zalihe

UPRAVLJANJE ZALIHAMA

Ciljevi ovog poglavlja su slijedeći:

Shvatiti suštinu problema zaliha u preduzeću Upoznati osnovne kategorije troškova zaliha Razumjeti razliku između pojedinih modela za upravljanje zalihama Naučiti model zaliha pri konstantnoj tražnji kad hitne nabavke nisu

dozvoljene Naučiti model zaliha pri konstantnoj tražnji kad su hitne nabavke dozvoljene Naučiti model zaliha sa stohastičkom tražnjom Naučiti opšti model zaliha Na konkretnim primjerima naučiti rješavati probleme pomoću modela za

upravljanje zalihama

5.1. PROBLEM UPRAVLJANJA ZALIHAMA U PREDUZEĆU

Problem zaliha u preduzećima neposredno je povezan sa cjelinom reprodukcionog procesa od problema naručivanja i uskladištenja sirovina i repromaterijala, preko veličina proizvodnih serija, do zaliha poluproizvoda i gotovih proizvoda. Pošto zalihe predstavljaju robu koja se nalazi u skladištima preduzeće, one predstavljaju značajan dio imobilisane aktive, te znatno utječu na rezultate poslovanja preduzeća. Zalihe se privremeno nalaze izvan poslovnih procesa proizvodnje, razmjene i potrošnje i u nekom trenutku one predstavljaju neaktivna i neiskorištena sredstva sa svrhom da se kasnije upotrijebe. Bitna osobina zaliha je da su one količinski ograničene i da postoji tražnja za robom koja je na zalihi, te stoga se tražnja pojavljuje kao bitan faktor stvaranja zaliha.

Ako se posmatra proizvodno preduzeće, onda se zalihe, uglavnom, mogu podijeliti na:

- zalihe sirovina - zalihe rezervnih dijelova

4

2 Stohastički modeli u poslovnom odlučivanju

- zalihe poluproizvoda- zalihe gotovih proizvoda.1

Zalihe sirovina, repromaterijala, energenata, rezervnih dijelova za stalna sredstva i sl. osiguravaju kontinuitet proizvodnog procesa i vezani su za faktore nabavnog tržišta, dok pojava zaliha gotovih proizvoda je posljedica faktora koji djeluju na prodajnom tržištu. Stoga se zalihe s obzirom na namjenu za koju ih preduzeće drži mogu klasifikovati na proizvodne i tržišne. Proizvodne zalihe se one koje se nalaze u funkciji proizvodnje, kao što su: sirovine, rezervni dijelovi, poluproizvodi i sl. i koriste se za interne potrebe preduzeća. Zalihe gotovih proizvoda su namijenjene potrošačima, odnosno tržištu i u najvećoj mjeri zavise od tražnje za konkretnim proizvodom.

Pojava zaliha u preduzećima je neophodna u cilju obezbjeđenja kontinuiteta u proizvodnji i eliminacije nesklada koji se može pojaviti u pojedinim fazama procesa reprodukcije. Takođe, proizvodne zalihe imaju zadatak da minimiziraju utjecaj štetnih promjena na nabavnom tržištu, a zalihe gotovih proizvoda da mogu udovoljiti tražnji, odnosno potrebama potrošača. Međutim pored zaliha tražnja se može zadovoljiti tekućom proizvodnjom ili neposrednom nabavkom proizvoda (bez stvaranja zaliha) ili tražnja može biti nezadovoljena

Osnovne veličine kojima se može mjeriti opravdanost stvaranja zaliha su: uštede koje se postižu zbog njihovog postojanja i troškovi koje zahtijeva stvaranje, manipulacija i održavanje zaliha. Stoga kriterij optimizacije upravljanja zalihama mora izražavati ove dvije veličine (uštede i troškovi vezani za zalihe) koje su neposredno povezane sa načinom stvaranja i trošenja zaliha.

U suštini nivo zaliha u preduzeću se pojavljuju kao posljedica nezadovoljene tražnje, i to unutar preduzeća interne tražnja uzrokuje proizvodne zalihe i eksterna tražnja rezultira tržišnim zalihama (zalihe gotovih proizvoda). Zaliha utječu na nivo finansijakih sredstava koja se za njih vezuju, racionalnost upravljanja proizvodnjom, rezultate poslovanja i sl. Stoga se fenomenu zaliha posvećuje značajna pažnja u mnogim disciplinama, kao što su finansijski menadžmet, poslovna logistika, operacijski menadžment, operaciona istaživanja i sl. U suštini, sve se one bave problemom upravljanja zalihama. Sistem za upravljanje zalihama sadrži pravila i procedure koje se primjenjuju u vezi nabavke proizvodnih zaliha i prodaje tržišnih zaliha u cilju osiguranja kontituniteta procesa proizvodnje. Svaki sistem upravljanja bi trebao utvrditi slijedeće parametre:- vrstu robe na zalihi- količina nabavke kojom će se obnoviti zalihe- vrijeme obnove zaliha.

Razlikuju se klasični i savremeni koncept upravljanja zalihama. Klasični koncept polazi od sigurnosnih zaliha kojima se minimiziraju potencijalni zastoji

1 U zalihe se ubrajaju i repromaterijali neophodni za proizvodnju, energenati, sitanog inventara i sl.

5. Upravljanje zalihama 3

zbog promjena na prodajnom tržištu, nesigurnim isporukama ili nepravilnostima u procesu proizvodnje. Dva osnovna parametra u ovom sistemu upravljanja zalihama su: obim narudžbe i vrijeme naručivanja (trenutak ili vremenski inteval između dvije narudžbe). Modelski koncept upravljanja zalihama koji ćemo ovdje razmatrati, uglavnom je baziran na klasičnom konceptu upravljanja.

Savremeni pristup upravljanju zalihama ima polazište u potpunoj integraciji planiranja proizvodnje i upravljanja zalihama. Jedan od ovih pristupa je koncept proizvodnje upravo na vrijeme («just-in-time») koji promovira takvu proizvodnju koja eliminiše zalihe i skladišta, te međuskladištenja dijelova i poluproizvoda u proizvodnji. U suštini cilj je perfektno planiranje takve proizvodnje kod koje su eliminisana sva nepotrebna čekanja, skladištenja i međuskladištenja, što je u praktičnim slučajevima može biti više sistem kojem trebamo težiti, a manje paktično ostvariv sistem.

5.2. TROŠKOVI ZALIHA

Pošto su zalihe izrazito ekonomska kategorija, osnovni kriterij upravljanja zalihama baziran je uglavnom na troškovima. Neke od ovih vrsta troškova mogu imati karakteristike da rastu sa porastom zaliha ili da opadaju sa porastom zaliha. Troškovi zaliha najčešće se klasifikuju u tri grupe, i to:

- troškove nabavke ili naručivanja- troškove skladištenja ili držanja zaliha - troškove usljed nedostatka zaliha.

Ovi troškovi ne obuhvataju sve vrste troškova koji se knjigovodstveno vode i koje služe za utvrđivanje cijene koštanja proizvoda ili usluge, već obuhvataju samo one troškove bitne za izbor optimalnog rješenja vodili se oni ili ne u knjigovodstvu.

