wurzelbäume und unendliche wege in graphen

WurzeIbaume und unendliche Wege in Graphen

Von H. A. JUNG in Koln

(Eingegangen am 20. 1. 1967)

Einleitung

Der zentrale Begriff f a s ~ - n ~ r ~ ~ e r Baum in G dieser Note ist eine Ver- allgemeinerung des in [7] eingefuhrten Begriffs normaler Baum und erweist sich als ein adaquates Hilfsmittel zar Untersuchung der Verzweigungs- struktur unendlicher Wege. Beispielsweise erhalten wir in Satz 1’ eine Ver- allgemeinerung und Verscharfung von Satz 3 in [2], in dem die Existenz endengleicher Geruste in abzahlbaren Graphen festgestellt wird. Unter den einseitig unendlichen Wegen zeichnen wir die Hauptwege aus, deren fur unsere Betrachtungen wesentlichen Eigenschaften in den Satzen 2 und 3 notiert sind. Die einschlagigen Definitionen sind Inhalt von Q 1.

In Q 2 sind die grundlegenden Eigenschaften der fast-normaleu Baume und der Hauptwege aufgeschrieben.

In 5 3 stufen wir den Begriff nicht-freies Ende (vgl. [S]) ah, indem wir eine Ordnung fur Enden einfiihren. Dadurch wird eine Verschkrfung und Verallgemeinerung von Satz 4 in [Z] ermoglieht.

In Q 4 sind Kriterien fur die Existenz normaler Baume angegeben. Dabei ergibt sich die uberraschende Tatsache, daIJ die Existenz normaler Baume unabhangig von der Vorgabe der Wurzel ist.

SchlieSlich formulieren wir in Q 5 einige Anwendungen, die Frage- stellungen in [I, 31 und [5] betreffen.

§ 1. Definitionen und Bezeichnungen

Mit E ( G ) bzw. K ( G ) werde die Ecken- bzw. Kantenmenge des Graphen G bezeichnet ; die k E K (G) werden als zweielementige Teilmengen von E (G) aufgefaBt. Der Graph G‘ heifit Teilgmph von G, kurz G’ & G, wenn

E(G’) & E(G) und K(G’) G K ( G ) . Fur E 2 E ( G ) bezeiehne G ( E ) den von E in G uztfgespannten Untergruph: E ( G ( E ) ) = E , K ( G ( E ) ) = {k E K ( G ) jk & E}. 1st G ‘ S G , so sei EQ(G’) 1 Math. Nachr. 1969, Bd. 41, H. 1-3

2 Jung, WurzelbBurne und unendliche Wege in Graphen

die Menge der e E E ( G ) - E(G’) , die mit einem e‘ E E(G’) verbunden sind.

Eine Folge e,, . . ., e,(n 2 1) von lauter verschiedenen Ecken aus G heiBt Weg in G , wenn {ev, eYcl) E K ( G ) (v = 1, . . ., n - 1). Entsprechend sind einseitig und zweiseitig unendliche Wege definiert, die wir kurz I-Wege bzw. 2-Wege nennen. Fur den I-Weg W : e l , e2 , . . . heifit jeder I-Weg e N , eAv+ . . . ( N 2 1) ein Rest von W . Mit E ( W ) sei die Menge der Ecken von W (W Weg oder I-Weg oder 2-Weg) bezeichnet.

Fur I-Wege W , W in G werde W -c W gesetzt, wenn es unendlich viele fremde Wege in G gibt, die auf W beginnen und auf W enden. Nach [2] ist -G Aquivalenzrelation. Die Aquivalenzklassen werden Enden von G ge- nannt.

e E E (a) heiBt W-kritisch in G ( W I-Weg in G), wenn es unendlich viele von e ausgehende und bis auf e fremde Wege gibt, die auf W enden. W heil3t Hauptweg in G, wenn fur jeden I-Weg W in G mit W -c W die Menge E ( W ) n E ( W ) unendlich ist und jede W-kritische Ecke schon auf W liegt.

T sei ein Baum und eine Ecke e, E E ( T ) (als Wurzel) ausgezeichnet. Setzen wir e sT e‘, wenn e auf dem Weg in T zwischen eo und e’ liegt, so definiert ST eine teilweise Ordnung auf E ( T ) . 1st weiter T G, so heiBt T fust-normal in G bzgl. e,, wenn gilt: (1) e, e‘ E E ( T ) , (e, e’} € K ( G ) + e sT e’ oder e’ sp e ; (2) Fur jede Komponente C von G ( E ( G ) - E ( T ) ) ist & ( C ) sT-totalgeordnet .

T heiBt normal in G bxgl. e , , wenn (1) und E ( T ) = E ( G ) gilt ((2) ist dann trivialerweise erfullt; vgl. [7]).

Q 2. Fast-normale Baume und Hauptwege

Ohne weiteres klar ist (2,l) W sei 1-Weg in G. Die Ecke e E E ( G ) is t genau dann W-kritisch,

wenn fur jedes endliche F & E (G) mZt e 6 F mindestens ein Rest von W in derselben Komponente von G ( E ( G ) - F ) liegt wie e.

Unter Beachtung von (1,l) in [a ] folgt daraus

(2,2) Gilt fur die 1-Wege W , W in, G die Bexiehung W -zG W , so sind

Da in einem Baum zwischen zwei Ecken genau ein Weg existiert, er-

(2,3) T , T’ seien Baume. Aus T S T‘ folgt bzgl. eo E E ( T ) :

die Mengen der in G W-kritischen bzw. W-kri t ischen Ecken gleich.

gibt sich

e sTT, e‘ H e sT e’ ( e , e’ E E ( T ) ) .

Jung, Wurzelbiiume und unendliche Wege in Graphen 3

Eine vielleicht etwas anschaulichere Beschreibung der fast-normalen Baume gibt

(2,4) T sei B a u m mit T G G. Genau dann ist T fast-normal in G bzgl. e,, wennjeder Weg in G mit Endpunkten e , e’ E E ( T ) ein e” E E ( T ) mit e” sT e und e” sT e‘ enthalt.

Beweis. I. Fur e, e‘ E E ( T ) gelte {e , e’} E K (G) oder e, e‘ E &(C), wobei C eine Komponente von G (E (G) - E ( T ) ) sei. Es gibt dann einen Weg in G zwischen e , e’, der auI3er e , e’ keine Ecke von T enthalt. Jedes e” gemaB der Bedingung von (2,4) ist also mit e oder e‘ identisch. Dies liefert (1) und ( 2 ) bzgl. T , en.

11. Umgekehrt sei T fast-normal in G bzgl. eo und W ein Weg in G zwischen e, e’ E E (T ) . Weiter sei e = e l , e 2 , . . . , e, = e’ die Teilfolge der Ecken aus E ( W ) n E ( T ) (in der Reihenfolge von W ) . Der Teilweg von W zwischen e, , e, + besteht entweder nur aus diesen beiden Ecken oder verlauft, abgesehen vob e,, e,,, , , ganz in einer Komponente C,, von

( E (G) - E (TI) *

Dies liefert (e, , , e,,,} E K (G) bzw. e,, ev t l E BG(Cv). Wegen (1) bzw. ( 2 ) sind e,, e,,, also sT-vergleichbar. e” = ev0 sei sT-minimal unter den e, (1 5 Y 5 n). Weiter sei e” sT e, rnit v, s ,LL < n. Aus e,, sT e, folgt, daB e, + , und e” 5 .-vergleichbar sind, und dann aus der Minimalitat von e”, da13 e” I, - e,+$ gilt. Im Fall e, sT epcl ist e” sT e,,, trivial. Rekursiv ergibt sich e” sT e’. Entsprechend schliel3t man e” sT e.

(2,s) Ti sei fast-normal in G bzgl. eo (i E I ) . Xind die Ti &-totalgeordnet, so ist T = u Ti fast-normaler B a u m in G bzgl. e,.

iEI

Beweis. T ist offensichtlich ein Baum. W sei ein Weg in G zwischen e, e‘ E E (T ) . Fur ein i E 1 gilt e, e’ E E (Ti). Nach (2,4) existiert ein

e“ E ( W ) n E (Ti) rnit e” sTi e und e“ sTi e‘.

(2,3) und (2,4) liefern die Behauptung.

Menge der in G bzgl. e, fast-normalen Baume. ( 2 4 beinhaltet insbesondere die Existenz maximaler Elemente in der

Die folgende Existenzaussage verallgemeinert Satz 2 in [7].

(2,6) G sei zwammenangend, eo E E (G) und E eine hochstem ubzahlbare Teilmenge von E (G). D a n n existiert e in in G bzgl. eo fast-normaler Baum T mit E ( T ) 2 E‘.

Beweis. I. Es sei E = ( e l , e 2 , . . .>. Wir konstruieren endliche inC bzgl. eo fast-normale Biume T, rnit e, E (T,). Sei To der triviale Baum rnit I *

4 Jung, Wurzelbaume und unendliche Wege in Graphen

E ( T o ) = {eo}. Der Baum T , sei nun bereits konstruiert (n 2 0). Im Fall en+ , E E (T,) setzen wir T,, , = T , .

