ในการศกษาเรองเรขาคณตวเคราะห เราจะท าการศกษาเกยวกบคณสมบตของจดและเสนตรง

โดยอางองกบระบบพกดฉากเปนหลก ระบบพกดฉาก ประกอบดวย แกนพกดฉาก 2 แกนไดแกเสนจ านวนทอยบนแกนนอน

(แกน x) และเสนจ านวนทอยบนแกนตง (แกน y) แกนพกดฉากทงสองนจะแบงพนระนาบออกเปน 4 สวน เรยกพนททถกแยงออกเปนสวนๆ นวา “ควอดรนต” (Quadrant) ซงมลกษณะดงรป

แกน x และ แกน y ตดกนเปนมมฉากทจด o เรยกจดนวา “จดก าเนด” (Origin) และ

เขยนแทนต าแหนงของจดบนระบบพกดฉากดวย (x, y) เมอ x เปนคาทอานไดจากเสนจ านวนบนแกน x และ y เปนคาทอานไดจากเสนจ านวนบนแกน y

1. ระยะหางระหวางจดสองจด พจารณารปทก าหนดใหตอไปน

Quadrant 1 (+, +)

Quadrant 2 (-, +)

Quadrant 3 (-, -)

Quadrant 4 (+, -)

0

Y

X

Y

X

P2(x2, y2)

P1 (x1, y1)

P(x2, y1)

จากทฤษฏบทปทาโกรส จะไดวา

P1P2 = √P1P2+P2P2

P1P2 = √|x1-x2|2+|y1-y2|

2

∴ P1P2 = √(x1-x2)2+(y1-y2)

2

นนคอ ถา P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) เปนจดในระบบพกดฉากแลว

ระยะหางระหวางจด P1 และ P2 = √(x1-x2)2+(y1-y2)

2

Ex1. ก าหนด A(1, 2),B(4, 3) และ C(7, 4) จงแสดงวาจด A, B และ C อยบนเสนตรงเดยวกน Ex2. ก าหนดให A(2, 3), B(9, 2) และ C(5, 6) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC จงแสดงวารปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมมมฉาก

Ex3. ก าหนด A(-1, -2), B(5, -2) และ C(2, 2) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC จงแสดงวารปสามเหลยม ABC เปนรปสามเหลยมหนาจว Ex4. ก าหนด A(-2, -2),B(4, -2), C(4, 4) และ D(-2, 4) เปนจดยอดมมของรปสเหลยมรปหนง จงหาความยาวของเสนรอบรปและพนทรปสเหลยมรปน

Ex5. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (2, 3) และวงกลมนผานจด (5, 7) จงหาความยาวของเสนผานศนยกลางของวงกลมน Ex6. วงกลมหนงมจดศนยกลางอยทจด (5, 4) และวงกลมนสมผสแกน x จงหาจดสมผสและความยาวของรศมของวงกลมน

2. จดกงกลางระหวางสองจด

พจารณารปทก าหนดใหตอไปน

จากรป ลาก P1R ขนานกบแกน x ดงนนพกดของจด R เปน (x2, y1) ลาก PQ และ P2R ขนานกบแกน y ดงนนพกดของจด Q เปน (��, y1)

∵ P1QP1R

= P1PP1P2

∵ P เปนจดกงกลางของ P1 P2

∴P1P

P1P2=

1

2

∴P1Q

P1R=

1

2

∴P1Q= 1

2P1R

∴ P เปนจดกงกลางของ P1 P2

∴ P1Q=QR |x -x1|= |x2-x | ∴ x -x1=x2-x 2x =x1+x2

P (��,𝑦 )

Y

X

P2(x2, y2)

P1 (x1, y1) P(x2, y1)

Q (��,𝑦1)

∴ x =

x1+x22

และเชนเดยวกน

PQ

P2R=

P1P

P1P2

∴ PQ

P2R=

1

2

PQ=1

2P2R

|y =y1|=1

2(y2-y1)

∴ y -y1= 1

2(y2-y1)

2y =2y1=y2-y1 2y =y1+y2

∴ y =y1+y22

นนคอ ถา P(x , y ) เปนจดกงกลางระหวางจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) แลว

x =x1+x22

และ y= y1+y22

1. ถา C(2, 3) เปนจดกงกลางระหวางจด A(-2, 0) และ B(x, y) จงหา B(x, y) 2. ก าหนดจด (-3, 2) และจด (5, 8) เปนจดปลายเสนผานศนยกลางของวงกลมวงหนง จงหา