Troškovi nabavke ili troškovi pripreme proizvodnje sadrže sve troškove koji se javljaju u intervalu od utvrđivanja potreba za robom do trenutka pristizanja robe u skladište. U modelima zaliha ova vrsta troškova ne obuhvata i nabavnu cijenu, pošto se ona može zasebno voditi. Troškovi nabavke obuhvataju troškove pripreme narudžbe, njenu realizaciju i transport do skladišta. Ovi troškovi imaju karakteristiku da opadaju sa porastom zaliha. Njih sačinjavaju:

- plate zaposlenih u nabavnoj službi,- troškovi naručivanja koji sadrže troškove vezane za pripremu, obradu i

likvidaciju naloga nabavke ili proizvodnje, a kod proizvodnje i troškove podešavanja opreme za nove operacije,

- PTT usluge i kancelarijski materijal,- transport i sl.

Ova grupa troškova u upravljanju zalihama naziva se jednim imenom troškovi nabavki ili troškovi narudžbi. Troškovi nabavki se najčešće izračunavaju i


iskazuju kao prosječni jedinični troškovi izraženi u novčanim jedinicima po narudžbi.

Troškovi skladištenja (troškovi držanja zaliha) nastaju u procesu održavanja i manipulacije zaliha i rastu sa porastom zaliha. U grupu troškova skladištenja spadaju:

- troškovi preuzimanja i izdavanja robe u skladištu,- kamate na obrtna sredstva vezana za zalihe,- troškovi skladišnog prostora (grijanje, hlađenje, osvjetljenje, zakupnina i

sl.),- kalo, rastur, lom i kvar materijala,- troškovi manipulacije u skladištu,- troškovi zaposlenih koji rade u skladištu,- troškovi osiguranja zaliha i sl.

Troškovi skladištenja se izražavaju u novčanim jedinicama po jedinici prosječnih zaliha u jedinici vremena ili procentom na prosječnu vrijednost zaliha.

Troškovi nedostatka zaliha nastaju zbog toga što preduzeće nije imalo dovoljno zaliha da bi moglo zadovoljiti tražnju. Oni najčešće sadrže slijedeće dvije grupe troškova:

- troškovi usljed prekida rada i zastoja u proizvodnji i- troškovi usljed vanrednih postupaka zbog nedostatka zaliha.

Troškovi usljed prekida rada i zastoja u proizvodnji obuhvataju:- direktne gubitke zbog neispunjenja rokova i ugovornih obaveza- troškovi ponovnog uspostavljanja proizvodnje- penali ili kazne zbog neispunjenja narudžbi- gubitak oportuniteta ili propuštena šansa za zaradu- smanjenje imidža firme i gubitak povjerenja kupaca.

Troškovi usljed vanrednih postupaka zbog nedostatka zaliha obuhvataju slijedeće troškove:

- troškove opominjanja prilikom neispunjenja narudžbi,- troškovi hitne nabavke, - vanredno naručivanje sa prioritetnom ubrzanom nabavkom, - hitne izrade i sl.

Neke stavke troškova nedostatka zaliha moguće je preuzeti iz knjigovodstvenih evidencija, dok najveći dio ovih troškova (oportunitetni trošak, gubitak imidža zbog neispunjenja obaveza i sl.) teško je izraziti klasičnom definicijom troška. Stoga se mogu koristiti drugi pokazatelji, kao npr. koeficijent snabdjevenosti kao vjerovatnoća da će na zalihi biti raspoloživa roba u trenutku kada se traži, očekivani broj nezadovoljenih tražnji u posmatranom vremenskom periodu i sl. [Vujošević (1997), str. 86]. Ovi troškovi se izražavju najčešće kao jedinični troškovi neisporučene robe u jedinici vremena.


5.3. MODELIRANJE ZALIHA

Modeli zaliha imaju osnovnu funkciju da definišu utjecaj ekonomskih faktora na određivanje optimalnog nivoa zaliha. Optimalna veličina zaliha može se definisati na dva načina:

- ako je tražnja poznata, optimalna veličina zaliha se odnosi na određivanje količine naručivanja uz minimalne troškove za zadovoljenje tražnje i

- kada tražnja nije poznata, utvrđivanje optimalne veličine zaliha znači određivanje količina naručivanja i trošenja zaliha tako da se obezbijedi maksimalna razlika između prodajne i nabavne vrijednosti naručene i potrošene robe.

Prema tome, osnovnu determinantu svakog modela zaliha čini tražnja koja se u proračunima može tretirati kao parametar, odnosno deterministička veličina i kao procijenjena, tj. kao stohastička veličina.

U odnosu na različite kriterije klasifikacije postoje različiti tipovi modela zaliha. Matematički modeli zaliha kojima se rješavaju problemi sistema zaliha mogu biti različito klasifikovani.

Sa aspekta kompleksnosti modeli zaliha mogu biti:- jednostavni (sa jednom ili dvije promjenljive) ili- kompleksni (sa više nepoznatih).

Sa aspekta karaktera tražnje modeli zaliha mogu biti sa:- determinističkom,- stohastičkom ili- nepoznatom tražnjom.

S obzirom na vrijednosti nepoznatih modeli zaliha mogu biti:- diskretni i- kontinuirani.

S obzirom na period planiranja modeli zaliha mogu obuhvatiti:- samo jedan period,- konačni vremenski horizont podijeljen na više perioda ili- beskonačni vremenski horizont.

U zavisnosti od troškova modeli zaliha mogu biti sa:- prosječnim i- diskontovanim troškovima.

Za rješavanje problema zaliha koriste se različite matematičke tehnike. Tako se jednostavni problemi, s jednom ili dvije nepoznate, rješavaju postupkom ekstremizacije funkcije sa jednom ili dvije promjenljive. Kompleksni problemi zaliha, sa više promjenljivih, mogu se rješavati linearnim i nelinearnim


programiranjem, dok se višeetapni problemi zaliha mogu rješavati dinamičkim programiranjem. Postoje i druge metode za rješavanje problema zaliha (npr. simulacija), ali u ovom poglavlju će se rješavati modeli sa jednom ili dvije promjenljive u slučajevima kada je tražnja konstantna, odnosno deterministička veličina i kada je tražnja stohastička veličina.

Kod formiranja matematičkih modela polazi se od unaprijed utvrđenih politika zaliha, koje u odnosu na zalihe (narudžbe) mogu imati slijedeće karakteristike:

- nije dozvoljen nedostatak zaliha,- može se pojaviti nedostatak zaliha,- zalihe ne mogu biti ispod minimalno utvrđenog nivoa,- zalihe ne smiju prelaziti maksimalno utvrđeni nivo i sl.

Svaka od utvrđenih politika ima refleksije na troškove zaliha, koji su osnovni kriterij optimalnog upravljanja zalihama. Optimalni nivo zaliha obezbjeđuje minimalne troškove vezane za zalihe.

Kod problema upravljanja zalihama osnovni zadatak sastoji se u donošenju odluka o:

- količini koja će se naručiti i- vremenu naručivanja,

pod uslovom da ukupni troškovi budu minimalni. U slučaju modela sa stohastičkom tražnjom ovi troškovi se javljaju kao očekivani troškovi.

Prilikom donošenja optimalne odluke, donosilac odluke se susreće sa dvije dijametralno suprotne politike nabavke:

- naručiti velike količine po narudžbi kako bi troškovi po naručenoj jedinici bili minimalni ili

- naručiti male količine po narudžbi kako bi troškovi skladištenja bili minimalni.

Optimalna politika nalazi se, naravno, između ova dva zahtjeva.

Problemi zaliha javljaju se u dva osnovna oblika:- problem nabavke i- problem proizvodnje u serijama.