I I . Andernfalls sei Co die Komponente von G ( E (G) - E (T, ) ) mit en+ , E E (Co), weiter e* gT-Maximum in & (Co). Es gibt einen Weg W,, in G zwischen e* und e,,, I , der bis auf e* ganz in Co verlauft. T,,, , entstehe aus T , durch Anheften von W,,. Weiter sei W Weg in G zwisehen Ecken e, e’ E E (T,5+l ) . Im Fall e, e‘ E E (T, ) gibt es nach (2,4) ein e” E E (T, ) mit e” sT, e und e” sTv e’. Im Fall e , e’ E E (W,) gilt e sTnTI e‘ oder e’ z T , + l e . Es bleibt der Fall e E E (Tql ) , e’ E E ( T , + , ) - E ( T , ) . E sei die letzte Ecke auf W mit e E E (T,) ; mit W und W’ seien die Teilwege von W zwischen e und E bzw. e und e‘ bezeichnet. W ” verlauft bis auf E ganz in Co, woraus t? E &(Co), also e sT, e* folgt. Auf W gibt es nach (2,4) ein e” E E ( T , ) mit e” s T , , e und e” ST,,e. Aus (2,3) ergibt sich e” STncle’ wegen e* s T 9 , + l e ‘ . Nach (2,3) und (2,4) ist T,+, also fast-normal in G bzgl. eo .

111. Nach (2,5) ist T = u T , fast-normal in G bzgl. eo . Nach Kon- cc

n = O struktion gilt E ( T ) 2 E‘.

Es sei bemerkt, daS wir im Beweisteil II. von (2,6) nur die Endlichkeit von E,(C,), nicht die von T , ausgenutzt haben.

(2,7) T sei fast-normal i n G bzgl. eo . Der Baum T ist maximal in der Menge der i n G bzgl. eo fast-normalen Baume genau dann, wenn f u r jede Komponente C von G ( E ( G ) - E ( T ) ) die iWenge E, (C) leer oder unendlich ist .

Beweis. I. Fur die Komponente Co von G ( E ( G ) - E ( T ) ) sei E,(Ca) nicht leer und endlich. Wegen ( 2 ) gibt es ein sT-Maximum e* in &(Co) und dann ein el E E(C,,) mit { e* , e l } E K(G) . Der Baum T‘ entstehe aus T durch Hinzufugen der Kante {e*, e l } . Nach Beweisteil 11. von (2,6) ( s . Be- merkung nach dem Beweis von (2,6)) ist T‘ faat-normal in G bzgl. e,,; folglich ist T nicht maximal.

11. Umgekehrt sei T’ fast-normal in G bzgl. eo und T c T‘. Es gibt eine Komponente Co von G ( E (a) - E ( T ) ) , die ein e‘ E E (T’) - E ( T ) enthalt. Da in T‘ ein Weg von eo nach e‘ existiert, gilt EG(C,) i. 0. 1st nun W ein Weg in G zwischen e’ und einem e E E, (Co), der bis auf e ganz in Co verlauft, so gibt es nach (2,4) ein e“ E E ( T ’ ) n E ( W ) , das e” sT. e und e” iT, e’ erfiillt; e” z T . e und e E E ( T ) hat aber e” E E ( T ) und damit e” = e zur Folge. Es hat sich also e s T T ‘ e ‘ fur alle e E EG(Co) ergeben. EQ(C0) ist also endlich.

14% notieren noch (2,s) T sei fast-normal i n G bxgl. e , und T’ Baum mit eo E E ( T ‘ ) und

Jung, Wurzelbaume und unendliche Wege in Graphen 5

Beweis. Die Behauptung folgt aus (2,4) und der Bemerkung, daf3

Der folgende Hilfssatz enthalt die im Hinblick auf Hauptwege wesent-

(2,9) T sei fasf-normal in G bzgl. eo und Wo ein von eo ausgehender 1-Weg

e” s T e (e” E E ( T ) , e E E (T’)) schon e” E E(T’) und e” s T , e impliziert.

lichen Eigenschaften der fast-normalen Baume.

in T . Dann gilt: a) Jeder von eo ausgehende 1-Weg W; in T rnit WA -@ W o ist gleich Wo. b) Jede in G Wo-kritische Ecke e* E E ( T ) liegt auf W o . c) lTst e* E E (G) - E ( T ) Wo-kritisch und C* die Komponente von

G ( E (G) - E ( T ) ) mi t e* E E (C*), so ist E ( W,) n EG (C*) unendlich.

G (E (G) - E ( T ) ) die Menge E (W,) n EQ (C) endlich ist.

Bewcis. W, habe die Ecken eo , el, . . . I . W i sei von eo ausgehender I-Weg in T mit Wh =+ Wo. Sei N maximal

unter den n mit e, E E ( W;), weiter F = {egL 1 1 5 n 5 N } . Ein Weg in G von einem e E E (W,,) - F nach einem e’ E E ( W;) - F enthalt nach (2,4) ein e” E E ( T ) mit e“ sT e , e“ s T e ‘ . Die Ecke e” liegt folglich in E ( W,) und E(WA), also in F . Die durch N bestimmten Reste von W,) bzw. W; liegen somit in verscliiedenen Komponenten von G(E(G) - F ) . Dies liefert

11. Zu e* E E ( T ) - E(W,) sei N maximal unter den n mit e, sTe*. Sei W ein Weg in G zwischen e* und einem e E E ( W,) - F. Wie in I . folgt, daf3 W ein e“ E F enthalt. ( 2 , l ) gibt die Behauptung b).

111. Es sei e* E E(G) - E ( T ) , und fur die Komponente C* von G (E(G) - E ( T ) ) rnit e* € E(C*) sei EG(C*) n E(Wo) endlich. Wir bestimmen ein N 2 0, so da13 e, @ EG(C*) fur alle n 2 N . Existiert ein eT E EQ(C*) mit e, z T e T , so setzen wir F = {e E E ( T ) le rTeT}; andernfalls F = {e, 11 5 n 5 N}. W sei nun ein Weg in G zwischen e* und einem e‘ E E(W,) - F. Auf W existiert ein e: E Ec(C*) und dann nach (2,4) ein e” E E ( T ) n E ( W ) mit e” =(,e:, e” s F e ‘ . Die Ecke e” liegt auf Wo- Wir wollen e” E F , also e“ s T e N bzw. e” s T , e : zeigen. Es bleibt der Fall e, sT e” (dann ist e: wegen e” 5 e: E E, (C*) definiert) , eT 5 e t . Dann sind e” und e; 5 .-vergleichbar. Aus e: 5 e” E E ( W,) wurde aber ey E( W,) n &(C*) im Widerspruch zu e, gTeT folgen. Der durch F bestimmte Rest von Wo liegt also nicht in derselben Komponente von G(E(G) - F ) wie e*. Nach (2,l) ist e* nicht Wo-kritisch.

IV. Fur jede Komponente C von G ( E (a) - E (T)) sei E ( W,) n EG (C) endlich. W sei I-Weg in G mit W N ~ W , .

d ) W o ist genau dann Hauptweg in G, wenn fa r jede Komponente C von

W O + G w;.

6 Jung, WurzelbLume und unendliche Wege in Graphen

a ) 1st E ( W ) n E ( T ) endlich, so verlauft ein Rest von W ganz in einer Komponente C* von G ( E (G) - E ( T ) ) . Wie in 111. folgt, daB ein endliches F 5 E(G) existiert, so daB jeder Weg von einem e* E E ( C * ) zu einem e E E(W,) - F ein e" E F enthalt. Nach (1,1) in [2] steht dies im Wider- spruch zu W -@ Wo.

/?) e; , ea , . . . sei die Menge der e E E ( W ) n E ( T ) in der Reihenfolge von W'. Wir bestimmen sukzessive 1 =( k ( 1 ) < k ( 2 ) < + . s, so daB eL.wa) gTeTi fur alle n 2 k(m) gilt. e i ( , ) sei sT-minimal unter allen ei, und e;(,) zTei- bereits gezeigt. Die inneren Ecken des Teilweges von W' zwischen e& und e & + l , sofern solche existieren, liegen alle in einer Komponente von G(E(G) - E ( T ) ) . Wegen ( 2 ) bzw. (1) sind e k und e$+, (.-vergleichbar. I m Fall ek+l 5 .e ; - sind ei(i) , e&+* ebenfalls sT-vergleichbar; in jedem Fall gilt also e i ( , ) s T e ; + , . Allgemein sei e&m+,) $.-minimal unter den ek mit n 2 k ( m ) + 1. Nach obigem SchluB folgt eL(m+,) 2 . e ; fur alle n 2 k(m + I). Wegen e&,) z T e & 2 ) ST . bestimmen die e;(m) einen von e , ausgehenden I-Weg Wh in T rnit unendlichem E(WA) n E ( W ' ) , also insbesondere Wh d G W . AUS Wh -GWO folgt nach a) Wo = W;. Daraus ergibt sich rnit b) und c), daB Wo Hauptweg in G ist.

