zavrxni ispit iz matematike 3 - university of …...ovaj test sadri 10 pitaǌa, na koja je potrebno...

Gra�evinski fakultet 19.2.2014.Univerziteta u Beogradu

ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 3

Prezime i ime: Broj bodova:

Broj indeksa:

Ovaj test sadr�i 10 pitaǌa, na koja je potrebno odgovoriti u predvi�enom pro-storu. Svako pitaǌe se vrednuje odre�enim brojem poena, koji je dat pored svakogpitaǌa. Neqitki i neuredni odgovori ne�e se vrednovati. Maksimalan broj poenana ovom testu je 50.

1. Definisati graniqnu vrednost (limes) funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Data je funkcija f(x, y) = xy3. Na�i po definiciji ∂f∂y(−1, 2). (4 poena)

3. Lokalni ekstremumi funkcije dve promenǉive (definicije i formulacijeosnovnih teorema). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda∑∞

n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 0, v) na intervalu (−1, 1). (5 poena)

5. Formulisati teoremu o diferenciraǌu stepenog reda. Da li se red∑∞

n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? (4 poena)

6. Neka je S(x) suma Furijeovog reda funkcije f(x) =

{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na

intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(0)+S(π)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)

7. Definisati rexeǌe diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li je funkcijay = x2 opxte rexeǌe diferencijalne jednaqine xy′ − 2y = 0? (3 poena)

8. Definisati pojam linearne nezavisnosti funkcija i determinantu Vronskog.Formulisati teoremu koja povezuje ova dva pojma. Dati primer dve linearnozavisne i dve linearno nezavisne funkcije. (5 poena)

9. Definisati povrxinski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Grinova formula–formulacija teoreme i dokaz. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti (limesa) funkcije dve promenǉive.

Da li postoji lim(x,y)→(0,0)

x2

x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)

2. Da li je egzistencija parcijalnih izvoda funkcije f(x, y) u taqkiM dovoǉanuslov za diferencijabilnost funkcije u toj taqki? Obrazlo�iti. (3 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenǉive z = z(x, y).Izvo�eǌe formule za sluqaj n = 3. (5 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∑∞

n=1(−1)n−1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)

5. Formulisati teoremu o integraciji stepenog reda. Da li se red∑∞

n=0 4nx2n

mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? (4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


7. Linearna diferencijalna jednaqina prvog reda. Izvo�eǌe formule za ǌenoopxte rexeǌe. (5 poena)

8. Neka je L[y] = y′′ + p1(x)y′ + p2(x)y i neka su y1(x) i y2(x) linearno nezavisna

rexeǌa homogene linearne diferencijalne jednaqine L[y] = 0. Opisati postu-pak rexavaǌa diferencijalne jednaqine L[y] = arctg x. (3 poena)

9. Definisati povrxinski integral prve vrste, kao i pojmove i oznake koje sepojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Formula Gausa - Ostrogradskog (formulacija). Ilustrovati na primeru∫∫Sxdydz + zdxdy, gde je S spoǉna strana sfere x2 + y2 + z2 = 2z. (7 poena)




Broj indeksa:

Ovaj test sadr�i 10 pitaǌa, na koja je potrebno odgovoriti u pred-vi�enom prostoru. Svako pitaǌe se vrednuje odre�enim brojem poena,koji je dat pored svakog pitaǌa. Neqitki i neuredni odgovori ne�ese vrednovati. Maksimalan broj poena na ovom testu je 50.

1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Formulisati teoremu koja daje potreban i dovoǉan uslov za diferencija-bilnost funkcije vixe promenǉivih u datoj taqki. (3 poena)

3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)


n=0 πn+1xn

mo�e integraliti qlan po qlan na (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)

5. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ f naD. (4 poena)

6. S(x) je suma kosinusnog Furijeovog reda funkcije f(x) =

{tg x, 0 ≤ x ≤ π

4

2, π4

< x ≤ πna

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)

7. Definisati pojam rexeǌa diferencijalne jednaqine y′ = f(x, y). Da li jefunkcija y = ln x opxte rexeǌe diferencijalne jednaqine xy′ = 1? (4 poena)

8. Liuvilova formula. Formulacija i dokaz. (7 poena)

9. Definisati trojni integral, kao i pojmove i oznake koje se pojavǉuju u tojdefiniciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menǉive ispitati postojaǌe limesa lim(x,y)→(0,0)

y2

x2 + y2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih. (3 poena)

4. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

∑∞n=1

sinnxn3 koriste�i ovu

teoremu. (5 poena)


n=1(−1)n

n2+1xn

neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena)


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

3

1, π3< x ≤ π

na

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.