Rješavanje ova dva problema modelski su vrlo slična, s time što model nabavke operiše sa optimalnom količinom narudžbe, brojem jedinica u narudžbi, troškovima nabavke, broj nabavki u posmatranom periodu i sl., dok kod modela proizvodnje u serijama ove veličine su optimalna veličina proizvodne serije, broj jedinica u seriji, troškovi proizvodnje po seriji, broj serija u posmatranom periodu i sl.

Parametri koje je neophodno odrediti, ako se želi upravljati sistemom zaliha, su slijedeći:

- količina nabavke (narudžbe) ili serije,- nivo zaliha,- vrijeme nabavke (moment naručivanja i moment isporuke),


- vremenski interval između uzastopnih narudžbi ili serija,- broj narudžbi ili serija,- ukupni troškovi u posmatranom vremenu koji se vezuju za zalihe i sl.

Broj nepoznatih parametara koje je neophodno odrediti može se proširiti što zavisi od pretpostavki modela i polaznih veličina. U nastavku će se prezentirati četiri osnovna modela upravljanja zalihama: dva deterministička i dva stohastička, u kojim će se konkretizovati osnovne pretpostavke i polazne veličine.

5.4. MODEL ZALIHA PRI KONSTANTNOJ TRAŽNJI - HITNE NABAVKE NISU DOZVOLJENE

Model zaliha pri konstantnoj tražnji u kome hitne nabavke nisu dozvoljene spada u klasične i najjednostavnije determinističke modele upravljanja zalihama. Ovaj model upravljanja zalihama determinisan je slijedećim pretpostavkama:

(1) tokom posmatranog vremenskog perioda tražnja je poznata, deterministička i konstantna,

(2) na početku i na kraju posmatranog perioda ne postoje zalihe, tj. početne i krajnje zaliha jednake su nuli,

(3) trenutak naručivanja i trenutak isporuke se poklapaju,(4) isporuka (ili proizvodnja) je trenutna,(5) naručene količine nabavljaju se u ciklusima i imaju isti broj jedinica,(6) nije dozvoljen nedostatak zaliha, odnosno tražnja mora biti zadovoljena,(7) uzimanje sa skladišta je ravnomjerno, (8) troškovi skladištenja računaju se u odnosu na prosječni nivo zaliha.

Zadatak je da se odredi broj jedinica po jednoj narudžbi (seriji) kojom se minimiziraju ukupni troškovi vezani za zalihe u ukupnom posmatranom vremenskom periodu. U suštini neophodno je utvrditi:

- optimalnu veličinu narudžbe (serije),- vremenski interval između uzastopnih narudžbi (serija),- broj narudžbi (serija) i- minimalne troškove zaliha za cjelokupan vremenski perod posmatranja.

U formiranju matematičkog modela ovog problema upravljanja zalihama koriste se slijedeća označavanja:

- x - broj jedinica po jednoj narudžbi (obim proizvodnje u okviru jedne serije),

- T - dužina posmatranog vremenskog perioda,- n - broj narudžbi (serija) u toku perioda T,- t - vremensko trajanje između uzastopnih narudžbi (serija),- A - ukupna tražnja, odnosno potrebna količina za cijeli period T,- C1 - troškovi skladištenja jedinice artikla u jedinici vremena,


- C - troškovi nabavke po jednoj narudžbi (troškovi pripreme proizvodnje jedne serije),

- F(x) - funkcija ukupnih troškova za period T.

Razmatrani problem upravljanja zalihama sa poznatom i konstantnom tražnjom tokom vremenskog perioda T predstavljen je grafički na slici 5.1.

Slika 5.1. Model zaliha sa konstantnom tražnjom - hitne nabavke nisu dozvoljene

Funkcija ukupnih troškova predstavlja zbir troškova narudžbi i troškova skladištenja za period T.

Broj ciklusa u toku perioda T kojim se zadovoljava tražnja možemo definisati

količnikom . Pošto u vremenu T ima n ciklusa, ukupni troškovi narudžbi

će biti .

S obzirom na to da svaki interval dužine t počinje kada na zalihama ima x jedinica artikla, a završava se kada na zalihi nema artikla, prosječne zalihe u

periodu t iznose .

Na osnovu toga troškovi skladištenja u jednom ciklusu, koji traje t vremenskih

jedinica, jednaki su .

Imajući u vidu da je T=nt i da u toku perioda T ima n ciklusa, ukupni troškovi

skladištenja u vremenu T iznose .


Na osnovu prethodno izraženih pojedinačnih troškova, slijedeći izraz definiše ukupne godišnje troškove

. (5.1)

Prethodno definisani troškovi narudžbi i skladištenja, kao i ukupni troškovi predstavljeni su grafički na slici 5.2.

Slika 5.2. Grafički prikaz troškova zaliha

Na osnovu grafičkog prikaza funkcije ukupnih troškova očigledno je da minimum funkcije F(x) određuje optimalni broj jedinica po jednoj narudžbi.

Diferenciranjem funkcije F(x) dobiva se

.

Nakon izjednačavanja F’(x)=0 dobiva se da je

(5.2)

jer je u tom slučaju F''( )>0.

To znači da nabavka od jedinica obezbjeđuje minimalne ukupne troškove zaliha, te predstavlja optimalni broj jedinica po jednoj narudžbi. Da bi se dobile vrijednosti n= , t= i F(x)=F( ), neophodno je u odgovarajuće izraze uvrstiti x= . Na taj način dobivaju se slijedeći izrazi:


- optimalni broj ciklusa

(5.3)

- optimalno vremensko trajanje jednog ciklusa

(5.4)

- funkcija minimalnih ukupnih troškova

. (5.5)

5.5. MODEL ZALIHA PRI KONSTANTNOJ TRAŽNJI - HITNE NABAVKE SU DOZVOLJENE

Ovaj model se može posmatrati kao proširenje prethodno prezentiranog klasičnog modela zaliha, s tim što se ovdje dozvoljavaju kašnjenja u isporuci, odnosno ne isključuje se mogućnost nedostatka robe na skladištu. Za ovaj model upravljanja zalihama važe slične pretpostavke kao i za prethodni model:

(1) tokom optimizacionog tražnja je poznata, deterministička i konstantna,(2) na početku i na kraju posmatranog perioda ne postoje zalihe,(3) isporuka (ili proizvodnja) je trenutna kada sve zalihe robe koje se traži

bude raspoloživa, (4) u toku jednog ciklusa može se izvršiti jedna redovna i jedna hitna

nabavka,(5) dozvoljen je nedostatak zaliha, odnosno tražnja ne mora trenutno biti

zadovoljena, te ako nije zadovoljena izvjesno vrijeme se nagomilava(6) uzimanje sa skladišta je ravnomjerno, (7) troškovi skladištenja računaju se u odnosu na prosječni nivo zaliha(8) troškovi nezaodovljene tražnje proporcionalni su količini neisporučene

robe i vremenu kašnjenja.

Zadatak je da se odredi količina naručivanja kojom će se minimizirati ukupni troškovi vezani za zalihe u ukupnom posmatranom vremenskom periodu koji predstavljaju zbir troškova naručivanja, troškova skladištenja i troškova usljed nedostatka zaliha.

Pri formiranju matematičkog modela koristiće se slijedeće oznake:- x - obim tražnje artikla u toku jednog ciklusa,- y - obim zaliha u jednom ciklusu,- t1 - inerval vremena u ciklusu u kome postoje zalihe,


- t2 - inerval vremena u ciklusu u kome nije zadovoljena tražnja i mora se izvršiti hitna nabavka,

- t - interval vremena u kome se obavlja jedan ciklus,- T - vremenski interval u kome se optimizira politika zaliha,- F(x,y) - funkcija ukupnih troškova za period T.