V. Umgekehrt sei fur die Komponente C* von G ( E (G) - E ( T ) ) die Menge E* = EG (C*) n E ( W,) unendlich. Wir bestimmen eh E E (C*) und zu jedem e* E E* einen Weg W(e*) zwischen eh und e*, der bis auf e* in C* verlauft. G' sei der Graph aller Ecken und Kanten aller W(e*) (e* E E*). Nach (2,6) existiert ein in G' bzgl. eh normaler Baum T'. Sei E' die Menge der e' E E (T'), zu denen unendlich viele e* c E* mit e' &,e* existieren. Offensichtlich gilt eh E E' und E n E* = 0.

mit ei, E E , ei, =k eL(n =k k ) . Wir konstruieren paarweise fremde Wege WA (n = 1, 2 , . . .) in T' zwischen Ecken e&qz) und e: c E*. Sind Wk (I 5 n 5 N ) bereits gegeben, so bestimmen wir m (X + l) minimal unter der Bedingung, da13 kein e; rnit k 2 m ( N + 1) auf einem Wk (1 n 5 N ) liegt, weiter ein e%+i E E* mit e&N+l) sT,e;7+l. Der Weg W$+l in T' zwischen ek(AT+L) und ez.+l ist dann fremd zu allen WA (1 2 n 5 X). 1st Wh der durch die ek definierte von eh ausgehende I-Weg in T', so gilt nach Konstruktion W i d G W 0 und E(W,) n E(Wh) = 0. Also ist Wo kein Hauptweg.

E (G) sei endlich mit e; 6 P. Es gibt dann e z E E* - F (n = 1, 2 , . . .) mit e; sT, e,* , e: + e z (n f k ) . Sei WA der Weg in T' zwischen e; und e z . Jedes e € F liegt auf hochstens endlich vielen W:, , da e E E ( WiL) e; 5 ., e &, e z zur Folge hat. Nach (2 , l ) ist e; Wo-kritisch. Wegen e; B E ( W o ) ist W o nicht Hauptweg in G.

x ) Es existiere eine unendliche Folge e; s T , e ; sT, . . .

p ) Es bleibt der Fall, da13 in E' ein &-maximales e; existiert. F


Wir ziehen nun einige Folgerungen aus (2,9). I n der Terminologie von [ Z ] erhalten wir 1) :

Satz 1. Ein in G bzgl. eo fast-normaler Baum T ist endentreu xu G. Enthalt G(E (G) - E ( T ) ) keinen unendlichen Weg, so ist T sogar endengleich mit G.

Der Spezialfall E ( T ) = E ( G ) liefert eine Verschkrfung von Satz 3 in [ Z ] .

Satz 1'. Ein in G bzgl. e , normaler Baum T ist ein endengleiches Gerust von G. Jeder von e, ausgehende 1- Weg in T ist Hauptweg in G.

Ein von eo ausgehender Weg in G stellt trivialerweise einen in G bzgl. eo fast-normalen Baum dar. (2,9) d) liefert fur diesen Fall

Satz 2. Der 1- Weg W in G ist genuu dann Hauptweg in G, wenn f u r jede Komponente C von G ( E (G) - E ( W)) die Menge E, ( C ) endlich ist.

Das Ergebnis der Konstruktion im Beweisteil I V B ) von (2,9) wollen wir gesondert notieren.

(2,lO) T sei in G bxgl. eo fust-normaler Baum und W 1-Weg in G. Ist E ( W ) n E ( T ) unendlich, so gibt es einen won eo ausgehenden 1- Weg Wo in T , der unendlich viele Ecken mit W gemeinsam hat.

Wir konnen nun unser Hauptergebnis uber Hauptwege beweisen.

Satz 3. W f sei 1- Weg in G. Genuu dunn gibt es einen Hauptweg Wo in G mit W o -, Wi, wenn gilt: 1. Die Menge der W1-kritischen Ecken in G ist hochstens abzahlbar. 2 . Jede Menge 83 von paurweise fremden 1-Wegen in G mit

w ", w1 (W € 2s) ist hochstens abzahlbar.

Beweis. I. 1st Wo Hauptweg in G mit Wo -, W1, so enthalt Wo nach ( 2 , 2 ) alle W1-kritischen Ecken. Ein I-Weg W mit W -G Wi erfullt auch W -G W o und hat mindestens eine Ecke mit Wo gemeinsam. 1. und 2 . sind also fur die Existenz von W o notwendig.

11. 1. und 2 . seien vorausgesetzt. G sei (0. E. d. A.) zusammenhangend. 2B sei eine (bzgl. mengentheoretischer Inklusion) maximale Menge von paarweise fremden I Wegen mit W Wf (W m). Sei E* die Menge der W1-kritischen Ecken in G und eo E E (G) beliebig vorgegeben. Dann ist E = E ( Wl) w E* w (e,} w u E ( W) abzahlbar. Nach ( 2 , 6 ) gibt es einen

w c S r n

in G bzgl. eo fast-normalen Baum T rnit E ( T ) 2 E'. In G ( E ( G ) - E ( T ) )

1) G' 2 G heil3t endentreu zu G, wenn fur l-Wege W , W' in G' a m W -G W' stets G heidt endengleich zu G, wenn jedes Ende von G W -,p W' folgt. Ein endentreues c'

cinen 1-Weg aus G' enthalt.


gibt es keinen l-Weg W mit W mG Wi. Nach ( 2 , 10) existiert ein l-Weg W o in T mit unendlichem E ( W o ) n E ( Wl), der von eo ausgeht.

a ) Nach (2, 2) ist jede Wo-kritische Ecke e* auch W1-kritisch; wegen e* E E ( T ) gilt nach (2, 9) b) e* f E(Wo) .

p ) W sei l-Weg in G mit W -G W,, also auch W mG Wi. Da

6 ( W ) n E ( T )

unendlich ist, gibt es nach ( 2 , 10) einen von e, ausgehenden l-Weg W in T mit unendlichem E ( W ) n E (W) . ( 2 , 9) a) liefert W o = W . W o ist also Hauptweg in G mit W o mC Wi.

Eine Variante des vorigen Beweises liefert das iiberraschende Resultat

Satz 3 . CI sei Ende von G. Dann gibt es entweder eine uberabzahlbare Menge won paarweise fremden 1- Wegen aus (5 oder ein Wo E (5, das mit jedem W E (5 unendlich viele Ecken gemeinsam hat.

8 3. Ein Ordnungsbegriff fur unendliehe Wege

CS sei Ende von G und F endliche Teilmenge von E (G). Es gibt genau eine Komponente C [ F , (51 von G ( E (G) - F ) , die ein W E (5 enthiilt, und zwar enthalt C [ F , (51 von jedem W E (5 einen Rest.

Das Ende 6 von G habe die Ordnung 0 in G, wenri (5 freies Ende in G ist (vgl. [2], S. 129), d. h. weiin ein endliches Fo & E ( G ) existiert, so da13 fur alle Enden E' += 0. die Komponenten C[F, , (51, CIPo, E] verschieden sind. Allgemein habe 0 die Ordnung v (v Ordinalzahl), wenn

1. ein endliches Fo & E ( G ) existiert, so daB jedes 6' mit

C[3',, El = ClFo, el und (5 i 6' eine Ordnung Y (6') < v hat,

2. fur jedes endliche 3' E(G) und jedes v' < v ein Ende G' $- 8 der Ordnung v (C) = Y' mit C [F , E'] = C [ F , 0) existiert.

Wir bezeichnen die Ordnung des Endes E, sofern diese definiert ist, mit ~(6). Hat 6 die Ordnung v, so sol1 auch jedes W € E die Ordnung v haben 2 ) .

Man beachte, daB durch diese Definition im allgemeinen keineswegs jedes Ende eine Ordnung erhalt, wie man am Beispiel des dyadischen Baumes erkennt (vgl. [2], Fig. 2 ) . Es gilt jedoch die folgende Verschiirfung von Satz 2 in [ 2 ] .

2) Diese Begriffsbildung ist eng verwandt mit dem Begriff v-ter Verzweigungskern, der von TR. KALUZA jr. in [S] fur gewisse BLume eingefiihrt wurde.


Satz 4. Es gibt g e n a u d a n n e i n E n d e v o n G, das keine O r d n u n g hat, w e n n G eine endentreue Untertei lung des dyudischen B a u m e s als Te i lgraph enthalt.

