонгардв своей классической книге <Проб-лемы узнавания>. К сожалению, и чи-татель с этим легко согласится, во-семь картинок — это вдвое больше, чемчетыре. А где их взять-то? За редкимиисключениями, картинки для нашегокружка рисовала Алла; я сам рисоватьсовсем не умею, а она в своё времяокончила художественную спецшколу.И уж совсем трудные логические за-

дачи получаются с пересекающимисяклассами. Например, пять картинокнужно разбить на две равные группы,по три картинки в каждой; при этомодна из картинок общая— она принад-лежит обеим группам. Вот, например:мяч, автомобильная шина, резиновыесапоги, пальто, шапка. Здесь три пред-мета из резины (мяч, шина, сапоги)и три предмета одежды (сапоги, пальто,шапка); общий элемент — сапоги. От-дельный вопрос: как чисто физическиподелить пять картинок на две группыпо три — не рвать же одну карточкупополам. Мы пользовались стандарт-ным приёмом: двумя верёвочнымикру-гами, в пересечении которых помещалиобщий предмет (на рис. 7 показан ещёодин пример аналогичной ситуации).ДляДимыэтот класс задачявнопред-

ставлял собой проблему (или это самДима представлял собой проблему?).

Рис. 8. Мозаика. Вертикальный ряд фишекпосередине представляет собой <зеркало>, илиось симметрии. Фигурку слева строит препо-даватель; симметричную ей фигурку справадолжен построить ученик.

Как это происходило — 24 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

—Это хоть и дядя, но похож натётю, — говорил он про старика с боро-дой-лопатой и помещал его в обществоженщин. Про автомобильную шинуон долго доказывал нам всем, что этотоже одежда, так как её можно носитьна поясе. Когда же с ним никто несогласился, он сказал:—Всё равно это одежда, потому что

её надевают на автомобиль.Кто-нибудь скажет: вот, ребёнок уме-

ет мыслить творчески, нестандартно.Насчёт <нестандартно> согласен, но воттворчески... Человек по-настоящемутворческий умеет предложить неожи-данное, нестандартное решение и приэтом остаться в рамках задачи. Сло-жить шесть спичек колодцем — тутя согласен, это решение творческое.Счесть же бородатого старика тётейили автомобильную шину одеждой —нет. Очень часто у Димы присутствуетпервый компонент — нестандартность,а вот остаться в рамках задачи илихотя бы вблизи от них он пока не умеет.Надо как-то суметь, не подавив одно,развить другое. А как?Наша следующая (и последняя на

этот раз) задача—изобласти геометрии.Я извлекаю цветную детскую мозаику,купленную когда-то в магазине <Лейп-циг> (увы, всего в одном экземпляре:в момент покупкимы ещёне помышля-ли о кружке). Мозаика представляетсобой прямоугольное поле с отверстия-ми. В них вставляются одинаковые поформе фишечки пяти разных цветов(рис. 8). Цвет фишек очень яркий, на-сыщенный, приятный для глаз. Нашазадача — про симметрию. Сначала явыкладываю ось — одноцветную вер-тикальную линию, проходящую посе-редине поля. Я называю эту линию<зеркалом>; в это зеркало сейчас будутсмотреться разные фигурки. Я строюс одной стороны от оси разнообразныенебольшие фигурки, а мальчики долж-ны построить симметричные им фигур-ки с другой стороны. Я варьирую всё,что можно: цвет, размер, расположениефигур. На следующих занятиях будет

меняться также и расположение оси:сначала она станет горизонтальной,потом пойдёт по диагонали. С помощьюнастоящего зеркаламыпроверяемнаширешения: оказывается ли за зеркаломто же самое, что мы видим в зеркале?Мальчики справляются с задачей на

удивление легко, почти не допускаютошибок. Не могу понять, почему этатема (осевая симметрия) вызывает труд-ности в шестом классе! Мы впослед-ствии посвятили ей много занятий.Симметрия в самом деле очень богатаятема, и к тому же красивая. Мы рас-сматриваликартинки с симметричнымиузорами из книг по популярной мате-матике. Мы рисовали симметричныефигуры разноцветными фломастераминаклетчатойбумаге; делалисимметрич-ные кляксы, складывая лист бумагипополам; вырезалиновогодниеснежин-ки; находили ошибки в симметричныхрисунках, в которых были специальносделаны кое-где нарушения, отклоне-ния от точной симметрии; среди восьмикарточек находили четыре симметрич-ные и четыре несимметричные фигуры;у одной фигуры находили все возмож-ные оси симметрии, и т. д. Другие видыизометрий — центральная симметрия,поворот, параллельный перенос — ока-зываются для детей несколько болеесложными, а вот осевая симметриябуквально идёт <на ура>.А мозаика вскоре стала моим люби-

мейшим инструментом. Это не игра,а настоящий клад всевозможных задачпо геометрии, комбинаторике, логике,угадыванию закономерностей. А од-нажды она мне преподала незабывае-мый урок на тему о том, <что для детейважнее>. Дело было так. Мальчикис удовольствием ходили на занятия,а иногда даже бывало так, что в ответ намои слова <урок окончен> просили по-заниматься ещё. Я гордился собой —пока вдруг не заметил, что их просьбыпродолжить занятие следуют толькотогда, когда мы занимаемся с мозаикой.Я решил проверить свою догадку.Следующее занятие было без мозаики.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 25 — Феномены Пиаже

Так оно и есть: говорю <урок окон-чен> — дети спокойно встают и рас-ходятся. Меня охватили глубочайшиесомнения. Мозаика в самом деле оченькрасива, нет ничего удивительного втом, что ребятам нравится с нею играть.А моя математика, думал я, здесь нипри чём; я протаскиваю её как обузу,как никомуне нужныйдовесок, как на-грузку к интересной игрушке! На сле-дующий раз я решил устроить реша-ющий эксперимент. Мы опять зани-маемся с мозаикой; опять мальчикине хотят заканчивать занятие; и тогдая говорю:—Нет, давайте мы урок всё-таки

закончим, а с мозаикой я вам разре-шаю поиграть просто так.В ответ следует единодушный вопль

возмущения,иПетя резюмируетобщуюточку зрения в решительных словах:—Э, не-ет! Мы хотим задачку!!Вот так я понял, где лежит истина.

Детям нужно полноценное интеллек-туально-эстетическое удовольствие.Если одна из половин отсутствует, пол-ноценность теряется, а с ней и ощуще-ние праздника. Новогодняя ёлка безигрушек имеет в глазах детей так жемало притягательности, как игрушкибез ёлки. Толькокогдаони соединяютсявместе, наступает праздник. Я надеюсь,что в будущем, через годы, когда моиребята будут заниматься более аб-страктной, <умственной> математикой,они будут получать от этого большеудовольствия, чем их сверстники. Ведьвозникающие у них в уме абстрактныеобразы и понятия будут где-то на днесознания эмоционально сливатьсяс <ёлкой>, окрашиваться воспомина-ниями о разноцветных задачах ихдетства.Вот и сейчас — мы уже прошли два

круга, т. е. каждый из ребят решил подве задачи на симметрию, пора бы ужекончать, номальчикинеунимаются, хо-тят ещё. Мне кажется, что они уже ус-тали. И я нахожу неожиданный выход:—Давайте теперь в ы будете мне

задавать задачи, а я буду их решать.

Дети в восторге! С новым пылом онистроят фигурки, а я — им симметрич-ные. Работаю старательно. Вдруг в голо-ву приходит ещё одна идея: я начинаюнарочно делать ошибки. Петя первыйэто замечает; счастью детей нет конца.К ним как будто пришло второе дыха-ние. Теперь они с горящими глазами,не отрываясь, следят за моей рукой,встречая каждую новую ошибку воин-ственными дикарскими кличами.Но пора и в самом деле закругляться.

Я отодвигаю мозаику, благодарю всехи объявляю занятие оконченным.—А когда же фокусы будут? —

вдруг вспоминает Андрюша.—Ну как же, Андрюша! Ведь ты сам

и показывал фокусы! Пуговиц былоне видно, они были спрятаны у меняв кулаке, а ты сумел их сосчитать.Сумел, правда, не он, а Женя, но

Андрюша, видимо, об этом позабыл,потому что выглядит вполне удовле-творённым. Мы встаём. Я смотрю начасы: неужели прошло всего 25 минут?Сейчас дети разойдутся, а я останусьприводить в порядок свои мысли, при-думыватьновые задачи, новыеподходы,приёмы. И ещё — клеить, вырезать,раскрашивать. Одним словом, готовитьто, что в педагогике зовётся скучнымсловом <дидактический материал>.Ведь до следующего занятия — всегоодна неделя.

Феномены Пиаже:реальность или обман зрения?

В этой книге я многократно возвра-щаюсь к так называемым феноменамПиаже. Поэтому, думаю, надо сказатьо них несколько вводных слов.ВеликийшвейцарскийпсихологЖан

Пиаже (Jean Piaget) — безусловно од-на из наиболее монументальных фигурв психологии XX века. За свою дол-гую жизнь (1896—1980) он написалоколо 50 книг и около 500 статей(точное их количество вряд ли зналдаже он сам). В 1976 году отмечался

Феномены Пиаже — 26 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

весьма своеобразный юбилей: восьми-десятилетие со дня рождения Пиажеи семидесятилетие его научной дея-тельности. Именно так! Свою первуюстатью он опубликовал в возрасте11 лет: он наблюдал в парке воробья-альбиноса и описал его в каком-тожурнале.В школьные годы Пиаже увлекается

<малакологией> — наукой о моллю-сках — и вскоре становится общепри-знанным специалистом в этой области.Заочно, <по совокупности работ>, емупредлагают весьма престижную долж-ность смотрителя коллекции моллюс-ков в Женевском музее Натуральнойистории. Мальчику приходится при-знаться, что он всего лишь школьник.К 20 годам он уже малаколог с ми-ровым именем.В этот момент он резко меняет напра-

вление своих занятий и переключаетсяна детскую психологию. И уже к 30 го-дам становится признанным классикомдетской психологии и автором пяти все-мирно известных монографий. Дальшенаступает весьма своеобразный этап.Эти пять монографий надолго заслони-ли дальнейшую деятельность Пиаже.При слове <Пиаже> у специалистоввозникал своего рода автоматическийрефлекс: <А-а, Пиаже, как же, какже, знаем! Знаменитые пять книг...>.А между тем он продолжал двигатьсявперёд, и притом с неменьшимнапороми всё с той же легендарной продук-тивностью. Впрочем, и миру вскорестановится не до детской психологии.Фашизм, война, потом послевоенноевосстановление... А в тихой нейтраль-ной Швейцарии Пиаже продолжаетсвою работу. Где-то, по-видимому,в 50-е годы происходит осознание ре-ального масштаба его вклада в науку.Некоторое количество трудов Пиаже

переведено на русский язык. Напри-мер, имеется сборник: Жан Пиаже<Избранные психологические труды>(М.: Просвещение, 1969). В нём мож-но найти и абсолютно нечитаемую те-оретическую работу <Психология ин-

теллекта>, и книгу, от которой труднооторваться: <Генезис числа у ребёнка>.Вообще, чтобы получить общее пред-ставление о его теории, лучше всего,по-моему, читать книгу Джона Флей-велла <Генетическая психология ЖанаПиаже> (М.: Просвещение, 1967).Характерно, что сам Пиаже считал

себя не психологом, а эпистемологом,т. е. специалистом по теории познания.Эта наука призвана ответить на вопрос,какимобразоммыможемвообщечто-тознать. Если в поисках ответа мы хотимне просто переливать друг в друга пу-стые слова, а заниматься конкретнымиисследованиями, то у нас есть два пути:либо изучать историю познания — ка-ким образом люди постепенно познава-ли мир; либо изучать, каким образомэто происходит у маленьких детей.Пиаже пошёл по второму пути.Из всех многочисленных грандиоз-

ных конструкций, теоретических по-строений и экспериментальных иссле-дований Пиаже наиболее широкую из-вестность приобрели так называемыефеномены Пиаже*. Я уже упоминалих выше. Маленький ребёнок не пони-мает, что если переложить несколькопредметов (камешков, кубиков, ...) ина-че, то их число при этом не изменится.Тем самым и само понятие числа оста-ётся для него недоступным, хотя он,быть может, и умеет <считать до ста>.Потом ребёнок подрастает, и вместе сэтим приходит осознание вышеуказан-ного закона сохранения. Но всё равноприходится ждать ещё года полтора—два, пока он не осознаёт аналогичныйзакон для непрерывных количеств: ес-ли раскатать шарик пластилина в кол-баску, то количество пластилина оста-нется темже; если перелить воду из ста-кана в миску, то количество воды тожене изменится. А также и многочислен-

* Вот (неполный) список других сюжетов,которые он изучал: логика, время, движениеи скорость, пространство, геометрия, случайность,восприятие, рассуждения подростков, вообра-жение, речь, нравственные суждения ребёнка,причинность, классификация и многое другое.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 27 — Феномены Пиаже

ные <смежные> закономерности —типа того, что если есть два одинаковыхколичества, и от одного из них забралибольше, а от другого меньше, то там,где забрали больше, осталось меньше.Во всё это трудно поверить, настоль-ко указанные принципы кажутся намсамоочевидными.В этом замечательном открытии са-

мым поразительным мне представля-ется то, что для него не нужны были никосмические ракеты, ни синхрофазо-троны, ни лазеры. Оно в буквальномсмысле <вертелось у всех под ногами>.Не обязательно было дожидатьсяXX века: Платону и Евклиду оно былотак же доступно, как и нам. Но — непришлов голову.Потребовалсяинтереск познавательной функции человека,правильная постановка вопроса, не-дюжинная наблюдательность, ну и, ра-зумеется, обширный эксперимент. Ин-тересно, однако, что феномены Пиажевстретили также и мощнейшее сопро-тивление учёного сообщества. До сихпор, по прошествии многих десятиле-тий, вы встретите людей, которые приих упоминании только рукой махнут:мол, глупости всё это. Ведь мы же за-даём ребёнку вопрос посредством слов,не так ли?Мы спрашиваем, где больше,где меньше, где поровну. А кто и когдаобъяснял ему смысл этих слов, их,если угодно, семантику? Просто он ихне так понимает, как мы, вот и всё.Лучше всего эту идею выразил одинмой знакомый математический логик:—Ведь ты же не дал им определения

слова <больше>. Вот они и понимаютего по-своему. Они считают, что <боль-ше> — это значит, что ряд длиннее.Что тут можно возразить? В самом

деле, определения не давал. А что жея должен был сказать? Что существуетбиекция между одним множествоми собственным подмножеством другогомножества? Никаких вопросов это неснимает: откуда же знать, что если та-кая биекция нашлась один раз, то най-дётсяи в другойраз?Видимо,надо былодоказать такую лемму... Я спорю, но

сам чувствую, что вяло. Вот, мол,в опытах вместе с детьми взвешиваликуски пластилина до и после раска-тывания в колбаску... Ну и что, чтовзвешивали! Ребёнок же не знает,как устроены весы и что означают ихпоказания.Этот спор можно вести до бесконеч-

ности: выхода из заколдованного кругане существует. Как бы мы ни общалисьс ребёнком, в какой бы форме ни ста-вили ему вопрос, всегда будет суще-ствовать некое промежуточное звено,некоторый <носитель сигналов>, будьто слова, весы или арифметическийподсчёт. И всегда можно свалить всювину на то, что этот <интерфейс>, этот<протокол обмена> недостаточно фор-мализован: мы толкуем его одним обра-зом, а ребёнок другим. Можно, правда,спросить у наших оппонентов, почемув семь лет ребёнок уже правильно от-вечает на все вопросы, хотя никакихопределений ему по-прежнему никтоне давал. Но в серьёзном научном споретакой приём — <а как вы тогда объяс-ните, что...?> — недопустим. Критикне обязан что-либо доказывать илиобъяснять — эта обязанность целикомвозлагается на автора теории. Разуме-ется, в той мере, в какой в психологиивообще возможны доказательства.Не вдаваясь в философские глубины

этого спора, хочу сообщить моё соб-ственное мнение на этот счёт. Послемногих лет работы с детьми никакиедоказательства мне больше не нужны.Я знаю, что Пиаже прав. Я наблюдалего феномены столько раз и в такихразных обстоятельствах, порой спрово-цированных мною, порой совершенноспонтанных, что убеждать меня большене надо. Помню, например, как собра-лись гости и не хватило одного стула.Дима — тогда трёхлетний — стал пред-лагать разные способы, как их можнобыло бы пересадить. И каждый разоказывалось, что снова не хватаетодного стула. Достаточно было видетьего озадаченную физиономию, чтобыпризнать: дело тут вовсе не в семан-

Феномены Пиаже — 28 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

тике слова <больше>. (Но я бы, разу-меется, не обратил на это внимания,если бы Пиаже не подсказал.)Психологи потратили немало сил

и изобретательности, пытаясь научитьдетей законам сохранения (или, с точ-ки зрения наших оппонентов, объяс-нить им точный смысл задаваемыхвопросов). Результат, как правило, былнулевой. (Об одном — весьма отно-сительном — успехе я расскажу чутьниже.) Но больше всего мне понра-вилась вот какая история. Из большойгруппы испытуемых всё же удалосьвыделить некоторое количество детей,которые, судя по всему, <всё поняли>.По крайней мере, на все вопросы эк-заменаторов они отвечали правильно:<Пластилина осталось столько же, по-тому что мы к нему ничего не прибави-ли и не убавили. Мы только изменилиегоформу, ивсё>.Итогдаисследователисделали ещё один шаг. Они попыта-лись детей разучить. Ответит ребёнокправильно, взвесят они вместе совзрослым пластилиновую колбаску —ан нет: она стала легче! Это зловред-ный экспериментатор незаметно дляребёнка отщипнул от неё кусочек.И вот оказалось, что те дети, которыелегко научились, так же легко и раз-учились. Они стали отвечать, что, мол,пластилина стало меньше, потому чтомы раскатали шарик в колбаску. А воттех детей, которые знали закон со-хранения ещё до эксперимента, зналисами по себе, разучить почему-то неудавалось. В тех же обстоятельствахони говорили:—Наверно кусочек упал на пол,

а мы не заметили.Ну, хорошо: если так трудно, а то

и вовсе невозможно научить ребёнкапонятию числа, то чего я, собственно,добиваюсь? В чём цель и смысл моихзанятий? Я уже говорил об этом, и будуповторять не раз: смысл занятий —в самих занятиях. В том, чтобы былоинтересно. В том, что ставить передсобой вопросы и искать на них ответы.В общем, это такой образ жизни.

∗ ∗ ∗Чтобы закончить этот раздел, рас-

скажу ещё пару историй. Первая изних относится к моему собственномудетству. Не знаю, сколькомне было лет;видимо, что-то около пяти. Мы жилив Витебске. Во дворе нашего дома жилодин старик, который любил время отвремени поговорить с детьми. Я был<умненькиймальчик>, и про меня былоизвестно, что я умею считать. Вот од-нажды он и предложил мне умножить3 на 5. Я уже знал, что умножить —это значит сложить с собой нужное ко-личество раз. И я пустился в это опас-ное и полное приключений плавание.Сначала 3+3; это будет 6, и это покалегко. Идём дальше: 6+3=9; это лишьнезначительно сложнее, но главное —не сама операция; главное — это незабывать, сколько раз я уже сделалсложение. Теперь начинается самыйтрудный момент: 9+3. Это, во-первых,переход через десяток, а во-вторых иснова — как бы не упустить, сколькораз я уже сложил... И уже почти прихо-дя в отчаяние, на последнем пределесвоих умственных возможностей, ясложил 12 и 3 и сказал:—Пятнадцать.—Правильно! — ответил старик. —

А как ты считал?Я объяснил.— Зачем же так сложно? — удивил-

ся он. — Можно было просто сложить5+5+5.Я был совершенно сражён и одно-

временно сбит с толку. Сложить 5++5+5 — это проще простого: 5+5==10 (тривиально), и 10+5=15 (тожетривиально). И, что самое удивитель-ное, в результате в самом деле получа-ется 15. Но почему!!?Эта событие надолго запало мне в па-

мять. Я искал объяснения — и не на-ходил. В школе я узнал, что в шестомклассе начнётся алгебра, и там будутформулы. Детям редко приходит в го-лову мысль, что можно заглянутьв учебник за будущие классы. И я тер-

1. Первое занятие и мысли вокруг — 29 — Феномены Пиаже

пеливо ждал шестого класса, надеясь,что тогда-то и придёт долгожданноепросветление. В шестом классе я на-писал формулу ab=ba, долго и тупосмотрел на неё, но никакого просветле-ния так и не произошло. В девятомклассе я попал в знаменитый Колмого-ровский физико-математический ин-тернат при Московском университете.Программа там была продвинутой; мыдовольно быстро перешли к изучениюгрупп, полей и колец. <Господи, какойже я был глупый, — решил я. —Ведь это же просто-напросто аксиома,и называется она коммутативностью.А аксиомы не доказывают>.Время шло, и я ещё слегка поумнел.

Я понял, что аксиома-то она аксиома,но ввели её не потому, что кто-то такраспорядился, не по чьему-либо капри-зу, а потому что это свойство реальновыполняется при умножении нату-ральных чисел.(Заметим здесь в скобках, что, на-

пример, возведение в степень — т. е.<повторяющееся умножение> — вовсене коммутативно. Умножьте 5 само насебя 3 раза, а потом умножьте 3 самона себя 5 раз, и результаты получатсясовершенно различные. А вот для <по-вторяющегося сложения> почему-тополучается одно и то же.)И уж не помню сейчас, когда и по-

чему я осознал, что речь идёт простоо том, чтобы по-разному сосчитать однои тожемножествопредметов.Мы берём<сколько-то> камешков и выкладываемих в три ряда по пять штук; а это то жесамое, что выложить их в пять рядов потри штуки — смотря что считать рядом(рис. 9). Так значит, всё дело в том, чтоесли одни и те же предметы считатьв разном порядке, то результат долженполучиться один и тот же! И, значит,не так-то уж это свойство и очевидно,если его осознание потребовало столь-ких лет и стольких умственных усилий.И в заключение — ещё одна сценка.

Точнее, подслушанный диалог. Участ-ников двое — муж и жена; оба пенси-онеры, обоим около 80 лет. Поэтому

речь и движения персонажей проис-ходят в замедленном темпе. Жена со-бирается готовить на ужин яичницу.Неожиданное препятствие: сковородка,в которой она обычно это делает, ос-талась непомытой после обеда.—Митя, большая сковородка гряз-

ная.Муж — с оттенком раздражения, так

как его оторвали от его занятий:— Сделай в маленькой.— Так я боюсь, что мало будет...Муж — слегка поразмыслив над

этим обстоятельством и пожимая пле-чами:—Тогда помой большую.А как же закон сохранения коли-

чества вещества?!Очень легко себе представить иные

обстоятельства. Тем же самым двумстаричкам даётся формальный <тест наинтеллект>. Вопрос: если разбитые яйцаперелить из одной сковородки в дру-гую, то содержимого станет (а) больше;(б) меньше; (в) останется столько же;(г) результат операции зависит от раз-мера сковородок. Я нисколько не сом-неваюсь, что в этом случае ответ был быправильным. И это наводит на разныевопросы, которые я даже затрудняюсьотчётливо сформулировать. Вопросы,во-первых, о соотношении между фор-мально выученным и реально усвоен-ным.И, во-вторых, о том, в какойстепе-нимывнашемповседневномповедении

Рис. 9. Здесь 3 горизонтальных ряда по 5 круж-ков в каждом, т. е. всего 5 ·3. Но можно такжеи сказать, что здесь 5 вертикальных рядов по3 кружка в каждом, т. е. всего 3 ·5. Если веритьв то, что как ни считай, получишь одно и то же,то следует заключить, что 5 ·3=3 ·5.

О пользе чтения книг по психологии — 30 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

руководствуемся <правильными рас-суждениями>, и в какой — некой наг-лядной<видимостью>, тем, что <кажетсяглазу>. (Видите, как много здесь ка-вычек (а также и скобок)? Это всё от-того, что не получается у меня выра-зить свою мысль <коротко и ясно>.)

О пользе чтения книг по психологии

Математиков не всегда легко убе-дить в том, что книги по психологиипредставляют хоть какой-нибудь ин-терес. Их там смущает всё: и терми-нология, и уровень доказательности,и самипостановки задач. Я помнюодиндиалог, оборвавшийся в самом начале.Я стал рассказывать молодому студентуоб одной серии экспериментов.—Вот, например, — сказал я —

такой вопрос: способен ли двухмесяч-ный младенец обучаться?В ответ мой собеседник только

хмыкнул.—Ачто, разве это не очевидно?Спро-

сили бы у меня, я бы им сразу сказал.Что тут можно возразить? Ну конеч-

но же может, это и в самом деле всемочевидно. Аналогичным образом отреа-гировал одинмой знакомыйфранцузнаизвестие о том, за что была присуж-дена очередная Нобелевская премияпо экономике. Её получатель доказал,что экономическое поведение людей неявляется рациональным, логичным.—Мог бы спросить у моей кон-

сьержки, — пожал плечами француз.Я чувствовал, что мой студент не-

прав, но возражение сумел придуматьтолько много позже. Давайте зададимсебе вопрос из другой области: оди-наковы ли законы физики в разныемоменты времени и в разных точкахпространства?Ответ, пожалуй, стольжеочевиден, как и в предыдущем случае.Любой философ скажет вам, что да,одинаковы, ибо иначе их просто не сле-дует считать законами физики. И он,конечно, прав. Ну, а что скажет не фи-лософ, а физик?

Положение физика более сложно: онобязаниметьделоне с общимисловами,а с конкретными законами — скажем,с какими-нибудь там уравнениямиМаксвелла. Расплывчатую фразу проразные моменты времени и разные точ-кипространства тоже следуетконкрети-зировать, объяснив, что и как меняетсяпри переходе от одной системы коор-динат к другой. Доведите эту идею доконца — и вы откроете сначала преоб-разования Лоренца, а потом и теориюотносительности Эйнштейна. А ведь этотолько первый шаг: уравнения Макс-велла описывают электромагнитныевзаимодействия, а существуют и иные:слабые, сильные, гравитационные.Ужев течение нескольких веков, начинаяс Галилея, физики пытаются придатьконкретную форму <очевидному> фи-лософскому принципу об одинаковостизаконов в пространстве и во времени,и путь ещё далеко не закончен. Где-тона горизонте маячит <единая теорияполя>.Итак, корень проблемы в том, чтобы

задавать вопросы не в общефилософ-ских терминах, а говоритьо конкретныхнаблюдаемых и проверяемых в опытеявлениях. Конечно, до формул и урав-нений психологии далеко. Тем не ме-нее — давайте вместо вопроса о том,<может ли ребёнок обучаться>, спросимо чём-нибудь более конкретном. Ну,например, так: может ли он в возрастедвух месяцев запомнить последова-тельность из четырёх битов? Скажем,такую: 0011? По сравнению с исход-ным глобальным вопросом звучит не-сколько убого, но ведь даже и на такойпримитивный вопрос дать экспери-ментальный ответ не так уж просто.Первая трудность: каким образом мы

можем узнать, что ребёнок в самомделе усвоил переданную ему инфор-мацию <0011>? Это пока ещё не оченьсложно. В рамках доступных ему дейст-вий можно, скажем, проверить, можетли он повернуть голову два раза влевои затем два раза вправо для того, чтобыдобиться какой-нибудь цели.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 31 — О пользе чтения книг по психологии

Вторая трудность, на этот раз гораздоболее существенная: какую цель можноему предложить, и как сделать так,чтобы он захотел её добиться? Чемможно его заинтересовать? В опытахнад животными поступают просто:их, извините, морят голодом. Доводятвес подопытного животного до 80%нормального, и тогда в поисках пищионо демонстрирует чудеса интеллекта.С детьми, слава Богу, так никто непоступает. А тогда что?В психологии часто так случается,

что главное открытие совершается нена дороге от вопроса к ответу, а где-тосбоку. Так и здесь: именно ответ напоследний вопрос открывает нам гла-за на какие-то новые истины. Иссле-дователи испробовали множество раз-ных <привлекательностей>: яркие по-гремушки, музыкальные перезвоны,порою целые фейерверки. Оказалось,что вполне достаточно обыкновеннойлампочки. Единственным же настоя-щим стимулом для ребёнка являетсясама возможность обучаться!Дело происходит примерно так.

Малыш случайно обнаруживает, чтокогда он поворачивает голову влево,загорается лампочка. Несколько раз он<подтверждает>своёнаблюдение;потомуспокаивается, и лишь время от време-ни, через сравнительно долгие проме-жутки, проверяет, всё ли в порядке.В какой-то момент вдруг оказывается,что нет, не всё в порядке: лампочкабольше не загорается. Он начинает ак-тивно искать причину — до тех пор,пока не обнаруживает, что чтобы её за-жечь, нужно повернуть голову один разнаправо и один раз налево. Насту-пает очередная серия подтвержденийи очередной период успокоения. И сно-ва вдруг выясняется, что лампочка нереагирует на <приказ>. Опять следуетактивный поиск — и очередное ре-шение. И так далее, вплоть до 0011.(Описание этого эксперимента заим-ствовано из книги Т. Бауэра <Психи-ческое развитие младенца>, М.: Про-гресс, 1985.)

Вот ведь оно, оказывается, как обсто-ит дело. Главным стимулом для учёбыявляется не награда, не <обобщённаяконфета> после урока, а сама учёба,сама возможность узнавать новое. Отнас требуется только не растоптать, неподавить эту устремлённость к новомузнанию, а также, наверное, создать ре-бёнку достаточно разнообразную среду,чтобы егоинтереск окружающемумируне ослабевал. И здесь психология тожеможет дать нам в руки совершенно не-ожиданные ключи. Цитирую из книгиВ. С. Ротенберга и В. В. Аршавского<Поисковая активность и адаптация>(М.: Наука, 1984):<Американские учёные Джонс,

Нейшн и Массад исследовали четырегруппы испытуемых. На начальномэтапе исследования первая группа по-лучала задачи, ни с одной из которыхне могла справиться (0% успеха). Вто-рая группа получала задачи, каждуюиз которых удавалось решить (100%успеха); испытуемые третьей группысправлялись с каждой второй из предъ-явленных задач (50% успеха). Послеэтого испытуемым всех трёх группи четвёртой контрольной предъявлялисерию принципиально нерешаемыхзадач, т. е. пытались выработать у нихобученнуюбеспомощность.Назаверша-ющем этапе исследования всем испы-туемым предлагались средние по труд-ности, но решаемые задачи и выясня-лась эффективность предшествующейсерии. Оказалось, что иммунизацияк обученной беспомощности создава-лась только у испытуемых третьейгруппы. Именно они лучше всего ре-шали задачи на завершающем этапе.Первая, вторая и контрольная груп-пы существенно между собой не раз-личались. Наиболее интересно в этихрезультатах то, что и стопроцентныйуспех и стопроцентная неудача в оди-наковой степени не повышали устой-чивость испытуемых к последующейнеудаче>.Очень сходные результаты получа-

ются в опытах и над детьми, и над

О пользе чтения книг по психологии — 32 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

щенками, и над крысятами. Наводитна размышления, не правда ли? Досих пор расстраиваюсь, что мне таки не удалось рассказать обо всём этомстуденту.Мы хотим, чтобы наши дети выро-

сли умными и развитыми, не так ли?Что мы должны для этого делать?В книге Ури Бронфенбреннера <Два

мира детства. Дети в США и СССР>(М.: Прогресс, 1976) автор рассказы-вает об одном проекте, получившемвпоследствии название <тридцатилет-нийэксперимент>.Речь внёмшлао том,чтобы <вывести в люди> умственноотсталых детей, содержащихся в спе-циальном приюте, добиться того, что-бы они могли жить самостоятельно.Эксперимент состоял из многих этапов,но наиболее трогательным, если недушераздирающим, был самый первыйиз них. Каждого ребёнка прикрепилик своего рода подставной суррогатной<маме>; такими мамами служили ум-ственно отсталые женщины, содержа-щиеся в том же приюте. Через два го-да специальные измерения показали,что уровень интеллекта у детей выросв среднем на 20—30 пунктов; в то жевремя уровень интеллекта у детей кон-трольной группы снизился. На менясильнейшее впечатление произвёл тотфакт, что эти мамы явно не могли вестисо своими детьми какие бы то ни былоразвивающие занятия. Никаких мате-матических кружков, никаких голово-ломок, никаких интеллектуальных игр.Всё, что онимогли—этообнимать детей,целовать, пеленать и вообще всяческиснимитетёшкаться.Ивот, оказывается,что по крайней мере в определённомвозрасте эмоциональное тепло, роди-тельская ласка гораздо важнее для раз-вития ребёнка, и в том числе — особоэто подчёркиваю — для развития егоинтеллекта, чем любые другие формыдеятельности и обучения. Родители,не забывайте об этом!Не следует превращать эту книгу

в психологическое попурри (к тому жене очень квалифицированное).Но я всё

же вернусь ещёраз кфеноменамПиажеи перескажу один опыт, который —единственный — привёл к частичномууспехуикусвоениюзакона сохранения.Речь идёт о <познавательных конфлик-тах> Яна Смедслунда (они описаны,в частности, в упоминавшейся вышекниге Джона Флейвелла). Цитирую:<Если, например, данный испытуе-

мый был склонен полагать, что удлине-ние шарика увеличивает количествопластилина, а убавлениекусочкаумень-шает его количество, экспериментаторпроизводил сразу и ту, и другую опера-цию [...] Подобная процедура была вы-брана для того, чтобы заставить испы-туемого приостановиться, заставитьего колебатьсямеждувзаимноконфлик-тующими стратегиями [выделеномной — А. З.]; автор ожидал, что в ре-зультате ребёнок будет медленно скло-няться к более простой и последо-вательной схеме убавления-прибавле-ния [...]>.Весьма характерно, что в этих опытах

ребёнку ничего не объясняли и ничегоне проверяли на весах. <Научить> уда-лось четырёхдетейиз тринадцати, и <ра-зучить> их обратно потом не удалось.Я знаю за собой такое свойство —

делать далеко идущие выводы при не-достаточных основаниях; а также и по-рой противоречить самому себе (совсемнедавно твердил, что нет у нас такойцели—научить ребёнка законам сохра-нения, и вдруг вроде бы пытаюсь объ-яснить, как этоможно было бы сделать).Неважно! Я хочу возвести в принцип,в основу моей педагогики вот эти сло-ва: заставить приостановиться, за-ставить колебаться между взаимноконфликтующими стратегиями. Этотподход я противопоставляю другому,который исходит из того, что интел-лект — это умение быстро решать го-ловоломки. Рискуя уже в который развпасть в возвышенный тон, я бы ска-зал: наша цель — воспитание такойпороды людей, которую можно былобы назвать человек задумывающийся.Конкретные примеры будут дальше.

1. Первое занятие и мысли вокруг — 33 — Как относиться к теориям

Как относиться к теориям

Передо мной увлекательнейшаякнижка со скучным названием <Мате-матическое моделирование в экологии:историко-методологический анализ>.Авторов пятеро: В. Н. Тутубалин,Ю. М. Барабашева, А. А. Григорян,Г. Н. Девяткова, Е. Г. Угер; лидеромкомандынесомненно являетсяВалерийНиколаевич Тутубалин, известный ма-тематик, а также и известный критикприменений математики в других на-уках. Вроде бы тема не имеет отноше-ния к тому, что мы здесь обсуждаем. Ноименно в этой книге я впервые нашёлчёткую формулировку того, что долгои безуспешно пытался высказать сам—того, как следует относиться к теорети-ческим построениям. По отношениюк психологии это, мне кажется, ещёболее верно (и важно), чем по отно-шению к экологии.Среди прочего в книге рассматри-

ваются классические уравнения Лот-ки—Вольтерра. Исходная идея доста-точно проста. Имеются, скажем, лисыикролики, причёмлисыпоедаюткроли-ков. Последних становится всё меньше,и у лис возникает дефицит еды. Теперьуменьшается численность лис; жизньу кроликов становится менее опасной,и теперь ужеих численность возрастает.У лис изобилье еды, и их количествоначинает расти; число кроликов опятьпадает, и всё начинается сначала. Этамодель довольно легко переводится наязык дифференциальных уравнений.Удача: уравнения решаются в явномвиде (редкий в этой теории случай),и получаются аккуратные циклы нафазовой плоскости и аккуратные ко-лебания, если рассматривать обе чи-сленности как функцию времени.Теория готова; теперь надо её про-

верять экспериментально. Натурныеэксперименты, т. е. измерения числен-ностей видов (не обязательно лиси кро-ликов, но любых двух видов, один изкоторых поедает другой, например,

щук и карасей) в живой природе, пря-мо скажем, ни к чему разумному неприводят. Это и понятно: слишкоммно-го вмешивается посторонних факторов.Попытки как-то выделить и учестьвлияние этих факторов оказываютсяслишком сложными и в итоге неубеди-тельными. Есть ещё возможность про-ведения лабораторного эксперимента,где всефакторы строго контролируются,да и виды выбираются такие — вродедрожжей — с которыми гораздо легчеиметь дело, чем со зверями. Но дажеи в этом случае статистическая обработ-ка данныхпроведенане оченьквалифи-цированно (это 30-е годы, математи-ческая статистика только создавалась),и придти к определённым выводамтрудно. В районе Гудзонова заливадаже было обнаружили колебания чис-ленности зайцев и рысей. Но вот беда:циклы на фазовой плоскости крути-лись в другую сторону — как если быхищниками были зайцы, а жертва-ми — рыси. Статья на эту тему сарка-стически называлась <Едят ли зайцырысей?>.Одним словом, подтвердить теорию

на опыте не удаётся. Каков же вывод?Выбросить её в корзину? Некоторыефилософы—критики науки—считаютименно так. Но авторы книги — не фи-лософы, а работающие учёные, и ониприходят к совершенно противополож-ным выводам. Ничего подобного, гово-рят они. В процессе попыток подтвер-дить (опровергнуть, уточнить, развить,видоизменить) теорию Лотки—Воль-терра специалисты произвели множе-ство весьма полезныхизмерений и при-обрели совершенно бесценный опыт.Он, быть может, и не выражается в видепростых уравнений; но всё же сегодняэкологи знают гораздо больше, чемв 20-х годах прошлого века. Без этогоисходного толчка они просто не зналибы, с какогоконцаприниматьсяза дело,что и зачем измерять. Они так до сих пори оставались бы на уровне общих дек-лараций типа <всё в природе взаимо-связано>.

Как относиться к теориям — 34 — 1. Первое занятие и мысли вокруг

Следует только иметь в виду, чтокаждый автор концепции вкладываетв своё детище так много души, чтопотом уже верит в неё как в Священ-ное Писание. Хорошо мне, дилетанту:я могу жонглировать разными, в томчисле и противоречащими друг другутеориями, могу сам изобретать новыена пустом месте (или почти) и назавтраотрекаться от них. Среди психологи-ческих теорий есть такие, которым ястопроцентно доверяю: примером яв-ляются феномены Пиаже. Есть такие,в которые я не верю ни на грош; к нимотносится, в частности, распространён-ная в нашей стране <теория поэтап-ного формирования умственных дей-ствий>, а также то, как тот же Пиажеобъяснял освоение ребёнком родногоязыка (читайте на эту тему превос-ходную книжку: Steven Pinker <TheLanguage Instinct: How the Mind Cre-ates Language>). Но если относитьсяк теориям без прозелитизма, то инте-ресны они все, так как все дают пищудля ума — и материал для задач!Авторы книги об экологии рассказы-

вают нам такую историю-притчу. Не-большая группа путешествует по бере-гам и островам Белого моря. Знающиелюди сказали, что на некотором острове

имеется пресноводное озеро, в которомокунь прекрасно клюёт на макароны.А может, мы как раз на этом острове?Как же пройти к озеру? Идти напроломпо карельской тайге, перемежаемой го-рами и болотами—небольшое удоволь-ствие. Идея (<теория>)! Вода из озерадолжна куда-то деваться; наверное, изнего выпадает ручей; а вдоль ручья мо-жет идти тропа.Идём вдоль берегаморя;и в самом деле, вскоре обнаруживаетсяручей, а вдоль него — тропа. Всё пре-красно! Поднимаемся по тропе вдольручья. Вскоре, однако, ручей исчезаетвовсе, тропа вместе с ним, <и лезем мыкуда-то на высокую гору, с которойничего, кроме леса, не видно. Некото-рое время бродим без цели и смысла,вдруг каким-то образом попадаем натропу, которая и выводит к озеру>.И окуни там в самом деле великолеп-ные! Мораль: теория нужна не длятого, чтобы правильно отражать ре-альность, а для того, чтобы начатьчто-тоделать—адальше видно будет.(Хотя, как отмечают авторы в другомместе, правильная теория всё же луч-ше, чем неправильная.)Так что пора и мне <начать что-то

делать> и от болтовни на общие темывернуться к нашему кружку.

2Кружокс мальчиками—первый годКак я уже упоминал неоднократно, я

начал вести кружок в марте 1980 года,но записывать содержание занятий сталтолько с февраля 1981 года. Первые20 занятий <для вечности> утеряны, тутуж ничего не поделаешь; собственнодневник начинается с 21-го занятия.

Важное пояснение.Ккаждомуиз за-нятий предпослан заголовок; но его неследует воспринимать слишком серьёз-но. На занятии обычно бывалонесколь-ко разных задач, а заголовок отражаетлишь одну из них, чаще всего основан-нуюна новой идее или примечательнуюпо какой-то иной причине. Иногда,впрочем, он связан вообще не с зада-чей, а с каким-то происшествием илиновым поворотом событий.

Занятие 21. Лист Мёбиуса

4 февраля1981 года (среда). 1030—1100 (30 мин.).Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Задание1.Наих глазах разрезал листна 4 полоски, из которых мы склеили(с моей помощью) 4 листа Мёбиуса.

Для читателя-нематематика должен пояснить,что такое лист Мёбиуса. Если взять узкую длин-ную полоску бумаги и склеить её концами <обыч-ным способом>, то получится цилиндр: он показанна рис. 10 слева. Если же предварительно пере-вернуть один из концов на 180◦, получитсяфигура, показанная на том же рисунке справа.Она и называется листом Мёбиуса. У цилиндраесть две поверхности — внешняя и внутренняя;их можно, например, покрасить в два разныхцвета. А вот у листа Мёбиуса только одна поверх-ность. Попробуйте закрасить каким-нибудь цве-том его внутреннюю сторону — и вы незаметноперейдёте на внешнюю.

Себе склеиваю обычный цилиндр(для сравнения). Два муравья сорев-нуются — у кого домик интереснее(или кто сумеет то-то и то-то).На одном из листов (Димином) пока-

зываю, как муравей полз по одной сто-роне, апопалнадругую.Надругом (Же-нином) показываю, как муравей ползпо краю и оказался на другом краю.[Надо было более медленнои спокой-

но датьим убедиться (каждомуна своёмлисте), что есть всего одна сторона и все-го один край.]Разрезаю по средней линии цилиндр,

затем лист Мёбиуса. Оба раза прошуугадать, что получится. Потом получен-ную штуку снова разрезаю по среднейлинии, опять прошу угадать.[Во второй раз вместо средней линии

можно резать на расстоянии 1/3 шири-ны от края: в этом случае зацеплениелучше видно.]Показываю шарик, как он склеен

из двух половинок; объясняю, что крайисчезает. Потом показываю, как издвух резиновых трубок склеивается тор(у него тоже нет края). Рассказываю,что будет, если склеить два листа Мёби-уса по краю (края не будет, но можноперейти с внешней стороны на вну-треннюю). Впечатления не производит.Рассказываю про молоко, которое быловнутри, а стало снаружи.—Ну и что? Просто пролилось.[Надо было сказать, что при этом оно

нигде не переливалось через край, таккак никакого края вообще нет.]

Задание 2. Сколько стоит билет в ме-тро, в автобусе, в троллейбусе, в трам-вае?* Какие автоматы стоят в метро?(Принимают только пятаки и пропус-кают внутрь. Билетов в метро не бы-вает.) Какие автоматы бывают в авто-бусе? (Пять копеек в любом наборе —билет.)Теперь нам с вами надо сложить пять

копеек самыми разными наборами.

* Боюсь, что читатели уже забыли, сколькостоили билеты в ту эпоху: автобус и метро —5 копеек, троллейбус — 4 копейки, трамвай —3 копейки.

Что больше, целое или часть? — 36 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

(Монеты выкладываются на стол от-дельными кучками. Чтобы одинучастник мог выложить 5 копеек все-ми возможными способами, ему по-требуется

1×5 коп.+2×3 коп.++4×2 коп.+11×1 коп.)

Задание было выполнено менее ус-пешно, чем я ожидал (долго не понима-ли, что требуется; ошибались в счёте;повторялиужеимеющиесякомбинации;зацикливалисьна определённой группемонет; не могли найти нужную монету,так как искали в одной и той же кучке:<А мне всё единички попадаются!>).

По-моему, я видел, что Жене <всё единичкипопадаются> из-за того, что онищет не в той кучке.Я не знал, говорить ему или нет, и эта мысльотвлекала столько внимания, что я не замечал,что сам не могу найти нужную монету по той жепричине. — Дима.

[Надо было начать с трамвая, потомперейти к троллейбусу и уже потомк автобусу. Ещё лучше—начать с теле-фонного автомата (2 копейки).]

Занятие 22.Что больше, целое или часть?

14февраля1981года(суббота).1035—1120 (45мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

Задание 1.В о п р о с Д и м е:—Чего больше—зайцев или зверей?—Зверей.

A

B

C

D

A

B

C

D

A

B

D

C

Рис. 10. Два способа склеить концы бумажной полоски. Слева — обычный цилиндр, справа —лист Мёбиуса.

—Почему?—Потому что кроме зайцев (выделе-

но мной) бывают ещё попугаи, волки,кошки, собаки и т. д.(Обсуждение того, что попугаи — не

звери.) Я даю своё объяснение:—Ведь зайцы — это тоже звери.В о п р о с А н д р юш е:—Чего больше — гусей или птиц?Андрюшаобъясняет, чтобольшептиц,

таккакониводятсяповсюду—вИндии,в Грузии и даже на Северном полюсе.Таким образом, заимствована внешняясхема Диминого ответа (что разныхптиц очень много), но пропущен цен-тральный момент: <кроме>. Я:—Но ведь гусей тоже очень много

(рассказываю,где водятся гуси).Можетбыть всё-таки гусей больше, чем птиц?Андрюша не знает.В о п р о с Ж е н е:—Чегобольше—мужчинилилюдей?Женя считает, что больше людей, но

объяснить не может. Правильно объ-ясняет Дима:—Потому что мужчины — это тоже

люди. Это двойные люди.(Обсуждение, являются ли дедушки

и папы мужчинами.)В о п р о с П е т е:—Чегобольше—мухилинасекомых?—Мух.—Почему?—Потому что они повсюду летают.—А насекомые не повсюду?—Нет.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 37 — Недостающая фигурка

—А мухи — это тоже насекомыеили нет?—Насекомые.(Снова обсуждение того, что не все

насекомые умеют летать.) Таким обра-зом, правильно отвечал только Дима.Но, как показало четвёртое задание,и он понятие включения классов ещёдо конца не освоил.

Задание 2. Продолжение вопросов(в третий раз) про мальчиков и девочекв очкахибез очков—ещёчетыре вопро-са, по одному на каждого из ребят.

В этой задаче детям предлагаются карточки,на которых нарисованы мальчики и девочки, при-чём некоторые из них в очках, другие без очков.Требуется ответить, правильны или нет утверж-дения типа <все дети в очках — мальчики>, <име-ется девочка без очков>, и т. п. Любой из этихвопросов (которыхможносочинитьнемало)можнозадавать про любую карточку, так что эта задачавесьма изобильна, ею можно заниматься долго.

Петя заметил, что у него и у Жениоказались одинаковые картинки, Е и Г.Алла подсказывает, что и утверждалосьодно и тоже: <нет ни одной девочки безочков> и <все девочки — в очках> —это эквивалентные утверждения. Анд-рюша справлялся с заданием слабеедругих и всё время объяснял что-то промальчиков, хотя его вопрос был о де-вочках. Причина в том, что он не былна тех занятиях, когда это задание былопервые два раза.Самостоятельно (т. е. без моей помо-

щи) справился с заданием один Дима.Но у него и вопрос был легче: про всехдетей, а не про мальчиков или девочек.

Рис. 11. Какой фигурки не хватает?

Снова немного пообсуждали проб-лему пустого множества.[Это вот о чём: спрашивается, верно

ли для данной картинки, что <все дево-чки — в очках>, а девочек на ней вовсенет. Ребята, совершенно естественно,отвечают, что, мол, нет, неверно.—Ах, вот как? — говорю я. — То-

гда покажите мне девочку без очков.—Но здесь вообще нет девочек!—Вот я и говорю, что все, которые

есть — в очках.—Но их нет никаких!—А я и не говорю, что есть...И дальше в том же духе.]Смешнаясценкавначале:когдаятоль-

ко вынул карточки, все, перебивая другдруга, закричали, показывая на них:—Вlue! Yellow! Brown! Grey!Я, воспользовавшись моментом,

спросил:— Is it a boy or a girl?— It’s a boy. (Андрюша шутит.)—No, Andrew, that’s not true. It’s

a girl*.Задание 3. Все дети получают по

карточке вроде той, что показана нарис. 11 (все карточки разные). Нужнодогадаться, какой фигурки не хватает.Первым догадывается Андрюша.

Я спрашиваю, как он догадался, онобъясняет. Услышав это, все остальные

* Все наши мальчики занимались англий-ским языком. Уроки английского им давалаАлла, и порой мы использовали одни и те жекартинки.

Рис. 12. Дорисовать недостающие фигурки.В каждой строке и в каждом столбце все фигуркидолжны быть разными (и все три типа должныприсутствовать).

Многоугольники — 38 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

тоже решают задачу, но Дима решаетнеправильно (кажется, Женя решилсам, без подсказки). Я указываюДимеошибку:—Смотри, здесь в каждом ряду есть

все три фигурки, а в тех, которые тынарисовал, квадратиков два, а тре-угольника вообще нет.Мы ещё раз обсуждаем общий прин-

циппостроенияузора. Димаисправляетошибку.Теперь каждый получает ещё по од-

ной такой же карточке, но пропущенафигурка не в правом нижнем углу,а в более трудном месте (например, вцентре). В третий раз каждый получаеткарточку, на которой нарисованы толь-ко 4 фигурки из 9, а оставшиеся 5 надодорисовать самостоятельно (рис. 12).С обоими заданиями все четверо спра-вились безукоризненно.

Задание 4. Кладу перед детьмивырезанный из ватмана треугольник,спрашиваю, как называется эта фигур-ка и почему. Потом последовательнопредъявляю четырёхугольник (не-правильной формы), прямоугольник,квадрат, пятиугольник.Дети называют.—А как отличить прямоугольник?Дима:—У него все углы прямые.(Мы с Димой отдельно читали <Гео-

метрию для малышей>*, и он ужезнает про прямые углы.)—А можно его назвать четырёх-

угольником?—Нет.—Почему же? Посчитайте, сколько

у него углов.—Четыре.—Ну вот, значит, он тоже четырёх-

угольник. У него два имени: четырёх-угольник и прямоугольник. Прямо-

* В. Г. Житомирский, Л. Н. Шеврин <Геоме-трия длямалышей> (М.:Педагогика, 1975).К томуже жанру можно отнести книги Л. Л. Сикорук<Физика для малышей> (М.: Педагогика, 1983)и Е. П. Левитан <Малышам о звёздах и планетах>(М.: Педагогика, 1986). Мне больше всех по-нравилась <Физика> Сикорука. Все три книгипревосходно иллюстрированы. Не знаю, пере-издавались ли они с тех пор.

угольник — это четырёхугольник, ноособенный, с прямым углом.Затем то же повторяется с квадратом.—А можно его назвать прямоуголь-

ником?—Нет.—Почему?Дима:—Потому что он не такой длин-

ненький.Следует аналогичное обсуждение: я

объясняю, что квадрат можно называтьтремя именами, и всё будет правильно.—А скажите теперь, чего больше:

квадратов или прямоугольников?Все:—Квадратов!—Почему?Дима:—Потому что их легче вырезать.Я отступаю.[В этом месте надо было положить

все фигурки на стол и попросить по-считать, сколько квадратов, сколькопрямоугольников и сколько четырех-угольников.]Следующей фигуркой даю невыпу-

клый восьмиугольник (рис. 13).Только один Женя правильно под-

считывает количество углов, остальныене учитывают вмятин. Объясняю, чтонадо учитывать. Дима:—А разве это углы? Это же дырки...

угольные.Раздаювсемпоодномучетырёхуголь-

нику неправильной формы (потом ещёпо одному, и т. д.); четырёхугольники

??

Рис. 13. Восьмиугольник или нет?

2. Кружок с мальчиками — первый год — 39 — Транзитивность

все одинаковые. Серия заданий: нужнопровестикарандашомлиниюи,разрезавпо ней, получить из четырёхугольника:(а) два треугольника;(б) два четырёхугольника;(в) четырёхугольник и треугольник;(г) пятиугольник и треугольник.Безукоризненно выполнил все четы-

ре пункта только Андрюша. Остальныеиногда ошибались, иногда смотрелирешения друг у друга.Для пункта (б) Дима выдал неожи-

данноерешение: вырезал четырёхуголь-ник внутри, а снаружи тоже осталсячетырёхугольник, хотя и с дыркой(рис. 14).Я чуть было по инерции не заявил,

что решение неправильное, но вовремяостановился, поняв, что такую ориги-нальную идею надо не губить, а, наобо-рот, поддержать.Вдохновлённый,Димапошёл по проторённой дорожке и ре-шил точно так же пункт (в), вырезавтреугольник внутри четырёхугольника,после чего безуспешно пытался решитьтем же методом задачу (г), и в резуль-тате так её и не сделал.В конце занятия возник небольшой

сумбури путаница, мальчикичуть былоне подрались из-за ножниц (их быловсего две пары), да и времени прошлоуже много, так что я занятие прекратил,так и не обсудив до конца со всемивместе пункты (в) и (г).Андрюша захотел все свои бумажки

взять с собой, а с его лёгкой руки и всеостальные тоже захотели.

Рис. 14. Что это? Четырёхугольник?

Занятие 23. Ханойская башня

28февраля1981года(суббота).1040—1115 (35мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

Задание 1. Устные вопросы натранзитивность.А н д рюш е:—Один мальчик любит мороженое

больше, чем орехи, а орехи больше, чемапельсины. Что он любит больше —мороженое или апельсины?—Мороженое.—Почему?—Потому что он раньше начал есть

мороженое.—Емучто,раньшеразрешили,что ли?—Да.Д и м е:—У дедушки денег больше, чем

у папы, а у папы больше, чем у мамы.У кого больше денег — у дедушки илиу мамы?—У дедушки.—Почему?—Я знаю, что дедушка больше за-

рабатывает, чем мама.—Откуда ты это знаешь?—Ну просто знаю, и всё.—Но ты это знаешь из задачи или

из жизни?—Из жизни.Ж е н е:— Сосна выше ёлки, а ёлка выше

берёзы. Что выше — сосна или берёза?—Сосна.—Почему?Не помню, что ответил Женя, но

тут встрял Дима и сказал:—Потому что сосна самая большая,

а берёза самая маленькая. А ёлка са-мая средняя.Все обсуждают, так ли это в жизни,

показывают жестами.(Вспомнил, что сказал Женя:— Сосна раньше начала расти, чем

берёза.Может быть, мой вопрос <почему?>

они воспринимают как требование объ-яснить, <почему такпроизошло, что...?>.Отодвигая в сторону логику, из которой

Пересекающиеся множества — 40 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

следует, что сосна выше берёзы, объ-яснить, почему так получилось, что онавыше.)П е т е:—Вкастрюлепомещается больше во-

ды, чем в чайнике, а в чайнике больше,чем в кувшине. Где помещается боль-ше — в кастрюле или в кувшине?—В кастрюле.—Почему?Опять вмешиваетсяДима, ионивмес-

те с Петей всё правильно объясняют.[Надо попробовать неправдоподоб-

ные условия: например, <Женя* боль-ше Димы, а Дима больше папы. Ктобольше — папа или Женя?>]

Задание 2. Снова, как и в прошлыйраз, на столе квадрат, прямоугольники четырёхугольник. Вспоминаем их на-звания, прошу посчитать, сколько настоле квадратов (один), прямоугольни-ков (два), четырёхугольников (три).Напоследний вопрос правильно отвечаетодин Петя. Наконец, итоговый вопрос:—Чего больше — квадратов или че-

тырёхугольников?Тот же результат:—Квадратов (потому что их много

в домах, на крыше, на трубе и т. п.).Я ничего не объясняю, только спра-

шиваю, являются ли квадраты четы-рёхугольниками. Ответ:—Да.Задание 3. Из <математического на-

борапервоклассника>выбрано16пред-метов (число, кратное четырём — ко-

* Здесь имеется в виду Женя — младшаясестрёнка Димы; ей в этот момент чуть большегода.

A B C

Рис. 15. Ханойская башня в начальной позиции.

личеству участников): 2 синих кру-жочка, 2 жёлтых квадрата, 3 красныхквадрата, 4 красных треугольника,5 зелёных треугольников. На стол кла-дётся кругом верёвка, связанная кон-цами. Я даю каждому по очереди поодной фигурке — нужно класть крас-ные внутри верёвки, не красные —снаружи.Верёвка убирается, но кладётся дру-

гая,точнотакаяже.Теперьнужновнутрькласть треугольники, а наружу — нетреугольники. Снова все справляются(Андрюша делает одну ошибку).Наконец, на столе обе верёвки, но

пока я кладу их непересекающимися.Требуется выполнить оба задания од-новременно. После первого проходая подсовываюДиме (впервые)красныйтреугольник. Он, не задумываясь, кла-дёт его в красные.Я обращаю вниманиевсех на конфликт между условиями,говорю, что это задача для всех.[Опять спешка!Надобылодождаться

конца и потом обсудить, всё ли верно.]Андрюша:—А это нарочно так придумано?—Конечно, нарочно. До сих пор

была только подготовка, а настоящаязадача началась сейчас. Нужно что-топридумать, изобрести, чтобы этот тре-угольник лежал и тут, и тут.Дима пытается положить треуголь-

ник в виде мостика на обе верёвки. Я:—А может быть, передвинуть как-

нибудь верёвки?Андрюша первый догадывается, что

нужно положить верёвки одну на дру-гую. (Кажется, Дима тоже догадался,но не успел сказать.)

2. Кружок с мальчиками — первый год — 41 — Ханойская башня

Теперь задача решена и легко доде-лывается до конца (каждый по одномуразу получает красный треугольник,так как их всего 4). На чёрном фонестола белые верёвки и разноцветныефигурки выглядят очень красиво. Я об-ращаю внимание ребят на этот факт.Андрюша:—Это была моя идея!Дима:—Нет, моя!Я ещё пытался что-то сказать о том,

что красныетреугольникипринадлежатсразу двум классам, но без эффекта.

Задание 4. Ханойская башня. Каж-дый получает экземпляр игры, я объ-ясняю правила.

Эта игра — настоящая жемчужина програм-мистской литературы; в неё можно играть с пяти-летними, но и пятикурсникам-информатикамтоже найдётся над чем подумать. В начальнойпозиции несколько кружков разных размеровуложены друг на друга, образуя башню. Башнястоит на одном из трёх полей (рис. 15).

Цель игры — переставить башню на другоеполе, соблюдая следующие правила:

(а) кружки переставляются только с поля наполе; при этом они кладутся друг на друга, такчто получаются маленькие башни; нельзя от-кладывать кружок куда-то в сторону;

(б) при каждом ходе передвигается толькоодин кружок — несколько кружков одновре-менно переносить нельзя; в частности, запре-щено брать по кружку в каждую руку;

(в)можнобратькружоклишьсвершиныкакой-нибудь башни и класть его только на вершину дру-гойбашни;инымисловами,нельзябратькружокизсерединыбашни, и нельзя вставлять его в серединудругой башни (чтобы сделать это правило более яв-ным, кружки часто изготовляют с отверстиями вцентре, и каждую башню надевают на стержень);

(г) наконец — и это очень важно — запре-щено класть больший кружок на меньший.

Одна из промежуточных позиций в игре по-казана на рис. 16.

Игру изобрёл в конце XIX века французскийматематик Эдуард Люка. Он же украсил её такойромантической легендой.

A B C

Рис. 16. Башня в одной из промежуточных позиций. В конце игры она должна полностьюпереместиться на одно из соседних полей — либо на B, либо на C.

Где-то в непроходимых джунглях недалеко отХаноя есть монастырь Брамы. В начале времён,когда Брама создавал мир, он воздвиг в этоммонастыре три высоких алмазных стержняи на один из них возложил 64 диска, сделанныхиз чистого золота. Он приказал монахам пере-нести эту башню на другой стержень (с соблю-дением всех правил, разумеется). С того временимонахи работают день и ночь. Когда они закон-чат свой труд, наступит конец времён.

Отдельная задача для более старших детей —оценить хотя бы приблизительно, когда наступитэтот самый <конец времён>.

[У к а з а н и е: чтобы переставить башнюиз n дисков, требуется 2n−1 операций. Пусть,например, одна операция занимает одну секунду.Сколько времени потребуется для перестановкивсей башни при n=64?]

Оказалось, что в процессе работыочень труднопроследить за всеми;маль-чики постоянно нарушали правила.Д и м а уже два раза играл в эту игру,

поэтому справляется первый и правилне нарушает. Под конец, когда все былив тупике, они, затаив дыхание, следилиза его быстрыми и уверенными дви-жениями.П е т я никак не мог осознать прави-

ла и нарушал их до самого конца, хотяему помогали и я, и Дима, и Наташа*.На Диму он злился за подсказки.Ж е н я правила осознал, но действо-

валкрайненеуверенно.Почти всё времяпросидел со снятыми двумя верхнимифишками, не зная, что делать дальше.

* Наташа — мама Жени; упоминаемая нижеЛюда — мама Андрюши. Родители почти всегдаприсутствовали на занятиях — ведь занятия дли-лись недолго, а детей надо было потом забиратьи уводить домой. С одной стороны, меня это до-вольно сильно сковывало: я никогда не чувство-вал себя на кружке полновластным хозяином си-туации и не мог дать волю эмоциям; с другой —служило к росту моей <славы>: родители ранееи не подозревали, что математикой можно зани-маться так интересно и разнообразно.

Транзитивность с невозможными условиями — 42 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Наташа, Дима и я ему помогали. НаДиму он злился, говоря, что у него неполучаетсяиз-за того, чтоДимамешает.Дима над ним издевался, говорил, чтоон нарочно помогал Пете, чтобы Петязакончил раньше Жени и Андрюши,что все уже погуляют, а Женя всё ещёбудет сидеть и т. п. Пришлось сделатьему довольно резкое замечание.А н д р юша, за которым я недогля-

дел, переставил свою башню очень бы-стро, быстрее, чем смог бы я сам. Я по-просил его повторить, но он, поняв, что,видимо, сделал что-то не так, категори-чески отказался, сказав, что он решилзадачу первым, и что второй раз онповторять не будет. Я сказал:—Я думаю, Андрюша, что ты на-

рушал правила.—Когда?! — нагло заявил Андрюша,

понимая, что я не смогу его уличить,так как ничего не видел.Но тут его выдала Люда. Андрюша

очень расстроился. Люда его утешала,стала показывать, как играть по прави-лам,новитогевсёсделаласама.Послето-го, как закончилПетя,Андрюшасказал:—А Пете очень много подсказыва-

ли, — явно забыв, что сам вообще несправился с задачей. Он тоже пыталсяиздеваться над Женей.Мой недостаток — я реагирую на та-

коеповедениетак, какбудтооноисходитот взрослых, а не от маленьких детей.Принцип <ругать поступок, а не ребён-ка> теоретически мне знаком, но прак-тика сильно отстаёт. Самое главное,что у меня самого портится настроение,и это отражается на общей атмосферегораздо сильнее, чем детские глупости.

Занятие 24. Немножко топологии

7 марта 1981 года (суббота). 1035—1110 (35 мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Вопросы на транзитив-ность с невозможными условиями.Д им е:—Жили были девочка Женя, маль-

чик Дима и папа. Женя была больше

Димы (<Ой!>), а Дима— больше папы.Как ты думаешь, кто больше: Женяили папа?(Смех.) Отвечает правильно:—Женябольше, ведь она самая боль-

шая. Она ведь больше Димы, а Димасам больше папы.Ж е н е:—Однажды червяк, велосипед и са-

молёт стали соревноваться, кто из нихумеет быстрее бегать. Оказалось, чточервяк бегает быстрее, чем велосипед,а велосипед быстрее, чем самолёт. Какты думаешь, кто быстрее: червяк илисамолёт?Женя отвечает правильно, но долго

не решается что-нибудь сказать (кача-етсявзад-вперёд, падаетнадиван, хихи-кает). Я его тороплю, Наташа тожевмешивается, но это не помогает. Ока-зывается, его смущало то, что самолётне бегает, а летает.П е т е:—Жилинасвете тримальчика:Дима,

Петя и Андрюша. Дима был старшеПети, а Петя старше Андрюши. Ктостарше: Дима или Андрюша?Петя отвечает и объясняет пра-

вильно.[З а м е ч а н и е. С некоторой натяж-

кой можно считать, что такие вопросыпредставляют собой пример познава-тельного конфликта по Яну Смедслун-ду. То есть, нужно выбрать одно из двухпротивоположных объяснений. Еслимуравей тяжелее собаки, а собака тяже-лее слона, то вывод о том, кто тяжелеевсех, можно сделать: (а) на основе жи-тейских соображений (очевидно, чтослон тяжелее, таккакон очень большой,а муравей маленький); (б) на основетранзитивности, т. е. исходя из усло-вий задачи. Может быть, потому юмори стимулирует развитие интеллекта, чтосоздаёт нечто вроде познавательногоконфликта. Впрочем, натяжка здесь до-вольно велика: ведь дети сразу понима-ют, что нужно говорить <всё наоборот>.]

Задание 2. Топологические законо-мерности (на основе классификации8 карточек на 4 и 4).

2. Кружок с мальчиками — первый год — 43 — Ханойская башня

Я напоминаю игру <четвёртый —лишний>. Объясняю, что сейчас будетне один лишний, а надо разделить кар-точки на две равные кучки (заодноспрашиваю, сколько будет 8 поделитьна 2).Наборытакие (противопоставления):(1) выпуклые — невыпуклые (это

не топологическое, а геометрическоесвойство), все фигуры гомеоморфныокружности;(2) одна фигурка — две фигурки;(3) всегда две фигурки, но 4 раза од-

на внутри другой, а 4 раза — снаружи;(4) 8 топологических окружностей,

четыре из них с торчащими <усами>;(5) 8 окружностей, из четырёх тор-

чат по 2 уса, из остальных четырёх —по 3 уса;(6) на каждой карточке — две по-

хожие по форме фигурки, одна вну-три другой, соединённые мостиками;мостиков либо два, либо три.Большие трудности вызвали зада-

чи 3 и 6, задача 5 оказалась среднейтрудности, остальные решались мгно-венно.Проблема другого рода: как только

карточки появлялись на столе, маль-чишки норовили сразу, ещё толком ни-чего не разглядев, утащить побольшекарточек себе. То и дело возникаликон-фликты, карточкимялись, я раздражал-ся, и, главное, ничего толком нельзябыло разглядеть. В конце концов при-шлось навести строгий порядок и вооб-ще запретить трогать карточки, пока неуказано решение и я его не одобрю.Лёгкие задачи (1, 2 и 4) решал, как

правило, Петя. Они с Димой были наи-более активны, ноПетя ориентировалсябыстрее. Жене уже ничего не достава-лось. Дима изобретал множество <объ-яснений>, но часто довольно вычур-ных, и не всегда помнил об условияхзадачи (например, вместо разбиения4+4 предлагал 2+6).Задачи 5 и 6, более трудные, после

всеобщего тупика решил Женя. Надосказать, что и задачи на <четвёртый —лишний> он решал тоже очень хорошо.

Мне большого труда стоило набратьсятерпения его выслушать (как тольковнимание обращено непосредственнок нему, он замолкает) и оградить егокарточки от Димы и Пети.Задачу6Димарешилиначе, чембыло

мной задумано: разделил все фигурына прямолинейные и криволинейные.Мне пришлось согласиться.После этогоон протестовал против дальнейшихпопыток решить задачу другим спосо-бом, так что у нас даже состоялся не-приятный разговор о том, что кружокне для него одного, а для всех.В задаче 3 мне пришлось самому под-

сказать решение. Я сказал, что все ихзакономерности, которые они предла-гали (особенно Дима), очень сложные,а я могу объяснить всё очень просто,сказав всего два слова. Одно слово ска-жет, что положить в одну кучку, а дру-гое — что в другую. И потом сказалэти слова: <внутри> и <снаружи>.

Задание 3. Ханойская башня (вто-рой раз).Дима закончил первым. Женя (при

моих примерно пяти подсказках) спра-вился вторым и очень этому радовался,прыгал на месте и дрыгал ногами. Петяснова делал всё подряд по подсказкамДимы (у него эта игра почему-то неидёт), только первые ходов 5—6 и по-следние два хода сделал сам.

Я пытался ему не дать, чтобы потом гово-рить, что всё сделал за него. — Дима.

Кроме перечисленных трёх заданийпланировалось ещё одно — на множе-ство и его подмножества, но не хватиловремени. Может, это и к лучшему, ато было бы сегодня слишком многозадач на карточках.

Занятие 25. Мальчик в лифте

14 марта 1981 года (суббота). 1040—1100 (20 мин.).Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Занятие длилось 20 минут, так какЖеня опоздал, а я торопился — мненадо было уйти не позже 1100.

Комбинаторика — 44 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Задание1.Одномумаленькомумаль-чику, который жил на 16 этаже, мамаразрешала самому ездить на лифте. Ноездил он как-то странно: когда ехалвниз, то доезжал с 16 до 1 этажа, а когдаехал вверх, то доезжал почему-то толь-ко до 8 этажа, а дальше шёл пешком.Чем вы можете это объяснить?—Это у него привычка такая бы-

ла, — сказал Андрюша.—Это он тренировался.И так далее.—А когда он немножко подрос, то

стал ездить до 10 этажа, а уже дальшешёл пешком.—Наверное, он стал более лени-

вый, — сказал Дима.—Но ведь в задаче не сказано, что

он был ленивый или не ленивый, и хо-тел он тренироваться или нет. Сказанотолько, что он был маленький.—Ну и что?Андрюша резюмирует:—Просто у него такая привычка

была, и всё.Я оставляю эту задачу на дом.[Я надеялся, что им, исходя из их

жизненного опыта, будет легко ре-шить эту задачу, но не тут-то было.]

Задание 2. На блюдце — фишки4 цветов, по 13 штук каждого цвета(одна большая и 12 маленьких). Я на-чинаю рассказ:—Жили были четыре армии — крас-

ная, синяя, зелёная и жёлтая. Вотэто — их полководцы (большие фиш-ки), а остальные — солдаты. Давайтепостроим армии!Мы строим каждую армию в ряд

вслед за полководцем. Ряды получи-лись неодинаковые по длине. Спонтан-но, без моей инициативы, возникаетдискуссия о том, где солдат больше.Андрюшанаходитсянаинтереснойпро-межуточной стадии: первоначально онсказал, что больше солдат в более длин-ном ряду (опираясь только на длину),но потом, когда я раздвинул короткийряд и сделал его более длинным, онпродолжал утверждать, что там, гдебыло больше, там и осталось больше.

Я, по свойственному мне отсутствиюгибкости, не дал дискуссии развернуть-ся, а пошёл дальше излагать задачу.Я продолжаю:—И вот эти армии всё время воева-

ли друг с другом, и в конце концов имэто надоело, и они решили заключитьмир и в честь этого устроить великийпир. Они расставили столы (я раскла-дываю квадратики из ватмана), и закаждый стол село четыре воина, по од-номукаждогоцвета.Но толькосадитьсяони должныбыли так, чтобы за каждымстолом они сидели по-другому — такоебыло правило: только тогда мир бу-дет прочным и они не будут большевоевать.Я сам рассаживаю полководцев, по-

том все сразу хватают себе фишки и на-чинают расставлять (хотя я задумалработу по очереди). После этого поисксовпадений происходит довольно сум-бурно. Первым находит совпадающиерасположения Петя. Когда обнаружи-вается совпадение, они тут же одну израсстановок меняют, не задумываясьо том, что может снова получитьсясовпадение с каким-то другим столи-ком. Иногда (не без помощи Наташи)происходит путаница в постановке за-дачи — а именно, отождествление рас-становок, полученных друг из другаповоротом.[З а м е ч а н и е: всего возможны

4!=24 расстановки, но это для детейслишком много. Я выбрал 12 фишекисключительно из тех соображений,что ребят будет либо трое, либо четве-ро, а фишек должно хватить на всехпоровну.]Д о п о л н е н и е. Во вторник Алла

предложила Диме доехать в лифте до16 этажа. Он не достал до кнопки,после чего сам вспомнил задачу и по-нял решение. То же с Андрюшей: емуи подсказка не потребовалась, так какон и без того живёт на 14 этаже.

На занятии мне не приходило в головупредставить себе, как мальчик входит в лифт,протягивает руку к кнопке и т. д. Тем более яне пытался представить себя на месте мальчи-ка. — Дима.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 45 — Подмножества

Занятие 26.Пересекающиеся классы

21 марта 1981 года (суббота). 1035—1100 (25 мин.)Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Классификация с пере-сечением.(1) Я предлагаю ребятам набор из

5 карточек (бабочка, ворона, самолёт,поезд, корабль) и прошу отобрать теиз предметов, которые умеют летать.Затем мы собираем карточки обратнов кучу, и я прошу отобрать средстватранспорта (то, на чём люди путеше-ствуют). Возникает спор о самолёте.Дима считает, что его надо оставитьс летающими предметами (чтобы раз-биение было на непересекающиесяклассы), Петя тащит к средствам тран-спорта. Женя подводит итог спору:—Он общий!Я хвалю Женю за найденное им

удачное слово и спрашиваю (без вся-кой надежды на успех), на какуюзадачу это похоже. Неожиданно Димаправильно отвечает:—На красные треугольники.Я приятно удивлён, хвалю Диму

и достаю верёвочки.Женя пытается по-ложить карточку с самолётом на двеверёвки (как когда-то пытался Дима),но Дима и Петя заявляют:—Не так! — и делают всё как надо.

Последующие наборы ребята раскла-дывают в верёвки сами, не дожидаясь,чтобы я объявлял классы, хотя я самдумал, что это потребуется.(2) Набор: яйцо, рыба, гриб, ёлка,

цветы. Справляются сразу:—Вот это всё едят, а вот это всё

растёт.Петя сразу кладёт гриб в сере-

динку.(3) Набор: голубь, сорока, страус,

жираф, ящерица. Произошёл казус:я по ошибке положил вместо картинкистрауса картинку журавля, да к томуже, оговорившись, назвал его аистом.Приходится картинку перевернутьрубашкой вверх и считать страусом.

Я публично признаюсь в ошибке. Алла,пользуясь случаем, рассказывает проптицу по имени коростель-дергач, ко-торая водится у нас и тоже не умеетлетать, но проходит пешком сотникилометров на зимовку.[Вообще-то определять классы через

отрицание (<н е умеет летать>) не сле-дует, но набор картинок ограничивает.В дальнейшем надо будет картинкизаказывать Алле.](4) Набор: маленькая девочка, две

маленькие девочки, маленький маль-чик, мужчина, старик. Задача вызы-вает неожиданные трудности: Димасразу кладёт в середину старика сословами:— Это хоть и дядя, но похож на

тётю.(На картинке изображён лысый ста-

рик с огромной бородой.) В итоге послемногих проб задачу решает Петя.

Задание 2. Ребята получают карточ-ки, на которых нарисованы некоторыемножества предметов (цветок, каран-даш, буква <А> и т. п., а также и понесколько предметов на одной кар-точке). Карточки кладутся на большойлист серой бумаги. Требуется показатьстрелками отношение <это моя часть>(т. е. подмножество). Среди карточекприсутствует также и пустое множе-ство.Главная трудность — дети безжало-

стно относятся к чистым, аккуратными красивым карточкам и всё норовятначать рисовать свою толстенную фло-мастерную стрелку прямо с карточки.Несколько карточек, несмотря на всемеры предосторожности и многократ-ные предупреждения, оказались из-мазанными.Дима первым догадался провести

стрелку от одного из множеств к пус-тому, но никак не мог догадаться про-вести такие же стрелки от остальныхмножеств.Вообще, хотя ребята с заданием

вполне справились, у меня почему-тоосталось ощущение, что они не оченьпонимали, что делали.

Классификация с пересечением — 46 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 27.Четырёхугольники на мозаике

4 апреля 1981 года (суббота). 1035—1110 (35 мин.).Дима, Женя, Петя, Андрюша.

По-моему, Андрюше наши занятияизрядно поднадоели. Ему нужно сорев-новаться и побеждать, а у нас для это-го оченьмало возможностей. Заставлятьего глупо, но просто взять и больше егоне приглашать тоже нельзя. Вопросв том, как сделать это тактично. Однанадежда—чтоЛюдапонимает этипроб-лемы лучше многих других*. По край-ней мере, сегодня Андрюша в большоймере испортил нам занятие.

Задание1.Перед занятиемдетиоченьрасшумелись, и, чтобы их успокоить,я предложил им досчитать до десятии обратно очень тихим шёпотом. Но до-пустил ошибку, сказав, что самымболь-шиммолодцомбудет тот, кто будет гово-рить тише всех. В результате послеокончания счёта вместо ожидаемой ти-шины и сосредоточенности возникласклока о том, кто говорил тише.

Задание 2. Оно снова было на клас-сификацию с пересечением. Посколь-ку ребята уже были с ним знакомы, ясразу положил на стол два пересека-ющихся верёвочных кольца и началпреамбулу:—Помните,мыужерешалисвамиза-

дачи про общие элементы: с краснымитреугольничками,потом с карточками...Но закончить мне не удалось: Ан-

дрюша, не дослушав, заявил:—А, нет, я не хочу делать то, что

уже было, мне неинтересно.Я ответил:—Если неинтересно, можешь не

делать, просто посиди посмотри.Тут Петя заявил:—Мне тоже неинтересно.(Аведь всегонеделюназад он говорил

Кате**, что математика ему нравится

* Люда, Андрюшина мама — преподавательмузыки.** Катя — мама Пети.

больше рисования и больше англий-ского. И аргумент привёл неожидан-ный: потому что на рисовании и на анг-лийском мы играем, а на математикезанимаемся серьёзным делом. У любвикак у пташки крылья...) Не придумавничего иного, я и ему сказал то же,что Андрюше. Немного подумав,и Дима — моя надежда и опора —сказал:—Мне вообще-то тоже неинтерес-

но, но я всё-таки буду решать.Я не стал дожидаться мнения Жени

и сказал:—Ну, хорошо, для Димы и Жени

вот набор карточек..., — но тут Андрю-ша увидел, что картинки на карточкахсовсем другие, т. е. и задание не то,что было, и закричал:—А-а! Тогда я буду, буду!—и попы-

тался сразу схватить себе все карточки,а следом за ним и Петя закричал:—Я тоже буду!Но настроение у меня уже испор-

тилось, я был раздражён, тем более,что Андрюша не давал другим кар-точки, дрался с Женей и беспрерывноглупо и не к месту шутил, отвлекаявсех от работы.Мы успели рассмотреть три набора

карточек (из подготовленных одинна-дцати!):(1) мяч, автомобильная шина, ре-

зиновые сапоги, пальто, шапка (трипредмета из резины, три предмета

Рис. 17. Правда ли, что у этой фигурки всегодва угла?

2. Кружок с мальчиками — первый год — 47 — Задачи на мозаике

одежды; общий элемент — резиновыесапоги);(2) мяч, автомобильная шина, рези-

новые сапоги, погремушка, клоун (трипредмета из резины, три игрушки;общий элемент — мяч);(3) мяч, автомобильная шина, рези-

новые сапоги, руль, кузов (три пред-мета из резины, три части автомобиля;общий элемент — шина).В целом ребята решали задачи хуже,

чем в первый раз. У Димы всё тот жедефект: он не умеет оставаться в рам-ках задачи, и его повышенная креатив-ность лишена дисциплины. Так, в дан-ном случае он упорно настаивал на том,что шина — это тоже <одежда>, так какеё можно надеть на пояс. Мы его долгопереубеждали, после чего он заявил:—Всё равно это одежда, потому что

её одевают на автомобиль.Первую задачу ребята не сделали,

и мне пришлось показать её решениесамому. В остальных двух задачахокончательный расклад карточек при-надлежал Диме, но Женя и Петя обараза ещё раньше говорили правильноерешение устно.

Задание 3. Задачи на мозаике.Д и м е: сложить треугольник

(справился);А н д р ю ш е: сложить квадрат

(справился);Ж е н е: сложить прямоугольник

(справился);

Рис. 18. Несколько неожиданный <четырёх-угольник>.

П е т е (говорю, что это задание —самое трудное): сложить четырёхуголь-ник, но не прямоугольник. Петя скла-дывает шестиугольник; предлагаю со-считать углы; Дима сразу заявляет, чтоуглов — два, и показывает их (те, чтовыделены на рис. 17).Женя кричит:—Неправильно!—начинаетсампра-

вильно считать углы, но Дима, понявсвою ошибку и поняв, какие углы сле-дует считать, отталкивает Женю и самдосчитывает до шести.Диме переходит то же задание, что

было Пете, он снова выдаёт нечто весь-ма неожиданное (рис. 18). Он говорит:— Это четырёхугольник, потому что

унегочетыре угла,—ипоказывает углы(на рис. 18 выделены). Я его хвалю,говорю, что решение очень интересное,но что всё же нам нужна замкнутаяфигура.А н д р ю ш е — то же задание; он

строит неправильной формы шести-угольник.Ж е н е — то же задание; Женя, на-

конец, находит правильное решениеи строит параллелограмм с углом 45◦

(рис. 19).На этом занятие кончается, но Петя

не хочет уходить и требует, чтобы я вы-полнил его задание: он построит фигур-ку, а я должен построить такую же,повёрнутую на 90◦. Я выполняю его за-дание, и он уходит удовлетворённый.

Рис. 19. Параллелограмм с углом 45◦.

И опять пересечения — 48 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 28.Начинаем теорию вероятностей

11апреля1981года(суббота).1040—1115 (35мин.).Дима, Женя, Андрюша.

Задание 1. Продолжение класси-фикации с пересечением. Я сновакладу две верёвочки и говорю:—Смотрите, какие вам Алла новые

картинки нарисовала, — с некоторымнажимом на слово <новые>.Не я один сменил тон: Андрюша, ви-

димо, обработанныйдомаЛюдой,наэтотраз гораздо более мягко спрашивает:—А почему мы всё время одинако-

вые задачи решаем?Я ему безжалостно отвечаю:—А ты что — в прошлый раз все

задачи легко решил?Андрюша закусывает губу и молчит,

на меня не смотрит. Я добавляю:—Мы так делаем просто для того,

чтобы научиться хорошо решать такиезадачи.Я договариваюсь с ребятами, что на

этот раз будет строгий порядок и всебудут решать задачи по очереди. Покаодин свою задачу не доделает, осталь-ные ему не мешают. Мне бы с самогоначала усвоить кондовый школьныйпринцип: прежде всего — дисциплина!Всё шло бы гораздо глаже.(1) З а д а н и е Д и м е: карандаш,

ручка, пишущая машинка, швейнаямашинка, пылесос (3 инструмента дляписьма, 3 домашних машины; общийэлемент — пишущая машинка). Димаговорит:— Это то, чем пишут, — но в пе-

ресечение почему-то кладёт швейнуюмашинку. Я спрашиваю:—Разве этим пишут?—Да.—А что это?—Швейная машинка. А-а! Ею не

пишут, а строчат!ТутЖеня исправляет Диму, но Дима

из чувства противоречия делает что-тоуж совсем несусветное. После долгогообсуждения мы совместно восстанавли-

ваем правильное решение. Ребята ни-какнемогут сформулировать,что обще-го у <домашнихмашин>.Яимпомогаю,и мы обсуждаем, что можно было быещё положить в этот класс (мясорубку,стиральнуюмашину, холодильник, . . .)и во второй (мел, кисточку, . . . ).(2) З а д а н и е А н д р ю ш е: пе-

сочные часы, ручные часы, будильник,кольцо, бусы (3 часов, 3 предмета, кото-рые человекнадевает; общий элемент—ручные часы). Андрюша правильноназывает классы:— Это часы, а это надевают, — но

в пересечение почему-то кладёт бу-дильник.Мы обсуждаем его решение, я спра-

шиваю, надевают ли будильник. Женяснова вносит правильное исправле-ние. Тут вмешивается Дима, начинаетвсё перекладывать и примерно с тре-тьей или четвёртой попытки приходитк правильному решению. На этот разЖеня из чувства противоречия заявля-ет, что эторешение(его собственное!)—неправильное, и опять всё перепуты-вает. Я восстанавливаю правильноерешение, объясняю его. Неожиданновмешивается Алла, которая придумаладругое решение — <часы> и <круглыепредметы> (в пересечении — будиль-ник). Вообще демонстрация того факта,что возможны разные решения— делополезное, но в данном случае именнотакое разбиение (на <часы> и <круглыепредметы>) было предусмотрено в сле-дующей задаче, так что эта вылазкаАллы фактически явилась подсказкой.(3) З а д а н и е Ж е н е: песочные

часы, ручныечасы, будильник, тарелка,барабан (3 часов, 3 <круглых пред-мета>; общий элемент — будильник).Женя сразу назвал правильныеклассы,но никак не решался положить карточ-ки среди верёвок. А когда положил, тов середине оказались песочные часы.Он, однако, объяснил, что они круглые,если смотреть сверху. Мне пришлосьсогласиться, и я убедил Женю, что бу-дильник надо тоже положить в пересе-чение. После этого мы ещё обсудили,

2. Кружок с мальчиками — первый год — 49 — Ученики разбежались

что было бы, если бы ручные часытоже были круглыми (множество часовбыло бы подмножеством множествакруглых предметов).