Ostale oznake iste su kao i u prethodnom modelu.

Na slici 5.3 grafički je predstavljen ovaj model upravljanja zalihama.

Slika 5.3. Model zaliha sa konstantnom tražnjom - hitne nabavke su dozvoljene

Funkcija ukupnih troškova u vremenu T sadrži troškove nabavke, troškove skladištenja i troškove hitnih nabavki.

Troškovi nabavki, kao i kod prethodnog modela, daju se po jednoj narudžbi (oznaka C). Troškovi skladištenja računaju se u odnosu na prosječne zalihe (oznaka C1 - troškovi skladištenja jedinice artikla u jedinici vremena). Troškovi hitnih nabavki računaju se u odnosu na prosječne nedostajuće zalihe, na osnovu jediničnih troškova hitnih nabavki u jedinici vremena (oznaka C2). Ovi troškovi obuhvataju sve troškove koji sadrže C i C1, kao i veće cijene u hitnim u odnosu na redovne narudžbe.


Ukupni troškovi redovnih nabavki za period T izračunavaju se kao u prethodnom modelu

. (5.6)

Troškovi skladištenja za potperiod t1 računaju se po izrazu , odnosno za

period T po izrazu . Iz sličnosti trougla ABC i ADE proizilazi da je

, tako da se dobiva izraz za ukupne troškove skladištenja u periodu T

. (5.7)

Troškovi hitnih nabavki za potperiod t2 računaju se kao , odnosno za

period T će biti . Na osnovu sličnosti trougla ABC i EFC slijedi

da je , što nakon uvrštavanja u prethodni izraz daje ukupne

troškove hitnih nabavki za period T

.

(5.8)

Sada se može napisati izraz za funkciju ukupnih troškova u periodu T

.

(5.9)

S obzirom da je F(x,y) funkcija dva argumenta, to se minimalna vrijednost

određuje izjednačavanjem parcijalnih izvoda i sa nulom,

izračunavanjem vrijednosti promjenljivih x=x* i y=y* i ispitivanjem uslova i ili za izračunate nule parcijalnih izvoda prvog

reda, gdje su , i .

Izračunavanjem parcijalnog izvoda funkcije F(x,y)


,

njegovim izjednačavanjem sa nulom i sređivanjem dobiva se relacija

.

Na sličan način izračunava se parcijalni izvod prvog reda po y

.

Nakon njegovog izjednačavanja sa nulom i sređivanja dobiva se da je

.

Supstitucijom izračunate vrijednosti za y u izraz za x dobiva se

(5.10)

i ponovnom supstitucijom dobiva se izraz za y

.

(5.11)

Vrijednosti x=x* i y=y* predstavljaju optimalne vrijednosti tražnje i zaliha u jednom ciklusu, respektivno.

Ostali parametri izračunavaju se uvrštavanjem vrijednosti za x* i y* u odgovarajuće izraze, pa slijedi da je:

- optimalni broj ciklusa

(5.12)

- optimalno trajanje jednog ciklusa i potperioda t1 i t2

(5.13)


(5.14)

(5.15)

- funkcija minimalnih ukupnih troškova

. (5.16)

5.6. MODEL ZALIHA SA STOHASTIČKOM TRAŽNJOM

Prethodna dva modela odnosila su se na modele zaliha kod kojih je tražnja konstantna i deterministička veličina. Mnogo su češći slučajevi kada tražnja nije poznata, te je određene paramatre potrebno procjenjivati na osnovu vjerovatnoća njihovih nastupanja. U ovom slučaju tražnja ima stohastički karakter sa poznatim zakonom vjerovatnoće.

Praktična primjena modela zaliha sa stohastičkom tražnjom najčešće se javlja prilikom održavanja strojeva i organizacije servisa. Može se postaviti pitanje da li prilikom nabavke nekog vrijednog stroja nabaviti određene rezervne dijelove i u kojoj količini ili ih poručiti tek kada se desi kvar? Ako su ovi rezervni dijelovi uključeni u narudžbu zajedno sa strojem, onda se oni mogu nabaviti po nižoj cijeni. Međutim, u situaciji kada kada nema rezervnih dijelova, pojavljuju se toškovi zbog nedostatka zaliha (stroj duže stoji, cijena rezervnih dijelova, po pravilu, u ovoj situaciji je viša od cijene u «redovnoj» nabavci i sl.). Stoga je neophodno planirati narudžbe rezervnih dijelova tako da bi ukupni troškovi bili minimalni.

Osnovne pretpostavke modela zaliha sa stohastičkom tražnjom su:(1) tržanja za robom u planskom periodu je slučajna promjenljiva sa

poznatim zakonom vjerovatnoće i funkcijom rasporeda,(2) na početku perioda nema zaliha,(3) razmatraju se troškovi nabavke (držanja) i nedostatka zaliha,(4) troškovi držanja zaliha izračunavaju se za robu koja ostane

neiskorištena.

Zadatak se sastoji u tome da se odredi optimalna količina naručivanja pod uslovom da očekivani troškovi nabavke i nedostatka zaliha budu minimalni.

Kod modela koji se ovdje razmatra utvrđuju se ukupni očekivani troškovi nabavke F(y) na osnovu slijedećih parametara:

- y – količina narudžbe u posmatranom periodu,- x – tražnja u posmatranom periodu,- p(x) - vjerovatnoća zadovoljena tražnje x jedinica artikla,


- C1 – troškovi nabavke ili snabdijevanja po jedinici artikla,- C2 - troškovi nedostatka zaliha po jedinici ili troškovi hitne nabavke po jedinici artikla.

Ako je x y, onda su zalihe (narudžba) veće ili jednake tražnji, tako da na ukupne očekivane troškove utječu troškovi držanja artikla. U slučaju da je tražnja veća od zaliha (narudžbe) tj. x > y, potrebno je izvršiti hitne nabavke.

Uvažavajući prethodno istaknute pretpostavke ukupni troškovi snabdijevanja su funkcija od x i y i jednaki su

,

(5.17)

gdje je .

Očekivani troškovi kao funkcija od y, gdje je tražnja diskretna promjenljiva, definisani su izrazom

(5.18)

Na osnovu izraza (5.18) neophodno je utvrditi koliko artikla treba naručiti (y) kako bi funkcija F(y) dostigla minimalnu vrijednost.

Do rješenja problema može se doći postupno za razne nivoe redovnih nabavki, tj. izračunava se F(y=0), F(y=1), F(y=2), itd. Vrijednost funkcije očekivanih troškova će do jednog nivoa zaliha opadati, a potom rasti. Vrijednost nivoa zaliha y=y*, za koju funkcija F(y=y*) dostiže minimalnu vrijednost predstavlja optimalno rješenje.

Prethodni način dolaska do rješenja postaje mukotrpan i dug u slučaju da je mogući nivo zaliha veliki. Stoga se do optimalnog rješenja može doći korištenjem rezultata slijedećeg postupka.

Ako funkcija F(y) ima minimum za vrijednost promjenljive y=y*, onda mora biti zadovoljen uslov F(y*-1) > F(y*) < F(y*+1).

Prema tome, potrebno je uspostaviti vezu između F(y*-1) i F(y*+1), s jedne strane i F(y*), s druge strane.

