Yale lectures 3 and 4 review

• Iterative deletion of dominated strategies. • Ex: two players choose positions on political

spectrum. Endpoints become repeatedly eliminated by deletion of dominated strategies.

Median Voter Theorem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 5,5 1,9 1.5,8.5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5

2 9,1 5,5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5

3 8.5,1.5 8,2 5,5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4

4 8,2 7.5,2.5 4,6 5,5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5

5 7.5,2.5 7,3 6.5,3.5 6,4 5,5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5 7,3

6 7,3 6,5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 5,5 6,4 6.5,3.5 7,3 7.5,2.5

7 6.5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 5,5 7,3 7.5,2.5 8,2

8 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 5,5 8,2 8.5,1.5

9 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 5,5 9,1

10 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 1.5,8.5 1,9 5,5

Median Voter Theorem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 5,5 1,9 1.5,8.5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5

2 9,1 5,5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5

3 8.5,1.5 8,2 5,5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4

4 8,2 7.5,2.5 4,6 5,5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5

5 7.5,2.5 7,3 6.5,3.5 6,4 5,5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5 7,3

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10 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 1.5,8.5 1,9 5,5

Median Voter Theorem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 5,5 1,9 1.5,8.5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5

2 9,1 5,5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5

3 8.5,1.5 8,2 5,5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4

4 8,2 7.5,2.5 4,6 5,5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5

5 7.5,2.5 7,3 6.5,3.5 6,4 5,5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5 7,3

6 7,3 6,5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 5,5 6,4 6.5,3.5 7,3 7.5,2.5

7 6.5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 5,5 7,3 7.5,2.5 8,2

8 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 5,5 8,2 8.5,1.5

9 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 5,5 9,1

10 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 1.5,8.5 1,9 5,5

Median Voter Theorem

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 5,5 1,9 1.5,8.5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5

2 9,1 5,5 2,8 2.5,7.5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5

3 8.5,1.5 8,2 5,5 3,7 3.5,6.5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4

4 8,2 7.5,2.5 4,6 5,5 4,6 4.5,5.5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5

5 7.5,2.5 7,3 6.5,3.5 6,4 5,5 5,5 5.5,4.5 6,4 6.5,3.5 7,3

6 7,3 6,5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 5,5 6,4 6.5,3.5 7,3 7.5,2.5

7 6.5,3.5 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 5,5 7,3 7.5,2.5 8,2

8 6,4 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 5,5 8,2 8.5,1.5

9 5.5,4.5 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 5,5 9,1

10 5,5 4.5,5.5 4,6 3.5,6.5 3,7 2.5,7.5 2,8 1.5,8.5 1,9 5,5

Best ResponseNo dominated strategies

left right

U 5,1 0,2

M 1,3 4,1

R 4,2 2,3

In this case…

• Each of player 1’s actions is a best response to some mixed strategy of player 2.

• If you have an action that is never a best response, don’t play it.

• The best response is the strategy (or strategies) which produces the most favorable outcome for a player, taking other players' strategies as given.

Finding a mutual best responsePartnership game b is synergy. s1 and s2

are effort levels.Max s1 2(s1 + s2 +bs1s2) –(s1)2

Use calculus – differentiate and set to zero

2(1+bs2) –2(s1) = 0

1+bs2 =(s1) Best response function for s1

1+bs1 =(s2) Best response function for s2

if equal (as symmetric), 1+b(1+bs1) =(s1)

s1 = 1/(1-b)

Your share of the profit

Your cost of effort

Mutual Best response graph if b=1/4

Nash Equilibrium

• If we are at a Nash Equilibrium, neither player has an incentive to deviate.