werkstoffmodellierung - mikromechanik · 2018. 4. 17. · lokal, global, variabler...
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Werkstoffmodellierung - Mikromechanik –Dr. F. Wittel
Rechnergestützte Physik der Werkstoffe @ IFB
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• Definieren was ein Stoffgesetz ist, wozu man sie braucht und einige Bedingungen kennen.
• Verstehen was Längenskalen in Materialien sind und einige typische Beispiele benennen.
• Erklären wie Simulationen auf der atomistischen Skala funktionieren (Grundannahmen)
• Möglichkeiten und Grenzen der Molekulardynamik erkennen
1. Grundlagen von Stoffgesetzen
2. Grössenskalen in Werkstoffen
3. Modellierung und Simulation
4. Simulationen auf atomistischer Skala
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1. Homogenisierungsmethoden für Baustoffe
2. Einschub FEM/BEM
3. Materialien mit einer relevanten Skala
-Mikroskala
-Meso-/Makroskala
4. Multiskalenansätze
• Erkennen wie wichtig Unordnung ist und Ansätze zur Homogenisierung kennen lernen.
• Verstehen wie makroskopische Plastizität für plastische und ungeordnet spröde Materialien in Modellen abgebildet wird.
• Erklären wie nichtlineares Verhalten aus der mesoskopischen Unordnung entsteht.
• Überblick über Mehrskalenansätze für Baustoffe gewinnen.• Erkennen welchen Beitrag Werkstoffmodellierung leisten kann.
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Reale Baustoffe – Spannungskonzentrationen und Unordnung
Unordnung dominiert
Materialverhalten
Festigkeit von Baustoffen:Verbindung zu interatomaren Wechselwirkungen
Theoretische Festigkeit:Zug: ~E/10Schub: ~G/10
aber … im Versuch Festigkeit~E/100 - E/10,000
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Mikrostrukturen
Kontinuums-Mikromechanik!
( )
( )
i
el m
EcE
Phasenkontrast:
Baustoffe sind fast ausschliesslich unregel-mässige, inhomogene, mikrostrukturierte, komplexe, multi-Phasen Materialien
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Ziel: Errechnen der mittleren Eigenschaften des Kontinuums aus demmikromechanischen Verhalten der interagierenden Bestandteile.
Kontinuum Mikromechanik
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Repräsentatives Volumen Element(RVE )
1. kleinstes Volumen, dessen effektive Eigen-schaften nicht mehr von derVolumengrösse abhängt.
(= statistisch homogen)2. Ausschnitt der strukturell typisch für das
gemittelte Materialsystem ist mitgenügend Einschlüssen, Defekten etc.
3. Identität der gespeicherten elastischenEnergie U in der Einheitszelle und desrepräsentierten Kontinuums.
4. Die innere Struktur des RVE ist willkürlich,(z.B. ungeordnet), mit der Bedingung,dass es sich selbst im Raum wiederholt.
Repeating Unit Cell (RUC)
1. Reale Struktur wird durch periodische Pha-senanordnung ersetzt diskrete Struktur.
2. Keine Beschränkung der Phasenanteile proVolumen.
3. Identität der gespeicherten elastischenEnergie U in der Einheitszelle und desrepräsentierten Kontinuums.
URUC =UKontinuum4. Diskretisierte Struktur erlaubt die Verwen-
dung von Fluktuationsfeldern.5. Randbedingungen für periodische Anord-
nung der RUC.
Diskrete Mikrostruktur: RVE /RUC
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Analytische AnsätzeEshelbyMori-Tanaka
MischungsregelnHalpin-Tsai Methode
Eshelby-Ansatz_
Effektive Felder
Äquivalenter Einschluss
Ellipsoide Einschlüsse in unendlicher Matrix mit anderen Eigenschaften Innere Spannungen in EinschlüssenStörung durch Einschluss1. Äquivalenter, homogener Einschluss = Einschluss aus Matrixmaterial2. Äquivalente Transformationsspannung, um Spannungsfeld auf das des
eigentlichen Einschlusses zu bringen.
