yÖneylem araŞtirmasi - iiicontent.lms.sabis.sakarya.edu.tr/uploads/65354/... · maksimum 2 ve 4...

Endüstri Mühendisliği

Bölümü

Prof. Dr. Cemalettin KUBAT | Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN Yöneylem Araştırması - III

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI - III

Prof. Dr. Cemalettin KUBAT

Yrd. Doç. Dr. Özer UYGUN


Bölümü


Hessien Matris-Quadratik Form

Mutlak ve Bölgesel Maksimum-Minimum Noktalar

Yöneylem Araştırması - III

İçerik


Bölümü


Kısıtlı ve kısıtsız fonksiyonlar için maksimum veya minimum (ekstremum) noktalarının belirlenmesinde diferansiyel hesabı kullanarak çeşitli metotlar geliştirilmiştir.

Geliştirilen bu metotların etkin sayısal hesaplamalara uygun sonuçlar vermesi her zaman mümkün olmayabilir. Bununla birlikte bu temel teori çoğu doğrusal olmayan programlama algoritmalarının tasarlanmasının esasını oluşturur.


Giriş


Bölümü


Bu bölümde kısıtsız ve ekstremum problemlerinin çözümünde gerek ve yeter şartları ifade eden HessienMatris ve Quadratik Formlar tanımlanarak ekstremumnoktaların ayırımı verilecektir.


Giriş


Bölümü


Hessien Matris

Tanım: Çok değişkenli bir 𝑓(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛) fonksiyonunekstremumlarının incelenmesinde yeter şartların yerinegetirilmesini sağlamak için Hessien Matris’tenyararlanılacaktır.

Bir 𝑓(𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) fonksiyonu ve bu fonksiyonun 2.mertebeden kısmi türevleri tanımlı ise bu fonksiyonherhangi bir (𝑥1, 𝑥2 , … , 𝑥𝑛 ) noktasına karşılık gelen 2.mertebeden türevlerinin değerlerinden oluşan matrisineHessien Matris adı verilir.


Hessien Matris


Bölümü


Hessien Matris


Hessien Matris

𝐻 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1⋮𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2𝜕2𝑓

𝜕𝑥2²⋮𝜕2𝑓


⋯𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥𝑛

⋯⋱

⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥𝑛⋮𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑛²


Bölümü


Hessien Matris

Bu matrisin asal minörleri olan determinantlar (sol üst köşeden başlayan determinantlar) ise şu şeklinde tanımlanır.

∆1=𝜕2 𝑓

𝜕𝑥12 , ∆2=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2²

, … , ∆𝑛=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22

⋯⋯

𝜕2𝑓


𝜕2𝑓


⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝜕2𝑓


𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑛𝜕𝑥2⋯

𝜕2𝑓

𝜕𝑥𝑛²


Hessien Matris


Bölümü


Kuadratik Form

Tanım: x ≠ 0 şartını sağlayan

𝑥 =

𝑥1𝑥2⋮𝑥𝑛

ve 𝐴 =

𝑎11 𝑎12… 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22… 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2… 𝑎𝑛𝑛


matrislerinden oluşan aşağıdaki ifadeye Kuadratik Form adı verilir.

𝑄 𝑥 = 𝑋𝑇 . 𝐴. 𝑋 =

𝑖=1

𝑛

𝑗=1

𝑛

𝑎𝑖𝑗 𝑥𝑖 𝑥𝑗


Kuadratik Form


Bölümü


Kuadratik Form

Böylece tanımlanan Q(x) fonksiyonu açık olarak şu şekilde yazılabilir.

𝑄 𝑋 = 𝑥1 𝑥2… 𝑥𝑛

𝑎11 𝑎12… 𝑎1𝑛𝑎21 𝑎22… 𝑎2𝑛⋮ ⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑛1 𝑎𝑛2… 𝑎𝑛𝑛



Kuadratik Form


Bölümü


Kuadratik Form

Çarpım işlemleri yapıldığında

𝑄 𝑥 = 𝑎11𝑥1² + 𝑎12𝑥1𝑥2 +⋯+ 𝑎1𝑛𝑥1𝑥𝑛+𝑎21𝑥2𝑥1 + 𝑎22𝑥2² + ⋯+ 𝑎2𝑛𝑥2𝑥𝑛⋮

+ 𝑎𝑛1𝑥𝑛𝑥1 + 𝑎𝑛2𝑥𝑛𝑥2 +⋯+ 𝑎𝑛𝑛𝑥𝑛²

ifadesi ortaya çıkar.


