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  • Kapitel III

    Wasserstoff-ahnliche Atome

    Dieses Kapitel1 ist dem Atom und seiner theoretischen Beschreibung gewidmet. In der Atom-physik betrachtet man quantenmechanische Zustande von atomaren Schalen. Das einfachste undam meisten studierte Problem ist das Problem des Wasserstoff-Atoms. In erster Naherung kannman das Wasserstoff-Atom als ein nicht-relativistisches System von zwei Teilchen, ein Proton(oder allgemeiner ein positiver Kern) und ein Elektron, die miteinander durch die Coulomb-Wechselwirkung gebunden sind, betrachten. Dieses einfaches Problem kann man mit Hilfeder Schrodinger-Gleichung losen, und damit die Energie-Niveaus des Wasserstoff-Atoms finden.Die Schrodinger-Gleichung liefert die Energie-Niveaus, die schon von dem Bohr-Modell bekanntwaren. Allerdings, selbst wenn das theoretisch berechnete Wasserstoff-Atom Energiespektrumgrob dem Experiment entspricht, ist die Ubereinstimmung weit von perfekt und fur eine exacteBeschreibung muss man das Problem relativistisch betrachten. Eine relativistische Beschreibungdes Wasserstoff-Atoms ist durch die Dirac Gleichung gegeben.

    Die Dirac-Gleichung berucksichtigt den Spin vom Elektron, ein Effekt der rein relativistischist. Damit kann man die Feinstruktur der atomaren Spektren erklaren. Weitere Korrekturenzu den von der Dirac-Gleichung gegebenen atomaren Niveaus wie die Lamb-Verschiebung unddie Hyperfeinstruktur beziehen sich auf der Kopplung des Elektrons zu dem Strahlungsfeld unddem Kernspin. Auch die Kerneigenschaften, wie z.B. seine Masse und raumliche Ausdehnungkonnen die Spektren von Atomen beeinfussen. In den folgenden Abschnitten wollen wir eineEinfuhrung in der Theorie des ein-Elektron-Systeme (also Wasserstoff-Atome oder Wasserstoff-ahnliche Ionen) geben und einiges uber die Dirac-Gleichung und die weiteren Korrekturen, diein den Atomarenspektren zu sehen sind, erlautern.

    III.1 Die Suche nach einer relativistischen Quantenmechanik

    Die Schrodinger-Gleichung fur das Wasserstoff-Atom, die bereits in der Quantenmechanik-Vorlesung angesprochen und gelost worden ist, betrachtet nicht relativistisch das Problem einesElektrons in einem vom positiven Kern erzeugten Zentralfeld. Dieses Problem hat eine radi-ale Symmetrie und kann sehr schon in Kugelkoordinaten gelost werden. Damit kann man dieWellenfunktion des Elektrons erfahren, (r, , ) = Rnl(r)Ylm(, ), die von der Hauptquanten-zahl n, der Drehimpulsquantenzahl l, l = 0, 1, 2, ..., n 1 und der magnetische Quantenzahl ml,ml = l, l+1, ..., 0..., l1, l bestimmt wird. Die entsprechende Energie des atomaren Zustandes

    1Herzlichen Dank an Kristian Haberkorn, denn ohne seine Hilfe ware dieses Kapitel nicht so schon auf Deutschgeschrieben!

    3

  • 4 KAPITEL III. WASSERSTOFF-AHNLICHE ATOME

    ist allerdings entartet und hangt nur von der Hauptquantenzahl n ab, in atomaren Einheiten,

    En = Z2

    2n2, (III.1)

    wobei Z die Kernladung ist. Um diese (l,m) Entartung zu erheben, muss man die Symmetriedes Systems brechen, was meistens mit einem Magnetfeld gemacht wird. In einem Magnetfeldspalten sich die Energieniveaus des Atoms auf, was dann zu dem Aufspalten und Polarisationvon Spektrallinien fuhrt, wie schematisch in Abb. III.1 dargestellt ist. Dieses Phanomen, erstmalin 1896 beobachtet, tragt den Namen des hollandischen Physikers Pieter Zeeman, der fur seineEntdeckung mit dem Nobelpreis fur Physik 1902 belohnt wurde.