Задание 2. Подступы к теории ве-роятностей. В непрозрачную сумку-мешок я кладу два жёлтых и два чёр-ных кубика. Говорю, что это тёмныйчулан, в котором лежит пара жёлтыхи пара чёрных ботинок. Чтобы пойтив гости, надо достать обязательно пару(нельзя надеть разноцветные ботинки).Но из-за того, что чулан тёмный, при-ходится доставать ботинки наугад, одинза другим.Ребята по очереди тащат кубики из

мешка и запоминают, сколько куби-ков пришлось вытащить до полученияпары. [Лучше было бы раздавать пла-шечки с цифрами из математическогонабора первоклассника.]Мы обсуждаем, при каком количест-

ве вытащенных кубиков получить од-ноцветную пару (а) нельзя; (б) можно,но не обязательно; (в) обязательнополучится пара.Затем то же самое задание повторяет-

ся с шестью кубиками (тремя парами).Во время моих объяснений Андрюшавсё время отвлекался и явно скучал;Люда (впервые за всё время) делалаему замечания — видимо, с целью<подготовки к школе>.После кружкапроизошласледующая

сценка. Женя (маленькая) носила ку-бики ко мне в кабинет и ставила на пол,а я переставлял их себе на стол. В тотмомент, когда на столе было 6 куби-ков, а на полу — 3, Дима сказал:—А-а, там осталось всего трикубика!Оказывается, он во время кружка

умудрился сосчитать, что кубиков все-го 12 (я столько заготовил на всякийслучай), а сейчас устно решил задачу

12−(6+3)=3.

Характерно, что я с ним арифмети-кой совершенно не занимаюсь, толькоиногда отвечаю на его вопросы. Онпостигает её самостоятельно. Черезмесяц ему будет 5 лет.

Занятие 29. Полный провал

18 апреля 1981 года (суббота). 1030—1045 (15мин.)Дима, Петя, Женя, Андрюша.

Классификация с пересечением —окончание. Использованы наборы:(1) окно, стакан, очки, кольцо, ре-

мень (три стеклянных предмета, трипредмета, надеваемых человеком; об-щийэлемент—очки) [ср. с вопросом4];(2) рояль, скрипка, барабан, та-

релка, будильник (три музыкальныхинструмента, три круглых предмета;общий элемент — барабан) [ср. с во-просами 3 и 5];(3) рояль, скрипка, барабан, диван,

шкаф (три музыкальных инструмента,три предмета мебели; общий элемент —рояль);(4) окно, стакан, очки, чашка, круж-

ка (три предмета из стекла, три предмета, из которых пьют; общий элемент —стакан);(5) будильник, тарелка, барабан,

ложка, чайник (три круглых предмета,три вида посуды; общий элемент —тарелка).Все задачи дети решили правильно.

В пятой задаче они предложили дру-гой вариант решения: поскольку чай-ник тоже круглый (если смотреть нанего сверху), то в пересечении будутдва предмета: тарелка и чайник.После того, как с классификацией

было покончено, я совсем было собрал-ся перейти к следующему заданию.В этот момент Андрюша спросил:— А когда математика кончится?Я ответил, что она уже кончилась для

тех, кому неинтересно, и что он можетидти играть, если хочет, поскольку яникого не заставляю, и т. д. Но сказаля всё это не очень внятно и, честноговоря, несколько упавшим голосом.Наступило минутное замешательство,в течение которого я доставал мешоки цветные кубики, и тут Андрюшарешился и сказал:—Нет, я всё-таки пойду поиг-

раю, — и убежал в детскую комнату,

Ученики разбежались — 50 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

где в это время были Женечка, Саняи Андрюшина двоюродная сестра, тожеСаня, трёх лет (так ему всё это надо-ело, что он предпочёл общество трёхмаленьких девочек). Следом за ним, нислова не говоря, убежал Петя. Послеэтого Женя неуверенно пробормотал:—Я вообще-то уже всё решил, —

и тоже убежал. Только Дима хотел за-ниматься ещё (отчасти это может бытьсвязано с нашей беседой с ним в пре-дыдущий день о его поведении на ан-глийском и о том, как важно самомухотеть заниматься). Он даже чуть незаплакал, когда я сказал:—Потом.Чуть не плакал я не от того, что теперь

не будет урока, а от жалости к папе (он былтакой грустный!) и от того, что я его утешал,а он не обращал внимания. — Дима.

Но нам уже было не до него: мырешали <педагогические проблемы>.Причёмпроблемыэти касалисьне толь-ко детей, но и меня самого. Алла пре-красно знала, сколько души я вклады-ваю в эти занятия, и ей потребовалосьнемало такта, чтобы как-то меня уте-шить. Я же сам не знал, в какую край-ность броситься: то ли забросить всёк чёртовойматери, то ли... что?Никакойдругой идеи в голову, увы, не приходи-ло. В неудобном положении оказаласьтакжеиЛюда: с одной стороны, ей хоте-лось как-то защитить Андрюшу от на-шего гнева, с другой—инас не обидеть.В итоге, после многочисленных об-

щих и сепаратных обсуждений былиприняты следующие решения:1) А н д р ю ш у б о л ь ш е н е

п р и г л аш а т ь*. Назавтра я погово-рил с Людой в том плане, что не вижусмысла заставлять его делать то, что емуне нравится, что он ещё в школе успеетнатерпеться, а покапусть последниеме-сяцы подышит спокойно, и что в концеконцов он пропустит 3—4 занятия, так

* Образ Андрюши, который предстаёт из этихзаметок, совершенно не соответствует действитель-ности.Всё из-за того, что пропущеныпервые20 за-нятий, на которых он был таким же полноценными активным участником, как и остальные.

чтопотеряневелика.Посуществу, в этихсловах нет никакого лицемерия. Ровнотак оно всё и есть: и то, что не следуетзаставлять, и то, что ещё вшколе натер-пится. К тому же он в сентябре ужеидёт в школу, а наш кружок— для до-школьников*. Жаль только, что всё этопришлось говорить не д о всей этойистории, а после, и это придавало нор-мальным словам нежелательный отте-нок. К тому же и моё состояние духане совсем предрасполагало к перегово-рам: всем было видно, что я обижен.2) Р е б я т н и в к о е м с л у ч а е

н е р у г а т ь.3) С д е л а т ь п е р е р ы в. Отчасти

в надежде на то, что они сами спросят,когда же будет математика (раньше та-коеиногдабывало—дажесАндрюшей).Я некоторое время упирался, говорил:—Пока сами не попросят, зани-

маться не буду.Трудно придумать что-нибудь более

глупое. Ребёнок живёт данным момен-том, а не думает о том, что <должно про-изойти в субботу в 11 часов>. Если жев субботу ничего не произойдёт, он ско-рее всего просто ничего не заметит.Перерыв продлился три недели.4) С д е л а т ь с л е д у ю щ е е з а-

н я т и е р е з к о н е п о х о ж и м н ав с е п р е д ы д у щ и е (совет РитыМарковны**).

Мне бы как раз больше понравилось, еслибы оно было такое же, как всегда. Я не помню,скучал ли я по кружку, но если скучал, топо тому, что было раньше, а не по чему-тоновому. По крайней мере, я был неприятноудивлён, когда мы сели не на обычном месте,а в коридоре. — Дима.

Глядяиз сегодняшнего далека, можнотолько удивляться, до чего же гипер-трофированной была моя реакция.Я оказался в роли революционера,мечтавшего осчастливить человечество.А человечество, вместо того, чтобы

* Через год пошли в школу Петя и Женя,но мы всё же продолжали заниматься, пока ещёчерез год в школу не отправился Дима.** Имеется в виду Р. М. Фрумкина. Мы часто

советовались с ней по самым разным поводам,и этот случай был одним из них.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 51 — Переливание воды

с распростёртыми объятиями броситьсямне навстречу, продолжало предавать-ся своим порокам. И вот я уже готоврубить головы...

Занятие 30. Переливание воды

9 мая 1981 года (суббота). 1010—1040 (30 мин.)Дима, Петя, Женя.

Опыты с переливанием воды (сохра-нение количества вещества). Занима-лись в коридоре — с одной стороны,чтобы не испортить ковёр, но такжеи для создания <новизны обстановки>.О б о р у д о в а н и е. Две кастрюли:

в одной вода, подкрашенная заваркойчая, в другой вода, подкрашенная чер-нилами; две кружечки для наливания;две пустых молочных бутылки; дваузких стакана; один широкий стакан;четыре фужера. Я договариваюсь с ре-бятами, чтобы они постарались ничегоне разбить.

Вопрос первый. Я наливаю в бутыл-кипоровну синейижёлтой воды; ребятаубеждаются, что поровну; после этого яразливаю жёлтую воду в два фужераи спрашиваю, какой теперь воды боль-ше: жёлтой или синей? Вопреки всеммоим ожиданиям Дима неожиданнодаёт правильный ответ (<снова поров-ну>), и даже правильно всё объясняет:—Потому что та же самая вода, её

только перелили. Ничего не добавля-ли и не убавляли.Я пытаюсь не сдаваться: разливаю

жёлтую воду по трём, потом по четырёмфужерам (у Пиаже были такие испы-туемые, которыеменяли своюточку зре-ния, когда количество сосудов увели-чивалось). Но Дима стоит на своём:воды столько же. Я с надеждой обра-щаюсь к Пете:—А ты, Петя, как думаешь?Но Петя, увы, думает так же, и Же-

ня тоже.Яобескураженисмущён.Во-первых,

вся моя программа построения позна-вательного конфликта по Смедслундууже не нужна, так как дети и без меня

всё освоили. Во-вторых, занятие, накоторое возлагалось столько надежд,находится под угрозой: не прошло ещёи пяти минут от начала, а я уже едва лине исчерпал всё, что задумал. С трепе-том в душе я приступаю к следующемувопросу: если и сейчас ответят пра-вильно, то это снова провал занятия,и что мне тогда делать?

Вопрос второй. Я наливаю в широ-кий стакан немного жидкости и пред-лагаюналить в узкий стакан столькоже.Петя наливает воду до того же уровня(рис. 20).У меня немного отлегло от сердца.

Я спрашиваю, что будет, если водуиз широкого стакана перелить в дру-гой узкий стакан (пустой). Станет еёбольше или меньше? Ответ:— Столько же.— Значит, в двух узких стаканах

будет поровну?—Да.Япереливаюводу.Ребята очень удив-

ляются, что в одном из стаканов ока-залось больше, но довольно быстродогадываются, что дело в ширинестакана. Следует длинное обсуждениетого, как влияет ширина и высота наколичество жидкости.После этого мы ещё некоторое время

занимаемся разными переливаниями.Дети понимают, что если нужно на-лить одинаковое количество жидкостив разные сосуды, то нужно сначаланалить в одинаковые сосуды, а потом изодного из них воду перелить. Кроме

Рис. 20. Дети думают, что в этих стаканаходинаковое количество воды.

Переливание воды — 52 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Рис. 21. А вот здесь воды и в самом делепоровну — это случайно так получилось.

того, переливание в одинаковые сосу-ды используется для проверки того,где воды больше.Некоторую путаницу вносит то, что

когда мы наливаем (правильно) поров-ну в узкийстаканифужер,уровниводыоказываются одинаковыми, несмотряна разницу в ширине (рис. 21).Потом, когда мы наливаем поровну

воды в бутылку и в фужер и дляпроверки хотим перелить воду либоиз бутылки в такой же фужер, либоиз фужера в такую же бутылку, Женяпредлагает сравнитьуровень воды, при-подняв дно бутылки на высоту дна фу-жера (рис. 22). При этом он правильнообъясняет свои действия тем, чтошири-на у фужера и у бутылки одинаковая.

Рис. 22. Чтобы проверить, одинаковое ли ко-личество воды в бутылке и в фужере, припод-нимем бутылку так, чтобы её дно оказалосьна одном уровне с дном фужера.

Это наталкивает меня на следующийимпровизированный вопрос. Я ставлюузкий стакан на перевёрнутую вверхдном кружку (рис. 23). При этом дностакана и дно фужера оказываютсяна одной высоте. Я прошу налить водыпоровну в стакан и в фужер. НаливаетЖеня — и допускает ту же ошибку,что иПетя вначале.Но стоило мне толь-ко снять стакан с кружки, и он сразудогадывается, что допустил ошибку,и исправляет её.

Последний вопрос не связан с сохра-нением количества вещества, но связанс бутылками и водой.Каждый из ребят получает листок с

изображением двух бутылок. Одна изних стоит вертикально, а другая на-клонена. В вертикальной — уровеньводы обозначен (рис. 24), нужно на-рисовать уровень воды в наклонён-ной бутылке.Петя сразу сделал правильный ри-

сунок. Женя подсмотрел у Пети и тожесделал правильный рисунок (в данномслучае тот факт, что он подсмотрел, неимеет большого значения; раз он нари-совал правильно, значит, согласноПиа-же, у него уже сформировалась соответ-ствующая структура). Дима рисует не-правильно — уровень параллелен дну.

Рис. 23. Опять та же ошибка: воды здесьякобы поровну. Впрочем, на этот раз онабыстро исправлена.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 53 — Переливание воды

Я пытался не представить себе воду в бутылке,а угадать ответ. При этом, по-моему, мне былотрудно сопоставить горизонтальный рисуноки вертикальную бутылку. — Дима.

Мы наливаем в бутылку воду и, на-клоняя бутылку, показываем ему уро-вень. Дима делает попытку исправитьрисунок, но на этот раз изображаетуровень вертикальным, а потом дажекривым (рис. 25).(Помню, не так давно я вычерпывал

воду из ванночки ковшиком, и Димаспрашивал, почему так получается, чтоя всё время черпаю с одного края ван-ночки, но яма на этом месте не образу-ется, а вода всё равно остаётся ровной.)

Если бы меня спросили, получится ли так яма,я бы, наверное, ответил, что нет. Но я не понимал,зачем ещё можно вычерпывать воду, если незатем, чтобы получилась яма. А уж если самПапа копает, то всё должно получиться. Папея верил больше, чем своему опыту. — Дима.

Я ничего не объясняю, и занятие наэтом кончается. Напоследок рассказы-ваю историю про Крошку Ру, которыйочень не любил рыбийжир, а мамеКен-ге надо было обязательно его уговорить,потомучтодокторвелел выпивать в деньпо стакану(при этомяпоказална узкийстакан). И тогда мамаКенга стала пере-ливать рыбий жир из узкого стаканав широкий. Крошка Ру д у м а л, чтопосле переливаниярыбьегожира стано-вится меньше (его ведь теперь полста-кана, и уровень ниже) и соглашалсяего выпить. Вот так и вылечился.

Рис. 25. Попытки нарисовать уровень воды в наклонённой бутылке.

Рис. 24. Нарисовать уровень воды в на-клонённой бутылке.

По моим, пока незначительным, наб-людениям дети-интраверты проявляютбольшесклонностиклогическомумыш-лению, а экстраверты имеют большиеуспехи в геометрии.К интравертамя от-ношу Диму и Женю, а к экстравертам,соответственно, Петю и Андрюшу (хо-тя никаких тестов на эту тему я непроводил, это всё — внешние впечат-ления).Характерно, что Дима до сих пор

часто проливает жидкости из сосудов(чай из чашки, воду из банки для ри-сования и т. п.), так как недостаточноследит за их горизонтальностью. Мы нанего сердимся за неуклюжесть и не-внимательность, а причина, возможно,в математике.

Снова вероятность — 54 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Занятие 31.Снова теория вероятностей

16 мая 1981 года (суббота). 1035—1100 (25 мин.).Дима, Петя, Женя.

Теориявероятностей—продолжение.Задание 1. Я:—Дима и Женя, наверное, сразу

вспомнят игру, в которую мы играли,а Пети тогда не было, поэтому я рас-скажу всё c начала.Ярассказываюпро человека, ищуще-

го пару ботинок, и про тёмный чулан.Кладу в мешок четыре пары кубиков—два жёлтых, два красных, два синихи два чёрных. Мы по очереди вытаски-ваем кубики до тех пор, пока не обра-зуется одноцветная пара. Каждыйберётсебе плашечку с цифрой, показыва-ющей, сколько ботинок ему для этогопришлось вытащить.Я тоже участвую в игре. При этом

мне достались четыре кубика всех че-тырёх цветов. Я обсуждаю с ребятамитот факт, что какой бы кубик ни ока-зался пятым, всё равно обязательнобудет готовая пара.Петя продемонстрировал, что такое

везение: единственный раз за оба за-нятия вытащил сразу два одноцвет-ных кубика.

Задание 2. Та же история про трёх-ногого человека. Мы кладём в мешоктри жёлтых, три красных и три синихботинка; цель та же — вытащить всле-пую полный комплект обуви, три одно-цветных ботинка. (Наташа пытаетсямне <помогать> и подсказывает, что

1 2 3 4 5 6 7 8 9

Рис. 26. Градусник, измеряющий надежду вытащить три одноцветных кубика.

это не ботинки, а варежки и шапка, ноя настаиваю на своём варианте.)Когда тащу я, у меня снова оказы-

вается максимальный вариант: 6 ку-биков, причём трижды по два цвета.Я снова пользуюсь возможностью и об-суждаю с ребятами тот факт, что какойбы кубик я сейчас ни вытащил (седь-мым по счёту), у меня обязательнообразуется полный комплект.

Задание 3. После того, как каждыйвытащил кубики по одному разу, я уби-раю мешок и раскладываю все кубикина столе.Последовательно для трёх, четырёх,

пяти и шести кубиков мы показываем,как м о ж е т п о л у ч и т ь с я комп-лект и как м ож е т н е п о л у ч и т ь-с я комплект.Потом я предлагаю сделать то же са-

мое для семи кубиков. После несколь-ких проб дети заявляют, что при семивытаскиваниях хотя бы один комплектполучится обязательно. Я дополняюих опыт чем-то вроде доказательства.

Задание 4. Параллельно с обсужде-нием п. 3 я вытаскиваю сначала синююбумажку — на неё мы кладём плашеч-ки с цифрами 0, 1, 2 (<невозможно по-лучить комплект>). Затем появляетсязелёная бумажка, и на неё мы кладёмцифры 3, 4, 5, 6 (<возможно, но необязательно> получается комплект).Наконец, цифры 7, 8, 9 (<обязательно>получается комплект) мы кладём накрасную бумажку. (Интересно отме-тить, что упомянутые синестезии не-возможности с синим цветом, обяза-тельности с красным, а возможности

2. Кружок с мальчиками — первый год — 55 — Дипломы

с зелёным мы с Аллой предложили не-зависимо друг от друга, что говоритв пользу того, что они выбраны в ка-ком-то смысле правильно. Что-то вроде<холодно>, <тепло>, <горячо>.)

Задание 5. Я рассказываю о том, чтоградусник измеряет температуру (<теп-ло или холодно>), а я придумал другой,сказочный градусник, который измеря-ет <надежду на успех>. Показываю ри-сунки, на которых нарисованы: градус-ник с нулевой высотой столбажидкости(<невозможно>), с максимальнойвысо-той (<обязательно>), а также три гра-дусника, показывающие ту или инуюстепеньнадежды.Мыобсуждаем,какойиз этих градусниковпоказывает большенадежды, а какой меньше. А теперьпосмотрим, что покажет наш градус-ник в задаче про трёхногого человека.Ядостаюлист (перфокарту), накоторомнарисованы 9 градусников, и под каж-дым — цифра (от 1 до 9) и предлагаюна каждом градуснике показать каран-дашом уровень надежды на то, что мывытащили три одноцветных ботинка.Однако мы сДимой должны были ехатькзубномуврачу,ияужеспешил,поэтомудля цифр 1, 2 (вероятность равна нулю)и7, 8, 9 (вероятностьравнаединице)по-казалвсё сам(истолбжидкостифломас-тером тожерисовал сам), а ребятамоста-вил только цифры 3, 4, 5, 6. Они совер-шенно правильнопоказали уровень на-дежды повышающимся от цифры к ци-фре, и мы этот факт обсудили (рис. 26).[Надо было ещё показать настоящий

градусник и объяснить его устройство,так как нет уверенности, что они хо-рошо знают, как с ним обращаться.]На этом занятие закончилось, я вско-

чил, и мы с Аллой побежали одеватьДимку.

Занятие 32. Дипломы

23 мая 1981 года (суббота). 1040—1115 (35 мин.).Дима, Петя, Женя.

Заключительное занятие. Я говорюребятам, что сегодня у нас последнее

занятие в этом учебном году, и то зада-ние, которое они сегодня получат, онидолжны постараться сделать очень ак-куратно.

Задание 1. На отдельном листе бу-маги я напоминаю ребятам обозначе-ние операции сложения (+), а такжезнак равенства (=). Мы записываемнесколько примеров на сложение.

Задание 2. Задание, аналогичноетому, что даётся в болгарском букваре.Каждыйполучает листокплотной бума-ги (в уголке написаныфамилияи имя).Листок разграфлён отрезками прямыхлиний на множество клеточек непра-вильнойформы(немногимболее20кле-ток). Внутри каждой клетки написаназадача на сложение, например, 3+2=(все примеры даны в пределах 7, т. е.7—наибольшаяизполучающихсясумм).Ребята должны выполнить все эти сло-жения и карандашом записать ответ.Я проверяю результаты, исправляю

ошибки (мы их стираем, и сложениевыполняется заново), показываю про-пущенные клеточки.Дима пишет цифры 3 и 4 зеркаль-

ным образом: , .Приходится написать на листе бу-

маги крупно все цифры и положитьперед ним на стол.Первым справился Петя, не сделав

ни одной ошибки (хотя и пропустивпару клеточек). Вторым кончил Ди-ма, сделав одну ошибку, которую самобнаружил. Неожиданные трудностиу него вызвал пример 0+2, он долгоколебался и думал, не получится лив результате 0. Женя работал медлен-нее других, но тоже допустил всегоодну ошибку. Примеры 2+5 и 3+4вызвали у него затруднение; я принёсему счётные палочки, и он справился.Мальчики, уже закончившие, мешалиему, отвлекая и подсказывая.В процессе работы Виталий* нас

всех фотографировал.Задание 3. Следующее задание —

найти все клеточки с суммой 7 и закра-

* Виталий — папа Пети.

Дополнительные задачи — 56 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

сить их красным фломастером. Я ещёраз призываю всех к аккуратности;советую сначала поставить в нужныхклеточках красные точечки, потом мывместе проверяем (каждый потерял понескольку клеточек, я их показываю),затем начинается закрашивание. Полу-чаетсябольшаякрасиваякраснаяпятёр-ка. Но, даже закончив работу, ребятазамечают это только после моего вопро-са, когда я карточку показал издали.Дима очень удивился, как это так по-лучилось.

Дипломы. Я демонстрирую мальчи-кам свой диплом об окончании универ-ситета, объясняю, что такое диплом,что он означает, что на нём пишется.Показываю вкладыш, в котором стоятоценки. Я объясняю также, что такое<оценка за год>. После этого начинает-ся торжественное вручение дипломов.Диплом сделан на типографском блан-ке <Диплома наставника молодёжи>.Мы обрезали поля (в том числе лозунг<Пролетарии всех стран, соединяй-тесь!>), на место серпа и молота накле-или картинку, нарисованную разно-цветнымифломастерами(трипересека-ющихся множества и ещё изогнутыйлист бумаги, на которомнарисован графс цветными стрелками), слово <Дип-лом> оставили, а слова <наставникамолодёжи> заклеили словами <мате-матического кружка>. Далее следовалтакой текст:

Этот диплом дан Диме Звонкинуза то, что он целый годзанимался математикойи стал очень умным.

23 мая 1981 г.

(У остальных текст, естественно,такой же.)Я объясняю, что та пятёрка, которую

они нарисовали, — это их пятёрка загод, и что этот листок является вкла-дышем в их диплом. Дима спраши-вает:—А почему мы все получили

пятёрки?

Я отвечаю:—Потому что все очень хорошо

занимались весь год. А кроме того, ясчитаю, что вы её сегодня вполне за-работали: ведь если бы вы сосчиталичто-нибудь неправильно и закрасилибы совсем не те клеточки, то и пятёркиу вас не получилось бы.Последнее соображение вызывает

оживлённое обсуждение: они толькосейчас поняли, что результат зависел отих правильной работы. Потом все поочереди читают, что написано у нихв дипломе. Кажется, они всерьёз по-верили, что стали умными.Я всех поздравляю с окончанием за-

нятия и учебного года. Катя фотогра-фирует каждого с дипломом в руках.После этого они долго сидят и хва-стаются друг перед другом:—А у меня пятёрка!—А у меня тоже пятёрка!—А у меня тоже пятёрка!—А я умный!—А я тоже умный!—А у меня пятёрка!И т. д., пока Дима не заявляет:—Нам нечем хвастаться, потому

что у нас всех одно и то же.

Несколько дополнительных задач

В этом разделе я очень бегло и безвсяких комментариев даю список за-дач из первых двадцати занятий, ко-торые удалось вспомнить (и которыене упоминаются в других местах).

О п р е д е л е н и е к о л и ч е с т в ап р е д м е т о в б е з с ч ё т а.

1. Делается лесенка из кубиков(рис. 27). На каждую ступеньку кла-дётся цифра (по очереди). После этогодля последних столбиков проверяется,соответствует ли количество кубиковв них лежащей сверху цифре.

2. Делается ещё один столбик изкубиков. Для определения количествакубиков в нём его прикладывают к ле-сенке.

2. Кружок с мальчиками — первый год — 57 — Дополнительные задачи

3. Один мальчик берёт два раза потри кубика, а другой — три разапо два. У кого больше? Обсуждаетсявопрос, почему одинаково.

4. Аналогично № 1: кладётся рядиз кубиков, на нём сверху цифры.Количество кубиков в других рядахопределяется прикладыванием.

5. Отправление писем, когда нехватает конвертов (попытаться разло-жить их по другим конвертам).

К о м б и н а т о р и к а.1. Разложить треугольник, кружок

и квадрат в разных последовательно-стях.

2. То же, но с тремя цветами.3. То же с четырьмя предметами

(два квадрата и два кружка).

К л а с с иф и к а ц и я.1. Дана таблица 4×4. Слева на-

рисованы фигуры, которые помечаютеё строки: квадрат, круг, треугольники полукруг. Сверху изображены цвета,помечающие столбцы: красный, синий,жёлтый, зелёный. Требуется каждыйпредмет (например, синий квадрат)положить в нужную клеточку.

К в а н т о р о бщ н о с т и.1. На столе лежат несколько фигу-

рок. Верно ли, что:а) все треугольники — красные?

Рис. 27. Лесенка из кубиков.

б) все синие фигуры — кружочки?в) все фигурки — без дырочек?

П о р я д о к.1. В трубочку закатываются три

шарика: красный, синий и жёлтый.В каком порядке они будут выкаты-ваться обратно?

2. Частичный порядок: в каком по-рядке мы надеваем разные предметыодежды и обуви (они нарисованы накарточках)? Ответить на вопросы:а) что можно надеть раньше шубы?б) что обязательно нужно надеть

раньше шубы?в) какие предметы одежды можно

надеть последними?г) какие можно снять первыми?д) что можно снять только после

шубы?е) что можно снять и до, и после

шубы?ж)что нужно обязательно снять до

шубы?3. Я еду на работу сначала на ав-

тобусе, потом на троллейбусе, потомна метро, потом на трамвае. В какомпорядке я еду обратно?

С и м м е т р и я.1. Проводится прямая линия на ли-

сте бумаги и объявляется <зеркалом>.Преподаватель проводит с одной сто-роны от неё произвольную загогулину.Требуется нарисовать ей симметрич-ную. Результат можно проверить с по-мощью реального зеркала. Потом мож-но показать детям рисунки бабочек,цветов, и т. п., спросить, где у них<зеркало>.

2. Усложнение предыдущего: заго-гулина лежит в стороне от линии, или,наоборот, пересекает её. Её можнотакже делать многоцветной.

3. То же задание можно повторитьна мозаике.

П о в о р о т.1. Преподаватель рисует фигурку.

Ученик должен нарисовать такую жефигурку, но не <стоящую>, а <лежа-

Дополнительные задачи — 58 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

Рис. 28. Фигуры, повёрнутые на 90◦.

Рис. 30. Нарисовать всё то, что <отличает> одну фигурку от другой.

щую> (см. примеры на рис. 28). Пред-варительно можно повертеть карточкис фигурками.

2. То же самое задание на мозаике;то же, но с поворотом не по, а противчасовой стрелки.

Р а з н о е.1. Продолжить последовательность

(<узор>), рис. 29.2. Даны пары фигурок (рис. 30).

Длякаждойпарынарисовать <разницу>между ними, т. е. то, что присутствуеттолько на одной фигурке, но не на двух.

Рис. 31. <Пляшущие человечки>. Добавитьнедостающего.

Рис. 29. Последовательность фигурок рисуетсяслева направо. Нужно угадать закономерностьи продолжить.

3. На мозаике построена фигура изкрасных и жёлтых фишек. Построитьдругую фигуру, заменив красные фиш-ки жёлтыми, а жёлтые — красными.

4. Дана фигура. Построить такуюже вверх ногами.

5. Диагональ делит прямоугольники параллелограмм на два равных тре-угольника (бумажный параллелограммразрезается по диагонали, после чегоодин треугольник накладывается надругой).

6. Задание, аналогичное № 22-3(см. стр. 37), но все фигурки к томуже ещё раскрашены в три цвета.

7. У треугольника три угла. Одинугол отрезали. Сколько осталось? (От-вет: четыре. Ведь если у треугольникаотрезать угол, он превратится в че-тырёхугольник.)

8. У последнего <пляшущего чело-вечка> (рис. 31) указать цвет юбочкии положение рук. Юбочки можно сде-лать разноцветными изначально, аможно попросить ребят их раскраситьпотом (с условием, чтобы в каждойстроке и в каждом столбце все цветабыли разными).

9. Дан рисунок с разноцветнымифигурками — типа того, что показан

2. Кружок с мальчиками — первый год — 59 — Как рисовать куб?

на рис. 32. К нему задаются вопросы:сколько здесь нарисовано:а) кругов?б) красных (синих, жёлтых, зелё-

ных) фигур?в) многоугольников?г) невыпуклых фигур?д) четырёхугольников?е) прямоугольников?ж)красных (и т. д.) многоугольни-

ков?з) фигур (всего)?

Как рисовать куб?

Это — слегка затерявшаяся история:она записана на отдельном листкеи без даты.Однажды Дима сообщил мне:—А я знаю, как рисовать куб. Мне

показали.—Ну, как же?В ответ он нарисовал стандартную

картинку, изображающую куб в <ак-сонометрической проекции> (рис. 33слева). А я где-то читал, что детскимрисункам более свойственна обрат-ная перспектива (как в иконописи),и потому стал приставать с вопро-сами:—А вот это что?—Это верхняя сторона.—А нижняя где?—Её не видно.

Рис. 33. Слева: так рисуют куб взрослые. Справа: рисунок, более свойственный ребёнку (кубв <обратной перспективе>).

Рис. 32. Разноцветные фигурки.

—А почему верхнюю видно, а ниж-нюю не видно?—Да-а... действительно...Дима задумался. Потом сам добавил:—И вот этот бок тоже видно, а вот

этот нет.После этого он взял кубик, взял

фломастер, уселся на пол, обложилсялистами бумаги и стал разбираться.Трудился он никак не менее часа.Потом пришёл ко мне:—Вот, папа, я всё понял.И показал то, что изображено на

рис. 33 справа, т. е. куб в обратной

Как рисовать куб? — 60 — 2. Кружок с мальчиками — первый год

перспективе, пояснив при этом, гдеу него верхняя сторона, где нижняя,где правая и где левая. Я сказал ему:—Молодец!Следует признать, что в этой исто-

рии присутствует оттенок догматизмас моей стороны. Уж если я решил, чтоне следует искусственно перетаскиватьребёнка на более высокий уровеньразвития, то буду даже стаскивать егообратно вниз, если это вместо меняпосмел сделать кто-то другой. Не сле-дует чрезмерно преувеличивать важ-ность ни того, ни другого. Но вот чтоя безусловно ставлю себе в заслугу,так это час самостоятельной Диминойработы — целый час исследования во-

проса о том, как же мы на самом делевидим куб и как его следует рисовать.Хочу всё же добавить, что академик

Б. В. Раушенбах в своих монографиях<Пространственные построения в жи-вописи> (М.: Наука, 1980) и <Систе-мы перспективы в изобразительномискусстве. Общая теория перспективы>(М.: Наука, 1986) показывает, что насамом деле существует много разныхсистем перспективы, и каждая из нихимеет свои достоинства и свои недостат-ки. Обратная перспектива не лучшеи не хуже классической ренессансной.Она больше подходит для изображенияблизких к нам предметов, а ренессанс-ная — удалённых.

3Дети и C25:история однойзадачиВ этой главе использованы материа-

лы моей статьи <Дети и C25> в журнале<Знание—Сила>, № 2 за 1986 год.Читатель уже мог заметить, что в на-

ших занятиях, скажем, теорией вероят-ностей, нет ни определений, ниформул,ни теорем — ни даже арифметическихподсчётов. Термин <теория вероятно-стей>используетсяпросто за неимениемлучшего. Ну, а что же тогда есть, есливсе эти стандартные математическиеингредиенты отсутствуют?Чтобы ответить на этот вопрос, нуж-

но задать другой: а откуда вообщевозникла теория вероятностей? Где еёисточник? Ясно: как и многие другиенауки, как даже сама арифметика,теория вероятностей возникла из на-блюдений над определёнными явлени-ями реального мира, а именно, надслучайными, непредсказуемыми явле-ниями. Так вот, как раз такие наблю-дения, предшествующие науке, вполнеможно проводить вместе с детьми. Нелюбые, конечно, лишь самые простые.Да дети и сами, без нас, этим занима-ются — например, тогда, когда играютв игры с использованием игральнойкости (кубика с написанными на нёмочками от 1 до 6). В наших силах,однако, чуть-чуть выпятить, самую ма-лость подчеркнуть вероятностную при-роду их наблюдений, а также познако-мить их с тем, что вероятностный миртоже несёт в себе значительное мно-гообразие. Можно, например, вместокубика предложить детям кособокий

многогранник, чтобы они увидели,как игра становится <несправедливой>:одни цифры выпадают чаще, чем дру-гие. Или можно придумать игру, в ко-торой требуется считать сумму очковна двух костях. Здесь тоже дети раноили поздно заметят, что, скажем, сумма7 выпадает гораздо чаще, чем сумма 2.В такого рода деятельности мы не огра-ничены ничем, кроме собственной фан-тазии и реальных возможностей реаль-ных детей. Если дети поняли что-то,если какое-то зерно запало в разум —очень хорошо. Если нет — неважно;тогда, значит, мы <просто играли>.Попробую сформулировать ещё раз.

Нас интересует не наука сама по себекак готовый продукт деятельностипрошлых поколений, а те предвари-тельные, предшествующие ей наблю-дения, которые когда-то послужилитолчком к её появлению.В этой главе я хочу рассмотреть бо-

лее подробно один пример. В главе 1рассказывалось об одном занятии;в этой главе речь пойдёт об одной за-даче. Всего одна задача — а сколькоона даёт поводов для размышлений!

Комбинаторная задача

Задача эта относится к области ком-бинаторики. Когда-то такую наукупроходили в школе, в девятом классе(имеется в виду школа-десятилетка).Потом сочли очень трудной (вспомни-те хотя бы такое пугало, как б и-н о м Н ь ю т о н а!) и из программыисключили. А все трудности старше-классников состояли попросту в том,что им приходилось сразу начинатьс формул, не пощупав ничего руками.В данном случае выражение <пощу-пать руками> надо понимать букваль-но. Ведь в комбинаторике речь идёто подсчёте количества тех или иныхкомбинаций предметов. Только самихпредметов-то и нет — их надо вообра-зить, и комбинации тоже. Вот если быначать с комбинирования реальных

Комбинаторная задача — 62 — 3. Дети и C25: история одной задачи

Рис. 34. Одинаковы ли эти бусы?

кубиков, фишек... Но кто же станетэтим заниматься в девятом классе!Мы рассаживаемся вокруг мозаики.

Задание такое: надопостроить <бусы>—цепочку из пяти фишек, в которой двефишки должны быть красными, а ос-тавшиеся три— синими. Это, разумеет-ся, можно сделать разными способами.Так вот, наша задача как раз и состоитв том, чтобы перебрать все способы ипри этом избежать повторений. По нау-ке эти последовательности называютсясочетаниямииз пяти элементовпо два;их количество в отечественной лите-ратуре обозначается C25 , в англоязыч-

ной —

�

52

�

и равно оно5 ·42

=10.

Ничего этого, конечно, дети не знаюти на наших занятиях не узнают. Онипросто строят бусы — по очереди, одинза другим. Каждый результат прове-ряется всеми вместе — действительноли он новый или совпадает с каким-нибудь из построенных ранее. Поройи спорим. Например, на рис. 34 изо-бражено одно решение или два разных?На самом деле спорить тут не о чем:мы можем д о г о в о р и т ь с я, чтоэти решения разные, а можем — чтоодинаковые. Получатся две разныезадачи, и обе вполне интересны. Ноболее лёгкая из них та, в которой этибусы считаются разными, и я предла-гаю так и считать.

Рис. 35. Эти бусы изображенына бумаге; в каж-дой цепочке нужно закрасить две бусинки,но так, чтобы все бусы получились разными.

В конце концов мы доходим до 10 ре-шений.Главный вопрос комбинаторики —

сколько всего имеется решений. Номальчики ещё очень далеки от него.Они вообще пока не видят разницымежду <это невозможно> и <у меняне получается>, и выражают твёрдуюуверенность в том, что уж я-то могупостроить и одиннадцатое решение,и двенадцатое, и вообще сколько за-хочу. Приходится взяться за дело мнесамому. Ребята перебирали свои реше-ния как попало, без всякой системы.Зато я демонстрирую образец система-тичности: перебираю решения в стро-го определённом порядке. Сначаластавлю одну красную фишку на пер-вое место, а вторую — поочерёдно навторое, третье, четвёртое, пятое места.Когда эта серия исчерпана, ставлю пер-вую фишку на вторую позицию и т. д.Вы думаете, это производит впечатле-ние? Ни малейшего. Единственное, чтоони поняли — это то, что у меня тоженичего не вышло. (Как бы ещё неподорвать свой авторитет...) Отличитьодно решение от другого они уже мо-гут, а вот отличить порядок от беспо-рядка им пока не по силам. Надо от-ложить эту задачу эдак на полгодика.(А пока, может быть, приучать их акку-ратно складывать все игрушки на своиместа. Любопытно, связан ли порядокв игрушках с порядком в мыслях?)

3. Дети и C25: история одной задачи — 63 — Эквивалентные задачи

Эквивалентные задачи

Прошло полгода, а может и больше,и задача появляется снова. Разумеется,я меняю её физическое оформление.Каждый получает листок, на которомнарисованы сцепленные друг с другомкружочки, по пять штук в каждомряду (рис. 35).Такихрядов заготовленоштукпопят-

надцать — на случай неизбежных оши-бок и повторений. Задача состоит в том,чтобы в каждой цепочке два кружочказакрасить, а остальные три оставитьпустыми. Чемпионом будет тот, ктонайдёт больше всего решений. И ещёодна деталь, на первый взгляд пустяч-ная. Я даю всем ребятам фломастерыразных цветов, а в дальнейших обсуж-дениях этот факт старательно игнори-рую: каждый раз два кружка можнозакрашивать любым цветом. Дети невсегда понимают, какая деталь являет-ся важной, а какая не имеет отношенияк делу, и я пытаюсь, как могу, подчерк-нуть чисто комбинаторную природузадачи. Помнится, в другой группе явместо кружков рисовал то пять квад-ратов, то пять треугольников и т. п.Несколько минут самостоятельной

работы (показывающей,междупрочим,что задача на бумаге труднее задачина мозаике — и это несмотря даже напрошедшие полгода), затем шумныйобмен мнениями и результатами. Те-перь у всех по 10 решений.—А вы помните, у нас уже была

один раз очень похожая задача?

Рис. 36. Найти все пути из левого нижнего угла в правый верхний.

Ведь вот как легко промахнуться,подставив свою точку зрения вместоребячьей! Что значит похожая? Мнекак-то казалось само собой разумею-щимся, что похожая задача — это та,в которой тоже фигурировали сочета-ния из пяти предметов по два. А детирешили, что похожая — это когда онитоже что-то рисовали фломастерами.Не люблю подсказывать, но на этот разприходится. Мальчики с радостью хва-таются за мозаику, строят бусы на нейи даже сами догадываются сверитьрешения на мозаике и на листочках.Кто-то вспоминает, что в прошлый разтожеполучилось 10решений. Это, нако-нец-то, повод для первого сомнения:—А что, и правда больше нельзя

построить?Я загадочно улыбаюсь и перехожу

к другому заданию...Кажется, я набрёл на золотую жилу.

Или лучшесказать—нановогоПротея.Эта задача допускает необычайное оби-лие непохожих друг на друга физиче-ских обличий; поэтому к ней можновозвращаться множество раз. Вот, на-пример, как выглядит очередной вари-ант. В порядке очереди каждый изучастников получает листок клетчатойбумаги, на котором нарисован прямо-угольник размером 3×4 клетки. (Се-кундный спор о том, квадрат это илинет, после чего можно формулироватьусловие задачи.) Итак, требуется нари-совать все возможные дороги из левогонижнего угла в правый верхний, нопри одном условии: из каждой клеткиможно передвигаться только направо

Эквивалентные задачи — 64 — 3. Дети и C25: история одной задачи

ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ

ВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВВ

ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП

ППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППППП

П П В П В

Рис. 37. Шаг вправо обозначается буквой П,шаг вверх — буквой В.

или вверх (рис. 36). Если вам, уважа-емый читатель, не совсем ясно, как свя-зана эта задача с предыдущей, потерпи-те немного — сейчас всё разъяснится.Работа кипит — чувствуется возрос-

шая квалификация моих <математи-ков>: и ошибок меньше, и все 10 реше-ний найдены довольно быстро. (А межтеммытогои глядинаткнёмсянановыйподводныйкамень: мальчикиуженачи-наютпривыкатьк тому, что во всехком-бинаторныхзадачахответом служитчи-сло 10. Не в этот раз, но в другой кто-тоиз них так и сказал: <Задача про 10>.Надо срочно принимать меры — т. е.давать задачи с другим количествомрешений.) Я, наконец, задаю главныйвопрос: чтобы пройти из угла в уголлисточка, сколько шагов надо сделатьнаправо и сколько вверх? Увы, осечка.Я считаю шагом переход из клеткив соседнюю, а ребята — любой прямо-линейный отрезок. Надо договоритьсяо том, как правильно понимать слово<шаг>. Договариваемся. Ну теперь-тоуж ответ очевиден? Опять нет! Я в не-доумении. После занятия обдумываюпричину. А ведь и в самом деле, вопросказался мне простым только по недо-мыслию. Ведь именно на этом свойст-ве — что количество шагов по горизон-тали и по вертикали одинаково длявсех путей — основано координатноепредставление векторов, т. е. тот факт,что при сложении векторов их коорди-наты тоже складываются. Отчётливо

помню, как когда-то меня, уже доста-точно взрослого, поразило это свойствовекторов. На его основе можно сделатьхорошую серию задач и с её помощьюдаже дать намёк на отрицательныечисла, если допускать шаги назад, ноподсчитывать их со знаком минус.(Кажется, эта идея так и осталасьнереализованной.)Ну а пока, на занятии, мы старатель-

но подсчитываем шаги: оказывается,каждая дорожка содержит ровно тришага направо и ровно два шага вверх.Поэтому на следующем занятии мырешаем <новую задачу>: пишем после-довательности букв ВВППП, ВПВПП,ВППВП и т. д. — в каждой три бук-вы П и две буквы В. По замыслу каж-дая буква П означает шаг направо,а буква В — шаг вверх (рис. 37).Надо было видеть то волнение, ко-

торое охватило ребят, когда я показалим эту связь! Они немедленно потре-бовали разрезать листок, на которомнаписаны наши пятибуквенные слова,и, отталкивая друг друга, стали прикла-дывать каждое слово к соответствую-щей дорожке. Я остаюсь стороннимнаблюдателем, однако пытаюсь невзна-чай подкинуть ещё одну мысль.—Может быть, мы заодно ещё ка-

кие-нибудь решения найдём, — гово-рю я. — Одиннадцатое, двенадцатое...Один лишь Женя откликается на

мои слова:—Нет, — говорит он. — Ведь здесь

десять и там тоже.—Но, может быть, они разные?Здесь

одни десять решений, а там другие?К этому моменту, однако, все бумаж-

ки уже разложены, и наши надежды неоправдались: обе группы по 10 реше-

П П В П В

Рис. 38. Вместо буквы П рисуем белый кру-жок, вместо буквы В — закрашенный.

3. Дети и C25: история одной задачи — 65 — Обозначить...

ний в точности соответствуют однадругой, или, как говорят математики,находятся во взаимно однозначном со-ответствии. Как тем не менее важнохотя бы на мгновение усомниться в ре-зультате, чтобы потом ощутить его какрезультат!Сейчас, на волне энтузиазма, мож-

но продвинуться чуточку дальше.—А скажите, ребята, можно было

обозначить шаги направо и вверх дру-гими буквами? Не П и В, а другими?—Конечно! Какими хочешь можно.—Ну, какими, например?—Например, А и Б, — говорит Петя.—Или, например, твёрдый знак

и мягкий знак, — это Дима.—Или, например, — говорю я, —

шаг направо обозначить плюсом, а шагвверх — запятой.—О-о-о! — хохочут мальчики.—Или,—продолжаюябесстрастным

тоном, — шаг направо обозначать бе-лым кружком, а шаг вверх — закра-шенным.—Как это?—А вот так.Яберу ту дорожку, чтонарис. 37, беру

соответствующее ей слово ППВПВ —и рисую рядом <бусы>, показанные нарис. 38.И в наступившей паузе — паузе пе-

ред взрывом — ещё успеваю соединитьсвои кружочки линиями, придав имокончательное сходство со второй за-дачей. Узнали! Тут ошибиться нельзя:озарение сопровождается радостнымвоплем и чуть ли не плясками. На столевсё смешивается, и продолжать дальшестановится решительно невозможно.Пора кончать занятие. Теперь можноотступитьпримернонамесяц,отвлечься,

Рис. 39. Два шарика нужно положить в пять коробок разными способами. Главная трудностьтеперь в том, что нужно п о м н и т ь все уже использованные ранее варианты: ведь физическиони на столе больше не присутствуют.

позаниматься другими задачами. Пустьидея уляжется, пустит корни. К томуже однотипные задачи могут надоесть.

Обозначить...

Мы приближаемся к финишу. Настоле пять коробок из-под спичек и двашарика: нужно класть эти два шарикав две коробки, оставляя остальные трикоробки пустыми (рис. 39). И чтобне повторяться.Работа начинается вполне бойко,

но уже на четвёртом или пятом шагевозникает ожесточённый спор, былоуже такое решение или нет. Мальчи-ки обращаются ко мне как к арбитру,но я делаю вид, что тоже не помню.Разумеется, с моей стороныэто <домаш-няя заготовка>: вполне можно былонабрать достаточное количество коро-бочек и шариков, разложить коробоч-ки по пять в ряд, и получилась бы в точ-ности та же задача, что и раньше.А сейчас каждое решение приходитсясравнивать с теми, которые <были дасплыли>. Как же быть?Между прочим, далеко не каждый

ребёнок сообразит, что делать в такойситуации. Нужно о б о з н а ч и т ьодним значком пустую коробку, дру-гим — коробку с шариком, и всенайденные решения записывать. Ноза этим скромным словечком <обо-значить> прячется грандиозная идея,родившаяся и выросшая вместе с че-ловеческой цивилизацией. Достаточновспомнить во многом ещё загадочнуюисториювозникновенияписьма, эволю-цию пиктограмм в иероглифы, иеро-глифов — в алфавитное письмо и т. д.

Обозначить... — 66 — 3. Дети и C25: история одной задачи

Рис. 40. Первая, вторая и четвёртая коробкипусты, в третьей и пятой лежит по шарику.

Сколько существует на свете математи-ка, она всегда занималасьизобретениеми усовершенствованием систем обозна-чений — сначала для чисел, потом дляарифметических операций, для пере-менных, и далее — для всё болееи более абстрактных сущностей. Ужев XX веке учение о знаковых системахосознало себя в качестве самостоятель-ной науки — семиотики.К более серьёзному разговору об ис-

пользовании знаков мы ещё вернёмсяв главе 5 (стр. 115). Пока же скажулишь то, что на нашем кружке я всег-да старался не только решать отдельныезадачи, но и формулировать, хотя быдля себя самого, какие-то более общиецели. Знакомство с семиотической иде-ей — одна из таких <сверхзадач>. Мыне раз обсуждали то, что числа обозна-чаются цифрами, звуки речи — буква-ми, а, скажем, музыкальные звуки —нотами. Вспоминали и другие системызнаков, например, дорожные знаки.Так что эта идея для моих кружковцевуже не совсем новая. Вот мальчикии предлагают р и с о в а т ь решения.Поначалу они и в самом деле пытаютсяделать что-то вроде реалистических ри-сунков; очевидно, они находятся покана пиктографическом уровне. Но этотрудно, и довольно скоро мы переходимна иероглифический уровень: рисункистановятся более абстрактными — те-перь пустая коробка обозначается квад-ратом, а заполненная — квадратомс кружком внутри. Я предлагаю в по-следнем случаерисоватьпростокружок.Очередное препятствие: дети не умеютрисовать аккуратно, и нарисованныйими круг не всегда легко отличить отквадрата. Я делаю ещё одно предложе-ние: рисовать круг с крестом. Теперь,

после всех этих эволюций, одно из ре-шений выглядит так, как на рис. 40.—А почему крестом?—А какая разница, как обозна-

чать, — отвечаю я. Это я пытаюсь рав-нодушным пожиманием плеч ещё разнамекнуть на ту идею, про которуюспециалист по семиотике сказал бычто-нибудь вроде: <Относительная са-мостоятельность знака по отношениюк означаемому и его (в известных пре-делах) произвольность>.Между прочим, получившаяся зада-

ча в одном отношении сложнее преды-дущих: теперь каждое новое решениенужно сравнивать не с другими реше-ниями, а с их условными обозначе-ниями. На этот раз мальчики находятвсего 9 решений, и после несколькихбезуспешных попыток приходят к вы-воду, что больше решений нет.И вот, наконец, наступает минута

моего триумфа, та, которую я так долгождал и так упорно готовил. Петя вдругвосклицает, тычапальцемвлист бумаги:—Ой, смотрите! Пэ, вэ, пэ, вэ, пэ!Димавскакивает очень взволнованно:—Да, да, папа, я уже давно хотел

тебе это сказать!— Значит, должно быть ещё одно

решение, — подхватывает Женя.—А давайте, — предлагает Дима, —

принесём решение т о й задачии найдём, чего не хватает.У детей всегда — сказано—сделано:

он уже бежит в кабинет, чтобы искатьтам нужные решения. Ходить, однако,далеко не приходится. Подобно извест-ному роялю в кустах, конверт с реше-ниями всех предыдущих задач ока-зался здесь же, на столе.

Мне было очень обидно, что <ходить далеконе пришлось>. Во-первых, я зря пробегал в дру-гую комнату за решением, а главное, я понял,что никакого открытия не было, а папа всёзаранее подготовил. — Дима.

Мы обсудили, какой из вариантов —с буквами, с дорожкамиили с бусами—удобнее для нас, и выбрали бусы. Вовремя работы случился небольшойкон-фуз. Когда мы раскладывали полоски

3. Дети и C25: история одной задачи — 67 — Доказательства

с <бусами>, одна из них случайно пере-вернулась на 180◦. В результате одноиз прежних решенийпропало, а другое,ему симметричное, оказалось повторён-ным дважды. Мы едва не запутались.

Я хотел сказать, что она перевернулась, ноне стал, так как думал, что, может быть, этовсё равно. — Дима.

Почему-то все ребята как один былиубеждены, что недостающий вариантобязательно окажется последним. Темне менее тот факт, что он вышел ужечетвёртым, нисколько их не обескура-жил. Они положили шарики в соответ-ствии с этим новым вариантом, продик-товали мне рисунок десятой строчки,а потом разложили остальные бусы —каждые к своему рисунку. А я закон-чил задание с чувством абсолютноготриумфатора.То, что произошло сегодня, кажется

мне крайне важным. Мы не просто ре-шили задачу. Мы решили её путём све-дения к другой, изоморфной ей и ужеранее решённой задаче. Это — важней-шая общематематическая идея, и развене чудо, что нашёлся такойматериал, накотором эту идею удалось продемон-стрировать шестилеткам? Да к тому жетак, что они сами до неё додумались!

Доказательства

События на нашем кружке меняютсяс головокружительной быстротой. Неуспели мы разобраться с одной великойидеей, как тут же на подходе другая.Как-то сам собой возникает вопрос:почему каждый раз получается ровно10 решений? Их в самом деле большене существует, или мы просто не суме-ли их найти? Как д о к а з а т ь, чтоих всего десять?Итак, доказательство. Центральное

понятие для всей математики, я бы да-же сказал — ф о р м о о б р а з ующ е е,выделяющее математику из всех дру-гих наук. Представление о том, что яв-ляется доказательством и что не явля-ется, эволюционировалонапротяжении

веков и обрело современный вид лишьприблизительно на рубеже XIX—XXвеков.Математикампрошлых эпох,даже самым великим, казались вполнеубедительными такие рассуждения, ко-торые сейчас с негодованием отвергнетлюбой школьный учитель. Если вду-маться, мы имеем дело с очень стран-ным явлением. Почему какие-то абс-трактныеипорой совершенно<потусто-ронние> рассуждения делают для насто или иное утверждение более убеди-тельным? Один очень умный старше-классник задал учителю такой вопрос:— То, что в равнобедренном треуголь-

нике углы при основании равны, со-вершенно очевидно—можно убедитьсяна примерах. Тем не менее нам этотфакт доказывают. С другой стороны, то,что электрическое напряжение равносиле тока, умноженной на сопротивле-ние, нисколько не очевидно. Однакоэтот факт нам почему-то не доказыва-ют, а только иллюстрируют опытами.Почему?Такой вопрос — редкость. Большин-

ство школьников воспринимают дока-зательства как некий принятый в ма-тематике ритуал. В математике такполагается, и всё тут. Как тут не вспом-нить один исторический анекдот, отно-сящийся, кажется, к XVIII веку. Одинчеловек, бравший уроки математики,будто бы сказал своему учителю:—Кчему все эти туманныерассужде-

ния! Ведь вы же дворянин, и я тоже.Дайте мне честное слово, что теоремаверна — мне этого вполне достаточно.Но не то же ли самое происходит

с нами, когда мы читаем, скажем, учеб-ник истории? Никаких доказательств,одни лишь <формулировки теорем>:было так, было там, было тогда. Точка.И вот оказывается, что <честное словодворянина> — в данном случае автораучебника—вполне достаточно для того,чтобы всему поверить. На самом делекаждодневная работа математика нетак уж сильно отличается от работыисторика. Это иллюзия — полагать, чтоматематик находит доказательство и на

Доказательства — 68 — 3. Дети и C25: история одной задачи

этомуспокаивается, ибо вподавляющембольшинстве случаев он производит насвет ложные доказательства. Но он ви-дит, что тем же методом можно дока-зать, скажем, и иное, заведомо ложноеутверждение— и он продолжает поиск,ищет ошибки, ищет противоречия,ищет другие пути к цели. Он о с в а-и в а е т н о в у ю о б л а с т ь. И успо-каивается только тогда, когда все части,все детали картины приходят в согла-сие друг с другом. Примерно такой жегармонии деталей, их согласованностидруг с другом ищет и историк, да и лю-бой исследователь. А потом в учебни-ке нам покажут только кратчайшийпуть из A в B. Стоит ученику сбитьсяс этого пути, <свернуть направо наодин светофор раньше>, и он попадаетв совершенно незнакомый район и ужене знает, как оттуда выпутаться. В товремя как специалист хорошо знаетне только кратчайший путь, но и всеокрестности — недаром же он их изла-зил вдоль и поперёк.Однако дискуссия на эту тему увела

бы нас слишком далеко. Поэтому вер-нёмся к детям. Материала, на которомможно знакомить детей с идеей до-казательства, не так уж много, но онвсё же существует. Например, задачитипа <четвёртый — лишний> с неод-нозначными ответами. В них важно нетолько дать ответ, но и правильно егообъяснить. Решали мы также и задачитакого типа: доказать, что мывидим гла-зами, а слышим ушами, но не наоборот(доказательство:если закрыть глаза, мыперестаём видеть, а если закрыть уши,перестаём слышать); доказать, что об-лака ближе к земле, чем солнце (дока-зательство: облака заслоняют солнце);доказать, что мы думаем головой, а неживотом. Я сам так и не сумел при-думать убедительного решения этойзадачи*; на кружке же я предложил

* Видимо, такого решения и не существует.Сравнительно недавно я узнал, что древние егип-тяне, приготавливаямумии, аккуратно сохранялидля будущей жизни все органы человека, и толькоодин мозг выбрасывали за явной ненадобностью.

вот какое: если человеку отрубить голо-ву, онперестаёт думать.Мне возражали,но никто не сказал, что то же доказа-тельство проходит и для живота.Ну а что могло бы послужить дока-

зательством в нашей комбинаторнойзадаче? Ясно, что это должен бытьу п о р я д о ч е н ны й перебор возмож-ностей, т. е. такой перебор, при кото-ром мы были бы абсолютно уверены,что ничего не пропустили. Год назадмальчики эту идею не восприняли.Может быть, сейчас они уже созрели?Вернёмся к тому обсуждению, рас-

сказ о котором мы прервали на полу-слове. Итак, как же убедиться, что,кроме найденных десяти решений,других нет? Дима:—Нужно много лет пробовать, и ес-

ли ничего не найдёшь, значит, и нет.Я возражаю:—А вдруг всё-таки есть?Женя пессимистично заявляет:—Я больше ничего найти не смогу.Петя спрашивает у меня, действи-

тельно ли я сам не знаю, сколько будетрешений, или я-то знаю точно, а спра-шиваю только для разговора. При-знаюсь, что сам я знаю точно. Тогдамальчики вообще перестают понимать,чегомне ещёнадо.ВыручилменяДима.Он произнёс какую-то фразу... Откро-венно говоря, я не очень уловил егомысль, и не очень вдумывался, так какдумал в этот момент о своём. Но вофразе, которую он сказал, фигуриро-вали слова <самая левая коробочка>.Я за них ухватился и поспешил интер-претировать всю фразу в нужном мненаправлении. Итак: возьмём первыйшарик и положим в первую, самуюлевую коробочку. Куда теперь можноположить второй шарик? Это ясно:в одну из оставшихся, т. е. во вторую,в третью, в четвёртую и в пятую. Итогополучаем 4 решения. Исчерпав все терешения, когда первый шарик лежитв первой коробочке, положим его вовторую. И опять для второго шарикаостаётся 4 пустых места: мы можемего положить в любую из четырёх

3. Дети и C25: история одной задачи — 69 — Физика и логика

коробочек, оставшихся пустыми. Те-перь кладём первый шарик в третьюкоробочку и т. д. Одним словом, мыполучаем 5 раз по 4 решения, то есть...20 решений! Вот так раз! Мальчикив полном ошеломлении, а я как можноскорее сворачиваю все дела и закан-чиваю занятие.Ну, уж на этот-то раз я бил без

промаха. Теперь наверняка все будутдумать и разбираться, почему для пра-вильного ответа число 20 ещё следуетразделить пополам.

[Эх, чёрт побери! Обидно. Этот не-выносимо честный Дима (нынешний)заставляет меня признаться, что я тутслегкаприврал.Выдалжелаемое за дей-ствительное. Я потом ужасно огорчал-ся, что не сообразилпоступить на круж-ке именно так, как написано выше.В реальности вместо этого я объяснилдетям, почему будет именно 10 реше-ний, а вовсе не 20, и почему, положивпервый шарик во вторую коробку, ужене нужно класть второй шарик в пер-вую. Жаль, красивая история пропала.После этого был ещё долгий спор

с Димой. Я сам его не запомнил и вдневник не записал, но вот что потомвставил туда он сам:

Поначалу папин систематический переборменя не убедил. То ли в конце занятия, то лиуже после, я стал спрашивать:

— А вдруг ты всё-таки забыл один способ?— Ну, например, какой?— Какой-нибудь.— Например, в какой коробочке может ле-

жать первый шарик?— Не знаю; в какой-нибудь.— Ну, пусть, скажем, во второй.— Пусть во второй.— Но ведь тогда второй шарик может ока-

заться либо в 3-й, либо в 4-й, либо в 5-й ко-робочке, а мы все эти способы уже перебрали.

И тут я почувствовал (хотя, наверное, непризнался бы в этом), что, действительно, для11-го способа не осталось ни одной лазейки:куда бы мы ни положили первый шарик, все-гда получится, что мы все такие способы ужеперебрали. — Дима.

Такчто, может, яи зрярасстраивался.И без того понять мои рассуждениябыло трудно, а тут бы я нагромоздилодну трудность на другую.]

Физика и логика

Хочурассказатьоб однойбеседе сДи-мой. Ему 5 лет и 9 месяцев. Задним чи-слом немножко странно, что с такимв общем-то маленькиммальчикоммож-но вести разговоры на такие серьёзныетемы. Однако же вот — есть дневник...(С некоторых пор я стал записыватьне только то, что происходило на круж-ке, но и какие-то смежные истории.)Началось всё с несколько неожидан-

ной и посторонней для нас темы: есть лиБог? Я обычно уклонялся от прямогоответа (которого я, впрочем, и не знаю),думал — вот вырастет и сам решит длясебя этот вопрос. Стратегия не оченьуспешная, так как общался он не сомной одним. Вот и сейчас — он ужеот кого-то узнал, что <Бога нет, потомучто его никто не видел>. Я, как всегда,увёл разговор в свою сторону. Я сказал,что если дело обстоит таким вот именнообразом, то он никак не сможет меняубедить в том, что существует м е ч т а(её ведь никто не видел, не правда ли?).Дима сделал несколько подходов.—А у тебя какая есть мечта?Я ответил, что никакой мечты у ме-

ня нет.—Ну, а что ты больше всего на свете

хочешь?Я отвечал, что ничего не хочу.—Но ты ведь хочешь, чтобы я вы-

рос умным?Это уже было явное моральное давле-

ние, но я устоял: сказал, что вообщеничего не хочу, и всё тут.На некоторое время он задумался;

потом задал тот вопрос, из-за которогоя, собственно, эту историю здесь и рас-сказываю: он спросил у меня, каквообще можно других людей в чём-тоубедить.—Есть разные способы, — ответил

я. — В математике, например, при-думывают д о к а з а т е л ь с т в а.—Как это? — спросил Дима.Я напомнил ему нашу совсем ещё

свежую историю про 10 решений и про

Физика и логика — 70 — 3. Дети и C25: история одной задачи

то, как мы старались сделать наш пе-ребор с и с т е м а т и ч е с к и м, чтобыбыть твёрдо уверенными, что мы ни-чего не пропустили.—А в физике, — сказал я, — де-

лают опыты.—А-а, понятно.(К тому времени мы уже читали

книгу Л. Л. Сикорука <Физика длямалышей> и производили некоторыеиз описанных в ней опытов.)—Вот, например, такой вопрос: ка-

кие предметы падают быстрее — лёгкиеили тяжёлые?—Конечно, тяжёлыепадают быстрее.—Ты так думаешь. А другой чело-

век может сказать, что все предметыпадают одинаково быстро.—Ну-у, нет!—А почему нет?—Ну, ведь если мы возьмём камень

илист бумаги, токамень упадёт быстрее.—Вот видишь: чтобы убедить этого

другого человека, что он неправ, ты сде-лаешь опыт, верно? Возьмёшь каменьи лист бумаги и посмотришь, что упа-дёт быстрее.—Да.—А теперь давай сделаем другой

опыт.Идею этого опыта мне подсказал

кто-то из друзей. Сначала мы берём дваодинаковых листа бумаги, и они, разу-меется, падают одинаково медленно.После этого я комкаю один из листови скатываю его в плотный комок.Я хочу спросить, какой из двух ли-стов теперь упадёт быстрее, но Димаменя опережает.—А теперь вот этот (он показывает

на комок) стал тяжелее.—Почему!?!—Потому что он упадёт быстрее.Вот, оказывается, как обстоит дело.

Для того, чтобы физический опыт могвас в чём-то убедить, нужно сначала,чтобы ваша логика развилась до такогоуровня, когда вы осознаете недопусти-мость логических кругов. Без логикиникакие выводы из наблюдений сде-лать невозможно. Что же из них пер-

вично, а что вторично? Понятия неимею! Видимо, они вырастают вместев каком-то симбиозе...Я, однако, не унимаюсь. Мы продол-

жаем бросать в паре всё, что попадаетсяпод руку: пуговицу и большой тяжё-лый лист ватмана; пуговицу и гирю;пластмассовый пустотелый кубик и де-ревянный кубик того же размера, и т. п.Дима обескуражен результатами. По-пытался было предположить, что пуго-вица тяжелее листа ватмана, но быстроотказался от этой идеи перед лицомеё очевидной нелепости.— Значит, бывает по-разному. Ино-

гда лёгкие вещи падают быстрее, а ино-гда тяжёлые.Он уже почти готов удовлетвориться

такой квазитеорией. И вдруг — эврика:—А-а, понимаю, папа! Это ему воз-

дух мешает падать.—Кому?—Лист большой, и ему воздух меша-

ет падать, не пускает его. А пуговицамаленькая, ей воздух меньше мешает.—Правильно! А если бы воздуха

не было, что бы тогда было?—Тогда бы все падали одинаково.—Молодец. А когда я лист бумаги

скомкал в комочек, что произошло?Дима подбирает слова, чтобы сфор-

мулировать ответ. Я не выдерживаюи отвечаю за него:—Воздух ему перестаёт мешать.—Нет, — поправляет меня Дима, —

не перестаёт, а начинает меньше ме-шать.Читатель уже знает, что один из моих

ведущих принципов — это никогда не<внедрять> в ребёнка свою точку зре-ния, даже намёком. Но в иерархиипринципов есть ещё один, более важ-ный: никогда не следовать безогляднони одному принципу. Может быть, сей-час — удобный момент проявить гиб-кость? С явным намёком на <единст-венно правильный ответ> я указываюещё раз на скомканный лист бумагии говорю:—И что, разве он действительно

становится при этом тяжелее?

3. Дети и C25: история одной задачи — 71 — Физика и логика

Дима смеётся вместе со мной: мол,ну надо же было сморозить такуюглупость! Он отвечает:—Ну конечно же нет! Может быть,

только совсем немножечко тяжелее.Вечером, записывая эту беседув днев-

ник, я обдумываю её ещё раз. Я неожи-данно осознаю одно обстоятельство, ко-торое раньше от меня ускользало. То,что мыпроизвели, не является в точномсмысле слова физическим эксперимен-том. Эксперимент — это вопрос, за-данный природе, c н е и з в е с т н ы мз а р а н е е о т в е т о м. А в нашемслучае Дима знал все ответы заранее.Не обязательно было реально бросатьгирю с пуговицей — собственный опытжизни ребёнка в окружающем егофизическом мире оказывался вполнедостаточным, чтобы правильно пред-сказать результат этого опыта. Можносказать, что ни один из опытов не сооб-щил ему ничего нового— если говоритьтолько о фактах. Новым было лишь со-поставление и упорядочение известныхфактов. По существу, мы произвелито же самое доказательство путём пе-ребора логических возможностей, ко-торое раньше проделали с шарикамив коробочках. Данная ситуация проли-вает некоторый дополнительный светна то, почему в обучении так полезнывопросы. С помощью вопросов мы по-могаемребёнку сопоставить те элементыего жизненного опыта, которые до это-го существовали как бы отдельно —лежали в кладовке памяти на разныхполках и никак друг с другом не со-прикасались.

∗ ∗ ∗Летом мы снимали дачу в Подмо-

сковье, и к нам в гости приехал Петя.Мальчикивспоминали, как онинедавноходили в зоопарк, и как им показывалиобезьян.Явмешалсявихразговориска-зал, что это не им показывали обезьян,а их показывали обезьянам. Такая

инсинуация с моей стороны не моглане вызвать решительный протест, ноони не сразу нашли, что ей противо-поставить.—Мы на них смотрели.Такой аргумент разбить легче лёг-

кого:—Ну и подумаешь, смотрели! Они

тоже на вас смотрели.Второй аргумент был гораздо серь-

ёзнее:—Мы можем ходить где хотим, а

обезьяны не могут. Они в клетке сидят.Но я и на это нашёл, что возразить.—Нет, вы ходите не где хотите.

Например, вам нельзя ходить внутриклетки. А обезьянам нельзя снаружи.Просто есть решётка, и обезьяны ходятгде хотят с одной стороны решётки,а вы — с другой.Такмыещёспорилинекоторое время,

и вдруг Дима воскликнул радостно,как бы поймав меня на подвохе:—Ой, папка! Ведь это же мы опять

математикой занимаемся!Интересная эволюция... На самом

первом занятии кружка дети бросилисьнаперегонки считать разложенные настоле пуговицы. Тогда они именно такпредставляли себе математику — этокогда считают. Теперьматематика сталадля них чем-то вроде логической игрыв стиле Льюиса Кэрролла.

∗ ∗ ∗Немного жаль, что я лишил следу-

ющую главу некоторых из её наибо-лее лакомых кусочков. Но, во-первых,хотелось показать материал в новомразрезе: читателю трудно было бы са-мостоятельно уследить за развитиемсюжета, прыгая от раздела к разделу.И, во-вторых, то, что я рассказываюв начале этой главы, относится к н е-з а п и с а н н о м у периоду, т. е. во-обще осталось бы за кадром. Будемнадеяться, что кое-что интересное дляследующей главы ещё осталось.

4Кружокс мальчиками—второй годЗанятие 33. Подобие

19 сентября 1981 (суббота). 1105—1150 (45 мин.).Дима, Петя, Женя.

Первый звонок. Дети приходилик нам в дом не одновременно. Пока од-ного из них не хватало, двое остальныхначинали играть, потом к ним присо-единялся третий — и оторвать их отигры порой было нелегко. Решениенашлось не там, где мы его искали.У нас сломалась кукла-неваляшка,и от неё остался звонок с необычайномягким мелодичным звоном. С техпор достаточно было позвонить в этотзвонок — и дети замирали как окол-дованные, а потом послушно шли назанятие. Только иногда просили раз-решения сами немножко позвонить.Итак, прозвенел первый звонок.

Я поздравил всех с началом учебногогода, рассказал, что в школе всегдабывает праздник первого звонка.

Задание 1. Устные вопросы. (1) Двабрата, младший и старший, вышли наулицу со своими велосипедами и по-катились на пяти колёсах. Как этомогло получиться?К моему удивлению, ребята долго не

могли придумать правильный ответ,вместо этого они изобретали какие-точетырёхколёсные велосипеды. ПотомДима догадался.

На самом деле я догадался давно, но не го-ворил, потому что никогда не видел, чтобы кто-нибудь катался на трёхколёсном велосипеде наулице. Так что правильный вариант я отмёл,

а потом вслед за всеми стал придумыватьварианты с одноколёсными велосипедами. По-том я вспомнил, что одноколёсные велосипедывидел только в цирке, так что это ещё болееневероятно, чем трёхколёсные, и тогда сказалпервоначальный вариант. — Дима.

(2) Упрощённая <дурацкая штучка>Смаллиана (название дано самимСмаллианом): я показываю сжатыйкулак и говорю:—У меня здесь две монеты, даю-

щие вместе 3 копейки, но о д н а и зн и х — н е к о п е й к а. Что это замонеты?[Разгадка в том, что хотя одна из

них — не копейка, зато другая —копейка.]Результат опять обескураживающий.

Сначала дети никак не могут приду-мать вариант, дающий в сумме 3 ко-пейки. Потом, когда наконец Димапредлагает 1 коп.+2 коп., все ужедавно забыли про второе условие.Я пытаюсь его напомнить:—Но ведь сказано, что одна из них

не копейка.—Да, — говорит Дима, — не ко-

пейка, а монетка.Я открываю ладонь, спрашиваю:—Верно, что одна из этих монет —

не копейка?—Да.—И где же она?Ребята указывают на 2 коп., не

выказывая ни малейшего удивления.Мне приходится отступить.

Задание 2. Операции над множест-вами. На двух больших карточках на-рисованы два множества предметов —A и B. На пяти карточках поменьшенарисованы множества A∩B, A∪B,A\B, B\A, A�B. Я каждый раз го-ворю, какую карточку надо найти. На-пример: <где нарисованы те предметы,которые есть на картинке A и которыхнет на картинке B?>, <где нарисо-ваны те предметы, которые есть и натой, и на другой картинке?>, и т. д.Ребята отвечают очень быстро и безошибок. Довольно трудно выразитьобычнымисловамиразницумеждуобъ-единением и пересечением. В обоих

4. Кружок с мальчиками — второй год — 73 — Подобие

случаях нужно говорить: это те пред-меты, которые есть и там, и там.Дима говорит:—Я вообще не понимаю, почему

все эти предметы нарисованы на однойкартинке, — т. е. он не понимает, покакому принципу они объединены.Я объясняю, что никакого принци-

па нет.Задания на будущее. (1) Активный

вариант: ребята должны не отыскиватькарточки из готового набора, а самиих рисовать (для этого элементамимножества можно сделать простыезначки).(2) То же, но связать с множеством

предметов, раскладываемых на столев двух верёвочных кругах (в качествеэлементов множеств можно взять ци-фры, в качестве предметов на столе —плашечки с цифрами из математиче-ского набора первоклассника).

Задание 3. Подобие. Я рисую наклетчатой бумаге несколько фигурок,а потом такие же фигурки в два разабольшего размера (рис. 41).Объясняю, что требуется сделать —

предполагается решать задачу на мо-заике. Затем по очереди строю на мо-заике фигурки и предлагаю ребятампостроить вдвое большие. Они легкосправляются, но я в процессе работынеожиданно понимаю, что плохо про-думал задачу. А именно, я замечаюдве трудности (дети их не замечают):1) Они, естественно, каждую фишку

заменяют двумя; но как тогда посту-пать с угловыми фишками? Ребята ихтоже удваивают, но результат зависитот того, с какого конца они начинаютработу (рис. 42).2) Точки-фишки можно по-разному

собирать в <созвездия>, то есть по-раз-ному интерпретировать в виде линий;так, я построил для Жени фигуркуиз 8 фишек, показанную на рис. 43слева, но Женя воспринял её иначе(на том же рисунке справа), и именнотакую фигурку стал удваивать.Я честно обсудил с ребятамиобе труд-

ности, сказав, что в следующий раз то

Рис. 41. Подобные фигурки: одна вдвое боль-ше другой.

Рис. 42. Как удвоить уголок на мозаике?

Рис. 43. На мозаике имеются только <точки>,но, чтобы удвоить фигурку, их надо мысленносоединить линиями; однако сделать это можнопо-разному.

же самое задание будет на клетчатойбумаге, и тогда никаких двусмыслен-ностей уже не останется.

Вероятностная игра — 74 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Задание 4. <Более вероятно>, <ме-нее вероятно> (игра с фишками).Я говорю:—И, наконец, последнее задание...Ребята меня перебивают:—Почему последнее?Мыхотим ещё!Ах, бальзам на раны! После того

страшного удара, когда они от менясбежали, мне так необходимы этиподкрепления!На столе <доска> — лист бумаги, рас-

черченный на клетки, 7×15 клеток.Под клетками по горизонтали подпи-саны числа от 1 до 15. Играем мывчетвером (четвёртый — я). Каждыйполучает по три фишки, одну большуюи две маленькие, все три одного цвета.Игроки ставят фишки на первой го-ризонтали. Потом мы все по очередибросаем две игральные кости, суммиру-ем число очков (заодно упражнениев арифметике!), и та фишка, номеркоторой совпадает с выпавшей суммой,делаетшаг вперёд.Выигрывает та фиш-ка, которая первой выйдет на верхнюю(седьмую) горизонталь. Если у игрокавыиграла большая фишка, он полу-чает 2 коп., если маленькая — 1 коп.Цель задания: (а) напомнить о суще-

ствовании невозможных событий (сум-мы 1, 13, 14, 15 невозможны); (б) пока-зать на опыте, что среди возможныхсобытий бывают более вероятные и ме-нее вероятные (некоторые суммыимеютбольше шансов выиграть, чем другие).Игру мы провели два раза, хотя

ребята хотели ещё. Про невозможные

Рис. 44. Удвоить фигурку на клетчатой бумаге.

суммы ребята сами не догадались, ноя где-то в процессе игры спросил, поче-му же эта фишка (единица) совсем недвигается, и они всё объяснили (Димапервым дал правильный ответ). Послеэтогояпоинтересовался, какие ещёком-бинации невозможны, и они тоже пра-вильно ответили.Про разновероятностьмы ничего не обсуждали, так как не ос-тавалось времени — я решил отложитьэто на следующий раз. После первойигры Дима сказал, что хочет поставитьсвою фишку на 6 (цифра, выигравшаяв предыдущей игре), однако поставилмаленькую фишку. Выиграл оба разаЖеня, первый раз на 6, второй раз на 7.

Занятие 34. Без событий

3октября1981 года (суббота). 1105—1135 (30мин.).Дима, Женя.

Петя болеет скарлатиной; из-за этогопредыдущая суббота была пропущена.Для того, чтобы, с одной стороны, неполучилось месячного перерыва, а, сдругой — Петя не слишком много про-пустил (да и с двумя заниматься менеевесело, чем с тремя), мы решили прове-сти в промежутке одно занятие, чтобывышло два интервала по две недели.Таким образом, следующее занятиепланируется на 17 октября.

Задание 1. Устные вопросы (изВ. А. Левина) типа: у человека — рука,укурицы—?Вопросов задалмалоионибыли не очень систематичны.

Задание 2. Подобие (удвоение фи-гурок)—на этот раз на клетчатой бума-ге: я рисую фигурку — вроде той, чтона рис. 44, — а мальчики должнынарисовать вдвое большую.Справляются в целом хорошо, хотя

иногда допускают ошибки. Карандашя им дал с ластиком, и мы им иногдапользуемся. Дима удвоил три фигур-ки, Женя две.

Задание 3. Снова играем в вероят-ностную игру. В первой партии вы-играл Дима (сумма 5), во второй — я(тоже 5).

4. Кружок с мальчиками — второй год — 75 — Подсчёт вероятностей

На этот раз мы более подробно об-суждали, какие события невозможны,какие числа более выгодны и даже —почему. Я показал им, что числа 2 и 12можно получить только одним спо-собом, а другие числа — большимколичеством способов. Договорилисьв следующий раз составить <таблич-ку> — т. е. по существу таблицусложения до 6, а также поиграть ещё.Так недолго дойти и до вычислениявероятностей!

Занятие 35.Почти что подсчёт вероятностей

24октября1981 года (суббота). 1110—1200 (50мин.).Дима, Петя, Женя.

17 октября болел Дима, так чтов итоге перерыв составил три неделивместо предполагаемых двух.

Задание 1. Устные вопросы. Те жеустные вопросы, что и в прошлый раз(с предисловием, что Петя их не слы-шал). На этот paз прошёлся по все-му списку примеров, приведённыхВ. А. Левиным в журнале*.

Задание2.Операциисмножествами.На одной картинке нарисованы квад-рат, крест, круг, звезда и полумесяц;надругой—треугольник, стрелка, крести полумесяц. У ребят — листки бумагии карандаши. Требуется по очерединарисовать пересечение, обе разности,объединение и симметрическую раз-ность множеств.Ребята справляются с заданием хоро-

шо. Снова в постановке задачи у менявозникла та же проблема, что и в прош-лый раз: очень трудно на обычном раз-говорном языке чётко противопоста-витьобъединениеипересечение: <тефи-гурки, которые есть и здесь, и здесь> —это что, пересечение или объединение?

* Типичный случай: не только не помнюточной ссылки, но даже и — о каком журналеидёт речь. Читатель должен постоянно иметьв виду, что я ни в какой момент не считалсебя профессионалом раннего обучения, такчто и занимался этим делом не систематически,а как бог на душу положит.

Рис. 45. Сколько здесь прямоугольников?

Из-за нечёткости вопроса и дети частодают противоположные ответы.Когда рисовали симметрическуюраз-

ность, Петя нарисовал объединение,а потом пересечение зачеркнул и по-казал стрелкой, что его надо убратьс листка.

Задание 3. Прямоугольники. Междуделом я задал вопрос, сколько прямо-угольников нарисовано на такой фи-гурке (рис. 45).Ребята, конечно, ответили, что их два.

Я показал, что их три. Эту тему можноразвить.

Задание 4. Игра с фишками и по-чти что подсчёт вероятностей. Мы ещёраз сыграли в игру с фишками. Вы-играл Женя на 7. В один момент по-среди игры, когда фишки выстрои-лись особенно явным клином, как нарис. 46, я показал это детям и ска-зал, что, мол, вот видите, чем ближек середине, тем больше фишка про-двинулась вперёд.Закончив игру, мы стали составлять

табличку: написали все варианты того,что может выпасть на каждом из куби-ков, и стали вычислять суммы (табл. 1).

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Рис. 46. Расположение фишек в процессе игры.

Подсчёт вероятностей — 76 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Но почти сразу ребята обнаружилизакономерность и диктовали мне содер-жимое таблицыбез всякихвычислений.Потом, когда таблица была готова, ясказал, что мы ничего не вычисляли,а толькоугадали закономерность, поэто-му будет интересно проверить, всё липравильно. Для проверки мы вычис-лили содержимое нескольких клеточеки убедились в совпадении.Ещё в процессе составления таблицы

Петя заметил, что одинаковые цифрыидут рядами, параллельными побочнойдиагонали. Мы это обсудили все вме-сте. Я спросил:—Какая цифра встречается чаще

всех — какой ряд самый длинный?Ребята хором ответили:—Шесть.Это значит, они учли также цифры,

стоящие за разграничительной линиейтаблицы (т. е. не только суммы, нои слагаемые).

Я как раз хотел спросить, считаются ли они,но не успел. — Дима.

Я, конечно, должен был предусмот-реть такой исход, и в качестве входовтаблицы поставить не цифры, а рисун-ки граней кубика, как в табл. 2.

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

Табл. 1. Таблица сложения в пределах шести.

Сумма 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Сколько развстречается 1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1

Табл. 3. Суммы очков на двух костях и сколько раз встречается каждая из сумм.

Пришлось проводить линию болеетолсто и объяснять, что внутри таблицыстоят суммы очков на двух кубиках,а с краю — очки на одном кубике,поэтому крайние числа не считаются.Постепенно мы во всём разобрались

и даже угадали закономерность, сколь-ко раз встречаются суммы 2, 3, 4, . . .. . . , 12. Результат показан в табл. 3.(Конечно же, при переходе от 7 к 8

ребята сначала ошиблись и сказали, чтосумма 8 встречается 7 раз (вместо 5).)Наконец, я спросил:—Ну вот, теперь вы знаете, какие

цифры выпадают чаще, какие реже.Как бы вы теперь поставили свои фиш-ки, если бы можно было выбирать?И Дима в ответ поставил большую

фишку на 7, а рядом две маленькие —на 6 и на 8. Я его похвалил и объяс-нил, что всё правильно.

Занятие 36. Игра с тремя костями

31октября1981 года(суббота). 1105—1150 (45мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Игра в цепочку (поВ. А. Левину). Я объясняю правила:нужно по очереди называть слова, при-

. .. ... .... ..... ...........................

Табл. 2. Надо было записывать суммы вот в та-кую таблицу— тогда не возник бы вопрос о том,какие числа следует учитывать, а какие нет.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 77 — Игра с тремя костями

5555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555555

7777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777777

11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111113333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333333

9999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999999

4444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444444

6666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666666

Рис. 47. Пересекающиеся множества.

чём каждое слово должно быть связанос предыдущим какой-нибудь связью:ассоциативной, предметной, по смеж-ности, по сходству, по контрасту, нако-нец, рифмой. Вот какая получиласьцепочка:

проигрыватель — иголка — нитка —катушка — подушка — кадушка —вода — дно — песок — камень —спотыкаться — ходить — прыгать —плавать—пузырь—плёнка—мыло—картошка — подсолнечное масло —маргарин.

Играли мы вчетвером, с моим уча-стием, а Алла записывала.

Рис. 48. Планшетка для игры с тремя кубиками.

Задание 2. Снова два листка, наодном нарисованы цифры 1, 3, 5,7, 9, на другом — 4, 5, 6, 7. Я выкла-дываю 10 плашек со всеми цифрамииз <математического набора перво-классника>. Первое задание для всех:выбрать только <нужные> цифры (т. е.объединение), а остальные убрать.Дальше задания по очереди Пете, Димеи Жене: выбрать A∩B, A\B и B\A.После того, как эти три части разложе-ны по отдельности, я кладу на стол дваверёвочных кольца в виде диаграммыВенна (рис. 47) и раскладываю циф-ры в них. Мы обсуждаем тот факт, чтоодна верёвочка в точности соответству-ет одному листку, а другая — второмулистку, и поэтому само собой получает-ся так, что в общей части оказываютсяобщие цифры, а <здесь> (показываю)только те цифры, которые есть на кар-тинке A и которых нет на картинке В,и т. д., и т. п.[Надо было проделать то же самое

с маленькими карточками из самогопервого задания на операции со мно-жествами— там, где нарисованы кош-ка, яблоко, ваза и т. п.]