Ako se u izrazu F(y) umjesto y stavi y-1, dobiva se da je:


Uzimajući u obzir prirodu vjerovatnoće jednostavno se dobiva da je

.

Ako se ovo ima u vidu onda je

,

i poslije sređivanja

,

ili ako se uvede oznaka

,

onda se prethodna relacija može napisati u obliku

.

Koristeći se sličnim postupkom utvrđuje se veza između F(y+1) i F(y).

Ako se u izrazu F(y) umjesto y uvrsti y+1, dobiva se da je


Ako se izvrši zamjena

,

dobiva se

ili

, pa je

.

Funkcija F(y) će imati minimum za vrijednost promjenljive y=y*, za koju je zadovoljena dvostruka nejednakost

Ako ovu dvostruku nejednačinu napišemo u obliku sistema od dvije nejednačine, dobivamo

ili

.

Iz prve nejednačine dobiva se

,

a iz druge


,

odnosno predstavljeno u obliku dvostruke nejednačine

(5.19)

koja predstavlja osnovnu relaciju za izračunavanje optimalnog nivoa naružbe.

Ako je

,

onda je F(y*-1)=F(y*), pa je optimalni nivo narudžbe y*-1 ili y*.

Ako je , onda je F(y*)=F(y*+1), te je optimalni nivo

narudžbe y* ili y*+1.

5.7. OPŠTI MODEL ZALIHA

Opšti model zaliha ima slične pretpostavke kao i prethodni. Raspoloživi nivo zaliha ne mora biti dovoljan da podmiri tražnju izraženu u stohastičkom obliku. Popuna skladišta vrši se na početku posmatranog perioda. Troškovi nabavke zaliha se zanemaruju, pa se posmatraju troškovi skladištenja i troškovi hitnih nabavki. Zbog toga se pretpostavlja da su u posmatranom periodu poznati:

- C1 - jedinični troškovi skladištenja i- C2 - jedinični troškovi hitnih nabavki ili jedinični troškovi nezadovoljene tražnje.

U posmatranom periodu međusobni odnos između raspoloživih i potrebnih količina, odnosno između zaliha i tražnje može biti dvojak.

Ako sa y obilježimo nivo zaliha, a sa x tražnju, onda se promjene zaliha u prethodno opisanom sistemu mogu predstaviti grafički kao na slici 5.4.


Slika 5.4a. Opšti model zaliha kada je x ≤ y

Slika 5.4b. Opšti model zaliha kada je x > y

Sa p(x) obilježićemo vjerovatnoću da će tražnja biti x jedinica, tako da je

.

Sa F(y) obilježićemo funkciju ukupnih troškova. Ako je x y, onda je prosječan nivo zaliha

.

Ukupni očekivani troškovi definisani su izrazom


,

jer je tražnja stohastička veličina.

Međutim, ako je x > y, onda će se u periodu t1 zadovoljiti tražnja. Tako će u t1/t dijelu perioda t prosječan nivo zaliha biti y/2. Iz sličnosti trouglova može se izvesti zavisnost t1/t = y/x, pa će očekivani troškovi biti

.

(5.20)

U drugom t2/t dijelu perioda t pojavljuju se troškovi zbog nedostatka zaliha. Prosječan nivo nedostajućih zaliha je

.

U prethodnom izrazu je iz sličnosti trouglova proizašla zavisnost .

Očekivani troškovi nedostajućih zaliha dati su izrazom

.

(5.21)

Obuhvatanjem očekivanih troškova u oba razmatrana slučaja može se dobiti funkcija ukupnih očekivanih troškova za cijeli period t u slijedećem obliku

(5.22)

Ako funkcija F(y) ima minimum u tački y=y*, onda mora biti zadovoljen uslov

F(y*-1) > F(y*) < F(y*+1).

Znači potrebno je utvrditi odnose između F(y*-1) i F(y*+1), s jedne i F(y*), s druge strane.

Izračunavanjem vrijednosti F(y+1) dobiva se

.

Prvi sabirak izraza na desnoj strani se transformiše tako da se dobiva


Nakon trasformacije i drugog sabirka na desnoj strani dobiva se da je

,

gdje je

(5.23)

Na sličan način uspostavlja se veza između F(y-1) i F(y), tako da se poslije sređivanja i zamjene dobiva da je

.

Prema tome, funkcija F(y) će imati minimum za vrijednost promjenljive y=y* za koju je zadovoljena dvostruka nejednačina

.

Nakon sređivanja ove nejednačine dobiva se tražena relacija

(5.24)

koja omogućava da se pronađe vrijednost promjenljive y=y* za koju funkcija F(y) ima minimum.

Vrijednost G(y) je najjednostavnije odrediti pomoću tabele čije zaglavlje je prezentirano u tabeli 5.1.

Tabela 5.1.Tabela za određivanje vrijednosti G(y)

DODATAK IV: PRIMJENA MODELA ZA UPRAVLJANJE ZALIHAMA

IV-1. Tražnja konstantna - hitne nabavke nisu dozvoljene


Primjer 1.: Preduzeće za godinu (300 dana) troši 6000 tona jedne sirovine. Nabavka se vrši serijskim narudžbama. Troškovi jedne narudžbe su 100000 NJ, a skladištenja jedne tone za jedan dan 100 NJ. Hitne nabavke nisu dozvoljene.

Izračunati:a) veličinu narudžbe koja osigurava najniže troškove zaliha i iznos tih

troškova,b) period nabavke i broj nabavki ic) grafički prikazati funkciju ukupnih troškova i funkcije troškova

narudžbe i troškova skladištenja.

Rješenje:

Poznate veličine su:T - period posmatranja (T=300 dana),A - ukupna tražnja u vremenskom periodu (A=6000 t),C1 - troškovi skladištenja jedinice sirovine u jedinici vremena (C1=100 NJ/t ּdan),C - troškovi nabavke po jednoj narudžbi (C=100000 NJ).

Treba izračunati:x - nivo zaliha, tj. veličinu jedne narudžbe (u tonama),t - trajanje jednog ciklusa nabavke (u danima),n - broj narudžbi (ciklusa) u toku perioda T.

Cilj je minimiziranje funkcije ukupnih troškova F(x).

a) Pošto je u pitanju model sa konstantnom tražnjom kada hitne nabavke nisu dozvoljene, za izračunavanje optimalne veličine narudžbe može se primijeniti izraz 5.2, tj.

= 200 t.

Za izračunavanje minimalnog iznosa troškova možemo koristiti izraz 5.5, tj.

6000000 NJ.

b) Optimalni period nabavke i broj nabavki ćemo izračunati pomoću izraza 5.3 i 5.4, odnosno

30 narudžbi,

10 dana.

Prema tome, ako svakih 10 dana ili 30 puta godišnje nabavimo po 200 tona sirovine, ukupni troškovi zaliha će biti minimalni i njihova vrijednost je 6000000 NJ.


c) Funkcija ukupnih troškova F(x) sastoji se iz troškova nabavke i troškova skladištenja, odnosno F(x) = Tn + Ts. Na osnovu izraza 5.1

,

slijedi da su ukupni troškovi nabavke

Tn = ,

a ukupni troškovi skladištenja

Ts = C1T.

Kretanje funkcije ukupnih troškova i funkcije troškova narudžbe i skladištenja predstavljeno je grafički i analitički.

x=100 Tn=6000000 x=100 Ts=1500000 x=100 F(x)=7500000x=200 Tn=3000000 x=200 Ts=3000000 x=200 F(x)=6000000x=300 Tn=2000000 x=300 Ts=4500000 x=300 F(x)=6500000

Možemo primijetiti da sa porastom zaliha troškovi nabavke opadaju, a troškovi skladištenja rastu.