1 2+ +
Mean Field Ansatz: Effektiver Feldansatz
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Erweitert Eshelby’s Methode auf Komposite mit grösserem Volumenanteil.Selbstkonsistente Methode Effektive Eigenschaften werden iterativ bestimmt
(numerisch).Unterschiedliche Typen und Grössenklassen vonStörungen können kombiniert werden.
Mori-Tanaka Methode
Mean Field Ansatz: Effektiver Feldansatz
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Bsp. Beton
RVE /RUC: Beispiel partikelverstärkte Komposite
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Kurzfaser höherer Volumengehalt
Kurzfaser
RVE /RUC: Beispiel Kurz/Langfaserverbund
Bsp: Gewebe
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Bsp: Aluminium
2D Polykristall
3D Polykristall
RVE /RUC: Beispiel Polykristall
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Tetradecahedron (14 Seiten)
RVE /RUC: Beispiele für Schäume
Bsp. XPS
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Reguläre, nicht-reguläre oder affine Gitter für komplexe Geometrie.FDM ist Gitterverfahren.
DGL wird an jedem Gitterpunkt approximiert.Differenzen ersetzten Ableitungen. Differenzenausdruck mit Knoten- und Nachbarkontenwerten.
Dirichlet-RB: Werte auf Randkonten werden gesetzt.Neumann-RB: Normalenableitungen der gesuchten Funktion werden gesetzt (Zu-/Abluss).
Finite Differenzen Verfahren (FDM)
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Finite Elemente Methoden (FEM)
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Güte: (Abweichung der approximierten von der exakten Lösung).
1. Approximationsfehler durch unpassende Ansatzfunktionen.
2. Räumliche Diskretisierungsfehler durch zu grobe Netze.
3. In der Werkstoffmodellierung starker Einfluss durch lokale Nicht-Linearitäten und Singularitäten.
4. In der Anwendung viele Fehler durch falsche Anwendung und mangelhafte Interpretation.
400.000.000 Elemente
Finite Elemente Methoden (FEM)
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Alternatives Verfahren zur Berechnung von PDEs Numerische Diskretisierung auf reduzierter räumlicher Dimension
3D-Objekte Oberfläche; 2D-Objekte Gebietsrand; 1D-Objekte Begrenzungspunkte
Folge: reduzierte Dimensionalität führt auf kleineres LGS
Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEM
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u(a) u(b)
a b x
Wenn man die Randwerte einer linearen Funktion u kennt, kann man die Funktion zeichnen.
Die Weg- und Kraftgrössen auf dem Rand eines Bauteils und die äusseren Belastungen bestimmen die Verformungen und Spannungen im Inneren eindeutig.
Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEM
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Unbekannte Zustandsgrössen nur auf dem Rand. Gebietsintegrale müssen zu Integralgleichungen reduziert werden.Divergenztheorem (Satz von Gauss): Volumenintegral Oberflächenintegral
V V
dV ndS
A – Vektorfeld (stetig differenzierbar)V – Volumen im 3D-Raum
- Rand von V mit nach aussen zeigender Normalenn - nach aussen gerichtete NormalenvektorV
Andere für Dimensionsreduktionen wichtige Theoreme: Rotationssatz (Satz von Stokes) und die Green‘schen Integralsätze.
Johann Carl Friedrich Gauss(1777–1855),
Rand Elemente Methoden (BEM)
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Rand Elemente Methoden (BEM) vs. FEMBEM FEM
Lediglich Diskretisierung des Randes (Reduktion um eine Dimension)
Unsymmetrische, vollbesetztes Gleichungssystem in BEM Anordnung (aufwändige Lösung; kompensiert viele Vorteile)
Symmetrische, schwach besetzte Systemmatrizen
Grosse Systemmatrix
Einfache Modellierung (pre-processig), z.B. aus CAD-Daten
Schwierigkeiten bei inhomogenen und nicht-linearen Problemen
Komplizierte mesher
Hohe Genauigkeit bei Problemen mit Spannungskonzentrationen (Risse, Defekte, Einschlüsse)&
Benötigt Wissen über passende Fundamentallösung
Einfache und genaue Modellierung grosser Gebiete und unendlicher Ränder (z.B. Korrosion, Akustik, Geophysik)
Relativ neue und nicht breit bekannte Methode
Breit angewandte Methode
Befindet sich aber immer noch in der Weiterentwicklung
Genaue Repräsentation von Oberflächenphänomenen (Schädigung, Kontakt, etc.)
