254 Kleine Mitteilunpen

titjiulien Intcgrale cmkr uiid xwcitcv Uattung in der LSUHS- DREschen Normalform, deren Modiil k durch (5) gegeben ist.

Mitt Hilfe der vollstandigen elliptischen Normalintegralv K(k) und E(k) llBt sich aus (7) iiber die Dauer einer Viertel- schwingung auch die Eigenkreisfrequenz w der freien Schwin- gungen mit w1 von (2) in der Form

Zur Bererhnung von kritisehen Anstromgeschwindigkeiten flapher Seilnetzwerke

5 [(2 + x ) E - K] n stmng angcbcn.

3. Reihenentwicklungen Die Angabe des Schwingungsausschlages z in seiner Abhiin- gigkeit von der Zeit t verlangt eine Funktions-Umkehr in (7). Sie laDt sich nicht mehr geschlossen leisten, so daD man auf Reihenentwicklungen angewiesen ist. Zu dem Zweck fiihrt man zunachst mit w von (8) durch t - w t (9) eine dimensionslose Zeitzahlung in (7) ein. so daD ~ ( t ) die Periode 2 II erhalt. Sodann wird zweckmiiaig in

2 (2 + X ) E - F =- [(2 + X ) E - K I T n

E(q, k) durch u = F ( q , k) mit Hilfe der JAcosrschen Zcta- funktion zn [3, S. 791 ausgedriickt. Dies fiihrt auf die noch streng geltende Gleichung

E (2 + x ) x u + (2 + x)znu - u

2 -1V + x ) E - K l t=-- ~- ~

n ails der zum Zwecke der Funktionsuinkehr vorab ~ ( t ) zu berechnen ist. Hierbei ist eine Reihenentnicklung nach x Q 1 von (3) erforderlieh.

bfit [3, S. 891 findet man in erster Naherung

und kann hieraus endlich iiber die Jacosrsche Funktion sn u die Ausschlag-Zeit-Funktion als Reihenent,wicklung

x(t) 3 &) = - = sin t - - x (sin t + sin 3 t) + O ( x 2 ) (10) a 32

angeben. Hierin ist die Zeitzahlung z durch (8) und (9) bestimmt.

Aus (8) ergibt sich ebenfalls durch Reihenentnicklung 13, S. 621, jedoch wesentlich einfacher, die Kreisfrequenz in der Form

wenn man hierin x von (3) wieder durch die Geschfidigkei- ten w, a und c ausdriickt. Das erste Korrektmglied in (11) ist iibrigens schon von J. L. SYKCE [l] auf andere Weise berechnet worden.

Fiir x = 09 a2/(2 c2) + 0 erhillt man aus (7), (10) rind (8), (11) den Grenzfall des klassischen harnionischen Oszilla- tors zuriick. Die relativistischen Korrekturen in (10) und (11) lassen sich auch von diesem ausgehend leicht mit einer Stiirungsrechnung finden. Wie zu erwarten war, lassen sich diese Ergebnisse jedoeh nicht einfach fiberlinearem oder unterlinearem Schwingungsverhalten zuordnen, da die Xicht- linearitit der Bewegungsgleichung von der Tragheit hcrriihrt und nieht von der Ruckstellung.

L i t er a t ur 1 SYNGB, J. I,., Handbuch dcr Physik, herausgrg. ron R. Yliiggc, T:and I l l ,

2 FOBBAT, N., Analytisehe Mechanik der Schwingungen, S. 118, Berlin 1966. 3 JAENKE-ENDE-LOSCH, Tafeln hoherer Funktiown, 6. A i d l . Stiittgart

1, S. 211, Berlin/~ottingcn/Hridclberg 1900.

1060.

Eingereicht am 28. 7. 1971

Amchrijt: Professor Dr. F. WEIDENHhMMER, 7500 Karlsruhe, SalierstraBe 7 (BRD)

1. 15 i I I I c , i t II ng

Bei Seilnetzwerken konnen - wie bei anderen durch Wind angestromten Bauwerken - Stromungsablosungen auftre- ten, die zum .,AbreiBflattern" fuhren.