Задание 3. Я говорю:—Сегодня мы будем играть в новую

игру, в которой нужно будет бросатьсразу три кубика. Скажите, какоесамое маленькое число может полу-читься в сумме?—Три!Мы разбираем, как получается три.—А самое большое?—Три шестёрки!Мы считаем, сколько это будет.Я достаю планшетку, на которой

в больших клетках нарисованы числаот 3 до 18, как показано на рис. 48.Для красоты сторона 3—8 закрашена

в жёлтый цвет, 9—12 — в красный,13—18 — в зелёный. Красный цветдля выигрывающей стороны я выбралнарочно (см. занятие 31, п. 4), и так женарочно избегал синего. Вот толькосинестезия жёлтого цвета мне не ясна.Я начинаю объяснять правила: каж-

дый садится против одной из сторон

Задание с пересечением — 78 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

(они тут же садятся — Женя против3—8, Дима против 9—12, Петя про-тив 13—18); каждый получает одина-ковое количество жетонов (мы взялипо 9жетонов); на каждомшаге каждыйигрок выставляет по одному жетону;затем бросают три кости, и тот, на коговыпадет сумма, получает все три же-тона. Игра идёт до <полного разоре-ния> двух игроков (когда все жетоныскопятся у одного их них).Я показываю, какие у каждого чи-

сла, говорю:—У Жени шесть чисел, и у Пети

шесть, у Димы, правда, всего четыречисла...—Ну ничего, неважно, — соглаша-

ется Дима.Мне хотелось скорее начать играть, поэтому

я не очень внимательно слушал, что папа гово-рил. Перед тем, как мы начали играть (и ужепосле того, как я сказал <неважно>), я понял,что у меня чисел меньше, и я могу проиграть.Но мы начали играть, и я снова забыл. — Дима.

Кости мы бросаем по очереди (и ятоже); тот, кто бросает, должен вычи-слить сумму. Интересно, что ребятаочень охотно (и по многу раз) делаютдовольно сложные для них вычисле-ния — то, что в другой ситуации ониделать ленятся.Игра длится слишком долго, а конца

всё не видно. Поэтому мы договарива-емся запомнить, сколько жетонов оста-лось у каждого, и продолжить в сле-дующий раз. Осталось: у Жени — 2,у Пети — 11, у Димы — 14.[Интересная задача для меня: найти

ожидаемую продолжительность игры,а также вероятность <ошибки>, т. е.разорения среднего игрока.]

Занятие 37.Сколько прямоугольников?

14ноября1981года(суббота).1105—1200 (55мин.).Дима, Петя, Женя.

Предыдущая суббота пропущенаиз-за праздника.

Задание 1. Цепочка (зарядка дляума):

картинки — краски — кисточки —дерево — корень — сорняк — вода —лёд— коньки— кататься— человек—сапог — Италия — карта — стена —дом — нора — хомяк — животное —глаз — очки — лупа — стекло —рама— велосипед—колесо—шина—тормоз — поезд — дым — труба.

Интересно, что даже через 20 летможно определить, какие ассоциациипринадлежат Пете. Сапог — Италия!Сразу видно ребёнка из гуманитарнойсемьи.

Задание 2. Задание с пересечением(несделанноевпрошлыйраз).Двеболь-шие карточки (задание № 33-2) и ма-ленькие карточки из того же задания.На маленьких карточках нарисованыобъединения, пересечения, разностимножеств, изображённых на большихкарточках. Я кладу две пересекающи-еся верёвки и прошу ребят разложитькарточкитак, чтобывнутриоднойверёв-ки получилась картинка A, внутри дру-гой — картинка B. То есть, когдаответ будет готов, среди верёвок ока-жутся только карточки A\B (слева),A∩B (в середине) и B\A (справа) —остальные маленькие карточки потре-буются только <для справки>.Сначала, как водится, возникает су-

мятица: все кладут что попало, спорят,отнимают друг у друга карточки. Потомустанавливается порядок и мы начина-ем работать более систематично. Из об-суждения видно, что Дима ничего непонимает; про Женю сказать трудно,

Рис. 49. Найти все прямоугольники (их здесь9 штук).

4. Кружок с мальчиками — второй год — 79 — Найти все прямоугольники

так как он ограничиваетсялишьотдель-ными замечаниями; один Петя сразуи без слов положил нужные карточкина нужные места.После того, как правильное решение

получено, мы его тщательно прове-ряем и ещё дополнительно выясняемсмысл объединения.

Задание 3. Найти все прямоугольни-ки. Все ребята по очереди получаютлисток с нарисованным на нём прямо-угольником, разделённым среднимилиниями на четыре части (рис. 49).Требуется находить и заштриховыватьвсе имеющиеся на этом рисунке пря-моугольники (всего 9 штук).Ребята справляются с заданием

очень хорошо, практически не допус-кая ни одной ошибки. Женя первыйнашёл <оригинальное> решение: за-штриховал весь большой прямоуголь-ник тогда, когда не были ещё исполь-зованы все уголки, и он же первыйзаштриховал вертикаль из двух частей.Дима, видя, что я похвалил Женюза оригинальное решение, стал искатьчто-нибудь ещё более необычное: сна-чала заштриховал уголок (рис. 50слева), а потом прямоугольник, огра-ниченный линией, отсутствующей нарисунке (рис. 50 справа).Яобарешенияотверг: пропервое объ-

яснил, что это не прямоугольник (мыпосчитали углы, и их оказалось шесть),а про второе сказал, что таких решенийможно придумать бесконечно много.Когда все варианты были исчерпаны,

я пытался натолкнуть ребят на мысль,

Рис. 50. Эти решения неправильны, но... У левой фигуры в самом деле все шесть углов —прямые! Чем не <прямоугольник>?

что больше решений нет, но ничего невышло. Тогда я сам им это объяснил,добавив, что самое интересное в зада-че — объяснить, почему мы уже нашливсе возможные решения и никакихдругих не осталось.

Задание4.Доигрываниеотложеннойпартии (в игре с тремя кубиками). Же-ня получил свои 2 жетона, Петя — 11,Дима — 14, и мы продолжили игру.Довольно скоро разорился Женя. Те-перь Дима и Петя ставили по одномужетону, а выигравший получал два же-тона, а не три. (Если сумма выпадала<на Женю>, то она не учитывалась.)Тем не менее, игра пошла быстрее,так как теперь Димино преимуществобыло более явным. Женя продолжалучаствовать на общих основанияхв бросании костей и подсчёте суммыочков. Когда стало ясно, что Петя бли-зок к разорению, Дима стал изо всехсил <стараться>, чтобы сумма выпалана Петю. Это дало мне лишний поводзаметить, что исход случайного собы-тия не зависит от наших стараний.Наконец, Дима выиграл. Я спросил:—Как же так? Дима выиграл — зна-

чит, сумма гораздо чаще выпадала нанего, чем на других. А клеточек у неговсего четыре, а у других — по шесть.Началось обсуждение. Ребята быст-

ро пришли к выводу, что одни числавыгоднее других, и даже объяснили,что это из-за того, что <комбинацийбольше>. Мы рассмотрели для при-мера, сколько комбинаций дают сум-му 3, и сколько дают 10. Однако

Четырёхугольники — 80 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

дальнейшие объяснения ребята слу-шали уже невнимательно, так что наэтом я занятие окончил, хотя Петя про-сил ещё и предлагал поиграть с мо-заикой.

Занятие 38. Всё валится из рук

29 ноября 1981 года (воскресенье). 1720—1750(30 мин.). Дима, Петя, Женя.

Одно из самых неудачных занятий.Предыдущаясуббота была опять про-

пущена, так как я все дни ходил на ра-боту, а в пятницу был урок*, так что,во-первых, я не выспался, во-вторых,не подготовился. В субботу, 28-го чи-сла, Дима был назначен к зубному;получалось, что придётся пропуститьещё одно занятие. Тогда мы договори-лисьпозаниматьсяв воскресенье, в 1700 .Однако Женя вовремя не пришёл, и те-лефон у них дома не отвечал. Я решил,что его уже не будет, и предложилДиме с Петей снова поиграть в игрус тремя кубиками (см. два предыдущихзанятия). Но в самый разгар игры при-шёлЖеня. Пришлось игру прекратить.Дима и Петя ныли; я раздражался.В начале занятия Дима, как это частос ним бывало, сидел плохо: шатался вовсе стороны, потом лёг на стол. Я сде-лал ему два замечания, потом вспылили сказал:—Ещё одно замечание — и я тебя

выгоню (сказалось также и то, что заобедом ругались на ту же тему).Дима на глазах прямопосерел и ушёл

в себя. У меня тоже настроение испор-тилось: я чувствовал, что поступилнесправедливо (не столько в словах,сколько в интонации), и, кроме того,мучился от мысли, что повторение та-ких сцен может создать у него непри-ятные подсознательные связи с заня-

* Реалии тех лет начинают забываться. Я хо-дил на работу три раза в неделю — остальныедва дня были <библиотечными>. Но иногданаступал аврал — особенно к концу года, когданадо было писать отчёты. Кроме того, я, каки очень многие в моём положении, подрабаты-вал репетиторством.

тиями, с математикой вообще и т. п.Изо всех сил я пытался к первому за-данию привести себя в весёлое распо-ложение духа, делал глубокие вздохи,паузы, но это мало помогало.

Задание 1. Игра <чем свяжешь?>(снова заимствовано у В. А. Левина).Задаются крайние члены цепочки,надо соединить их промежуточными.Я привёл пример:

художник — ? — виноград

(промежуточное звено — кисть). Од-нако ребята ничего не поняли и сталипредлагать свои варианты:—А ещё у них общее то, что худож-

ник любит виноград.Так продолжалось и дальше. Вопрос:

<девочка — ? — трава> (коса); ответ:<девочка лежит на траве>. Вопрос:<рыба — ? — кошка> (хвост); ответ:<рыба живая и кошка живая>. (Честносказать, и сам вопрос про рыбу с кош-кой—неочень удачный.)Итомуподоб-ное. Я говорил, что нужно придуматьв качестве ответа одно слово; тогда онивообще замолкали; было скучно.

Задание 2. На какие части можноразрезать прямой линией невыпу-клый четырёхугольник? Всего суще-ствует 15 вариантов:(a) два треугольника — 3 способа;(б) три треугольника — 1 способ;(в) треугольник и четырёхуголь-

ник — 6 способов;(г) треугольник и пятиугольник —

3 способа;

Рис. 51. Эту криволинейную фигуру обычночетырёхугольником не называют.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 81 — Задачи на доказательство

(д) два четырёхугольника — 2 спо-соба.Сначала мы порисовали на бумаге

разные многоугольники, считали в нихколичество углов. Дима по своемуобыкновению нарисовал вместо мно-гоугольника ломаную. Я объяснил,что такую фигуру обычно не называютмногоугольником, но объяснил как-тосбивчиво и никак не мог придумать<детского> синонима к слову <замкну-тый>.Потом я спросил, можно ли назвать

четырёхугольником фигуру, образо-ванную четырьмя дугами (рис. 51)(ведь у неё четыре угла!).Объяснил, что нет.После этого я дал ребятам вырезан-

ный из картона невыпуклый четырёх-угольник (рис. 52); прямуюдолжна бы-ла изображать металлическая палочка;ребята должны были с её помощьюизображать различные способы разре-зания, а я их зарисовывал.Сначала мне никак не удавалось на-

вести порядок и добиться того, чтобымальчики дослушали задание до конца:они рвали друг у друга четырёхуголь-ник, пытались рисоватьнанёмкаранда-шом, а когда я отобрал карандаши —пытались царапать на нём палочкой,изображая разрез.Потом дело неожиданно пошло на

лад. Когда ребята наконец поняли сутьзадачи, они стали очень свободнои изобретательно придумывать разныеспособы разрезания, не повторяясь

Рис. 52. Невыпуклый четырёхугольник.

и каждый раз правильно определяя,какие многоугольники получаются врезультате. Обстановка оживилась.В этот момент неожиданно позвонил

А. В. Ч. Человек очень уважаемый;хоть он меня очень вежливо спраши-вал, не занят ли я и могу ли сейчас раз-говаривать, у меня не хватило духусказать, что занят. В результате детипрождали меня 10 минут, томясь отбезделья, и мамы отпустили их гулять.

Занятие 39. После спада — подъём

5 декабря 1981 года (суббота). 1120—1220 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Это занятие, по контрасту с предыду-щим, было одним из самых лучших,что видно хотя бы уже по его дли-тельности. Кроме того, я, видимо, былсильно возбуждён первым применени-ем своего столь долго вынашиваемогоязыка программирования <Малыш>.

Задание 1. Задачи на доказатель-ство.(1) Доказать, что мы слышим уша-

ми, а не глазами.(2) Доказать, что мы видим глаза-

ми, а не ушами.(3) Доказать, что облака ближе,

чем Солнце.Ответы на все вопросы дал Дима,

опередив остальных. Подробно писатьне буду, так как эти задачи уже об-суждались в предыдущей главе.

Задание на дом: доказать, что мыдумаем головой.

Задание 2. Мы вместе со Стёпой*изобрели язык программирования длядошкольников (мне кажется уместнымназвать его <Малыш>). Так как некото-рые стадии его обдумывания связаныс ранними занятиями, не отражённы-ми в дневнике, да и сам язык требуетсамостоятельного описания, я сделаюздесь длинное отступление.

* Степан Пачиков, наш близкий друг;в дальнейшем — организатор Московского дет-ского компьютерного клуба и компьютернойфирмы ПараГраф. Живёт в США.

Подбираемся к программированию — 82 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Небольшой экскурс в прошлое

1.На одном из занятий из числа пер-вых двадцати, не попавших в дневник(точный номер его я не помню —кажется, где-то в районе № 15), детиполучили следующее задание: я по-строил на столе башенку из деревян-ного конструктора (рис. 53) и попро-сил ребят построить башенку точнотакой же высоты, но только на полу.Ещё когда Диме было всего три года,

я давал ему аналогичное задание наступеньках крыльца на даче. Тогда онвидел свою задачу в том, чтобы верши-ны башенок находились на одинаковомуровне. Сейчас он, как и все остальные,уже понимал, что высота является ин-вариантом перемещения. Поэтому онстроил башенку примерно нужной вы-соты, а потом брал её за верх и за низи пытался приложить к башенке, сто-ящей на столе. К его сожалению —и к моей тайной радости — башенка,которую он пытался поднять к столу,всё время рассыпалась.После третьей неудачной попытки

я ввёл новое правило: башенки нетрогать и никуда не переставлять.Последовала минутная пауза. Потомвдруг Дима закричал:—А-а, я понял, понял! — и построил

на полу башенку в точности из тех жеэлементов конструктора и в той жепоследовательности, что и у башенкина столе.Такое решение оказалось для меня

несколько неожиданным; я почему-тоне предусмотрел его заранее. Тем не ме-нее я, вопреки своей обычной непово-ротливости, похвалил ребят и сказал,что они молодцы и с задачей справи-лись (и в самом деле, я ведь вначале ни-как не фиксировал, из какого матери-ала следует строить башенку на полу).—А теперь другое задание, послож-

нее, — сказал я. — Нужно построитьбашенку такой же высоты, но тольковот из этих (пластмассовых, разноцвет-ных, стандартного размера) кубиков.

Опять воцарилась пауза, на этот разболее длительная. Мне очень не хоте-лось заканчивать задание на минорнойноте, поэтому я, вопреки своему прави-лу, решил сделать подсказку. Как быневзначай я положил на стол верё-вочку и сказал:—Думайте, думайте.Они тут же схватили верёвочку и ста-

ли её вертеть по-всякому, но как её при-менить, не знали; в основном, прикла-дывали её концами к вершинам обеихбашен.Тогдаяпринёспалочкуисказал:—Может быть, палочка поможет.Но и палочка не помогла — они тоже

прикладывали её к вершинам, получаянаклонную линию. Пришлось датьещё одно наводящее соображение:—А что выше — палочка или вот

эта башенка?Оказалось, что палочка выше, но за-

то на ней есть царапина ровно в томместе, где кончается башенка. Это, на-конец, натолкнуло на идею, и ребятапостроили вторую башенку на полуростом до той же царапины.

2. Примерно через три занятия мнепришла в голову замечательная идея:оформить процедуру построения ба-шенки в виде алгоритма. Вот как этореально выглядело.

Рис. 53. Эта башенка стоит на столе. Как по-строить башенку такой же высоты, но на полу?

4. Кружок с мальчиками — второй год — 83 — Подбираемся к программированию

МАЛЬЧИКСТАВИТКУБИК

МАЛЬЧИКИЗМЕРЯЕТБАШЕНКУ

КОНЕЦ да нет?

Рис. 54. Алгоритм построения башенки нуж-ной высоты. Текста на карточках с картин-ками не было — их смысл я объяснял устно.А слова <да>, <нет> и <конец> дети уже былиспособны прочитать сами.

Во-первых, я ещё раз дал им зада-ние на построение башенки. На этот разони справились с заданием идеальнои быстро, что, кроме всего прочего,продемонстрировало хорошее усвое-ние материала.—А теперь, — сказал я, — давайте

подумаем, какие действия мы делаеми в какой последовательности.И, конечно, получил естественный

ответ:—Сначала ставим несколько куби-

ков, потом измеряем, и тогда один ку-бик или прибавляем, или убавляем.(Действительно, при первоначаль-

ном построении башенки на глаз ониошибались не более чем на один ку-бик.) Я стал нудеть, что надо разбитьзадачу на самые маленькие действия,например, ставить всего по одномукубику, а не сразу много, и т. п.После этого я им показал выре-

занные заранее карточки из плотнойбумаги. На них было (Аллой) нари-совано следующее:1) прямоугольная карточка: маль-

чик ставит кубик;2) прямоугольная карточка: маль-

чик измеряет башенку (на полу);

3) карточка-ромбик: в ней большойвопросительный знак (имеется в видумолчаливый вопрос: ну как, равны?);4) карточка-прямоугольникпомень-

ше: на ней (печатными буквами!)написано слово КОНЕЦ;5) ещё из тойже плотной бумаги был

вырезан набор стрелок — несколькомаленьких одинаковых стрелок и однадлинная; на двух маленьких стрелкахбыли написаны слова ДА и НЕТ.Показав всё это, я спросил, в каком

порядке нужно делать нарисованныездесь действия. Такой тип вопросов былуже ребятам знаком, так как до этогоонивыполнялидва следующихзадания:(А) Определить порядок утренних

дел (одевание, умывание, просыпание,завтрак, катание на санках, зарядка,потягивание в кровати и т. п.) — изкниги Тамаша Варги <Блок-схемы,перфокарты, вероятности>.(Б) Определить, в каком порядке

следует надевать различные предметыодежды и обуви (трусы, майку, носки,ботинки, рубашку, брюки, свитер,шубу, шарф, шапку).В первом случае получается ли-

нейный порядок, или <программа безветвления>, во втором — частичныйпорядок, или, если угодно, недетер-минированный алгоритм.Поэтому в данном случае ребята

правильно объяснили последователь-ность действий, а когда потребовалосьснова вернуться к блоку <мальчик ста-вит кубик>, я жестомфокусника извлёкдлинную стрелку, и получилась изо-бражённая на рис. 54 блок-схема.

3. Сейчас, задним числом, всё изло-женное кажется мне не очень удачным.Есть два дефекта в самой реализации:первый — плохо выражена проверкаусловия; второй—куда-то исчезла опе-рация измерения той башенки, что настоле (её надо было предпослать пер-вому блоку). Ещё более важен другойнедостаток — неестественность кон-струкции. Ребята прекрасно поняли,что я делаю, но совершенно не поняли,зачем и почему именно так. Я уже

Подбираемся к программированию — 84 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

говорил, что реально в жизни онипоступали иначе: ставили сразу не-сколько кубиков, после чего хваталоодного-двух измерений.Тем не менее осталась общая идея —

придумывать задачи на построение ал-горитмов, и остались также некоторыепринципы, сохранившиеся в оконча-тельном проекте.П р и н ц и п 1. Задавать алгоритмы

не с помощью какого-нибудь <запи-сываемого> языка программирования(или даже обыденного языка) — ведьребята ни читать, ни писать не уме-ют, за исключением самых простыхслов, — а задавать их блок-схемами.П р и н ц и п 2. Блок-схемы не ри-

совать на бумаге — рука у детей оченьужнетвёрдая,— а выкладыватьиз гото-выхкарточек. (Самое трудное и обреме-нительное следствие этого принципа —необходимость вырезать большое ко-личество стрелок разной длины.)П р и н ц и п 3. Операторы и логи-

ческие условия на карточках должныизображаться не словами, а простымии понятными картинками. Лучше всегодаже—простымиусловнымизначками.Кроме того, чисто эстетически ока-

залось очень приятным раскладыватьбелые карточки на чёрном лакирован-ном фоне журнального столика.Однако долгое время я не мог при-

думать ни одной новой задачи. Идеиприходили в голову разные — от того,как подниматься на нужный этаж налифте, до того, чтобы вытаскивать измешка шарики разных цветов и рас-кладывать по двум урнам. Но всё этобыли процессы либо плохо алгоритми-зуемые, либо неинтересные и неесте-ственные. А идея алгоритмическогоязыка казалась мне совсем недостижи-мым идеалом: если я не могу придуматьо д н у задачу, то чтоужговорить о клас-се задач! К тому же меня несколько уг-неталамысль о том, что даже еслияпри-думаю несколько задач, то для каждойиз них придётся делать новые рисунки.

4. После многочисленных обсужде-ний со Стёпой современного програм-

мирования вообще и программируемыхигрушек со встроеннымимикропроцес-сорами в частности я сумел, наконец,сформулировать для себя самого (а по-том и для Стёпы) главную трудность,главное препятствие на пути созданияязыка программирования для детей.Ясно, что этот язык должен быть уз-

ким по возможностям, а, значит, и узкоспециализированным. Все известныемне языки специализируются либо наработе с числами(ФОРТРАН,АЛГОЛ),либо на обработке данных (КОБОЛ),либо на обработке текстов и списков(ЛИСП, СНОБОЛ); кроме того, естьуниверсальные языки, обладающиевсеми тремя возможностями (ПЛ,АЛГОЛ-68)*.Однако все эти три области примене-

ния программированиясовершенно не-понятны и неинтересны детям (ближевсего к их интересам стоят числа, ночтобы ощутить смысл задач, подлежа-щих алгоритмизации, им надо подра-сти как минимум лет на пять). Зна-чит, проблема в том, чтобы придуматьдоступную детям область примененияязыка. А сам язык — дело второе.Через два дня после телефонного раз-

говора, в котором я сформулировалСтёпе постановку задачи, он придумалгениально простое решение: в качествеобласти применения языка он предло-жил движение объектов по лабиринту,изображённому на клетчатой бумаге.

* Напомню — этот текст писался в 1981 году.

Рис. 55. Эта деревянная стрелка зовётся ро-ботом. Робот будет двигаться по <клетчатой>комнате.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 85 — Язык программирования Малыш

Он же предложил вначале в качественаиболее простого лабиринта взятьпрямоугольную комнату.После этого мы с ним независимо

друг от друга придумали совершенноодинаковый язык — даже обозначе-ния все, кроме одного, совпали; такоесовпадение служит доказательствоместественности языка.

Язык программирования Малыш

Тогда, в 1981 году, уже существовалязык программирования для детейLogo. Он был основан на том же прин-ципе — тоже управлял движенияминекоего объекта—<черепашки>, но былгораздо более разработан и, главное, ре-ализованна компьютере.Поэтомунашаразработка выглядит сегодня чем-товроде изобретения деревянного велоси-педа. Я даже некоторое время колебал-ся, не выбросить ли всё это из книги.Потом решил оставить. Очень жалкобыло бы терять и целый пласт задач,и ту атмосферу энтузиазма, которуюпородил наш <проект> сначала срединас— взрослых, а потом этот энтузиазместественным образом передался детям.К тому же о Logo мы тогда ничего незнали, компьютеров не имели и дажеоб этом не мечтали; ну, и, наконец, изо-бретение деревянных велосипедов —это, если вдуматься, не такое уж ду-рацкое занятие. Надо бы как-нибудьвернуться к этому вопросу.

Рис. 56. Эти <исполняемые операторы> вырезаются из белого картона. Сторона каждогоквадрата — 3 см.

Перейду к описанию самого языка.Язык допускает расширения; сначалая опишу его основной костяк, а потомвозможные расширения.

1. Движущийся объект. Из Дими-ного деревянного конструктора я скле-ил стрелку, показанную на рис. 55.Она называется роботом. Клетки, в ко-торых помещается такой робот, имеютразмер 8 см×8 см.

2. Комната. На большом листе <бу-маги для эскизов> поместилась комната5×7 клеток; естественно, комнату отзадания к заданию можно менять.

3. Исполняемые операторы.Их покачетыре: <сделать шаг вперёд>, <повер-нуться направо>, <повернуться нале-во>, <повернуться кругом>. Все пово-роты делаются внутри одной клетки.Изображаются они так, как показанона рис. 56.

4. Логические условия. Их тоже че-тыре: <стена спереди>, <стена справа>,<стена слева>, <стена сзади>. Они пока-заны на рис. 57. (Почти во всех про-граммах использовалось одно лишьпервое условие.)

5. Стрелки. Требуются стрелки всехдлин, кратных 1,5 см. На некотором ко-личестве трёхсантиметровых стрелокпишутся словаДАиНЕТ.Следует обра-тить внимание на то, что каждое их этихслов должно быть написано на стрелкахв четырёх видах: от головы к хвосту, отхвоста к голове и вверх и вниз по вер-тикали (рис. 58, где показаны толькотри стрелки из восьми необходимых).

Рис. 57. Ромбики проверки условий. Длина диагонали — 6 см.

ДА

НЕТ

НЕТ

Рис. 58. Образцы стрелок, выходящих из<ромбиков> логических условий.

НАЧАЛО

КОНЕЦ

Рис. 59. Вся программа располагается междуэтими полукругами.

1

Рис. 60. Так будет выглядеть <подпро-грамма № 1>. Что конкретно она де-лает, записано в специальной тетради.

A A

AA

Рис. 61. Возможные формы счётчиков.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 87 — Язык программирования Малыш

6. Начало и конец.Каждая програм-ма начинается полукругом, диаметркоторого обращён вниз, и кончаетсяполукругом, диаметр которого обращёнвверх.Покаиспользовались лишьполу-круги со словами НАЧАЛО и КОНЕЦ(рис. 59). В дальнейшем, когда появит-ся входная и выходная информация,они будут помещаться именно в этиполукруги.

7. Подпрограммы.Покаподпрограм-мы никак не использовались. В даль-нейшем предполагается использоватьих следующим образом:(А) Заводится тетрадь, в которую

(на отдельных страницах) заносятсявсе готовые программы. Каждая про-грамма получает свой п о р я д к о-в ы й н о м е р. Здесь же пишетсясловесная формулировка задачи — повозможности кратко, печатными бу-квами (чтобы дети, умеющие читать,могли сами её прочесть).(Б) При необходимости использо-

вать в качестве подпрограммы некото-рую программу из тех, что записаныв тетради, в блок-схему вставляетсябольшой квадрат 6 см×6 см с двумяполукругами; внутри большого квад-рата просто ставится н о м е р про-граммы из тетради (рис. 60). При необ-ходимости иметь входные и выходныеданные, они записываются в полу-кругах.Форма элемента, задающего такую

вот процедуру-подпрограмму, должнаподчеркнуть, что это целая программа,имеющая начало и конец (полукруги)и выполняющая не просто одно дей-ствие, а м н о г о действий (б о л ьш о йквадрат). Вообще следует обратитьвнимание на относительные размерыэлементов блок-схем. Правильные про-порциимеждуниминеобходимособлю-дать для того, чтобы выкладываемыена столе блок-схемы не оказывались<кособокими>.

8. Счётчики. В будущем предпола-гается расширить язык за счёт вве-дения счётчиков. Стёпа предложилорганизовать счётчик в виде сосуда,

в который кладутся шарики. Вопрособ обозначении счётчика на блок-схе-ме пока не решён. От операторов ти-па ,,i=1“ я твёрдо решил отказаться.Сначала у меня была идея обозна-чить счётчик треугольником с буквой;в блок-схеме приход к треугольникус буквой А означает: <положить одиншарик в баночку с надписью ,,А“>.Стёпа сказал, что лучше сделать не тре-угольник, а фигурку, напоминающуюпо форме тот сосуд, куда кладут шари-ки. Мысль хорошая, но все баночкии скляночки, оказавшиеся в доступно-сти, имеют цилиндрическую форму,что приводит опять к прямоугольни-ку. Сейчас я склоняюсь к третьемуварианту: на обыкновенном квадрате3 см×3 см нарисовать баночку с над-писью ,,А“, шарик и стрелку, пока-зывающую, куда этот шарик класть.Если потребуются операции вычитанияиз счётчика единицы (извлечение ша-рикаиз баночки), то её легкоизобразитьточно так же (раньше я думал пере-ворачивать треугольник вверх ногами).Оба варианта, и старый и новый, по-казаны на рис. 61.Введение счётчиков также требует

введения новых логических условий:,,А=4“, ,,А>Б“ и т. д. Только пред-варительно надо познакомить ребят созначками =, >, < и проч. Никакойдругой арифметики (даже сложения)в языке не предполагается.

∗ ∗ ∗Теперь можно, наконец, вернуться

к рассказу о занятии, который я пре-рвал на полуслове.Сначала, когда я поставил на стол

коробку со всеми карточками и стре-лочками, дети совершенно затопилименя вопросами, так что я едва успе-вал вставить слово. Всё же постепенномне удалось объяснить им следующее.Сначала я объяснил им, что робот —

это механический человек; он можетделать разные действия, но, в отличиеот человека, у него нет своего ума; по-этому он делает только то, что ему велят,

Язык программирования Малыш — 88 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

и ничего больше; зато он идеальнопослушный.Потом я показал им те действия, ко-

торые может делать робот. Выяснилось,что они плохо отличают поворотынаправо и налево от поворота кругом.Пришлось построиться в шеренгу и по-упражняться в военных командах; тог-да оказалось, что они правую и левуюстороны тоже путают. Однако привыполнении тех же команд с роботомошибок было меньше, так как напра-вление поворота показывали стрелки.После этого я объяснил им, что у ро-

бота нет глаз (так как механическиеглаза сделать вообще-то можно, ноочень трудно), поэтому он может толь-ко протянуть руку и пощупать, нет листены рядом с ним. Мы взяли ромбикис условиями и стали для разных по-ложений робота проверять, верно илинет изображённое в ромбике условие.Дима очень к месту подсказал, чтоусловие <стена справа> выполняетсяи тогда, когда стена с другой стороны,но и робот (стрелка) повёрнут в про-тивоположную сторону по сравнениюс ромбиком (рис. 62). Забавно: этоозначает, что инвариантную (относи-тельно поворотов) структуру понятий<левое> и <правое> он уже усвоил, нопока не может запомнить, что с какойстороны.Наконец, я сформулировал задание

для робота: дойти до стены и остано-

Рис. 62. Стена находится справа от робота.

виться. Тут же наступила неразбериха:один схватил робота и стал им шагатьпо <комнате>; другой стал раскладыватькарточки по клеткам комнаты; никтоничего не понимал; ещё кто-то при-ставал ко мне, зачем всё-таки нужнатакая длинная стрелка.С большим трудом мне удалось вос-

становитьпорядок, объяснить, что блок-схему надо выкладывать не на клеткахкомнаты, а отдельно на столе, что по-следовательностьдействийнадоизобра-жать стрелками и что начинать надос <начала> и заканчивать <концом>.Тогда они мне выложили схему, по-

казаннуюнарис. 63, имея в видунефор-мально следующие действия: <начатьи идти до конца>. Я показал им, чтопри такой программе робот иногдадоходит до стены, иногда не доходит,а иногда вообще расшибает нос.Тогда Дима закричал:—А, я знаю, нужно столько вот этих

штучек (показал на карточку с шагом),сколько нужно шагов; сейчас скажу:раз, два, три... — пять штук!Тут я допустил серьёзный педагоги-

ческий промах, причём, к сожалению,ровно тот же, что меня преследует всёвремя. Надо было спокойно и без спеш-ки развить эту идею: вырезать из обыч-ной бумаги квадратики, нарисоватьчеловечков и построить все предлагав-шиеся схемы. Тогда появление цикластало бы настоящим открытием. Но

4. Кружок с мальчиками — второй год — 89 — Появляются блоки Дьенеша

КОНЕЦ

НАЧАЛО

Рис. 63. Программа <дойти до стены и оста-новиться> — п е р в а я п о п ы т к а (непра-вильная). При такой программе робот делаетвсего один шаг, причём даже не проверяет навсякий случай, нет ли перед ним стены.

я, во-первых, по инерции, во-вторых,с перепугу, что у меня не заготовленодостаточное количество операторов<сделать шаг>, попросту отмахнулсяот этой идеи на том основании, чтопрограмма получается разной для раз-ных клеток, а также очень большойдля больших комнат.После этого мы исследовали возмож-

ность обойтись всёжеоднимоператоромшага, возвращаясь к нему с помощьюстрелок. Оказалось, что тогда роботкаждый раз наталкивается на стенуи расшибает нос.Тогда мы поступили следующим об-

разом: я стал по очереди завязыватьмальчикам глаза и просил выполнитьв точности то, что требовалось роботу,т. е. дойти до стены и остановиться.Но только перед этим я каждого изних носил с завязанными глазами покомнате и вертел во все стороны, что-бы он не знал, далеко ли до стены. Приэтом я просил их обратить вниманиена то, что каждый из них, прежде чем

начать идти, протягивал руку вперёд,чтобы проверить, нет ли там стены.После этого мы пришли к выводу,

что первымдействием должна быть про-верка того, нет ли впереди стены, —и программа была составлена.В заключение каждый из них про-

шагал роботом по комнате, строго сле-дуя блок-схеме (если кто-либо начиналбаловаться, я особо подчёркивал, чтороботы, в отличие от людей, а б с о-л ю т н о п о с л уш ны).

Занятие 40.Появляются блоки Дьенеша

12декабря1981 года (суббота). 1110—1155 (45мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Домокош Саас* привёзмне из Венгрии в подарок набор раз-ноцветных пластмассовых плашечек,отличающихся друг от друга четырь-мя признаками: ц в е т о м (красный,синий, жёлтый, зелёный), ф о р м о й(круги, квадраты, треугольники), р а з-м е р о м (большие и маленькие) и на-личием или отсутствием д ы р к и —итого 4 ·3 ·2 ·2=48 штук. Вроде быименно эти плашечки называются<логическими блоками Дьенеша>**.С ними связано первое задание.Сначаламы обсудили все имеющиеся

признаки. Потом я сформулировалзадачу: выкладывать цепочку плаше-чек друг за другом так, чтобы каждаяследующая отличалась от предыдущейтолько одним признаком, а три былиобщими.Ребята очень легко справлялись с за-

данием, а если иногда ошибались, толибо ошибкуобнаруживалсамошибив-шийся, либо кто-нибудь из остальных.Вскоре выросла цепочка длиной почтиво весь стол.

* Венгерский математик, специалист по тео-рии вероятностей. В аспирантуре учился вМоскве.Век буду ему благодарен за его подарок.** ЗолтанП.Дьенеш—одинизлидеров <актив-

ного>, т. е. основанного на конкретной деятель-ности, математического образования. Сейчасблоки Дьенеша можно заказать по Интернету.

Робот — 90 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Задание 2. В этот момент мне при-шла в голову мысль сделать задание,аналогичное задаче В. А. Левина <чемсвяжешь?>. Я положил на стол двефишки, отличающиеся всеми четырьмяпризнаками, и сказал, что это началои конец цепочки, и их нужно связатьцепочкой по тому же правилу.К моему удивлению, и с этой задачей

дети справились легко и быстро, совер-шенночётко с каждымшагомуменьшая<расстояние Хемминга> на единицу.После этого Женя предложил убрать

предыдущую длинную цепочку, а еёконцы соединить короткой цепочкой,как в последней задаче. Сделали. ТогдаДима предложил ещё соединить междусобой концы двух получившихся це-почек (чтобы получился четырёхуголь-ник). Сделали и это.—Получился квадрат, — сказали

дети.Я объяснил, что это не квадрат, а про-

сто четырёхугольник, так как его сто-роны содержат разное число фигурок(концы двух исходных цепочек отли-чалисьневсемичетырьмяпризнаками).Потом показал, как их можно распо-ложить по кругу. Это им почему-тоочень понравилось. Дима ещё захотелпровести в этом круге диаметр.

да нет

Рис. 64. Попытка незаконного использованияромбика с условием: не ясно, в каком случаеследует идти по третьей стрелке — если <нида, ни нет>, что ли?

Я,однако, егоостановил.Возникспор,чем заниматься дальше. Я уговаривалдетей, что еслимы сейчас переиграем вовсе игры с этими фигурками, то ничегоне останется на следующие разы. Они,тем не менее, хотели ещё. Я уж былосовсем согласился, но тутПетя спросил:—А что— дальше будет про р о б о т?Ясказал, чтопроробот.Мненияопять

разделились: некоторые из тех, кто хо-тели продолжать заниматься фигурка-ми, теперь захотели играть с роботом;некоторые из тех, кто были согласнызакончить, теперь захотели всё же иг-рать с фигурками, так как робот им ненравился. Женя сказал, что ему роботнравитсяменьше,потому что это трудно(дальнейшее показало, что он прекрас-но со всем справляется, так что он, ви-димо, просто повторял слова Наташи).Я сказал, что втроём им очень труднодоговориться, так как все хотят раз-ного, поэтому нужно, чтобы один былглавным, и как он решит, так и будет.Главным решили избрать меня, и мыперешли к программированию.

Задание 3. Я сформулировал задачу:дойти до стены и повернуться к нейспиной.Результаты были ошеломляющими.Дима сказал:—Папа! А ты нам сделай, как было

в прошлый раз.Ответить я не успел: Женя и Петя

уже хватали какие-то детали, и Дима,испугавшись, что ему ничего не оста-нется, тоже стал хватать.В мгновение ока они в шесть рук

соорудили блок-схему (не для старойзадачи, как предлагал Дима, а уже дляновой) — сначала с двумя ошибками,но тут же сами их исправили: (1) онизабыли две стрелки возврата после<шага> к проверке условия <впереди—стена?>, ноЖеня вспомнил и поставил;(2) Дима хотел к ромбику прицепитьтретью стрелку, ведущую к <поворотукругом> — как на рис. 64; я сталспрашивать, почему повисла без деластрелка <да>, и в каком случае следуетидти по третьей стрелке, но ещё до того,

4. Кружок с мальчиками — второй год — 91 — Задача для робота

как я сумел чётко сформулировать этивопросы, Петя сказал:—Это вот сюда надо,— и показал для

оператора поворота правильное место.После этого каждый из них выпол-

нил программу, водя пальцем по блок-схеме и шагая роботом по комнате.Забыл сказать: в начале задания они

требовали, чтобы мы снова обязатель-но ходили с завязанными глазами.Я сказал, что если потребуется — сде-лаем, а если не потребуется, зачем же?Дети немножко поныли:—Ну-у, а мы хотим...Но потом в процессе работы никто

об этом не вспомнил.

Занятие 41.То же: блоки Дьенеша и робот

19декабря1981 года (суббота). 1110—1200 (50мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Венгерская игра. Я на-помнил ребятам прошлое задание, в ко-тором каждая следующая фигурка от-личалась от предыдущей всего однимпризнаком, и предложил строить такуюже цепочку, но только следующийэлемент должен отличаться от преды-дущего всеми четырьмя признаками.Ребята справлялись с заданием ус-

пешно и легко, хотя иногда, конечно,ошибались. Посреди работы Петя заме-тил, что большие фигурки чередуютсяс маленькими. Мы обсудили причину

Начальное положение Конечное положение

Рис. 65. Робот должен перейти из начального положения в конечное.

(признак <размер> имеет всего два зна-чения — <большой> и <маленький>),обнаружили, что то же самое проис-ходит с дыркой (фигурки с дыркамии без дырок чередуются), и потому всебольшие фигурки в нашей цепочке бездырок, а все маленькие — с дырками.Тогда по моему предложению мы убра-ливселишниефигурки (большие с дыр-ками и маленькие без дырок), чтобылегче было разыскивать нужные.Послеэтого работа была быстро закончена.Затем по предложению Димы мы

построили под первой цепочкой вто-рую, точно такую же, только все фи-гуры с дырками были заменены набездырочные, и наоборот. Дима заме-тил, что по горизонтали у нас получи-лось <новое задание>, а по вертикали—<старое задание> (т. е. отличие ровнопо одному признаку).Картинка вышла такая красивая, что

никак не удавалось уговорить детейубрать её со стола. Особенно упрямил-ся Дима; с ним удалось договоритьсятолько после того, как было решеновырезать такие флажки к Новому годуи повесить их на ёлку.

Задание 2. Задача для робота: по-дойти к той стене, которая сзади,и стать к ней спиной (рис. 65).Сначала я попросил ребят выполнить

это задание <вручную>, т. е. взять робо-та в руку и проделать с ним все нуж-ные действия (шаги, повороты ипроч.),сам же показал им только начальное

Магические квадраты — 92 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

и конечное положения. К моему уди-влению, правильно всё сделал толькоЖеня (повернулся кругом, сделал двашага, повернулся кругом). Петя жес Димой делали бог весть что: ходиликуда-то в сторону и зигзагом, делалимного лишних поворотов, делали шагиназад и т. п. — и в итоге оказывалисьне там, где нужно. То ли они пыталисьпридумать другое задание (Дима этоочень любит), то ли моё задание немогли понять — я так и не разобрался.От меня потребовалось известное тер-пение, чтобы каждый раз объяснять имих ошибки. Наконец, я снова предо-ставил слово Жене, чтобы он показалвсё правильно, но тут и у него произо-шёл сбой и он сделал всё не так, и во-обще они, оказывается, уже забыли,в чём задача; всё началось сначала.

Проблема на самом деле была в том, что мнехотелось написать не как можно более простуюпрограмму, а как можно более захватывающую:чтобы она делала то, что от неё требуется, нопо дороге робот бегал бы по всему полю, каксумасшедший. Приходилось, однако, миритьсяс простыми программами: у нас и такую-то на-писать получалось с большим трудом. Толькочерез несколько месяцев нам удалось написатьдействительно<удачную>программу: онаправиль-но заводила робота в угол, но при этом даже папане мог понять, как это получается. — Дима.

Наконец, ясность быланаведенаимыприступили к программированию. Бы-ло испробовано множество вариантов,перечислить их здесь нет возможности.Каждый раз готовую программу мыиспользовали в деле, т. е. <тестировали>,проверяя, что она предписывает делатьроботу. Каждый раз, когда программазацикливалась, это вызывалобезумныйхохот и общий восторг. Потом, нако-нец, была составлена работоспособнаяпрограмма, которая приводила к нуж-ному результату, но не из любой на-чальной позиции, так как в циклеона сначала делала шаг, а потом про-веряла наличие стены (таким образом,если робот в начальной позиции ужестоял у стены, то, повернувшись и по-пытавшись сделать первыйшаг, он рас-шибал себе нос). Я напомнил детямпословицу <семь раз отмерь, один раз

отрежь>, объяснил, что нельзя шагатьнаобум, что перед каждым шагом надопроверять, нет ли перед тобой стены.Однако это не привело к немедленномуисправлению ошибки; вместо этогопоследовала целая серия бессмыслен-ных вариантов, но в результате всё жеобразовалась правильная программа.В заключение, по образовавшейсятрадиции, каждый из ребят выполнилвсю программу с избранной им самимначальной позиции. На этом занятиеокончилось.

Занятие 42. Снежинки

2 января 1982 года (суббота). 1110—1155 (45 мин.).Дима, Петя, Женя.

Новогоднее занятие.Какни странно,я не планировал как-то связать это за-нятие с Новым годом (просто не сооб-разил). Новогодним оно получилосьсамо собой, хотя я и осознал этотолько после того, как занятие окон-чилось. Если бы я это понял раньше,можно было бы сделать кое-что го-раздо лучше.

Задание 1. Магические квадраты.Петя принёс первую в его жизнигазету — первый номер <Пионерскойправды>, в котором была головоломка:в клетках таблицы 4×4 стояли трёх-значные числа; надо было их переста-вить так, чтобы получить магическийквадрат с суммой 1982.Я сказал ребятам, что это задача очень

трудная, но зато рассказал им, что такоемагический квадрат, потом достал аль-бом Дюрера, нашёл <Меланхолию>,сказал, что Дюрер был и художником,

Рис. 66. Пример центральной симметрии.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 93 — Центральная симметрия

и математиком, показал магическийквадрат. Потом мы стали проверятьего <магичность>, для чего сосчиталинесколько сумм по строкам и столбцами по одной диагонали.Двецифрынакартинке былинаписа-

ны как-то непонятно (я раньше этогоне замечал). Я предложил ребятам оп-ределить, что это за числа. Никто из нихне догадался, что можно из известнойсуммыв строке (34) вычесть сумму трёхизвестных чисел — и так получить чет-вёртое. Вместо этого они действовалиметодомпроб, однакообычноугадывалитребуемое число с одной-двух попыток.

Задание 2. Центральная симметрия.Я сказал ребятам, что мы с ними ужерассматривали симметрию относитель-но прямой линии (зеркальца), а ещёбывает другой вид симметрии, прикотором у симметричной фигуры естьцентр. На клетчатой бумаге я нари-совал центр, а потом ставил в разныхместах точки, чёрточки, кружочки —ииногдарисовал симметричнуюфигурусам, а иногда давал ребятам. Дима —это начинает входить у него в обы-чай — вместо того, чтобы выполнитьмоё задание, сказал, что он сам приду-мал другое задание*, и стал рисоватькакую-то кривулю, а потом ей цен-трально-симметричную, но из-за слож-ной формы кривой и из-за нетвёрдойруки невозможно было определить,правильно он выполняет задание илинет. С трудом я его уговорил, что егозадача очень трудная и нужно сначаланаучиться решать более лёгкие задачи.Потом я предложил ему преобразо-

вать треугольник, и он нарисовал образне центрально-симметричным, а осе-симметричным, т. е. не перевернул еговверх ногами. Я показал, как надо егорисовать правильно (рис. 66), и мыобсудили почему.После этого я показал ребятам кар-

тинки из книги Германа Вейля <Сим-

* Действительно, я и диссертацию защитилскорее по своей собственной задаче, чем позадаче моего руководителя... — Дима.

метрия> и из сборника <Узоры сим-метрии>. Мы отыскивали осе-симме-тричные и центрально-симметричныефигуры; я сказал, что чем больше у фи-гуры симметрий, тем она красивее.Среди картинок мы нашли рисунки

снежинок. Дима очень удивился:—Что это, снежинки?Я сказал:—Да, только сильно увеличенные.Мальчики договорились пойти на

улицу с лупой и рассматривать сне-жинки (к сожалению, ничего путногоиз этого не вышло, так как снег былслежавшийся).

Потом мы с Петей часто ловили падающиеи ещё не испорченные снежинки и их рассма-тривали. — Дима.

Наконец, мы стали строить на круг-лоймозаикецентрально-симметричнуюфигуру (с учётом цвета фишек). Воттут бы мне догадаться и построить сне-жинку! Но вместо этого наша фигураимела только центр симметрии и ника-ких осей. Ребята справлялись с задани-ем очень хорошо, ошибок практическине допускали. Боря* участвовал вме-сте с нами.После занятия, когда мальчики уже

одевались на улицу, я рассказал им оКеплере и о том, что он в качестве ново-годнегоподаркадругунаписалматемати-ческую работу <О снежинке, или Ново-годний дар>. Только тогда мне пришлав голову идея о возможности <новогод-него> занятия. На нём можно было быещё вырезать снежинку из бумаги.

Занятие 43.О некоторых свойствах сложения

9 января 1982 года (суббота). 1120—1200 (40 мин.).Дима, Петя, Женя.

На этот раз я сказал, что вчера на ан-глийском у них было новогоднее заня-тие; после этого каждый получил в по-дарок пластмассовую снежинку. Я взялДимину снежинку и всем её показал;

* Женин папа.

Симметрии снежинок — 94 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

A

A ′

B B ′

Рис. 67. Симметрии снежинки.

сказал, что наше сегодняшнее занятиетоже будет новогодним.

Задание 1. Симметрии снежинок.Я сказал ребятам, что снежинка оченькрасивая, потому что у неё много сим-метрий, и попросил их показать, ка-кие они видят симметрии. Они нашлине только очевидные оси, идущиев д о л ь лучей, но и менее очевидные,идущие м е ж д у лучами (оси AA′

и BB′ на рис. 67).Потом я спросил, есть ли у снежинок

центр симметрии. Ребята сказали, чтоесть. После этого я показал висящуюна стене вырезанную Аллой к Новомугоду снежинку из бумаги и сказал, чтоона тоже очень симметричная и оченькрасивая, только в одном отношениине похожа на настоящую снежинку:

Рис. 68. Неудавшаяся снежин-ка: всего три оси симметрии,а центра симметрии вообщенет. Эту снежинку можно по-ворачивать на 120◦, но поворо-ты мы ещё <не проходили>.

Рис. 69. Если точка лежит на луче снежинки, ей соответствуютещё 5 <таких же> точек; то же самое верно и для точек,лежащих на биссектрисах лучей. В остальных случаях однойточке соответствуют ещё 11 <таких же>.

у настоящей снежинки всегда бывает6 лучиков, а у этой — 8. Затем я объяс-нил, почему снежинку из 8 лучиковлегче вырезать из бумаги, чем из 6: трираза сложишь—получится восьмушка.Некоторое время мы поспорили, какнадо складывать бумагу, чтобы полу-чилось 6 лучиков. Потом я показал,как это сделать. У Димы затряслисьруки — так ему захотелось что-нибудьтут же вырезать. Но я сначала самрешил обрезать край, чтобы из квад-рата сделать круг в качестве заготовки;Дима, однако, не дождался, пока я этосделаю, и начал складывать другойлист бумаги, я же, воспользовавшисьэтим, дорезал снежинку сам. К сожале-нию, полученная фигура имела всеготри оси симметрии вместо шести и по-этому не была центрально-симметрич-ной (рис. 68); я не продумал этот вопросзаранее, так как вся ситуация с листомбумаги и с вырезанием произошла экс-промтом. Я скомкал эту тему (комкатьснежинку не стал) и поспешил скорееперейти к мозаике.

Задание 2. Построение снежинкина круглой мозаике. Речь идёт не о тойпрямоугольной мозаике, которой мымногократно пользовались на преды-дущих занятиях, а о другой, круглоймозаике с шестиугольными фишками.Задание ясно из заглавия: я ставил на

4. Кружок с мальчиками — второй год — 95 — Как лучше сложить?

мозаику одну фишку, а очередной измальчиковдолженбылпоставитьвсе со-ответствующие ей фишки, чтобы полу-чилась снежинка (т. е. если исходнаяфишка была на луче, то надо было до-строить ещё 5, а если не на луче, то ещё11, рис. 69). Цвет, естественно, тожеучитывался. Дима и Петя делали всёправильно, аЖеня почему-то всё времядопускал одну и ту же ошибку. В итогеих деятельности получилась довольнокрасивая разноцветная снежинка.Следует обратить внимание на нечёт-

кую постановку задачи: <чтобы полу-чилась снежинка>. Для меня это донекоторой степени—вопрос принципа.Чёткая и точная постановка потребова-ла бы разговоров о поворотах, о сразумногих осях симметрии и чуть ли не огруппе автоморфизмов,и дети всё равнобы ничего не поняли и не запомнили.Разумный режим работы — это когдапонимание условия и необходимыеуточнения к нему приходят в процессерешения.Не так лиработаетматематик-исследователь? Окончательная форму-лировка задачи становится ясной лишьтогда, когда задача наконец решена.

Задание 3. Ассоциативность (и ком-мутативность) сложения. Я сказал ре-бятам, что когда они пойдут в школу,они там будут учиться считать, нои сейчас уже... Они меня перебилии стали кричать каждый своё:П е т я: А я уже умею, но только

до ста.Ж е н я: А я только по часам.Д и м а: А я умею считать до очень

больших чисел, только я не пробовал.По контексту я понял, что они под

словом <считать> понимают последова-тельное перечисление чисел: раз, два,три... Я сказал, что они ещё немнож-ко умеют складывать и умножать.Выяснилось, чтоПетя иЖеня не знают,что значит <умножать>. Я объяснил,что это значит складывать много разодинаковые числа, и привёл пример.Но самое интересное, продолжал я,

не просто складывать и умножать, азнать некоторые удивительные секреты

про сложение и умножение. И вот одиниз таких секретов я вам сейчас покажу.После этого мы рассмотрели два при-

мера: 5+6+7 и 6+8+2. В каждомиз них мы делали сложение тремяразличными способами: сначала выби-рали два числа и складывали их, за-тем к сумме прибавляли третье число.[Надо было начать с коммутатив-

ности.]Каждый раз получалось одно и то же.

Я спросил у ребят, почему так полу-чается, и всегда ли будет одно и то же.Без всякого удивления они ответили,что всё это потому, что мы складываемодни и те же числа, и что так будет всег-да. Я назвал три очень больших числа,одно из них с миллионами, и спросил,уверены ли они, что для таких большихчисел тоже всё будет правильно. Маль-чики согласились, что для таких чиселэто может оказаться и неправильным.Тогда какже всё-таки объяснить сов-

падение результатов у нас? Петя сноваповторил тот же аргумент: мы скла-дываем одни и те же числа и, значит,делаем одно и то же.—Как одно и тоже? — возмутился я.— Смотри, здесь мы сначала получа-

ем 11 и к нему прибавляем 7, а здесьсначала получаем 13, а к нему при-бавляем 5!—Ну и что? — ответил Петя.А мне так хотелось, чтобы они уди-

вились!Тогда я зашёл с другого конца.—А что, — спросил я, — если мы

делаем одни и те же действия в разномпорядке, всегдаполучится одно и тоже?—Да, — сказал Петя.—Ну смотри, Петя, — сказал я. —

Допустим, что тебе нужнонадеть носки,валенки и галоши. Если ты сначаланаденешь носки, потом валенки, а по-том галоши, то всё будет хорошо.(Кивок.)—Ну а если ты наденешь сначала

галоши, потом валенки, а потом носки?Раздался громкий хохот, и мальчи-

ки стали наперебой сочинять, что ещёможно неправильно надеть.

Как лучше сложить? — 96 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

—Вот видите, — сказал я, — ино-гда нужно делать не только правиль-ные действия, но ещё и в правильномпорядке.[Следует признать, что пример не

совсем честный, так как демонстрируетнарушение коммутативности, а не ас-социативности. Однако коммутативно-стью сложения мы тоже пользовались,когда складывали два крайних членасуммы, а потом добавляли средний.]—Почему же всё-таки у нас всё

правильно?Петяответил, чтоемувсёравновсёпо-

нятно, толькооннезнает,какобъяснить.—Нуладно,—сказаля,—есливытак

уверены, что можно складывать числа влюбом порядке, то решите вот такую за-дачу: нужно сложить все вот эти числа.И я разложил на столе карточки с чи-

слами от 1 до 9, которые вообще-топредназначались для того, чтобы скла-дыватьиз нихмагическийквадрат3×3.Я сказал, что это задача очень трудная,но если они проявят хитрость и при-думают, какие числа с какими удобноскладывать, то она станет лёгкой.Однако ребята всё же стали склады-

вать числа подряд. Считал практиче-ски один Дима; Женя иногда подклю-чался, понукаемый Наташей, Петя жетолько в самом начале закричал:—Получится сто! — и этим его уча-

стие в процессе счёта и ограничилось.Досчитали; получилось 45. Я ска-

зал, что они молодцы и очень хорошосчитают, но что хитрости у них всё жемаловато, и другим способом можнобыло бы сосчитать гораздо проще.Димапредложил считать с другого конца(с девятки).—Ну попробуй, будет ли проще, —

сказал я. — Девять и восемь легкосложить?—Нет, — ответил Дима, но тут его

перебил Женя и сказал, что если счи-тать с другого конца, то будет больше.—Сто! Получится сто! — обрадо-

ванно закричал Петя.(Куда только девалась его уверен-

ность в том, что результат всегда будет

одинаковым?) Тогда мы стали всё-такисчитать с правого конца; работал опятьодин Дима, и получилось снова 45.Поскольку ребята никак не догады-

вались до разумного способа, я задалнаводящий вопрос:—А вот единицу с кем очень легко

сложить? (Прошу прощения у риго-ристов, я очень люблю делать числаодушевлёнными.)На это Дима резонно ответил, что

её с любым числом легко сложить.Тогда я нашёлся:—А девятку?Оказалось, что девятку легче всего

сложить с единицей—иполучитьоченьхорошее число 10, его можно отложитьотдельно и запомнить. Тут ребята самидогадались, что так же можно отде-лить 2+8, 3+7 и 4+6. Получилосьчетыре десятки и отдельно 5.—Ну и сколько же получилось

в сумме? — спросил я.— Сто! — закричал Петя.К моему удивлению, не одному лишь

Пете, но и Диме с Женей тоже былоне очевидно, что четыре десятки плюспять дают 45. Так что пришлось ещёкое-что объяснять и наводящие вопро-сы задавать. То ли они уже устали, толи задача для них слишком трудна —не знаю. Интересно, как обстояло делотогда, когда люди ещё не придумалипозиционную систему счисления. Имтогда не приходилось оперироватьс ц и ф р а м и, представляющимисобой отдельно десятки и отдельно еди-ницы. Возможно, формальный харак-тер этих операций не заслонял от нихсути дела? Но это всё фантазии.В заключение я пообещал, что в сле-

дующий раз мы попытаемся сложитьиз этих чисел магический квадрат, носам теперь сомневаюсь, доступна ли дляних эта задача. Несколько проб, ко-торые ребята сделали тут же, на месте(без моего участия) скорее убеждаютв том, что недоступна.Вечером Дима подошёл ко мне и

спросил, как всё-таки—всегда ли будетодинаковое число, если складывать

4. Кружок с мальчиками — второй год — 97 — Магические квадраты

по-разному. Я сказал, что всегда.А знаю ли я сам объяснение? Знаю.Почему же я им не сказал? Потому чтохотел, чтобы они сами думали. А когдаони сами догадаются, я им скажу?Я ответил, что скажу.

Занятие 44. Магический квадрат

16 января 1982 года (суббота). 1120—1220 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Описать это занятие очень трудно.Первым заданием было складываниемагического квадрата — и хорошо ещё,что я сделал его первым, так как онорастянулось на целый час и оказалосьочень трудным. Всё занятие состоялоиз проб различных вариантов, а такжеиз поиска (с моими подсказками и на-водящими соображениями) руково-дящих принципов перебора. В общихчертах события развивались так.1) Сначала мы решили выбрать то

число, которое должно служить суммойэлементов каждой строки и каждогостолбца. По предложению ребят быловыбрано число 5. Долгое время онипытались получить сумму 5; наконец,пришли к выводу, что это невозмож-но, однако я потребовал объяснений.С грехом пополам совместными уси-лиями мы такое объяснение нашли:даже три самых маленьких числа 1, 2и 3 уже дают сумму большую, чем 5.2) После этого были перепробованы

суммы 6, 8, 10, 12, 13 — однако каж-дый раз безуспешно: либо вторую, либотретью строчку сложить не удавалось.3) Тогда я предложил подумать

и понять, какую следует выбрать сум-му. Я напомнил им, что в прошлыйраз мы подсчитали сумму всех чисел(ребята сами вспомнили, что она рав-на 45). После этого мы долго методомподбора делили 45 на 3.4) Найдянужнуюсумму, стали скла-

дывать строки так, чтобы в них полу-чалась сумма 15. Здесь тоже не обо-шлось без проб и ошибок, но в итогедело было сделано. Особенно ребята

обрадовались, увидев, что в последнейстрочке само собой получилось 15.5) Далеемыстали, перекладываяци-

фры только внутри строчек, добиватьсясуммы 15 в столбцах. Это тоже удалось.6) Наконец, мы перешли к диагона-

лям. В одной из диагоналей сумма самасобой оказалась 15, а в другой — 6.Мы стали переставлять сразу целыестроки или целые столбцы, пытаясьполучить 15 на обеих диагоналях, ноиз этого ничего не вышло. Так нами пришлось удовлетвориться непол-ноценным решением:

5 9 17 2 63 4 8

Здесьсказалсямойнедосмотр: еслибыя обдумал задачу заранее, то понял бы,что в центральной клетке может стоятьтолько 5 и ничто иное — и тогда однойперестановкойстрокиоднойперестанов-кой столбцов мы бы получили решение:

2 7 69 5 14 3 8

На следующий день я рассказалДиме, почему в центре должно стоять 5(рис. 70), и мы с ним сложили насто-ящий квадрат, но остальным я этогопока не рассказывал.

5

Рис. 70. Если догадаться, что в центр квадратаследует поставить 5, то вся задача сильно упро-щается: ведь тогда суммы чисел, стоящих в про-тивоположных клетках, должны быть равны 10.

Магические квадраты — 98 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Забыл написать в самом начале,что я показал ребятам перфокарты*и некоторое время объяснял, что этозначит и зачем, и отвечал на вопросы.Размышляя над этой задачей после

занятия, я придумал хорошую задачудля взрослых: построить м у л ь т и-п л и к а т и в н ы й магический квад-рат, т. е. квадрат, в котором стоят раз-личные натуральные числа, и п р о-и з в е д е н и я чисел каждой строки,каждого столбца и обеих диагоналейодинаковы. Вместо того, чтобы требо-вать, как для аддитивных квадратов,чтобы числа в таблице составляли на-чальный отрезок натурального ряда1, 2, 3, . . . , n2 (для мультипликатив-ных квадратов это невозможно), можнопотребовать, чтобы произведение быломинимальным.<Минимальные>мульти-пликативныемагические квадратыраз-мера 4×4 и 3×3 показаны на рис. 71.Ещё одно решение для квадрата 3×3

(аддитивного): уменьшаем каждое чи-сло на 5; тогда вместо чисел 1, 2, 3, . . .. . . , 9 имеем числа 0, ±1, ±2, ±3,±4, а во всех строках, столбцах и диа-гоналях должна получиться сумма 0.Ставя в центр 0, симметричные от-носительно центра клетки заполняемпротивоположными числами. В итогеполучаем, например, вот что:

1 2 –3–4 0 43 –2 –1

+5 5 55 5 55 5 5

=6 7 21 5 98 3 4

* Прогресс компьютерных технологий идёттак быстро, что порой ощущаешь себя настоя-щим ископаемым: ведь мне ещё довелось в мо-лодости работать на вычислительных машинахс п е р ф о л е н т а м и! На практике этоозначает вот что: работаешь на телеграфномаппарате, который пробивает отверстия в длин-ной бумажной ленте; после двух часов работысделаешь одну единственную ошибку — и твоюленту можно выбрасывать. После этого перфо-карты воспринималиськак технологическоечудо:вместо того, чтобы выбрасывать всю колоду,можно было заменить только одну ошибочнуюкарту. С перфокартами была другая проблема,которой не было с перфолентой: если уронишьколоду карт на пол, как потом собрать ихв правильном порядке... Описания всех этаповэтой истории хватило бы на целую статью.

1 42 105 10

30 35 14 3

70 15 6 7

21 2 5 210

3 4 18

36 6 1

2 9 12

Рис. 71. Мультипликативные магические квад-раты. Если перемножить числа каждой строки,каждого столбца, а также двух диагоналей, токаждый раз получится одно и то же число: 44 100для большого квадрата и 216 для маленького.

Интересное наблюдение в процессевычислений: Дима полагает, что есликаждое из трёх слагаемых увеличитьна единицу, то и сумма увеличитсяна единицу.

Занятие 45. Обобщённые цепочки

23января1982года(суббота).1110—1200 (50мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1.Япоказал ребятам тот ма-гический квадрат, который сам соста-вил в их отсутствие, а Дима сказал, что,оказывается, в середине обязательнодолжна быть пятёрка. Петя стал во-дить пальцем вдоль строк и столбцов,приговаривая скороговоркой:—Пятнадцать, пятнадцать, пятнад-

цать, — однако никакой дальнейшейпроверки или обсуждения не после-довало, и я не стал к ним приставать,чтобы не впадать в занудство.

Задание 2. Одно из заданий из се-рииC25 , описанныхвпредыдущейглаве:я его здесь не повторяю.После окончания работы я пообещал

ребятам, что как-нибудь в следующийраз дам им задачу, по виду не похожуюна эту, а на самом деле в точности та-кую же, но они об этом не догадаются.Дима очень заволновался и спросил,скажу ли я им об этом п о т о м. Я ус-покоил его, пообещав, что скажу.

Задание 3. <Обобщённая цепочка>.На листе бумаги нарисовано несколькокругов, соединённых линиями. Требу-ется в каждыйкруг положитьпофигур-

4. Кружок с мальчиками — второй год — 99 — Графы вместо цепочек

ке из венгерского набора так, чтобыв кругах, соединённых линией, лежалифигуры, отличающиеся в точности од-ним признаком (а в кругах, не соеди-нённых линией, неважно). На этот разребята получили две задачи (рис. 72).В первой из задач фигуры, лежащие

на лучах, отличаются от центральнойфигуры: три — цветом, две — формой,одна — размером, одна — дырочностью(итого семь).Вторая задача сложней. В ней есть

только два типа решений: когда в вер-шинах треугольника лежат одинаковыефигурки трёх разных цветов либо трёхразных форм. Поскольку ребята поло-жили сначала в две вершины большуюи маленькую фигурки, решение долгонайти не удавалось.Пришлосьмнепро-вести рассуждение, показывающее, чтотретья фигурка не может быть ни боль-шой, ни маленькой. Тогда они вторуюфигурку заменили, однако заменилиеё такой, которая отличалась от первойтолько дыркой. Опять начались долгиепоиски решения, и мне опять пришлосьобъяснить, что третья фигурка не мо-жет быть ни с дыркой, ни без дырки.Наконец,Диманашёлверноерешение,

а я показал второй возможныйвариант.Наэтомзанятиезакончилось,номаль-

чикиникакнехотелирасставатьсяскра-сивыми фигурками и попросили разре-шения хотя бы самим сложить их в ко-робку.Яразрешил.ТогдаПетязакричал:—Я буду складывать квадраты!Дима:—А я — круги!

Рис. 72. В круги кладутся фигурки из набораДьенеша; те из них, что соединены чертой,должны отличаться одним признаком; на ос-тальные пары условий нет.

А Женя закричал:—А я — маленькие!Я воспользовался случаем произве-

сти математическое назидание:—Понимаешь, Женя, если Дима бу-

дет складывать круги, а ты — малень-кие, то непонятно, кому из вас скла-дывать маленькие круги.Потом я подошёл к ним ещё раз

и спросил, какие фигурки складыватьтруднее всего, а какие — легче всего,и почему. После обсуждения я объяс-нил, что треугольник можно повернутьтолько тремя способами (чтобы онпопал в лунку), квадрат — четырьмя,а круг—бесконечнымчислом способов.Дима сказал, что самые трудные —одноугольники.Это занятие имело неожиданное про-

должение. Я ещё не успел убрать ко-робку с фигурками, когда с прогулкивернулась Женечка и сразу захотела<в это> играть. Я дал ей задание по еёсилам (ей 2 года и 1 месяц) — высыпалвсе фигурки в крышку и предложилей укладывать их обратно. Она приня-лась за дело с большим энтузиазмом.Этот незапланированный <урок мате-матики для двухлетних> продолжалсябольше часа; рассказ о нём будет в дру-гом месте (стр. 199—200). Я не устаюпоражаться тому, как долго можетработать ребёнок, когда он делает этопо собственной инициативе.

Занятие 46. Изоморфизм задач

30января1982года(суббота).1100—1145 (45мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Изоморфизм задач. Речьснова идёт о серии задач, связанныхс C25 — с той разницей, что раньшемырешаликаждуюзадачу саму по себе,а сейчас стали их рассматривать вме-сте, а также выяснять, чем эти задачи<похожи> друг на друга.

Задание 2. Продолжение задания№ 45-3. Я сказал ребятам:—Вот вы видели, что бывают задачи,

которые кажутся разными, а на самом

Квадраты из букв — 100 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

деле одинаковы. А ещё бывают такиезадачи, которые помогают решать дру-гие задачи. Вот я и хочу вспомнить с ва-ми одну из тех задач, что были в прош-лый раз — потому что она поможетнам решить сегодняшние задачи.С этими словами я выложил зада-

чу-треугольник (рис. 72 справа).Дима тут же сделал её решение с тре-

мя цветами, после чего Петя и Женя,отталкивая друг друга, выложили ещёдва аналогичных решения. Я сам на-помнил им неизоморфное решениес тремя формами. После этого я дал имсобственно задачу—ромб с диагональю(рис. 73).Ребята практически мгновенно на-

шли решение, я даже не успел им за-дать тот вопрос, который намеревался:—Понятно ли, чем предыдущая за-

дача помогает решить эту?Тогда я выдал следующую фигуру —

два концентрических треугольника(рис. 74). На этот раз я вопрос задатьуспел, но ответа не получил, так каквсе уже были поглощены решением.Пришлось отвечать самому:—Потому что эта фигура состоит

из треугольников.К этому моменту Петя уже заполнил

внутренний треугольник, а когда я про-изнёс свою фразу (ответ на свой же во-прос) и при этом показал пальцем назадачу с треугольником, где ещё лежалинеснятые фигурки, Дима вскрикнул:—А! — и перетащил эти фигурки

на внешний треугольник последнейфигуры.Но решения не получилось! Каждый

треугольник в отдельности удовлетво-рял условию, однако связи между боль-шим и маленьким треугольниками по-лучились неверными (отличие болеечем по одному признаку). Последова-ло недолгое размышление и обсужде-ние — и задача решена. Это заданиевсё целиком заняло 5 минут.

Задание 3. Магический квадрат.К этому моменту прошло 35 минут.Я сказал, что ребята — такие молодцы,решили все мои задачи, так что у меня

ничего не осталось, и поэтому урококончен. Но они запросили ещё.Немного подумав, я сказал, что за-

дач больше сегодня давать не буду, авместо этого расскажу, какой я приду-мал простой способ строить магическийквадрат — и рассказал тот способ, ко-торый описан в самом конце занятия 44(стр. 98), когда квадрат сначала за-полняется пятёрками, а потом к про-тивоположным клеткам добавляютсяпротивоположные числа. Добавки к 5я писал на обороте карточек с цифрами.С отрицательными числами никакихпроблем не возникло.

Занятие 47. Конец истории про C25

6февраля1982года(суббота).1100—1150 (50мин.).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Квадраты из букв. Про-сто так, ради развлечения, я показалребятам два <магических квадрата> избукв, которые одинаково читаются погоризонтали и по вертикали (рис. 75).(Готовясь к занятию, я пытался при-думать аналогичные квадраты со слова-ми <ПЕТЯ> и <ЖЕНЯ>, но ничего невышло.) Смысл слов <АГАТ> и уж темболее <АШУГ> пришлось объяснять.

Задание 2. Продолжение заданий№№ 45-3, 46-2. Я сказал:—В прошлый раз вы так быстро ре-

шили мои задачи, что я сегодня приго-товил вам кое-что посложнее. Если выи эту задачу решите, тогда я вообщене знаю, что с вами делать. Наверное,просто сдаваться.С этими словами я под изумлённые

возгласы публики развернул фигуру,нарисованную на пяти склеенных лис-тах, которая едва поместилась на столе(рис. 76).Сначала ребята были немного напу-

ганы, но постепенно дело пошло на лад,и вскоре задача была решена. Два-трираза случались заторы, когда ребятаотклонялись от с и с т е м а т и ч е с к о-г о пути решения и заполняли не подве вершины, <подобные>предыдущим,

Рис. 73. Граф другой, но задание тоже, что и раньше: фигурки в смеж-ных вершинах должны отличатьсяровно одним признаком.

Рис. 74. Ещё один граф.

Д И М АИ Т О ГМ О Д АА Г А Т

С А Ш АА Ш У ГШ У Б АА Г А Т

Рис. 75. Нечто вродемагических квадра-тов, но не из цифр,а из букв.

Рис. 76. Всего в этом графе 48 вершин — столько же, сколько фигурок в наборе Дьенеша.

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

Рис. 77. Чтобы решить предыдущую задачу, фигурки лучше всего выкладывать парами. Этипары показаны на данном рисунке красными линиями; очерёдность пар показана числами. Легковидеть, что каждая пара (кроме самой первой) должна быть согласована всего лишь с двумяуже ранее выложенными фигурками.

Верные и неверные утверждения — 102 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

в том порядке, как показано на рис. 77красными линиями, а отклонялись отэтого порядка, и тогда порой возникаликомбинации, не имеющие продолже-ния. В этих случаях обычно требова-лась моя помощь.Несколькораз возни-кали такжеситуации, в которыхочеред-ной решающий ставил одну фигуркуиз двух, а вторая требуемая оказыва-лась уже занятой. В таких случаях яспрашивал, какая фигурка требуется,и, получив ответ, указывал, что она ужезанята. Этой помощи оказывалось до-статочно, чтобы дальше ребята нахо-дили выход сами.Интересно, чтововсех задачахэтойсе-

рии, несмотря даже на мои неоднократ-ные советы,мальчикипроявилиполнуюнеспособность пользоваться таким три-виальнымприёмом:приперебореоткла-дыватьнеподошедшиефигуркив сторо-ну.Онивсегдаклалиихобратновобщуюкучу, ипосленесколькихпробнеизбеж-но начинали повторять уже опробован-ные ранее и отвергнутые варианты.Интересно также, что если надо было

изменить какой-нибудь один признак,то мальчики чаще всего меняли либоцвет, либо дырку. Реже менялся раз-мер, и ещё реже — форма.

Задание 3. C25 : последний вари-

ант — шарики в коробочках. См. обэтом в главе 3.

Задание 4. Доказательство того,что C2

5 =10. Об этом тоже уже былорассказано там же.

Занятие 48.Истинные и ложные утверждения

20 февраля 1982 года (суббота). 1120—1220 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Истинные и ложные ут-верждения. Эта задача похожа на ужеупоминавшуюся ранее задачу о <маль-чиках и девочках в очках и без очков>(см. стр. 37). Однако есть три сущест-венных отличия: (1) утверждения наэтот раз касались не детей, а фигурокДьенеша; (2) в прежней задаче кар-

точки с рисунками были заготовленызаранее, сейчас же я хотел, чтобы ре-бята выбирали фигурки сами; (3) ут-верждения я тогда тоже формулировалсам, мальчикам же оставалось толькосказать, верно или неверно; в этот разя рассчитывал, что и утверждения онибудут придумывать сами.Итак, задача состоит вот в чём: один

из игроков кладёт на стол несколькофигурок из набора Дьенеша и форму-лирует про них какое-нибудь правиль-ное утверждение. Следующий игрокдолжен изменить что-нибудь в этомнаборе так, чтобы предыдущее утверж-дение стало неверным, после чего самсформулировать верное утверждение,и такпоочереди.Мнеаприориказалось,что это простая и естественная игра.На практике всё оказалось иначе.Сначала я положил две фигурки

и предложилПете сформулироватьвер-ное утверждение. Он тут же поставилменя в тупик, заявив:—Ониотличаются одним признаком.Увы, мне не к чему было придраться.

А когда появилась третья фигурка и яспросил, что теперь означает преды-дущее утверждение (кто <они> теперьотличаются одним признаком?), Петя,не смущаясь, ответил, показывая паль-цем на фигурки:—Вот эти — одним, и вот эти —

одним, а вот эти — двумя.Дальше — больше. Каждый раз,

когда надо было сделать <правильноеутверждение>, обычно в качестве негоследовало что-то вроде:— Здесь есть один большой красный

квадратик с дыркой, и ещё два малень-ких кружочка без дырки — один жёл-тыйиодинзелёный,ибольшойтреуголь-ник (на детальное описание треуголь-ника, видимо, уже пороху не хватило).Всё это было в самом деле правильно,

но совсем не то, чего я хотел. И сколькоя ни уговаривал ребят делать утвержде-ния попроще, ничего не помогало.[Впрочем, по-видимому, для ребят

такие утверждения и в самом деле про-ще, в том смысле, что требуют меньше

4. Кружок с мальчиками — второй год — 103 — Программирование

интеллектуальной работы. А утвержде-ния типа <все фигурки — без дырок>,хотя и более коротки, но требуют на-блюдательности, обобщения, проверкирезультата и т. п.]Не легче обстояло дело и с измене-

ниями набора так, чтобы предыдущеевысказывание стало неверным. Тот издетей, чья была очередь, обычно норо-вил убрать весь набор целиком и заме-нить его новым, что, конечно, опять-таки было и правильно логически,и <более просто> психологически.Я ни-чего не мог с этим поделать.[В следующий раз надо попробовать

ввести логические значки и значкидля значений признаков и оцениватьвысказывания по сложности.]В довершение сказанного я, не вы-

держав,раньшевременивмешалсяисталделать утверждения о пустых множе-ствах. Например, когда не было ниодной красной фигуры, я сказал:—Все красныефигурки—без дырок.Это вызвало бурные дебаты.Когда-то, когдамызанимались<маль-

чиками и девочками в очках и без оч-ков>, мнепоказалось, что ребята понялисмысл условных утверждений. Конеч-но, я в тот момент просто зарвался. Нопо крайней мере тогда они мне дружнопокивали—асейчас устроилимне твёр-дую оппозицию и так и не согласилисьс моими объяснениями. Одним словом,они молодцы. А я? Всё задание превра-тилось в сплошную неразбериху.

Задание 2. Простыечисла.Мыбралипо очереди 1, 2, 3, . . . , 15 кубиков и пы-тались разными способами складыватьиз нихплоскиепрямоугольники.Такимобразом, былиполученыразложениянамножители всех этих чисел. А из про-стых чисел выходили только полоски.

Немного программирования —с одним Димой

Записано 1—8 марта 1982 года.Я стараюсь не заниматься сДимой от-

дельно теми задачами, которые мы про-

ходим на кружке, чтобы не создаватьнесправедливого перевеса в его пользу,он и без того слегка опережает осталь-ных. Но на этот раз он до такой степенипристал ко мне с просьбой <поигратьв робота>, что мне просто некуда былодеваться. Задачу он поставил себе сам,показав просто начальное и конечноеположения (рис. 78).В качестве первой попытки Дима

повторил программу, которую мы об-суждали на стр. 91—92 (без последнегоповорота). Однако испробовав её (сам),убрал полукруг <конец> и стал добав-лять к решениювторую часть. Итоговаяпрограмма показана на рис. 79.Фактически ей предшествовало до-

вольно много попыток. В основном всеошибки были той или иной модифика-цией следующейошибки.Еслинадо бы-ло произвести какое-нибудь действие,например, <шаг>, причём в блок-схемеуже имелся квадратик с оператором<шаг>, Дима начинал тянуть стрелкупрямо к нему. При этом он не понимал,что после прихода в этот блок ему при-дётся не только сделатьшаг, но и после-довать по всей цепочке стрелок, вы-ходящей из этого блока. Я попыталсяобъяснить это ему в явной форме, нов следующийраз он вёл стрелку к блокупроверки условия или к блоку поворо-та. Ситуация очень трудная: ведь этомуприёму я сам их научил, когда сове-товал вместо пяти операторов подряд<шаг> устроить цикл и возвращатьсяпять раз к одному и тому же блоку.Выходит, что иногда так можно делать,а иногда—нет, но какпровести границумежду этими двумя ситуациями, я незнаю.Второй тип ошибкисостоял в том,что Дима пытался вывести две стрелкииз исполняемого оператора (а не изпро-верки условия). Я пытался объяснитьему, что такая программа не имеет смы-сла, так как не ясно, по какой стрелкеидти, но он, видимо, потеряв надеждусправиться с задачей, только ныл:—Ну,па-ап!Нувсё-такидавайта-ак!—Ну а по какой стрелке ему идти?—Вот по этой.

Начальное положение Конечное положение

Рис. 78. Задача для робота.

НАЧАЛО

НЕТ

ДА

НЕТ

ДА

КОНЕЦ

Рис. 79. Программа, решающая преды-дущую задачу.

Конечное положение

Рис. 80. Вначале робот стоит в одной и той же клетке(правой нижней).Для четырёх возможныхначальныхнаправлений его конечные п о л о ж е н и я будут та-кими, какпоказанона этом рисунке.При этом конечноен а п р а в л е н и е всегда совпадает с начальным.

Начальное положение

Конечное положение

Рис. 81. Исполнение той же программы в непреду-смотренном контексте.

БРис. 82. <Комплексный значок>, включающий сразувсе четыре признака. Использование таких <значков>показывает, что сама идея значка для обозначенияне объекта, а п р и з н а к а, осталась непонятой.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 105 — Неподатливые обозначения

—А когда он дойдёт до угла?—Тогда по другой.—А как же он об этом узнает?—Я ему скажу...—А ты сам как узнаешь?—Увижу,когдабудет стенкавпереди.—Так почему бы тебе не сделать

проверку, есть стена или нет?—Но ведь ты же видел, что я делал

туда (к первому ромбику) стрелку,и ничего не получалось!Тут я не выдержал и подсказал ему

сделать ещё один ромбик. После этогоон справился с задачей.

Сам я попросить новые карточки не решался:мне казалось, что ограниченное количество кар-точек является одним из ограничений языка.Не зря же папа всегда советовалпровести стрелкук уже выложенной карточке <шаг>, а не кластьновую карточку. — Дима.

Кроме того, о чём сказано выше, мояпомощь состояла в следующем: во-пер-вых, я вырезал по его просьбе недоста-ющие элементы; во-вторых, я помогалв отладке (т. е. следил за чёткостью ис-полнения программы); в-третьих, от-казывался исполнять синтаксическиневерные программы (например, с от-сутствующим оператором <конец>).

Постскриптум. Когда я записывалпредыдущий текст, Дима, пробегая ми-мо, увидел своюпрограммуи решилпо-казать её Алле. При этом выявилисьследующие обстоятельства. Во-первых,Дима отказался показывать работу про-граммыпо бумаге, а захотел непременновыложить её из карточек. Видимо, про-грамма, нарисованнаянабумаге, кажет-ся ему <ненастоящей>. Моипопытки егопереубедить ни к чему ни привели. Во-вторых, он обнаружил ошибку в первойверсии моего изложения, из-за которойв самом начале программы потребо-валось добавить оператор поворота на180◦. Пришлось мне в предыдущем тек-сте кое-что заклеивать и исправлять.(Здесь приводится уже исправленныйвариант.)После этого Дима стал пробовать, что

получится, если действовать по той жепрограмме, но в начальном положении

робот, стоя в той же самой клетке (пра-вой нижней), направлен в другую сто-рону. Оказалось, что, в зависимости отчетырёхвозможныхначальныхнаправ-лений, робот в конце пути оказываетсяв каждом из четырёх углов, но при этомконечное направление всегда совпа-дает с начальным (рис. 80).Наконец,Димаиспробовал тужепро-

грамму ещё одним, уж совсем не пред-усмотренным мной способом: он поста-вил робота под углом 45◦ к осям, носомв угол (а потом, соответственно, в на-правлении, перпендикулярном этому).При этом условие <есть стенка впереди>интерпретировалось вполне разумнои по-житейски: <дальше в том же на-правлении двигаться нельзя>. Один измаршрутов показан на рис. 81.В заключение я объяснил Диме, по-

чему всегда сохраняется исходное на-правление: потому, что три поворота(один на 180◦ и два на 90◦ в одну и тужесторону) делаются в с е г д а, независи-мо ни от каких условий (а шаги могутделаться, а могут и не делаться). Он всёпонял и тут же пересказал Алле.

Занятие 49.Повод поразмыслить о знаках

6 марта 1982 года (суббота). 1110—1210 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Верные и неверные ут-верждения (продолжение). На этот разправила изменились: я ввёл кванторы*∃ и ∀, а также значки для значенийпризнаков:(1) для цвета: четыре бесформенных

цветовых пятна;(2) для формы: , �, ©;(3) для размера: Б, М (в смысле —

большой и маленький);(4) для наличия или отсутствия

дырки: , −.Надо признать, что идея этих значков

осталась не очень понятной. То есть,

* Значок ∃ означает <существует>, а значок∀ — <для всех> или просто <все>.

О простых числах — 106 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

когда дошло до дела, мальчики срав-нительно свободно их применяли, нов процессе <придумывания> у нас про-изошёл длинный спор (особенно с Ди-мой как с самым большим любителемпридумывать собственные варианты):детипредлагалисвои собственныезнач-ки. И это было бы, конечно, толькохорошо, но беда в том, что все значки,которые они предлагали, были, так ска-зать, <комплексные>, т. е. один значоквключал сразу несколько признаков(иногда даже все четыре, т. е. по суще-ству полностью описывал конкретнуюфигурку; я спрашивал, почему тогда ужне нарисовать просто саму фигурку; ноэта идея вовсе не казалась им нелепой).Одиниз значков, предложенныхДимой,я изобразил на рис. 82 (стр. 104) —он означает <большой красный квад-рат с дыркой>.Я пытался убедить Диму, что такой

значок следует засчитывать за четыре,так как он заменяет собой сразу четыреслова; спрашивал:—А что если тебе надо будет про-

сто сказать <красный>, и не говорить,что это — квадрат с дыркой?Но в ответ получал какой-нибудь

другой значок такого же типа. Тогда,чтобы объяснить смысл красного пят-на, я выложил все красные предметывместе и сказал, что нужен один общийзнак для них всех. Ответом мне былополное недоумение: как же можнотакую кучу нарисовать?[Всё это, по-видимому, должно озна-

чать, что дети пока ещё не отделяютпризнаки от предметов: об этом пишутмногие психологи. Видя конкретныйпредмет, дети, конечно, могут сказать,что он красный, но само понятие <крас-ный>, без красных предметов, лишенодля них определённого смысла, а по-тому и не нуждается в специальномзначке. Значок должен заменять собойне абстракцию, а что-то весомое, ре-ально существующее. Затронутая здесьпроблема более серьёзно обсуждаетсяв следующей главе (стр. 115 и далее).А пока пойдём дальше.]