Primjer 2.: U periodu od 300 dana vršena je nabavka sirovina narudžbama od po 1000 komada. Troškovi narudžbe su 37500 NJ, a troškovi skladištenja 1 NJ za jedan komad za jedan dan. Potrebno je:


a) izračunati količinu koja se nabavlja u toku 300 dana i optimalni broj serija kao i vrijeme trajanja jedne serije i

b) formirati funkciju troškova zaliha, te pomoću nje izračunati minimalne troškove.

Rješenje:

Poznate veličine su:T - period posmatranja (T=300 dana),x - nivo zaliha, tj. veličina jedne narudžbe (x=1000 komada),C1 - troškovi skladištenja (C1=1 NJ/kom ּdan),C - troškovi nabavke po jednoj narudžbi (C=37500 NJ).

Treba izračunati:A - ukupna tražnja u periodu posmatranja,n* - broj narudžbi u toku perioda T,t* - trajanje jednog ciklusa nabavke (u danima),

Cilj je minimiziranje funkcije ukupnih troškova F(x).

a) Pošto radimo sa istim veličinama kao i u prethodnom zadatku, primijenićemo isti obrazac, tj.

x*=

A= komada.

U toku 300 dana treba nabaviti 4000 komada.

Broj serija je n* = .

Vrijeme trajanja jedne serije je t*= dana.

ili

F(x) = NJ.

Prema tome, ukupni troškovi će biti 300000 NJ.

Primjer 3.: Preduzeće proizvodi artikal koji distribuira putem vlastite trgovačke mreže koja svakodnevno potražuje 200 komada, a preduzeće može dnevno proizvesti 400 komada artikla. Troškovi proizvodnje po komadu iznose 20 NJ. Troškovi skladištenja su 5 NJ dnevno po komadu, a fiksni troškovi


organizovanja jednog proizvodnog ciklusa su 1000 NJ. Proizvodnja se obustavlja kada zalihe artikla dostignu određeni nivo i tada se vrši samo isporuka artikla sa zaliha.

Ako preduzeće organizuje proizvodnju po ciklusima tako da se od viška artikla u jednom ciklusu stvaraju zalihe, izračunati obim proizvodnje i nivo zaliha po ciklusima, s ciljem minimiziranja ukupnih godišnjih troškova proizvodnje i skladištenja, uz pretpostavku da godina ima 300 radnih dana.

Rješenje:

Poznate veličine su:q - dnevna tražnja (q = 200 kom),p - dnevna proizvodnja (p = 400 kom),C0 - troškovi proizvodnje (C0 = 20 NJ/kom),C1 - troškovi skladištenja (C1 = 5 NJ/kom ּdan),C - troškovi pripreme ciklusa (C = 1000 NJ/ciklus).

Treba izračunati:x - nivo zaliha u jednom ciklusu (kom),y - obim proizvodnje u jednom ciklusu (kom),t - dužina jednog ciklusa (dana),t1 - period u kome se obavlja proizvodnja i zalihe rastu (dana),t2 - period u kome se zalihe troše bez obnavljanja (dana),n - broj ciklusa u periodu T,F(x) - funkcija ukupnih godišnjih troškova.


Troškovi jednog ciklusa sastoje se iz troškova skladištenja, troškova organizovanja proizvodnog ciklusa i troškova proizvodnje.

Troškovi skladištenja su

.

Priraštaj zaliha u periodu t

x = (p - q)t1 t1 = .

U periodu t2 zalihe se troše bez zanavljanja, pa je

x = q t2 t2 = .

Tako su troškovi skladištenja jednog ciklusa jednaki

.

Troškovi proizvodnje jednog ciklusa su yC0 gdje je y=pt1 (jer se dnevno

proizvodi p komada artikla). Kako je t1= troškovi proizvodnje jednog

ciklusa su

p .

Troškovi organizovanja ciklusa su C.

Broj ciklusa je

n= ,

pa je funkcija ukupnih troškova

F(x) =

ili

F(x)= .

Uslov za minimum funkcije je da je F'(x)=0, pa pošto je


F'(x) =

slijedi da je

TC1px2 = 2TqC(p-q),

pa je

x2=

x*=

U našem primjeru je

x*= = 200,

pa je optimalan nivo zaliha 200 komada.

Period u kome se obnavlja proizvodnja je

t1*= dan.

Period u kome se zalihe troše bez zanavljanja je

t2*= dan.

Optimalan obim proizvodnje jednog ciklusa je

y* = p t1* = 400 komada.

Jedan ciklus traje

t* = t1* + t2* = 1 + 1 = 2 dana.

Broj ciklusa u periodu T je

n* = .

Ukupni troškovi su


IV-2. Tražnja konstantna - hitne nabavke su dozvoljene

Primjer 4.: Proizvođač određenih proizvoda treba da isporuči 40000 jedinica proizvoda u toku godine. Proizvođač mora dnevnu proizvodnju skladištiti, jer naručilac nema skladišnog prostora. Mjesečni troškovi skladištenja po jedinici proizvoda iznose 15 NJ. Troškovi puštanja u proizvodnju jedne serije iznose 3500 NJ. U slučaju da dođe do nezadovoljenja tražnje, proizvođač snosi troškove u iznosu od 250 NJ po jedinici neisporučene robe za jedan mjesec.U cilju minimiziranja ukupnih godišnjih troškova potrebno je odrediti optimalni obim proizvodnje serije, optimalnu dužinu intervala i izračunati iznos minimalnih godišnjih troškova. Odrediti i ostale parametre ovog sistema.

Rješenje:

U pitanju je model sa konstantnom tražnjom kod koga su hitne nabavke dozvoljene.

Poznate veličine su:A - ukupna tražnja u vremenskom periodu (A=40000 jedinica proizvoda),T - period posmatranja (T=12 mjeseci), C - troškovi proizvodnje jednog ciklusa (C=3500 NJ/ciklus),C1 - jedinični troškovi skladištenja (C1=15 NJ/jedinici proizvoda mjesec) iC2 - jedinični troškovi hitne nabavke (C2=250 NJ/jedinici proizvoda mjesec).

Parametri koje treba odrediti su:x - obim tražnje artikla u toku jednog ciklusa,y - obim zaliha u jednom ciklusu,t1 - interval vremena u kome postoje zalihe,t2 - interval vremena u kome postoji nedostatak zaliha,t - vrijeme trajanja jednog ciklusa,n - broj ciklusa u periodu T,x - y - veličina hitne nabavke iF(x,y) - funkcija ukupnih troškova.

Na osnovu izraza 5.10 slijedi da je obim tražnje u jednom ciklusu

= 1284 jedinice

proizvoda.


Po izrazu 5.11 nivo zaliha u jednom ciklusu je

1211 jedinice proizvoda.

Razlika x - y = 1284 - 1211 = 73 jedinica predstavlja veličinu hitne nabavke.