จดศนยกลางของวงกลมน

3. วงกลมวงหนงมจดศนยกลางอยทจด (-1, 2) ถาจดปลายเสนผานศนยกลางขางหนงของวงกลมน

อยทจด (-3, 2) แลว จงหาจดปลายเสนผานศนยกลางอกขางหนงของวงกลมน 4. ก าหนด A(5, 6), B(-2, -2) และ C(4, 2) เปนจดยอดมมของรปสามเหลยม ABC ถา

E และ F เปนจดกงกลางของดาน AB และ AC จงแสดงวา EF= 1

2 BC

5. ถาจด D(1, 3), E(3, 6) และ F(-1, 5) เปนจดกงกลางของดาน AB, BC และ CA

ของรปสามเหลยม ABC แลว จงหาพกดของจด A, B และ C

3. ความชนของเสนตรง

พจารณารปทก าหนดตอไปน

ถาก าหนดให m เปนความชนของเสนตรง L ทลากผานจด P1(x1, y1) และ P2(x2, y2) แลว

ความชน m= y2-y1x2-x1

เราสามารถน าเอานยามของความชนทกลาวมาขางตนไปใชกบการอธบายคณสมบตของเสนตรงสองเสนทขนานและตงฉากกนไดดงน

เสนขนาน

ก าหนดให เสนตรง L1 ท ามมกบแกน x เทากบ θ1 และมความชนเทากบ m1 และ เสนตรง L2 ท ามมกบแกน x เทากบ θ2และความชนเทากบ m2 ถา m1 = m2 จะตองพสจนวา θ1= θ2หรอ เสนตรง L1 ขนานกบเสนตรง L2

Y

X

P2(x2, y2)

P1 (x1, y1)

P(x2, y1)

y2-y1

x2-x1

รปท 1

รปท 2

ใหเสนตรง L1 และ L2 ตดแกน x ทจด P1(x1, 0) และ P2(x2, 0) ตามล าดบ ลาก P2P1’ ตงฉากกบแกน x ตดเสนตรง L1 ท P1’(x2, y1) ลาก P1’ P2’ ขนานกบแกน x ตดเสนตรง L2 ทจด P2(x3, y1) ลาก P2’ P3 ตงฉากกบแกน x ตดแกน x ทจด P3(x3, 0)

∵ P1’P2 = P2’P3 = |y1-0| = y1

และ ∵ m1 = y1-0

x2-x1 ; m2 =

y1-0

x3-x2

X P1 (x1, 0)

P2 (x2, 0)

P’2 (x2, 0) P’1 (x2, 0)

L1 L2

𝜃2 𝜃1

Y

𝜃1

L1 L2

Y

X P1 (x1, 0) P2 (x2, 0) P3 (x3, 0)

P’1 (x2, y1) P’2 (x3, y1)

𝜃2

0

∵ m1 = m2 ∴ y1

x2-x1 =

y1x3-x2

x2-x1= x3-x2 ∴ P1P2 = P2P3 △P1P2P’1 = △P2P3P’2

(∵ P1P2 =P2P3, P2P’1 = P3P’2 = y1 และ P1P2P’1 = P2P3P’2 = 90°) ∴ P2P1P’1 = P3P2P’2

หรอ θ1= θ2 จากรปท 1 และ 180°- θ1 = 180°- θ2 จากรปท 2

∴ θ1 =θ2 จะเหนวา ถาเสนตรง L1 และ L2 มความชนเทากนแลว จะไดมมเอยงเทากน นนคอ เสนตรงทมความชนเทากนยอมขนานกน หรอเสนตรงทขนานกนยอมมความชนเทากน

ทฤษฏบท ∶ เสนตรงสองเสนทไมขนานกนกบแกน y จะขนานกน กตอเมอ ความชนของเสนตรงทงสองเทากน

เสนตงฉาก

ก าหนดใหเสนตรง L1 และ L2 มความชนเทากบ m1 และ m2 ตามล าดบ จะตองพสจนวา m1m2 = -1 แลวเสนตรง L1 และ L2 ตงฉากกน

