dwipurnomoikipbu.files.wordpress.com · web viewbab iv jumlah dan selisih dua sudut 4.1 jumlah dua...
TRANSCRIPT
BAB IV
JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT
4.1 Jumlah Dua Sudut
Gambar 4.1
Pada gambar 4,1 di atas, Δ ABC adalah segitiga yang salah satu sudutnya
adalah θ dan sudut tersebut siku-siku. Karena ∠CBA=θ dan misal
AB=x , BC= y , dan AC=r , sehingga berdasarkan Δ ABC diperoleh enam
perbandingan panjang sisi suatu segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku.
Perbandingan dimaksud sesuai dengan gambar 4.1 adalah:
BCAC
, ABAC
, BCAB
, ABBC
ACAB
, ACBC
.
Keenam perbandingan tersebut dinamakan perbandingan goniometri. Karena
AB=x , BC= y , AC=r dan ∠ BAC=θ maka perbandingan goniometri di atas
dapat dinyatakan dalam bentuk yang lain yaitu:
1.
BCAC
= yr=sinθ
2.
ABAC
= xr=cosθ
Trigonometri:Dwi Purnomo
1
C
yry
θB x A
3.
BCAB
=
BCACABAC
=
yrxr
= yx=sin θ
cosθ= tanθ
4.
ABBC
=
ABACBCAC
=
xryr
= xy=cos x
sin x=cotθ
5.
ACAB
= 1ABAC
= 1xr
= rx= 1
cos θ=secθ
6.
ACBC
= 1BCAC
= 1y /r
= ry= 1
sin θ=cscθ
Menurut teorema Pyathagoras jika suatu Δ ABC salah satu sudutnya siku-siku,
maka berlaku:
AB2 + BC 2 = AC 2
⇔ x2 + y2 = r2
Selanjutnya secara berurutan persamaan x2 + y2 = r2
dibagi x2 , y2 , r2
diperoleh
persamaan baru
1.
x2
r 2 + y2
r2 = r2
r2
⇔(xr )
2+ ( y
r )2= 1
⇔ (cos θ )2 + (sin θ )2= 1⇔ cos2θ+ sin2 θ = 1 ⋯⋯⋯(1)
2.
x2
x2 + y2
x2 = r2
x2
Trigonometri:Dwi Purnomo
2
l
k
m
O
U
P Q
S T
⇔1 + ( yx )
2= (r
x )2
⇔ 1+ ( tan θ )2 = (sec θ )2
⇔ 1+ tan2θ = sec2θ ⋯⋯⋯(2 )
3.
x2
y2 + y2
y2 = r 2
y2
⇔(xy )
2+ 12 = (ry )
2
⇔ (cot θ )2 + 1= (csc θ )2
⇔ cot2 θ+ 1 = csc2θ ⋯⋯⋯(3 ) Persamaan (1), (2), dan (3) dinamakan rumus-rumus identitas.
Berdasarkan perbandingan giniometri yang telah disebutkan di atas dapat
dibuat beberapa rumus tentang jumlah dua sudut. Rumus-rumus jumlah dua sudut
dapat dapat dijelaskan dengan menggunakan gambar berikut ini.
Cara I
Perhatikan gambar berikut ini.
Gambar 4.2
Trigonometri:Dwi Purnomo
3
Pada gambar 4.2 di atas terdapat 4 segitiga dan masing-masing adalah
siku-siku, yaitu ΔQOT , ΔTSU , ΔOTU , dan ΔOPU dan diketahui
∠ QOT = α , ∠ TOU =β . ΔQOT ≈ ΔTSU sehingga ∠ SUT =α
Berdasarkan ΔOPU diperoleh perbandingan panjang sisi
sin∠POU = UPOU dengan UP = PS + SU
Karena ΔQOT ≈ ΔTSU maka SU = UT cos α
Karena PS = QT dan karena ΔOQT siku-siku di ∠TQU maka OQ = OT cos α
dan QT = OT sin α
Karena ΔOTU siku-siku di ∠OTU maka OT = OU cos β dan UT = OU sin β
Karena ∠POU = α +β
sin∠POU = UPOU
⇔sin (α+β )= UPOU
= PS+SU
OU
=QT +SU
OU
=OT sin α + UT cos α
OU
=OU cos β sin α + OU sin β cos α
OU .
