interaction rayonnement-atome atom-light interaction

Spring School onCold Atoms and Molecules and Applications in Metrology

CAMAM 2015

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N

Interaction rayonnement-atomeAtom-light interaction

Habib Bouchriha

Mars 16, 2015Laboratoire: Matériaux Avancés et Phénomènes Quantiques

Université Tunis El-Manar

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Overview1 Introduction2 Electrodynamique classique

Equations de MaxwellChamps longitudinaux et transversesInvariance de JaugeVariables normales du rayonnementImpulsion et énergie

3 Electrodynamique quantiqueQuantification du champs électromagnétique-photonsHamiltonien HI d’interaction rayonnement-atomeExpression de HI dans l’approximation des grandes longueurs d’onde

4 Processus d’interactionTransitions à un photonProcessus d’absorptionProcessus d’émissionProcessus de diffusion

5 Conclusion

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Introduction

Introduction

L’action d’un rayonnement électromagnétique sur un milieu matériel est un outil puis-sant pour obtenir des informations sur les propriétés optiques et électroniques de cemilieu. De plus le développement de nouvelles sources de rayonnement couvrant undomaine de fréquence large allant des ondes radio à l’ultraviolet lointain (laser, maser...)a renouvelé l’intérêt porté aux processus d’interaction entre matière et rayonnement.Le cadre théorique de l’étude de ces processus est l’électrodynamique qui décrit lemouvement des particules chargées et du champs électromagnétique.

l’électrodynamique classique (champs classique) permet de rendre compte de la presquetotalité de l’optique traditionnelle, mais de nombreux phénomènes ne peuvent s’interpréterqu’en quantifiant le rayonnement (électrodynamique quantique).

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Electrodynamique classique

Electrodynamique classiqueVariables dynamiques du champ:

~E(~r, t), ~B(~r, t) =⇒ Equations de Maxwell dans l’espace réel

~O.~E(~r, t) =1ε0ρ(~r, t)

~O.~B(~r, t) = 0

~O ∧ ~E(~r, t) = −∂~B∂t

~O ∧ ~B(~r, t) =1c2

∂~E∂t

+1ε0c2

~J(~r, t)

ρ(~r, t) =∑

iqiδ(~r −~ri(t))

~J(~r, t) =∑

iqi~Viδ(~r −~ri(t))

Q =∫

d3~rρ(~r, t)∂ρ(~r, t)∂t

+ ~O~J(~r, t) = 0

Variables dynamiques des particules:~r(t), ~V(t) =⇒ Equations de Newton-Lorentz

mid~Vi

dt= qi[~E(~ri, t) + ~Vi ∧ ~B(~ri, t)] avec ~Vi =

d~ri

dt

Evolution dans le temps:~E(~r, t0), ~B(~r, t0), ~ri(t0), ~Vi(t0)

E.M.N.L=⇒ ~E(~r, t), ~B(~r, t), ~ri(t), ~Vi(t)


Equations de Maxwell dans l’espace ré-ciproque

~O.~E(~r, t) =1ε0ρ(~r, t)

~O.~B(~r, t) = 0

~O ∧ ~E(~r, t) = −∂~B∂t

~O ∧ ~B(~r, t) =1c2

∂~E∂t

+1ε0c2

~J(~r, t)

⇐⇒~O −→ i~k

i~k.~E(t) =ρ

ε0

i~k. ~B(t) = 0

i~k ∧ ~E(t) = −ddt~B

i~K ∧ ~B(t) =1c2

ddt~E(t) +

1ε0c2

~J (t)

En confinant l’espace réciproque dans une boite cubique d’arête L:~En(t) =

∫d3~r ~E(~r, t)e−i~kn~r

~Bn(t) =∫

d3~r~B(~r, t)e−i~kn~r

~E(~r, t) =1L3

∑n

~En(t)ei~kn~r

~B(~r, t) =1L3

∑n

~Bn(t)ei~kn~r

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N


Champs électriques longitudinaux et trans-verses

Dans l’espace réel: ~V = ~V‖ + ~V⊥Dans l’espace réciproque: ~V = ~V‖ + ~V⊥

champ longitudinal champ transverseEspace réel ~O ∧ ~V‖(~r) = 0 ~O.~V⊥(~r) = 0

Rotationnel nul Divergence nulleEspace réciproque i~k ∧ ~V‖(~k) = 0 i~k.~V⊥(~k) = 0

