· web viewchủ đề 3: phương trình - hệ phương trình chủ đề 3: phương trình -...

Chủ đề 3: Phương trình - Hệ phương trình www.thuvienhoclieu.com

PHƯƠNG TRÌNH – HỆ PHƯƠNG TRÌNHQua chủ đề này ta hình thành cho học sinh khái niệm phương trình một cách

chính xác theo quan điểm của mệnh đề chứa biến, rèn luyện cho học sinh cách giải và biện luận phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn, phương trình và hệ phương trình bậc hai.

Kiến thức trong chủ đề này bổ sung và hoàn chỉnh những kiến thức ở THCS, do đó yêu cầu đối với học sinh gồm mấy điểm:

1. Biết giải và biện luận phương trình, hệ phương trình trong trường hợp có tham số.

2. Biết giải một số hệ phương trình bậc hai đặc biệt và các hệ đối xứng loại 1, loại 2 và hệ đẳng cấp.

§1. Khái niệm phương trình

A. Lý thuyết

I. Phương trình một ẩn

1. Điều kiện xác định của phương trình là những điều kiện của ẩn để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.

2. Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng một tập nghiệm. Hai phương trình vô nghiệm là tương đương.

3. Nếu mọi nghiệm của phương trình đều là nghiệm của phương

trình thì phương trình được gọi là phương trình hệ

quả của phương trình . Ta viết: .

Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu ta gọi đó là nghiệm ngoại lai.

LOVEBOOK.VN | 1

Chủ đề 3

Vấn đề cần nắm:

1. Khái niệm phương trình

2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất

3. Phương trình bậc nhất và quy về bậc hai

4. Hệ phương trình

f x g x

1 1f x g x 1 1f x g x

f x g x 1 1f x g x f x g x

Chuyên đề phương trình-Hệ phương trình - Lớp 10 www.thuvienhoclieu.com

II. Các phép biến đổi phương trình

1. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có

nghĩa thì: .

2. Nếu hàm xác định với mọi giá trị của x mà tại đó và đều có

nghĩa và thì: .

3. Đối với bất kỳ các hàm và và n là số tự nhiên ta có:

.

Đặc biệt:

+ Nếu n là số tự nhiên lẻ thì:

+ thì:

+

B. Các dạng toán điển hình

Tìm điều kiện của phương trình

Ví dụ 1: Tìm điều kiện của phương trình sau: .

A. B. C. D.

Lời giải

Để phương trình có nghĩa ta phải có: .

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 2

Dạng 1

STUDY TIP

+ Điều kiện để

có nghĩa là


h x f x g x

f x g x f x h x g x h x

h x f x g x

0,h x x . .f x g x f x h x g x h x

f x g x

n nf x g x f x g x

n nf x g x f x g x

0; 0f x g x 2 2f x g x f x g x

f x g xf x g x

f x g x

2 1 32

x xx

02

xx

2x 0x 2x

A

0A

20

xx


Ví dụ 2: Điều kiện xác định của phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình xác định khi: .

Đáp án C.

Ví dụ 3: Tìm điều kiện xác định của phương trình: .

A. B. C. D.

Lời giải

Điều kiện: .

Đáp án B.

Ví dụ 4: Tìm m để phương trình xác định trên .

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình xác định khi: .

Khi đó để phương trình xác định trên thì:

LOVEBOOK.VN | 3

STUDY TIP


có nghĩa là


f xg x

0f x

2 127

xxx

7x 2 7x 2 7x 2x

2 0 27 0 7x x

x x

1 04

xx

0x

04

xx

04

xx

0x

0 0 0 04 0 4 4 4

x x x xx x x x

2 1 02

xx m

1;1

13

mm

13

mm

13

mm

1 3m

2x m

1;1

2 1 12 1;1

2 1 3m m

mm m


Đáp án C.

Ví dụ 5: Cho phương trình: . Tìm m để phương

trình xác định trên .

A. B. C. D.

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình là:

Hay phương trình xác định trên do đó điều kiện để phương trình

xác định trên là:

hay .

Đáp án B.

Phương trình tương đương, phương trình hệ quả

Ví dụ 1: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có phương trình: do đó tập nghiệm của phương trình đã

cho là: . Xét các đáp án:

- Đáp án A: Giải phương trình:

LOVEBOOK.VN | 4

STUDY TIP

Điều kiện ở biểu thức thứ 2 chỉ là:

vì căn thức nằm ở mẫu.

Dạng 2

STUDY TIP

Hai phương trình được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm.

12 1 02

x mx m

0;1

1 2m 1 2m 1 2m 1 2m

2 0x m

2 1 0 2 12 2 1

2 0 2x m x m

m x mx m x m

2;2 1m m

0;1 0;1 2;2 1m m

22 0 1 2 1

1m

m mm

1 2m

2 4 0x

22 2 1 0x x x 22 3 2 0x x x

2 3 1x 2 4 4 0x x

2 4 0 2x x

0 2;2S

22 2 1 0x x x


Do đó tập nghiệm của phương trình là:

- Đáp án B: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm của phương trình là: .

- Đáp án C: Giải phương trình:

Do đó tập nghiệm nên chọn đáp án C.

- Đáp án D: Có .

Đáp án C.

Ví dụ 2: Phương trình nào sau đây tương đương với phương trình: ?

A. B.

C. D.

Lời giải

Giải phương trình đã cho: Tập nghiệm là .

Xét các đáp án:

- Đáp án A:

- Đáp án B:

LOVEBOOK.VN | 5

STUDY TIP

2

22 0

2 1 0 1 2

xx

x x x

f x g x

2

0

f x g x

g x

1 02;1 2;1 2S S

2

22 3 2 0 1

2

xx x x x

x

2 02; 1;2S S

2 23 1 3 1 2x x x

3 0S S

4 02S S

2 3 0x x

2 2 3 2x x x x 2 1 13

3 3x x

x x

2 3 3 3x x x x 2 2 21 3 1x x x x

2 03 0

3x

x xx

0 0;3S

2

21 0

03

2 3 2 3 332

2

xx x

x x x x x S Sxx

x


- Đáp án C:

.

- Đáp án D:

.

Đáp án D.

Ví dụ 3: Khẳng định nào sau đây là đúng?

A.

B.

C.

D.

Đáp án A.

Ví dụ 4: Khẳng định nào sau đây là sai?

A. B.

C. D.

Lời giải

Chọn đáp án D vì

LOVEBOOK.VN | 6

22 31 13

3 3 3x x

x xx x x

2 0

00 03

3

xx S Sx

x

2

23 0

3 03 3 3 3 333 0

33

x x xx x x x x S Sxx

xx

2 2 24 0

01 3 1 0;3

3x

x x x x S Sx

2 23 2 3 2x x x x x x

2 23 2 2 3x x x x x x

22 3 2 9x x x x

22 3 1 2 3 11

x x x xx

1 2 1 1 0x x x 2 11 0 0

1xxx

2 22 1 2 1x x x x 2 1 1x x

2 1 1x x


Còn các khẳng định khác đều đúng.

Đáp án D.

Ví dụ 5: Chọn cặp phương trình tương đương trong các cặp phương trình sau:

A. và

B. và

C. và

D. và

Lời giải


- Đáp án A: + Phương trình

+ Phương trình

Do đó cặp phương trình ở đáp án A không tương đương vì không cùng tập nghiệm.

- Đáp án B: + Phương trình

+ Phương trình

Vậy chọn đáp án B.

- Đáp án C: + Phương trình

LOVEBOOK.VN | 7

STUDY TIP

2 3 1 3x x x 2 1x

1 01

x xx

0x

1 2x x 21 2x x

2 1 2x x x 1x

32 3 1 3

2 1x

x x x xx

12 12

x x

1 01 0 001

xx x xxx

2

0A B

A BB

0x

21 21 2

2 0

x xx x

x

2 25 3 0 5 13

5 13 222

xx x

xx x


+ Phương trình

Do đó hai phương trình trong đáp án C không tương đương.

- Đáp án D: Tập nghiệm rỗng.

Do đó phương trình và không phải là hai phương trình tương đương.

Đáp án B.

Ví dụ 6: Xác định m để hai phương trình sau tương đương:

(1) và (2)

A. B. C. D.

Lời giải

Dễ thấy phương trình (1) vô nghiệm.

Để hai phương trình tương đương thì phương trình (2) cũng phải vô nghiệm, tức

là: .

Đáp án A.

Ví dụ 7: Hai phương trình nào sau đây không tương đương với nhau:

A. và

B. và

C. và

D. và

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 8

STUDY TIP

Hai phương trình vô nghiệm thì tương đương với nhau.

2 2 5 131 2 5 3 02

x x x x x

2 02 1 2

1x

x x xx

2 1 2x x x 1x

2 2 0x x 2 22 1 2 0x m x m m

3m 3m 6m 6m

2 2' 1 2 0 3 0 3m m m m m

1x x 2 1 1 2 1x x x x

1 2 0x x 1 . 2 0x x

2

2

211

x xxx

221

x xx

2 2 0x x . 2 0x x


Ta xét các đáp án:

- Đáp án A: Điều kiện của hai phương trình là

Khi đó nên ta có thể chia 2 vế của phương trình thứ hai cho nên hai phương trình tương đương.

- Đáp án B: Hai phương trình có cùng tập nghiệm là nên tương đương.

- Đáp án C: Điều kiện của hai phương trình là nên ta có thể nhận phương

trình thứ nhất với ta được phương trình thứ hai.

Vậy hai phương trình tương đương.

- Đáp án D: Phương trình có 2 nghiệm và thỏa mãn

điều kiện .

Còn phương trình chỉ có nghiệm vì không thỏa mãn

điều kiện .

Vậy hai phương trình không cùng tập nghiệm nên không tương đương.

Đáp án D.

Ví dụ 8: Tìm m để hai phương trình sau tương đương:

và (2)

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có: Phương trình (2)

Do hai phương trình tương đương nên cũng là nghiệm của phương trình

(1), thay vào ta có . Khi hai phương trình đã cho có cùng tập nghiệm nên tương đương.

LOVEBOOK.VN | 9

STUDY TIP

Điều kiện của phương trình

là:

1x

2 1 0x 2 1x

2 . 0f x g x

0

0

f x

g x

1;2

1x

1 0x

2 2 0x x 2x 0x

02

xx

. 2 0x x 2x 0x

2x

22 2 0x mx 3 22 4 2 1 4 0x m x m x

2m 3m 2m 3m

22 2 2 0x x mx 2

2

2 2 0

x

x mx

2x

3m 3m


Đáp án B.

Ví dụ 9: Tìm tất cả các giá trị thực của m để hai phương trình sau tương đương:

(1) và (2)

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình (1)

Do 2 phương trình tương đương nên cũng phải là nghiệm của (2) nên thay

vào phương trình (2) ta có:

+ Với :

Phương trình (1) trở thành:

Phương trình (2) trở thành

Vậy hai phương trình tương đương.

+ Với :



LOVEBOOK.VN | 10

STUDY TIP

Với câu hỏi trắc nghiệm ta có thể thử từng đáp án.

2 2 1 2 0mx m x m 2 22 3 15 0m x x m

5m 5; 4m m 4m 5m

11 2 0

2 0x

x mx mmx m

1x

1x

2 2 42 3 15 0 20 0

5m

m m m mm

4m

21

114 6 2 0 1;1 2

2

xx x S

x

22 1

112 3 1 0 1;1 2

2

xx x S S

x

5m

21

775 12 7 0 ;1551

xx x T

x

22

10107 3 10 0 ;1771

xx x T

x


Vậy Hai phương trình không tương đương.

Vậy thỏa mãn đề bài.

Đáp án C.

Ví dụ 10: Cho phương trình . Trong các phương trình sau đây phương trình nào không phải là phương trình hệ quả của phương trình đã cho:

A. B.

C. D.

Lời giải

Giải phương trình Tập nghiệm

Ta xét các đáp án:

- Đáp án A:

Vậy tập nghiệm của phương trình là

Vậy phương trình ở đáp án A là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án B:

Vậy phương trình ở đáp án B là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án C: vô nghiệm

LOVEBOOK.VN | 11

STUDY TIP

Phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1) nếu tập nghiệm của phương trình (2) chứa tập nghiệm của phương trình (1).

STUDY TIP

Phương trình

1 2T T

4m

22 0x x

2 01

xxx

34 0x x

2 222 5 0x x x 3 22 0x x x

20

2 0 12

xx x

x

010;2

S

101 0 02 0 12 1 01 12

2

xxxx xx

x x xx xx

2 2 0f x g x

0

0

f x

g x

1 010;2

S S

32 2 0

01 14 0 0; ;1 2 2

2

xx x S S S

x

2 2

2 22 2 0 2 02 5 0

5 0 5x x x x

x x xx x


Vậy phương trình ở đáp án C không là phương trình hệ quả của phương trình đã cho.

- Đáp án D: Giải phương trình ta có:

Đáp án C.

Tìm điều kiện của phương trình liên quan đến đồ thị hàm số

- Kiến thức cần nhớ

+ Đồ thị của hàm số nằm phía trên trục hoành.

+ Đồ thị của hàm số nằm phía dưới trục hoành.

+ Đồ thị hàm số nằm trên đồ thị hàm số: .

Ví dụ 1: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Phương trình có điều kiện xác định là:

A. B. C. D.

Lời giải

Điều kiện: nhìn đồ thị ta thấy: thì đồ thị nằm phía trên trục

hoành hay hàm cho .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 12

Dạng 3

STUDY TIP

Đồ thị mà

là những giá trị x làm cho đồ thị nằm phía trên trục hoành.

3 2 0S S S

4 011;0;2

S S

0f x y f x

0f x y f x

f x g x y f x y g x

y f x 3f x

14

xx

14

xx

1 4x x

y f x

0f x

0f x 1 4x

0f x


Ví dụ 2: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình xác định trên khoảng .

B. Phương trình xác định trên đoạn .

C. Phương trình xác định trên khoảng .

D. Phương trình xác định trên khoảng .

Lời giải

Nhìn đồ thị ta thấy

Đáp án C.

Ví dụ 3: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ. Khi đó phương trình

xác định trên tập nào sau đây?

A. B. C. D.

Lời giải

Ta thấy đường thẳng: đi qua các điểm và .

Từ điều kiện của phương trình là: ta thấy trên đoạn .

Đồ thị nằm phía trên đường thẳng nên với thì

.

Đáp án A.