Beweis. I. T & G sei Unterteilung des dyadischen Baumes und endentreu zu G. Dann hat kein l-Weg in T eine Ordnung in G. Sei namlich andernfalls vo das Minimum aller Ordnungen in G dieser Wege und W o l-Weg in T der Ordnung vo in G. Sei CZo das Ende von G mit Wo E go, weiter ein endliches Po & E (G) so bestimmt, dal3 jedes Ende & von G mit & + &, und C[Fo, E] = C[F,, KO] eine Ordnung Y@) < yo hat. Von Wo zweigen in T unendlich viele paarweise fremde l-Wege ab. Einer dieser Wege, etwa W z , enthalt kein e c F o , verlauft also gaiiz in CIFo , a,]. Dies liefert wegen W I " c ' ~ W o , also Wl "c '~ W o , einen Widerspruch, da Wi in G eine Ordnung vl < vo hat.

11. go sei Ende ohne Ordnung in G und G ohne Beschrankung der All- gemeinheit zusammenhangend.

E) .Po 5 E ( G ) sei endlich. Wir zeigen zunaclist, da13 es ein Ende Q += (so

mit CIFo, &] = C[F, , EO] gibt, das ebenfalls keine Ordnung in G hat. vo sei die kleinste der Ordinalzahlen v mit der Eigenschaft, da13 fur mindestens ein endliches 3'2 Po ( F E (G)) kein L5 $= &,, mit

C [ F , El = C [ F , a01 die Ordnung Y hat. Hatte nun jedes Ende CS + Qo mit C [F,, &I = C [Po, Q O ] eine Ordnung in G, so folgte unmittelbar aus der Definition, dal3 CZo die Ordnung v,, hatte.

p ) Die Konstruktion der Unterteilung des dyadischen Baumes verlauft nun vollig analog zur Konstruktion im Beweis von Satz 2 in [2]. E =+ KO sei Ende ohne Ordnung in G und eo E E (G) beliebig gewahlt. Es existiert ein endliches Fo & E (G) mit C [Po, EO] + C[F,,, E;). Wir lioiinen annehmen, da13 G(F,) zusammenhangend und eo c F o ist. Wir bestimmen einen von eo ausgehenden Weg Wo,o, der bis auf den Endpunkt eo,o, der in C [Po, KO] liege, ganz in G(F,) verlauft. Dann bestimmen wir einen auf Wo,o beginnen- den Weg Wo,l, der bis auf den Endpunkt eo,l, der in C [Po, &;I liege, ganz in G(F,) verlauft und nur den Anfangspunkt mit Wo,o gemeinsam hat. Wir setzen die Konstruktion fort, indem wir G durch CIFo, KO] (bzw. C I F o , Gh]), eo durch eo,o (bzw. eo,J und Eo durch = Go (bzw. Go,i = ah) ersetzen. Durch Iteration erhalten wir eine Unterteilung T des dyadischen Baumes. T ist offensichtlich endentreu zu G.

Bezeichnet I E (G) 1 die Anzahl der Ecken von G und E (G) die Zahl der Enden von G, so gilt E(G) 5 IE(G)/*o (vgl. (1,4) in [ 2 ] ) . Umgekehrt kann man zu gegebener unendlicher Kardinalzahl m einen Baum T rnit

konstruieren : m = IE(T)I und E ( T ) = mNo


E ( T ) sei die Menge der endlichen Folgen von Ordinalzahlen cc < o ~ ( m ) ( w (m) sei die Anfangszahl von m) ; zwei Folgen S , , S , mit 1, bzw. Z2 Gliedern seien in 5” genau dann durch eine Kante verbunden, wenn \ I I - 1,; = 1 ist und die ersten Min (l1, 12) Glieder von Xi und X2 ubereinstimmen.

Die Endenzahl kann also durchaus groBer als die Eckenzahl von G sein. Jedoch gilt

(3,l) E s gibt hochstens 1 E (G) 1 viele Enden in G, die eine Ordnung haben.

Beweis. Dem Ende Q von G der Ordnung v(Q) ordnen wir ein endliches F = F ( E ) zu, so daB jedes Ende (X‘ + Q mit C [ F , &] = C [ F , Q’] eine Ordnung ~(6‘) < v(Q) hat. q sei die durch q ( E ) = ( F ( Q ) , C [ F ( E ) , a]) definierte Abbildung von der Menge der Enden, die eine Ordnung haben, in die Menge der Paare ( F , C) ( F & E(G) endlich, C Komponente VOB

G ( E ( G ) - F ) ) . Aus q(&) = q(K) wiirde v(Q) < v(E’) und v@’) < v(&) folgen. Folglich ist ~1 injektiv. Da zu einem F E ( G ) hochstens J E ( G ) viele Komponenten von G (E (G) - F) existieren, ergibt sich die Behauptung.

Aus (3,l) und Satz 4 ziehen wir die

Folgerung. I s t die Endenxahl von G griij’er als die Eckenzuhl, so gilt I E (G)iNn > 1 E (G) j und G enthalt eine endentreue Unterteilung des dyudischen Baumes J) .

Wohl ohne weiteres klar ist

(3,2) G‘ sei endentreuer Teilgruph von G und Wd 1- Weg in G’. Hat W,!, in G die Ordnung y o , so hut WA in G‘ eine Ordnung v,!, 5 yo.

1st G’ endengleicher Teilgraph von G und W I-Weg in G’, so kann man nicht einmal aus der Existenz der Ordnung von W in G’ die Existenz der Ordnung von W in C folgern.

Wir nennen den Teilgraph G’ von G ordnungstreu xu G, wenn jeder l-Weg W in G’ genau dann in G‘ die Ordnung v hat, wenn er in G die Ord- nung v hat.

Satz 5. T spi in G bzgl. eo normuler Baum. Dann ist T ordnungstreu z u G. Beweis. T ist nach Satz 1‘ endengleich mit G. Sei W o I-Weg in T.

Hat W o in G die Ordnung yo, so hat nach (3,Z) Wo in T eine Ordnung v;, 5 vg.

I. Fur F & E ( G ) bezeichne F die Menge der e E E ( G ) , zu denen ein e’ E F mit e &,, e’ existiert. Mit F ist auch 2 endlich. Wo und der l-Weg W1 in T mogen in verschiedenen Komponenten von T ( E (T) - F ) verlaufen. Wir behsupten, daB W o und W1 in verschiedenen Komponenten von G ( E ( G ) - $) verlaufen. 1st ndmlich W ein Weg in G zwischen e E E ( W , )

3) Vgl. Satz 4 in [2].

Jung, JtTurzelbaurne und unendliche Wege in Graphen 11

und e' E E ( Wi) , so existiert nach (2,4) ein e" E E ( W ) mit e" zTe, e" sT e'. Einer der beiden Wege in T von e" nach e bzw. von e"nach e' enthalt eiii e E F . Wegen e" gT e folgt e" E F .

11. Durch transfinite Induktion folgt mit Hilfe von I.: Hat Wo in T die Ordnung vi, so hat W o in G eine Ordnung v,

An spa,terer Stelle benotigen wir den fast selbstverstandlichen Hilfs- satz

(3,3) C sei Unterqraph von G mit endlichem EG(C) . D a n n ist C ordnunys-

A

vh.

treu zu G.

8 4. Zur Existenz normaler Wurzelbaume

Die Menge E & E (G) heil3e verstreut in G, wenn zu jedem Elide Q von G ein endliches P & E (G) existiert, so daB kein e

Analog zu (1,1) in [ Z ] gilt offensichtlich

(4,l) E

E in C [ P , Q] liegt").

E (G) ist genau dann nicht cerstreut in G, wenn es einen 1- Wey Wo in G und paarweise fremde Weqe W , (m = 1, 2 , . . .) gibt, die auf W,, beginnen und in E enden.

Den folgenden Hilfssatz benotigen wir entscheidend zum Beweis des Hauptergebnisses (Satz 6) in diesem Paragraphen.

(4,2) G sei zusammenhangend, T o fast-normal i~ G bzgl. eo und E verstreut in G . Existiert lcein 1-Weq in To, so gibt es einen in G bzgl. eo fast-normalen B a u m T , mit T i 2 T o und E ( T i ) 2 E , so dab auch T , keinen l - W e y enthalt.

B ewe is. Wir konnen ohne Beschrankung der Allgemeinheit annehmen, daB T o mindestens 2 Ecken hat. 2 sei die Menge der in G bzgl. eo fast- normalen Baume T 2 To mit folgenden Eigenschaften:

1 . T enthalt keinen l-Weg. 2 . y,(e) = 1 3 e E E u E ( T o ) ( e E E ( T ) ) .

I. Ti ( i ( yT ( e ) bezeichnet die Zahl der von e in T ausgehenden Kanten).

I ) sei Kette bzgl. & (Ti € 5 ) und T = u Ti. Nach ( 2 , 5 ) ? € I

ist T fast-normaler Baum in G bzgl. e , . ad 1. W : e,, e l , . . . sei 1-Weg in T . Da T o keinen l-Weg enthalt, existiert

ein N 2 0 , so daB en Q E (To) fur alle n 2 N . Wir wahlen zunachst ein n 2 N und ein i E I mit en E E(T,) fest. Ti enthalt keinen I-Vl'eg. Folglich existiert in der Menge ( e E E (T,) I en sTi e> ein 5 .-maximales Element e:, .