~E(~r, t) = ~E‖(~r, t) + ~E⊥(~r, t)~B(~r, t) = ~B‖(~r, t) + ~B⊥(~r, t)

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N



Champs longitudinaux:

Les deux première E.M (réciproque) donnent:~E‖(~k, t) = −i~kε0k2 ρ(

~k, t)

~B‖(~k, t) = 0

+ Le champ magnétique est purement transverse

+ Le champ électrique longitudinal coincide avec le champ de Coulombinstantanné~E‖(~r, t) =

14πε0

∫d3~r′ρ(~r′, t)

~r −~r′

|~r −~r′ |3∼ 1

4πε0

∑i

qi~r −~r

′i (t)

|~r −~r′i (t)|3

+ Les champs longitudinaux ne sont pas des variables dynamiques

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Champs transverses:

Les 3me et 4me E.M (réciproques) donnent:

d ~B⊥dt

= −i~k ∧ ~E⊥d~E⊥dt

= i c2~k ∧ ~B⊥ −1ε0

~J

projection dans le plan ⊥ à ~k

=⇒ d2~E⊥dt2 = −c2k2 ~E⊥

+ Les composantes transverses sont des variables dynamiques in-dépendantes et autonomes, elles caractérisent le rayonnement.

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Potentiel vecteur ~A et potentiel scalaire U

~A(~r, t) et U(~r, t) sont reliés à ~E(~r, t) et ~B(~r, t) par:~E(~r, t) = −~OU(~r, t)−

∂~A(~r, t)∂t

~B(~r, t) = ~O ∧ ~A(~r, t)

Dans l’espace réciproque elles deviennent:~E(~k, t) = −i~kU(~k, t)−

∂ ~A(~k, t)∂t

~B(~k, t) = i~k ∧ ~A(~k, t)

Le couple ~A , U constitue une jauge.Les champs ~E et ~B sont invariants dans la transformation de jauge associée à une fonction F(~r, t)telle que:~A′ (~r′ , t) = ~A(~r, t) + ~O F(~r, t)

U′(~r′ , t) = U(~r, t)−

∂F(~r, t)∂t

−→

~A′ (~k′ , t) = ~A(~k, t) + i~kF(~k, t)

U′(~k′ , t) = U(~k, t)−

∂F(~k, t)∂t

Jauge de Coulomb: définie par ~O . ~A = 0

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Variables normales du rayonnementEn Jauge de Coulomb: ~A transverse. On introduit les variables normales

αl =1

2 E(1)l

(ωlAl − iEl) et βl =1

2 E(1)l

(ωlAl + iEl)

avec

l(~kl,~εl) : composante polarisée transverse

E(1)l =

√~ωl

2ε0L3: Amplitude d’un champ classique ayant une énergie ~ωl dans L3

et ωl = c kl

ky

kx

kz

kl

Elel

Bl

el '

∆~A−1c2

∂2~A(~r, t)∂t2

= 0

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N


Variables normales du rayonnementLes champs transverses s’expriment

~A(~r, t) =∑

l~εlE(1)

l

ωl(αlei~Kl~r + α†l e−i~Kl~r)

~E(~r, t) =∑

l~εl E(1)

l (iαlei~Kl~r − iα†l e−i~Kl~r)

En dérivant αl par rapport à t et ayantdAl

dt= −El et

dEl

dt= −ω2

l Al :

⇓

dαl

dt+ iωl αl = 0

⇓

αl(t) = α0 e−iωl t

Pour chaque mode y Oscillateur harmonique

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Impulsion totale~PT =

∑i

mi~Vi + ε0∫L3

d3~r ~E(~r, t) ∧ ~B(~r, t) = ~Pp + ~Pch

~E = ~E‖ + ~E⊥ ⇒ ~Pch = ~Plong + ~Ptrans

~Plong = ε0∫

d3~r ~E‖(~r) ∧ ~B(~r) = ε0∫

d3~k ~E‖(~k) ∧ ~B(~k)

~Ptrans = ε0∫

d3~r ~E⊥(~r) ∧ ~B(~r) = ε0∫

d3~k~E⊥(~k) ∧ ~B(~k)

~E‖(~k) = −iε0ρ(~k)

~kk2

et ~B(~k) = i~k ∧ ~A En utilisant: ~a ∧ (~b ∧~c) = (~a.~c)~b− (~a.~b)~c

~Plong = ε0∫

d3~k ρ[ ~A−~u(~u. ~A)] =∑

iqi~A⊥(ri) (~u =

~kk

)