Ví dụ 4: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định

LOVEBOOK.VN | 13

y f x

0f x 1;4

0f x 2;4

1 0

f x

1;2

1

f x 0;4

0 1;2f x x

y f x

1 0f x x

1;3 2;1 2;3 0;

1y x 2; 1 ; 1;2 3;4

1f x x 1;3

y f x 1y x 1;3x

1f x x

y f x


của phương trình là:

A. B. C. D.

Lời giải

Đồ thị như hình bên.

Khi đó điều kiện: .

Đáp án B.

Ví dụ 5: Cho hàm có đồ thị như hình vẽ bên. Tìm giá trị nguyên nhỏ

nhất của m để phương trình xác định trên .

A. 5 B. 1 C. 3 D. 4

Lời giải

Đồ thị như hình vẽ:

.

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 14

2 0f x

0;4 \ 2x 0;4x 2;2x 0;2x

y f x

2 0 2 0;4f x f x x

y f x

0m f x 1;1

y f x

1;1 3 3m f x x m m


C. Bài tập rèn luyện kĩ năng

Xem đáp án chi tiết tại trang 82

Câu 1: Điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B.

C. D.


là:

A. B.

C. D.


là

A. B.

C. D.


là:

A. B. và

C. D. và

Câu 5: Điều kiện xác định của phương trình

thuộc tập nào sau đây?

A. B.

C. D.


là:

A. B.

C. D.


là:

A. B.

C. D.

Câu 8: Điều kiện xác định của phương trình

là:

A. B.

C. D.

Câu 9: Cho đường thẳng có đồ thị như hình vẽ. Khi đó điều kiện xác định của

phương trình là:

LOVEBOOK.VN | 15

2 2

2 311 1

xx x

\ 1D \ 1D

\ 1D D

2

1 3 42 2 4x x x

2; \ 2;2

; 2 2;2

3 41 1 2

xx x x

\ 1;1; 2 \ 1;1;2

1; 2;

21 1 0xx

0x 0x 2 1 0x

0x 0x 2 1 0x

2 1 4 4x x

1;2

1 ;2

1 ;2 1;

2 6 2 0x x

2; ; 2

\ 2;2 2 3x

2

2

2 7 54 3 7 2

x x xx x x

72; \ 32

7\ 1;3;2

72;2

72; \ 32

2 52 07

xxx

2; 7;

2;7 2;7

y f x

1g x

f x


A. B.

C. D.

Câu 10: Cho parabol có đồ thị như hình vẽ:

Phương trình có điều kiện là:

A. B.

C. D.

Câu 11: Cho parabol như hình vẽ câu 10. Khi đó điều kiện xác định của phương trình:

là:

A. B. C. D.

Câu 12: Cho hàm số có đồ thị như hình vẽ:

Khi đó phương trình xác định trên tập nào sau đây?

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 16

1x 0x

0x 1x

y f x

0f x

13

xx

1 3x

0x 2x

y f x

2 0f x

13

xx

04

xx

2x 2x

y f x

2

1 21f x x

; 2 2;0

0;2 1;2


§2. Phương trình bậc nhất và quy về bậc nhất

A. Lý thuyết

Giải biện luận phương trình :

+ Nếu thì phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Nếu và thì phương trình vô nghiệm.

+ Nếu và thì phương trình có nghiệm .


Giải biện luận phương trình

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

có nghiệm dyu nhất là nghiệm nguyên?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải

Phương trình

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất khi và

Khi đó nghiệm duy nhất là: là nghiệm nguyên

Có 4 giá trị của m.

Đáp án D.

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của p để phương trình sau đây vô nghiệm.

.

LOVEBOOK.VN | 17

Dạng 1

STUDY TIP

Phương trình

có nghiệm

duy nhất khi

STUDY TIP

Phương trình

hay

phương trình

vô nghiệm

0ax b

0a bx

a

0a 0b

0a 0b x

0ax b

0a

2 1 2 2m x mx

2 22 4 2 2 2m m x m m m x m m

0m 2m

2 21mxm m

12

mm

0ax b

ax b

00

ab

24 2 1 2p x p x


A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

Phương trình vô nghiệm

Đáp án B.

Ví dụ 3: Cho phương trình . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình đã cho có nghiệm.

A. B. C. D.

Lời giải

Viết lại phương trình:

Phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi:

Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi .

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 18

2p 12

p 1p 12

p

24 1 1 2p x p

2 1 2 1 2 1p p x p

12

2 1 2 1 0 11222 1 0

12

p

p ppp

p

p

2 6 4 3m x x m

2m 2m 2m 2m

2 4 3 6m x m

22

4 022

3 6 02

mm

mmm

m

2m


Ví dụ 4: Cho hai hàm số: và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng đã cho cắt nhau.

A. B. và

C. D. và

Lời giải

Hai đường thẳng đã cho cắt nhau khi và chỉ khi phương trình:

có nghiệm duy nhất

có nghiệm duy nhất

Đáp án B.

Ví dụ 5: Cho hai hàm số và . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hai đường thẳng trên trùng nhau.

A. B. và

C. D.

Lời giải

Hai đường thẳng trùng nhau khi và chỉ khi phương trình:

có vô số nghiệm

vô số nghiệm .

Đáp án C.

Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Phương pháp:

LOVEBOOK.VN | 19

STUDY TIP

Phương trình

có vô số

nghiệm

Dạng 2

21 2y m x 3 7y m x m

2m 2m 3m

3m 2m 3m

21 2 3 7m x m x m

2 6 2m m x m 2 3

6 02

mm m

m

0ax b

00

ab

1 1y m x 23 1y m x m

21,3

m m

1m23

m

1m2

3m

21 1 3 1m x m x m

23 2 1m m x m

23 2 01

1 0m m

mm


Dùng tính chất:

+

+

Ví dụ 1: Giải và biện luận phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. phương trình đã cho có nghiệm.

phương trình đã cho vô nghiệm.

B. Phương trình đã cho luôn có nghiệm .

C. Phương trình đã cho vô nghiệm .

D. phương trình đã cho vô nghiệm.

Lời giải

Phương trình đã cho

+)

+)

LOVEBOOK.VN | 20

STUDY TIP

0

0

BA B

A BBA B

A BA B

A B

2 2x m x

4m

4m

m

m

4m

A BA B

A B

22 022 2

32 0 22 2 2

xxmx m x x

x xx m x x m

2 2 43

m m

2 2 4m m


Vậy phương trình có 2 nghiệm .

phương trình vô nghiệm.

Đáp án A.

Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình: . Khi đó kết luận nào sau đây là đúng?

A. phương trình có 2 nghiệm .

phương trình đều có nghiệm .

B. phương trình có 2 nghiệm .


C. phương trình có nghiệm duy nhất .


D. phương trình có 2 nghiệm .

phương trình có nghiệm .


Lời giải

Phương trình đã cho tương đương với

- Giải (1):

LOVEBOOK.VN | 21

4m

23

2

mx

x m

4m

2 2mx x m

3m 1 22 2;3 3

m mx xm m

3m 0x

2m 1 22 2;2 2

m mx xm m

2m

2m22

mxm

2m

22

mm

1 22 2;2 2

m mx xm m

2m 0x

2m 0x

2 2 1

2 2 2

mx x m

mx x m

1 2 2m x m


+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Với ta có phương trình , phương trình vô nghiệm.

- Giải (2):

+ Với phương trình có nghiệm duy nhất .

+ Với phương trình , phương trình vô nghiệm.

Kết luận:

+ phương trình đã cho có 2 nghiệm .

+ phương trình (1) vô nghiệm nhưng phương trình (2) có nghiệm .

+ phương trình (2) vô nghiệm nhưng phương trình (1) có nghiệm .

Đáp án D.

Ví dụ 3: Xác định m để phương trình sau có nghiệm duy nhất: (1).

A. B.

C. D. không tồn tại m

Lời giải

Cách 1:

Ta thấy nếu là nghiệm thì cũng là nghiệm do đó điều kiện cần để

phương trình (1) có nghiệm duy nhất là

Thay vào phương trình (1) ta được .

- Với phương trình (1) trở thành:

LOVEBOOK.VN | 22

2m22

mxm

2m 0 4x

2 2 2m x m

2m2

2mx

m

2m 0 4x

22

mm

1 22 2,2 2

m mx xm m

2m 0x

2m 0x

1x x m

1m 1m

m

0x 01 x

0 0 0112

x x x

012

x 1m

1m 1 1x x


Ta thấy phương trình có ít nhất 3 nghiệm .

Vậy không tồn tại m để (1) có nghiệm duy nhất.

Cách 2:

Ta vẽ đồ thị ta có bảng xét dấu:

0 1

0

0

1

Vậy

Ta có đồ thị như hình bên ta thấy thì đường thẳng không thể cắt đồ thị tại một điểm duy nhất nên phương trình (1) không có nghiệm duy nhất.

Đáp án D.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Ví dụ: Tìm m để phương trình: (1) có nghiệm.

A. B. và

C. D. hoặc

Lời giải

Điều kiện xác định của phương trình: .

LOVEBOOK.VN | 23

Dạng 3

10, 1,2

x x x

1y x x

x

x x x x

1 x 1 x 1 x 1x

y 1 2x 2 1x

2 1 11 0 11 2 0

khi khi

khi

x xy x

x x

m y m

3 11

mx mx

1m 1m3

2m

32

m

1m3

2m

1x


Khi đó phương trình (1) (2)

- Với phương trình (2) có nghiệm duy nhất nó là nghiệm của (1).

Khi

- Với phương trình (2) vô nghiệm (1) vô nghiệm.

Vậy phương trình (1) có nghiệm khi

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 24

3 1 1 4mx m x m x m

1m 141

mxm

4 31 4 1 2 31 2

m m m m mm

1m

13

2

m

m




Câu 1: Tìm tất cả các giá trị thực của m để

phương trình: vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 2: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình: vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 3: Tìm m để phương trình:

vô nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 4: Tìm a để phương trình:

có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 5: Tìm tất cả các giá trị của m để phương

trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 6: Cho phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. phương trình có nghiệm .

phương trình có 1 nghiệm .

B. phương trình đã cho có tập nghiệm

.

phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.

C. vô nghiệm.


D. phương trình vô nghiệm.

phương trình có nghiệm duy nhất

.

Câu 7: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để

phương trình: có nghiệm.

A. B. C. D.

Câu 8: Biểu diễn hình học tập nghiệm của

phương trình là:

A. Hình vuông cạnh bằng

B. Đường tròn tâm O bán kính bằng 1

C. Hai đường thẳng

LOVEBOOK.VN | 25

2 4 3 6m x m

1m 2m

2m 2m

0mx m

m 0m

m m

2 25 6 2m m x m m

1m 2m

3m 6m

13 3

x ax x

2a 2a

a 1a

1 23

m x mm

x

1m 1m

52

m

52

m

1x m x

1m x

1m1

2mx

1m

1m

1m

1m x

1m

1m

12

mx

1 112 2

x x x m

1m 1m 1m 1m

1x y

2

1y x


D. Hình vuông cạnh bằng 1

LOVEBOOK.VN | 26


§3. Phương trình bậc hai và quy về bậc hai

A. Lý thuyết

1. Giải biện luận phương trình:

Ta có: .

+ : phương trình vô nghiệm.

+ : phương trình có nghiệm kép .

+ : phương trình có hai nghiệm phân biệt: .

2. Định lí Vi-et

Nếu phương trình có 2 nghiệm thì

Nếu hai số x, y mà thì x, y là nghiệm của phương trình

(với ).

3. Phương trình có 2 nghiệm trái dấu

4. Phương trình có 2 nghiệm dương

LOVEBOOK.VN | 27

STUDY TIP

Trong trường hợp phương trình có 2 nghiệm trái dấu ta không cần điều kiện

vì nên phương trình luôn có 2 nghiệm.

2 0 0 ax bx c a

2 4b ac

0

0 2bxa

0 ;

2 2b bx x

a a

0 0c

a

2 0 0 ax bx c a 1 2;x x

1 2

1 2

bS x xa

cP x xa

.x y Sx y P

2 0t St P 2 4S P

1 20 0cx xa

1 2

00

000

a

x xPS


5. Phương trình có 2 nghiệm âm


Xác định tham số biện luận số nghiệm của phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m thuộc đoạn để phương trình

vô nghiệm?

A. 9 B. 10 C. 11 D. 20

Lời giải

Phương trình đã cho vô nghiệm khi

Vì nên , có 10 phần tử thỏa mãn.

Đáp án B.

Ví dụ 2: Phương trình có nghiệm kép thì:

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình đã cho có nghiệm kép khi: .

Đáp án B.

Ví dụ 3: Tìm m để phương trình có nghiệm duy nhất.

A. B. C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 28

Dạng 1

STUDY TIP

Phương trình

có nghiệm duy nhất xảy ra ở 1 trong 2 trường hợp sau:

+ TH1: , phương trình

có nghiệm duy nhất.

+ TH2:

hoặc

1 2

00

000

a

x xPS

10;10

2 0x x m

11 4 04

m m

10;10 ,m m 1;2;3;4;5;6;7;8;9;10m

22 2 1 0m x x

12

mm

1m 2m 1m

2 0ax bx c

0a

0bx c

0, 0a

' 0

2 0 21

' 1 0 1m m

mm m

2 6 4 3mx x m

m 0m m 0m



- Với : Khi đó phương trình có dạng là nghiệm.

- Với : Ta có .

Khi đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt khi .

Vậy thỏa mãn.

Đáp án B.

Ví dụ 4: Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi:

A. B.

C. và D. và

Lời giải

Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

Đáp án C.

Dấu của nghiệm phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Phương trình có hai nghiệm phân biệt cùng dấu khi và chỉ khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi .

LOVEBOOK.VN | 29

Dạng 2

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm phân biệt cùng dấu:

2 4 6 3 0mx x m

0m34 6 02

x x

0m 2 22' 2 6 3 3 6 4 3 1 1 0 m m m m m m

0m

0m

21 6 1 0m x x

8m 54

m

8m 1m54

m 1m

1 0 1 1' 0 8 0 8

m m mm m

2 0 0 ax bx c a

00P

00P

00S

00S

00P

0


Khi đó, gọi hai nghiệm của phương trình là .

Do cùng dấu nên hay .

Đáp án B.

Ví dụ 2: Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi:

Đáp án C.

Ví dụ 3: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Giả srw phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì .

Khi đó trái dấu nên phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt.