Kuadratik Form


Bölümü


Kuadratik Form

Buna göre kuadratik formu oluşturan A matirisinin asal minörleri ∆1, ∆2, … , ∆𝑛 ise;

1. ∆1> 0, ∆2> 0,… , ∆𝑛> 0 yani bütün asal minörler pozitif ise Q(x) pozitif tanımlı,

2. ∆1≥ 0, ∆2≥ 0,… , ∆𝑛≥ 0 ise; Q(x) pozitif yarı tanımlı,

3. ∆1< 0, ∆2> 0, ∆3< 0, ∆4> 0,… ise; Q(x) negatif tanımlı,

4. ∆1≤ 0, ∆2≥ 0, ∆3≤ 0, ∆4≥ 0,… ise; Q(x) negatif yarı tanımlıdır.


Kuadratik Form


Bölümü


Kuadratik Form

Bu durumda A matrisi bir Hessien Matrisi – H oluşturuyor ise;

• Hessien Matrisi pozitif tanımlı ise bu matrisi oluşturan f x1, x2, … , xn fonksiyonu tam konvekstir.

• Hessien matrisi pozitif yarı tanımlı ise f x1, x2, … , xnfonksiyonu konvekstir.

• Hessien matrisi negatif tanımlı ise f x1, x2, … , xnfonksiyonu tam konkavdır.

• Hessien matrisi negatif yarı tanımlı ise f x1, x2, … , xnfonksiyonu konkavdır.


Kuadratik Form


Bölümü


Konveks ve Konkav Fonksiyonlar

Doğrusal fonksiyonlarda değişkenin değeri ile foksiyonundeğeri oransal olarak artmaktadır. Örneğin 𝑥1 ile ifade edilen faaliyetin miktarı 𝑥1’den 2𝑥1’e çıktığında kâr örneğin 20’den 40’a çıkıyorsa doğrusallıktan bahsedilir.

Ancak bazı durumlarda, ekonomik şartlardan dolayı kar oransal olarak artmayabilir veya azalmayabilir. Örneğin faaliyet miktarı 2 kat arttığında kar 45’e çıkıyorsa konveks bir fonksiyon, 35’e iniyorsa konkav bir fonksiyon söz konusudur.


Konveks-Konkav Fonksiyonlar


Bölümü



Fonksiyonun iki değerinden doğrusal enterpolasyonyapıldığında ilgili noktadaki fonksiyonun gerçek değerini aşıyorsa bu konveks fonksiyondur.

Buna göre y ve z olmak üzere iki nokta ele aldığımızda f(y) ve f(z)’i birleştiren doğru parçası fonksiyonun üzerinde kalıyorsa bu fonksiyon konvekstir.




Bölümü





a) Konveks fonksiyon,

b) Konkav fonksiyon,

c) Konveks veya konkav olmayan fonksiyon


Bölümü



Tanım: Her 𝑦 ve 𝑧 değeri ve 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonu konvekstir.

𝑓 𝜆𝑦 + 1 − 𝜆 𝑧 ≤ 𝜆𝑓 𝑦 + 1 − 𝜆 𝑓(𝑧)

Her 𝑦 ve 𝑧 değeri ve 0 < 𝜆 < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonu tam konvekstir.

𝑓 𝜆𝑦 + 1 − 𝜆 𝑧 < 𝜆𝑓 𝑦 + 1 − 𝜆 𝑓(𝑧)




Bölümü



Tanım: Her 𝑦 ve 𝑧 değeri ve 0 ≤ 𝜆 ≤ 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonu konkavdır.