Спомощьювведённыхзначковикван-торов мы записывали решения (прокаждое множество объектов каждый изнас высказывал по утверждению). Приэтом каждый получал столько очков,сколькоон использовалзначков.В кон-це должен был выиграть тот, кто набе-рёт наименьшее число очков. (Забегаявперёд, скажу, что все набрали поров-ну—13 очков за 6 утверждений, толькоянабрал12 очков.)Действияпоизмене-нию набора (так, чтобы предыдущееутверждение стало неверным) мы тожеоценивали: убрать фигурку — одно оч-ко, и добавить фигурку — одно очко.В таком виде игра явно приобрела

большую осмысленность, однако при-знать её удовлетворительнойвсёжепоканельзя. Главный дефект: все (кромеме-ня, конечно)пользовалисьтолькокван-тором ∃. Это очень легко — просто ска-зать, что <здесь существует такой-тообъект>. И потом сделать такое утвер-ждение неверным тоже очень легко:нужнопросто этот предмет убрать, и всё.На следующий раз я обещал ребятам,

что мы ещё раз изменим правила игры:будемпользоваться толькоквантором∀,а фигурки можно будет только добав-лять. Однако, подумав на досуге, я по-нял, что это потребует введения осталь-ных четырёх логических значков*:∧, ∨, ¬,⇒. Наша знакомая Н. Б., кото-рая тоже занимается с детьми, говорила,что у неё это идёт успешно. Что ж, по-пробуем. Или я опять зарвался?

Задание 2. Простые числа (продол-жение). Я подготовил большую краси-вую таблицу, в которую вошли числаот 1 до 28. Для каждого числа естьспециальное место, где записываетсяразложение его намножители, и отдель-ная графа <для выводов>. На данномзанятии мы успели рассмотреть всего4 числа: 16, 17, 18, 19. У меня возниклостранное ощущение, что ребята не оченьхорошо понимают, что происходит.Так, например, Петя, укладывая 19 ку-

* Логические связки, означающие <и>, <или>,<не> и <влечёт>.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 107 — О простых числах

биков в два ряда, положил их так, какпоказано на рис. 83, и сказал:—Не получается.Когда я исправил его, удлинив один

ряд и укоротив другой, он сказал спо-койно:—Я же говорил, что не получается.В одной вещия очень глубоко неправ

и прекрасно это понимаю, но никак немогу с собой справиться. Я почему-тоужасно раздражаюсь от их неуменияработать систематично. Вот, например,нужно найти разложение на множите-ли числа 19, т. е. сложить из 19 куби-ков прямоугольник. Казалось бы, ежуясно: нужно сначала попробовать сло-жить кубики в 2 ряда, потом в 3 ряда,потом в 4 и т. д. Вместо этого Петя сна-чала пробует 3 ряда, потом 2, но недоводит до конца, пытается построитьмногоэтажную башенку, кто-то разру-шает ее случайно, он снова принима-ется за 3 ряда и т. д., и т. п. Я спра-шиваю:—Петя, а ты разве не пробовал уже

три ряда?—Пробовал.—Почемуже ты ещёраз это делаешь?—Хочу ещё раз проверить.Я едва себя усмирил, но всё же доля

язвительности была в моём следующемвопросе (может быть, и сам вопросвозник в результате раздражения):—А ведь правда, ребята, если поло-

жить те же кубики по-другому, можетбыть, получится?На что Дима заявил:—Папа! Мы ведь этим уже занима-

лись! — чем немало меня удивил, таккак занимались мы этим на самом пер-вом занятии, ровно два года назад.

Рис. 83. Попытка сложить 19 кубиков в виде прямоугольника.

Тут я ещё вставил свою любимуюшутку о том, что 5 и 5 на двух руках бу-дет 10, анаоднойруке—9, ипоказалимэто, посчитав пальцы на одной и той жеруке от большого к мизинцу и обратно.Но меня раскусили. Однако что делатьс числом 19, оставалось неясным — мыведь так и не попробовали все способы,да и те, что попробовали, уже забыли.А между тем многократные попытки

Пети уложить 19 в три ряда имели подсобой очень даже разумное основание.Ещё раньше, при обсуждении числа 17,Дима сказал, что ничего не получится,так как 17 — число нечётное, на чтоПетя совершенно резонно возразил:—Ну почему? Девять же получи-

лось! — и показал на разложение 9==3 ·3.Потом, когда подошла его очередь за-

ниматьсячислом19,Димаснова заявил:—Не получится!А Петя снова ему возразил:—Получится, получится! Девять же

получилось — значит, и девятнадцатьполучится!Поэтому-то он и начал с разложения

в 3 ряда; но я как-то эту логику прогля-дел. И даже в самом конце, когда с чи-слом 19 было, наконец, покончено, онв сердцах воскликнул:—Как же так?! Девять получается,

а девятнадцать нет!Мне бы поддержать его склонность

к аналогиям, но я её попросту не заме-тил, и восстановил только позже, ужезадним числом, по памяти.[Самапроблема—какнаучить их ра-

ботать систематично — остаётся, и онакажется мне очень важной. Это и важ-ный навык сам по себе, и, как мы ви-

Какая дорожка длиннее? — 108— 4. Кружок с мальчиками — второй год

дели, путь к доказательству. У меняна эту тему нет никаких соображений.Впрочем, Алла считает, что эта пробле-ма решается очень легко: нужно простоподождать лет пять.]В целом занятие прошло в довольно-

таки нервозной обстановке из-за того,что мальчики всё время между собойдрались (все трипары), а также всё вре-мя спорили, кто будет первым. Едва лине треть занятия ушла на то, чтобы ихразнимать, пересаживать, улаживатьконфликты и проч. Был даже момент,когда я хотел совсем прекратить заня-тие, до того разозлился.

Занятие 50. Двойной юбилей

21марта 1982 года (воскресенье). 1700—1800 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Это занятие является вдвойне юби-лейным: во-первых, оно пятидесятое посчёту, а, во-вторых, 23 марта нашемукружку исполняется два года. Обо всёмэтом я сказал ребятам, что, однако, непроизвело на них никакого впечатле-ния. Главная причина в том, что я самне умею создавать атмосферу праздни-ка—неумеюделать артистическихжес-тов и говорить торжественным голосом.Вторая причина в том, что для ощуще-ния праздника нужно о нём знать зара-нее и ждать его, а я почему-то от ребятэто скрыл, надеясь на <сюрприз>.(Номинальномызанимаемсяразвне-

делю. Фактически же, как легко посчи-тать, получается раз в две недели —вмешиваются то каникулы, то болезни,то ещё что-нибудь. Впрочем, этот ритмсовершенно разумен. У французскихстудентов, например, учебный год де-лится на два семестра по 12 недель, т. е.почти так же, как у нас на кружке.У студентов, правда, бывают ещё двеэкзаменационные сессии, а у нас нет.)Всё занятие состояло из того, что я

прочитал мальчикамсказкуЕжиЦвир-ко-Годыцкого<Какпобедитьколдунью>.Заодномырешиливсе задачи, содержа-щиеся в этой сказке, а также познако-

мились со знаками ∧, ∨,∼ (последнийзнаквкнигеобозначаетотрицание;болееупотребительным является знак ¬) —они потребуются в следующий раз дляигрыв верныеиневерные утверждения.В конце занятия я подарил каждому

из мальчиков по шоколадке и по блок-нотику (посколькуДима иПетя захоте-ли один и тот же блокнотик, пришлосьбросать жребий; выиграл Дима).

Занятие 51.Какая дорожка длиннее?

28марта 1982 года (воскресенье). 1700—1800 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Дорожки из палочек (за-дача Шеминской*). Имеются две груп-пы палочек: длинные и короткие; отно-шение длин 7:5. Для того, чтобы ихбыло легче отличать, все длинные па-лочки — красные, а все короткие —зелёные. Все они сделаны из <палочекдля счёта> (для первоклассников).Я складываю зигзагообразную до-

рожку из длинных палочек (рис. 84)и прошу ребят сложить дорожку такойже длины из коротких палочек.К моему удивлению, никто не стал

прикладывать вторую дорожку рядом,под первой. Все они стали строить своидорожки в разных концах стола, пыта-ясь имитировать форму моей дорожки.Но поскольку их изобразительные воз-

* Одна из учениц Ж. Пиаже.

Рис. 84. Сложить дорожку такой же длины,но из более коротких палочек.

4. Кружок с мальчиками — второй год — 109 — Какая дорожка длиннее?

можности ещё ниже логических, у ниху всех вышли какие-то жуткие рогули,нискольконе похожиенамою дорожку.Никаких аргументов в обоснованиеодинаковости длины никто не привёл.Иногда кто-нибудь из ребят колебался,добавлять или не добавлять к своейдорожке ещё одну палочку.Надо было что-то обсудить, но я не

знал, к чему прицепиться. Всегда, когдав качестве ответа вместо неверного ут-верждения получаешь бессмысленное,попадаешь в тупик; и сейчас ситуациябыла аналогичной. Тогда я просто ввёлновое условие: все зелёные дорожкидолжны быть прямыми.Началось строительство прямых до-

рожек, но опять никто не построилновую дорожку под старой. Я не вы-держал и сказал:—Авот так будетправильно?—и сам

сделал зелёную дорожку из 4 короткихпалочек прямо под красной дорожкой,так что концы пришлись к концам(рис. 85).Дима ответил, что так всё будет пра-

вильно. Женя сказал:—Неправильно, нужно 5 палочек, —

и с этими словами распрямил мою ис-ходную дорожку-зигзаг и стал прикла-дывать к ней рядом зелёные палочки.Но ещё в процессе работы Петя за-

кричал:—Они короткие!Всамомделе,пятипалочекнехватило;

Женяпоколебалсяидобавилещёдвепа-лочки, стало 7, и дорожки сравнялись.

Рис. 85. Верно ли, что эти дорожки — оди-наковой длины? (Длины палочек подобранытак, что пять длинных палочек равны подлине семи коротким.)

Тут Дима с подчёркнутой ирониейстал говорить:—Да! Конечно! Одинаковые! Вот

смотрите: одинаковые!С этими словами он стал приводить

краснуюдорожкукпервоначальномуви-ду. Когда он это сделал, всем пришлосьстать лицом к лицу с упрямым фактом:с одной стороны торчала <лишняя> зе-лёная палочка, а с другой так даже две.—Нуичто?—сказалЖеня, но всёже

пошёл на компромисс и одну из тор-чащих <лишних> палочек убрал.Я спросил у Димы, что он об этом

думает, и он оставил, как и раньше,4 палочки.Тогда я попросил отдельно сложить

зелёную дорожку такой же длины, чтои красная, н а д р у г о м с т о л е. Про-изошло небольшое обсуждение междуребятами. Я лёгким пасом поддержалтот вариант, который был мне выгоден:кто-тоизмальчиковсказалмеждуделом:—Их пять штук.А я громко переспросил:— Сколько их?После этого все единодушно сделали

дорожку из пяти палочек.Петя, однако,заявил:—Но они короткие!Все согласились с ним, что получив-

шаяся дорожка короче, чем исходная.Наконец-то удобный момент! Я ска-

зал:—А теперь смотрите, что получается.

Вот эта дорожка т а к о й ж е д л и ны,и в ней 4 палочки; а вот эта дорожкак о р о ч е, и в ней 5 палочек. Значит,5 палочек короче, чем 4.—Ой-ой-ой...,— отреагировалДима,

совершенно потрясённый.Я предложил ребятам найти выход из

противоречия, но никто больше не смогпредложить ничего нового. Тогда я про-сто спросил каждого о его окончатель-ном мнении. Дима сказал, что считаетправильным решение с 4 палочками.Петя сказал, что оба решения — и с 4,и с 5 палочками — верные.(Это очень характерно для него. Он

всегда прекрасно соображает в начале

Шифр — 110 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

задачи, но к концу задачи, то ли от уста-лости, то ли от потери интереса можетс лёгким сердцем сказать что угодно.Я у него спросил:—Значит, дорожки в 4 палочки

и в 5 палочек одинаковы?Нет реакции.—Но ведь ты сам говорил, что эта

дорожка к о р о ч е, а теперь говоришь,что это правильное решение.Тоже нет реакции.)Наконец, Женя сказал, что считает

верным своё решение, в котором было7 палочек.Я никаких комментариев не делал.[Надо былопроделать ещё одно упра-

жнение: исходную дорожку из пятидлинных палочек перекладывать так,чтобы расстояние между концами ста-новилось 3, 2, 1, 0 коротких палочек.Аналог того, как я когда-то раздвигалмонеты с пуговицами, постепенно до-водя ситуацию до абсурда.]

Задание 2. Сноваверныеиневерныеутверждения (продолжение задания№ 49-1). На этот раз все утверждениядолжны были начинаться с квантора ∀,а фигурки можно было только добав-лять — по одной. Разрешалось пользо-ваться знаками ∨, ∧,∼, которые ребятаузнали из сказки о колдунье (см. пре-дыдущее занятие). Довольно скоромальчики столкнулись с тавтологией;утверждение было верным, но сделатьегоневернымнаследующемшагенеуда-валось. (Не помню точно, какое былоутверждение, ночто-нибудь такого типа:<все фигурки — большие или малень-кие>.)Мыобсудили ситуациюи догово-рились стараться не делать тавтологий.Как я и ожидал, ребята легко пута-

лись в значениях связок <и> и <или>.Для множества, состоящего из однойзелёной и одной красной фигурки, ониговорили:—Все зелёные и красные.Я пытался им объяснить, что ут-

верждение должно быть верно д л як а ж д о й о т д е л ь н о й ф и г у р к и(в частности, <зелёных и красных> фи-гурок вообще не существует). Особого

успеха я, конечно, не добился.Петя, на-пример, повторял эту ошибку каждыйраз, когда до него доходила очередь,хотя я каждый раз ему всё заново объ-яснял.По мере продвижения вперёд задача

становилась всё более трудной. Я во-время переключился и стал изобретатьверные суждения сам, а ребята долж-ны были только делать их неверными.В таком виде мы играли ещё довольнодолго. Иногда ребята подсказывалимневерные утверждения, но чаще всегоэто были тавтологии.

Занятие 52. Разгадка шифра

3 апреля 1982 года (суббота). 1100—1200 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Шифр. Я объяснил ре-бятам, что такое шифры и для чего ихиспользуют (для секретности). Потомсказал, что если человек очень умный,то он может прочитать письмо, дажене зная шифра.—Как это?—А вот сейчас увидите.Мы вспомнили, сколько всего в рус-

ском языке букв (33), и сколько естьцифр (10). Затем я сказал, что я взял10 букв и заменил каждую из них циф-рой; ещё некоторое время объяснял,почему я не могу все буквы заменитьцифрами.—Так вот, — сказал я, — у нас есть

четыре слова, написанные таким обра-зом, что буквы заменены цифрами:

1 2 3 4, 5 4 5 4, 5 6 7 8, 9 6 0 8.

Кроме того, известно, какие это слова:

ДИМА, ПЕТЯ, ЖЕНЯ, ПАПА

(реальноявыдалшифрованныеинеши-фрованные слова в разных порядках);но только неизвестно, где здесь какоеслово. Требуетсявсё расшифровать, т. е.узнать, какое слово где зашифровано,и какая буква какой цифрой заменена.Сначала, как и следовало ожидать,

дети (точнее, Петя), ни секунды не за-

4. Кружок с мальчиками — второй год — 111 — Генеалогическое древо

думываясь, положили слова из цифри слова из букв друг к другу произ-вольно. Я сказал:—Давайте проверять, — и мы стали

проверять, всё ли получается согла-сованно.Но не успели мы начать, как Петя

воскликнул:—Вот ПАПА! — и показал на сло-

во 5454.Я потребовал объяснений, и он, хотя

и не очень толково, объяснил, что у это-го слова, как и у слова ПАПА, два оди-наковых слога. Я повторил его объяс-нение более толково. Тут Петя сказал:—А вот ДИМА, — и показал на

слово 1234.—Почему?—Потому что оно кончается на бу-

кву А.—А другие слова не кончаются на

букву А?—Нет, они кончаются на букву Я.—А вот это ПЕТЯ и ЖЕНЯ, —

вступили в разговор остальные.—Правильно. Нужно только узнать,

кто из них ПЕТЯ, а кто — ЖЕНЯ.Тут, наконец, вступил в дело Дима,

сказав:—Вот это ПЕТЯ, — и показал на

слово 5678.—Почему?—Потому что оно начинается на

букву П.Таким образом, был раскрыт весь

шифр:

1→Д, 2→И, 3→М, 4→А, 5→П,6→Е, 7→Т, 8→Я, 9→Ж, 0→Н.

В заключение я написал детям воттакое письмо:

3434 34967 1236, 5676 29606 361 2 1963

(МАМА МАЖЕТ ДИМЕ, ПЕТЕ ИЖЕНЕ МЕД И ДЖЕМ).Они, хоть и с трудом, но прочли его.Здание 2. Отчества. В качестве сле-

дующей задачи я собирался дать ребя-там довольно сложное генеалогическоедрево (из 12 клеток), а также 12 кар-

Рис. 86. Генеалогическое древо: сверху отец,снизу сын. Одного из них зовут НиколайСтепанович, другого — Степан Петрович. Ктоотец, а кто сын?

точек, на каждой из которых былонаписано имя и отчество некоторогомужчины. Требовалось разложить этикарточки по клеткам, ориентируясь наотчества (Степанович — сын Степана).Но сначала я дал тренировочную зада-чу: даны всего две клетки (отец и сын),рис. 86; одного из них зовут НиколайСтепанович, а другого СтепанПетрович;требовалось узнать, кто есть кто.Дети, как водится, наобум положили

Николая Степановича в отцы, а Сте-пана Петровича в сыновья. Я по-пытался столкнуть их с противоречием:у П е т р о в и ч а отец — Ни к о л а й.К моему ужасу, никто не усмотрелв этом никакого противоречия!Оказалось, что н и о д и н и з н и х

н е им е е т ни м ал е йше г о п р е д-с т а в л е н и я о т о м, к а к п о л у-ч а ю т с я о т ч е с т в а. Дима и Женявообще не знали, как их зовут по име-ни-отчеству. Петя знал, что его зовутПётр Витальевич, но не знал, почему.Всё оставшееся время я объяснял ре-

бятам, откуда берутся отчества, что та-кое полное и неполное имя и т. д., и т. п.До самой задачи мы так и не дошли.

Занятие 53. Генеалогическое древо

10 апреля 1982 года (суббота). 1100—1200 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Устный вопрос. Естькурица, которая весит 2 килограмма.

Генеалогическое древо — 112 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

(<Ого!>; <Ничего себе!>). Про неё за-даются два вопроса:(а) сколько она будет весить, если

встанет на одну ногу?(б) если она встанет одной ногой на

одни весы, а другой ногой — на другие,то сколько покажут каждые весы?Вопросымыобсуждалиотдельно: сна-

чала все ответили на первый вопрос,всё обсудили, потом последовал второйвопрос. В итоге мнения распредели-лись так:Ж е н я: (a) 1 кг; (б) 1 кг+1 кг.Д и м а: (а) 2 кг; (б) 2 кг+2 кг.П е т я: он много раз менял свою

точку зрения, и итог я так и не запом-нил. Помню, что когда речь зашла продвое весов, он назвал 1 кг+2 кг: натех весах, где одна нога, 1 кг, а на техвесах, где осталось две ноги, 2 кг.У Жени в п. (а) я спросил:—А один килограмм, значит, висит

в воздухе?У Димы в п. (б) спросил:—Значит, раньше она весила два

килограмма, а теперь четыре?Оба ответили утвердительно. (Однако

через пару дней Дима подошёл ко мнена кухне и сказал, что он придумалдругое решение задачи про курицу —и назвал Женино решение: (а) 1 кг;(б) 1 кг+1 кг.)В заключение задачи я произнёс

следующее нравоучение:—Когда в позапрошлый раз мы с ва-

мирешализадачупро дорожкииз пало-чек, одиниз вас решилэту задачуверно,а двое остальных неверно...Тут Дима меня перебил:—А я думаю, что я верно решил.Я продолжал:—Конечно, каждый из вас думает,

что именноонрешилзадачуверно.Ведьесли бы ты, Дима, думал, что твоё реше-ние неверно, зачем бы ты стал нам егоговорить? Ты бы постарался придуматьдругое, верное решение. Так что каж-дыйизвасдумает, чтоонправ.Но, с дру-гой стороны, ведь вы дали три разныхрешения, и они не могут быть все триправильными. Так вот, правильно ре-

шил задачу только один; но кто это был,я не скажу! Потому что мне важно нето, чтобы вы знали правильный ответ,а чтобы вы учились сами думать. Воттак же и сегодня: один из вас правиль-но ответил на первый вопрос, а одинправильно ответил на второй вопрос.Но кто на какой — не скажу.Ребята для порядка немного поныли

и поклянчили, чтобы я всё-таки ска-зал, но не очень настойчиво.

Задание 2. Отчества (продолжение).Этазадачазаимствованаизлингвистиче-ских олимпиад. На листе бумаги нари-совано генеалогическое древо (рис. 87).Сначала шли устные вопросы. Где

отец вот этого человека? Где дедушкавот этого человека? Кем приходится вотэтот человеквот этому?(Прадедушкой.)Сколько сыновей у этого человека?Скольковнукову этогочеловека?Пока-жите, у кого нет детей (точнее, сыно-вей)?Дальшея ещё объяснил, что такоедядя и племянник, и задал нескольковопросов на эту тему.Затем было выдано 12 карточек. На

них были написаны следующие именаи отчества:

После многочисленных проб и оши-бок все они были расставлены по со-ответствующим клеткам. Моя помощьтребовалась несколько раз для активи-зации поиска, так как ребята, попавв тупик, лениво и равнодушно отступа-ли. Дима по-прежнему путался с отче-ствами: его внимание всё время сбива-лось вторым словом (отчеством) самогочеловека: в паре Степан Петрович →

4. Кружок с мальчиками — второй год — 113 — Фокусы с задуманными числами

→ Николай Степанович трудно сопо-ставить первое слово с четвёртым, таккак средниедва словаотвлекаютвнима-ние. Фактически с задачей справилсяодин Петя.Дальше снова последовали устные

вопросы того же сорта, что и раньше,но на этот раз с указанием конкретногоимени, например: сколько племянни-ков у Александра Петровича? Как зо-вут дедушку Геннадия Борисовича?Лучше других снова отвечал Петя: онхорошо читает и поэтому быстрее Димыи Жени находил нужные имена.

Задание 3. Простые числа (продол-жение задачи № 49-2). На этот разразобрали числа 21, 22, 23, 24, 25.

Занятие 54. Конец учебного года

1 мая 1982 года (суббота). 1100—1200 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Занятие состоялось 1 мая, а записы-ваю я его только 18 октября: до сих порвсё не находилось времени. Естествен-но, многие подробности из памятистёрлись, так что конспект во многомсхематичен.

Рис. 87. Генеалогическое древо.

Ссамогоначалаязаявил, чтоэто заня-тие будет последним в этом учебном го-ду, на что Дима откликнулся, закричав:—А-а, опять дипломы давать будут!Задание 1. Фокусы с задуманными

числами. Это очень эффектная игра,которая производит впечатление дажена взрослых, если они не очень сильныв математике. Общая схема её такова:<Задумай число; прибавь к нему два;отними задуманное число; у тебя полу-чилось два>.Разумеется, заданиеможноварьировать до бесконечности: <Заду-май число; прибавь два; прибавь ещёраз задуманное число; подели на два;отними задуманное; у тебя получилосьодин>.Правда,необходимо,чтобыучаст-ники хорошо умели считать, а в нашемслучае это было не совсем так, и из-заэтого фокус иногда не удавался. ТолькоДима всё досчитал правильно. Женясовсем сбился и просто сказал:—Не знаю.Тогда я ему дал самый простой ва-

риант, процитированный выше. С нимон справился, а Дима догадался допринципа фокуса и сказал:—А-а, понимаю, почему получится

два..., — и далее всё объяснил.

Дипломы — 114 — 4. Кружок с мальчиками — второй год

Задание 2. Сделай слово сильнее.Эта лингвистическая игра в точностисовпадает с одной из функций (илитрансформаций?), которые использует-сяшколойМельчука—Гладкого—Апре-сяна для формализованного описаниясемантики — а именно, с функциейMagn. Даётся слово, а к нему требуетсяпридумать слово с тем же смыслом, ноусиленным. Например, преподавательговорит д о ж д ь, а ученик отвечает:л и в е н ь (<дождь стал сильнее>).Вот примеры, которые я использовал:

ветер → ураган,холод → мороз,тепло → жара,молоток → молот (кувалда),комната → зал,смех → хохот,улица → проспект,страх → ужас,спортсмен → чемпион,сладкий → приторный,умный → мудрец,большой → огромный.

Вообще мне кажется, что такого родасемантические игры, в которых вы-являются с и г н и ф и к а т ы, т. е. от-ношения между словами, а не д е н о-т а т ы — отношения слов к предметам(если только я правильно понимаю,что такое сигнификат) — такие игрыкажутся мне очень полезными и оченьважными для развития культуры мыш-ления вообще. К сожалению, я пока непридумал на эту тему ничего интерес-ного, кроме тривиального переворачи-вания той же игры— с д е л а й с л о в ос л а б е е:мокрый → сырой (влажный),улица → переулок,смех → усмешка (улыбка) и т. п.

Задание 3. Простые числа — окон-чание.На этот раз мы завершилитабли-цу с простыми и составными числами,

рассмотрев оставшиеся три числа: 26,27, 28. После этого в самой правойколонке таблицы мы <подвели итоги>,т. е. у каждого простого числа поста-вили букву П, у каждого <квадратно-го числа> нарисовали квадратик (длянас это имело не формальный, а со-вершенно образный смысл — ведь мыи складывали из наших кубиков квад-раты), у каждого <кубического числа>нарисовали кубик.

Задание 4. Пятёрка. Теперь каждыйполучил по листу бумаги, разграфлён-ному прямыми линиями на клетки раз-ных форм и размеров. В каждой клеткестояло число. Требовалось закраситьфломастером те клетки, в которых сто-ят простые числа. При закрашиванииразрешалось обращаться за справкамик составленной нами таблице.—А, знаю, — сказал Дима, — пятёр-

ка получится.И в самом деле, после закрашивания

нужных клеток на листе образоваласьбольшая красивая пятёрка.

Заключение: дипломы. Я объявил,что каждый получает за год пятёрку,а также диплом об окончании второгогода и подарок.Подарокбыл у всех оди-наковый — игра в 15. Текст дипломагласил:

ДИПЛОММАТЕМАТИЧЕСКОГО КРУЖКА

Этот диплом дан Диме Звонкинуза то, что он два годазанимался математикой

и стал ещё умнее, чем в прошлом году.

(Что мы будем писать на будущийгод?) В качестве рисунка изображенаклетчатая комната, <робот> и алгоритмна нашем языке, а также игральнаякость и божья коровка.На этом занятие закончилось. Боря

нас фотографировал.

5Простоеи сложное:об обозначе-ниях, процессеабстрагирования,математикеи языкеЗначки для слов

Трудности, с которыми я столкнулся,пытаясь ввести <знаки для признаков>(см. стр. 105—106), навели меня надолгие размышления.Результатом яви-лись три статьи: одна — в сборнике<Язык и структура знания>, 1990, вто-рая — в журнале <Вопросы языкозна-ния>, 1990, № 6 (обе — c благослове-ния уже неоднократно упоминавшей-ся здесь Р. М. Фрумкиной), а потоми более популярная статья в журнале<Знание—Сила>, 1991, № 8.Смешно сказать, но основополага-

ющую идею этих работ мне подсказалДима. Только в тот момент я этого незаметил; восстановил ход событий поз-же — по памяти, по записям. Задача,как мы помним, ставилась так: сфор-мулировать <как можно более простое>утверждение о множестве фигурок изнабора Дьенеша. Ещё в самом началеобсуждения Дима предложил измерятьсложность утверждения количествомслов в нём. Но это ещё не тот момент,не кульминация. А потом, после на-ших споров и взаимных недоумений,он как-то на минуту отвлёкся, заду-мался — и сказал:

—Я, кажется, понял, папа. Ты хо-чешь, чтобы мы придумали з н а ч к ид л я с л о в.Я пропустил это замечание мимо

ушей. Думаю, что в тот момент я ещёне был готов к осознанию заложен-ной в нём идеи.Значки для слов! Да ведь это же

буквально скачок через пропасть!В самом деле — возьмём, скажем,

слово <красный>. Я подчёркиваю: непонятие, скрывающеесяза этим словом,не значение признака <цвет>, не класскрасных предметов, а именно слово кактаковое. Слово <красный> — это вещьдовольно-таки конкретная. Конечно,не такая конкретная, как стакан или ве-лосипед, в руки его не возьмёшьина зубне попробуешь; но всёже это и не <одноиз значений признака ,,цвет“>. С логи-ческой точки зрения слово является аб-стракцией, с психологической это вовсене так. В том, чтобы слову сопоставлятьзнак, тоже нет ничего удивительного.Его можно, например, записать буква-ми, как обычно. Но писать буквы труд-но и долго. Поэтому, если слово оченьнужное и часто встречается, то почемубы не придумать для него более простойзначок (своего рода иероглиф)? Болеетого, опыт показывает, что конкретныйвид таких значков очень скоро стано-вится безразличен: дети быстро науча-ются смотреть сквозь них.Казалось бы, ничего особенного не

произошло: дети просто научились со-поставлять словам знаки. Однако когдамывозвращаемсяв реальныймирипы-таемся теперь сопоставить полученномузнаку некий объект, то таким объектомоказывается вовсе не <большой крас-ный квадрат с дыркой>, от которогомы отталкивались, а весь класс крас-ных предметов. Вместо недоступнойдля понимания цепочки

признак → одно из его значений →→ знак → класс

мы построили другую, обладающую<лучшей проходимостью>:

предмет → слово → знак → класс.

Значки для слов — 116 — 5. Математика и язык

Появление в этой цепочке лингви-стического объекта <слово> позволяетразорвать порочный круг, когда знакивводятся как средство усвоения по-нятия класса, но смысл самих знаковостаётся непонятным, пока понятиекласса не усвоено.Что же делает возможным такой ска-

чок? Почему слово оказывается такойволшебной палочкой-выручалочкой?Если мы задумаемся над этим вопро-

сом, то придём к весьма удивительнымвыводам.Мы поймём, что слово— это иесть тот самый знак, который мы стольупорно и безуспешно пытались постро-ить,—знак, отвечающийзначениюпри-знака и уже оторвавшийся от предмета.(А слово <цвет> — так это уж и вообщеабстракция более высокого уровня: этознак для класса объектов, которые самиявляются абстракциями.) Та работа поабстрагированию, которая оказываетсянеподсилуребёнкушести-семилет, ужебыла проделана им же бессознательнов возрасте полутора-двух лет, когда онучился говорить. Вводя слово в каче-стве промежуточного этапа, мы как быпользуемся результатами проделаннойранее работы. Именно этот смысл я ипридаювыражению<абстракции с язы-ковой поддержкой> (название одной измоих статей). Пытаясь вывести значкинепосредственно из множества объек-тов, мы пытаемся повторить ту жеработу ещё раз, причём на сознатель-ном уровне. Скорее всего, в данномвозрасте это просто невозможно. Ноесли мы выводим значки из слов, нампомогает язык.В книге Марии Фидлер <Математика

уже в детском саду> чуть ли не поло-вина посвящена значкам для значенийпризнаков. Прежде всего, многие иззначков крайне неудачны. Они сложныи порой трудно воспроизводимы. Детилибо не могут изобразить такой значок,либо, если и могут, то, пока нарисуют,забудут, какую задачу они решали. Во-вторых, смыслотдельногозначканеясенбез сравнения его с другими; так, домикс двумя окнами кажется большим лишь

на фоне домика с одним окном; еслижесмотреть на него отдельно, то вовсе неочевидно, большой он или маленький.Но всё это было бы ещё терпимо, еслибы книжка содержала главный совет:значки должны заменять собою слова,а не классы объектов. Наоборот, классыобъектов потом появятся (т. е. окажутсяпонятыми) с помощью этих значков.Если же поступать так, как сказано вкниге — и как пытался делать я на сво-ём занятии (вовсе не из-за книги — я втотмомент её ещёнечитал—ав силу со-вершенно <естественного> ходамысли),то получается психологический круг.

<Упрощённые> обозначения

Некоторые задачи на абстрагирова-ние не имеют поддержки в естествен-ном языке, и тогда для детей они могутоказаться непреодолимыми. А взросло-му они порой кажутся даже более лёг-кими. Педагог здесь очень легко можетпопасть в ловушку.Рассмотрим всем знакомый пример.

Чтобы научиться читать, ребёнок дол-жен понять, как звуки и буквы соответ-ствуют друг другу. Звуков много, буквтоже, да и соответствие между ними да-леко не однозначно. Например, <ль> —это один звук, но две буквы; а <е>, на-против, одна буква, но сразу два звука:<й-э>. И это уже не говоря о проблемебезударного <о>, произносимогокак <а>,не говоря о звонкихи глухих согласных,о букве <г>, читающейсякак <в> (всего),и ещё о многих других проблемах пра-вописания. Одним словом, задача не излёгких. Чем тут можно помочь?Ну, ясное дело, чем. Нужно <упро-

стить обозначения>, а также разбитьглобальную задачу на несколько эта-пов — сначала совсем простых, а потомпостепенно усложняющихся. Давайтезаглянем в букварь* и посмотрим, ка-

* Я уже давно не видел российских буква-рей и не знаю, как они сейчас выглядят. Такчто пишу я о том букваре, который был принятв школе 15—20 лет назад.

5. Математика и язык — 117 — <Упрощённые> обозначения

ковы эти этапы. Вначале на короткийпериод вводятся специальные обозна-чения для предложений и слов. Затемвозникают обозначения для слогов —разные для ударных и безударных сло-гов. После этого появляются значкидля отдельных звуков, но не для кон-кретных звуков типа <а> или <у>, а дляабстрактных <звуков вообще>. Посте-пенно значки становятся всё болееи более разнообразными: квадратик —для <звука вообще>; прямоугольник,разделённый диагональю — для двухсоседних <звуков слияния>; красныйкружочек — для гласного звука и чёр-ный либо синий — для согласного(в зависимости от его мягкости илитвёрдости). Здесь же на фонетическойсхеме слова присутствуют и некоторыедополнительные элементы: ударение,специальный знак, выделяющий изу-чаемую в данный момент букву, и т. д.,и т. п. Постепенно, когда разнообразитьзначки уже дальше становится некуда,их начинают заменять буквами.Попытаемся понять, в чём состоит

фундаментальный дефект такой мето-дики. При желании можно придуматьи предложить детям специальный зна-чок для слова <кошка>, другой зна-чок— для слова <самолёт>, ещё один—для слова <чайник>. Понимание смы-сла таких значков вряд ли вызовету детей какие-либо трудности. При по-следовательном проведении подобнойметодики мы пришли бы к какой-торазновидности иероглифической систе-мы письма. Тяжкий груз для памяти,но с психологической точки зрения вы-глядит совершенно естественно: каж-дый знак здесь имеет языковую под-держку. Но как только мы попытаемсяввести знак для <слова вообще>, длякакого-то неизвестного заранее слова,т. е. своего рода алгебраическую пере-менную со значениями во множествеслов, так тут же мы потерпим полныйпровал. Требуемыйуровень абстракцииоказывается весьма высок, а языковаяподдержка отсутствует. Разница здесьв точности та же, что между цифрой 7

для обозначения числа с е м ь в ариф-метике и буквой x для обозначения<некоторого числа> в алгебре.Аналогичная картина имеет место

на уровне слогов. Легко понять смыслзначков, которые обозначают слог <ба>,или слог <му>, и т. д. С их помощьюможно придти к какой-то разновидно-сти слогового письма, примеры чемув истории тоже имеются. Но невозмож-но первокласснику понять смысл знач-ка <некий абстрактный вообще-слог>.И далее, уже на уровне буквы-зву-ка — понять, что буква <а> отвечаетсоответствующему звуку, безусловно,гораздо проще, чем понять, что синийкружок отвечает какому-то элементуиз множества гласных звуков. Звук<а>—это конкретная<психологическаяреальность>, а множество гласных зву-ков— это абстракция. В лучшем случаесоответствующий знак можно вос-принимать как загадку: угадай, какаябуква здесь стоит. (Именно так отно-сились к этому мои кружковцы: онис удовольствием разгадывали упомя-нутые схемы фонетического разбора,воспринимая их как своего рода забав-ные ребусы.Возможно,нечто аналогич-ное происходит и с другими интел-лектуально развитыми детьми. Обяза-тельным условием при этом являетсяумение читать.)Чтобы быть правильно понятым,

позволю себе сделать ещё одно уточ-нение. Придумывая значки-иероглифыдля слов, мы на равных правах с дру-гими словами могли бы изобрестии значки для таких слов, как с л о в о,с л о г и з в у к. Только тогда вофразе <Хотел бы в единое слово...>первый знак встретился бы один раз,а вовсе не пять, а во фразе <Звук оди-нокий и глухой...> третий знак тожевстретился бы всего один раз, хотязвуков в этой фразе 19 (в этом при-мере их столько же, сколько букв).Помню наше первое родительское

собрание. Учителя уже по опыту зна-ют, что дети — даже те, кто уже умеетчитать — все эти <схемыфонетического

В одном человеке сосуществуют разные интеллекты — 118 — 5. Математика и язык

разбора> понять без помощи родителейне могут. Значит, первая задача — обу-чить этой премудрости родителей. Это-му и посвящена наша встреча. Одна-ко и родители вовсе не все семи пядейво лбу; когда учительница дошла дозвуков слияния и звуков примыкания,среди родителей началась паника.И тогда учительница произнесла однузамечательную фразу — фактическиприговор всей системе. Она сказала:—Вы только не волнуйтесь; вот

кончится букварь, и тогда всё будетгораздо проще.Потом, подумав, добавила:—Только, пожалуйста, побольше

читайте с ними дома. А то программау нас трудная, и мы не успеваемучить их читать.О том, что сама методика придумана

как раз для того, чтобы научить детейчитать, никто уже давно не вспоминает.На уровне здравого смысла всё это

довольно-таки очевидно. А между темпривести какой-нибудь <научный>аргумент против указанной методикине так уж легко. Ведь ф о р м а л ь н ог о в о р я, предлагаемые обозначенияи в самом деле проще, чем обычнаясистема письма. Вместо тридцати трёхзнаков-буквнампредлагаютвсегочеты-ре-пять; при этом соответствие междузнаками и тем, что они обозначают,тожеболеепростое—оно взаимноодно-значное. Беда заключается не в знаках,а в том, что они обозначают, в о б о-з н а ч а е м ы х о б ъ е к т а х. Это аб-стракции, лишённые языковой под-держки. Во внутреннем мире ребёнкатаких объектов просто не существует.Отвлекаясь на минуту от малышей,

хочу вспомнить здесь свой спор с однимэнтузиастом-математиком. Он соби-рался работать со средними классами(6-й — 8-й) и с восторгом рассказывалнам о своей революционной идее: вме-сто геометрии школьникам нужно пре-подавать линейную алгебру. Ну да —ведь это же г о р а з д о п р ощ е! Онпридумал систему, в которой всего че-тыре аксиомы!И все доказательства бо-

лее простые и более короткие! Прихо-дилосьпризнать, что да—онии в самомделе более короткие; честно говоря, оник тому же и более строгие, чем привыч-ные нам геометрические доказательст-ва. Вот только как до них додуматься?Нашагеометрическаяинтуиция,возник-шая из опыта жизни в реальном трёх-мерном физическом мире, на этот разне давала никакой путеводной нити.Школьники на его уроках чувствовалисебя так, как должен чувствовать себяученик, начисто лишённый музыкаль-ного слуха, на уроках сольфеджио.

В одном человекесосуществуют разные интеллекты

Теперь, оставив в стороне школу,вернёмся к процессу освоения языкаи поразимся ещё раз этому загадочномуявлению—тому, что задача сопоставле-ниязнаковклассамобъектов, непосиль-ная для семилетнего, с необычайнойлёгкостью и вовсе незаметно решаетсямалышом от года до двух. Когда на-чинаешь вдумываться в это явление,оно не становится более понятным.Напротив, масштабы удивительностивсё разрастаются при виде не разницыдаже, а той гигантской пропасти, ко-торая разделяет возможности одногои того же человека в решении весьмасходных задач, но с помощью разныхподсистем своего интеллекта.Мы многие вещи делаем бессозна-

тельно, не умея объяснить того, какименномы это делаем: ходим, едим или,скажем, сворачиваем кулёк из листабумаги (попробуйте-ка написать ин-струкцию по сворачиванию кулька!).Одно из таких неосознанных умений—это умение говорить.Оно, однако, выде-ляется среди всех прочих умений тем,что процесс порождения речи требуетпостоянного решения интеллектуаль-но-логических задач. Когда-то на меняпроизвела очень сильное впечатлениеслучайно попавшаяся на глаза статьяизвестного лингвиста Григория Крейд-

5. Математика и язык — 119 — В одном человеке сосуществуют разные интеллекты

лина <Лексема ,,даже“>. Вся статья,более десяти страниц, была посвященаобъяснению смысла слова <даже>. Ока-зывается, смысл этого словаможноопи-сать в виде четырёх логических утверж-дений, достаточно сложных самих посебеик томужевзаимосвязанных.Вра-боте показывалось также, что любоенеправильное, <режущее слух> употреб-ление этого слова (типа <ложка дажележит на столе>) связано с нарушениемпо крайней мере одного из четырёхусловий. Таким образом, каждый раз,употребляя в речи слово <даже>, мыв доли секунды решаем сложную ло-гическую задачу <в четыре действия>.И это только для одного слова!* А ведьесть ещё другие слова (ещё одна статьятого же автора: <Лексема ,,а“>), и грам-матическое построение фразы, и связьс контекстом, и, возможно, много чегоещё, о чём мы пока не подозреваем. Всеэти задачи решаются одновременно, па-раллельнои смолниеноснойскоростью.Пожалуй, наиболее удивительно то,

что с этим столь же легко справляютсяумственно отсталые дети. Попробуйтедать такому ребёнку какой-нибудь три-виальный силлогизм или геометриче-скую задачу, и он с ними не справится.А вот слово <даже> употребляет сво-бодно и вполне грамотно. У дефекто-логов есть даже такой термин — в е р-б а л и з м. Его относят к умственноотсталым детям с хорошо развитойи свободно льющейся речью. При по-верхностном знакомстве они могут про-извести впечатление вполне развитых;их отставание не бросается в глазаи поэтому не всегда легко поддаётсядиагностированию. Лишь большиетрудности, испытываемые таким ребён-ком при решении логико-математиче-скихзадач,позволяютвыявитьзадержку

* Ровно в тот день, когда я работал над коррек-турой этой главы, я позвонил Григорию Ефимови-чу Крейдлину. Среди прочего, я узнал от него, чтодругие лингвисты подхватили эстафету, и за про-шедшие более 20 лет понимание слова <даже>значительно расширилось и углубилось. То естьна самом деле мы решаем задачу ещё более слож-ную, чем я предполагал, когда об этом писал.

в развитии. И уж совсем поразительно:известны случаи олигофрении, причёмв сравнительно тяжёлой форме, у детей,родившихся в двуязычной семье. Какправило, заболевание не мешает такомуребёнку без труда освоить два языка.Мы поневоле вынуждены придти к

выводу, что в нашем мозгу сосуще-ствуют два (к а к м и н и м у м д в а)отдельных инезависимофункциониру-ющих интеллекта. Один — сознатель-ный, или, лучшесказать, осознаваемый.С его помощьюмы решаем математиче-ские задачи, пишемпрограммы, класси-фицируем, разбираемся в инструкциипо пользованию пылесосом. Второй —бессознательный. С его помощью мырешаем очень похожие (и, как правило,гораздо более сложные) задачи в другойобласти — языковой. Не следует счи-тать, что эти два интеллекта никак несвязаны друг с другом. Напротив, кон-цепция <языковойподдержки> для раз-вития абстрактного мышления—не чтоиное, какпризыв эксплуатировать связьмежду ними в той степени, в какой этовозможно, протаптывать тропинки отодногоинтеллектак другому.Темнеме-нее, эти две системы существуют и дей-ствуют раздельно, и, чтобы эксплуа-тировать связь, эту их раздельностьследует чётко осознавать.Невозможно представить себе, чтобы

владение языком опиралось на те жесамые нейробиологические структуры,что и сознательный интеллект. Мозг че-ловека растёт, и нейронные связи в нёмформируются как раз тогда, когда онучится говорить. Ни одного Мауглинаучить говорить пока не удалось.Программист сказал бы, что программавладения языком <впаяна в железо>.В этом и заключается метафора <язы-ковой поддержки> — это аналогия такназываемой аппаратной поддержкив программировании. Аппаратно реа-лизованная функция — это тоже некаяпрограмма; однако эта программасуще-ствует в компьютере не в виде текста,а в виде электрических соединений,отвечающих определённой схеме, или

В одном человеке сосуществуют разные интеллекты — 120 — 5. Математика и язык

в виде структуры кристалла. Про-граммная же реализация какой-либофункции предполагает написание тек-ста, сводящего эту функцию к после-довательному выполнению аппаратнореализованных примитивов.Разница здесь в том, что аппаратно

реализованные функции обладают не-сравненно более высоким быстродей-ствием. Если в старинных компьютерахаппаратнобылиреализованылишьпро-стейшие булевы операции над единич-нымибитами, товсовременныхкомпью-терах, особенно специализированных,таковымимогут оказаться весьма слож-ные операции. А выполнение на том жекомпьютере другой, в принципе болеепростой операции, может потребоватьсоставления специальной программы ибудет выполняться заметно медленнее.Вот и возникает парадоксальная

ситуация: иногда, чтобы составить эф-фективную программу, нужно свестизадачу к набору нескольких б о л е ес л о ж ны х задач, но зато аппаратнореализованных, <впаянных в железо>.Про задачи, легко сводимые к аппарат-но реализованным функциям, говорят,что они имеют аппаратную поддерж-ку. Отсюда и термин <языковая под-держка>: заданная ребёнку простаязадача сводится к более сложной, ноуже предварительно решённой в на-шем естественном языке.Есть такая очень странная душевная

болезнь — ранний детский аутизм(правильнее было бы говорить простоаутизм, так как взрослые аутисты то-же существуют). Происхождение этойболезни во многом загадочно, а методылечения напоминают скорее искусство,нежели следование каким-то рецеп-турным схемам. Основная особенностьаутистов состоит в том, что они испыты-вают большие трудности в общениис другими людьми. С этим связаныи другие отклонения в развитии. В кон-тексте нашего обсуждения аутизм ин-тересен тем, что предоставляет множе-ство примеров явления, противополож-ного вербализму: тяжёлые нарушения

речевого развития нередко соседствуютс высокоразвитым интеллектом, с вы-сочайшими способностями к решениюзадач логико-математического планаи вообще повышенныминтересом к ин-теллектуальным сферам деятельности.В этой связи нередко возникают спо-ры о том, являются ли аутичные детиумственно отсталыми. Клара Парк,мать аутичной девочки, в своей книге<Осада>* вспоминает, как она привеладочь в школу для умственно отсталыхдетей. Девочка на три-пять лет опере-жала своих одноклассников по умениюрешать математические задачи, ностоль же сильно отставала от них в уме-нии составить простейшую фразу типа<А что сегодня на завтрак?>. Создава-лось впечатление, что она обращаетсяс родным языком как с иностранным—каждую фразу ей приходилось кон-струировать с помощью сознательногопроцесса построения предложений поопределённым правилам. Очень харак-терна также и разница в трудностиосвоения слов разного типа: такие сло-ва, как <семиугольник> или <сумма>,не вызывали никаких проблем; а вотсмысл слов <я> или <да> девочкане мог-ла усвоить в течение нескольких лет.Фактически спектр отклонений от

нормы оказывается гораздо шире, чемв приведённыхвышепримерах; именнос этим и связана моя оговорка: к а км и н и м у м д в а интеллекта. Целыероссыпи примеров можно найти, на-пример, в книгах нейропсихолога Оли-вера Сакса <Антрополог на Марсе> и<Человек, который путал свою жену сошляпой>**. Доктор Сакс рассказыва-ет истории людей, которых психологикогда-то, в эпоху до политической кор-ректности, окрестили <гениальнымиидиотами>.Например,СтивенУилтшир.Он не только плохо говорит — на этот

* Clara Claiborne Park <The Siege. The FirstEight Years of an Autistic Child>, Little, Brownand Company, 1967.** Oliver Sacks <An Anthropologist on Mars>,

Vintage Books, 1996; <The Man Who MistookHis Wife for a Hat>, HarperCollins, 1985.

5. Математика и язык — 121 — В одном человеке сосуществуют разные интеллекты

раз и настоящая умственная отсталостьне вызывает сомнений. Например, оноказалсянеспособенпонять, почемума-шинам трудно съезжать с крутой горы.И в то же время Стивен— гениальныйрисовальщик.Альбомысего рисункамиохотнораскупаютсяи вызываютвосторгиулюбителей, иупрофессионалов.ИлиаутичнаядевочкаНадя: другойавторпо-святил ей целую монографию. В возра-сте трёх с половиной лет она начала ри-совать лошадей; при этом она каким-тообразом миновала все обычные проме-жуточные стадии рисующих детей. Вседети начинают с бессмысленных каляк,потом переходят к схематическим <го-ловастикам>—кружочкамс палочкамии т. д. Надя же сразу начала рисоватьпрофессионально: передача простран-ства, движения, полутонов, перспекти-вы—всё в её рисунках было сразу и безподготовкина такомуровне, какогонаи-более талантливые дети (такие, как Пи-кассо) достигают не ранее, чем к десятигодам.Приэтомонапостоянно экспери-ментировала с разными углами зрения,ракурсамииперспективами.Какеслибытам, где у нормальных детей вырастаеторган речи, у Нади вырос орган рисова-ния. Сакс рассказывает нам о Мартине,умственно отсталом музыканте, люби-мым композитором которого был Бах.Автор долго не мог понять: как же так,ведьБах,казалосьбы, такойинтеллекту-альный композитор! Постепенно, одна-ко, стало ясно, чтоМартинобладает осо-бого рода музыкальным интеллектом,с помощью которого понимает— хотя ине может сформулировать— сложней-шуюструктурувариаций, инверсий, со-четания голосов в каноне или в фуге имногие другие вещи. Постараемся по-нять: еслибымынеучилившколе грам-матику, мы бы, может быть, даже не до-гадывалисьо её существовании—иприэтом склоняли быи спрягали все словаистроили фразы в полном соответствии сеё правилами.Нашязыковойинтеллектфункционировал бы с ничуть не мень-шейэффективностью.(Кстати,языкитехнародов, которые никогда не знали ни

письменности,нинауки,посложностини-чуть не уступаютнашим.)Вот такжеиуМартина: егоимплицитный,неосознава-емыймузыкальныйинтеллектбылнавы-сочайшемуровне.Но объяснить <музы-кальную грамматику> нам с вами он быне смог, да и чужих объяснений бы непонял, таккак былумственноотсталым.Среди гениальных идиотов встреча-

ются и своего рода <математики>. Как,например, двое аутичных близнецов,которые развлекались тем, что сообща-ли друг другу многозначные простыечисла. Единственным способом втереть-ся к ним в доверие было сообщить имбольшое простое число: тогда у вас по-явился бы шанс быть принятым в ихкомпанию. К сожалению, из такихлюдей невозможно вырастить настоя-щих математиков. Математика — эточ е л о в е ч е с к а я д е я т е л ь н о с т ь;сравнительная ценность задач и пра-вильный их выбор в математике гораз-до более важны, чем способность совер-шать сложные действия в уме.ОливерСакс ссылаетсянакнигу, в ко-

торой развивается теория несколькихинтеллектуальныхподсистемвнутринас:Howard Gardner <Frames of Mind: TheTheory of Multiple Intelligences>, N.-Y.:Basic Books, 1983. Я её пока не читал;надо будет как-нибудь добраться.Многие исследователи склоняются

к тому, что решающую роль в процессеовладения языком играет так называ-емая <невербальная>, т. е. попростужи-вотная, коммуникация.Языкмимикиижестов, взглядов и интонаций, которыммы владеем инстинктивно как биологи-ческие существа, подобно кошкам иобезьянам — именно этот язык лежитв основе развития нашего первого, бес-сознательногоинтеллектаивосновепро-цесса овладения языком. В то же времяоченьпохоже,чтокореньпроблемаутич-ных детей лежит именно в сфере <жи-вотной> коммуникации. Об этом пишетОливер Сакс; эту же точку зрения раз-вивает и Николас Тинберген, лауреатНобелевской премии по биологии, одиниз создателей этологии — науки о по-

Учить математике так же, как мы учим детей говорить — 122 — 5. Математика и язык

ведении животных, много лет изучав-ший аутизм. Но здесь мы, пожалуй,вступаем на совсем уж зыбкую почвутеоретизирования и спекуляций. Поравернуться в более знакомый нам мир.

Учить математике так же,как мы учим детей говорить

Давайте представим себе, что мы учи-либыдетейговоритьтакже,какмыучимих математике. Эдакая антиутопия...Наверное,мыбыначалистого, чтона-

учили бы их сначала произносить глас-ные звуки: мне кажется, что гласныезвуки легче для произношения, чем со-гласные. Потом перешли бы к соглас-ным. Дальше были бы слоги. Только нивкоем случаене опережать события: по-ка слоги как следует не усвоены, к сло-вам переходить нельзя! Наконец, послеодного-двух лет упорных тренировокначинают появляться слова. В какоймомент уже можно сообщить ребёнку,что словоимееткакой-то смысл?Навер-но, не ранее, чем он овладел... не знаючем. Надоело фантазировать. Но ещёодин дополнительный аспект отметитьнеобходимо. Мы — мудрые всезнайки-взрослые— знаем, что умение говоритьочень полезно для жизни. Дети бы современем тоже об этом узнавали — нотолько после нескольких лет усерднойучёбы с неясными целями.В реальности, слава богу, ничего

подобногоне происходит. Родительскийинстинктподсказывает нам, что с ребён-ком нужно просто разговаривать, и всё.Причём делать это нужно с первых жедней его жизни. И ничего страшного,что он пока ничего не понимает: его по-нимание будет расти вместе с ним са-мим. Неважно также и то, что он поканичего не может сказать сам: со време-нем научится. Но самое важное, пожа-луй, даже и не это. Самое важное то, чтомы разговариваем с ним вовсе не длятого, чтобы <обучить его словам, выра-жениям и построению фраз>; мы о б-щ а е м с я с помощью речи. При этом

общаемся мы с ним в п р о ц е с с ес о в м е с т н о й д е я т е л ь н о с т и.Мы не говорим ему: <Мама мыла раму.Повтори! Нет, плохо; ещё раз!>. Мыговорим ему: <Хочешь морковку?>, —и даём морковку. Мы говорим: <Ну, да-вай, иди к бабушке>, — и показываемна бабушку, а бабушка уже с готовно-стью раскрывает объятия. И ребёнок,ещё плохо понимая слова, уже вполнепонимает, что ему надо делать.Конечно, на наше счастье все дети

(кроме очень специальных случаев) об-ладают тем самым <языковыминстинк-том>, о котором писал уже упоминав-шийся ранее Стивен Пинкер*, и поэто-му усвоение языка происходит как бысамо собой. В случае с математикойрас-считывать на это труднее.Ивсёже, и всёже! Если бы мы были начисто лишеныкакого бы то ни было <математическогоинстинкта>, то, наверное, оказались бысовершенно не способны к освоениюматематики в любой её форме. Конечноже, мощность нашего математическогоинтеллекта намного слабее, чем языко-вого. Темнеменее, вполнеосмысленво-прос: аможнолиучитьдетейматематикетакже, как мыучим их родному языку?Что бы это означало на практике?Так называемую <метафору полно-

ценного языка> развивает в теориии на своих занятиях канадский мате-матик и информатик Майкл Феллоуз(Michael Fellows) и его сотрудники —в первую очередь Нэнси Кэйзи (NancyCasey). Вот некоторые из их принци-пов в моём вольном пересказе:• Детям полезно сталкиваться с бога-тым и разнообразным математическимсодержанием. Не обязательно излагатьматериал в строгой иерархической по-следовательности, а вопрос о <соответ-ствии уровню развития> следует рас-сматривать в широком контексте.• Ученики продвигаются вперёд, стал-киваясь с материалом, который они

* Steven Pinker, <The Language Instinct.How the Mind Creates Language>, HarperPeren-nial, 1994.

5. Математика и язык — 123— Учить математике так же, как мы учим детей говорить

уже в состоянии понять, но ещё неспособны воспроизвести.• Навыкии умения безусловно важны,но развивать их следует в процессекакой-то осмысленной деятельности.Лучше всего служат этой цели выбран-ные самими детьми и стимулирующиеих любознательность проекты.• Детей следует поддерживать в том,чтобы они выбирали проекты само-стоятельно.• Взаимодействие и обмен мнениямимежду детьми не только важны, но аб-солютно необходимы. Учитель долженне запрещать эти контакты, а, наобо-рот, всячески поддерживать их.• Нужно давать ученикам достаточноевремя для того, чтобы они могли читать,обдумывать, разговаривать друг с дру-гом, делиться идеями, спорить, а такжеизлагатьсвоимысливписьменнойфор-ме. Класс должен представлять собойслепок научного сообщества, в котороемы вводим детей.• Учитель является не послом этогосообщества и не сторонним наблюда-телем. Он должен быть соучастникомпроисходящего, <практиком науки>.Феллоуз занимался с детьми5—9лет.

Вотсписок(думаю,чтооченьнеполный)тех сюжетов, которые он затрагивал насвоих занятиях: раскраска карт и гра-фов; поиск остовных деревьев мини-мального веса в графах; теория узлов;сортирующиесети; доминирующиемно-жества вершин в графах; построениеграфов заданной степени и диаметра;наконец, великоемножество задач, свя-занных с криптографией. Но читательуже понял: главное — не то, ч т оизучается, а то, к а к это делается.Не выслушивание определений, теореми доказательств,не серии однообразныхупражнений, а экспериментированиес реальными графами, картами и узла-ми, обмен гипотезами, недопониманиеи уточнение вопросов, соревнованиеи поиск наилучших решений и т. п.В одной из статей Феллоуз с гордостьюприводит список из четырёх исследова-тельских проблем, которые родились в

результате обсуждений с детьми и кото-рые впоследствии привели к несколь-ким научным публикациям — иногдаего собственным, иногда — его коллег,с которыми он обсуждал проблему.Теоремы и доказательства тоже от-

нюдь не противопоказаны; но они вос-принимаются гораздо лучше, если отве-чают на в о пр о с, з а д а нный д е т ь-м и. Несколько дальше (стр. 181) яупоминаю задачу о <косых квадратах>,которая сама естественнымобразом вы-водит на теорему Пифагора. Но эту тео-рему мы стали доказывать только тогда,когда получили от нашей аудиториивопрос: <А что, т а к в с е г д а, ч т ол и, б у д е т?>.—Вы считаете, что детям действи-

тельно необходимо знакомство с тео-рией узлов? — спрашивали у авторовконцепции.—А вы считаете, что детям действи-

тельно необходимо знать в деталях всеприключения Гекльберри Финна? —спрашивали те в ответ.Видимо, нет. Детям необходимо:

(а) читать; и (б) чтобы история, кото-рую они читают, была увлекательной.Какая конкретно это будет история —вопрос вторичный.Характерно, чтоФеллоуз, сам будучи

информатиком (что по-английски зву-читкак computer scientist), весьма скеп-тически, чтобы не сказать враждебно,относится к использованию компью-теров в школьном образовании. Я самсчитаю, что компьютеры вовсе не вред-ны, если рассматривать их как один извозможныхинструментовисследования.Нопосколькуониявляютсяуниверсаль-ным средством для всего на свете, тои ловушек и ложных путей предлагаютгораздо больше. А уж более дебильноезанятие,чемкомпьютерныеигры,ипри-думать трудно. В Московском детскомкомпьютерном клубе, где я был однимиз преподавателей,компьютерныеигрыбыликатегорически запрещены, аувхо-да мы торжественно вывесили статьюзакона, запрещающего <содержаниепубличныхдомовиигорныхпритонов>.

6Кружокс мальчиками—третий годПетя с Женей пошли в школу, и на-

ши занятия переехали с утреннего вре-мени на вечернее.

Занятие 55. Логические задачи

18 октября 1982 года (понедельник). 1630—1730(1 час). Дима, Петя, Женя.

Открытие учебного года:мы сДимойподарили Пете и Жене по комплектуфломастеров и открытку <Поздравля-ем с началом учебного года>.

Задание 1. Сказка. Я рассказалдетям сказку об очень умном юноше,которого полюбила прекрасная прин-цесса. Чтобы принцесса не вышла занего замуж,корольрешилказнитьюно-шу. Но, вняв мольбам принцессы, онобъявил: <Ты будешь тащить жребий.Я положу в эту чашу две бумажки; наодной будет написано ЖИЗНЬ, а надругой СМЕРТЬ. Какую бумажку тывытащишь, так и решится твоя судьба>.Однако в душе король задумал коварст-во: он велел своему министру написатьна обеих бумажках одно и то же словоСМЕРТЬ. Принцесса подслушала ихразговори сумелапредупредитьюношу.—Как вы думаете, ребята, — спро-

сил я, — что должен сделать юноша?В ответ мальчики лишь пожимали

плечами. Потом Дима предложил:—Он мог сказать, что там непра-

вильные бумажки.Я объяснил последствия такого дей-

ствия (ему всё равно в одном случаеиз двух грозит смерть).

[Надо было добавить, что и прин-цессу могли сильно наказать, а он еёлюбил и не хотел этого.]Тогда я продолжал триумфальным

голосом:—Но я ведь вам сказал, что это был

очень умныйюноша! Он сказал: <Я вы-таскиваю вот эту бумажку!> — и с эти-ми словами достал одну бумажку... —и съел!Мальчики смотрели на меня широко

раскрыв глаза: как же это можно —съесть бумагу? Они явно не понимали,к чему идёт дело. Я продолжал повест-вовать:— Тогда все закричали: <Но как же

мы теперь узнаем, что было написанона той бумажке, которую ты съел?>.Аюношаулыбнулсяи ответил: <Новедьосталась вторая бумажка! Можно по-смотреть, что написано на ней!> Посмо-трели — а на ней написано СМЕРТЬ.Значит, на той, что вытащил юноша,должно было быть написано ЖИЗНЬ.Королю было стыдно признаваться всвоёмковарстве—июношабылспасён!

Мне это решение не показалось лучше тех,которые предлагали мы. — Дима.

Такой поворот дел произвёл на ре-бят сильное впечатление: они долгосмотрели на меня круглыми глазами.(А вечером Петя задавал эту задачуродителям.)

Задание 2. Перепутанные надписи.В трёх коробочках лежат спички,кнопки и скрепки. На них имеютсятакже надписи: СПИЧКИ, КНОПКИи СКРЕПКИ. Но ни одна из надписейне соответствует содержимому. Разре-шается открыть всего одну коробку,и при этом требуется узнать содержи-мое всех трёх коробок.Сначала, так же, как и в предыдущем

задании, дети лишь вяло пожималиплечами. Вообще по всему видно, чтоони за лето совершенно разучилисьше-велить мозгами. Как-то мне всё-такиудалось разбудить их активность, и витоге Женя первый решил задачу, хотяи не очень толково объяснил. После

6. Кружок с мальчиками — третий год — 125 — Игра в 15

Рис. 88. Гомотетия на клетчатой бумаге.

этого я, меняя по-разному содержимоеи расположение коробок, задал ту жезадачу 6 раз (по два раза каждому).Вечером Дима целый час занимался

тем, что корябал какие-то надписи накоробках — придумывал задачу дляменя. В итоге родилось нечто даже за-нятное. В коробках лежали: в одной —кнопки и скрепки, в другой — кнопкии спички, в третьей — скрепки и спич-ки. Надписи же были такие: КНОПКИИ СКРЕПКИ, опять КНОПКИ ИСКРЕПКИ, и КНОПКИ И СПИЧКИ.Дальше условие то же: все надписи не-правильные, и заглядывать разреша-ется лишь в одну коробку. Спецификаэтой задачи в том, что набор <кнопки искрепки> может лежать только в короб-ке с надписью КНОПКИ И СПИЧКИ,так как в двух других коробках он ле-жать не может. Так что в эту коробку

9999999999999999999999999999999999999 3333333333333333333333333333333333333 7777777777777777777777777777777777777 88888888888888888888888888888888888881111111111111111111111111111111111111 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141412121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212 10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 2222222222222222222222222222222222222 151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515156666666666666666666666666666666666666 13131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 5555555555555555555555555555555555555 4444444444444444444444444444444444444

1111111111111111111111111111111111111 2222222222222222222222222222222222222 3333333333333333333333333333333333333 44444444444444444444444444444444444445555555555555555555555555555555555555 6666666666666666666666666666666666666 7777777777777777777777777777777777777 88888888888888888888888888888888888889999999999999999999999999999999999999 10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121213131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414 15151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515

Рис. 89. Передвигая плашки по одной, перевести начальную позицию в конечную.

и заглядывать нет смысла, про неё всёизвестно заранее, а заглядывать нужнов одну из двух коробок с одинаковыминадписями. В моей задаче все коробкибыли равноправны: ни про какую изних её содержание не было известнозаранее, но и заглядывать можно былов любую. Может быть, дать эту задачудетям на следующем занятии?

Задание 3. Подобие. Каждый полу-чил лист клетчатой бумаги и карандаш.Я рисовал им разные фигурки на бума-ге, а они должны были нарисовать фи-гурку вдвое большую — как на рис. 88.Дима справился со всеми заданиями

без ошибок, только иногда его фигурки(удвоенные) налезалинамоиисходные,так как он не мог рассчитать необходи-мое место. Женя тоже с этой задачейсправлялся неплохо — хоть и делалошибки, но когда я ему их показывал,он их сам исправлял. А у Пети этазадача почему-то совсем не пошла: онвсё делал неверно, указанные мнойошибки сам исправить не мог. Я емуобъяснял, как делать, и даже Наташаему помогала, но без особого успеха.В следующий раз договорились эту

задачу продолжить.Задание 4. Игра в 15. Я подробно

и обстоятельно объяснил правила игры,после чего раздал ребятам три игрыс одинаковым начальным условиеми устроил нечто вроде соревнования(хотя ребятам сказал, чтобы они неспешили обгонять друг друга). Всем

Директор строительства — 126 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

троим я слегка помогал в трудныемоменты.

Игра в 15—классическаяматематическая голо-воломка, изобретённая СэмомЛойдом в 70-х годахXIX века. На квадратном поле размера 4×4расположены 15 квадратных плашек с написан-ными на них числами от 1 до 15. Одно поле оста-ётся пустым. Разрешается передвигать на пустоеполе любую из соседних плашек. Цель игры —перевести все плашки в стандартное положение(рис. 89). Нужно иметь в виду, что цель игры до-стижима ровно для половины начальных позиций;для другой половины сделать это невозможно.

Первым закончил Петя, вторымЖе-ня. Димаработал хорошо,но он с самогоначала невнимательно вгляделся в то,какая позиция является целью.Он пер-вым выстроил строку, но когда я по-смотрел на его игру, то увидел, что этастрока стоит не вверху, а внизу:

9999999999999999999999999999999999999 7777777777777777777777777777777777777 12121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212 888888888888888888888888888888888888810101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 13131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414146666666666666666666666666666666666666 5555555555555555555555555555555555555 151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151111111111111111111111111111111111111 2222222222222222222222222222222222222 3333333333333333333333333333333333333 4444444444444444444444444444444444444

Я ещё раз объяснил ему условиезадачи и через некоторое время обна-ружил вот такую <змейку>:

1111111111111111111111111111111111111 2222222222222222222222222222222222222 3333333333333333333333333333333333333 44444444444444444444444444444444444448888888888888888888888888888888888888 7777777777777777777777777777777777777 6666666666666666666666666666666666666 55555555555555555555555555555555555559999999999999999999999999999999999999 10101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010101010 11111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111111 1212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121212121215151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515151515 13131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313131313 14141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414141414

Пришлось ему ещё раз переделыватьсвоё решение. От моей помощи онотказался и закончил всё тогда, когдаЖеня с Петей уже ушли домой.

Занятие 56. Директор строительства

1 ноября 1982 года (понедельник). 1700—1800(1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Устные вопросы.(1) Диме,Пете иЖене дали двамяча

и лопату. Что у кого было, если у Димыи Жени были одинаковые предметы?(2) Тем же дали два карандаша

и авторучку, причём у Димы и Петибыли разные предметы.(3) Нам четверым дали три маши-

ны и барабан, причём у Димы и Петибыли одинаковые предметы, а у Петии Жени — разные.(Во втором случае ответ неодно-

значный.)Задание 2. Димина задача. Дал

задачу, придуманную Димой — см.предыдущее занятие, п. 3. Пошла до-вольно плохо, так как никто из детейне мог толком запомнить всех трёхкомбинаций по два предмета.

Задание 3. Удвоение фигуры (го-мотетия). Петя наконец освоил гомо-тетию и к концу удваивал довольносложные фигурки совсем без ошибок.Дима, наоборот, сначала совсем не де-лал ошибок, а потом стал работать неак-куратно, так что нельзя было разобрать,есть в его рисунке ошибки или нет.Женя, как и в прошлый раз, в целомвыполнял задание хорошо, хотя ино-гда и ошибался.Ребятам очень нравилось задание,

и они не хотели его прекращать, выну-див меня дать каждому на две фигуркибольше, чем я намеревался.

Задание 4. Сетевые графики. Незнаю, как правильно назвать это зада-ние. Термин <сетевые графики> заим-ствован из теории исследования опе-раций; однако в появившемся позжеучебнике <Алгоритмика> (ссылка име-ется на стр. 13) мы соответствующуюглаву назвали <Параллельное програм-мирование>. В самом деле, ведь речьздесь идёт о <работах>, которые иногдаможно исполнять параллельно. Классзадач о <директоре строительства> (ещё

6. Кружок с мальчиками — третий год — 127 — Кто бутее, Гобр или Ступ?

12

4

Рис. 90. В каком порядке можно устанавли-вать части этой конструкции?

одно название) оказался необычайнобогат разнообразными идеями; в этомдневнике из них используется лишьмалая часть.Я взял несколько предметов из

Диминого деревянного конструктораи на каждом фломастером написалномер. Каждый из мальчиков былназначен директором строительства.Сначала мы построили очень простойобъект (рис. 90).Мы подробно обсудили, в каком по-

рядке можно ставить детали, и в итогеизобразили этот порядок в виде схемы,показанной на рис. 91. (На более учё-номязыкеречьидёт о частичномпоряд-кеи о его возможныхлинейныхпродол-жениях.) Надо сказать, что в о п р о со порядке работ был детям вполне по-нятен, а вот позаимствованная мной изтеорииисследованияопераций ф о р м ап р е д с т а в л е н и я о т в е т а в виде

Н К

1

2

4

Рис. 91. <Сетевой график> исполнения работпри строительстве конструкции, показаннойна рис. 90. Буквы Н и К означают <начало>и <конец>.

ориентированного графа оказалась неочень удачной. Это надо обдумать.Я подробно объяснил ребятам смысл

параллельности работ 1 и 2 (их можностроить в любом порядке независимодруг от друга, а можно и одновременно,если есть две бригады; зато работу 4можно делать только после того, какзакончены работы 1 и 2). Каждый измальчиков получил лист бумаги и фло-мастер. Дальнейшая работа происхо-дила так: я строил сооружение, ребя-та самостоятельно рисовали графики,потом мы каждый график обсуждали,после чего рисовался окончательныйпроект. Сооружения, использованныев данном занятии, а также соответ-ствующие сетевые графики показанына рис. 92.

Занятие 57.Кто бутее, Гобр или Ступ?

15 ноября 1982 года (понедельник). 1730—1830(1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Устные вопросы натранзитивность.(1) Коля бутее, чем Вася, а Вася бу-

тее, чем Таня. Кто бутее всех? Ответилправильно Дима, но и он, и остальныемальчики долго приставали ко мне,что значит <бутее>.(2) Гобр согже, чем Вурм, а Вурм

согже, чем Ступ. Кто согже всех?Тоже ответил Дима.

Мне пришлось несколько раз переспросить,чтобы запомнить все имена и слово <согже>. —Дима.

(3) Толя сильнее, чем Миша. Мишамладше, чемВова.Вованиже, чемТоля.Толя старше, чем Вова. Вова слабее,чем Миша. Миша выше, чем Толя. Ктоиз ребят самый сильный, кто самыйстарший и кто самый высокий?Мы написали на трёх бумажках

инициалы трёх мальчиков: Т, М и В,и для каждого отдельного признакастали их раскладывать в порядке убы-вания этого признака. Я каждый разчитал весь текст целиком, а ребята

12

3

4

Н К

1

2

3 4

Н К

1

3 4

6 7

1

3

4

66666666666....

7777777777

66666666666....

77777777773

459.

81

2

Н К

1

2 3

4

5

6 7

8 9

Рис. 92. Три конструкции и соответствующие им планы строительства.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 129 — Сетевые графики

должны были сами выбирать из моихфраз те, что относятся к делу.Дима с задачей совершенно не

справлялся: каждый раз забывал, ка-кой именно признак мы сейчас упо-рядочиваем. В основном задачу вёлПетя, остальные двое только сбивали.

Задание 2. Фигурки на клетчатойбумаге. Сначала я дал, как и раньше,одну фигурку удвоить; все легкос этим справились. Тогда я велел ту жефигурку утроить. Дима справилсяс утроением так же легко, что и с удво-ением. Женя допустил пару ошибок,но легко исправимых. Петя же, к мо-ему удивлению, совершенно ничегоне смог сделать. Это особенно страннопотому, что удвоение он выполнялбыстрее и лучше других.Это трудно сформулировать, но, ви-

димо, дети как-то по-разному обучают-ся решать задачи. Похоже на то, чтов данном случае Дима сумел понятьлогическую структуру задачи, а Петя

11111111 11112222221

2

4

8

10

Рис. 93. Разработать <план строительства> воттакой башни.

вместо этого усвоил некую механи-ческую последовательность действий,которая приводит к успеху, никак еёне осмысляя. Более точно выразитьмысль не могу. Я помню, однако, посвоим школьным годам: я очень плохопонимал физику (и сейчас плохо еёпонимаю), но каким-то <чутьём от-личника> угадывал, что и как нужнонаписать в контрольной, чтобы полу-чить пятёрку.Дальше я задал ребятам ту же фигур-

ку положить на левый бок, положитьна правый бок, затем вверх ногами.Потом было ещё одно задание: я нари-совал несимметричнуюфигуркуи велелсначала отразить её в горизонтальномзеркале, а потом нарисовать вверх но-гами — и сравнить результаты. Зада-ча, как и следовало ожидать, даласьне очень легко: мальчики не понима-ли, в чём разница между этими двумядействиями. После моих подсказокДима первый справился с задачей, аостальные у него срисовали, но тожевсё поняли.Немножко неудобно мне здесь чаще

других хвалить Диму, но он и в самомделе занимается успешнееПети иЖени(чего совершенно не скажешь, напри-мер, о кружке рисования или о заня-тиях английским).

Задание3. Сетевые графики.Башня,которую требовалось построить, изо-бражена на рис. 93.Все мальчики нарисовали схемы

д о п у с т и м ы е, т. е. не противоре-чащие логике расположения фигурок,но только Дима нарисовал схему опти-мальную. Все три схемы показанына рис. 94. Фактически изображениябыли несколько иными — из-за не-удачного расположения цифр на ри-сунке, из-за не очень ясного рисунка,и, наконец, самое главное, из-за того,что не всегда дети умеют выразить ри-сунком логическое отношение. Приве-дённые рисунки появились после моегообсуждения с ребятами того, что нари-совали они. Следует обратить вниманиена то, что Женино решение, требовало

Спирограф — 130 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

Н К

1

2

481011

12

Н К

1

2

4810 1112

Н К

1

2

481011

12

Рис. 94. Первая схема принадлежит Жене,вторая — Пете, третья — Диме.

пересечения стрелок графа друг с дру-гом; он не решился сделать такие пере-сечения, из-за чего получил неверныйрисунок; однако устно он всё объ-яснил правильно и потом согласилсяс моим рисунком. Диму же пересече-ния не смутили и он нарисовал логи-чески безупречную схему с пересека-ющимися стрелками. Только потом яему подсказал, как расположить кру-жочки с цифрами, чтобы избежатьпересечений. Характерна также по-зиция Пети: он понимал, что предло-жил не наилучшее решение, но думатьболее напряжённо ему, видимо, не хо-телось. Зато он лучше других понимал<модальную логику> ситуации: по егосхеме построить башню м о ж н о(схема не противоречит расположениюфигурок), и поэтому он как <директорстроительства> может приказать стро-ить её так, а не иначе. Так он своюпозицию и сформулировал.УспехуДимыотчасти способствовало

также то, что где-то посреди недели онпо собственной инициативе построилкакое-то строение и рисовал его схему.

Спирограф. Уже после окончаниякружка мы увлеклись игрой <спиро-граф>, которую принесла Наташа, идолго рисовали с её помощью разныеэпи- и гипоциклоиды. Интересноепредложение выдвинул Дима: кататьне маленькое колёсико вокруг боль-шого, как это делали все, а большоевокруг маленького.

Спирограф — это набор зубчатых колёсикови колец разного диаметра. Их можно кататьдруг вокруг друга, а маленькие колёсики мож-но также катать внутри больших колец. Наразных расстояниях от центра в колёсикахпроделаны отверстия. В них можно вставлятькарандаш и, закрепляя одно колёсико и катаявокруг него другое, рисовать разные занима-тельные кривые (рис. 95).

Занятие 58. План комнаты

22 ноября 1982 года (понедельник). 1715—1800(45 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Устные вопросы. Заме-нить одним словом выражение <сде-лать так, чтобы был...>. Например:

сделать так, чтобы был дом == построить дом.

Другие примеры:

дерево — посадить,свет — зажечь,книга — написать,суп — сварить,картина — нарисовать,порядок— навести,задача — придумать,яма — выкопать.

Потом я предложил ребятам самимпридумать примеры. Дима тут жевыдал:— Сделать так, чтобы была рыба.И, увидев мой недоумённый взгляд,

сам ответил:—Я имел в виду — родить.Дальше примеры перешли в ещё

более опасную область. Петя сказал:— Сделать так, чтобы был ребёнок.Я поспешил сам решить эту задачу:— Тоже родить, — и перевёл разго-

вор в другую плоскость.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 131 — План комнаты

Задание 2. Пентамино. Задание со-стояло в том, чтобы сложить заданнуюфигуру из двух фигурок пентамино.Было сложено шесть фигурок, ещёдве я показал сам.

Двенадцать фигурок пентамино показаны нарис. 96. Каждая из них состоит из пяти клеток.Задание, как правило, состоит в том, чтобы по-строить из них заданную фигуру (причём её раз-биение на фигурки из набора не сообщается).Уровень таких задач варьируется от лёгких донеобычайно трудных. В частности, выгрузивфигурки из прямоугольной коробки (встреча-ются коробки двух типов: 5×12 и 6×10), нетак-то просто уложить их обратно.

Из рисунка видно, что не все фигурки обла-дают осевой симметрией. Их, однако, разреша-ется переворачивать вверх ногами, и таким

Рис. 95. Спирограф и некоторые кривые, которые можно с его помощью нарисовать.

образом получать вместо одной фигурки дру-гую, ей симметричную (рис. 97).

Задание 3. План комнаты. Каждыйиз ребят получил <комнату> — нари-сованный на листе бумаги прямоуголь-ник с <дверью>. Кроме того, каждыйполучил вырезанные из перфокарт ди-ван, секретер, пианино, стол, книжныеполкии т. п.Все этипредметынадобылоразместить в <комнате>-прямоуголь-нике так же, как они стоят в нашейреальной комнате. Ребята справилисьс заданием так быстро и легко, чтомне пришлось на ходу придумыватьим другое задание.

Долгая пауза — 132 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

Рис. 96. Набор фигурок пентамино.

Я принёс каждому по листу бумагии по фломастеру и попросил теперьпланкомнатынарисовать. Трудно опре-делить, справились они с заданием илинет: расположение предметов соответ-ствовалоистинному, номасштабне соб-людался самым чудовищным образом,особенно у Димы, у которого пианино

Рис. 97. Перевернув плашку вверх ногами,получаем ей симметричную. Поэтому при по-строении сложных фигур из пентамино можноиспользовать любую из них (но только одну).

Рис. 98. <Японский волчок>. Здесь он пока-зан неподвижным; а если его закрутить, онвскочит на ножку.

вышло меньше книжной полки. Вооб-щеонработал оченьнебрежно, всё рисо-вал кривое, а на замечания реагировалсмехом.В заключение я показал Пете иЖене

японский волчок, который вскакиваетна ножку (он показан на рис. 98).После занятия, когда все ушли, я по-

казал Диме книгуС. В. Голомба <Поли-мино>, и, в частности, показал трифигуры, про которые до сих пор неиз-вестно, можно ли их сложить из пен-тамино. Дима, не раздумывая, сказал:— Сейчас попробую, — и принялся

их складывать.Потом он придумывал для меня за-

дачи — складывал разные совершеннонесимметричные фигуры (просил меняне подглядывать) и аккуратно их за-рисовывал на клетчатой бумаге.

Долгая пауза

На этом месте в наших занятияхнаступил перерыв более, чем на двамесяца. Сначала у Димы была опера-ция; потом он болел ветрянкой; потомЖеня (наша) болела ветрянкой; потомнаступил Новый год; потом мальчикиходили в театр Образцова и на разныеёлки, что заняло ещё два понедельника.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 133 — Пентамино

Когда же, наконец, можно было начи-нать снова заниматься,я с ужасомобна-ружил, что сошёл с накатанной колеии вообще забыл, чем мы занималисьи что такое наш кружок. В результатея за обычное время не успел подгото-виться к занятию и вынужден был самперенести его ещё на неделю. Отсюда яизвлёк тот урок, что следует не даватьсебе поблажек и передышек и прово-дить занятия каждую неделю без про-пусков, хотя бы даже на них было подва, а то и по одному человеку. Этомупониманию в особенности способство-вало то, что заболела ветрянкой Саня(младшая сестра Пети), так что Петяпопал в карантин, а потом ещё, можетбыть, заболеети он сам... Такилииначе,Петино присутствие откладываетсяещё минимум на месяц.Дима за это время не стоял на месте.

Особенно много во время болезни онзанимался пентамино и <пифагором>.

Головоломка <пифагор> имеет множество вер-сий и множество названий (часто её можно встре-тить под именем <танграм>). Квадрат либо пря-моугольник разрезается на несколько частей,и потом из этих частей предлагается складыватьразнообразные фигуры. На рис. 99 показан тотвариант, который был у нас.

По своемуобыкновению,он не решалзадачи, а придумывал. Но я применилнеожиданный ход, который только сей-час осознал как ход (сейчас, когда пи-шу). Я ему стал подсказывать, какуюзадачу можно было бы придумать.Например:—А попробуй придумать задачу,

в которой надо было бы сложить изпентамино квадрат 5×5.—Как это?Я объяснял, и он охотно <придумы-

вал> такую задачу, не догадываясь,что на самом деле он её решает.

Я это понимал так, что я (с папиной помощью)придумываю задачи кому-то другому. — Дима.

Таким образом, он построил, в част-ности, серию прямоугольников 3×5,4×4, 5×5, 6×5, 7×5, но продолжатьдальше ему надоело. Некоторые из егопостроений показаны на рис. 100—103.

После этого наступил трудный педа-гогический момент: Дима твёрдо возна-мерился свои задачи опубликовать.

Иначе непонятно, для кого же я их приду-мывал. — Дима.

Я пытался как-то его отговорить, новсёзвучалооченьнеубедительно, таккакглавный аргумент (это никому не инте-ресно) я произнести не мог. Я пыталсятакже выяснить, почему ему так этогохочется, но однозначно ясных причинне установил. Тщеславие тут, конечно,немножко присутствует, но в какой-тонеясной для меня форме. Я спросил:— Тебе хочется, чтобы тебя хвалили

за то, что твои задачи напечатали?Он ответил:—Но как же они могут меня хва-

лить? Ведь они меня не знают (т. е.не знакомы лично).Видимо, им руководили примерно

такие соображения, что вот, мол, работапроделана, и теперь она пропадёт зазря,и кому-то придётся потом проделыватьто же самое. Кроме того, по-видимому,публикация представляется ему деломпростым и обыденным. В самом деле —на полках стоят книги, написанные де-душкой, мамины и папины переводы,книгиПетиныхродителей, книгиМишиШубина* и т. п. — всё это люди, живу-

* Наш близкий друг, математик. Ныне — про-фессор одного из американских университетов.

Рис. 99. Головоломка <пифагор>: квадрат раз-резан на семь частей, и из этих частей надоскладывать разные фигуры.

Пентамино — 134— 6. Кружок с мальчиками — третий год

щие в том же доме, с детьми которых онгуляет во дворе, занимается рисованиеми проч. Может быть, ему так представ-ляется, что обыденнаяжизнь всехлюдейиз этого и состоит: люди чистят зубы,стелют постель, публикуют книги, гу-ляют с детьми, стирают бельё — всёв одном ряду.

Тут папа меня переоценил. Я тогда и по-нятия не имел обо всех этих книгах. Тем не

Рис. 100. Три способа построить из пентаминопрямоугольник 3×5.

Рис. 101. Прямоугольник 3×10. Заметьте, чтоон вовсе не составлен из двух прямоугольников3×5, показанных на предыдущем рисунке —такое решение было бы слишком лёгким.

Рис. 102. Три прямоугольника 4×5. Прило-жив к любому из них полоску 1×5, можносделать квадрат 5×5.

менее я не видел никаких трудностей в пу-бликации. — Дима. [Это не совсем точно.Я хорошо помню, как Дима показывал Аллеодну из книг на полке и говорил:

— Мама, тут почему-то твоя фамилия напи-сана.

Это была монография Диминого дедушки,Виктора Ноевича Ярхо, об Эсхиле. Видимо,Дима тогда не придал этому значения, а потомзабыл. — А. З.]