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 30

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm âm phân biệt:

STUDY TIP

ĐK để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt:

1 2;x x

1 2;x x 1 2. 0x x 0P

2 0 0 ax bx c a

00P

000

PS

000

PS

00S

000

PS

1 2

1 2

0 00 0

0. 0x x S

Px x

2 0 0 ax bx c a

00S

00S

0P 0P

000

PS

1 2. 0 0x x P

0 ,cP a ca


Ví dụ 4: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của m thuộc đoạn để

phương trình có hai nghiệm dương phân biệt. Tổng các phần tử của S bằng:

A. B. 2 C. 18 D. 21

Lời giải

Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt khi:

Vậy tổng các phần tử của S là .

Đáp án A.

Ví dụ 5: Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi:

Đáp án A.

Ví dụ 6: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2

nghiệm phân biệt thỏa mãn .

A. B. C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 31

2;6

2 24 0x mx m

3

2

2

' 0 3 00

0 4 0 2; 10

0 0

mm

S m Sm

P m

3

21 3 1 0m x x

1m 1m 1m 1m

1 00 1110 10

1

ma mm

P mm

2 22 1 0x m x m m

1 2;x x 1 2 1x x

2m 32

m 1m 1m


Trước hết phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi:

luôn đúng

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt.

Theo định lí Vi-et ta có:

Để thỏa mãn

Điều kiện:

Đáp án A.

Ví dụ 7: Tìm điều kiện của m để phương trình có 2

nghiệm phân biệt thỏa mãn .

A. B. C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 32

STUDY TIP

ta đi so sánh hai số với nhau.

STUDY TIP

Việc so sánh với 2 số ta đưa về so

sánh 2 số và

2 2 2 22 1 4 0 4 4 1 4 4 0 1 0m m m m m m m

1 2

21 2

2 1x x m

x x m m

1 2

1 2

11 1 0

x xx x

1 2;x x 1 2 1 21 1 1 0x x x x

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2

1 1 0 1 0

1 1 0 2 0

x x x x x x

x x x x

2

2 3 2 02 1 1 032 1 2 02

m mm m mmm

1 02 03

1 2 02 23

2 1 02 032

mm

mm mm

mmm

m

2 22 1 0x m x m m

1 2;x x 1 22x x

2m 3m 2 3m

23

mm

1 2,x x


Trước hết phương trình đã cho phải có 2 nghiệm thỏa mãn m.

Để thỏa mãn ta đi so sánh hai số

và với số 0.

Vậy điều kiện là:


Đáp án C.

Định lí Vi-et và những bài toán về phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Giả sử phương trình (m là tham số) có hai nghiệm là

. Tính giá trị của biểu thức theo m.

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

Theo định lí Vi-et ta có: thay vào ta được:

.

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 33

STUDY TIP

Việc so sánh với 2 số ta đưa về so

sánh 2 số và

Dạng 3

STUDY TIP

2 2x

0 1 0

1 2;x x 1 2 1 22 2 0 2x x x x 1 2x

2 2x

1 2 1 2 1 22 2 0 2 4 0x x x x x x

1 2

21 2

2 1

.

x x m

x x m m

2 22 2 1 4 0 5 6 0m m m m m

2 03 0

2 3 0 2 32 03 0

mm

m m mmm

2 3 0x x m

1 2;x x 2 21 2 2 11 1P x x x x

9P m 5 9P m 9P m 5 9P m

2 21 2x x

21 2 1 22x x x x

2 21 2 2 11 1P x x x x

22 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x x x x x x x x x

1 2

1 2

3.

x xx x m

P

23 2 .3 5 9P m m m


Ví dụ 2: Giả sử phương trình có hai nghiệm . Tính giá trị

của biểu thức .

A. B. C. D.

Lời giải

Vì a và c trái dấu nên phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt .


và

Đáp án B.

Ví dụ 3: Gọi là hai nghiệm của phương trình .

Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức có giá trị nguyên.

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có

Để phương trình có hai nghiệm thì


Khi đó (1)

LOVEBOOK.VN | 34

STUDY TIP

STUDY TIP

Trong lời giải bên ta nhân 2 vế của P ở đẳng thức (1) với 4 để

luôn là số nguyên với m nguyên.

22 4 1 0x ax 1 2;x x

1 2T x x

24 23

aT 24 2T a

2 82

aT

2 84

aT

21 2x x

21 2 1 24x x x x

1 2,x x

1 2

1 2

21.

2

x x a

x x

2 22 2 2

1 2 1 2 1 214 4 4 4 2 02

T x x x x x x a a

24 2 0T a

2 1m

1 2;x x 2 22 1 1 0x m x m

1 2

1 2

x xPx x

2m 1m 1m 2m

2 22 1 4 4 4 3m m m

304

m

1 2

21 2

2 1

1

x x m

x x m

2

1 2

1 2

1 2 1 5 1 52 12 1 4 4 2 1 4 2 1

x x m mP mx x m m m


thì là ước của

Thử lại với thỏa mãn.

Đáp án D.

Ví dụ 4: Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm

giá trị lớn nhất của biểu thức .

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có:

Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi:


Khi đó:

Do khi .

Đáp án C.

Ví dụ 5: Gọi là hai nghiệm của phương trình . Tìm m để

LOVEBOOK.VN | 35

STUDY TIP

5 3 54 2 1 ; 2 12 1 4 2

P m m mm

P 2 1m 5 2 1 5 2m m

2 1m P

1 2;x x 2 22 2 2 0x mx m

maxP 1 2 1 22 4P x x x x

max12

P max 2P max

254

P max94

P

1 2

1 2

bx xa

cx xa

2 2 2' 2 2 4m m m

2 2' 4 0 4 2 2m m m

1 2

2

1 22

2

x x m

mx x

21 2 1 22 4 2 4P x x x x m m

2 6 2 3 2 3m m m m m m

22 1 25 256

2 4 4m m m

max252 24

m P 1 2;22

m

1 2,x x 2 1 0x mx m


biểu thức đạt giá trị lớn nhất.

A. B. C. D.

Lời giải

Ta có .

Do đó phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm.

(1)

Vậy khi .

Đáp án B.

Tìm điều kiện để các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện cho trước

Ví dụ 1: Giả sử phương trình: có 2 nghiệm . Khi đó hệ thức nào sau đây là điều kiện để phương trình có một nghiệm bằng k lần nghiệm còn lại?

A. B.

C. D.

Lời giải

LOVEBOOK.VN | 36

STUDY TIP

Lời giải bên ta đã trừ hai vế của (1) cho số 1 đưa về hằng đẳng

thức để đánh giá dễ dàng hơn.

Dạng 4

STUDY TIP

Phương trình bậc hai có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia thì

1 2

2 21 2 1 2

2 32 1

x xPx x x x

12

m1m 2m

52

m

22 0m m

21m

1 2

2 21 2 1 2 1 2

2 3 2 122 2 1

x x mPmx x x x x x

22

2 2 2

12 1 2 1 21 1 02 2 2

mm m mP mm m m

1P

max 1P 1 0 1m m

2 0ax bx c 1 2,x x

2 21 0k ac kb 2 21 0k ac kb

2 21 0k ac kb 2 21 0k ac kb



Khi đó:

Nếu thì một trong hai thừa số của P là hay nghiệm này bằng k lần nghiệm kia.

Đáp án B.

Ví dụ 2: Cho phương trình: . Xác định m để

phương trình có hai nghiệm thỏa mãn .

A. B. C. D.

Lời giải

Phương trình có 2 nghiệm

Khi đó phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn

.

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 37

STUDY TIP

PT:

có 2 nghiệm

thì:

1 2

1 2

bx xa

cx xa

2 2 21 2 2 1 1 2 1 2 1 2P x kx x kx x x k x x k x x

2 222 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

12 2

k ac kbc b c cx x k x x x x k x x k ka a a a a

2 21 0k ac kb 1 2

2 1

00

x kxx kx

2 0ax bx c

0a

1 2;x x

1 2

1 2

bx xa

cx xa

21 2 1 2 0m x m x m

1 2,x x 1 2 1 24 7x x x x

6m 1m 2m 5m

21 2

1 0,

' 1 1 2 0

mx x

m m m

11 3

3 0m

mm

1 2,x x

1 2

1 2

2 11

21

mx x

mmx xm

1 2 1 2

2 1 24 7 4. 7. 8 8 7 14 61 1

m mx x x x m m mm m


Ví dụ 3: Cho hai phương trình (1) và (2). Giả

sử a, b, c là ba số khác nhau từng đôi một và nếu phương trình (1) và phương trình (2) có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của hai phương trình trên là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Giả sử hai phương trình có nghiệm chung khi đó:

Trừ vế theo vế hai đẳng thức trên ta có: (vì )

Phương trình (1) có nghiệm nên ta có:

Phương trình (2) có nghiệm nên ta có:

Vậy ta được

Vậy là nghiệm của phương trình: (3)

Và phương trình (3) có

Đáp án B.

Các phương trình quy về bậc hai

Phương pháp:

1. : Đặt .

2. : Đặt .

LOVEBOOK.VN | 38

Dạng 5

STUDY TIP

Phương trình:

nếu đặt thì phương trình thu

2 0x ax bc 2 0x bx ca

0c

2 0x cx ab 2 0x cx ab

2 0x cx ab 2 0x cx ab

0x

20 0

20 0

0

0

x ax bc

x bx ca

0 00a b x c x c a b

1 0;x x0 1 1 0

0 1

;x x a x b x cx x bc c a b

0 2;x x0 2 2 0

0 2

;x x b x a x cx x ca c a b

1 2

1 2

x x a b cx x ab

1 2,x x 2 0x cx ab

2 22 4 4 0c ab a b ab a b a b

4 4

0x a x bc

2a bt x

2 2 0ax bx c 2 , 0t x t

2. . 0a P x b P x c t P x


3. : Đặt .

4. : Chia cho , đặt .

5. : Đặt .

6. : Đặt .

7.

+ Xét .

+ Với , chia hai vế cho ta có phương trình:

. Đặt .

Ví dụ 1: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình: .

A. B. 1 C. 2 D. 0

Lời giải

Đặt hay , ta có phương trình:

Đặt , phương trình trở thành:

Với Tổng các nghiệm là .

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 39

STUDY TIP

Phương trình:

nếu đặt thì phương trình thu

,x a x b x c x d e a d b c t x a x d

4 3 2 0ax bx cx bx a 2 0x 1t xx

4 4 0x a x b c 2a bt x

. 0a f x b f x c t f x

. . .a f x b g x c f x g x

0g x

0g x g x

.f x f x

a b cg x g x

f xt

g x

4 41 3 256x x

2

1 32

y x 1 1y x x y

4 4 4 22 2 256 2 48 224 0y y y y

2 0y t 2

42 48 224 0

28t

t tt l

2 2 14 4

2 3y x

t yy x

3 1 2


Ví dụ 2: Cho phương trình . Đặt ta được phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Với không là nghiệm.

chia 2 vế cho ta được phương trình:

Đặt ta có phương trình:

Đáp án B.

Ví dụ 3: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình:

.

A. B. 5 C. D.

Lời giải

Phương trình

Đặt: ta có phương trình:

LOVEBOOK.VN | 40

STUDY TIP

thì

STUDY TIP

Trong phương trình ta

nhóm

và để sau khi nhân ra ta được những biểu thức giống nhau là

4 3 23 4 3 1 0x x x x 1t xx

2 3 2 0t t 2 3 2 0t t

2 3 2 0t t 2 2 0t t

0x

0x 2x

2 22 2

3 1 1 13 4 0 3 4 0x x x xx x x x

1t xx

2 22

1 2x tx

2 2 2 22 2

1 1 12 2x t x t x tx x x

2 22 3 4 0 3 2 0t t t t

1 2 3 4 3x x x x

52

552

1 4x x

2 3x x

2 5x x

2 21 4 2 3 3 5 4 5 6 3x x x x x x x x

2 5x x y

2 34 6 3 10 21 0

7y

y y y yy


+ Với

+ Với vô nghiệm.

Vậy tổng .

Đáp án C.

Ví dụ 4: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Lời giải


trở thành có nghiệm

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

Đáp án B.

Ví dụ 5: Tính tổng các nghiệm của phương trình: .

A. 3 B. C. D.

Lời giải

ĐKXĐ: . Khi đó phương trình đã cho tương đương với:

LOVEBOOK.VN | 41

12

2

5 1323 5 3 0

5 132

xy x x

x

27 5 7 0y x x

1 2 5x x

2 2 11 31x x

2 11 , 0x t t

2 211 11 11 31 0x x 2 42 0t t 6t

2 211 6 25 5x x x

25 2 3 3x x x x

332

32

30

xx

2 2 2 23 10 3 3 0 3 3 3 10 0x x x x x x x x



Vậy tổng các nghiệm bằng .

Đáp án B.

Ví dụ 6: Số nghiệm của phương trình: là:

A. vô nghiệm B. 1 C. 2 D. 4

Lời giải

ĐKXĐ: hoặc


Với (TMĐK)

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm.

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 42STUDY TIP

2 3 , 0x x t t

2 53 10 0

2t l

t tt

2 2 13 2 3 4 0

4x

x x x xx

3

12 31

x xx x

1x 0x

1 , 0x t tx

3 2 22

11 2 3 0 2 3 1 0 1 2 1 0 1

2

t lt t t t t t

t t

1 1 1 1 1 44 4 3 42 2 4 3

x xt x x x xx x


Ví dụ 7: Cho phương trình: . Đặt ta có phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Để ý nên ta tách:

bằng cách đồng nhất hệ số và ta được:

Điều kiện:

Ta có:

Chia hai vế cho ta được:

Đặt ta có phương trình: .

Đáp án C.

Ví dụ 8: Cho phương trình:

Đặt ta được phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

ĐKXĐ:

Đặt

LOVEBOOK.VN | 43

STUDY TIP

2 32 2 5 1x x 2

1 ; 01

xt tx x

2 5 2 0t t 2 5 2 0t t

22 5 2 0t t 22 5 2 0t t

3 21 1 1x x x x 2 22 2 1 1x a x b x x

2 22 2 2 1 2 1x x x x

1x

2 3 2 22 2 5 1 2 1 2 1 5 1 1x x x x x x x x

2 1 0x x 2 2

1 12. 2 51 1

x xx x x x

2

11

xtx x

22 5 2 0t t

3 6 3 6 3x x x x

3 6t x x

2 2 1 0t t 2 2 3 0t t

22 1 0t t 2 2 3 0t t

3 6x

23 6 9 2 3 6t x x t x x


thay vào phương trình đã cho ta có:

.