Probleme bei der Diskretisierung schlanker Strukturen
Einfache Berücksichtigung symmetrischer Probleme (keine Diskretisierung der Symmetrieebene)
Gebietsdiskretisierung für nichtlineare Anwendungen erforderlich
Die Unbekannten im Inneren des Gebiets werden nur in einer Nachlaufrechnung berechnet
Unbekannte im Gebiet werden ständig berechnet
Spannungen werden nur in der Nachlaufrechnung gerechnet
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• Bezeichnet eine Klasse von Modellierungstools.
• Material wird von diskontinuierlichem Partikelensemble repräsentiert.
• Freie Verschiebung und Rotation der Partikel.• Partikelinteraktionen berechnen.• Kumulatives Verhalten aller Partikel wird
simuliert.• Partikelsimulation basierend auf den
NEWTON-schen Bewegungsgleichungen.
• Explizite Lösung eines Mehrkörperproblems.• Gear Prediktor-Korrektor Algorithmus. (MD)
, mit B
mx K m dv
Diskrete Elemente Methode (DEM)
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Diskrete Elemente Methode (DEM)Partikelinteraktionen:• Kontakt mit/ohne Reibung• Kohäsive Elemente am Kontaktpunkt• Kohäsive Elemente über Massenpunkte
(Stäbe/Balken/Scheiben/Platten)
Partikelformen (unverformbar):• Zylinder / Kugeln• Ellipsoide• Polyeder• Aggregationen• …
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1. Nicht-lineares Verhalten durch plastische Verformung: Versetzungsdynamik zwischen MD und Kontinuum
2. Plastizität in spröden, ungeordneten Materialien: Statistische Mechanik mit FaserbündelmodellenStatistische Mechanik mit Gittermodellen
Fall: Verstehen der makroskopischen Plastizität aufgrund der Mobilität, Vermehrung und Interaktion von Defekten auf mikroskopischer Längenskala.
Problem: 1mm3 Stahl: 8.5x1019 Atome; 104-109 Versetzungen 10m-1000km.Sehr grosse Systeme erforderlich, die die Möglichkeiten der MD übersteigen.
Fall: Verstehen des makroskopischen Verhaltens von Materialien, bei denen Plastizität aus Mikroschädigung kommt.
Sehr grosse Systeme erforderlich, die die Möglichkeiten der MD übersteigen.
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Ansatz der Versetzungsdynamik: Atomare Struktur wird ignoriert - lediglich Versetzungen werden betrachtet. Versetzungen werden als diskrete Objekte, in elastischem Medium
eingebettet. (Punkte, Linien, Segmentstücke (Spline);(1D,2D,3D) Klassische Verschiebungstheorie liefert elastische Eigenschaften von
Versetzungen, Interaktionen etc… + effektive Kraft auf jedes Versetzungssegment (Integration entlang der Versetzung).
Versetzungen bewegen sich in diskreten Sprüngen entsprechend der Kristallstruktur (Bewegungsgleichungen für Versetzungssegmente).
Versetzungsdynamische Simulationen sind sehr rechenintensiv Limitierung der angelegten Spannung und Zahl der Versetzungen.
Meist periodische Randbedingungen und „kleine“ Systeme. Grundbeziehungen wie Spannung vs. Mobilität kommen aus
Kontinuumsrechnungen, Experimenten und MD Simulationen.Aber: Verformungsmodelle können auf Versetzungsdynamiksimulationen aufgebaut werden. globale Antwort
Versetzungsdynamik
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tau
tau
tau
tau
tau
tau
tau
tau
tau
tau
tautautautautautautautautautautautautautau gB
master-fp.physik.uni-goettingen.de ~μm
Erinnerung Versetzungen
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Versetzungsdynamik – obstacle parkFrank-Read Versetzungsquelle Schraubenversetzung
Vers
etzu
ngen
Inte
rakt
ion
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Versetzungsdynamik für Einzelkristallplastizität eines KRZ Metalls
Versetzungsdynamik – Beispiel
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Faserbündelmodelle: ModellideeStatistisches, mikromechanisches Modell für parallele Systeme.