4 ) Vgl. den Begriff ,,konjugiert" in [ 2 ] , S. 134.

12

Wegen yTi ( e l ) = 1, ek ff E ( To) liefert 2 . bzgl. Ti dann e:, E E. Aus e, 5 Ti e i folgt eft ST eit. Sei W, der Weg in T von en nach e; und m(n) maximal unter den n' mit e , E E ( W?,). Bestimmen wir nun eine Folge

Jung, Wurzelbaume und unendliche Wege in Graphen

N 5 n, < n2 < . - . mit m(nJ < n,,* ( k = 1, 2 , . . .), so sind die Wege WTlk paarweise fremd. Nach (4,1) ware E nicht verstreut in G.

ad 2. e habe in T den Grad 1. Fur ein i E I gilt e E E(T , ) . Wegen

1 5 yTi(e) 5 y T ( e ) = 1 folgt yT i (e ) = 1 ,

also e € E ( To) w E. 11. Nach I. existiert ein maximales Element T in 5. Im Pall E 4 E ( T )

sei Co eine Komponente von G ( E (G) - E ( T ) ) mit E n E (C,) + 0 , weiter e" sT-Maximum in EG(Co) und W , ein bei e* beginnender Weg, der his auf e* in Co verlauft und bei einem e E E endet. Ti entstehe aus T durch Hinzufugen des Weges W , . Nach Heweisteil 11. von (2,6) ist T , fast-normal in G bzgl. eo. Die Eigenschaften 1. und 2. sind bzgl. T1 offensichtlich erfiillt im Widerspruch zur Maximalitiit von T . Damit ist (4,2) bewiesen.

E (G) und eo E E (G). Es existiert qenau dann ein in G bxgl. e(, fast-normaler B a u m T mit E ( T ) 2 E , wenn es eine Folge Ek (n = 1, 2 , . . .) von in G verstreuten Eckenmengen mit

Satz 6. G sei xusammenhungend, E'

M

U Ek = E' gibt. n= I

Beweis. I. T sei fast-normal in G bzgl. e, und E ( T ) 2 E'. En sei die Menge der e E E ( T ) , die in T von eo den Abstand d,(eo, e ) 5 n haben (n = 1, 2 , . . .). Der Baum T,, = T(E,) enthalt keinen I-Weg und ist nach ( 2 , 8 ) fast-normal in G bzgl. e,. Sei W I-Weg in G. Nach ( 2 , l O ) verlauft ein Rest von W ganz in einer Komponente C von G (E(G) - E ( T n ) ) . Da C auch Komponente von G ( E ( G ) - E,(C)) ist und EG(C) endlich, folgt,

daB En und dann (erst recht) ELL = E ' n E,, verstreut in G ist. E' = u Ek,

ist die geforderte Darstellung.

P

71 = 1

- 11. El, sei verstreut in Q (n = 1, 2, . . .) und E' = u Ek,. Sei To der

nur aus eo bestehende t'riviale Baum. Durclz iterierte Anwendung von (4,2) konnen wir eine Folge T o 5 TI 5 T 2 5 . . . von in G bzgl. eo fast- normalen Baumen konstruieren, so daB T , keinen I-Weg enthalt und

E(T,) 2 E;, gilt (n = 1, 2 , . . .). Der Baum T = u T , ist nach ( 2 , 5 ) fast-

normal in G bzgl. eo.

n= I

OZ

? L = 1

Den wichtigen Spezialfall E = E ( G ) wollen wir gesondert formulieren.


Satz 6‘. G sei zusammenhangend. Die folgenden Aussagen sind aquivalent : (a) Es gibt ein eo € E ( G ) und einen in G bzgl. eo normalen Baum; (b) Zu jedem eo E E (G) gibt es einen in G bzgl. eo normalen Baum; (c) Es gibt eine Folge E,, ( n = 1, 2, . . .) won in G verstreuten Eckenmengen

00

mit E(G) = U E,.

Es hat sich also die uberraschende Konsequenz ergeben, daB die Existenz normaler Baume unabhangig von der Vorgabe der Wurzel ist. Satz 6 liefert noch die

Folgerung. G, G’ seien zusammenhangend. Weiter sei G‘ E G, E’ & E (G‘) und e, E E (G‘). Gibt es einen in G bzgl. eo fast-norrnalen Baum T mit

n = 1

E ( T ) 2 E’,

so gibt es auch einen in G‘ bzgl. eo fast-normalen Baum T’ mit E(T’) 2 E’. v(G) bezeichne die kleinste Ordinalzahl OL, so daB kein Ende von G die

Ordnung M. hat. con sei Anfangszahl von K,. (4,3) G sei zusammenhungend und e , E E(G). Jedes Ende won G habe

eine Ordnung und enthalte einen Hauptweg. Falls v (G) Limeszahl ist, sei v(G) konfinal mit coo. Dann existiert ein in G bzgl. eo fastnormaler Baum T , so daJ fur j ede Komponente C won G ( E (G) - E ( T ) ) E, ( C ) endlich und v(C) < v(G) ist.

Beweis. Im Fall v(G) = 0 gibt es einen in G bzgl. eo normalen Baum (Satz 6’ oder (2 ,7)) . Sei also v(G) > 0. Dann existiert eine coo-Folge

MI 5 a2 5 . . . von Ordinalzahlen a, < v(G), so daB zu jedem v < v(G) ein n mit M.,, 2 v existiert.

I. Wir konstruieren zunachst eine coo-Folge T o & Ti & . . . von in G bzgl. eo fast-normalen Baumen, so dal3 EG(C) fur jede Komponente C von G (E(G) - E(T,)) endlich ist (n = 0,1, . . .). T o sei der triviale Baum mit E ( T o ) (eo} . Nun sei T, bereits konstruiert. Fur jede Komponente C,, von G (E (G) - E (T,)) mit v (C,) = v ( G ) bestimmen wir ein Ende von G, das v(&) = a,,i und C, = C [&(en). En] erfullt. e(C,,) sei sy,-Maximum von EG(C,) und e’(C,) E E(C,) mit {e(Cn), e’(C,)} K(G) . Nach Satz 3 existiert ein Hauptweg W(C,,) E B,, in C,, der von e’(C,) ausgeht. T,+, entstehe aus T, durch Anhangen samtlicher W(C,) mittels der Kanten (e(Cn), e’(C,)}. Der Baum T,+, ist fast-normal in G bzgl. eo (vgl. Beweis- teil11. von (2,6)). C sei Komponente von G ( E (G) - E (T,, C ist Unter- graph einer Komponente C, von G (E(G) - E (T , ) ) . Sei &(C) C& Ec(C,,). Fur e E EG(C) - &(C,) gilt e E E(C,,) n E(TPL+,). Folglich ist W(C, , )

14 Jung, Wurzelbaume und unendliche Wege in Grapben

- definiert und BG (C) - EG (C,) & E ( W ( C J ) . Dann ist C weiter Unter- graph einer Komponente C' von C, (E(C,,) - E (W(C,))) .

e c Eo(C) - E,,(C') impliziert e E E (C' ) oder e B E (C,J) also jedenfalls e B E ( I+' (CTL) ) . Folglich gilt EG(C) & EG(CJ w Ecn (C'). Nach Satz 2 ist Ect5(C') endlich. Fur jede Komponente C von G ( E (G) - E ( T,+i)) ist also EG (C) endlich.

m

11. T = u T, ist nach (2 ,5 ) fast-normal in G bzgl. eO.

a ) C sei Komponente von G ( E ( G ) - E ( T ) ) mit uneiidlichem &(C), weiter W o : en, e t , . . . der l-Weg in T rnit EC(C) & E(W,). Ware W0 schon CWeg in T,, so wlre C Untergraph einer Komponente C, von G(E(G) - E(T,,)) und dann EG(C) & EG(C,). Sei nun ein endliches F E(G) und eine naturliche Zahl N vorgegeben. Es gibt ein ko 0, so dafi fiir k 2 lco, e E F stets ek & e gilt, weiter ein no 2 N rnit eko E E (Trio). 15%- bestimmen weiter ein k , > ko mit ek, B E(T,,) und nl minimal unter den n mit ekl E F (T?,). Fur eine Komponente C,, . von G ( E (G) - E (T,,, - i ) ) gilt nach Konstruktion ekL E E ( W ( C 7 T , - , ) ) . Axis e E E ( W(C,, und e sT ek , folgt e E E ( Wo) - E (T,,,), also eko (= e und damit e B F . Folglich ist E ( W (Cnl ~ i ) ) n F = 0. Da {ek j k 2 k,} n F = 0, liegen W (C,, ,) und ein Rest von W o in derselben Komponente von G ( E ( G ) - 3'). W(C,,, hat in C,,-, und dann nach (3,3) auch in G die Ordnung K , ~ 2 c c N . Der l-Weg W o hatte also in G eine Ordnung v 2 v ( G ) . Die Menge &(C) ist also endlich.