(6 poena)

7. Formulisati pojam linearne nezavisnosti funkcija y1(x), y2(x), y3(x) naintervalu (0, 1). Dati karakterizaciju linearne nezavisnosti ovih funkcijapreko Vronskijana. (4 poena)


9. Cilindriqne i sferne koordinate u trojnom integralu. Parametrizovatitelo T (deo konusa) odre�eno nejednakostima

√x2 + y2 ≤ z ≤ 1 uvode�i a) ci-

lindriqne; b) sferne koordinate. (8 poena)

10. Povrxina sfere x2 + y2 + z2 = R2 primenom dvojnog integrala. (5 poena)




Broj indeksa:


1. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati parcijalni izvod∂u

∂z. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije u utaqki (0, 1, 2). Dati primer jedne funkcije koja zadovoǉava taj uslov. (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (4 poena)


n=0 an(x − 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)

5. Razviti funkcije u stepeni red i napisati kada va�e ti razvoji. (4 poena)

x

3 + x=

sh x =


{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π

na


7. Formulisati Koxijevu teoremu o egzistenciji i jedinstvenosti rexeǌadiferencijalne jednaqine prvog reda. (4 poena)


9. Definisati krivolinijski integral druge vrste, kao i pojmove i oznake kojese pojavǉuju u toj definiciji. (7 poena)

10. Zapremina sfere x2 +y2 +z2 = z primenom trojnog integrala. Uvesti sfernekoordinate. (7 poena)

Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:






n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)


n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na


7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)

9. Izvesti Freneove formule. (7 poena)

10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)

Gra�evinski fakultet .06.2014.Univerziteta u Beogradu



Broj indeksa:






n=0 anxn. Dati pri-

mer stepenog reda koji konvergira: a) u svakoj taqki x ∈ R, b) samo u taqkix = 1, v) na intervalu [−1, 1). (5 poena)


n=0 2nxn

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−1, 1)? Obrazlo�iti odgo-vor.(4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 01

x+2, 0 < x ≤ π

na


7. Izvesti formule za koeficijente Furijeovog reda na [−π, π]. (5 poena)

8. Glavna normala i rektifikaciona ravan. (5 poena)


10. Fleksija i torzija u opxtoj parametrizaciji. (7 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati primer jedne metrike u pro-storu R3. (3 poena)

2. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije vixe promenǉivih. Dali postoji lim

(x,y)→(0,0)

xy

x2 + y2? Obrazlo�iti odgovor. (5 poena)

3. Formulisati teoremu o izvodu slo�ene funkcije dve promenǉive. Ako jez = f(xy2, x+ y) odrediti zxy. (6 poena)

4. Definisati pojam ravnomerno konvergentnog funkcionalnog reda∑∞

n=1 fn.Dati primer jednog takvog reda. (5 poena)


n=0 en+1xn

mo�e integraliti qlan po qlan na (−1, 1)? Obrazlo�iti odgovor. (4 poena)


{3, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


7. Definisati ortonormirani sistem funkcija i dati jedan primer. (5 poena)

8. Prirodna parametrizacija krive. (6 poena)

9. Odrediti krivinu krive xyz = 1, z = 2x− y2 u taqki M(1, 1, 1). (6 poena)



ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:


1. Definisati pojam taqke nagomilavaǌa skupa S ⊂ R2. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z). Definisati diferencijabilnost funkcije uu taqki (0, 1, 2). Dati primer funkcije koja zadovoǉava taj uslov. (4 poena)

3. Definisati pojam lokalnog maksimuma. Formulisati Fermaovu teoremu zafunkcije vixe promenǉivih. (6 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)


n=0 an(x− 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = 1, b) na intervalu(0, 2). (4 poena)


x√3 + x

=

cos2 x =


{2, −π ≤ x ≤ 11x, 1 < x ≤ π

na


8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija jednaka nuli u svakoj taqki, 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati formule za prirodni triedar u opxtoj parametrizaciji.(3 poena)


ZAVRXNI ISPIT IZ MATEMATIKE 2 (Geodezija)


Broj indeksa:


1. Hajneova definicija graniqne vrednosti funkcije dve promenǉive. (3 poena)

2. Data je funkcija u = u(x, y, z, t). Definisati parcijalni izvod∂u

∂z(0, 1, 2, 0).