ใหเสนตรง L1 และ L2 ตดกนทจด P(a, b) และเสนตรง L2 ตดแกน y ทจด R(o, c) ลากเสนตรงใหขนานแกน x และผานจด P(a, b) ตดแกน y ทจด Q(0, b) ตอเสนตรง QP ถง S โดยให PS = QR ลาก ST ใหขนานแกน ตดเสนตรง L2 ทจด T

P

L1

L2 R(0, c)

S(x, b) Q(0, b)

(a, b)

(x, y) T

ให S และ T มโคออรดเนทเปน (x, b) และ (x, y) ตามล าดบ

PS = QR x-a = c-b a = a+c-b

และ m1 = y-b

a+c-b-a=

y-b

c-b , m2 =

c-b

o-a=

c-b

-a

m1m2 = -1

y-b

c-b∙c-b

-a=-1→

y-b

-a-1

y – b = a หรอ ST =PQ

∴ △PQR= △PST (QR = PS, PQR = PST, PQ=ST)

QPR = PTS และ PRQ = SPT แต QPR + PRQ = 90° QPR + SPT = 90°

RPT= 90° ∴ เสนตรง L1 กบ L2 ตงฉากกน ดงนน ถาผลคณของความชนของเสนตรงสองเสนมคาเทากบ -1 แลวเสนตรงสองเสนนนตงฉากกน ในท านองเดยวกน ถาเสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน y ตงฉากกนแลว ผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ -1

ทฤษฏบท : เสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน y จะตงฉากกน กตอเมอผลคณของความชนของเสนตรงทงสองเทากบ-1

1. ถาเสนตรงทลากผานจด (x, 5) และ (-2, 8) มความชนเทากบ -1

2 จงหา x

2. ถาเสนตรงทลากผานจด (-4, -4) และ (2, y) มความชนเทากบ 2 แลวจงหา y

3. จงแสดงวาจด (2, 3), (4, 5), (6, 7) อยบนเสนตรงเดยวกน

4. ถาเสนตรงทลากผานจด (2, k) และ (5, 6) มความชนเทากบเสนตรงทลากผานจด (-2,

1) และ (1, 5) จงหาคา k

5. ก าหนด A(2, 3), B(4,-1) และ C(7, 6) และให D และ E เปนจดกงกลางของดาน

AB และ AC ตามล าดบ จงแสดงวา DE ขนานกบ BC 6. ถาจด A(1, -1), B(2, 2), และ C(4, t) อยบนเสนตรงเดยวกนแลว จงหาคา t

4. สมการของกราฟเสนตรง

1. สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x ก าหนดให L เปนเสนตรงทขนานกบแกน x ดงนน เสนตรง L ยอมตงฉากกบ

แกน y และก าหนดใหเสนตรง L ตดแกน y ทจด (0, b) ถา b>0 เสนตรง L จะอยเหนอแกน x และหางจากแกน x เปนระยะ l b l

หนวย ถา b=0 เสนตรง L จะทบแกน x ถา b<0 เสนตรง L จะอยใตแกน x และหางจากแกน x เปนระยะ l b l

หนวย

สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x คอ y = b

ตวอยางเชน (1) เสนตรงทขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 5 หนวย มสมการเปน y

=5 (2) เสนตรงทขนานกบแกน x และทบแกน x มสมการเปน y = 0 (3) เสนตรงทขนานกบแกน x และอยใตแกน x เปนระยะ 5 หนวย มสมการเปน y =

-5

(1) (2) (3) 2. สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน y

X

Y

y = 5

0 X

Y

y = 0 0 X

Y

y = -5

0

ก าหนดให L เปนเสนตรงทขนานกบแกน y ดงนน เสนตรง L ยอมตงฉากกบ

แกน x และก าหนดใหเสนตรง L ตดแกน x ทจด (a, 0) ถา a>0 เสนตรง L จะอยทางขวาของแกน y และหางจากแกน y เปนระยะ l

a l หนวย ถา a=o เสนตรง L จะทบแกน y ถา a<0 เสนตรง L จะอยทางซายของแกน y และหางจากแกน y เปนระยะ l

a l หนวย

สมการของกราฟเสนตรงทขนานกบแกน y คอ x=a

ตวอยางเชน (1) เสนตรงทขนานกบแกน y และอยทางขวาของแกน y เปนระยะ 5 หนวยมสมการ

เปน x=5 (2) เสนตรงทขนานกบแกน y และทบแกน y มสมการเปน x=0 (3) เสนตรงทขนานกบแกน y และอยทางซายของแกน y เปนระยะ 5 หนวยม