Soit~P =

∑i

mi~Vi +∑

iqi~A⊥(~ri, t) + ~P⊥

~P =∑

i(mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t)) + ~P⊥ =

∑i

~Pi + ~P⊥

~Pi = mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t) impulsion généralisée de la particule dans un champs électromagnétique

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N


Energie totale+ HT =

∑i

12 mi~vi

2 + ε02

∫L3

d3~r [~E2(~r, t) + c2~B2(~r, t)] = Hp +Hch

+ Hch = Hlong +Htrans

+ Hlong =ε0

2∫

d3~r ~E2‖(~r) =

18πε0

∫∫d3~r d3~r

′ ρ(~r)ρ( ~r′ )

|~r − ~r′ |

⇓

Hlong =∑i6=j

∑j

qiqj

8πε0|~ri −~rj|

≡

Energie de Coulomb instantanée des charges

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Energie totaleHtrans =

ε0

2∫L3

d3~r[~E2⊥(~r, t) + c2~B2(~r, t)]

~A(~r, t) =∑

lAlei~kl~r et αl =

1

2 E(1)l

(ωlAl − iEl)

El = −dAl

dt, Bl = iklAl , ωl = ckl

Htrans = 2ε0L3 ∑l

(E(1))2l |αl|2 =

∑l

~ωl|αl|2

On introduit les variables canoniques conjugués ql et pl telle que:

ql + ipl =√

2~αl

⇓

Htrans =∑

l

ωl

2(q2

l + p2l )

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N


RecapitulationImpulsion totale de l’électrodynamique classique:

~PT =∑

i

~Pi avec ~Pi = mi~Vi + qi~A⊥(~ri, t)

Energie totale de l’électrodynamique classique:

+ HT = Hp +Hlong +Htrans

+ Hp =∑

i

12mi

[~Pi − qi~A⊥(~ri, t)]2: Energie cinétique des particules

+ Hlong =∑i 6=j

∑j

qiqj

8πε0|~ri −~rj|: Energie de Coulomb Vcoul

+ Htrans =∑

l

ωl

2(q2

l + p2l ): Energie de Rayonnement HR

Soit:

Htot =∑

i

p2i

2mi+ Vcoul︸︷︷︸

particules

+ HR︸︷︷︸Rayonnement

−∑

i

qi A⊥(~r, t)~pi

mi+

q2i

2miA2⊥(~r, t)

︸︷︷︸Interaction rayonnement-particules

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N

Electrodynamique quantique

Quantification canonique

On associe aux variables canoniques ql et pl les observables canoniques Ql et Pl tel que:

[Ql, Pl′ ] = i~δ

ll′ et [Ql,Ql′ ] = [Pl, P

l′ ] = 0

⇒ HT =∑

lHl =

∑l

ωl

2(Q2

l + P2l )

On introduit les opérateurs al et a†l non hermitiques et conjugués:

al =Ql + iPl√

2~et a†l =

Ql − iPl√2~

[Ql, Pl′ ] = i~δ

ll′=⇒

[al, a†

l′] = δ

ll′

[al, al′ ] = 0

⇓HR =

∑l

~ωl(a†l al + 12 )

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Observable de champ

à ~A, ~E et ~B on associe les observables A, E et B

A(~r) =∑

l~εlE(1)

l

ωlalei~Kl~r + a†l e−i~Kl~r

E(~r) = i∑

l~εl E(1)

l alei~Kl~r − a†l e−i~Kl~r

B(~r) = i∑

l

~Kl ∧ ~εl

ωlE(1)


Par analogie à la notation complexe on note:

~E(~r) = ~E+(~r) + ~E−(~r)

avec ~E+(~r) = i∑

l~εl E(1)

l alei~Kl~r

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Observable impulsion

impulsion classique: ~P = ε0∫L3

d3~r~E(~r, t) ∧ ~B(~r, t)~E =

∑l

i~εl E(1)l (αlei~Kl~r − α†l e−i~Kl~r)

~B =∑

li~Kl ∧ ~εl

E(1)l

ωlαlei~Kl~r − α†l e−i~Kl~r

En utilisant le double produit vectoriel =⇒ ~P = 2ε0L3 ∑l

(E(1)l )2

ωl|αl|2~kl

impulsion quantiqueαl 7−→ al, α†l 7−→ a†l

2ε0L3 (E(1)l )2

ωl= ~ ⇒ P=

∑l

a†l al ~~kl

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Etats propres et valeurs propres de HR

HR =∑

l~ωl (a†l al +

12

)

HR |ψ〉 = ER |ψ〉

Oscillateur harmonique à ldimensions

⇓

ER = En1,n2...nl =

∑l

(nl + 12 )~ωl

|ψR〉 = |n1, n2...nl〉 =(a†1 )n1

√n1!