11= 0

p ) Sei schliefilich C Komponente von G ( E (G) - E ( T ) ) mit v ( C ) = v ( G ) .

Da EG(C) nach a ) endlich ist, existiert ein n mit EG(C) E(T,). C ist Untergraph einer Komponente C,, von G (E(G) - E(T,)) . Sei W Weg in C,, zwischen e E E(C) und e' E E(C,) - E(C). Die erste Eckc auf W in E (C,,) - E (C) wurde in EG (C) n E (CTJ liegen. Folglich gilt C = C,, . MTegen v (C,) = v ( G ) ware nach Konstruktion W (C,) definiert im Wider- spruch zu E ( W(C,)) & E ( T ) . Damit ist (4,3) bewiesen.

Satz 7. C sei xusarnmenhiingend und e0 E E (G). Jedes Ende von G habe eine Owhung in G und enthulte einen Huuptweg. Gilt v (G) < w I ) so existiert ein in G bzgl. en normaler Baum.

Be w e i s. Wir schlie13en durch transfinite Induktion iiber v (a). Nach ( 2 , 7 ) oder Satz 6' folgt die Behauptung fur v ( G ) = 0. Im Fall v ( G ) > 0 existiert nach (4,Z) ein in (7 bzgl. eo fast-normaler Baum T mit endlichem &(C) und v(C) < v ( G ) fur jedc Komponente C von G ( E ( G ) - E ( T ) ) . Fur eine solche Komponente C gilt nach Satz 3, da13 jedes Ende von C einen Haupt-


weg in C enthalt, nach (3,3), dal3 jedes Ende von C in C eine Ordnung hat. e (C) sei 5 .-Maximum in

Nach Induktionsvoraussetzung existiert ein in C bzgl. e’ (C) normaler Baum T (C). T entstehe aus T durch Anhangen samtlicher T (C) mittels der Kanten { e ( C ) , e’(C)). Offensichtlich ist T normal in G bzgl. eo.

(4,4) Jede Menge von fremden 2-Wegen in G sei endlich. Dann gibt es ZL jedem l -Weg W o in G nur endlich viele Wo-kritische Ecken. Weiter ist jede Menge von fremden und tiquivalenten I- Wegen in G endlich.

Beweis. I. W o : e,, e l , . . . sei l-Weg in G und die Menge E* der Wo- kritischen Ecken unendlich. B sei endliche Menge von fremden Wegen in G, die in E* enden und beginnen. Wir setzen E‘ = u E ( W ) und wahlen

eT E E*, e? E E* - E (ef =i= e;). Es gibt ein N 2 0 , so daS e, 6 E’ fur alle n 2 N . Da es unendlich viele bis auf e: fremde Wege gibt, die bei eT beginnen und auf W , enden, existiert ein Weg W 1 , der bei eT beginnt, aul3er (moglicherweise) ef keine Ecke mit E’ gemeinsam hat und bei einem e,,, mit nl 2 N endet. Entsprechend existiert ein von ef ausgehender Weg W 2 , der bei einem e,, mit n2 2 N endet und fremd zu E’ ist. Wi und W3 konnen wir mittels desTeilweges von W o zwischen e,, und e,, zu einem Weg W zwischen ef und e: zusammensetzen, der aul3er (eventuell e:) keine Ecke mit E’ gemeinsam hat. Wahlen wir e: E E* - E , so konnen wir also 233 vergroI3ern. Wahlen wir e: als Anfangs- oder Endpunkt eines W E B, so konnen wir W durch W verlangern. Durch geeignete Iteration findet man unendlich viele fremde 2-Wege.

11. Enthalt G unendlich viele fremde und aquivalente l-Wege, so enthalt G eine Unterteilung des in Fig. 4 in [5 ] dargestellten Graphen (Satz 4’ in [ 5 ] ) , also auch unendlich viele fremde 2-Wege.

Satz 8. G sei zusammen&ngend und jede Menge von fremden 2-Wegen in C: endlich. D a n n existiert z u jedem e, E E (G) e in in G bzgl. eo normaler B a u m .

Beweis. Nach Satz 3 und (4,4) enthalt jedes Ende von G einen Haupt- weg. Jedes Ende von G hat die Ordnung 0 (s. (2 , l ) in [ Z ] ) . Aus Satz 7 ergibt sich die Behauptung.

(C) und e’ (C) E E (C) mit ( e ((7, e’ (C)) E K (G) .

lV€>B

Q b. Anwendungen

In diesem Paragraphen ziehen wir aus den bisher angestellten Unter- suchungen einige Folgerungen, die Fragestellungen in [I], [3] und [5 ] betreffen.


Zunachst fiihren wir (im Hinblick auf Satz 6‘) folgende Bezeiehnung ein: v ( G ) sei die kleinste Kardinalzahl m, so dal3 eine Darstellung

E ( G ) = U Ei ; € I

mit in G verstreuten Ei und jli = m existiert.

(5,l) G sei zusammenhangend. Polgende Aussagen sind aquivalent : (a) G enthalt keinen i - W e g ;

( c ) Es existieren e, E E (G) und ein in G bzgl. e,, normaler B a u m ohne i- Weg : (d) Z u j e d e m eo E E ( G ) existiert ein in G bzgl. e , normaler B a u m ohne 1-Weg.

Beweis. (a) + (d) ergibt sich aus Satz 6’. (c) + (a) ist nach Satz 1’ klar. (a) H (b) und (d) 3 (c) sind trivial.

Die Aquivalenz von (a) und (b) ist offensichtlich auch ohne Voraus- setzung des Zusammenhangs richtig (sofern E (G) =k f3) .

Da die Vereinigung von endlich vielen verstreuten Mengen ebenfalls verstreut ist, ist v ( G ) = n fur 2 5 n < N~ unmoglich.

Fur zusamrnenhangende G ist nach Satz 6’ v ( G ) 5 R~ notwendig und hinreichend fur die Existenz normaler BLume.

Fast selbstverstandlich ist

(5,2) E (G) sei unendlich und F endliche Teilmenge von E (G). D a n n i s t v (G) die kleinste der Kardinalzahlen m mit v ( C ) m fu r alle Komponente?~ C von G ( E j G ) - F ) .

Beweis. r sei die Menge der Kornponenten von G ( E ( G ) - F ) . Dann ist v ( G ) 2 v(C) fur C r trivial. Sei m 2 v(C) fur alle C E T und I eine Menge mit ( I ( = m. Dann gilt E ( C ) = u E,(C) fur gewisse in C ver-

streute Ei (C) (C E r). Die Menge Ei = u E,(C) ist verstreut in G (i E I ) ,

folglich v(G) 2 nt. R. HALIN zeigte in [3] (Satz I), dal3 G genau dann keinen 1-JTeg enthiilt:

wenn zu jedem unendliehen E E existiert; E‘ 5 E ( G ) heiBt zersplittert (in G ) , wenn ein endliches F & E (G) existiert, so da13 E ( C ) n E’ fur jede Komponente C von G ( E ( G ) - F ) endlich ist. Eine zersplitterte Menge ist erst recht verstreut, wahrend dizs Umgekehrt im allgemeinen nicht richtig ist. Jedoch gilt allgenleiner als die nicht-triviale Richtung von Satz 1 in [3]

(5,3) E sei unendliche Teilmeyage von E (G) der regularen. Kardinalzahl IEJ > v(G). Es existiert ein zersplittertes E & E mit IE’I = !El.

Beweis. Gilt fur jede Komponente C von G IE(C) n E i < iE1, so ist, die Zahl der Komponenten C von G mit E ( C ) n E + 0 gleich iEl, folglich

(b) v(G) = I;

iEI

cEr

E (G) ein unendliches zersplittertes E’

Jung, Wurzelbaunie und unendliche Wege in Graphen 17

die Existenz eines E' gemaB (5,3) klar. G sei also zusammenhangend, weiter, falls v(G) 2 q,, Q die Anfangszahl von v ( G ) und E(G) = U E ,

( E n verstreut in G ; t~ < w ) . Fur ein /3 < w gilt lEp n El = jEJ (im Fall v(G) = 1 sei Ep = E ( G ) ) . Sei e, E E ( G ) . Nach (4,2) existiert ein in G bzgl. eo fast-normaler Baum T ohne I-Weg mit E (T) 2 E, . Fur e E E ( T ) setzen wir E ( e ) = {e' E E ( T ) n E J e K T d } . - Unter den e E E ( T ) mit IE(e)/ = IE, ( e , ist ein solches e ) sei e* sT-maximal. E sei die Meiige der unmittel- baren =(T-Kachfolger E von e* mit E ( E ) + 8, weiter

Q<U

F = { e € E ( T ) / e sT e*}.