Đáp án D.

Ví dụ 9: Cho phương trình: và

, khi đó t nhận giá trị nào sau đây?

A. 19 B. 13 C. 11 D. 27

Lời giải

ĐKXĐ:

Ta có:

Khi đó:

Thay vào phương trình đã cho ta có:

Đáp án B.

Ví dụ 10: Cho phương trình: . Tìm tất cả các giá trị của n để phương trình đã cho có nghiệm.

A. B.

C. D.

Lời giải

ĐKXĐ: .

LOVEBOOK.VN | 44

STUDY TIP

Phương trình:

2 93 62

tx x

22 29 3 2 9 6 2 3 0

2tt t t t t

27 7 7 6 2 49 7 42 181 14x x x x x

7 7 7 6t x x

67

x

249 7 42 7 7 7 6x x x x

2 2 2 214 1 2 49 7 42 1 14 2 49 7 42t x x x t x x x

2 2 141 181 182 0

13t l

t t t tt

1 3 1 3x x x x n

2 2 2;2n 2n

2n 2 2 2n

2 2 2 4 0t t n

1 3x


Đặt:

Xét trên

Khi đó: phương trình đã cho trở thành:

có .

Nếu thì phương trình có 2 nghiệm

- Với (không thỏa mãn).

- Với (thỏa mãn) thì:

Đáp án A.

Ví dụ 11: Cho phương trình: (1). Tìm m để phương trình có 4 nghiệm phân biệt.

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt ta có phương trình: (2)

Phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt khi phương trình (2) có 2 nghiệm dương

phân biệt

LOVEBOOK.VN | 45

STUDY TIP

Phương trình:

2 2 4g t t t

2 21 3 4 2 2 3t x x t x x

2 2 3f x x x 1;3 2 2 2t

2

2 41 3 2 32

tx x x x

2 42

tt n

2 22 4 2 2 2 4 0t t n t t n ' 5 2n

5' 5 2 02

n n 1

2

1 5 2

1 5 2

t n

t n

2 1 5 2t n

1 1 5 2t n 1 5 2 2 2 2 2 2 2n n

4 22 3 4 0mx m x m

3 1m

3 10m

m 3 0m 0m

2 , 0x t t 2 2 3 4 0mt m t m

2 2

00

03 4 0' 03 1 3 02 30 0 00

4 0 3

mm

mm mm mmS

mmPm


Đáp án C.

Ví dụ 12: Tìm m để phương trình: có hai nghiệm thực

phân biệt. Khi đó có bao nhiêu giá trị nguyên của thỏa mãn.

A. 10 B. 11 C. 21 D. 20

Lời giải

ĐKXĐ:

Phương trình

Ta thấy không là nghiệm.

Với , phương trình


Vì mỗi thì có 2 nghiệm x nên bài toán trở thành tìm m để phương trình

có một nghiệm lớn hơn .

Xét hàm số

Bảng biến thiên:

LOVEBOOK.VN | 46

STUDY TIP

Bảng biến thiên của hàm số

03 1 3 0

03

mm m

mm

2 32 2 1 3 2x mx x x

0;20m

2y ax bx c

0a

0x

2 32 2 1 3 2mx x x x

0x

0x 1 12 2 3 2m x xx x

412 , 2 2 8t x tx

21 32 2

m t t

4 8t

21 32 2

m t t 4 8

21 32 2

g t t t

t 4 8

g t


Vì nên

Vì nên có 21 giá trị của m thỏa mãn.

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 47

41 8 3 82

41 8 3 8 1,12

1;0;1;2;...m

0;20m




Câu 1: Phương trình

vô nghiệm khi:

A. B.

C. D.

Câu 2: Số nguyên k nhỏ nhất thỏa mãn phương

trình vô nghiệm là:

A. B. C. D.


có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. D.


có nghiệm kép khi:

A. B.

C. D.

Câu 5: Phương trình có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. D.

Câu 6: Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt khi và chỉ khi:

A. B.

C. D.

Câu 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn để phương trình

có hai nghiệm âm phân biệt.

A. 5 B. 6 C. 10 D. 11

Câu 8: Tìm tập hợp tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

có hai nghiệm dương phân biệt là:

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 48

21 2 2 0m x mx m

2m 2m

2m 2m

22 4 6 0x kx x

1k 1k 2k 3k

2 2 1 1 0mx m x m

0m 1m

01

mm

1m

21 6 1 2 3 0m x m x m

1m

167

m

m

67

m 67

m

22 1 1x x mx

178

m2m

2178

m

m

1m

2 0 0 ax bx c a

00P

000

PS

000

PS

00S

5;5

2 24 0x mx m

2 22 1 1 0x m x m

1;1m 1;m

1 ;2

m ; 1m


Câu 9: Cho phương trình trong

đó , . Nếu hiệu các nghiệm của phương trình bằng 1, khi đó p bằng:

A. B.

C. D.

Câu 10: Gọi là hai nghiệm của phương

trình . Tìm m để

biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B.

C. D.


trình . Tìm giá trị nhỏ nhất

của biểu thức .

A. B. C. 0 D. 1

Câu 12: Giả sử các nghiệm của phương trình

là lập phương các nghiệm của

phương trình . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. B.

C. D.

Câu 13: Cho phương trình:

Xác định m để phương trình có hai nghiệm

phân biệt và nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.

A. B.

C. D.

Câu 14: Cho phương trình;

.

Xác định m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

A. B.

C. D.

Câu 15: Giả sử phương trình (

, ) có các nghiệm . Lập phương trình bậc hai có các nghiệm của nó là

.

A.

B.

C.

D.

LOVEBOOK.VN | 49

2 0x px q

0p 0q

4 1q 4 1q

4 1q 1q

1 2,x x

2 22 1 2 0x m x m

1 2 1 22 6P x x x x

12

m1m

2m 1m

1 2,x x

2 1 0x mx m

minP 1 2

2 21 2 1 2

2 32 1

x xPx x x x

212

2 0x px q

2 0x mx n

3p q m 3 3p m mn

3 3p m mn

3m pn q

2 22 1 3 4 0x m x m m

1 2,x x

2m 3m

53

mm

47

mm

2 22 1 3 4 0x m x m m

2 21 2P x x

3m 4m

7m 2m

2 0x px q

0p 0q 1 2,x x

1 2,x x

2 2 . 0x p q x q

2 2 . 0x p q x q

2 2 . 0x p q x q

2 2 . 0x p q x q


Câu 16: Xác định các giá trị của m để phương

trình có 3 nghiệm dương phân biệt.

A. B. C. D.


Tìm m để phương trình có nghiệm .

A. B.

C. D.

Câu 18: Tìm m để phương trình:

có đúng 3 nghiệm.

A. không tồn tại m B.

C. D.

Câu 19*: Cho phương trình:

.

Tìm m để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

Câu 20*: Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để phương trình có nghiệm.

A. B.

C. D.

LOVEBOOK.VN | 50

2 22 2 1 5 0x x m x m

2m 2m 2m 2m

22

1 11 3 3 0x m x mx x

0x

034

m

m

043

m

m

043

m

m

0m

4 22 3 4 0mx m x m

0m

0m 0m

243 1 1 2 1x m x x

1m13

m

1m 113

m

29 9x x x x m

9 10m 9 104

m

10m9 94

m


§4. Hệ phương trình

A. Các dạng toán điển hình

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

- Tính các định thức:

- Biện luận:

+ Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất:

+ Nếu và hoặc thì hệ vô nghiệm.

+ Nếu thì hệ có vô số nghiệm hoặc vô nghiệm. (Khi đó thay tham số vào hệ ta sẽ kết luận cụ thể).

LOVEBOOK.VN | 51

Dạng 1 1 1 1

2 2 2

a x b y ca x b y c

1 11 2 2 1

2 2

a bD a b a b

a b

1 11 2 2 1

2 2x

c bD c b c b

c b

1 11 2 2 1

2 2y

a cD a c a c

a c

0D

x

y

Dx

DD

yD

0D 0xD 0yD

0x yD D D


Ví dụ 1: Tìm m để hệ phương trình: có nghiệm duy nhất. Khi đó

tính ?

A. B.

C. D.

Lời giải

Ta có:

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

và nghiệm

Đáp án A.

Ví dụ 2: Cho hai đường thẳng: và . Tìm m

để hai đường thẳng và song song.

A. B. C. D.

Lời giải

Xét hệ phương trình: (*)

LOVEBOOK.VN | 52

STUDY TIP

Phương trình bậc hai

có 2 nghiệm

thì:

12

mx y mx my

x y

31;1

mm x ym

21;1

mm x ym

1; 1m x y 1; 0m x y

2 0ax bx c

0a

2ax bx c

1 2a x x x x

211 1 1

1m

D m m mm

21 12 1 2

2x

mD m m m m

m

12 1 1

1 2y

m mD m m m

10

1m

Dm

1 2 21 1 1 3

11 11 1 1

x

y

m mD mxD m m m mx y

mD myD m m m

1 : 1 5d m x y 2 : 2 10d x my

1d 2d

1m 1m 2m 2m

1 52 10m x yx my


Hệ phương trình (*) vô nghiệm .

Đáp án B.

Ví dụ 3: Cho ba đường thẳng (1)

(2)

(3)

Giá trị m thuộc khoảng nào sau đây để đồng quy tại một điểm?

A. B. C. D.

Lời giải

đồng quy khi và chỉ khi hệ phương trình: có nghiệm duy nhất.

Giải hệ phương trình (1) và (2) ta được: thay vào (3) ta tìm được .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 53

STUDY TIP

đồng quy

đi qua giao

điểm của và

21 12 1 2

2m

D m m m mm

5 15 2

10xD mm

1 510 2

2 10y

mD m

1 2/ /d d

00 10

x

y

DD mD

1 : 2 3 4d x y

2 : 3 1d x y

3 : 2 5d mx y m

1 2 3, ,d d d

;1m 1;9m 9;20m 20m

1 2 3, ,d d d

3d

1d 2d

1 2 3, ,d d d

2 3 4 1

3 1 2

2 5 3

x y

x y

mx y m

12

xy

10m


Hệ đối xứng loại I

1. Định nghĩa

Hệ đối xứng loại I là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi ta thay đổi vai trò x, y cho nhau thì từng phương trình trong hệ không thay đổi.

trong đó:

2. Phương pháp giải tổng quát

- Bước 1: Đặt điều kiện nếu có.

- Bước 2: Đặt

+ Đưa hệ về hệ mới chứa ẩn

+ Giải hệ tìm S, P. Chọn S, P thỏa mãn .

- Bước 3: Với S, P tìm thấy thì x, y là nghiệm của phương trình:

Ví dụ 1: Biết là nghiệm duy nhất của hệ phương trình .

Khi đó bằng:

A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Lời giải

Đặt ta có:

Khi đó ta có hệ:

x, y là nghiệm của phương trình:

LOVEBOOK.VN | 54

Dạng 2

STUDY TIP

, 0

, 0

f x y

g x y

, ,

, ,

f x y f y x

g x y g y x

2; 4 x y S xy P S P

,S P

2 4S P

2 0X SX P

2 2 2 2x y S P

3 3 3 3x y S PS

0 0;x y

3 3 22

x yxy x y

0 0x y

,x y S xy P 33 3 33 3x y x y xy x y S PS

3 3 23 2 812 2

SS PS SPPS PS

2 20 2 1 0X SX P X X


Đáp án C.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình:

Xác định a để hệ có ít nhất một nghiệm thỏa mãn và .

A. B. C. D.

Lời giải

Đặt ta có hệ phương trình:

Khi đó S, P là nghiệm phương trình:

hoặc

Để hệ đã cho có ít nhất một nghiệm thỏa mãn thì

TH1: thì:

TH2: thì:

LOVEBOOK.VN | 55

STUDY TIP

Phương trình:

có 2 nghiệm khi và chỉ

khi:

00 0

0

11 2

1x

X x yy

2 2

1x xy y a

x y xy a

;x y 0x 0y

104

2

a

a

22

aa

142

a

a

20

aa

; .x y S x y P

1.

S P aS P a

2 0ax bx c

000

PS

2 1 11 0

X SX a X a

X a P a

1S aP

0, 0x y

2 400

S PSP

1,S P a

1 411 0 04

0

aa

a

, 1S a P

2 4 21 0 22

0 0

a aaa

a a


Vậy .

Đáp án A.

Hệ đối xứng loại II

1. Định nghĩa

Hệ phương trình đối xứng loại II là hệ chứa hai ẩn x, y mà khi thay đổi x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia của hệ.

Chú ý: Nếu là nghiệm của hệ thì cũng là nghiệm của hệ.

2. Phương pháp giải

- Trừ vế với vế hai phương trình và biến đổi phương trình nhận được về phương trình tích số.

- Kết hợp một phương trình tích với một phương trình của hệ để tìm nghiệm.

Ví dụ 1: Hệ phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 B. 3 C. 5 D. Vô nghiệm

Lời giải

Trừ vế theo vế của hai phương trình (1) và (2) ta được:

- TH1: Với thế vào (1) ta có phương trình:

Hệ có nghiệm là .

LOVEBOOK.VN | 56

Dạng 3

STUDY TIP

Khi cộng vế với vế của 2 phương trình trong hệ đối xứng loại II ta luôn được một phương trình đối xứng.

104

2

a

a

0 0;x y 0 0;y x

3

3

2 1

2 2

x x y

y y x

3 3 2 22 2

1 01 0

x yx y x y x y x y xy

x y xy

x y3

03 0

3

xx x

x

0;0 , 3; 3 , 3; 3


- TH2: Với . Kết hợp với tổng của hai phương trình (1) và (2) ta có hệ:

(là hệ đối xứng loại I)

Đặt ta có hệ:

Từ (3) ta có: thế vào (4) ta được:

x, y là nghiệm của phương trình:


Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm.

Đáp án C.

Ví dụ 2: Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:

A. Không có giá trị nào của a B.

C. D.

Lời giải

Do tính đối xứng nên: Nếu hệ có nghiệm thì cũng có nghiệm .

