zaokrúhlovacie metódy výpoctu exaktných návrhov experimentov · obsah 1 volebné systémy 2...
TRANSCRIPT
Zaokrúhl’ovacie metódy výpoctu exaktných návrhovexperimentov
Lenka Filová
October 29, 2012
Obsah
1 Volebné systémy
2 Efficient rounding (Pukelsheim 1992)
3 Multiplikatívne metódy
4 Príklady
5 Aproximacné algoritmy
6 References
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 2 / 21
Zaokrúhl’ovacia metódaMáme aproximatívny návrh (
x1 . . . xsw1 . . . ws
)w1, . . . , ws sú váhy v bodoch supportu x1, . . . , xs.Chceme exaktný návrh vel’kosti N(
x1 . . . xsn1 . . . ns
)n1, . . . , ns sú pocty meraní v jednotlivých bodoch supportu.Ciel’: zaokrúhlit’ w1, . . . , ws tak, aby pre celé císla n1, . . . , ns platilo
ni ≈ Nwi =: zi, i = 1, . . . , s,
s∑i=1
ni = N
Prvý pokus: Kiefer 1971
ni = argmin maxi≤s|ni − zi|
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 3 / 21
Volebné systémy
Kritériá "férovosti" zaokrúhlenia
Pri prerozdel’ovaní hlasov vo vol’bách požadujeme, aby použité metódysplnali niektoré z týchto kritérií:
Monotónnost’ vzhl’adom na vel’kost’ návrhu (Alabama paradox), pocetbodov supportu (new states paradox) a ’pocet hlasov’ (populacnýparadox)Nevychýlenost’: ak w má rovnomerné rozdelenie na (s− 1)-rozmernomsimplexe, potom každý exaktný návrh vel’lkosti N dostaneme s rovnakoupravdepodobnost’ouDodržanie kvót: bNwic ≤ ni ≤ dNwieAditivita: Ak zlúcime dva body supportu , napr. x1, x2 do x+:(
x1 x2 x3 . . . xsn1 n2 n3 . . . ns
)→(x+ x3 . . . xsn+ n3 . . . ns
),
potom n+ = n1 + n2.Central impossibility result (Balinski, Young 1982): neexistuje metódasplnajúce všetky tieto kritériá
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 4 / 21
Volebné systémy
Alabama paradoxPorušenie monotónnosti vzhl’adom na rozsah N exaktného návrhu.
Pri zvýšení celkového poctu pozorovaní sa zmenší pocet pozorovaní vnejakom xi (Alabama 1880)
x1 x2 x3 ostatné celkovováhy 0.02557 0.03224 0.06234 0.87985 1
miesta 8 10 18 263 299miesta 7 10 19 264 300
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 5 / 21
Volebné systémy
New states paradox
Porušenie monotónnosti vzhl’adom na pocet bodov supportu (Oklahoma1907):
ξA1 =
(x1 . . . xsw1 . . . ws
)→ ξN1 =
(x1 . . . xsn1 . . . ns
)Položme N2 = N1 + ns+1. Potom
ξA2=
(x1 . . . xs xs+1
w1N1
N2. . . ws
N1
N2
ns+1
N2
)→ ξN2
=
(x1 . . . xs xs+1
m1 . . . ms ns+1
)kde pre niektoré i je ni 6= mi.
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 6 / 21
Volebné systémy
Population paradox
Porušenie monotónnosti vzhl’adom na ’pocet hlasov’.
Majme dva aproximatívne návrhy ξ1, ξ2 a k nim prislúchajúce zaokrúhleniavel’kosti N :
ξ1 =
x1 x2 x3
w1 w2 w3
n1 n2 n3
ξ2 =
x1 x2 x3
u1 u2 u3
m1 m2 m3
kde n1 = n2.K populacnému paradoxu dochádza, ak u1
w1> u2
w2, ale m1 < m2, teda napriek
väcšiemu nárastu váhy pri aproximatívnom návrhu sa pocetnost’ pre dané xiv exaktnom návrhu znížila (nastáva najmä ak w1 << w2).