(a†2 )n2

√n2!

...(a†l )nl

√nl!|01, 02...0l〉

|n1, n2...nl〉 sont appelés états nombres et leur ensemble forme une base de l’espace des états appeléespace de "Fock".

|01, 02...0l〉 = |0〉

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Photons

HR =∑

l~ωl (a†l al +

12

)

Le champ électromagnétique peut être représenté par un système dénombrable de bosons appelés "pho-tons" qui sont des excitations élémentaires du rayonnement quantifié.Chaque photon a une énergie El = ~ωl et une impulsion ~Pl = ~~kl:

Il y a plusieurs modes de champs+ Dans le mode 1: n1 photons d’énergie ~ω1 et d’impulsion ~~k1

:

+ Dans le mode l: nl photons d’énergie ~ωl et d’impulsion ~~kl

Les opérateurs intervenant sont al,a†l et Nl:

+ a†l : création d’un photon à l’état l (εl,~kl, ωl) :

a†l |n1, n2...nl..〉 =√

nl + 1 |n1, n2...nl+1, ..〉

+ al : annihilation d’un photon à l’état l (εl,~kl, ωl) :al |n1, n2...nl..〉 =

√nl |n1, n2...nl−1, ..〉

+ Nl = a†l al : nombre de photons dans l’état l: 〈n1, n2...nl, ..|Nl |n1, n2...nl, ..〉 = nl

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Le videHR =

∑l

~ωl (a†l al + 12 ) =

∑l

~ωl (a†l al) + 12

∑l

~ωl

E0 = 12

∑l

~ωl : Energie du vide de photons

|0〉 = |01, 02...0l..〉 : Etat du vide

L’énergie du vide E0 est à l’origine de nombreux effets physiques observables:

+ Lamb shift: déplacement de Lamb de niveaux atomiques+ Force de Casimir et Polder :

F =~ cπ2

240 a4A ∼ 10−7 N

pour a=1µm et A = 1 cm2

+ Emission spontanée,...

Remarque:

ã En général E0 n’intervient pas dans l’interaction rayonnement-matière car on s’intersse souvent auxdifférences d’énergie entre les états:

ã al |0〉 = 0 〈0| a†l′

al |0〉 = δll′

ã 〈0| E |0〉 = 0, 〈0| E2 |0〉 =∑

l(E(1)

l )2 =∑

l

~ωl

2ε0L3


Quantification en Jauge de coulomb

~ri ,~pi −→ Ri, Pi : [Ri, Pj] = i~δijql , pl −→ Ql, Pl : [Ql, Pl′ ] = i~δll′

~A(~r, t) −→ A =∑

l~εlE(1)

l

ωlaleikl Rl + a†l e−ikl Rl

~O.A = 0 =⇒ Ai Pi = Pi Ai

HT −→ HT = Hp + HR + HI

Hp =∑

i

P2i

2 mi+ Vcoul : Atome avec des particules en interaction coulombienne

HR =∑

l~ωl (a†l al + 1

2 ) : Rayonnement formé d’une assemblée de photons

HI =∑

i

qi Ai Pi

mi+

∑i

q2i

2 miA2

i : Interaction entre atome et rayonnement:

couplage perturbatif

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N


Espace des étatsHT = Hat + HR + HI

Hamiltonien de l’atome

Noyaux fixes =⇒ Hat =∑

i

P2i

2 mi+ Vcoul(R1, R2..Ri..)