สมการเปน x=-5

3. สมการของกราฟเสนตรงทไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y

ก าหนดให L เปนเสนตรงทไมขนานกบแกน x และไมขนานกบแกน y มความชนเทากบ m และผานจด (x1, y1)

X

Y

x = 5

0

5

(1)

X

Y

x = 0 0

(2)

X

Y

x = -5

0 -5

(3)

จากรป ให (x, y) เปนจดใดๆ บนเสนตรง L

ความชนของเสนตรง L ทลากผานจด (x1, y1) และ (x, y) เทากบ y-y1x-x1

∴y-y1x-x1

=m

y-y1= m(x-x1) ดงนน สมการของกราฟเสนตรงทมความชน m และผานจด (x1, y1) คอ

y-y1 = m(x-x1)

ตวอยางเชน

(1) สมการของกราฟเสนตรงทมความชนเทากบ 2

3 และผานจด (1, 2) คอ

y-2 = 2

3(x-1)

หรอ 2x -3y +4 = 0

(2) สมการของกราฟเสนตรงทมความชนเทากบ −4

5 และตดแกน y ทจด (0, 5) คอ

y-5 = -4

5(x-0)

หรอ 4x +5y -25 = 0

X

L

0

(x1 , y1)

(x , y)

(3) จงเขยนสมการของกราฟเสนตรงทลากตดแกน x ทจด (4, 0) และตดแกน y ทจด

(0, 3)

เสนตรงทผานจด (0, 3) และมความชน 3-0

0-4 = -

3

4 มสมการเปน

y – 3 = -3

4(x-0)

หรอ 3x + 4y -12 = 0 (4) จงเขยนสมการของกราฟเสนตรงทลากผานจด (1, 2) และ (4, 3)

เสนตรงทผานจด (1, 2) และมความชน = 3-2

4-1=

1

3 มสมการเปน

y – 2 = 1

3(x-1)

หรอ x -3y +5 = 0 จะเหนไดวาจากสมการ y-y1 = m(x-x1) จะได y-y1 = mx=mx1 Y = mx – mx1 +y1 M, x1 และ y1 เปนคาคงท

ดงนนถาให c = -mx1 +y1 จะไดสมการใหมคอ y = mx + c

ถา x = 0 ถา y = c แสดงวาเสนตรงนผานจด (o, c) ดงนน สมการ y=mx+c จงมกราฟเปนเสนตรงทมความชนเทากบ m และตดแกน y ทจด(0, c) โดยทวไปเราเขยนสมการเสนตรงในรป Ax+by+x = 0 เมอ A, B และ C เปนจ านวนจรง และ A, B ไมเปนศนยพรอมกน

พจารณาสมการเสนตรง Ax+By+C=0

1. เมอ A = 0 และ B ≠ 0 จากสมการ Ax+by+c = 0 จะได y = -𝐶

𝐵 ซง

เปนกราฟเสนตรงทขนานกบแกน x

2. เมอ A≠0 และ B=0 จากสมการ Ax+By+C = 0 จะได x = -𝐶

𝐴 ซงเปน

เสนตรงซงขนานกบแกน y 3. เมอ A≠0 และ B≠0 จากสมการ Ax+by+c = 0 จะได y -

A

Bx-

C

B ซงเปน

กราฟเสนตรงทมความชนเทากบ -A

B และผานจด (0, -

C

B)

1. จงหาสมการของกราฟเสนตรงตามสมบตทก าหนดใหตอไปน

1) ขนานกบแกน x และอยเหนอแกน x เปนระยะ 5 หนวย 2) ขนานกบแกน y และอยทางซายมอ เปนระยะ 3 หนวย 3) ขนานกบแกน x และอยหางจากจด(0, -1) เปนระยะ 4 หนวย 4) ขนานกบแกน y และอยหางจากจด(2, 0) เปนระยะ 5 หนวย