]El = JE(e*)j = IU E ( E ) I folgt jE1 = IE,. Sei nun W ein Weg zwischen

Wegen

uiid [E(e)l < /El ( E E E ) BEE

e l E E ( q ) eL E E ( g L ) ( e l , ~2 E E ; + ~ 2 ) .

Nach (2,4) existiert ein e" E E ( T ) n E ( W ) mit e" 5 e l , e" 5 e 2 . Wegen el g T e , sind e", gL i.-verg'eichbar. Aus C, sT e" wurde e , g T e, folgen. Somit gilt e" sT e, und entsprechend e" sT E,, also e" E F . Folglich liegen e , und el in verschiedenen Komponenten von G (E(G) - F ) . Dies liefert mit ~ E I = die Behauptung.

Zwischen der in [I] untersuchten ,.colouring number"5) c(G) uiid 2: ( G ) besteht folgender Zusammenhang.

Satz 9. Aus v ( G ) 5 N~ folgt c ( G ) 5 K ~ , aus v(G) 2 KO folgt c(G) 5 v(G). Genauer gil t : io sei Anfangsxnhl zur unendlichen Kardinakahl m und

E ( G ) = U E,. a < (11

Ist fur jedes cr. < 0) die Menge E, n ( E (G) - u Ear) versfreut in Z ' j U

so folqt c(G) 5 m. Beweis. Es sei E ( G ) = u E, mit den Eigenschaften des Satzes.

I. GemaB folgenden Rekursioiisbedingungen (R , ) - ( R3) bestimmen a<w

wir ~ ( c r . ) , Cr) , e r ' , Tc):

(R, 1 cy (Y < Y(.)) 2) Die Kardinalzahl m heiBe zu G gehorig, wenn eine Wohlordnung < von E(G) exi-

stiert., so daB fur E ( e ) = {e' E E ( G ) ) e ' i e , {e, e'> E K ( G ) } stets iE(e)J < m gilt ( e E E ( C ) ) . c (G) ist die kleinste zu G gehorige Ksrdinalzahl. -7 JIath. Nachr. 1968, Bd. 41, H. 1-3


seien

(R,)

samtliche Komponenten von G, = G (E(G) - u u E ( T Y ) ) ) ; a’<, Y’<:v(m’)

ef) E E(Cr’) ( v < ~ ( c c ) ) ;

(R3) T r ) sei ein in Cc) bzgl. e&y) fast-normaler Baum ohne I-Weg mit E(Tr’ ) 2 E(Cf’) A E, (v < ~ ( c c ) ) .

Im Fall E(G,) + 0 sind v ( a ) , Cr) und e c ) (v < v ( a ) ) durch (R,) und (R2) offenbar rekursiv definierbar. Dann gilt weiter wegen (R,) (fur a’ 5 a ) und (R3) (fur a’ < a ) :

E(Gc) & E(G) - u Ea,. a’<u

(*)

Denn E (CS’)) A E,, & E (!P$’)) ( a’ < a, v’ < v (a’)) liefert

E (G,,) A E,, & E (G) - E (G,).

Mit E (G) - E (Gm,) E (G) - E (a,) ergibt sich

E,, 5 E(G) - E (G,) (a’ < CC) , also ( 8 ) . Nach Voraussetzung ist E, n ( E ( G ) - u E,,), also nach (*) (erst

recht) E, A E (Cz)) & E, n E (G,), verstreut in G ( E ( G ) - u E,,). Folglich

ist E, n E ((7:)) auch verstreut in Ck ’’C = G, = G(E(Ga)) &G(E(G) - U E,,).

Nach (4,2) konnen wir also Tr) gem50 (A3) bestimmen. Die Rekursion bricht wegen (*) bei einem w’ 5 co durch G,, = G ( 0 ) ab. EZ;? sei die Menge der e E E(TC)) , die von e c ) in T&“) den (Weg-)Abstand n haben

c‘<a

a’<,

a‘<,

( a < w’, v < v ( a ) , n 2 0 ) .

Nach Konstruktion ist klar : w

(ii) EgL n E$:L = 0 ( a + a’ oder v 5 v’ oder n =t= m).

11. TVir wiihlen nun cine Wohlordnung < von E ( G ) mit

(iii) e E EciL, e’ E E::;, a‘ < a + e‘ < e ;

(iv) e E EZ’, e’ E E z k , m < n + e‘ < e .

e E E ( G ) sei gegeben. Wegen (i), (ii) sind a < co’, v < v ( a ) , n 2 0 durch e EL:: eindeutig bestimmt. Wir setzcn

F ( e ) =- {e’ E E (Tr)) 1 e’ 5 (*) e } . T a

Sei weiter ein a‘ < a gegeben. G, ist Untergraph von Gm,. v’ = v’ ( e , a‘) ist also durch Cr) & (22’) eindeutig bestimmt. Wegen

E(Cr’) AE(T$’)) = 0


ist Cr) aul3erdem Untergraph einer Komponente C ( e , M‘) von c p ( E ( C y ) - E (q?)) .

Wir setzen P ( e , a’) = ED(:,) ( C ( e , M’)). Die Mengen F ( e ) und F ( e , a’) sind endlich.

111. Sei e‘ < e und { e , e’} E K(G) . Nach (i), (ii) sind CI, a’ < w’, v < Y ( M ) ,

v’ < v(a’), m, n 4 0 durch e E Ez,’ll, e’ E$:L eindeutig bestimmt. Im Fall a = a’ folgt aus e , e’ E E(G,) und { e , e’} E K(Gn), dal3 v = v’ gilt. (iv) liefert m 5 n. Wegen e , e‘ E E(Tr)) und {e , e’} E K(Cf’) ergibt sich e‘ ST(,,), e ,

also e’ E F ( e ) . Im Fall a’ $. a folgt nach (iii) M’ < tl. Wegen e , e‘ c E(Cs’)), { e , e’} E K ( C r ) ) folgt Cr’ C C$’), also v‘ = v’(e, a’). Dies liefert wegen e E C ( e , M’) und e’ E E (T$’)) schliefilich e’ E F ( e , a’).

IV. Setzen wir nun fur e E E (G) E<(e) = {e’ E E (G) I e’ < e , {e , e‘} E K(G)} , so ergibt sich aus 111. E < ( e ) F ( e ) u (J F ( e , M’) ( e E E(Tr))). Also gilt

1E<(e) I < rn (e E E (G)), folglich c(G) 5 in. Damit ist Satz 9 bewiesen.

ix

a

a’<z

DaS v ( G ) im allgemeinen grol3er als c(G) sein kann, zeigt das

Beispiel. G entstehe aus den fremden l-Wegen W , W i ( i E I ) durch Verbinden der n-ten Ecke von W mit der n-ten Ecke von Wi( i c I , n = 1, 2 , . . .). Offensichtlich ist c(G) = 3 und v ( G ) = / I / + N ~ .

Die folgende Aussage verscharft Theorem 7.1 in [IIG). (5,4) Ist v (G) > No, so gibt es unendl ich viele f remde 2- Wege in G. Beweis. Nach ( 5 , 2 ) existiert eine Komponente C von G mit v(C) > No.

Nach Satz 6’ existiert kein in C normaler Baum. Satz 8 liefert die Be- hauptung.

Weitere Anwendungen ergeben sich mit Hilfe von Satz 1 und Satz 4” in [ 5 ] .

Satz 10. Es sei eo E E(G) u n d )Bn eine Menge v o n n 1-Wegen in G, die v o n eo ausgehen u n d bis auf eo f r e m d sind (n = 1, 2 , . . .). D a n n existiert eine unendliche Menge 233 v o n l - W e g e n in G, die v o n eo ausgehen u n d b is a u f eo f r e m d sind. S i n d uuJ3erdem verschiedene 1- Wege a u s nicht uquivalent in G ,

so kann sogar 233 G U !Bn und W +G W ( W , W E ‘B, W + W ) erreicht

werden.