Elemente: linear-elastisches oder elasto-plastisches Verhalten.Heterogenität über Weibull-Verteilung der Elementeigenschaften.Unterschiedliche Bruchgesetze (einfach, mehrfach, kontinuierlich).
Elementinteraktion:Unterschiedliche Lastumlagerungsstrategien:
lokal, global, variabler Interaktionsradius.Anordnung:
uniaxial auf Rechteckgitter.periodische Randbedingungen.
Strain
Forc
e
Lastumlagerung
global
lokalVariablerRadius g
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0.0 0.5 1.0 1.5 2.0
Strain [%]
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
F/N
gamma=0gamma=3gamma=9
Faserbündelmodelle - Beispiel
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Durch Kombination von Fasereigenschaften und Interaktion grosse Zahl unterschiedlicher konstitutiver Verläufe darstellbar.
spröde elasto-plastisch viskoelastisch
Breite Anwendungen für: Glasfaser unidirektional C/C-SiC Gewebe Holz in Faserrichtung mit Kriechen Aluminiumverstärktes Aluminium Schubversagen (mit Balken) Schneelawinen etc….
Aber: Beschränkung auf unidirektionale Lastfälle.
Faserbündelmodelle - Möglichkeiten
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Volumenrendering von Zementstein 1mm Kantenlänge
Gittermodelle:
Verstehen des makroskopischen Verhaltens von Materialien, bei denen makroskopische Plastizität aus Mikroschädigung unter willkürlicher Belastung stammt.
Varianten:• 2D / 3D Gitter• Regelmässig / unregelmässig• Stäbe / Balken• Homogen / heterogen• Mikrostruktur generiert / aus Bildinformationen• Nichtlinearität aus Elementverformung • /-Schädigung• Quasistatisch / Dynamisch
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Matrix
AggregatVerbindung
2D 3D-Netz3D
G. Lilliu, J.G.M. van Mier
Quasistatische Gittermodelle:
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G. L
illiu
, J.G
.M. v
an M
ier
Quasistatische Gittermodelle: Beispiel Zementstein
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Systemaufbau direkt aus Messungen
H.-K. Man, J. G. M. van Mier
Problem:Zahl der Elemente steigt (L3)nur kleine
Materialausschnitte können repräsentiert werden und lediglich quasistatisch.
Quasistatische Gittermodelle: Beispiel Zementstein
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Struktur-Eigenschaftsbeziehung durch Unordnung auf Mesoskala determiniert.1. Nicht-lineares Verhalten durch Schädigung in spröden, ungeordneten
Materialien2. Nicht-lineares Verhalten durch plastische Verformung3. Zellulare Materialien
Ansatz: Mesostruktur wird über räumliche Diskretisierung der Heterogenität repräsentiert. Numerische Versuche an mikromechanischen Modellen zur Bestimmung des konstitutiven Verhaltens.
Methoden:Fall 1: Verhalten ungeordneter, spröder Werkstoffe.
Diskrete Elemente Modelle (Partikelmodelle)Fall 2: Verhalten stark plastisch verformbarer Werkstoffe.
Finite Elemente Methode
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Nicht-lokale Faser-InteraktionPolygonale
Partikel
ModellMikro-struktur
Balken Elemente
Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Vf=0.001Vf=0.2Vf=0.4Vf=0.8
Zugv
ersu
ch3-
Punk
t-Bi
egun
gFall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC
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Ohne Fasern Mit wenigen Fasern
Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - HPFRCC
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der WerkstoffeGian Antonio D'Addetta (2007)
Diskretisierte Mikrostruktur mit polygonalen diskreten Elementen.
Fall 1: Diskrete Elemente Modelle - Beton
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Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente1. Aufbau von heterogenen 2D/3D RVEs aus entsprechenden Finiten Elementen.2. Berechnung z.B. mit Plastizität / Mikroschädigung etc….3. Messen der makroskopischen Verformungen (Kraft/Verschiebung/pl.Verformung).4. Einbau der Messergebnisse in Stoffgesetze.