(3 poena) (3 poena)

3. Definisati slede�e pojmove; A: M(x0, y0) je stacionarna taqka funkcijef(x, y), B: M(x0, y0) je taqka lokalnog ekstremuma funkcije f(x, y). Da li jetaqna neka od implikacija A ⇒ B, B ⇒ A? Obrazlo�iti odgovor. (7 poena)

4. Dat je funkcionalni niz (fn), n ∈ N. Definisati pojmove fn → f i fn ⇒ fna D. (5 poena)


n=0 an(x + 1)n. Datiprimer stepenog reda koji konvergira: a) samo u taqki x = −1, b) na intervalu(−2, 0). (4 poena)


1

x2 − 3x + 2=

sin2 x =


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

4

2, π4

< x ≤ πna


8. Ortogonalan i ortonormiran sistem funkcija. Definisati Furijeov redza ortonormiran sistem funkcija fn, n ∈ N. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Zatim dati primere (u vektorskomobliku): 1. krive qija je fleksija konstantna u svakoj taqki; 2. krive qija jetorzija jednaka nuli u svakoj taqki. (7 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam otvorenog i zatvorenog skupa u metriqkom prostoru.Dati primer jednog zatvorenog skupa u R2. (4 poena)

2. Data je funkcija u = xy2z3. Na�i po definiciji uy(1, 2,−1). (4 poena)

3. Formula za diferencijal n-tog reda dnz funkcije dve promenǉive z = z(x, y).Izvo�eǌe formule za sluqaj n = 3. (6 poena)


n=1(−1)n−1

nxn

neprekidna sleva u taqki x = 1? (5 poena)


n=0 4nx2n

mo�e integraliti qlan po qlan na intervalu (−1/2, 1/2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)

6. Razvoj funkcije u stepeni red. Izvesti razvoje za funkcije f(x) = arctg x ig(x) = 1

2+x. (4 poena)


{0, −π ≤ x ≤ 0

ex2, 0 < x ≤ π

na


8. Funkcija f(x) = sin 3x4razvijena je u sinusni Furijev red na [0, π]. Izraqu-

nati koeficijent b2. (6 poena)

9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (6 poena)




Broj indeksa:


1. Definisati pojam metriqkog prostora. Dati jedan primer. (5 poena)

2. Koriste�i se Hajneovom definicijom graniqne vrednosti funkcije dve pro-

menǉive ispitati postojaǌe limesa lim(x,y)→(0,0)

y2

x2 + y2. (5 poena)

3. Formulisati Fermaovu teoremu za funkcije vixe promenǉivih. (4 poena)

4. Druga Abelova teorema (formulacija). Da li je funkcija s(x) =∞∑n=1

(−1)n

n√nxn

neprekidna zdesna u taqki x = −1? (4 poena) (5 poena)

5. Formulisati Vajerxtrasovu teoremu o unifomnoj konvergenciji funkcio-nalnog reda. Ispitati uniformnu konvergenciju reda

∑∞n=1

cosnxn5 koriste�i ovu

teoremu. (6 poena)


x

2x2 + 3x+ 1=

sin2 2x =


{tg x, 0 ≤ x ≤ π

3

1, π3< x ≤ π

na

intervalu [0, π]. Qemu je jednako S(−π3) + S(π) + S(−1)? Obrazlo�iti odgovor.

(6 poena)

8. Formulisati Dirihleovu teoremu za sinusni Furijev red na intervalu [0, 5].(4 poena)

9. Na�i prirodnu parametrizaciju kru�nice x2 + y2 = a2. (6 poena)

10. Napisati Freneove formule. (3 poena)




Broj indeksa:


1. Bolcano-Vajerxtrasova teorema (iskaz). (4 poena)

2. Data je funkcija u = xyz. Na�i po definiciji uy(e2, 2, 3). (4 poena)

3. Napisati Tejlorov polinom tre�eg stepena za funkciju f(x, y) = ex cos y uokolini taqke (0, 0). (6 poena)

4. Definisati polupreqnik konvergencije stepenog reda. Dati primer stepe-nog reda qiji je polupreqnik konvergencije jednak π. (4 poena)


n=0x4n

4n

mo�e diferencirati qlan po qlan na intervalu (−2, 2)? Obrazlo�iti odgovor.(4 poena)

6. Razviti funkcije f(x) = ch2x i g(x) = x3+x

u stepeni red. Kada va�e dobijenirazvoji? (6 poena)


{−1, −π ≤ x ≤ 1

ex2, 1 < x ≤ π

na

intervalu [−π, π]. Qemu je jednako S(π)−S(1)? Obrazlo�iti odgovor. (6 poena)

8. Funkcija f(x) = e−x razvijena je u sinusni Furijev red na [0, 1]. Izraqunatikoeficijent b2. (6 poena)

9. Definisati fleksiju i torziju krive. Napisati zatim formule za fleksijui torziju ako je kriva data u opxtoj parametrizaciji. (6 poena)

10. Krivina krive u ravni. (4 poena)

zavrxni ispit iz matematike 3 - university of …...ovaj test sadri 10 pitaǌa, na koja je potrebno...

Documents