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 7 / 21
Volebné systémy
Monotónne metódy
V k-tom kroku vypocítame kvóty qi, i = 1, . . . , s podl’a doterajšieho poctumeraní ui v bode xi (ui = 0 v prvom kroku). Dalšie meranie robíme v bode snajväcším qi.
D’Hondtova metóda, qi = wi
ui+1 Sainte-Lague metóda, qi = wi
2ui+1
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 8 / 21
Efficient rounding (Pukelsheim 1992)
Efficient rounding method (Pukelsheim&Rieder 1992)
Priama aplikácia metód používaných vo vol’báchZákladná myšlienka: pocetnosti zi = vwi zaokrúhlime nahor. Ak zi ∈ N,náhodne vezmeme bud’ zi alebo zi + 1
Pôvodný algoritmus (Puk92): robíme aspon tol’ko pozorovaní, kol’ko jebodov supportu (N ≥ s); v každom bode supportu, kde malaproximatívny návrh nenulovú váhu, požadujeme aspon jednopozorovanie (ni > 0 ∀i)Modifikácia (Dorfleitner, Klein 1999): robíme aspon tol’ko pozorovaní,kol’ko je parametrov (N ≥ m)Nepridávame žiadne nové body supportuZ pôvodných kritérií zachováva monotónnost’ vzhl’adom na N a aditivitu,ale môže porušit’ kritériá nevychýlenosti a dodržania kvótPotrebujeme poznat’ len váhy w aproximatívneho návrhu, výsledoknezávisí na modeli ani kritériu Φ
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 9 / 21
Efficient rounding (Pukelsheim 1992)
Algoritmus
1 Vstup: vektor váh aproximatívneho návrhu w = (w1, . . . , ws),∑wi = 1.
2 vol’ba násobiacej konštanty N − s ≤ v ≤ N : v = N − s/2 (Puk), v = N(Klein)
3 touto konštantou vynásobíme váhy aprox. návrhu: z = vw
4 d’alej položme
ni ∈
{{k + 1} ak zi ∈ (k, k + 1)
{k, k + 1} ak zi = k
t.j. zaokrúhl’ujeme nahor5 ak
∑ni < N , zväcšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota I(ni, wi) = ni
wi
minimálnaak∑ni > N , zmenšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota D(ni, wi) = ni−1
wi
maximálna6 Výstup: vektor n = (n1, . . . , ns),
∑ni = N .
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 10 / 21
Efficient rounding (Pukelsheim 1992)
Vlastnosti
Nech ξN je exaktný návrh vel’kosti N , ktorý je zaokrúhlenímaproximatívneho návrhu ξA a Φ je informacná funkcia.Dolná hranica na eficienciu výsledného exaktného návrhu vel’kosti N je
minΦ
Φ(M(ξN ))
Φ(M(ξA))≥ 1− m
N,
kde m je pocet parametrov modelu.Konvergencia: Pre všetky informacné funkcie Φ platí
limN→∞
1
NM(ξN ) = M(ξA),
limN→∞
Φ(1
NM(ξN )) = Φ(M(ξA)).
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 11 / 21
Efficient rounding (Pukelsheim 1992)
Výhodyrýchlost’pre vel’ké N máme zarucenú vysokú eficienciunetreba brat’ do úvahy kritérium a model
Nevýhodydostatocne vel’kú eficienciu vieme dosiahnut’, len ak N >> s
máme fixne dané body supportunevieme zapracovat’ lineárne podmienky na cenu, marginálne podmienkya pod.
