Seminarski rad

Mentor: Student:

dr Đorđe Herceg Anita Pustai

Novi Sad, 13.01.2013.

Definicija i konstrukcija parabole

Istorijski razvoj

Apolonios Pergejski živeo je od 262. do 190. god. pre nove ere. Rođen je u Pergi u Pamfiliji, gradu u severo- zapadnom delu Male Azije. Došao je kao mlad u Aleksandriju i vaspitao se kod Euklidovih učenika. Pretpostavlja se da je predavao u Aleksandriji i Pergi i postao jedan od najvećih matematičara tog doba.

Napisao je traktat ( delo od 8 knjiga ) o paraboli, elipsi i hiperboli. Nazivi ovih krivih potiču upravo od Apolonija a koriste se i danas.

Definicija:

Parabola je skup svih tačaka u ravni sa osobinom da je rastojanje ma koje tačke M tog skupa od jedne stalne tačke F te ravni ( žiže ) – jednako rastojanju te tačke M od jedne stalne prave i iste ravni ( direktrise ) koja ne prolazi kroz tačku M.

Jednačina parabole:

Koordinatni sistem određujemo na sledeći način:osu Ox postavimo kroz žižu F, normalno na direktrisu d i to u pravcu od d ka F, a osu Oy normalno na Ox, kroz sredinu odsečka koji spaja žižu sa direktrisom.Neka je P parabola kod koje rastojanje između žiže F i direktrise d iznosi p. Tada, u ovako definisanom koordinatnom sistemu, jednačina direktrise glasi: x=−p

2 ,

a žiža F ima koordinate ( p2 , 0 ).Neka je M = ( x,y ) proizvoljna tačka parabole P

Teorema:

Tačka M = ( x,y ) pripada paraboli P ako i samo ako njene koordinate zadovoljavaju jednačinu:

y2=2 px

Dokaz: (⇒) Označimo sa N podnožje normale iz tačke M na direktrisu. Kako je M = ( x,y ) proizvoljna tačka parabole P, po definiciji, dužine duži FM i NM su jednake. Imamo:

|FM|=√( x− p2 )2

+ y2 ;

|NM|=|x+ p2|.

Iz jednakosti |FM| = |NM| sledi:

√(x− p2)2

+ y2=|x+ p2|,

odakle se, posle kvadriranja, dobija:

x2 – px + p2

4 + y2 = x2 + px + p2

4 ,

tj. y2 = 2px.

(⇐) Neka su brojevi x i y zadovoljavaju jednačinu y2 = 2px. Dokažimo da se tačka M = ( x,y ) nalazi na jednakom Rastojanju od prave d čija je jednačina x=−p

2 i tačke

F = ( p2 , 0 ), tj. dokažimo da tačka M pripada paraboli P. Na prvom mestu primetimo da važi:

|FM|=√( x− p2 )2

+ y2 ;

|NM|=|x+ p2|.

Međutim, imamo y2 = 2px , pa je

|FM| =√(x− p2)2

+ y2 = √(x+ p2)2

= |x+ p2|=

= |x+ p2|=|NM|

što značida je rastojanje tačke M od tačke F jednako rastoranju tačke M od prave d, tj. da tačka M pripada

paraboli P.

Napomena:

Promena položaja koordinatnog sistema u odnosu na žižu i direktrisu parabole, menja se i njena jednačina.Na primer, paraboli odgovara jednačina:

y2=−2 px (p > 0)

x2=2 py (p > 0)

x2=2 py (p > 0)

Konstrukcija parabole:

Zadata je direktrisa d,žiža F i osa parabole.

• d ⊥ o, d ∩ o = {D }

• konstruišemo središte duži |DF| = p (npr. tačka O),|DO|= |OF|= p2

• konstruišemo paralelnu pravu sa direktrisom čije je rastojanje od direktrise najmanje p2

• konstruišemo kružnicu k(F , p2 )• paralelna prava dodiruje kružnicu u tački O, ta tačka se naziva teme

parabole

Analogno, konstruišemo kružnice ( čiji su poluprečnici proizvoljni ali veći od p2 ) i više paralelnih prava sa direktrisom( čija su rastojanja jednaka sa poluprečnicima) i tako dobijene presečne tačke određuju parabolu.

Zadaci :1. Odrediti parametar, žižu i jednačinu direktrise parabole y=x2 !

Reš:

2. Napisati jednačinu parabole čije je teme koordinatni početak, ako se zna da je osa simetrija jednaka x osi i žiža ima sledeće koordinate (0;3)!

Reš:

Napomena:

Ako je osa parabole paralelna sa y osom, a teme parabole nije u koordinatnom početku, nego ima sledeće koordinate: T(u;v), tada je jednačina parabole:

y= 12 p

(x−u)2+v

Neka je parametar parabole p=2, teme u tački T(3;-1). Tako je žiža F(3;0), a jednačina:

y= 14(x−3)2−1

gde je v-direktrisa.