𝑓 𝜆𝑦 + 1 − 𝜆 𝑧 ≥ 𝜆𝑓 𝑦 + 1 − 𝜆 𝑓(𝑧)

Her 𝑦 ve 𝑧 değeri ve 0 < 𝜆 < 1 için aşağıdaki şart sağlanıyorsa 𝑓(𝑥) fonksiyonu tam konkavdır.

𝑓 𝜆𝑦 + 1 − 𝜆 𝑧 > 𝜆𝑓 𝑦 + 1 − 𝜆 𝑓(𝑧)




Bölümü



Konveks-Konkav Setler

Konveks fonksiyonun belirlediği

konveks setKonveks olmayan set

Konveks ve konkav fonksiyonun belirlediği

konveks set

Konkav fonksiyonun belirlediği

konveks set


Bölümü



Mutlak-Bölgesel Max-Min. Noktalar


Bölümü


Burada 𝑥1, 𝑥2,, 𝑥3, 𝑥4 ve 𝑥6 noktaları f(x)’in tüm ekstremumlarını ifade ederler.

Bunlardan 𝑥1, 𝑥3 ve 𝑥6 maksimum 𝑥2 ve 𝑥4 ise minimum özelliği gösterirler. Maksimumlar içerisinde en maksimumözelliğe sahip olan

𝒇 𝒙𝟔 = 𝒎𝒂𝒌𝒔 { 𝒇 𝒙𝟏 , 𝒇 𝒙𝟑 , 𝒇 𝒙𝟔 }

𝒇 𝒙𝟔 değerine global veya mutlak maksimum, 𝒙𝟔 ’ya mutlak maksimum nokta, 𝑓 𝑥1 ve 𝑓 𝑥3 değerlerine ise bölgesel (yerel, lokal veya rölatif) maksimum, 𝑥1 𝑥3 ’e bölgesel maksimum nokta adı verilir.




Bölümü


Benzer şekilde en minimum değer olan 𝒇 𝒙𝟐 =𝐦𝐢𝐧{𝒇 𝒙𝟐 , 𝒇 𝒙𝟒 }

𝒇 𝒙𝟐 değerine global veya mutlak minimum, 𝒙𝟐 değerine mutlak minimum nokta, 𝒇 𝒙𝟒 değerine ise bölgesel minimum, 𝒙𝟒 değerine bölgesel minimum nokta adı verilir.




Bölümü


Zayıf/Kuvvetli Ekstramum

Şekildeki 𝑥1 maksimum bir nokta olmasına karşılık diğer 𝑥3ve 𝑥6 maksimum noktalarından farklıdır.

𝑥1’in komşuluğundaki en az bir noktadaki f değeri 𝑓(𝑥1)’e eşittir. Bu durumda 𝑥1 zayıf maksimum nokta 𝑥3 ve 𝑥6 ise kuvvetli maksimum nokta olarak adlandırılır.

Benzer şekilde 𝑥4 zayıf minimum noktadır.




Bölümü


Zayıf/Kuvvetli Ekstramum

Genel olarak;

• 𝑓 𝑥0 + ℎ ≤ 𝑓 𝑥0 ise 𝑥0 zayıf maksimum,

• 𝑓 𝑥0 + ℎ < 𝑓 𝑥0 ise 𝑥0 kuvvetli maksimumdur.

• 𝑓 𝑥0 + ℎ ≥ 𝑓 𝑥0 ise 𝑥0 zayıf minimum,

• 𝑓 𝑥0 + ℎ > 𝑓 𝑥0 ise 𝑥0kuvvetli minimumdur.




Bölümü


Eyer (Semer) Noktası

Buradaki ekstremumlar hakkındaki diğer bir özellik, f’in 1. Mertebeden türevi (eğimi)nin sıfır olmasıdır. Fakat bu özellik ekstremum için yegane bir özellik de değildir, eyer (semer) noktası olan 𝒙𝟓 için de geçerlidir.

1. Mertebeden türevi (eğimi, gradyanı) sıfır olan bir nokta şayet bir maksimum veya minimum nokta değilse bu nokta eyer (semer) noktasıdır.