Abgesehen von solchen ortlichen Abreil3flattererscheinun- gen, bei deren Erfassung man fast ausschlieBlich auf das Experiment angewiesen sein wird, bereitet auch die Bestim- mung der allein durch den Energievorrat im Luftstrom her- vorgerufenen Flatterschwingungen erhebliche Schwierig- keiten, wenn wie bei einem aerodynamischen Profil nach der Sin uleritatenmethode vorgegangen wird (8. z. B. [I]).

j u r niiherungsweisen Berechnung derartiger Flatter- schwingungen flacher Seilnetzwerke erscheint es deshalb angebracht, einen von ROTH [2] fur reibungsfreie inkompres- sible Unterschallstromungen von Membranplatten aufge- stellten Ansatz formal zu iibernehmen, da er lhnlieh wie Druckgesetze fur tfberschallstromungen (8. [3]) die Riickwir- kung der aerodynamischen Krafte in expliziter Abhiingigkeit von des Schmingungsanschlagen beschreibt.

Nachstehend sol1 linter der Annahme, daB sich Seilnetz- werke als schubweiehe Membranen betrachten lassen, ein hin- reichendes Stabilitatskriterium zur Berechnung kritischer Anstromgeschwindigkeiten aufgestellt werden. Dabei wird von einer Stabilitatsdefinition Gebrauch gemacht, die iiqui- valent zii einer- von NEMAT-NASSER und G. HERMANN [4] benutzten Definition der Stabilitat von Kontinuen ist.

2. B e s c h r e i b u n g d e r F 1 a t t e r s c h w i ng u ng e n Uber das von ROTR angegebene Druckgesetz (8 . 121, S. 24)

und die in 151 abgeleiteten Beziehungen fiihrt die mathema- tische Beschreibung der Flatterschwingungen flacher, am Rand festgehaltener Seilnetzwerke auf die Integrodifferen- tialgleichung

Hierbei bedeuten V die Anatromgeschwindigkeit (in x-Rich- tung), p p die Massebelegung der stromenden Luft, p die Massebelegung des Seilnetzwerkes, e die Dichte der Luft, 9 einen von der sich einstellenden Schwingungsform ab- hangigen Faktor (qlm< 77% < . . . ; s. [a], S. 38), L!, 1 , die Langen- ausdehnung in z-Richtung und D > 0 den dimensionslosen Dampfungsbeiwert. - -

5 = - stellen dimensionslose kartesische Ko-

ordinaten dar; diese seien parallel den .in die 2, y-Ebene (GnindriBebene) projizierten Seilnetzlinien auf einer geeignet

X

L o , y = LO

Kleine Mitteilungen 255

definiert en Ausgangsfliiche (Vorspannfliiche), deren Projek- tion auf die GrundriBebene ein endliches Gebiet R mit stuck- weise glattem Rand r einnehme (R = R + T). Weiterhin bezeichnen Ti,(?/) bzw. Tza(x) (a = 1 , 2 ) die nach z bzw. y

aufgelosb Gleichung der Randkurve r = r ( x , y), w = -

die auf die statische Pliiche bezogene dimensionslose Ver- schiebung in Richtung der Normalen an die x, y-Ebene, yo eine Bezugskreisfrequenz, t = w, t eine dimensionslose Zeit und Lo eine Bezugsliinge.

Die statischen Norizontalkriifte werden durch H, = ax Go > 0 und H, = ay Go > 0 mit U, als Bezugssteifigkeit dar- gestellt, die elastischen Steifigkeiten durch G, = BZ U, 2 0 und G, = bv Go 2 0. Der Normdenabstand zwischen einem Punkt der statischen Fliiche und der GrundriBebene sei Lo xl(x, y). Ein Komma bedeutet partielle Differentiation. Ohne das im einzelnen zu erwiihnen, sei hier noch voraus- gesetzt, daB alle Funktioqen die geforderhn Differenzier- barkeitseigenschaften haben.