    Abb. III.1: Die Aufspaltung einer Spektrallinie in einem aueren Magnetfeld.

    Die Aufspaltung der Energieniveaus kann man nicht-relativistisch bestimmen. Dabei mussman berucksichtigen, dass die Kreisbewegung des Elektrons um den Kern ein magnetisches Mo-ment erzeugt, welches mit dem externen Magnetfeld wechselwirkt. Allerdings konnten dieseUberlegungen nicht alle experimentelle Beobachtungen erklaren. Man sprach von einem nor-malen Zeeman-Effekt und einem anomalen Zeeman-Effekt, der nur unter Berucksichtigungdes vom elektronischen Drehimpuls verursachten magnetischen Moments nicht zu erklaren war.

    Eine Reihe von spannenden Experimenten in der Zwanzigerjahren des letzten Jahrhunderts,gleichzeitig begleitet durch die weitere Entwicklung der Quantentheorie fur relativistische Falle,haben das Problem des anomalen Zeeman-Effekts gelost. Der Schlussel zur Erklarung war derSpin des Elektrons. 1922 haben Stern und Gerlach ein Experiment zur Bestimmung des ato-maren magnetischen Moments durchgefuhrt. Dabei haben sie die Ablenkung von Silberatomenin einem atomaren Strahl, der sich durch eines inhomogenen Magnetfeld bewegt, beobachtet.Da man eine willkurliche Orientierung des atomaren magnetischen Moments erwartete, hattedie Ablenkung symmetrisch um die ursprungliche Strahlachse sein sollen. Die Uberraschungwar gro zu sehen, dass die magnetischen Momente der Silberatome nur zwei Orientierungenhaben, und die Ablenkung in dem inhomogenen Magnetfeld ein bestimmtes Muster formt, mitzwei getrennten Linien symmetrisch um den Null-Punkt. Diese Quantisierung der magnetischenMoment-Komponente in der Magnetfeldrichtung nennt man auch Raumquantisierung und stelltdie Quantisierung des Drehimpulses um eine Raumrichtung dar. Der Stern-Gerlach-Versuch undseine Ergebnisse waren sehr verbluffend fur die Physikgemeinde, die noch dabei war, die Quan-tenmechanik zu entwickeln. Zwar hatte Bohr die Drehimpuls Quantisierung schon eingefuhrt,

  • III.1. DIE SUCHE NACH EINER RELATIVISTISCHEN QUANTENMECHANIK 5

    aber ein Drehimplus der keine ganze Zahl ist, hatte man noch nie gesehen.

    Eine Erklarung kam 1925 von S. Goudsmit und G. E. Uhlenbeck, die versucht haben, dieratselhaften Beobachtungen des anomalen Zeeman Effekts und des Stern-Gerlach-Versuchs ineinem Schlag zu erledigen. Die Losung der Ratsel war die Einfuhrung eines elektronischenmagnetischen Moments, welches einem Eigendrehimpuls, dem Spin, entspricht. Aus dem Stern-Gerlach Experiment ergibt sich dann, dass der Spin des Elektrons s = 12 sein muss, wahrend derBahndrehimpuls fur die Silberatome null sein muss.

    Wahrenddessen, 1924 machte Louis de Broglie sein beruhmten Ansatz, dass der Welle-Teilchen-Dualismus, der damals nur fur Photonen bekannt war, ein Wesensmerkmal nicht nur derPhotonen sondern auch der Materie sei. Mit der Erkenntnis, dass alle Teilchen auch Welleneigen-schaften besitzen, arbeitete de Broglie weiter an der Verbesserung des Bohr-SommerfeldschenAtommodells. Er ordnete jedem Elektron eine so genannte Materiewelle zu, die sich auf denBohrschen Bahnen ausbreitet. De Broglie zeigte auf diesem Weg die Beziehung zwischen derBahnstabilitt und dem Bahnumfang der Elektronen im Bohrschen Atommodell auf,

