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Wie bewältigt manStationaritätsannahmen
in der Geostatistik?
Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik?
Brenning & van den Boogaart
A. Brenning, Humboldt-Universität zu [email protected]
&K. G. van den Boogaart, TU Freiberg
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Einführung
• Räumliche Statistik: Geostatistik, Räumliche Punktprozesse, Statistik für zufällige Mengen, ...
• Geostatistik: Statistik für skalare räumliche Daten (2D, 3D, n D)
Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik?
Brenning & van den Boogaart
• Anwendungen in Umweltwissenschaften, Bergbau, Materialwissenschaften, ...
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Geostatistik
• Statistik für skalare räumliche Daten
• Messwert = Realisierung einer Zufallsvariable
• Räumliche Abhängigkeiten:
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Z(si)(ω) = zi
C(s,t) := Cov(Z(s), Z(t))
(Kovariogramm)
(Z(s))s є D
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Motivation• Messwerte hängen von anderen
Umweltvariablen ab.D.h.: Die Umwelt ist nicht stationär.
• Wie kann ich flächenhaft bekannte Umweltvariablen für die Interpolation (Kriging) der punktuellen Messwerte nutzen?
• GIS-Kopplung ist nötig, um diese Umweltvariablen zu nutzen!
Wie bewältigt man Stationaritätsannahmen in der Geostatistik?
Brenning & van den Boogaart
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Stationarität 2. Ordnung
• Der Erwartungswert E ist konstant auf D.
• Das Kovariogramm C hängt nur von t -s ab(und nicht von t oder s selbst).
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E(Z(s)) = konstant
C(s,t) = C(t-s)
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Instationarität (I):Modell mit Trend
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E(Z(x1)) = E(Z(x2 )) = E(Z(x3 )) = konst.
E(Z(xi )) = bT f(xi) + e(xi)
InstationaritätStationaritätdes Erwartungswerts
linearer Trend(deterministisch)
zufälligeSchwankung
Vgl. Goovaerts (1997); van den Boogaart & Brenning (2001)
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Instationarität (II)
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InstationaritätStationarität
des Kovariogramms
Diesen Fall betrachten wir hier.
C(x1, x2) = C(x1+h, x2+h) C(x1, x2) = C(x1+h, x2+h)
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Gebirge: kleinräumige Variabilität
Vorland: „glatt“
(Übergangsbereich)
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Instationarität (III):Lokale Anisotropien
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AnisotropieIsotropie
des Kovariogramms
Auch diesen Fall betrachten wir hier – und viele andere.
C(x, x1) = C(x, x2) = C(x, x3) C(x, x1) = C(x, x2) = C(x, x3)
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Generische Stationarität
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• Idee:Der Einfluss der Umwelt auf das Kovariogramm ist invariant !
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Eine Konstruktionsmethodeohne Stationaritätsannahmen
• Die Faltung einer geeigneten Gewichtsfunktion w
ist ein Kovariogramm.
(Es ist sogargenerisch stationär.)
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Brenning & van den Boogaart (2001)
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Implementierung
• R (open-source Datenanalyse-Sprache)
• C (für numerische Integration, nichtlineare Optimierung)
• AVENUE (für ArcView-Anbindung)
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Ein simuliertes Beispiel (I)
• Annahme lokal anisotroper Umwelt- verhältnisse und Kovariogramme
• Stochastische Simulation von 259 Werten eines generisch stationären Zufallsfeldes
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Ein simuliertes Beispiel (II):Kriging-Ergebnisse
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mit Stationarität ohne Stationarität
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Hydrologisch motivierte Modelle
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++
+
t1 s
t2C(s, t1) > 0
C(s, t2) = 0
Lokales Einzugsgebiet von s
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Zusammenfassung
• Eine Methode zur GIS-basierten instationären geostatistischen Modellierung wurde vorgestellt.
• Sie führt zu qualitativ besseren Kriging-Ergebnissen als im stationären Fall.
• Prozesskenntnisse können berücksichtigt werden.
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