Sehingga diperoleh rumus sin( α+β )=sin α cos β+ sin β cos α ............ (4)
Dengan cara yang sama diperoleh:
cos∠POU = OPOU , OP = OQ – PQ
Karena ΔQOT ≈ ΔTSU maka SU = UT cos α
Karena PQ = ST dan karena ΔUST siku-siku di ∠TSU maka ST = SU sin α
Karena ΔOTU siku-siku di ∠OTU maka OT = OU cos β dan UT = OU sin β
Trigonometri:Dwi Purnomo
4
Karena ΔOQT siku-siku di ∠TQU maka OQ = OT cos α dan QT = OT sin α
Karena ∠POU = α +β
cos∠POU = UPOU
⇔cos (α +β )= OPOU
=OQ−PQ
OU
=OQ −ST
OU
=OT cos α − UT sin α
OU
=OU cos β cos α − OU sin β sin α
OU
Sehingga diperoleh rumus cos (α+β )=cos α cos β− sin α sin β ............ (5)
Karena tan α=sin α
cosα
Maka
tan (α+ β )=sin (α +β )cos(α +β )
Sehingga menurut (4) dan (5)
tan (α+ β )= sin α cos β+cos α sin βcosα cos β−sin α sin β
Persamaan di atas dibagi dengan cos α cos β , diperoleh:
=
sin α cos βcos α cos β
+cos α sin βcos α cos β
cos α cos βcos α cos β
−sin α sin βcos α cos β
Trigonometri:Dwi Purnomo
5
A
B
O GE
H F
D
X'X
=
sin αcos α
+sin βcos β
1 − sin α cos βcos α cos β
= tan α + tan β
1 − tan α tan β
Sehingga tan(α+β )=tan α + tan β
1 − tan α tan β .................... (6)
Cara II
Gambar 4.3
Pada gambar 4.3 di atas sudut-sudut α , β adalah sudut lancip, sedangkan α +β
adalah sudut tumpul.
Selanjutnya pada gambar 4.3 di atas, ∠XOA=α dan ∠ AOB=β . Kemudian
dilukis garis-garis FG⊥OX dan DE⊥OX ' serta garis-garis DF⊥OA dan
FH ⊥DE .
Pandang Δ DFO dan Δ FGO , Jika OD=p
Pada Δ DFO diperoleh sin β= DF
OD sehingga DF=p sin β demikian pula
Trigonometri:Dwi Purnomo
6
cos β= OFOD sehinggaOF=p cos β
Pandang Δ FGO
Pada Δ FGOsin α= FG
OF sehingga FG=OF sin α=p cos β sin α
Demikian pula cos α=OG
OF sehingga OG=OF cosα=p cos β cosα
Dengan cara yang sama pada Δ DHF diperoleh
DH=p sin β cos α dan FH=p sin β sin α
Sehinggasin( α+β )= DE
OD=DH +FG
OD= p sin β cos α+ p cos β sin α
p
=sin α cos β+cosα sin β …………………….(7)
cos (α+β )=−OEOD
=OG−FHOD
= p cos β cosα− p sin β sin αp
=cosα cos β−sin α sin β …………………….(8)
Sehingga menurut (7) dan (8)
tan (α+ β )= sin α cos β+cos α sin βcosα cos β−sin α sin β
Persamaan di atas dibagi dengan cos α cos β , diperoleh:
=
sin α cos βcos α cos β
+cos α sin βcos α cos β
cos α cos βcos α cos β
−sin α sin βcos α cos β
=
sin αcos α
+sin βcos β
1 − sin α cos βcos α cos β
= tan α + tan β
1 − tan α tan β
Trigonometri:Dwi Purnomo
7
X
B
A
O E F
C
D G
Sehingga tan (α+β )= tan α + tan β
1 − tan α tan β .................... (9)
4.2 Rumus Pengurangan Sudut
Gambar 4.4
Perhatikan gambar 4.4 di atas.