- 2U

LO

3. Die Stabil i t i i tsbedingung

Es sol1 jetzt gezeigt werden, daB die Bedingung

(4) - ax > 0

fur die StabilitAt der Gleichgewichtslage w = w , ~ = 0 im Sinne einer in [4] gegebenen Stabilitiitsdefinition hinreichend ist.

Zu diesem Zweck wird in Anlehnung an die direkte Methode von LJAPUXOW die Form

7

U = 2 DK ~ J ( W , S ) ~ d? d R + OR

eingefuhrt, die sich als Energieintegral der Bewegungsglei- chung (1) deuten &Lit.

Zum Nachweis hierfiir bilden wir die Ableitung - d t

nnd integrieren partiell uber x und y unter Beriicksichtigung von (2) sowie der Identitaten

au

Es entsteht

g = j- { K [(l + P) W , T T -{- 2 DZ(l,,] -

It

woraus mit (1) und (2) sofort

- d U - 0 at folgt.

Wie auLierdem mit Hilfe der FRIEDRIcHsschen Unglei- chung zu erkennen ist, stellt U fur jedes t 2 0 unter der Bedingung (4) in L,(R) eine positiv definite Form dar:

1 U 2 Min [G, ay, K (1 + P)] F ( t ) 2

1 1 T M i n [ZS, a,, K (1 + r)] u2 llwl12 = Nl u2 1 1 ~ 1 1 ~ . (7)

Dabei bezeichnen u eine Gebietskonstante, ( 1 11 die Norm im Raum L,(R) - llwlla = f w2 dR - und die Norm

R

G(t) =R/ [(w, + (w, Y)' + (w, 7)'l d R (8)

Weiterhin ergibt sich fur jedes T 2 0 bei Anwendung der Scmmzschen- und der lhIEnRIcHsschen Ungleichungen auf die letzten beiden Summanden von ( 5 ) nach kurzer Zwischen- rechnung die Abschiitzung

U 5 N p @(t) + 2 DK f (w, F ) ~ dF d R (9) 0 II

mit

Sei jetzt neben lwol < x zu Beginn der Bewegnng

I WO, X I < x , mit

Iwn, 11 < x , Iwo, T I < x

und beliebig kleinem, positivem E.

N

Nl u211wol12 5 Nl p(0) 5 U < N 2 S . Mittels der rechten Seite dieser Ungleichungen und wcgen (6), (7) ergibt sich fur t > 0

Aus (S), (7), (9) folgt dann fiir t = 0

(10) ~ ( 0 ) < 3 x e R = ~ e = S , N2

d. h. aber wegen (lo), es liegt Stabilitiit bezuglich der durch 6 definierten Metrik vor (vgl. [a], S. 19) bzw. Stabilitiit im ,,quadratisohen Mittel".

Es sei darauf hingewiesen, daD diese Stabilitiit nicht aus- reicht. um punktweise grogere Auslenkungen zu verhindern.

256 Kleine Mitteilungen

Hierzu miiRte anstelle von (11) die Stabilitatsbedingung von LJAPIJNOW erfiillt sein. Die Stabilitiit von LJAPTJNOW laBt sich aber bei Kontinuumsproblemen i. a. nur f i i r raumlich eindimemionale Aufgaben (2. B. fiir einfach gekriimmte Seilnetzwbrke) nachweisen, da in diesen Fallen statt (7) UZ- w2 geschrieben werden kann (vgl. a. [S]).

Mit (3)1,2 und qu als Faktor der niedrigsten sich einstel- lenden Schwingungsform ergibt sich aus (4) zur Vermeidung von Instabilitat die Fordernng, daR die Anstromgeschwindig keit V kleiner als

Min (az) 2 1,

sein mull.’) Hierbei sei bemerkt, daB sich statt der Bedingung V < V&

auch die Bedingung V = Vr benutzen IaBt, da auch dann noch U positiv definit ist. Erst bei Uberschreiten von V x tritt eine Erhohung des Energieinhalts der Schwingungen ein, die mit dem Verlust der positiven Definitheit von U ver- bunden sein kann. Physikalisch bedeutet das, es konnen beliebig groDe Verschiebungen entstehen, wenn die Energie des Windes oberhalb eines durch V k bestimmten Grenzwertes liegt.