=⇒ mouvement des électrons dans le potentielCoulombien du noyau et des autres électrons

=⇒ agit dans l’espace des états Eat de l’atomeHat |j〉 = Ej |j〉

|j〉 =⇒ base dans Eat

Hamiltonien du rayonnement

Quantification du rayonnement =⇒ HR =∑

l~ωl (a†l al + 1

2 )

=⇒ agit dans l’espace ER des états du rayonnement:HR |n1, n2, ..nl, ..〉 = En1,n2,..nl,.. |n1, n2, ..nl, ..〉|n1, n2, ..nl, ..〉 =⇒ base dans ER

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Espace des états

Atome + rayonnement sans interaction: Hat + HR

E = Eat ⊗ ER de base E = |j, n1, n2, ..nl, ..〉

Hamiltonien d’interactionHI =

∑i

qi Ai Pi

mi+

∑i

q2i

2 miA2

i = HI1 + HI2

[HI ,HT ] 6= 0 =⇒ |j, n1, n2, ..nl, ..〉 ne sont pas états propresde HI et HT , mais HI peut être étudié dans E

Effets de HI =⇒ X Changement d’état de l’atomeX Annihilation et création de photons

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Expression de HI dans l’approximation desgrandes longueurs d’onde

Lorsque les particules sont localisées autour d’un point~r0 dans un volume de dimensions petites devant

la longueur d’onde λl =2πkl

on peut remplacer~ri par~r0 et Ri par R0

=⇒ atome immobile de centre de masse~r0On a

A(Ri) ∼ A(R0)

et

HI =∑

i

qi A(R0) Pi

mi+

∑i

q2i

2 miA2(R0)

ã A(R0) agit dans Er : cela simplifie considérablement le formalisme.ã Approximation justifiable en optique:

+ taille atomique 0, 2 nm+ longueur d’onde λ ∼ 500nm

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Atome en mouvement

ã Mouvement du centre de masse avec~r0(t) = ~V0 t

ã ei~kl~r −→ eiv0

ccos θ0 ωl t

=⇒ Effet Doppler

ã Résolution de l’équation de schrödinger en remplaçant: Hat −→ Hat +P2

0

2 Mat

ã Mouvement atomique controlé: atomes froids, condensation de Bose-Einstein..

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N


Taitement en régime perturbatifHT = Hat + HR + HI

HI = HI1 + HI2 HI1 =∑

i

qi Ai Pi

miHI2 =

∑i

q2i

2 miA2

i

Régime perturbatif: Rayonnement pas très intense: HI Hat

A ∼Eω

HI2

HI1∼

q2 A2/2mq A p/m

∼q A p/m2 p2/m

∼HI1

Hat 1

donc HI2 HI1 Hat

Pour être complet HT doit tenir compte du spin des particules à cause du moment magnétique associé àces spins.

~Msi = gi

qi

2 mi

~Si

L’interaction de ~Msi avec ~B =⇒ Hs

I = −∑

i

~Msi~B(~ri) Comme B ∼ k A :

HsI

HI1∼

q~ B/mq A p/m

∼~ k Ap A

∼~ kp 1 pour photons de faibles énergies

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N


Taitement en régime perturbatif

conclusion:

On peut traiter HI comme une perturbation de Hat + HR

HI1 ∼ ~A~P : pris au 1er ordre il correspond à la création oul’annihilation d’un photon:emission etabsorption.

HI2 ∼ A2 : fait intervenir deux photons et correspond auxprocessus d’émission ou d’absorption à 2 photonsou aux processus de diffusion

29 / 45CAMAM 2015

N


Approche dipolaire électrique

On peut remplacer le hamiltonien d’interaction HI par un hamiltonien H′I :

H′I = −D E⊥(R0)

D: operateur dipole électrique de l’atome qui agit dans Eat:

D =∑

iqi Ri

E(R) = i∑

l~εl E(1)


Le hamiltonien total est:H′T = Hat + HR + H

′I

On montre que cette nouvelle description quantique utilisant H′I conduit aux mêmes résultats que celle

utilisant HI .Cette description est très utilisée en optique quantique.

30 / 45CAMAM 2015

N

Processus d’interaction

Transitions à un photonPour simplifier on considère un atome à un seul électron.comme HI2 HI1 on a HI = HI1 = −

qm~A~P

A(~R0) =∑

l~εlE(1)

l

ωlal ei~Kl~r0 + a†l e−i~Kl~r0

On prend r0 = 0 (particule localisée à l’origine)