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Diskretisierung eines repräsentativen Schnittes.
FEM Berechnung mit anisotroper Plastizität.
Messung der Kristallstruktur mit Orientierung.
Messung der makroskopischen Verformungen.
Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (2D EVZ)
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taub
gammaEq
taub
gammaEq
taub
gammaEq
taub
gammaEq
ZugtestPeriodische Randbedingungen422 Körner~ 1 Mio. Freiheitsgrade
[μm-1]
Wulfinghoff et al. (2017), Int. J. Plast.
Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (3D)
Akkumulierte plastische Versetzungen beinicht/teilweise/vollständig aktiven Korngrenzen
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Adaptierte Netze
Wulfinghoff & Böhlke (2012), Proc. Roy. Soc. A
Wulfinghoff et al. (2015), J. Mech. Phys. Solids
d1
d2
d3strain
stre
ss d2
d3
d1
Ashby (1970)
Fall 2 - Kontinuumsmodelle / Finite Elemente (3D)
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Zelluläre Materialien wie Schäume:Geschlossenporig Offenporig(mit Lufteinschluss)
Fall 2 - Kontinuumsmodelle / FE (2D EVZ / 3D RVE)
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Fallbeispiele «hierarchische Modelle»:Prallmahlen von Klinker Metall, Holz, Faserbeton und -verbund
Werkstoffe haben fast immer Strukturen auf mehreren Skalen.Die Unordnung auf diesen dominiert oft das Gesamtverhalten.Kombinierte und hybride Modelle gut,wenn Vorgänge lokalisiert sind.
Hierarchische und Multiskalenmaterialien benötigen Mehrskalenansätze. Hierarchisch
Hybrid kombiniert
Fallbeispiel «Kombinierte Modelle»: Pendelschlagversuch
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Kombinierte ModelleProblem: fein detaillierte Modelle zu gross, aber elastische Bettung ist wichtig.
Ansatz Embedded Cell Approach (ECA):Gebiete mit hoher Aktivität mit fein detaillierten Modellen repräsentieren.Feine Modelle in gröbere Kontinuumsmodelle einbetten / ankoppelt.
Motiv mit diskreter Mikrostruktur
EinbettendeDomäne
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Kombinierte ModelleOverlapping domainEdge-to-edge
Kinematische Kopplung: nahtlosMacroscopic, Atomistic and Ab initio Dynamics
(MAAD)(Abraham et al. 1998)CGMD (Coarse Grained Molecular Dynamics)Kopplung an Steifigkeitsmatrix.Virtuelle Knoten im Gebiet.
Ansatz mit Überdeckung: kontinuierlich Bridging Scale Method (Liu)
Verwendung von Greenfunktionen: Vorhersage der Atompositionen.
Bridging Domain Method (T. Belytschko)Identische Verschiebungen in beiden Domänen.Räumliche Gewichtung der jeweiligen Energien (Lagrangesche Multiplikatoren).Keine Hypothese über die Struktur des Gebiets.
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Submodelling: Identische Methode aber unterschiedliche feine Diskretisierung
+ Grenzschichteffekte sind gering
- Rechenintensive MethodeBsp. Abaqus: Double edge notched specimen
Elastisch-plastisches Submodel:
Symmetrisches grobes Modell
Multi-mesh Methoden: Identische Methode (FEM) aber unterschiedlicher Diskretisierungstyp
Kontinuumdomäne mit Volumenelementen
Bridging domain Beide Modelle aktiv
Domäne, die mit RBT Balkengittern diskretisiert ist
Beispiel Bachelorarbeit IFB Raffael Casagrande 2011
Blendingfunktion:
Kombinierte Modelle
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Multi-mesh Methoden
Beispiel Bachelorarbeit IFB Raffael Casagrande 2011
Dynamische Probleme zeigen sehr deutlich, wo schwächen liegen
Die Wahl der richtigen Blendingfunktion ist wichtig
Antwort eines Kragbalkens
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Kombinierte Modelle: Beispiel Pendelschlag
Pendelschlagversuch zur Bestimmung der dynamischen Materialeigenschaften:
Kombiniertes DEM / FEM Modell mit edge-to-edge Kopplung.