2. จงบอกความชนและจดทเสนตรงตอไปนตดแกน x และ แกน y 1) x+2y+3=0

ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด

2) 4x-3y-5=0 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด

3) 5y-x=10 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด

4) y=2

3x – 6

ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด

5) 2x=4y-5 ความชน = ตดแกน x ทจด ตดแกน y ทจด

3. จงแสดงวาเสนตรง 3x-4y+5 = 0 ขนานกบเสนตรง 6x-8y-5 = 0

4. จงแสดงวาเสนตรง 5x+2y-3 = 0 ตงฉากกบเสนตรง 4x-10y+5 = 0

5. ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด และระยะระหวางเสนคขนาน

ระยะหางระหวางเสนตรงกบจด ถาก าหนดใหระยะทางจากจด P(x1, y1) ไปยงเสนตรง Ax+By+c = 0 เทากบ d

เราจะสามารถหาคา d ไดดงน ให L เปนเสนตรง Ax+By+c = 0 ลากเสนตรง L1 ผานจด P(x1, y1) มาตงฉากกบเสนตรง L ทจด P’(x, y) ดงรป

PP’ = d d2 = (x-x1)

2 + (y-y1)2

จากสมการ Ax+By+c = 0 y = -

A

B x-

C

B ------- (1)

ความชนเสนตรง L = -A

B (B≠0)

ความชนเสนตรง L1 = B

A (เสนตรง 2 เสนตงฉากกน ผลคณของความชน

= -1) แตเสนตรง L1 ผานจด (x1, y1) และ (x, y)

ความชนของเสนตรง L1 = y-y1x-x1

y-y1x-x1

= B

A

y - y1 = B

A(x – x1) ------- (2)

y = y1 +B

A(x – x1) ------- (3)

(1) – (3) ได -A

Bx-

C

B = y1 +

B

A(x – x1)

B

A(x – x1) +

A

Bx = -y1 -

C

B

B

A(x – x1) +

A

Bx -

A

Bx1 = -

A

Bx1 - y1 -

C

B

B

A(x – x1) +

A

B(x-x1) = -

A

Bx1 - y1 -

C

B

(B

A+

A

B) (x – x1) = -

A

Bx1 - y1 -

C

B

A2B2

AB(x – x1) = -

A

Bx1 -

By1B -

C

B

(x – x1) = - (A

A2+B2)(Ax1 +By1+C) ------- (4)

จาก d2 = (x-x1)2 + (y-y1)

2 แทน y-y1 จาก (2) ได

d2 = (x-x1)2 +

B2

A2(x-x1)2

= A2+B2

A2 (x-x1)2

แทน x-x1 จาก (4) ได

d2 = A2+B2

A2 ∙ (A

A2+B2)2 (Ax1+By1+C)

2

d = |Ax1+By1+C|

√A2+B2

ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C=0 คอ

d = |Ax1+By1+C|

√A2+B2

ระยะระหวางเสนคขนาน ก าหนดเสนตรง AX +By +C1 = 0 และเสนตรง Ax+By+C2=0 จะเหนวาเสนตรง

สองเสนนขนานกน การหาระยะหางระหวางเสนตรงทงสองท าไดโดยเลอกจดจดหนงบนเสนตรง Ax+By+C2 = 0 ใหเปน (x1, y1) จะได Ax1+By1+C2 = 0 หรอ Ax1+By1=-C2

ให d เปนระยะหางระหวางจด (x1, y1) กบเสนตรง Ax+By+c1 = 0 จะได

d = |Ax1+By1+C|

√A2+B2

Ax1 + By1 = -C2

d = |-c2+c1|

√A2+B2

ระยะหางระหวางเสนตรง Ax+By+C1=0 และเสนตรง Ax+By+C2=คอ

d = |C1-C2|

√A2+B2

1. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x+4y+10 = 0 และอยหางจากจด (3, 4) เทากบ

6 หนวย 2. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 5x+12y+15 = 0 และหางจากจด (1, 1) เทากบ 2

หนวย

3. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 6x+8y+30 = 0 และหางจากจดก าเนดเทากบ 2.5

หนวย 4. ถาเสนตรง 5x-12y+17 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนคขนานคหนง ซงอยหางกน

4 หนวย จงหาสมการของเสนคขนานคน