Một điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là thế vào (1) ta được:

LOVEBOOK.VN | 57

STUDY TIP

Nếu là một

nghiệm và cũng là nghiệm để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần

2 2 1 0x y xy

22 2

3 3 3

1 01 0

3 3 3

x y xyx y xy

x y x y x y xy x y x y

, .x y S x y P

2

3

1 0 3

3 3 0 4

S P

S PS S

2 1P S

3 2 3 03 1 . 3 0 2 0 0 1

. 1x y

S S S S S S Px y

2 1 0 1X X

;x y 1; 1 , 1;1

2 3 2

2 3 2

4 1

4 2

x y y ay

y x x ax

254

a

254

a 0a

0 0;x y

0 0;y x

0 0x y

0 0;x y 0 0;y x

0 0x y


Để hệ có nghiệm duy nhất thì phương trình (3) phải vô nghiệm hoặc có nghiệm

kép .

- TH1: (3) vô nghiệm

- TH2: (3) có nghiệm kép

Khi đó không phải nghiệm kép.

Thử lại với giải hệ thấy có nghiệm duy nhất.

Đáp án B.

Hệ đồng bậc


Gọi là nghiệm của hệ. Khi đó tất cả các tỉ số thuộc tập nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Nhận xét ta thấy vế trái của hai phương trình đã cho đều bậc 3 với x và y còn vế phải là bậc 0 (hay hằng số) nên ta nhân chéo để đưa về phương trình đồng bậc.

Hệ phương trình

LOVEBOOK.VN | 58

Dạng 4

STUDY TIP

Phương trình (3) trong lời giải là phương trình đẳng cấp bậc 3 (là phương trình mà tất cả các đơn thức của nó đều bậc 3)

02 3 2 2

0 0 0 0 0 0 0 20 0

04 5 0

5 0 3 x

x x x ax x x x ax x a

0x

2525 4 04

a a

250 04

x a

0x

254

a

3 3

2 2 3

1

2 2

x y

x y xy y

0 0;x y0

0

xy

0

0

11;1;2

xy

0

0

11;2

xy

0

0

1;1xy 0

0

11;2

xy

3 3

3 3 2 2 3

1 2

2 2 3

x y

x y x y xy y


Với không là nghiệm.

Với chia hai vế của (3) cho ta được:

Giải phương trình bậc ba ta có:

+ Với thay vào (2) ta có: vô nghiệm.

+ Với thay vào (2) ta có:


Tóm lại chỉ có: thỏa mãn.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: . Giả sử hệ có

nghiệm , , thì tỷ số: là nghiệm của phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Lời giải

Nhận xét: Ta nói mỗi phương trình đều có một vế bậc nhất vế còn lại là bậc hai với x, y nên khi nhân vế với vế của hai phương trình ta được phương trình đồng bậc:

LOVEBOOK.VN | 59

STUDY TIP

Phương trình (3) trong lời giải là phương trình đẳng cấp bậc 3 (là phương trình mà tất cả các đơn thức của nó đều bậc 3)

STUDY TIP

Phương trình (1) có vế trái bậc 1, vế phải bậc 2.


0 0y x

0y 3y

3 2

2 2 1 0x x xy y y

11;1;2

xy

1x x yy 3 3 1y y

1x x yy 3 3

12 12

x x

1 22

x y xy 3 3 3 3

12 1 9 19

x x x x

1

12

xyxy

2 2

2 2

2 3 3 1

2 2 2

x y x xy y

x y x y

0 0;x y 0 0x 0 0y 0

0

xy

3 22 3 4 0t t t 3 24 3 2 1 0t t t

24 3 1 0t t 24 3 1 0t t


Vì ta chia 2 vế cho ta được phương trình:

là nghiệm của phương trình:

Đáp án A.

Giải hệ bằng phương pháp thế

Ví dụ 1: Biết cặp là nghiệm duy nhất của hệ phương trình:

Khi đó tổng là:

A. B. C. D.

Lời giải


Thế xy ở phương trình (2) vào phương trình (1) ta được:

+ Với không thỏa mãn hệ.


.

LOVEBOOK.VN | 60

STUDY TIP



Dạng 5

STUDY TIP

2 2 2 2 3 2 2 32 3 2 3 2 2 3 4 0x y x y x xy y x y x x y xy y

0, 0x y 3y

3 2

2 3 4 0x x xy y y

0

0

xy

3 22 3 4 0t t t

0 0;x y

4 3 2 2

2

2 2 9

2 6 6

x x y x y x

x xy x

0 0x y

16

254

14 1

4

4 3 2 22x x y x y

22x xy

22

2

2 9 1

1 6 6 22

x xy x

xy x x

2

22 2 2 01 16 6 2 9 6 6 2 942 4

xx x x x x x x

x

0x

4x

0 0 0 01 17 17 14 24 6 16 4,2 4 4 4

y y x y x y


Đáp án D.

Ví dụ 2: Cho hệ phương trình: .

Hệ phương trình này có bao nhiêu nghiệm?

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Lời giải

Trong phương trình (1) ta coi x là ẩn và giải phương trình bậc hai:

Có

- Với thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

. Khi đó hệ có nghiệm là .

- Với thế vào phương trình (2) ta được phương trình:

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm là .

Đáp án C.

LOVEBOOK.VN | 61

STUDY TIP

Phương trình bậc hai

với ẩn là x thì hệ số

; ;

.

Dạng 6

2 2

2 2

4 8 4 15 0 1

2 2 5 2

x y x y

x y xy

2 28 4 4 15 0x x y y

1a

8b 24 4 15c y y

2 28 4 4 15 0x x y y

22 2 5 2' 16 4 4 15 4 4 1 2 1

3 2x y

y y y y yx y

5 2x y

2 1 310 30 20 0

2 1y x

y yy x

3;1 , 1;2

3 2x y

2 2 2 2 23 2 2 2 3 2 . 5 9 12 4 2 6 4 5y y y y y y y y y

2 1 12 6 4 0

2 1y x

y yy x

;x y 1; 1 , 1; 2 , 3;1 , 1;2


Giải hệ bằng phương pháp đặt ẩn phụ


Biết hệ có 2 nghiệm và . Tính tổng .

A. B. 6 C. 7 D.

Lời giải

Dễ thấy không phải là nghiệm của hệ.

Với chia hai vế của các phương trình trong hệ cho y ta được hệ:

Đặt ta có hệ:

- TH1: ta có hệ:

hoặc

- TH2: ta có hệ:

vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm là và .

Đáp án B.

LOVEBOOK.VN | 62

STUDY TIP

Hệ đã cho ta thấy có những biểu thức giống

nhau là và

.

2 1x

x y

2 2

2 2

1 4

2 7 2

x y xy y

y x y x y

1 1;x y 2 2;x y 1 2 1 2x x y y

6 2

0y

0y

2

22

1 4

12. 7

x x yy

xx yy

2 1xuy

v x y

1 12 2

2 2

4 4 3 15 92 7 2 15 0

u v u v v uv uv u v v

1, 3u v

22

2

1 31 1123 2 0

3

x y x xx yy

yy x x xx y

25

xy

5, 9v u

22 21 9 1 9 9 46 0

5 55

xx y x x

yy x y x

x y

;x y 1;2 1 2 1 22;5 6x x y y



Gọi là nghiệm của hệ mà . Khi đó là:

A. 5 B. C. D. 10

Lời giải

Điều kiện:

Phương trình

Giải phương trình bậc hai ta được:

- Với thế vào (2) ta được nghiệm không

thỏa mãn .

- Với thế vào (2) ta được nghiệm .

Đáp án D.

LOVEBOOK.VN | 63

Dạng 7

2 6 2 1

2 3 2 2

xy x yy

x x y x y

;x y ,x y x y

12 2

0, 2 0; 2 0y x y x x y

2

221 2 2 6 0 6 0x yx x yx y y

y y y

23

22

x yy

x yy

2

023

9 2

yx yy x y y

24 4;9 9

,x y

2

022

4 2

yx yy x y y

12; 2


Hệ phương trình 3 ẩn


Số nghiệm của hệ phương trình trên là:

A. 1 B. 2 C. 4 D. 5

Lời giải

Ta coi z như là tham số thì hệ đã cho là hệ đối xứng với x và y nên:


- Với ta có: .

Hệ này có nghiệm .

- Với ta có:

Giải hệ ta có nghiệm .

LOVEBOOK.VN | 64

STUDY TIP

Trong Ví dụ 1, ta cũng có thể dùng phương pháp thế để giải.

2 2

3 3

3

5

9

x y z

x y z

x y z

2 2

233

3 3

2 5 9 5 2

9 53 9 27 9 . 92

x y z x y z

x y xy z z z xy

z zx y xy x y z z z z

2 2

3 2

3 3

2 9 5 2 9 523 5 2 0 0 13

x y z x y z

xy z z xy z z

z z z z z z

0z

00

0

x yxyz

0;0;0

1z

32

1

x yxyz

1;2;1 , 2;1;1


- Với ta có:

Giải hệ ta có 2 nghiệm và .

Vậy hệ đã cho có 5 nghiệm.

Đáp án D.


Giả sử , là các nghiệm của hệ. Tính .

A. 0 B. 3 C. 6 D. 9

Lời giải

Nhân vế với vế 3 phương trình trên ta được:

- Với ta có hệ:

Thay (1) vào (4) ta được



Hệ có nghiệm là là

LOVEBOOK.VN | 65

23

z

213

23

x y

xy

z

3 6 3 6 2; ;3 3 3

3 6 3 6 2; ;3 3 3

12 1

20 2

15 3

xy

yz

zx

1 1 1; ;x y z 2 2 2; ;x y z 1 2 1 2x x y y

2 603600

60xyz

xyzxyz

60xyz

12 1

20 2

15 3

60 4

xy

yz

zx

xyz

5z

3x

4y

; ;x y z 3;4;5


- Tương tự với ta giải được nghiệm là

Đáp án A.

LOVEBOOK.VN | 66

60xyz 3; 4; 5

1 2 1 2 3 3 4 4 0x x y y


B. Bài tập rèn luyện kĩ năng


Câu 1: Cho hệ phương trình:

. Khi hệ có nghiệm duy

nhất thì tổng là:

A. B.

C. D.

Câu 2: Xác định m để hệ phương trình sau vô nghiệm:

A. hoặc B.

C. hoặc D. hoặc

Câu 3: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hệ

phương trình: có nghiệm

nguyên (tức là )?

A. 2 B. 3 C. 4 D. Vô số

Câu 4: Biết hệ phương trình:

có hai nghiệm và

. Khi đó bằng:

A. 14 B. 0 C. 3 D. 4

Câu 5: Cho hệ phương trình:

. Gọi và là

các nghiệm của hệ. Tính .

A. 3 B. 2 C. 0 D. 1

Câu 6: Cho hệ phương trình: .

Đặt , tính ?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 6

Câu 7: Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm:

A. B.

C. D.

Câu 8: Cho . Tìm giá trị nhỏ nhất

và lớn nhất của biểu thức . Khi đó các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất theo thứ tự là:

LOVEBOOK.VN | 67

2 2mx m yx my m

;x y x y

2

22m m 2

22m m

2

2

2 22 2

mm m

2

2

2 22 2

mm m

22 3 1 3

2 2

m x m y

m x y y

3m12

m0m

0m34

m0m

34

m

2 2

1 2 1

2

m x y m

m x y m m

,x y

2 4 1

2 5 0 2

y x x

x y

1 1;x y

2 2;x y 1 2 1 2x x y y

3 3 3 3 175

x x y yx xy y 1 1;x y 2 2;x y

1 2x x

3 3 22

x yxy x y

, .S x y P x y S P

4 1 43

x yx y m

133

m7m

53

m 13 73

m

1x y

Q x x y y


A. B. C. D.

Câu 9: Số nghiệm của hệ phương trình

là:

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

Câu 10: Tìm số nghiệm của hệ phương trình sau:

A. 4 B. 2 C. 3 D. 5

Câu 11: Gọi , là các nghiệm

của hệ phương trình: .

Hãy tính .

A. 0 B. 8 C. 10 D. 5

Câu 12*: Cho hệ phương trình:

. Xác định a để hệ có tích x.y nhỏ nhất.

A. B.

C. D.


.

Biết rằng hệ đã cho có 2 nghiệm là và

. Khi đó tổng là:

A. B. C. D.


Biết hệ phương trình có hai nghiệm là

và . Tìm .

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

LOVEBOOK.VN | 68

10;4

1 ;14 1;4 0;4

2

2

3 2

3 2

x x y

y y x

3

3

2 1

2 2

x x y

y y x

1 1;x y 2 2;x y

2

2 2

3 4 1

4 1 2

y xy

x xy y

1 1 2 2x y x y

2 2 2

2 1

2 3

x y a

x y a a

1a 22

2a

222

a 2a

2 3 2

4 2

54

51 24

x y x y xy xy

x y xy x

1 1;x y

2 2;x y 3 31 2x x

94 9

454

54

2

2

2 4 4 1 1 0

3 6 5 3 2 3 7

x x y x y x

x y x x x

1 1;x y

2 2;x y 1 2x x


BÀI KIỂM TRA CHỦ ĐỀ III


Câu 1: Cặp là nghiệm của phương trình:

A. B.

C. D.

Câu 2: Cho phương trình bậc hai

có hai nghiệm . Hãy xác định mệnh đề đúng.

A.

B.

C.

D.

Câu 3: Hệ phương trình nào sau đây không phải là hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn?

A.

B.

C.

D.

Câu 4: Cho phương trình . Hãy chọn mệnh đề đúng?

A. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ

khi

B. Phương trình có nghiệm duy nhất khi và chỉ

khi

C. Phương trình nghiệm đúng với mọi x khi và

chỉ khi

D. Phương trình vô nghiệm khi và chỉ khi


là:

A. B.

C. D.

Câu 6: Phương trình có:

A. Hai nghiệm trái dấu B. Hai nghiệm dương

C. Hai nghiệm âm D. Vô nghiệm

LOVEBOOK.VN | 69

; 1;2x y

3 2 7x y 2 5x y

0. 3 4x y 3 0. 2x y

2 0ax bx c 0a 1 2,x x

1 2 1 2; .2

c bx x x xa a

1 2 1 2; .2

b cx x x xa a

1 2 1 2; .c bx x x xa a

1 2 1 2; .b cx x x xa a

2

2 2 02 3 0

2 0

x yx y

y

12

2 3 3

x y zx

x y z

031

xyz

3 32

2 1

x yz

x

0ax b

0a

0b

0, 0a b

0, 0a b

2

2 351 1

xx x

\ 1D \ 1D

\ 1D D

2 2 3 6 0x x


Câu 7: Tìm điều kiện xác định của phương trình

.