Misal ∠XOA=α , ∠ AOB=β , sehingga ∠XOB=(α−β )
Misal C adalah titik pada OB Selanjutnya dibuat garis dengan ketentuan
CD⊥OA , CF⊥OX , DE⊥OX dan DG⊥FC sehingga ∠DCG=α .
Jika OC=p maka dalam ΔCDO diperoleh
sin β=CDOC
=CDp atau CD=p sin β
cos β=ODOC
=ODp atau OD=p sin β
Demikian pula dalam Δ DEO
sin α= DEOD atau DE=OD sin α
=p sin β sin α
Trigonometri:Dwi Purnomo
8
cos α= OEOD atau OE=OD cosα
=p sin β cosα
Dalam ΔCDG
sin α= DGDC atau DG=DC sin α
cos α= CGDC atau CG=cos α
Dengan demikian diperoleh
DG=p sin α sin β
CG=pcosα sin β
Sehingga
sin∠BOX= CFOC
=FG−CGOC
= DE−CDOC
Atau
sin( α− β )= p sin α cos β−p cosα sin βp
=sin α cos β−cos α sin β
cos∠BOX=OFOC
=OE+ EFOC
=OE+DGOC
Atau
cos (α−β )= p cosα cos β−p sin α sin βp
=cosα cos β−sin α sin β
Berdasarkan kesamaan di atas, diperoleh
tan (α −β ) =sin (α −β )cos (α −β )
=sin α cos β − cos α sin β
cos α cos β + sin α sin β
Persamaan di atas dibagi dengan cos α cos β , diperoleh:
Trigonometri:Dwi Purnomo
9
=
sin α cos βcos α cos β
−cos α sin βcos α cos β
cos α cos βcos α cos β
+sin α sin βcos α cos β
=
sin αcos α
−sin βcos β
1 + sin α cos βcos α cos β
=tan α − tan β
1 + tan α tan β
Sehingga tan (α−β )=tan α − tan β
1 + tan α tan β ..................
Contoh soal
1) Buktikan dengan menggunakan rumus yang sesuai
a) cos (900+α )=−sin α
Bukti
Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut diperoleh
cos (α+β )=cos α cos β−sin α sin β
Sehingga
cos (90o+α )=cos90o cosα−sin 900 sin α
=0 cosα−1. sin α
=−sin α
b) sin( 90+α )=cos α
Bukti
Menurut rumus sinus jumlah dua sudut diperoleh
sin( α+β )=sin cε os β+cosα sin β
Sehingga
sin( 90o+α )=sin 90o cosα +cos900 sin α
=1 . cosα−0 . sin α=cosα
Trigonometri:Dwi Purnomo
10
2)
Diketahui α dan β adalah sudut lancip dengan cos α= 5
12,dan
sin β=35
, Hitunglah
sin( α+β )dan cos (α+β )
Jawab
Menurut rumus sinus jumlah diperoleh
sin( α+β )=sin α cos β+cos α sin β
Karena cos α= 5
12,maka sin2 α=1−cos2 α
atau sin α=±√1−cos2 α=±√1−( 5
12 )2= 1
12 √119
Demikian pula, karena sin β=3
5,
maka cos β=±√1−sin2 β=±√1−( 3
5 )2=±4
5sehingga
sin( α+β )=sin α cos β+cos α sin β
⇔sin (α+β )=( 112 √119)( 4
5 )+( 512 )(3
5 )= 115 √119+ 1
4Dengan cara yang sama diperoleh
cos (α+β )=cos α cos β−sin α cos βsehingga
cos (α+β )=cos α cos β−sin α sin β
⇔cos (α +β )=( 512 )( 4
5 )−( 112 √119)( 3
5 )=13− 1
120 √119
Latihan soal
1) Mudahkanlah dengan cara yang sesuai