Забавно осознавать, насколько кар-динально это отличается от моего дет-ства. Для меня тогда писатели суще-ствовали в какой-то другой Вселенной,не имеющей контактов с нашей. Как-тораз на заводе в Витебске, где работаламоя мама, была организована встречас каким-то третьеразряднымписателем.В концевстречионраздавалавтографы.Мама подошла к нему и попросила под-писать книжку для меня: <Мой сын —отличник>. Вечером она принесла до-мой книжку с надписью: <ОтличникуСаше Звонкину от автора>. Я не могповерить своим глазам. Настоящийписатель — и мне...!В конце концов я объяснил Диме,

что бывают родители, которые любятхвастаться своими детьми, и я не хочу,чтобы про меня так подумали, а по-сему вот тебе журнал <Квант>, и еслиты найдёшь в нём адрес, то и пиши наздоровье, а я тебе ни в чём помогатьне буду. Приём дешёвый, но успешный.Адреса он, конечно, не нашёл, но затоперелистал внимательно весь журнал,

Рис. 103. Пара более экзотических фигурок.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 135 — <Пифагор>

Рис. 104. Фигурка, сделанная из набора <пифагор>.

Рис. 105. Эти фигуры кажутся одинаковыми, но на самом деле правая чуть шире, чем левая.

Рис. 106. Ещё одна Димина задача для <пи-фагора>.

прочитал все заголовки, о многих менярасспросил и потом даже Алле гово-рил, какой интересный журнал.Потом он занялся <пифагором> и то-

же придумал парочку неплохих задач:они показаны на рис. 104—106. Продве похожих друг на друга фигуркирис. 105 он решил, что они одинаковы,что на самом деле не так. К наборуприлагался вкладыш с приблизительносотней фигур-задач, которые требова-лось сложить. В основном это были зай-чики, петушки да бычки, но некоторыеиз них вполне имели вид геометриче-ских фигур, как у нас. Я стал искатьДимины фигуры на вкладыше, нообнаружил только похожую на нихфигуру№ 87, которая при ближайшейпроверке оказалась вообще невозмож-ной. (Двефигурки из <пифагора> пред-ставляют собой маленькие треугольни-ки; остальные можно разрезать либона 2, либо на 4 таких же треугольника;

всего таких треугольников получится16 штук; фигура же № 87 требует19 таких треугольников.) Этот вопросмы с Димой обсудили.

Начинает сказываться влияние школы — 136 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

Я, по-моему, не понял. — Дима. [Ну есте-ственно! Ведь моё объяснение требует понима-ния закона сохранения площади. Я так долгои упорно настаивал на том, что этого понима-ния пока нет, а как дошло до дела — т. е.до необходимости его <применения> — так обовсём и забыл. — А. З.]

Ещёиз егоуспеховможноупомянуть,что, когда мы были в гостях у одногознакомого, он успешно разделил (в уме,

разумеется) 31 на 4, получив 734. За-

бавно, что обращаться с дробями, имею-щими в знаменателе степень двойки,ему помогают ноты, он сам это при-знавал.И ещё была очень смешная его по-

пытка оценить количество возможных<алфавитов>, т. е. перестановок из33 букв; в его рассужденияхпроявилиськакие-то зачаткикомбинаторногомыш-ления. Он считал, что букв 33 и мест 33,поэтому эти числа надо перемножить(перемножил он их неправильно). Нопотом ещё вспомнил, что для второйбуквы есть всего 32 возможности,и потому из произведения вычел еди-ницу. Позже я объяснил ему про n!,а когда мы были у меня на работе, тодаже стали вычислять 33! на кальку-ляторе <Искра>, но добрались толькодо 18!, а дальше машинку зашкалило.Кстати (всё время вспоминаю что-то

ещё), в день ёлки для детей у нас наработе я устроил Диме и ещё одномумальчику чуть постарше небольшуюэкскурсию в наш ВЦ, а потом ребятаещё набили по одной перфокарте наперфораторе.

Занятие 59. Что видит другой

31 января 1983 года (понедельник). 1600—1700(1 час). Дима, Женя.

Задание 1. Устные вопросы. Кило-грамм мяса варится два часа. Сколь-ко будет вариться полкилограмма та-кого же мяса?Дима:—Час.—Почему?

—То есть нет, тоже два часа.—А ты, Женя, как думаешь?Дима продолжает:—Я не знаю, может быть, всё-таки

меньше, чем два часа. Потому чтотепло быстрее проходит. Ведь его неразрезали?—А если разрезали?—Тогда одинаково.К этому времени Женя проснулся

и до него тоже дошло условие задачи.Он говорит:—Час.—Почему?Молчание.—Ну хорошо, — говорю я, обраща-

ясь к Жене. — Одна сосиска варитсядве минуты; сколько времени варитсяпять сосисок?Женя (немного подумав):—Пять.—Почему пять?—Но ведь сосисок больше!—Во сколько раз больше?— ...В три...Начинаем восстанавливать условие

задачи; вскоре с некоторым трудомЖеня приходит к ответу <10 минут>,причём сам объясняет, что варитьнадо по очереди.Дима и Наташа наперебой пытаются

объяснить ему решение. Он понимает,нокак-то без озарения, без этого <Ах, да,ну конечно!..>, а как-то скучно:—Ну, две так две...Вообще явно видно мощное отупля-

ющее влияние школы*. Наташа сама

* Я хочу сделать здесь одно важное заме-чание. В дальнейшем тексте будет ещё многоинвектив и филиппик в адрес школы. Я не хочуих убирать: именно так я тогда думал и так чув-ствовал. Однако несколько позже я приобрёлсобственный— совсемнебольшой— опыт работыв школе. Я не хочу сказать, что моя точка зрениякардинально изменилась; но она очень сильнообогатилась большим количеством дополнитель-ных нюансов и более ясного понимания школь-ных проблем. Проблемы эти столь трудны, чтомне сегодня кажется почти чудом тот факт, чтошкола умудряется решать хотя бы даже неболь-шую их часть. При этом она в очень большойстепени лишена моральной поддержки со стороныобщества. От авторов вроде меня учителя не слы-шат в свой адрес ничего кроме критики. Увы.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 137 — Вероятностная игра

Рис. 107. Планшетка для вероятностной игры.Бросают игральный кубик, и выпавшее числоставят в одну из клеток; затем кубик бросаютещё раз, и выпавшее число ставят в другуюклетку; то же повторяется и в третий раз. Вы-игрывает тот, чьё получившееся в результатетрёхзначное число окажется наибольшим.

признаёт, что Женя, пойдя в школу,сильно деградировал; да это видно и изприведённой сцены. А недавно Алласлышала, как Дима говорил Пете:—А знаешь, мне папа рассказал

такую смешную историю, как одномучеловекунадо было пройти 100 киломе-тров, а он прошёл 99 и сказал: <Ой,что-то далеко туда, пойду-ка я обратно>.На что Петя ответил:—Ну да, ему ведь обратно 1 кило-

метр идти.А Дима закричал:—Ты что! Ему нужно 198 киломе-

тров пройти!Нечто аналогичное Аллины род-

ственники рассказывают про нашегоплемянника Борю. До первого классаон свободно обращался с трёхзначнымичислами, а в начале первого класса лег-ко справился с контрольной за четвёр-тый класс. К концу первого класса онуже владел только однозначными чис-лами.А сейчас, в третьем классе, он ужесовершенно разучился думать и, ре-шая задачу, беспокоится лишь о том,к какому из имеющихся шаблонов еёотнести. В скором будущем и нас всёэто ждёт; я надеюсь на какое-то чудос Димой (что он с о х р а н и т с я), ноникаких оснований для такой надеж-ды нет, кроме только моего сильногожелания, чтобы это так было.Пока же на кружке меня ожидают

чисто практические трудности. Димаи раньше был слегка впереди Пети иЖени, а теперь он продвинулся вперёд,а они — назад.

Задание 2. Вероятностная игра.Каждый из нас (я тоже играл) бросалкубик три раза и из полученных очковсоставлял трёхзначное число. Делалосьэто так: первое выпавшее число ста-новилось на выбор либо числом сотен,либо десятков, либо единиц — т. е.ставилось в одну из трёх клеточек не-большой планшетки, показанной нарис. 107, второе — в одну из оставших-ся клеточек, третье — в последнююпустую клеточку.Выигрывал тот, у кого число полу-

чалось наибольшим. Дима первыйпри-думал разумную стратегию: большиечисла ставить в сотни. Тем не менее,из 9 партий 4 выиграл Женя, 3 — яи 2 — Дима. Женин успех частичнообъясняется тем, что он не очень акку-ратно бросал кубик: держал его низконад столом пятёркой вверх, стараясь,чтобы он не кувыркался (шестёркойвверх то ли не догадался, то ли нерешился).[Хочется заметить, что нахождение

настоящей оптимальной стратегии вэтой игре — задача далеко не триви-альная; я её не смог рассчитать дажедля двух игроков и для двузначныхчисел (двух клеточек). В самом деле,задача, по крайней мере для второгоигрока, не сводится к максимизацииматематического ожидания. Допустим,выпало 5; ставить ли его в первуюклетку (десятки) или во вторую (еди-ницы)? Ответ зависит от того, что стоитв 1-й клеткеу 1-го игрока.Если там сто-ит 6, то, ставя 5 в 1-ю клетку, мы хотяи максимизируем своё математическоеожидание, но делаем вероятность вы-игрышаравнойнулю, в то времякакпо-ставив её в другую клетку, мы могли быещё надеяться, что в следующий развыпадет 6 и мы выиграем.А первый игрок — должен ли он

максимизировать своё математическоеожидание, или его наилучшим ответомна оптимальную стратегию второго иг-рока является какая-то другая стра-тегия? С ростом количества игроковситуация усложняется ещё сильнее.]

Расстановка стульев — 138— 6. Кружок с мальчиками — третий год

Задание 3. Что видит человек, сидя-щийнапротив?ЯпосадилДимуиЖенюза столом н а п р о т и в друг друга, и,кладя между ними по очереди 5 ли-стов с рисунками, дал такое задание:Дима должен нарисовать то, что видитЖеня, а Женя — то, что видит Дима.Картинки, которые я использовал,показаны на рис. 108.Мальчики справились с заданием не-

плохо, по крайней мере лучше, чем яожидал, хотя, конечно, были и ошибки.Естественно, это заданиеоказалось труд-нее другого, дававшегося ранее: нарисо-ватьфигурку вверхногами. Забавно вотчто:Димаодинраз схитрил—нарисовалфигурку как видит её он сам, а потомперевернул лист бумаги. Но даже и этонепомоглоемудогадаться, что задачаэк-вивалентна переворачиванию фигуры.Кроме геометрической идеи, содер-

жащейся в этой задаче, в ней имеетсяещё идея р е ф л е к с и и (<что з н а е т

Рис. 108. Один из этих рисунков лежит передвами на столе; вам нужно нарисовать то, чтовидит человек, сидящий напротив вас.

другой?>). Я давно мечтаю придуматьзадачи на эту тему, но всё нет идей.Впрочем, сейчас родилась одна мысль:показывать карточки с числами однойстороной к одному игроку, другойк другому. Надо обдумать.

Картинки из книги Глейзера <Исто-рия математики в школе>* — изобра-жение цифр и чисел в разные временау разных народов. Я преследовал двецели. Во-первых, однимизмоих замыс-лов, покаплохоосуществляемых, являет-ся подчёркиваниесемиотическойфунк-цииматематики,и,вчастности, тойидеи,что системыобозначенийможноизобре-тать, что онимогут быть разнымидляод-ного и тогоже и что они вообще сущест-вуютиважны.Автораяцель—посуще-ству не цель, а так... просто я решил, чтонадо почаще показывать детям картин-киизразныхкниг, сделав это традицией.Кроме общекультурного интереса, эторешает и проблему утомления, котороенеизбежно возникает к концу занятия.

Занятие 60. Рефлексия

7 февраля 1983 года (понедельник). 1700—1815(1 час 15 мин.). Дима, Женя.

Задание 1. Расстановка стульев.Лист бумаги — это <комната>, фиш-ки — <стулья>. Требуется расставить4 стула так, чтобы у каждой стеныстояло по 2 стула. Дима сказал:—А Боря уже решал с нами эту за-

дачу, — и расставил стулья по углам.Я добавил 5-й стул (задание то же —

должно быть по два стула у каждойстены). Ребята справились (один стулв углу надо заменить на два стулау двух стен, примыкающих к этомууглу). Я добавил 6-й стул; тоже спра-вились. Я добавил 7-й стул. Тут на-ступила заминка. Решения для пяти

* Г. И. Глейзер <История математики вшколе,IV—VI классы>, М.: Просвещение, 1981; то же,VII—VIII классы, 1982; то же, IX—X классы,1983. Поразительно! Полез на полку за книга-ми, чтобы дать точную ссылку — а там лежатзакладки на тех же местах!

6. Кружок с мальчиками — третий год — 139 — Рефлексия

и шести стульев они не воспринималикак модификацию предшествующихрешений, а как самостоятельные ре-шения отдельных задач. Однако на нихпродолжала давить идея, что стулья на-до ставить в углы. Для 7 стульев лишьодин из них надо было поставить вугол; однако мальчики н а ч и н а л ис того, что ставили несколько стульевв углы — и вот всё дело стопорилось.После множества неудачных попытокони уж было совсем отчаялись, и я дажеуже сказал, что это будет их домашнимзаданием, но тут Дима сделал послед-нюю попытку— и справился с задачей.Тогда я добавил 8-й стул; эта зада-

ча тоже была решена (опять Димой).Я предложил ещё и 9-й стул; никтоне выразил твёрдого убеждения, чтоэто невозможно, но все согласились,что это, наверное, трудно.

Задание 2. Ребусы. Ребусы былипримитивные, односложные:

(1) ЛАС . ласточка;(2) 100 РОНА сторона;(3) АК 3 СА актриса;(4) Д 3 Й Дмитрий.

Решение первой задачи я объяснилсам, а остальные три решили ребята.

Задание3. Вероятностнаяигра.Играта же, что в задании 2 предыдущегозанятия, только тот, чьё число былосамым большим, получал 3 очка, следу-ющий — 2 очка, а обладатель самогомаленького числа — 1 очко.Таким образом (хотя детям это было,

конечно, всё равно), задача стала про-ще: каждый мог заботиться только обувеличении собственного числа, безоглядки на остальных. Впрочем, этоне так уж очевидно: стратегия должназависеть от количества очков. Если, на-пример, числа 1, 2 и 3 заменить на 0,0 и 1000, то игра сведётся к предыду-щей. В общем, <задача для взрослых>пока остаётся открытой.После девяти туров у меня оказалось

21 очко, у Димы — 18, у Жени — 17.Это означает, что кто-то ошибся в под-счёте, так как сумма должна была рав-

няться 54. Но я этого почему-то незаметил. К тому же мальчики чересчуррасшалились, так что я торопилсяперейти к следующей игре.

Картинки с многогранниками. Рас-сматривали картинки из книги Вен-нинджера*, читали названия фигур.Конечно, по сравнению со звёздчаты-ми фигурами обычные правильныемногогранники никакого впечатленияна ребят не произвели.

Задание 4. Игра с рефлексией. Име-ется 12 карточек из непрозрачногокартона. На четырёх из них написанос одной стороны число 1, с другой 2;ещё на четырёх — с одной стороны 2,с другой 3; и на оставшихся четырёх —с одной стороны 3, с другой 4.Сначала я показываю ребятам кар-

точки; мы устанавливаем, что на двухсторонах карточки всегда написанысоседние числа, и что самое большоечисло — 4.После этого все карточки перемеши-

ваются (и стороны тоже) и кладутсяв вертикальную коробку. Мальчикисадятся друг напротив друга. Я по оче-реди вынимаю карточки и показываюих одной стороной Жене, а другойДиме. Каждый из них должен н а-з в а т ь ч и с л о, к о т о р о е в и д и тд р у г о й. (Отыгранную карточку япереворачивал и клал в конец колоды,так что она через 12 ходов возвраща-лась в игру, но повёрнутая наоборот,что восстанавливало <справедливость>игры.) В игре очень отчётливо про-явились следующие стадии.

1-я: мальчикиплохопонимают зада-чу, называют не чужое число, а своё.

2-я: условие понято. Тот, кто видиту себя 1 или 4, называет противополож-ное число правильно; но тот, кто видит2 или 3, пытается угадывать наобум;я велю им говорить <не знаю>.

* М. Веннинджер <Модели многогранников>,М.: Мир, 1974. У изображённых в книжке фигурочень смешные названия: малый битригональ-ный додекоикосододекаэдр, большой кубокубо-октаэдр, квазиромбокубооктаэдр, большой вы-вернутый обратнокурносый икосододекаэдр и т. п.

Рефлексия — 140— 6. Кружок с мальчиками — третий год

3-я: тот, кто видит 2 (соотв. 3), на-чинает понимать, что если противниктвёрдо и сразу называет его число, тоу него 1 (соотв. 4). Пока ещё частыошибки; я ввожу новое правило: есликто-то ошибся, карта не засчитывает-ся. Число ошибок уменьшается.

4-я: тот, кто видит 2 (соотв. 3), на-чинает понимать, что если противникговорит <не знаю>, значит, у него 3(соотв. 2). Первый догадался до этогоДима.

5-я: происходит очень смешная сце-на. Женя видит 2, а Дима 3. Каждыйиз них должен был бы сказать <незнаю>; но по опыту предыдущих игрони уже убедились в том, что если пото-ропиться и сказать первым <не знаю>,то противник сразу угадает твоё число,в то время как если бы ты потерпел,пока о н скажет <не знаю>, то сам быугадал его число. Поэтому оба выжи-дают: каждый желает быть вторым,а не первым. В этот момент вдруг Димасоображает, что если бы у Жени бы-ло 4, он бы уже давно всё угадал. А онмолчит, и уже давно; значит, выжи-дает. Тогда Дима твёрдо заявляет: 2!А Женя, ошибочно истолковав егоуверенность, говорит: 1! Наступаетдолгий смех и прояснение ситуации.Дима сам всё объясняет:—Я вижу, что он (т. е. Женя) сом-

невается и всё на папу поглядывает...6-я: у Жени 1, у Димы 2. Женя не-

ожиданно применяет б л е ф: вместо то-го, чтобы сразу заявить, что у Димы 2,он довольно картинно колеблется и да-же, памятуя объяснение Димы, коситсяна меня. И Дима попадается! Он гово-рит, что у Жени 3. Буря восторга.

Мне вообще-то казалось, что Женя колеблетсякак-то неестественно. Но если бы я сказал 1, томогло бы получиться, что в прошлый раз я всёсделал правильно, а теперь опять ошибся —это неприятно. Наоборот, когда сделал так же,как и в прошлый раз, только теперь это несработало, то всё вполне объяснимо. — Дима.

Я понимаю, что теперь уже ребятапоняли всю задачу до конца, и пыта-юсь остановить игру. Мальчики тре-буют ещё.

После конца занятия, уже повозив-шись со змеёй Рубика, они садятсясами играть в эту игру ещё раз. В об-щем, я этой задачей очень доволени считаю её одной из лучших своихнаходок. Кроме того, я очень рад, чтоудалось-таки овеществить идею реф-лексии (хотя идея гораздо богаче, и на-верняка из неё можноизвлечь ещёмно-жество задач). Но один чисто техни-ческий недостаток у этой задачи есть:в неё можно играть только вдвоём.

Змея Рубика. Я показал её Наташеи Жене и сложил из неё несколькофигурок, в том числе фигуру № 86из книги Веннинджера (<малый ром-богексаэдр>).После этого, как я уже говорил, дети

уселись сами играть в игру с карточ-ками.

Занятие 61.Как сложить невидимые числа?

14 февраля 1983 года (понедельник). 1710—1800(50 мин.). Дима, Женя.

Задание 1. Устные вопросы.(1) Два отца и два сына поделили

между собой три апельсина, да так,что каждому досталось по целомуапельсину. Как это могло случиться?Эту задачу ребята не решили, предла-

гая в качестве ответа разные глупости.Тогда я задал другой вопрос:(2) Уодногоотца 6 сыновей, и укаж-

дого сына есть сестра. Сколько всегодетей у отца? Последовал ответ: 12.Трудный момент: я не знаю, что делатьв такой ситуации. Я спросил, сколькоу отца получилось сыновей и сколькодочерей; оказалось, 6 сыновей и 6 до-черей.— Значит, сколько у каждого сына

сестёр?—Шесть.—А тогда решите такую задачу:

у отца 6 сыновей, и у каждого сына6 сестёр; сколько всего детей?—Ой, это совсем много считать

надо!

6. Кружок с мальчиками — третий год — 141 — Сумма невидимых чисел

Я решил попробовать с другого кон-ца. Сначала показал, как получить4+4=5 (взял 4 пальца на одной рукеи другие 4 пальца на той же руке).Потом сказал, что 2 умножить на 2будет 4, а 2 десятка умножить на2 десятка вовсе не будет 4 десятка.Тут Дима стал считать; сначала ска-зал, что будет 40 десятков.—То есть, 400? — спросил я.Но он мне не поверил, что будет

400, стал считать — и насчитал 280!Опять затык. Когда, наконец, досчита-ли, то уже все забыли, зачем мы этоделаем.Короче, когда мне всё же удалось

натолкнуть их на правильное решениепервых двух задач, они воспринялиих без особого интереса, и всё кончи-лось к полному взаимному неудовле-творению.

Задание 2. Сумма невидимых чисел(фокус). В клетках таблицы (в моёмконкретном примере таблица имеларазмер 12×12) стоят разные числа.Я отворачиваюсь, а ребята закрываютплотной непрозрачной полоской 4 со-седние клетки по горизонтали или повертикали. После этого я взглядываю

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

2

9

3

6

0

2

9

3

6

0

2

9

8

1

5

2

4

8

1

5

2

4

8

1

1

7

9

0

3

1

7

9

0

3

1

7

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

2

9

3

6

0

2

9

3

6

0

2

9

8

1

5

2

4

8

1

5

2

4

8

1

1

7

9

0

3

1

7

9

0

3

1

7

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

Рис. 109. Закрыты четыре клетки; сумма чисел,стоящих в этих клетках, равна 17. Разгадкав том, что сумма чисел в п я т и соседнихклетках всегда равна 20; поэтому, видя, что в пя-той клетке стоит 3, мы находим 20−3=17.

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

2

9

3

6

0

2

9

3

6

0

2

9

8

1

5

2

4

8

1

5

2

4

8

1

1

7

9

0

3

1

7

9

0

3

1

7

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

2

9

3

6

0

2

9

3

6

0

2

9

8

1

5

2

4

8

1

5

2

4

8

1

1

7

9

0

3

1

7

9

0

3

1

7

4

0

1

8

7

4

0

1

8

7

4

0

5

3

2

4

6

5

3

2

4

6

5

3

Рис. 110. Пользуясь периодичностью таблицы,находим строку, содержащую те же числа,и складываем их.

на таблицу и сразу называю суммуспрятанных чисел. Разгадка фокусав том, что сумма чисел в любых 5 со-седних клетках (по горизонтали или повертикали) всегда одна и та же, в дан-ном случае 20. Поэтому, чтобы найтисумму спрятанных чисел, нужно из 20вычесть число, стоящее рядом с полос-кой (слева или справа, если полоскалежит горизонтально, сверху или сни-зу, если вертикально), рис. 109.Фокус произвёл колоссальное впе-

чатление. Ребята вполне были готовыпредположить, что я просто запомнилрасположение всех чисел, или чтоя как-то умею проглядывать сквозьполоску, или ещё что угодно.Дима долго выклянчивал у меня

разгадку. Я не говорил. Вечером онуселся изучать таблицу. Ещё раньшеон заметил, что строки и столбцы пе-риодичны: если сдвинуть их на 5 кле-ток, то числа повторяются. Пользуясьэтим, он научился находить полоскуиз 4 клеток, параллельную закрытойполоске и содержащую те же числа,и потом их складывал (рис. 110). Такчто в итоге он научился показыватьэтот фокус, но только очень медленно.

Какая комната больше? — 142 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

До этого, когда он предлагал вся-кие нелепые объяснения, я каждыйраз повторял:—Ну, так ты сам теперь можешь

показывать этот фокус? Если ты счи-таешь, что я просто запомнил все числа,запомни их и ты, вот и весь секрет.Теперь, когда он и в самом деле

научился показывать фокус и почтипришёл к выводу, что я просто счи-таю быстрее, чем он, мне пришлосьоткрыть ему секрет.

Задание 3. Та же задача на рефлек-сию, что и в прошлый раз, но со слегкаизменёнными условиями: кто первыйправильноответил, получает 2 очка, ктовторой правильно ответил, получает1 очко. За неправильный ответ (илинеопределённый ответ <не знаю>) —0 очков независимо от очерёдности.Игра окончилась вничью: каждый за-работал по 28 очков.Характерно, что Женя применял

смешанные стратегии: видя 2, он невыжидал, а сразу и твёрдо заявляллибо 3, либо 1 — и иногда угадывал,получая 2 очка. При этом он своейрешительностью сбивал Диму: напри-мер, Дима видит 3, и при этом Женятвёрдо заявляет:—Три!Тогда Дима говорит:—Четыре, — и получает 0 очков.Интересно, какая стратегия здесь

оптимальна.Картинки. Я показал несколько кар-

тинок из <Кванта> и из других книг,в основном связанных с многогранни-ками. В частности, знаменитую кар-тинку Кеплера (из <Мировой гармо-нии>) с последовательно вписаннымидруг в друга сферами и правильнымимногогранниками (сферы представ-ляют собой планетные орбиты).Ксожалению,картинкиникакоговпе-

чатления не произвели, как и прекрас-нейшая армиллярная сфера Регио-монтана (из книги Д. Херрмана <От-крыватели неба>). В чём здесь дело,я не понимаю, но я был огорчён ихравнодушием.

Занятие 62. Какая комната больше?

21 февраля 1983 года (понедельник). 1700—1810(1 час 10 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание1.Устныйвопрос.Япоказалимстоящиенаполке1-йи2-йтомаэнци-клопедии и сказал, что в каждом из нихпо 600 страниц. А сколько страниц рас-положено между 1-й страницей 1-го то-ма и последней страницей 2-го тома?(Правильныйответ—ноль.)Как это ча-стобываетсустнымивопросами, течениетут же унесло нас куда-то в сторону отсущества дела. Дима сложил 600+600и получил 1200; Петя тоже сложил600+600 и получил 1002; между нимизавязался спор; Женя молчал. Я пред-ложил Жене быть судьёй. Он сказал:—Неправильно.—Что неправильно?Оказалось, что он успел забыть усло-

вие задачи (складывал 60+60; точнее,не складывал, а просто сидел и ждал).Но когда я ему напомнил условие, онсложил правильно и стал на сторонуДимы. В этот момент Дима решил, чтопоскольку спрашивают про страницым е ж д у первой и последней, то онисамине должныучитываться,и, значит,надо вычесть 2 (но вычитание произвёлсошибкой,получив1180).Женязаявил,что нужно вычесть 4 (видимо, имеяв виду не две страницы, а два листа).Мы ещё немного поговорили о том,

что в книгах примерно по 600 страници что 1200−2≈1200. После этого я,наконец, снял с полки книги и пока-зал им правильный ответ: 0 страниц.Первым понял Петя. Потом я ещё объ-яснял ребятам, что для получения пра-вильного ответа не требовалось знатьколичество страниц в книгах.

Задание 2. Какая комната больше?На листках клетчатой бумаги нарисо-ваны две <комнаты>. Требуется опреде-лить, какая из них больше. Что значит<больше>, я не объяснял, но Димасам стал считать количество клеточек,объясняя, что в такой комнате <боль-ше помещается>.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 143— Фокус с кубиками

Рис. 111. Какая комната больше — вот эта,или прямоугольник размера 5×4?

В качестве комнат сначала шли пря-моугольники 3×5 и 3×6; потом 3×6и 5×3 (т. е. второй из прямоуголь-ников — вертикальный). Видно, что впервый раз меняется только одно из-мерение, а во второй раз — одно изме-рениеирасположение.На третьем лист-ке были прямоугольники 3×6 и 5×4(именно в этот момент Дима стал счи-тать клеточки). Дальше начиналисьфигурки посложнее, и довольно бы-стро они стали весьма причудливыми,например, как на рис. 111.Тем не менее, дети ответили пра-

вильно на все вопросы. Точнее, былотак: Дима считал, Женя определял наглаз (и ни разу не ошибся), а Петямолчал.Под конец Дима начал сам рисовать

комнаты-лабиринты, так что я егоедва остановил.

Задание 3. Фокус с кубиками. Сек-рет этого фокуса очень простой, и я былуверен,чтоДимадонегодогадается:яемунедавно рассказывал, что сумма чиселна противоположных гранях кубикавсегда равна 7. Я его даже предупреж-дал, чтобы он, если догадается, никомуне говорил. Но он не догадался.А фокус был такой. Я дал ребятам

два кубика и сам вышел в коридор.Я велел им бросить кубики и подсчи-тать сумму очков; затем перевернутьоба кубика вверх ногами и снова под-считать сумму очков; наконец, обесуммысложить.Наташа следила запра-

вильностью всех манипуляций. Когдавсе вычисления были закончены (посекрету от меня), я объявил резуль-тат: 14.После этого фокус был повторён

с тремя, затем с четырьмя кубиками(срезультатами21и28 соответственно).Эффект, как и у предыдущего фокуса,был потрясающим.Дима безумно оживился, велел при-

нести таблицу предыдущего фокуса истал сам его показывать Пете и Жене,и даже пытался намекать на разгадку,но я его остановил, хоть и не без проб-лем. (Это уже начинает напоминатьодного купца из Салтыкова-Щедрина,всеисториипрокоторогозаканчиваютсяоднойи тойжефразой: <Насилу его уве-ли>. Я, конечно, радоваться должен —всё-таки речь идёт о Димином интересек математике. Но, с другой стороны,иногда посещают сомнения: а не пе-ребарщиваю ли я? Ведь ему ещё нетдаже семи.)Между прочим, я явно недооценил

трудность задачи с таблицей и со-ответствующим фокусом. Во вторниквечером Дима показывал этот фокусГрише Гальперину, и получаса раз-мышлений Грише не хватило, чтобы,понять, в чём тут дело*. Потом, когдая ему рассказал Димино решение, онпришёл в восторг и сказал, что оно емунравится больше, так как полученов результате исследования и рассуж-дения, а не угадывания.В общем, линию фокусов надо будет

продолжить.Картинки.На этот раз мы рассматри-

валикнигуВ.Гильде<Зеркальныймир>(о симметрии). Но этим дело не огра-ничилось. В книге есть фотографииопытов с двумя зеркалами. Я снялзеркало на кухне, и мы долго и оченьбурно развлекались, ставя его парал-лельно зеркалу в коридоре, а такжепод углом.

* Г. А. Гальперин не только прекрасныйматематик (ныне — профессор Чикагскогоуниверситета), но ещё и страстный любительвсевозможных задач на смекалку.

Разум против случайности — 144— 6. Кружок с мальчиками — третий год

Занятие 63.Разум против случайности

28 февраля 1983 (понедельник). 1715—1815(1 час). Дима, Петя, Женя.

Опонятиимножества.Мывыясняли,каким словом называется много коров(стадо), много птиц (стая), много цве-тов (букет), много спортсменов (коман-да) и т. д. Потом я объяснил, что в ма-тематике, чтобы не вводить так многоразных слов, говорят всегда одинаково:множество. Поэтому нельзя сказать<букеткоров>или<стаяцветов>,номож-но сказать <множество коров> и <мно-жество цветов>.

Задание 1. Устная задача.Брат стар-ше сестры в два раза; а год назад он былстарше её в три раза. Как это моглопроизойти?Мальчики предлагали самые фанта-

стические объяснения: что это другиедети; что сестра—дочкане тойжемамы,а мачехи; что брат мало ел и поэтомумедленнее рос (Дима спрашивал: <Онстарше по росту или по возрасту?>).Когда я все эти объяснения отмёл,они твёрдо заявили, что такого бытьне может.Дальнейшеепоказало (см. задание4),

что они не знают, что значит <в двараза старше> и <в три раза старше>.В частности, Петя, придя домой, рас-сказал родителям эту задачу так:—Брат старше сестры на два года;

а год назад он был старше её на тригода...

Задание 2. Смертная казнь, или каквоздействовать на удачу.Один из ребят(<палач>) выходил в коридор; другой(<казнимый>) получал 8 шариков —4 белых и 4 чёрных. Эти шарики ондолжен был разложить, как сам поже-лает, по двум коробкам. Затем возвра-щался палач, выбирал наудачу одну изкоробок, а из неё — наудачу один изшариков.Чёрныйшарозначал <казнь>,а белый спасение. Каждый подвергалсяэтой процедуре 6 раз, а чтобы незабыть, получал после каждой казни

чёрный жетончик, а после каждогоспасения — белый жетончик.В итоге Дима был казнён 3 раза, Петя

тоже 3, а Женя — 2 раза. Петя с самогоначала избрал наилучшую стратегию:в одну коробку клал один белый шар,а в другую — 3 белых и 4 чёрных.При этом вероятность спастись равна

12·1+ 1

2· 37=

57,

а вероятность гибели, соответственно,27. Однако результат его после первых

двух испытаний был 1:1, хуже, чемуЖени, который играл без всякого осо-бого смысла, но оба первых раза выиг-рал. Дима же с самого начала избралнаихудшуювозможнуюстратегию: клалотдельно один чёрный шар (при этом,наоборот, вероятность п о г и б н у т ь

равна57, а вероятность спастись—

27

�

.

Петя даже воскликнул один раз:—Ой, Димка, что ты себе сделал!Тем не менее, и его результат, как

и у Пети, был 1:1. Отчасти это, как идальнейшие результаты, объяснялосьещё и тем, что Женя, будучи палачом,подглядывал в коробки перед тем, каквытащить шар.Логику Димы можно себе предста-

вить примерно так: авось повезёт, и ко-робку с чёрным шаром не выберут;а тогда во второй коробке будет затона один чёрный шар меньше (ну, еслине повезёт и выберут первую коробку,так уж ничего не поделаешь; в концеконцов, ведь в любом случае может неповезти). Следуя этой логике дальше,он потом немного улучшил свою стра-тегию: стал изолировать в отдельнойкоробке сначала два чёрныхшара, а за-тем все четыре; таким образом, он при-шёл от наихудшей стратегии к средней,дающей равные шансы на выигрыши проигрыш. Характерно, однако, чтопод его влиянием Петя ухудшил своюстратегию и тоже свёл её к средней.Женя же применил третью схему. Он

6. Кружок с мальчиками — третий год — 145 — Фокусы с задуманными числами

заметил (по его словам), что коробки—разного цвета, одна сиреневая и однасиняя, и все всегда выбирают сире-невую коробку. Вот он и стал кластьв неё по 2 белых шара.Вообще, эта задача (точнее, не сама

задача, а её материальное воплощение,данное мной) обладает двумя недостат-ками. Во-первых, это <субъективизм>в выборе коробки (Женя заметил, чточаще выбирают сиреневую; я сам заме-тил, чточащевыбираютлевую).Надобысделать процедуру выбора более объек-тивной, например, выбирать коробкуподбрасыванием монеты. Во-вторых,шарики, положенные в коробку, детямне видны, и поэтому они не могут <сле-дить за развитием событий>. Надо быобдумать эту задачу ещё раз.

Задание 3. Фокусы с задуманнымичислами (см. стр. 113). Демонстрацияфокуса столкнулась снепредвиденнымитрудностями: Петя иЖеня совершенноразучились считать. Когда я говорил<умножьте на 2>, они не понимали, чтоэто значит. Когда я говорил <поделитепополам>, Петя мысленно представлялсебе две половины, но о б е в м е с т е,и когда я после этого говорил <прибавь-те 1>, он не понимал, к чему прибавить(к одной половине или к обеим?).Надо сказать, что Дима сам демон-

стрировал этот фокус, и притом вполнеуспешно: задавал довольно хитроумныепоследовательности действий и приэтом не ошибался. Он всё порывалсяпоскорее раскрыть секрет, а когда я емуне дал, он показал последний свой фо-кус так: <Задумай число, прибавь 1,отними задуманное; получилось 1>. Но,кажется, его никто не понял.Выяснилось также, что где-то посре-

ди недели Дима успел рассказать Петесекрет фокуса с таблицей. Так что Петяпопросил принести таблицу и стал по-казывать этот фокус Жене. Дима тожепорывался, но Женя ему отрезал:—От тебя я уже видел.После занятия Петя попросил раз-

решения унести таблицу домой, чтобыпоказать фокус родителям. Думаю,

что теперь из справедливости следуетрассказать секрет Жене тоже.

Паркеты (картинки). В заключениея показал мальчикам симметричные<паркеты> (заполнения плоскости) изкниги Г.Штейнгауза <Математическийкалейдоскоп>, а также <паркет из яще-риц> с гравюры Эшера.Когда Петя с Женей уже одевались,

я им задал задачу из книги Труднева*,которую уже раньше задавал Диме:

По тропинке вдоль кустовШло 11 хвостов.Сосчитать я также мог,Что шагало 30 ног.Это вместе шли куда-тоПетухи и поросята.А теперь вопрос таков:Сколько было петухов?И узнать я был бы рад,Сколько было поросят.

Задача вызвала большое оживлениеи хохот, но никто не потрудился вду-маться в её содержание, только Женявсё твердил, что нужно 11 поделитьпополам, и когда мы ему объяснили,что получится пять с половиной поро-сят, он удивлённо спрашивал, а что жеещё можно сделать. Впрочем, потом онмне позвонил из дома, чтобы уточнитьусловие (сколько хвостов и скольконог) — подозреваю, что под влияниемродителей.Что мне нравится в Диме — так это

то, что он потом действительно думаетнад задачами, которые не получились.В частности, во вторник он самостоя-тельно решил задачу 1 (он хотел объяс-нить Алле, что такого не может быть,стал приводить примеры, и случайнонаткнулся на пример (3, 9)→(6, 12)).

Я ещё раньше понял, что отношение получа-ется другое, когда увидел, что через год детям будет10 и 4, но при этом 10 на 4 не делится. Но уверен-ности не было. Когда стало ясно, что отношениеменяется, то думать дальше мне стало неинтерес-но. Хотя в задаче сказано, что мальчик сталв 2 раза старше через год, а не через 3, я былвполне удовлетворён своим решением. — Дима.

* В. П. Труднев <Считай, смекай, отгады-вай!> (М.: Просвещение, 1964).

Смертная казнь с <прозрачными процедурами> — 146— 6. Кружок с мальчиками — третий год

Кроме того, он ещё заставил Аллуиграть с ним в игру сшариками, однакопришёл лишь к стратегии (1 белый,1 чёрный), (3 белых, 3 чёрных).Забавная история произошла во

вторник у меня на работе. Я стал рас-сказывать про фокус с задуманнымчислом, но никто, кроме одной сотруд-ницы, не смог понять, в чём секрет,а, наоборот, все были поражены тем,как это мне удаётся угадать результат.Алла заметила, какая характерная

реакция была у мальчиков в конце за-дачи с шариками. Я сказал, что ответя им не скажу, но кто-то один из нихнесколько раз играл самым лучшимспособом... — на что Петя сказал:—Это наверно я.А Дима сказал:—Это наверно Женя.(У Жени было меньше всех чёрных

жетонов.)— ...А кто-то один из вас, — продол-

жал я, — играл несколько раз самымхудшим способом.На что Петя сказал:—Это наверно я.А Женя сказал:—Это наверно Дима.Здесь все характеры как на ладони.

Занятие 64.Снова сражаемся с шансами

14 марта 1983 года (понедельник). 1700—1800(1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Я напомнил ребятам прозадачу, в которой брат старше сестрысначала в три раза, а потом в два раза,и попросил Диму рассказать решение.Он рассказал оба придуманных им ре-шения: (3, 1)+1=(4, 2) и (9, 3)+3==(12, 6). Петя, оказывается, решениеуже знал — ему Дима успел расска-зать, а Женя был очень удивлён и всёспрашивал, как же это так получается.

Задание 2. Смертная казнь с <про-зрачными процедурами>. Я повторилигру со смертной казнью, но при этомполностьюизменил еёфизическое пред-

ставление. Я взял планшет с дыроч-ками для игры в Mastermind, а также10 фишек из этой игры — 5 белыхи 5 чёрных (т. е. число белых и чёрныхшариков тоже увеличено с четырёх допяти). Вместо коробок фишки распола-гаются в два ряда, и ребята всё времяих видят. Таким образом, весь процессслучайного выбора происходит непо-средственно у них на глазах (рис. 112).Сам случайный выбор (<судьба> или

<палач>—можно называть как угодно)осуществляется с помощью таблицыслучайных чисел. По первой цифре, взависимости от её чётности, мы опре-деляем <коробку>, т. е. какой из двухрядов мы выбираем. Если в выбран-ном ряду, к примеру, 7 фишек, то мы,просматривая очередные цифры табли-цы случайных чисел, выбираем первуюиз них, лежащую в пределах 1≤ i≤7,и она указывает нам номер шарикав выбранном ряду.Каждый из ребят расставлял фишки

так, как он считал разумным, послечего проводилось 10 игр. Результатызаписывались: по предложению Димыспасение обозначалось крестиком, асмертная казнь ноликом.Первым играл Дима. Он поставил

комбинацию [3, 2]+[2, 3]; счёт игры5:5. Следом играл Женя. Он долго пе-реставлял разные фишки туда и сюда,и в итоге остановился на комбинации[2, 3]+[3, 2]. Я намекнул, что это таже самая комбинация, что уже была.Однако сыграли. Счёт 3:7, т. е. 7 разказнили. После этого Петя снова по-ставил [3, 2]+[2, 3]! Это меня ужешокировало. Я ещё раз объяснил, чтокомбинация та же самая, и что мытолько что убедились на двух приме-рах, что она либо безразлична, либодаже невыгодна.

Папа несколько раз, опираясь на статистику,повторял, что эта комбинациянемножконевыгод-ная, чем совершенно сбил меня с толку. Я дажестал придумывать причины, почему она невы-годная, хотя симметричная. — Дима.

Тем не менее сыграли снова со счё-том 5:5.Очередьопять перешлакДиме,

6. Кружок с мальчиками — третий год — 147 — Смертная казнь с <прозрачными процедурами>

и он поставил своё излюбленное н а и-х у д ш е е решение: [0, 1]+[5, 4](т. е. один ч ё р н ы й шар отдельно,а остальные 9 в другом ряду). Демон-страция была эффектной: он проигралвсе 10 раз! Все очень веселились, в томчисле он сам. К концу игры глаза егозасветились, и он сказал:—А! Я знаю, как я в следующий раз

буду играть! — он явно в этот моментпонял, каково правильное решение.Очередь, однако, перешла к Жене,

и он снова поставил [3, 2]+[2, 3].Даже Дима удивился и сказал:—Опять то же самое!А я так вообще расстроился. Сыграли

ещё раз— снова со счётом 5:5. Я решилна этот раз поговорить подробнее, и мыстали ещё раз все вместе обсуждатьэто решение. В частности, подвелисуммарные итоги четырёх игр по это-му варианту — 18:22. Так что, сказаля, надо пробовать какие-то другие ва-рианты, надо д у м а т ь, а не толькорассчитывать на удачу и везение. ВотЖеня не захотел подумать...—А зато у Димы было ещё хуже, —

вставил Женя.Я согласился и сказал, что зато Дима

пробовал что-то новое, и что он <ценойсобственной жизни> нашёл хорошеерешение, и что он его ещё покажет...Так я выступал минут пять. Следую-щим играл Петя, и к моему полномуужасу и отчаянию он снова поставил[2, 3]+[3, 2]!

ЧЁТНЕЧЕТ

Рис. 112. Если случайная цифра чётная, выбираем первый ряд, если нечётная — второй. Еслимы попали в первый ряд, ищем очередную случайную цифру в пределах от 1 до 7; если вовторой — ищем цифру в пределах от 1 до 3. Эта цифра и указывает нам, какую фишку выбрать.Ну и, наконец, если фишка чёрная, нас <казнят>, а если белая, то мы спасены.

А кмоему облегчению. Всё это время я страшнобоялся, что кто-нибудь тоже придумал наилучшийвариант, и я окажусь не первый. Чтобы никтоне стал думать, я старался делать вид, что ничегоособенного не придумал (хотя у меня даже зубыстучали от возбуждения). Моя фраза <Опять тоже самое!> была вызвана тем же притворством:видите, всё нормально, я даже удивляюсь, чтоопять то же самое. Но тут папа, как назло, сталвсем говорить, что я придумал хорошее решение!Только когда Петя поставил [2, 3]+[3, 2], я,наконец, успокоился. — Дима.

Я даже не удержался от коммента-риев:—Петя всё-таки ни за что не хочет

думать, не хочет использовать свой ум.Ну, смотри, Петя, голова твоя, и каз-нить будут тебя самого, а не нас.Петя в ответ лишь хихикал кокет-

ливо: вот, мол, какой я очарователь-ный — даже подумать не хочу. А Женясказал:—А зато у Димки было ещё хуже!Сыграли. Ответ, как всегда, 5 :5.Очередь опять вернулась к Диме.

Он, как я и ожидал, поставил на этотраз наилучшую комбинацию [1, 0]++[4, 5] — и выиграл со счётом 9:1.Женя сказал, что он хочет оставить туже комбинацию — и тоже выиграл,с тем же счётом 9:1. Наконец, и Петяоставил ту же комбинацию, и тоже вы-играл, хотя и с меньшим счётом 6:4.После этого мы подсчитали и сум-марную статистику 24:6.

Меня эта операция удивила: только что былосоревнование, а теперь вдруг все результатыскладываются. — Дима.

Разрезные шансы — 148— 6. Кружок с мальчиками — третий год

Рис. 113. Было 8 вертикальных полосок, а ста-ло 7. Куда девалась восьмая?

Заметим, что вероятность выигрышапри этой комбинации равна

12·1+ 1

2· 49=

12+

29=

1318<

<2430

=45,

так что судьба нам ещё слегка благо-приятствовала, сделав правильностьрешения более наглядной.Как это порой бывало и раньше,

кое-что прояснилось для меня послеокончания занятия: мальчики долгоспорили о том, как лучше расставитьфишки в н у т р и о д н о г о р я д а!Так что я был не совсем справедлив,а правильнее было бы сказать — сов-сем несправедлив, и все эти однооб-разные [3, 2]+[2, 3], возможно, вовсене казались им такими уж одинаковы-ми. Может быть, они даже внимательнонаблюдали (как игрок в рулетку), ка-кие цифры выпадают чаще, и пыталисьставить белые шарики на эти места.Если это так, то во время занятия всёэто, к сожалению, прошло полностьюмимо меня. Я был совершенно ослеп-лён своим высшим знанием — <само-очевидностью> того, что шансы не за-висят от места. По отношению к фе-номенам Пиаже литература заранееподготовила меня к тому, чего следуетожидать, т. е. к нормальным реакциямнормальных детей. А вот по поводувосприятия случайности я ничего тако-

го не читал. В результате я мгновеннопревратился в стандартного <поучате-ля>, который <знает как надо> и по-этому требует от детей одного лишьподчинения своим идеям.

Геометрическийфокус.Предыдущеезадание заняло почти весь час, такчто у меня осталось всего минут пять.Времени на ещё одну задачу не было;поэтому за оставшееся время я толькоуспел показать детям один простенькийфокус. На их глазах нарисовал на листебумаги несколько параллельных по-лосок, затем разрезал листок по линии,соединяющейпротивоположныеконцыпротивоположныхполосок.После этогоодна половинка сдвигается относитель-но другой (рис. 113) — и количествополосок оказывается на одну меньше!Однако дети легко разгадали этот

фокус.На этом занятие закончилось.—А картинки? — спросил Петя.Однако картинки у меня были по-

добраны к той задаче, которую я датьне успел. Я это объяснил и обещалпоказать их в следующий раз.

Занятие 65. Гомеоморфизм

21марта1983года(понедельник).1610—1710 (1час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Разрезные шансы. Мывернулись к задаче со смертной казньюи проделали что-то вроде <подсчёташансов>на выигрыш.Конечно,не былоникакой надежды на сложение дробей,а тем более на использование формулыполной вероятности. Однако я убедилсяв том, что интуитивно дети эту формулупонимают. Я поступил следующим об-разом. Заготовил множество одинако-вых полосок бумаги — шириной 1,5 сми длиной 40 см. Каждая полоска быларазделена линией ровно пополам, на 20и 20 см: это означало, что с равнымишансами можно попасть в левую и вправую коробку. Далее каждая поло-вина была тоже разделена на равныечасти, но на р а з н о е количество ча-

6. Кружок с мальчиками — третий год — 149— Гомеоморфизм

стей — например, левая на 2 равныечасти, а правая на 8, или левая на 3,а правая на 7 и т. д.; в том числе былии такие, чтолевая сторонавообщенепо-делена, а правая поделена на 9 частей.Затем ребята по очереди расставляли

каким-нибудь образом шарики, и мы<вычисляли> шансы на спасение и ги-бель: разрезали сначала полоску попо-лам, а затем каждую часть разрезалив пропорции белых шариков к чёрнымв соответствующей коробке, после чегоклали <белые> (выигрышные) кускиполоски налево, а <чёрные>—направо.В результате было наглядно видно,какое решение лучше, а какое хуже —просто сравнением длин шансов навыигрыш.Надо сказать, что всё-таки две идеи

остались слегка туманными.Во-первых,Петя ещё не усвоил различие междузаконом сохранения числа и закономсохранения длины (когда-то мы этимспециально занимались — см. задачупрокороткиеи длинныедорожки, заня-тие № 51; тогда эту разницу понималодин Женя). Петя спорил со мной, что<здесь 5 шансов, и здесь тоже 5>, пока-зывая на полоски одинакового коли-чества, но разной длины. Я попыталсяобъяснить, в чём дело, но боюсь, чтомоё объяснение повисло воздухе.Во-вторых, мальчики по-прежнему

пытались переставлятьшарики в одномряду. У меня была идея вырезать, ска-жем, из девяти равных частей, на кото-рые поделена правая половина, не пер-вые четыре части, а те четыре, которыесоответствуют местам, занимаемымбелыми шариками — чтобы они самизаметили, что это безразлично. Но я бо-ялся сделать задачу слишком длиннойи скучной.Забыл упомянуть, что перед началом

задачи я им показал картинку из кни-гиКуна<ЛегендыимифыДревнейГре-ции>,накоторойГермесвзвешивалжре-бий Ахилла и Мемнона, чтобы опреде-лить, кто из них победит. Потом сказал,что поскольку у нас нет весов, мы будемсравнивать не по весу, а по длине.

Задание 2. Гомеоморфизм букв. Го-ворят, что эту задачу В. И. Арнольд лю-бит давать студентам: требуется клас-сифицировать буквырусского алфавитапо топологической эквивалентности.Сначала я попытался, насколько воз-можно, описать задачу в наглядныхтерминах, т. е. объяснил, что фигурки,которые я буду рисовать, сделаны из та-кой мягкой проволочки, которую мож-но как угодно мять, сжимать и растяги-вать, но только нельзя рвать и склеи-вать. Потом каждый из нас нарисовалгомеоморфный образ окружности. По-том я стал по очереди рисовать буквы,и мы их раскладывали в ряд, а те, чтогомеоморфны, клали друг под другом,как показано в табл. 4. Некоторые бук-вы я писал в двух вариантах; например,букву Иможнонарисовать в двух видах:

и

В первом случае она попадает в одинкласс с буквой Г, а во втором — в одинкласс с буквой Н. Иногда при обсуж-дении я нарочно называл треугольниккружочком и т. п. Надо сказать, чтомальчики прекрасно справлялись с за-дачей, гораздо лучше, чем можно былоожидать. Дошли мы до буквы У. В сле-дующийраз я собираюсь эту задачупро-должить, а заодно включить в списоктакже и буквы латинского алфавита.

Картинки. На этот раз я показал ре-бятам книгу А. Т. Фоменко и А. С. Ми-щенко <Дифференциальная геометрияи топология>, объяснив, что книга недля школьников, а уже для студентов.

А Б В Г Е Ж К О Ф Х ЮД Р З Т НЯ Ъ И У Щ

Ь Л ЦМ ЧП ШС Э

Табл. 4. Буквы, расположенные в одномстолбце, гомеоморфны друг другу; в разныхстолбцах — нет.

Объяснение фокуса — 150 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

Сначала я показал им жирафа, кото-рый гомеоморфно преобразуется в беге-мота; потом остальные картинки (ино-гда кое-что поясняя). Когда мы дошлидо листа Мёбиуса, меня поразил Женя,вспомнив, чтомыкогда-токлеили такойже на нашем занятии. А ведь это былоболее двух лет назад, в феврале 1981 го-да! Вслед заЖеней вспомнили иПетя сДимой. Отсюда следует сделать вывод,чтоничтоизнашихзанятийнепропадаетпонапрасну—любаявещь,даженепоня-тая, может в нужный момент выплыть.Под конец я, не удержавшись, пока-

зал ещё на книге дарственную надписьФоменко.

Задание 3.Фокус.Явообще-то пока-зывать фокус на этом занятии не соби-рался (яимеюв видуфокус с таблицей).Просто, поскольку Дима уже рассказалсекрет Пете, и к тому жеПетя носил егодомой показывать, я решил, что будетсправедливо рассказать секрет Женетоже, и чтобы он тоже мог самоутвер-диться и показать фокус родителям.Однако Санька* у Пети мою табли-

цу порвала, и я решил сделать другуювместе с Димой. Для этого в пятницумы с ним нарезали 25 квадратиковиз бумаги, написали на каждом поцифре (предварительнопозаботившись,чтобы их сумма равнялась 5 ·20=100),после чего Дима стал сам раскладыватьих так, чтобы получился <магическийквадрат>ичтобыповозможностивкаж-дом ряду не было совпадающих цифр.В конце я ему немного помогал. То, чтов итоге получилось, показано ниже.

4 0 2 8 65 7 1 4 31 3 9 5 27 4 8 1 03 6 0 2 9

Таблица для фокуса состоит из девяти оди-наковых квадратов. При этом сумма пяти со-седних цифр равна 20 даже когда часть этихцифр лежит в одном квадрате, а часть в дру-гом. Я не мог понять, почему так получается,но и спрашивать не стал. — Дима.

* Петина младшая сестричка.

На базе этого квадрата Алла ввоскресенье начертила таблицу дляфокуса размером 15×15, так что ещёв воскресенье Дима имел возможностьпоказать этот фокус дедушке с ба-бушкой.Заодно возникла идея новогофокуса:

закрыватьне4цифры,а6.Ясно,чтосум-ма будет равна 20+(крайняя цифра).Эту крайнюю цифру можно определитьпо периодичности.Этотпоследнийфокусянесколькораз

показал к концу занятия, но не настой-чиво, а так — для разговора. В основ-ном же я объяснял Жене идею фокуса.Его реакциябыла, я бы сказал, <школь-ной>. Как это часто бывает, когда гово-рят не всем, а обращаютсякнемулично,он сжался в комок, окаменел и отклю-чился. При этом он усиленно кивалголовой, хотя видно было, что ничегоне воспринимает. Так я всё рассказали спросил:—Понятно?Он продолжал кивать головой. Я за-

крыл четыре цифры и спросил, сколькобудет в сумме. Его глаза округлилисьот ужаса: оказывается, от него не отста-ли, несмотря на поддакивание, и теперьприходится отвечать самому, а ведь онвсё пропустил! Видно было, как он на-прягся, пытаясь прокрутить в голове,что это такое я ему только что говорил.Уже через полминуты он прекрасновсё сообразил и сказал:—Надо отнять четыре...Ещё минуту у него заняло вычи-

тание четырёх из двадцати — он всёникак не мог освободиться от скован-ности. Но когда это, наконец, удалось,он стал показывать фокус так же легкои быстро, как Дима.

Занятие 66. Топология

28 марта 1983 года (понедельник). 1715—1800(45 мин.). Дима, Петя.

Занятие было более коротким, чемобычно: мы ждали гостей, и я немнож-ко спешил.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 151 — Игра <ним>

Задание 1. Гомеоморфизм букв(продолжение). Мы закончили рус-ский алфавит, затем добавили к немулатинский, потом цифры, а потом ещёноты и разные другие музыкальныезначки (бемоль, диез, бекар). Вся этасовокупностьфигурбыларасклассифи-цирована по топологической эквива-лентности. Мальчики прекрасно справ-лялись с задачей, и, как правило, всё де-лали сами. Лишь в некоторых случаяхони не смогли угадать гомеоморфиз-мов: Щ�Н, ��А и некоторых других.Но и в этих случаях они сразу и легкопонимали мои объяснения, а иногдадостаточно было одного лишь ответа.Надо будет придумать им ещё за-

дачи на гомеоморфизм.Задание 2. Домики и колодцы.

Классическая задача: есть три домикаи три колодца, и требуется от каждогодомика к каждому колодцу провести потропинке, да так, чтобы никакие дветропинки не пересекались (рис. 114).У меня с этой задачей связано одно

своеобразное воспоминание. Возраст непомню.Нашасоседкапо коммунальнойквартире, вскоре умершая от алкого-лизма, дала мне эту задачу, снабдив еётаким комментарием, что, мол, тот, ктоеё решит, заработает очень много денег.Я, помню, долго возился... Через не-сколько лет я узнал её (не соседку, а за-

?

Рис. 114. Три домика, три колодца и девять тропинок. Нарисовать тропинки на плоскости так,чтобы они не пересекались, невозможно.

дачу) как старую знакомую в какой-топопулярной книжке по математике.Задача, как известно, неразреши-

ма — соответствующий граф, обозна-чаемый K3,3, не является планарным.Поэтому мальчики некоторое время по-возились с нею, а потом я задал её в ка-честве домашнего задания. Дима всёудивлялся, что каждый раз получаютсявсе тропинки, кроме самой последней.

Занятие 67. Четыре краски

28 апреля 1983 года (четверг). 1700—1820 (1 час20 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Игра <ним>. Первыйигрок пишет число от 1 до 10, второйдобавляет к нему число от 1 до 10,третий тоже и т. д. Выигрывает тот, ктопервый напишет число 100. Вообще-тоигра рассчитана на двух участников.Если участников трое, то никто из игро-ков не может обеспечить себе победу,но в определённый момент один из нихможет по своему усмотрению <отдать>победу либо следующему за ним иг-року, либо через одного. Так, получивот предшествующего игрока число 88,он уже не может выиграть сам (еслиего партнёры не поведут себя глупо),но может, написав, соответственно, 90либо 89, дать победу следующему или

О том о сём: шутки, разговоры, задачи — 152 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

через одного. Рано или поздно кто-ни-будь из игроков обязательно оказыва-ется в такой ситуации. Дима один разотдал победу Жене и один раз Пете,Женя — один раз Диме и один раз мне(я участвовал в одной партии, по-следней).

Задание 2. Четыре краски. Сначалая показал детям географическую картуи объяснил, почему разные страны за-крашиваютсяв разныецвета.Потоммыобсудили вопрос о том, что не обязатель-но все цвета делать разными (важнотолько, чтобы соседние страны можнобыло отличить друг от друга).После этого я рисовал ребятам на

листе бумаги разные <карты>, всё болеесложные, и они их <закрашивали> че-тырьмя красками. Слово <закрашива-ли> я взял в кавычки, так как факти-чески у нас были картонные жетонычетырёх цветов, и мы их просто клалина соответствующуюстрану. Такая сис-тема помогала легко пробовать разныеварианты, менять раскраски, удалятьошибки и т. д.Всего мы раскрасили три карты.

В заключение я рассказал мальчикамо проблеме четырёх красок, о том, чтоеё 100 лет никто не мог решить, и, на-конец, о решении и о вычислительныхмашинах,которыеделаютмиллионопе-раций в секунду и которые работали1200 часов, чтобы решить эту задачу.

Картинки.Наэтотразмырассматрива-ли книжкуИ.Я. Депмана <Мир чисел>.Беседа оказаласьочень содержательнойи в некотором роде <развивающей>.Мы успели посмотреть всего несколькостраниц и наткнулись на маленькийрисунокСтоунхенджа.Ребята спросилименя, что это такое, я стал рассказыватьи принёс сразу три книги про Стоун-хендж: <Разгадка тайныСтоунхенджа>,<Солнце, Луна и древние камни> и<КромеСтоунхенджа>.Из этих книг мыпосмотрелинекоторое количествофото-графий. Потом перевернули ещё парустраниц в книге Депмана и наткнулисьна египетские пирамиды. Оказалось,что никто из мальчиков никогда ниче-

го не слышал о пирамидах. Я стал рас-сказывать, достал альбом <ИскусствоДревнего Египта>, и мы ещё порас-сматривали и его. На этом занятиеокончилось.

∗ ∗ ∗

На самом деле на этом закончилсяучебный год; видимо, что-то помеша-ло нам продолжить занятия в мае(праздники? болезни? — не помню).В дневнике на эту тему есть толькоодна фраза, записанная в конце лета:<Занятия с мальчиками я планируювозобновить с октября. А с нового го-да, если хватит сил, начну заниматьсяс девочками>.

О том о сём:шутки, разговоры, задачи

Выдающийся американский педагогСеймур Пейперт в своей главной кни-ге <Переворот в сознании>* пишет:<Что, еслиматематикаимеет сшутками,снами и истерией больше общего, чемпринято думать?>. Сны и истерию мы,пожалуй, оставим более серьёзнымлюдям; ну а в том, что касается юмора,нет никаких сомнений в его теснойсвязи с логикой. Тот факт, что ЛьюисКэрролл является также и одним изосновоположников современной ма-тематической логики, ни в коей мерене является случайностью.После того, как я однажды записал

разговор о зоопарке и обезьянах (см.стр. 71), мне пришло в голову, что,быть может, такие вот разговоры самипо себе являются интегральной частьюнаших математических занятий. Времяот времени я стал записывать их тоже.Иногда это было что-то <умное> (на-пример, наша с Димой беседа о том,какие тела падают быстрее); иногда

* С. Пейперт <Переворот в сознании: дети,компьютеры и плодотворные идеи> (М.: Педа-гогика, 1989.)

6. Кружок с мальчиками — третий год — 153 — О том о сём: шутки, разговоры, задачи

просто смешное. Следует откровеннопризнать, что з а п и с а н ны е разго-воры до некоторой степени являютсяв о о б р аж а е мыми. Дело в том, чтоони возникают и развиваются совер-шенно спонтанно — и моментальноулетучиваются из головы. Я пыталсявспомнить несколько из них: я помнюобстоятельства, реакцию детей и мно-гое другое, но не могу вспомнить темуразговора. Однако даже когда темуудаётся удержать в голове, всё равноразговор, восстановленный по памяти,это почти что заново сочинённый. К то-му же, реальный разговор может пре-рваться в совершенно произвольномместе, а вовсе не там, где этого требова-ла бы логика развития сюжета. Да ивообще в таком жанре вовсе не грехчто-нибудь присочинить потом. Думаю,что Кэрролл именно так и поступал:разговаривал с реальной Алисой Лид-делл, а потом сочинял что-нибудь во-круг... Однако исходно я писал днев-ник, а не беллетристику, и сейчасрешил придерживаться того, что былозаписано тогда.В этом разделе жанр постепенно

эволюционирует — от обыкновеннойболтовни сначала к более серьёзнымтемам и, ближе к концу, к обсужде-нию математических тем и задач; ведьмы с Димой обсуждали математикуи вне рамок кружка тоже.

Б о л т а е м...

1. Разговор за обедом. Конец марта1983 года. Всем раздаётся жаренаярыба.Я: Женечка! А что ты у рыбки боль-

ше любишь — ножку или крылышко?Ж е н я: Ножку.Д и м а: Женя, а разве у рыбок есть

ножки и крылышки?Ж е н я: Да.Д и м а: Нет, нету. Ведь рыбки пла-

вают в воде, и им там ножки не нужны.Ж е н я: Но, Дима, это же не насто-

ящая рыбка! Она же сейчас не плавает!Потому что мы её будем есть.

Д и м а: Но раньше-то она плавала!Я: Что-то я тут не понимаю; я вот,

например, тоже раньше плавал, ноу меня, тем не менее, ножки есть.Ж е н я: Папа плавал в озере!Д и м а: Но всё равно! Рыба почти

всегда двигается по воде, а папа поземле!А л л а: Как паровоз.(Смех.)Д и м а: Нет, не так быстро!.. А,

знаю, ты сейчас скажешь <улитка>.(Задумывается.) Ну, всё равно — па-ровоз едет, улитка ползает, а папаи д ё т.А л л а: Как дождь.(Общий хохот.)Д и м а: Нет!! Дождь падает сверху

вниз, а папа не падает!Я: Я думаю, что если меня поло-

жить на тучу, так я тоже буду падать.Д и м а: Нет, дождьпадает отдельны-

ми каплями. И вообще, дождь капает,а папа не капает.А л л а: Ну почему же, папа иногда

тоже капает.(Мы с Аллой переглядываемся: за-

мечание вышло несколько двусмы-сленное.)Д и м а: Нет, не капает! Ну когда

он капает?А л л а: Ну, например, когда по-

моется в душе.Д и м а: Так это не о н капает,

а с н е г о капает!Я (после паузы): Ну, хорошо, до-

пустим, мы даже согласимся с тем,что папа не капает. Но как отсюдаследует, что у рыб нету ног? Вот чегоя не понимаю!(Опять общий хохот.)Тут, однако, выясняется, что Дима,

увлечённый разговором, весь измазал-ся в еде. Мы его посылаем умываться,и на этом обсуждение кончается.

2. Отвлекающие манёвры. Началомая1983 года.Детипришлиспрогулки.Женя капризничала, кричала, чтобыДима ей помог расстегнуть куртку.Дима ей отвечал сурово:—Попроси хорошим голосом.

О том о сём: шутки, разговоры, задачи — 154— 6. Кружок с мальчиками — третий год

(Как старший брат, он не упускаетвозможности её повоспитывать.) Женякричала:—Я говорю хорошим голосом!!Тут я вмешался.Я: Женечка, а какой у тебя есть

самый-самый хороший голос?Ж е н я: Нет у меня никакого голоса,

есть только голова!! (???...Странныйответ, но он был именно таков. Учтём,что Жене три с половиной года.)Я: А что такое голова?Ж е н я: Это то, что стоит! (???)Я (показывая на шкаф): Вот —

стоит, значит, это голова?Ж е н я: Нет, это шкаф.Я: А где же голова?Ж е н я (немного смягчившись —

показывает): Вот голова.Я: Нет, это шапочка.Ж е н я (снимает шапочку): Ну

вот, во-от!Я: Нет, это волосики.Вмешивается Дима, который обо-

жает такие разговоры и уже прыгаетот нетерпения.Д и м а: Ну, голова — это вот,

вот (чертит в воздухе рукой вокругголовы).Я: Что <вот, вот>?Д и м а: Голова — это нос, рот, воло-

сы, подбородок, усы, глаза — ну, всё!Ж е н я (повторяет Димины движе-

ния, обкручивая руки вокруг лица,как бы умываясь): Голова — это вот,вот! (уже весело).Я: Значит, ты говоришь, голова —

это глаза, рот, усы... Например, твоиглаза, мои усы, Женин нос...Д и м а: Нет, только мои глаза, мой

нос!Я: Ну, хорошо, я бы всё понял; толь-

ко я не понимаю, что значит <твой>.Д и м а: Ну как! Мой — значит то,

что моё, то, что у меня!Я: А что такое <ты>?Д и м а: Я — это я. Вот я (тычет

в себя пальцем).Я: Что, <ты> — это вот эта пуговица?Д им а: Нет — вот я!Я: А-а, вот эта рубашка!

Д и м а: Нет, и рубашка, и пугови-ца, и вообще всё моё.Я: А я, значит, это всё моё?Д и м а: Да.Я: Вот, например, Женя — моя?

Моя! Ведь она моя дочка.Д и м а: Нет, Женя не твоя часть!

Ты — это все твои части.Я: Какие части?Д и м а: Ну, руки, ноги, голова...Я: Голова! Но ведь я не знаю, что та-

кое голова!Тымнекакраз это объяснял.Д и м а: Но ведья тебе ужеобъяснил.

(Он явно не видит логического круга.)

На самом деле видел, но не хотел призна-ваться. — Дима.

Я: Когда ты объяснял мне, что та-кое голова, ты употребил непонятноеслово <мой>. Поэтому я не понял, чтотакое голова, и попросил тебя объяс-нить, что значит <мой>. А теперь тыобъясняешь слово <мой> через слово<голова>, которого я ещё не знаю.Ж е н я: Питьхочу!Папа, дай, пожа-

луйста, гриба*. Папа, я хорошая девоч-ка и поэтому говорю <пожалуйста>.Я (чтобы закончить): Вот видишь,

Дима, как бывает трудно объяснитьсамые простые вещи.[Не хочу создать у читателя представ-

ление, что я всегда так ловко выходилиз трудных воспитательных ситуаций.Но об успехах писать приятнее.]

3. О <принципе фальсифицируемо-сти> по Карлу Попперу. Лето, НовыеСенжары (Украина). Шли мы как-товдоль реки Ворсклы, и было на берегуочень много лягушек. Алла спросила,как мы думаем, сколько мы встретилилягушек. Сама она считала, что при-мерно штук сто. Дима сказал, что, поего мнению, примерно штук тридцать.Я сказал, что триста. А когда мыспросили у Жени, она ответила:—Много.Я спросил:—Как ты думаешь, Дима, кто из

нас четверых наверняка прав?

* Напиток.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 155 — О том о сём: шутки, разговоры, задачи

—Наверное, ты, — ответил он.—Нет,— сказал я, —наверняка пра-

ва Женя. Каждый из нас, может быть,и ошибся, а уж Женя точно сказалаправильно: лягушек и вправду много.Конечно, тут есть повод умилиться

Жениной детской непосредственности.Но я не мог упустить такой удобныймомент для философских выводов.—А отсюда мораль, — сказал я. —

Если человек всегда говорит всё пра-вильно, то это ещё вовсе не значит,что он самый умный.—Почему?—Потому что умный человек тот, ко-

торыйговоритне толькоправильныеве-щи, но и н е т р и в и а л ь н ы е, не оче-видные сами по себе. Если он при этоминогда и ошибётся, он всё равно умный.Адругой говорит только то, чтоибез тогопонятно, что и говорить не обязательно.И, хоть он всегда говорит всё правиль-но, но ума большого для этого не надо.На что Дима спросил:—Папа, а почему ты всегда гово-

ришь какую-нибудь мораль?4. Парадокс Зенона. 5 мая 1983 года.

Некоторое время назад мы, пользуясьуказаниями <Физики для малышей>,делали с т р о б о с к о п, т. е. нечтовроде примитивного мультфильма. Ви-димо, по мотивам этой деятельностиДима задал мне такой вопрос:—Папа, вот я понимаю, как в мульт-

фильме: там показывают ногу вот так,потом вот так, маленькими скачками,а нам кажется, что она движется. А какп р о с т о н о г а, сама? Ведь там женет никаких скачков, даже самых ма-леньких. Как же тогда она может дви-гаться?Идальше, немного сбивчиво, новпол-

непонятно, онизложилмнефактическиполный эквивалент парадокса Зенонаостреле.Дальшеидётмоячасть, котораяне так интересна. Я ему рассказывалпро Зенона, и про Диогена, и простихотворение Пушкина (<Движеньянет — сказал мудрец брадатый...>), идаже кое-что про квантовую механику(почему нельзя увидеть, как летит

электрон). Но главная мысль, которуюя пытался ему внушить, состояла в том,что речь в его вопросе идёт не о самомявлении, а о наших мыслях о нём, чтомы<неможемточно знать, какна самомделе>, а можем только мыслить без про-тиворечий. По его ремаркам мне каза-лось, что он понимает меня, однако ве-чером он снова стал спрашивать, какжевсё-таки нога движется на самом деле.

Если я правильно помню этот разговор, то,по-моему, папа мне действительно не ответил,а только рассказал, что тот же вопрос задавалЗенон. Я, правда, думаю, что честный ответ(с устремлением времени и расстояния к нулю)меня бы не удовлетворил, даже если бы я егопонял. — Дима.

Да, ещё я ему говорил, что когда мыякобы<простовидим>, тоэтововсенетакпросто: лучи света отражаются от пред-мета, преломляются через хрусталик,отпечатываются на сетчатке, палочкии колбочки посылают сигналы в мозг,он их обрабатывает и т. д. А нам ка-жется, что мы <просто видим>, и всё.Характерноне столько то, какиеДима

задаёт умные вопросы (чаще бываютглупые), сколько область его интересов.Например, Женя, если задаёт умныевопросы, то совсем другого сорта:—А почему Карабас Барабас дал

Буратино пять золотых монет, а Бу-ратино не дал Карабасу Барабасу зо-лотой ключик?

5. Семантика. Начало сентября1983 года.—Папа, а знаешь, откуда произо-

шло слово <тем не менее>?Я ответил, что <тем не менее> — это

не слово, а три слова: тем—не—менее.<Не менее> — значит <более>, а <темне менее> значит <тем более>.—Нет, неправильно, — вдруг сразил

меня Дима. — Не обязательно <более>.Может быть более, а может быть истолько же.

С н о в а о м а т е м а т и к е

Возвращаемся к нашей основнойтеме, а вместе с тем и отступаем назадво времени.

Задача Гаусса — 156 — 6. Кружок с мальчиками — третий год

1. Задача Гаусса. 3 апреля 1983 года.Десять дней назад, 23 марта, исполни-лось 3 года нашему кружку. А вчера,2-го апреля, произошло событие, кото-рое мне кажется достаточно важнымдля того, чтобы его здесь отметить: Димарешил задачу Гаусса, т. е. сложил всечисла от 1 до 100.Произошло это так. Примерно год

тому назад я рассказал ему известнуюисторию о том, как Гаусс в возрасте7 лет в первом классе за одну минутусложил числа от 1 до 100 (в то времякак учитель ожидал, что дети будут за-ниматься этим весь урок). Дима, конеч-но, сразу стал спрашивать, как он этосделал. А я, конечно, ему не ответил.Потом он в течение года раза два

или три приставал ко мне:—Ну-у па-ап... Ну всё-таки — рас-

скажи, как он это сделал...Но я отказывался. И вот вчера он

меня подзывает (а он сейчас, надосказать, болеет, и, как всегда, именнов этот период у него большой интел-лектуальный прогресс — от безделья,видимо) — так вот, подзывает он меняи объявляет, что решил эту задачу.—Как? — спрашиваю я.—Знаешь как? Вот берёшь 0 и 100;

потом 1 и 50; потом 2 и... т. е. нет, нетак! Берёшь 0 и 100, потом 1 и 99,потом 2 и 98. И последний раз полу-чится 50 и 50.—Всё правильно, только одна ошиб-

ка: 50 будет всего один раз.—Так как же тогда делать?—Очень просто: всё время по 100,

а последний раз 50.—А-а, понятно.—Ну так ты уж посчитай тогда,

сколько получится, раз так.—Сейчас.Через минуту снова подзывает меня:—Папа, я когда дохожу до семисот,

каждый раз почему-то сбиваюсь.—Так зачем же ты так считаешь?—А как?—Ты просто посчитай, сколько бу-

дет сотен.—А-а...

Я был уверен, что он в чём-нибудьсобьётся: или неправильно определитколичество сотен, или неправильно ум-ножит, или, наконец, забудет про 50.Но нет: всего через минуту он про-кричал мне из другой комнаты ответ:5 050.Возможно, что впечатление, произ-

ведённое на меня этим событием, не-сколько преувеличено историческимиаллюзиями, связью с Гауссом и проч.Тем не менее следует признать, что этовсё-таки и в самом деле серьёзный ус-пех, в особенности с учётом двух факто-ров: во-первых, задача решалась устно;во-вторых, Диме ещё нет 7 лет (оста-лось полтора месяца). Уместно упомя-нуть, что формулу суммы арифметиче-ской прогрессии проходят в 8-м классе.(А ведь она выводится точно так же!И при этом, надо сказать, мало ктоиз школьников её хорошо понимает.)Но, пожалуй, гораздо важнее другое:то, что Дима помнил задачу, обдумы-вал её и наконец добрался до решения.То есть он не производит впечатлениямальчика, блещущего ярким, бьющимв глаза талантом, но у него есть одно не-сомненно ценное качество: он всерьёзи подолгу задумывается над непонят-ными вещами и упорно приводит ихв систему.По складу характера онмень-ше похож на Галуа, а больше на такихлюдей, как Дарвин или Бор. (Я срав-ниваю не масштаб личности, а её тип;не величину вектора, а направление.)Япохвалилего; он со скромнойулыб-

кой заметил, что всё-таки не совсемсам решил задачу — ему помогло то,как мы с ним составляли таблицу дляфокуса. Я сказал, что в связи с такимсобытием хочу сделать ему какой-ни-будь подарок. Я долго шарил глазамипо полкам, но не смог найти ничеголучше книги Херрмана <Открывателинеба> — истории астрономии с боль-шими, красивыми картинками. Димадовольно равнодушно посмотрел напервую картинку:— Это что, Луна?—Да.

6. Кружок с мальчиками — третий год — 157 — Умножение

—А здесь что нарисовано (про вто-рую картинку)?—Там есть подпись, прочти сам.Но он поленился читать, и, показав

на кубик Рубика, сказал:—Я хочу вот что...—Хочешь, чтоб я подарил тебе

кубик?—Нет, я хочу, чтобы ты научил

меня его собирать.На том мы и договорились, только

я предупредил Диму, что дело этосложное и потому долгое.Привить ему интерес к книгам пока

не удаётся.2. Сколько секунд в сутках? 27 ап-

реля 1983 года. Сегодня Дима меняудивил ещё раз, подсчитав (разумеется,устно) количество секунд в сутках:86 400. Я ему слегка помогал; моя по-мощь свелась к следующему: во-пер-вых, я сообщилему, что в сутках 24 часа(и вообще объяснил, что такое сутки).До этого он вычислял, сколько секундв <дне>, а день, по его понятиям, состоялиз 12часов.Во-вторых, я емуподсказал,что если он уже умножил 36 на 12, то необязательно заново умножать 36 на 24,а можно просто результат умножитьна 2. Далее, после действий 60 ·60==3 600, 36 ·12=432, 432 ·2=864 онзабыл, что следует делать дальше, испросил у меня. На этот раз я отказалсяотвечать, сказав, что это как раз и естьсамое главное в вычислениях — несобственно считать, а понимать, что тыделаешь и зачем. Минуты две Димавосстанавливал ход своих рассужденийи в итоге понял, что осталось умножитьрезультат на 100. Но к этому моментуон забыл сам результат. Это был третийпункт моей помощи: я ему напомнил,что результат 864, а он уже сообщилмне ответ: 86 400. В общем, кажется,можно заключить, что моя система себяоправдала. Под <системой> я понимаюздесь то, что я никогда не учил егоспециально считать, никогда не выра-батывал никаких <навыков>, не трени-ровал и т. п. На самом кружке занятийс числами тоже было относительно

немного, и даже когда приходилосьсчитать, то я никогда не акцентировалвнимание на вычислениях. Вычисля-ли мы обычно, складывая очки на двухили трёх костях, играя в <ним> и т. п.,и никогда для того, чтобы <решитьпример>.Характерная деталь — даже при са-

мых большихуспехах полнейшаянена-дёжность детей в вычислениях.НедавноДима умножал 60 на 10 и получилв результате 320!Через две недели ему будет 7 лет.3. Сколько жильцов в нашем доме?

Ещё одна история про вычисления, во-время не записанная; относится где-нибудь к концу 1982 или к началу1983 года. В какой-то момент нашимальчики неожиданно осознали, чтота гигантская галактика, вокруг кото-рой они гравитируют, как малые пла-неты — это и есть наш ДОМ. Огром-ный, полукруглый,какихнемаловЯсе-нево; только чтобы его обойти вокруг,нужно минут двадцать.— Сколько же в нём людей жи-

вёт? — спросил Дима.Стали считать: 12 подъездов; в каж-

дом подъезде — по 16 этажей; на каж-дом этаже — по 4 квартиры.—А в каждой квартире по 4 чело-

века, — это уже Дима сам решил.Нас четверо, значит и везде чет-

веро.Подробностей вычисления не пом-

ню. Помню только, что заняло оно не-мало времени. Перебираясь, как черезбурелом, через ошибки и забытые дан-ные, Дима преследовал свою добы-чу и в итоге пришёл к правильномуответу.

4. Никогда не хвастайтесь детьми!Этот совет, уважаемый читатель, ядаю не вам, а себе. Я, вообще-то, хо-рошо это знаю; но бывает трудно удер-жаться...Вскоре после предыдущей истории

мы пошли в гости к моей двоюроднойсестре Ирине. А надо вам сказать, чтоона — учительница начальной школы,и притом совершенно замечательная,

Про кур-несушек — 158— 6. Кружок с мальчиками — третий год

одна из лучших, кого я знаю. В даль-нейшем, когда я сам стал работать сошкольниками, я не раз пользовалсяеё советами. Но и д о того — и дажекогда я ещё не был женат — когда быя ни пришёл к ним в дом, речь всегдазаходила о школе, и всегда было такувлекательно! Вот и сейчас, естествен-но, разговор сам собой перешёл на то,что Диме скоро в первый класс, и Ирарешила проверить его <готовность кшколе>. Она попросила его сложить5 и 3. И вот тут меня заело!—А ну-ка, Дима, — говорю. —

Помножь-ка нам лучше 33 на 17.(Или что-то аналогичное по труд-

ности — точно я не помню.)—Как это? — спросил Дима недо-

умённо, как будто впервые в жизнислышал про умножение.Я стал объяснять; он как-то плохо

понимал; возможно, на него давило то,что мы в гостях; и отвлекали, конечноже, Ирины ремарки, что я сошёл с ума.Ну, так или иначе, он принялся за дело,с грехом пополам и с ошибками по-множил 17 на 30, после чего стал ещё3 раза 17 отнимать вместо того чтобыприбавлять. Я ему на это указал; онне сразу понял, а когда понял, забылк ч е м у надо было прибавлять.В общем, он почувствовал, что не вы-держал экзамен, и даже расплакался.Стыдно было безумно.Но если отвлечься от всех этих эмо-

ций, то следует обратить внимание наодин важный параметр, который мыредко учитываем: это м о т и в а ц и я.В одном случае просто жжёт какхочется поскорее узнать, сколько желюдей живёт в таком огромном доме.В другом — просто умножить и всё,без всякого смысла и толка. Зачем?

5. Этажи. Я спросил у Димы:—Человек поднялся сначала на

5-й этаж, а затем ещё на столько же.Где он оказался?Дима, конечно, тут же ответил:—На 10-м этаже.Я сказал:—Неправильно.

Дима задумался. Потом сказал:—Вот я помню, что мама когда-то

сказала, что до 5-го этажа ехать столь-ко же, сколько от 5-го этажа до 10-го,а ты тогда сказал маме, что это непра-вильно, но почему, я так и не понял.Потом он ещё некоторое время поду-

мал и сказал, что, наверное, дело в том,что на первый этаж совсем не нужнонисколько подниматься. Однако объ-яснить, как одно связано с другим,не сумел.Задача непереводима на француз-

ский язык: во Франции этажи считаютначиная с нулевого (который назы-вается rez-de-chaussee). Дом, которыймы бы назвали двухэтажным, фран-цузы называют <дом с этажом>.

6. Сто гусей. Лето 1983 года. Во вре-мя одной из прогулок я задал Димеклассическую задачу:Летит гусь, а навстречу ему стая

гусей. Вот гусь и говорит:— Здравствуйте, сто гусей!А гуси ему отвечают:—Нас не сто гусей. Вот если бы нас

было столько, да ещё столько, да ещёпол-столька, да ещё четверть-столька,да ещё ты один гусь — вот тогда насбыло бы сто гусей.Вопрос: сколько гусей в стае?По Диминым внешним проявлени-

ям очень трудно угадать, что творитсяу него внутри. С этой задачей повто-рилась классическая схема: он её вы-слушал и пошёл себе дальше, не про-являя никакого интереса. Однако наследующий день утром он, ещё лёжав постели, позвал меня и сказал, чторешил задачу про гусей, назвав приэтом правильный ответ: 36.

7.Прокур-несушек.Сентябрь1983го-да. Как-то за ужином я задал Диметакую задачу. Две курицы сносят дваяйца за два дня. Сколько яиц снесутчетыре курицы за четыре дня?Это упрощённый вариант замеча-

тельной задачи А. Азимова из рассказа<Escape!>.Полторыкурицысносят пол-тора яйца за полтора дня. Сколько яицснесут 9 кур за 9 дней? (Чтобы не

6. Кружок с мальчиками — третий год — 159 — Как поделить верблюдов

мучить читателя, скажу правильныйответ: 54.)На этот раз предыдущая схема вы-

полнилась лишь наполовину: Димавыслушал задачу без всякого интере-са, но и потом больше к ней не воз-вращался. А может, это уже школавлияет? Но о школе — отдельно...

8. Как поделить 17 верблюдов. Сен-тябрь 1983 года. Как-то перед сном ярассказалДиме такуюарифметическуюсказку (уже не помню, где и когда я еёвычитал, но она тоже вполне класси-ческая):У одного старика было три сына.

Когда он умер, то оставил им в наслед-ство 17 верблюдов. При этом старше-

му сыну он завещал12

всего стада,

среднему сыну13, а младшему

19.

Стали сыновья делить наследство —и не знают, что делать: ведь 17 пополамне делится! И на 3 части не делится!И на 9 частей 17 верблюдов тожеподелить нельзя. Как тут быть?Ехал мимо мудрец. Братья обрати-

лись к нему за советом. Мудрец вы-слушал их и сказал:—Давайте я подарю вам своего

единственного верблюда. Может быть,тогда ваша задача станет легче.Стало теперь у братьев 18 верблюдов.

Старший забрал себе половину (сколь-

ко это будет? — правильно!) — 9 вер-

блюдов; средний забрал13

часть, т. е.

6 верблюдов; младший забрал19часть—

2 верблюда. Всего же оказалось 9++6+2=17 верблюдов: один верблюдоказался лишним, и это был верблюдмудреца! Мудрец забрал обратно сво-его верблюда, попрощался с братьямии уехал. А братья остались довольныетем, как ловко им удалось разделитьнаследство.Собственно говоря, задачи никакой

в этой сказке нет. Это просто белле-тризованное утверждение о том, что

12+

13+

19=

1718

,

а вовсе не 1, как неявно предполагалосьв завещании. Тем не менее детьми, и, вчастности, Димой эта история воспри-нимается как парадокс. Дима был еюсовершенно потрясён и всё спрашивал:— Так что, значит 17 всё-таки мож-

но поделить пополам?Но я молчал, и история так и оста-

лась загадочной.