    2r = n 2r = nhp. (III.2)

    Ein Elektron kann sich nur ohne Energieverlust um den Atomkern bewegen, wenn sein Bahnum-fang ein ganzzahliges Vielfaches seiner Wellenlange ist. Diese Ansatze lieferten wichtige Anre-gungen fur Erwin Schrodinger, der noch im selben Jahr seine partielle Differentialgleichung, dieberuhmte Schrodinger-Gleichung, aufstellte. Diese konnte das Verhalten der Elektronen in denstationaren Energiezustanden darstellen. Allerdings ist die Schrodinger-Gleichung, wegen seinerunterschiedlichen Ordnungen der Zeit- und Raumableitungen nicht Lorentz-kovariant, also nichtrelativistisch.

    Ein Versuch, die Schrodinger-Gleichung und den Spin des Elektrons zu vereinbaren fuhrte1927 zur Pauli-Gleichung, [

    1

    2m(~ (~p q ~A))2 + e

    ]| = i~

    t| , (III.3)

    die selbst wenn immer noch nicht-relativistisch, beinhaltet schon den 12 -Elektronspin. Dieentsprechende Spinoren-Darstellung kommt uber die Pauli-Matrizen ~, einen Satz von hermitis-chen und unitaren 2 2 Matrizen,

    x =

    (0 1

    1 0

    ),

    y =

    (0 ii 0

    ),

    z =

    (1 0

    0 1

    ). (III.4)

    Die Pauli-Gleichung geeignet sich zur Beschreibung der noch nicht relativistischen atomarenSysteme wo die Elektronengeschwidigkeit noch viel kleiner als die Lichtgeschwindigkeit ist.

    In dem Bemuhen, eine relativistische Quantenmechanik zu formulieren, hat man zunachstversucht, mittels des Korrespondenzprinzips eine relativistische Wellengleichung aufzustellen,die die Schrodinger-Gleichung ersetzen sollte. Die erste derartige Gleichung war die von

  • 6 KAPITEL III. WASSERSTOFF-AHNLICHE ATOME

    Schrodinger [Schr1926b], Gordon [Gord1926] und Klein [Klei1927] aufgestellte skalare Wellengle-ichung zweiter Ordnung, die nun den Namen Klein-Gordon-Gleichung tragt. Aus der Energie-Impuls-Beziehung

    E =p2c2 +m2c4 , (III.5)

    durch Ersetzung von klassischen Groen durch Operatoren,

    E i~ t,

    ~p ~i , (III.6)

    erhielt man eine Wellengleichung,

    i~

    t =

    ~2c22 +m2c4 . (III.7)

    Eine offensichtliche Schwierigkeit dieser Gleichung besteht in der Wurzel aus der raumlichenAbleitung, deren Entwicklung auf unendlich hohe Ableitungen fuhrt. Deswegen geht manstattdessen von der quadrierten Relation

    E2 = p2c2 +m2c4 , (III.8)

    aus, was dann

    ~2 2

    t2 = (~2c22 +m2c4) . (III.9)

    Die noch kompaktere, und offensichtlich kovariante Form(

    +(mc

    ~

    )2) = 0 , (III.10)

    ist under dem Namen Klein-Gordon-Gleichung bekannt. Hier ist x der raum-zeitliche Ortsvek-tor x = (ict, ~r) und der Kovariante Vektor =

    x ist die vierdimensionale Verallgemeinerung

    des Gradientenvektors. Es wurde die Einsteinische Summenkonvention benutzt, und uber dop-pelt auftretende Indizes summiert. Wenn man aber eine Kontinuitatsgleichung aus der Klein-Gordon-Gleichung herleiten mochte, stot man auf negative Warscheinlichkeitsdichten, die un-physikalisch sind. Auerdem merkte man, dass die Losungen der Klein-Gordon-Gleichung sowohlpositive als auch negative Energien haben, und die Energie nach unten nicht beschrankt ist. DieGleichung wurde deshalb verworfen, da sie ihr primares Ziel, eine relativistische Theorie fur dasElektron zu entwickelt, verfehlt hatte. Die ri

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