Ostali parametri izračunavaju se kako slijedi:

- optimalni broj ciklusa prema izrazu 5.12

= ,

- optimalno trajanje jednog ciklusa t i potperioda t1 i t2 prema izrazima 5.13, 5.14 i 5.15, respektivno

= mjeseci,

= mjeseci,

= 0,39 – 0,37 = 0,02 mjeseci,

- funkcija minimalnih troškova se izračunava prema izrazu 5.16 i iznosi

218053 NJ.

IV-3. Tražnja stohastička veličina

Primjer 5.: Radi održavanja voznog parka transportno preduzeće odlučilo je da vrši nabavku vitalnog rezervnog dijela. Zalihe rezervnog dijela mogu biti obezbijeđene blagovremeno prilikom nabavke transportnih sredstava po cijeni od 500 NJ po komadu. U slučaju da se rezervni dijelovi nabavljaju po hitnom postupku, troškovi po komadu iznose 3000 NJ.

Vjerovatnoće utroška rezervnih dijelova za pojedine obime tražnje za rezervnim dijelovima date su u tabeli.


a) Koju količinu rezervnih dijelova treba naručiti prilikom nabavke svakog transportnog sredstva, pod uslovom obezbjeđenja minimalnih troškova nabavke rezervnih dijelova? Odrediti iznos tih troškova.

b) Procijeniti troškove koji bi nastali zbog hitnih nabavki za slučaj da se nabavi 5 rezervnih dijelova istovremeno sa nabavkom transportnih sredstava.

Rješenje:

Poznate su nam slijedeće veličine:x i p(x) (tražnja i vjerovatnoća zadovoljenja tražnje),C1 - jedinični troškovi redovne nabavke (C1=500 NJ/kom) iC2 - jedinični troškovi hitne nabavke (C2= 3000 NJ/kom).

Treba odrediti:y - nivo zaliha koji se obezbjeđuje u nabavci zajedno sa transportnim sredstvom iF(y) - funkcija očekivanih troškova.

a) Pošto je u pitanju model sa stohastičkom tražnjom, vrijednost funkcije ukupnih troškova ćemo utvrditi prema izrazu 5.17, tj.

Koristeći ovaj izraz za funkciju ukupnih troškova, možemo utvrditi njenu minimalnu vrijednost tako što ćemo uvrštavati y = 0,1,…,8.

F(y = 0) =

F(y = 0) =0+3000 ּ(0,1ּ1+0,05 ּ2+0,05 ּ3+0,1 ּ4+0,2 ּ5+0,2 ּ6+0,3 ּ7+0 ּ8)

F(y = 0) =15150 NJ.

Tako će troškovi, ako se u redovnoj nabavci ne nabavi nijedan rezervni dio, iznositi 15150 NJ. Isti postupak ćemo primijeniti i za ostale vrijednosti y.


Kako je cilj minimizirati funkciju ukupnih troškova, tražimo

min F(y) = min {F(y = 0),F(y = 1),F(y = 2),F(y = 3),F(y = 4),F(y = 5),F(y = 6), F(y = 7),F(y = 8)} = F(y = 7) = 975 NJ.

Grafički se kretanje funkcije ukupnih troškova može prikazati na slijedeći način:


Prema tome, optimalno rješenje je da se pri nabavci transportnih sredstava nabavi 7 rezervnih dijelova i očekivani troškovi će biti 975 NJ.

Problem možemo riješiti i korištenjem opšteg kriterija za određivanje optimalnosti prema izrazu 5.18, tj.

kao na grafiku:

U našem slučaju, prvo ćemo izračunati vrijednost p(x y).


Utvrđujemo količnik

Pošto se on nalazi između

0,7 < 0,86 < 1,0

slijedi da je

p(x 6) < 0,86 < p(x 7)

pa je y* = 7.

Po opštem obrascu možemo izračunati da je F(y* = 7) = 975 NJ.

b) Kod procjene troškova C2 polazimo od relacije

p(x y*-1) < .

Za y* = 5 vrijedi da je

,

odnosno

.

Rješavanjem nejednačina dobivamo

C2 > 214,28


C2 < 500

pa je

.

Procijenjeni troškovi nastali usljed hitnih nabavki kretali bi se u intervalu

214,28 < C2 < 500 NJ.

IV-4. Opšti model zaliha

Primjer 6.: Preduzeće proizvodi određene proizvode koje isporučuje na kraju mjeseca. Vjerovatnoća isporuke data je slijedećom tabelom.

Zalihe ne moraju biti dovoljne da zadovolje tražnju. Skladište se popunjava na početku mjeseca. Troškovi skladištenja iznose 4000 NJ po komadu mjesečno. U slučaju nedostatka zaliha, troškovi naknadne proizvodnje (hitnih nabavki) iznose 76000 NJ po komadu. Formirati sistem zaliha, tako da ukupni (mjesečni) troškovi zaliha budu minimalni.

Rješenje:

Poznate veličine su:x i p(x) - tražnja i vjerovatnoća zadovoljenja tražnje,C1 - jedinični troškovi skladištenja (C1 = 4000 NJ/kom) iC2 - jedinični troškovi hitnih nabavki (C2 = 76000 NJ/kom).

Treba odrediti:y - nivo zaliha (proizvodnje) u toku mjeseca iF(y) - funkcija očekivanih troškova.

Pošto je u pitanju opšti model zaliha, utvrđivanje optimalne veličine zaliha y* izvršiće se prema kriteriju iz relacije 5.23, tj.

gdje je G(y) dato u izrazu 5.22, odnosno


Korištenjem prethodnog izraza, potrebne parametre utvrđujemo pomoću slijedeće tabele.

Pošto je

slijedi da je

,

odnosno

.

Prema tome, optimalno bi bilo da se na početku mjeseca proizvode 3 proizvoda.

Ukupne troškove računamo po obrascu za 5.21, tj.

IV-5. Zadaci sa ispitnih rokova

1. Prognozirana potrošnja brašna je 30 t mjesečno. Troškovi zaliha su 2 NJ/t mjesečno, a trošak jedne narudžbe je 150 NJ.


a) Izračunati naručenu količinu pri svakoj ponovnoj nabavci, tako da ukupni godišnji troškovi zaliha budu minimalni. Grafički prikazati funkciju ukupnih troškova. Izračunati ostale parametre sistema upravljanja zalihama.

b) Brašno se može kupiti od mlinske industrije za 2000 NJ/t, s tim da se dobiva popust 3% za količinu koja prelazi 120 t i 5% za količinu koja prelazi 240 t. Kako dobiveni količinski rabat utiče na troškove upravljanja zalihama.

2. Preduzeće u toku godine (300 dana) treba 6030 komada jednog artikla. Nabavka artikla vrši se serijskim narudžbama. Potrošnja artikla tokom godine je ravnomjerna, a hitne nabavke nisu dozvoljene. Cijena artikla je 20 NJ po komadu. Troškovi skladištenja iznose 0,1 NJ po svakoj NJ nabavne vrijednosti ako skladištenje traje jedan dan. Troškovi jedne redovne narudžbe iznose 500 NJ, a troškovi vezivanja kapitala za zalihe se izračunavaju po stopi 15% od nabavne vrijednosti prosječnih zaliha artikla.

Sa ciljem minimiziranja ukupnih godišnjih troškova, potrebno je odrediti optimalni obim jedne narudžbe, broj narudžbi u toku godine, vrijeme koje protekne između dvije naruđžbe kao i iznos ukupnih troškova.

3. Preduzeće u toku jedne godine (300 dana) kupcu treba isporučiti 500 komada proizvoda. Kupac ne raspolaže sa skladišnim prostorom pa skladištenje vrši samo preduzeće (prozvođač). Proizvod se isporučuje kupcu isporukama koje moraju biti redovne jer u protivnom će kupac otkazati cjelokupnu narudžbu. Stoga preduzeće organizuje proizvodnju u ciklusima.