∗ ∗ ∗

А между тем наступил октябрь, а сним и новый учебный год — я имеюв виду не школу, а наш кружок.

7Кружокс мальчиками—последниеполгодаЗанятие 68. Подвохи календаря

3 октября 1983 года (понедельник). 1800—1900(1 час). Дима, Петя, Женя.

Немножко странно: никаких по-здравлений, никаких <праздничныхсалютов>. Дневник начинается прямос места в карьер — с первого задания.

Задание 1. Задача о календаре.Я спросил у Димы:—Сколько тебе лет?—Семь.—А сколько тебе исполнится в бу-

дущем году?—Восемь.Это пока ещё лёгкий вопрос.Следующий вопрос Пете:—Сколько тебе лет?—Восемь.—А сколько тебе исполнится в бу-

дущем году?—Девять.—А вот Жене будет вопрос потруд-

нее: сколько тебе лет?—Семь.—А сколько тебе исполнится в бу-

дущем году?У Жени день рождения в ноябре,

так что 8 лет ему ещё успеет испол-ниться в этом году, а в следующемему исполнится 9 лет. Женя сначалаошибается и говорит:—Восемь.—Неверно, — говорю я.

—А, правильно, девять, — спохва-тывается Женя.—Как это?! — недоумевают Дима

и Петя.Потом Петя догадывается. Дима го-

ворит:—Наверное, это так же, как с лиф-

том.—Неправильно, — говорю я.Тут вмешиваетсяАлла и спрашивает:—А вы знаете, когда у Жени день

рождения?Дима не знает. Алла говорит:—Через месяц, в ноябре.Тогда и Дима догадывается до ре-

шения и правильно всё объясняет.А теперь собственно задача. Один

мальчик сказал: <Позавчера мне было10 лет, а в будущем году мне испол-нится 13 лет>. Как это может быть?Дима выдвигает гипотезу, что это из-зависокосных лет. Я её отвергаю. Начи-наются другие гипотезы, иногда веду-щие в нужном направлении, и тогдая их поддерживаю. Так постепенно,с моими небольшими подсказками,приходим к правильному ответу:(а) высказывание произнесено 1 ян-

варя;(б) вчера, т. е. 31 декабря, мальчику

исполнилось 11 лет;(в) позавчера, т. е. 30 декабря, ему

было ещё 10;(г) когда в этом году наступит 31 де-

кабря (т. е. почти через год), мальчикуисполнится 12;(д) и, наконец, в будущем году ему

исполнится 13.До ответа первый догадывается Петя.

Дима всё ещё не понимает, что к чему,и я рисую на листке бумаги отрезки-годы, показываю на них дни рожде-ния и проч. Дима говорит:—А-а, а я думал, что в одном году

не может быть два день-рождения, —т. е. он снова не понял.

Я к тому же ещё не понимал разницы междусловами <будет 13 лет> и <исполнится 13 лет>.Из-за этого мне казалось логичнее говорить, чтов следующем году мальчику исполнится 12 лет,а не 13 (ведь ему почти весь год будет 12 лет).Утверждение про 13 лет я признавал верным

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 161 — Программирование

с натяжкой. Если бы день рождения был 30 де-кабря, то всё было бы правильно: существовал быдень (31 декабря), когда мальчику было 13 лет.Но когда день рождения 31 декабря, то чтобыутверждение было верным, нужно считать, чтов день рождения мальчику уже 13 лет. Этоможно, но с натяжкой. — Дима.

Тут вмешиваетсяПетя. Онпродолжа-ет мой рисунок влево, показывая, гдемальчику исполнилось 10 лет. Тогдадо Димы доходит.

Задание 2. Устный вопрос — фо-нетика. Я спросил, из чего состоятслова. Петя ответил:—Из букв.Дима возразил:—А нас вот учили, что слова де-

лятся на слоги.—А слоги? — спросил я.—А слоги — на звуки.—Значит, — сказал я, — Петя

считает, что слова состоят из букв,а Дима — что из звуков.Петя тут же объяснил разницу между

словом написанным и произнесённым.Мы выяснили также, что буквы — этозначки для обозначения звуков. А вер-но ли, что каждый звук обозначаетсякакой-нибудь однойбуквойинаоборот?Выяснили на примерах, что неверно.После этого я задал мальчикам зада-

чу: придумать два таких слова, чтобыони писались одинаково, а читалисьпо-разному.К сожалению, никто из них ничего

не смог придумать даже после того,как я сам привёл пример:

МУКА — МУКА.

Я сказал, что тогда это будет заданиена дом, но все были так шокированыэтими словами: <заданиена дом> (види-мо, столько с ними связано неприятныхассоциаций), что мне пришлось оправ-дываться и говорить, что пусть простоподумают — вдруг дома придумают.

Задание3.Программирование.Яна-помнил мальчикам игру с роботом.Объяснил, что, как слова состоят избукв, так и движения роботов состоятиз отдельных <простейших> движений;и что как буквы служат для обозна-

чения звуков, как ноты служат дляобозначения музыкальных звуков —так же наши квадратики с нарисо-ванными значками служат для обо-значения этих простейших движений,а стрелки — для обозначения после-довательностидействий. (Ксожалению,про <проверяемые условия> я ничегостоль же чёткого не сказал.) Послеэтого я предложил мальчикам сложитьпроизвольную блок-схему, и потом по-смотреть, что роботу придётся делать.Они, конечно, сложили довольно

громоздкую и нелепую блок-схему.В процессе складывания я обращалих внимание на с и н т а к с и ч е-с к и е о ш и б к и: две стрелки отквадратика, три стрелки от ромбика,тупиковая стрелка и т. п., объясняякаждый раз, почему такую схему ро-бот не сможет понять. Потом мы стави-ли робота на разные клетки <комна-ты>, в разных положениях, и мальчи-ки по очереди водили его по доске.Иногда он бессмысленно ёрзал по ней,иногда натыкался на стенку и <расши-бал нос>. Это сопровождалось общимхохотом. Потом ребята заметили, чтосамое первое условие почему-то все-гда посылает на стрелку <нет>. На-чался ретроградный анализ, в резуль-тате которого было найдено положе-ние, дающее ответ <да>. После этогоробот тотчас же расшиб нос. В самомделе, оказалось (и я показал это ребя-там), что алгоритм проверяет, есть ливпереди стена, и е с л и е с т ь, тоделает шаг вперёд.Мальчики стали блок-схему исправ-

лять. Потом я сам сложил им другуюблок-схему: в ней робот ходил от сте-ны к стене и обратно без остановок.Это тоже вызвало всеобщий восторг.Потом мы её исправили так, чтобыон ходил вокруг комнаты вдоль стен.В общем, всё протекало очень веселои могло бы длиться ещё долго, еслибы я сам это занятие не прервал.

Чтение. В заключение я прочиталребятам первые две главы из книгиИ. Я. Депмана <Мир чисел>.

Устные задачи — 162 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

Занятие 69. Много устных задач

17 октября 1983 года (понедельник). 1800—1900(1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Устные задачи. На этомзанятии устные задачи затянулись наполчаса, так как дети всё требовалиещё задач.(а) Сначала мы рассмотрели ещё

несколько примеров слов, которыепишутся одинаково, а читаются по-раз-ному (пили, полка, стрелка, стрелок,стрелку и т. п.). Написали фразу:<СТРЕЛОК посмотрел на часы, а начасах нет СТРЕЛОК>. Дима предло-жил последнее слово в этой фразе неписать, а провести стрелку к первомуслову. Я сострил:—ПровестиСТРЕЛКУкСТРЕЛКУ!И ещё я напомнил им стишок

Б. Заходера:

Вопрос мой прост и краток —Промолвил носорог:Что лучше — сорок пятокИли пяток сорок?Никто ему на этоОтвета дать не мог.

(б) Второе задание состояло в том,чтобы придумать слова, которые, на-оборот, пишутся по-разному, а читают-ся одинаково (лук—луг, прут—пруд,рот—род, бок—бог и т. п.). В основ-ном, примеры приводил я, лишь Димаслучайно наткнулся на пару <вот—вод>. И ещё я прочитал стих:

Князь скорей царицу будит.Та как ахнет! <То ли будет...>

(в) По поводу первых двух задач мыещё обсуждалиразныеразности, как то:соотношение между написанием и про-изнесением (его трудности в англий-ском и французском); перевёртыши(дети меня заставили написать не-сколько перевёртышей) и многое дру-гое, чего уже не помню.(г) Следующая задача Диме была

уже известна, поэтому я попросил егопомолчать.

Человек поднялся на 5-й этаж,а потом ещё на столько же этажей.На каком этаже он оказался?Петя с Женей, разумеется, не за-

думываясь ответили: на 10-м. Я стал<спускаться>, т. е. вместо 5-го этажав условии называть 4-й, 3-й и т. д.Первым уловил подвох Женя, однакообъяснил он его невнятно и, вместотого, чтобы вычесть единицу, прибавилеё: после 3-го этажа оказался на 7-м.На следующем этапе уже всё понялиПетя—идалправильныйответ ипра-вильное объяснение (после 2-го этажамы оказываемся на 3-м). Потом мыещё эти этажи рисовали.(д) За книгу заплатили рубль, и ос-

талось заплатить ещё столько, сколькоосталось бы заплатить, если бы запла-тили столько, сколько осталось запла-тить. Сколько стоит книга? (<Квант>,№ 5, 1983.)Дети, конечно же, эту задачу не ре-

шили, это просто я поддался на уго-воры дать ещё задачу. Дима, правда,угадал ответ (2 рубля), но он понялусловие примерно так: <За книгу за-платили рубль, и осталось заплатитьещё столько же>. Мои объяснения он,по его словам, понял с третьего раза.(е) Мальчики просили ещё задач, но

я уже истощился. Я стал объяснять,что у меня их нет, так как для такоймелюзги никто задач не придумывает.Дима удивился:—Как? А в школе?Я ему сказал:—Ну, хорошо: что больше, 5 или 3?Он как-то весь сразу посерел,

съёжился, как будто ему сказали га-дость, и промямлил:—Ой, нет, не надо...Но Петя продолжал фантазировать:— Стояло 5 автомобилей; 2 из них

уехало; сколько осталось?Тут и я подхватил:— Горело 5 свечей; 2 из них пога-

сли; сколько осталось?Ответ очень ребят насмешил (оста-

лись как раз те две свечи, что погасли,а остальные три сгорели).

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 163 — Опять программирование

Задание 2. Программирование. За-дача была поставлена так: из произ-вольной клетки доски придти в угол(также произвольный) и там остано-виться. Дима тут же на словах изложилправильное решение: нужно идти, пе-ред каждым шагом проверяя, нет ливпереди стены, шагать вперёд до стены,а как дойдёшь, повернуть в любую сто-рону, например, налево, и делать то жесамое — т. е. идти до стены; дойдя,остановиться.Однако когда он стал складывать

блок-схему, то сделал это неправильно:он поставил ромб проверки стены впе-реди, затем блок <шаг>, а после этогоне вернулся к исходному ромбу про-верки, а поставил новый (рис. 115).Потом, забыв о ветви <нет>, он пере-

шёл к ветви <да> и вскоре блок-схемузакончил. Женя указал ему на синтак-сические ошибки: некоторые стрелкиобрывались в никуда. Однако Дима этизамечания проигнорировал и стал свойалгоритм проверять. Через секунду всезабыли об ошибках, так как возникболее важный вопрос: кто будет первымисполнять роль робота, кто вторыми т. д. Кое-как удалось спор решить.Димин алгоритм, конечно же, не

работал: или приводил не в угол, иливообще прерывался посреди работы(те самые никуда не ведущие стрелки).

НЕТ

Сделано так

Надо былосделать так

Рис. 115. Ошибка в решении.

Мальчики стали его исправлять, наэтот раз все втроём. Однако все исправ-ления носили локальный характер:каждый раз, обнаруживая неправиль-ную работу, ребята меняли толькосоответствующее место в блок-схеме,никак не задумываясь о том, как этоотразится на алгоритме в целом.В результате примерно получаса

работы — многочисленных проб, про-верок и переделок — получилась дожути неструктурная блок-схема, изо-бражённая на рис. 116.Самое удивительное, что она-таки

работала! Проверки из самых разныхположений непеременно заводили ро-бота в угол.Время кончалось, и я с трудом сумел

остановить мальчиков, увлёкшихсяпроверками алгоритма. Прочитать имДепмана я опять не успел, и кубики изScientific American снова не показал.Зато передо мной встала теперь нелёг-кая задача: убедиться самому, правиль-но ли работает построенный детьмиалгоритм. Я сидел над ним почти часи в результатепочтиво всёмразобрался.Этот алгоритм в самом деле всегдаприводит робота в угол в н а ш е й<к о м н а т е>, так как она имеетнечётные размеры 5×7. То же самоебудет, если хотя бы один из размеровнечётный. Но в комнате с обоими чёт-ными измерениями, например, 4×6,алгоритм зациклится!В следующий раз я покажу это

ребятам.

Занятие 70. Снова о программах

27 октября 1983 года (четверг). 1800—1915(1 час 15 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Программирование. Каки собирался, я показал ребятам, что ихалгоритм в комнате 4×6 приводитк зацикливанию. Это их ничуть несмутило. Обнаружив, что робот повора-чивает <не туда>, они просто поменялилевый поворот на правый. В другойраз, из другой начальной позиции,

Опять программирование — 164— 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

оказался <не туда> другой правыйповорот (тот, что стоит в блок-схемеслева вверху) — и они так же легкозаменили его на левый. Тут, однако,произошла неожиданность (для меня).Оказалось, что новый алгоритм, т. е.тот, что нарисован на рис. 116, нос заменой правого поворота на левый,а левого на правый, работает! Мыего пробовали из разных позиций,и с чётными, и с нечётными сторона-ми, — работает, чёрт возьми! Заводитробота в угол.Таким образом, все мои воззвания

в защитуструктурности(<можнопрощеи лучше>) потеряли почву под нога-ми, потому что — что значит лучше,если и так работает?

НАЧАЛО

ДА НЕТ

НЕТ НЕТ

ДА

КОНЕЦ

ДА

НЕТ

ДА

КОНЕЦ

Рис. 116. Можно ли понять такую программу? И правильно ли она работает?

Я всё же не сдался сразу, тем более,что Дима спросил, а как можно проще?Я достал старую тетрадь, в которую за-писывал ранее составленные алгорит-мы, и показал ребятам их старое реше-ние задачи <дойти до стены и остано-виться>. (На самом деле, это было не ихрешение, а подсказанное мной, но детиоб этом, конечно, забыли, а я не стал на-поминать, так как мне кажется психо-логически правильнее наши совмест-ные успехи приписывать им.) Я спро-сил, не может ли это решение им чем-нибудь помочь. Мальчики спокойно ипо-деловому, почти как взрослые люди,разобрались в постановке задачи, про-верили, как работает алгоритм, а потомДима, как и в прошлый раз, на словах

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 165 — Устная задача

всё правильно объяснил: нужно сде-лать так, как в этой программе, потомвместо конца сделать поворот (при этомон заколебался, куда сделать поворот,вправо или влево), а потом сделатьто же самое — дойти до стены.—Можно даже делать ту же самую

проверку,— вдруг сказал он (т. е. пред-ложил после поворота пойти к тому жеромбику проверки, что и в первый раз).Я уже хотел возражать, но тут вдруг

Дима задумалсяи сказал, что нет, однойпроверки всё-таки не хватит, нужныдве. Я обрадовался этому заявлению,которое оценил как первое проявле-ние нелокальности мышления. Одна-ко по-настоящему я его соображенийне понял (т. е. я не понял, п о ч е м уон считает, что одного ромбика недо-статочно), а в той программе, которуюон тут же составил, победила всё же<локальность> (рис. 117).Про ромбики проверки Дима сообра-

зил, что их нужно два, а вот про блоки<шаг> того же не сообразил, и поэтомудвух следующих друг за другом цикловне сделал. Разумеется, его программатут же зациклилась. Времени уже былополседьмого, и я решил на этот разс программированием закончить.Между прочим, Петя предложил вве-

сти новый значок для поворота на 45◦.Я решил ухватиться за эту идею — недля того, чтобыделатьповороты, а чтобыделать новые значки, и, в частности,ввести значки для процедур-подпро-грамм.

Задание 2. Устная задача. Аня, Ася,Ваня и Вася собирали грибы. Анясобрала больше всех, а Ася не мень-ше всех. Кто собрал больше грибов:девочки или мальчики?Все хором ответили, что девочки

собрали больше.—А почему?—Потому что Аня собрала больше

всех, — ответил Петя.—Неправильно!—Как неправильно?!—Ответ правильный, а объяснение

неправильное.

НАЧАЛО

КОНЕЦ

НЕТ

ДА

ДА

НЕТ

Рис. 117. Гораздо лучше — но опять ошибка!

—И потому, что Ася собрала неменьше всех, — добавил кто-то.Но теперь, после неправильного от-

вета Пети, я уже не был уверен, чтополучил объяснение, а не просто повто-рение условия задачи. Я стал доби-ваться объяснений, ужасно долго за-нудничал и приставал, но так ничегои не добился. В основном мальчикимне приводили примеры, подтвержда-ющие их правоту.Потом я дал своё объяснение, но ни-

кто не понял, чем оно лучше. Детям ка-залось, что они говорили то же самое.

Я думаю, лучше было бы сформулироватьвопрос так: <Могло ли оказаться, что мальчикисобрали больше девочек?>. Ведь, по сути, из ус-ловия ясно, что девочки собрали больше, вопростолько в том, нет ли в этой задаче подвоха. Когдапапа дал своё объяснение, я, на самом деле,почувствовал, что оно, в отличие от наших, неоставляет места сомнениям.Но, с другой стороны,ответ-то у нас тоже был правильный... — Дима.

В общем, прошло 20 минут, я весьиззанудничался, совершенно задурилвсем голову и сам себя раздражил.

Школьные задачи не так уж просты — 166 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

В целом у меня осталось ощущение,что занятие было неудачным, и в ос-новном из-за этой задачи.

Задание 3. О шифрах. Петя с Димойсейчас очень увлекаются составлениемшифрованных писем. Я решил под-ключиться к этой деятельности и впер-вые за все эти годы дал детям настоя-щее домашнее задание. Оно состоялов том, чтобы каждый из них составилш и ф р, т. е. табличку, в которойкаждой букве алфавита ставится в со-ответствие какой-то знак (и разнымбуквам — разные знаки). После этогоследует взять из произвольной книгипроизвольную фразу, зашифровать еёи принести мне — разумеется, непоказывая исходной таблицы-шифра.А я уже должен это письмо разгадать.Задание было воспринято с большим

ажиотажем.Рубикоиды. Наше обсуждение шиф-

ров затянулось, и был уже восьмой час,когда я вспомнил, что уже в третийраз не успеваю показать детям разныемодификации кубика Рубика, которыеприведены в статье Д. Хофштадтера<Магия математики>, журнал <В миренауки> (перевод <ScientificAmerican>).Поскольку журнал уже пора было

отдавать, я решил затянуть кружок ещёна 5 минут и показал все картинки.

Шифры. Все дети сдали мне своишифры — Петя и Дима уже в воскре-сенье 30 октября, а Женя принёс своёписьмо на следующее занятие, 3 но-ября. У Пети шифр был самый лёг-кий: он заменил звонкие согласныеаналогичными глухими и наоборот,затем твёрдые гласные аналогичнымимягкими и наоборот и т. п. Крометого, он начал своё послание словами<Из книги . . . страница 72>. Поэтомуего послание я разгадал легко. С Ди-миным шифром было гораздо труднее,но в итоге я и с ним справился. Оченьмне помогла таблица частотности буквиз книги А. М. Яглома и И. М. Яглома<Вероятность и информация>. Димастоял рядом и наблюдал за моей рабо-той, так что я <мыслил вслух>. Дима

ужасно волновался. Женин шифр по-чему-то оказался ещё труднее, так чторазгадал я его с огромным трудом,и ушло на это полтора часа. Особуютрудность для разгадывания представ-ляли орфографическиеошибки—а ониоказались в каждом письме.Теперь у меня главная проблема —

как защититься от обрушившегося наменя потока новых шифровок. Ужев тот же день Дима мне принёс их триштуки (!!), все записанные разнымишифрами. Петя тоже готовит ещё однопослание.

Я видел, что папа использует частоту по-явления букв в шифрованном послании, и ста-рался найти в какой-нибудь книжке фразу, гдесамая частая буква — не <о>. — Дима.

Занятие 71.Школьные задачи... ну, почти

3 ноября 1983 года (четверг). 1755—1905 (1 час10 мин.). Дима, Женя.

Задание 1. Устные задачи. Неудачас задачей № 2 из предыдущего занятиянавела меня на мысль, что я чересчурувлёкся в своём пижонстве и что поравключать в наши занятия обычныешкольные или полушкольные задачи.И я был прав!Я нашёл у себя на полке книжку

Труднева <Считай, смекай, отгадывай!>(для 1—3 классов), которая единствен-ная имела подзаголовок <Пособие дляучащихся>, а не <Пособие для учите-ля>. Там вполне приемлемые, хотя итривиальные задачки, и я решил пойтипо этой книге подряд. На сегодняшнеезанятие я запланировал 10 задач. Од-нако мы застряли уже на третьей...Третья задача звучала так: <Мама

оставила на двух тарелках поровнуяблок, а когда она вернулась, на нихосталось вот столько яблок (нарисо-ваны две тарелки, на одной 3 яблока,на другой 8). С какой тарелки забралибольше яблок, и н а с к о л ь к о?>.На первый вопрос мальчики ответи-

ли правильно. А вот на втором про-

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 167 — Вероятностная игра

изошла загвоздка: ни Дима, ни Женяне смогли ответить, на сколько большеяблок забрали с первой тарелки, чемсо второй. Вот так-то! Оказывается,это совершенно не очевидно, что еслина 5 яблок меньше осталось, значит,на 5 яблок больше забрали. То есть,главным образом не очевидно, что ре-зультат не зависит от того, сколько яб-лок было исходно. Дима как раз всёдопытывался у меня, сколько их тамбыло сначала: хотел подсчитать, сколь-ко забрали с каждой, и потом найтиразницу. Я отвечал, что это неизвест-но — сколько их было сначала. ПотомЖеня предположил, что на 5 больше.В качестве объяснения он сказал, чтосо второй тарелки яблок вообще не бра-ли, потому что на ней больше местанет. Дима стал с ним спорить и предпо-ложил, что с первой тарелки забралина 16 яблок больше. Объяснить свойответ он никак не мог.Женя всё же продолжал настаивать

на ответе 5. Он сказал:—Раз спрашивается, на сколько

больше, значит, надо отнимать.Я предложил ему такую задачу:

<В тарелке лежало сколько-то яблок.Папа добавил 2 яблока, а мама 4. Насколькояблок сталобольшев тарелке?>.Мальчики согласились со мной, что

в этой задаче тоже спрашивается, <насколько больше>, но числа нужноскладывать, а не вычитать.Наконец, мы дошли до того, что

взяли две <тарелки> (листки бумаги),положили на них <яблоки> (фишки)и провели четыре эксперимента. Каж-дый раз получалось, что ответ 5. Но об-щего рассуждения я так и не получил.Женя в основном утверждал, что он<так и говорил>, не понимая разницымежду ответом и решением; Дима тожене понимал, почему так будет всегда,для любого количества яблок на тарел-ках.Ондажепредположил, что длямил-лиона яблок может всё быть и не так.Видимо, Пиаже бы на это сказал, что

у ребят не сформировалось ещё пони-мание взаимной обратности сложения

и вычитания. А может, что-нибудь дру-гое, более хитрое. В общем, какой-тоиз законов сохранения явно пока неусвоен.

Задание 2. Вероятностная игра. По-скольку Петя болен, я решил програм-мирование сегодня пропустить. А Димаменя специально попросил ещё разпоиграть в нарисованную здесь игру(рис. 118, когда-то мы в неё уже игра-ли — см. стр. 77). Так что как раз се-годня представился удобный случай этосделать.Жребием решили, кому сидеть в се-

редине, и этим счастливцем оказался я.Я взял себе 10фишек, а мальчикамраз-дал по 15. Потом подчеркнул ещё раз,что у меня и фишек меньше, и вы-игрывающих клеток меньше — и мыначали играть.Игра прошла очень оживлённо,

мальчики играли с большим удоволь-ствием и не хотели останавливаться.Но с точки зрения извлечения из игрыкакой-нибудь <математической мора-ли>, т. е. выводов, занятие прошло неочень успешно. Причина в том, что запервые 15 бросаний Дима ни разу невыиграл и тем самым спустил все своифишки и разорился. По правилам он

Рис. 118. Старая знакомая — планшетка длявероятностной игры.

Подпрограммы — 168— 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

должен был сразу же и выйти из игры.Но мне стало его жалко, и когда приочередном бросании выпала <его>сумма, мы с Женей без всяких моихкомментариев выдали ему по фишке.Так и повелось дальше: Дима иЖеня

периодически разорялись, но каждыйраз фишки к ним снова приплывали.В таких условиях, конечно, мне труд-но было их победить, тем более чтоих суммарная вероятность выигрышабольше, чем моя. Кончили мы на том,что у меня было 25 фишек, у Ди-мы — 8, у Жени — 7.

Чтение. В заключение я прочёл имтретью главу из книги Депмана. Междупрочим, Женя узнал картинку Стоун-хенджа и даже сказал:—Вы нам это уже читали.Но потом мы вместе вспомнили, что

я этого не читал, а только показывалкартинки.

Занятие 72. Подпрограммы

8 ноября 1983 года (понедельник). 1530—1630(1 час). Дима, Петя, Женя.

Женин шифр. Я показал Жене рас-шифровку его письма. Он прочиталтекст, но, убедившись в его правиль-ности, ещё не сделал отсюда вывода,что я и буквы все расшифровал пра-вильно. Он достал свою таблицу, и мыпроверили правильность расшифров-ки букв.После этогоянемногорассказалребя-

там о том, как делается расшифровка.Задание 1. Устные задачи.Япродол-

жал задачи из книжки Труднева: далещё 5 штук. Никаких ЧП на этот разне было, за исключением того, что, каквыяснилось, такая же книжка есть уЖениного папы, и он даже давал ребя-там задачи из неё во время какой-тосовместной поездки.

Задание 2. Программирование: зна-комимся с подпрограммами. На этотраз занятие по программированию на-конец-то прошло успешно и с толком.Я долго ждал и надеялся, что ребята

1

Рис. 119. Программа № 1 записывается в спе-циальную тетрадь. Там же записывается, какуюоперацию эта программа выполняет (например:<дойти до стены и остановиться>). Когда намвпоследствии захочется использовать её в ка-честве подпрограммы в более сложной про-грамме, мы заменяем её вот таким знаком.

сами дойдут до понятия подпрограммы.Потом понял, что ждать этого надо,быть может, ещё 10 лет. Видимо, этаидея чересчур новаторская. Кроме того,в моём языке явно недостаёт аппарата,подчёркивающего идею структурности.Одним словом, я не выдержал и самввёл специальный знак для подпро-грамм.Знак представляет собой прямо-

угольник 3×6 см с двумя нашлёпка-ми-полукругами, символизирующими<начало> и <конец> (рис. 119). В спе-циальную тетрадь записываются всесоставленные нами алгоритмы (вместес формулировкой задачи). Каждомуалгоритму присваивается порядковыйномер. В дальнейшем, если в болеесложной программе требуется исполь-зовать этот алгоритм в качестве её ча-сти, то просто вставляется новый знак,на котором написан номер программы.Номер рекомендуется писать каранда-шом, чтобы одну и ту же карточку мож-но было использовать для обозначенияразных подпрограмм.Всё это я объяснил ребятам. Сна-

чала они ничего не понимали, потомразобрались, и мы вместе ещё разрешили задачу, которой занималисьпредыдущие два раза: зайти в уголи остановиться.

НАЧАЛО

1

1

КОНЕЦ

НАЧАЛО

1

НЕТ

ДА

КОНЕЦ 1

КОНЕЦ

НАЧАЛО

КОНЕЦ

ДА

НЕТ1 =

Рис. 120. Вверху слева: простейшийвариант программы<дойтидо угла и остановиться>. Вверху справа: чуть более сложный ва-риант, который в одном из двух случаев сразу определяет, чтомы уже находимся в углу. Внизу показана подпрограмма№ 1.

НАЧАЛО

ДА

НЕТ

ДА

НЕТ

КОНЕЦ

Рис. 121. Программа <дойти доугла и остановиться>, уже не ис-пользующая подпрограмм (т. е.обе подпрограммы <раскрыты>).

НАЧАЛО

5

КОНЕЦ

Рис. 122. Только что написаннаянами программаполучаетномер 5.

Нечётные числа и квадраты — 170 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

При этом использовалась подпро-грамма № 1: дойти до стены и оста-новиться.Было сделано два варианта про-

граммы: один лобовой, другой — чу-точку более <умный>, т. е. в одном изслучаев, когда мы уже после первогопрохода оказались в углу, он эконо-мит второй проход. Обе программыпоказаны на рис. 120.(К сожалению, такой алгоритм,

который не делает ни одного шага,если робот уже стоит в углу, и делаеттолько один проход, если робот стоитне в углу, но у стены, чересчур сло-жен.)Более простую, лобовую программу

мы потом <расшифровали>, т. е. заме-нили оба вхождения подпрограммына её <полный текст>. Таким образом,получился уже настоящий, полный,без сокращений, текст программы. Онизображён на рис. 121.Полученную программу мы несколь-

ко раз проверили, но вскоре стало ясно,что дальнейшие проверки уже не нуж-ны, так как действие этой программысовершенно очевидно. Я напомнил ре-бятам, что обещал им показать болеепростуюпрограмму,решающуюзадачу,и что вот — это она и есть.

Вся идея с подпрограммами мне совершенноне понравилась. Пока нет подпрограмм, писатьпрограмму, приводящую робота в угол, ин-тересно. Нужно думать, пробовать, проверять,изменять и т. д. — это всё достаточно хорошоописано в дневнике. Если же использоватьподпрограммы, то почти весь процесс составле-ния программ становится рутинным. Нужно насловах придумать, что делать (дойти до стены,повернуть, опять дойти до стены и остановит-ся) — это интересно. Но потом нужно лезтьв тетрадку, читать, что делает какая программа,чтобы найти нужную. (Чтение, конечно можнооставить Пете — он хорошо читает — но тогдая оказываюсь вообще ни при чём.) Вместо то-го, чтобы брать готовый квадратик, нужно ещёписать номер. После этого всего получившуюсяпрограмму нельзя ни показать кому-нибудь,ни исполнить без тетрадки. — Дима.

В заключение я задал <контрольныйвопрос>: а что, по-вашему, делает воттакая программа (рис. 122)?Мальчики бросились смотреть в те-

традь, но в ней оказалось всего четыре

программы, а пятой не было. Тогда яспросил:—А как вы думаете, какую про-

грамму я запишу туда следующей,под номером 5?Тут все догадались, что это будет та

же самая программа, заводящая роботав угол, которую теперь, таким образом,можно обозначить совсем просто.

Чтение. Депман — половина чет-вёртой главы.

Занятие 73.Нечётные числа и квадраты

17 ноября 1983 года (четверг). 1800—1900 (1 час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Римские цифры.Впрош-лый раз в книжке Депмана мы читалипро римские цифры. Поэтому на этомзанятии я предложил ребятам запи-сывать этими цифрами разные числа.Мальчики (и я вместе с ними) поочереди придумывали разные числаи записывали их, например,

2 498=MMCDXCVIII.

Задание 2. Устные задачи. Ещёнесколько околошкольных задач изкнижки Труднева.

Задание 3. Нечётные числа и квад-раты. Этой темой я пытался начатьзаниматься ещё с самого первого за-нятия этой осенью, но всё не хваталовремени. В идеале я бы хотел, чтобысейчас каждое занятие состояло из4-х частей: устных задач, программи-рования, последовательностей чисел ичтения Депмана. Однако никогда мнене удавалось уместить в одно занятиевсе четыре темы. Но на этот раз я не ус-пел придумать хорошую задачу по про-граммированию, и поэтому нашлосьвремя для занятий числовыми после-довательностями. Сначала я спросилу ребят, какие числа они знают. Они непоняли вопроса. Тогда я подсказал:—Ну, чётные...Тут же вспомнили: нечётные, про-

стые... Оказалось, что не все помнят,

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 171 — Нечётные числа и квадраты

что такое простые числа; поговорили обэтом. Потом я спросил, помнят ли они,что такое квадратные числа. Помнили,но смутно.Мысталивыкладыватьквад-рат из маленьких пластмассовых куби-кови получающиесячисла записывали.После числа 16 я попросил следующеечисло назвать устно. Петя сказал, чтонужно к каждой стороне добавить по4 кубика— только он колебался, к двумсторонам их следует добавить илик четырём. Я показал, что получится:квадрат без клеточки (рис. 123).Тут Дима сообразил, что к 16 следует

добавлять не 8, а 9, и сказал ответ: 25.К 25 он уже сразу прибавил правиль-ное число: 11 — и получил 36. Такмы, добавляя последовательно 13, 15,17, 19, и добрались до ста.Очень забавно, что ту закономер-

ность, к которой я их вёл — что сумманечётных чисел равна квадрату—ребя-та угадали с самого начала; зато ониникак не могли догадаться до того,что мне казалось самоочевидным: чтоквадрат можно вычислить как произ-ведение 4 ·4, 5 ·5 и т. п. Перед намилежал квадрат 5×5, и я всё спрашивал,как можно подсчитать количество ку-биков в нём, а дети всё пересчитывалиих разными зигзагами и спиралями, иникак не могли догадаться, что можновзять пять раз по пять. Лишь с боль-шим трудом, упрёками-намёками, мнеудалось подсказать им эту идею. Я сталспрашивать, чему равно 6 ·6, 7 ·7 и т. д.,но они уже не вычисляли, а сразу гово-рилиответ, глядяв свои записи.Их верав закономерность незыблема. В заклю-чение я задал им на дом такую задачу:найти сумму 1+3+5+7+ . . .+99.Петя с Женей только хихикали в ответи говорили:—О-ой, девяносто девять!Дима отнёсся к задаче более серь-

ёзно и сказал:—Я похожую задачу уже решал,

но не помню, как...Потом, когда все уже разошлись, он

вспомнил, что нужно складывать край-ние члены — и тогда каждый раз полу-

Рис. 123. Чтобы из квадрата 4×4 получитьквадрат 5×5, добавляем к нему две полоскидлины 4. Однако то, что получилось — этоещё не совсем квадрат: надо добавить ещёодин кубик.

чится 100: 1+99=100, 3+97=100, . . .Однако поначалу он ошибся, назвавответ 5 000. Я сказал:—Неправильно.Некоторое время (минут пять) Дима

приставал ко мне, что нет, всё-такиправильно. Потом вдруг догадался:—А-а, здесь будет не пятьдесят раз

по сто, а в два раза меньше!И тут же выдал ответ: 2 500.ЧерезнесколькоднейДимасампред-

ложил вычислить сумму нечётных чи-сел от 1 до 199 и получил правильныйответ: 10 000. Я предложил ему до-считать до 999. Он слегка испугался,но стал считать. Деля 500 пополам,он ошибся и получил 270, так что егопервоначальный ответ был 270 000.Я сказал:—Неправильно.И он исправился.Характерно, что его

метод не совпадает с тем, на который япытался натолкнуть ребят во времязанятия, т. е. он вычисляет не квадрат.Более точно: я имел в виду для вы-числения суммы 1+3+ . . .+(2n−1)использовать формулу n2, а Дима вме-

сто этого использует формулу 2n · 2n4

.

Как-то в разговоре я сказал ему, чтопытался намекнуть им на другую идею:подсчитать количество чисел в суммеи умножить это число само на себя.

Как подсчитать, сколько клеток на шахматной доске? — 172 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

Дима обдумал моё утверждение и по-разилменясовершеннонетривиальнымзамечанием:—Твой метод лучше, потому что мой

годится не для всех чисел, а толькодля тех, которые делятся на 4.(Имеется в виду, что 2n должно

делиться на 4.)

Занятие 74. Геометрия чисел

24ноября1983года(четверг).1800—1900 (1час).Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Фокус— лишняя клетка.Я показал ребятам известный фокусс появлением лишней клетки. В этомфокусе квадрат размером 8×8 (или<шахматная доска>) разрезается на4 части: два треугольника и два четы-рёхугольника, и из них складываетсяпрямоугольник 5×13 (рис. 124).Все операции мы производили фи-

зически, т. е. рисовали на бумаге, раз-резали, перекладывали и т. п. Попутнообсудили множество полезных вещей:что такое квадратный сантиметр, и чтоплощадь комнаты 8 см×8 см будетне 8 см2, а 64 см2 (или, как пыталисьсказать ребята, <квадратный восьми-сантиметр>) и т. п. Видимо, представ-ление о площади уже начинает у нихскладываться: хотя они и не понималипоначалу, о чём идёт речь (когда я стал

Рис. 124. Квадрат площади 8 ·8=64 разрезается на части, и из них складывается прямоугольникплощади 5 ·13=65. Откуда взялась лишняя клетка?

говорить про площадь) и не догадыва-лись, что площадь комнаты получаетсяпроизведением сторон, но всё же появ-лениюлишнейклеткиочень удивились.Секрета я им, конечно, не раскрыл.

Я думал, что мы просто где-то ошиблисьв подсчёте и много раз пересчитывал разнымиспособами, но ничего не помогало. — Дима.

Очень смешной был момент, когдаДима принялся подсчитывать количе-ство клеток на шахматной доске. Поче-му-то наиболее естественный способсчёта, полосками по 8 клеток, ему в го-лову не пришёл. Сначала он стал счи-тать по спирали (рис. 125); естественно,после нескольких витков он сбился,пошёл не на ту линию. Петя ему на этоуказал, возник спор, и в итоге оба забы-ли, куда двигаться дальше и сколькоклеток уже сочтено.Тогда Дима выбрал другой способ

счёта — <углами> (рис. 126).—В первом уголке, — сказал он, —

16 клеток (два раза по 8), во вто-ром — два раза по семь и т. д.Я попытался довести до конца с ним

это решение, чтобы получить в итоге16+14+12+ . . .+4+2=72 клетки(хотя в конце уже становится очевидно,что вместо 4 должно идти 3, а вместо2 — 1), но тут он сам заметил ошибку.Далее, идя по нечётным числам, т. е.рассматривая сумму 15+13+11+ . . . ,мы вспомнили, что таким образом на

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 173 — Сумма нечётных чисел

прошлом занятии получили квадрат-ные числа, и, достав один из листков,нашли на нём число 64. Потом всё жеполучили этот ответ последовательнымудвоением: 8 ·2=16, 16 ·2=32, 32 ·2==64 (при этом Дима показывал надоске две полоски, затем полдоски,и в итоге всю доску).

Задание 2. Римские цифры. Запи-сали ещё несколько чисел римскимицифрами.

Чтение.ДочиталидоконцаглавуДеп-мана, в середине которой остановилисьна позапрошлом занятии. В частности,прочитали про систему записи чиселу майя. Я вот думаю: порешать на этутему несколько задач в следующий раз,или это уж чрезмерная экзотика?

Занятие 75. Об индейцах майя

5 декабря 1983 года (понедельник). 1700—1810(1 час 10 мин.). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Сумма нечётных чисел.Я сказал мальчикам, что задачу о сло-жении всех нечётных чисел от 1 до 99Дима решил, и предложил Диме рас-сказать решение.К моему огорчению, Дима понёс

какую-то совершеннейшую ахинею.Он стал говорить так:—Нужно прибавить 1 — получится

сто — и поделить на 4 — а потом

????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Рис. 125. Идя по спирали, конечно, можнососчитать количество клеток на шахматнойдоске, но очень легко сбиться.

опять умножить на 100 — и получит-ся 2 500.Естественно, никто ничего не понял.

Я стал добиваться объяснений: почемуто, почему сё? Он сказал, что он этоуже забыл. Потом сказал:—Ну,даймнебумагу.Вот,берём199...Я понял, что пора его прервать, и стал

объяснять сам: складываем 1+99, за-тем 3+97, затем 5+95 и т. д, каждыйраз получаем 100... Мальчики тупосмотрят на меня: видно, что это неподсказывает им никакой идеи.— Значит, еслимыподсчитаем, сколь-

ко там было сотен, то и узнаем ответ!—Ой-ой-ой, как это?—Ты неправильно объясняешь, —

вмешивается Дима. —Нужно поделитьна 4 и...—Но почему, почему поделить на 4,

ты можешь мне объяснить?!—Потому что когда мы складывали

все числа, тогда я делил на два; по-лучалось 5 000.— 5 000?! Вот и неправильно!—Как это неправильно?—Ничего не понимаю, — заявляют

хором бедные Петя и Женя.Вот так мы и возились полчаса, и я

с большим трудом втолковал решениеПете. Женя, по-моему, так ничего и непонял, а только хихикал, фыркал,фукал и говорил:—Ой, я опять запутался.

Рис. 126. Этот способ всё-таки немножко по-лучше, хотя и он не самый простой.

Игры по дороге в школу — 174 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

А с Димой мы чуть не поругались,так как лившийся из него поток словникак не удавалось остановить. Не-ожиданное испытание.Просто поразительно, насколько

умение связно излагать свои идеи на-ходится выше уровнем по сравнениюс умением эти идеи открывать.

За пару дней до занятия папа предупредилменя, что попросит рассказать моё решение накружке. Я немного испугался: на самом делекаждую задачу типа <сложить все числа от 1 до100> мне приходилось решать заново. Я зналобщий принцип: нужно сложить первое числос последним, второе с предпоследним и т. д.Но дальше приходилось напряжённо думать:0+100=100, 1+99=100, 2+98=100, . . .Чем кончится этот ряд? Сколько в результатеполучится сотен? Одним словом, я решил под-готовиться и вывел такое правило (на примересуммы 1+3+5+ . . .+99):

(а) Прибавить 1 к 99. Получится 100.(б) Поделить 100 на 4. Получится 25: это число

сотен, которые надо складывать.(в) Умножить 25 на 100. Это и будет ответом.

Аналогичное правило я придумал и для суммы1+2+. . .+100, да только неверно. После этого яждал кружка, уже не боясь ошибиться... — Дима.

Индейцы майя. Вторая половина за-нятия была не столько математическая,сколько историческая. Мы обсудили,почему жители Америки называлисьиндейцами, проследилипо глобусупутьКолумба и Магеллана, потом посмо-трели картинки в книгах Кинжалова<Культура древних майя> и Ч. Галлен-кампа <Майя: загадка исчезнувшейцивилизации> — разные дворцы, пи-рамиды и проч. Потом в этих же двухкнигах, а также в книгах И. Фридриха<История письма> и И. Гельба <Опытизучения письма> посмотрели образцырукописей майя. Я рассказал, как былиразрушены все эти дворцы, сожженырукописи, что сейчас их осталось всегочетыре, и как поэтому трудно было рас-шифровать письменность майя. Рас-сказал, наконец, как в расшифровкепомогли вычислительные машины(связав это с нашими занятиями шиф-рами и объяснив на этом примере,как могла бы помочь вычислительнаямашина).После этого мы, наконец, перешли

к системе записи чисел. Я решил, что

это будет вещь забавная и полезнаясразу в нескольких отношениях (этоя отвечаю на свои собственные сомне-ния в конце предыдущего занятия).Во-первых, следует культивироватьинтерес и желание заниматься б е с-п о л е з н ы м и вещами, если они за-нимательны — это правильный стильжизни. Во-вторых, нужно приучать де-тей при чтении книг не просто киватьголовой и следовать дальше, веря авто-ру на слово, а вдумываться и разби-раться в деталях. Наконец, в-третьих,данная конкретная задача полезна втом отношении, что представляет собойдвадцатеричную систему счисления ипоэтому может служить хорошим мо-стиком к изучению систем счисления.Следует отметить, что мальчики пока

не уловили общего принципа записичисел по системе майя, так что этимнадо будет позаниматься ещё.

Картинки — фракталы. В заключе-ние мы рассматривали картинки из по-трясающе красивой книги: B. B. Man-delbrot <The Fractal Geometry of Na-ture>. Сначала я рассказал мальчикамо том, что совсем близко от нас, в 17-ммикрорайоне Ясенева живёт великийматематик Владимир Игоревич Ар-нольд, которому эту книгу подарил ав-тор. Арнольд дал её посмотреть МишеШубину, тот—мне, а я—им (ребятам).Потом сказал, что вычислительные ма-шины умеют не только считать и рас-шифровывать древние рукописи, нои рисовать. После этого мы рассма-тривали картинки — многочисленныепримеры фракталов из книги.

Игры по дороге в школу. Сложиласьтакая традиция, что, когда я провожаюмальчиков (Диму и Петю) в школу, мыиграем в разные математические игры.Одну игру придумал сам Дима: онназывает три числа и ещё три числа,например: 2, 3, 5 и 7, 1, 4; требуетсяпридумать такие операции над первойтройкой и над второй, чтобы полу-чить одинаковый результат (в нашемпримере (3+5):2=7+1−4). Потомпартнёры меняются местами — второй

7. Кружок с мальчиками — последние полгода — 175 — Числа майя

предлагает числа, а первый подбираетоперации. В эту игру мальчики началииграть без меня, так что я о ней узналтолько на третий день её существо-вания. Для второй игры отправнойточкой послужила моя задача: <Петяи Дима задумали одно и то же число.Петя поделил его на 2 и отнял 3, а Ди-ма, наоборот, поделил на 3 и отнял 2.В результате они получили одно и то жечисло. Какое число было задумано?>.Теперь мальчики придумывают бес-численные модификации этой задачи.Вот, например, одна, придуманная Ди-мой: <Я задумал число, поделил на 2,потом прибавил 15 и получил заду-манное число. Что я задумал?>.Между прочим, в процессе решения

мы обсуждаем вопрос о том, чему равны

произведения 2 ·0, (−1) ·(−1),12· 12.

В первых двух случаях я привёл ре-бят к ответу наводящими вопросами,а в третьем случае Дима догадался дорезультата сам, объяснив это так:—Если полбуханки хлеба взять пол-

раза, то получится четверть буханки.

Занятие 76.Всё когда-нибудь кончается

12 декабря 1983 года (понедельник). 1700—1800(1 час). Дима, Петя, Женя.

Задание 1. Задачи №№ 12, 13 изкниги В. П. Труднева <Считай, сме-кай, отгадывай>. Перед задачей № 14мы остановились, так как в ней речьидёт о делении с остатком, и мы дажеразобрали вопрос о том, какой самыйбольшой остаток может получитьсяпри делении на 4.

1 2 4 8 16 32 64 128 . . .

1 3 7 15 31 63 127 . . .Рис. 127. В верхнем ряду — степени двойки, в нижнем — их суммы. Видно, что сумманескольких степеней двойки равна следующей степени минус 1.

Между прочим, оказалось, что Димаопределяет остаток от деления 19 на 4так: 19 на 2 не делится — получаемостаток 1; делим 18 на 2, получается 9;9 на 2 тоже не делится — получаем востатке ещё 1; значит, остаток равен 2.Он был очень удивлён, что получаетсяпо-настоящему не 2, а 3.

Задание 2. Суммирование степенейдвойки. Сначала я рассказал мальчи-кам легенду об изобретателе шахмат, отом, как он попросил в награду дать емуза первую клетку доски одно пшенич-ное зёрнышко, а за каждую следую-щую — вдвое больше, чем за преды-дущую, и что из этого вышло. Потоммы вычисляли и записывали степенидвойки. Потом суммировали их, икаждый результат записывали подсоответствующим числом (рис. 127).Потом я предложил ребятам угадать

закономерность. Первый это сделал иобъяснил Петя. Следующие несколькосумм (после 511) мы записали, ужене считая. Дима вызвался прямо несходя с места считать дальше, до 264.Мне удалось его остановить.

Только на кружке. После кружка я всё-такирешил посчитать и действительно досчитал.Считал несколько дней, на разных листочках.Проверять папа, конечно, не стал, но коли-чество цифр и последняя цифра получилисьправильные. Когда я досчитал, то уже забылвсё, о чём мы говорили на кружке и решил, чтоя посчитал только количество зёрен на послед-ней клетке. Даже когда папа стал мне напоми-нать, что это и есть сумма, я не понял. — Дима.

В заключение я связал эту задачус задачей суммированиянечётныхчисел(что, мол, заметив закономерность,можно сильно упростить вычисления).

Задание 3. Числа майя. На этот разя не стал делать так, чтобы мальчикисами по очереди придумывали числа,

Заключение — 176 — 7. Кружок с мальчиками — последние полгода

а называл числа сам, причёмшёл почтиподряд по натуральному ряду. Детиусвоили систему лучше, чем в первыйраз, но всё же опять не до конца. Меж-ду прочим, мы обнаружили неодно-значность в записи чисел. Например,числа 105 и 200, согласно принятойсистеме, должны записываться одина-ково. Возможно, что для записи числа105 верхнюю палочку нужно рисоватьна большем расстоянии от нижней —но это только моя гипотеза (впрочем,мальчики выдвинули такую же).

Индейцы майя записывали числа следующимобразом*. Единица обозначалась жирной точкой;2 — две точки, 3 — три точки, 4 — четыре точки.Далее, число 5 обозначалось горизонтальной чер-той; 10 — две черты; а, скажем, 13 — две чертыи над ними три точки. Наконец, для числа 20было довольно сложное обозначение: точка, а подней — человеческий глаз (мы с детьми рисовалипросто овал). Глаз вообще исполнял роль нашегонуля; только увеличивал он число не в 10 раз,а в 20. Число, а под ним глаз, означало: взятьстолько раз по 20. Число, а под ним два глаза —взять столько раз по 400. Вот теперь и спра-шивается: глаз и над ним две палочки — эточто: 10 раз по 20 или 5 раз по 20 плюс ещё 5(рис. 128)?

В этих упражнениях, так же каки в упражнениях на римские цифры,Петя опережает Диму.

Чтение.Начали читать главу из кни-ги Депмана, посвящённую ДревнемуЕгипту. Глава большая, так что мы недошлидаже до половины.Попутно я имрассказывал про египетские пирамиды,

* Об устройстве этой системы я прочиталв уже упоминавшейся ранее (стр. 138) книжкеГлейзера для IV—VI классов. Позже из болеесолидных источников я узнал, что на самом делесистема записи чисел у майя была несколькосложнее: кроме основания 20 в ней важную рольтакже играло число 18. Но к нашему рассказуэто прямого отношения не имеет.

.1..2...3....4 5

.6

..7

...8

....9 10

.11

..12

...13

....14 15

.16

..17

...18

....19

.20 105 200

Рис. 128. Запись чисел по системе майя. Обозначения для чисел 200 и 105 — гипотетические:разъяснений на этот счёт мы ни в каких книгах не нашли.

про семь чудес света и т. п. Места, ка-сающиеся дробей, дети не поняли. За-одно я упомянул про расшифровкуФ. Шампольоном египетской письмен-ности, и про то, насколько его задачабыла труднее моей, — я ведь знал,на каком языке написано письмо, и,кроме того, расшифровывал буквы,а не иероглифы. Впрочем, историче-ский экскурс в следующий раз полез-но расширить и показать побольшекартинок про Египет.

Заключение

Прошедшее занятие было последнимв этом году (о чём я и объявил ребятам):14 декабря я уезжаю в командировкупочти доНового года. В следующем годуу меня добавится сразу два кружка:один— с девочками, и второй— вшко-ле, в Димином классе. В этих условияху меня вряд ли хватит энергии продол-жать дневник. К тому же по его содер-жанию видно, что наши занятия всёбольше и больше переходят на рельсыобычного школьного кружка со стан-дартными темами и, следовательно,постепенно теряют свою уникальность.Так что я решил поступить вот как.Данный дневник я сегодня вести за-канчиваю, и это его последняя стра-ница.Зато, по-видимому, следует пере-

ключиться на дневник про девочек,и особенно тщательно записать на-чальный этап, не отражённый в этомдневнике. Вот таковы планы.

13 декабря 1983 года.

8В школеи домаНаш кружок собирался ещё несколь-

ко раз, но записей об этом почти неосталось. Ниже я вскользь упоминаюо нескольких задачах, которые показа-лись мне достаточно интересными. Од-нако с Димой мы продолжали зани-маться — без всякого ритма и системы,часто урывками, но на небольшуютетрадочку набралось.Во втором разделе этой главы — не-

сколько разрозненных историй и на-блюдений, касающихся первых клас-сов в двух разных школах.

Беседы о математике,перемежающиеся грустнымирассуждениями о школе

3 октября 1983 года. После первогомесяца вшколе. [Записано после 68-гозанятия (стр. 160) — когда мы решализадачу о мальчике, которому в буду-щем году исполнится 13 лет.]Мне почему-то до самого последнего

времени казалось, что на Диму школане подействует так, как она действуетна других ребят (страшно применятьк нему слово <отупляюще>, поэтомускажем так: <негативно>). Однако впоследнее время я начинаю замечатьу него некоторые сбои.Так, недавно, он у меня спросил:—Папа, а 4 недели — это сколько

дней? Нужно к 228 четыре раза при-бавить по 7 или четыре раза отнять?Я так и не смог у него добиться,

откуда он взял число 228.В другой раз мы вместе шли из шко-

лы и вычисляли, может ли один учи-

тель вести уроки физкультуры во всейшколе. Он очень плохо понимал, чтои зачем надо делать, не мог сосчитатьколичество уроков в неделе, не знал по-том, следует делить на 2 или умножать(2 урока в неделю в классе) и т. п.Вот и сегодня он тоже был не на вы-

соте. И не в том дело, что он сообра-жал медленнее, чем раньше, а в том,что его поток гипотез был менее ин-тенсивен, чем обычно, и они былименее разнообразны.Характерен в этом отношении рас-

сказ Гали З. о своём сыне. В их учеб-нике (кажется, второго класса) есть такназываемые<задачинестандартного со-держания>. В течение года ни одну изэтих задач Лёва решить не мог. Одна-ко началось лето, и через две неделиканикул он легко решил все задачидо единой: что-то его <отпустило>.

Ноябрь 1983 года. Школа наводитужас. [Записано в те дни, когда Димасложил все нечётные числа сначалаот 1 до 99, а потом от 1 до 999.]Так случилось, что в день занятия

кружка (17 ноября) Дима поздно вер-нулся из школы, а погода была оченьхорошая, и я после обеда выпустилего погулять. Поэтому уроки он сталделать после кружка, и контраст междуего успехами на кружке и в школеоказался особенно ярким. Дело в том,что оценки первоклассникам начина-ют ставить только со второй четверти,т. е. с 10 ноября. За прошедшую неделюДима получил четыре оценки по мате-матике.Вот они в порядкепоступления:3−, 2, 3, 2. Как раз в четверг, 17-го,Дима получил свою тетрадь домой: мыкак родители двоечника должны былирасписаться возле каждой оценки, что-бы показать, что мы с его успехамиознакомлены.В чём же дело? Я внимательно про-

смотрел его тетрадь. Исписано околотрети. Прежде всего хочется отметить,что в ней нет ни одной — подчёркиваю,ни одной — арифметической ошибки.Я был даже удивлен: я привык, чтов счёте он нередко ошибается. Наи-

Как записать задачу? — 178— 8. В школе и дома

высшая оценка — тройка — стоит зарешение <примеров>, т. е. за чистыевычисления типа: 9−4−3=2. Здесьпретензии только к почерку. Написалбы красиво — вполне мог бы полу-чить 5. Остальные оценки — за задачи,и с ними дело хуже. Конечноже, все за-дачи решены правильно — этот фактя выношу за скобки (и, видимо, учи-тельница его выносит за скобки тоже).Однако з а п и с ь — вот в чём кореньзла! Есть, конечно, замечания и по по-черку, но не они главное. Замечаниядругого рода таковы (я смешиваю водну кучу <ошибки> из разных задач):слово <задача> написано с маленькойбуквы; после него не стоит точка; слово<ответ> тоже с маленькой буквы; в дру-гом месте вместо <ответ> написано со-кращённо <от.>. После слова <ответ>следует ставить двоеточие; сначала Ди-ма этого не заметил, потом после моеговопроса, заданного дома, специальнов школе посмотрел; оказалось, двое-точие таки нужно. Но на следующийраз он поставил его не там — написал<Ответ 6 : р.>. (Какой смысл длянего в этом знаке?) Тонким моментомявляется также употребление имено-ванных величин (а они у них сейчастаковы во всех задачах). Допустим,нужно сложить 3 и 4 коровы. Тогдав так называемой к р а т к о й з а-п и с и у с л о в и я з а д а ч и нужнонаписать соответственно 3 к. и 4 к.,например:

На лугу — 3 к.На поле — 4 к.

)

-------------+

?

Затем, в момент выполнения действия,размерность исчезает: 3+4= . . . Ко-гда же получается результат, то размер-ность появляется снова — но на этотраз обязательно в скобках: . . .=7 (к.).(В принципе — вполне разумно, ина-че слева стояли бы безразмерные ве-личины, а справа — уже коровы. Ночто понимают в этом первоклашки?)Наконец, в ответе это самое <к.> пи-шется опять без скобок. Дима поначалуне разобрался в этой системе и иногда

писал лишние скобки где не надо, аиногда забывал поставить размерностьвообще. Трудности вызывает такжеместо для вопросительного знака. Еслив задаче спрашивается, сколько штукчего-то у кого-то, то и знак вопросаставится в той же строчке, например:

На поле — ? — на 1 к. больше.

Если же требуется узнать суммарноеколичество, то к обеим строчкам ста-вится квадратная скобка, и знак во-проса после неё— как в примере выше.В этом случае, кстати, сразу ясно, чтозадача — на сложение. Однако Димаэтой условности тоже не уловил. Он неприписывал квадратной скобке ника-кого определённого смысла, или пони-мал её интуитивнокак то, что <требуетсячто-то узнать>. В результате он иногданавешивал эту скобку и на задачи навычитание (это уже было не в школь-ной тетради, а в наших тренировках).Одним словом, как читатель уже до-

гадался, мы приступили к трениров-кам. Алла задала Диме такую задачу:<У Светы было 8 ромашек; 3 она пода-рила другой девочке; сколько ромашеку неё осталось?>. (Это после наших-топрогрессий!) Требовалось, конечно, нерешить эту задачу, а правильно за-писать условие и решение.Сначала всё шло гладко: слово <За-

дача> он написал с большой буквы, иточку не забыл. Дальше возник спор;я считал, что следует писать: <У Све-ты — 8 р.>, а Дима утверждал, что онивсегда в таких случаях пишут <Све-та — 8 р.>. Вопрос отнюдь не празд-ный — ведь и за гораздо меньшие от-клонения от формы оценка снижается.Мне это показалось странным, но,в самом деле, предыдущие задачи былизаписаны именно так. Я отступил, хотяи не был твёрдо уверен в его правоте.Написав первую строчку, Дима на-долго задумался, и тут я в п е р в ы ев ж и з н и услыхал от него то, что,думал, не услышу вообще никогда:—Мы т а к и х з а д а ч е щ ё н е

р еш а л и.

8. В школе и дома — 179 — Двоичная система счисления

Что такое?!! Оказывается, непонятно,как записать вторую строчку условия.Если написать

Света — ? — на 3 р. меньше.

то это вроде бы противоречит первойстрочке.—Нужно обязательно, чтобы у к о-

г о - т о д р у г о г о было меньше, —объяснил нам Дима.Внутренне схватившись кто за голо-

ву, кто за сердце, мы с Аллой сталименять условие: <...А у Гали на 3 ро-машки меньше>. Это, однако, не лик-видировало всех вопросов. Нужно липисать тире п о с л е вопросительногознака или только перед ним? Следуетли писать <На 3 р. меньше.> с большойбуквы? Я чувствовал себя совершеннобеспомощным. А ведь одновременнонужно писать красиво, аккуратно,п и с ь м е н н ы м и б у к в а м и —в точности такими, каким их учат, нона бумаге в клетку, а не в линейку.Можно лишь удивляться, что за всемиэтими проблемами Дима всё же сумелправильно вычесть 3 из 8. Между про-чим, считать их учат тоже не лишьбы как.—Вот, например, нужно сложить

7 и 3, — рассказывает Дима. —Но еслиты сложишь7+3, это будет неправиль-но. Нужно складывать так: 7+2+1.(Я в этот момент ему не поверил, стал

спорить, но дальнейшие примеры убе-дили меня в том, что он говорил прав-ду.)Аеслинужносложить 6и4, тонуж-но складывать 6+2+2. Вот, например,Ольга Ильинична спрашивает:—Сколько получилось?— 10.—А как ты считал?— 6+4.—Садись, неправильно. А ты как

считал?— 6+1+1+1+1.—Садись, неправильно! А ты?—6+2+2.—Правильно!—Ну, а ты как считаешь? — спро-

сила Алла.

—Ну, я вообще-то считаю 6+4, нокогда у меня спрашивают, отвечаю, чтосчитал 6+2+2, — сказал Дима и самзасмеялся от того, какой он хитрец.Видимо, методика обучения счёту со-

стоит в том, чтобы идти по натураль-ному ряду с шагом 1 или 2. Возможно,для тех детей, которые ещё совсем неумеют считать, это и имеет какой-тосмысл. Но это тупое чудовище (я имеюв виду школу — учителя в этом не ви-новаты) заставляет всех повиновать-ся своим примитивным принципам.И некуда деться!

30 декабря 1983 года. Умножениестолбиком. Научил Диму умножатьи складывать столбиком. Подсчиталиколичество секунд в году (точнее, в365 сутках). Теперь он каждый деньсам придумывает себе задачи на ум-ножение и решает их. Много ошибок.

2 января 1984 года. Двоичная си-стема счисления. По дороге в кинои обратно освоили двоичную системусчисления. Предложение исходило отДимы: система майя не понравиласьему тем, что добавление <глаза> уве-личивает число сразу в 20 раз (слиш-ком много). Было бы проще, если быдобавление нуля увеличивало число,скажем, в 2 раза. Однако он не до-гадался сам, что для такой системытребуются всего две цифры: для этогопотребовались наводящие вопросы.Потом всю дорогу представляли все

числа в двоичной системе, а такжеподмечали разные закономерности(например, какие числа записываютсяодними единицами).Вечером он толковал Алле, что быва-

ет ещё троичная, <четыричная> и пяте-ричная системы и т. д., хотя у нас с нимразговора об этом не было. Про вычис-лительные машины я ему рассказал.[Вопросы о ц е л е п о л а г а н и и

обладают собственной логикой; поэто-му так трудно передать другому чело-веку свою систему ценностей. Вообра-зите себе некое общество, в которомуважают только людей с большимипортфелями — и чем больше портфель,

Двоичная система счисления — 180— 8. В школе и дома

тем больше уважение. Вы хотите убе-дить членов этого сообщества в том,что их критерий уважения неправилен.Но сначала вам нужно добиться того,чтобы они вообще стали вас слушать,чтобы ваше мнение оказалось для нихдостаточно авторитетным. А для этоговам скорее всего придётся сначалаобзавестись большим портфелем.В роли такого вот сообщества до не-

которой степени выступаю я сам. Я ко-лебался: следует ли заниматься очевид-но бесполезными вещами? Например,записывать числа по системе майя?Возможно, ещё более выходящим зарамки разумного выглядел этот сюжетдля читателя. И вот — ответ на моисомнения найден? <Да, заниматься бес-полезным можно и нужно, потому чтоэто... полезно! Ведь именно системамайя натолкнула Диму на идею дво-ичной системы. А уж полезность-тодвоичной системы никто отрицать неможет>. Остаётся только неясным, хо-рошую ли я службу сослужил самомусебе таким рассуждением или наобо-рот. Укрепил ли я весомым аргумен-том идею о том, что в жизни стоит за-ниматься бесполезными вещами, илитолько расшатал её ещё больше?]

5 февраля 1984 года. Я репети-торствую. Дима около часа просиделу меня на уроке с десятиклассником.Перед этим заглянул в список ответов.Там стояло: x<−2, x>0. Он спросил,

Рис. 129. Несколько экзотический, но вполне работающий способ определения площадипрямоугольного треугольника.

как это так может быть, чтобы x быломеньше −2 и больше 0. Я объяснил.Тогда он на нескольких примерахуточнил, правильно ли он понял моёобъяснение; в том числе спросил програничные значения −2 и 0. Сказал:— Значит, из целых чисел только

три не годятся?—Какие?—−2, −1 и 0.—Правильно. А из дробных?—Ну, дробных можно сколько хо-

чешь придумать.Такимобразом, онпонял этотматери-

ал лучше, чем мой абитуриент Дима П.11 февраля 1984 года. Площади раз-

ных фигур. (На одном из занятийкружка.) Обсуждали разные разности,касающиеся площадей, например, раз-биение единицы площади на болеемелкие части. Среди прочего, взвеши-вали разные вырезанные из бумагифигуры на аптекарских весах. Потомзанялись определением площади пря-моугольного треугольника. Я, разуме-ется, в конце объяснил стандартныйспособ — достраивание до прямоуголь-ника. Но перед этим мальчики пред-ложили свой собственный метод, не-сколько вычурный, но тоже дающийправильный результат (рис. 129).

16 февраля 1984 года. Странно: дво-ичная система проще дробей? Вчераи сегодня Дима занимался тем, чтоперемножал числа в двоичной системе

8. В школе и дома — 181 — Квадрат площадью в 2 клетки

(в столбик), а затем проверял результатв десятичной системе. Занятие это онсебе придумал сам. Умножал, скажем,10 на 100 или 1 000 на 1 000, а потомпроверял, получится ли 1 000 или, со-ответственно, 1 000 000. Существенното, что он совершенно самостоятельнопонял, как при сложении большогочисла единиц переносить их сразу внесколько разрядов (<1+1+1+1 —пишем0, сюда запоминаем0, а сюда1>).Ошибки, однако, допускал, забывая, чтов какой разряд запомнил. Я его научилперенесённые знаки записывать снизу.Сегодня обсуждали связь двоичной

системы с восьмеричнойи сшестнадца-теричной. Он тоже всё понял. А вот

сравнить по величине35

и47

никак не

может. Слишком формальный стильмышления: всё время пытается приду-мать, какие действия надо совершить, ав содержание понятия не вдумывается.

20 февраля 1984 года. Квадрат пло-щадью в 2 клетки. (Снова на кружке.)На этот раз меня удивил Петя. Я далтакую задачу: построить квадрат пло-щадью ровно в 2 клеточки. Сначала

Дима пробовал

�

1+12

�

2(рис. 130

слева) и

�

1+14

�

2(рис. 130 в центре);

оба раза правильно подсчитал площадьи понял, что 2 не получается. Я ду-

Рис. 130. Первая попытка (слева): сторонаквадрата равняется1 1/2, а площадь складываетсяиз однойцелой клетки, двух половинок и ещё одной четверти, т. е. равна 2 1/4. Вторая попытка (в центре):

сторона равна 1 1/4, а площадь получается равной 1+24

+116

=1916

. (Рассмотрите сами квадрат

со стороной 1 1/3.) Наконец, площадь квадрата, показанного справа, равняется в точности двумклеткам: видно, что он состоит из четырёх половинок клетки, имеющих форму треугольника.

мал — вот я сейчас поражу ребят своимрешением! Но тут почти тотчас жеПетявзял и нарисовал правильный ответ(рис. 130 справа)*.На днях мы с Димой обсуждали ир-

рациональность√2. Он задавал очень

разумные вопросы:— Значит, число

√2−1 тоже такое?

А 2√2?

И тому подобное.Папа мне рассказывал доказательство, но я так

не понял.Во-первых, ономне показалось слишкомдлинным, а, во-вторых, я раньше никогдане встре-чал доказательств от противного. Предположили,что дробь несократимая, потом как-то туманновывели, что всё-таки сократимая. Вывод из этогопочему-то, что такой дробине существует.—Дима.

* Задача о площадях <косых квадратов> ока-залась необычайно богатой, но более подходящейдля детей постарше. В 1989 году в детском ком-пьютерном лагере в Переславле-Залесском мыс группой ребят 10—14 лет прозанимались этойтемой две недели. Она сама собой вывела нассначала на теорему Пифагора, потом на задачуЭйлера о том, когда треугольные числа равныквадратным (нужно, чтобы из одного и того жечисла камешков можно было сложить треуголь-ник и квадрат), отсюда к уравнению Пелля(решить в целых числах уравнение x2−2y2=1)и, наконец, к конкурсу на наибольшую пифаго-рову тройку чисел (целые числа a, b, c такие, чтоa2+b2=c2). Конкурс выиграл, как ни странно,мальчик Митя 9-ти лет. Позже, по мотивам этихзанятий, Митя задал нам вопрос о том, можно лисложить из одного и того же количества шаровпирамиду и куб. Эта задача сводится к совсем ужсерьёзной математике, которую даже в универси-тете не проходят — к арифметике эллиптиче-ских кривых. После некоторых усилий одному изпреподавателей удалось найти ссылку на статьюв научном журнале, где доказывалось, что кро-ме 1 таких чисел нет.

Системы счисления — 182— 8. В школе и дома

Чёт-нечет с умножением. На том жезанятии играли в такую игру: выкиды-вали пальцы и считали произведение;если оно было чётным, выигрывал я, аесли нечётным, выигрывалмой против-ник. Естественно, всегда выигрывал я.Дима сразу догадался (а может знал —непомню),Петя догадалсяоченьнеско-ро, а Женя вообще мало что понимал.

8 марта 1984 года. Деление уголком.Сегодня научил Диму делить уголком.Пока он усвоил метод не очень твёрдо.К концу дня выяснилось, что я забылнаучить его вычитать (т. е. заниматьиз старших разрядов в младшие — всёостальное и так ясно). Он придумалсвой способ: увеличивал уменьшаемоеи вычитаемое на столько, чтобы в млад-шем разряде цифра у уменьшаемогобыла больше (например, 50−47==57−54).

23—25 марта 1984. Системы счи-сления. Закончилась третья четверть,и Дима получил по математике чет-вёрку (вообще у него в этой четвертиединственная пятёрка — по физкуль-туре, а остальные — четвёрки). У егососеда Кости — тоже четвёрка по мате-матике (единственная; все остальные—пятёрки). Дима мне рассказывал, чтона последней контрольной Костя у не-го спрашивал, сколько будет 12−6.Будучи примерным учеником, Димане ответил, и Костя, после некоторогоразмышления, написал: 12−6=8.У меня возникла идея новой задачи,

и я спросил у Димы, в какой систе-ме счисления будет верно равенство12−6=8. Он сразу сказал, что системанужна не менее, чем девятеричная, что-бы была цифра 8. Дальше он долго го-ворил <не знаю, не знаю...>, повторивэти слова множество раз. К сожалению,в последнее время он всегда с этого на-чинает: сначала долго убеждает себяи всех, что задача у него не получится,а уж потом только её решает.После того, как я его пристыдил как

следует, задачу он всё-таки решили назвал двенадцатеричную системусчисления.

— Так что, — сказал я, — наверное,Костя просто решал задачу в двенад-цатеричной системе счисления.Дима потребовал ещё несколько та-

ких же задач и решил их. Следующиедва дня он придумывал для меня мно-жество аналогичных задач; например:в какой системе верно равенство

22−7=1Д ?

(В системах счисления с основанием,большим 10, он недостающие цифрыобозначал буквамирусского алфавита.)Ответ: в системе по основанию 19.Быстрота моих ответов очень удивлялаего: сам он решает задачи подбором.На некотором этапе у нас возник во-

прос, почему некоторые равенства вер-ны во всех системах счисления, в ко-торых они имеют смысл (т. е. в которыхсуществуют нужные цифры: например,32+23=55 в любой системе, начинаяс шестеричной), а другие верны тольков одной определённой системе счисле-ния.Первоначальнаяидея была уДимыкакой-то совершенно нелепой и не свя-занной с существом дела. Но потом онвсё-таки догадался, что всё зависит оттого, происходит ли переход из одно-го разряда в другой или же действиявыполняются независимо в каждомиз разрядов.Когда он всё правильно объяснил,

я не удержался и сказал обнадёжи-вающим тоном:—Молодец! Может быть, ещё вы-

тянешь на пятёрку по математике.Март, апрель, май. Все эти месяцы

Дима постоянно клянчил у меня ми-крокалькулятор и что-то на нём считал.По дороге он усвоил и продолжаетусваивать много разных понятий. Сна-чалаусвоил, что такое десятичнаядробь.Затем узнал операцию возведения в(целую) степень. Узнал число π и чтооно означает. Затем по его просьбея ему рассказал, что такое градусноеи радианное измерение углов. Потомобъяснил, что такое синус.—А где обратный синус? — спросил

он таким само собой разумеющимся

8. В школе и дома — 183— Системы счисления

тоном, как будто идея обратной функ-ции уже давным-давно ему известна.Представление числа в виде пары

(мантисса, порядок)пока емуне даётся.Иногда он решал и содержательно

осмысленные задачи, например, <сколь-ко секунд в году?> или <сколько днейя прожил?>, но это бывало редко.Очень много он занимался задачей о<числах-градинах>* (см.журнал <Вми-ре науки>, № 3, 1984). Речь идёт опоследовательности un, заданной ре-куррентным соотношением:

un+1=8

>>>><

>>>>:

un/2, если un чётно,3un+1, если un нечётно.

Если начать с числа u0=1, мы по-падём в цикл 1→4→2→1. Поэтомуестественно ввести такое правило: по-пав в 1, останавливаемся. Посмотрим,например, что будет, если мы начнёмс числа 7:

7→22→11→34→17→52→26→13→→40→20→10→5→16→8→4→2→1.

Если начать с числа 27, то придётсясделать уже более сотни шагов; нашапоследовательность попадает в далёкиетысячи, но потом всё равно возвраща-ется обратно и приходит в число 1.Нерешённая проблема как раз в томи состоит, чтобы выяснить, п о п а д ё мл и м ы в 1, н а ч и н а я с л ю-б о г о ч и с л а. Вот этот факт Димаи проверял для разных начальныхзначений**.В остальном его занятия носили до-

вольно бессмысленный характер. На-пример, десяткираз онпроделывал однои то же вычисление степеней двойки.На прогулках, когда он приставал ко

мне, чтобы я дал ему какую-нибудьзадачку, я в основном давал ему зада-чи про дроби. Сначала дело шло оченьтуго, или, правильнеесказать, совсемне

* Эта задача впоследствии стала очень зна-менитой и получила множество разнообразныхназваний (например, <сиракузская задача>).По сей день она так и остаётся нерешённой.** С помощью компьютера проверено, что

эта гипотеза верна по крайней мере до 2,7 ·1016.

шло. Потом он что-то начал соображатьи постепенно дошёл до такого уровня,что стал почти всегда давать правиль-ные ответы на задачи такого типа как12− 1

3,15+

16,35+

47

и т. п.

Однако, какие он при этом произво-дит действия, я не знаю, а объясненийего не понимаю. Такое впечатление, чтоон каждый раз поступает по-разномуи общей идеи приведения к общемузнаменателю пока не понял (т. е. непридумал).

Если я правильно помню, то я фактическиискал общий знаменатель. А именно: я брал12

и13

от любого числа, от которого это

легко — например, от 6 или 12, вычиталодно из другого, и снова делил на это число.Почему получится всегда одно и то же, я незнал, но знал по опыту, что всегда получаетсяправильно (т. е. папа говорит, что правильно).Число это я просто подбирал, но старался,чтобы оно было поменьше. Поэтому чаще всегооно было действительно наименьшим общимзнаменателем. — Дима.

После одной из просьб дать ему за-дачку я сунул ему книгу Трудневаи сказал, чтобы он сам себе искал за-дачки. Несколько дней он решал под-ряд задачи из этой книги, потом емувсё же надоело. Видимо, важна нетолько и даже не столько математика,сколько <математическое общение>.И ещё во время болезни он попро-

сил показать ему учебник математики2-го класса. Я принёс, а также 3-гои 4-го. Но он их просмотрел довольнолениво, нигде не вдумываясь в содер-жание.Вообще у меня такое впечатление,

что если бы я с ним занимался, каквшколе, каждый день по одному уроку,то мымогли бы за следующий год прой-ти программу класса примерно до 8-го.Но я, естественно, этого делать не буду.Мне кажется, что такие занятия допу-стимы только лет с 11—12, не раньше.[Здесь надо бы дать небольшое по-

яснение, что я имею в виду, говоряо т а к и х занятиях. Я имею в видуне их систематичность, а их <инструк-тивный> характер. Как если бы я,

Вступительная задача на физфак — 184— 8. В школе и дома

например, сам рассказал ему, что та-кое общий знаменатель и как склады-вать и вычитать дроби. Это заняло быне более получаса, и он бы уже давновсё умел. Но вместо этого я пытаюсьдобиться от него, чтобы он сам всё этопридумал, и в результате дело растяну-лось уже почти на год. Мне кажется,что инструктивное обучение вполне до-пустимо (и даже необходимо — иначедалеко не продвинешься), но толькос определённоговозраста—когда сфор-мируется то, что Пиаже называет <фор-мально-операциональными структура-ми>.]

10 июня 1984 года. Четвёрка за год.Сегодня получили Димин табель успе-ваемости. По математике у него за годвсё же четвёрка. Это единственнаяиз его оценок, которая кажется мненесправедливой. Самое обидное то,что учительница даже не подозревает,как далеко он ушёл вперёд по срав-нению со школьными требованиями.Откуда ей это знать?

17 июня 1984 года. Вступительнаязадача на физфак. Сегодня Дима ре-шил вступительную задачу из пись-менного экзамена на физфак МГУза 1983 год (вариант № 1, задача№ 4 — т. е. из разряда задач <среднейтрудности>*, промежуточных междулёгкими и трудными). Вот формули-ровка задачи:Если некоторое двузначное число по-

делить на сумму его цифр, то в частномполучится 7 и в остатке 6. Если то жечисло поделить на произведение егоцифр, то в частном получится 3 и в ос-татке 11. Найти это двузначное число.Произошло это вот как. Мой аби-

туриент Андрей П., которому я даюуроки, решить эту задачу не смог. Науроке в течение получаса я с огром-ным трудом втолковывал ему решение.Видимо, только моё раздражение еготупостью натолкнуло меня на мысль

* Обычно в письменных вступительных ва-риантах давали пять задач: три лёгких, четвёр-тую потруднее и пятую — трудную.

дать эту задачу Диме. Чтобы избе-жать зазнайства с Диминой стороны,я не стал совать ему книжку со всту-пительными вариантами, а выписалзадачу на отдельном листке. Первое,что он сказал, выслушав условие:— Значит, делили не менее, чем

на 12, да?(То есть то, что было главным кам-

нем преткновения для моего абитури-ента, было ему понятно само собой.)Затем задумался. Должен сказать, чтообстановка в доме не способствоваласосредоточенности. Сначала мы ужи-нали, потом он сидел на диване и ду-мал, а к нему приставала Женя, потомАлла заставила его позаниматься анг-лийским, потом он снова отгонялЖенюи т. п. Расскажу, как я сам решал зада-чу и как рассказывал её абитуриенту.Из первого условия получаем, что нашечисло имеет вид 7k+6, причём k≥7(иначе остаток от деления на k не мо-жет равняться шести). Перебираем всетакие двузначные числа: 55, 62, 69, 76,83, 90, 97. Для этих чисел проверяемвторое условие: оно выполняетсятолькодля числа 83. Ответ: 83.Я привёл здесь своё собственное ре-

шение потому, что в нём содержитсяодна тонкая ошибка. Меня совершеннопотрясло то, что Дима этой ошибки недопустил (так я и узнал о своей ошиб-ке — из его решения!). На самом делеискомое число должно не просто иметьвид 7k+6, но ещё k должно совпастьс суммой его цифр. Я этого совпаденияне проверял. В действительности пер-вому условию удовлетворяют не все течисла, что выписаны выше, а толькодва из них: 62 и 83.Через какое-то время после ужина

Дима сказал:—К первому предложению я ответ

нашёл, но он не подходит ко второмупредложению.—А какое число?— 62. Но если его поделить на 12,

то получается не 3 и в остатке 11, а 5и в остатке 2.—А как ты нашёл это число?

8. В школе и дома — 185— Вступительная задача на физфак

—Умножил 7 на 8 и прибавил 6.(Опять то, чего я никак не мог

объяснить абитуриенту.)—А почему сразу на 8, а не на 7?—На 7 я тоже умножал, тогда по-

лучается 55. Но у него сумма цифрне 7, а 10.—Гм-м... Да, в самом деле; дей-

ствительно... Хм-м...ФразаДимыо том, что он уже <нашёл

ответ> к первому условию, показывает,что он, как всегда, не заботится о том,чтобы найти в с е решения задачи(либо доказать единственность), а удов-летворяется первым найденным реше-нием, считая его ответом.Поэтомув этотмомент я придал ему некоторый толчок,без которого он, может быть, сам бызадачу до конца и не решил, застрявна числе 62. (А может и решил бы.)Я сказал только одну фразу:—Ты на правильном пути.Но до него вполне дошёл смысл ска-

занного: ты н а п у т и, т. е. нужнопроверять дальше.Через некоторое время он прибе-

жал ко мне и сказал, что получилосьещё 83, но только при делении полу-чается 3 (это правильно), а в остатке 5.Я сказал:—Проверь деление ещё раз.Он проверил:—Да, правильно, одиннадцать.

Прибежал я только для того, чтобы папамне сказал, действительно 83 не подходит, илинужно поделить ещё раз. Просто так делитьмне было лень. А когда папа сказал проверить,я понял, что должно получиться, и проверялдовольно халтурно. — Дима.

После этого я объяснил ему, что дляполного решения нужно довести про-верку до конца, чтобы узнать, нет лиещё решений. Мы вместе проверилиk=12 и 13.—А дальше? — спросил я.—А дальше уже не будут двузнач-

ные.Вот, собственно, и вся история. Оста-

ётся только добавить, что задача быларешена у с т н о, и что заняло этопримерно 40 минут (это <время брут-

то>, т. е. вместе с отвлекающими де-лами, а чистое время оценить трудно).После этого мы с Аллой долго решаливопрос, должны ли мы уже считать егогением, или всё же пока для такоговывода данных недостаточно.

Сентябрь 1984 года. Летом матема-тикой не занимались. В начале учебно-го года (это, значит, уже второй класс)Дима получил от меня несколько раз-ных задачек.(1) Эту задачу я уже упоминал ра-

нее: я её тогда давал в упрощённомварианте. Полторы курицы сносят пол-тора яйца за полтора дня. Сколькояиц снесут 9 кур за 9 дней?Сначала Дима, конечно же, сказал:—Девять.Затем, подумав сминуту, дал ответ 18.

Решение при этом было таким: 9 курв 6 раз больше, чем полторы, а 9 днейв 6 раз больше, чем полтора дня. Зна-чит, они снесут в 12 раз больше яиц.Умножаем 1,5 на 12 — получается 18.Я велел ему ещё подумать. Тогда ондогадался что 1,5 яйца следует умно-жать не на 6+6, а на 6 ·6, и далправильный ответ: 54.(2) Я рискнул дать ему известную

<рефлексивную> задачу:Встретились дваматематика, которые

давно не виделись, и один сообщилдругому, что у него трое сыновей.— Сколько же им лет? — спросил

второй.—Определи это сам: произведение

их возрастов равно 36.Второй математик отвечает:—Данных недостаточно.—Ну хорошо, тогда я добавлю, что

сумма их возрастов равна числу ска-меек в этом сквере.Второй (посчитав скамейки и не-

много подумав):—Данных по-прежнему недоста-

точно.— Тогда я добавлю, что мой стар-

ший сын — рыжий, — сказал первыйматематик.—А-а, ну вот это другое дело,— отве-

тил второй. — Твоим сыновьям... —

Сложение дробей — 186— 8. В школе и дома

и он правильно назвал возраст всехтрёх сыновей.Определить, сколько лет было сы-

новьям*.К сожалению, у Димы не появи-

лось даже и проблеска идеи решения.(3) Немного мы позанимались и дро-

бями. Три-четыре задачи он решилправильно, но каждый раз новым ис-кусственным приёмом. Застрял он на

вычислении разности17− 1

9и с этой

задачей так и не справился. Однакоздесь впервые появились намёки наверный путь: он пытался представить17

как214

или321

, а19

как327

.

Намёки, как я уже говорил, появилисьраньше, просто число 7 ·9=63 слишком боль-шое, и я не смог его подобрать. — Дима.

В школе его отметки по математикеколеблются в диапазоне от двойки дочетвёрки. Учительница (уже новая —не Ольга Ильинична, а Марина Ни-колаевна) сказала на родительскомсобрании:—Каллиграфия у нас теперь ста-

вится во главу угла.Это было сказано в процессе обсуж-

дения именно математики. Правда,каллиграфия понималась в широкомсмысле: где сколькоклеточек отступать,где ставить точку, а где нет, писать ли<Задача 32> или <Задача № 32>, иещё бесчисленное количество подобнойпремудрости. Кажется, официальноэто называется <единый орфографи-ческий режим>.

* Р е ш е н и е. Нужно разложить число 36на три сомножителя всеми возможными способа-ми: 1 ·1 ·36, 1 ·2 ·18, 1 ·3 ·12, 1 ·4 ·9, 1 ·6 ·6, 2 ·2 ·9,2 ·3 ·6, 3 ·3 ·4. Потом посчитать суммы этих со-множителей: 1+1+36=38, 1+2+18=21 и т. д.Оказывается, все эти суммы — разные, и толь-ко сумма 13 появляется два раза: 1+6+6==2+2+9=13. Поскольку второй математик,посчитав скамейки, сказал, что данных недо-статочно, мы делаем вывод, что сумма как разравна 13 (иначе данных было бы достаточно).Информация, извлечённая из фразы <мой стар-ший сын — рыжий>, состоит в том, что и м е-е т с я с т а р ш и й с ы н. Значит, ответ — 2,2, 9 (во втором варианте — 1, 6, 6 — старшегосына просто нет).

С сожалением должен отметить, од-нако, что Дима стал делать оченьмного арифметических ошибок. При-чин, по-видимому, сразу несколько:однообразие задач, аденоиды, темпе-ратура, общая затурканность...

