maksimum minimum metode lagrange
TRANSCRIPT
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
1/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum, Minimum, dan Metode Lagrange
Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPAUniversitas Islam Indonesia
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
2/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Maksimum dan Minimum
Misalkan p = (x , y ) adalah sebuah titik peubah dan p0 = (x 0, y 0)adalah sebuah titik tetap pada bidang berdimensi dua (kedua titiktersebut berlaku untuk titik-titik pada ruang berdimensi n).
Definisi
Misalkan f adalah fungsi dengan daerah asal S , dan misalkan p 0adalah sebuah titik di S .
1 f (p0) adalah nilai maksimum global dari f di S jikaf (p0) ≥ f (p) untuk seluruh p di S .
2 f (p0) adalah nilai minimum global dari f di S jikaf (p0) ≤ f (p) untuk seluruh p di S .
3 f (p0) adalah nilai ekstrem global dari f di S jika f (p0)bukan maksimum global dan bukan minimum global.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
3/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
4/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Teorema A Teorema Keberadaan Maksimum-Minimum
Jika f kontinu pada sebuah himpunan S tertutup terbatas, maka f mencapai nilai maksimum (global) dan nilai minimum (global) dihimpunan tersebut.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
M k i d Mi i
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
5/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Titik Kritis
Titik kritis dari f di S ada tiga jenis
1 Titik batas
2 Titik stasioner. Kita menyebut p0 titik stasioner jika f (p0)
adalah sebuah titik dalam di S di mana f dapatdidiferensialkan dan ∇f (p 0)= 0. Di titik tersebut, suatubidang singgung akan horizontal.
3 Titik tunggal/singular. Kita menyebut p0 sebagai titik
singular jika p0 adalah sebuah titik dalam di S
di mana f
tidak dapat didiferensialkan, misalnya, sebuah titik di managrafik dari f mempunyai sebuah sudut lancip.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
M k i d Mi i
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
6/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Teorema B Teorema Titik Kritis
Misalkan f didefinisikan pada sebuah himpunan S yangmengandung p0. Jika f (p0) adalah sebuah nilai ekstrem, maka p0
harus merupakan sebuah titik kritis, yaitu p0 adalah(i.) sebuah titik batas di S , atau
(ii.) sebuah titik stasioner dari f , atau
(iii.) sebuah titik singular dari f
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan Minimum
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
7/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Contoh 1
Tentukan nilai maksimum atau minimum darif (x , y ) = x 2 − 2x + y 24 .Penyelesaian:Fungsi tersebut dapat didiferensialkan di seluruh daerah asalnya,yaitu bidang xy . Sehingga satu-satunya titik kritis yang mungkinadalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan menetapkanf x (x , y ) dan f y (x , y ) sama dengan nol. Tetapi f x (x , y ) = 2x − 2dan f y (x , y ) =
y 2 bernilai nol hanya ketika x = 1 dan y = 0.
Perhatikan bahwa f (1, 0) = −1, dan
f (x , y ) = x 2 − 2x + y 24
= x 2 − 2x + 1 + y 24 − 1
= (x − 1)2 + y 2
4 − 1 ≥ −1
Jadi, f (1, 0) sebenarnya adalah sebuah nilai minimum global untukf .
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan Minimum
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
8/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Contoh 2
Tentukan nilai maksimum dan minimum lokal untukf (x , y ) = − x 2
a2 + y 2
b 2.