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 12 / 21
Multiplikatívne metódy
Zovšeobecnenie (Dorfleitner, Klein 1999)
Zaokrúhlenie robíme pomocou tzv. signpost sequence {sk}, sk ∈ [k, k+ 1]
Táto postupnost’ generuje zaokrúhl’ovaciu funkciu R : [0,∞)→ N0
R(x) = k pre x ∈ [sk−1, sk)
Dalej dostávame funkcie I(k,w) = skw a D(k,w) = sk−1
w , pomocou ktorýchbudeme upravovat’ zaokrúhlenie na požadovaný rozsah N
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 13 / 21
Multiplikatívne metódy
Algoritmus
1 Vstup: vektorw = (w1, . . . , ws),
∑wi = 1
2 vypocítame pocetnosti ni = R(vwi), kde R je monotónna zaokrúhl’ovaciafunkcia a v je násobiaca konštanta
3 vypocítame odchýlku od požadovaného rozsahu návrhu d =∑ni −N
4 ak d = 0, vektor n = (n1, . . . , ns) je požadované zaokrúhlenie5 ak d < 0, zväcšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota I(ni, wi) minimálna
ak d > 0, zmenšíme o 1 to ni, pre ktoré je hodnota D(ni, wi) maximálnaopakujeme, až kým nenastane d = 0
6 Výstup: vektor n = (n1, . . . , ns)
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 14 / 21
Multiplikatívne metódy
Špeciálne prípady
arithmetic mean rounding method
s(q)k = (1− q)k + q(k + 1), q ∈ [0, 1]
q = 0: Adamsova metóda (zaokrúhlenie nahor)q = 0.5: Websterova metóda (zaokrúhlenie do stredu)q = 1: D’Hondtova metóda (zaokrúhlenie nadol)
power mean rounding method
t(p)k =
(kp + (k + 1)p
2
)1/p
, p ∈ R
geometric mean rounding method
u(r)k = k1−r(k + 1)r, r ∈ [0, 1]
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 15 / 21
Príklady
Príklad: Kvadratická regresia na štvorci
Model:
Y (x) = β0 + β1x21 + β2x
22 + β3x1 + β4x2 + β5x1x2 + ε(x).
Aproximatívny D-optimálny návrh na [−1, 1]2 má váhywV = 0.1458 vo vrcholoch štvorcawS = 0.0802 v stredoch stránw0 = 0.0960 v strede štvorca
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 16 / 21
Príklady
Príklad: Kvadratická regresia na štvorci
Relatívne eficiencie exaktného a zaokrúhleného návrhu vzhl’adom naaproximatívny D-optimálny návrh:
N 6 7 8 9eff(wE |wA) 0.892 0.949 0.961 0.974
eff(wpuk|wA) 0.557 0.811 0.833 0.974
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 17 / 21
Príklady
Príklad: Kvadratická regresia na kockeModel:
Y (x) = β0 +
3∑i=1
βix2i +
3∑i=1
β(i)xi +∑i<j
βijxixj + ε(x).
Aproximatívny D-optimálny návrh má tvar:
Ked’že stredy stien majú nulovú váhu, algoritmus nebude tieto body privýpocte exaktného návrhu brat’ do úvahy.
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 18 / 21
Príklady
Príklad: Kvadratická regresia na kocke
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 19 / 21
Aproximacné algoritmy
Metódy založené na aproximacných algoritmoch
Dá sa ukázat’, že hl’adanie exaktného návrhu je NP-t’ažký problém.Za predpokladu P 6= NP teda neexistuje algoritmus s polynomiálnouzložitost’ou, ktorého riešenie by malo vyššiu eficienciu ako1− 1/e ≈ 0.632.Pre niektoré špeciálne kritériá (Φp kritériá pre p ∈ [0, 1]) sa dá ukázat’, žetáto hranica je najhoršia možná a že ju greedy algoritmom vieme vždydosiahnut’ (Sagnol 2013).
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 20 / 21
References
References
Balinski ML, Young HP (1982):"Fair representation: meeting the ideal ofone man, one vote", Brookings Institution PressKiefer J (1971): "The role of symmetry and approximation in exact designoptimality", Statistical Decision Theory and Related Topicswww.geometricvoting.org.ukPukelsheim F, Rieder S (1992): "Efficient rounding of approximatedesigns", Biometrika, Vol. 79, pp. 763-770Imhof L, Lopez-Fidalgo J, Wong WK (2001): "Efficiencies of RoundedOptimal Approximate Designs for Small Samples", Statistica Neerlandica,Vol. 55(3), pp 301–318Dorfleitner G, Klein T (1999): "Rounding with multiplier methods: Anefficient algortihm and applications in statistics", Statistical papers 40Sagnol G (2013): "Approximation of a maximum-submodular-coverageproblem involving spectral functions, with application to experimentaldesigns", Discrete Applied Mathematics
Lenka Filová (KAMŠ FMFI UK) Zaokrúhl’ovacie metódy October 29, 2012 21 / 21