25 октября 1984 года. Попытказаниматься более систематично. Попросьбе Димы (да и сам) решил за-ниматься с ним раз в неделю. Сего-дня — первое занятие.(1) Анализировали ошибку, кото-

рую он делал в вычислении суммы1+2+ . . .+n. Он придумал два раз-ных решения:

(а) 1+ . . .+10=(1+10)+(2+9)++(3+8)+(4+7)+(5+6)=5·11=55;

(б) 1+ . . .+10=(0+10)+(1+9)++(2+8)+(3+7)+(4+6)+(5+5)=

=6 ·10=60.

Он утверждал, что второе решение<неправильное, потому что нельзя на-чинать с нуля>.Ничего более разумногоон долго сказать не мог (примерно год),всё кивая на то, что это <из-за нуля>.Можно сказать, что это п е р е ж и-т о к н е п о н и м а н и я з а к о н ас о х р а н е н и я. Я заставил его вы-писать все действия аккуратно. Он всёравно долго не видел ошибки, но в кон-це концов всё-таки её обнаружил.(2) Решали разные задачи <с икса-

ми>.Он этопонимает о ч е н ь п л о х о.Хорошо бы это дошло до тех, кто заяв-ляет, что первоклассники якобы могутлегко оперировать с иксами. Я теперьтвёрдо убеждён, что это чушь. В школе,кстати, эти обозначения вводятся какдругой с п о с о б з а п и с и задачиили решения. Алгебраическая симво-лика является необычайно эффектив-ным и н с т р у м е н т о м р е ш е н и яз а д а ч. Но первоклассники об этомне догадываются. Просто среди необъ-ятного болота правил о том, что и какзаписывать и как обозначать, появля-ется ещё одно дополнительное прави-ло, лишённое какого бы то ни былосодержательного смысла.

8. В школе и дома — 187— Разные задачи

Интересно, что когда в задаче имеют-ся два неизвестных, Дима не понимает,что их следует обозначать разными бук-вами— скажем, x и y. То есть, не простоне понимает, а активно протестует:—Мы этого тоже не знаем, значит

это тоже икс.На дом я ему задал прочитать главу

из Перельмана <Занимательная алгеб-ра>— о составлении уравнений.Междупрочим, выяснилось, что он разучил-ся умножать и складывать в столбик!

6 ноября 1984 года. Общие знаме-натели. Занятие произошло неожидан-но на кухне после ужина. Дима нако-нец дошёл до идеи приведения дробейк общему знаменателю и научилсяскладывать и вычитать дроби. Однаконаличиеобщего знаменателя он воспри-нимает скорее как счастливую случай-ность (он находит его подбором). Я за-дал ему на дом подумать, почему общийзнаменатель существует в с е г д а.

18 ноября 1984 года. Ещё однавступительная задача.(1) Почему всегда найдётся общий

знаменатель, по-прежнему не понима-ет. Говорит на эту тему всякие глупости.(2) Разлагали числа 48, 216, 1 001

на простые множители. Дима искренненедоумевал, для чего мы всё это делаем.Про число 1 001=7 ·11 ·13 я сказал:—Правда, какинтереснополучается?Он недоумённо спросил:—Что интересно?(3)Решилинесколько задачизкниж-

ки Труднева. Он справлялся с ними до-вольно легко, хотя иногда и ошибался.(4) Дал ему такую задачу: <Ученик

перемножал два числа, но ошибся иполучилврезультате числона5меньше,чем нужно. Для проверки он поделилрезультат на один из сомножителей —и получил частное 29 и остаток 7.Какие числа он умножал?>.Это слегка усложнённая задача из

вступительного варианта в МИСИ(инженерно-строительный): в ориги-нальной задаче было ещёодно дополни-тельное условие, без которого можнообойтись. У Димы никаких идей реше-

ния не было; он пытался перебиратьразные варианты, но довольно бес-смысленно. Я сидел и раздражался:ну чего он такой тупой!

Из олимпиады. Как-то на днях я за-дал Диме задачу из районной олимпиа-ды в Новосибирске (для 7—9 классов):<Нам вдвоём 35 лет. Мне вдвое большелет, чем было тебе тогда, когда мнебыло столько лет, сколько тебе сейчас.Сколько нам лет?>.На следующий день он её решил.

Характерно однако, что он все такиезадачи решает перебором. В этом и при-чина его неудачи с задачей из МИСИ:там перебор ничему не помогает, анужны рассуждения (причём оченьнесложные).

19 ноября 1984 года. За обедом ми-нут за пять Дима решил задачу протрёх рыбаков — как каждый из нихвыбрасывал одну рыбу и забирал третьоставшихся; получил ответ 25. Потомя сам рассказал ему про <решениеДирака>, т. е. про ответ −2.

25 ноября 1984 года. Делимость натри. Сумма ряда.(1) Дано вот такое число:

101001000100001000001. . .100. . .00| {z }

300 нулей

.

Требуется узнать, делится ли оно на 3.(Ответ: делится, так как сумма его цифрравна 300, т. е. делится на 3.)Сначала Дима задачу не решил. Мы

разговаривали, я подсчитывал, скольков этом числе цифр (45 450), потом мывместе считали, поместится ли оно втетрадке. Потом выясняли, во сколькораз 10300 больше, чем 1027. После этогоДима от задачи отказался, сказав, чторешит потом, а сейчас тоже хочет что-нибудь решать (а не просто сидеть).Тогда мы решили пару задач из

книжки Е. И. Игнатьева <В царствесмекалки>. Потом вошла Алла, и я ейрассказал исходную задачу. Тут вдругДима догадался до суммы цифр и ре-шил задачу, а потом и ещё одну —о делимости того же числа на 9.

Задача о мухе и суммирование бесконечного ряда — 188— 8. В школе и дома

(2) Следующий вопрос: будет ли эточисло полным квадратом? (Это числон е являетсяполнымквадратом, так каконо делится на 3, но не делится на 9.)Дима высказал гипотезу, что <почти

все круглые числа — квадраты>. Ста-ли проверять на машинке — гипотезапровалилась. В итоге всех обсужденийна дом остались две задачи: во-первых,про это гигантское число, и, во-вторых,когда число 10n будет квадратом.(3) В качестве очередной задачи из

Игнатьева я выбрал знаменитую задачуо мухе (с несколько упрощённымичисленными данными): <Между горо-дами A и B — 300 км. Два велосипе-диста — назовём их a и b — одновре-менно выезжают навстречу друг другусо скоростью 50 км/ч. Одновременнос ними из A вылетает муха со скоростью100 км/ч и летает между ними: встре-тившись с b, она летит обратно к a, отнего снова к b, опять к a и т. д., и так дотех пор, пока велосипедисты не встре-тятся. Сколько километров пролетитмуха?>.Как ни странно, Дима решил эту

задачу с помощью суммирования бес-конечного ряда. Вот как это произо-шло. Он стал долго и напряжённо под-считывать, сколько километров мухапролетит до первой встречи с b; полу-чил 200 км. Затем стал считать, сколькоона пролетит до встречи с a; нашёл

6623

км; затем— до второй встречи с b:

1 1

1+1/2 1/2

1+1/2+1/4 1/4

1+1/2+1/4+1/8 1/8

1+1/2+1/4+1/8+1/16 1/16

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64

1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128

0 1 232

74

158

3116

Рис. 131. Суммирование бесконечного ряда 1+12

+14

+ . . . <Видно>, что результат равен 2:

после каждого шага расстояние до числа 2 уменьшается вдвое.

2229

км. Тут он сообразил, что ряд

получается бесконечным, и закричал:—Ой, папка! Так ведь бесконечно

будет!—Да.— Значит, задача не решается?—Ну почему же? Во-первых, мож-

но придумать другой способ решения,хитрый. А, во-вторых, иногда и бес-конечную сумму можно сложить.—Как это?(4) Тут мы отвлеклись от исходной

задачи, и я написал Диме такую сумму:

1+12+

14+

18+

116

+132

+ . . . ,

объяснив, что количество слагаемыхбесконечно. Я спросил:—Как ты думаешь, сколько полу-

чится?И тогда произошлонечто совершенно

удивительное. Дима, ни секунды неразмышляя, пожал плечами и ответил:—Два...Я — после паузы:—Почему?—Ну смотри. Сначала до двух не

хватает половины. Потом четверти.Потом одной восьмой. И так всё вре-мя будет.То есть по существу дал совершенно

правильное доказательство (рис. 131).Я с ним согласился, повторил его

рассуждения более подробно, потомнарисовал приложенные друг к другу

8. В школе и дома — 189— Задача о мухе и суммирование бесконечного ряда

отрезки длин 1,12,

14, . . . , и по-

казал то же самое рассуждение нарисунке. Главным образом я пыталсясделать вид, что ничего особенного непроизошло, хотя сам был нескольковзволнован, и у меня даже слегка дёр-гались колени. Так что же получает-ся — что и в самом деле гений?Следующий вопрос:—А у нас муха каждый раз во

сколько раз меньше пролетала?Дима задумался и сказал:—В три.(Я тут, видимо, слегка опередил

события: Дима сам ещё не догадался,что расстояние каждый раз уменьша-ется в одно и то же количество раз. Нопосле моего вопроса заметил такую за-кономерность—разумеется, без доказа-тельства.) Я написал следующий ряд:

1+13+

19+

127

+181

+ . . .

—Сколько теперь получится?—Три, — всё так же не задумыва-

ясь ответил Дима (видимо, опираясьна чисто формальную аналогию).У меня немного отлегло от сердца.

Нет, всё-таки не гений; нормальныйспособный ребёнок. Я засмеялся и ска-зал, что, мол, как же так — каждое сла-гаемое меньше, а сумма больше? Димасначала не понял, о чём я говорю; яобъяснил; он ответил:—Ну и что? — но потом всё же

задумался.Стал считать, используя прежний

приём, т. е. подсчитывая, скольконе хватает до двух, а я записывал:23,59,1427

, . . . Вскоре он догадался,

что в пределе не хватает половины, и,значит, получится полтора. Я не сталнастаивать на доказательстве, хотяотрезки мы всё-таки нарисовали.

На самом деле нужно было проверить, чторасстояние до полутора каждый раз уменьша-ется в три раза. Мне ещё долго после этогоответ <полтора> казался непонятным (а толькоугаданным). — Дима.

(5) Возвращаемся к задаче о мухе.—И, значит, что теперь нужно по-

множить на полтора? — спросил я.Дима уставился на меня в недоуме-

нии: он явно забыл, от какой печкимы с ним танцевали. Потом сказал:—А-а... — и надолго задумался.После чего, наконец, ответил:—Двести километров. Значит, будет

триста километров.— Значит, какой ответ?—Триста километров.После этого я ему рассказал насто-

ящее решение: велосипедисты ехали довстречи 3 часа; значит, муха леталатуда-сюда тоже 3 часа, причём соскоростью 100 км/ч; получается

100 км/ч ·3 часа=300 км.

Дима никакого особого восторга непроявил.

Думал-думал, что-то такое придумывал,а оказалось, что всё зря, можно было решитьгораздо проще. — Дима.

Я засомневался, понял ли он моёрешение, и дал ему модификацию за-дачи: скорости велосипедистов — 20и 40 км/ч, а скорость мухи 80 км/ч.Оказалось, что он всё понял, потомучто действия производил правильные.Однако времени было уже полдесятоговечера, и он сначала никак не могподелить 180 на 20 (всё получал 8),а потом не мог умножить 80 на 5 (по-лучал 450). Так что на этом мы за-нятие кончили, хотя ещё полчаса послеэтого он приставал ко мне с вопросами,почему в школе не учат математикетак же, как я. И трогательно, и обиднодо слёз. Господи, если бы можно былоограничиться нашим одним занятиемв неделю!

26 ноября 1984 года. Выяснилось,что Дима всё же не понимал, что такоесумма бесконечного ряда, и считалоба своих ответа приближёнными.

19 декабря 1984 года. Сегодня, по-сле большого количества проб, ошибоки путаницы, Дима наконец научилсяумножать дроби.

О первоклассниках — 190 — 8. В школе и дома

26 декабря 1984 года. О ханойскойбашне.(1) Где-то на протяжении прошед-

шей недели Дима научился такжеи делить дроби.(2) Жене (нашей) подарили на день

рождения новый вариант ханойскойбашни. Он называется <игра ранжир>,и вместо кружочков в ней нужно рас-ставлять фишки с цифрами — не до 5,как в венгерской игрушке, а до 8 —причём нельзя большую цифру ставитьна меньшую. Я бы сказал, что 8 фи-шек — это чересчур: чтобы решитьзадачу, нужно сделать 255 ходов.Дима с Петей, увидев игру, мгновен-

но догадались, что это модификацияханойской башни.После этого у Димывновь обострился

интерес к этой игре. Он провёл с нейнесколько дней и, наконец, пришёл комне с заявлением, что он знает опти-мальный алгоритм. Огромные труд-ности у него вызвала формулировкаалгоритма. Он никак не мог понять,с какого конца начать, какими словамивыразить свою мысль, и всё толькоповторял бессмысленно:—Сначала вот эту — сюда, потом

вот эту — сюда, потом вот эту — сю-да, вот эту — сюда, вот эту — сюда...При этом я видел, что сами действия

он делает совершенно правильные.Большого труда и терпения стоилополучить от него настоящую форму-лировку. Алгоритм оказался в самомделе оптимальным. Он состоит в сле-дующем:(а) ходить надо по очереди единич-

кой (или самой маленькой плашечкой)и не единичкой;(б) ход не единички каждый раз

определяется однозначно, так как еёнельзя ставить на единичку;(в) единичкой надо всегда ходить

по циклу.Я обсудил c ним проблему необходи-

мости доказательства, но сейчас о нёмнечего даже и помышлять. Хочу заме-тить, что я сам в своё время не приду-мал ни алгоритма (я его где-то вычи-

тал), ни доказательства (его послемоеговопроса придумал Дима Бугаенко).Всего в этом семестре занимались

6 раз, не считая разговоров <междуделом>.

О первоклассниках

Здесь собрано несколько разрознен-ных заметок о двух первых классах:в течение одного полугодия я вёл кру-жок в Димином классе, и в течениемесяца работал преподавателем в <экс-периментальном> классе. Если бы ястал вести что-то вроде дневника на этутему, то как минимум 95% его содер-жания было бы посвящено вопросамдисциплины. Без наведения порядкав классе, без того, чтобы дети пере-стали баловаться, драться, петь, бегатьи... (дальше следует длинный списокглаголов, который каждый сможетпродолжить сам), короче, без созданияв классе нормальной рабочей обстанов-ки невозможно сдвинуться ни на шаг.Каким образом добиться этого и оста-вить в то же самое время возможностьдля поиска, для творчества — это вели-кая загадка; тольконастоящиевиртуозына это способны. Я к ним не только неотношусь, но даже и на версту не при-ближаюсь. Поэтому буду писать толькоо том, в чём я хоть что-то смыслю.

Откуда берутся способности? Вотвопрос, который всех интересует! Этоя развил Димины способности к ма-тематике с помощью кружка, или же,наоборот, он уже родился способным,а кружок протекал так интересно какраз благодаря этому? Я сам склоняюсько второму варианту. Роль кружкасостояла в том, чтобы он у з н а ло том, что существует математика —активная, весёлая, захватывающая.Другой вопрос — как часто встречают-ся талантливые дети и сколь многиеиз них так и проходят мимо своегопризвания, так никогда и не узнаюто том, что могла предложить им жизнь?Вот как раз об этом я и хочу сказать:

8. В школе и дома — 191 — Что такое задача?

в п е р в о м п о п а в ш е м с я классея встретил мальчика, который был от-чётливо способнее Димы (и ведь этопри том, что никто с ним специальноне занимался). Звали его Глеб. Училсяон весьма средне; что делает сейчас,не знаю. Вот несколько наблюдений.1. Задача про C25 (см. главу 6).

Часть ребят вообще не поняла условия;другие нашли всего 3—4 решения; тре-тьи якобы <нашли> 24—26 вариантов,не замечая повторений; один толькоГлеб нашёл ровно 10 решений и твёр-до заявил, что больше нет. (Правда,в качестве объяснения сказал, что5+5=10.)2. Фокус, в котором складывались

закрытые числа (см. стр. 141), он раз-гадал тут же на занятии. Его решениетоже, как и Димино, основывалосьна периодичности таблицы, а не надополнении до 20.3. Ещё один фокус, основанный на

том, что сумма цифр на противополож-ныхграняхкубикаравна7(см.стр.143),он тоже разгадал сразу.Мне надолго за-помнился его сосредоточенный взгляд:он изучает кубики, смотрит, что лежитсверху, потом что лежит снизу, лицоозаряется...

Д Е Д

Б А Б А

КАМЫШ

ОГУРЕЦ

ЛЕС ЛЕС

ОЗЕРО

Рис. 132. Как Деду проехать к Бабе?

Мне кажется характерным также ито, что как-то раз я объявил его <чем-пионом>, поскольку он быстрее всехчто-то вычислил, но он в ответ при-знался, что его вычисление былоошибочным.

Что такое задача? После одного иззанятий Глеб задал мне такую задачу(рис. 132):—Вот здесь озеро (рисует). С этой

стороны живёт Баба, а с этой сторо-ны — Дед. Вот здесь растёт камыш.Вот здесь лежит огурец. А в озереживётчёрт, он никого не пускает. А вокругозера тоже пройти нельзя, там лес.Как Деду проехать к Бабе?—А лодка у Деда есть?—Нет.—А обойти лес вокруг?— Э-э, нет, так нельзя!— . . . ?—Сдаётесь?—Сдаюсь.—Ну вот. Этот чёрт был очень по-

слушный. Дед ему говорит: <Чёрт, чёрт,съешь огурец>. Он съел. Дед ему го-ворит: <Чёрт, чёрт, накоси камышей>.Он накосил. Тогда Дед ему говорит:<Чёрт, чёрт, там твои внуки плачут,тебя зовут>. Чёрт нырнул под землю,

Потрогать руками — 192 — 8. В школе и дома

и в дне озера образовалась дырка, и всявода из озера туда утекла. И Дед подну — пух, пух — и перешёл к Бабе.Должны ли мы сделать вывод, что

во всех наших <задачах на смекалку>дети видят ровно столько же смыслаи логики, сколько в этой? <Задача —это когда сначала что-то рассказывают,а потом задают вопрос, на который не-понятно, как отвечать>. Никакой связиответа с условием задачи при этом непредполагается.

Примерный ученик.На одном из за-нятий мы решаем задачу про C25 , а наследующем — про C35 . Потом я объяс-няю, почему эти задачи эквивалентныдруг другу: выбрать и закрасить двеклеточки из пяти — это то же самое,что выбрать и оставить незакрашенны-ми три клеточки из пяти. Так что мымогли бы догадаться, что сегодняшняязадача похожа на ту, что была в прош-лый раз, и сразу сказать, что у неё бу-дет 10 решений. Один мальчик тянетруку.—Что тебе, Алёша?—Я д о г а д а л с я, что эта задача

похожа на ту, что была в прошлыйраз...В прошлый раз он на занятии не

был.Пример на вычитание.Мынаходим-

ся в экспериментальном первом классе;в нём всего 18 учеников.Я насыпал в бутылку из-под молока

некоторое количество бобов и предла-гаю ребятам угадать, сколько их. Веськласс кричит <сто!>. Я тогда говорю,что так неинтересно: никто не будетпобедителем.—Давайте, — говорю я, — каждый

назовёт своё число, но только чтобывсе числа были разными. Мы их за-пишем на доске, а потом проверим.Записываем имена и числа на доске.

Потом всем классом хором вслух счи-таем бобы: это не вредно — лишнийраз повторить последовательный счёт.Бобов оказывается 49.—Ну что, кто победил? — спраши-

ваю я.

—Никто не победил.Дети имеют в виду, что никто не

угадал точного количества.—Ну, хорошо, а кто всё-таки оказал-

ся ближе всех к правильному ответу?—Таня ближе всех.(Она назвала 52.)—А на сколько она ошиблась?—Она ошиблась на три боба, —

отвечает класс.Всё хорошо. С этой задачей покон-

чено, и мы переходим к другим делам.Примерно через четверть часа я задаюдетям <пример на вычитание>: из 52вычесть 49. Результат ошеломляющий:с этой задачей не справился ни одинчеловек. Ни один!Я оставляю читателям полную сво-

боду для интерпретаций.Потрогать руками. Мы — в том же

классе, но теперь — в компьютерномзале. Идёт урок информатики. Я ужеупоминал ранее язык Лого, специ-ально приспособленный для детей.С помощью совсем простых программдети могут управлять движением поэкрану небольшого робота-черепашки,а могут и писать сочинения и делатьмного чего ещё. Некоторые ученикиработают с удовольствием; другие от-кровенно маются и даже начинаютшататься по классу (дисциплина, дис-циплина!). Неожиданно один из таких<шатающихся> обнаруживает в шкафудопотопный арифмометр.—А что это?Объясняю, что это машинка, кото-

рая умеет складывать.—Как? Сама складывать?Тот факт, что компьютер умеет скла-

дывать, его почему-то не удивляет, новот машинка!—А покажите...Весь класс уже давно сорвался

с места и окружил нас со всех сторон.Я ставлю в окошечке 6 и говорю, чтосейчас прибавлю 1. Поворачиваю руч-ку: <трык-трык-трык-трык-трык!>, —и в окошке появляется 7.—Уу-ааа!—реагирует класс; в смыс-

ле <вот это да!!!>.

8. В школе и дома — 193 — Потрогать руками

Теперь уже каждому хочется повер-нуть ручку, чтобы машинка так вот<здоровски> заурчала — и прибавилаединицу.Скучныекомпьютерызабыты:ведь здесьможносамомуручкукрутить!А мне вспоминается цитата, которуюя незадолго до того выписал себе в те-традочку. Учительница Т. Служевскаяв своей статье <Без шаблона> в жур-нале <Юность> (№ 1 за 1986 год)рассказывает:<...Ещё экскурсия, на этот раз в зоо-

парк с четвёртым классом. Мы долгоходим по территории: хищники, обезь-янник, крокодилы за стеклом, слон забарьером из колючек... Ребята дружнооблепляли решётки, читали надписи —процесс познания шёл вовсю! Вдругпропал один мальчишка. Не успела яиспугаться — он вылетает из-за угла

запыхавшийся, красный, с горящимиглазами:— Скорее! Скорее! Зовите всех!

Там такое... такое!!Что же, думаю, могло его так потря-

сти после всех питонов и бегемотов?А он кричит:— Там лошадь можно руками по-

трогать!И всех ребят как ветром сдуло от

слона — лавиной бросились за угол!А там стояла запряжённая в телегу гне-дая кобылка с провисшим брюхом, накоторой развозят корма. И её и прав-да можно было погладить и дать ейс руки травки, которую она вежливобрала мягкими губами...>.Ну до чего ж замечательная история!

Можно было бы поставить эпиграфомко всей моей книжке.

9Кружокс девочками —первый годВведение

В нашем новом кружке три участни-цы: моя дочь Женя и две её подружки,Саня и Дина. Кружок начался в январе1984 года. В этот моментЖене—4 года,Сане — 4 года 8 месяцев, Дине —5 лет и 3 месяца.

Ответы на часто задаваемые вопро-сы. У меня часто спрашивают, есть ликакой-то глубокий смысл в том, чтов первом кружке у меня были однимальчики, а во втором одни девочки.Нет, никакого глубокого смысла в этомне было. Так сложилось само собой: япросто сначала занимался с Диминымидрузьями, а потом сЖениными. Сыгра-ло роль также и то, что Дима и Петя,друзья по двору и почти ровесники,оба имели по младшей сестре, и ихсёстры — Женя и Саня — оказалисьтоже практически ровесницами. Таконо и поделилось — на <старших маль-чиков> и <младших девочек>. Потомна основе дружбы детей постепеннозавязалась и дружба между родите-лями.Второй нередкийвопрос—отличался

ли кружок с мальчиками от кружкас девочками? Да, отличался, и оченьсильно. Но кружок с д р у г и м им а л ь ч и к а м и тоже бы отличался.Характеры у детей были очень разные,интересы тоже, отсюда и разница.А насколько это коррелирует с полом,я судить не берусь: для этого нужныболее серьёзные исследования.

Читатель, несомненно, обратит вни-мание на то, что с мальчиками я за-нимался четыре года и провёл в общейсложности около 80 занятий, в то вре-мя как с девочками было всего 20 за-нятий. (Скажем более точно: было20 з а п и с а н ны х з а н я т и й. Женяпотом была ещё в числе моих учениковв детском компьютерном клубе и вПереславском лагере.) В чём тут дело?Уж не в том ли, что мы относилиськ математическому образованию де-вочек менее серьёзно?Не знаю, поверит ли мне читатель на

слово, но у меня всё равно нет дру-гого выхода, кроме как писать то,что считаю нужным. Честный и ис-кренний ответ на предыдущий вопростаков: нет, дело не в этом. Причиныбыли иными.Во-первых, меня, несомненно, очень

сильно стимулировалДимин страстныйинтерес к математике, а также и спо-собности явно выше среднего, в то вре-мя как Женя математикой совершенноне интересовалась. Но в ряду всевоз-можных причин я бы конкретно этойпричине отвёл процентов двадцать, неболее. Главное было в другом: нача-лась перестройка. Я об этом уже писалво введении. Забурлило всё вокруг,и моя жизнь в том числе. Как сейчаспомню: четыре часа утра; мой друг, био-лог Борис Беренфельд подвозит менядомой после очередного затянувшегосяобсуждения педагогических реформ;и я с ужасом думаюо том, что в полседь-мого, как всегда, вставать на работу.А силы человеческие ограничены...Наконец, ещё один очень въедливый

вопрос: зачем же я вообще затеялкружок с Жениным участием, если онаматематикой не интересовалась?Ну какже вам не стыдно, уважаемый

читатель, задавать такие вопросы!Нет, серьёзно, кроме шуток. Для ре-

бёнка жизненно необходимо общениес родителями. Даже негативное обще-ние, вроде ругани и наказаний, луч-ше, чем отсутствие всякого общения,и дети часто его провоцируют, если

9. Кружок с девочками — первый год — 195 — Характеры

им иначе не удаётся привлечь к себевнимание. Чаще же всего имеет местонечто безлично-деловое с лёгким от-тенком негатива: <Поди помой руки.Спать пора, хватит у телевизора тор-чать. Ты портфель назавтра сложил?Ну вот, опять у него температура!>.Давно ушли те времена, когда взро-слые — крестьяне или мастеровые —привлекали детей к своей работе. Сов-ременный ребёнок о работе своих ро-дителей знает единственное: это кудаутром уходят и откуда вечером при-ходят. Ну, разве что ещё то, что тамустают: <Папа устал после работы, ос-тавьте его в покое>. Моменты с о д е р-ж а т е л ь н о г о общения с детьми,т. е. совместного участия в каком-нибудь разумном деле, крайне редки,и ценность их не поддаётся никакомуизмерению. Вот это и происходилоу нас с Женей. Она с восторгом за-нималась на кружке — не потому чтоматематикой, а потому что это папауделяет ей своё время и внимание,занимается с ней, причём занимаетсячем-то серьёзным, тем, чем раньшезанимался со старшим братом.Кстати, увлечение Димы математи-

кой в тот период тоже не следует пре-увеличивать. Гораздо больше его увле-кали занятия, которые организовывалдля мальчиков Борис, Женин папа(извините, у нас тут всё время пута-ются мальчик Женя и девочка Женя;папа д е в о ч к и Ж е н и — это я,а папа м а л ь ч и к а Ж е н и — этокак раз Борис). Ребята ходили с нимв лес и там перебирались по канатучерез овраги, <охотились на оленей>,ориентировалисьпо карте, выкапываликакие-то пещеры, устраивали в нихтайники и т. п. Думаю, что и Борисасамого увлекло это общее поветрие,когда я занимался с детьми математи-кой, Алла — английским, Андрюшинамама — музыкой, в общем, каждыйкто чем мог.Ну, а почему бы в таком случае не

выбрать другой сюжет, более соответ-ствующий Жениным наклонностям?

Да просто не было у меня никакихдругих сюжетов. Делал то, что умели любил. Женю в тот момент большевсегоувлекалорисование(об этомдаль-ше), и рисованием она уже занималасьв кружке замечательного педагогаи художника Надежды Столповской.Так что я вполне мог бы умыть рукии сказать, что мой родительский долгисполнен, ребёнокпристроенкуданадо,а я теперь имею полное право <уста-вать, приходя с работы>, и более ничего.Но мы всё-таки решили затеять ма-

тематический кружок для Жени тоже.И, поверьте мне на слово, удовольст-вие было вполне взаимным.

Характеры. У Дины характер доста-точно ровный.Присутствуетнебольшаякапельказанудства, но длянашихзаня-тий это только дополнительное удоб-ство.Напротив, что касаетсяСанисЖе-ней, тут меня могут ждать проблемы.Темперамент у обеих девочек довольно-таки <взрывчатый>, чтобы не сказатьбольше. Их взаимоотношения во мно-гом строятся на аффектах. То они луч-шие в мире подруги; то вдруг вспыхи-вает страшная ссора, разрыв навсегда,на всю жизнь! После этого уже можнос рёвом кидаться в объятия друг к другу(или к маме), клясться в вечной любви,чтобы потом вести себя совершеннопо-ангельски — примерно полчаса.Одним словом, хоть я и набрался кое-

какого опыта в работе с мальчиками,меня могут ждать трудности нового ро-да, или те же, что были, но в обострён-нойформе.Нучтож, как говорилнекто,не тем будь помянут, сначала нужноввязаться в драку, а там посмотрим.Меня просили взять в кружок ещё

одну девочку — Катю. Я, однако, укло-нился. Катя ещё старше Дины, т. е.разница сЖеней у неё почти в два года,и при этом она девочка весьма спо-собная к математике. В таком кружкеЖене вообще будет нечего делать.

Женярисует (длинноеотступление).Расскажу оЖене немножко подробнее.Просто даже удивительно, насколько

разными могут быть дети в одной и той

Женя рисует — 196 — 9. Кружок с девочками — первый год

же семье. Вроде бы все начальные усло-вия одинаковые, воспитание тоже, даи влияние родителей одно и то же. Нуконечно, мне скажут, что первый ребё-нок растёт один, в то время как у второ-го есть, кроме мамы и папы, ещё одиндополнительный старший член семьи.Какие-то свойства характера это об-стоятельство, быть может, и способнообъяснить. Но как отсюда вытекаютспецифические способности и интере-сы — то, о чём в основном идёт речьв этой книге — я совершенно не вижу.Забегая далеко вперёд, в сегодняшнийдень, я могу сказать: и Дима, и Женявыросли хорошими людьми. Но этоедва ли не единственное что есть меж-ду ними общего.У нас сохраниласьфотография:Жене

1 год и 3 месяца; при этом она пра-вильно держит фломастер — ровнотак, как этому учат в школе. В этобыло бы трудно поверить, если бы недокументальное свидетельство.Я не помню, когда она начала ри-

совать. Я не обращал на это особоговнимания: все дети что-то калякают,это нормально. Потом как-то раз —Жене было три года—вгляделсяповни-мательнее в одну каляку, и это былокак удар. Представьте себе квадратныйлист желтоватой, в пятнах, бумаги раз-мера сантиметров в 15. Через всё полесверху донизу идёт бесконечно длин-ная нога. Внизу, у самого края листа,она заканчивается ступнёй, а сверхууходит куда-то в неведомые выси. Этонога взрослого.Оттудаже, с высей, из-засамого края листа спускается ладонь.За неё и держится ребёнок, который,собственно, и занимает всё остальноепространство рисунка. То есть можнобыло бы сказать и иначе: нарисованребёнок, и нога взрослого рядом с ним.Рисунок в целом ещё очень неумелый,но композиция, композиция!С тех пор я, или, точнее, мы с Аллой,

стали более внимательно приглядывать-ся к тому, что происходит. Участвоватьв деле я никак не мог — рисовать ясовершенно не умею. Алла, напротив,

рисует очень хорошо. Но оказалось,что наше участие вовсе и не требуется.Или, лучше сказать, требуется исклю-чительно материальное участие. Пред-ставьте себе ребёнка пяти лет, которыйрисует ш е с т ь ч а с о в п о д р я д,с перерывами только на то, чтобы сбе-гать в туалет. Естественно, что в доместало не хватать бумаги. Обыкновенныешкольныететради в то времябылине точтобы большим дефицитом, но и про-сто так на прилавках тоже не валялись.Надо было ловить. Потом я стал при-носить с работы старые компьютерныераспечатки. Читатели постарше помнятэтиширокие рулоны бумаги с перфора-циейпокраям.Качество бумаги было неахти, фломастерыпроступали насквозь,но другого выхода не было, тем более чтои этих рулонов вскоре стало не хватать.Иногда в ход шли газеты: их поля вмгновение ока покрывались какими-тооживлёнными событиями чьей-то при-думанной жизни. Запомнилась фото-графия в газете: какой-то деревянныйдомик с выставкисовременного сборно-го жилья. Мы отобрали уЖени бумагу,потому что никак не удавалось отпра-вить её спать, но на столе валялась га-зета, и не успелимыоглянуться, как на-последок весь домик буквально ожил:какие-то дети играли во дворе, какие-точеловечки выглядывали из окон, кто-тостучал молотком на крыше...Качество рисунков я здесь особенно

необсуждаю.Ихвыразительность росладень ото дня. Конькобежцы с развева-ющимися шарфами, пианисты за роя-лем, коровы на лугу — казалось, ничтоне представляло проблемы для изобра-жения. Всё более отчётливо начиналопроявляться портретное сходство, еслимы сами или кто-либо из знакомыхбыли героями истории. У нас и сей-час висит дома картинка: Дима что-тоочень энергично рассказывает, разма-хивая руками, а сама Женя смотритна него скептически, но доброжела-тельно. Да-да, поверьте: художникуудалось передать не только сходство,но и характеры персонажей.

9. Кружок с девочками — первый год — 197 — Женя рисует

Но главным, конечно, был этот по-стоянный напор, эта потребность ри-совать без передышки и потом опятьрисовать. Мы смотрели на это чудосвета, возникшее само по себе, безмалейшего нашего понукания, и, чтоназывается, <ходили на цыпочках>.Мы не знали, что будет дальше. Со-хранится ли эта тяга к рисованию навсю жизнь, или в один <прекрасный>момент вдруг прекратится внезапно,как и началась. И что мы тогда должныделать? Приставать к ребёнку, чтобыона рисовалахотя бы пополчаса в день?(<Ну ладно, пожалуйста, двадцать ми-нут, если ты такая ленивая>. И черездесять минут: <Сколько там уже време-ни прошло, а, пап?>. Вот такие при-мерно сцены рисовались в моём мозгу.Я знал, что так нельзя — ну, а какможно?)Простопоразительно, докакойстепени мы бессильны перед явлени-ями природы — а перед нами было,несомненно, явление природы.Читатель ждёт уж рифмы <розы>.Чем может закончиться такая исто-

рия? Вроде бы есть два возможныхкон-ца: <но ничего подобного не произо-шло>, или же <именно так всё и про-изошло>. На самом деле, как это почтивсегда бывает в жизни, произошло не-что третье. Женя в самом деле сталарисовать гораздо меньше — как толь-ко научилась писать. Оказалось, чтоеё рисование — это лишь производнаяот совсем другой страсти: от сочиненияисторий. Или, говоря иначе, это способперенесения историй на бумагу. Когдапоявилсядругой, более адекватный спо-соб, она тут же перестроилась на него.Если бы мы были более прозорли-

выми родителями, мы бы догадалисьдо этого раньше. Ведь истории и сказкиЖеня сочиняла всегда, а вовсе нетолько тогда, когда рисовала. Напри-мер, летомна даче, во времянаших дол-гих прогулок; истории длились часами.Больше всего, конечно, доставалосьАлле. Она говорила, что у неё поройвозникало чувство, что она сейчасупадёт в обморок. А Женя мгновенно

определяла, когда её переставали слу-шать внимательно. Часто нам пору-чались роли отдельных персонажей,и мы должны были произносить ихреплики, которые Женя нам тут жеи диктовала. Иногда мне казалось, чтовот такое не творческое, механическоеучастие в пьесе — это как-то неин-тересно. И я позволял себе внестисвою собственную лепту в сюжет, т. е.произносить не то, что было велено,а нечто иное. Наказание следовалонезамедлительно, и было оно — покрайней мере на мой взгляд — болеесуровым, чем преступление.Возвращаясь на минуту к рисова-

нию, хочу заметить одну поразитель-ную вещь. Женя как-то, будучи ужевзрослой, стала рассматривать своистарые рисунки (небольшую их часть,примерно полчемодана, мы увезли с со-бой во Францию). И вот оказалось,что она прекрасно помнит эти исто-рии, которые сочиняла в четырёхлет-нем возрасте и может их все зановопересказать, глядя на рисунки.Научившись писать, Женя стала ак-

тивно осваивать разные жанры и раз-ные манеры письма. Она узнала, чтосуществует такой жанр, как мемуа-ры — и принялась писать мемуары.Мы читали дома вслух драмы Шилле-ра — и она тотчас же сочинила драмув стиле Шиллера. Само собой разуме-ется, были сказки. Несколько позжепоявилась пьеса-телефонный разговор(с тремя участниками: сама Женя, еёподружка, и время от времени встре-вающий в разговор старший брат).Как и Дима, она занималась с Аллойанглийским — и, естественно, со своимвесьма ещё скудным словарным запа-сом принялась сочинять сказки по-анг-лийски. Самая уморительная историяпроизошла, когда Жене было семь лет.Она случайно обнаружила дома учеб-ник японского языка. Выяснив с на-шей помощью, что у японцев кромеиероглифов существуют ещё две сло-говые азбуки, она немедленно при-думала какую-то сказку (с некоторой

Женя рисует — 198— 9. Кружок с девочками — первый год

натяжкой можно сказать, что по-рус-ски: большуюеё часть составляли словатипа <мама> или звукоподражаниятипа <му-му>) — и записала её однойиз этих азбук. Мы потом показали по-лучившийся текст знакомой девочкеАне Шубиной, которая всерьёз училаяпонский, и та просто каталась по ди-вану от восторга. Увлечение японским,однако, продлилось недолго, так какего выразительные возможности бы-стро исчерпались.Примерно в одиннадцать лет Женя

и её подружка Маша сочинили вдвоёмцелую повесть величиной в большуюобщую тетрадь. Повесть довольно сим-волически называлась <Лето из детст-ва>. Символически потому, что прибли-жался—и уже частично осознавался—тот трудный для всех литераторов пе-реломный момент, когда оканчиваетсядетство, и они чувствуют, что большевот так вот по-детски, легко и беззатей, писать не могут. У Жени этотсложный момент совпал с переходомна другой язык.Последний <детский> эпизод, кото-

рый я хочу здесь привести, относитсяуже к Франции. Жене двенадцать лет;она учится во французском коллежена языке, о котором ещё полгода назадне имела практически никакого пред-ставления. Домашнее задание: сочи-нить сказку в стиле Марселя Эме (ко-торого они тогда проходили). Женясочинила что-то до такой степени оча-ровательное, что, говорят, её сказкупотом читали в учительской. Оцен-ка — 17; и это несмотря на множествоорфографических ошибок.Чтобыоценить этотфакт, нужнознать

французскую систему оценок. Оценкиво Франции ставятся по 20-балльнойсистеме. Но при этом если по мате-матике вполне можно получить 20 —достаточно просто решить все задачи,то по предметам гуманитарного циклапо традиции всегда ставят оценку невыше 16. Алла одно время препо-давала здесь в университете русскийязык и поставила двум студенткам на

экзамене 20. И директор её департа-мента мягко ей выговаривала:—Алла, как же ты поставила им 20?

Ведь ты же знаешь, что мы выше 16никогда не ставим.—Но послушай, Катрин, — отвечала

Алла, — эти две девочки русские. Ониговорят по-русски так же, как я. А эк-замен был по практике устной речи.—Всё равно. Мы выше 16 никогда

не ставим.На самом деле ставят — для того,

чтобы подчеркнуть: произошло нечтонеординарное.Здесь я, пожалуй, остановлюсь. Не

следует превращать эту книжку в Же-нину биографию. Задним числом я самсебе задаю вопрос: почему я решил обовсём этом написать? Ответ — по край-ней мере для меня — ясен: я сделалэто из чувства справедливости. УспехиЖени в математике очень скромны.<Были в семье двое детей, один способ-ный, а другой так себе...>. К такому вы-воду неизбежно должен был бы придтилюбой читатель этой книги. А это обид-ная неправда. Правда же состоит в том,что были в семье двое детей — одинспособный к математике, а другой —к рисованию и литературе. По сущест-ву я должен был бы написать такойраздел о к а ж д о м из детей —участников обоих кружков. Но для это-го я их недостаточно знаю. Вот, напри-мер, однажды мне случайно попаласьна глаза видеозапись, на которой Саня,уже взрослая девушка, что-то рассказы-вает по-английски. Я был искреннепоражён. Наши дети тоже свободно го-ворят по-английски, так что этим меняособенно не удивишь, тем более после14 лет жизни на Западе. Но когда ониговорят, всё же достаточно отчётливовидно (точнее, слышно), что это го-ворят не англичане и не американцы.А вот Саню запросто можно было спу-тать с коренной американкой. Какимобразом ей это удалось — без долгойжизни с детства в Америке? Это одиниз тех вопросовпро талантливыхлюдей,на которые никакого рационального

9. Кружок с девочками — первый год — 199 — Математика от двух до четырёх

ответа не существует. И хорошо ещё,что Саня в детстве занималась англий-ским с Аллой, иначе я вообще мог быдаже не подозревать, что она знает хо-тя бы <хау-ю-дуду>. Поэтому я сноваи снова обращаюсь к читателям: по-жалуйста, очень вас прошу, не забы-вайте, что я пишу только лишь ободной маленькой грани очень много-гранных детей.А Женя, между прочим, обещала

мне перевести эту книжку на фран-цузский. Я уверен, что перевод будетпревосходным.

Возвращаясь к математике. Докружка, т. е. до возраста четырёх лет,я сЖеней занималсяматематикойлишьодин короткий отрезок времени, когдаей было два года. Я об этом вкратцеупоминаю на стр. 99. Вот что я запи-сал тогда, 23 января 1982 года:Это занятие имело неожиданное про-

должение. Я ещё не успел убрать ко-робку с фигурками, когда с прогулкивернулась Женечка и сразу захотела<в это> играть. Я дал ей задание по еёсилам—высыпал все фигурки в крыш-ку и предложил укладывать их обратно.Кажется, я раньшене объяснял: в ко-

робке для набора Дьенеша для каждойформы имеются две лунки. Количествофигурок каждой формы равно 8, изних 4 с дыркой и 4 без дырки. Пред-полагается, что они и будут уложенысоответственно — по 4 штуки в каждуюлунку.Женяприняласьзаделосбольшимэн-

тузиазмом. Сначала она тыкала фигур-ки совершеннопроизвольно;например,пыталась засунуть большой квадратв лунку для маленького треугольника.Порой она пыталась класть фигурку вправильную лунку, но неправильно еёповорачивала — и, восприняв эту не-удачу наравне с остальными, перехо-дила к другим лункам. Когда ей уда-валось правильно уложить фигурку,я в качестве подкрепления восклицал:—Оп!Если же она, например, помещала

маленький круг в лунку для большого

квадрата(явнополагая, чтоэтоправиль-ное решение — ведь он поместился!),яничегоне говорил.Постепенно онана-училась отличать правильную укладкуот неправильной и сама стала говорить:—Оп!Ещё она объясняла мне, что уклады-

вает фигуркиспать. Так мы занималисьцелый час, успев за это время уложитьвсе фигурки по три раза. За это времяЖеня научилась определять фигуркиодинаковой формы и размера, но со-поставлять форму фигурки и лункитак и не научилась. Процесс укладкипроисходил примерно так: она брала,например, большой круг и тыкала егоподряд в разные лунки. Как тольконаходилась нужная лунка, она начи-нала выбирать из множества фигурокодин за другим все большие кругии класть их туда же. До некоторых порвсё шло гладко: пять кругов в лункупомещалось (хотя вообще-то она рас-считана на 4 фигурки). Однако шестойкруг уже в лунку не входил, оставаясьснаружи. Это было препятствие ново-го рода.Наступал интересный момент. Метод

решения проблемы, который использо-вала Женя, показывает, что у неё ужесформировалось сохранение формы,но ещё не сформировалось сохранениечисла. (Первое удивительнее, чем вто-рое: сохранение числа происходит в 5—7 лет, а сохранение формы, по Пиаже,кажется, позже 2 лет.) Конкретно, про-исходило следующее: Женя понимала,чтоэтоткругтожедолженвлезтьвлунку,раз другие влезли. Поэтому нужно пре-дыдущие круги вынуть и сначала поло-жить этот, а уже потом—все остальные,вынутые круги (они уже доказали своюспособность влезть в лунку, значит, проних сомнений нет — влезут и во второйраз). Вынимать фигурки у неё у са-мой не получалось, об этом она проси-ла меня:—Пап, вынь, пожалуйста.Так происходило несколько раз, но

в итоге после серии неудач она начи-нала искать для последнего, не вле-

Математика от двух до четырёх —200— 9. Кружок с девочками — первый год

зающего, круга новую лунку, и когданаходила, всё с большими кругами,как правило, кончалось благополучно(правда, иногда она пыталась извлечьвсе круги из предыдущей лунки, чтобыпереложить их в новую, но тут у менякончалось терпение, и я этому пре-пятствовал).КконцунашихзанятийпришёлДима

и тоже внёс свою лепту в педагогиче-ский процесс. В основном он приставалк Жене, чтобы она не клала в однулунку пять фигурок, а в другую такуюже — три. Пытался он также прину-дить её класть фигурки с дырочкамии без дырочек отдельно, но мне уда-лось уговорить его не вмешиваться,так что всё кончилось без ссор.Так продолжалось с разными вари-

ациями некоторое время; Женя зани-малась этой игрой с огромным удоволь-ствием, сама меня об этом просила имогла просиживать за этим занятиемпо часу и больше. Но потом она сталаиграть также и без меня, причём иногдатеряла фигурки. Обычно их удавалосьнаходить, но когда один раз после болеечем часовых поисков одна фигурка таки не нашлась, я спрятал набор и боль-ше его Жене не давал. Не очень хоро-шо с моей стороны, но что же делать?Ведь я такого набора больше нигдене достану.[Лето 2005 года: сейчас Жене 25 лет.

Я дописываю эту книгу. Увидев у меняна столе блоки Дьенеша,Женя сказала,что до сих пор, когда она о них вспо-минает, у неё просто сердце замираетот восторга.]В последующие два года все наши

занятия математикой свелись, во-пер-вых, к чтению книги <ПриключенияКубарика и Томатика, или ВесёлаяМатематика> (от которой Женя быласовершенно без ума, но не от её матема-тической части, а от сюжета, а задачи,которые там даются по ходу дела, вос-принимала как неизбежную плату заудовольствие), и, во-вторых, к попыт-кам прошедшим летом научить её счи-тать дальше, чем до двух (на трёх она

уже часто сбивалась): мы ей давалистолько засахаренных орехов, сколькоона сумеет правильно сосчитать. В ре-зультате некоторый сдвиг всё же про-изошёл, хотя и не принципиальный.Одна смешная история показывает,

докакойстепенисчёт в этомвозрасте яв-ляется чисто формальной процедурой.Однажды Женя, досчитав правильно<семь, восемь...>, вдруг остановиласьи спросила:—Но ведь семь и восемь — это

одно и то же, правда, папа?С тех пор этот вопрос служит для ме-

ня своего рода лакмусовой бумажкой.Когда мне показывают ребёнка, кото-рый <умеет считать>, я у него с серьёз-ным видом спрашиваю:—Семь и восемь — это ведь одно

и то же, верно?Еслионзапротестует, значит, и вправ-

ду умеет считать. (Впрочем, один размне попался промежуточный вариант:одинребёнокочень серьёзно сказалмне,что нет, семь и восемь— это вовсе не од-но и то же, а вот семнадцать и восем-надцать — это да, это одно и то же.)

Занятие 1. Снова феномены Пиаже

5 января 1984 года (четверг). 1035—1115 (40 мин.).Женя, Саня, Дина.

Вступление. Сначала я показал де-вочкам свой колокольчик и объяснил,что в школе всегда бывает звонок наурок и с урока, и так же будет у насна кружке. Потом наговорил кучу ещёкаких-то общих слов о том, как намнужно всем жить дружно, хорошо себявести и во всём слушаться меня, и тогданам будет хорошо и весело и т. д., и т. п.Забегая вперёд, должен сказать, что не-ожиданно для меня девочки вели себяне просто хорошо, а совершенно без-упречно. В данныйжемомент они серь-ёзно и внимательно меня слушали и сзавистью смотрели на колокольчик.

Задание 1. Каких солдат больше?Я стал расставлять в рядок красныефишки (<солдатиков>).

9. Кружок с девочками — первый год — 201 — Солдаты на табуретках

—А-а, знаю, сейчас считать бу-дем! — закричала Дина.Все наперебой закричали, что они

тоже умеют считать. Я попросил Динусосчитать солдатиков: их оказалось 9.Потом их сосчитала Саня.—Смотри, Саня, а ведь ты считала

их с другого конца.—Потому что мне отсюда ближе!—А почему же у тебя тоже полу-

чилось 9?—Потому что я считала!Потом считала ещё и Женя:—Раз, два, три, четыре, пять, шесть,

семь, семнадцать, девять. Тоже девять!Затем я поставил параллельно крас-

ным ряд жёлтых солдатиков.—Кого больше — красных солда-

тиков или жёлтых?—Никого не больше, всех поровну.—А если они будут драться, кто

кого победит?—Никто никого не победит.Тогдаяраздвинулжёлтыйрядтак,что-

бы он стал длиннее красного (рис. 133).—А теперь кого больше?—Жёлтых, жёлтых!—А если они будут драться, кто

победит?—Жёлтые победят.—Ну да, ведь побеждают те, кого

больше, правда?—Да.—Саня, забери столько жёлтых сол-

датиков, чтобы стало поровну.Саня забирает двух <лишних> сол-

дат, мы кладём их в коробку.—А теперь кого больше?—Теперь опять поровну!Я снова раздвигаюжёлтый ряд.Жёл-

тых солдат снова оказывается больше,такчтов случае битвыонипобедят крас-ных. Мы считаем солдатиков: красныхоказывается 9, а жёлтых 7, но жёлтыхбольше! Я прошу Женю забрать столь-ко жёлтых солдатиков, чтобы их опятьстало поровну с красными; она убираетодного солдатика.Так повторяется ещё пару раз; нако-

нец, против 9 красных солдатиков стоятвсего двоежёлтых.Дина и Саня всё ещё

продолжаютутверждать,чтоихпоровну,но Женя не выдерживает и заявляет:—Нет, этих меньше.—Почему?—Потому что здесь ничего нет, —

она показывает на пустоту междудвумя жёлтыми фишками.Саня её очень горячо поддерживает,

а Дина смущённо замолкает: она оченьвежливая девочка и не знает, как ей те-перьпоступить,чтобынеразрушатьигру.[Вспомним здесь Димино замечание

на стр. 19: папа с этим соглашался,значит, это было правильно.]—Да ведь вы только что говорили,

что жёлтых больше, а теперь говорите,что их меньше! — восклицаю я.Саня мне что-то столь же горячо

возражает. Дословно воспроизвести еёрассуждения я не могу, но смысл в том,что, мол, раньше мы говорили то,что было правильно раньше, а теперьговорим то, что правильно теперь.То, что математические утверждения,верные вчера, верны также и сегодня,она ещё не знает, и поэтому противо-речия в своих словах не видит.— Такчтожеделать?—спрашиваюя.В ответ Женя достаёт из коробки

всех снятых ранее жёлтых солдатикови ставит их обратно в шеренгу; солдатснова становится девять на девять.—А теперь кто победит?—Никто.—Ну, раз никто не победит, то и

драться незачем, и решили они мирноразойтись по домам, — заканчиваю яи собираю фишки в коробку.

Задание 2. Солдаты на табуретках.Из другой коробки я достаю 11 фишеки 10 плашек. Объясняю девочкам,что фишки — это солдатики [почемусолдатики? что-то я очень уж уклонил-ся в военную тематику; добро бы ещёзанимался с мальчиками!], а плаш-ки — это табуретки. Я предлагаюдевочкам рассадить солдатиков по та-буреткам. Они это делают, но одномусолдатику места не хватает.Тогда я предлагаю попробовать рас-

садитьихкак-нибудьпо-другому—так,

Четвёртый — лишний —202— 9. Кружок с девочками — первый год

чтобы всем хватило места. Например,всех красных солдатиков посадить накрасные табуретки, зелёных — на бе-лые и т. п. Девочки охотно берутсяза дело, но, к сожалению, опять одинсолдатик оказывается лишним. Я де-лаю ещё какие-то предложения по ихрасстановке, но эффект тот же.—Почему всё время один солдатик

остаётся лишним!?—Потому что у него нет места.—А как же их рассадить так, что-

бы ему тоже хватило места?—Никак!—Что, никак не получится?—Да.—А давайте попробуем вот так...Я выдвигаю ещё одно предложение

(больших солдат — на белые и жёлтыетабуретки, остальных— на остальные).А сам тем временем одного солдатикаутаскиваю и прячу в карман.Мы делаем ещё одну перестановку —

и на этот раз всем солдатикам достаёт-ся по табуретке! Девочки очень доволь-ны — наконец-то удалось сделать то,что требуется. Лишь одна Дина смотритна ряд табуреток с солдатиками с оттен-ком лёгкого недоумения. Я уже совсембыло собрался переходить к следующе-му заданию, как вдруг она сказала:—А давайте сделаем как было.—А ты помнишь, как было?Дина несколько сбивчиво пытается

объяснить, как раньше стояли фишки.—Ну ладно, давай.Мы начинаем снова переставлять

фишки с места на место, а я по ходу де-ла опять тайком подставляю спрятан-ную фишку. И вот снова одному сол-дату не хватает места! Дина в полном

Рис. 133. Каких солдат больше, красных или жёлтых?

недоумении; она пытается посадитьдвух солдат вместе на одну табуретку.А Саня вдруг заявляет:—А-а, я знаю, это Саша просто

спрятал одну табуретку, и всё!Интересно: когдая сжульничал впер-

вый раз (утащил солдатика), она этогонезаметила.Подозреваю,потому,чтоза-дача <получилась> и решение найдено.Зато когда всё уже вроде бы было хо-рошо, и вот снова ничего не выходит,тут явно дело нечисто, и поэтому моёвтороежульничество вызывает подозре-ния. Я, конечно, мог бы <честно> закри-чать, что никаких табуреток не прятал(ведь на самом-то деле я 11-го солда-тика вернул обратно), но решил, чтоэто будет нехорошо с моей стороны.

Задание 3. Четвёртый — лишний.Картинки были показаны такие:(1) шапка, шуба, пальто, гриб (Саня);(2) собака, кошка, обезьяна, весы

(Саня);(3) овца, коза, корова, катушка

(Женя);(4) лейка, бочка, ведро, забор (Дина);(5) индеец, пожарник, точильщик,

жираф (Саня);(6) цапля, сова, журавль, белка

(Женя);(7) жук, бабочка, осы, ваза (Дина);(8) заяц, собака, ёж, подушка (Саня).Первые две серии я показал девоч-

камвсемвместе.Обаразапервойответи-ла Саня, причём так быстро, что Женя,как мне показалось, даже не успела ещёпонять, что нарисовано на картинках,а не то что подумать. Объяснения Санятоже дала правильные. Чтобы дать воз-можность ответить и другим, мне при-шлось установить очередь. Следующей

9. Кружок с девочками — первый год —203— Зеркальная симметрия

была Женя. Я на всякий случай решилдать ей задачу попроще и положил тре-тий набор картинок, в точности ана-логичный второму. Ответ Женя далаправильный (катушка лишняя, или,как она сказала, моток), но на вопрос<почему?> ответила:—Потому что это не барашек, не

коза и не корова.С помощью моих наводящих вопро-

сов, а также подсказок Сани (что, мол,они все живые) удалось добиться от неёформулировки, что овца, коза и коро-ва — это звери, а катушка — не зверь.Свою следующую задачу она уже ре-шила правильно — сказала, что цапля,журавль и сова — птицы, а белка —не птица.Все остальные ответы были правиль-

ные. Лишь один раз Дина, уже дав пра-вильныйответ к задаче 4 (забор), попы-талась образовать так называемую<фи-гурную совокупность> по Пиаже (т. е.нелогическуюклассификацию),сказав,что из лейкиможнополиватьзабор,и изведра тоже можно поливать забор.Последняя, 8-я задача снова была

общей, и первой опять ответила Саня.Послекаждойзадачиязадавалоднотип-ные вопросы, вроде: а гриб тоже можнонадевать?А ваза— это тоже насекомое?У мальчиков такие вопросы обычно

вызывали бурное веселье, хохот и т. п.Девочки почему-то реагировали го-раздо хладнокровнее, и только когда япосле последней задачи спросил, можноли спать на еже, они откликнулисьболее эмоционально.

Задание 4. Зеркальная симметрия.На мозаике я выставил в самой середи-не прямую линию из фишек и назвалеё <зеркальцем>. После этого я слеваи справа от этой линии строил разно-цветные фигурки; задание же состоялов том, чтобы с другой стороныпостроитьфигурку, зеркально симметричную ис-ходной. Построив каждую фигурку,мы с помощью зеркальца проверяли,получается ли совпадение построеннойфигурки с той, которая видна в зер-кале. Первый пример симметричной

фигуры построил я сам. Женя, про-следив за моими действиями, грустносказала:—А я так не умею...И в самом деле, когда до неё дошла

очередь, она с заданием совершенно несправилась, хотя я построил для неёоченьпростуюфигурку.Толькопомощьмоя и Дины решили исход дела в по-ложительную сторону. Дина, наоборот,сразу всё поняла и даже просила,чтобы я не показывал — она сама всёсумеет сделать. Судя по её уверенными правильным действиям в дальней-шем, по тому, как она отсчитывалаклеточки, её заявление вполне соот-ветствовало истине.С Саней чуть не возник конфликт.

Она отвлеклась, спросила вдруг (по-казывая на колокольчик):—А можно позвонить?Я пообещал ей, что когда кончится

занятие, дам ей позвонить. Потом пред-ложил ей смотреть, что делает Женя.Она заявила, что смотреть не будет, по-тому что сама всё умеет, и даже ушлаиз-за стола. Но потом, когда до неё до-шла очередь, она с задачей всё-такине справилась. Дина бросилась ей по-могать, как иЖене, но Саня стала кри-чать и отталкивать Дину. [Почему жеу меня осталось ощущение, что девочкивели себя безупречно? Может быть, ябоялся худшего?] Как-то, однако, уда-лось всё уладить и сгладить и дажезадачу решить.

Заключение. С большим трудом я от-тащил девочек от мозаики — они хо-тели играть в неё ещё. Дальше былаочень хлопотная процедура одеваниявсех на улицу (прерываемая телефон-ными звонками). Где-то посреди этойсуеты Саня вдруг подошла ко мнеи сказала:—А я знаю! И никакая это не

математика!—А что же?—Ну, просто игра с папой, и всё.Я как мог попытался её убедить, что

всё это самая что ни на есть серьёзнаяматематика.

Принцы и принцессы —204— 9. Кружок с девочками — первый год

На улице Дима с Петей бросилиськ девочкам и стали их расспрашиватьо том, что было (оба они хотели присут-ствовать на занятии; каждому в отдель-ности я бы ещё может и позволил, нообоим вместе не решился). Женя за-кричала ликующе:—Ставили солдатиков на табуретки!—А-а, понимаю, — многозначи-

тельно произнёс Дима.

∗ ∗ ∗

Мывидим, что едва ли не все описан-ные выше задачи уже в том или иномвиде фигурировали раньше. Должен лия избегать повторений?Немного поколебавшись, я решил,

что повторения вполне законны. Этотолько задачи повторяются, а реак-ция детей — вовсе не всегда. Дети наэтот раз другие.

Занятие 2. Принцы и принцессы

9февраля1984 года (четверг). 1035—1110 (35мин.).Женя, Саня, Дина.

Какэточастобываетвжизни,кружок,едва успев начаться, претерпел болеечем месячный перерыв. Сначала мы всеболелигриппом,потомя уезжалвВоро-неж, и собрались мы снова лишь черезпять недель. Реакция девочек на пер-вое занятие была гораздо более благо-желательной,чем когда-то у мальчиков,ябыдажесказал—восторженной.ЖеняиСаня всё время спрашивали,когда бу-дет следующеезанятие, икричали<ура>,когда оно, наконец, было объявлено.АДинавообщепревзошлавсякуюмеру.На вопрос, что ей больше всего понра-вилось из всяких новогодних меропри-ятий (ёлки, ДедыМорозы, театры, про-гулки в лес и т. п.) она твёрдо заявила,что больше всего ей понравилось за-ниматься математикой (хотя априориникто наш кружок в число новогод-них мероприятий не включал).

Задание1.Сказка.Япоставилнастолдве большие зелёные фишки и сказал,

что это король и королева. Однаждыони устроили у себя во дворце весёлыйбал и пригласили на него много прин-цев и принцесс; принцы — красныефишки, принцессы — жёлтые. Гостейсобралось много, и им было оченьвесело.—Интересно, — сказала короле-

ва, — а кого у нас больше: принцевили принцесс?Она хотела их сосчитать, но это было

очень трудно: они все ходили с местана место, а некоторые даже выходилииз зала. (Динапытается сосчитатьприн-цев, но я всё время двигаю их по столу,убираю, прячу и т. д. Общий смех.)И тогда король придумал вот что. Онпопросил музыкантов сыграть какой-нибудь танец. Все принцы стали при-глашать принцесс танцевать (а мы ста-вим красные ижёлтыефишкипарами).И вот один принц остался лишним. Ноон не огорчился, а просто танцевал самс собой, и ему тоже было очень весело.Не дожидаясь моего вопроса, девочкисами говорят, что принцев больше,а принцесс меньше.После танца все сели за стол. (Мы

расставили фишки длинным овалом,и перед каждой ставили <тарелку>:у принцев красные тарелки, у прин-цесс жёлтые.) Но оказалось, что естьпока нечего. Повар хотел приготовитькаждой принцессе пирожное, а каж-дому принцу мороженое. Но он не знал,сколько чего готовить! Ведь он же незнал, сколькопринцев, а сколько прин-цесс! Увидев, что еда ещё не готова, всегости решили пока погулять в саду.(Мы убираем со стола все фишки, ос-тавляя только <тарелки> и <повара>.Повар — это большая зелёная фишка,но другого типа, нежели король с ко-ролевой и принцы с принцессами —погрубее и потолще.)Что теперь делать повару? Он хотел

бы сосчитать принцев и принцесс, новедь они же ушли! Как же их теперьможно сосчитать?Дина тотчас же стала считать крас-

ные тарелки; получилось 11. Затем

9. Кружок с девочками — первый год —205— Узоры симметрии

их считала Женя. Сначала процессыназывания чисел и тыкания пальцемв тарелки шли у неё синхронно, нопотом каждый пошёл своим путём, и врезультате число тарелок оказалось<четырнадцать-пятнадцать>. (Не следу-ет думать, что это приближённая оцен-ка, как бывает у взрослых: <штук эдак14—15>. Скорее это что-то вроде двой-ного имени, как Анна-Мария. Женяещё не знает, что при счёте каждаясовокупность предметов может иметьтолько одно имя. Кроме того, 14 и 15 —в такой же мере <одно и то же>, как7 и 8.) Потом считала Саня и получилатоже 11. Я сказал Жене:—Смотри, у девочек у обеих полу-

чилось 11. Попробуй и ты посчитатьтак, чтобы у тебя тоже получилось 11.Женя послушно стала считать, но у

неё снова получилось четырнадцать-пятнадцать. Пришлось смириться.Потом мы считали жёлтые тарелки,

а я хвалил повара и говорил, что оночень умный: догадался, что принцессстолько же, сколько жёлтых тарелок, ипоэтому можно считать не принцесс, атарелки.Потомповарприготовил10пи-рожных и 11 мороженых, все их съелии пошли спать (в одну коробку), на чёмсказка благополучно закончилась.

Задание 2. Четвёртый — лишний.Как и в прошлый раз, я давал девоч-кам комплекты из четырёх рисунков.Каждая получила по два комплекта.Все ответы были правильными, но объ-яснения — не всегда. Например, Женясказала, что в наборе (голубь, ёж,собака, чайник) лишний — чайник,<потомучто онне летает, не колетсяи нелает>. Я каждый раз требовал, чтобыдевочки придумали одно слово, кото-рым можно назвать и охарактеризоватьвсе три предмета вместе (голубь, ёж,собака — живые, а чайник — нет).В конце я сказал:—Вот нас здесь четверо за столом.

Если бы нас нарисовали на картинках,кто был бы лишним?Динасразуответила, что лишнимбыл

бы я, так как они трое — дети, а я —

не дети. Но Женя вдруг запротестовалаи сказала, что лишние — они с Диной,так как меня и Саню можно назватьоднимсловом—<Саша>.Мнепришлосьс ней согласиться; я сказал, что еслиискать двух лишних, то е ё ответправильный, а если одного, то Динин.

Задание 3. Симметрия. Я повторилто же задание, что в прошлый раз. Наэтот раз все трое, в том числе и Женя,справились с задачей безупречно. Же-ня, когда работали другие, всё времяприговаривала:— Та-ак... И синенькую не забудь...

Ой, не сюда, не сюда! Пра-авильно!И тому подобное.Я уже много раз сталкивался с этим

удивительнейшим явлением, но каж-дый раз поражаюсь заново. Загадкаприроды, да и всё тут! В прошлый разЖеня с этой задачей не справляласьну никак, ну просто ни на грамм.В про-межутке я с ней ни разу ничем незанимался. Единственное, что с тех поризменилось, так это то, что она на ме-сяц подросла. И вот, пожалуйста — онатеперь вдруг всё умеет сама. Уж какиетам колёсики по-другому повернулись,какие новые связи в мозгу образова-лись — нам остаётся только гадать.Дина, сделав, своё задание, сказала:— Только давайте ещё будем...Я предложил девочкам, чтобы не

я им давал задачи, а они мне. Онис радостью согласились, и я решилпо очереди три задачи на симметрию.Я, правда, иногда <ошибался>, но де-вочки меня тут же поправляли.

Картинки. В заключение я показалдевочкам несколько картинок с сим-метричными узорами из книг <Узорысимметрии> и Г. Вейля <Симметрия>.Картинки им вроде бы понравились,но ещё более заинтересовали перфо-карты, которые служили закладками.Саня попросила разрешения их забратьк себе домой, Дина тоже захотела (хотяГаля* ей напоминала, что у неё папапрограммист, и у них дома перфокарт

* Галя — мама Дины.

Все лишние по очереди —206— 9. Кружок с девочками — первый год

полно), возник спор, делёжка, и о кар-тинках все забыли.На этом занятие закончилось, Же-

ня позвонила в колокольчик (в сле-дующий раз очередь Дины), но Санюи Дину пришлось ещё минут десятьоттаскивать от мозаики и уговариватьидти домой. (Оттаскивал, разумеется,не я, а их родители.) Когда они ушли,мозаикой занялись Женя и Димаи вскоре заполнили всё поле.

Занятие 3. Сколько разниц?

20 февраля 1984 года (понедельник). 1600—1645(45 мин.). Женя, Саня, Дина.

Главной особенностью этого занятиябыло то, что я к нему совершенно неподготовился. Я перенёс все три сво-их кружка — с мальчиками, с девоч-ками и в школе — на один день, т. е.на понедельник (мой <библиотечныйдень>—надеюсь,читатели ещёне забы-ли, что это такое). Поэтому непосред-ственно в понедельник у меня временина подготовку не было. А три преды-дущих дня я без продыха занималсякорректурой нашей статьи с МишейШубиным, которая, как обычно, долж-на была быть окончена <вчера>. В ре-зультате занятие получилось в целомбессвязным и не очень удачным.

Задание 1. Четвёртый — лишний.Я даже не успел выбрать из коробкинужные задачи. Однако это обстоятель-ство в итоге повернулось мне на пользу:я предлагал девочкам тянуть себе зада-чу из коробки, как лотерейный билет:все трое решали свои задачи не по оче-реди, как в прошлые разы, а одновре-

Рис. 134. В зависимости от критерия каждая из фигурок может считаться лишней.

менно. Женины объяснения остаютсятакими же, как прежде. Получив набор(капуста, огурцы, щавель, водопровод-ный кран), она говорит, что лишний —кран, потому что он <не капуста, неогурцыине листочки>.Я предположил,что, может быть, лишняя капуста: ведьона не огурцы, не кран и не листочки.Или нет, наверное, лишние огурцы (поаналогичной причине); а может быть,листочки... В ответ на мои издева-тельства Женя мрачно заявила:—Нет, лишний кран!Можно считать, что я наткнулся на

своеобразныйвозрастнойпериод:Женявсегда даёт правильные ответы, но ещёсовершенно не может их объяснить.Болеемладшиедетиответыдаютнаугад,так как не понимают смысла задачи.А более старшие (например, Динаи Саня) уже дают и правильные объ-яснения тоже.

Задание 2. Все лишние по очереди.Я достал свой излюбленный набор изчетырёх предметов, в котором каждыйиз предметов может быть сделан лиш-ним: три квадрата — один треугольник,три без дырки — один с дыркой, трикрасных — один зелёный, три малень-ких — один большой (рис. 134).Мнения тотчасже разделились.Женя

считала лишним тот, что с дыркой,а Саня и Дина — треугольник. Я по-пробовал предложить третий вариант,но все девочки твёрдо стояли на своёми кричали каждая своё. Пришлось мнепойти на хитрость и предложить импоступить <по справедливости>: пустькаждая фигурка по очереди будетлишней. На это девочки согласились.Интересно, что они никак не могли

9. Кружок с девочками — первый год — 207— Сколько <разниц>?

придумать, почему зелёная фигуркалишняя; и то же самое было в следу-ющей задаче — тоже разницу в цветеони долго не замечали. А я думал, чтоэто будет первое, что бросится в глаза.Но, так или иначе, в итоге все четыреобъяснения были найдены.

Задание 3. Сколько <разниц>? Я до-стал четыре фигурки из набора Дьене-ша и предложил опять найти лишнюю.Набор был выбран не очень удачно:лишними могли быть названы две фи-гурки (т. е. задача имела два правиль-ных решения). Возник спор. Крометого, вообще эти задачи им уже надо-ели. Я пустился в какие-то длинныерассуждения о признаках (форма, цвет,размер и т. п.) Было занудно, и девочкисмотрели по сторонам. Тогда я понёссовсем какую-то ахинею: положил настол большой красный квадрат и по-просил положить рядом с ним самуюпохожую на него фигурку. Сначала всёшло относительно благополучно: рядомдруг за другом легли все четыре боль-ших квадрата без дырок. Но тут-тои выяснилось, что девочки задачу либоне понимают, либо забыли вопрос, таккак они стали строить какой-то домикнаколёсах—сверхутреугольники,сни-зу круги. Я пытался убедить их кластьфигурки в одну линию, иногда вякалчто-то про <неправильное решение>, ноничего не помогало. Росла моя досадана себя самого, что не подготовился —и это тоже отражалось на общем на-строении.Тогда я взял в руки две фигурки,

отличающиеся всего одним признаком,и попросил указать разницу между ни-ми. Это было сделано. Следующие двефигурки отличались уже тремя при-знаками. Я спросил, <сколько разниц>.Сначала девочки нашли только однуразницу, а в качестве второй смоглилишь сказать, что <они непохожи>.Потом, после некоторого размышления,удалось обнаружить ещё две разницы.Труднее всего, как я уже упоминалвыше, оказалось обнаружить различиев цвете. Я похвалил девочек. Дело, ка-

жется, начинало налаживаться. Сле-дующие две фигурки отличались ужевсеми четырьмя признаками. Первуюразницу нашла Дина, вторую Женя.Я обратился к Сане. Та встала и дажепокраснела от натуги, но ничего найтине смогла.—Думайте, думайте, — сказал я

всем.Тут вдругЖеня нашла третью разни-

цу и тут же четвёртую. Я её похвалили стал распространяться о том, что воткак много! целых четыре разницы! —стал их снова перечислять и т. п. Увлёк-шись этими разглагольствованиями, яне заметил, что Саня ужасно надулась.Тут Катя* спросила её:— Санечка, ты что?В ответ Саня вдруг безумно зары-

дала и закричала:—Должна я-а-а была найти!!Все стали её наперебой успокаивать,

а ей только того и надо — ревёт ещёгромче. Спасла дело только демагогия.Я спросил:— Саня, а сколько людей за столом?—Три-и-и.—Как так три? А кто же не человек?—Четыре.—Вот видишь: четыре человека —

и четыре разницы, всем по одной.Так что всё по справедливости.К этомумоменту она забыла, что ей-то

как раз ни одной и не досталось, и буряулеглась.

Задание 4. Симметрия относительнодиагонали. На этот раз я усложнил за-дачу о симметрии тем, что в качествеоси симметриивзял диагональмозаики.Я не был заранее уверен, что эта за-дача пойдёт легко, и поэтому сначаладевочки давали задания мне. Однакооказалось, что они всё хорошо пони-мают. Под конец я даже позволил себеошибиться, и Саня с воплем триумфамою ошибку исправила.Затем девочки сами выполняли мои

задания и справились с делом вполнеуспешно. Как всегда, когда дело каса-

* Катя — мама Сани.

Четвёртый — лишний —208— 9. Кружок с девочками — первый год

ется мозаики, стоило больших трудовеё у них забрать.

Японский волчок. За неимениемдругих задач я показал, как вращает-ся и вскакивает на ножку японскийволчок. На Катю это произвело болеесильное впечатление, чем на девочек.

Задание 5. Укладка фигур Дьенеша.В заключение я попросил девочек со-брать фигурки Дьенеша в планшет, нотак, чтобы фигурки с дырками и бездырок лежали отдельно друг от друга.Они всё сделали, как надо, хотя рукиу них при этом дрожали, так как каж-дая хотела опередить остальных и ухва-тить себе фигурок побольше.Под конецони догадались набирать сразу многофигурок в руку, чтобы был гарантиро-ванный запас (а то, пока я буду кластьэтуфигурку, остальныевсёрасхватают),и это слегка ослабило напряжение.На этом всё и кончилось, толькоСаня

устроила небольшой дополнительныйскандал — она требовала от меня до-машнего задания (чтобы, какПетя, что-нибудь писать в тетради — буквы илицифры), а я ничего разумного и устра-ивающего её не мог придумать.

Занятие 4. Построение по чертежу

12 марта 1984 года (понедельник). 1600—1645(45 мин.). Женя, Саня, Дина.

Задание 1. C25 на мозаике. Задание

состояло в следующем: на той же моза-ике, на которой мы строили симмет-ричные фигуры, мы стали делать бусы.В каждых бусах должно быть ровно5 бусинок, причём обязательно 2 крас-ных и 3 белых. При этом, разумеется,все бусы должны быть разными.Девочки на удивление успешно

справлялись с задачей, не уступая пер-воклассникам (из Диминого класса).Правда, они редко сами спонтанно об-наруживали совпадение двух решений;поэтому я после каждого очередного от-вета просил всех внимательно смотреть,не получилось ли то же самое, что ужебыло. Тогда они принимались за изу-

Рис. 135. <Венгерский пифагор>. Пластмассо-вые плашки складываются в прямоугольнуюкоробку в соответствии с этим чертежом.

чение того, что было, и обычно находи-ли ошибку сами. Впрочем, иногда онисчитали совпадающими симметричныебусы. Только поиск 9-го решения,который достался Жене, вызвал у неёсерьёзные трудности. Если бы я зани-мался с ней одной, я думаю, что она витоге решила бы задачу сама. Но тутполучалось так, что Женя долго пе-ребирала разные варианты, уже сталаповторяться, а Дина и Саня скучалии отвлекались. Так что я Жене осто-рожно подсказал, куда поставить однуиз фишек, и она тотчас нашла пра-вильное решение.А последнее, 10-е решение я нашёл

сам. При этом медленно и последова-тельно перебирал все варианты, покане нашёл нужный. А девочки помогалимне искать для каждого варианта тот,что с ним совпадает. Находка каждыйраз сопровождалась бурей восторга.Конечно, надо было попытаться найтиещё и 11-е решение, но я почему-тоне сообразил это сделать.

Задание 2. Четвёртый — лишний.Игра протекала как обычно. Я старалсятребовать от девочек <одного слова>, ко-торым можно было бы назвать все трине лишние картинки. Один раз Женяполучилачетырекартинки (чашка, чай-ник, ваза, заяц) и закричала радостно:—Ой, сразу три лишние!

9. Кружок с девочками — первый год —209— Построение по чертежу

Видимо, яужеуспелприучитьихкто-му, что не лишние обязательно живые.

Задание 3. Построение по чертежу.На стр. 133 и следующих я описывалголоволомку<пифагор> и некоторое ко-личество связанных с ней задач. С техпор у нас появилась другая версия тойже игры: тоже семь фигурок, но другойформы, и заполняют они не квадрат-ное, а прямоугольное поле. За неиме-нием другого названия я буду назы-вать её <венгерский пифагор> (простоудивительно, сколько замечательных

Рис. 136. Из плашек <венгерского пифагора> требуется сложить нарисованные здесь фигуры.

вещей нам привезли из Венгрии).Форма фигурок и их расположениев коробке показаны на рис. 135.Задачу, связанную с этим набором,

мне фактически подсказала Женя. Онаиграла с фигурками, по-разному пере-кладывая их на столе, а потом я попро-сил её собрать их обратно в коробку.Это ейнеудалось. Тогдаяпоказал ей ри-сунок, гдепоказано,какследуетихукла-дывать (это тот же самый рис. 135).Оказалось, что и складывание по ри-сунку вовсе не так уж просто, хотя всё

Перестановки — 210 — 9. Кружок с девочками — первый год

же посильно: Женя поднатужилась —и после некоторых усилий всё сложила.Этот успех так её воодушевил, что она

высыпала фигурки из коробки и сно-ва принялась их укладывать. Как нистранно, во второй раз у неё ничего неполучилось: она положила рисунок го-ризонтально, акоробкувертикально, от-сюда и неудача. Пришлось ей помогать.В результате у меня возникла идея:

нарисовать несколько простых черте-жей и дать их девочкам складыватьв порядке возрастающей трудности.Я подготовил 10 задач, из которыхбыли решены 6 (рис. 136).Последняя, 6-я задача, вызвала уДи-

ны трудности и потребовала подсказки.Женя справлялась с задачами так жехорошо, как и остальные. Было прият-но смотреть, как она цепким взглядомохватывала рисунок, а потом отбиралаиз кучи фигурок только нужные и бы-стро и ловко всё складывала.В конце занятия я было похолодел

от ужаса, вспомнив, что обещал Санеписьменное задание домой, а самничегоне приготовил. Но Саня, слава богу,ни о чём не вспомнила, так что занятиекончилось вполне благополучно.

Занятие 5. Перестановки

19 марта 1984 года (понедельник). 1600—1650(50 мин.). Женя, Саня, Дина.

Это занятие вышлонеочень удачным.Во-первых,яслегкапереборщилвслож-ности задач, и с несколькими задачамидевочки не справились, что вызвало со-ответствующую фрустрацию. Во-вто-рых, было много споров, обид и т. д.

Задание 1. Перестановки. Мы сно-ва стали делать бусы — на этот развсего из трёх бусинок, причём все трибусинки разноцветные: одна красная,одна синяя и одна жёлтая. Девочкивполне справились с задачей, найдявсе 6 решений. Я сам попытался у нихна глазах найти 7-е решение, аккурат-ноипоочередиперебирая все варианты.Каждый раз, когда оказывалось, что

очередной вариант снова совпал с ка-ким-то из уже построенных решений,это вызывало такой восторг, что у ме-ня порой даже уши закладывало.Задача кончилась, но девочки не хо-

тели расставаться с мозаикой, так чтомне пришлось продолжить и дать имвозможность строить четырёхцветныебусы из четырёх фишек. Это заданиеоказалось для них трудноватым, таккак для бус с четырьмя фишками онис трудом определяли, совпадают два ре-шения или нет. В основном они ориен-тировалисьна положение синейфишкикак наиболее заметной. Таким образом,построив всего 7 решений (из 24 воз-можных!), мы задачу прервали.Дина устроила себе дополнительное

развлечение — строила бусы, симмет-ричные Саниным. Но когда она об этомсказала вслух, Саня заявила самыйрешительный протест.В процессе игры возник спор между

Женей и Саней из-за очереди. Я ска-зал, что следующейбудет та, ктоменьшепросит и тише себя ведёт. Обе девочкимоментально затихли, так что снованевозможно было определить, кто желучше себя ведёт. Чтобы никого не оби-деть, я решилброситьмонетку.Монеткавыпала наЖеню. Саня, конечно, тут жезарыдала. Я стал спрашивать, на когоона обиделась; предложил ей монеткунашлёпать (что и было исполнено).Дина очень смеялась и говорила:— Саня, монетка же глупая!Удивительно ещё, чтоЖеня не встря-

ла и не заявила, что монетка умная.Задание 2. Четвёртый — лишний.

Возможно, у меня просто ворчливоенастроение, но факт тот, что сегоднявсе девочки давали такие объяснения,которые раньше давала одна Женя:топор лишний, потому что он не ба-бочка, не жук и не пчела. Я над ниминад всеми ехидничал, называл другихкандидатов в лишние (с аналогичнымиобъяснениями), но это мало что меняло.Интересно, что на протяжении всех

занятий практически не было осечекс ответами: ответы всегда правильные.

9. Кружок с девочками — первый год — 211 — Симметрия на клетчатой бумаге

Задание 3. Построение по чертежу.Неудача Дины в прошлый раз с 6-йзадачей должна была бы меня насто-рожить, но мне показалось, что всёбудет окей. Из десяти задач на сегодняосталось четыре. После некоторых спо-ров и склок девочки выбрали себе позадаче (рис. 137).Однако справилась со своей задачей

только Дина. У Сани вообще не полу-чилось ничего похожего. При этом я ейпытался подсказать, но она меня нестала слушать, а стала петь и делатьвид, что ей всё нипочём. Катя оченьобеспокоилась, хотела тоже ей помочь,но, увидев задачу, даже присвистнула.Тут и Дина бросилась на помощь, ноКатя её слегка притормозила, а Санязаявила, что не хочет решать задачу,и мы от неё отстали.У Жени положение было поначалу

несколько лучше: она положила пра-вильно четыре плашки из пяти, но

Рис. 137. Вот какие задачи выбрали себе девочки: Саня — слева, Дина — в центре, Женя — справа.

никак не могла приладить последнийтреугольник. Вдруг она обиделасьи сказала, что я ей даю очень трудныезадачи. Я пытался оправдываться, что,мол, трудные задачи интереснее ре-шать, но она твёрдо ответила:—Нет, не интересно!Только Дина меня поддержала, ска-

зав, что любит трудные задачи.В общем, мы остановились на том,

что после занятия девочки (кто захочет)попробуют решить эти задачи все вме-сте. Однако после занятия Женя мнесказала, что ей уже расхотелось.

Задание 4. Симметрия на клетчатойбумаге.Эта серия задач аналогична тем,которые мы раньше решали на моза-ике, только на этот раз я нарисовал осьсимметрии чёрным фломастером на ли-сте клетчатой бумаги. Потом я разнымифломастерами (по выбору девочек) ри-совал около оси разные фигурки, а онирисовали симметричные.Вцелом с этой

Порядок утренних дел — 212 — 9. Кружок с девочками — первый год

задачей все справились. Правда, ак-куратно по клеточкам рисовала однаДина, а Саня и Женя лишь улавлива-ли общий контур рисунка. Один разЖеня ошиблась, но очень своеобразно:нарисовала фигуру, центрально-сим-метричную исходной.

Занятие 6. Порядок утренних дел

29 марта 1984 года (четверг). 1030—1130 (1 час).Женя, Саня, Дина.

Содержание этого и следующего за-нятий я записываю почти через месяц(24 апреля), так что многие подробно-сти из памяти уже стёрлись. Думаю,что запись этого занятия окажетсякороче, чем предыдущие.

Задание 1. Построение по чертежу.Я решил, несмотря ни на что, не отсту-пать и довести оставшиеся две задачи допобедного конца. В целом это мне уда-лось. Решали каждую задачу девочкивсе вместе.Были,конечно, спорыи дра-ки зафигурки,но в общем всё обошлосьблагополучно, и — главное — обе за-дачи были-таки решены, причём безмоей помощи.

Задание 2. Повторение узора намозаике. Я строил на мозаике фигуркуиз 3—5фишек, а девочки должны былис помощью параллельного переносасделать узор (<ленту>), многократноповторяющий заданную фигурку. Всесправились с заданием успешно.

Задание 3. Четвёртый — лишний.На этот раз мы эту игру закончили, ис-черпаввесьзапаскартинок.Теперьмож-но только заказывать картинки Алле,либо играть не с картинками, а с пред-метами. Можно также использоватьсхему этой игры для отыскания других,более <математических> закономер-ностей (например, три треугольникаи один четырёхугольник и т. п.)

Задание 4. Утро мальчика. На сериикарточек-картинокизображёнмальчик,занимающийсяразнообразнымиутрен-ними делами: он завтракает, одевается,делает зарядку, стелет постель, спит,

просыпается, умывается, гуляет на ули-це с санками, одевается на улицу. Надоразложить картинки в порядке очерёд-ности исполнения перечисленных дел:сначала спит, потом просыпается и т. д.По содержанию девочки справились сзадачей вполнеуспешно. Были, однако,некоторые спорные моменты. Напри-мер, что раньше: стелет постельили зав-тракает? Я пытался получить на такиевопросы <логические> ответы (напри-мер, такие: стелет постель мальчик ещёв пижаме, а завтракает уже одетый).Однако получаемые мной ответы были,в основном, другого типа (<мама все-гда так делает>, <умные дети должнысначала стелить постель> и т. п.) Моиответы вовсе не казались девочкамболее <объясняющими>. Вопрос <от-куда вы узнали?> тоже мало помогал.