Troškovi pripreme proizvodnje jednog ciklusa iznose 1000 NJ, a troškovi proizvodnje jednog komada proizvoda su 15 NJ. Troškovi pripreme skladišta po ciklusu iznose 125 NJ, a troškovi skladištenja obračunavaju se dnevno i iznose 1,5 NJ po komadu prosječnih zaliha.

Utvrditi optimalni obim proizvodnje jednog ciklusa kako bi ukupni troškovi bili minimalni. Odrediti broj ponavljanja ciklusa u toku godine, vrijeme trajanja jednog ciklusa kao i ukupne godišnje troškove.

4. Preduzeće u toku 60 dana treba isporučiti 1000 komada određenog artikla. Artikal se obezbjeđuje serijskom proizvodnjom, a troškovi proizvodnje jedne serije su 500 NJ. Troškovi skladištenja su 2 NJ po komadu na dan.

a) Pod uslovom da hitne nabavke nisu dozvoljene odrediti optimalnu veličinu jedne serije, broj serija, vrijeme trajanja jedne serije i ukupne troškove. Grafički prikazati funkcije troškova proizvodnje, zaliha i ukupnih troškova.

b) Ako su hitne nabavke dozvoljene, u slučaju da dođe do nedostatka zaliha obračunavaju se i troškovi hitnih nabavki koji iznose 3 NJ po komadu na dan. Odrediti optimalnu veličinu jedne serije, broj serija, vrijeme trajanja jedne serije, veličinu hitne nabavke i ukupne troškove.


5. Preduzeće ima potrebu da u toku jedne godine nabavi 10000 komada proizvoda. Nabavka se vrši u serijskim narudžbama, a troškovi nabavke jedne serije u iznosu od x komada definisani su izrazom C(x)=500x+2000. Troškovi skladištenja se obračunavaju mjesečno za prosječne zalihe po stopi od 2% od vrijednosti uskladištene količine proizvoda.

Potrebno je odrediti optimalnu veličinu jedne nabavke, broj nabavki, vrijeme trajanja jedne serije kao i minimalne ukupne troškove zaliha.

6. Preduzeću je u periodu od godinu dana potrebno 1000 jedinica neke robe. Robu može nabavljati samo u serijskim narudžbama ravnomjerno u toku cijele godine jer hitne nabavke nisu dozvoljene. Troškovi nabavke jedne serije su definisani izrazom C(x)=10x+50. Troškovi skladištenja iznose 0,50 NJ i oni se obračunavaju po jedinici prosječnih zaliha u toku jednog mjeseca.

Odrediti optimalnu veličinu jedne serije, vremenski razmak između nabavki, broj nabavki u toku godine i ukupne minimalne troškove.

7. Preduzeće godišnje (360 dana) troši 10000 kg sirovine za koju je fakturna cijena dobavljača 5 NJ/kg. Tražnja je konstantna i nisu dozvoljene hitne nabavke. Nabavka se realizuje veoma brzo. Troškovi po jednoj narudžbi iznose 100 NJ, a ukupni troškovi skladištenja računaju se po stopi od 10% od nabavne vrijednosti prosječnih zaliha (fakturna cijena + troškovi narudžbe).

Odrediti optimalnu veličinu jedne narudžbe kako bi ukupni troškovi bili minimalni. Izračunati optimalni broj narudžbi u toku godine, u kom vremenskom intervalu će se vršiti narudžbe i iznos ukupnih godišnjih troškova .

8. Preduzeću u toku godine (360 dana) treba 7210 t sirovine. Potrošnja artikla u toku godine je ravnomjerna, nabavke se realizuju brzo i nisu dozvoljene hitne nabavke. Cijena artikla je 100 NJ/t. Troškovi skladištenja se obračunavaju dnevno u iznosu od 0,4 NJ na svaku NJ nabavne vrijednosti prosječnih zaliha. Troškovi jedne redovne narudžbe iznose 400 NJ, a troškovi vezivanja kapitala se računaju po stopi od 20% od nabavne vrijednosti prosječnih zaliha.

Izračunati optimalnu veličinu jedne narudžbe, broj narudžbi u toku godine kao i vrijeme koje protekne između dvije narudžbe. Utvrditi iznos minimalnih ukupnih troškova narudžbe.

9. Za izradu gotovih proizvoda preduzeće koristi određenu sirovinu i želi da odredi optimalan nivo zaliha ove sirovine u toku mjeseca. Nabavka sirovine se vrši na početku mjeseca pri čemu se troškovi nabavke mogu zanemariti. Troškovi skladištenja sirovine su 100 NJ/t mjesečno. Ukoliko tražnja za sirovinom nije zadovoljena može se izvršiti hitna nabavka, a troškovi hitnih nabavki su 900 NJ/t mjesečno.

Kako je tražnja za sirovinom stohastička veličina, na osnovu iskustva iz prethodnog perioda utvrđene su vjerovatnoće za pojedine obime tražnje što je predstavljeno u slijedećoj tabeli.


Odrediti nivo zaliha koji će obezbjediti minimalne ukupne troškove skladištenja i hitnih nabavki u toku mjeseca, kao i očekivani iznos tih troškova.

10. Preduzeće svake sedmice vrši nabavku vitalnog rezervnog dijela. U redovnoj nabavci može se nabaviti najviše 4 rezervna dijela. U prethodnih 100 sedmica utrošak rezervnih dijelova bio je kao u slijedećoj tabeli.

Troškovi redovne nabavke su 15000 NJ, a troškovi hitne nabavke su 350000 NJ. a) Odrediti koliko rezervnih dijelova treba nabaviti u redovnoj nabavci i

iznos ukupnih troškova.b) Procijeniti u kom intervalu bi se kretali troškovi hitnih nabavki za slučaj

da se nabave 2 rezervna dijela u redovnoj nabavci.

5.1. PROBLEMI ZALIHA U PREDUZEĆU...........................................15.2. TROŠKOVI ZALIHA.........................................................................35.3. MODEL ZALIHA PRI KONSTANTNOJ TRAŽNJI - HITNE NABAVKE NISU DOZVOLJENE............................................................75.4. MODEL ZALIHA PRI KONSTANTNOJ TRAŽNJI - HITNE NABAVKE SU DOZVOLJENE................................................................85.5. MODEL ZALIHA SA STOHASTIČKOM TRAŽNJOM.......................85.6. OPŠTI MODEL ZALIHA...................................................................8DODATAK IV: PRIMJENA MODELA ZA UPRAVLJANJE ZALIHAMA.8

IV-1. Tražnja konstantna - hitne nabavke nisu dozvoljene........................8IV-2. Tražnja konstantna - hitne nabavke su dozvoljene...........................8IV-3. Tražnja stohastička veličina...........................................................8IV-4. Opšti model zaliha........................................................................8IV-5. Zadaci sa ispitnih rokova...............................................................8


Tabela 5.1.Tabela za određivanje vrijednosti G(y)..........................................8

Slika 5.1. Model zaliha sa konstantnom tražnjom - hitne nabavke nisu dozvoljene.............................................................................................8

Slika 5.2. Grafički prikaz troškova zaliha........................................................8Slika 5.3. Model zaliha sa konstantnom tražnjom - hitne nabavke su dozvoljene 8Slika 5.4a. Opšti model zaliha kada je x ≤ y.....................................................8Slika 5.4b. Opšti model zaliha kada je x > y....................................................8

zalihe

Documents