Wi , . . . , W k mit E ( W l ) A E (WL,) = (eo> so bestimmt, da13 fur

- n= 1

Beweis. I. Fur m 2 0 seien bereits m von eo ausgehende 1-Wege

= { W E !Bm,IE(W) n E ( W k ) = {eo}, 1 s p u r n }

6 , Die im Beweis von Theorem 7.1 formulierte Verscharfung ist, wie unser Beispiel zeigt, bzgl. 2) ( G ) nicht richtig. 2*


~ ~-

(n = I , 2, . . .) die Bedingung lim 1 !-l$:y)i = 00 erfullt ist (lim u,, = oc

bedeutet, dal3 zu jedem M 2 0 ein n 2 1 mit a, 2 il1 existiert). 11-2 - n+-=

00

11. G‘ sei der durch alle W E !-l$(”” = u m!:) bestimmte Teilgraph von

G. G’ ist zusammenhangend und E (G‘) abzahlbar. Nach Satz 6’ existiert eiii in 0‘ bzgl. en normaler Baum T .

Fall 1 : Es gebe I-Wege Wi , W 2 in 0‘ rnit Wl +Q, WL. Unter der Zusatz- voraussetzung des Satzes wahlen wir ein B!,””’ rnit I B!y)l 2 m, + 2 und dann W 1 , W L E !-l$Iy) mit WI + G W z (also auch W z +, W 2 ) und W, iiG W,: (v = 1, 2 ; 1 5 p 5 m). Xach Satz 1’ gibt es von en ausgehende I-Wege w,, w2 in T mit w, -@, W,(v = 1, 2). Die Menge F , = E ( W , ) A E ( W 2 ) ist endlich. Es gibt weiter e, E E ( Wv), so daB alle Ecken auf W, hinter e, (in der Ordnung von W,, e, eingeschlossen) nicht in F , liegen (v = 1, 2 ) . Fv sei die Menge der e E E(W,) , die auf W, vor P, kommen (v = 1, 2). VC’ir s e t z e n F = F o u F l w F 2 , !Bfl = { W E ! - l $ ~ , ” ” ’ / E ( W ) n P = { e , } } und

n = 1

%::) = {W E %,, J E ( W ) E(W,) = {e,}) (v = 1, 2) . ~

Dann gilt zunachst lim 1 Br1 I = 00. n+-

E ) Fur ein W E sei nun e: E ( E ( W ) n E(W,)) - {en} (v = 1, 2) und P der Teilweg von W zwischen e l und ei . Da w, Hauptweg in G‘ mit W, -C , w, ist, existiert eiri Teilweg P, von W,,, der bei e: beginnt und bei einem e:‘ E E ( W v ) endet. P enthalt kein e E F . Insbesondere gilt e: B J’*. Also hat P,, keine Ecke mit Fo gemeinsam. Ein aus P, P, , P, zusammengesetzter Mreg P’ zwischen el‘ und ei‘ enthalt kein e E F,,. Andererseits existiert nach (2,4) ein e” E E(P’) rnit e“ sT e;’, e” sT eL . Wegen e:’ E E ( V v ) wiirde e“ E E ( V v ) (v = 1, 2), also e” E E’, folgen. Die Existenz von e; und ea fur ein W E

,8) Aus K) hat sich B, = 8;;) u i$;) (n = 1 , 2 , . . .) ergeben. Folglich gilt

I ,

fuhrt somit zum Widerspruch.

~

etwa lim I ‘%$:)I = 00. Mit W k + t = W 1 folgt n-t-

E(W:n+l) n E ( q A = {eo} (1 i p 5 m ) ,

da WiILAJ in G‘ verlauft und E (G’) n E (Wit) = {e,} (1 5 p 5 m ) gilt. Wegen ! B ~ ~ ) ~ ~ ~ ~ ~ ~ + ’ ) ( = { W E ! - ~ $ , , I E ( W ) A E ( W ~ , ) = {eo),l z p s m +I} , n = 1, 2, . . .) sind also die Ausgangsvoraussetzungeii in I. fur W ; , . . . , Wg:t I, erfullt .

Im Fall der Zusatzvoraussetzung erhalten wir durch Iteration ein Ti3 der Behauptung: %? = { W i , W ; , . . .>.

Pall 2: Fur je zwei 1-Wcge W , W’ in G‘ gelte W W‘. Xach Satz 1’ gibt es einen von en ausgehenden I-Weg W o in T. E (W,) n E ( W) ist fur


jeden 1-Weg W in G' unendlich. Nach Satz 1 in [5 ] gibt es unendlich viele fremde I-Wege in G'. Da diese in G' alle aquivalent sind, existieren nach Satz 4" in [ 5 ] Mengen { U i , U 2 , . . .}, {Vi , V 2 , . . .} von jeweils fremden I-Wegen in G', so daJ3 E(U, ) n E ( V,J endlich und nicht leer fur alle Y, p 2 1 ist.

K ) F G E (G) sei endlich mit e, B F . Es gibt ein N 2 1 mit I BP) I > I P 1, weiter ein W E Bg) mit E ( W ) n F = 0. Folglich liegen e, und ein Rest von Wo in derselben Komponente von G(E(G) - F ) . Nach (2,l) ist eo W,-kritisch in G', also nach ( 2 , 2 ) auch U,-kritisch in G'.

B ) Es gibt also von en ausgehende und bis auf e, fremde Wege WI , W , , . . . in G', die auf U , enden ( E ( W,) enthalte miiidestens 2 Ecken). e,, sei die erste Ecke in der Ordnung von W, mit e, + e, und

ca 00

e,, E u E ( U , ) u U E(V,) = E*. u = l ,= 1

Wir setzen E = ( e l , e 2 , . . .}. Existieren unendlich viele v mit E n E (U,,) $: 0 oder unendlich viele p mit E n E ( V & ) =+ 0, so sind wir offenbar fertig.

y ) Wir konnen also fur ein N 2 1 voraussetzen, dalj E n E(U,) unendlich ist. Sei E n E (U,) = {ei , ea , . . .} und e; = ek(,), weiter P,& der Teil- weg von WIC(?,) zwischen e, und e;; PI, sei der Teilweg von UN zwischen e i

und der in der Ordnung von U , nachsten Ecke e l in u E(V,) (e; = erL

zugelassen; n = 1, 2, . . .). Die P, sind bis auf eo fremd und haben auljer ihrem Endpunkt (und moglicherweise e,) keine Ecke mit E* gemeinsam. Wir konnen eine unendliche Folge 0 < nL < n2 < + . . konstruieren, so dalj die PAA fremd sind. Da {e;,;, e:,;, . . .} n E (V,) fur jedes p endlich ist, existiert eine unendliche Menge {p(l) , p(2), . . .} und eine Teilfolge n (1) < n ( 2 ) < . . - der n, , so dalj el&, E E ( VPcn,) fur ii = 1, 2 , . . . gilt. Sei weiter eo ff E (PL(l)) w E ( Vp( l ) ) fur alle A (e , kann ja nur in einer solchen Menge liegen). Die aus Pfzcl, , PA(l) und V,(A) zusammengesetzten I-Wege sind bis auf eo fremd. Damit ist Satz 10 bewiesen.

w I !

y = 1

In gewissem Sinne dual zu Satz 10 ist

Satz lo'. B, sei eine M e n g e v o n n f r e m d e n 1 - W e g e n in G u n d R, die M e n g e der Anfungsecken uller W E (n = 1, 2, . . .). Es gibt eine unendliche Menge

B v o n f r e m d e n I - W e g e n in G, die in U E, beginnen. Gilt f u r W , W E B,,

W + W' stets W +,W' (n = I , 2 , . . .), so kunn B U B, mit W +G W

(W, W E B, W =+ W ) gewahlt werden.

w

n= I cc

n = l


Beweis. G' entstehe aus G durch Hinzufugen einer neuen Ecke eo , die

mit allen e E u E1, und nur diesen verbunden werde. G ist endengleicher

Untergraph von c'. %Bh entstehe aus B?, durch Anhangen von eo an die W E Bn. Dann existiert cin B' gemaB Satz 10. Abtrennen der Ecke e, von allen W E 23' liefert ein

M

n= 1

gemalj Satz 10'.

Satz 10' ist eine Verschiirfung von Satz 1 in [5 ] und enthalt die

Folgerung. EFt sei eine in G unendlich fortsetzbure Menge von n Ecken

(n = 1 , 2 , . . .). Dann existiert eine in Qunendlich fortsetzbare Menge E 5 u E,,

yon unendlich vielen Ecken').

cc

n- 1

Literatnr

[I] P. E R D ~ S und A. HAJNAL, On chromatic number of graphs arid sct systems. Acta Math.

[ 21 R. HALIN, uber unendliche J%ge in Graphen. Math. Ann. 167, 125-137 (1964). L3] -, Charakterisierung der Graphen ohnc iincndliche Wege. Arch. dcr Math. 16, 227-231

[4] -, Einigc Remerkungen uber unendliche Graphen. Diese Nachr. 28, 365-385 (1965). [5] -, Uber die Maximalzahl fremder unendlicher Wege im Graphen. Dicse Nachr. 30,

161 -, Graphen ohne unendliche Wege. Diese Nachr. 31, 111-123 (1966). [7] H. A. JUNC, Wurzelbaume und Kantcnoricnticrungen in Graphen. Dicsc Nachr. 36,

[8] TH. KALUZA, jr., Struktur- und Machtigkeitsuritersiichungen an gewissen unendlichen Graphen niit cinigcn Anwendungen auf lineare Punktmengen. Math. Ann. 122, 235 bis 258 (1950).

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(1965).

63-85 (1965).

351-360 (1968).

7) E heiRt unendlich fortsetzbar i ? ~ G, wmn cine Mcnge % von fremden I-Wegen in G existiert, so daR jedes W E % in E beginnt nnd von jcdem 4 E E ein W E % ausgcht. Vgl. [4], Rbschnitt I, Teil 3 und [5 ] , 0 4.

wurzelbäume und unendliche wege in graphen

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