Многогранники. В заключение по-казал девочкам картинки из книжкиМ.Веннинджера<Моделимногогранни-ков>. Из всех картинок кое-какое впе-чатление произвели только наиболеезвездчатыефигуры, остальные оставилизрительниц совершенно равнодушны-ми. Что касается Жени, то мы с Аллойзаметили, что, при всей её любви к раз-глядыванию картинок, её интересуюттолькосюжетныекартинки, где с кем-точто-то происходит. Такие картинки мо-гут быть любого качества — чёрно-бе-лые, штриховые и т. п. В то же время

Рис. 138. Этот рисунок симметричен относи-тельно вертикальной оси, но имеются некото-рые <ошибки>.

9. Кружок с девочками — первый год — 213— Двухцветные кубики

роскошные, ярко-цветные фотографииили рисунки бабочек, ракушек, попуга-ев, которыекажутсямнесовершенноне-отразимыми, нисколько её не увлекают.

Занятие 7. Игра побеждает науку

9 апреля 1984 года (понедельник). 1600—1640(40 мин.). Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Симметрия на клетчатойбумаге. Повторение задания № 5-4.Женя ещё раз подтвердила свою склон-ность рисовать центрально-симме-тричные фигурки вместо осе-симме-тричных. Ни у кого из мальчиков этоявление не встречалось; наоборот —центральная симметрия всегда была,да и мне казалась, более трудной.

Задание 2. Ошибки в симметрии.Налисте бумагинарисованаось симметриии по обе стороны от неё — симметрич-ные фигуры. Однако некоторые фигу-ры нарисованы с ошибками (рис. 138).Требуется эти ошибки указать.После этой задачи я дал ещё одну,

аналогичную первой, в которой фигу-ры к томуже ещё были разноцветными,так что требовалось учитывать такжеошибки в цвете (симметричные частифигур должны были быть нарисованыодинаковым цветом).Как всегда, в решении задачи Дина

опережала других. Саня же всё боль-

Рис. 139. Эти кубики складываются из двух пластмассовых половинок. В задаче предполагалось,что порядок цветов не учитывается, т. е. красно-синий кубик — это то же самое, что сине-красный. В этом случае возможны 10 различных комбинаций цветов.

ше <придиралась> и показывала несу-ществующие ошибки, связанные с тем,что рисунок был не идеально акку-ратный.

Задание 3. Неупорядоченные пары.Когда мы строим последовательностьфишек на мозаике, то волей-неволейприходится считать различными те по-следовательности, в которых совпадаютцвета, но различается порядок их появ-ления в последовательности. Думаю,было бы затруднительно объяснить де-вочкам такое правило: давайте, мол,пару (красный, синий) и пару (синий,красный)считатьодинаковыми,потомучто то-то и сё-то.Для такого отождествления пар цве-

тов с точностью до изменения порядкаоказалось удобным использовать набордвухцветных пластмассовых кубиков.Каждый кубик состоит из двух полови-нок, так что его можно сделать сплошькрасным, красно-синим, красно-жёл-тым и т. д. Задание состоит в том, чтобыпостроить все такие кубики. Всего цве-тов 4 — красный, синий, жёлтый ичёрный, поэтому возможны 6 различ-ных двухцветных кубиков и ещё 4 од-ноцветных (рис. 139).Девочки хорошо справились с зада-

чей, но ни за что не хотели расставатьсяс кубиками (кубики в самом деле оченькрасивые—с ярким, насыщеннымцве-том). После двухцветных кубиков они

Картинки-паркеты — 214— 9. Кружок с девочками — первый год

сначала сделали все одноцветные, а по-том снова стали складывать такие жедвухцветные кубики, какие уже были,только класть их иначе. Сначала я пы-тался спорить, призывать в свидетелиобщественное мнение.—Давайте посмотрим, может, такой

кубик уже был.Те девочки, что ждали своей очереди,

охотно показывали:—Вот он.Но та, что делала новый кубик, не

соглашалась:—Нет, здесь красныйсверху, а уменя

сбоку!В итоге мне пришлось сдаться и из-

менить условие задачи: мы стали кластькаждыйкубик во всех возможныхполо-жениях. (Что,междупрочим,подсказы-вает идею новой задачи: брать разныене идеально симметричные фигуркии класть их в различных возможныхположениях. Один из вариантов — ку-бик, разделённый пополам плоскостью,проходящей через диагонали противо-положных граней; такие кубики можноделать из другого набора, помельче и не

Рис. 140. Сверху — замощение плоскости одинаковыми стрелками, которое я показывал детям;внизу — замощение <рыбками>.

такого красивого, см. стр. 219.) Одна-ко, решив и вторую задачу, девочкипродолжали складывать кубики сноваи снова, и остановить их уже не былоникаких сил.

Картинки-паркеты.Следующимпун-ктом моего плана должен был быть по-каз картинок-<паркетов> — т. е. замо-щенийплоскостиодинаковымифигура-ми—из книги Г.Штейнгауза <Матема-тический калейдоскоп>. Я подсовывалкартинки девочкам под нос, звал их,пытался сам рисовать на бумаге паркетиз стрелочек, как на рис. 140 сверху,но никто не обращал на мою суету нималейшего внимания: мои ученицыпродолжали строить разные заборы идворцы из кубиков предыдущей зада-чи. Даже паркет из ящериц М. Эшеране вызвал никакого интереса. Повтори-лась та же сценка, что когда-то произо-шла в одноммоём <постороннем>круж-ке с чужими детьми (я о нём ничего непишу, так как от него не сохранилосьникаких записей). Видимо, заданиес такими красивыми кубиками можетбыть только самым последним.

9. Кружок с девочками — первый год — 215 — Перечислить цифры по порядку

Из паркетов можно было бы соору-дить более интересную задачу, если быне полениться и вырезать, скажем, изкартона много одинаковых фигурок —квадратиков, шестиугольников, стре-лочек и т. п., или даже ящериц Эшера.Вот уж тогда заполнение плоскостиодинаковыми ящерицами могло быпроизвести настоящий эффект!

Занятие 8. Между двумя зеркалами

1 мая 1984 года (вторник). 1830—1915 (45 мин.).Женя, Саня, Дина.

Длительный перерыв был связанс моей командировкой.

Задание 1. Парыфишек на мозаике.Задача состояла в том, чтобы построитьвсе различные пары фишек с учётомпорядка цветов (причём одноцветныепары тоже допускались). Всего имеется5 цветов фишек, так что у этой задачи25 решений.Девочки очень хорошо справлялись

с задачей. Онинашли совершенно само-стоятельно 24 решения, и только одно

M M

Рис. 141. Найти все отличия между этими картинками.

Рис. 142. На клетчатой бумаге даётся начало узора; требуется его продолжить.

последнее я построил сам.При этом онимгновенно находили повторы, если ихкто-нибудь допускал, а также постоян-но указывали симметричные решения:— Эта — это перевёрнутая вот эта...В заключение я ещё попросил Дину

сосчитать количество решений, чтои было исполнено.

Задание 2. Найти отличия междукартинками. Даются две картинки снарисованными на них (и одинаковорасположенными) фигурками. Нуж-но найти те немногие отличия междуэтими картинками, которые имеются(рис. 141). Задач такого типа былодве (т. е. две пары картинок).

Задание 3. Перечислить цифры попорядку. На листе бумаги, разделён-ном на 10 частей, вразброс написаныцифры. Надо их показывать и перечис-лять по порядку. Почему-то особенноевеселье вызвало то, что ноль оказы-вался всегда самым последним. Динадаже хотела было начать с нуля, нопотом сказала:—Нет, пусть лучше будет смеш-

но, — и начала, как все, с единицы.

Занятие во дворе — 216 — 9. Кружок с девочками — первый год

Задание4.Продолжитьузорнаклет-чатой бумаге. Задание, аналогичное№ 6-2, только не на мозаике, а на клет-чатой бумаге. Я рисовал начало како-го-нибудь узора (или <забора>), а де-вочки должны были рисовать продол-жение (рис. 142).Строго по клеточкам рисовала одна

Дина, а Саня и Женя лишь правильноповторяли общий контур рисунка. Темне менее с точки зрения <угадываниязакономерностей> они тоже решали за-дачиправильно.Интересно, чтоив этой,и в других задачах н а м о з а и к е де-вочки правильно повторяли не толькообщую структуру узора, но и метриче-ские соотношения, а на клетчатой бума-ге это им не удаётся. Может быть, делов том, что число (в данном случае —количествофишек)усвоеноимилучше,чем более трудное понятие длины?

Про нижнюю фигурку рис. 142 интересно,что всегда на уроках я начинаю её рисовать наполях, когда скучаю, и получаю от этого какое-тоиррациональное удовольствие — не знаю, свя-зано ли это с кружком. — Женя.

Игры с двумя зеркалами. Сначалая взял два маленьких плоских зеркала(к сожалению, нет у меня зеркал боль-шого размера) ипоказывал на столе, чтобудет, если фишка, скрепка и т. п. отра-жаютсяв обоих зеркалахвместе, а такжечтобудет, еслименять уголмежду зерка-лами.Потоммыпошливкоридор,япри-нёс из кухни второе большое зеркало, идевочкивсталимеждудвумяпараллель-ными зеркалами, с большим интересомнаблюдая длинную цепочку уходящихв бесконечность своих повторений.Это развлечение было встречено с

большим восторгом и вообще с боль-шим подъёмом.

Занятие 9. Во дворе

7мая1984 года (понедельник). 1830—1915 (45мин.).Женя, Саня, Дина.

Погодабыладивная, тёплаяи солнеч-ная, и жалко было забирать девочекс улицы. Сначала я решил, так же, как

и в прошлый раз, перенести занятиес 1600 на 1830. Потом, когда уже и этоболее позднее время стало приближать-ся, а на улице по-прежнему было оченьхорошо, уАллывозниклаидеяпровестиз а н я т и е н а у л и ц е! Программабыла сочинена на ходу. Не всё полу-чилось удачно, но сам факт разнооб-разия следует приветствовать.

Задание 1. Сколько шагов от будкидо будки? В нашем дворе имеется дет-ская площадка, а чуть в стороне от неёрасположены две большие бетонныетрансформаторные будки; пространст-во между ними заасфальтировано.Сначала девочки всё пытались распо-

ложитьсявокруг какой-нибудьплоскойповерхности вроде стола. В основномв этом качестве служила приступка кодной из будок. С трудом мне удалосьпереключить их внимание на себя.Я попросил их попытаться угадать,

сколько шагов будет от одной будкидо другой. Девочки стали называть са-мыефантастические числа, причёмоднаи та же из них вполне могла сказать<20> и через секунду <100>.После этого мы стали измерять рас-

стояние шагами. Первой пошла Дина,но она стала отмерять не шаги, а ступ-ни, и дело затянулось. Второй пошлаЖеня. Она очень характерно считалашаги. Сначала на каждый шаг — счёт;затем, когда пошли числа подлиннее,соответствие потерялось: пока она про-износила <двадцать четыре>, она впол-не могла пройти 3—4 шага. Наконец,она вошла в область чисел, которые во-общенетвёрдопомнила.Получалось вотчто: Женя мучительно пытается вспом-нить следующеечисло, а ножкитемвре-менем всё идут и идут, отмеряют шаги.

У меня с этим до сих пор трудности, по-мо-ему... — Женя.

Дима припрыгивает вокруг и каквсегда очень занудно пытается втол-ковать Жене, что она всё делает не-правильно. Она от него отмахивается:—Ну, Дима, Дима, не мешай! —

и вообще забывает, на каком числеостановилась.

9. Кружок с девочками — первый год — 217 — План детской площадки

Рис. 143. Девочки считают, что эти башниимеют одинаковую высоту.

—Сколько там было, пап? — спра-шивает она меня, наморщив лоб.Я отвечаю:—Тридцать шесть.—А как дальше, пап?Тут ей пытается подсказать Дина, но

Женя буквально взрывается от возму-щения:—Ну, Динка! Не у тебя спрашивают!И вот в течение всего этого диалога

с четырьмя участниками она не оста-навливается, а всё продолжает акку-ратно ставить ногу за ногу.Затем то же самое, хотя и в меньшем

объёме, повторилось с Саней. Числау всех девочек получились существенноразличные. Мы попытались сравнитьу каждой из них то число, которое по-лучилось, с тем, которое было <пред-сказано> (и которое они, конечно, ужезабыли).Но операция сравненияимеладля них мало смысла; единственныйвывод, который они извлекли из неё,состоял в том, что они угадали непра-вильно. Саня очень оскорбилась и ста-ла заново шагать и считать для того,чтобы на этот раз получилось столькошагов, сколько она предсказала. Я еёедва утихомирил тем, что она ошибласьменьше всех (это правда).В заключение я решил развеселить

девочек и стал тоже мерить этот пролётсвоимишагами, причём стал делатьша-ги огромного размера. Все просто пока-тывались со смеху, однако без всяких

математических выводов — что, мол,число шагов зависит также и от длиныодного шага. Когда же я в последнийраз шагнул прямо на стену, это вызвалоуже совсем полную бурю.

Задание 2. Построитьбашенку такойже высоты.Япопытался дать девочкамто же задание, что когда-то давал маль-чикам:настоле (вданномслучаенапри-ступочке) строится башенкаизкубиков;нужно на полу построить башенку та-кой же высоты. Результат был естест-венным: они все пытались строить ба-шенку, достигающую такого же уровняпо горизонтали (рис. 143).Однако устроить на эту тему какое-

нибудь обсуждение не удалось, так какобе башенки постоянно сдувало ветром(да и поверхность асфальта была не-ровная). Пришлось это дело отложить.Кстати, мне сейчас пришла в голову

мысль, что эту задачу следует прово-дить по-другому. В качестве исходнойнадопостроитьбашенкунаполу—при-чём обязательно ниже стола. Тогда вто-рую башенку (на столе) никак неудастся сделать доходящей до того жеуровня. Есть надежда, что в этом слу-чае её действительно сделают той жевысоты — например, из того же ко-личества кубиков. А после этого надопопросить построить третью башенку,снова на полу и такой же высоты, каквторую. Любопытно будет потом срав-нить первую с третьей.[Какая свежая мысль, не правда ли?

Тот факт, что она мне когда-то ужеприходила в голову, и даже уже былаопробована с мальчиками (стр. 82),видимо, тоже сдуло ветром.]

Задание 3. План детской площадки.Работа над этим заданием оказалась доневероятности забавной: даже сейчас,через двадцать лет, вся картина стоиту меня перед глазами словно живая.Мы прошли все вместе на детскую

площадку. Я попросил девочек запом-нить всё, что на ней есть — качели,скамейку, песочницу, <лазилки>, до-рожки и т. п. — и запомнить к тому же,как всё это расположено. Я сказал им,

Опыты с магнитами — 218— 9. Кружок с девочками — первый год

что им сейчас надо будет всё это на-рисовать так, как это <видно сверху>,как если бы они были птицами.Потом мы вернулись на асфальтовый

пятачок между будками, каждая из де-вочек получила кусок мела, и все при-нялись рисовать п л а н (или в и дс в е р х у) детской площадки. В про-цессе работы разрешалосьприжеланиисбегать ещё раз на площадку, чтобыосвежить её в памяти.Лучше всех с заданием справилась

Саня. Она изобразила вполне прилич-ный план, на котором были правильнорасположены почти все важные детали.Недоставало песочницы; я спросил уСани, где песочница, и она нарисовалаеё на правильном месте.Дина, по-видимому, поняла смысл

задачи лучше остальных. Она взялась задело с необычайной дотошностью. Сна-чала она долго и аккуратно чертиласкамейку, которая имела Г-образнуюформу (рис. 144).Потом она долго и обстоятельно мне

объясняла, что у скамейки при взгля-де сверхуне видныножки, и поэтомуихрисовать не надо. Потом, пояснив, чтоскамейка зелёная, попросила у менязелёныймели сталааккуратноеё закра-шивать. Когда же, покончив со скамей-кой, она принялась изображать качели(вид сверху которых довольно-таки не-тривиален), всю работу уже пора былокончать, так как Саня давно уже всёкончила и рвалась в бой, а Женя тожедавноушланевтустепь.Динаоченьрас-строилась, просила разрешения доде-лать работу, но дело было безнадёж-ное — ей бы и двух часов не хватило.

Рис. 144. Так выглядит скамейка, если смо-треть на неё сверху.

Женя начала работу вполне правиль-но. Секунда — и на асфальте появилсябольшой круг, изображающий песоч-ницу. Тут же рядом появились совокс ведёрком, потом мальчик и девочка,играющие в песок, потом кукла, кото-рую девочка уложила спать... Я попы-тался сбить её с этой сюжетной линиии спросил, где качели. Два-три стреми-тельныхштриха—ипоявились качели.Мальчик и девочка пошли кататься накачелях, но тут начался дождь; они по-бежали домой, совсем забыв про куклу,которую девочка уложила спать... Од-ним словом, в мгновение ока она бук-вально <сплела> целую историю, со-вершенно при этом забыв и про двор,и про план, и вообще про математику.Что тут можно добавить? Это ровно

один из тех случаев, когда я не могуотличить поражения от победы. С од-ной стороны, если подходить к делус чисто математических позиций, покрайней мере две участницы из трёхс заданием не справились. Но, с другойстороны, это такое ни с чем не сравни-мое удовольствие — видеть столь ярко,столь выпукло все характеры, темпе-раменты, все три личности, что мате-матика тут отступает куда-то в заднийугол. Так и хочется сказать: да ну еёк чёрту, вашу математику! Д е т и го-раздо интереснее.

Опыты с магнитами. В заключениея показал детям несколько <фокусов>с магнитами. Один состоял в том, чтоодин магнит <убегал> от другого (онлежал в кузове маленького грузовичка,и при попытке поднести к нему сзадибольшой магнит грузовичок начиналуезжать). Во втором фокусе кнопки,скрепки и другие мелкие железки бега-ли по вертикальной картонке, управ-ляемые сзади магнитом.Девочки догадались, что дело в маг-

ните, да я и не скрывал.В целом занятие было довольно сум-

бурным. Из-за всё той же хорошейпогоды во дворе было полным-полнодетей с родителями и бабушками. Ку-ча народу толпилось вокруг нас, дети

9. Кружок с девочками — первый год — 219 — Расположение кубиков в пространстве

вмешивались, просили тоже дать иммел, девочки им кричали:—Это не ваш кружок, а наш!Приходилось наставлять их в веж-

ливости. Да и одних только <своих>зрителей хватало: кроме меня — тримамы и Дима с Петей.Закончилось это занятие несколько

неожиданно: оказалось, что пока Димавертелся около нас, у него украли ве-лосипед! Начались поиски, которыепродлились два часа. Это была целаядетективная история с привлечениемдворовых мальчишек, которые нам по-могали. Дима был чрезвычайно впечат-лён — не столько тем, что велосипедукрали, сколько тем, что нам удалосьего найти. Телевизора у нас дома нет,никаких детективов он никогда не ви-дел, и потомувсё удивлённоспрашивал:а что, милиционеры тоже так ищут?Недели через две Женя мне по како-

му-то поводу сказала, что заниматьсякружком дома ей нравится больше, чемво дворе. Что лишний раз доказываетсклонность детей к рутинным проце-дурам. (Ср. с Диминым замечаниемна стр. 50.)

Рис. 145. Все эти фигурки сделаны из семиспичек.

Занятие 10.Расположение двухцветных кубиков

14мая1984 года (понедельник). 1600—1700 (1 час).Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Устные вопросы.(1) Я еду на работу сначала на авто-

бусе,потомнатроллейбусе,потомнамет-ро,апотомнатрамвае.Какяедуобратно?Дина отвечала правильно, а Женя с

Саней—товпопад, атоневпопад,итруд-но было понять, отчего: то ли случайноошибаются, то ли неправильно решилизадачу.(2) Как называется:

много коров? — стадо;много птиц? — стая;много лошадей? — табун

(этого слова девочки не знали);много цветов? — букет;много овец? — отара

(этого тоже не знали);много спортсменов? — команда

и т. д. в томже духе (многопосуды,мно-го учеников, военных, рабочих, книг,самолётов, деревьев, . . .).

Задание 2. Семь спичек. Я положилна стол 7 спичек и стал складыватьиз них разные фигурки (рис. 145).Каждый раз надо было сосчитать,

<сколько теперь стало спичек>. И каж-дый раз оказывалось, что их 7. Динадаже утверждала, что их всегда будет 7,но тожеохотно считала, когдаподходилаеё очередь.Под конец, памятуя о нашемпервом занятиисмальчиками, я сложилспички в пространственную фигуру —<колодец>. Очередь была Женина; каки в тот раз (см. стр. 19), сосчитать спич-ки было трудно, так какколодецприне-ловком прикосновении разваливался.Может быть, поэтому их на этот разоказалось 6. Я подвёл итог: во всех фи-гурках получалось 7, а в колодце — 6.Никто не протестовал, даже Дина.

Задание 3. Угадывание закономер-ности. Не помню, что была за задача.

Задание 4. Расположение кубиковв пространстве (см. стр. 214). Девочкам

Пятёрки —220— 9. Кружок с девочками — первый год

Рис. 146. Задача: положить двухцветные ку-бики на стол во всех возможных положениях.Решений — 12.

было дано множество одинаковых чёр-но-белых кубиков: каждый был разде-лён пополам плоскостью, проходящейчерез диагонали двух противополож-ных граней.Требовалось расположить кубики в

пространствевсемивозможнымиспосо-бами (естественно, оси кубиков парал-лельныодним и темже осям координат,рис. 146).Конечно, лучшевсего былобыиметь какие-нибудь подставочки, в ко-торыебыкубикивставлялись,но уменяих не было, и мы просто прикладываликубики друг к другу. Девочки с задачейв общем справились, хотя под конециспытывали трудности. И у меня тожебыли трудности: когда очередное реше-ние не получалось, никто тем не менеене хотел уступать свою очередь.Реакция Жени на задачу меня огор-

чила. На решение она тратила меньшеэнергии, чем на психологическую за-щиту: с самого начала она заявила, чтобудет думать долго, <потому что она ещёмаленькая и не может быстро...>; послеэтого она ещё долго освещала и поясня-ла эту мысль, и никак не удавалось пе-реключить её с роли адвоката на рольматематика. Потом она очень картин-но морщила лоб, строила мне глазки,пытаясь вызвать улыбку, и всяческидемонстрировала напряжённую рабо-ту мысли; спрашивала, будто что-тозапамятовав:—Как там, пап...?— и всё это не гля-

дя на кубики, а глядя либо на меня,либо вообще в сторону.

Как с этим бороться, я не знаю.У меня такой подход вызывает силь-ное раздражение, но оно, естественно,никак делу не помогает. А начинаешьделать ей замечания — она тут жевступает в пререкания, и, попав в род-ную стихию, вообще забывает о задаче.

Занятие 11. Пятёрки

26 мая 1984 года (суббота). 1100—1150 (50 мин.).Женя, Саня, Дина.

Это занятие было последним в учеб-ном году, поэтому оно по структуреотличалось от остальных.

<Геометрия для малышей>.Я читалдевочкам первую главу из книги Жи-томирского и Шеврина <Геометриядля малышей>.

Пятёрки. В книге речь шла о ли-ниях (прямых, кривых и проч.).—А сейчас мы с вами тоже нари-

суем линию, — сказал я.Каждаяиздевочекполучилалистбума-

ги,накоторомбылонарисовано10точек,занумерованных числами 0, 1, 2, . . . , 9.Точки надо было соединить последова-тельнооднузадругойпопорядку.СаняиДинасправилисьлегкоибыстро, ауЖе-ни были трудности: в основном её ско-вывала робость, боязнь сделать что-ни-будь не так.Ноль, разумеется, был обна-ружен последним. Все очень смеялись.Когда работа была закончена, оказа-

лось, что на каждом листке нарисова-на цифра 5. Я торжественно объявил,что все трое получают пятёрку за годпо математике.

Пятёрки-печенье. Алла испекла пе-ченье в виде пятёрок—шестьштук, трибольших и три маленьких. Мы вручи-ли каждой из девочек по две пятёрки.Не помню, чья была идея, но девочкисами решилималенькиепятёрки съестьтут же, не отходя от кассы, а большиеунести домой и угостить всех домаш-них. На этом всё и кончилось.

10Кружокс девочками —второй годЗанятие 12.Что-то не так с теорией вероятностей

25 октября 1984 года (четверг). 1000—1110 (1 час10 мин.). Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Вытаскивание фигурокиз мешка. Я насыпал в мешок 9 боль-ших фигурок из набора Дьенеша: трикруга, три квадрата и три треугольника,и просил девочек по очереди вытаски-вать вслепую заданную заранее фигур-ку (так, чтобы каждой достались фи-гурки всех трёх разных типов). Формунадо было определять на ощупь.Задание было лёгким, и девочки

справились с ним вполне хорошо.Задание 2. Логическое включение

классов. Я положил перед девочкамичетырефигуркиизнабора (все большие,рис. 147) и стал задавать вопросы та-кого типа: каких фигурок больше —больших или квадратов? Или: квадра-тов или красных? Иногда вопросы пе-ремежались с более простыми: сколь-ко здесь квадратов? сколько большихфигурок? сколько красных?Напростыевопросывсеотвечалипра-

вильно. Но, к моему удивлению, и наболее сложные вопросы, касающиесяпересекающихся множеств, все, кро-ме Жени, отвечали правильно. ТолькоЖеня отвечала как положено по пси-хологической науке:—Чего больше — квадратов или

больших?—Ничего не больше... поровну.—А сколько квадратов?

—Два.—А больших фигурок сколько?—Четыре.— Значит, квадратов два, а больших

фигурок четыре, но при этом их по-ровну?—Да.Тут Саня вставила:— Смешно как-то Женя отвечает.

Не понимаю!Ястал задавать классическиевопросы

типа<когобольше: зверейили зайцев?>.И на этот раз тоже все дали правильныеответы (даже Женя), а Дина с Санейдаже всё правильно объяснили.Я, тем не менее, всё равно не верю,

что они до конца понимают включениеклассов, и ещё как-нибудь их поймаюна какой-нибудь другой задаче.

Задание 3. Вероятностная игра.Каждый из четырёх игроков (я тожеучаствовал) получил по три фишкии поставил их в клеточки первогоряда планшетки (рис. 148).Затем игра протекала следующим об-

разом:мыпо очередибросали две кости,считали сумму очков, и если, скажем,получалось 9, то фишка, стоявшая встолбце, помеченном числом 9, делалаодин шаг но направлению к финишу.Для девочек цель игры состояла в том,чтобы <выиграть>, т. е. поскорее дойтидо финиша. (Я заранее договорился сними, что в этой игре всё решают кости,а кости глупые, и поэтому никто небудет обижаться на свой проигрыш.)У меня же было сразу несколько <педа-гогических целей>. Во-первых, чтобы

Рис. 147. Красный квадрат, синий квадрат,красный треугольник и зелёный круг.

Вытаскивание фигурок из мешка — 222— 10. Кружок с девочками — второй год

они в процессе игры учились склады-ватьнебольшиечисла.Во-вторых,чтобыони запоминали, как пишутся цифры(выяснилось, что Саня и Женя их пло-хо знают). В-третьих, чтобы развиватьнечто вроде <вероятностной наблюда-тельности> (т. е. чтобы девочки училисьзамечать,чтоодничиславыпадаютчаще,чем другие, и старались ставить своифишки на более выгодные клетки).К сожалению, последняя назидатель-

ная идея (вероятностная) совершенноне удалась. Начнём с того, что Женя,например, понятия не имела, что двазначка <14>, стоящие у правого края,означают число <четырнадцать>. И ужтем более далеко ей было до осознаниятого факта, что такая сумма не можетполучитьсянадвухкостях.Можнобыло,конечно, заметить, что такая суммани разу не выпадала. Но — такое вотпатологическое невезение — сумма 7,которая по теории является наиболеевероятной, тоже очень долгое время ниразу не выпадала (да и потом выпадалакак-то вяло, без желания наверстатьупущенное).Жене вообще как-то в этой игре не

везло. У Дины уже все три фишки фи-нишировали (и, чтобы ей не было скуч-но, я разрешил ей поставить их снована старт, и они уже опять активно про-двигались вперёд), аЖеня ещё практи-чески не двигалась с места (и это имеясемёрку!). Мне очень хотелось, чтобыхотя бы одна из Жениных фишек до-ползла до финиша. Из-за этого играочень сильно затянулась, мы кончилитолько в 1110, и Дина, кажется, опозда-ла на музыку.Что касается сложения, то очень за-

бавно было наблюдать, как десятки развыпадает одна и та же комбинациякостей, скажем, 5 и 4, и как девочкикаждый раз аккуратно пересчитываютточки: один, два, три, . . . , девять.Иногда я бесстрастным комментатор-ским тоном замечал:—Помнишь, у тебя уже один раз

выпадало 5 и 4? Тогда, кажется, тожеполучилось девять.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

Рис. 148. Считается сумма очков, выпавшаяна двух костях, и соответствующая фишкапродвигается на одну клетку вперёд. Мы в этуигру уже играли с мальчиками: суммы 1, 13,14 вообще невозможны, наиболее вероятнаясумма — 7.

Но никто моих намёков не понимал.Между прочим, это не означает, чтоони не смогли бы угадать ответ, еслибы их об этом специально попросили.Просто <угадать> и <сосчитать> — этодва совершенно разных дела. Когдасчитают, то тыкают пальцем в каждыйпредмет и говорят: раз, два, три... Приэтом можно заранее знать, сколько по-лучится, но это не имеет отношенияк делу; ведь сказано: <сосчитай>.

Занятие 13.Опять о пересекающихся классах

15ноября1984 года (четверг). 1010—1100 (50мин.).Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Вытаскивание фигурокиз мешка. Задание аналогичное тому,что было в прошлый раз. Только тогдая сам просил вытащить определённуюфигурку, ифигурокв мешкебыломало.А на этот раз я высыпал в мешок весьнаборДьенеша, а девочки должныбыливытаскивать произвольные фигурки,но при этом каждый раз перед вытас-киванием объявлять вслух: <большойтреугольник с дыркой>, или <малень-кий круг без дырки> и т. п. Они легкос этим справлялись, только практиче-ски всегда почему-то объявляли лишьформу и дырчатость, а размер объяв-лять забывали (и делали это только вответ на мой вопрос). Видимо, размерощущается в большей степени <визу-

10. Кружок с девочками — второй год — 223— Пересекающиеся классы

альным> признаком, предназначеннымдля глаз (как цвет), а не для пальцев.Для развлечения я заранее подсыпал

в мешок несколько звёздочек (не при-надлежащихнабору). То-то былосмеху,когда Дина в первый раз такую звёз-дочку вытащила! А Саня даже сталаспециально выискивать звёздочки ивытаскивать только их.

Задание 2. Укладывание фигурокв коробку: пересекающиеся классы.Это задание родилось почти на ходу, ноя им очень горжусь. Девочки всегдаспорят и дерутся, когда укладываютфигурки обратно в коробку. На этот размне пришло в голову не утихомириватьих и не стыдить, как обычно, а пре-вратить эту процедуру в специальноезадание. После этого конкретный видзадания возник сам собой.Я объявил, что мы будем укладывать

фигурки по очереди, по одной штуке.При этом Женя должна укладыватьтолько маленькие фигурки, Саня толь-ко кружочки, а Дина — только фи-гурки с дыркой. (Маленькие фигуркисоставляют половину всех фигурок,дырявые тоже, а вот круги составляюттолько треть. Поэтому, когда они кон-чились, я разрешил Сане укладыватьтреугольники.) Поначалу всё шло бла-гополучно: Женя укладывала малень-кие фигурки, но не любые, а без дырокине круги, чтобы<не залезатьна чужуютерриторию>; Саня укладывала толькобольшие круги без дырок, Дина парал-лельно ей укладывала большие кругис дыркой. После четырёх раундов воз-никла первая трудность: Саня сказала,что ей больше нечего укладывать.—А что, разве круги кончились? —

спросил я.—Кончились.—Давай поищем.Саня шурует пальцем в целой куче

кругов, <ищет круг>.—Ну что, нету?—Нету.—А это разве не круг?(Я показываю на маленький кру-

жок с дыркой.)

Саня (после паузы):— Это Женин...—Но ведь это круг?—Да.—Тебе, Саня, разрешается уклады-

вать любые круги, хоть большие, хотьмаленькие!—А как же я? Маленькие я уклады-

ваю! — вдруг возмущается Женя.—Ну и что? — говорю я. — Ведь

это же круг!—Он с дыркой! — неожиданно вме-

шивается Дина.Но Саня уже осознала, что я р а з-

р еш аю ей сейчас положить этот кру-жок, и поэтому точками зрения осталь-ных участниц можно пренебречь. Рабо-та продолжается, а вместе с ней споры,обсужденияи т. п. ПерваяЖеняпоняла(и даже сказала вслух), что она имеетправо на любые маленькие фигурки,независимо от формы, цвета и наличиядырки. Вот только она не хочет при-знать аналогичное право за другими:как только кто-нибудь зарится на ма-ленькуюфигурку, заявляет протест.По-степенно она смирилась, но не в связис необоснованностью протеста, а лишьв связи с бесполезностью.Вскоре иСаняс Диной осознали свои права, но спорывспыхивали до самого конца, хотя всёреже.Наконец работа закончена: из всех

фигурок остались снаружи лишь четы-ре больших квадрата без дырки. Я по-просил девочек объяснить, почему ониостались снаружи. Конечно, отчётли-вого ответа я не получил, но кое-чтоони всё же сумели сказать, а потом я(после слов <Правильно, молодцы!>)как будто бы повторил вслед за ними,а на самом деле сказал всё чётко и пра-вильно.После этого я разрешилкаждойиз девочек положить по одному квадра-тику, а последний положила маленькаяАсенька*, которая тоже сидела с нами.

Задание 3. План комнаты. На листебумаги я изобразил большой и оченьгрубый план комнаты (нарисовал его

* Младшая сестрёнка Дины.

Ханойская башня —224— 10. Кружок с девочками — второй год

тут же на занятии на глазах у девочек).Далее по очереди наносил на него ди-ван, пианино, секретер и проч. и спра-шивал у девочек, что это такое. Потомспросил, где нужно нарисовать стол.Затем попросил обозначить буквами,где кто из нас сидит за столом. Потомпредложил девочкам самим нарисоватькнижные полки, проигрыватель (они,конечно, рисовали не план, т. е. не видсверху: Женя сделала рисунок, а Саня,как древний египтянин, изобразила видодновременносверхуи спереди).Потомяизобразил головкуБуратино (рис. 149:у него очень легко показать, где перёд)и спрашивал, что у него сзади, спереди,справа, слева (на вопрос, что у Бурати-но сзади,Динаответила: <Помпончик>).На все вопросы девочки отвечали впол-не прилично.

Геометрия для малышей. Решил чи-тать девочкам всю подряд <Геометриюдля малышей>. Хотя весной мы первуюглаву читали, я решил её повторить,чтобы всё шло с самого начала. Каки в прошлый раз (т. е. 26 мая), все ри-совалина своих листках точки, прямые,кривые и т. п., но только на этот разу Жени тоже всё хорошо получалось.Прочитали первую главу.

∗ ∗ ∗

За обедом Женя рассуждает:—Всё время кажется, что пройдёт

один год, и Дима догонит Петю. Но вотпроходит год, и Петя тоже вырастает ивсегда остаётся большеДимы.Но,Дима,ты не расстраивайся! Зато Пете совсеммало осталось жить, а тебе гораздобольше!Сразу два закона сохранения.

Занятие 14. Ханойская башня

22ноября1984 года (четверг). 1010—1050 (40мин.).Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Ханойская башня. Я по-казал девочкамвенгерскуюпластмассо-вую <ханойскую башню>, долго и по-

Рис. 149. Буратино с длинным носом. Его можновырезать отдельно и, помещая в разные местаплана (комнаты, двораили чегоугодно), спраши-вать, что у него спереди, сзади, справа и слева.

дробно объяснял правила игры. Потомраздал всем трём самодельные картон-ные ханойские башни и предложил имсыграть самим. Женя сразу же отказа-лась играть— <потому что у меня не по-лучится>. Я её, однако, уговорил, и онакончила первой. Сначала она, тем неменее, была в тупике, и я несколько разей подсказал. Потом дело пошло на лад.Через некоторое время я обнаружил,что занимаюсь только с Женей, а Саняуже далеко ушла вперёд, и я не уверен,что она не нарушала правил. Я сталза ней следить. Правила она, в самомделе, иногда нарушала — в основномтаким образом, что играла сразу двумяруками, переставляя две фишки. Послемоего вмешательстваонанекотороевре-мя была в тупике, и ей, как и Жене,пришлось подсказывать. Потом и онасправилась с работой. Последней оста-лась Дина. Думаю, что она-то как разправил не нарушала, потому и отстала.Впрочем, это только гипотеза. Я еюпочти не занимался; её пыталась под-талкивать Галя, но в основном не под-сказками, а понуканиями (Дина мно-го отвлекалась и смотрела, как играютдругие). Женя с Саней, конечно, непреминули заметить, что Дина — по-следняя, а Женя ещё подчеркнула,что она-то первая. Я ещё перед нача-лом игры говорил, что у нас не сорев-нование, а просто игра, и сейчас этокак можно более отчётливо повторил.Потом стал подсказывать Дине.Дина работала ещё довольно долго,

а Женя с Саней меж тем томились отскуки и начали баловаться. Ещё когда

10. Кружок с девочками — второй год — 225— Башни равной высоты

Женя одна кончила, я предлагал ей по-играть второй раз, но она отказалась.Даже пластмассовая игра её не прель-стила: она сказала, что ей неинтересно.

Задание 2. Укладывание фигурок.Снова укладывали фигурки Дьенешав коробку (только правила— что комуукладывать — я, разумеется, поменял).На этот раз девочки продемонстрирова-ли большее понимание, и склок быломеньше.

Геометрия для малышей. Читаликнигу дальше. Во время чтения возникконфликт: девочки всё требовали, что-бы мы, как в прошлый раз, рисовалилинии, а в книге на этот раз таких за-даний не было. Мне никак не удава-лось прекратить поток их занудства:только сумею договориться с одной,как вступает вторая; начну читать —опять кто-нибудь перебивает и клянчитфломастеры. В конце концов я дажеразозлился и вообще прекратил чтение,сказав девочкам, что они плохо себяведут. На том и расстались.

Занятие 15. Башни равной высоты

6 декабря 1984 года (четверг). 1000—1100 (1 час).Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Снова ханойская башня.На этот раз подсказок было существен-

Рис. 150. С этой задачей мы уже встречались(см. рис. 143 на стр. 217).

но меньше. Первой справилась Саня,второй Женя, третьей Дина. Саня по-просила подарить ей одну из картон-ных башен, что ей и было обещано(хотя я сильно сомневаюсь, что онабудет одна играть ею дома).

Задание 2. Башни равной высоты.Когда-то я уже давал девочкам такуюзадачу: на возвышенномместе строитсянебольшая башенка из кубиков; нужнопостроить башню той же высоты на бо-лее низкой площадке (рис. 150). Замы-сел был в том, что дети скорее всего по-строят башню вовсе не той же высоты,а с верхушкой на том же уровне по го-ризонтали. А мы после этого возьмёмда и столкнём их с какими-либо про-тиворечиями.Так оно, в общем-то, всё и получа-

лось, но только задачу эту я тогда далдевочкам на улице, и все башни у нихрассыпались от ветра. На этот раз ярешил построить исходную башенкуна более низкой площадке (конкретно,на табуретке), а девочки должны былистроить башню той же высоты на столе(рис. 151). Таким образом, добитьсятого, чтобы верхушки были на одина-ковом уровне, попросту невозможно.Ничего путного, однако, из этой зада-

чи не получилось. Сначала всё шло не-плохо. Девочки действовали довольнограмотно: строили вторую башню на

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Рис. 151. Нужно построить на столе башнютакой же высоты, что и башня, стоящаяна табуретке. Добиться совпадения верхнихуровней башен на этот раз невозможно.

Поворот на 90◦ —226— 10. Кружок с девочками — второй год

табуретке, а потом аккуратно перено-сили её на стол. Я спрашивал:—Башенки одинаковые?—Одинаковые.—А какая выше?—Вот эта.—Как же так? Я просил построить

башню той же высоты, а она оказа-лась выше.—Так ведь она же на столе.Тут Дина стала строить на столе баш-

ню из тех же деталей (деревянных) и втой же последовательности, что и на та-буретке. Она, однако, ошибалась и не-сколько раз вставляла не те детали. Туту меня возникла несколько громоздкаяидея — проверить транзитивность: по-строить две башни, равные первой, ичтобы они оказалисьне равнымимеждусобой. Для этого по крайней мере однубашнюнадобылоделатьиздругогомате-риала, т. е.издругихпоразмерукубиков.[Я, ей-богу, похож на чукчу из анек-

дота: не читатель, а писатель. Хотя бысвой собственный дневник иногда пе-речитывал!]Параллельно,видимо, у меняприсут-

ствовала и какая-то другая идея, болеесмутная, так как я предложил девоч-кам строить обе башенки на пианино.Может быть, я имел в виду, что пиани-но чуть-чуть выше стола, и девочки наэтот раз будут уравнивать верхушки.В итоге я не сформулировал чётко зада-чу— это во-первых; во-вторых, поверх-ность пианино (т. е. крышки над кла-виатурой)оказаласьне вполне горизон-тальной; и, наконец, кубики, которые явыбрал, оказались совершенно не под-ходящими для построения башенки:даже мне не удавалось добиться того,чтобы они не рассыпались. При этомкубики разваливались на треугольныеполовинки, девочки хохотали, кида-лись их собирать, лезли под диван ис-кать, не закатилось ли туда что-нибудь,после чего всё начиналось сначала.Пришлось мне просто задачу свернутьи кончить на полдороге.

Спирограф.Япоказал девочкам спи-рограф (см. рис. 95на стр. 131).Доволь-

но долго на их глазах рисовал разныеспиралиизавитушки.Галяодновремен-но делала то же самое с другими колеч-ками. К сожалению, у спирографа естьодин существенный недостаток: дети немогут с ним справиться самостоятельно.Даже когда девочки попытались что-тонарисовать с моей помощью,у них тоженичего не вышло—либо большое колё-сикоуползало, либомаленькое соскаки-вало. После нашего занятия со спиро-графом попытался поработать Дима,но тоже без особого успеха.

Геометрия для малышей. Продол-жали чтение книги.

Занятие 16. Поворот на 90◦

20 декабря 1984 года (четверг). 1010—1050(40 мин.). Женя, Саня.

К этому занятию я подготовился бо-лее-менее сносно, всё продумал зара-нее и заготовил много задач. Однако за10 минут до его начала позвонила Галяи сказала, что Дина заболела и сегодняне придёт. Пришлось мне всю програм-му на ходу ломать и придумывать зано-во. Конечно, Дина, как самаяматемати-чески продвинутая, особенно сильно быне отстала, но, чтобы это осознать, надобыло соображать быстрее, чем я умею.Я, в частности, не планировал большезаниматься ханойской башней, но вста-вил её снова за неимением других идей.

Задание 1. Ханойская башня. Саняопять справилась первой и даже успеласыграть два раза. Это ещё сильнее укре-пило её в мысли взять эту игру себев подарок (что она хотела сделать впрошлый раз, но забыла). На этот разКатя её в самом деле унесла.

Задание 2. Поворот на 90◦ на мозаи-ке. Я строил на мозаике разные фигур-ки, а от девочек требовалось построитьтакую же фигурку, повёрнутую на 90◦

(или, иначе, <положить фигурку набок>). Сначала я сам показал на приме-ре, как это делается.Женяпоначалуни-чего не понимала; затем немного осво-илась и стала решать задачи почти

10. Кружок с девочками — второй год — 227— Снежинки

самостоятельно. Под конец я совсем об-наглел и дал ей довольно трудную зада-чу: в соответствующей фигурке междунекоторыми линиями встречались углыв 45◦ и в 135◦. К сожалению, эту задачуона не осилила.Санясправлялась со своимизадачами

более-менее ровно, без особых провалови спадов. Я, однако, ей особенно труд-ных задач не давал. Интересно, что и я,иЖеня делали всегда поворот на 90◦ почасовой стрелке, а Саня все свои пово-роты делалапротив часовой стрелки.Несвязано ли это с тем, что она левша?

Геометрия для малышей. Прочита-ли ещё несколько страниц.

Занятие 17. Снежинки

27 декабря 1984 года (четверг). 1000—1110 (1 час10 мин.). Женя, Дина.

На этот раз отсутствовала Саня, ноя решил не менять характер занятия,так как оно должно было быть ново-годним, а Новый год уже на носу.

Снежинки. Почти всё занятие былов той или иной степени посвящено сне-жинкам. Сначала мы рассматривалибольшую пластмассовую снежинку,разбирали, какие у неё есть оси симмет-рии (ставили по оси зеркальце). Потомя показывал девочкам картинки сне-жинок в книге Г. Вейля <Симметрия>(а также показал книгу И. Кеплера<О шестиугольных снежинках> — кар-тинок в ней, к сожалению, нет, так чтоя показал только обложку с заглавием).Затемнаквадратноймозаикеяпоставилв самом центре синюю точку (<центр>)и стал объяснять девочкам централь-ную симметрию. Шла она очень туго,но в итоге мы соорудили какое-то подо-бие снежинки (не 6-угольной, разуме-ется). Потом стали строить уже настоя-щую 6-угольную снежинку на круглоймозаике. Она получилась гораздо луч-ше, так что мы её даже оставили довечера, чтобы показать Алле.После этого мы стали вырезать сне-

жинки из листа бумаги.

Я хорошо помню, как я сам в детствепросто таял от немого восторга передэтим завораживающим чудом. Берёшьпростой лист бумаги, складываешь не-сколько раз, вырезаешь совершеннопроизвольную загогулину— чем поза-гогулистей, тем лучше—потом, уже за-ранее предвкушая результат, осторож-но разворачиваешь лист — и передтобой оказывается нечто такое невооб-разимо симметричное, узорчатое, кру-жевное... Потом мы прилепляли этибумажные снежинки к окнам, и онивисели весь Новый год и ещё долгопосле этого.Реакция Дины очень напоминала

мою тогдашнюю, из воспоминаний.Чтоже касается Жени, то она, казалось, насами снежинки вообще не обращаланикакого внимания. Зато её безумноувлекали обрезки:—Ой, смотри, папа, ноги с коленями!

Ой, а это головаи две руки. А вот кулак!А это человек танцует—вот здесь у негонога, а рукой он взялся за голову...Я показывал все этапы вырезания

подробно: складывал лист сначала по-полам, потом вчетверо и т. д. — и пока-зывал каждый раз, как узор удваи-вается, учетверяется, . . . Дима тожепринимал участие в этой работе.

Геометрия для малышей. По прось-бе Дины читали то же, что в прошлыйраз, когда её не было.

Занятие 18.Грани, вершины и рёбра куба

11 апреля 1985 года (четверг). 1100—1200 (1 час).Женя, Саня, Дина.

Как это видно из даты, со дня преды-дущего занятия прошло три с полови-ной месяца. Такой большой перерывсвязан с тем, что за это времябыло оченьмного болезней: Дина с Саней болеликоклюшем, я и Женя гриппом, а потомя ещё лечил своё горло. А в те редкиепросветы, когда можно было позани-маться, я оказывался, как спортсмен,который потерял форму. За это время

Грани, вершины и рёбра куба —228— 10. Кружок с девочками — второй год

мы с Женей ничем не занимались, заисключением одного случая, которыйпроизошёл совершенно спонтанно.Дима решал разные задачи из <Мате-матической смекалки> Б. А. Кордем-ского, в том числе такую:Два мальчика катаются на лодке.

К ним подходят два рыбака и просятперевезти их на другой берег. Однаколодка вмещает только либо двух маль-чиков, либо одного взрослого. Как ры-бакам перебраться через реку при ус-ловии, что лодка после этого должнаостаться у мальчиков?(В другой версии этой задачи нуж-

но перевезти через реку не двух ры-баков, а целую роту солдат.)Как ни странно, Дима решил задачу

неправильно, хотя уже знал задачу проволка, козу и капусту (она обсужда-ется далее, на стр. 230 и следующих):у него один из рыбаков перебиралсячерез реку вплавь. Однако его всё-такигрызло сомнение, и за обедом он спро-сил у меня, годится ли такое решение.Между нами завязался длинный разго-вор о том, что значит о с т а в а т ь с яв р а м к а х з а д а ч и (в процессекоторого он, конечноже, задачурешил).Женя, услышав наш разговор, включи-лась в него и попросила дать ей тожедвух мальчиков и двух рыбаков. Мыдали ей две целых спички, две половин-ки и ещё какую-то фиговину в качествелодки, и она принялась решать задачу.Задача о рыбаках кажется мне болеетрудной, чем задача о волке, козе и ка-пусте, так как в ней нетривиальный ход(отплытие двух мальчиков на другойберег и возвращение одного из них)нужно использовать два раза. Пона-чалу Женя догадалась до него толькоодин раз, затем стала в тупик. Дима ейподсказал (я не успел его остановить),и задача была завершена. Характерно,однако, что подсказанное ей место онапотом не смогла вспомнить: она захо-тела показать своё решение Алле, ноопять застряла на полдороге. Тут уж яДиму удержал, Женя ещё немного по-думала и догадалась до решения сама.

Рис. 152. <Бумажная версия> задачи, подроб-но обсуждавшейся в главе 4.

Должен признаться, что она меняэтим сильно удивила. Я уже привыкк тому, что она в математике отстаёт отДиминыхпоказателей тогоже возраста,а тут она его явно опередила: Дима впять лет не смог решить задачу про вол-ка, козуикапусту (это былолетомна да-че, мы рисовали реку на земле, возилитуда-сюда разные предметы, но ничегоне помогало).Всё описанное здесь произошло при-

мерно месяц назад. Сегодня я тоже хо-тел дать девочкам задачу про волка,козу и капусту, но не успел.

Задание 1. Грани, вершины, рёбракубика. Я дал каждой девочке по куби-ку и попросил сосчитать сначала грани,потом вершины, а потом рёбра. Всесправились с задачей, только при под-счёте рёбер Женя насчитала их 8 штук:она подсчитала верхние и боковые рёб-ра и уж совсем было собралась при-няться за нижние, но тут Саня закри-чала во весь голос:—Двенадцать!Я оглянулся в её сторону, увидел, что

Дина не считает, а смотрит на Женю,стал ей говорить, чтобы она считала са-ма, а она ответила, что уже сосчитала—и, одним словом, Женя отвлекласьи забыла довести задачу до конца.А когда считали вершины, Женя

сказала:—Восемь. Ну, ведь четыре и четыре

это восемь, так что можно было и несчитать.Она очень заметно прогрессирует.

10. Кружок с девочками — второй год —229— C25

Задание 2. C25 — двухцветные бусы.

Я дал каждой из девочек листок бума-ги, на котором были по 12 раз нари-сованы одинаковые бусы, состоящиеиз пяти кружочков (рис. 152).Требовалось две бусинки закрасить

в синий цвет, а остальные три оставитьбелыми — и сделать это по возможно-сти разными способами, без повторе-ний. К моему большому удивлению,лучше всех с задачей справляласьЖеня. У неё вообще произошёл ка-кой-то скачок вперёд.Саня сегодня была то ли не форме,

то ли чем-то возбуждена. Она работалаочень поспешнои суматошно, повторяяодни и те же решения иногда по 6 раз.Когда это потом выяснилось (мы всевместе искали у всех повторения), онасказала, что не знала, что так нельзя.Я дал ей ещё один листок, но она сдела-ла на нём лишь одно новое решение(списанное у Жени), а всё остальноеснова заполнила повторениями, при-чём всё это быстро, без размышленийи без оглядки на прежние решения.В сумме по двум листкам у неё на-бралось 6 решений.Дина по сравнению с Саней работала

вдумчиво, но очень робко. С большимтрудом найдя три решения, она сделаларобкую попытку капитулировать, но яеёнепринял, сказав, что, мол,Женяещёработает, и ты работай. ТутДина посмо-трела на Женю, увидела её очередноерешение, сказала:—А-а! — и нарисовала четвёртые

бусы.(АЖенька, зараза, закричала: <Дин-

ка, ну ты!Неподглядывай!>—изакры-лась локтем.)Послечетвёртого решенияДина опять попыталась сдаться, но по-том нашла (уже сама) ещё какие-товарианты. В итоге у неё, как и у Сани,оказалась 6 решений, но повторениебыло всего одно. По результатамЖеняне так уж сильно опередила остальных:у неё было 7 решений (при одном пов-торении). Отличался скорее характерработы.Онаработала такжевниматель-но, как Дина, и при этом так же смело,

как Саня. Иными словами, если быне было моих подсказок и понуканийи девочки работали бы отдельно, у Ди-ны было бы 3 решения без повторов,у Сани — 5 решений и 7 повторов,а у Жени — 7 решений и 1 повтор.При этом Женя не собиралась останав-ливаться, а продолжала искать дальше.Мне пришлось её остановить, так какдве остальные девочки ничего не де-лали и начали баловаться. После под-ведения итогов Женя сказала:—Ой, так у меня больше всех!Но Дина её осадила:—А ты, Женя, не хвастайся!Женя промолчала в ответ (тоже не

совсем в её стиле).Под конец, как я уже говорил, мы

все вместе проверили все решения инашли все повторы. С этим все спра-влялись одинаково успешно, что ещёраз показывает, что, если говорить от-дельно об интеллекте, то у каждой издевочек его вполне хватало для реше-ния задачи. Если чего-то не хватало,так это сосредоточенности, смелости икреативности, т. е. фантазии при по-иске новых вариантов.

Задание 3. C25 на мозаике (повторе-

ние). Эта задача уже была у нас чутьбольше года тому назад, на 4-м занятии.Сначала я спросил у девочек, не

помнят ли они, как мы уже когда-торешали задачу, очень похожую на ту,что только что была. Саня сказала, чтопомнит, как мы рисовали <вот такие>крестики (показала пальцем). Не знаю,что она имела в виду, но похожей ейзадача показалась, видимо, потому, чтомытожерисовали.ДинасЖенейничегопохожего вспомнить не могли. Тогда ясам достал мозаику и дал задачу напостроение <бус> из 5 фишек — 2 си-них и 3 белых. Тут все вспомнили,что такая задача, действительно, была.Мы стали по очереди строить такие

бусы. Саня была явно где-то не здесь:она никак не могла найти второе (!)решение (после того, как Дина по-строила первое). Начала Саня с того,что поставила 3 белые фишки на те же

Волк, коза и капуста —230— 10. Кружок с девочками — второй год

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????

Рис. 153. Такое продолжение ничего хороше-го не предвещает — нового решения из негоне получится.

места, что у Дины (рис. 153), и на-долго задумалась.Думать, собственно говоря, было не

о чем, так какдля синихфишекникако-го выбора не оставалось, и неизбежноповторялось решение Дины. Я предло-жил Сане переставить белые фишкииначе. Она сняла их все три, немногоподумала и поставила опять на те жеместа. Я пустился в более долгое объ-яснение, но Саня была как в гипнозе:она снова сняла три фишки и опять по-ставила их на те же места. Пришлосьмне, рискуя обидой, передать очередьЖене. Женя мгновенно справиласьс задачей, и тут Саня, увидев её ре-шение, как будто очнулась и сказала:—А-а, теперь я тоже могу!И действительно, вскорости она без

труда нашла третье решение, потом пя-тое и только на восьмом снова споткну-лась, и пришлось опять прибегнутьк помощи Жени. Построив на мозаикекаждое очередное решение, мы отыс-кивали его на листках у девочек (т. е.каждая искала сама, а я следил). Есликакое-то решение уже было, около негоставился плюсик, а если не было, мыего дорисовывали.Поиск последнего, десятого решения,

достался Дине. Она долго не могла сним справиться. Тогда я применил под-сказку: спросил, нет ли у кого на листи-ке решения, ещё не отмеченного плю-сиком. Такое решениенашлосьуЖени,и она построила последний ряд бус на

мозаике. Я обратил внимание девочекна то, что теперь и на мозаике, и накаждом листке— ровно по 10 решений.После этого я сам принялся отыскивать11-е решение.Я подробно и обстоятель-но, а главное — о ч е н ь с и с т е м а-т и ч н о, перебирал все возможности,и каждый раз мы убеждались, что про-изошло повторение. В итоге мы сделаликоллективныйвывод, что больше реше-ний нет. На этом занятие закончилось.Между прочим, один раз Женя тоже

применила, хоть и не в полном объёме,систематический перебор: она постави-ла одну синюю фишку в первую пози-цию, а потом стала перебирать пооче-рёдно возможные положения второйфишки, и так нашла новое решение.В общем, она меня сегодня порадовала.

∗ ∗ ∗

Занятия математикой очень смешноповлияли на Женино обычное время-препровождение — рассказывание са-мой себе сказок вслух. Она заняласьэтим сразу же после кружка, но персо-нажами на этот раз у неё были цифры,предводителем коих была пятёрка. Го-лос взволнованный—восклицательныезнаки можно ставить едва ли не послекаждого слова, а иногда и по два-три:<Они схватили пятёрку и потащили еёв тюрьму! Четвёрка бросилась спасатьсвою подругу, за ней— тройки, двойки,но было уже поздно. (Трагическаяпауза.) Её увели — навсегда!! ,,Как жемы будем без предводителя?“ — ска-зал...> — не помню уже кто это сказал.

Занятие 19. Волк, коза и капуста

18 апреля 1985 года (четверг). 1100—1200 (1 час).Женя, Саня, Дина.

Задание 1. Волк, коза и капуста.Приведу на этот раз дословную фор-мулировку из книги Кордемского:<Это— тоже старинная задача; встре-

чается в сочинениях VIII века. Онаимеет сказочное содержание.

10. Кружок с девочками — второй год — 231 — Как устроена память?

Некий человек должен был перевезтивлодкечерез рекуволка, козуикапусту.В лодке мог поместиться только одинчеловек, а с ним или волк, или коза,или капуста. Но если оставить волкас козой без человека, то волк съест козу,если оставить козу с капустой, то козасъест капусту, а в присутствии человека,,никто никого не ел“. Человек всё-такиперевёз свой груз через реку. Как онэто сделал?>.С детства я помню картинку, кото-

рая сопровождала эту задачу в кни-ге: бородатый мужик в лаптях стоитоколо лодки и чешет затылок. Рядомс ним — все три его <предмета>; волк,ощерившись, смотрит на козу.Сегодня, наконец, дал эту задачу де-

вочкам. И Женя с ней не справилась!Я ничего не понимаю: неужели эта за-дача труднее задачи о двух мальчикахи двух рыбаках? Тогда чем труднее?И почему на кружке в первом классе(в Диминой школе) её никто не решил,даже гениальный Глеб?Волк, коза и капуста, а также рыбак

и лодка, у нас были <настоящие>, т. е.не какие-нибудь условные заменители,а маленькийигрушечныйволк,малень-кая игрушечная коза и т. п. Рекойслужила щель, разделяющая пополамплоскость складного стола.Дина долго и внимательно смотрела

на фигурки, а потом сказала:—Я, кажется, могу... — и показала

правильное решение.После этого повторилась та же очень

характерная история, что и в прошлыйраз: ни Женя, ни Саня не смогли вос-произвести только что увиденное реше-ние. Первой пробовала Саня. В реша-ющий момент (когда козу надо везтиназад) она надолго задумалась и не знала, что делать; Дина ей подсказала. Нопосле этого Женя опять заткнулась втомжесамомместе.На этот раз япопро-сил Дину не подсказывать, и задачаосталась нерешённой. Тогда я сновапривлёк Дину, и она ещё раз показаласвоё решение, а Жене предложил вни-мательно следить. Женя <всё поняла>

(как она сказала), кинулась повторятьи снова застряла, и опять справиласьс задачей лишь после подсказки Дины.Видимо, в задачах, где главное — логи-ческая организация материала, запом-нить решение чисто механически, безосознания этой организации, невоз-можно.Вспоминается один из опытовПиаже

позднего периода, касающийся памяти.Маленькому ребёнку, который ещё непонимает, что такоеупорядоченноемно-жество (факт непонимания сначалапроверяют специальными тестами), по-казывают картинку, на которой изобра-жены упорядоченные по длине отрезкипрямых (рис. 154 слева), и просят за-помнить, что здесь нарисовано.—Палочки — говорит он.—Нарисуй, какие палочки.В ответ на эту просьбу ребёнок рису-

ет беспорядочный набор параллельныхотрезков— так, как показано на том жерисунке справа. Так он их запомнил.Проходит полгода, и у ребёнка спра-

шивают, помнит ли он то старое заня-тие. Оказывается, что да, помнит. Егопросят нарисовать то, что было тогда —и он рисует совершенно правильную(левую) картинку, на которой отрез-ки упорядочены по длине — и дажеоказывается в состоянии объяснить,что они упорядочены, чего раньше былсделать не в состоянии. После этогоопыта устройство нашей памяти пред-ставляется совсем уж загадочным.

Рис. 154. Слева: упорядоченныйнабор отрезков;справа: как <запомнил> и воспроизводит ихребёнок, ещё не усвоивший понятия порядка.Уже через полгода тот же ребёнок, вспоминаяпрежнеезадание, воспроизводитлевый рисунок.

Ещё раз C25 — 232— 10. Кружок с девочками — второй год

В соответствии с этим опытом можнобыло бы через какое-то время, скажем,через полгода, спросить у Жени, пом-нит ли она решение задачи про волка,козу и капусту. К сожалению, в нашейситуации невозможно будет отличить,вспомнила ли она старое решение илирешила задачу заново.

У меня с этой задачей всегда была одна и та жепроблема — я забывала решение и с некоторымужасом смотрела на рисунок, уверенная, что вотсейчас я не придумаю и опозорюсь (про то, чтораньше у меня получалось, я помнила, но уве-ренности это мне никакой не придавало).

Про задачу с лодкой и рыбаками я вовсене забыла, и теперь, a p o s t e r i o r i, мнекажется, из сравнения поняла: всё дело в целиперсонажей — да, да!

Рыбаки хотят попасть на другой берег, они этои делают, а мальчики им помогают. Мальчикиникуда не стремятся, они просто <катаются> и хо-тят в конце сохранить лодку. Куда им ехать —туда или обратно — никакого значения для нихне имеет. Никакое из действий участников непротиворечит их целям.

А вот в волке, козе и капусте есть один совер-шенно п с и х о л о г и ч е с к и абсурдный ход:мужик везёт с п е ц и а л ь н о привезённую имкозу о б р а т н о. Подозреваю, что именно в этомместе у меня всегда был <затор>. — Женя.

Задание 2. Треугольная призма. Поаналогии с прошлой задачей про кубикя дал девочкам треугольную призму,у которой надо было сосчитать количе-ствовершин,рёбери граней.СаняиДи-на с задачей справились, а Женя —с шероховатостями.

Задание 3. Многоугольники. На ли-сте бумаги мы рисовали разные мно-гоугольники и подсчитывали у нихколичество вершин и сторон. Подроб-ности того, как протекала эта задача,я уже забыл, но, кажется, совпадениеполучалось не всегда. Помню только,что царил какой-то сумбур.

Задание 4. Ещё раз C25 . Семья Дины,

в отличие от всех моих прошлых и ны-нешних учеников, имеет профессио-нальное отношение к математике, а по-тому и собственное мнение о стиле моихзанятий. Часто мне кажется, что их раз-дражает и кажется им дурацкой мояманера не давать никаких объяснений(т. е. не объяснять, как р еш а е т с язадача). Подобно многим математикам,они считают главным педагогическим

достижением умение чётко и понятно(<доступно>)объяснитьрешениезадачи.В этом направлении происходит глав-ное педагогическое творчество: в поис-ке наглядных образов, логических хо-дов, аллегорий и т. п. Например, какобъяснить новичку отличие интегралаЛебега от интеграла Римана? Нужновзять горсть монет и показать два мето-да суммирования: все подряд (по Ри-ману) или отдельно монеты каждогодостоинства (поЛебегу). Яподозреваю,что в моём игнорировании объясненийони видят не столько позицию, сколь-ко неумение. Несколько раз они дели-лись со мной разными соображениямио том, как можно было бы ту или инуювещьобъяснитьдевочкам,каконичто-тообъяснили Дине и она, конечно же, всёпоняла. Впрочем, когда Алла стала од-нажды говорить Гале о том, что я счи-таю, что ничего детям втолковыватьне следует, то Галя отреагировала наэто таким образом, что, мол, конечно,разумеется, кто же этого не понимает.Так что, может быть, мне всё это толькокажется.Прав я или нет, не знаю, но на это

занятие Дина принесла и с гордостьюпродемонстрироваламне тетрадь, почтидо половины изрисованную <бусами>и вычислениями. Там была, во-первых,вся серия сочетаний из пяти элементов:C05 , C

15 , C

25 , C

35 , C

45 , C

55 с демонстрацией

связи между Ckn и Cn−kn . Кроме этого,были разобраны и другие примеры,например, C27 . Дина рассказала, чтотеперь ей бабушка всё объяснила: и то,что нужно по очереди закрашеннуюбусинку фиксировать, а менять ос-тальные (следующие), и то, как можнозаранее сосчитать результат. Одним сло-вом, отчётливый, связный и педагоги-чески продуманный урок, который былбы очень уместен в четвёртом классе(так мне к аж е т с я — сам я в четвёр-том классе никогда не преподавал).Должен сказать, что Дина излагала

всю бабушкину науку правильно и до-вольно толково. Я думаю, что было быдовольно легко поставить её в тупик ка-

10. Кружок с девочками — второй год —233— Ещё раз C25

кими-нибудь вопросами (вряд ли онасумела бы объяснить, почему нужнозакрашивать бусы именно в таком по-рядке, а не в другом; скорее всего, онабы ответила, что <бабушка сказала, чтонужно делать так!>). Но я, разумеется,не стал этого делать. Ведь у меня такили иначе по плану была задача: выпи-сывать неповторяющиеся сочетания издвух букв С и трёх букв Б:

С С Б Б БС Б С Б БС Б Б С Б. . . . . .

В том, какой будет результат, я не сом-невался. Когда дело дошло до этой за-дачи, Дина справлялась с ней не хужеи не лучше других: с большим трудоми совершенно беспорядочно она нашла6 решений. (Боюсь, что бабушка, уви-дев это, очень бы расстроилась и ре-шила бы, что Дина совсем ничего несоображает. И снова была бы неправа.Впрочем, пожалуй, реальное развитиесобытий было бы иным: наверное, Ди-не не дали бы и двух минут на размыш-ление, а стали бы загонять в угол наво-дящими вопросами и не отстали бы дотех пор, пока она не сделала бы всё<по науке>. И это был бы очередной<педагогический успех>, а всё недо-вольство и раздражение <тупостью> ре-бёнка осталось бы загнанным внутрь.)Дальше мы повторили ту же про-

цедуру, что в прошлый раз: смотрелирешения друг друга, искали повторе-ния, дополняли друг друга и т. д., и витоге составили общий список из10 решений. После этого я сказал:—А знаете, что значат эти буквы:

С, С, Б, Б, Б? Это Синий, Синий,Белый, Белый, Белый!И стал показывать бусы с прошлого

занятия и объяснять, что две буквы Созначают две синие бусинки, а три бук-вы Б — оставшиеся белые бусинки.Мы некоторое время занимались по-исками соответствующих друг другурешений обеих задач. Девочки делалиэто охотно, активно и легко, но не было

того ликования и энтузиазма открытия,который имел место на том памятномзанятии с мальчиками. Вообще я заме-тил, что по сравнению с мальчикамидевочки выражают гораздо больше вос-торгов по поводу самого факта нашихзанятий (при сообщении <завтра будеткружок> кричат <ура>, прыгают, хлопа-ют в ладоши...), но на самих занятиях,когда происходят наши маленькиеоткрытия, они ликуют гораздо мень-ше — собственно, даже вообще почтиникаких эмоций не проявляют.

<Малышам о звёздах и планетах>.<Геометрия для малышей> отдана напрочтение Саше Пачикову, поэтому наэтот раз, чтобы восстановить традициючтения, читали книжку по астрономии.

Занятие 20.Цепочка с одной разницей

21 октября 1985 года (понедельник). 1430—1520(50 мин.). Женя, Саня, Дина.

Опять начинаю с самооправданий.Занятиявозобновилисьпосле полугодо-вого перерыва — никак не мог собрать-ся с духом и снова вставить это делов лавину всех остальных своих дел.В промежутке (в августе) вышла моястатья в журнале <Знание—Сила>,произошёл взрыв интереса к кружку,мне стало очень стыдно за то, что я егозабросил, но заодно возросло и количе-ство препятствий — надо было кому-точто-то писать, с кем-то разговаривать,встречаться и т. п. К тому же жуткийкувырк с расписанием, свадьба Ани*...Вот так дело и дотянулось до концаоктября.У девочек, как и раньше, при изве-

стии о том, что будет кружок — вопливосторга.

Задание1.Зарядка:отысканиецифр.Каждая из девочек получила листокбумаги, разграфлённый на разные гео-метрические фигуры, в которых стоятцифры (листочки у всех разные): при-

* Моя племянница.

Цепочка фигурок с одной разницей —234— 10. Кружок с девочками — второй год

01

2

3

4

5

6

7

8

9Рис. 155. Найти и показать все цифры в пра-вильном порядке.

мер приведён на рис. 155. Нужно пока-зать и прочитать цифры по порядку.Все справляются быстро и хорошо.Женя и Саня начали с 1, дошли до 9,и им пришлось закончить нулём. Диназаметила этот дефект в их ответах исама начала с нуля. Когда-то раньшеаналогичная ситуация очень всех на-смешила, но сегодня всё прошло спо-койно.Саня:—А вы это сами рисовали?—Да.—А как так ровно?—С помощью линейки.—А круги?—Циркулем.—А-а-а...Задание 2. Цепочка фигурок с од-

ной разницей. Мы взяли снова нашбесценный набор Дьенеша и ещё разобсудили, чем фигурки отличаютсядруг от друга. Когда-то раньше такойразговор не очень удался, но сейчасвсе понимали, о чём идёт речь, и пере-числяли четыре признака: цвет, форма,размер, <дырка>. Задание состояло втом, чтобы выкладывать фигурки другза другом таким образом, чтобы каж-дая следующая отличалась от преды-дущей ровно одним признаком (либотолько цветом, либо только формой,либо только размером, либо только на-личием или отсутствием дырки), а всеостальныепризнакидолжнысовпадать.Занимались мы этой задачей очень дол-го, практически всё занятие. Несколькораз я спрашивал у девочек, не надоело

ли им, но они дружно заявляли, чтонет, не надоело.Дина и Женя справлялись с задачей

без затруднений. Что же касается Са-ни... Ну что сказать про Саню: беднаядевочка пошла в школу. А это означа-ет весь букет: утомление, рассеянноевнимание, подавленную инициативу.Быть может, это было не очень ясноиз моих записок, но нормальное со-стояние Сани всегда было — востор-женное сияние. Вы можете себе пред-ставить ребёнка, которому только что,пять минут назад подарили собаку?Вот такова была Саня в о б ы ч н о ев р е м я и без всякой собаки. А сейчасеё какбудтопогасили,и взглядвсё чащеуплывает куда-то в сторону, в про-странство... Она берёт наугад произ-вольнуюфигурку; случайно оказывает-ся, что правильную, подходящую в ка-честве решения; она долго-долго на неёсмотрит, явно не в состоянии выделитьпризнаки, отделить их от фигурки исравнить с предыдущими значениями,и наконец кладёт фигурку обратнов общую кучу. Потом берёт наугаддругую фигурку, и всё повторяется.Потом в какой-то момент эта деятель-ность её утомляет, и она кладёт в рядту фигурку, которую держит в руках,независимо от её пригодности, а глазатотчас же куда-то уплывают...Впрочем,иногда я замечал, что и держа в рукахфигурку, она смотрит не на неё и нена ряд, а куда-то в пространство.Я стал задавать ей вопросы:— Эти фигурки по размеру одина-

ковые?—А по цвету?—А дырка здесь есть? А здесь?На все вопросы она отвечала пра-

вильно, но обычно не могла сделатьиз своих ответов какой-нибудь вывод.Как-то она не могла уловить, сколькоже получилось различий и сколькоих нужно. А иногда, уже положив ре-шение в ряд, она вдруг замечала, чтофигурка чем-то отличается от преды-дущей (но ведь она и должна былаотличаться одним признаком; однако

10. Кружок с девочками — второй год —235— Поэтапное формирование умственных действий

Саня как-то забывала об этом), и тогдаона вдруг, как будто <спохватывалась>и поспешно забирала своё решениеобратно.Приходилосьобъяснять ей, чтооно было правильным. Иногда мне ка-залось, но не знаю, прав ли я, что еёсбивали с толку сами наименованияпризнаков. Существуют треугольники,круги и квадраты — это ясно, потомучто видно; но ещё существует какая-то<форма>, и что это значит и как связа-но с предыдущим, не очень ясно. Тре-угольник отличается от квадрата —это видно; но кроме этого он, по-ви-димому, отличается ещё и формой —это вторая разница, что ли? Смысл слов<форма> и <размер> она тоже путала.Вот таковы в целом симптомы её<неуспеваемости>. Думаю, что со вре-менем всё войдёт в своё русло, но сей-час, на данном занятии, ничего у насне получалось.На Жене можно было наблюдать

одно своеобразное явление. Когда ре-шали задачу другие, она как бы обла-дала м г н о в е н н ы м в и д е н и е мправильного решения, т. е. решала за-дачу так же, как и я. При этом она по-рывалась подсказывать, шептала мнена ухо, что у Сани под носом лежитрешение, а она его не видит, вскрики-вала, когда из кучи фигурок вдруг вы-валивалась подходящая, и т. д. и т. п.По всему было видно, что она опреде-ляет верные и неверные решения с од-ного взгляда. Но когда очередь пере-ходила к ней самой, она вдруг всё этотеряла и начинала действовать, какговорят психологи, <развёрнуто>, т. е.перечисляла по очереди все признаки,смотрела, совпадают они или нет, под-считывала несовпадения и т. п. Приэтом она могла забыть рассмотреть ка-кой-нибудь признак или ошибитьсяв счёте (посчитать какой-то признакдва раза, или, найдя вторую разницу,забыть о первой) — и тогда возникалиошибки.Но, пожалуй, ещё важнее то, что Же-

ня брала из кучи не сразу правильнуюфигурку, как могла бы, а произволь-

ную. Она отличалась от самой себя вмоменты <без ответственности> так же,как человек, умеющийотличать на слухстихи от прозы, отличается от человека,вынужденного подсчитывать количест-во ударных и безударных слогов. Вто-рой легкоможетошибитьсявподсчётах,в то время как первый ошибиться неможет, так как <слышит> выпадаю-щую строку.Пожалуй, это последнее неожиданно

родившееся сравнение очень хорошопоказывает, что такое теория поэтап-ного формирования умственных дейст-вий. Как бы стали авторы этой теорииучить нас распознавать стихи? Снача-ла должны идти <развёрнутые предмет-ные действия>. Например, можно обо-значить ударный слог красным квадра-тиком, а безударныйсиним, и выклады-вать для каждой строчки эти квадрати-ки в ряд на столе, после чего выявлятьпериодичность. Потом от предметныхдействий надо переходить к <символи-ческим> — рисовать на бумаге схемывида —∧—∧—∧—, где чёрточка обо-значает безударный слог, а знак ∧ —ударный. Постепенно нужно добивать-ся того, чтобы эти схемы <интериоризи-ровались>, т. е. рисовались лишь мыс-ленно и даже <свёрнуто> (что означаетэто слово, не очень ясно), а подсчёт чис-ла слогов должен тоже производитьсяв уме и всё быстрее и быстрее, пока недойдёт до полного автоматизма. А там,глядишь, мы уже и научились отли-чать стихи от прозы.В то время как правильный путь со-

стоит в том, чтобы просто читать многостихов, желательно хороших, и особен-но желательно их при этом любить.Всё сказанное насчёт стихов — не

утрирование. Я видел статью в одномсборнике, гдешестиклассников,не уме-ющих видеть в двумерных рисункахизображения трёхмерных предметов,учили это делать, выделяя куски рисун-ка и разбирая смысл взаимного распо-ложения линий. Например, в изобра-жении вершины куба (рис. 156) однаиз линийпредставляетсобой вертикаль,

Цепочка фигурок с одной разницей —236— 10. Кружок с девочками — второй год

Рис. 156. Вершина куба.

другая — горизонталь, параллельнуюплоскости рисунка, а третья — гори-зонталь, перпендикулярную этой плос-кости.И таки научили — вот в чём юмор!

Ведь если долго заниматься вышеизло-женным квазистиховедением, то поне-воле придётся прочесть довольно многостихов. А умные дети, которые всё и безтого понимали, могут получить даженекоторую пользу от того, что познако-мятся с основами формального стихо-ведения. Это, однако, не отменяет тогофакта, что теория в целом — сплош-ной абсурд: дети т а к не учатся.Новернёмсянанашезанятие.Всё-та-

ки Женя ошибалась довольно редко, аиногда в ней просыпалось непосредст-венное видение, и она решала задачусходу. Есть ещё такой критерий. Боль-шинство решений, которые давали де-вочки, были тривиальными вот в какомсмысле: они меняли лишь цвет пре-дыдущей фигурки. Например, лежитбольшой красный квадрат без дырки;тогда следом за ним кладётся боль-шой синий квадрат без дырки, потомжёлтый, потом зелёный. Но на этомвозможности изменения цвета исчер-пываются; дальше нужно поменятькакой-то другой, менее тривиальныйпризнак, сохранив остальные. В этотмомент обычно возникали трудности.Так вот, Женя преодолевала этот мо-мент легче остальных, а иногда предла-гала нетривиальное решение до того,как в этом возникала необходимость.Дина по количеству нетривиальных ре-шений была на втором месте, а Санеони вообще не удавались. Мне сейчаспришло в голову, что, может быть, цвет

легче распознаётся детьми в качествепризнака, потому что выражен в языкеприлагательными (красный, синий,жёлтый, зелёный), в то время как, ска-жем, форма выражена существитель-ными (треугольник, круг, квадрат).Впрочем, размер (большой — малень-кий) тоже оказывается менее очевид-ным признаком, чем цвет.[Забавно: в другом месте я утверж-

даю, что дети замечают разницу в цветев последнюю очередь. Удивительнаяспособность порождать скороспелыетеории.]В самом конце Дине досталась такая

ситуация, когда оставалось около де-сятка фигурок, но ни одна из них негодилась в качестве следующей. Онадолго была в тупике.Есть одноявление, касающееся детей,

с которым я никак не могу примирить-ся, хотя и наблюдал его десятки раз(кажется, и писал об этом уже не раз).Казалось бы, ну чего проще: брать фи-гурки по одной, просматривать, и еслине годится, откладывать в сторону.Но опыт показывает, что н и к т о и зд е т е й н и к о г д а д о э т о г о н ед о г а д ы в а е т с я. Почему — не могупонять. Неужели это так трудно? Онибудут долго-долгокопатьсявовсейкуче,по многу раз просматривая одни и тежерешения, и ситуация будет становить-ся всё более затяжной и безнадёжной.Вот и сейчас было то же. Пришлосьмне вмешаться и начать откладыватьв сторону ужераз отвергнутыефигурки.В итоге мы убедились, что решенийбольше нет, и на этом задача кончи-лась. Правда, Галя предлагала продол-жать выкладывать фигурки с другойстороны ряда. Но я чувствовал, что за-дача слишком затянулась (как и вотэто моё описание), и спросил у дево-чек, будем ли продолжать. Я уже двараза до этого спрашивал, не надоелоли им — они говорили, что нет, носейчас все единодушно высказалисьза то, чтобы задачу закончить.Могу попробовать предложить два

объяснения тому, почему дети не уби-

10. Кружок с девочками — второй год — 237— Конец дневника

рают в сторону отвергнутые решения,а оставляют их в общей куче. Первое:они не так уж твёрдо уверены, что всёсделано правильно, без ошибок, и ре-шение наверняка не подходит. Второе:у них ещё нет нашей взрослой убеж-дённости в постоянстве законов при-роды (и логики); быть может, сейчасне подошло, а через пять минут подой-дёт. Так порой случалось в прошлом,а причины не всегда были стопро-центно ясны.

Задание 3. Укладывание фигурокобратно. Как и раньше, я назначилдевочкам пересекающиеся условия длявыбора фигурок: одна кладёт толькобольшие, другая — только с дыркой,третья — только жёлтыё. На этот развсе всё понимали. Женя даже сказалапро какую-то фигурку, что её можети она положить, и Саня. Так что споровбольше не было. Когда у Жени кончи-лись её жёлтые фигурки, я спросил,почему её фигурки кончились раньшевсех. Она сама считала причиной то,что Саня тоже иногда клала жёлтыефигурки. Я объяснил, что, в то времякак больших фигурок и фигурок с дыр-кой имеется по половине, жёлтых всегочетверть, так как есть четыре цвета. По-

этому мы разрешили Жене укладыватьдальше красные фигурки. В конце, каквсегда, остались фигурки ни для когоне годные—дополнениявсех трёхклас-сов. Их мы положили уже без разбора.Хочу напомнить, что при укладыва-

нии фигурок в коробку имеется ещёодно дополнительное требование—фи-гурки с дырками и без дырок должныоказываться в разных ячейках.Вообще вся работа шла легко и

оживлённо:—Ой, Женя, смотри, у тебя всего

две осталось!И тому подобное.Геометрия длямалышей.Уменя ещё

оставалось две или три неиспользован-ные задачи, но уже прошло 45 минут,и поэтому я их оставил, и мы послед-ние 5 минут читали <Геометрию длямалышей>.

∗ ∗ ∗

Вот так — без фанфар и празд-неств — закончился наш второй кру-жок; все усилия по его продолжениюоказались тщетны. Жизнь понесласьдальше, и я сумел <остановиться иоглянуться> только сейчас, в 2005 году.

Это не эпилог

Наверное, читателям будет любопыт-но узнать, что стало дальше с героямимоего рассказа. Я долго колебался,должен ли я удовлетворять это любо-пытство. Ведь жизнь продолжается,и то, что верно сегодня, может кар-динально измениться завтра. Потомвсё-таки решил написать.Я уже многократно извинялся за то,

что уделяю Диме с Женей больше вни-мания, чемостальным.На этот раз ситу-ация ещё более усугубляется: о своихдетях я мог бы написать как минимумглаву, а то и больше; о чужих же знаюпорой лишь мельком и понаслышке.Надеюсь, что меня простят и поймут.

Из компании мальчиков один толь-ко Дима выбрал математику своей про-фессией.ОнокончилВысшуюнормаль-ную школу в Париже (Ecole NormaleSuperieure), защитил диссертациюипо-лучил место исследователя в одном изПарижских университетов. В самомначале этой книги, во введении, я упо-минал о Московском центре непре-рывного математического образования(том самом, где выходит эта книга)и о Независимом Московском универ-ситете. Так вот, в течение несколькихлет Дима был ответственным (с фран-цузской стороны) за обмен студентовмежду Ecole Normale и Независимымуниверситетом. Он также много зани-мается со школьниками; в частности,организовал в Париже Турнир городов:это международная математическаяолимпиада, центральный оргкомитеткоторой расположен вМоскве, всё в томже МЦНМО. Ещё одна сторона егожизни — он является одним из руко-

водителей Парижского клуба русскойавторской песни; сам тоже поёт песнипод гитару.

Петя закончил Институт восточныхязыков МГУ по специальности <япон-ский язык>; год провёл в Японии; ра-ботает переводчиком. Является однимиз организаторов и руководителей при-ходского подросткового клуба; выпус-кает молодёжный журнал.

Андрюша окончил Государственнуюфинансовую академию по специаль-ности <мировая экономика>. Работаетвмосковскомотделении одногоиз круп-нейших западных банков: занимаетсяторговлей так называемыми <финан-совыми инструментами> — ценнымибумагами, валютами, производнымиконтрактами и т. п. У него уже ма-ленькая дочь.

К сожалению, я полностью потерялиз виду мальчика Женю; не знаю, гдеон сейчас и чем нынче занимается.

Моя дочь Женя окончила один изПарижских университетов по отделе-нию киноведения и сейчас продолжаетучёбу там же в аспирантуре; её дис-сертация посвящена Кире Муратовой.Помимо этого, Женя преподаёт кино-ведение студентам и учителям лицеев,переводит, делает субтитры к фильмам,участвует в организации кинофестива-лей; была членом молодёжного жюринаКаннскомфестивале; сняла несколь-ко короткометражек; представляла сов-ременное французское кино в России,Казахстане и Киргизии; танцует в по-лупрофессиональной труппе свинга...не знаю, где остановиться...

Саня окончила историко-филологи-ческий факультет РГГУ; как и её братПетя, много занимается с детьми прицеркви, толькоцерковьна этот разиная,не православная, а протестантская.В данный момент работает над откры-тием частной школы.

Конец книги —239— Конец книги

Дина живёт в Америке; окончиламатематический факультет универси-тета Брандайс и работает преподавате-лем математики. Редактирует учебникипо математике. Всерьёз занимается ке-рамикой: она участвовала в несколь-ких выставках.

∗ ∗ ∗

Какой бы такой придумать эффект-ный конец?Я знаю, что точка катарсиса должна

отстоять примерно на одну треть от

конца, а дальше напряжение должнопонемногу спадать. А у меня всё идётв одинаковом ритме от начала и до кон-ца. По стилю немножко напоминаетсагу (хотя это сравнение, разумеется,неуместно льстивое). Когда-то я былпотрясён и очарован, впервые позна-комившись с исландскими сагами; онии сейчас остаются моим любимейшимчтением. Жизнь в них кипит, однисобытия нагромождаются на другие,и вдруг... — одна короткая фраза:

<Здесь кончается эта сага>.

Мысль не притворяется движущейся, она даёт не указаниепути, а образец поступи. Хорошо, когда читатель дочиты-вает книгу с безошибочным ощущением, что теперь он незнает больше, чем не знал раньше.

С. Аверинцев.

Цитируется в статье М. Гаспарова <ПамятиСергея Аверинцева> // Новый мир. № 6. 2004.