a) sin( 90o−α ) f )sin(180o+α ) k )sin(270o+α )
b) cos (90o−α) g )sin(180o−α ) l ) tan (180o−α )
c) tan(90o−α ) h )sin (2700+α ) m)cos (270o−α )
d) tan(270o−α ) i)cos(180o+α ) n )sin (270o+α )
Trigonometri:Dwi Purnomo
11
e) sin(270−α ) j )cos (270o+α ) o )cos(270+α )
2)Tunjukkan bahwatan(90o+α )=−cot α
3)
Diketahui α dan β adalah sudut lancip dengan cos α= 5
12,dan
sin β= 35
,
Hitunglah
a) sin( α−β )
b) cos (α−β )
c) sin( β−α )
d) cos ( β−α )
4) Buktikan
1)cot( α+β )=cot α cot β−1
cot α+cot β
2)tan α+ tan β=
sin (α +β )cosα cos β
3)cot α−cot β=
sin( β−α )sin α sin β
5) Buktikan kesamaan berikut ini
a)tan(450+α )=cosα+sin α
sosα−sin α
b) sin( α+β )+sin (α−β )=2 sin α cos β
c) cos (α+β )+cos( α−β )=2 cosα cos β
d) cos (1500+α )−cos (180−α )=−sin α
e)
tan α+ tan βtan α− tan β
=sin (α+β )sin (α−β )
f)
sin( α− β )sin α sin β
+sin( β−γ )sin β sin γ
+sin( γ−α )sin γ sin α
=0
6) Uraikanlah dan sederhanakan!
a) sin ((α+β )+γ )
Trigonometri:Dwi Purnomo
12
b) cos ((α+ β )+γ )
c) cos ((α−β )+γ )
d) sin ((α−β )−γ )
4.3 Rumus tentang Sudut Kembar dan Sudut Pertengahan
Sebagaimana telah dijelaskan dalam rumus sinus jumlah dua sudut yang
telah dijelaskan dalam pasal 4.1
sin (α+β )=sin α cos β+cos α sin β
Jika
α=β maka rumus di atas menjadi
sin (α+α )=sin 2 α=sin α cos α+cos α sin α=2 sin α cosα
Dengan cara yang sama diperoleh
sin α=sin ( α2
+ α2 )=sin(α
2 )cos( α2 )+cos ( α
2 )sin (α2 )=2 sin( α
2 )cos (α2 )
sin 3 α=sin (3 α2
+ 3 α2 )=sin ( 3 α
2 )cos ( 3 α2 )+cos ( 3 α
2 )sin (3 α2 )=2sin (3 α
2 )cos (3 α2 )
sin 4 α=sin(2α +2 α )=sin 2α cos2α+cos2α sin 2α=2sin 2α cos2α
Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk umum:
sin nα=2 sin( nα2 )cos( nα
2 )Selanjutnya menurut rumus cosinus jumlah dua sudut yang telah
dijelaskan pada pasal 4.1
cos (α+ β )=cos α cos β−sin α sin β
Trigonometri:Dwi Purnomo
13
Jika
α=β maka rumus di atas menjadi
cos (α+α )=cos 2α=cos α cos α−sin α sin α=cos2 α−sin2 α
Karena
cos2 α+sin2α=1
Maka
cos2 α=cos2 α−(1−cos2 α )=2cos2 α−1
Atau
cos2α=(1−sin2 α )−sin2 α=1−2 sin2 α
Dengan cara yang sama diperoleh
cos α=2cos2( α2 )−1 atau cos α=1−2 sin2( α
2 )cos 3 α=2cos2( 3 α
2 )−1 atau cos3 α=1−2 sin2( 3 α2 )
cos 4 α=2 cos2 (2α )−1 atau cos 4 α=1−2sin2 (2α )
Sehingga secara umum dapat ditulis dalam bentuk:
cos nα=2cos2( nα2 )−1 atau cosnα=1−2sin2( nα
2 )dan seterusnya.