Bölümü


TEOREM 1: f (x) fonksiyonunun extramum noktası olması gereken 𝑥0 için gerek şart şudur:

𝛻𝑓 𝑥0 = 0

Bu şart aynı zamanda eyer (semer) noktaları için de geçerli olduğundan 𝛻𝑓 𝑥0 = 0 çözümünden elde edilen noktaları stasyoner noktalar olarak ifade etmek daha uygun olacaktır. 𝑥0 noktasının ekstremum olması için yeter şarta da bakılmalıdır.


Gerek ve Yeter Şartlar


Bölümü


TEOREM 2: Bir 𝑥0 stasyoner noktasının ekstremum olması için yeter şart, H – Hessien Matrisinin 𝑥0 daki değerine göre matris aşağıdaki şartları sağlamalıdır:

• 𝑥0 minimum nokta ise H pozitif tanımlı,

• 𝑥0 maksimum nokta ise H negatif tanımlı.


Gerek ve Yeter Şartlar


Bölümü


Örnek: 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3, = 𝑥1 + 2𝑥3 + 𝑥2𝑥3 − 𝑥12 − 𝑥2

2 − 𝑥3²fonksiyonunu ele alalım.

Bu fonksiyonun ekstremum noktaları için gerek şart 𝛻𝑓 𝑥0 = 0’dan aşağıdaki ifadeler yazılabilecektir.

𝜕𝑓

𝜕𝑥1= 1 − 2𝑥1 = 0

𝜕𝑓

𝜕𝑥2= 𝑥3 − 2𝑥2 = 0

𝜕𝑓

𝜕𝑥3= 2 + 𝑥2 − 2𝑥3 = 0




Bölümü


Örnek:

Birinci ifadeden 𝑥1 =1

2elde edilir. İkinci ifadeden 𝑥3 = 2𝑥2

yazılabilir ve bu üçüncü ifadede kullanılırsa;

2 + 𝑥2 − 4𝑥2 = 0 => 𝑥2 =2

3elde edilir. Bu durumda 𝑥3 =

4

3olacaktır.

O halde bu denklem sisteminin ortak çözümü aşağıdaki gibidir.

𝑋0 =1

2,2

3,4

3




Bölümü


Örnek:

Yeter şart için hessien matris ele alınırsa:

H|X0 =

𝜕2𝑓

𝜕𝑥12

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥3𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥22

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥3𝜕2𝑓

𝜕𝑥3𝜕𝑥1

𝜕2𝑓

𝜕𝑥3𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥32X0

=−2 0 00 −2 10 1 −2




Bölümü


Örnek:


∆1=𝜕2𝑓

𝜕𝑥12 = −2

∆2=

𝜕2𝑓

𝜕𝑥1,𝜕2𝑓

𝜕𝑥1𝜕𝑥2

𝜕2𝑓

𝜕𝑥2𝜕𝑥1,𝜕2𝑓

𝜕𝑥2

=−2 , 00 , −2

= −2 ∗ −2 − 0 ∗ 0 = 4




Bölümü


Örnek:


∆3=−2 0 0

0 −2 1

0 1 −2

= −2 ∗−2 11 −2

− 0 ∗0 10 −2

+

0 ∗0 −20 1

∆3= −2 ∗ −2 ∗ −2 − 1 ∗ 1 = −6

(Birinci satıra göre açarak..)




Bölümü


Örnek:

𝐻|𝑥0 ın asal minör determinant değerleri sırasıyla

∆𝟏= − 𝟐 , ∆𝟐= 𝟒 , ∆𝟑= − 𝟔 dır.

Böylece 𝐻|𝑥0 negatif tanımlı olacak, bu durumda da 𝒙𝟎 =𝟏

𝟐,𝟐

𝟑,𝟒

𝟑noktasının maksimum nokta olduğu

belirlenecektir.