A. B.

C. D.

Câu 8: Chọn cặ phương trình không tương đương trong các cặp phương trình sau:

A. và

B. và

C. và

D. và

Câu 9: Cho các phương trình sau:

(1)

(2);

(3);

(4).

Số phương trình vô nghiệm là:

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 10: Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình

.

A. 3 B. 2 C. 1 D.

Câu 11: Cho là hai nghiệm của phương

trình . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào chỉ có hai nghiệm là

và ?

A. B.

C. D.

Câu 12: Nghiệm của hệ phương trình

là . Tính bằng:

A. 2 B. C. D.

Câu 13: Một công ty Taxi có 85 xe chở khách gồm 2 loại, xe chở được 4 khách và xe chở được 7 khách. Dùng tất cả xe đó, tối đa mỗi lần công ty chở một lần được 445 khách. Hỏi công ty đó có mấy xe mỗi loại?

A. 50 xe 4 chỗ; 35 xe 7 chỗ

B. 35 xe 7 chỗ; 50 xe 4 chỗ

C. 45 xe 4 chỗ; 40 xe 7 chỗ

D. 40 xe 4 chỗ; 45 xe 7 chỗ

Câu 14: Cho phương trình

có hai nghiệm phân biệt. Hãy tính

.

LOVEBOOK.VN | 70

3 11 015 3

xxx

1 5x 5x

1x 1 5x

21 2x x x 22 1x x

3 1 8 3x x x 6 1 16 3x x x

2 23 2x x x x x 3 2x x x

2 2x x 22 4x x

2 1 23 3

x xx x

232

xxx

1 3 1x x x

3 1 32

x xx

22 3 2 2x x x

32

1 2,x x

2 3 2 0x x

1

2 1x

x 2

1 1x

x

28 6 1 0x x 23 4 1 0x x

23 3 0x x 3 23 4 0x x x

2 3 0

2 0

x yx

x y

0 0;x y 0 0x y

23

83

23

10 9 2 1x x

1 2,x x

2 21 2A x x


A. B.

C. D.

Câu 15: Tìm số nghiệm của phương trình

?

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0


. Đặt

, . Khi đó, phương trình đã cho trở thành phương trình nào sau đây?

A. B.

C. D.

Câu 17: Gọi S là tổng các nghiệm của phương

trình . Hãy tính S.

A. B. C. D.

Câu 18: Phương trình có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 19: Cho phương trình . Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không phải là hệ quả của phương trình đã cho?

A.

B.

C.

D.

Câu 20: Tìm giá trị thực của tham số m để hệ

phương trình có duy nhất một nghiệm. Khi đó m thuộc khoảng nào sau đây

A. B.

C. D.


có nghiệm duy nhất khi:

A. B.

C. và D. hay

Câu 22: Với điều kiện nào của m thì phương

trình có nghiệm âm?

A. B.

C. D. và

Câu 23: Cho hệ phương trình (I), m là tham số. Mệnh đề nào sai?

A. Hệ (I) có vô số nghiệm.

B. Khi thì hệ (I) có vô số nghiệm.

C. Hệ (I) có nghiệm duy nhất .

LOVEBOOK.VN | 71

294

A39A

0A254

A

3 5 2x x

2 23 3 1 0x x x x

2 3 1t x x 0t

2 1 0t t 2 1 0t t

2 0t t 2 1 0t t

4 23 4 0x x

1S 3S 3S 0S

1 2 11 1

xxx x

22 0x x

2 01

xxx

34 0x x

2 222 5 0x x x

3 22 0x x x

2 3 4 03 1 02 5 0

x yx ymx y m

; 4 2;9

0;3 8;12

2 24 3 3 2m m x m m

1m 3m

3m 1m 3m 1m

22 4 4m x x m

0 m 4m

0 4m 0 m 4m

11

x mymx y

1m

1m


D. Khi thì hệ (I) vô nghiệm.

Câu 24: Số nghiệm của phương trình

là:

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

Câu 25: Một lớp học có 36 học sinh được phân thành 3 nhóm A, B, C để thảo luận trong giờ học toán. Biết nhóm A ít hơn nhóm B 2 học sinh, tổng số học sinh nhóm A và C gấp đôi số học sinh nhóm B. Hỏi số lượng học sinh từng nhóm A, B, C lần lượt là bao nhiêu?

A. 12, 14, 16 B. 12, 10, 14

C. 14, 12, 10 D. 10, 12, 14

Câu 26: Giả sử phương trình:

có các nghiệm là . Tính

A. B. C. D.

Câu 27: Tổng các nghiệm của phương trình

là:

A. 6 B. C. D. 7


số m trên đoạn để phương trình

vô nghiệm.

A. 4 B. 3 C. 19 D. 20


có hai nghiệm dương phân biệt khi?

A. B.

C. D.


.

Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình có 2 nghiệm sao cho tổng bình phương hai nghiệm đó bằng 5?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 31: Thảo và Châu đi xe đạp cùng xuất phát một lúc đi từ A đến B dài 30km, vận tốc trung bình của Châu nhanh hơn vận tốc trung bình của Thảo 3km/h nên Châu đến B sớm hơn Thảo 30 phút. Tính vận tốc trung bình của mỗi người.

A. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h

B. Vận tốc trung bình của Châu là 12km/h, của Thảo là 15km/h

C. Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 17km/h

D. Vận tốc trung bình của Châu là 11km/h, của Thảo là 8km/h

Câu 32: Có bao nhiêu tam giác cân có một góc gấp đôi góc kia?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số


. Đặt:

, , . Ta có (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:

LOVEBOOK.VN | 72

1m

7 5 314 49 36 0x x x x

2 25 4 5 5 28 0x x x x

1 2,x x 2 21 2T x x

16T 81T 9T 97T

2

2

5 3 4 05

x x xx x x

8 6

2;20

2 22 4 1 0x mx m m

2 22 1 0x mx m m

1m 0m

m 1 0m

2 22 3 2 2 0x m x m m

4 2 0 1 0 ax bx c a

2 4b ac bS

a

cPa


A. B. hoặc

C. D.

Câu 34: Số nghiệm của phương trình

là:

A. 1 B. 4 C. 2 D. 3

Câu 35: Số nghiệm của phương trình:

là:

A. 2 B. 1 C. 4 D. 5

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị của tham số m để

phương trình vô nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

Câu 37: Cho (1). Có bao nhiêu giá trị nguyên m trên đoạn

để phương trình (1) có nghiệm duy nhất

A. 2 B. 5 C. 3 D. 4

Câu 38: Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để phương trình:

có

đúng 3 nghiệm thuộc .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 0


trình (m là

tham số). Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức .

A. B.

C. D.

Câu 40: Cho hàm số bậc hai có đồ thị như hình vẽ. Tìm các giá trị nguyên của m

trên đoạn để phương trình

xác định trên .

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

Câu 41: Cho hệ phương trình

. Có bao nhiêu giá trị

m để hệ đã cho có nghiệm duy nhất thỏa

mãn điều kiện .

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

LOVEBOOK.VN | 73

0 0

000

SP

00S

00P

2 1 3 4x x

1 1 131 1 1 0

1 211 1 1

x x xx x x

x x x

2

2

2 11

x mxx

2 2 1 6 22

2x m x m

xx

2;2

22 22 2 4 3 2 1 2 0x x m x x m

3;0

1 2,x x

2 22 1 2 3 1 0x m x m m

maxP

1 2 1 2P x x x x

max14

P max 1P

max98

P max9

16P

y f x

5;5

0m f x 4;4

2 3 3 2

5 2 3 5

m x my m

x m y

;x y

2 3 27x y


Câu 42: Cho a, b, c, d là các số thực khác 0. Biết c và d là hai nghiệm của phương trình

và a, b là hai nghiệm của

phương trình . Tính giá trị của

biểu thức .

A. B.

C. D.


số m thuộc đoạn để phương trình

có đúng hai nghiệm phân biệt?

A. 8 B. 9 C. 10 D. 11


số m để phương trình có đúng bốn nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. Vô số

Câu 45: Nghiệm của phương trình

thuộc khoảng nào sau đây:

A. B.

C. D.

Câu 46: Nghiệm của phương trình

có dạng với a,

b, c tối giản. Tính

A. 11 B. 43 C. 61 D. 29

Câu 47: Phương trình:

có bao nhiêu nghiệm?

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4


A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

LOVEBOOK.VN | 74

2 0x ax b 2 0x cx d

S a b c d

2S 0S

1S 1S

5;5

2 1 1mx x x

22 22 01 1

x x mx x

3 7 1x x

; 2 5;1

2;3 2;

3 312 4 2x x 21a b

c

T a b c

23 5 3 2 3 5 4x x x x

2 2

2 2

5 2

3 2 8

x y y x

x y x y xy

2

2

3 2

3 2

x yx

y xy

3 6

6 2 6

1 2 3

1 4 5

y x y x

x y x

Chủ đề 2: Hàm số bậc nhất và bậc hai The Best or Nothing

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT CHỦ ĐỀ 3

I. KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH

Câu 1: Đáp án D.

ĐKXĐ:

Câu 2: Đáp án B.

ĐKXĐ:

Vậy .

Câu 3: Đáp án A.

ĐKXĐ:

.


ĐKXĐ:

Câu 5: Đáp án C.

ĐKXĐ:


ĐKXĐ:


LOVEBOOK.VN | 75

2 1 0x x

2

2 02

2 02

4 0

xx

xx

x

\ 2;2D

1 0 11 0 12 0 2

x xx xx x

\ 1;1; 2x

2

0

1 0

x

x

1 12 1 ;2 2

x x x

2 0 22 3

6 2 0 3x x

xx x

Công Phá Toán - Lớp 10More than a book

ĐKXĐ:


ĐKXĐ:



Điều kiện: .




Từ đồ thị ta thấy .


Vẽ lại hình:

LOVEBOOK.VN | 76

21

4 3 0 3 727 2 0 27

32 0 22

xx x x x

xx xxx

2 0 22 7

7 0 7x x

xx x

0 1f x x

0 1f x x

10

3x

f xx

02

4x

f xx


Ta thấy: Parabol đi qua các điểm , ,

nên thì .

II. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC NHẤT


Phương trình đã cho vô nghiệm khi:






ĐKXĐ:

LOVEBOOK.VN | 77

2 1y x 2;3 0; 1 2;3

2;0x 2 1f x x

2 24 02

23 6 0mm

mmm

00

mm

m

2

2

235 6 0

302 02

mmm m

mmm mm

3x


Phương trình tương đương với là nghiệm khi


ĐKXĐ: .

Phương trình tương đương với

là nghiệm của phương trình đã cho khi


Phương trình

- Với : (1) nghiệm đúng ; (2) có nghiệm

- Với : (1) vô nghiệm, (2) có nghiệm


Viết lại phương trình thành:

(*)

Vẽ đồ thị hàm số:

LOVEBOOK.VN | 78

1 1x a x a 1 3a

2a

3x

1 2 3m x m mx m

2 2x m

52 2 32

m m

1x m x

0 1 1111 2

2

x mx m xmx m x x

1m x 1x

1m1

2mx

1 112 2

x x x m

1 112 2

y x x x C


Vì số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị với đường

thẳng nên thì phương trình có nghiệm.


Khử giá trị tuyệt đối ta được

1. ta có phương trình:



LOVEBOOK.VN | 79

1 2 01 0 2

1 2

khi khi

khi

x xx x

x

C

y m 1m

00

xy

11 x y d

00

xy

21 x y d

00

xy

31 x y d



Vẽ 4 đường thẳng suy ra tập nghiệm của phương trình là hình vuông

ABCD cạnh bằng .

III. PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ QUY VỀ BẬC HAI


- Với

Khi đó phương trình trở thành

- Với .

Ta có: .

Phương trình vô nghiệm khi



LOVEBOOK.VN | 80

00

xy

41 x y d

1 2 3 4, , ,d d d d

2

1 0 1m m

32 3 02

x x

1 0 1m m

2' 1 2 2m m m m

2 0 2m m


.

- Với .

Khi đó phương trình trở thành

- Với .

Ta có

, do đó số nguyên k nhỏ nhất là


- Với . Khi đó, phương trình trở thành: .

Do đó là một giá trị cần tìm.

- Với ta có

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi


Phương trình đã cho có nghiệm kép khi:

LOVEBOOK.VN | 81

22 1 8 6 0k x x

12 1 02

k k

38 6 04

x x

12 1 02

k k

' 16 6 2 1 0k

1112 22 06

k k 2k

0m12 1 02

x x

0m

0m

2' 1 1 1m m m m

' 0 1 0 1m m

2

1 0

' 9 1 1 2 3 0

m

m m m




- Với

Khi đó phương trình trở thành;

.

Do đó là một giá trị cần tìm.

- Với .

Ta có:

Khi đó phương trình đã cho có nghiệm duy nhất khi:


Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi

Khi đó gọi hai nghiệm là là


Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi:

LOVEBOOK.VN | 82

16176

7

mm mm

22 2 0m x x

2 0 2m m

2 0 2x x

2m

2 0 2m m

21 4 2 2 8 17m m

170 8 17 08

m m

0

1 2,x x

1 2

1 2

0 0. 0 0

x x Sx x P


Vậy có 5 giá trị thỏa mãn yêu cầu.


Phương trình đã cho có hai nghiệm dương phân biệt

Vậy với thỏa mãn.


Giả sử là hai nghiệm của phương trình khi đó ta có

Theo giả thiết ta có


Gọi là hai nghiệm của phương trình: .

LOVEBOOK.VN | 83

2

2

' 0 3 00 4 0 00 0

mS m mP m

1;2;3;4;5m

2

' 2 2 0 12 1 0 1

11 01

m mS m m

mP mm

1m

1m

1 2,x x

1 2

1 2

0.

x x px x q

1 2 1x x

2 21 1 22 1x x x x

21 2 1 24 1x x x x

2 24 1 4 1q q p q

4 1 0p q

1 2,x x 2 22 1 2 0x m x m


Tìm m để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất.

Ta có: để phương trình có nghiệm


Khi đó:

khi .


Ta có

Do đó phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi giá trị của m. Theo hệ thức

Vi-et ta có:

Ta có:

.