Demikian pula untuk rumus tangen jumlah dua sudut, diperoleh
Trigonometri:Dwi Purnomo
14
tan ( α+β )= tan α+ tan β1− tan α tan β
Jika
α=β maka rumus di atas menjadi
tan(α+α )= tan2 α= tan α+ tan α1− tan α tan α
= 2 tan α1−tan2α
Dengan cara yang sama diperoleh
tan α=tan( α2+ α
2 )=tan(α
2 )+ tan( α2 )
1−tan2(α2 )
=2 tan(α
2 )1− tan2( α
2 )
tan 3 α=tan( 3 α2
+ 3 α2 )=
tan( 3 α2 )+ tan( 3α
2 )1−tan2( 3 α
2 )=
2 tan( 3 α2 )
1−tan2( 3 α2 )
tan 4α=tan (2 α+2α )=tan (2α )+ tan (2 α )1−tan2 (2 α )
dan seterusnya
Dengan menggunakan rumus-rumus di atas, selanjutnya dapat ditentukan rumus
setengah sudut jika cosinusnya sudut tersebut diketahui, misalnya:
cos α=1−2 sin2( α2 )
⇔2 sin2( α2 )=1−cos α
⇔sin2( α2 )=1−cos α
2
Trigonometri:Dwi Purnomo
15
⇔sin ( α2 )=±√ 1−cosα
2
Dengan cara yang sama diperoleh
cos α=2cos2( α2 )−1
⇔2 cos2(α2 )=1+cos α
⇔cos2( α2 )=1+cos α
2
⇔cos (α2 )=±√ 1−cos α
2
Selanjutnya dapat dibuktikan beberapa rumus berikut.
sec α=±√1+ tan2 α
cos α=± 1√1+ tan2 α
sin α=±tan α√1+ tan2 α
sin 2α= 2 tan α1+ tan2α
cos2 α=1−tan2 α1+ tan2 α
Soal-soal
1)Diketahui
cos 450=12 √2
Trigonometri:Dwi Purnomo
16
Hitunglah perbandingan-perbandingan goniometri sudut tersebut dan sudut
220 30 '
2)Diketahui
tan α2=p
Tentukan nilai dari
cos α
3)Hitunglah
cos α
Jika diketahui
tan(α2 )=1−t
4)Hitunglah
sin α
Jika diketahui
tan( α2 )=1+t
Jawab
Menurut rumus identitas
1+ tan2 α=sec2 α
Sehingga
1+ tan2( α2 )=sec2 ( α
2 )⇔1+(1+t )2=sec2( α
2 )⇔cos2( α
2 )= 11+1+2 t+t2 atau cosα=√ 1
2+2 t+ t2
Trigonometri:Dwi Purnomo
17
Menurut rumus identitas yang lain
cos2( α2 )+sin2 ( α
2 )=1
5)Buktikan bahwa
cos2 α1+cos2 α
=cot α−tan α2 cot α
Jawab
cos2 α1+cos2 α
=cot α− tan α2 cot α
⇔cos 2 α1+cos2α
=cos2 α−sin2α1+(cos2−sin2α )
⇔cos 2 α1+cos2α
=cos2 α−sin2 α(sin2α+cos2 α )+(cos2−sin2α )
⇔cos 2α1+cos2α
=cos2 α−sin2 α2cos2 α
⇔cos 2 α1+cos2 α
=cosα−sin α (sin α
cos α )2 cosα
⇔cos 2 α1+cos2α
=(cosαsin α )−(sin α
cosα )2(cos α
sin α )⇔cos 2 α
1+cos2 α=cot α−tan α
2 cot α6)
Buktikan bahwa
tan( α2 )=sin α
1+cosα=1−cosα
sin α
7)Jika diketahui
Trigonometri:Dwi Purnomo
18
cos α
Hitunglah tan α
2=2 p
4.4 Perubahan Jumlah atau Selisih Sudut Menjadi Hasil Perkalain Sudut
1) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:
cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y
cos ( x+ y )+cos( x− y )=2cos x cos y +
Atau
cos x cos y=12 (cos ( x+ y )+cos ( x− y ))
Jika
( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x= 1
2( A+B )
dan y= 1
2( A−B )
cos A+cosB=2cos 12
( A+B ) cos 12
( A−B )