A =∑

l~εlE(1)

l

ωlal + a†l

⇓

HI1 = −qm

∑l

E(1)l

ωl

~P~εlal + a†l

Si l’état initial: |ψi〉 = |j, 0, nl, 0〉 : atome dans un état |j〉 avec nl , photons dans le mode l=⇒ Transition possible sous l’effet de la perturbation stationnaire qui amène le système à l’état final:

|ψf 〉 = |j′, 0, n

′l , 0〉: atome dans l’état |j

′〉 avec n

′l photons dans le mode l

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N


Transitions à un photon

Condition pour induire la transition:Hfi

I1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 6= 0

un photon apparait (a†) ou disparait (a) et l’atome change d’état (P impair)On a absorption ou émission quasi résonante:

Ef ∼ Ei et Ej′ ∼ Ej ± ~ωl

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N


Processus d’absorption

L’atome absorbe un photon ~ωl et passe de l’état d’énergie Ea à l’état d’énergie supérieure Eb: Eb > Ea

Etat initial: |ψi〉 = |a, 0, nl, 0〉 = |a, 0,~k〉Etat final: |ψf 〉 = |b, 0, nl−1, 0〉 = |b, ~K

′,~k〉

un photon disparait

Au premier ordre de la théorie des perturbations

HfiI1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 = 〈b, 0, nl−1, 0| −

qm

∑l

El

ωl

~P~εlal + a†l |a, 0, nl, 0〉

Comme 〈nl−1|al|nl〉 =√

nl et 〈nl−1|a†l |nl〉 = 0On a:

HfiI1 = −

qmEl

ωl

√nl 〈b|~P.~εl|a〉

33 / 45CAMAM 2015

N


Processus d’absorption

Probabilité de transition au 1er ordre de perturbation

Pi→f =1~2|∫ t

0 HfiI1(t′) eiωfi t′ dt′|2

ωfi =Ef − Ei

~

Comme la perturbation est sinusoïdale (O.E.M)

Pi→f =|Hfi

I1|2

4~2|sin(ωfi − ω) t/2

(ωfi − ω)/2|2 1

Pi→f = |Ω|2(sin(δ t/2)

δ)2

avec Ω et δ: HfiI1 =

~Ω

2et δ =

Ef − Ei

~=

Eb − Ea

~− ωl

On a des oscillations de Rabi , Ω pulsation de Rabi.

34 / 45CAMAM 2015

N


Processus d’absorptionRemarques:

ã Pi→f −→ 1 pour δ =Eb − Ea

~− ωl = 0 : Résonance

ã Pi→f ∝ nl

ã Il y a conservation de l’énergie et de l’impulsion globale

~ω = ~ω0 + Erecul, Erecul = 12 m v2 ~ω

ã Absorption multiphotonique entre deux états discrets:Lorsque l’atome est soumis à un rayonnement intense il peut absorber plusieurs photons et passerd’un niveau a à un autre niveau b d’énergie plus élevée.Exemple: absorption à deux photons

On peut avoir:ω = ω

′

ω 6= ω′

ã On peut avoir aussi absorption entre un état discret et un état du continuum (~ω > EI) et entredeux états du continuum d’ionisation

35 / 45CAMAM 2015

N


Processus d’émissionL’atome émet un photon et passe de l’état d’énergie Eb à l’état d’énergie inférieure Ea: Eb > Ea

Etat initial: |ψi〉 = |b, 0, nl, 0〉 = |b, ~K, 0〉Etat final: |ψf 〉 = |a, 0, nl+1, 0〉 = |a, ~K

′,~k〉

un photon nouveau apparait

Au premier ordre de la théorie des perturbations:

HfiI1 = 〈ψf |HI1|ψi〉 = −

qmEl

ωl

√nl + 1 〈b|~P~εl|a〉 =

~Ω′

2

car 〈nl + 1|a†l |nl〉 =√

nl + 1 et on a Ω′

=

√nl + 1

nlΩ

=⇒ Probabilité de transition:Pi→f = |Ω

′|2(

sin δ t/2δ

)2

avec δ = −Ef − Ei

~=

Eb − Ea

~− ωl

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N


Processus d’émission

Remarques:

ã Pi→f −→ 1 pour δ =Eb − Ea

~− ωl = 0 : Résonance

ã Pi→f ∝ nl + 1, intensité non nulle même si nl = 0

ã Il y a conservation de l’énergie et de l’impulsion globale

Eb +~2 K2

2 M= Ea +

~2K′ 2

2 M+ ~ω

~ ~K = ~ ~K′ + ~~kã Emission et absorption sont deux processus symètriques

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N


Emission Spontanée

Si dans l’état initial tous les modes sontvides (absence de photon), l’émission estappelée spontanée:Etat initial: |ψi〉 = |b, 0〉Etat final: |ψf 〉 = |a, nl = 1〉EI = EbEf = Ea + ~ω