(Kerbschlagzähigkeit Werkstoffe III)
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Kombinierte Modelle: Beispiel Pendelschlag
Beispiel Projektarbeit IFB Simon Zweidler (2007); Masterarbeit IFB Matthias Fuhr (2008)
||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Materialentwurf durch Verknüpfung (integrieren) unterschiedlicher Materialmodelle auf mehreren Längenskalen.
Schwerpunkt auf Material, d.h. Verstehen wie Materialstrukturen entstehen und deren Einfluss auf Materialeigenschaften.
Möglichkeiten: Modelle auf feinen Skalen bestimmen Materialeigenschaften oder
Verhalten (Fliesskurve). Kontinuumsmodelle Prozesssimulationen bestimmen räumliche Verteilung von Material
Modelle auf feinen Skalen bestimmen Zusammenhang zwischen Materialanordnung und mechanischem Verhalten.
Kontinuumsmodelle koppeln Modelle auf feinen Skalen (hybride Ansätze).
Übergang von feinen auf grobe Skalen über Homogenisierung,Von groben auf feine durch Lokalisierung.
Hierarchische Modelle
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Hierarchische Modelle: Beispiel Metall
||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Hofstetter etal.
Harrington etal.
Hierarchische Modelle: Beispiel Holz
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Hierarchische Modelle: Beispiel textilbewehrter Beton
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Hie
rar c
h is c
heS
tru k
tur
Hierarchische Modelle: Beispiel Faserverbund
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Mikrostruktur Materialeigenschaften?
• Tricalciumsilikat (Alit), kurz C3S (3 CaO · SiO2)• Dicalciumsilikat (Belit), kurz C2S (2 CaO · SiO2)• Tricalciumaluminat, kurz C3A (3 CaO · Al2O3)• Tetracalciumaluminatferrit, kurz C4AF bzw. C4(A,F) (4 CaO · Al2O3 · Fe2O3) und
C2(A,F).
Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker
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Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker
Bestandteile des Kraftfelds RUCs Verhalten der Einkristalle
Kristalline Phase:C3S HCP Körner
Amorphe Phase:Aluminate etc.
InterkristallineGrenzschicht
Amorph-kristalline
Grenzschicht
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe 17.04.2018 59
80 100 120 140 160 180 200v(m/s)
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
m/m
Tot
sample average multiphasemmaxamavammaxbmavb
Problem: fein detaillierte Modelle zu gross, aber Materialverhalten wichtig.
Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker Prallmahlen
||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe 17.04.2018 60
Top view, slices
zRiss entlangGrenzschicht Riss in Spaltebene
1
6
16
Hierarchische Modelle: Beispiel Klinker Prallmahlen
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
Computermodelle für Werkstoffe als Werkzeuge zum• Besseren Verständnis innerer Vorgänge.• Optimieren bestehender Baustoffe und Prozesse.• Simulieren nichtlinearer Vorgänge über numerische Experimente.• Vorhersagen von Material-Struktur Eigenschaften.• Vorhersagen von Versagensvorgängen auf sehr langen und sehr
kurzen Zeitskalen, die experimentell nicht zugänglich sind.• Erfinden neuer Werkstoffe.
99.9% Luft
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12345
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||IfB, ETHZRechnergestützte Physik der Werkstoffe
• Erkennen wie wichtig Unordnung ist und Ansätze zur Homogenisierung kennen.
• Verstehen wie makroskopische Plastizität für plastische und ungeordnet spröde Materialien in Modellen abgebildet wird.
• Erklären wie nichtlineares Verhalten aus der mesoskopischen Unordnung entsteht.
• Überblick über Mehrskalenansätze für Baustoffe gewinnen.• Erkennen welchen Beitrag Werkstoffmodellierung leisten kann.
1. Homogenisierungsmethoden für Baustoffe
2. Einschub FEM/BEM
3. Materialien mit einer relevanten Skala
-Mikroskala
-Meso-/Makroskala
4. Multiskalenansätze