Penyelesaian:Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menetapkanf x (x , y ) =
−2x
a
2 dan f y (x , y ) = 2y
b
2 sama dengan nol. Persyaratanini menghasilkan titik (0, 0), yang tidak memberikan nilaimaksimum atau minimum. Titik ini disebut titik pelana. Fungsitersebut tidak mempunyai titik ekstrem lokal.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan Minimum
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
9/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Syarat Cukup untuk Titik Ekstrem
Teorema C Uji Parsial KeduaAndaikan f (x , y ) mempunyai turunan parsial kedua kontinu dalamlingkungan (x 0, y 0) dan ∇f (x 0, y 0) = 0. Misalkan
D = D (x 0, y 0) = f xx (x 0, y 0)f yy (x 0, y 0)
−f 2xy (x 0, y 0)
Maka
(i.) jika D > 0 dan f xx (x 0, y 0)
0 dan f xx (
x 0, y
0) >
0, f
(x
0, y
0) adalah sebuah nilaiminimum lokal,
(iii.) jika D
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
10/26
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
Latihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Contoh 3
Tentukan titik ekstrem, jika ada, dari fungsi F yang didefinisikandengan F (x , y ) = 3x 3 + y 2 − 9x + 4y .
Penyelesaian:
Titik-titik kritis
F x (x , y ) = 9x 2 − 9
0 = 9(x 2 − 1)0 = 9(x − 1)(x + 1) ⇒ x = −1atau x = 1
F y (x , y ) = 2y + 40 = 2y + 4
−4 = 2y ⇒ y = −2
∴ titik-titik kritisnya adalah (1,
−2) dan (
−1,
−2)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumM k i d Mi i
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
11/26
Metode LagrangeLatihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Selanjutnya F xx (x , y ) = 18x ,F yy (x , y ) = 2, dan F xy (x , y ) = 0
Di titik kritis (1,−2)
D = F xx (1,−2) ·F yy (1,−2)−F 2xy (1,−2) = 18(2)−0 = 36 > 0
dan F xx (1,−2) = 18 > 0, sehingga F (1,−2) = −10 adalahsebuah minimum lokal dari F .Di titik kritis (−1,−2)
D = F xx (−1,−2)·F yy (−1,−2)−F 2xy (−1,−2) = −18(2)−0 = −36 <
maka (−1,−2) adalah sebuah titik pelana dan F (−1,−2) = 2bukan sebuah nilai ekstrim.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMaksimum dan Minimum
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
12/26
Metode LagrangeLatihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Contoh 4
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari f (x , y ) = 2 + x 2 + y 2
pada himpunan tertutup S =
(x , y ) : x 2 + 14 y 2 ≤ 1.
Penyelesaian:
Karena f x (x , y ) = 2x dan f y (x , y ) = 2y , maka titik stasionernyaadalah titik (0, 0) dan
D (0, 0) = f xx (0, 0)f yy (0, 0) − f 2xy (0, 0) = 2 · 2 − 0 = 4 > 0
dan f xx (0, 0) = 2 > 0 maka f (0, 0) = 2 adalah nilai minimum.Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
13/26
Metode LagrangeLatihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
Nilai maksimum global akan terjadi di batas dari himpunan S . Kitadapat menguraikan secara parametrik batas S dengan
x = cos t , y = 2 sin t , 0leqt ≤ 2π
Masalah optimasi kemudian dapat disederhanakan menjadioptimasi dengan fungsi satu peubah
g (t ) = f (cos t , 2 sin t ), 0 ≤ t ≤ 2π
Berdasarkan Aturan Rantai
g (t ) = ∂ f
∂ x
dx
dt
+ ∂ f
∂ y
dy
dt = 2x (−sin t ) + 2y (2 cos t )= −2 sin t cos t + 8 sin t cos t = 6 sin t cos t = 3 sin 2t
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan Minimum Maksimum dan Minimum
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
14/26
Metode LagrangeLatihan
Maksimum dan MinimumTitik Kritis
dengan menetapkan g (t ) = 0 dihasilkan t = 0, π
2
, π, 3π
2
, dan 2π.Jadi g mempunyai lima titik kritis di [0, 2π] yaitu(1, 0), (0, 2), (−1, 0), (0,−2), dan (1, 0) untuk f ; titik yang terakhirakan sama dengan yang pertama karena sudut 2π menghasilkantitik yang sama dengan sudut 0o . Maka nilai-nilai f yang
bersesuaian
f (1, 0) = 3 f (0, 2) = 6
f (−1, 0) = 3 f (0,−2) = 6
Di titik kritis bagian dalam S kita mempunyai f (0, 0) = 2. Dengandemikian kita dapat menyimpulkan bahwa nilai minimum f di S adalah 2 dan nilai maksimumnya adalah 6.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumM d L M d L
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
15/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Metode Lagrange
Teorema A Metode Lagrange
Untuk memaksimumkan atau meminimumkan f (p) yang dikenaikendala g (p) = 0, selesaikan sistem persamaan
∇f (p) = λ∇g (p) dan g (p) = 0
untuk p dan λ. Setiap titik p seperti ini adalah sebuah titik kritisuntuk soal ekstrem terkendala, dan λ yang bersesuaian dengan itudisebut pengali Lagrange.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumM t d L M t d L
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
16/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Contoh 5
Berapakah luas terbesar yang dimiliki sebuah persegi panjang jikapanjang diagonalnya adlaah 2?