2) Menurut rumus cosinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:
cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y
cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2 sin x sin y -
Atau
Trigonometri:Dwi Purnomo
19
sin xsin y=−12 (cos( x+ y )−cos(x− y ))
Jika
( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x= 1
2( A+B )
dan y= 1
2( A−B )
cos A−cos B=−2sin 12
( A+B ) sin 12
( A−B )
3) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan cosinus selisih sudut diperoleh:
sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y
sin( x+ y )+sin( x− y )=2sin x cos y +
Atau
sin xcos y=12 (sin( x+ y )+sin ( x− y ))
Jika
( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x= 1
2( A+B )
dan y= 1
2( A−B )
sehingga diperoleh
sin A+sin B=2 sin 12
( A+B ) cos 12
( A−B )
4) Menurut rumus sinus jumlah dua sudut dan sinus selisih sudut diperoleh:
Trigonometri:Dwi Purnomo
20
sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y
sin( x+ y )−sin( x− y )=2cos x sin y -
Atau
cos x sin y=12 (sin( x+ y )−sin( x− y ))
Jika
( x+ y )=A dan ( x− y )=B maka diperoleh x=1
2( A+B )
dan y=1
2( A−B )
sehingga diperoleh
sin A−sin B=2 cos 12
( A+B )sin 12
( A−B )
Soal-soal
1)Ubahlah jumlah atau selisih berikut ini menjadi suatu perkalian dan jika
mungkin mudahkan
sin 330+sin 230
sin 330+sin 230
sin 330+sin 230
sin 330+sin 230
2. Buktikan kesamaan-kesamaan berikut ini.
Trigonometri:Dwi Purnomo
21
a)
sin α +sin βsin α−sin β
=tan 1
2(α +β )
tan 12(α−β )
b)
cos α+cos βcos α−cos β
=−cot (α+β )
tan 12(α−β )
c)
sin α +sin βcos α−cos β
=tan 12(α+β )
d)
sin α−sin βcos α−cos β
=−cot 12(α+β )
e) (sin α+sin β )(sin α−sin β )=sin (α+β )sin (α−β )
f) (cos α+cos β )( cosα−cos β )=sin(α +β )sin(α−β )
g)(sin α+2sin 2 α+sin 3 α )=4 sin 2α cos2 ( α
2 )
4.5 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah Sudutnya dan
Perbandingan Sinus-sinus Sudut
Misal dalam suatu segitiga diketahui
sin xsin y
= pq
dan x+ y=α
Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru
sin xsin y
+1
sin xsin y
−1=
pq
+1
pq−1
Trigonometri:Dwi Purnomo
22
⇔
sin x+sin ysin ysin x−sin ysin y
=
p+qq
p−qq
⇔sin x+sin ysin x−sin y
= p+qp−q
⇔2 sin 1
2( x+ y ) cos 1
2( x− y )
2 cos 12
( x+ y ) sin 12
( x− y )= p+q
p−q
Jika ruas kiri dibagi dengan
2 cos 12
( x+ y )cos 12
cos 12
( x− y )
Diperoleh
tan 12
( x+ y )
tan 12
( x− y )= p+q
p−q
⇔ tan 12
(x− y )=p−qp+q
tan 12
( x+ y )
↔ tan 12
( x− y )=p−qp+q
tan(α2 )Sehingga x− y dapat dihitung jika x+ y diketahui, demikian pula x dan y dapat
diketahui.