Hfi = 〈ψf |HI1|ψi〉

Probabilité de transition importante si Ef ∼ Ei

Les photons spontanés ont pour fréquence: ωl 'Eb − Ea

~= ωBohr

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Emission stimuléeElle présente beaucoup d’analogie avec l’absorption.Elle est provoquée par les photons présents dans l’état initial. L’atome effectue une transition vers un étatinférieur, l’énergie perdue par l’atome est gagné par le champ qui a induit cette transition: Au lieu d’êtreatténué, le rayonnement incident est amplifié.

~ω = Eb − Ead Na

dt= −

d Nb

dt= A21 ρ(ν) Nb

A21 : coefficient d’Einstein pour l’émission stimulée.ρ(ν) : Densité spectrale d’énergie lumineuse.

Si Nb > Na, l’émission stimulée l’emporte sur l’absorption

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Processus de diffusionC’est un processus où un photon disparait et un nouveau photon apparait.Etat initial: |ψi〉=atome dans un état a en présence d’un photon ω, ~k, ~εEtat final: |ψf 〉=atome dans un état a

′en présence d’un photon ω

′, ~k′, ~ε′

Plusieurs chemins possibles, le plus commun:L’atome dans l’état a, absorbe le photon ω et passe dans un état b, émet un photon ω

′et atteint l’état a

′

L’amplitude de transition associée à ce chemin est:

Hfi =∑

b

〈a′,~k′~e′|HI1|b,0〉〈b,0|HI1|a,~k~e〉

Ea+~ω−Eb

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Les processus de diffusion les plus courants sont:

+ La diffusion RayleighDiffusion élastique à basse énergie: |a′ = a, ~ω′ = ~ω〉

avec ~ω EI |Eb − Ea|EI : énergie d’ionisation

La section éfficace de diffusion est proportionnelle à ω4 (couleur bleu de ciel)

σR =8π3

r20ω4

ω40

ω0: fréquence de Bohrr0: rayon de l’électron ∼ 3 . 10−15 m

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Processus de diffusion

+ La diffusion Raman

Diffusion inélastique à basse énergie

ã ~ω EI , Etat final a′

de l’atome 6= a

ã s’accompagne d’un changement de fréquence: ω − ω′

=E

a′ − Ea

~ã suivant que le niveau a est inférieur ou supérieur au niveau a

′on a:

Diffusion Raman Stokes ou Diffusion Raman antistokes

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Conclusion

Conclusion

Le formalisme présenté permet d’interpréter au premier ordre les processus d’absorption, d’émissionet de diffusion pour des systèmes à deux niveaux et pour des effets impliquant les fluctuations du vide etl’optique non linéaire .Pour être complet on doit tenir compte de:

ã La dépendance angulaire et en polarisation pour le calcul des éléments de matrice HfiI1 en utilisant

les théorèmes relatifs aux symètries (Wigner-Eckart,...)ã La densité d’états des modes de rayonnementã Le taux d’émission dans une direction donnée (θ, ϕ)ã Les effets relativistes: termes de structure fine, Darwin,...ã Les durées de vie des processus mis en jeu,...ã La dispersion du champ: bruit quantique standard

Enfin, on appelle souvent ce domaine de la physique OPTIQUE QUANTIQUE car la matière ou la lu-mière ou toutes les deux sont traitées aux niveau microscopique et donc quantique. C’est un domaineséduisant et d’avenir où la domestication, la manipulation, le contrôle des photons bouleverseront la tech-nologie du futur et feront du 21me siècle, le siècle de la lumière et du triomphe de l’optique et de la pho-tonique.

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Conclusion

Bibliographie

Photons et Atomes, Introduction à l’Electrodynamique QuantiqueC.Cohen-Tannoudji, J.Dupont-Roc,G.Grynberg.InterEditions et Editions du C.N.R.S., Paris 1987

Processus d’Interaction entre Photons et AtomesC.Cohen-Tannoudji, J.Dupont-Roc,G.Grynberg.InterEditions et Editions du C.N.R.S., Paris 1988

Introduction to Quantum OpticsG.Grynberg, A.Aspect, C.FabreCambridge university press 2010

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interaction rayonnement-atome atom-light interaction

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