Penyelesaian:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
17/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Jadi, kita merumuskan masalah memaksimumkan f (x , y ) = xy dengan g (x , y ) = x 2 + y 2 − 4 = 0. Gradien-gradien yangbersesuaian adalah
∇f (x , y ) = f x (x , y )i + f y (x , y ) j = y i + x j∇g (x , y ) = g x (x , y )i + g y (x , y ) j = 2x i + 2y j
Sehingga persamaan Lagrange menjadiy = λ(2x )
x = λ(2y )
x 2 + y 2 = 4
Kalikan persamaan pertama dengan y dan persamaan keduadengan x sehingga diperoleh y 2 = 2λxy dan x 2 = 2λxy . Artinya
y 2 = x 2 (1)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
18/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Dari (3) dan (4) diperoleh x =√
2 dan y =√
2. Denganmensubstitusikan nilai-nilai tersebut ke (1), maka diperoleh λ = 12 .
Kita dapat menyimpulkan bahwa persegi panjang dengan luasterbesar dengan diagonal 2 adalah bujur sangkar dengan panjangsisi
√ 2, luasnya adalah 2.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
19/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Contoh 6
Gunakan metode Lagrange untuk menentukan nilai maksimum dan
nilai minimum darif (x , y ) = y 2 − x 2
pada elips x 2
4 + y 2 = 1.
Penyelesaian:Kita dapat menuliskan kendala sebagaig (x , y ) = x 2 + 4y 2 − 4 = 0, maka
∇f (x , y ) = −2x i + 2y j
∇g (x , y ) = 2x i + 8y j
Persamaan-persamaan Lagrangenya adalah
−2x = λ2x (2)2y = λ8y (3)
x 2 + 4y 2 = 4 (4)Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/http://goback/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
20/26
Metode LagrangeLatihan
Metode Lagrange
Perhatikan dari persamaan (3) bahwa x dan y tidak dapat bernilai
0. Jika x = 0, persamaan (1) menghasilkan λ = −1, sehinggadiperoleh y = 0 dan x = ±2. Jadi kita memperoleh titik-titik kritis(±2, 0). Jika y = 0, maka akan menghasilkan λ = 14 , sehinggadiperoleh x = 0 dan y = ±1. Jadi kita peroleh titik-titik kritis(0,
±1). Selanjutnya, untuk f (x , y ) = y 2
−x 2
f (2, 0) = −4f (−2, 0) = −4
f (0, 1) = 1
f (0,−1) = 1Jadi nilai minimum dari f (x , y ) adalah -4, dan nilai maksimumnyaadalah 1.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
21/26
g gLatihan
g g
Fungsi dengan Lebih dari Satu Kendala
Jika lebih dari satu kendala dikenakan pada peubah-peubah darisebuah fungsi yang akan dimaksimumkan atau diminimumkan,maka digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan (satu untuksetiap kendala). Contohnya, jika kita mencari nilai ekstrem darifungsi f dengan tiga peubah yang dikenai dua kendala
g (x , y , z ) = 0 dan h(x , y , z ) = 0, kita dapat menyelesaikanpersamaan-persamaan
∇f (x , y , z ) = λ∇g (x , y , z ) + µ∇h(x , y , z )g (x , y , z ) = 0
h(x , y , z ) = 0
untuk x , y , z , λ, danµ, di mana λ dan µ adalah pengali-pengaliLagrange.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