Contoh soal
1) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui
a. x+ y=1500,sin x :sin y=1: 2
Jawab
Berdasarkan soal tersebut di atas dapat diketahui x+ y=α=1500
Trigonometri:Dwi Purnomo
23
sin xsin y
=12
, sehingga diperoleh p=1 , q=2
Sehingga
tan 12
( x− y )= p−qp+q
tan( α2 )
⇔ tan 12
(x− y )=1−21+2
tan(1500
2 )⇔ tan 1
2(x− y )=−1
3tan 750
⇔ tan 12
(x− y )=−tan 750
3
4.6 Menghitung Dua Sudut, Jika Diketahui Jumlah dan Perbandingan
Tangen-tangen Sudutnnya.
Misal dalam suatu segitiga diketahui
tan xtan y
= pq
dan x+ y=α
Dari persamaan di atas dapat dibuat persamaan baru
tan xtan y
+1
tan xtan y
−1=
pq+1
pq−1
⇔
tan x+ tan ytan ytan x− tan ytan y
=
p+qq
p−qq
⇔ tan x+ tan ytan x−tan y
= p+qp−q
Trigonometri:Dwi Purnomo
24
⇔sin x cos y+sin y cos ysin x cos y−sin y cos x
= p+qp−q
⇔sin ( x+ y )sin ( x− y )
=sin αsin( x− y )
= p+qp−q
Sehingga x− y dapat dihitung jika x+ y diketahui, demikian pula x dan y dapat
diketahui.
Contoh
1) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax + y=500 dan
tan x :tan y=5 :11Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui α=500 dan
pq= 5
11
Sehingga
⇔ tan x+ tan ytan x−tan y
=5+115−11
⇔sin x cos y+sin y cos ysin x cos y−sin y cos x
=16−6
⇔sin ( x+ y )sin ( x− y )
=sin 500
sin( x− y )=16
−6
⇔sin ( x− y )=−166
sin 500
⇔( x− y )= .. ..
Karena x + y=500 dan x− y=.. .
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh x=. .. . dan y=. . ..
4.7 Merubah Jumlah atau Selisih Menjadi suatu Hasil Perkalian
Berdasarkan rumus jumlah dan selisih sinus dua sudut diperoleh
Trigonometri:Dwi Purnomo
25
sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y______________________________−sin( x+ y )−sin( x− y )=2cos x sin y Sehingga diperoleh
2 cos x sin y=sin( x+ y )−sin ( x− y )
Selanjutnya
sin( x+ y )=sin xcos y+cos x sin ysin( x− y )=sin x cos y−cos x sin y______________________________+sin( x+ y )+sin( x− y )=2sin x cos y Sehingga diperoleh
2 sin xcos y=sin( x+ y )+sin( x− y )
Sedangkan berdasarkan rumus jumlah dan selisih cosinus dua sudut diperoleh
cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y______________________________−cos ( x+ y )−cos ( x− y )=−2 sin x sin y Sehingga diperoleh
−2 sin x sin y=cos( x+ y )−cos( x− y )
Selanjutnya
cos ( x+ y )=cos x cos y−sin x sin ycos ( x− y )=cos xcos y+sin x sin y______________________________+cos ( x+ y )+cos( x− y )=2cos x cos y Sehingga diperoleh
2 cos xcos y=cos ( x+ y )+cos( x− y )
Berdasarkan rumus-rumus perkalian yang dapat diaubah menjadi rumus
penjumlahan tersebut dapat ditentukan ukuran dua sudut, misalnya x dan y jika
hasil perkalian dua sudut tersebut diketahui.
Misal x+ y=p dan sin x . sin y=p
Trigonometri:Dwi Purnomo
26
Berdasarkan pemisalan di atas
2 sin x . sin y=2 p
Karena 2 sin x sin y=cos ( x− y )−cos (x+ y )maka
cos ( x− y )−cos( x+ y )=cos( x− y )−cos α=2 p
Sehingga ( x− y )dapat dihitung, Karena ( x+ y ) diketahui.