Bölümü


Bu örnekte 𝑓 𝑥1, 𝑥2 , 𝑥3 yerine −𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 , 𝒙𝟑 alınırsa

𝒙𝟎 =𝟏

𝟐,𝟐

𝟑,𝟒

𝟑noktası minimum nokta olacaktır. Çünkü bu

durumda hessien matris pozitif tanımlıdır.

Genellikle eğer 𝐻|𝑥0 tanımlı değilse 𝑥0 semer noktası olmalıdır. Bu durumun kesin belirlenememesi halinde 𝑥0ekstremum nokta olabilir veya olmayabilir ve Taylor açılımındaki yüksek mertebeden terimlerin belirlenmesi gerekeceğinden ancak böylece yeter şart oluşturulmuş olur. Böylesi durumda H-Hessien Matrisinin diyagonalleştirilmesi ile daha kesin bilgilere ulaşılabilir.




Bölümü


Örnek: 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 8 𝑥1 𝑥2 + 3𝑥2² fonksiyonunu ele alalım. Burada;

𝛻𝑓 𝑥1, 𝑥2 =𝜕𝑓

𝜕𝑥1,𝜕𝑓

𝜕𝑥2= 8𝑥2, 8𝑥1 + 6𝑥2 = 0,0 ’dır.

𝜕𝑓

𝜕𝑥1= 8𝑥2 = 0

𝜕𝑓

𝜕𝑥2= 8𝑥1 + 6𝑥2 = 0

𝑥0 = 0, 0 ’dır.

Bu bize problemin bir stasyoner noktasını verir.




Bölümü


Örnek: 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 8 𝑥1 𝑥2 + 3𝑥2²

𝑥0’daki Hessien matris

𝐻 =0 88 6

∆1= 0

∆2=0 88 6

= 0 ∗ 6 − 8 ∗ 8 = −64

Bu matrisin özelliği kesin belirli değildir. Çünkü tüm asal minör determinantlar pozitif değil dolayısıyla pozitif-tanımlı değil; 1. asal minör determinantı ≤ 0 olmakla birlikte 2. Asal minör determinantı ≥ 0 değil dolayısıyla negatif-tanımlı değildir.




Bölümü


Örnek: 𝑓 𝑥1, 𝑥2 = 8 𝑥1 𝑥2 + 3𝑥2²

Bir diyagonalleştirme (köşegenleştirme) metodu yardımıyla Hessien Matrisin diyagonali

𝐻𝑡 =−33,3/6 00 63,3/6

≅−5,55 00 11,55

şeklindedir.

𝐻𝑡’nin asal minörleri incelendiğinde

∆1= −33.3

6≅ −5.55, ∆2= −64’den 𝐻𝑡 veya 𝐻

definit değildir.

Böylece 𝑥0’ın bir eyer (semer) noktası olduğu kesinleşir.




Bölümü


Çalışma Soruları

1. 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟑𝒙𝟏 + 𝟐𝒙𝟏𝟐 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝒙𝟐

𝟐 − 𝟐𝒙𝟏𝒙𝟐fonksiyonunu Hessien matrisini oluşturarak, definitdurumları ve maksimum-minimum noktaların varlığını araştırınız.

2. 𝒇 𝒙𝟏, 𝒙𝟐 = 𝟏𝟔 𝒙𝟏 𝒙𝟐 + 𝟔𝒙𝟏²

fonksiyonunu Hessien matrisini oluşturarak, definit

durumları ve maksimum-minimum noktaların varlığını

araştırınız.

Yöneylem Araştırması - IIIHessien Matris ile Maks-Min. Noktalar


Bölümü


Kaynaklar

1. Wayne Winston, Operations Research Applications andAlgorithms 4th. Edition, 2003

2. Yöneylem Araştırması , Hamdy Taha, 6.Basımdan çeviri.

3. MATLAB: Yapay Zeka ve Mühendislik Uygulamaları, Prof. Dr. C.Kubat, Beşiz Yayınları-1.Basım, Aralık 2012.

Yöneylem Araştırması - II

yÖneylem araŞtirmasi - iiicontent.lms.sabis.sakarya.edu.tr/uploads/65354/... · maksimum 2 ve 4...

Documents