Khi đó:

LOVEBOOK.VN | 84

1 2 1 22 6P x x x x

2 2' 1 2 2 1m m m

1' 02

m

1 2

21 2

2 2

2

x x m

x x m

2 2 2 2 2 6P m m

22 4 8 2 12 12m m m

min 12P 2m

22 4 1 2 0 m m m m

1 2

1 2 1x x mx x m

22 21 2 1 2 1 22x x x x x x

2 22 1 2 2m m m m

1 2

2 2 21 2 1 2

2 3 2 12 1 2

x x mPx x x x m

2

1 2 1 12 2 2

mPm


.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi .


Giả sử phương trình có hai nghiệm phân biệt và phương

trình có hai nghiệm phân biệt .

Theo bài ra ta có:

(*)

Theo hệ thức Vi-et:

Thay vào (*) ta được:


Phương trình đã cho có hai nghiệm khi và chỉ khi

LOVEBOOK.VN | 85

2

2

2 2 1 22 2m m

m

2

2

20

2 2 m

mm

12

P m

2m

2 0x px q 1 2,x x

2 0x mx n 3 4,x x

31 3

32 4

x x

x x

3 31 2 3 4x x x x

2 23 4 3 4 3 4x x x x x x

23 4 3 4 3 43x x x x x x

1 2

3 4

3 4.

x x px x mx x n

2 33 3p m m n p m mn

1 2,x x

2 2' 1 3 4 0m m m


Một nghiệm gấp đôi nghiệm kia khi:


Phương trình có nghiệm

Xét


3

8

khi


Phương trình bậc hai có các nghiệm có dạng

LOVEBOOK.VN | 86

3 0 3m m

1 2 2 12 2 0x x x x

2 21 2 1 25 2 0x x x x

21 2 1 29 2 0x x x x

2 29 3 4 8 2 1 0m m m m

2 411 28 0

7m

m mm

' 3 0 3m m

2 21 2P x x

2 21 2 1 22 2 2 4x x x x m m

22 2 4, 3f m m m m

m 12

f m

min8 8P P 3m

1 2,x x


Đặt ta có:

Vậy phương trình đã cho cần lập là:


Phương trình đã cho có 3 nghiệm dương phân biệt

có hai nghiệm dương phân biệt


Đặt

Phương trình đã cho trở thành;

(2)

với

LOVEBOOK.VN | 87

1 2 0x x x x

21 2 1 2. 0x x x x x x

1 2 0x x B B

221 2B x x

1 2 1 22 2x x x x p q

1 22 ,B p q x x q

2 2 0x p q x q

2 22 1 5 0f x x m x m

2

2 2' 1 5 0

2 1 0

2 0

m m

m

f

2m

2 22

1 1 2 4t x t xx x

2 1 3 3 2 0t m t m

2t


Yêu cầu bài toán tương đương với việc tìm m để phương trình (2) có nghiệm

.

Ta có: nên phương trình (2) có 2 nghiệm .

Ta đi tìm m để phương trình (2) có 2 nghiệm

vì

thỏa mãn yêu cầu tương đương với .



(2)

Để phương trình đã cho có 3 nghiệm thì phương trình (2) phải có 2 nghiệm

.

Điều kiện cần:

Khi đó ta có phương trình:

Vậy không có giá trị nào của m để phương trình đã cho có 3 nghiệm.


Điều kiện: .

Phương trình

LOVEBOOK.VN | 88

; 2 2;t

29 1m 1

2

13 2

tt m

2;2

2 3 2 2m 1 1 2;2t

403

m

043

m

m

2 , 0x t t

2 2 3 4 0mt m t m

1 20, 0t t

0 0t m

6 0 0t t

1x

41 13 21 1

x xmx x


Đặt

Bài toán trở thành tìm m để phương trình có nghiệm thuộc .

Xét hàm số .


0 1

0

Từ bảng biến thiên là giá trị cần tìm.Câu 20: Đáp án B.

Điều kiện: .

Bình phương 2 vế của phương trình ta được:

Đặt ta có phương trình: .

Khảo sát trên .Ta có bảng biến thiên:

0 1

910

Từ bảng biến thiên .

LOVEBOOK.VN | 89

41 0 11 xt t

x

23 2t t m 0;1

23 2 , 0;1f t t t t

t 13

f t 13 1

113

m

0 9x

2 29 2 9 9x x x x m

2 99 ,02

t x x t 2 2 9t t m

2 2 9f t t t 90;2

t 92

f t 94

9 104

m


IV. HỆ PHƯƠNG TRÌNH


Hệ có nghiệm duy nhất khi và

Khi đó:


Hệ vô nghiệm


Ta có:

LOVEBOOK.VN | 90

222 1 2

1m m

D m m m mm

22 2x

mD m

m m

222

1y

mD m

m

1m 2m

2

2

2

2

22

2

x

y

D mxD m mD myD m m

2

22

x ym m

000

x

y

DDD

22 7 3 0 33 0 1

24 3 0

m m m mm

mm m

22

1 22 1

1m

D m mm


+ Trường hợp 1: Hệ có vô số nghiệm

+ Trường hợp 2:

Lúc đó hệ có nghiệm duy nhất:

là ước nguyên của 2


Từ (2) ta có: thế vào (1) ta có:

LOVEBOOK.VN | 91

12 12

m m

22

1 22 3 1

2 1x

mD m m

m m

12 12

m m

22 2

1 14 2

2y

m mD m m

m m m

142

m m

102x yD D D m

110 1 2

2

mD m

m

1 211 1

2 221 1

x

y

D mxD m mD myD m m

, 1x y m

1 2 11 1 01 2 31 1 2

m mm mm mm m

5 2y x 25 2 4x x x


- Với

- Với

Hệ có nghiệm là

.


Đặt

Ta có:

Ta có hệ:

Lại đặt: ta có:

Ta có hệ:

Vì nên chỉ có

LOVEBOOK.VN | 92

2 16 5 0

5x

x xx

1 3x y

5 5x y

1;3 ; 5; 5

1 2 1 2 4x x y y

, .S x y P x y

33 3 33 3x y x y xy x y S PS

3 33 175

S PS PS P

1 1, .S P S S P P

33 3 21 1 13 3S P S P SP S P S PS

31 1 1 1

1

3 3 175

S PS PS

1

1

235

6 32

SPS

P SP

2 4S P

32

SP


thỏa mãn

x, y là nghiệm phương trình:

Nghiệm của hệ là


Ta có:

Ta có hệ:


Đặt:

Khi đó hệ trở thành:

Suy ra u, v là nghiệm không âm của phương trình:

(*)

Theo đề bài hệ đã cho có nghiệm

Phương trình (*) có nghiệm không âm

LOVEBOOK.VN | 93

32

x yxy

2 13 2 0

2X

X XX

1 21;2 ; 2;1 1 2 3x x

33 3 33 3x y x y xy x y S PS

3 3 . 2. 2

S P SS P

3 283

1. 2SS

S PPS P

4

1; , 0

u x

v y u v

2 2

4421 3.3 5

2

u vu vmu vu v m

2 21 34 02

mX X



Điều kiện: . Khi đó ta có hệ:

Đặt:

Ta có hệ:

(thỏa mãn ĐK)


Trừ vế theo vế của hai phương trình, ta được:

LOVEBOOK.VN | 94

1313 7337

mm

m

0; 0x y

3 3

11 x yx y

x x y y Q x y Q

, .x y S x y P

20, 0 4 S P S P

2

111

33

SSQPS PS Q

2 14 1 4. 3 4 4301 100

3

QS PQ

PQ Q

S

14 14

1 1

Q QQ Q

max min11,4

Q Q

2 2 3 3 2 2x y x y y x

1 0x y x y


- TH1: ta có hệ:


- TH2: ta có hệ:

hoặc

Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm.


Trừ vế theo vế hai phương trình ta có:

- TH1: Với thay vào (1) ta có:

Hệ có nghiệm là

LOVEBOOK.VN | 95

01 0

x yx y

x y

2 03 2

5x

x x yx

x yx y

0;0 , 5;5

1 0x y

22 2 13 21 1

x x xx x yx y y x

2 2 01

x xy x

12

xy

21

xy

3 3x y x y

2 2 1 0x y x y xy

2 2 1 0

x y

x y xy

x y

32

0 03 0

3 3

x yx x

x y


.

- TH2: . Kết hợp với phương trình mà ta cộng vế với vế của 2 phương trình đã cho ta được:

Đặt ta có hệ:

là nghiệm phương trình:

hay


Vậy hệ phương trình đã cho có 5 nghiệm , , ,

.


LOVEBOOK.VN | 96

0;0 , 3; 3 , 3; 3

2 2 1 0x y xy

2 2

3 3

1 0

3

x y xy

x y x y

2

3

1 0

3 3 0

x y xy

x y xy x y x y

x y Sxy P

22

23

1 01 03 3 03 3 0

S PS PS S PS PS S

2

2

2

0

1 0 013 3 0

1 0

S

S P SPS P

S P

,x y

2 0X SX P

2 1 0 1X X

1; 1 , 1;1

0;0 3; 3 , 3; 3 1; 1

1;1


Nhận xét: Vế trái của hai phương trình đều là bậc hai; vế phải là hằng số nên ta có thể nhân chéo hai phương trình đưa về phương trình đẳng cấp.

Ta có:

+ Với không là nghiệm của hệ

+ Với chia hai vế cho ta được:


- Với thay vào (1) ta được vô nghiệm.

- Với ta có: thay vào (1)

hoặc

.


Đặt ( )

Hệ phương trình đã cho có dạng

LOVEBOOK.VN | 97

2 2 21 3 4 4y xy x xy y

2 24 13 3 0x xy y

0 0y x

0y 2y

2

4 13 3 0x xy y

x ty

33

4 13 3 0 14

tt t

t

3 3 3xt x yy

2 12

y

14

t 1 44

x y xy

14

xy

14

xy

1 2 1 2 0x x y y

, .S x y P x y 2 4S P

2 2

2 1

2 2 3

S a

S P a a


Để hệ có nghiệm thì

(*)

Điều kiện (*) là điều kiện có nghiệm của hệ phương trình.

Xét: ta có bảng biến thiên trên đoạn là:

Vậy P đạt giá trị nhỏ nhất khi

.


Hệ đã cho biến đổi thành:

LOVEBOOK.VN | 98

2

2 13 3 22

S a

P a a

2 4S P

2 232 1 4 3 2 02

a a a

22 8 7 0a a

2 22 22 2

a

23 3 22

P xy a a 2 22 ;2

2 2

222

a

2 2

22

54

54

x y xy x y xy

x y xy


Đặt ,

hệ phương trình có dạng:

hoặc

- TH1: Với

- TH2: Với

Vậy nghiệm của hệ phương trình là:

.

LOVEBOOK.VN | 99

2S x yP xy

2

2 3 2

5 54 4

5 1 04 4

S PS P P S

S P S S S

05

4

S

P

123

2

S

P

05

4

S

P

2 3

3

50

43

252

16

xx y

xyy

21 12 23 3

2 2

S x y

P xy

2

3

1 12 3

2 3 0 2

xy xyx x

3 35 25 3; ; 1;4 16 2

3 31 2

94

x x



Dùng máy tính cầm tay nhập biểu thức:

Ấn: SHIFT SOLV gán

Máy luận: … tức là (11,0489 …, 100) là 1 cặp nghiệm của phương trình.

- Nhập tiếp: ấn “=” ta được kết quả là

12,0489…=11,0489…+1 =

- Nhập tiếp: ấn bằng máy hiện 2 ta hiểu:

tại

.

Phương trình (1) của hệ phương trình với

Nhân liên hợp ta có:

Vì trong ngoặc vuông lớn hơn 0 nên thế vào phương trình (2) của hệ ta được:

LOVEBOOK.VN | 100

2 2 4 4 1 1X X Y X Y X

100Y

11,0489

4 1X Y

1x

2 2 4X X Y

2 2 4 2X X Y

11,0489; 100x y

2 2 4 2x x y

4 1 1 0x y x

2 2

2

2 2 1 4 1 01 4 12 4 2

x x y x x x yx x yx x y

2

2

1

2 4 22 0

11 4 1

x x yx x y

x x y

2 2y x x


Đến đây dùng máy tính nhẩm được hoặc .

Vậy .

V. ĐỀ KIỂM TRA CHỦ ĐỀ 3


Thay vào phương trình của 4 đáp án ta thấy đáp án A.



Nhận dạng hệ 3 phương trình bậc nhất 3 ẩn theo công thức:

trong đó mỗi phương trình là 1 phương trình bậc nhất 3 ẩn với các hệ số không đồng thời bằng 0.



Phân tích phương án nhiễu:

B. Sai do tính nhầm

C. Sai do tính nhầm

.

D. Sai do không nhìn ra điều kiện.


có

LOVEBOOK.VN | 101

24 24 35 5 3 2 5 3x x x x

1x 6x

1 2 7x x

1; 2x y

1 1 1 1

2 2 2 2

3 3 3 3

a x b y c z da x b y c z da x b y c z d

1 0 1x x

2 1 0 1x x

2 2 3 6 0x

0

2 3 0

6 0

S

P


Phương trình có 2 nghiệm dương


ĐKXĐ:


ĐKXĐ: . Ta có:

Do đó, và không phải là cặp phương trình tương đương.


+)

Phương trình (1) vô nghiệm.

+) .

ĐKXĐ:

LOVEBOOK.VN | 102

1 01 5

15 3 0x

xx

2x

2

2 02 2

2 4

xx x

x x

01 33

1 33 88

xx

x

2 1 332 48

x x x

2 2x x 22 4x x

2 1 23 3

x xx x

3 0 32 1 2 1x x

x x x

232

xxx

2 0 2x x

0 22

x xx


mà


+)

Phương trình (3) có nghiệm

+)



Tổng tất cả các nghiệm của phương trình là 3.


Phương trình đã cho có 2 hai nghiệm là 1 và 2.

Suy ra và là một trong hai giá trị và 1.

Hai số có tổng bằng và tích bằng

LOVEBOOK.VN | 103

23 0 x x

1 3 1x x x

1 03

3x

xx

3 1 32

x xx

2 0 23 0 3

x xx x

22 3 2 2x x x

2

2

2 3 2 2

2 3 2 2

x x x

x x x

2

2

1 32 4 4 0 1 32 2 0 0

1

xx x xx x x

x

1

2 1x

x 2

1 1x

x 13

43

13


Do đó và là nghiệm của phương trình

.