22/26
Latihan
Ini ekuivalen dengan penentuan solusi dari sistem yang terdiri darilima persamaan simultan dengan peubah-peubah x , y , z , λ, danµ
f x (x , y , z ) = λg x (x , y , z ) + µhx (x , y , z )
f y (
x , y , z ) =
λg y (
x , y , z ) +
µhy (
x , y , z )
f z (x , y , z ) = λg z (x , y , z ) + µhz (x , y , z )
g (x , y , z ) = 0
h(x , y , z ) = 0
Dari solusi sistem ini, kita memperoleh titik-titik kritis.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange Metode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
23/26
Latihan
Contoh 6
Tentukan nilai maksimum dan minimum dari
f (x , y , z ) = x + 2y + 3z pada elips yang merupakan perpotongandari silinder x 2 + y 2 = 2 dan bidang y + z = 1.
Penyelesaian:
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
L ihMetode Lagrange
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
24/26
Latihan
Kita akan memaksimumkan dan meminimumkan f (x , y , z ) dengankendala g (x , y , z ) = x 2 + y 2 − 2 = 0 danh
(x , y , z
) = y
+ z − 1 = 0. Persamaan-persamaan Lagrangenyaadalah
1 = 2λx
3 = 2λy + µ
3 = µx 2 + y 2 − 2 = 0
y + z − 1 = 0Dari (1) diperoleh x = 12λ, dari (2) dan (3) diperoleh y =
−12λ.
Jadi dari (4),
12λ
2 +
−12λ
2 = 2, yang menghasilkan λ = ±12 .Solusi λ = 12 menghasilkan titik kritis (x , y , z ) = (1,−1, 2) danλ = −12 menghasilkan titik kritis (x , y , z ) = (−1, 1, 0). Makadiperoleh f (1,−1, 2) = 5 adalah nilai maksimum dan f (−1, 1, 0)adalah nilai minimum.Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
L tihLatihan
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
25/26
Latihan
Latihan
1. Tentukan seluruh titik kritisnya dan nyatakan apakah setiaptitik tersebut memberikan nilai maksimum lokal atau nilaiminimum lokal atau merupakan titik pelana (gunakanTeorema C).
a. f (x , y ) = xy + 2x
+ 4y
b. f (x , y ) = e −(x 2+y 2−4y )
2. Tentukan nilai maksimum global dan nilai minimum globaldari f di S dan nyatakan di mana nilai-nilai tersebut terjadi
a. f (x , y ) = x 2 + y 2; S = {(x , y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}b. f (x , y ) = x 2 − 6x + y 2 − 8y + 7; S = {(x , y ) : x 2 + y 2 ≤ 1}.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
Maksimum dan MinimumMetode Lagrange
LatihanLatihan
http://find/
-
8/19/2019 Maksimum Minimum Metode Lagrange
26/26
Latihan
3. Tentukan semua titik stasioner dan jenisnya dari fungsif (x , y ) = x 2 + 4y 2 − 2x + 8y − 1.
4. Tentukan semua titik ekstrem dan jenisnya dari fungsif (x , y ) = x 2 − y 2 + 1 pada cakram x 2 + y 2 ≤ 1.
5. Tentukan ukuran kotak dengan volume terbesar yang dapattermuat dalam bola x 2 + y 2 + z 2 = 3.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si 611.12.029 Kalkulus Multivariabel I
http://find/