L i t e r a tu r

1 Scawasz, L., Berechnung der Druckvcrteilung einer harmonisch sich ver- formenden Tragfl&che in ebener Strbmung, Luftfahrtforsehung 17, S. 379 (1940).

2 ROTE, W., Eine Theorie ZUT Berechnung von Flattersehwingungen bei Unterschallstr6mungen, Acta Mechanics 6, S. 22 (1968).

3 ASmEY, H., Z A R T ~ R , G., Piston theory, a new aerodynamic tool for the aeroelastican, Journ. of the aeronautical sciences 28, S. 1109 (1956).

4 XEMAT-XASSEB, 5. and HERMA.”, G., On the staliility nf continuouri cystenis, In&-Arehiv 85, S. 17 (1906).

5 Hsnxm, I<., Zur Drrechnung dcr Eigenwerte flacltrr sriiuliweichrr Mcm- hranen, Monatsberichte der DAW, im Druek.

6 I.EIPnoLz, H., Nethoden von Ljapunow und die StHliilit!itnproblrmr dcr Rlnrtostatik, In&-Archiv 15, S. 181 (1966).

Eingereicht am 6.8. 1971

Amchrift: Dr.-Ing. &AUS HENNIG, Institutskomplex Mathematik der DAW, 108 Berlin, Mohrenstr. 39 (DDR)

I) Eine dieser Bedingung eutsprecliendc- Brziehung aurde von ROTn nuf anderem Wegfiir Membranplatten aufgestellt (8.121, S. 29 u. 8. 37).

EAMIM SB, 256 -257 (1972)

D. GROHNE

Ein Beitrag zur nichtlhearen Stsbilitiitstbeorie von ebenen Laminarstr6rnrmgen

Im folgenden sol1 kurz uber einige theoretische Untersuchun- gen zur nichtlinearen Stabilitiitstheorie der Laminarstro- mungen berichtet werden. Bei diesen Untersuchungen kam ein Verfahren zur Losung einer nichtlinearen Eigenwertauf- gabe zur Anwendung, welches aus einer Synthese von Kollo- kationsverfahren und Sekantenverfahren zur Losung von Gleichungssystemen hervorgeht.

Das Verfahren sei am Beispiel eines Problems von D. MEK- SYU und J. T. STUART [l] dargelegt. Bei diesem Problem handelt es sich um die Berechnung der indifferenten Stonin- gen einer Grundstromung, die durch die Stonmgen von fini- ter Amplitude beeinfluBt wird. Die Grundstromung ist die Striimung in einem Kana1 mit parallelen ebenen Wiinden. Diese wird els inkompressibel, stationar, zweidimensional und ausgebildet (= unabhiingig von der Laufliinge 2) vor- ausgesetzt. Die Grundstromung ist aomit bei verschwinden- den sttirungen die ebene POISEmLLEStromUng

%(y) = 1 - ya,

wobei die Maximalgeschwindigkeit und die halbe Kanal- breite gleich 1 gesetzt worden sind. Die Stabilitiitsrechnung ergibt die Stabilitiitsgrenze Rk in Abhiingigkeit von der fini- ten Stijrungsamplitude E, die auch als ein MaB fur den Tnr- bnlenzgrad der Grundatromung interpretiert werden kann.