Dengan cara yang sama dapat ditentukan besarnya dua sudut x dan y jika
perkalian cosinusnya diketahui, demikian pula yang diketahui perkalin sinus dan
cosinus, serta diketahui perkalian cosinus dan sinusnya.
Contoh
1) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax + y=600 dan
sin x sin y=0,2Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui α=600 dan sin x sin y=0,2
Sehingga
2 sin x sin y=cos ( x− y )−cos (x+ y )=cos( x− y )−cosα=2 p
⇔2(0,2 )=cos ( x− y )−cos600
⇔cos ( x− y )=0 ,400+0 , 500
⇔cos( x− y )=0 , 900
⇔( x− y )=0 , 900
Karena x + y=600 dan x− y=.. .
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh x=. .. . dan y=. . ..
2) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax − y=100 dan
cos x cos y=0,4Jawab
Berdasarkan soal diatas diketahui x− y=α=100 dan cos x cos y=0,4
Sehingga
2 cos xcos y=cos ( x+ y )+cos( x− y )=cos ( x+ y )−cosα=2 p
⇔2(0,4 )=cos( x+ y )+cos100
Trigonometri:Dwi Purnomo
27
⇔cos ( x+ y )=0 ,800+cos100
⇔cos ( x+ y )=. . .. ..
⇔( x− y )= .. .. .
Karena x − y=100 dan x+ y=. ..
Akhirnya dengan metode substitusi diperoleh x=. .. . dan y=. . ..
4.8 Soal-soal
1) Buktikan kesamaan
a) sin α cos( β−α)+cos α sin( β−α )=sin β .
b) (sec x−1 )(sec+1)= tan2 x
c)(1+sin x )(1−sin x )= 1
sec2 x
d) sec x−sin xcos x=cos x
e)
sec2 x−1sec2 x
= sin2 x
f)sin2 x + 1
sec2 x=1
g) cos3 y=4 cos3 y−3cos y
h) sin 4 s=8 sin scos3 s−4 sin s coss
i) (1+cos x )(1−cos x )=sin2 x
j)
sin pcos p
+ cos psec p
=1
k) (1−cos2 x )(1+cot2 x )=1
l) sin t (csc t−sin t )=cos2 t
m)
1−csc2 ycsc2 y
=− 1sec2 t
2) Diketahuitan α=−n ,hitunglah perbandingan goniometri sudut α
yang
lainnya.
Trigonometri:Dwi Purnomo
28
3) Diketahuisec α=−p ,hitunglah perbandingan goniometri sudut α
yang
lainnya.
4) Buktikan bahwa:
a)tan α−sin α=tan α sin α tan( α
2 )b) sin 8 t=8 sin t cos t cos2 t cos 4 t
c)sin 2 α= 2 tan α
1+ tan2 α
d)
sin( x− y )+sin( y− z )+sin( z−x )=−4 sin 12( x− y )sin 1
2( y−z )sin 1
2( z−x )
5) Jikap+q+r+s=1800
buktikan bahwa cos p cosq+cosq cosr=sin p sin q+sin q sin r
6) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=700,
sin x :sin y=5 :3
7) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=1500,
sin x :sin y=1: 2
8) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=200
,
cos x :cos y=1044 :1111
9) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=1000,
cos x :cos y=3:7
10) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=500,
tan x :tan y=5 :11
11) Hitunglah x dan y dengan ( x<1800 , y<1800 ) jika diketahui x+ y=60 ,
tan x :tan y=1 :2
12) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax + y=1000 dan
sin xcos y=0,6
Trigonometri:Dwi Purnomo
29
13) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax − y=150 dan
cos x sin y=0 , 36
14) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax + y=700 dan
tan x tan y=0 ,25
15) Hitunglah sudut-sudut x ( x<1800 ) dan y ( y<1800 ) ,jikax − y=500 dan
tan x− tan y=1,5
Trigonometri:Dwi Purnomo
30