Điều kiện:



Gọi x là số xe chở được 4 khách và y là số xe chở được 7 khách (x, y nguyên và

)

Ta có hệ phương trình:


ĐKXĐ:

LOVEBOOK.VN | 104

1

2 1x

x 2

2 1x

x

2 24 1 0 3 4 1 03 3

X X X X

x y

43 3 2 3

2 0 23

xx yx y y

0 , 85x y

85 504 7 445 35x y x

x y y

910

x

10 9 2 1x x

2

2 1 0

10 9 4 4 1

x

x x x


(TMĐK)

Vậy .


Thử lại vào phương trình ta thấy thỏa mãn nên là nghiệm.


Đặt .

Khi đó, phương trình ban đầu trở thành .


. Vậy .


ĐKXĐ: .

Với điều kiện trên phương trình tương đương

hoặc .

LOVEBOOK.VN | 105

2

11 2

124 14 10 0 5

2

xx

xx x

x

152

x

x

22 5 291

2 4A

83 5 23 5 2 3

3 5 2 2

x x xx x

x x x

2x 2x

2 3 1, 0t x x t

2 2 2 23 1 3 1t x x x x t

2 1 0t t

4 23 4 0x x

2

2

1 114

x xxx vn

0S

1x

2 1 2 1 1x x x x 2x


Đối chiếu điều kiện ta được phương trình có nghiệm duy nhất .


Ta có .

Do đó, tập nghiệm của phương trình đã cho là .


* Đáp án A. Ta có

Do đó, tập nghiệm của phương trình là .

* Đáp án B. Ta có

.


* Đáp án C. Ta có

LOVEBOOK.VN | 106

2x

20

2 0 12

xx x

x

010;2

S

1 0

2 02 1 01

xxxx x xx

10

01

12

2

xx

xx

x

1 010;2

S S

30

4 0 12

xx x

x

2 01 1;0;2 2

S S

2 222 5 0x x x


(vô nghiệm).


* Đáp án D. Ta có

.



Từ hệ phương trình đã cho ta suy ra


có nghiệm duy nhất khi là nghiệm của phương trình tức là:

.


Nếu Phương trình có vô số nghiệm

Nếu Phương trình vô nghiệm

Nếu và Phương trình có 1 nghiệm duy nhất.

LOVEBOOK.VN | 107

2 22 0 2 05 0 5

x x x xx x

3 0S S

3 2

012 021

x

x x x x

x

2 011;0;2

S S

2 3 4 0 13 1 0 2

x y xx y y

2 3 4 03 1 02 5 0

x yx ymx y m

1; 2 2 5 0mx y m

2 .1 5. 2 0 10m m m

2 24 3 3 2m m x m m

1 0 0m x

3 0 2m x

3m 1m23

mxm



(1)

Với :

Phương trình vô nghiệm

Với Phương trình nghiệm đúng với mọi

Với và :

(1)

Do đó phương trình có nghiệm âm khi và chỉ khi .


Hệ phương trình có vô số nghiệm

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Với ta có hệ hệ vô nghiệm.


LOVEBOOK.VN | 108

22 4 4m x x m

4 4m m x m

0 : 1 0 4m x

4 : 1 0 0 :m x x

0m 4m

1 1, 0 0x mm m

0m

1 11 1 1 1

11 11 1

m m mmm

21 1 11m m m

m

1m

11

x yx y

7 5 314 49 36 0x x x x

6 4 214 49 36 0x x x x


Vậy phương trình đã cho có 7 nghiệm số là: ; .


Gọi A, B, C lần lượt là số học sinh của 3 nhóm A, B, C.

Theo đề ta có


Đặt , (với )

Ta có:

Với


LOVEBOOK.VN | 109

6 4 4 2 213 36 1 0x x x x x x

4 2 2 2 21 13 1 36 1 0x x x x x x

2 4 21 13 36 0x x x x

2 2 21 1 4 9 4 0x x x x x x

1 1 2 2 3 3 0x x x x x x x

0x 1; 2; 3x x x

0 , , 36; , ,A B C A B C

362

2

A B CB AA C B

36 102 12

2 0 14

A B C AB A BA B C C

2 5 28t x x 0t

2 5 24 0t t

3 8 0 8t t t

28 5 28 8t x x

2244 9 97

9x

Tx


ĐK (*)

Với điều kiện (*) ta đặt (1)

Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm thỏa mãn (*)

(**)

Với điều kiện (**), phương trình đã cho trở thành:

Với , ta có:

(1)

Với , ta có:

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt:


LOVEBOOK.VN | 110

2

001 215 0

2

xx

x x x

2 5x xyx

2 1 5 0x y x

001 21

2

xy

x

3 4 0yy

2 14 3 0

3y

y yy

1y

2 1 62 5 0

1 6

xx x

x

3y

2 11 4 5 0

5x

x xx

1 6, 1 6, 1; 5x x x x

2 22 4. 4 1 16 4m m m m


Theo bài ra


có 2 nghiệm phân biệt cùng dương khi



Gọi vận tốc trung bình của Thảo là x (km/h),

Gọi vận tốc trung bình của Châu là (km/h)

LOVEBOOK.VN | 111

104

m

2; 1;0m

2 22 1 0x mx m m

2 2

2

1 0' 00 2 00 1 0

m m m

S mP m m

2

1 00

1 0

mm

m m m

11

0m

mm

4 1; 0m

14 1 04

m m

22 21 2 1 2 1 25 2 5x x x x x x

2 22 3 2 2 2 5m m m

20

2 8 04

m nm m

m l

0x

3x


Thời gian Thảo đi từ A đến B là (h)

Thời gian Châu đi từ A đến B là (h)

Ta có phương trình:

Vậy Vận tốc trung bình của Châu là 15km/h, của Thảo là 12km/h.


Gọi A, B, C lần lượt là số đo 3 góc của tam giác ( ), đơn vị độ.

Không mất tính tổng quát ta giả sử

Theo đề ta có

hoặc

hoặc

hoặc


Đặt ( )

(1) thành (2)

Phương trình (1) vô nghiệm

LOVEBOOK.VN | 112

30x

303x

30 30 13 2x x

212

3 180 015

x nx x

x l

0 , , 180A B C

A B

180

2

A B CA BC A

180

2

A B CA BA C

1800

2 0

A B CA B

A C

1800

2 0

A B CA BC A

454590

ABC

727236

ABC

2t x 0t

2 0at bt c


phương trình (2) vô nghiệm hoặc phương trình (2) có 2 nghiệm cùng âm

hoặc


+ Nếu thì phương trình trở thành

Kết hợp với có nghiệm

+ Nếu thì phương trình trở thành

Kết hợp với ta có phương trình vô nghiệm.

Kết luận phương trình có nghiệm


ĐKXĐ:

LOVEBOOK.VN | 113

0

000

SP

2 1 3 4 2 1 4 3x x x x

2 22 1 16 8 3 3x x x

2 24 4 1 16 8 3 6 9x x x x x

23 10 24 8 3x x x

3x 23 10 24 8 3x x x

2 23 18 48 0

8x

x xx

3x

28

xx

3x 23 10 24 8 3x x x

20

3 2 0 23

xx x

x

3x

2; 8x x

1 0 11 0 1

0 0

x xx x

x x


Với điều kiện trên ta có:

Vậy phương trình có 2 nghiệm



Điều kiện: .

(2), phương trình luôn có nghiệm là và

, để phương trình (1) có duy nhất 1 nghiệm thì


LOVEBOOK.VN | 114

1 1 131 1 1 0

1 211 1 1

x x xx x x

x x x

1 1 1 3 0

1 1 2x x

x x x x x x

2 225 1 2 1 2 1 0x x x

2 39 0

3x

xx

3; 3x x

2

2

12 131

xx mxmxx

000

33 1

mmmm

m

2 0 2x x

21 2 3 6 0x m x m 3x

2x m 2 2m 1m

2; 1;0;1m

2 24 3 4.2. 1 2 4 1m m m


. Phương trình đã cho có 3 nghiệm thuộc đoạn khi

phương trình (2) có hai nghiệm thuộc đoạn và khác

.

Không có giá trị nguyên nào của m thỏa mãn.


Để phương trình có hai nghiệm . (*)

Theo định lí Viet, ta có

Khi đó

LOVEBOOK.VN | 115

22 22 2 4 3 2 1 2 0x x m x x m

2

2

12 12

2 2 1 2

x x

x x m

2 11 2 02

x x

2 6 3;02

2 6 3;02

x

x

22 1 2x m 3;0

3;02 6

2

02 013 1 2 02

3 1 2 0 2

mm

m m

m m

102

m

2 2 2' 1 2 3 1m m m m m

' 0 0 1m

1 2

21 2

2 1

. 2 3 1

x x m

x x m m

1 2 1 2P x x x x


Vì

.

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi : thỏa mãn (*).


Đồ thị như hình vẽ:

LOVEBOOK.VN | 116

22 1 2 3 1m m m

22 1 1 92 2

2 2 4 16mm m

1 1 30 14 4 4

m m

1 904 16

m

21 9 04 16

m

29 1 9 016 4 16

m

21 9 904 16 16

m

2 21 9 9 12 24 16 16 4

P m m

29 1 928 4 8

m

14

m

y f x



Với

hệ có nghiệm duy nhất

Ta có


LOVEBOOK.VN | 117

4;4 m f x x

2 2;3;4;5m m

2 3

5 2 3m m

Dm

23 26 1

5 2 3x

m mD m

m

2 3 3 25 1

5 5y

m mD m

1

1 4 9 0 94

mm m

m

6 14 9

54 9

mx

m

ym

2 3 27x y

12 1 15 274 9 4 9

mm m

4 1 5 9 4 9 2m m m


Vì c, d là hai nghiệm của phương trình suy ra .

Vì a, b là hai nghiệm của phương trình suy ra .

Khi đó, ta có hệ

.

Lại có

.

- Với thì từ : mâu thuẫn giả thiết.

- Với thì từ và từ .

Ta có:

.

Khi đó


Ta có

Xét (1), ta có:

LOVEBOOK.VN | 118

2 0x ax b c d a

2 0x cx d a b c

c d a a c db d

a b c a c b

2

2

0

0

c ac b

a ca d

2 2 2 20a c

c a b d a ca c

a c 0c d a d

a c 2c d a d c 2a b c b c

2 0c ac b

20

2 2 01 /

c lc c

c t m

S a b c d

2 2 2 2.1 2c c c c c

2 1 1mx x x

2 1 12 1 1

mx x xmx x x

1 0 1

3 2 2

m x

m x


+ thì phương trình nghiệm đúng với mọi .

+ thì có nghiệm .

Xét (2), ta có:

+ thì phương trình vô nghiệm.

+ thì phương trình có nghiệm .

Vì nên phương trình có hai nghiệm, phân biệt là

khi và .

Mà và

có 9 giá trị m.


ĐKXĐ:

Đặt

.

Với mỗi t thỏa mãn thì (*) có hai nghiệm x phân biệt.

Mặt khác phương trình đã cho trở thành: (**)

k

LOVEBOOK.VN | 119

1m x

1m 0x

3m

3m2

3x

m

2 0, 33

mm

0,x

23

xm

1m 3m

5;5m m

5; 4; 2;0;1;2;3;4;5m

1x

2

1x t

x

2 2

1 1 00 * 4 t

x t tx tx t t t

00

4t

tt

2 2 0t t m 21 1t m

1

1 1 0

1 1

m

t m

t m


Phương trình đã cho có đúng 4 nghiệm khi và chỉ khi (**) có hai nghiệm t phân biệt thỏa điều kiện

hay

Có vô số giá trị m


ĐK:

(t/m)

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất


+ Đặt . Khi đó ta có:

LOVEBOOK.VN | 120

0t

1

1 1 0

1 1 4

m

m

m

10 1

1 124

1 25

mm

mm

m

0x

3 37 1 7 1x x x x

37 3 3 1x x x x

3 2 3 6 0x x x

3 21 2 2 3 3 0x x x

21 3 6 0x x x

23 151 0

2 4x x

1 1x x

1x

3

3

12

4

u x

v x


.

+ Sử dụng định lí Viet đảo hoặc phương pháp thế ta được:

+ Vì vai trò của u, v như nhau nên ta chỉ cần xét ta có:


Điều kiện: (*)

Ta thấy thỏa mãn điều kiện (*)

Nếu thì

(*) .

Do đó điều kiện xác định của phương trình là hoặc .

Thay và vào phương trình thấy chỉ có thỏa mãn.

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất.


LOVEBOOK.VN | 121

3 3 2 2

2 2

16 8

u v u v

u v u uv v

2224

3 83

u vu v

uvu v uv

3 213

3 213

u

v

3 213

u

72 16 21 36 16 21129 9

x x

23 5 3 0

3 5 0

x x

x

3x

3x

55 3 0 533 5 0 5 3

3

xxx

x x

3x 53

x

3x 53

x 3x


Hệ phương trình tương đương với

Đặt , hệ phương trình đã cho trở thành.

Với ta có

Với ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm là và .


Điều kiện:

Hệ

LOVEBOOK.VN | 122

2 23 3 3 3 0

2 3 3 3 3 0

x y x y x y x y

x y x y x y x y

33

x y ax y b

2 2 2 20 2 02 0 2 0a b a b a b ab

ab a b ab a b

2

00

12 2 01

a ba b a b

aa ba a

a

0a b

3 0 03 0 0

x y xx y y

1a b

23 1 5

3 1 15

xx yx y y

;x y 0;02 1;5 5

, 0x y

3 2

3 2

2 3

2 3

x x y

y y x

2 32 0x y xy x y

2 22 3 2 0x y x xy y


(Do

)

Thay vào hệ ta được:

.

Vậy hệ có nghiệm: .


Ta thấy không là nghiệm của hệ nên ta biến đổi hệ trở thành

Đặt ta có hệ:

* .

LOVEBOOK.VN | 123

x y

2 22 3 2x xy y

223 72 0 , 0

4 8 x y y x y

33 3 1x x y

1x y

0x

3 3

26

1 12 2 6

1 2 5

y yx x

yx

3

12 , , 0a y b abx

2 2

2

66

5 2 5

a bab a bab

a b a b ab

3 3 2 2

62

32 5 36 0

a b abab

a ba b a b

1 22 1

a ab b

3

11 2

122

yab x


* .

Vậy hệ đã cho có hai cặp nghiệm:

LOVEBOOK.VN | 124

2 11 1

a yb x

3

1 1; 1,1 , ;22

x y

· web viewchủ đề 3: phương trình - hệ phương trình chủ đề 3: phương trình -...

Documents