Die Storbewegung wird durch einen Partialwellenansatz fur ihre Stromfunktion beschrieben:

y’ = E Real { ~ ( y ) eia(z-W} . (1) Die Gleichungen fur die Storbewegung (wegen einer ausfiihr- lichen Herleitung sei auf die Arbeiten [l] und 121 verwiesen) reduzieren sich dann auf die ORR-SOMMERFELD-Gleichung

mit den Randbedingungen q (f 1) = 0 , p’ (f 1) = 0 . Hierbei bedeutet E ( y ) die Geschwindigkeitsverteilung der mittleren Bewegung, q ( y ) die Amplitudenverteilung der Stromfunktion der Storbewegung, (x die Wellenzahl und c die Phaaengeschwindigkeit der Storbewegung, wobei alle Liingen auf die halbe Kanalbreite a und alle Geschwindigkeiten auf die Geschwindigkeit Urn,, = E ( 0 ) in Kanalmitte bezogen sind. Weiterhin ist R = Umaxa/v die Reynoldszahl und v die kinematische Zahigkeit des stromenden Mediums.

Fiir die Geschwindigkeitsverteilung der gemittelten Be- wegung folgt aus den Bewegungsgleichungen die Darstellung

mit (3)

(die Jndizes r, i bezeichnen Real- bzw. Imaginiirteil). Nach Hinzunahme einer frei wiihlbaren Normierung fur pl, z. B. p(0) = 1, ist E ein Ma13 fur die finite Amplitude der Storbewegung. Gesucht werden zusammengehorige Werte R, F , a, c, welche durch die Nebenbedingung des Indifferenzfalles Im (c) = 0 miteinander verbunden sind.

Das hiermit umschriebene Problem wurde zuerst von D. MEKSYN und J. T. STUART [l] formiiliert und mit den Methoden der asymptotischen Stabilititstheorie gelost. Als untere Grenze fur indifferente Stoningen wurde der Wert Rk = 2900 erhalten. Bei einer Nachrechnung mit Differen- zenverfahren nach L. H. THONAS [3] erhielt der Verfasser [2] den genaueren wert Rk = 2510.

Die Differenzenververfahren haben gegenuber den Metho- den der asymptotischen Stabilitiitstheorie den Vorteil, daB sowohl die Featstellung als auch eine Erhohung der Genauig- keit auf numerischem Wege unter Ausnutzung der elektroni- schen Rechenanlagen (Verkleinerung der Schrittweiten, Ubergang zu doppelter Wortliinge) erfolgen kann, und keine besonderen Aufwendungen an speziellen analytischen Rech- nungen erfordert.

Die Anwendung der Differenzenverfahren sol1 sich zunachst nur auf die Losung der Om-SomERFELD’schen Randwert- aufgabe (2) erstrecken. Es wird damit ein Algorithmus vor- ausgesetzt, der zu gegebenem Verlauf von E(y) und zu gege- bener REYNoLDszahl R die Losung q(y ) bereitstdlt. Durch Einsetzen in die Formel (3) fur die mitlere Bewegung folgt dann nnter Hervorhebung der Abhiingigkeit von U(y) und R die folgende implizite Darstellung fur C:

U(Y) = (1 - y2) + E’ R P(%(Y), R) . Nach Einsetzen der durch das Differenzenverfahren impli- zierten L Stiitzwerte G(y,), . - , U(yfi) repriisentiert diese Funktionalgleichung ein System von L nichtlinearen Glei- chiingen zur Bestimmung der L Stutzwerte K, . - , 5 ~ .

Wegen der erwarteten Kleinheit des Amplitudenfaktors E wurde der Versuch unternommen, die Gleichung (4) durch Iteration nach der Vorschrift

(4) -

(5) zu losen. Die numerische Rechnung (fur den Indifferenzfall Im (c) = 0) ergab jedoch, daB diese Iteration nur fur R > 4320 konvergiert und fur R < 4320 divergiert. Zu R = 4320gehorendieWertea = l , l O , c = 0,297,s = 0,0215 und damit e2 R = 2,OO.

Ein ahnlicher Befund wurde von C. J. PEHERIS und B. SH~OLLER [4] mitgeteilt. Hier wurde zur Losung der NAvrm-fhxEs’schen Differentialgleichungen die wohl zu-